графы Автоматизированная система генерации тестов

Медицинский факультет Берляндского Государственного Университета недавно завершил свою приемную кампанию. Как обычно, порядка $80\%$ абитуриентов — девушки, и большинство из них планируют жить в общежитии в ближайшие $4$ (в лучшем случае) года.

Общежитие состоит из $n$ комнат и единственной мыши! Девушки решили установить ловушки для мышей в некоторых комнатах, чтобы избавиться от страшного монстра. Установка ловушки в $i$-й комнате стоит $c_i$ бурлей. Комнаты пронумерованы от $1$ до $n$.

Мышь не сидит все время на месте, она постоянно бегает. Если она находилась в комнате $i$ в секунду $t$, то к секунде $t + 1$ она перебежит в комнату $a_i$, не посещая больше никаких других комнат ($i = a_i$ значит, что мышь не покинет комнату $i$). История начинается с секунды $0$. Если мышь находится в комнате с ловушкой, то она оказывается поймана в эту ловушку.

И все было бы довольно просто, если бы девушки знали, где мышь находится. К сожалению, это не так, мышь может быть в любой комнате от $1$ до $n$ в секунду $0$.

Какое минимальное количество бурлей девушки должны потратить на установку ловушек, чтобы гарантировать, что мышь будет поймана вне зависимости от комнаты, в которой она начинала.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество комнат в общежитии.

Во второй строке записаны $n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($1 \le c_i \le 10^4$) — $c_i$ — стоимость установки ловушки в комнату $i$.

В третьей строке записаны $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$) — $a_i$ — комната, в которую перебежит мышь к следующей секунде, из комнаты $i$.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное количество бурлей, которое девушки должны потратить на установку ловушек, чтобы гарантировать, что мышь будет поймана вне зависимости от комнаты, в которой она начинала.

Примечание

В первом примере достаточно установить ловушку в комнаты $1$ и $4$. Если мышь начнет в комнате $1$, то будет поймана сразу. Если мышь начнет в любой другой комнате, то она прибежит в комнату $4$ рано или поздно.

Во втором примере достаточно установить ловушку в комнату $2$. Если мышь начнет в комнате $2$, то будет поймана сразу. Если мышь начнет в любой другой комнате, то она прибежит в комнату $2$ в секунду $1$.

Пути мыши, начиная с каждой комнаты, для третьего примера:

$1 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \rightarrow \dots$;
$2 \rightarrow 2 \rightarrow \dots$;
$3 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \rightarrow \dots$;
$4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \rightarrow \dots$;
$5 \rightarrow 6 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow \dots$;
$6 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow \dots$;
$7 \rightarrow 6 \rightarrow 7 \rightarrow \dots$;

Поэтому достаточно установить ловушки в комнатах $2$ и $6$.

F. Сессия в БГУ

Бинарный поиск графы Паросочетания поиск в глубину и подобное снм *2400

Поликарп учится в Берляндском государственном университете. Совсем скоро ему предстоит сдать сессию. Он должен сдать $n$ экзаменов.

Для каждого экзамена $i$ известны два дня: $a_i$ — день основной сдачи экзамена, $b_i$ — день пересдачи ($a_i < b_i$). В один день Поликарп может сдавать не более одного экзамена. Для каждого экзамена Поликарп самостоятельно выбирает, в какой из двух дней его сдать. Необходимо сдать все $n$ экзаменов.

Поликарп хочет сдать сессию как можно быстрее. Выведите минимальный номер дня, в который Поликарп сможет сдать все $n$ экзаменов, либо выведите -1, если сдать сессию полностью невозможно.

Входные данные

В первой строке входных данных записано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10^6$) — количество экзаменов.

В следующих $n$ строках записаны по два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i < b_i \le 10^9$), где $a_i$ означает день основной сдачи $i$-го экзамена, а $b_i$ означает день пересдачи $i$-го экзамена.

Выходные данные

Если Поликарп не сможет сдать все $n$ экзаменов, выведите -1. В противном случае выведите минимальный номер дня, когда Поликарп сможет это сделать.

E. Дерево коротких расстояний

графы дп жадные алгоритмы *2100

Задано неориентированное дерево, состоящее из $n$ вершин. Неориентированное дерево — это связный граф с $n - 1$ ребром.

Ваша задача — добавить минимальное количество ребер таким образом, что длина кратчайшего пути из вершины $1$ до любой другой вершины не превышает $2$. Заметьте, что вы не можете добавлять петли и кратные ребра.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

Следующие $n - 1$ строк описывают ребра: ребро $i$ задано как пара вершин $u_i, v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$). Гарантируется, что заданный граф является деревом. Гарантируется, что среди заданных ребер петли и кратные ребра отсутствуют.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное количество ребер, которое необходимо добавить, чтобы длина кратчайшего пути из вершины $1$ до любой другой вершины не превышает $2$. Заметьте, что вы не можете добавлять петли и кратные ребра.

Примечание

Дерево, соответствующее первому тестовому примеру: $\text{[math]}$ Ответ равен $2$, вот несколько возможных ответов: $[(1, 5), (1, 6)]$, $[(1, 4), (1, 7)]$, $[(1, 6), (1, 7)]$.

Дерево, соответствующее второму тестовому примеру: $\text{[math]}$ Ответ равен $0$.

Дерево, соответствующее третьему тестовому примеру: $\text{[math]}$ Ответ равен $1$, единственный способ достичь такого ответа — добавить ребро $(1, 3)$.

B. Ктулху

...И пошел старик к синему морю; видит, на море черная буря. Стал он кликать золотую рыбку, но, увы, появился лишь Ктулху...

А на другом конце земного шара Пентагон уже вовсю собирает данные, прогнозирует поведение монстра и готовит сверхсекретное супероружие. Из-за высокой сейсмической активности и плохих погодных условий до сих пор не удалось сделать качественные фотоснимки со спутников. Результатом первичного анализа объекта оказался неориентированный граф c n вершинами и m ребрами. Теперь лучшим умам мира предстоит определить, можно ли считать этот граф Ктулху или нет.

Для простоты предположим, что Ктулху из космоса выглядит как некоторое сферическое тело, к которому прикреплены отростки-щупальца. Формально, Ктулху назовем такой неориентированный граф, который может быть представлен как набор из трех или более корневых деревьев, корни которых соединены простым циклом.

Гарантируется, что граф не содержит кратных ребер и петель.

$\text{[math]}$

Входные данные

В первой строке даны два целых числа — количество вершин n и количество ребер m графа (1 ≤ n ≤ 100, 0 ≤ m ≤ $\text{[math]}$ ).

В каждой из последующих m строк записаны пары целых чисел x и y, которые обозначают существование ребра между вершинами x и y в графе (1 ≤ x, y ≤ n, x ≠ y). Гарантируется, что граф не содержит кратных ребер и петель.

Выходные данные

Выведите «NO», если граф не является Ктулху, и «FHTAGN!» в противном случае.

Примечание

Простым циклом назовем множество из v вершин, которые можно пронумеровать так, что будут существовать ребра только между вершинами с номерами 1 и 2, 2 и 3, ..., v - 1 и v, v и 1.

Дерево — связный неориентированный граф из n вершин и n - 1 ребер (n > 0).

Корневое дерево — дерево, в котором выделена одна вершина, корень.

F. Знакомые операции

графы математика Перебор *2800

Даны два целых положительных числа $a$ и $b$. С ними можно проводить следующие операции:

умножить одно из чисел на некоторое простое число $p$;
разделить одно из чисел на некоторое простое $p$, на которое оно делится.

Какое наименьшее число операций надо сделать, чтобы получились два числа, у которых совпадает число делителей? Вам дано несколько таких пар чисел, вам нужно вычислить ответ для каждой такой пары.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^5$) — число пар чисел, для которых нужно найти ответ.

В каждой из следующих $t$ строк содержатся два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le 10^6$).

Выходные данные

Выведите $t$ строк: в $i$-й из них должен содержаться ответ для пары $a_i$, $b_i$.

Примечание

Числа с одинаковым количеством делителей, оптимальные для примера:

$(27, 10)$, 4 делителя
$(100, 1156)$, 9 делителей
$(220, 140)$, 12 делителей
$(17, 19)$, 2 делителя
$(12, 18)$, 6 делителей
$(50, 32)$, 6 делителей
$(224, 1925)$, 12 делителей

Обратите внимание, что может быть несколько оптимальных пар чисел.

A. Побег короля

графы поиск в глубину и подобное реализация *1000

Алиса и Боб играют в шахматы на большом поле с размерами $n \times n$. У Алисы осталась только одна фигура — ферзь, который находится в позиции $(a_x, a_y)$, а у Боба остался только король, расположенный на $(b_x, b_y)$. Алиса считает, что поскольку её ферзь доминирует на поле, то победа уже её.

Но Боб придумал хитрый план, который принесет ему победу, для этого ему нужно передвинуть его короля на позицию $(c_x, c_y)$. Поскольку Алису отвлекает её чувство превосходства, она больше не передвигает её фигуру, поэтому только Боб может передвигать его фигуру.

Боб победит, если он может передвинуть его короля с позиции $(b_x, b_y)$ на $(c_x, c_y)$, не попадая под шах. Не забудьте, что король может передвигаться только в соседние $8$ ячеек. Король находится под шахом, если находится в той же строке, столбце или диагонали, что и ферзь.

Определите, сможет ли Боб победить или нет.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($3 \leq n \leq 1000$) — размеры шахматного поля.

Вторая строка содержит два целых числа $a_x$ и $a_y$ ($1 \leq a_x, a_y \leq n$) — координаты ферзя Алисы.

Третья строка содержит два целых числа $b_x$ и $b_y$ ($1 \leq b_x, b_y \leq n$) — координаты короля Боба.

Четвёртая строка содержит два целых числа $c_x$ и $c_y$ ($1 \leq c_x, c_y \leq n$) — координаты позиции, куда Боб хочет передвинуть его короля.

Гарантируется, что король Боба не находится под шахом и то, что конечная точка тоже не под шахом.

Кроме того, король не находится на том же квадрате, что и ферзь (то есть $a_x \neq b_x$ или $a_y \neq b_y$), и конечная точка не совпадает ни с позицией ферзя (то есть $c_x \neq a_x$ или $c_y \neq a_y$), ни с позицией короля (то есть $c_x \neq b_x$ или $c_y \neq b_y$).

Выходные данные

Выведите «YES» (без кавычек), если Боб может попасть из позиции $(b_x, b_y)$ в $(c_x, c_y)$, не попадая под шах, иначе выведите «NO».

Вы можете выводить каждую из букв в любом регистре (строчную или заглавную).

Примечание

На приведенных ниже рисунках квадраты, контролируемые черным ферзем, отмечены красным цветом, а квадрат, куда Боб хочет передвинуть короля, обозначен синим.

В первом примере король может достичь цели, например, через квадраты $(2, 3)$ и $(3, 2)$. Обратите внимание, что прямой маршрут через $(2, 2)$ попадает под шах.

$\text{[math]}$

Во втором примере ферзь контролирует четвёртую строку, и король не может её пересечь.

$\text{[math]}$

В третьем примере ферзь контролирует третий столбец.

$\text{[math]}$

E. Спрятанный двудольный граф

Бинарный поиск графы интерактив Конструктив поиск в глубину и подобное *2800

У Боба есть простой неориентированный связный граф (без кратных ребер и петель). Он хочет узнать, является ли его граф двудольным (то есть вы можете покрасить все вершины графа в два цвета, чтобы не было ребра, соединяющего две вершины одного цвета) или нет. Поскольку он не очень хорошо разбирается в программировании, он попросил Алису о помощи. Он не хочет показывать свой граф Алисе, но он согласился, что Алиса может задавать ему вопросы о графе.

Единственный вопрос, который может задать Алиса, заключается в следующем: она дает Бобу $s$ — подмножество вершин исходного графа, а он отвечает ей, сколько есть ребер в графе, которые соединяют две вершины в $s$. Поскольку он не хочет, чтобы Алиса задавала слишком много вопросов, он разрешает ей задать не более $20000$ вопросов. Кроме того, он подозревает, что Алиса может вводить ложные сообщения в их канал связи, поэтому, когда Алиса наконец сообщит ему, является ли граф двудольным или нет, ей также необходимо предоставить доказательство — или само разделение, или цикл нечетной длины.

Ваша задача — помочь Алисе задавать запросы и проверить, является ли граф двудольным.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 600$) — количество вершин в графе Боба.

Протокол взаимодействия

Сначала считайте одно целое число $n$ ($1\leq n\leq 600$) — количество вершин в графе Боба.

Чтобы сделать запрос, выведите две строки. Первая в формате «? k» ($1 \leq k \leq n$), где $k$ — количество вершин в запросе. Вторая строка должна содержать $k$ различных чисел $s_1, s_2, \dots, s_k$ ($1 \leq s_i \leq n$) — вершины в запросе.

После каждого запроса нужно считать одно целое число $m$ ($0 \leq m \leq \frac{n(n-1)}{2}$) — количество ребер, которые соединяют вершины в множестве $\{s_i\}$.

Вы не можете задать более $20000$ запросов.

Если $m = -1$, то это значит, что вы задали больше вопросов, чем можно, или то, что вы вывели некорректный запрос. Ваша программа должна немедленно завершиться (например, вызывая функцию exit(0)). Вы получите вердикт Wrong Answer; это значит, что вы задали слишком много вопросов, или то, что вы задали некорректный запрос. Если вы это проигнорируете, вы можете получить любой другой вердикт, так как вы будете продолжать считывать из закрытого потока.

После вывода запроса не забудьте вывести перевод строки и сбросить буфер вывода. В противном случае вы получите вердикт Решение «зависло». Для сброса буфера используйте:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Когда вы уже знаете ответ, вам нужно его вывести.

Формат вывода зависит от того, является ли граф двудольным, или нет.

Если граф двудольный, выведите две строки. Первая строка должна содержать букву «Y» (которая значит «YES»), после нее должен идти пробел и одно целое число $s$ ($0 \leq s \leq n$) — количество вершин в первой доли графа. Вторая строка должна содержать $s$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_s$ — вершины, принадлежащие первой доли. Все $a_i$ должны быть различны, и все ребра в главном графе должны иметь только один конец в $\{a_i\}$.

Если граф не является двудольным, выведите две строки. Первая строка должна содержать букву «N» (которая значит «NO»), после нее должен идти пробел и одно целое число $l$ ($3 \leq l \leq n$) — длина простого цикла нечетной длины. Вторая строка должна содержать $l$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_l$ — вершины цикла. Должно выполнятся условие, что для любого $1 \leq i \leq l$ должно быть ребро $\{c_i, c_{(i \mod l)+1}\}$ в главной графе, и все $c_i$ должны быть различны. Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Входные данные для взломов

Для взломов вам нужно использовать специальный формат.

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m~(1 \leq n \leq 600, 0 \leq m \leq \frac{n(n-1)}{2})$ — количество вершин и ребер в графе.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u_i$ и $v_i~(1 \leq u_i, v_i \leq n)$, которые значат, что существует ребро между вершинами $u_i$ и $v_i$. Не должно быть кратных ребер и петель, также граф должен быть связным.

Например, чтобы получить первый пример, нужно ввести такой тест:

Примечание

В первом примере Алиса узнает, что в графе есть $4$ ребра. В следующих трех запросах она узнает, что вершина $1$ имеет ребра с двумя вершинами: $3$ и $4$. Затем она узнает, что, хотя вершина $2$ имеет ребро с $4$, вершина $3$ не имеет ребро с $4$. Остается только одно возможное местоположение для оставшегося ребра — это $(2, 3)$. Это значит, что граф представляет собой цикл из четырех вершин, причем $(1, 2)$ является первой долей, а $(3, 4)$ второй. Здесь также можно вывести «3 4» как ответ.

Во втором примере мы также имеем граф из четырех вершин и четырех ребер. Во втором запросе Алиса узнает, что между вершинами $(1, 2, 4)$ есть три ребра. Единственный способ, при котором такое может произойти, это тогда, когда они образуют треугольник. Поскольку треугольник не является двудольным, Алиса может использовать это как доказательство того, что граф не является двудольным. Заметьте, что она не узнала, где находится четвертое ребро, но она в любом случае может уже ответить Бобу.

D. Корректный BFS?

графы Деревья кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1700

Алгоритм BFS определяется следующим образом.

Алгоритм выполняется над некоторым неориентированным графом, вершины которого пронумерованы от $1$ до $n$. Инициализируем $q$ как новую очередь, содержащую только вершину $1$, также пометим вершину $1$ как использованную.
Извлечем вершину $v$ из начала очереди $q$.
Напечатаем номер вершины $v$.
Переберем в произвольном порядке все вершины $u$ такие, что $u$ является соседом $v$ и ещё не помечена как использованная. Пометим вершину $u$ как использованную и добавим в конец очереди $q$.
Если очередь не является пустой, продолжим выполнение с шага 2.
В противном случае закончим.

Так как порядок обхода соседей в каждой вершине не является фиксированным, то для данного графа BFS может вывести несколько различных последовательностей.

В данной задаче вам нужно проверить, может ли данная последовательность соответствовать какому-то запуску BFS на заданном дереве, начиная с вершины $1$. Деревом называется неориентированный граф, в котором между каждой парой вершин есть ровно один простой путь.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$), обозначающее количество вершин в дереве.

Следующие $n - 1$ строк задают рёбра дерева. Каждая из них содержит два целых числа $x$ и $y$ ($1 \le x, y \le n$) — концы соответствующего ребра дерева. Гарантируется, что заданный граф является деревом.

Последняя строка содержит $n$ различных целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$) — последовательность, которую вам нужно проверить.

Выходные данные

Выведите «Yes» (без кавычек), если порядок вершин соответствует какому-то корректному BFS на данном дереве, и «No» (без кавычек) иначе.

Вы можете выводить каждую из букв в любом регистре (строчную или заглавную).

Примечание

Оба теста из примеров содержат одинаковое дерево.

Для этого дерева существует два возможных порядка вершин, соответствующих какому-то запуску BFS.

$1, 2, 3, 4$,
$1, 3, 2, 4$.

Порядок вершин $1, 2, 4, 3$ не может получится в результате BFS.

E. Поездка

графы *2200

Есть $n$ человек изначально не знакомых друг с другом. Каждое утро двое из них, которые не были друзьями до этого, становятся друзьями.

Мы хотим запланировать поездку на каждый вечер в течение $m$ дней. Для каждой поездки нужно выбрать группу людей, которые на неё поедут. Для каждого человека должно быть верно одно из двух:

или этот человек не едет в поездку,
или хотя бы $k$ его друзей тоже едут в эту поездку.

Заметим, что дружба не является транзитивной. Если $a$ и $b$ являются друзьями, и $b$ и $c$ являются друзьями, то из этого не обязательно следует, что $a$ и $c$ являются друзьями.

Для каждого дня найдите размер максимальной группы людей, которая может поехать в поездку в этот день.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5, 1 \leq m \leq 2 \cdot 10^5$, $1 \le k < n$) — количество людей, количество дней и минимальное количество друзей в поездке, которое требуется каждому человеку в поездке.

Строка $i$ ($1 \leq i \leq m$) из следующих $m$ строк содержит два целых числа $x$ и $y$ ($1\leq x, y\leq n$, $x\ne y$), означающие, что $x$ и $y$ становятся друзьями утром дня $i$. Гарантируется, что $x$ и $y$ не были друзьями до этого.

Выходные данные

Выведите ровно $m$ строк, где $i$-я из них ($1\leq i\leq m$) содержит размер максимальной группы людей, которая может поехать в поездку вечером дня $i$.

Примечание

В первом примере:

группа $1,2,3$ может поехать в поездку в дни $3$ и $4$.

Во втором примере:

группа $2,4,5$ может поехать в поездку в дни $4$ и $5$,
группа $1,2,4,5$ может поехать в поездку в дни $6$ and $7$,
группа $1,2,3,4,5$ может поехать в поездку в день $8$.

В третьем примере:

группа $1,2,5$ может поехать в поездку в день $5$,
группа $1,2,3,5$ может поехать в поездку в дни $6$ и $7$.

E. Наибольшее паросочетание

битмаски графы дп Перебор поиск в глубину и подобное *2400

Вам даны $n$ блоков, каждый из которых выглядит как [color$_1$|value|color$_2$], при чём блок можно также перевернуть, чтобы получить [color$_2$|value|color$_1$].

Назовём последовательность блоков корректной, если касающиеся концы блоков совпадают по цветам. Например, последовательность из трёх блоков A, B и C является корректной, если левый цвет B совпадает с правым цветом A и правый цвет B совпадает с левым цветом C.

Ценность последовательности равна сумме ценностей (value) отдельных блоков в ней.

Найдите наибольшую возможную ценность корректной последовательности блоков, которую можно составить из какого-то подмножества данных блоков. Блоки в этом подмножестве можно произвольным образом перемещать и переворачивать. Каждый блок можно использовать не более одного раза в последовательности.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 100$).

Каждая из следующих $n$ строчек описывает очередной блок и состоит из трёх целых чисел $\mathrm{color}_{1,i}$, $\mathrm{value}_i$ и $\mathrm{color}_{2,i}$ ($1 \le \mathrm{color}_{1,i}, \mathrm{color}_{2,i} \le 4$, $1 \le \mathrm{value}_i \le 100\,000$).

Выходные данные

Выведите ровно одно целое число — максимальная суммарная ценность блоков, образующих корректную последовательность.

Примечание

В первом примере возможно составить корректную подпоследовательность из всех блоков.

Один из корректных способов следующий:

[4|2|1] [1|32|2] [2|8|3] [3|16|3] [3|4|4] [4|1|2]

Первый блок из входных данных ([2|1|4] $\to$ [4|1|2]) и второй ([1|2|4] $\to$ [4|2|1]) перевёрнуты.

Во втором примере один из оптимальных ответов состоит только из первых трёх блоков упорядоченных следующим образом (второй или третий блок из входных данных перевёрнут):

[2|100000|1] [1|100000|1] [1|100000|2]

В третьем примере нельзя построить корректную последовательность содержающую два или более блока, поэтому оптимальный ответ состоит из одного первого блока, так как он имеет наибольшую ценность.

C. Безопасность сети

графы математика поиск в глубину и подобное снм сортировки *2200

К компьютерной сети Метрополии подключены $n$ серверов, каждому из которых назначен некоторый ключ шифрования, выбранный в диапазоне от $0$ до $2^k - 1$ включительно. Обозначим через $c_i$ ключ шифрования, назначенный $i$-му серверу. Также некоторые $m$ пар серверов напрямую соединены каналом передачи данных. Из-за особенностей используемых алгоритмов шифрования канал передачи данных безопасен, только если два соединённых этим каналом сервера используют различные ключи шифрования. Изначально ключи шифрования выбраны таким образом, что все каналы передачи данных безопасны.

Вам стало известно, что по интернету активно распространяется новый вирус, который при заражении им какого-либо сервера Метрополии изменяет его ключ шифрования. А именно, в теле вируса хранится некоторое неизвестное вам число $x$, выбранное в том же диапазоне, и если вирусом заразится сервер $i$, то его ключ шифрования изменится с $c_i$ на $c_i \oplus x$, где $\oplus$ обозначает операцию побитового исключающего ИЛИ.

К сожалению, вы не знаете ни число $x$, ни какие именно серверы Метрополии будут заражены опасным вирусом, поэтому решили посчитать количество вариантов, при которых безопасность каналов нарушена не будет. Формально, вам требуется найти количество пар $(A, x)$, где $A$ — некоторое подмножество серверов (возможно пустое), а $x$ — возможное значение внутреннего параметра вируса в диапазоне от $0$ до $2^k - 1$ включительно, таких что если вирус с параметром $x$ заразит компьютеры из подмножества $A$, а остальные компьютеры заражены не будут, то все каналы передачи данных останутся безопасными. Поскольку эта величина может быть достаточно большой, найдите остаток от её деления на $10^9 + 7$.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($1 \leq n \leq 500\,000$, $0 \leq m \leq \min(\frac{n(n - 1)}{2}, 500\,000)$, $0 \leq k \leq 60$) — количество серверов, количество пар серверов, непосредственно соединённых каналом передачи данных, и параметр $k$, определяющий диапазон возможных значений ключа шифрования.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $c_i$ ($0 \leq c_i \leq 2^k - 1$), $i$-е из которых соответствует ключу шифрования, используемому на $i$-м сервере.

Следующие $m$ строк содержат по два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$, $u_i \ne v_i$), означающих, что эти два сервера соединены каналом передачи данных. Гарантируется, что любая пара серверов встречается в этом списке не более одного раза.

Выходные данные

В единственной строке выходного файла выведите одно число — количество удачных исходов заражения какого-то подмножества компьютеров вирусом по модулю $10^9 + 7$.

Примечание

Рассмотрим первый пример.

Возможные значения числа $x$, содержащегося в вирусе, равны $0$, $1$, $2$ и $3$.

Для значений $0$, $2$ и $3$ вирус может заразить любое подмножество серверов, что дает нам $16$ исходов для каждого значения. Если же вирус содержит число $1$, то он может заразить либо все серверы, либо ни одного. Таким образом, количество удачных исходов равно $16 + 2 + 16 + 16 = 50$.

E. Восстановление дерева

графы жадные алгоритмы Конструктив Структуры данных *1900

Монокарп нарисовал дерево (неориентированный связный ацикличный граф) и пронумеровал его вершины. Все номера вершин — различные числа от $1$ до $n$. Для каждого ребра $e$ этого дерева он записал два числа: максимальные номера вершин в каждой компоненте, на которые распалось бы дерево, если бы он удалил ребро $e$ (и только его).

Монокарп дал вам список из $n - 1$ пар чисел. По этому списку он просит вас определить, существует ли дерево, для которого мог быть записан именно такой список пар, и если оно существует, предоставить пример.

Входные данные

В первой строке содержится одно число $n$ ($2 \le n \le 1\,000$) — количество вершин в дереве.

Каждая из следующих $n-1$ строк содержит два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i < b_i \le n$) — максимумы в тех компонентах, на которые распадается дерево при удалении $i$-го ребра.

Выходные данные

Если дерево, для которого мог быть получен данный список пар, не существует, выведите «NO» (без кавычек).

Иначе в первой строке выведите «YES» (без кавычек), после чего выведите $n - 1$ строку с описанием рёбер. В каждой из этих $n - 1$ строк должны быть записаны два числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$) — номера вершин, соединяемых очередным ребром.

Обратите внимание: несмотря на то, что рёбра пронумерованы, ваш ответ будет засчитан как правильный, если по вашему дереву будет получен список из тех же пар чисел, расположенных в другом порядке. Это значит, что вы можете выводить ребра в любом порядке.

