Динамическое программирование

Однокопеечные монетки разложены в стопки (в стопках может быть различное количество монет), а стопки поставлены на столе в ряд слева направо. Двое противников по очереди делают ходы. Ход состоит в том, что один из игроков берет слева несколько стопок подряд, не меньше одной, но и не больше, чем перед этим взял его соперник. Первый игрок своим первым ходом берет не более K стопок. Игра заканчивается, когда стопок не остается. Требуется найти максимальное число монет, которое может получить первый участник после окончания игры, если второй игрок тоже старается ходить так, чтобы получить как можно больше монет.

Входные данные
В первой строке находится сначала число стопок N, за ним идут N чисел, задающих количество монет в стопках слева направо, а затем число K. Все числа в строке разделены пробелами.

Ограничения: 1 <= N <= 180, 1 <= K <= 80, количество монет в стопке - не менее 1 и не более 20 000.

Выходные данные
Вывести одно число - максимальное количество монет, которое заведомо может получить первый игрок, как бы ни играл второй.

Алиса и Громозека играют в фишки по следюущим правилам. Громозека загадывает определенное число, а Алиса должна использовать свои фишки, чтобы составить сумму, равную этому числу. У Алисы есть фишки, на каждой из которых записано определенное число. Алиса имеет неограниченный запас фишек с каждым числом. Если Алиса сможет составить нужную сумму, используя свои фишки, она победит.
Ваша задача - определить, сможет ли Алиса победить Громозеку и если да, то сколько различных комбинаций у нее есть для достижения победы. Если Алиса не сможет победить Громозеку, то вы должны вывести число 0.

Входные данные
Программа получает в первой строке два числа: n - количество различных чисел, которые записаны на фишках, num - число, которое загадал Громозека. Во второй строке записаны n различных чисел ci - числа, каждое из которых может быть записано на фишке. На каждой фишке записано только одно число из набора чисел ci. При этом, количество фишек с числом ci не ограниченно. Все фишки с одинаковым числом, считаются одинаковыми. Другими словами, комбинация фишек 2+1 и 1+2 считается одной комбинацией. 

Ограничения

• 1 <= n <= 300
• 1 <= ci <= 5000
• Все значения ci уникальны.
• 0 <= num <= 5000

Выходные данные
Выведите одно число - количество комбинаций, которым Алиса может выиграть Громозеку. Если Алиса не может выиграть, то выведите на экран 0.

Примечание
В первом примере есть 4 способа набрать сумму, равную 5:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
 

Компания BrokenTiles планирует заняться выкладыванием во дворах у состоятельных клиентов узоров из черных и белых плиток, каждая из которых имеет размер 1 х 1 метр. Известно, что дворы всех состоятельных людей имеют наиболее модную на сегодня форму прямоугольника N х M метров. Однако при составлении финансового плана у директора этой организации появилось целых две серьезных проблемы: во-первых, каждый новый клиент, очевидно, захочет, чтобы узор, выложенный у него во дворе, отличался от узоров всех остальных клиентов этой фирмы, а во-вторых, этот узор должен быть симпатичным.

Как показало исследование, узор является симпатичным, если в нем нигде не встречается квадрата 2 х 2 метра, полностью покрытого плитками одного цвета. Для составления финансового плана директору Васе необходимо узнать, сколько клиентов он сможет обслужить, прежде чем симпатичные узоры данного размера закончатся. Помогите ему!

Входные данные
Вводятся два положительных целых числа N и M (1 ≤ N · M ≤ 30).

Выходные данные
Выведите единственное число –  количество различных симпатичных узоров, которые можно выложить во дворе размера N х M. Узоры, получающиеся друг из друга сдвигом, поворотом или отражением, считаются различными.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	1 2	4
2	2 3	50

В тридесятом государстве есть N деревень. Некоторые пары деревень соединены дорогами. В целях экономии, “лишних” дорог нет, т.е. из любой деревни в любую можно добраться по дорогам единственным образом.
Новейшие исследования показали, что тридесятое государство находится в сейсмически опасной зоне. Поэтому глава государства захотел узнать, какой именно ущерб может принести его державе землетрясение. А именно, он хочет узнать, какое минимальное число дорог должно быть разрушено, чтобы образовалась изолированная от остальных группа ровно из P деревень такая, что из любой деревни из этой группы до любой другой деревни из этой группы по-прежнему можно будет добраться по неразрушенным дорогам (группа изолирована от остальных, если никакая неразрушенная дорога не соединяет деревню из этой группы с деревней не из этой группы).
Вы должны написать программу, помогающую ему в этом.

Формат входных данных
Первая строка входного файла содержит два числа: N и P (1 ≤ P ≤ N ≤ 150). Все остальные строки содержат описания дорог, по одному на строке: описание дороги состоит из двух номеров деревень (от 1 до N), которые эта дорога соединяет. Все числа во входном файле разделены пробелами и/или переводами строки.

