Динамическое программирование: один параметр

Для поиска полезных ископаемых ученые разработали специальный сканер.

Представим область для поисков как таблицу из \(k\) строк и \(n\) столбцов. Нумерация строк идет от \(1\) до \(k\) сверху вниз, нумерация столбцов от \(1\) до \(n\) слева направо. В каждой клетке таблицы могут находиться полезные ископаемые.

Сканер работает следующим образом: он может быть запущен в столбце \(p\) и возвращает количество клеток в зоне сканирования, которые содержат полезные ископаемые. Зона сканирования включает все клетки столбца \(p\), верхние \(k-1\) клетку столбца \(p-1\), верхние \(k-2\) клетки столбца \(p-2\), и так далее. На рисунке показана зона сканирования для поля с \(k = 3\), \(n=5\) и всех значений \(p\).

Вам даны значения, которые вернул сканер для всех \(p\), обозначим за \(b_p\) значение в столбце \(p\). Будем называть таблицу, где для каждой клетки определено, находятся ли в ней полезные ископаемые, корректной, если для нее сканер возвращает верные значения. Например, если в примере выше сканер вернул значения \([2, 1, 2, 3, 2]\), то одна из корректных таблиц может выглядеть следующим образом (клетки, содержащие ископаемые, обозначены черным треугольником):

По заданным значениям, которые вернул сканер, определите количество корректных таблиц и выведите остаток от деления этого количества на число \(10^9+7\). Обратите внимание, что, возможно, сканер неисправен, и корректных таблиц вообще нет, тогда необходимо вывести \(0\).

Формат входных данных
В первой строке даны два числа \(n\), \(k\) — количество столбцов и строк, соответственно (\(1 \le n \le 200\), \(1 \le k \le 7\)).

Во второй строке даны \(n\) чисел \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) — значения, которые вернул сканер (\(0 \le b_i \le k^2\)).

Формат выходных данных
Выведите единственное число — остаток от деления количества различных корректных таблиц на \(10^9 + 7\).

Старец Летовец, известный своей любовью к математике, решил проверить смекалку своих учеников. Он дал им n конфет и сказал: "Разложите эти конфеты на три кучки так, чтобы в каждой кучке было не больше, чем limit. И определите сколькими различными способами это можно сделать?"

Напишите программу, которая поможет ученикам получить ответ на вопрос Летовца.

Формат входных данных
В первой строке входных данных записано натуральное число n, во второй - натуральное число limit.

Ограничения

• 1 <= n <= 1000
• 1 <= limit <= 1000

Формат выходных данных
Выведите одно число - количество способов


Примечание
В первом тестовом примере есть 3 способа разложить 5 конфет таким образом, чтобы в каждой кучке было не больше 2 конфет: (1, 2, 2), (2, 1, 2) и (2, 2, 1).
Во втором тестовом примере существует 10 способов распределить 3 конфеты таким образом, чтобы в каждой кучке было бы не больше 3 конфет: (0, 0, 3), (0, 1, 2), (0, 2, 1), (0, 3, 0), (1, 0, 2), (1, 1, 1), (1, 2, 0), (2, 0, 1), (2, 1, 0) и (3, 0, 0).
 

На числовой прямой в точке с координатой \(0\) сидит кузнечик. За одно действие он может выбрать любое целое неотрицательное число \(k\) и прыгнуть влево или вправо на расстояние \(2^k\).

Помогите кузнечику определить, какое минимальное количество действий ему понадобится выполнить, чтобы из точки с координатой \(0\) попасть в точку с координатой \(x\).

Формат входных данных
В первой строке дано одно целое число \(t\) — количество наборов входных данных (\(1 \le t \le 100\,000\)).

Каждый набор входных данных состоит из единственной строки, в которой дано целое число \(x\) — координата точки, в которую хочет попасть кузнечик (\(-10^{18} \le x \le 10^{18}\)).

Формат выходных данных
Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — минимальное количество действий, которое кузнечику понадобится совершить.

На кафедре пингвиноведения Южного Антарктического университета проводятся исследования популяций пингвинов. Фотографии скоплений плотно стоящих пингвинов обрабатываются студентами. Распознавание пингвинов на снимках производится следующим образом: на фотографии выбирается характерная полоса высотой в один пиксель, каждый пиксель которой входит в изображение одного из пингвинов.

У всех пингвинов исследуемой популяции живот белый, а спина и крылья — чёрные. Таким образом, если у пингвина на фотографии видна только спина, то на характерной полосе ему соответствует отрезок из чёрных пикселей, а если только живот, то из белых. В остальных случаях, например, когда чёрные крылья видны поверх белого живота, пингвину соответствует отрезок из чёрных и белых пикселей. Для продолжения исследований необходимо, чтобы каждому пингвину соответствовал отрезок, состоящий либо только из чёрных, либо только из белых пикселей.

