Арифметические алгоритмы (Теория чисел)

Шарик украшает ёлку гирляндой из N лампочек. Лампочки мигают по очереди: первая загорается в момент времени 0, вторая — в момент 1, третья — в момент 2, и так далее. Когда загорается последняя лампочка, следующей снова загорается первая, потом вторая и т.д.

Шарик хочет узнать, какая по счёту лампочка будет гореть в момент времени T.

Входные данные: Два целых числа N и T (1 ≤ N ≤ 1000, 0 ≤ T ≤ 10⁹) — количество лампочек и момент времени.

Выходные данные: Номер лампочки, которая горит в момент T.

Мама прислала Дяде Фёдору посылку с конфетами. Дядя Фёдор хочет разделить конфеты поровну между собой, Матроскиным и Шариком. Если конфеты не делятся на троих поровну, остаток достанется Галчонку.

Сколько конфет получит каждый из троих друзей, и сколько останется Галчонку?

Входные данные: Одно целое число N (1 ≤ N ≤ 10000) — количество конфет в посылке.

Выходные данные: Два числа через пробел: сколько конфет получит каждый из друзей и сколько достанется Галчонку.

На Discord-сервере игрок получает VIP-статус, если количество его сообщений кратно 25 и при этом не менее 300.​

Напишите программу, которая запрашивает у пользователя количество сообщений и определяет, получит ли игрок VIP-статус.

Входные данные: количество сообщений (целое положительное число)

Выходные данные:

• VIP — если количество сообщений кратно 25 и не менее 300

• NO — в остальных случаях

В магазине Roblox действует специальная скидка: игрок получает её, если сумма его покупки кратна 50 и при этом не менее 200 робуксов.​

Напишите программу, которая запрашивает у пользователя сумму покупки и определяет, получит ли игрок скидку.

Входные данные: сумма покупки в робуксах (целое положительное число)

Выходные данные:

• YES — если сумма кратна 50 и не менее 200

• NO — в остальных случаях

Современные компьютеры состоят из микроскопических транзисторов (электронных переключателей). Каждый из них может быть в двух состояниях:

• 1 (ВКЛ) — есть ток → True

• 0 (ВЫКЛ) — нет тока → False

Какое число соответствует True в двоичном коде?

Старшеклассник Дима собирает робота, который должен передвигаться по рельсам вокруг испытательного стенда. Всего робот умеет выполнять 12 различных команд, но для нас представляют интерес три из них, связанные с управлением манипулятором. Дима решил передавать роботу блоки инструкций в виде числа: робот получает число, переводит его в систему счисления с основанием 12 и выполняет соответствующие цифрам команды. Коды команд, отвечающих за манипуляторы робота, кратны четырём. На вход подаётся N чисел – блоков с наборами команд. В скольких блоках робот выполнил не менее M команд с манипулятором?

Формат ввода На вход программе в первой строке подается натуральное число N (N ≤ 10000) – количество наборов команд. Во второй строке подаётся целое неотрицательное число M (0 ≤ M ≤ 1000) – требуемое количество команд с манипулятором. Далее в N строках на вход подаётся по одному целому числу в диапазоне от 0 до 4*10⁹ – блок команд, записанных в десятичной системе счисления.
Формат вывода Вывести одно целое число – в скольких блоках команд робот выполнил не менее M команд с манипулятором.

В ходе игры «Зарница» Витя и Паша пересылают друг другу важные сообщения. Но для того, чтобы противник не смог их понять, сообщения кодируются. Для кодирования информации ребята используют латинский алфавит из 26 букв, все буквы заглавные. Слова кодируются следующим образом. Каждая буква в слове заменяется ее порядковым номером в алфавите, записанном в системе счисления с основанием Sys (2 <= Sys <= 36). Все полученные числа записываются подряд без пробелов. Если числа (порядковые номера букв) в заданной системе счисления могут иметь разную длину, то более короткие числа дополняются слева нулями до требуемой длины. Например, в десятичной системе счисления порядковый номер буквы A будет равен 1, а буквы Z – 26. Соответственно, при шифровании, к единице слева будет дописан ноль. То есть код буквы A будет 01, а код буквы Z – 26. Для усложнения возможной расшифровки сообщения противником, при кодировании разных слов, могут использоваться различные системы счисления. Основание использованной системы счисления, выраженное двухзначным десятичным числом дописывается справа к коду всего слова.
Например, слово AZ, при использовании десятичной системы счисления, будет закодировано как 012610, а при использовании троичной системы счисления будет закодировано как 00122203.