Формат выходных данных
В выходной файл выведите единственное число — искомое количество дорог.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснение
1	3 2 1 2 3 2	1
2	11 6 1 2 1 3 1 4 1 5 2 6 2 7 2 8 4 9 4 10 4 11	2	группа деревень (1, 2, 3, 6, 7, 8) окажется изолированной от остальных, если разрушить дороги 1–4 и 1–5.

После побега Колобка Дед и Баба решили построить забор вокруг своего дома, чтобы не допустить повторения истории.

Забор представляет собой многоугольник ненулевой площади, сторонами которого являются доски. Пилить или ломать доски нельзя. Например, из трех досок с длинами 10, 11 и 12 можно построить забор, а из четырех досок с длинами 100, 1, 2 и 3 — нельзя.

У Деда нашлось целых n досок, поэтому они с Бабой задались вопросом: а сколько различных способов выбрать несколько досок из имеющихся, чтобы из них затем можно было построить забор? Способы считаются различными, если существует доска, которая используется в одном из них, но не используется в другом.

Пожилым людям надо помогать, так что вам не составит труда решить для них эту задачу! Количество способов может быть довольно большим, поэтому выведите остаток от деления этого количества на число 10⁹ + 7.

Формат входного файла
В первой строке входного файла находится одно натуральное число n (1 ≤ n ≤ 4000) — количе- ство досок. Во второй строке дано n чисел li (1 ≤ l_i ≤ 4000) — длины досок.

Формат выходного файла
В выходной файл выведите одно число — количество способов выбрать доски для постройки забора, взятое по модулю 10⁹ + 7.
 

Ввод	Вывод
3 10 11 12	1
4 100 1 2 3	0
4 5 5 5 5	5

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	????(?	2

Не так давно в городе будущего Иннополис достроили первый театр. После тяжелой рабочей недели студенты университета решили сходить в театр. Утром они приехали к открытию кассы театра, чтобы успеть купить билеты. Билет в театр стоит 100 рублей.

Оказалось, что у каждой девочки есть ровно одна банкнота номиналом 100 рублей, а у каждого мальчика — номиналом 1000 рублей. До ребят еще никто не успел купить билет, поэтому касса пуста. Это значит, что кассир выдает сдачу только теми банкнотами, которые получил от других ребят, стоявших раньше в очереди. Кассир обслуживает всех по очереди и не начинает обслуживать следующего человека, если еще не продал билет или не выдал требуемую сдачу предыдущему.

Ребята начали выстраиваться в очередь таким образом, чтобы каждый мог купить билет. Пока они думали, как создать такую очередь, кассир задался вопросом, а сколько всего существует спосо- бов расставить девочек и мальчиков так, чтобы каждый смог купить билет. Помогите ему ответить на этот вопрос.

Способы считаются различными, если существует такое место в очереди, что в одном из них на этом месте стоит девочка, а в другом — мальчик.

Формат входных данных
В первой строке задано два целых неотрицательных числа n и m, где n — количество девочек, m — количество мальчиков (1<= n + m < 10⁴).

Формат выходных данных
Выведите остаток от деления числа способов расставить студентов в очередь, чтобы все смогли купить билет, на 10⁹ + 7.
 

Ввод	Вывод
18 2	10
8 1	0
12 1	4

Сразу же после заселения в новый дом в Простоквашино кот Матроскин, Шарик и дядя Фёдор затеяли ремонт. Непосредственно перед его началом они обнаружили, что в доме отсутствует кла- довка для стройматериалов, и наспех пристроили её к дому. Как только вспомогательное строение было готово, встал вопрос о необходимости провести туда электричество и повесить лампочку.

Обсудив вопросы электрификации новых помещений с почтальоном Печкиным, наши герои узна- ли много полезной информации. Чтобы посетители не мучились с выбором, в деревенском магазине продаётся только один вид лампочек, зато в неограниченных количествах. Стоит одна лампочка ни дорого, ни дёшево, а ровно C рублей. Правда, лампочки в магазине не самые качественные, и вклю- чить каждую из них можно только K раз, а на K + 1 включение она перегорает. Недостаток этот компенсируется тем, что во включенном состоянии лампочка перегореть не может. К сожалению, электроэнергия в Простоквашино недешевая, и каждая минута работы лампочки обойдется дяде Фёдору и его друзьям в D рублей.

Узнав всё это, экономный Матроскин составил поминутный график из N предполагаемых посе- щений кладовки. Каждый визит в новое помещение задаётся моментом входа ai и моментом выхода bi . Таким образом, i-й визит продолжается ровно b_i − a_i минут.