Примечание

Одно из подходящих деревьев для первого примера. Пунктирные линии показывают ребра, при удалении которых получаются соответствующие пары.

$\text{[math]}$

F. Множества листьев

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм сортировки Структуры данных *2400

Вам дано неориентированное дерево, состоящее из $n$ вершин.

Назовём вершину листом, если она соединена ровно с одной другой вершиной.

Под расстоянием между двумя вершинами будем понимать количество рёбер на кратчайшем пути между этими вершинами.

Назовем некоторое множество листьев красивым, если максимальное расстояние между любой парой листьев из этого множества не превышает $k$.

Перед вами стоит задача разделить все листья дерева на непересекающиеся красивые множества. Определите минимальное количество множеств, которые можно получить в результате описанного разделения.

Входные данные

В первой строке следуют два целых числа $n$ и $k$ ($3 \le n \le 10^6$, $1 \le k \le 10^6$) — количество вершин в дереве и максимальное расстояние между парой листьев, принадлежащих одному красивому множеству.

Каждая из следующих $n - 1$ строк содержит по два целых числа $v_i$ и $u_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$) — описание $i$-го ребра дерева.

Гарантируется, что описанные рёбра формируют дерево.

Выходные данные

Выведите минимальное количество красивых множеств в разбиении всех листьев.

Примечание

Картинка описывает разбиение дерева из первого примера.

$\text{[math]}$

A. Последний шанс

графы Деревья Паросочетания Потоки Структуры данных *2500

2969-й год. Прошло 1000 лет с момента посадки на луну. Человечество колонизировало Гиперпространство и жило в гармонии.

Жило, пока мы не поняли, что мы не одни.

Не очень далеко от Земли многочисленный космический флот инопланетян готовит атаку на Землю. Впервые за долгое время человечеству угрожает реальная опасность. Повсюду паника и кризис. Ученые со всей солнечной системы встретились и обсуждают возможный выход из ситуации. Но пока все усилия тщетны.

Последняя надежда Земли — ВЫ!

К счастью, Земля имеет мощную систему защиты, созданную специалистами из MDCS. Флот инопланетян содержит $N$ кораблей на одной линии. Система защиты состоит из трех типов вооружения:

SQL-ракеты: каждая SQL-ракета может уничтожить не более одного корабля инопланетян из заданного для каждой ракеты набора.
лучи Познания: каждому лучу Познания сопоставлен отрезок $[l,r]$, он может уничтожить не более одного корабля инопланетян из этого отрезка.
OMG-базука: каждая OMG-базука имеет ровно три цели и может уничтожить либо ровно ноль, либо ровно два корабля. Кроме того, система прицеливания является «умной», поэтому множества трех целей для любых двух OMG-базук не пересекаются (таким образом, каждый корабль находится под прицелом не более чем одной OMG-базуки).

Ваша задача — найти такой план атаки на корабли инопланетян, чтобы уничтожить максимально возможное количество кораблей. Каждый уничтоженный корабль должен быть уничтожен ровно одним оружием.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа — количество оружия $N$ $(1\leq N\leq 5000)$ и количество кораблей $M$ $(1\leq M\leq 5000)$.

Каждая из следующих $N$ строк начинается с одного целого числа, которое обозначает тип оружия (0, 1 или 2). Если тип равен 0, то это оружие — SQL-ракета, и далее эта строка содержит строго положительное число $K$ $(\sum{K} \leq 100 000)$ и массив $k_i$ $(1\leq k_i\leq M)$ из $K$ целых чисел. Если тип равен 1, то это луч Познания, а строка далее содержит целые числа $l$ и $r$ $(1\leq l\leq r\leq M)$. Если тип равен 2, то это OMG-базука, а строка далее содержит различные числа $a$, $b$ и $c$ $ (1 \leq a,b,c \leq M)$.

Выходные данные

Первая строка должна содержать максимальное количество уничтоженных кораблей $X$.

Каждая из следующих $X$ строк должна содержать два целых числа $A$ и $B$, где $A$ — номер оружия, а $B$ — номер корабля, уничтоженного оружием $A$.

Примечание

SQL-ракета может уничтожить только четвертый корабль. OMG-базука может уничтожить два из 1-го, 4-го или 5-го кораблей, а луч Познания может уничтожить любой корабль из отрезка $[1,4]$. Максимальное количество уничтоженных кораблей равно 4, один из возможных планов — SQL-ракета уничтожает 4-й корабль, OMG-базука уничтожает 1-й и 5-й корабли, а луч Познания уничтожает 2-й корабль.

C. Гиперпространственная магистраль

графы Деревья поиск в глубину и подобное *2300

В неуказанной Солнечной системе есть $N$ планет. Космическая правительственная компания недавно наняла космических подрядчиков, чтобы построить $M$ двусторонних шоссе Hyperspace™, каждое из которых соединяет пару разных планет. Основная цель, заключавшаяся в том, чтобы убедиться, что любая планета может быть достигнута из любой другой планеты, используя только шоссе Hyperspace™, была полностью выполнена. К сожалению, у многих космических подрядчиков были друзья и двоюродные братья в космическом совете директоров компании, поэтому компания решила сделать нечто большее, чем просто соединение всех планет.

Для того, чтобы оправдать траты огромных сумм космических денег на магистрали Hyperspace™, они решили ввести жесткое правило на сети Hyperspace™: для любого путешествия, которое начинается и заканчивается в одной и той же вершине, и посещает каждую планету не более одного раза, каждая пара планет на маршруте должна быть непосредственно связана с помощью шоссе Hyperspace™. Другими словами, для каждого простого цикла индуцированный подграф на множестве планет на нем является кликой.

Вы разрабатываете навигационное приложение Hyperspace™, и ключевая техническая проблема, с которой вы столкнулись — это поиск минимального количества шоссе Hyperspace™, которыми нужно воспользоваться для путешествия из планеты $A$ на планету $B$. Поскольку эта задача слишком проста для Bubble Cup, вот более сложная задача: ваша программа должна сделать это для $Q$ пар планет.

Входные данные

В первой строке входного файла записаны три целых числа $N$ ($1\leq N\leq 100\,000$), $M$ ($1\leq M\leq 500\,000$) и $Q$ ($1\leq Q\leq 200\,000$), описывающих количество планет, количество шоссе Hyperspace™, и количество запросов, соответственно.

Каждая из следующих M строк содержит описание шоссе: шоссе $i$ описывается двумя числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i < v_i \leq N$), обозначающими, что $u_i$ и $v_i$ соединены с помощью шоссе Hyperspace™. Гарантируется, что сеть планет и шоссе Hyperspace™ всегда является связным простым графом.

Каждая из следующих $Q$ строк содержит запрос: запрос $j$ описывается двумя числами $a_j$ и $b_j$ $(1 \leq a_j < b_j \leq N )$, обозначающих, что мы хотим узнать, какое минимальное количество шоссе Hyperspace™ понадобится чтобы добраться из планеты $a_j$ на планету $b_j$.

Выходные данные

Выведите $Q$ строк: $j$-я строка вывода должна содержать минимальное количество шоссе Hyperspace™, которое понадобится чтобы добраться из планеты $a_j$ на планету $b_j$.

Примечание

Граф из второго примера: $\text{[math]}$

F. Самое короткое условие

графы Деревья кратчайшие пути *2400

Вам задан взвешенный неориентированный связанный граф состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер.

Вам нужно ответить на $q$ запросов, $i$-й запрос — найти кратчайшее расстояние между вершинами $u_i$ и $v_i$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m~(1 \le n, m \le 10^5, m - n \le 20)$ — количество вершин графа и количество ребер графа.

В следующих $m$ строках заданы рёбра: $i$-е ребро задаётся тройкой целых чисел $v_i, u_i, d_i~(1 \le u_i, v_i \le n, 1 \le d_i \le 10^9, u_i \neq v_i)$. Эта тройка означает, что между вершинами $u_i$ и $v_i$ есть ребро веса $d_i$. Гарантируется, что граф не содержит петель и кратных рёбер.

Следующая строка содержит целое число $q~(1 \le q \le 10^5)$ — количество запросов.

Следующие $q$ строк содержат по два целых числа $u_i$ и $v_i~(1 \le u_i, v_i \le n)$ — описания запросов.

Обратите внимание на необычное ограничение $m - n ~ \le ~ 20$.

Выходные данные

Выведите $q$ строк.

В $i$-й строке должен содержаться ответ на $i$-й запрос — кратчайшее расстояние между вершинами $u_i$ и $v_i$.

A. Метро

графы *900

У Алисы сегодня день рождения, и она пригласила к себе в гости своего любимого друга Боба. Теперь перед Бобом встала непростая задача: доехать до дома Алисы.

В городе, в котором живут Алиса и Боб, строится первая ветка метро. На этой ветке располагается $n$ станций, пронумерованных от $1$ до $n$. Боб живёт рядом со станцией номер $1$, Алиса — со станцией номер $s$. Движение в метро двустороннее, то есть по первому пути поезда следуют от станции $1$ до станции $n$, по второму — в обратном направлении. После того, как поезд доезжает до конечной станции по соответствующему пути, он сразу уезжает в депо, и ехать на нём дальше невозможно.

Некоторые станции ещё не открылись или открылись неполностью: для каждой из станций и для каждого из путей известно, закрыта ли эта станция на этом пути или нет. Если станция закрыта по данному пути, то все поезда, следующие в ту сторону, проезжают мимо.

Когда Боб узнал информацию об открытых и закрытых станциях метро, он обнаружил, что доехать до дома Алисы — не такая уж и простая задача. Помогите Бобу определить, сможет ли он доехать до её дома на метро, или же ему придётся срочно искать другие виды транспорта.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $s$ ($2 \le s \le n \le 1000$) — количество станций метро и номер станции, у которой расположен дом Алисы. Боб живет на станции номер $1$.

Далее следует информация об открытых и закрытых станциях метро.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($a_i = 0$ или $a_i = 1$). Если $a_i = 1$, то $i$-я станция открыта по первому пути (то есть в сторону возрастания номеров станций). Иначе станция закрыта по первому пути.

Третья строка содержит $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($b_i = 0$ или $b_i = 1$). Если $b_i = 1$, то $i$-я станция открыта по второму пути (то есть в сторону убывания номеров станций). Иначе станция закрыта по второму пути.

Выходные данные

Выведите «YES» (без кавычек), если Бобу удастся добраться до Алисы на метро, и «NO» (без кавычек) иначе.

Вы можете выводить каждую букву в любом регистре (строчную или заглавную).

Примечание

В первом примере все станции открыты, поэтому Бобу следует просто доехать до станции номер $3$.

Во втором примере Бобу надо доехать до станции $5$, после чего пересесть на второй путь и доехать до станции $4$.

В третьем примере Боб не может сесть на поезд, следующий в сторону дома Алисы.

D. Укрась яблоню

графы Деревья дп жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное сортировки *1600

В саду Аркадия растет одна яблоня. Ее можно представить как множество точек развилок, соединенных ветками так, что между любыми двумя развилками существует ровно один путь по веткам. Развилки пронумерованы от $1$ до $n$, развилка номер $1$ называется корнем.

Поддеревом развилки $v$ называется множество развилок $u$ таких, что путь из $u$ в корень проходит через $v$. Обратите внимание, сама вершина $v$ тоже входит в поддерево $v$.

Листом называется такая развилка, поддерево которой содержит только одну развилку.

Скоро Новый год, поэтому Аркадий решил украсить яблоню. Он повесит по лампочке некоторого цвета на каждый лист и затем посчитает число счастливых развилок. Счастливой развилкой называется такая развилка $t$, что все лампочки в поддереве $t$ имеют различные цвета.

Аркадий заинтересован в следующем вопросе: для каждого $k$ от $1$ до $n$, какое минимальное число различных цветов лампочек необходимо, чтобы число счастливых развилок было не меньше $k$?

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — количество развилок в дереве.

Вторая строка содержит $n - 1$ целое число $p_2$, $p_3$, ..., $p_n$ ($1 \le p_i < i$), где $p_i$ означает, что есть ветка между развилками $i$ и $p_i$. Гарантируется, что данное множество веток задает дерево.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел. $i$-е из них должно быть равно минимальному количеству цветов, необходимых для того, чтобы число счастливых развилок было не меньше $i$.

Примечание

В первом примере для $k = 1$ и $k = 2$ можно все лампочки сделать одного цвета: счастливыми будут развилки $2$ и $3$. Для $k = 3$ нужно повесить лампочки разных цветов, тогда все развилки будут счастливыми.

Во втором примере для $k = 4$ можно, например, повесить лампочки цвета $1$ в развилки $2$ и $4$, а лампочку цвета $2$ в развилку $5$. Тогда счастливыми будут развилки $2$, $3$, $4$ и $5$.

G. Прокатись на метро

графы Перебор Структуры данных *2900

Так как утром у Аркадия были сложности с определением маршрутов трамваев, Аркадий решил вернуться домой на метро. К счастью для Аркадия, в городе лишь одна линия метро.

К несчастью для Аркадия, это кольцевая линия. Это означает, что станции пронумерованы от $1$ до $n$, и между каждой парой последовательных станций есть тоннель, кроме того, тоннель есть между станциями $1$ и $n$. Поезда, следующие в направлении по часовой стрелке, посещают станции в порядке $1 \to 2 \to 3 \to \ldots \to n \to 1$, а поезда, следующие в направлении против часовой стрелки, посещают станции в обратном порядке.

Станции, пронумерованные от $1$ до $m$, имеют интерьер в красных тонах, а станции, пронумерованные от $m + 1$ до $n$ имеют синий интерьер. Аркадий спустился в метро на станции $s$ и решил использовать следующий алгоритм для того, чтобы добраться домой.

Изначально он загадывает положительное целое число $t$.
Если текущая станция имеет красный интерьер, то он садится на поезд, следующий по часовой стрелки, иначе он садится на поезд, следующий против часовой стрелки.
Он проезжает ровно $t$ тоннелей на поезде и выходит из него.
Он уменьшает $t$ на один. Если $t$ остается после этого положительным, он возвращается на шаг $2$, иначе он выходит из метро.

Вы уже поняли, что этот алгоритм, скорее всего, не приведет Аркадия домой. Найдите станцию, на которой он выйдет из метро, чтобы вы смогли продолжить ему помогать.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($3 \le n \le 10^5$, $1 \le m < n$) — общее число станций и число станций, имеющих красный интерьер.

Вторая строка содержит два целых числа $s$ и $t$ ($1 \le s \le n$, $1 \le t \le 10^{12}$) — начальную станцию и изначальное значение $t$.

Выходные данные

Выведите одно целое число — станцию, на которой Аркадий выйдет из метро.

Примечание

Рассмотрим первый пример. Всего в метро $10$ станций, первые $4$ из них имеют красный интерьер. Аркадий начинает на станции $3$ со значением $t = 1$, поэтому он просто проезжает $1$ станцию по часовой стрелке и выходит на станции $4$.

Во втором примере метро такое же, но Аркадий начинает на станции $3$ со значением $t = 5$.

Это красная станция, поэтому он проедет $5$ станций по часовой стрелке и выйдет на станции $8$.
Это синяя станция, поэтому он проедет $4$ станции против часовой стрелки и выйдет на станции $4$.
Это красная станция, поэтому он проедет $3$ станции по часовой стрелке и выйдет на станции $7$.
Это синяя станция, поэтому он проедет $2$ станции против часовой стрелки и выйдет на станции $5$.
Это синяя станция, поэтому он проедет $1$ станцию против часовой стрелки и выйдет на станции $4$.

Теперь $t = 0$, поэтому Аркадий выйдет из метро на станции $4$.

E. Политика

графы Потоки *2600

В стране есть $n$ городов.

Два кандидата борются за пост президента страны. Выборы состоятся в скором будущем и оба кандидата уже спланировали как они собираются соединить города дорогами. Каждый из планов соединяет города используя ровно $n - 1$ дорогу. Иначе говоря, каждый план представляет из себя дерево. Оба кандидата также выбрали предлагаемую столицу среди $n$ городов ($x$ у первого кандидата, и $y$ у второго), которая может как совпадать, так и нет.

В каждом городе можно построить порт (в одном городе можно построить не более одного порта). Порт, построенный в $i$-м городе принесёт $a_i$ денег. Однако, у каждого кандидата есть свои специфичные требования, выглядящие следующим образом:

$k$ $x$, что означает, что кандидат хочет построить ровно $x$ портов в поддереве вершины $k$ (дерево подвешено за столицу, которую выбрал этот кандидат).

Выясните, какую наибольшую выручку можно получить, удовлетворив требованиям обоих кандидатов, или выведите -1, если это невозможно сделать.

Дополнительно гарантируется, что каждый из кандидатов указал свои специфичные требования относительно своей столицы.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа $n$, $x$ и $y$ ($1 \le n \le 500$, $1 \le x, y \le n$) — количество городов, столица у первого кандидата и столица у второго кандидата соответственно.

Следующая строка содержит целые числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le 100\,000$) — прибыль, которую принесёт постройка порта в соответствующем городе.

Каждая из следующих $n - 1$ строк содержит целые числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \ne v_i$), обозначающие рёбра между вершинами в дереве первого кандидата.

Каждая из следующих $n - 1$ строк содержит целые числа $u'_i$ и $v'_i$ ($1 \le u'_i, v'_i \le n$, $u'_i \ne v'_i$), обозначающие рёбра между вершинами в дереве второго кандидата.

Следующая строка содержит одно целое число $q_1$ ($1 \le q_1 \le n$), обозначающее количество специфичных требований первого кандидата.

Каждая из следующих $q_1$ строк содержит целые числа $k$ и $x$ ($1 \le k \le n$, $1 \le x \le n$) — номер города и количество портов в его поддереве.

Следующая строка содержит одно целое число $q_2$ ($1 \le q_2 \le n$), обозначающее количество специфичных требований второго кандидата.

Каждая из следующих $q_2$ строк содержит целые числа $k$ и $x$ ($1 \le k \le n$, $1 \le x \le n$) — номер города и количество портов в его поддереве.

Гарантируется, что заданные рёбра задаут корректные деревья, что каждый кандидат задал специфичное требование про каждый город не более одного раза и что каждый кадидат задал специфичные требования относительно своей столицы. То есть город $x$ есть в требованиях первого кандидата, а город $y$ — в требованиях второго.

Выходные данные

Выведите ровно одно целое число — наибольшую прибыль, которую можно получить, удовлетворив специфичным требованиям обоих кандидатов или -1, если это сделать невозможно.

Примечание

В первом примере оптимально построить порты в городах $2$, $3$ и $4$, что удовлетворяет всем требованиям обоих кандидатов и приносит прибыль $2 + 3 + 4 = 9$.

Во втором примере оптимально построить порты в городах $2$ и $3$, что удовлетворяет всем требованиям обоих кандидатов и приносит прибыль $99 + 99 = 198$.

В третьем примере не возможно построить порты таким образом, чтобы удовлетворить всем требованиям, а значит ответ -1.

D. Развлечения с целыми числами

графы математика поиск в глубину и подобное реализация *1800

Вам дано положительное целое число $n$ большее или равное $2$. Для пары целых чисел $a$ и $b$ ($2 \le |a|, |b| \le n$), вы можете преобразовать $a$ в $b$ тогда и только тогда, когда существует целое число $x$, такое что $1 < |x|$ и ($a \cdot x = b$ или $b \cdot x = a$), где $|x|$ обозначает модуль числа $x$.

После такого преобразования ваш счёт увеличивается на $|x|$ и вам больше не разрешается превращать $a$ в $b$ и $b$ в $a$.

Изначально ваш счёт равен $0$. Вы можете начать с любого числа и преобразовывать его столько раз, сколько вы хотите. Какого наибольшего счёта можно добиться?

Входные данные

Единственная строка содержит ровно одно целое число $n$ ($2 \le n \le 100\,000$) — целое число определённое выше.

Выходные данные

Выведите одно целое число — наибольшее количество очков, которое можно получить с помощью преобразований выше. Если не существует ни одного преобразования для всех возможных начальных чисел, выведите $0$.

Примечание

В первом примере можно делать такие преобразования: $2 \rightarrow 4 \rightarrow (-2) \rightarrow (-4) \rightarrow 2$.

В третьем примере, нельзя выполнить ни одного преобразования.

F. Модернизация городов

графы поиск в глубину и подобное *2900

В королевстве $X$ есть $n$ городов, пронумерованных от $1$ до $n$. Люди путешествуют между городами используя различные односторонние дороги. Как пассажир, JATC нашёл странным, что для любого города $u$ нельзя начать в нём поездку и после этого в него же и вернуться. Тем самым, королевство представляет из себя ациклический граф.

Будучи раздражённым дорожной системой, JATC решил встретиться с королём и попросить его сделать хоть что-нибудь. В ответ король сказал, что он собирается модернизировать некоторые города, чтобы улучшить транспортную ситуацию. Однако, в целях экономии бюджета, король хочет модернизировать только важные или полуважные города. Город $u$ называется важным, если для любого города $v \neq u$ есть путь или из $v$ в $u$, или из $u$ в $v$. Город $u$ называется полуважным, если он важным не является, но можно удалить ровно одну вершину $v \neq u$, так что $u$ станет важным. Король собирается перейти к действиям, сразу как только обнаружит все эти города. Помогите ему с этим, чтобы ускорить процесс.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 300\,000$, $1 \le m \le 300\,000$) — количество городов и количество односторонних дорог.

Следующие $m$ строк содержат описанние дорожной системы королевства. Каждая из них содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \neq v_i$), обозначающих одностороннюю дорогу из $u_i$ в $v_i$.

Гарантируется, что города королевства образуют ациклический граф, не содержащий кратных рёбер и петель.

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество городов, которые нужно модернизировать.

Примечание

В первом примере:

$\text{[math]}$

Начиная из города $1$ мы можем добраться до всех городов, кроме города $6$. Также из города $6$ мы не можем добраться до города $1$. Тем самым, если мы удалим города $6$, город $1$ станет важным. Значит город $1$ является полуважным.
Для города $2$ множество городов, которые не достижимы из $2$, и из которых не достижима $2$ равно $\{6\}$. Тем самым удаление города $6$ делает город $2$ важным. Значит город $2$ полуважный.
Для города $3$ соответствующее множество равно $\{5, 6\}$. Тем самым удаление ни города $5$, ни $6$ не сделает город $3$ важным. Значит он не является важным или полуважным.
Для города $4$ соответствующее множество пусто, следовательно город $4$ является важным.
У города $5$ это множество равно $\{3, 6\}$, а у города $6$ равно $\{3, 5\}$. Поэтому также как и город $3$ они не являются важными или полуважными.
Город $7$ является важным, так как в него можно добраться из любого другого города.

Тем самым есть два важных города ($4$ и $7$) и два полуважных ($1$ и $2$).

Во втором примере важными являются города $1$ и $4$, а города $2$ и $3$ являются полуважными.

B. Лабиринт

графы кратчайшие пути *1800

В одном из уровней компьютерной игры вы попали в лабиринт, состоящий из n строк, каждая из которых содержит m клеток. Каждая клетка либо свободна, либо занята препятствием. Стартовая клетка находится в строке r и столбце c. За один шаг вы можете переместиться на одну клетку вверх, влево, вниз или вправо, если она не занята препятствием. Вы не можете перемещаться за границы лабиринта.

К сожалению, ваша клавиатура крайне близка к поломке, поэтому вы можете переместиться влево не более x раз и вправо не более y раз. При этом ограничений на перемещения вверх и вниз нет, поскольку клавиши, используемые для движения вверх и вниз, всё ещё в идеальном состоянии.

Теперь вы для каждой клетки поля решили установить, можно ли выбрать такую последовательность нажатий, которая приведёт вас из стартовой в эту клетку. Посчитайте, сколько клеток поля обладают таким свойством.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n, m (1 ≤ n, m ≤ 2000) — количество строк и столбцов в лабиринте, соответственно.

Вторая строка содержит два целых числа r, c (1 ≤ r ≤ n, 1 ≤ c ≤ m) — номер строки и столбца, на пересечении которых расположена стартовая клетка.

Третья строка содержит два целых числа x, y (0 ≤ x, y ≤ 10⁹) — максимальное количество перемещений влево и вправо, соответственно.

Следующие n строк содержат описание лабиринта. Каждая из этих строк имеет длину m и состоит только из символов '.' и '*'. В i-й строке j-й символ соответствует клетке лабиринта с номерами строки и столбца i и j, соответственно. Символ '.' соответствует свободной клетке лабиринта, а символ '*' — клетке с препятствием.

Гарантируется, что стартовая клетка не занята препятствием.

Выходные данные

Выведите одно число — количество клеток лабиринта, достижимых из стартовой, включая её саму.

Примечание

Клетки, достижимые в соответствующем примере, отмечены '+'.

Первый пример


+++..
+***.
+++**
*+++.

Второй пример


.++.
.+*.
.++.
.++.

B. Вася и изолированные вершины

графы Конструктив *1300

У Васи есть неориентированный граф из $n$ вершин и $m$ ребер без петель и кратных ребер. Петлей считается ребро, соединяющее вершину саму с собой. Кратными ребрами считается пара ребер, соединяющее одинаковые пары вершин. Так как в данной задаче граф является неориентированным, ребра $(1, 2)$ и $(2, 1)$ считаются кратными ребрами. Изолированной вершиной в графе считается вершина, которой не инцидентно ни одно ребро.

Вася хочет знать минимальное и максимальное количества изолированных вершин, которые могут быть в графе из $n$ вершин и $m$ ребер.

Входные данные

Единственная строка содержит два числа $n$ и $m~(1 \le n \le 10^5, 0 \le m \le \frac{n (n - 1)}{2})$.

Гарантируется, что при данных ограничениях существует граф без петель и кратных ребер.

Выходные данные

В единственной строке выведите два числа $min$ и $max$ — минимальное и максимальное количество изолированных вершин соответственно.

Примечание

В первом тестовом примере $0$ изолированных вершин будет в графе, состоящим из ребер $(1, 2)$ и $(3, 4)$. Одна изолированная вершина будет в графе, состоящим из ребер $(1, 2)$ и $(1, 3)$.

Во втором тестовом примере в любом случае будет одна изолированная вершина.

B. Мультиёж

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1800

Кто-то незнакомый подарил Ване на день рождения ежа — связный неориентированный граф, состоящий из одной вершины степени хотя бы $3$, которую мы будем называть центром, и нескольких вершин степени 1. Ваня посчитал, что ёж — это слишком скучный граф, и решил сделать $k$-мультиёж.