Напишите программу, которая будет расшифровывать закодированные сообщения.
На вход программе подается одно закодированное сообщение. Длина сообщения не более 100 символов. Программа должна вывести исходное слово.

В ходе игры «Зарница» Саша и Женя пересылают друг другу важные сообщения. Но для того, чтобы противник не смог их понять, сообщения кодируются. Для кодирования информации ребята используют латинский алфавит из 26 букв, все буквы заглавные. Слова кодируются следующим образом. Каждая буква в слове заменяется ее порядковым номером в алфавите, записанном в системе счисления с основанием Sys (2 <= Sys <= 36). Все полученные числа записываются подряд без пробелов. Если числа (порядковые номера букв) в заданной системе счисления могут иметь разную длину, то более короткие числа дополняются слева нулями до требуемой длины. Например, в десятичной системе счисления порядковый номер буквы A будет равен 1, а буквы Z – 26. Соответственно, при шифровании, к единице слева будет дописан ноль. То есть код буквы A будет 01, а код буквы Z – 26. Для усложнения возможной расшифровки сообщения противником, для кодирования букв, стоящих на разных местах в слове, используются различные системы счисления. Основание использованной системы счисления выбирается исходя из порядкового номера буквы в кодируемом сообщении. Для кодирования первой буквы сообщения используется двоичная система счисления, для второй – троичная, для третьей – четверичная и т.д., до системы счисления с основанием 36 включительно. Далее основания систем счисления повторяются циклически – 2, 3, 4, …36, 2, 3, … Например, слово AZ, будет закодировано как 00001222.
Напишите программу, которая будет расшифровывать закодированные сообщения.
На вход программе подается одно закодированное сообщение. Длина сообщения не более 200 символов. Программа должна вывести исходное слово.

Старшеклассник Миша собирает робота, который должен передвигаться по рельсам вокруг испытательного стенда. Всего робот умеет выполнять 13 различных команд, но для нас представляют интерес три из них – «вперёд», «назад», «стой». Миша решил передавать роботу инструкции в виде цифр числа: робот получает число, переводит его в систему счисления с основанием 13 и выполняет соответствующие цифрам команды. Коды команд, отвечающих за изменение скорости робота, кратны шести.
На вход подаётся N чисел с наборами команд. Сколько раз робот изменит скорость, если считать, что он не встречает препятствий?

Формат ввода
На вход программе в первой строке подается натуральное число N (N ≤ 10000) – количество наборов команд. Далее в N строках на вход подаётся по одному целому числу в диапазоне от 0 до 4*109 – набор тринадцатеричных команд, записанных в десятичной системе счисления.
Формат вывода
Вывести одно целое число – сколько раз робот изменит скорость.

На уроке информатики Фоме задали задачу о проверке гипотезы Гольдбаха.
Условие задачи выглядело так:
Гипотеза Гольдбаха (не доказанная до сих пор) утверждает, что любое четное число (кроме 2) можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Фома легко решил данную задачу методом поиска "первого решения".
Дома, Фома заметил, что во время отладки, он получал решения, в которых одно из чисел было не очень большим.
Так, для числа 1000000, он получил разложение 1000000=17+999983. Фома решил проверить, в чем сложность гипотезы Гольдбаха.
Для этого Фома придумал задачу:
Определим функцию g(n) = количеству разложений числа n в сумму двух простых чисел. (разложения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми).
На отрезке натуральных чисел от A до B найдите чётное число x такое, что: g(x) кратно 5 и имеет минимальное значение среди всех g(x) кратных 5 на этом отрезке.
Решите задачу Фомы.