Разумеется, во время посещения свет в кладовке должен быть включён. Если в начале очередного визита лампочка не горит, то посетитель сразу её включает, а вот уходя он может как выключить свет, так и оставить его включенным. Если во время очередного включения лампочка перегорает, то её приходится немедленно заменить. Теперь Матроскина интересует минимальное количество рублей, которое придётся потратить, чтобы выполнить все запланированные визиты в кладовку. Изначально в помещении уже висит новая лампочка в выключенном состоянии.

Формат входных данных
В первой строке входных данных записаны четыре целых числа N, K, C, D — количество пла- нируемых посещений кладовки, количество успешных включений для одной лампочки, стоимость покупки лампочки и стоимость минуты работы лампочки соответственно (1 <= N, K <= 200 000, 1 <= C, D <= 10⁹ ). В следующих N строках даны по два целых положительных числа ai и bi , описывающих пред- полагаемые визиты в кладовку (1 <= a_i < b_i <= 10⁹ ). Посещения не пересекаются по времени и упорядочены, то есть b_i < a_i+1.

Формат выходных данных
Выведите одно целое число — минимальное количество рублей, которое придётся потратить жителям дома, чтобы выполнить все запланированные визиты в кладовку при свете.
 

Ввод	Вывод
1 2 5 6 3 5	12
3 1 15 10 1 3 4 5 30 35	105

Замечание
Замечание В первом примере достаточно заплатить только за электроэнергию: лампочка должна быть включена на третьей минуте и выключена на пятой, стало быть, суммарные затраты составляют (5 − 3) × 6 = 12.
Во втором примере выгодно не выключать лампочку между первым и вторым посетителем, а для третьего использовать уже новую лампочку

В Простоквашино построили ледяную горку. Она состоит из N ступенек. На каждой ступеньке написано число — сколько секунд нужно отдохнуть, если встать на неё. Дядя Фёдор стартует перед первой ступенькой и может прыгать на 1 или 2 ступеньки вперёд. Ему нужно добраться до вершины (встать на последнюю ступеньку), потратив минимум времени на отдых.

Входные данные: В первой строке число N (1 ≤ N ≤ 10). Во второй строке N целых чисел от 0 до 100 — время отдыха на каждой ступеньке.

Выходные данные: Минимальное суммарное время отдыха.

В деревне Летовецк, где живут мудрые старцы и их ученики, существует древний банк, который хранит богатства в виде ле́токоинов — особых монет, обладающих магической силой. Однако банк установил строгие правила: чтобы снять деньги, нужно использовать только определённые суммы за одну операцию:

• за одну операцию можно снять только 1 ле́токоин,

• за одну операцию можно снять сумму 6^x, где x  - любое натуральное число (можно снять сумму равную 6, 36, 216, и т.д.),

• за одну операцию можно снять сумму 9^x, где x  - любое натуральное число  (можно снять сумму равную 9, 81, 729, ...).

Старец Летовец спросил своих учеников: за какое минимальное количество операций вы сможете снять ровно N ле́токоинов?

Примечание: невозможно повторно вносить снятые деньги в банк!

Формат входных данных
На вход подается целое число N (\(1<=N<=100000\)).

Формат выходных данных
Выведите ответ на задачу.

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснения
1	127	4	При снятии 1 + 9 + 36 + 81 получится снять 127 летокоинов за 4 операции.
2	3	3	1+1+1 = 3, всего 3 операции
3	44852	16

 

Напомним главное правило написания личных олимпиад: по каждой задаче нужно набрать баллы! Нельзя уйти с контеста с нулем по задаче.

Промоделируем тур олимпиады. Пусть на туре предложено \(n\) задач, \(i\)-я задача состоит из \(k_i\) подзадач, \(j\)-я подзадача \(i\)-й задачи приносит \(c_{i, j}\) баллов. Зависимостей между подзадачами нет, поэтому можно в каждой задаче выбрать любое множество подзадач и его решить. При этом нельзя выбрать пустое множество, ведь тогда по задаче будет \(0\) баллов, а это противоречит главному правилу написания личных олимпиад.

Проверьте, можно ли, придерживаясь главного правила личных олимпиад, набрать на туре ровно \(s\) баллов.

Первая строка содержит два целых числа \(n\), \(s\) (\(1 \le n \le 100\,000\), \(1 \le s \le 100\,000\)) — количество задач в контесте и необходимую сумму баллов, соответственно. Далее следуют описания задач. Описание каждой задачи состоит из двух строк.

Формат входных данных
Первая строка описания \(i\)-й задачи содержит одно целое число \(k_i\) (\(1 \le k_i \le 100\,000\)) — количество подзадач в \(i\)-й задаче.