Определим $k$-мультиёж следующим образом:

$1$-мультиёж — это ёж: одна вершина степени хотя бы $3$ и несколько вершин степени 1.
Для всех $k \ge 2$, $k$-мультиёж — это $(k-1)$-мультиёж, для каждой висячей вершины $v$ которого проделали следующие операции: пусть $u$ — её единственный сосед, удалим вершину $v$, создадим новый ёж с центром в вершине $w$, соединим ребром вершины $u$ и $w$. Новые ежи могут отличаться как друг от друга, так и от подаренного Ване.

Таким образом, $k$-мультиёж является деревом. Ваня сделал $k$-мультиёж, но не уверен, что нигде не ошибся, поэтому попросил вас проверить, является ли созданное им дерево $k$-мультиежом.

Входные данные

В первой строке записано $2$ числа $n$ и $k$ ($1 \le n \le 10^{5}$, $1 \le k \le 10^{9}$) — количество вершин дерева и параметр ежа.

В следующих $n-1$ строках описаны рёбра дерева. Каждое ребро описывается парой $u$ $v$ ($1 \le u, \,\, v \le n; \,\, u \ne v$) вершин, которые оно соединяет.

Гарантируется, что описанный граф является деревом.

Выходные данные

Выведите "Yes" (без кавычек), если граф является $k$-мультиежом, и "No" (без кавычек), если не является.

Примечание

2-мультиёж из первого примера выглядит так:

$\text{[math]}$

Его центр — вершина $13$. Ежи, созданные на последнем шаге: [4 (центр), 1, 2, 3], [6 (центр), 7, 8, 9], [5 (центр), 10, 11, 12, 13].

Дерево из второго примера не является ежом, потому что степень центра должна быть хотя бы $3$.

C. Разноцветные ладьи

графы Конструктив *1700

Ваня — начинающий художник. У него есть $n$ красок разных цветов. Он знает ровно $m$ пар цветов, которые сочетаются между собой.

Также Ваня любит играть в шахматы. У Вани есть $5000$ ладей. Он хочет взять $k$ ладей, раскрасить каждую из них в один из $n$ цветов, а затем расставить эти $k$ ладей на шахматной доске размера $10^{9} \times 10^{9}$.

Будем называть множество ладей на доске связным, если от любой ладьи можно добраться до любой другой из этого множества, делая ходы только на те клетки, где стоят ладьи этого множества. Считайте, что ладья может перепрыгивать через другие ладьи, то есть ладья может ходить в любую клетку на одной вертикали с ней, и в любую клетку на одной горизонтали с ней.

Ваня хочет, чтобы для его расстановки выполнялись следующие свойства:

Для каждого цвета на доске есть хотя бы одна ладья этого цвета;
Для каждого цвета множество ладей этого цвета связно;
Для любых двух разных цветов $a$ $b$ объединение множества ладей цвета $a$ и множества ладей цвета $b$ связно в том и только в том случае, если эти два цвета сочетаются между собой.

Помогите Ване найти такую расстановку ладей на доске.

Входные данные

В первой строке записаны $2$ целых числа $n$, $m$ ($1 \le n \le 100$, $0 \le m \le min(1000, \,\, \frac{n(n-1)}{2})$) — количество цветов и количество пар сочетающихся цветов.

В следующих $m$ строках заданы пары сочетающихся цветов. Цвета пронумерованы от $1$ до $n$. Гарантируется, что каждая пара встречается в списке не более одного раза.

Выходные данные

Выведите $n$ блоков, $i$-й блок описывает ладьи $i$-го цвета.

В первой строке описания выведите одно число $a_{i}$ ($1 \le a_{i} \le 5000$) — количество ладей цвета $i$. В последующих $a_{i}$ строках выведите по два числа $x$ и $y$ ($1 \le x, \,\, y \le 10^{9}$) — координаты очередной ладьи.

Все выведенные ладьи должны стоять на разных клетках.

Общее количество ладей не должно превышать $5000$.

Гарантируется, что при заданных ограничениях решение всегда существует.

Примечание

Расстановки ладей для всех трех примеров (красный — это цвет $1$, зелёный — цвет $2$, синий — цвет $3$).

$\text{[math]}$

A. Водоснабжение

графы поиск в глубину и подобное *1400

Корпуса общежития German University in Cairo (GUC) пронумерованы числами от 1 до n. Для обеспечения водоснабжения под землей корпуса соединены трубами. Все трубы — направленные, то есть вода может течь только в определенном направлении, и не может течь в обратном. Также для каждой трубы известен ее диаметр, он обозначает объем воды, который может выдержать эта труба. Для каждого корпуса имеется не более, чем одна входящая в него труба, и не более, чем одна исходящая из него труба.

С началом нового семестра, студент Лулу, проживающий в общежитии, хочет установить баки с запасами воды и краны для экстренного слива воды. Бак нужно установить в каждый корпус, который имеет выходящую из него трубу и не имеет входящей. Кран нужно установить во всех корпусах, где есть входящая труба, но нет выходящей. Таким образом получится, что вода из любого корпуса с баком сможет дойти до корпуса с краном.

Чтобы трубы не лопнули на вторую неделю, как это произошло в прошлом семестре, Лулу должен принять во внимание диаметр труб. Объем воды, которая протекает от корпуса с баком до корпуса с краном, не должен превосходить того, что могут выдержать трубы. Однако, выбрав пару корпусов, где будут установлены бак и кран, Лулу хочет, чтобы объем воды, протекающей между этими двумя корпусами, был максимально возможным.

Входные данные

В первой строке через пробел записано два целых числа n и p (1 ≤ n ≤ 1000, 0 ≤ p ≤ n) — количество корпусов и количество труб.

Затем следуют p строк — описание p труб, i-ая строка содержит три целых числа a_i b_i d_i. Она задает трубу диаметра d_i выходящую из корпуса a_i и ведущую в корпус b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 1 ≤ d_i ≤ 10⁶).

Гарантируется, что для каждого корпуса имеется не более одной входящей трубы, и не более одной исходящей трубы.

Выходные данные

На первой строке выведите t — количество пар корпусов, где нужно установить бак и слив.

На следующих t строках выведите по три числа: tank_i, tap_i, и diameter_i, где tank_i ≠ tap_i (1 ≤ i ≤ t). Здесь tank_i и tap_i — номера корпусов, где будут установлены бак и слив, соответственно, а diameter_i — максимально возможный объем воды, который можно пропустить. Все эти t строк должны быть упорядочены в порядке возрастания tank_i.

D. Преступление и наказание

графы дп матрицы *2400

Зиад хочет совершить в Египте n преступлений и остаться безнаказанным. Законодательство Египта предусматривает различные статьи за различные типы преступлений. К примеру, взяточничество является преступлением, но оно перестает быть таковым, если оно повторено дважды. Соответственно, взяточничество не считается преступлением, если оно было совершено четное количество раз. Превышение скорости тоже является преступлением, но оно перестает быть таковым, будучи повторенным кратное пяти количество раз.

В случае Египта известно c условий, налагаемых на повторяемость преступлений. Каждое ограничение представляет собой тип преступления t_i и его разрешенную кратность m_i. Если количество раз, которое Зиад совершил преступление типа t_i кратно m_i, то он не будет наказан за преступления этого типа. Некоторые типы преступлений могут быть перечислены более одного раза. В этом случае достаточно удовлетворить одному из ограничений для этого типа преступления, чтобы не быть наказанным за него. Естественно, если Зиад не совершил ни одного преступления некоторого типа, то он не будет наказан за преступления этого типа.

Обладая вышеприведенной информацией, Зиад интересуется, сколькими способами можно совершить в Египте ровно n преступлений и остаться безнаказанным?

Порядок совершения преступлений имеет значение. Более формально, два способа, последовательности w1 и w2, считаются одинаковыми, если w1_i = w2_i, для любого 1 ≤ i ≤ n.

Входные данные

На первой строке записано два целых числа n и c (0 ≤ n ≤ 10¹⁸, 0 ≤ c ≤ 1000) — суммарное количество преступлений, которые хочет совершить Зиад, и количество ограничений на кратность преступлений.

Затем следуют описания c ограничений на кратность. Всего существует 26 типов преступлений. Каждое ограничение задается типом преступления — большой латинской буквой — и его кратностью.

Все кратности являются целыми положительными числами, и произведение всех кратностей во входных данных не превосходит 123. Некоторые ограничения на кратность могут повторяться во входных данных более одного раза.

Если кратность какого-то преступления равна 1, то, независимо от того, сколько раз это преступление было совершено, наказания за него не последует. Строгость египетских законов компенсируется необязательностью их выполнения.

Конечно, если какой-то тип преступлений не перечислен в списке ограничений на кратности, Зиад не собирается совершать преступления этого типа, ибо наказание за них последует неминуемо.

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для чтения или записи 64-х битовых чисел на С++. Рекомендуется использовать поток cin (также вы можете использовать спецификатор %I64d).

Выходные данные

Выведите количество способов совершить ровно n преступлений, по модулю 12345.

Примечание

В первом примере возможны следующие 16 способов: AAAAA, AAABB, AABAB, AABBA, ABAAB, ABABA, ABBAA, BAAAB, BAABA, BABAA, BBAAA, ABBBB, BABBB, BBABB, BBBAB, BBBBA.

A. Find a Number

графы дп кратчайшие пути теория чисел *2200

You are given two positive integers $d$ and $s$. Find minimal positive integer $n$ which is divisible by $d$ and has sum of digits equal to $s$.

Input

The first line contains two positive integers $d$ and $s$ ($1 \le d \le 500, 1 \le s \le 5000$) separated by space.

Output

Print the required number or -1 if it doesn't exist.

I. Privatization of Roads in Berland

графы Паросочетания Потоки *2400

There are $n$ cities and $m$ two-way roads in Berland, each road connecting two distinct cities.

Recently the Berland government has made a tough decision to transfer ownership of the roads to private companies. In total, there are $100500$ private companies in Berland, numbered by integers from $1$ to $100500$. After the privatization, every road should belong to exactly one company.

The anti-monopoly committee demands that after the privatization each company can own at most two roads. The urbanists of Berland also stated their opinion: each city should be adjacent to the roads owned by at most $k$ companies.

Help the government to distribute the roads between the companies so that both conditions are satisfied. That is, each company gets at most two roads, and each city has roads of at most $k$ distinct companies adjacent to it.

Input

Input contains one or several test cases. The first line contains an integer $t$ ($1 \le t \le 300$) — the number of test cases in the input. Solve test cases separately, test cases are completely independent and do not affect each other.

The following lines describe the test cases. Each case starts with a line consisting of three space-separated integers $n$, $m$ and $k$ ($2 \le n \le 600$, $1 \le m \le 600$, $1 \le k \le n - 1$) — the number of cities, the number of roads and the maximum diversity of the roads adjacent to a city.

Then $m$ lines follow, each having a pair of space-separated integers $a_i$, $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$; $a_i \ne b_i$). It means that the $i$-th road connects cities $a_i$ and $b_i$. All roads are two-way. There is at most one road between a pair of the cities.

The sum of $n$ values for all test cases doesn't exceed $600$. The sum of $m$ values for all test cases doesn't exceed $600$.

Output

Print $t$ lines: the $i$-th line should contain the answer for the $i$-th test case. For a test case, print a sequence of integers $c_1, c_2, \dots, c_m$ separated by space, where $c_i$ ($1 \le c_i \le 100500$) is the company which owns the $i$-th road in your plan. If there are multiple solutions, output any of them. If there is no solution for a test case, print $c_1=c_2=\ldots=c_m=0$.

D. Удаление ребер

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути *1800

Задан неориентированный связный взвешенный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Определим длину кратчайшего пути из вершины $1$ в вершину $i$ как $d_i$.

Требуется удалить несколько ребер графа так, чтобы осталось не более $k$ ребер. Назовем вершину $i$ хорошей, если после удаления ребер все еще существует путь из $1$ в $i$ длины $d_i$.

Ваша задача — удалить ребра таким образом, чтобы количество хороших вершин было максимально.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа $n$, $m$ and $k$ ($2 \le n \le 3 \cdot 10^5$, $1 \le m \le 3 \cdot 10^5$, $n - 1 \le m$, $0 \le k \le m$) — количество вершин и ребер в графе, а также максимальное количество ребер, которые могут остаться в графе, соответственно.

Затем следуют $m$ строк, в каждой содержатся по три целых числа $x$, $y$, $w$ ($1 \le x, y \le n$, $x \ne y$, $1 \le w \le 10^9$), задающие ребро между вершинами $x$ и $y$ веса $w$.

Данный граф связный (любая вершина достижима из любой другой) и простой (не существует петель, и для каждой неупорядоченной пары вершин существует не более одного ребра, соединяющего эти вершины).

Выходные данные

В первой строке выведите $e$ — количество ребер, которые останутся в графе ($0 \le e \le k$).

Во второй строке выведите $e$ различных целых чисел от $1$ до $m$ — номера ребер, которые останутся в графе. Ребра пронумерованы в том же порядке, в котором задавались во входных данных. Количество хороших вершин должно быть максимально возможным.

D. Максимальное расстояние

графы кратчайшие пути снм сортировки *1800

Chouti устал от утомительного домашнего задания и решил открыть старую задачу, которую он придумал несколько лет назад.

Дан связный неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ взвешенных ребер. Также есть $k$ выделенных вершин: $x_1, x_2, \ldots, x_k$.

Определим стоимость пути как максимальный вес среди рёбер на пути, а расстояние между двумя вершинами как минимальную стоимость пути, их соединяющего.

Для каждой выделенной вершины найдите другую выделенную вершину, которая является максимально далёкой от неё (в терминах абзаца выше, то есть соответствующее расстояние максимально возможное), и выведите расстояние между ними.

Оригинальные ограничения очень маленькие, поэтому он подумал, что задача скучная. Теперь он увеличил ограничения и надеется, что вы можете решить эту задачу за него.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($2 \leq k \leq n \leq 10^5$, $n-1 \leq m \leq 10^5$).

Вторая строка содержит $k$ различных целых чисел $x_1, x_2, \ldots, x_k$ ($1 \leq x_i \leq n$).

В каждой из следующих $m$ строк записаны по три целых числа $u$, $v$ и $w$ ($1 \leq u,v \leq n, 1 \leq w \leq 10^9$), задающие ребро между $u$ и $v$ веса $w$. Заданный граф — неориентированный, то есть каждое ребро $(u, v)$ может быть использовано в любом из двух направлений.

В графе могут содержаться кратные рёбра и петли.

Гарантируется, что граф является связным.

Выходные данные

В единственной строке выведите $k$ целых чисел, где $i$-е из них должно равняться расстоянию между вершиной $x_i$ и самой далёкой от неё выделенной вершиной.

Примечание

В первом примере, расстояние между вершинами $1$ и $2$ равно $2$, потому что можно пройти по ребру веса $2$, соединяющему их. Поэтому, расстояние до самой далекой точки от обеих вершин $1$ и $2$ равно $2$.

Во втором примере, расстояние между вершинами $1$ и $2$ и расстояние между вершинами $1$ и $3$ равны $3$, а расстояние между вершинами $2$ и $3$ равно $2$.

В графе могут содержаться параллельные ребра и петли, как в первом примере.

D. Граф максимального диаметра

графы Конструктив реализация *1800

Ура, конструктивные графовые задачи вернулись! В этот раз надо построить граф со следующими свойствами.

Граф называется связным тогда и только тогда, когда существует путь между любой парой вершин.

Диаметр (также «длиннейший кратчайший путь») связного неориентированного графа — это максимальное число ребер на кратчайшем пути между всеми парами вершин.

Степень вершины равна количеству инцидентных ей ребер.

По заданной последовательности из $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ постройте связный неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин, такой, чтобы:

в графе не содержалось петель и кратных ребер;
степень $d_i$ вершины $i$ не превышала $a_i$ (то есть $d_i \le a_i$);
диаметр графа максимально возможный.

Выведите полученный граф или сообщите, что ответа не существует.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $n$ ($3 \le n \le 500$) — количество вершин в графе.

Во второй строке записаны $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le n - 1$) — ограничения на степени вершин.

Выходные данные

Выведите «NO», если невозможно построить граф с заданными ограничениями.

В противном случае выведите «YES» и диаметр полученного графа в первой строке.

Во второй строке выведите единственное целое число $m$ — количество ребер в полученном графе.

В $i$-й из следующих $m$ строк выведите два целых числа $v_i, u_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$, $v_i \neq u_i$) — описание $i$-го ребра. Граф не должен содержать кратных ребер — для каждой выведенной пары $(x, y)$ вывод не должен содержать больше пар $(x, y)$ и $(y, x)$.

Примечание

На картинках изображены графы для первых двух примеров. Оба графа имеют диаметр $2$.

$\text{[math]}$ $d_1 = 1 \le a_1 = 2$

$d_2 = 2 \le a_2 = 2$

$d_3 = 1 \le a_3 = 2$

$\text{[math]}$ $d_1 = 1 \le a_1 = 1$

$d_2 = 4 \le a_2 = 4$

$d_3 = 1 \le a_3 = 1$

$d_4 = 1 \le a_4 = 1$

G. Петя и граф

графы Потоки *2400

У Пети есть простой граф (т. е. граф без петель и кратных ребер), состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер.

Вес $i$-й вершины равен $a_i$.

Вес $i$-го ребра равен $w_i$.

Подграфом графа будем называть некоторое множество вершин графа и некоторое множество ребер графа, причем множество ребер должно удовлетворять условию: оба конца каждого ребра из множества должны принадлежать выбранному множеству вершин.

Весом подграфа является сумма весов входящих в него ребер минус сумма весов входящих в него вершин. Вам нужно найти подграф данного графа максимального веса. Заданный граф не содержит петель и кратных ребер.

Входные данные

Первая строка содержит два числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 10^3, 0 \le m \le 10^3$) — количество вершин и ребер в графе соответственно.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^9$) — веса вершин графа.

В следующих $m$ строках заданы рёбра: $i$-е ребро задаётся тройкой целых чисел $v_i, u_i, w_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n, 1 \le w_i \le 10^9, v_i \neq u_i$). Эта тройка означает, что между вершинами $v_i$ и $u_i$ есть ребро веса $w_i$. Гарантируется, что граф не содержит петель и кратных рёбер.

Выходные данные

В единственной строке выведите целое число — максимальный вес подграфа заданного графа.

Примечание

В первом тестовом примере оптимальный подграф состоит из вершин ${1, 3, 4}$ и имеет вес $4 + 4 + 5 - (1 + 2 + 2) = 8$. Во втором тестовом примере оптимальный подграф – пустой.

E. Новый год и оценка знакомых

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы математика реализация сортировки Структуры данных *2400

Боб — активный пользователь социальной сети Faithbug. В этой сети люди могут становиться взаимными друзьями. То есть, если $a$ является другом $b$, то $b$ также является другом $a$. Таким образом у каждого пользователя есть неотрицательное количество друзей.

Сегодня утром кто-то анонимно отправил Бобу следующую ссылку: задача о реализации графа. Боб хочет узнать, кто это был. Для этого ему сначала нужно узнать, как выглядит эта сеть. Он исследовал профиль каждого человека в сети и записал количество его друзей. Однако он забыл записать количество своих друзей. Помогите ему узнать, сколько у него друзей. Поскольку возможных ответов может быть много, выведите все возможные количества.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 5 \cdot 10^5$) — количество людей в сети, не считая Боба.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1,a_2, \dots, a_n$ ($0 \leq a_i \leq n$), где $a_i$ — количество друзей у $i$-го человека.

Выходные данные

Выведите все возможные значения $a_{n+1}$ — количества людей, с которыми Боб может быть друзями, в порядке возрастания.

Если ни одного решения не существует, выведите $-1$.

Примечание

В первом примере единственное решение заключается в том, чтобы каждый был другом каждому. Поэтому у Боба может быть только $3$ друга.

Во втором примере есть три возможных решения (кроме симметричных):

$a$ — друг $b$, $c$ — друг $d$, а у Боба нет друзей, или
$a$ — друг $b$, а также и $c$, и $d$ — друзья Боба, или
Боб — друг каждому.

Третий пример решить невозможно, так как второму человеку нужно быть другом каждому, но у первого нет друзей.

D. Красивый граф

Дан неориентированный невзвешенный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер.

В каждую вершину графа вы должны записать одно из следующих чисел: $1$, $2$ и $3$. Граф станет красивым, если для каждого ребра сумма чисел, записанных на соединяемых этим ребром вершинах, будет нечетной.

Посчитайте количество способов расставить во все вершины числа $1$, $2$ и $3$ так, чтобы получившийся граф был красивым. Так как это количество может быть достаточно большим, выведите его по модулю $998244353$.

Обратите внимание, что в каждой вершине графа вы должны написать ровно одно число.

Гарантируется, что в заданном графе нет петель и кратных ребер.

Входные данные

Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \le t \le 3 \cdot 10^5$) — количество тестов, для которых нужно решить задачу.

Первая строка каждого теста содержит два числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 3 \cdot 10^5, 0 \le m \le 3 \cdot 10^5$) — количество вершин и ребер в графе соответственно. В следующих $m$ строках содержится описание ребер: в $i$-й строке заданы два целых числа $u_i$, $ v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n; u_i \neq v_i$) — номера вершин, которые соединяет $i$-е ребро.

Гарантируется, что $\sum\limits_{i=1}^{t} n \le 3 \cdot 10^5$ и $\sum\limits_{i=1}^{t} m \le 3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите по одной строке, в которой выведите целое число — количество способов расставить в вершины числа $1$, $2$ и $3$ так, чтобы получившийся граф был хорошим. Так как это количество может быть достаточно большим, выведите его по модулю $998244353$.

Примечание

В первом тестовом примере подходят четыре варианта:

поставить в вершину $1$ число $1$, а в вершину $2$ — число $2$;
поставить в вершину $1$ число $3$, а в вершину $2$ — число $2$;
поставить в вершину $1$ число $2$, а в вершину $2$ — число $1$;
поставить в вершину $1$ число $2$, а в вершину $2$ — число $3$.

Во втором тестовом примере не существует способа, удовлетворяющего описанным выше условиям.

F. Сделай связным

графы жадные алгоритмы снм *1900

Вам дан неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин. На каждой вершине записано число; число, записанное на вершине $i$, равно $a_i$. Изначально в графе нет ни одного ребра.

Вы можете добавлять ребра в граф за определенную стоимость. За добавление ребра между вершинами $x$ и $y$ надо заплатить $a_x + a_y$ монет. Также существует $m$ специальных предложений, каждое из которых характеризуется тремя числами $x$, $y$ и $w$, и означает, что можно добавить ребро между вершинами $x$ и $y$ за $w$ монет. Эти специальные предложения не обязательно использовать: если существует такая пара вершин $x$ и $y$, такая, что для нее существует специальное предложение, можно все равно добавить ребро между ними за $a_x + a_y$ монет.

Сколько монет минимально вам потребуется, чтобы сделать граф связным? Граф является связным, если от каждой вершины можно добраться до любой другой вершины, используя только ребра этого графа.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $0 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в графе и специальных предложений, соответственно.

Во второй строке заданы $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^{12}$) — числа, записанные на вершинах.

Затем следуют $m$ строк, в каждой из которых заданы три целых числа $x$, $y$ и $w$ ($1 \le x, y \le n$, $1 \le w \le 10^{12}$, $x \ne y$), обозначающие спецпредложение: можно добавить ребро между вершинами $x$ и $y$ за $w$ монет.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное количество монет, которое необходимо потратить, чтобы сделать граф связным.

Примечание

В первом примере из условия можно соединить $1$ и $2$ при помощи $2$-го спецпредложения, а затем $1$ и $3$ без использования спецпредложения.

В следующих двух примерах оптимальный ответ можно получить без использования спецпредложений.

C. Построй дерево

Бинарный поиск графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *2400

Погуляв по заснеженному лесу, Миша очень полюбил деревья и решил нарисовать своё!

Это дерево состоит из $n$ вершин, пронумерованных различными целыми числами от $1$ до $n$. В этом дереве вершина $1$ является корнем, а у любой другой вершины $i$ есть непосредственный предок $p_{i}$ (при этом $i$ — непосредственный потомок $p_{i}$).

Вершина $u$ лежит в поддереве вершины $v$, если переходя по непосредственным предкам из вершины $u$ ($u$, $p_{u}$, $p_{p_{u}}$, ...), можно попасть в вершину $v$. В частности, любая вершина $v$ лежит в поддереве самой себя. Число вершин в поддереве вершины $v$ называется размером поддерева. Миша рассматривает только те деревья, в которых все вершины лежат в поддереве вершины $1$.

На рисунке ниже изображено дерево из $6$ вершин. Поддерево вершины $2$ состоит из вершин $2$, $3$, $4$, $5$. Таким образом, размер поддерева этой вершины равен $4$.

$\text{[math]}$

Назовём разветвлённостью дерева максимальное количество непосредственных потомков какой-то из его вершин. Так, разветвлённость дерева на рисунке выше равна 2. Помогите Мише построить дерево из $n$ вершин, в котором сумма размеров всех поддеревьев равна в точности $s$, а разветвлённость — минимально возможная.

Входные данные

В первой и единственной строке входных данных записаны два целых числа $n$ и $s$ — число вершин в дереве и требуемая сумма размеров поддеревьев ($2 \le n \le 10^5$; $1 \le s \le 10^{10}$).

Выходные данные

Если требуемого дерева не существует, выведите «No». Иначе в первой строке выходных данных выведите «Yes», а в следующей строке выведите числа $p_2$, $p_3$, ..., $p_n$, где вершина с номером $p_i$ является непосредственным предком вершины с номером $i$.

Примечание

Для первого примера одним из оптимальных деревьев изображено ниже. Сумма размеров поддеревьев в этом дереве равна $3 + 1 + 1 = 5$, а разветвлённость равна $2$.

$\text{[math]}$

Для третьего примера одним из оптимальных деревьев изображено ниже. В этом дереве сумма размеров поддеревьев равна $6 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 = 15$, а разветвлённость равна $2$.

$\text{[math]}$

D. Простая задача

битмаски графы дп *2200

Задан простой неориентированный граф. Выведите число простых циклов в нем. Цикл называется простым если не содержит повторяющихся вершин и ребер (т.е. каждая вершина и ребро содержатся в нем не более 1 раза).

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 19, 0 ≤ m) — количество вершин и ребер соответственно. Последующие m строк описывают ребра графа парами a, b, (1 ≤ a, b ≤ n, a ≠ b), обозначающими номера соединяемых ребром вершин. Между каждой парой вершин не более одного ребра.

Выходные данные

Выведите количество простых циклов в заданном графе.

E. Андрей и такси

Бинарный поиск графы поиск в глубину и подобное *2200

Андрей предпочитает такси другим видам транспорта, но вот в последнее время таксисты начали вести себя неподобающим образом. Для того, чтобы стрясти побольше денег с пассажира, они порой не против прокатиться по кругу, иногда даже не единожды. Дороги в городе Андрея односторонние, и, вообще говоря, не всегда из одной части города можно добраться до другой. Но к особенностям дорог все привыкли, а вот к ушлым таксистам нет.