Для \(i\)-й фотографии известно максимальное количество пингвинов \(k_i\), изображение которых могло попасть на характерную полосу. Поэтому эту полосу пикселей необходимо заменить на упрощённую полосу той же длины, которая будет состоять не более чем из \(k_i\) отрезков, каждый из которых либо полностью чёрный, либо полностью белый. Из всех возможных упрощённых полос нужно выбрать оптимальную — то есть ту, которая получается из характерной путём изменения цвета минимального числа пикселей.

Требуется написать программу, решающую поставленную задачу.

Входные данные
В первой строке входных данных содержится число \(t\) — количество фотографий. Далее следуют \(t\) пар строк, \(i\)-я пара строк описывает \(i\)-ю фотографию.

Первая строка описания фотографии содержит два числа: \(n_i\) — длину характерной полосы \(i\)-й фотографии, и \(k_i\) — максимальное количество пингвинов, которые могут быть на ней изображены (\(k_i \le n_i\)).

Вторая строка описания состоит из \(n_i\) символов 0 и 1, где 0 обозначает чёрный, а 1 — белый пиксель.

Выходные данные
Выходные данные должны содержать \(t\) строк, где \(i\)-я строка состоит из \(n_i\) символов 0 и 1 и описывает упрощённую полосу, полученную из характерной полосы \(i\)-й фотографии. Если оптимальных упрощённых полос несколько, выведите любую из них.

Требуется заполнить N элементов массива, пронумерованных числами от 1 до N (A[1]…A[N]), натуральными числами от 2 до N+1, использовав каждое число ровно один раз, так, чтобы значение каждого элемента массива делилось бы нацело на его номер (т.е. для каждого i A[i] делилось бы на i).

Напишите программу, которая для заданного N вычислит количество способов такого заполнения массива.

Входные данные
Вводится одно натуральное число N (1≤N≤1000).

Выходные данные
Выведите одно число — искомое количество способов заполнения массива.

Примечание
Массив можно заполнить единственным способом: 3 2
 

Мальчик подошел к платной лестнице. Чтобы наступить на любую ступеньку, нужно заплатить указанную на ней сумму. Мальчик умеет перешагивать на следующую ступеньку, либо перепрыгивать через ступеньку. Требуется узнать, какая наименьшая сумма понадобится мальчику, чтобы добраться до верхней ступеньки.


Входные данные

В первой строке входного файла вводится одно натуральное число 𝑁≤100 — количество ступенек.
В следующей строке вводятся 𝑁 натуральных чисел, не превосходящих 100 — стоимость каждой ступеньки (снизу вверх).

Выходные данные

Выведите одно число — наименьшую возможную стоимость прохода по лесенке.

При переработке радиоактивных материалов образуются отходы трех видов — особо опасные (тип A), неопасные (тип B) и совсем не опасные (тип C). Для их хранения используются одинаковые контейнеры. После помещения отходов в контейнеры последние укладываются вертикальной стопкой. Стопка считается взрывоопасной, если в ней подряд идет более одного контейнера типа A. Стопка считается безопасной, если она не является взрывоопасной. Для заданного количества контейнеров N
 определить число безопасных стопок.

Входные данные
Одно число 1≤N≤20.

Выходные данные
Одно число — количество безопасных вариантов формирования стопки.

Примечание
В примере из условия среди стопок длины 2 бывают безопасные стопки типов AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB и CC. Стопки типа AA являются взрывоопасными.

При переработке радиоактивных материалов образуются отходы двух видов — особо опасные (тип A) и неопасные (тип B). Для их хранения используются одинаковые контейнеры. После помещения отходов в контейнеры последние укладываются вертикальной стопкой. Стопка считается взрывоопасной, если в ней подряд идет более одного контейнера типа A. Стопка считается безопасной, если она не является взрывоопасной. Для заданного количества контейнеров N
 определить количество возможных типов безопасных стопок.

Входные данные
Одно число 1 ≤ N ≤ 20.

Выходные данные
Одно число — количество безопасных вариантов формирования стопки.

Примечание
В примере из условия среди стопок длины 2 бывают безопасные стопки типов AB, BA и BB. Стопки типа AA являются взрывоопасными.

Определите количество последовательностей из нулей и единиц длины N (длина - это общее количество нулей и едииниц), в которых никакие три единицы не стоят рядом.

Входные данные
Вводится натуральное число N, не превосходящее 40.