Входные данные
Границы отрезка A, B (два натуральных числа 5≤ A<B≤106 )
Выходные данные
- "Impossible" если для всех чётных x из отрезка [A;B] значение g(x) не кратно 5.
- два числа - x, g( x ) ( g(x) кратно 5 и минимальное для A≤ x≤B). Если таких x несколько, то выведите минимальное значение x.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Примечание
1	5 10	Impossible	На отрезке всего три четных числа (6, 8, 10) Число 8 =3+5 и других представлений нет (5+3 считается таким же как 3+5) Для 10 есть два представления (3+7 и 5+5) Таким образом значений x, при которых g(x) кратно 5 нет.
2	20 60	48 5	g(x) может принимать значения меньшие 3 (g(20)=2) g(x)=5 для x из множества {48, 54}. 48 -минимальное значение
3	2000 2005	Impossible

Заданы два различных целых положительных числа a и b, записанные в восьмеричной системе счисления. Оба числа двузначные. В условии данной задачи в двузначном числе старшая цифра может быть и нулем.
В двузначном числе за один ход разрешается заменить любую цифру на сумму цифр по модулю 8 (остаток от деления суммы цифр на 8). Построить цепочку ходов минимальной длины, которая переводит a в b. Если существует несколько цепочек минимальной длины, то выбрать ту из них, в которой сумма всех чисел максимальна (числа a и b являются частью цепочки). В качестве ответа записать сумму чисел в найденной цепочке. Результат записывается в десятичной системе счисления. В случае невозможности построить цепочку вывести число 0.

Формат входных данных
На вход программе подается строка, содержащая два целых положительных восьмеричных двузначных числа a и b, записанные через пробел.
Формат выходных данных
Вывести целое десятичное число – сумму чисел в найденной цепочке.

Станция связи принимает блоки сообщений. Каждое сообщение представляет собой последовательность кодовых сигналов. Всего сигналов 26; они перечислены в блоке как цифры числа, записанного в системе с основанием 26.Обработка некоторых кодовых сигналов требует участия операторов;значения таких сигналов кратны 6. На вход подаётся N чисел, записанных вдесятичной системе счисления – блоков сообщений. Определите, в сколькихблоках оказалось менее M₁ или более M₂ команд, требующих участияоператоров.

Формат входных данных
На вход программе в первой строке подается натуральное число N (N ≤ 10000) – количество блоков сообщений. Во второй строке подаются два целых неотрицательных числа M₁ и M₂ (0 ≤ M₁ ≤ M₂ ≤ 1000) – ограничение по количеству кодовых сигналов, требующих обработки оператором. Далее в N строках на вход подаётся по одному целому числу в диапазоне от 0 до 4*10⁹ – блок сообщений, записанных в десятичной системе счисления.
Формат выходных данных
Вывести одно целое число – в скольких блоках оказалось менее M₁ или более M₂ команд, требующих участия операторов.

Словом Чемпернауна называется длинная строка, полученная из натуральных чисел, записанных подряд без пробелов и запятых. Так, для десятичной системы счисления слово Чемпернауна начинается с 123456789101112…, а для семеричной – с 1234561011121314151620…
Найдите, какие цифры стоят на заданных местах (индексах) в слове Чемпернауна, записанном в семеричной системе счисления. Например, под индексом 3 находится цифра «4», а под индексом 1 цифра «2» – нумерация начинается с нуля.

Формат входных данных
На вход программе в первой строке подается натуральное число N (N ≤ 1000) – количество индексов, для которых надо определить цифру в записанном в семеричной системе слове Чемпернауна. Во второй строке даётся последовательность из N неотрицательных чисел, разделённых пробелами, каждое из которых не превосходит 2*10⁹ – индексы, для которых надо найти цифру. Нумерация индексов начинается с 0.

Формат выходных данных
Вывести строку из N цифр – цифр, стоящих на заданных местах в слове Чемпернауна, записанном в семеричной системе счисления.