Мэр города решил поменять направления некоторых дорог таким образом, чтобы таксист больше не смог бесконечно увеличивать счетчик клиента. Другими словами, таксист, находящийся на конкретном перекрестке, не мог бы попасть на него повторно, совершив ненулевой маршрут.

Для того, чтобы поменять направление дороги, нужны регулировщики. Для каждой конкретной дороги известно, сколько регулировщиков нужно, чтобы поменять направление дороги на противоположное. Разрешено менять направление дорог последовательно, то есть одни и те же регулировщики могут поучаствовать в изменении нескольких дорог.

Необходимо вычислить минимальное количество регулировщиков, необходимых для выполнения задания, и список дорог, у которых необходимо поменять направление.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 100\,000$, $1 \leq m \leq 100\,000$) — количество перекрестков в городе и количество дорог, соответственно.

В каждой из следующих $m$ строк содержатся три целых числа $u_{i}$, $v_{i}$ и $c_{i}$ ($1 \leq u_{i}, v_{i} \leq n$, $1 \leq c_{i} \leq 10^9$, $u_{i} \ne v_{i}$) — номер перекрестка, на котором дорога начинается, номер перекрестка, где она заканчивается и количество регулировщиков, необходимых для изменения направления этой дороги.

Выходные данные

В первой строке выведите два целых числа — минимальное число регулировщиков, необходимых для выполнения задания и количество дорог $k$, у которых необходимо поменять направление. $k$ не должно быть минимальным.

В следующей строке через пробел выведите $k$ целых чисел — номера дорог, у которых необходимо поменять направление. Дороги нумеруются с $1$ в порядке следования во входных данных. Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом примере имеется два простых цикла: $1 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ и $2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 2$. Один регулировщик сможет развернуть только дорогу $2 \rightarrow 1$, второй цикл в одиночку он разрушить не сможет. Два регулировщика уже смогут развернуть дороги $2 \rightarrow 1$ и $2 \rightarrow 3$, после чего не останется перекрестка, на который можно попасть снова, совершив ненулевой маршрут.

Во втором примере одного регулировщика недостаточно, чтобы разрушить маршрут $ 1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 $. С помощью трёх регулировщиков можно, например, развернуть дороги $1 \rightarrow 3$ ,$ 2 \rightarrow 4$, $1 \rightarrow 5$.

F. Вытянутая матрица

Бинарный поиск битмаски графы дп Перебор *2000

Задана матрица $a$, состоящая из $n$ строк и $m$ столбцов. В каждой ячейке записано целое число.

Разрешается произвольно изменить порядок строк (в том числе и оставить начальный порядок), но не разрешается менять порядок ячеек в строке. После того, как был выбран некоторый порядок строк, матрица полностью обходится следующим образом: сначала посещаются все ячейки первого столбца с верхней строки до нижней, потом так же все ячейки второго столбца и так далее. Во время обхода выписывается последовательность чисел в ячейках в том же порядке, в котором они были посещены. Назовем эту последовательность $s_1, s_2, \dots, s_{nm}$.

Обход называется $k$-приемлемым, если для всех $i$ ($1 \le i \le nm - 1$) $|s_i - s_{i + 1}| \ge k$.

Найдите такое максимальное целое число $k$ такое, что существует порядок строк матрицы $a$, который образует $k$-приемлемый обход.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 16$, $1 \le m \le 10^4$, $2 \le nm$) — количество строк и столбцов, соответственно.

В каждой из следующих $n$ строк записаны по $m$ целых чисел ($1 \le a_{i, j} \le 10^9$) — описание матрицы.

Выходные данные

Выведите единственное целое число $k$ — такое максимальное число, что существует порядок строк матрицы $a$, который образует $k$-приемлемый обход.

Примечание

В первом примере можно переставить строки следующим образом, чтобы получить $5$-приемлемый обход:

Тогда последовательность $s$ будет $[5, 10, 4, 9, 3, 8, 3, 9]$. Каждая пара соседних элементов отличается хотя бы на $k = 5$.

Во втором примере максимальное $k = 0$, любой порядок $0$-приемлем.

В третьем примере заданный порядок уже $3$-премлемый, можно его оставить.

C. Джони Солвинг

графы Конструктив математика поиск в глубину и подобное *2700

Сегодня вторник, а значит в команде Джони Солвинг снова идёт спор, кто из них Джони, а кто Солвинг. Для того, чтобы разрешить спор ребята позвали Умника. Умник дал ребятам связный граф из $n$ вершин без петель и кратных рёбер, такой что степень каждой вершины не менее $3$, а также дал число $1 \leq k \leq n$. Так как Джони - громкий дурачок, то он заявил что сможет найти в этом графе простой путь длины хотя бы $\frac{n}{k}$. Солвинг же, немного подумав, сказал, что сможет найти $k$ простых по вершинам циклов с представителями, таких что:

Длина каждого цикла не менее $3$.
Длина каждого цикла не кратна $3$.
В каждом цикле найдётся представитель - такая вершина, которая отсутствует во всех других выведенных циклах.

Вам нужно помочь ребятам разрешить спор, для этого по заданному графу выведите либо решение для Джони: простой путь длины хотя бы $\frac{n}{k}$ ($n$ необязательно делится на $k$), либо решение для Солвинга: $k$ циклов, удовлетворяющих условиям выше. Если отсутствуют решения для обоих ребят - выведите $-1$.

Входные данные

Первая строка содержит три числа $n$, $m$ и $k$ ($1 \leq k \leq n \leq 2.5 \cdot 10^5, 1 \leq m \leq 5 \cdot 10^5$)

Последующие $m$ строк содержат описание рёбер графа в виде пар вершин $v$, $u$ ($1 \leq v, u \leq n$). Гарантируется, что $v \neq u$ и что все $m$ пар различны.

Гарантируется, что степень каждой вершины не менее $3$

Выходные данные

Выведите PATH в первой строке, если решаете задачу для Джони. Во-второй строке выведите кол-во вершин в пути $c$ ($c \geq \frac{n}{k}$), а в третьей через пробел вершины в пути в порядке следования.

Выведите CYCLES в первой строке, если решаете задачу для Солвинга. Далее нужно вывести ровно $k$ циклов в следующем формате: в первой строке выведите кол-во вершин в цикле $c$ ($c \geq 3$), во второй строке выведите сам цикл в формате аналогичном пути, причем первая вершина во второй строке должна являться представителем

Выведите одно число $-1$, если отсутствует оба решения. Кол-во выведенных чисел не должно превосходить $10^6$. Гарантируется, что если существует хотя бы одно из решений (для Джони или Солвинга), то и существует вывод удовлетворяющий ограничению.

D. Килани и игра

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное реализация *1900

Килани играет в игру со своими друзьями. Игра представляет из себя клетчатое поле размером $n \times m$, где каждая клетка или пуста, или заблокирована, также у каждого игрока есть один или несколько замков на поле (ни одна клетка не содержит более одного замка).

Игра происходит в несколько раундов. В каждом раунде игроки по очереди расширяются: сначала расширяется первый игрок, затем расширяется второй игрок, и так далее. Расширение происходит следующим образом: для каждого замка, которым владеет игрок, он пытается расшириться в свободные клетки поблизости. Игрок $i$ может расшириться из клетки со своим замком в пустую клетку, если она достижима за не более чем $s_i$ (где $s_i$ — это показатель скорости игрока) движений влево, вверх, вправо или вниз, не проходящих через заблокированные клетки или клетки с замками других игроков. Игрок рассматривает множество клеток, в которые он может расшириться, и моментально строит во всех них свой замок. После этого ход переходит к следующему игроку.

Игра заканчивается, когда ни один игрок не может сделать ход. Вам дано поле игры и скорости расширения для каждого игрока. Килани хочет узнать для каждого игрока как много клеток он будет контролировать (иметь там замок) после того как игра закончится.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $p$ ($1 \le n, m \le 1000$, $1 \le p \le 9$) — размеры поля и количество игроков.

Вторая строка содержит $p$ целых чисел $s_i$ ($1 \le s \le 10^9$) — скорости расширения для каждого игрока.

Следующие $n$ строк задают игровое поле. Каждая из них состоит из $m$ символов, где «.» обозначает пустую клетку, «#» обозначает заблокированную клетку, а цифра $x$ ($1 \le x \le p$) обозначает замок, принадлежащий игроку $x$.

Гарантируется, что у каждого игрока есть хотя бы один замок на поле.

Выходные данные

Выведите $p$ целых чисел — количество клеток, контролируемых каждым игроком после конца игры.

Примечание

Картинка ниже показывает состояние игры до начала, после первого раунда и после второго раунда в первом примере.

$\text{[math]}$

Во втором примере первый игрок «заблокирован», так что он ничего не сможет захватит в течении всей игры. Все остальные игроки будут расширяться наверх в течении первых двух раундов, а на третьем раунде только второй игрок расширится влево.

D. Лунный новый год и прогулка

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное Структуры данных *1500

Приближается лунный новый год, а Боб решил отправиться на прогулку в ближайший парк.

Парк может быть представлен как связный граф из $n$ вершин и $m$ неориентированных ребер. Изначально Боб находился в вершине $1$ и записал $1$ в свою записную книжку. Он может переходить из одной вершины в другую по данным ребрам. Каждый раз, когда он посещает вершину, еще не записанную в его книжку, он записывает ее. После того, как он посетит все вершины как минимум по разу, он закончит прогулку, а в его книжке будет записана перестановка вершин $a_1, a_2, \ldots, a_n$.

Гулять скучно, а решать задачи — интересно. Боб хочет узнать лексикографически минимальную перестановку, которую он может получить по итогам прогулки. Бобу эта задача кажется простой, поэтому он отдал ее вам.

Последовательность $x$ лексикографически меньше последовательности $y$, если и только если выполняется один из следующих пунктов:

$x$ — префикс $y$, но $x \ne y$ (обратите внимание, в этой задаче такое невозможно, так как все рассматриваемые последовательности имеют одинаковую длину);
в первой позиции, где $x$ и $y$ различны, в последовательности $x$ элемент меньше, чем соответствующий элемент в $y$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n, m \leq 10^5$) — числе вершин и ребер в графе, соответственно.

Следующие $m$ строк описывают неориентированные ребра графа. $i$-я из этих строк содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$) — вершины, соединенные $i$-м ребром.

Обратите внимание, что в графе могут быть кратные ребра и петли. Гарантируется, что граф связный.

Выходные данные

Выведите лексикографически наименьшую последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n$ из тех, которые может записать Боб.

Примечание

В первом примере одним из возможных путей Боба является путь $1 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 3$. Боб в этом случае запишет последовательность $\{1, 2, 3\}$, которая является лексикографически наименьшей.

Во втором примере Боб может пойти по пути $1 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1 \rightarrow 5$. Тогда он запишет последовательность $\{1, 4, 3, 2, 5\}$, которая является лексикографически наименьшей.

F. Вася и бесконечные кредиты

графы дп Паросочетания Потоки сортировки *2600

Вася решил купить себе шикарную новую машину. К сожалению, ему немного не хватает денег. Сейчас у него есть 0 бурлей.

В местном банке есть $n$ предложений по кредитам. Каждое предложение описывается тремя числами $a_i$, $b_i$ и $k_i$. Предложения пронумерованы от $1$ до $n$. Если Вася пользуется $i$-м предложением, то банк выдает ему $a_i$ бурлей в начале месяца, а потом забирает по $b_i$ бурлей в конце каждого из $k_i$ следующих месяцев (включая месяц, в который кредит был взят). Вася может брать предложения в любом порядке.

В каждый месяц Вася может брать не более одного кредитного предложения. К тому же каждое кредитное предложение может быть использовано не более одного раза. Несколько кредитов могут быть активны в одно и то же время. Это подразумевает, что Вася платит банку сумму $b_i$ по всем $i$ активных кредитов в конце каждого из месяцев.

Вася хочет купить машину в середине некоторого месяца. Он просто берет все деньги, которые у него есть на текущий момент, и покупает машину ровно этой цены.

Васю не особо заботит, сколько он должен будет заплатить банку после покупки машины. Он просто уедет на своей машине из страны, так что банк не сможет его найти.

Какая максимальная цена может быть у новой машины?

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 500$) — количество кредитных предложений.

В каждой из следующих $n$ строк записаны по три целых числа $a_i$, $b_i$ и $k_i$ ($1 \le a_i, b_i, k_i \le 10^9$).

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальную цену машины.

Примечание

В первом примере оптимальная последовательность взятых кредитов такова: 4 $\rightarrow$ 3.

Количество бурлей у Васи меняется следующим образом: 5 $\rightarrow$ 32 $\rightarrow$ -86 $\rightarrow$ .... Он забирает деньги в середине второго месяца (32 бурля) и покупает машину.

Отрицательное число бурлей значит, что Вася должен заплатить банку эту сумму денег.

Во втором примере оптимальная последовательность взятых кредитов такова: 3 $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2.

Количество бурлей у Васи меняется следующим образом: 0 $\rightarrow$ 300 $\rightarrow$ 338 $\rightarrow$ 1337 $\rightarrow$ 236 $\rightarrow$ -866 $\rightarrow$ ....

F. Унификация MST

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы снм *2100

Задан неориентированный взвешенный связный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер без петель и кратных ребер.

$i$-е ребро — $e_i = (u_i, v_i, w_i)$; расстояние между вершинами $u_i$ и $v_i$ по ребру $e_i$ равно $w_i$ ($1 \le w_i$). Граф является связным, то есть для каждой пары вершин существует хотя бы один путь между ними, состоящий только из ребер заданного графа.

Минимальное остовное дерево (MST) в случае положительных весов — это подмножество ребер связного взвешенного неориентированного графа, соединяющее все его вершины и имеющее минимальный суммарный вес среди всех таких подмножеств (суммарный вес — это сумма весов выбранных ребер).

Вы можете модифицировать заданный граф. Единственная операция, которую вы можете проводить, заключается в следующем: увеличить вес какого-либо ребра на $1$. Вы можете увеличивать вес каждого ребра любое (возможно, нулевое) количество раз.

Предположим, что изначальный вес MST был равен $k$. Ваша задача — увеличить веса некоторых ребер за минимально возможное количество операций таким образом, чтобы вес MST в получившемся графе остался равен $k$, но MST стало уникальным (это означает, что есть только один способ выбрать MST в получившемся графе).

Ваша задача — посчитать минимальное количество операций, необходимое для того, чтобы это сделать.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5, n - 1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин и количество ребер в изначальном графе.

The next $m$ строк содержат по три целых числа. $i$-я строка содержит описание $i$-го ребра $e_i$. Оно определяется тремя целыми числами $u_i, v_i$ и $w_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n, u_i \ne v_i, 1 \le w \le 10^9$), где $u_i$ и $v_i$ — вершины, соединяемые $i$-м ребром, а $w_i$ — вес этого ребра.

Гарантируется, что заданный граф не содержит петель и кратных ребер (то есть для каждого $i$ от $1$ до $m$ $u_i \ne v_i$ и для каждой неориентированной пары $(u, v)$ существует не более одного ребра, соединяющего эту пару вершин). Также гарантируется, что заданный граф является связным.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное количество операций, чтобы унифицировать MST заданного графа без изменения веса MST.

Примечание

Картинка, соответствующая первому тестовому примеру: $\text{[math]}$

Вы можете, например, увеличить вес ребра $(1, 6)$ или $(6, 3)$ на $1$ для унификации MST.

Картинка, соответствующая последнему тестовому примеру: $\text{[math]}$

Вы можете, например, увеличить веса ребер $(1, 5)$ и $(2, 4)$ на $1$ для унификации MST.

E. Дерево

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное Структуры данных *2500

Дано дерево из $n$ вершин и $q$ запросов.

Каждый запрос начинается с трех целых чисел $k$, $m$ и $r$, и продолжается $k$ вершинами дерева $a_1, a_2, \ldots, a_k$. Чтобы ответить на запрос, предположите, что дерево подвешено за вершину $r$. Рассмотрим разбиения данных $k$ вершин на не более чем $m$ групп так, что выполняются следующие условия:

Каждая вершина принадлежит ровно одной группе, каждая группа содержит хотя бы одну вершину.
Ни в одной группе нет двух вершин таких, что одна является предком (не обязательно непосредственным) другой.

Выведите количество различных таких разбиений по модулю $10^{9}+7$ для каждого запроса.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $q$ ($1 \le n, q \le 10^{5}$) — количество вершин в дереве и количество запросов, соответственно.

Каждая из следующих $n-1$ вершин содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n, u \ne v$), обозначающие ребро между вершинами $u$ и $v$. Гарантируется, что данный граф является деревом.

Каждая из следующих $q$ строк начинается с трех целых чисел $k$, $m$ и $r$ ($1 \le k, r \le n$, $1 \le m \le min(300,k)$) — количество вершин, максимальный размер группы и корень дерева для данного запроса, соответственно. После этого следуют $k$ различных целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_k$ ($1 \le a_i \le n$) — вершины текущего запроса.

Гарантируется, что сумма значений $k$ по всем запросам не превосходит $10^{5}$.

Выходные данные

Выведите $q$ строк, где $i$-я строка содержит ответ на $i$-й запрос.

Примечание

Рассмотрим первый пример.

В первом запросе нужно разделить три данные вершины ($7$, $4$ и $3$) на не более чем три группы, считая, что корнем дерева является вершина $2$. Когда дерево подвешено за вершину $2$, вершина $4$ является предком вершин $3$ и $7$. Поэтому нельзя все вершины отнести к одной группе. Есть только $1$ способ разделить эти вершины на две группы: $[4]$ и $[3, 7]$. Кроме того, есть один способ разделить данные вершины на три группы: $[7]$, $[4]$ и $[3]$. Таким образом, есть всего $2$ способа разбить данные вершины на не более чем три группы.

Во втором запросе дерево подвешено за вершину $4$, при этом $6$ является предком $2$, а $2$ является предком $1$. Поэтому нельзя все вершины отнести к одной группе.

D. Выбор гурмана

графы дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм *2000

Гурман Яблочков работает редактором известного гастрономического издания. Он разъезжает по всему миру, дегустируя новые изыски именитых шеф-поваров самых фешенебельных ресторанов высокой кухни. У Яблочкова есть свой фирменный способ ревью: в каждом заведении Яблочков заказывает два набора блюд в разные дни. Все заказанные блюда разные, так как Яблочков не любит есть одно и то же. Для каждой пары блюд из разных наборов он точно помнит, какое из них лучше по его ощущениям, или что они одинаковы по вкусовым качествам. Затем гурман оценивает каждое блюдо положительным целым числом.

Однажды, во время очередной ревизии, ресторан кельтской средневековой кухни «Пуассон», подающий суп из каштанов с пихтой, теплый содовый хлеб, пряный лимонный пирог и другую народную еду, очень приятно удивил гурмана своим разнообразным меню, и эксперт заказал слишком много. Поэтому ему нужна помощь в оценке блюд.

Гурман в первый день дегустировал набор из $n$ блюд, во второй день набор из $m$ блюд. Он составил таблицу ощущений $a$ размером $n \times m$, в которой описал свои впечатления. Если по мнению эксперта блюдо $i$ из первого набора лучше блюда $j$ из второго набора, то $a_{ij}$ равно «>», в противоположном случае $a_{ij}$ равно «<». Блюда также могут быть равны по уровню, тогда $a_{ij}$ равно «=».

Теперь Яблочков хочет, чтобы вы помогли ему оценить каждое блюдо в наборах целым положительным числом. Так как Яблочков очень строгий дегустатор, то постарается оценить блюда так, чтобы максимальная из оценок была как можно меньше. В то же время Яблочков очень справедливый, поэтому никогда не оценивает блюда так, чтобы это шло вразрез с его ощущениями. Другими словами, если $a_{ij}$ равно «<», то оценка блюда $i$ из первого набора должна быть меньше оценки блюда $j$ из второго набора, если $a_{ij}$ равно «>», то должна быть больше, а если $a_{ij}$ равно «=», то должна совпадать.

Помогите Яблочкову выставить оценки каждому блюду из обоих наборов так, чтобы это согласовывалось с его ощущениями, или определите, что это невозможно.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n, m \leq 1000$) — количества блюд в каждый из двух дней.

Каждая из следующих $n$ строк содержит строку из $m$ символов, $j$-й символ в $i$-й строке задаёт значение $a_{ij}$. Все строки состоят только из символов «<», «>» и «=».

Выходные данные

В первой строке выведите «Yes», если можно сделать корректную оценку всем блюдам и «No» иначе.

В случае, если сделать корректную оценку можно, во второй строке выведите $n$ целых чисел — оценки блюд первого набора, а в третьей строке $m$ целых чисел — оценки блюд второго набора.

Примечание

В первом примере все блюда первого дня лучше всех блюд второго дня. Значит, самой высокой оценкой будет $2$ для всех блюд первого дня.

В третьем примере таблица противоречива: нет ни одного набора оценок, который удовлетворял бы ей.

F1. Покрывающее дерево максимальной степени

графы *1600

Задан неориентированный невзвешенный связный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Гарантируется, что в графе отсутствуют петли и кратные ребра.

Ваша задача — найти любое такое покрывающее дерево этого графа, что максимальная степень вершины в нем максимально возможная. Напомним, что степень вершины — это количество ребер, инцидентных ей.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $n - 1 \le m \le min(2 \cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2})$) — количество вершин и ребер соответственно.

Следующие $m$ строк описывают ребра: ребро $i$ представлено в виде пары целых чисел $v_i$, $u_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$, $u_i \ne v_i$), которые означают номера вершин, соединяемых этим ребром. В заданном графе отсутствуют петли и кратные ребра, то есть для каждой пары ($v_i, u_i$) в списке ребер не существует других пар ($v_i, u_i$) или ($u_i, v_i$), также для каждой пары $(v_i, u_i)$ выполняется условие $v_i \ne u_i$.

Выходные данные

Выведите $n-1$ строк, описывающих такое покрывающее дерево, что максимальная степень вершины в нем максимально возможная. Убедитесь, что ребра выводимого покрывающего дерева представляют собой подмножество ребер входных данных (порядок ребер не важен, также ребро $(v, u)$ может быть выведено как $(u, v)$).

Если существует несколько возможных ответов, выведите любой.

Примечание

Картинка, соответствующая первому тестовому примеру: $\text{[math]}$

В этом тестовом примере количество ребер покрывающего дерева, инцидентных вершине $3$, равно $3$. Это максимально возможная степень вершины в покрывающем дереве. Легко заметить, что мы не можем получить ответ лучше.

Картинка, соответствующая в торомутестовому примеру: $\text{[math]}$

В этом тестовом примере количество ребер покрывающего дерева, инцидентных вершине $1$, равно $3$. Это максимально возможная степень вершины в покрывающем дереве. Легко заметить, что мы не можем получить ответ лучше.

Картинка, соответствующая третьему тестовому примеру: $\text{[math]}$

В этом тестовом примере количество ребер покрывающего дереева, инцидентных вершине $2$, равно $4$. Это максимально возможная степень вершины в покрывающем дереве. Легко заметить, что мы не можем получить ответ лучше. Но так как этот тестовый пример симметричный, мы можем выбрать почти тоже самое покрывающее дерево, только с вершиной $5$ вместо вершины $2$.

F2. Покрывающее дерево с одной фиксированной степенью

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное снм *1900

Ваша задача — найти любое такое покрывающее дерево этого графа, что степень первой вершины (вершины с номером $1$) вершины равна $D$ (или сказать, что таких покрывающих деревьев не существует). Напомним, что степень вершины — это количество ребер, инцидентных ей.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит три целых числа $n$, $m$ и $D$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $n - 1 \le m \le min(2 \cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2}), 1 \le D < n$) — количество вершин, количество ребер и необходимая степень первой вершины соответственно.

Выходные данные

Если не существует покрывающего дерева, удовлетворяющего условию задачи выведите «NO» в первой строке.

Иначе выведите «YES» в первой строке и затем выведите $n-1$ строк, описывающих ребра такого покрывающего дерева, что степень первой вершины (вершины с номером $1$) равна $D$. Убедитесь, что ребра выводимого покрывающего дерева представляют собой подмножество ребер входных данных (порядок ребер не важен, также ребро $(v, u)$ может быть выведено как $(u, v)$).

Если существует несколько возможных ответов, выведите любой.

Примечание

Картинка, соответствующая первому и второму тестовым примерам: $\text{[math]}$

Картинка, соответствующая третьему тестовому примеру: $\text{[math]}$

C. Путешествие по музеям

графы дп реализация *2500

В стране $N$ есть $n$ городов, соединённых $m$ односторонними дорогами. Эта, казалось бы непримечательная страна, всё же интересна двумя своими особенностями. Во-первых, неделя здесь длится $d$ дней. Во-вторых, в каждом городе страны $N$ расположен ровно один музей.

Турфирма «Открытые музеи» разрабатывает новую программу для путешественников, интересующихся музеями. Работникам турфирмы известно, в какие дни недели каждый из музеев открыт для посещения. Путешествие должно начаться в столице — городе с номером $1$, причём день начала путешествия должен быть первым днём недели. Днём турист будет находиться в городе и смотреть экспозицию музея (в случае если музей, конечно, работает сегодня), а в конце дня путешествие либо заканчивается, либо турист отправляется в другой город, соединённый с текущим дорогой. Дорожная система $N$ устроена так, что перемещение по одной дороге всегда занимает одну ночь, кроме того все дороги в стране односторонние. Во время путешествия разрешается посещать один город несколько раз.

Вам требуется разработать такой маршрут для путешествия, что количество различных музеев, которые можно посетить за его время, было бы как можно больше.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $d$ ($1 \leq n \leq 100\,000$, $0 \leq m \leq 100\,000$, $1 \leq d \leq 50$) — количество городов, количество дорог и количество дней в неделе.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \ne v_i$), обозначающие одностороннюю дорогу из города $u_i$ в город $v_i$.

Следующие $n$ строк содержат график работы музеев. График работы музея, находящегося в $i$-м городе, описывается в $i$-й из этих строк. Каждая строка состоит ровно из $d$ символов «0» или «1», $j$-й символ строки равен «1», если музей открыт в $j$-й день недели, и «0» в противном случае.

Гарантируется, для каждой пары городов $(u, v)$ существует не более одной дороги, ведущей из $u$ в $v$.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальное количество различных музеев, которые можно посетить, начав путешествие в первом городе в первый день недели.

Примечание

Пояснение к первому примеру $\text{[math]}$

Максимально возможное количество музеев для посещения равно $3$. Можно посетить $3$ различных музея, например, так, как описано ниже.