Выходные данные
Выведите количество искомых последовательностей. Гарантируется, что ответ не превосходит 2³¹ − 1.

Требуется заполнить N элементов массива, пронумерованных числами от 1 до N (A[1]…A[N]), натуральными числами от 2 до N+1, использовав каждое число ровно один раз, так, чтобы значение каждого элемента массива делилось бы нацело на его номер (т.е. для каждого i A[i] делилось бы на i).

Напишите программу, которая для заданного N вычислит количество способов такого заполнения массива.

Входные данные
Вводится одно натуральное число N (1≤N≤60000).

Выходные данные
Выведите одно число — искомое количество способов заполнения массива.

Примечание
Массив можно заполнить единственным способом: 3 2
 

В правильном N-угольнике провели некоторые диагонали так, что он оказался разбит на треугольники. Изначально стороны N-угольника и все его диагонали черные.

Разрешается выбрать четырехугольник, в котором ровно одна диагональ, и при этом эта диагональ черного цвета (сам четырехугольник не обязан быть полностью черным) и проделать с ним следующее: заменить диагональ на противоположную (т.е. если сам четырехугольник был ABCD и в нем была диагональ AC, то она меняется на диагональ BD), после чего перекрасить стороны этого четырехугольника и новую диагональ в красный цвет.

Требуется определить, можно ли с помощью таких операций сделать так, чтобы все отрезки (т.е. стороны N-угольника и изображенные диагонали) стали красными, и не осталось бы ни одного черного отрезка. А если это возможно, то какое минимальное количество операций для этого требуется.

Входные данные
Вводится сначала число N (3≤N≤30000). Далее идет описание N–3 проведенных диагоналей. Каждая диагональ описывается двумя натуральными числами — номерами вершин, которые она соединяет. Гарантируется, что проведенные диагонали внутри N-угольника не пересекаются.

Выходные данные
Выведите минимальное число действий, необходимое для того, чтобы перекрасить весь N-угольник и все его диагонали. Если перекрасить многоугольник указанным способом невозможно, выведите одно число –1 (минус один).

Определим правильные скобочные выражения так:

Пустое выражение - правильное.
Если выражение S правильное, то (S) и [S] также правильные.
Если выражения A и B правильные, то и выражение AB - правильное.
Дана последовательность скобок "(", ")", "[" и "]". Требуется найти самое короткое правильное выражение, в котором данная последовательность является подпоследовательностью, то есть такое, из которого можно вычеркнуть некоторые символы (возможно, ноль) и получить исходную последовательность, не меняя порядок оставшихся.

Ограничения: исходная последовательность содержит не более 100 скобок.

Входные данные
В первой строке находятся символы (, ), [ и ] без пробелов.

Выходные данные
Выводится искомая последовательность скобок без пробелов.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	([(]	()[()]
2	(	()

Кубик, грани которого помечены цифрами от 1 до 6, бросают N раз. Найти вероятность того, что сумма выпавших чисел будет равна Q.

Ограничения: 1 <= N <= 500, 1 <= Q <= 3000.

Входные данные
В первой строке находятся числа N и Q через пробел.

Выходные данные
Выводится единственное вещественное число, которое должно отличаться от истинного значения не более чем на 0.01 истинного значения.

В сообщении, состоящем из одних русских букв и пробелов, каждую букву заменили её порядковым номером в русском алфавите (А - 1, Б - 2, ..., Я - 33), а пробел - нулем. Требуется по заданной последовательности цифр найти количество исходных сообщений, из которых она могла получиться.

Входные данные
В первой строке содержится последовательность цифр. Цифр не более 100.

Выходные данные
Вывести одно число.

Петя - большой любитель математических головоломок. Недавно он прочитал в одном популярном журнале о новой головоломке. Он пытался ее решить несколько дней, но это ему так и не удалось. Помогите Пете справиться с неподдающейся задачей.

В ряд выписаны n чисел. Требуется поставить между каждой парой соседних чисел один из знаков "+" или "×" таким образом, чтобы значение получившегося выражения было как можно больше. Использовать скобки не разрешается.

Например, для последовательности чисел 1, 2, 3, 1, 2, 3 оптимально расставить знаки следующим образом: 1 + 2 × 3 × 1 × 2 × 3. Значение выражения в этом случае равно 37.

Входные данные
В первой строке вводится число n (2 <= n <= 200000). Вторая строка содержит n целых чисел - числа, между которыми следует расставить знаки. Все числа находятся в диапазоне от 0 до 10⁹.

Выходные данные
Выведите оптимальное выражение. В качестве знака "×" выводите символ "*" (звездочку). Если оптимальных решений несколько, выведите любое из них.