Вторая строка описания \(i\)-й задачи содержит \(k_i\) целых чисел \(c_{i, 1}, c_{i, 2}, \ldots, c_{i, k_i}\) (\(1 \le c_{i, j} \le 100\,000\)) — баллы за подзадачи.

Гарантируется, что сумма \(k_1+k_2+\ldots+k_n\) по всем задачам не превосходит \(100\,000\).

Гарантируется, что произведение \((k_1+k_2+\ldots+k_n)\cdot s\) не превосходит \(10^7\).

Формат выходных данных
Если решения не существует, выведите <<No>>.

В противном случае в первой строке выведите <<Yes>>. Далее необходимо вывести описание решенных подзадач для каждой задачи.

Описание \(i\)-й задачи начинается с целого числа \(m_i\) (\(1 \le m_i \le k_i\)) — количества решенных подзадач \(i\)-й задачи. Далее следуют \(m_i\) различных целых чисел \(p_{i, 1}, p_{i, 2}, \ldots, p_{i, m_i}\) (\(1 \le p_{i, j} \le k_i\)) — номера решенных подзадач в \(i\)-й задаче.

Если существует несколько подходящих способов набрать \(s\) баллов, выведите любое из них.

Назовём число простоватым, если произведение цифр этого числа в десятичной системе счисления является простым числом. Например, простоватым является число 12, а число 29 не является.

Требуется посчитать количество простоватых чисел от \(l\) до \(r\).

Напомним, что целое число \(p > 1\) называется простым, если оно имеет ровно два делителя: \(1\) и \(p\).

Формат входных данных
Первая строка содержит одно целое число \(l\) (\(1 \le l \le 10^{100\,000}\)).

Вторая строка содержит одно целое число \(r\) (\(l \le r \le 10^{100\,000}\)).

Обратите внимание, что числа во вводе не помещаются в стандартные типы данных для целых чисел в большинстве языков программирования, в частности, в C++. Необходимо каким-либо специальным образом считывать входные данные, например, в виде строки.

Формат выходных данных
Выведите количество простоватых чисел от \(l\) до \(r\).

Старец Летовец, известный своей любовью к математике, решил проверить смекалку своих учеников. Он дал им n конфет и сказал: "Разложите эти конфеты на три кучки так, чтобы в каждой кучке было не больше, чем limit. И определите сколькими различными способами это можно сделать?"

Напишите программу, которая поможет ученикам получить ответ на вопрос Летовца.

Формат входных данных
В первой строке входных данных записано натуральное число n, во второй - натуральное число limit.

Ограничения

• 1 <= n <= 1000
• 1 <= limit <= 1000

Формат выходных данных
Выведите одно число - количество способов


Примечание
В первом тестовом примере есть 3 способа разложить 5 конфет таким образом, чтобы в каждой кучке было не больше 2 конфет: (1, 2, 2), (2, 1, 2) и (2, 2, 1).
Во втором тестовом примере существует 10 способов распределить 3 конфеты таким образом, чтобы в каждой кучке было бы не больше 3 конфет: (0, 0, 3), (0, 1, 2), (0, 2, 1), (0, 3, 0), (1, 0, 2), (1, 1, 1), (1, 2, 0), (2, 0, 1), (2, 1, 0) и (3, 0, 0).
 

Будем назвать натуральное число интересным, если в его десятичной записи первая цифра совпадает с последней.

Дано число \(n\). Найдите количество интересных чисел, не превышающих \(n\).

Формат входных данных
На ввод подается целое число \(n\) (\(1 \le n \le 10^{18}\)).

Обратите внимание, что для считывания этого числа вам может понадобиться 64-битный тип данных (<<long long>> в C++, <<long>> в Java, <<int64>> в Паскале).

Формат выходных данных
Выведите одно целое число — количество интересных натуральных чисел, не превышающих \(n\).

На шахматной доске (8x8) стоит одна белая шашка. Сколькими способами она может пройти в дамки?

(Белая шашка ходит по диагонали. на одну клетку вверх-вправо или вверх-влево. Шашка проходит в дамки, если попадает на верхнюю горизонталь.)

Входные данные
Вводятся два числа от 1 до 8: номер столбца (считая слева) и номер строки (считая снизу), где изначально стоит шашка.

Выходные данные
Вывести одно число - количество путей в дамки.

Люди, покупающие какие-либо билеты, часто пытаются понять, на сколько счастливый билет им попался. При этом определения счастья бывают различные. В общественном транспорте Кирова для нумерации билетов используются числа от 1 до n. Витя считает билет счастливым, если его номер делится на сумму его цифр. Помогите Вите определить количество счастливых билетов.

Входные данные
На вход подается число n (1 ≤ n ≤ 10¹²).

Выходные данные
Выведите количество счастливых билетов в диапазоне от 1 до n.