День 1. Сейчас день недели $1$, и турист находится в городе $1$. Музей там закрыт. Ночью турист направляется в город $2$.
День 2. Сейчас день недели $2$, и турист находится в городе $2$. Музей там открыт, турист его посещает. Ночью турист направляется в город $4$.
День 3. Сейчас день недели $3$, и турист находится в городе $4$. Музей там открыт, турист его посещает. Ночью турист направляется в город $1$.
День 4. Сейчас день недели $1$, и турист находится в городе $1$. Музей там закрыт. Ночью турист направляется в город $2$.
День 5. Сейчас день недели $2$, и турист находится в городе $2$. Музей там открыт, но турист в нём уже был. Ночью турист направляется в город $3$.
День 6. Сейчас день недели $3$, и турист находится в городе $3$. Музей там открыт, турист его посещает. На этом путешествие заканчивается.

Пояснение ко второму примеру $\text{[math]}$

Максимально возможное количество музеев для посещения равно $2$. Можно посетить $2$ различных музея, например, так, как описано ниже.

День 1. Сейчас день недели $1$, и турист находится в городе $1$. Музей там открыт, турист его посещает. Ночью направляемся в город $2$.
День 2. Сейчас день недели $2$, и турист находится в городе $2$. Музей там закрыт. Ночью направляемся в город $3$.
День 3. Сейчас день недели $3$, и турист находится в городе $3$. Музей там открыт, турист его посещает. На этом путешествие заканчивается.

C. Дерево и рёбра

графы Деревья математика поиск в глубину и подобное снм *1500

Вам дано дерево (связный неориентированный граф без циклов), состоящее из $n$ вершин. Каждое из $n - 1$ рёбер дерева покрашено в чёрный или красный цвет.

Вам также дано целое число $k$. Рассмотрим последовательности из $k$ вершин. Скажем, что последовательность $[a_1, a_2, \ldots, a_k]$ является хорошей, если она удовлетворяет следующему:

Мы пройдём некоторый путь в дереве (возможно посещающий несколько раз одну и ту же вершину или ребро), начинающийся в $a_1$ и заканчивающийся в $a_k$.
Начнём в $a_1$, затем перейдём в $a_2$ по кратчайшему пути между $a_1$ и $a_2$, затем перейдём в $a_3$ аналогичным образом, и так далее, пока наконец не пройдём кратчайший путь из $a_{k-1}$ в $a_k$.
Если в результате такого процесса мы пройдём хотя бы по одному чёрному ребру, то последовательность является хорошей.

$\text{[math]}$

Рассмотрим дерево, изображенное на рисунке. Если $k=3$, то следующие последовательности являются хорошими: $[1, 4, 7]$, $[5, 5, 3]$ и $[2, 3, 7]$. Следующие последовательности не являются хорошими: $[1, 4, 6]$, $[5, 5, 5]$, $[3, 7, 3]$.

Всего есть $n^k$ последовательностей вершин, посчитайте сколько из них являются хорошими. Так как это число может быть очень большим, выведите его по модулю $10^9+7$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $k$ ($2 \le n \le 10^5$, $2 \le k \le 100$), — размер дерева и длина последовательности вершин.

Каждая из следующих $n - 1$ строк содержит три целых числа $u_i$, $v_i$ и $x_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $x_i \in \{0, 1\}$) — где $u_i$ и $v_i$ задают концы соответствующего ребра, а $x_i$ задаёт его цвет ($0$ обозначает красное ребро, а $1$ чёрное).

Выходные данные

Выведите одно число — количество хороших последовательностей по модулю $10^9 + 7$.

Примечание

В первом примере все последовательности ($4^4$) длины $4$ являются хорошими, кроме следующих:

$[1, 1, 1, 1]$
$[2, 2, 2, 2]$
$[3, 3, 3, 3]$
$[4, 4, 4, 4]$

Во втором примере, все рёбра красные, а значит нет ни одной хорошей последовательности.

E. Максимизировать mex

графы Паросочетания Потоки *2400

В колледже учатся $n$ студентов, также в колледже есть $m$ клубов, пронумерованных от $1$ до $m$. У каждого студента известен его потенциал $p_i$ и номер клуба $c_i$, членом которого он является. Изначально каждый студент является членом ровно одного клуба. Скоро в колледже состоится технический фестиваль, который продлится $d$ дней. Каждый день в рамках фестиваля будет проведено соревнование по программированию.

Каждый день утром, ровно один студент решает покинуть свой клуб. После того как студент покинул свой клуб, он больше не присоединится ни к какому клубу снова. Каждый день в полдень, директор колледжа выбирает по одному студенту из каждого клуба (в случае если в каком-то клубе нет ни одного студента, из этого клуба не будет выбран никто) и составляет из них команду на этот день. Силой команды называется mex потенциалов студентов, которые в неё входят. Директор хочет выяснить наибольшую возможную силу команды в каждый из следующих $d$ дней. Таким образом, каждый день директор выбирает команду так, чтобы максимизировать силу команды. Для мультимножества $S$, его mex определён как наименьший неотрицательный элемент не входящий в $S$. Например, mex мультимножества $\{0, 1, 1, 2, 4, 5, 9\}$ равн $3$, mex мультимножества $\{1, 2, 3\}$ равен $0$, а mex $\varnothing$ (пустого множества) равен $0$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq m \leq n \leq 5000$) — количество студентов и количество клубов в колледже.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ($0 \leq p_i < 5000$) — где $p_i$ это потенциал $i$-го студента.

Третья строка содержит $n$ целых чисел $c_1, c_2, \ldots, c_n$ ($1 \leq c_i \leq m$), обозначающие, что $i$-й студент изначально является членом клуба $c_i$.

Четвертая строка содержит одно целое число $d$ ($1 \leq d \leq n$) — количество дней, в течении которых продлится фестиваль.

Каждая из следующих $d$ строк содержит одно целое число $k_i$ ($1 \leq k_i \leq n$), обозначающие, что $k_i$-й студент покидает свой клуб на $i$-й день. Гарантируется, что $k_i$-й студент ещё не покинул клуб к тому моменту.

Выходные данные

Для каждого из $d$ дней, выведите наибольшую возможную силу команды в этот день.

Примечание

Рассмотрим первый пример:

В первый день студент $3$ покидает свой клуб. Теперь, остались студенты $1$, $2$, $4$ и $5$. Мы можем выбрать студентов $1$, $2$ и $4$ чтобы получить максимальную силу команды, равную $3$. Заметим, что мы не можем выбрать команду из студентов $1$, $2$ и $5$, так как студенты $2$ и $5$ состоят в одном клубе. Также мы не можем выбрать команду $1$, $3$ и $4$, так как студент $3$ уже покинул свой клуб.

Во второй день студент $2$ покидает свой клуб. Теперь, остались студенты $1$, $4$ и $5$. Мы можем выбрать студентов $1$, $4$ и $5$ чтобы получить максимальную возможную силу, то есть $1$.

В третий день, остаются только студенты $1$ и $5$. Мы можем выбрать студентов $1$ и $5$ чтобы получить наибольшую возможную силу команды, то есть $1$.

В четвёртый день, остался только студент $1$. Мы можем выбрать студента $1$, чтобы получить максимальную возможную силу команды, то есть $1$.

В пятый день не осталось ни одного клуба, в котором бы состоял хотя бы один студент, а значит максимальная возможная сила равна $0$.

B. PFAST Inc.

битмаски графы Перебор *1500

Когда мальчик Петя вырос и поступил в университет, он начал участвовать в соревнованиях АСМ. Позже он осознал, что ему не нравится формат этих соревнований из-за того, что в команде может быть только три человека (что не позволяло брать ему с собой на соревнования всех друзей, а также хорошо распределять задачи между участниками команды), поэтому он решил сделать свой формат соревнований PFAST Inc. — Petr and Friends Are Solving Tasks Corporation. В соответствии с форматом PFAST Inc. в команде может быть любое количество человек.

Чтобы сделать этот формат соревнований популярным, он организовал свой турнир. Для создания команды, которую он будет готовить для соревнований по системе PFAST Inc., он выбрал несколько добровольцев (до 16 человек) и решил составить из них команду. Петя прекрасно понимает, что если в команде будет два человека, которые между собой не ладят, то команда будет выступать плохо. Составьте максимальную по числу человек команду, в которой все между собой ладят.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа n (1 ≤ n ≤ 16) — количество добровольцев и m ( $\text{[math]}$ ) — количество неладящих пар добровольцев. Следующие n строк содержат имена добровольцев (каждое имя — непустая строка из прописных или строчных латинских букв длиной не более 10 символов), следующие m строк содержат два имени — имена неладящих добровольцев. Имена в паре разделены ровно одним пробелом. Каждая пара неладящих встречается ровно один раз. Регистр букв имеет значение. Все заданные n имен различны.

Выходные данные

В первой строке выходного файла должно содержаться единственное число k — количество человек в искомой команде. В следующих k строках должны содержаться имена участников искомой команды в лексикографическом порядке. При наличии нескольких решений выведите любое. Искомая команда не обязана содержать Петю.

G. Приватизация дорог в Древляндии

Бинарный поиск графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *1900

Древляндия состоит из $n$ городов и $n-1$ дороги. Все дороги являются двусторонними и соединяют пару различных городов. Из любого города по дорогам можно добраться до любого другого. Всё верно, топология страны — это именно неориентированное дерево.

В Древляндии есть несколько частных дорожных компаний. Правительство решило передать дороги в собственность компаний. После приватизации каждая дорога будет принадлежать какой-то одной компании, одна компания может владеть несколькими дорогами.

Правительство обеспокоено возможными обвинениями в пристрастности. В правительстве полагают, что люди города могут посчитать несправедливой ситуацию, если две или более дороги, входящие в этот город, принадлежат одной компании. Правительство планирует такую приватизацию, что количество таких городов не будет превосходить $k$, а количество частных компаний (которые участвуют в приватизации) — минимально.

Выберите такое минимальное количество компаний $r$, что возможно распределить все дороги по этим компаниям так, что количество городов с двумя или более дорогами одной компании не превосходит $k$. Другими словами, назовём город хорошим, если все его дороги принадлежат различным компаниям. Ваша задача найти минимальное $r$, что существует распределение всех дорог по компаниям от $1$ до $r$, что количество не являющимися хорошими городов не превосходит $k$.

$\text{[math]}$ Картинка иллюстрирует первый пример ($n=6, k=2$). Ответ на этот тест содержит $r=2$ компании. Числа на рёбрах соответствуют номерам дорог. Цвета рёбер соответствуют компаниям: красный цвет обозначает первую компанию, синий цвет обозначает вторую компанию. Серая вершина (с номером $3$) соответвует городу, который не является хорошим. Количество таких вершин (в данном случае, только одна) не превосходит $k=2$. Невозможно получить не более $k=2$ таких вершин, если ответ содержит только одну компанию.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $k$ ($2 \le n \le 200000, 0 \le k \le n - 1$) — количество городов и максимальное возможное количество городов с двумя или более дорогами одной компании.

Следующие $n-1$ строк содержат описания дорог, по одному описанию в строке. Каждая строка содержит пару целых чисел $x_i$, $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$), где $x_i$, $y_i$ — номера городов, которые соединены $i$-й дорогой.

Выходные данные

В первую строку выведите искомое число $r$ ($1 \le r \le n - 1$). Во вторую строку выведите $n-1$ целое число $c_1, c_2, \dots, c_{n-1}$ ($1 \le c_i \le r$), где $c_i$ — это номер компании, которая должна владеть $i$-й дорогой. Если ответов несколько, то выведите любой из них.

E. Pink Floyd

графы интерактив *3200

Это интерактивная задача.

Учёные находятся всего в нескольких шагах от открытия новой оптимизации алгоритма Флойда, позволяющей ему работать за линейное время! Осталась лишь одна часть.

Как известно, для запуска алгоритма Флойда в графе на $n$ вершинах должно быть по одному ребру между любыми двумя вершинами. У ученых есть такой граф, однако, они ориентировали каждое ребро, то есть направили его ровно в одну из двух сторон.

Для оптимизации Флойда выбраны $m$ рёбер и покрашены в розовый цвет, остальные ребра покрашены в зеленый. Вы знаете направление каждого из этих $m$ ребер, однако, направление зеленых рёбер вам заранее неизвестно. За один запрос вы можете узнать направление одного зеленого ребра, но всего вы можете сделать не более $2 \cdot n$ запросов.

Вам нужно найти такую вершину, от которой любая другая вершина достижима по пути, состоящем из ребер одного цвета. Обратите внимание, ученые могут лукавить, что уже определили направления для всех ребер, и выдавать ответы в зависимости от ваших запросов.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 100\,000$, $0 \le m \le 100\,000$) — число вершин и число рёбер розового цвета.

В $i$-й из следующих $m$ строках находятся два целых числа $u_i$, $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \ne v_i$) — начало $i$-го ребра розового цвета и его конец. Гарантируется, что все неупорядоченные пары $(u_i, v_i)$ различны.

Выходные данные

Когда вы найдете ответ, выведите «!» и номер вершины, от которой каждая другая достижима по одноцветному пути.

Протокол взаимодействия

Чтобы узнать направление зеленого ребра между вершинами $a$ и $b$, в одной строке через пробел выведите символ «?», а затем два целых числа $a$ и $b$.

В ответ на это считайте целое число, которое будет равно $1$, если ребро направленно от $a$ к $b$, и $0$, если ребро направлено от $b$ к $a$.

Вы можете задать не более $2 \cdot n$ вопросов, в противном случае вы получите вердикт Wrong Answer.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Ответ $-1$ вместо $0$ или $1$ означает, что ваша программа сделала некорректный запрос или превысила число запросов. Ваша программа должна немедленно завершиться после прочтения ответа $-1$, вы получите вердикт Неправильный ответ. В противном случае вы можете получить любой вердикт, так как программа продолжит чтение из закрытого потока.

Взломы

Для взлома задайте тест в следующем формате. В первой строке должны находиться два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 300$, $0 \le m \le n \cdot (n - 1) / 2$) — число вершин и число рёбер розового цвета.

В $i$-й из следующих $m$ строк должны находиться два целых чисел $a_i$, $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$, $a_i \ne b_i$)), означающих, что есть ребро розового цвета от вершины $a_i$ к вершине $b_i$. Все неориентированные пары $(a_i, b_i)$ должны быть различны.

В $i$-й из следующих $(n \cdot (n - 1) / 2 - m)$ строках должны находиться два целых числа $a_i$, $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$, $a_i \ne b_i$)), означающих, что есть ребро зеленого цвета от вершины $a_i$ к вершине $b_i$. Все неориентированные пары $(a_i, b_i)$ должны быть различны и не должны совпадать с теми же парами для рёбер розового цвета.

Примечание

В приведённом примере ответ на запрос «? 1 3» — 0, поэтому ребро ориентированно от 3 к 1; ответ на запрос «? 4 2» — 1, поэтому ребро ориентированно от 4 к 2; ответ на запрос «? 3 2» — 1, поэтому ребро ориентированно от 3 к 2. Тогда от вершины 3 есть пути по зелёным рёбрам к вершинам 1 и 2, а так же есть путь по розовым рёбрам до вершины 4.

F. Граф без длинных ориентированных путей

Дан связный неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. В заданном графе нет ни петель, ни кратных ребер.

Ориентируйте ребра графа таким образом, что в полученном ориентированном графе не будет путей, состоящих из двух или более ребер.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $n - 1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин и ребер, соответственно.

Следующие $m$ строк задают ребра: ребро $i$ задается парой вершин $u_i$, $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \ne v_i$). В заданном графе нет кратных ребер, т. е. для каждой пары ($u_i, v_i$) не существует других пар ($u_i, v_i$) и ($v_i, u_i$) в списке ребер. Также гарантируется, что данный граф является связным (между любой парой вершин существует путь).

Выходные данные

Если невозможно ориентировать ребра таким образом, что в графе не будет путей из двух или более ребер, выведите "NO" в первой строке.

Иначе в первой строке выведите "YES", а затем выведите любую подходящую ориентацию ребер в виде бинарной строки (строки, состоящей только из '0' и '1') длины $m$. $i$-й символ строки должен быть '0', если $i$-е ребро графа надо ориентировать из $u_i$ в $v_i$, и '1' в противном случае. Ребра пронумерованы в том же порядке, в котором заданы во входных данных.

Примечание

Граф в первом примере из условия: $\text{[math]}$

Один из возможных ответов: $\text{[math]}$

C. Диаметр дерева

битмаски графы интерактив *1700

Есть взвешенное дерево с $n$ вершинами и $n-1$ ребрами. Вершины пронумерованные от $1$ до $n$. Веса ребер — положительные целые числа не превышающее $100$. Определим расстояние между двумя вершинами как сумму ребер на уникальном пути между ними. Вы хотели бы найти диаметр дерева. Диаметр — это максимальное расстояние между вершинами.

К сожалению, дерево вам неизвестно, но вы можете задать несколько вопросов. В одном вопросе вы можете указать два непустых непересекающихся набора вершин $p$ и $q$, и вам скажут максимальное расстояние между одной вершиной в $p$ и одной вершиной в $q$. Другими словами, максимальное расстояние между $x$ и $y$, где $x \in p$ и $y \in q$. Задав не более $9$ вопросов, вы должны найти максимальное расстояние между любой парой вершин.

Протокол взаимодействия

Во входных данных находятся несколько (не меньше одного) тестовых случаев. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1\,000$) — количество тестовых случаев. Далее следуют описания тестовых случаев.

Первая строка описания тестового случая содержит одно целое число $n$ ($2 \leq n \leq 100$) — количество вершин в дереве.

Чтобы задать вопрос, выведите «$k_1\ k_2\ a_1\ a_2\ \ldots\ a_{k_1}\ b_1\ b_2\ \ldots\ b_{k_2}$» $(k_1, k_2 \geq 1$ и $k_1+k_2 \leq n$). Эти два множества не должны быть пусты и не должны пересекаться. В ответ считайте одно целое число $\max_{p,q} dist(a_p, b_q)$. Если вы когда-либо получите $-1$, немедленно завершите вашу программу, чтобы избежать других вердиктов.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Когда вы будете готовы ответить, выведите «$-1\ d$», где $d$ — максимальное кратчайшее расстояние по всем парам вершин.

Вы можете задать не более $9$ вопросов в каждом тесте.

Формат для взломов

Чтобы взломать, используйте следующий формат. Обратите внимание, что вы можете взламывать, используя только один тест.

Первая строка должна содержать одно целое число $t$ ($t=1$).

Вторая строка должна содержать одно целое число $n$ ($2 \leq n \leq 100$).

Каждая из следующих $n-1$ строк должна содержать три целых числа $a_i, b_i, c_i$ ($1\leq a_i, b_i\leq n$, $1 \leq c_i \leq 100$). Они описывают неориентированное ребро между вершинами $a_i$ и $b_i$ с весом $c_i$. Эти ребра должны образовывать дерево.

Примечание

В первом примере первое дерево выглядит так: $\text{[math]}$

В первом вопросе $p = {1}$ и $q = {2, 3, 4, 5}$. Максимальное расстояние между вершинами в $p$ и вершинами $q$ равно $9$ (расстояние между вершинами $1$ и $5$).

Второе дерево — это дерево с двумя вершинами и ребром с весом $99$ между ними.

G. Ограничения

графы дп Потоки *2700

Вы планируете строить дома на улице. На улице есть $n$ мест, где вы можете построить дома. Все они пронумерованы слева направо от $1$ до $n$. В каждом из них вы можете построить дом с целочисленной высотой от $0$ до $h$.

За каждый дом вы получаете прибыль в размере $a^2$ долларов, где $a$ — высота этого дома.

У города есть $m$ ограничений. $i$-е ограничение говорит о том, что если самый высокий дом от $l_i$ до $r_i$ строго больше, чем $x_i$, вы должны заплатить штраф в размере $c_i$ долларов.

Вы хотели бы построить дома, чтобы максимизировать свою чистую прибыль (прибыль минус штрафы). Определите максимально возможную прибыль.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n,h,m$ ($1 \leq n,h,m \leq 50$) — количество мест для постройки домов, максимальная высота и количество ограничений соответственно.

Каждая из следующих $m$ строк содержит четыре целых числа $l_i, r_i, x_i, c_i$ ($1 \leq l_i \leq r_i \leq n$, $0 \leq x_i \leq h$, $1 \leq c_i \leq 5\,000$).

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальную прибыль, которую вы можете получить.

Примечание

В первом примере оптимальным является строительство домов высотой $[1, 3, 2]$. Мы получаем прибыль в размере $1^2+3^2+2^2 = 14$. Мы не нарушаем никаких ограничений, поэтому никаких штрафов нет, поэтому общая прибыль составляет $14 - 0 = 14$.

Во втором примере оптимально строить дома высотой $[10, 8, 8, 10]$. Мы получаем прибыль в размере $10^2+8^2+8^2+10^2 = 328$, и мы нарушаем второе ограничение и платим штраф в $39$ долларов, таким образом, общая прибыль составляет $328-39 = 289$. Обратите внимание, что даже при отсутствии ограничения на дом $1$, мы все равно не можем иметь высоту выше $10$ метров.

A. Прятки

графы *1500

Алиса и Боб играют в игру на прямой с $n$ ячейками. Есть $n$ ячеек, пронумерованных от $1$ до $n$. Для каждого $i$ от $1$ до $n-1$ ячейки $i$ и $i+1$ являются смежными.

У Алисы изначально есть фишка в какой-то ячейке на прямой, а Боб пытается угадать, где она находится.

Боб спрашивает последовательность номеров ячеек в таком порядке: $x_1, x_2, \ldots, x_k$. В $i$-м вопросе Боб спрашивает Алису, находится ли ее фишка в ячейке $x_i$. То есть, Алиса ответит либо «нет», либо «да» на каждый вопрос Боба.

Не более одного раза в этом процессе, до или после ответа на вопрос, Алиса может переместить свою фишку из своей текущей ячейки в некоторую смежную ячейку. Алиса действует так, чтобы она могла ответить «нет» на все вопросы Боба.

Обратите внимание, что Алиса даже может переместить свою фигурку, прежде чем ответить на первый вопрос или после того, как ответит на последний вопрос. Алиса также может вообще не передвигать ее.

Вам дано число $n$ и вопросы Боба $x_1, \ldots, x_k$. Вы хотели бы посчитать количество сценариев, которые позволяют Алисе ответить «нет» на все вопросы Боба.

Пусть $(a,b)$ обозначает сценарий, в котором Алиса начинает в ячейке $a$ и заканчивает в ячейке $b$. Два сценария $(a_i, b_i)$ и $(a_j, b_j)$ различны, если $a_i \neq a_j$ или $b_i \neq b_j$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $k$ ($1 \leq n,k \leq 10^5$) — количество ячеек и количество вопросов Боба.

Вторая строка содержит $k$ целых чисел $x_1, x_2, \ldots, x_k$ ($1 \leq x_i \leq n$) — вопросы Боба.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — количество сценариев, которые позволяют Алисе ответить «нет» на все вопросы Боба.

Примечание

Пусть $(i,j)$ обозначает сценарий, в котором Алиса начинает в ячейке $i$ и заканчивает в ячейке $j$.

В первом примере нам подходят сценарии: $(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 5)$. Например, $(3,4)$ нам подходит, поскольку Алиса может начать в ячейки $3$, остаться там в течение первых трех вопросов, а затем перейти в ячейку $4$ после последнего вопроса.

$(4,5)$ нам подходит, поскольку Алиса может начать в ячейки $4$, остаться там до первого вопроса, после которого перейти в ячейку $5$ и остаться там, когда Боб спрашивает следующие два вопроса. Обратите внимание, что $(4,5)$ учитывается только один раз, хотя есть и другие вопросы, после которых Алиса может переместить фишку, но помните, что каждая пара начальных и конечных позиций учитывается только один раз.

Во втором примере ни один сценарий нам не подходит.

В последнем примере все $(i,j)$, где $|i-j| \leq 1$, за исключением $(42, 42)$, нам подходят.

D. Палиндромный XOR

графы поиск в глубину и подобное *2400

Вам дана строка $s$, состоящая из символов «1», «0» и «?». Гарантируется, что первый символ в $s$ будет «1». Пусть $m$ будет количеством символов в $s$.

Подсчитайте количество способов выбрать пару целых чисел $a, b$, которые удовлетворяют следующему:

$1 \leq a < b < 2^m$
При записи без начальных нулей двоичные представления $a$ и $b$ являются палиндромами.
Двоичное представление побитового XOR $a$ и $b$ подходит под шаблон $s$. Строка $t$ подходит под шаблон $s$, если длины $t$ и $s$ одинаковы и для каждого $i$, $i$-й символ $t$ равен $i$-му символу в $s$, или же $i$-й символ в $s$ равен «?».

Посчитайте это по модулю $998244353$.

Входные данные

Первая строка содержит строку $s$ ($1 \leq |s| \leq 1\,000$). $s$ состоит только из «1», «0» and «?». Гарантируется, что первый символ в $s$ — это «1».

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество пар, удовлетворяющих условиям, по модулю $998244353$.

Примечание

В первом примере, нам подходят $(111, 10001), (11, 10101), (1001, 11111)$.

G. Gold Experience

графы Конструктив математика Теория вероятностей теория чисел *3300

Рассмотрим неориентированный граф $G$ из $n$ вершин. В каждой вершине расположено целое число $a_i$.

Две вершины $i$ и $j$ соединены ребром, если и только если $gcd(a_i, a_j) > 1$, где $gcd(x, y)$ обозначает наибольший общий делитель (НОД) чисел $x$ и $y$.

Рассмотрим множество вершин. Скажем, что вершина в этом множестве честная, если она соединена ребром со всеми остальными вершинами в этом множестве.

Вам нужно найти множество из $k$ вершин ($k$ — фиксированное целое число, $2 \cdot k \le n$) такое, что в нём все вершины честные или все вершины не являются честными. Можно показать, что хотя бы одно такое множество всегда существует.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа $n$ и $k$ ($6 \leq 2 \cdot k \leq n \leq 10^5$) — the количество вершин и значение параметра $k$.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($2 \le a_i \le 10^7$) — значения, записанные в вершинах.

Выходные данные

Выведите ровно $k$ различных целых чисел — индексы элементов в множестве в любом порядке.

Примечание

В первом примере, множество $\{2, 4, 5\}$ является примером множества без честных вершин. Видно, что вершина $2$ не имеет общего ребра с вершиной $4$, так как $gcd(15, 8) = 1$. Вершина $4$ не имеет общего ребра с вершиной $2$. Вершина $5$ не имеет общего ребра с вершиной $2$.