В мире двоичных чисел решили разобраться, почему некоторые числа не дружат друг с другом, потому после ряда проведённых экспериментов было выявлено, что точно не дружат друг с другом те числа, которые нельзя поставить рядом так, чтобы в их последовательности не было двух и более единиц подряд, а также не было трёх и более нулей подряд.
Помогите понять жителям двоичного мира, сколько пар чисел от 1 до N нельзя точно никак подружить.
Например: есть два числа 4 и 5, в двоичной системе счисления они представлены как 100 и 101. Если их поставить как 101 и 100, получится 101100, что даёт две единицы подряд в строке, значит дружить они не будут, но если поставим наоборот 100 и 101 = 100101, то двух единиц подряд нет, а также нет трёх и более нулей подряд, значит числа могут подружиться.
Формат входных данных
На первой строке подаётся число N (1 <= N <= 10⁵) – количество чисел в двоичном мире от 1 до N (включительно).
Формат выходных данных
Вывести на первой строке количество пар чисел, которые никак нельзя будет подружить друг с другом. Рассматриваются все числа от 1 до N, но все числа уникальны, потому не рассматриваются пары одинаковых чисел и повторяющиеся пары (если нельзя подружить число x с числом y, то пара (x, y) и (y, x) считается одной парой чисел).

В мире двоичных чисел произошёл масштабный сбой, теперь двоичные числа разучились складываться друг с другом. Притом спустя часть времени была выявлена закономерность новых правил сложения, она оказалась следующей:

• 1 + 1 = 0
• 1 + 0 = 1
• 0 + 1 = 0
• 0 + 0 = 1

Таким образом было выявлено, что также порядок слагаемых имеет значение (первое слагаемое число верхнее, второе – нижнее). Так как все эти правила теперь запомнить было очень сложно, то попросили разработать алгоритм, который будет принимать два двоичных числа одинаковой длины и возвращать результат суммы этих двух чисел в столбик.

Формат входных данных
На первой строке подаётся первое слагаемое – двоичное число без значащих нулей длины N (1 <= N <= 10⁵).
На второй строке подаётся второе слагаемое – двоичное число без значащих нулей также длины N.

Формат выходных данных
Вывести на первой строке результат суммы двух двоичных чисел. Если в результате есть незначащие нули, то выводить без них. Если получился 0, то вывести просто 0.

Злым числом в математике называется неотрицательное целое число с чётным числом единиц в его двоичной записи (например, число 5 — злое, в его двоичной записи две единицы). Они используются в теории чисел при исследовании последовательности Морса–Туэ и применяются в алгоритмах фрактального сжатия изображений. Натуральное число будем называть очень злым, если само оно чётное и количество единиц в его двоичной записи также чётное. Это такие числа, как 6, 10, 12, 18, 20 и так далее. По данному n определите количество очень злых чисел, не превосходящих n.

Формат входных данных
Единственная строка входного файла содержит натуральное число n (1 ≤ n ≤ 10⁹ ).

Формат выходных данных
Выведите одно неотрицательное целое число — количество очень злых натуральных чисел, не превосходящих n.

Летовецкие числа — это положительные целые числа, которые делятся на a, b или c.

Напишите программу, которая находит n-е по счёту летовецкое число.

Формат входных чисел
Программа получает на вход четыре целых положительных числа n, a, b, и c. Каждое число записано в отдельной строке. 
Ограничения на входные данные

• 1 <= n, a, b, c <= 109
• 1 <= a * b * c <= 1018
• Гарантируется, что результат находится в диапазоне [1, 2 * 109].

Формат выходных чисел
Ваша программа должны вывести одное число -  n-е по счёту летовецкое число.
 

Эрен хочет открыть подвал своего дома, но, к сожалению, потерял ключ. Альтернативный способ попасть в подвал — ввести на замке разблокирующий его код доступа.

Замок на двери подвала устроен следующим образом:

• на нем есть два кодовых механизма, первый из которых изначально указывает на число \(a\), а второй — на число \(b\);

• первый кодовый механизм сломан, поэтому изменить значение \(a\) нельзя;

• второй кодовый механизм можно вращать только в одном направлении, тем самым увеличивая значение \(b\);

• замок открывается тогда и только тогда, когда существует целое число \(d > 1\), делящее и \(a\), и \(b\) (иными словами, когда у \(a\) и \(b\) есть общий делитель больше единицы).