Профиль Уральских гор задается ломаной (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_N, y_N), для координат вершин которой верны неравенства x₁ < x₂ < … < x_N. Начальные и конечные точки профиля расположены на уровне моря (y₁ = y_N = 0).

На горном профиле заданы две различные точки A и B, между которыми требуется проложить дорогу. Эта дорога будет проходить по склонам гор и проектируемому горизонтальному мосту, длина которого не должна превышать L. Оба конца моста находятся на горном профиле. Дорога заходит на мост с одного конца и выходит с другого. Мост не может содержать точек, расположенных строго под ломаной (строительство тоннелей не предполагается).
Возможные примеры расположения моста                                                                   Невозможное расположение моста


Достоверно известно, что строительство такого моста в данной местности возможно, причем позволит сократить длину дороги из точки A в точку B. Требуется написать программу, которая определит такое расположение горизонтального моста, что длина дороги от точки A до точки B будет наименьшей.

Формат входных данных
Первая строка входных данных содержит два целых числа N и L — количество вершин ломаной (2 ≤ N ≤ 100 000) и максимальную длину моста (1 ≤ L ≤ 10⁶) соответственно. Вторая строка  содержит координаты точки A, третья строка — координаты точки B. Точки A и B различны.

Последующие N строк содержат координаты вершин ломаной (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_N, y_N). Координаты вершин ломаной, а также точек A и B, задаются парой целых чисел, не превосходящих по абсолютному значению 106. Гарантируется, что x₁ < x₂ < … < x_N и y₁ = y_N = 0, а также, что точки A и B принадлежат ломаной.

Формат выходных данных
В первой и второй строках выходных данных выведите координаты концов моста с точностью не менее 5 знаков после десятичной точки. В случае, когда решений несколько, выведите любое из них.

В одном королевстве есть \(n\) городов, расположенных вдоль длинной прямой дороги, \(i\)-й город расположен на расстоянии \(x_i\) километров от начала дороги (\(0 \le x_1 < x_2 < \ldots < x_n \le 10^9\)).

В ближайшее время король планирует провести реформу управления королевством и разделить его на \(k\) провинций. Каждый город должен войти ровно в одну провинцию.

В каждую провинцию войдет от \(a\) до \(b\) городов, причем эти города должны иметь следующие подряд номера. Таким образом, каждая провинция характеризуется числами \(i\) и \(l\), для которых \(1 \le i\), \(i + l - 1 \le n\), \(a \le l \le b\) и в провинцию входят города с номерами \(i, i + 1, \ldots, i + l - 1\).

Чтобы минимизировать затраты на обслуживание провинций, король хочет, чтобы максимальное расстояние между городами, входящими в одну провинцию, было как можно меньше. Помогите королю выполнить разделение королевства.

Формат входных данных
Первая строка ввода содержит четыре целых числа: \(n\), \(k\), \(a\) и \(b\) (\(1 \le n \le 200\), \(1 \le k \le n\), \(1 \le a \le b \le n\), \(ak \le n \le bk\)). Вторая строка ввода содержит \(n\) целых чисел: \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) (\(0 \le x_1 < x_2 < \ldots < x_n \le 10^9\)).

Формат выходных данных
Выведите одно целое число: минимальное возможное \(z\), такое чтобы можно было разбить города на провинции описанным образом, и расстояние между городами внутри одной провинции не превышало \(z\).

Примечание
В примере оптимально первые 4 города объединить в первую провинцию, а пятый и шестой — во вторую. Максимальное расстояние между двумя городами в одной провинции: \(13 - 6 = 7\).

Миша участвует в процедуре награждения на интеллектуальном шоу. В процессе награждения ему последовательно предлагают призы. У каждого приза есть стоимость. Про каждый приз Миша должен заявить, хочет ли он его взять. После того, как Миша возьмет или пропустит приз, ему показывается следующий, и так далее, вернуться к предыдущим призам и изменить свое решение нельзя.

В качестве первого приза Миша может взять любой приз, а затем Миша может взять приз, если его стоимость строго больше стоимости предыдущего взятого им приза.

Миша подсмотрел сценарий шоу и знает стоимости призов, а также порядок, в котором они будут ему предлагаться. Помогите ему выбрать призы таким образом, чтобы их суммарная стоимость была как можно больше.

Формат входных данных
Первая строка ввода содержит целая число \(n\) — количество призов (\(1 \le n \le 1000\)). Вторая строка содержит \(n\) чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) — стоимости призов в том порядке, в котором их покажут Мише (\(1 \le a_i \le 10^9\)).

Формат выходных данных
Выведите одно число — максимальную суммарную стоимость призов, которые может получить Миша.