Во втором примере множество $\{8, 5, 6, 4\}$ является примером множества, где все вершины честные.

D. Отказ от дорог

графы дп жадные алгоритмы Перебор *3000

Codefortia это маленькое островное государство, расположенное где-то в западной части Тихого океана. Оно состоит из $n$ поселений, соединенных $m$ двусторонними дорогами из гравия. Любопытно, что верования жителей требуют, чтобы время, необходимое для прохода по каждой дороге было равно $a$ или $b$ секунд. Гарантируется, что из любого поселения можно добраться до любого другого, пользуясь только дорогами из гравия.

Codefortia не так давно столкнулась с финансовым кризисом. Таким образом, король решил отказаться от некоторых дорог так, чтобы:

было возможно добраться из любого поселения до любого другого, пользуясь только оставленными дорогами,
сумма времен, которые требуются для проезда по каждой дороге, должна быть минимально возможной (другими словами, оставленные дороги должны образовывать минимальное остовное дерево, используя время, которое требуется для проезда по дороге как ее вес),
среди всех планов, которые минимизируют описанную выше сумму, время, которое нужно, для путешествия от королевской резиденции (в поселении $1$) до дома парламента (в поселении $p$) используя только оставленные дороги, должно быть минимально возможно.

К сожалению, король забыл, где находится дом парламента Для каждого поселения $p = 1, 2, \dots, n$, можете ли вы сказать, за какое минимальное время король может проехать от королевской резиденции до дома парламента (расположенном в поселении $p$), после отказа от некоторых дорог, по правилам описанным выше?

Входные данные

В первой строке записано четырые целых числа $n$, $m$, $a$ and $b$ ($2 \leq n \leq 70$, $n - 1 \leq m \leq 200$, $1 \leq a < b \leq 10^7$) — количество поселений и дорог из гравия в Codefortia, и два возможных времен проезда.

В следующих строках записано по три целых числа $u, v, c$ ($1 \leq u, v \leq n$, $u \neq v$, $c \in \{a, b\}$), описывающих дорогу из гравия между поселениями $u$ и $v$, для проезда по которой требуется $c$ минут.

Гарантируется, что система дорог связна и не имеет петель и кратных ребер.

Выходные данные

Выведите одну строку, содержащую $n$ целых чисел. $p$-е из них должно содержать минимальное время, которое нужно для проезда из $1$ в $p$, после отказа от выбранных дорог. Обратите внимание, что для разных $p$ вам может быть нужно отказаться от разных наборов дорог.

Примечание

Минимальное возможное время проездов по дорогам в первом примере равно $85$ — следует отказаться ровно от одной дороги, время проезда по которой равно $25$. Обратите внимание, что после отказа от одной из этих дорог, становится невозможно проехать от поселения $1$ до поселения $3$ за время $50$.

E. Предвыборные обещания

графы игры *3200

В Байтландии, две политические партии борются за места в парламенте на предстоящих выборах: Партия Wrong Answer и Партия Time Limit Exceeded. Поскольку они хотят убедить как можно больше граждан отдать за них свои голоса, они продолжают обещать все более низкие налоги.

В байтландии есть $n$ городов, соединенных $m$ односторонними дорогами.

Также интересно, что дорожная сеть не имеет циклов — невозможно начать в каком-то городе, пройти по нескольким дорогам и вернуться в этот город.

В прошлом году, жители $i$-го города должны были платить $h_i$ бурлей налога.

Теперь партии будут поочередно проводить избирательные съезды в разных городах.

Если партия проводит съезд в городе $v$, она должна уменьшить налог в этом городе до любого неотрицательного целого числа бурлей. Однако, в то же время она может произвольно изменить налоги в каждом из городов, которые могут быть достижимы из $v$, пройдя по одной дороге.

Единственное условие, которое должно быть выполнено, что налог в каждом городе должен оставаться неотрицательным целым количеством бурлей.

Первая партия, которое проводит съезд это Партия Wrong Answer. Ходят легенды, что партия, которая проведет последний съезд, победит на выборах.

Может ли Партия Wrong Answer победить, независимо от ходов Партии Time Limit Exceeded?

Входные данные

В первой строке записано два целых числа $n$, $m$ ($1 \leq n \leq 200\,000$, $0 \leq m \leq 200\,000$) — количество городов и дорог в Байтландии.

В следующей строке записано $n$ целых чисел, разделенных пробелами $h_1, h_2, \dots, h_n$ ($0 \leq h_i \leq 10^9$); $h_i$ обозначает налог, который требуется платить в $i$-м городе.

В каждой из следующих $m$ строк записано по два целых числа ($1 \leq u, v \leq n$, $u \neq v$), описывающих дорогу, ведущую из города $u$ в город $v$. Гарантируется, что в сети дорог нет циклов. Никакие две дороги не соединяют одну и ту же пару городов.

Можно показать, что съезды не могут продолжаться бесконечно для любого корректного теста.

Выходные данные

Если Партия Wrong Answer может выиграть выборы, выведите WIN на первой строке вашего вывода. В этом случае, мы вас дополнительно просим вывести $n$ неотрицательных целых чисел $h'_1, h'_2, \dots, h'_n$ ($0 \leq h'_i \leq 2 \cdot 10^{18}$), описывающих налоги в каждом городе после первого съезда, которые позволят выиграть. Если существует несколько возможных ответов, вы можете вывести любой. Гарантируется, что если у партии есть выигрышный ход, то существует и выигрышный ход, в котором в каждом городе налог не превосходит $2 \cdot 10^{18}$ бурлей.

Если партия не может гарантировать свою победу, выведите LOSE в первой и единственной строке вывода.

Примечание

В первом примере, Партия Wrong Answer должна провести съезд в городе $1$. Партия уменьшит налоги в этом городе до $1$ бурля. Так как город $2$ напрямую соединен с городом $1$, мы можем как угодно поменять налоги в этом городе. Партия должна поменять налог на $5$ бурлей. Можно просто доказать, что Time Limit Exceeded не может выиграть выборы после такого действия если Партия Wrong Answer будет играть оптимально.

Во втором примере теста представлена ситуация, которую мы создали после одного хода в предыдущем тесте; Так как сейчас это ход партии Wrong Answer, партия не может выиграть.

В третьем примере, мы должны провести съезд в первом городе, так как все города непосредственно соединены с ним, и мы можем поставить туда любое число, например, мы можем уменьшить налоги во всех города до нуля, что даст право Партии Wrong Answer сразу же выигрывать выборы.

A. Праздник

графы Деревья поиск в глубину и подобное *900

В компании работает n сотрудников, пронумерованных от 1 до n. У каждого сотрудника либо нет руководителя, либо есть ровно один непосредственный руководитель — некоторый другой сотрудник с другим номером. Сотрудник A называется начальником другого сотрудника B, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

Сотрудник A — непосредственный руководитель сотрудника B.
У сотрудника B есть непосредственный руководитель, сотрудник C, такой, что A является начальником сотрудника C.

В структуре компании нет циклов. То есть никакой сотрудник не является начальником своего непосредственного руководителя.

Сегодня компания собирается организовать праздник. Для этого необходимо разделить всех n сотрудников на несколько групп: каждый человек должен относиться ровно к одной группе. Более того, в каждой группе не должно быть таких двух сотрудников A и B, что A является начальником B.

Ваша задача — найти наименьшее возможное количество таких групп.

Входные данные

Первая строка содержит целое число n (1 ≤ n ≤ 2000) — количество сотрудников.

Следующие n строк содержат целые числа p_i (1 ≤ p_i ≤ n или p_i = -1). Каждое p_i обозначает непосредственного руководителя i-го сотрудника. Если p_i равно -1, то i-ый сотрудник не имеет непосредственного руководителя.

Гарантируется, что никакой сотрудник не является своим собственным непосредственным руководителем (p_i ≠ i). Также гарантируется, что структура компании не содержит циклов.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное количество групп, на которые можно разделить всех сотрудников.

Примечание

В первом примере достаточно трех групп:

Сотрудник 1
Сотрудники 2 и 4
Сотрудники 3 и 5

E. Неко и флэшбеки

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2400

Перестановкой длины $k$ называется последовательность из $k$ целых чисел от $1$ до $k$, в которой каждое число встречается ровно один раз. Например последовательность $[3, 1, 2]$ является перестановкой длины $3$.

Когда Неко было пять лет, он придумал массив $a$ из $n$ положительных целых чисел и перестановку $p$ длины $n - 1$. Затем он выполнил следующее:

Составил массив $b$ длины $n-1$, где $b_i = \min(a_i, a_{i+1})$.
Составил массив $c$ длины $n-1$, где $c_i = \max(a_i, a_{i+1})$.
Составил массив $b'$ длины $n-1$, где $b'_i = b_{p_i}$.
Составил массив $c'$ длины $n-1$, где $c'_i = c_{p_i}$.

Например, если массив $a$ был равен $[3, 4, 6, 5, 7]$, а перестановка $p$ была равна $[2, 4, 1, 3]$, то Неко составил бы массивы следующим образом:

$b = [3, 4, 5, 5]$
$c = [4, 6, 6, 7]$
$b' = [4, 5, 3, 5]$
$c' = [6, 7, 4, 6]$

Затем он записал массивы $b'$ и $c'$ на бумажку, после чего благополучно о ней забыл. Спустя 14 лет, в процессе уборки своей комнаты, он обнаружил эту старую бумажку с массивами $b'$ и $c'$. К сожалению, Неко не смог вспомнить какой массив $a$ и перестановку $p$ он при этом использовал.

В случае если Неко ошибся, и массива $a$ и перестановки $p$, приводящим к таким $b'$ и $c'$ не существует, выведите -1. Иначе помогите восстановить ему любой возможный массив $a$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($2 \leq n \leq 10^5$) — количество элементов в массиве $a$.

Вторая строка содержит $n-1$ целых чисел $b'_1, b'_2, \ldots, b'_{n-1}$ ($1 \leq b'_i \leq 10^9$).

Третья строка содержит $n-1$ целых чисел $c'_1, c'_2, \ldots, c'_{n-1}$ ($1 \leq c'_i \leq 10^9$).

Выходные данные

В случае если Неко совершил ошибку и массива $a$ и перестановки $p$, приводящих к описанным $b'$ и $c'$ не существует, то выведите -1, иначе выведите $n$ целых чисел $a_i$ ($1 \le a_i \le 10^9$), обозначающих элементы массива $a$.

В случае если существует несколько возможных решений, выведите любое из них.

Примечание

Первый пример разобран в условии задачи.

В третьем примере для $a = [3, 4, 5, 2, 1, 4, 3, 2]$, возможная перестановка $p$ выглядит следующим образом $[7, 1, 5, 4, 3, 2, 6]$. В таком случае Неко построил бы следующие:

$b = [3, 4, 2, 1, 1, 3, 2]$
$c = [4, 5, 5, 2, 4, 4, 3]$
$b' = [2, 3, 1, 1, 2, 4, 3]$
$c' = [3, 4, 4, 2, 5, 5, 4]$

F. Олигополия на доставку

графы дп Перебор *2800

Весь рынок доставки Берляндии находится под контролем у двух враждующих компаний: BerEx и BerPS. Обе компании предоставляют быструю и надежную доставку по всем городами Берляндии.

Карта Берляндии может быть представлена в виде неориентированного графа. Города — это вершины, а дороги — ребра, их соединяющие. Каждая пара городов соединена не более, чем одной дорогой. Каждая дорога соединяет различные города.

BerEx и BerPS соперничают настолько серьезно, что для каждой пары городов $(v, u)$ они установили свои маршруты из $v$ в $u$ таким образом, что эти два маршрута не имеют ни одной общей дороги. Гарантируется, что это было возможно.

Теперь правительство Берляндии решило урезать траты на поддержание дорог путем отказа от поддержания некоторых. Очевидно, они хотят поддерживать как можно меньше дорог. С другой стороны, они не хотят разрушить всю структуру доставок. То есть BerEx и BerPS должны сохранить возможность выбирать пути между каждой парой городов так, чтобы они не имели общих ребер.

Какое минимальное количество ребер правительство Берляндии может поддерживать?

Более формально, по заданному неориентированному реберно двусвязному графу сообщить минимальное число ребер, которое можно в нем оставить так, чтобы полученный граф тоже был реберно двусвязным.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $m$ ($3 \le n \le 14$, $n \le m \le \frac{n(n - 1)}{2}$) — количество городов и количество дорог между ними.

В каждой из следующих $m$ строк записаны по два целых числа $v$ и $u$ ($1 \le v, u \le n$, $v \ne u$) — города, соединенные очередной дорогой.

Гарантируется, что каждая пара городов соединена не более, чем одной дорогой. Гарантируется, что между каждой парой городов есть хотя бы два пути, которые не имеют общих ребер.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число $k$ – минимальное число дорог, которое правительство Берляндии может поддерживать так, чтобы у BerEx и BerPS оставалась возможность выбирать пути между каждой парой городов так, чтобы они не имели общих ребер.

Следующие $k$ строк должны содержать список дорог, которые будут поддерживаться. Каждая строка имеет вид "$v~u$", где $v$ и $u$ — это города, соединенные очередной дорогой.

Если существует несколько списков минимального размера, то выведите любой. Порядок дорог в списке не имеет значения.

Примечание

Здесь представлены графы из примеров, красные ребра значат дороги, которые поддерживаются.

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

G. Оптимизатор

графы жадные алгоритмы реализация хэши *2700

Рассмотрим программу, написанную на каком-то странном языке программирования. Переменные в этом языке имеют идентификаторы длиной от $1$ до $4$ символов, и каждый символ — это либо латинская буква (строчная или прописная), либо цифра. Дополнительное условие: первый символ в идентификаторе не может быть цифрой.

В программе используются четыре типа операций, обозначаемых символами: $, ^, # и &.

Каждая строка программы записана в одном из следующих форматов:

<lvalue>=<rvalue>, где <lvalue> и <rvalue> — корректные идентификаторы переменных;
<lvalue>=<arg1><op><arg2>, где <lvalue>, <arg1> и <arg2> — корректные идентификаторы переменных, а <op> — символ операции.

Программа исполняется последовательно, строка за строкой, и результат исполнения записан в переменной res. Если res в ходе программы никогда не переприсваивается, результат — это значение res до исполнения программы.

Две программы называются эквивалентными, если вне зависимости от смысла операций $, ^, # и & (но, очевидно, одна и та же операция с одним и тем же набором аргументов должна давать один и тот же результат) и значений переменных до запуска программы значение res после исполнения первой программы равно значению res после исполнения второй программы (программы исполняются независимо).

Вам дана программа из $n$ строк. Ваша задача — написать программу с минимально возможным количеством строк, которая эквивалентна данной.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 1000$) — количество строк в программе.

Затем следуют $n$ строк — сама программа. Каждая строка задается в формате, описанном в условии, и не содержит пробелов.

Выходные данные

В первой строке выведите $k$ — минимальное количество строк в эквивалентной программе.

Затем выведите $k$ строк без пробелов — эквивалентную программу ровно из $k$ строк в том же формате, который описан в условии.

C. Восстановление перестановки

графы жадные алгоритмы Конструктив математика поиск в глубину и подобное сортировки Структуры данных *2100

Вася написал в тетради некоторую перестановку $p_1, p_2, \ldots, p_n$ чисел от $1$ до $n$, то есть для всех $1 \leq i \leq n$ выполнено $1 \leq p_i \leq n$, и все $p_1, p_2, \ldots, p_n$ различны. После этого он записал $n$ значений $next_1, next_2, \ldots, next_n$. Значение $next_i$ равно минимальному индексу $i < j \leq n$, такому что $p_j > p_i$. Если такого $j$ не существует, то определим значение как $next_i = n + 1$.

Вечером Вася шел домой из школы, и из-за дождя тетрадь намокла. Теперь некоторые написанные числа невозможно разобрать. Перестановка, а также некоторые значения $next_i$ полностью утеряны! Если для какого-то $i$ значение $next_i$ теперь неизвестно, то скажем, что $next_i = -1$.

Вам даны значения $next_1, next_2, \ldots, next_n$ (возможно, некоторые числа теперь равны $-1$). Помогите Васе найти любую такую перестановку $p_1, p_2, \ldots, p_n$ чисел от $1$ до $n$, что он может записать её в тетрадь, и все значения $next_i$, не равные $-1$, будут посчитаны правильно.

Входные данные

В первой строке находится одно целое число $t$ — количество тестовых случаев ($1 \leq t \leq 100\,000$).

В следующих $2 \cdot t$ строках находится описание тестовых случаев, по две строки на каждый. В первой из этих строк находится единственное целое число $n$ — количество чисел в перестановке, выписанной Васей ($1 \leq n \leq 500\,000$). В следующей строке находится $n$ целых чисел $next_1, next_2, \ldots, next_n$, разделенных пробелами ($next_i = -1$ или $i < next_i \leq n + 1$).

Гарантируется, что сумма $n$ по всем тестовым случаям не превосходит $500\,000$.

Во взломах разрешается использовать только один тестовый случай, то есть $T = 1$.

Выходные данные

Выведите $T$ строк, в $i$-й ответ на $i$-й тестовый случай.

Если таких перестановок $p_1, p_2, \ldots, p_n$ чисел от $1$ до $n$, которые мог выписать Вася не существует, то выведите единственное число $-1$.

Иначе выведите $n$ различных целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_n$, разделённых пробелами ($1 \leq p_i \leq n$). Все определённые значения $next_i$, не равные $-1$, должны быть вычислены верно из перестановки $p_1, p_2, \ldots, p_n$ по определению из условия задачи. Если существует несколько таких перестановок, найдите любую.

Примечание

В первом тестовом случае для перестановки $p = [1, 2, 3]$ получится $next = [2, 3, 4]$, так как каждый элемент перестановки меньше следующего. Можно заметить, что это единственная подходящая перестановка.

Во третьем тестовом случае подойдет любая перестановка, так как все значения $next_i$ неизвестны.

В четвертом тестовом случае не существует ни одной подходящей перестановки, поэтому ответ $-1$.

E. Волшебные перестановки

битмаски графы Конструктив математика Перебор Структуры данных *2400

Куро только что узнал о перестановках и этого его вдохновило придумать новый вид перестановок. Он выбрал $n$ различных целых положительных чисел и сделал из них множество $S$. Теперь он определяет волшебную перестановку следующим образом:

Это перестановка всех целых чисел от $0$ до $2^x - 1$, где $x$ это какое-то неотрицательное целое число.
Побитовое исключающее или любых двух соседних элементов перестановки лежит в множестве $S$.

Так как Куро очень восхищённо относится к волшебным перестановкам, то он хочет создать самую длинную возможную волшебную перестановку. Иначе говоря, он хочет найти такое наибольшее неотрицательное целое число $x$, что существует волшебная перестановка целых чисел от $0$ до $2^x - 1$. Поскольку он немного новичок в вопросе перестановок, он хочет чтобы вы ему помогли и нашли это $x$, а также волшебную перестановку для этого $x$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — количество элементов в множестве $S$.

Вторая строка содержит $n$ различных целых чисел $S_1, S_2, \ldots, S_n$ ($1 \leq S_i \leq 2 \cdot 10^5$) — элементы множества $S$.

Выходные данные

В первой строке выведите наибольшее неотрицательное целое число $x$, такое что существует волшебная перестановка чисел от $0$ до $2^x - 1$.

Затем выведите $2^x$ целых чисел задающую волшебную перестановку чисел от $0$ до $2^x - 1$. В случае если существует несколько таких волшебных перестановок, выведите любую из них.

Примечание

В первом примере $0, 1, 3, 2$ образует волшебную перестановку так как:

$0 \oplus 1 = 1 \in S$
$1 \oplus 3 = 2 \in S$
$3 \oplus 2 = 1 \in S$

Где $\oplus$ обозначает операцию побитового исключающего ИЛИ.

F. Цена поездки

графы кратчайшие пути Структуры данных *3000

В стране Капипаленд, в которой живут Куро и Широ, есть $n$ городов, пронумерованных от $1$ до $n$, и $m$ двусторонних дорог их соединяющих, пронумерованных от $1$ до $m$, $i$-я дорога соединяет города $u_i$ и $v_i$. Путешествовать между городами достаточно непросто, поэтому крайне развита индустрия такси. Чтобы выжить конкуренцию с другим такси, каждая компания должна найти свой особый подход к клиентам.

Куро является владельцем одной такси-компании. Он хочет ввести новую ценовую политику в своей компании, согласно которой цена поездки зависит не от длины поездки, а от суммы цен дорог, по которым проедет такси. Цену каждой из $m$ дорог назначает лично Куро.

В настоящий момент, цена $i$-й дороги равна $w_i$ и соответственно цена поездки на такси по дорогам $e_1, e_2, \ldots, e_k$ равна $\sum_{i=1}^k w_{e_i}$.

Однако Куро сам по себе не очень решительный человек, так что он подготовил $q$ планов по изменению цен дорог. Каждый из планов основан на изначальных ценах $w_i$, за исключением одной дороги $t_j$, цена которой меняется на $x_j$. Обратите внимание, что все планы независимы друг от друга.

Широ является постоянным клиентом такси Куро, так как она использует такси между городами $1$ и $n$ каждый день. Так как она настолько регулярный клиент, Куро решил показать ей все $q$ своих планов перед тем как их опубликовать. Широ интересуется, какую наименьшую цену ей придётся заплатить за поездку из города $1$ в город $n$ в каждом из планов Куро.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $q$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m, q \le 2 \cdot 10^5$) — количество городов, количество дорог и количество планов, которые набросал Куро.

$i$-я из следующих $m$ строк содержит три целых числа $u_i$, $v_i$ и $w_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $1 \le w_i \le 10^9$, $u_i \ne v_i$) — концы и исходная цена $i$-й дороги.

Гарантируется, что существует хотя бы один способ добраться из города $1$ в город $n$ по данным $m$ двусторонним дорогам.

Каждая из следующих $q$ строк содержит два целых числа $t_j$ и $x_j$ ($1 \leq t_j \leq m, 1 \leq x_j \leq 10^9$) — номер дороги меняющейся в очередном плане и её новая цена.

Выходные данные

Выведите $q$ целых чисел — наименьшую цену поездки, которую Широ придётся заплатить, чтобы добраться из города $1$ в город $n$ в каждом из $q$ планов.

Примечание

В первом примере, дорожная система Капипаленд выглядит следующим образом, где число на дороге обозначает её изначальную цену:

$\text{[math]}$

В первом плане цены выглядят следующим образом:

$\text{[math]}$

Наименьшая возможная цену поездки Широ в этом плане равна $4$, для этого ей нужно поехать по пути $1 \rightarrow 4$.

Во втором плане цены выглядят следующим образом:

$\text{[math]}$

Наименьшая возможная цену поездки Широ в этом плане равна $2$, для этого ей нужно поехать по пути $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4$.

В третьем плане цены выглядят следующим образом:

$\text{[math]}$

Наименьшая возможная цену поездки Широ в этом плане равна $5$, для этого ей нужно поехать по пути $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4$.

F. Служба доставки Вики

графы снм Структуры данных хэши *2400

В одной волшебной стране ровно $n$ городов, пронумерованных $1, 2, \dots, n$. Некоторые пары городов соединены волшебными цветными дорогами. Волшебство непостоянно, поэтому иногда между городами возникают новые дороги.

Работа ведьмы Вики — доставлять посылки из одних городов в другие. Вики — новичок, поэтому она может выполнить доставку, только если существует двойной радужный путь из начального города в конечный. Двойным радужным путем называется последовательность городов $c_1, c_2, \dots, c_k$, удовлетворяющая следующим свойствам:

Для каждого $i$, где $1 \le i \le k - 1$, города $c_i$ и $c_{i + 1}$ соединены дорогой.
Для каждого $i$, где $1 \le i \le \frac{k - 1}{2}$, дороги, соединяющие $c_{2i}$ с городами $c_{2i - 1}$ и $c_{2i + 1}$, должны иметь один и тот же цвет.

Например, если $k = 5$, то дорога между городами $c_1$ и $c_2$ должна быть того же цвета, что и дорога между $c_2$ и $c_3$, а дорога между $c_3$ и $c_4$ должна иметь тот же цвет, что и дорога между $c_4$ и $c_5$.

У Вики есть список событий в хронологическом порядке. Каждое событие — это либо доставка, которую она должна выполнить, либо появление новой дороги. Помогите ей определить, какие доставки она сможет выполнить.

Входные данные

Первая строка содержит четыре целых числа $n$, $m$, $c$ и $q$ ($2 \le n \le 10^5$, $1 \le m, c, q \le 10^5$) — число городов, число дорог изначально, число различных цветов, которые может иметь дорога, и количество событий, соответственно.

Каждая из следующих $m$ строк содержит три целых числа $x$, $y$ и $z$ ($1 \le x, y \le n$, $1 \le z \le c$), описывающих, что изначально существует двунаправленная дорога цвета $z$ между городами $x$ и $y$.

Далее следуют $q$ строк, описывающих события. Каждое событие описано в одном из следующих форматов:

+ x y z ($1 \le x, y \le n$, $1 \le z \le c$): означает, что между городами $x$ и $y$ появляется дорога цвета $z$;
? x y ($1 \le x, y \le n$): означает, что вы должны определить, может ли Вики совершить доставку из города $x$ в город $y$. Гарантируется, что $x \neq y$.

Гарантируется, что в любой момент времени любую пару городов соединяет не больше одной дороги, и никакая дорога не соединяет город сам с собой. Также гарантируется, что хотя бы один из запросов имеет второй тип.

Выходные данные

Для каждого события сторого типа выведите одну строку, содержащую «Yes» (без кавычек), если доставку можно осуществить, и «No» (без кавычек) иначе.

Примечание

Пример соответствует рисунку.

$\text{[math]}$

Для первой доставки Вики может использовать путь 1, 2, 3, 4, который является двойным радужным. Вторую доставку нельзя осуществить, так как лучшее, что может сделать Вики — добраться до города $3$. После добавления новой дороги между городами $1$ и $3$, Вики может добраться из города $4$ в город $1$ по двойному радужному пути 4, 3, 1.

C. Распространение новостей

графы поиск в глубину и подобное снм *1400

В некоторой социальной сети зарегистрированы $n$ пользователей. Они общаются между собой в $m$ группах. Давайте рассмотрим процесс распространения новостей между пользователями.

Изначально какой-нибудь пользователь $x$ узнает новость из какого-то внешнего источника. Затем этот пользователь отправляет новость всем своим друзьям (два пользователя считаются друзьями, если они оба принадлежат к какой-нибудь группе). Друзья продолжают отправлять новость своим друзьям, и так далее. Процесс заканчивается, когда не останется ни одной пары друзей, в которой один пользователь знает новость, а другой — нет.