За одну секунду Эрен может повернуть второй кодовый механизм так, что \(b\) увеличится ровно на \(1\). Определите, за какое минимальное время Эрен сможет открыть подвал.

Формат входных данных
В первой строке дано единственное целое число \(t\) — количество тестовых случаев \((1 \leqslant t \leqslant 1000)\).

В \(i\)-й из следующих \(t\) строк через пробел даны два целых числа \(a_i\) и \(b_i\) — начальные значения, на которые указывают кодовые механизмы в \(i\)-м тесте (\(2 \leqslant a_i, b_i \leqslant 10^9\)).

Формат выходных данных
Для каждого теста выведите в отдельной строке минимальное время, за которое Эрен откроет подвал.

 

В далеком королевстве жил могучий маг по имени Максимус, который обладал уникальной способностью управлять волшебными кристаллами. Эти кристаллы были не простыми — на каждом из них написано целое число, колеблющееся от –100 000 до 100 000. Однажды, Максимус решил провести эксперимент и выяснить, сколько волшебных троек кристаллов он сможет найти.

Но не просто троек! В каждой тройке должно быть хотя бы одно число, которое таит в себе загадочную цифру 2. Кроме того, сумма чисел, записанных на этих трех кристаллах должна быть простым числом, потому что простые числа это любимые числа Максимуса. (Тройкой кристаллов Максимус считает три кристалла, которые лежат рядом.)

Итак, наш маг отправился в путешествие по своей коллекции кристаллов. Он проверял каждую тройку лежащих рядом кристаллов, проверяя каждую на наличие заветной цифры 2 и вычисляя их сумму. В конце концов, он хотел узнать, сколько таких волшебных троек ему удалось найти, и какая из них имела максимальную сумму.

Помогите Максимиусу в его приключении! Напишите программу, которая определит количество таких троек и вычислит максимальную сумму среди них. В ответе запишите два числа: сначала количество найденных троек, затем максимальную сумму элементов таких троек.

Формат входных данных
В первой строке вводится число N (1<=N<=10 000)  - количество кристаллов, которые имеются у Максимуса. В следующих N строках, по одному в строке, вводятся N целых чисел - числа, которые записаны на кристаллах (все числа по модулю не более 100 000).


Формат выходных данных

В ответе запишите два числа в одной строке через пробел: сначала количество найденных троек чисел, затем максимальную сумму элементов таких троек.

В известной школе прошёл урок физкультуры. Как полагается, всех построили в шеренгу и попросили рассчитаться на <<первый–\(k\)-й>>, где \(k > 1\).

Как известно, расчёт на <<первый–\(k\)-й>> происходит следующим образом: первые \(k\) человек имеют номера \(1, 2, 3, \ldots, k\), следующие \(k - 1\) человек имеют номера \(k - 1, k - 2, \ldots, 1\), следующие \(k - 1\) человек имеют номера \(2, 3, \ldots, k\) и т.д. Таким образом, расчёт повторяется через каждые \(2k - 2\) позиции. Примеры расчёта приведены в разделе <<Замечание>>.

Мальчик Вася постоянно всё забывает. Например, он забыл число \(k\), описанное выше. Но он помнит позицию, которую занимал в шеренге, а также какой номер он получил при расчёте. Помогите Васе понять, сколько натуральных чисел \(k\) подходят под данные ограничения.

Обратите внимание, что не существует расчёта для \(k = 1\).

Формат входных данных
Первая строка содержит одно целое число \(n\) (\(2 \leq n \leq 10^9\)) — позиция Васи в ряду в нумерации, начинающейся с \(1\).

Вторая строка содержит одно целое число \(x\) (\(1 \leq x < n\)) — номер, который Вася получил при расчёте.

Формат выходных данных
Выведите единственное целое число — количество различных \(k > 1\), которые подходят под данные ограничения.

Можно доказать, что при данных ограничениях ответ является конечным.

Примечание
В первом примере подходят \(k\) равные \(2, 3, 5, 6\).

Пример расчёта для этих \(k\):