Для каждого пользователя $x$ определите, сколько пользователей в конечном итоге узнает новость, если $x$ начнет ее распространять.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 5 \cdot 10^5$) — the количество пользователей и групп, соответственно.

Затем следуют $m$ строк, каждая из которых описывает группу. $i$-я строка начинается целым числом $k_i$ ($0 \le k_i \le n$) — количество пользователей в $i$-й группе. Затем следуют $k_i$ различных чисел, обозначающих пользователей, принадлежащих к $i$-й группе.

Гарантируется, что $\sum \limits_{i = 1}^{m} k_i \le 5 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел. $i$-е из них должно быть равно количеству пользователей, которые узнают новость, если пользователь $i$ начнет ее распространять.

B. Пары

графы реализация *1500

У жабы Ивана есть $m$ пар целых чисел, каждое число в них находится в пределах от $1$ до $n$ включительно. Это пары $(a_1, b_1), (a_2, b_2), \ldots, (a_m, b_m)$.

Он просит вас проверить, существует ли два таких целых числа $x$ и $y$ ($1 \leq x < y \leq n$), что в каждой данной паре хотя бы одно число равно $x$ или $y$.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 300\,000$, $1 \leq m \leq 300\,000$) — максимально возможное значение чисел в парах и количество данных пар.

В следующих $m$ строк записано по два целых числа, $i$-я из этих строк содержит два целых числа, разделенных пробелами: $a_i$ и $b_i$ ($1 \leq a_i, b_i \leq n, a_i \neq b_i$) — числа в $i$-й паре.

Выходные данные

Выведите «YES», если существуют два таких целых числа $x$ и $y$ ($1 \leq x < y \leq n$), что в каждой данной паре хотя бы одно число равно $x$ или $y$. Иначе выведите «NO». Вы можете выводить каждую букву в любом регистре (верхнем или нижнем).

Примечание

В первом примере вы не можете выбрать подходящие $x$, $y$, потому что для каждой такой пары вы можете найти пару, которая их не содержит.

Во втором примере вы можете выбрать $x=2$ и $y=4$.

В третьем примере вы можете выбрать $x=1$ и $y=2$.

C. Цикл

Турнир — ориентированный граф без петель, в котором каждая пара вершин соединена ровно одним ребром. То есть для любых двух вершин u и v (u ≠ v) либо есть ребро из u в v, либо есть ребро из v в u.

Дан турнир из n вершин. Требуется найти в нем цикл длины три.

Входные данные

В первой строке задано целое число n (1 ≤ n ≤ 5000). В следующих n строках задана матрица смежности графа A (без пробелов). A_i, j = 1, если в графе есть ребро из вершины i в вершину j, в противном случае A_i, j = 0. A_i, j обозначает j-ый символ в i-ой строке.

Гарантируется, что заданный граф является турниром, то есть A_i, i = 0, A_i, j ≠ A_j, i (1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j).

Выходные данные

Выведите три различные вершины графа a₁, a₂, a₃ (1 ≤ a_i ≤ n), такие что A_a₁, a₂ = A_a₂, a₃ = A_a₃, a₁ = 1, или «-1», если цикла длины три не существует.

Если решений несколько, выведите любое.

E. Дерево или не дерево

графы Деревья разделяй и властвуй реализация Структуры данных *2900

Дан неориентированный связный граф G из n вершин и n ребер. G не содержит петель и кратных ребер. Пусть у каждого ребра этого графа есть два состояния: включено и выключено. Изначально все ребра выключены.

Также вам даны m запросов вида (v, u) — изменить состояние всех ребер на кратчайшем пути из вершины v в вершину u в графе G, если таких путей несколько, выбирается лексикографически наименьший. Более формально, рассмотрим все кратчайшие пути из вершины v в вершину u как последовательности вершин v, v₁, v₂, ..., u. Среди таких последовательностей выбирается лексикографически наименьшая.

Требуется после каждого запроса сказать, сколько компонент связности в графе, вершины которого совпадают с вершинами графа G, а ребра совпадают с включенными ребрами графа G.

Входные данные

В первой строке задано два целых числа — n и m (3 ≤ n ≤ 10⁵, 1 ≤ m ≤ 10⁵). Далее в n строках заданы ребра графа в виде a b (1 ≤ a, b ≤ n). В следующих m строках заданы запросы в виде v u (1 ≤ v, u ≤ n).

Гарантируется, что граф связный, а также не содержит петель и кратных ребер.

Выходные данные

Выведите m строк по одному целому числу в каждой — ответы на запросы.

Примечание

Рассмотрим первый пример. Будем синим выделять на рисунке включенные ребра.

Граф до применения операций. В графе нет включенных ребер, поэтому 5 компонент связности есть изначально.
$\text{[math]}$
Граф после запроса v = 5, u = 4. Видно, что в графе 3 компоненты, если рассматривать только включенные ребра.
$\text{[math]}$
Граф после запроса v = 1, u = 5. Видно, что в графе 3 компоненты, если рассматривать только включенные ребра.
$\text{[math]}$

Лексикографическое сравнение двух последовательностей одинаковой длины (k чисел) происходит следующим образом. Последовательность x лексикографически меньше последовательности y если существует такое i (1 ≤ i ≤ k), что x_i < y_i, а для любого j (1 ≤ j < i) x_j = y_j.

G. Разбиение графа

*особая задача графы

Задан неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер.

Напомним, что цикл — это путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине. Цикл в графе называется простым, если он содержит каждую вершину (за исключением стартовой и конечной) не более одного раза (стартовая и конечная всегда содержится дважды). Заметьте, что петли также считаются простыми циклами.

За один ход Вы можете выбрать любой простой цикл в этом графе и удалить ребра, соответствующие этому циклу (соответствующие вершины остаются в графе). Разрешается удалять петлю или две копии одного ребра (см. тестовые примеры).

Ваша задача — применить некоторую последовательность ходов, чтобы получить граф, в котором нет ребер. Минимизировать количество циклов не обязательно. Если это невозможно, выведите «NO».

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин и количество ребер в графе.

Следующие $m$ строк содержат ребра графа. $i$-я строка содержит $i$-е ребро $x_i, y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$), где $x_i$ и $y_i$ — вершины, соединенные $i$-м ребром. Граф может содержать петли и кратные ребра.

Выходные данные

Если невозможно разбить граф на простые циклы, выведите «NO» в первой строке.

Иначе выведите «YES» в первой строке. Во второй строке выведите $k$ — количество простых циклов в разбиении графа.

В следующих $k$ строках выведите сами циклы. $j$-я строка должна содержать $j$-й цикл. Сначала выведите $c_j$ — количество вершин в $j$-м цикле. Затем выведите цикл как последовательность вершин. Все соседние (последовательные) вершины в выведенном пути должны быть соединены ребром, которое не содержится в других циклах.

Примечание

Картинка, соответствующая первому тестовому примеру: $\text{[math]}$

F. Ихаб и Большой Финал

графы Деревья интерактив Конструктив разделяй и властвуй реализация *2400

Это интерактивная задача.

Вам дано дерево, состоящее из $n$ вершин, с корнем в вершине $1$. Дерево — это связный граф без циклов.

Мы выбрали секретную вершину $x$. Чтобы найти эту вершину, вы можете задавать запросы двух типов:

d $u$ ($1 \le u \le n$). Мы ответим расстоянием между вершинами $u$ и $x$. Расстояние между двумя вершинами — это количество ребер в кратчайшем пути между ними.
s $u$ ($1 \le u \le n$). Мы ответим номер второй вершины на пути от $u$ до $x$. Тем не менее, есть одна хитрость. Если $u$ не является предком $x$, вы получите вердикт «Неправильный ответ»!

Вершина $a$ называется предком вершины $b$, если $a \ne b$ и кратчайший путь от вершины $1$ к вершине $b$ проходит через вершину $a$. Обратите внимание, что в этой задаче вершина не является предком сама себе.

Можете ли вы найти $x$, сделав не более $36$ запросов? Скрытая вершина зафиксирована в каждом тесте заранее и не зависит от ваших запросов.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

Каждая из следующих $n-1$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u,v \le n$), которые значат, что между вершинами $u$ и $v$ есть ребро. Гарантируется, что граф образует дерево.

Выходные данные

Чтобы вывести ответ, выведите «! x» (без кавычек).

Протокол взаимодействия

Чтобы задать запрос, выведите в одном из двух следующих форматов:

d $u$ ($1 \le u \le n$), или
s $u$ ($1 \le u \le n$).

После каждого вопроса вы должны прочитать ответ: либо расстояние, либо вторую вершину пути, как описано в легенде.

Если мы ответим $-1$ вместо корректного ответа, это означает, что вы превысили количество запросов, сделали неверный запрос или нарушили условие во втором типе запросов. Завершите вашу программу сразу после получения $-1$, и вы получите вердикт Wrong answer. В противном случае вы можете получить другой вердикт, потому что ваше решение будет продолжать читать из закрытого потока.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Взломы:

Первая строка должна содержать два целых числа $n$ и $x$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le x \le n$).

Каждая из следующих $n-1$ строк должна содержать два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u,v \le n$), которые значат, что между вершинами $u$ и $v$ есть ребро. Граф должен образовать дерево.

Примечание

В первом примере секретной вершиной является вершина $5$.

$\text{[math]}$

Сначала мы спросим о расстоянии между вершинами $x$ и $2$. Ответ $3$, поэтому вершина $x$ равна либо $4$, либо $5$. Затем мы спрашиваем о второй вершине на пути от вершины $3$ к вершине $x$. Обратите внимание, что вершина $3$ является предком вершины $5$. Мы получаем вершину $5$ в качестве ответа. Наконец, мы сообщаем, что секретная вершина — это вершина $5$.

D. Восстанавливай!

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное сортировки теория чисел *1800

Авторы загадали массив $a$, состоящий из $n$ целых чисел; каждое число не меньше $2$ и не больше $2 \cdot 10^5$. Вы не знаете его, но Вы знаете массив $b$, который был получен из массива $a$ при помощи следующей последовательности операций:

Сначала весь массив $b$ равен массиву $a$;
Затем для каждого $i$ от $1$ до $n$:
- если $a_i$ является простым числом, тогда число $p_{a_i}$ добавляется в массив $b$, где $p$ — бесконечная последовательность простых чисел ($2, 3, 5, \dots$);
- иначе (если $a_i$ не является простым числом), наибольший делитель $a_i$, не равный $a_i$, добавляется в $b$;
Затем получившийся массив длины $2n$ перемешивается и дается Вам во входных данных.

Здесь $p_{a_i}$ означает $a_i$-е простое число. Первое простое число $p_1 = 2$, второе простое число $p_2 = 3$, и так далее.

Ваша задача — восстановить любой подходящий массив $a$, который формирует заданный массив $b$. Гарантируется, что ответ существует (таким образом, массив $b$ получен из какого-либо подходящего массива $a$). Если существует несколько возможных ответов, Вы можете вывести любой.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество элементов в $a$.

Вторая строка входных данных содержит $2n$ целых чисел $b_1, b_2, \dots, b_{2n}$ ($2 \le b_i \le 2750131$), где $b_i$ равно $i$-му элементу $b$. $2750131$ является $199999$-м простым числом.

Выходные данные

В единственной строке выходных данных выведите $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($2 \le a_i \le 2 \cdot 10^5$) в любом порядке — массив $a$, из которого можно получить массив $b$ при помощи последовательности ходов, описанных в условии задачи. Если существует несколько возможных ответов, Вы можете вывести любой.

E. Покрывай!

графы Деревья кратчайшие пути поиск в глубину и подобное снм *1700

Задан неориентированный невзвешенный связный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Гарантируется, что в данном графе нет петель и кратных ребер.

Ваша задача — выбрать не более $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ вершин в данном графе так, чтобы каждая невыбранная вершина была смежна (другими словами, связана ребром) с хотя бы одной выбранной вершиной.

Гарантируется, что ответ существует. Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Требуется ответить на несколько независимых запросов.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 2 \cdot 10^5$) — количество запросов.

Затем следуют $t$ запросов.

В первой строке каждого запроса записаны два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $n - 1 \le m \le min(2 \cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2})$) — количество вершин и количество ребер, соответственно.

Следующие $m$ строк задают ребра: ребро $i$ представлено парой целых чисел $v_i$, $u_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$, $u_i \ne v_i$), являющимися номерами вершин, связянных ребром.

В данном графе нет петель и кратных ребер, т. е. для каждой пары ($v_i, u_i$) в списке ребер больше нет пар ($v_i, u_i$) или ($u_i, v_i$), и для каждой пары ($v_i, u_i$) выполняется $v_i \ne u_i$. Гарантируется, что данных граф связен.

Гарантируется, что $\sum m \le 2 \cdot 10^5$ по всем запросам.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите две строки.

В первой строке выведите $k$ ($1 \le \lfloor\frac{n}{2}\rfloor$) — количество выбранных вершин.

Во второй строке выведите $k$ различных целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_k$ в произвольном порядке, где $c_i$ равно номеру $i$-й выбранной вершины.

Гарантируется, что ответ всегда существует. Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом запросе любая вершина или любая пара вершин подойдет.

$\text{[math]}$

Обратите внимание, что не обязательно минимизировать количество выбранных вершин. Во втором запросе двух вершин достаточно (вершины $2$ и $4$), но три так же подойдут.

$\text{[math]}$

H. Фондовая биржа

Бинарный поиск графы Потоки *3500

Предупреждение: в этой задаче необычное ограничение по памяти!

Боб решил, что он не будет тратить свои лучшие года, создавая программное обеспечение для больших компаний, а вместо этого он будет зарабатывать на хлеб на Рейкьявикской фондовой бирже. Рейкьявикская фондовая биржа — единственная настоящая фондовая биржа в мире. Там есть только один вид транзакций — взять одну акцию вида $x$ и обменять ее на другую акцию вида $y$, но это можно сделать, только если цена акции $x$ не меньше цены акции $y$.

Всего есть $2n$ видов акций, пронумерованных от $1$ до $2n$, которые интересны Бобу. У Боба есть по одной акции видов от $1$ до $n$, а хотел бы в будущем владеть по одной акции видов от $n+1$ до $2n$.

Боб смог спрогнозировать цену каждой акции — в момент времени $t \geq 0$ одна акция вида $i$ будет стоить $a_i \cdot \lfloor t \rfloor + b_i$. Сейчас $t = 0$. Помогите Бобу найти минимально возможный момент времени, когда он сможет владеть по одной акции видов от $n+1$ до $2n$ и минимальное количество транзакций, которые нужно совершить, чтобы получить эти акции.

Можете считать, что фондовая биржа имеет неограниченное количество акций каждого вида в любой момент времени.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 2200$) — количество видов акций, которые есть у Боба.

Каждая из следующих $2n$ строк содержит два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($0 \leq a_i, b_i \leq 10^9$) — параметры изменения цены $i$-го вида акций.

Выходные данные

Если Боб не может достичь своей цели, то выведите $-1$.

Иначе выведите два целых числа $T$ и $E$, где $T$ — минимальное возможное время, когда Боб может достичь своей цели, а $E$ — минимальное количество транзакций, необходимых для достижения цели в момент времени $T$.

Примечание

В первом примере Боб может просто ждать, когда будет $t = 3$ и обе акции будут иметь одинаковую цену, и сделать транзакцию.

Во втором примере оптимальная стратегия выглядит так: нужно обменять акцию вида $2$ на акцию вида $1$ в момент времени $t = 1$, после этого нужно обменять первую акцию вида $1$ на акцию вида $3$ в момент времени $t = 5$ (когда они обе стоят $15$), а вторую в момент времени $t = 6$ обменять на акцию вида $4$ (когда они стоят $18$ и $17$ соответственно). Обратите внимание, что он может достичь своей цели за две транзакции, но это он может сделать только в момент времени $t = 9$, когда он наконец сможет обменять акцию вида $2$ на акцию вида $3$.

В третьем примере Боб никогда не сможет достичь своей цели, так как акция второго вида всегда дороже акции первого.

E. Дороги в Бертауне

В Бертауне n перекрестков и m двусторонних дорог. Известно, что от любого перекрестка можно добраться до любого другого по существующим дорогам.

С ростом количества машин в городе возникла проблема пробок. Чтобы решить эту проблему, правительство решило сделать движение на всех дорогах односторонним, таким образом разгрузив движение. Ваша задача — определить, существует ли способ ввести одностороннее движение так, чтобы сохранилась возможность добраться от любого перекрестка до любого другого. В случае положительного ответа также требуется найти один из возможных способов ориентировать дороги.

Входные данные

В первой строке через пробел записаны два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 10⁵, n - 1 ≤ m ≤ 3·10⁵) — количество перекрестков и дорог в городе соответственно. Далее следует m строк по два числа в каждой — описание дорог в городе. Каждая дорога задается двумя целыми числами a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i) — номерами перекрестков, которые она соединяет.

Гарантируется, что от каждого перекрестка можно добраться до любого другого по имеющимся двусторонним дорогам. Каждая дорога соединяет различные перекрестки, между каждой парой перекрестков существует не более одной дороги.

Выходные данные

Если решения не существует, выведите одно число 0. Иначе выведите m строк по два целых числа p_i и q_i в каждой — ориентацию каждой дороги. То есть поток машин по односторонней дороге будет проходить в сторону от перекрестка p_i к перекрестку q_i. Дороги можно выводить в любом порядке. Если решений несколько, выведите любое.

E. Подпоследовательности (легкая версия)

графы дп кратчайшие пути реализация *2000

Единственное отличие между легкой и сложной версиями — ограничения.

Подпоследовательность строки может быть получена из другой строки при помощи удаления некоторого (возможно, нулевого) количества символов без изменения порядка оставшихся символов. Удаляемые символы не обязательно должны идти друг за другом, между ними могут быть любые пропуски. Например, для строки «abaca» следующие строки являются ее подпоследовательностями: «abaca», «aba», «aaa», «a» и «» (пустая строка). А следующие строки не являются подпоследовательностями: «aabaca», «cb» и «bcaa».

Вам задана строка $s$, состоящая из $n$ строчных букв латинского алфавита.

За один ход вы можете выбрать любую подпоследовательность $t$ заданной строки и добавить ее во множество $S$. Множество $S$ не может содержать одинаковых элементов. Этот ход стоит $n - |t|$, где $|t|$ равно длине добавляемой подпоследовательности (то есть цена равна количеству удаленных символов).

Ваша задача — найти минимальную возможную суммарную стоимость получения множества $S$ размера $k$ или сообщить, что это сделать невозможно.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le n, k \le 100$) — длину строки и размер множества соответственно.

Вторая строка входных данных содержит строку $s$, состоящую из $n$ строчных букв латинского алфавита.

Выходные данные

Выведите одно целое число — если невозможно составить множество $S$ размера $k$, выведите -1. Иначе выведите минимально возможную суммарную стоимость составления такого множества.

Примечание

В первом тестовом примере мы можем составить $S$ = { «asdf», «asd», «adf», «asf», «sdf» }. Стоимость первого элемента в $S$ равна $0$, а стоимости остальных равны $1$. Таким образом, суммарная стоимость $S$ равна $4$.

B2. Доктор встречает Вейдера (средняя)

графы кратчайшие пути Паросочетания Потоки сортировки *2200

Благодаря помощи Доктора, повстанцам удалось украсть достаточно золота, чтобы запустить полномасштабную атаку на эмперию! Однако Дарт Вейдер ищет возможности отомстить и забрать назад своё золото.

Повстанцы спрятали золото на различных базах по всей галактике. Дарт Вейдер и Империя собираются послать свои космические корабли в атаку на эти базы.

Галактика может быть представлена как неориентированный граф из $n$ планет (вершин) и $m$ червоточин (рёбер), каждая соединяющая две планеты.

Всего у империи есть $s$ космических кораблей, а у повстанцев есть $b$ баз, расположенных на различных планетах галактики.

У каждого космического корабля есть его местоположение $x$, обозначающее индекс планеты, на которой он находится, его сила атаки $a$ и определённый уровень топлива $f$.

У каждой базы есть местоположение $x$ и уровень защиты $d$.

Космический корабль может атаковать базу если выполнены оба следующих условия:

Сила атаки космического корабля больше или равна уровня защиты базы,
Уровень топлива космического корабля больше или равен кратчайшему расстоянию (количество червоточин) между планетой космического корабля и планетой с базой

Вейдер очень требователен к своим атакующим формациям. Он требует, чтобы каждый космический корабль атаковал не более одной базы, и чтобы каждая база была атакована не более чем одним космическим кораблем.

Вейдер знает, что повстанцы спрятали $k$ золота в каждой базе, так что он назначит космическим кораблям базы для атаки таким образом, чтобы максимизировать число атакованных баз.

Таким образом, для каждой атакованной базы повстанцы теряют по $k$ золота.

Однако повстанцы имеют возможность создать произвольное количество фейковых баз. С помощью Доктора, эти базы будут существовать за пределами пространства и времени, так что все корабли смогут достичь и атаковать их. Более того, фейковые базы всегда будут казаться очень заманчивыми, то есть они гарантировано будут атакованы каким-то кораблём.

Разумеется, фейковые базы не содержат золота, но создание одной такой базы стоит $h$ золота.

Какое минимальное количество золота повстанцы потеряют, если они создадут оптимальное количество фейковых баз?

Входные данные

Первая строка содержит целые числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \leq 100$, $0 \leq m \leq 10000$) — количество вершин и количество рёбер.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \leq u$, $v \leq n$), обозначающие неориентированное ребро между двумя вершинами.

Следующая строка содержит четыре целых числа $s$, $b$, $k$ и $h$ ($1 \leq s$, $b \leq 1000$, $0 \leq k$, $h \leq 10^9$) — количество космических кораблей, количество баз, штраф за атакованную базу и цена создания фейковой базы.

Каждая из следующих $s$ строк содержит три целых числа $x$, $a$, $f$ ($1 \leq x \leq n$, $0 \leq a$, $f \leq 10^9$) — местоположение, атака и уровень топлива у космического корабля.

Каждая из следующих $b$ строк содержит два целых числа $x$, $d$ ($1 \leq x \leq n$, $0 \leq d \leq 10^9$) — местоположение и зашищённость базы.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальную цену в золоте.

Примечание

Один из способов минимизировать стоимость — это построить $4$ фейковые базы, тем самым итоговая стоимость равна $4 \times 3 = 12$.

По одному имперскому кораблю будет назначено на атаку каждой фейковой базы, тем самым будет атаковано ноль настоящих баз.

E1. Вторжение Далеков (лёгкая)

графы Деревья *1900

Хайди обнаружила, что Далеки создали сеть двусторонних Временных Коридоров, соединяющих различные точки пространства в разные моменты времени. Она подозревает, что они планируют очередное вторжение на всё Пространство и Время. Чтобы противостоять вторжению, она хочет развернуть ловушку во Вихре Времени, вдоль тщательно выбранного Временного Коридора. Хайди знает, что возится с Вихрем Времени опасно, поэтому она решила посоветоваться с Доктором. В результате, она узнала следующее:

Разные Временные Коридоры требуют разного количества энергии для поддержания их в стабильном состоянии.
Далеки скорее всего не будут использовать все коридоры в своём вторжении. Они выберут набор Коридоров, которые требует минимальной суммы энергии для поддержания и при этом позволяет путешествовать между всеми точками (иначе говоря, они выберут минимальное остовное дерево).
Установка ловушки может изменить энергию, необходимую для поддержания коридора стабильным.

Хайди решила провести полевые испытания и развернуть одну ловушку, разместив ее вдоль первого коридора. Но она хочет знать, собираются ли Далеки использовать этот коридор после развёртывания ловушки.

Она дала вам карту Временных Коридоров (представляющую собой неориентированный граф) с требованиями на энергию для каждого Коридора.

Для Коридора $c$, $E_{max}(c)$ это наибольшее $e \le 10^9$, такое что если мы заменим требуемое количество энергии у $c$ на $e$, то Далеки возможно воспользуются $c$ в своём вторжении (иначе говоря, оно будет входить в хотя бы одно минимальное остовное дерево). Вам нужно вычислить $E_{max}(c_1)$ для Коридора $c_1$, в котором Хайди хочет разместить ловушку, и которое является первым ребром графа.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 10^5$, $n - 1 \leq m \leq 10^6$) — количество точек, которые планируется захватить, и количество Временных Коридоров.

Каждая из следующих $m$ строк задаёт Коридор и состоит из точек $a$, $b$ и требуемой энергии $e$ ($1 \leq a, b \leq n$, $a \neq b$, $0 \leq e \leq 10^9$).

Гарантируется, что ни одна пара $\{a, b\}$ не повторится и что граф является связным. Иначе говоря, можно добраться между любыми двумя точками через ноль или более Коридоров.

Выходные данные

Выведите одно целое число: $E_{max}(c_1)$ для первого Коридора $c_1$ из входных данных.

Примечание

После установки ловушки новая потребность в энергии для первого Коридора может быть меньше, больше или равна старой потребности в энергии.

В примере, если энергия первого Коридора установлена в $4$ или меньше, то Далеки могут использовать множество Коридоров $\{ \{ 1,2 \}, \{ 2,3 \} \}$ (в частности, если установить вес меньше $4$, то это будет единственным возможным множеством Коридоров). Однако, если энергия будет больше $4$, то Далеки воспользуются множеством Коридоров $\{ \{2,3\}, \{3,1\} \}$.

E2. Вторжение Далеков (средняя)

графы Деревья кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2100

После успешных полевых испытаний, Хайди хочет развернуть ловушку вдоль какого-нибудь Коридора, не обязательно первого. Она хочет избежать встречи с Далеками внутри Временного Вихря, поэтому для большей осторожности она рассматривает размещение ловушек только вдоль тех коридоров, которые не будут использоваться в соответствии с текущим планом Далеков, который представляет из себя минимальное остовное дерево из Коридоров. Хайди знает, что потребности в энергии для всех Коридоров теперь разные, и что у Далеков есть единственный план, который они собираются использовать.

Вашей задачей является вычисление функции $E_{max}(c)$, которая определена также как и в лёгкой версии — как наибольшее $e \le 10^9$, такое что если мы изменим энергию коридора $c$ на $e$, то Далеки могут им воспользоваться. Однако теперь эту функцию нужно вычислить для каждого коридора, который Хайди рассматривает.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 10^5$, $n - 1 \leq m \leq 10^6$) — количество точек и количество Временных Коридоров.

Каждая из следующих $m$ строк содержит номера точек $a$ и $b$ и требуемой энергии $e$ ($1 \leq a, b \leq n$, $a \neq b$, $0 \leq e \leq 10^9$).

Ни одна пара $\{a, b\}$ не повторяется. Гарантируется, что граф является связным. Все требования на уровни энергии $e$ являются различными.

Выходные данные

Выведите $m-(n-1)$ строк по одному целому числу в каждой: $E_{max}(c_i)$ для $i$-го Коридора $c_i$ из входных данных, среди тех, которые не входят в План Далеков (минимальное остовное дерево)

Примечание

Если $m = n-1$, то вам следует ничего не выводить.

E3. Вторжение Далеков (сложная)

графы Деревья снм Структуры данных *2400

С вашей помощью Хайди подготовила план размещения ловушки и защиты. Однако внезапно из ТАРДИС выпрыгнул Доктор и сказал ей, что он шпионил за подготовкой Далеков, и что их больше, чем когда-либо. Отчаянные времена требует отчаянных мер, поэтому Хайди собирается рискнуть и встретится с Далеками и что она рассмотрит вариант размещения ловушки вдоль любого Коридора.

Это означает что ей опять нужна ваша помощь с вычислением $E_{max}(c)$ — наибольшего $e \le 10^9$, такого что если мы сменим требуемый уровень энергии у $c$ на $e$, то Далеки возможно воспользуются $c$ в своём вторжении. Теперь нужно вычислить эту функцию для всех Временных Коридоров.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 10^5$, $n - 1 \leq m \leq 10^6$) — количество точек и количество коридоров.

Каждая из следующих $m$ строк содержит точки $a$, $b$ и уровень энергии $e$ ($1 \leq a, b \leq n$, $a \neq b$, $0 \leq e \leq 10^9$).

Гарантируется, что ни одна пара $\{a, b\}$ не повторяется и что граф является связным. Не гарантируется, что все уровни энергии $e$ различны или что минимальное остовное дерево уникально.

Выходные данные

Выведите $m$ целых чисел: для каждого $i$, $E_{max}(c_i)$ для Коридора $c_i$ из входных данных.

F. Казак Вус и граф

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное реализация *2400

У Казака Вуса есть простой граф из $n$ вершин и $m$ ребер. Пусть $d_i$ — степень $i$-й вершины. Напомним, что степень вершины $i$ — это количество прилагаемых ребер к вершине $i$.

Ему нужно оставить не более $\lceil \frac{n+m}{2} \rceil$ ребер. Пусть $f_i$ — степень $i$-й вершины после удаления. Нужно удалить ребра так, чтобы $\lceil \frac{d_i}{2} \rceil \leq f_i$ для каждого $i$. Другими словами, нужно чтобы степень каждой вершины уменьшилась на не более чем в два раза.

Помогите Вусу оставить правильное количество ребер!

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \leq 10^6$, $0 \leq m \leq 10^6$) — количество вершин и ребер соответственно.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$) — вершины, между которыми находиться ребро.

Гарантируется, что в графе нет петель и кратных ребер.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число $k$ ($0 \leq k \leq \lceil \frac{n+m}{2} \rceil$) — количество ребер, которые нужно оставить.

В каждой из следующих $k$ строк выведите по два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$) — вершины, ребро между которыми нужно оставить. Нельзя выводить одно и то же ребро два или более раза.

G. Сходка

графы Потоки *2500

Глава одной очень секретной организации решил собрать всех участников организации на встречу. Все они живут в одном и том же городе, который можно рассматривать как $n$ перекрестков, соединенных $m$ улицами. По улицам можно перемещаться в обоих направлениях. Встреча пройдет в доме главы около перекрестка $1$. На встречу, помимо главы, приглашены $k$ человек, состоящих в организации; $i$-й из них живет у перекрестка $a_i$.

Все приглашенные одновременно получат приглашение и начнут движение к месту встречи. В начале каждой минуты каждый человек находится на каком-то перекрестке. Он или она может подождать минуту на этом перекрестке, или за минуту пройти по улице до другого перекрестка (очевидно, можно идти только по тем улицам, на одном из концов которой стоит человек). В начале первой минуты каждый человек находится на перекрестке, около которого живет. Как только человек достигает перекрестка $1$, он или она сразу же приходит в дом главы организации.

Очевидно, глава хочет, чтобы все пришли как можно раньше. Но так как организация очень секретная, глава не хочет, чтобы движение ее участников привлекло слишком много внимания. Определим недовольство главы следующим образом:

в самом начале недовольство равно $0$;
когда участник встречи приходит к перекрестку $1$, недовольство увеличивается на $c \cdot x$, где $c$ — некоторая заданная константа, а $x$ — количество минут, которое потребовалось человеку, чтобы достичь перекрестка $1$;
когда $x$ участников организации идут по одной и той же улице в одну и ту же минуту в одном и том же направлении, к недовольству прибавляется $dx^2$, где $d$ — некоторая заданная константа. Например, если два человека идут по одной и той же улице в одну и ту же минуту в одном и том же направлении, к недовольству добавляется $4d$ (не $5d$).

Перед отправкой сообщения о встрече глава организации может отправить каждому сообщение, каким путем ему надо двигаться и на каких перекрестках ждать. Помогите главе разработать такой план, при котором все достигают перекрестка $1$, и недовольство минимально возможно.

Входные данные

Первая строка содержит пять чисел $n$, $m$, $k$, $c$ и $d$ ($2 \le n \le 50$, $n - 1 \le m \le 50$, $1 \le k, c, d \le 50$) — количество перекрестков, количество улиц, количество человек, приглашенных на встречу и константы, влияющие на недовольство соответственно.

Вторая строка содержит $k$ чисел $a_1$, $a_2$, ..., $a_k$ ($2 \le a_i \le n$) — перекрестки, на которых живут члены организации.

Затем следует $m$ строк, каждая содержит описание двунаправленной улицы. Каждая строка содержит два числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$, $x_i \ne y_i$) обозначающая улицу, соединяющую перекрестки $x_i$ и $y_i$. Может быть несколько улиц, соединяющих одинаковые пары перекрестков.

Гарантируется, что от любого перекрестка можно добраться до любого другого, используя заданные дороги.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное недовольство главы организации после того, как все придут к перекрестку $1$.

Примечание

Лучший план действий в первом примере — следующий:

первый человек идет по улице $2$ к перекрестку $2$, затем идет по улице $1$ к перекрестку $1$ и приходит на встречу;
второй человек ждет минуту на перекрестке $3$, затем идет по улице $2$ к перекрестку $2$, затем идет по улице $1$ к перекрестку $1$ и приходит на встречу;
третий человек ждет две минуты на перекрестке $3$, затем идет по улице $2$ к перекрестку $2$, затем идет по улице $1$ к перекрестку $1$ и приходит на встречу;
четвертый человек ждет три минуты на перекрестке $3$, затем идет по улице $2$ к перекрестку $2$, затем идет по улице $1$ к перекрестку $1$ и приходит на встречу;

C. Паросочетание vs независимое множество

графы жадные алгоритмы Конструктив сортировки *2000

Дан неориентированный граф, состоящий из $3 \cdot n$ вершин и $m$ ребер. Требуется найти паросочетание, состоящее из $n$ ребер, или независимое множество, состоящее из $n$ вершин.

Множество рёбер называется паросочетанием, если никакие два ребра этого множества не имеют общих вершин.

Множество вершин называется независимым, если никакие две вершины этого множества не соединены ребром.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $T \ge 1$ — количество графов, которое вам надо обработать. Затем следуют описания $T$ графов.

В первой строке описания графа записаны два числа $n$ и $m$, где $3 \cdot n$ — количество вершин, а $m$ — количество ребер в графе ($1 \leq n \leq 10^{5}$, $0 \leq m \leq 5 \cdot 10^{5}$).

В следующих $m$ строках записаны пары чисел $v_i$ и $u_i$ ($1 \leq v_i, u_i \leq 3 \cdot n$), означающие, что вершины $v_i$ и $u_i$ соединены ребром.

Гарантируется, что в графе нет петель и кратных ребер.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем графам в одном тесте не превышает $10^{5}$, сумма $m$ по всем графам в одном тесте не превышает $5 \cdot 10^{5}$.

Выходные данные

Выведите ответы для каждого из $T$ графов. Формат ответа для одного графа описан ниже.

Если вы нашли паросочетание размера $n$, то в первой строке выведите «Matching» (без кавычек), а во второй строке выведите $n$ чисел, разделённых пробелами, — номера рёбер паросочетания. Рёбра нумеруются от $1$ до $m$ в порядке ввода.

Если вы нашли независимое множество размера $n$, то в первой строке выведите «IndSet» (без кавычек), а во второй строке выведите $n$ чисел, разделённых пробелами, — номера вершин независимого множества.

Если в графе нет ни того, ни другого, выведите «Impossible» (без кавычек).

Номера рёбер или вершин можно выводить в произвольном порядке.

Если существует несколько решений, вы можете вывести любое. В том числе, если в графе есть как паросочетание размера $n$, так и независимое множество размера $n$, то вы можете вывести любое из таких паросочетаний или любое из таких независимых множеств.

Примечание

Первые два графа из примера совпадают, однако в этом графе есть как паросочетание размера 1, так и независимое множество размера 1. Любое из таких паросочетаний и независимых множеств является правильным ответом.

В третьем графе нет паросочетания размера 2, однако есть независимое множество размера 2. В этом графе также есть независимое множество размера 5: 2 3 4 5 6. Тем не менее, такой ответ не является верным, потому что вас просят найти независимое множество (или паросочетание) размера ровно $n$.

В четвёртом графе нет независимого множества размера 2, однако есть паросочетание размера 2.

E. Покраска прямоугольника 2

графы Паросочетания Потоки *2500

Есть клетчатый квадрат размера $n \times n$. Некоторые клетки квадрата покрашены в черный цвет, остальные клетки покрашены в белый. За одну операцию разрешается выбрать некоторый прямоугольник и перекрасить все его клетки в белый цвет. За перекраску прямоугольника размера $h \times w$ взимается штраф в размере $\min(h, w)$. Требуется за минимальный суммарный штраф покрасить все клетки в белый цвет.

Квадрат большой, поэтому зададим мы его в сжатом виде. Множество чёрных клеток является объединением $m$ прямоугольников.

Входные данные

В первой строке ввода записаны два числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 10^{9}$, $0 \le m \le 50$) — размер квадрата и количество чёрных прямоугольников.

В следующих $m$ строках записаны по 4 числа $x_{i1}$ $y_{i1}$ $x_{i2}$ $y_{i2}$ ($1 \le x_{i1} \le x_{i2} \le n$, $1 \le y_{i1} \le y_{i2} \le n$) — координаты левой нижней и правой верхней клеток $i$-го чёрного прямоугольника.

Прямоугольники могут пересекаться.

Выходные данные

Выведите одно число — минимальный суммарный штраф покраски всего квадрата в белый цвет.

Примечание

На картинке вы можете видеть два примера и некоторые из оптимальных способов их покрасить.

$\text{[math]}$

F. Graph Traveler

графы дп математика Перебор поиск в глубину и подобное реализация Структуры данных теория чисел *2300

Гильдон проводит эксперименты с интересной машиной под названием Graph Traveler. В этой машине есть ориентированный граф из $n$ вершин, пронумерованных от $1$ до $n$. $i$-я вершина имеет $m_i$ выходящих ребер, они обозначаются $e_i[0]$, $e_i[1]$, $\ldots$, $e_i[m_i-1]$, где каждый элемент обозначает номер вершины конца ребра. В графе могут быть кратные ребра и петли. Кроме того, в каждой вершине $i$ написано некоторое целое число $k_i$.

Путь по графу определяется следующим образом.

Гильдон выбирает вершину, с которой начнет путь, а также некоторое начальное целое число. Запомним это число в переменную $c$.
Когда Гильдон приходит в вершину $i$, а также, в начале, если путь начинается с вершины $i$, он добавляет значение $k_i$ к $c$.
Следующая вершина пути — это $e_i[x]$, где $x$ — такое целое число $0 \le x \le m_i-1$, что $x \equiv c \pmod {m_i}$. Гильдон переходит в эту следующую вершину и возвращается на шаг 2.

Ясно, что такой путь никогда не кончается, потому что шаги 2 и 3 будут повторяться бесконечное число раз.

Например, предположим, что Гильдон начинает в вершине $1$ с $c = 5$, при этом $m_1 = 2$, $e_1[0] = 1$, $e_1[1] = 2$, $k_1 = -3$. Сразу после того, как он начинает в вершине $1$, $c$ становится равным $2$. Так как единственное целое число $x$ ($0 \le x \le 1$) такое, что $x \equiv c \pmod {m_i}$, это $0$, то Гильдон пойдет в вершину $e_1[0] = 1$. После того как он попадет в вершину $1$ снова, $c$ станет равной $-1$. Единственное целое число $x$, удовлетворяющее сравнению, есть $1$, поэтому он идет в вершину $e_1[1] = 2$, и так далее.

Так как Гильдон достаточно любознательный, он хочет спросить у вас $q$ вопросов. Каждый раз он хочет узнать, сколько различных вершин он посетит бесконечное число раз, если он начнет с определенной вершины с определенным числом $c$. Обратите внимание, что не нужно учитывать вершины, которые будут посещены только конечное число раз.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 1000$) — количество вершин в графе.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел. $i$-е из них равно $k_i$ ($-10^9 \le k_i \le 10^9$) — число, написанное в $i$-й вершине.

Следующие $2 \cdot n$ строк описывают ребра, выходящие из каждой вершины. $(2 \cdot i + 1)$-я строка содедржит одно целое число $m_i$ ($1 \le m_i \le 10$) — число исходящих ребер из вершины $i$. $(2 \cdot i + 2)$-я строка содержит $m_i$ целых чисел $e_i[0]$, $e_i[1]$, $\ldots$, $e_i[m_i-1]$, все значения которых лежат в пределах от $1$ до $n$ включительно.

Следующая строка содержит одно целое число $q$ ($1 \le q \le 10^5$) — количество вопросов Гильдона.

Каждая из следующих $q$ строк содержит два целых числа $x$ и $y$ ($1 \le x \le n$, $-10^9 \le y \le 10^9$), которые означают, что Гильдон хочет начать путь с вершины $x$, а начальное значение переменной $c$ должно быть $y$.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите количество различных вершин, которые будут посещены бесконечно много раз, если Гильдон начнет путь из вершины $x$ с начальным значением $y$.

Примечание

Граф в первом примере показан на рисунке ниже:

$\text{[math]}$

Три числа, показанные на вершине $i$, равны соответственно $i$, $k_i$ и $m_i$. Числа на ребрах показывают их номер в списке выходящих ребер из $i$-й вершины.

Путь для каждого запроса показан ниже. Он описывается последовательностью фраз, каждая в формате «вершина ($c$ после добавления $k_i$)».

$1(0) \to 2(0) \to 2(0) \to \ldots$
$2(0) \to 2(0) \to \ldots$
$3(-1) \to 1(-1) \to 3(-1) \to \ldots$
$4(-2) \to 2(-2) \to 2(-2) \to \ldots$
$1(1) \to 3(1) \to 4(1) \to 1(1) \to \ldots$
$1(5) \to 3(5) \to 1(5) \to \ldots$

Во втором примере граф такой же, как в первом, но у вершин ненулевые значения. Поэтому ответы отличаются от ответов в первом примере.

$\text{[math]}$

Пути во втором примере показаны ниже:

$1(4) \to 2(-1) \to 2(-6) \to \ldots$
$2(-5) \to 2(-10) \to \ldots$
$3(-4) \to 1(0) \to 2(-5) \to 2(-10) \to \ldots$
$4(-3) \to 1(1) \to 3(-2) \to 4(-3) \to \ldots$
$1(5) \to 3(2) \to 1(6) \to 2(1) \to 2(-4) \to \ldots$
$1(9) \to 3(6) \to 2(1) \to 2(-4) \to \ldots$

E1. Ночной шахмар (простая)

графы интерактив кратчайшие пути *2900

Эта задача отличается от следующей только ограничениями.

Это интерактивная задача.

Алиса и Боб играют в игру на шахматной доске размера $n \times m$, где $n$ и $m$ являются чётными числами. Ряды доски пронумерованы целыми числами от $1$ до $n$, а столбцы пронумерованы от $1$ до $m$. На доске расположены два коня — белый и чёрный. Белый изначально находится в клетке $(x_1, y_1)$, а чёрный — в клетке $(x_2, y_2)$. Алиса выбирает коня, которым будет играть сама, а Боб будет играть другим.

Алиса и Боб будут делать ходы по очереди. Тот, кто играет белым конём, начинает игру. За один ход каждый игрок должен передвинуть своего коня в соответствии с шахматными правилами. А именно, если сейчас конь находится в клетке $(x, y)$, то его можно передвинуть в любую из следующих клеток (в предположении, что они находятся в пределах шахматной доски):

$(x+1, y+2)$, $(x+1, y-2)$, $(x-1, y+2)$, $(x-1, y-2)$,

$(x+2, y+1)$, $(x+2, y-1)$, $(x-2, y+1)$, $(x-2, y-1)$.

Общеизвестно, что конь имеет наибольшую силу в центре доски. Для обоих коней известна клетка, в которую тот хочет попасть:

владелец белого коня выиграет, если он возьмет чёрного коня, или если белый конь окажется в клетке $(n/2, m/2)$, которую в этот момент не бьёт черный конь;
владелец чёрного коня выигрывает, если он возьмет белого коня, или если чёрный конь окажется в клетке $(n/2+1, m/2)$, которую в этот момент не бьёт белый конь.

Формально, игрок, взявший другого коня, выигрывает. Кроме того, игрок, находящийся в требуемой позиции ($(n/2, m/2)$ для белого коня, $(n/2+1, m/2)$ для чёрного коня) не под боем оппонента, выигрывает.

Клетка находится под боем другого коня, если тот может сходить в эту клетку. Взятие коня означает, что игрок перемещает своего коня в клетку, где расположен конь соперника.

Если Алиса сделала $350$ ходов и никто не выиграл, игра заканчивается вничью.

Алиса не уверена в своих шахматных способностях, так что она попросила у вас помощи. Выберите коня и выиграйте игру за неё. Можно показать, что у Алисы всегда есть выигрышная стратегия.

Протокол взаимодействия

Взаимодействие начинается с двух целых чисел $n$ и $m$ ($6 \le n,m \le 40$, $n$ и $m$ чётные) — размеров доски.

Вторая строка содержит четыре целых числа $x_1, y_1, x_2, y_2$ ($1 \le x_1, x_2 \le n$, $1 \le y_1, y_2 \le m$) — клетки, в которых расположен белый и чёрный конь. Гарантируется, что два коня находятся в разных клетках. Также гарантируется, что ни один из коней сейчас не находится в своей требуемой клетке (однако он может находится в требуемой клетке своего соперника).

Ваша программа должна ответить «WHITE» или «BLACK» в зависимости от того, каким конём она хочет играть. В случае, если вы выберете белого коня, вы начинаете игру.

В течении каждого своего хода вы должны вывести два целых числа: $x$ и $y$ — координаты клетки, в которую вы хотите переместить своего коня. Если вы выиграли игру этим ходом, вы должны немедленно завершить свою программу.

После каждого хода оппонента вы получите два целых числа: $x$ и $y$ — координаты клетки, куда Боб переместил своего коня.

Если ваш последний ход был некорректен или вы проиграли игру в результате хода программы жюри, или если вы сделали $350$ ходов и всё ещё не выиграли, вы получите «-1 -1». В таких случаях, немедленно завершите вашу программу, чтобы получить вердикт Неправильный ответ.

После того, как вы что-то вывели, не забудьте вывести перевод строки и сбросить буфер вывода. В противном случае вы получите вердикт Решение «зависло». Для сброса буфера используйте:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Взломы в этой задаче отключены.

Программа жюри является адаптивной: ходы жюри могут зависеть от ходов, которые сделает ваша программа.

Примечание

В первом примере белый конь может достигнуть своей конечной клетки за один ход.

Во втором примере чёрный конь выигрывает вне зависимости от того, что делает белый конь.

E2. Ночной шахмар (сложная)

графы интерактив кратчайшие пути *3000

Это интерактивная задача.

$(x+1, y+2)$, $(x+1, y-2)$, $(x-1, y+2)$, $(x-1, y-2)$,

$(x+2, y+1)$, $(x+2, y-1)$, $(x-2, y+1)$, $(x-2, y-1)$.

владелец белого коня выиграет, если он возьмет чёрного коня, или если белый конь окажется в клетке $(n/2, m/2)$, которую в этот момент не бьёт черный конь;
владелец чёрного коня выигрывает, если он возьмет белого коня, или если чёрный конь окажется в клетке $(n/2+1, m/2)$, которую в этот момент не бьёт белый конь.

Если Алиса сделала $350$ ходов и никто не выиграл, игра заканчивается вничью.

Протокол взаимодействия

Взаимодействие начинается с двух целых чисел $n$ и $m$ ($6 \le n,m \le 1000$, $n$ и $m$ чётные) — размеров доски.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Взломы в этой задаче отключены.

Программа жюри является адаптивной: ходы жюри могут зависеть от ходов, которые сделает ваша программа.

Примечание

В первом примере белый конь может достигнуть своей конечной клетки за один ход.

Во втором примере чёрный конь выигрывает вне зависимости от того, что делает белый конь.

C. Анна, Святослав и карта

графы дп жадные алгоритмы кратчайшие пути *1700

Главные герои были опущены для краткости.

Вам дан ориентированный невзвешенный граф без петель с $n$ вершинами и путь в нём (не обязательно простой), заданный последовательностью $p_1, p_2, \ldots, p_m$ из $m$ вершин; для любого $1 \leq i < m$ существует дуга из $p_i$ в $p_{i+1}$.

Будем называть последовательность $v_1, v_2, \ldots, v_k$ из $k$ вершин хорошей, если $v$ является подпоследовательностью $p$, $v_1 = p_1$, $v_k = p_m$, и $p$ является одним из кратчайших путей, проходящих через вершины $v_1$, $\ldots$, $v_k$ в этом порядке.

Последовательность $a$ является подпоследовательностью $b$, если $a$ может быть получена из $b$ удалением нескольких (возможно, ни одного или всех) элементов. Очевидно, что последовательность $p$ является хорошей, но вам предстоит найти кратчайшую хорошую подпоследовательность.

Если существует несколько кратчайших хороших подпоследовательностей, выведите любую.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 100$) — количество вершин в графе.

Следующие $n$ строк задают граф матрицей смежности: $j$-й символ в $i$-й строке равен $1$, если есть дуга из вершины $i$ в вершину $j$, иначе равен $0$. Гарантируется, что заданный граф не имеет петель.

Следующая строка содержит одно целое число $m$ ($2 \le m \le 10^6$) — количество вершин в выбранном пути.

Следующая строка содержит $m$ целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_m$ ($1 \le p_i \le n$) — вершины в пути. Гарантируется, что для любого $1 \leq i < m$ существует дуга из $p_i$ в $p_{i+1}$.

Выходные данные

В первой строке выведите одно число $k$ ($2 \leq k \leq m$) — длину кратчайшей хорошей подпоследовательности. Во второй строке выведите $k$ целых чисел $v_1$, $\ldots$, $v_k$ ($1 \leq v_i \leq n$) — вершины в подпоследовательности. Если существует несколько кратчайших хороших подпоследовательностей, выведите любую. Любые два последовательные числа должны быть различны.

Примечание

На рисунке представлен граф для первого примера:

$\text{[math]}$

Заданный путь проходит через вершины $1$, $2$, $3$, $4$. Последовательность $1-2-4$ является хорошей, т.к. она является подпоследовательностью заданного пути, её первый и последний элементы совпадают с первым и последним элементом заданного пути, и кратчайший путь, проходящий через вершины $1$, $2$ и $4$ в этом порядке, это $1-2-3-4$. Обратите внимание, что последовательности $1-4$ и $1-3-4$ не подходят, т. к. в обоих случаях кратчайший путь, проходящий через вершины этих последовательностей, это $1-3-4$.

В третьем примере граф является полным, поэтому любая последовательность вершин, в которой любые два последовательных элемента различны, задаёт путь из такого же количества вершин.

В четвёртом примере пути $1-2-4$ и $1-3-4$ являются кратчайшими путями, проходящими через вершины $1$ и $4$.

B. Кратчайший цикл

битмаски графы кратчайшие пути Перебор *1900

Даны $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$. Рассмотрим граф на $n$ вершинах, в котором вершины $i$, $j$ ($i\neq j$) соединены тогда и только тогда, когда $a_i$ И $a_j\neq 0$, где И обозначает операцию побитового И.

Найдите длину кратчайшего цикла в этом графе, или определите, что в графе нет циклов.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ $(1 \le n \le 10^5)$ — количество чисел.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($0 \le a_i \le 10^{18}$).

Выходные данные

Если в графе нет циклов, выведите $-1$. Иначе выведите длину кратчайшего цикла.

Примечание

В первом примере, самым коротким циклом будет $(9, 3, 6, 28)$.

Во втором примере, самым коротким циклом будет $(5, 12, 9)$.

В графе нет циклов в третьем примере.

D. Корова и вечеринка

графы поиск в глубину и подобное снм *1700

Легендарный фермер Джон готовит большую вечеринку. В гости были приглашены животные со всего мира. Сейчас гости проголодались, так что Джон попросил свою корову Бесси достать чего-нибудь перекусить.

Есть $n$ разных видов закусок, пронумерованных числами $1, 2, \ldots, n$. У Бесси есть $n$ закусок, по одной закуске каждого вида. У каждого гостя есть ровно два любимых вида закусок. Процесс перекуса будет происходить следующим образом:

Сначала Бесси упорядочит всех гостей в каком-то порядке.
Затем, в этом порядке гости будут по одному подходить к закускам.
Каждый гость будет в свой ход съедать все оставшиеся закуски любимых типов. В случае, если не осталось ни одной закуски любимых типов, то гость уйдёт очень грустным.

Помогите Бесси минимизировать число грустных гостей, упорядочив гостей правильным образом.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа $n$ и $k$ ($2 \le n \le 10^5$, $1 \le k \le 10^5$) — количество закусок и количество гостей.

$i$-я из следующих $k$ строк содержит два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$, $x_i \ne y_i$) — любимые виды закусок для $i$-го гостя.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное возможное количество грустных гостей.

Примечание

В первом примере Бесси может упорядочить гостей следующим образом: $3, 1, 2, 4$. Гость $3$ пойдёт первым и съест закуски $1$ и $4$. Затем идёт гость $1$ и съедает закуску $2$, так как закуска $1$ уже съедена. Затем приходит гость $2$ и съедает только закуску $3$. Так как все закуски уже съедены, то гость $4$ будет грустным.

Во втором примере можно упорядочить гостей как $2, 1, 3, 5, 4$. Тогда все гости будут удовлетворены.

F. Коала и блокнот

графы Деревья кратчайшие пути поиск в глубину и подобное Строки Структуры данных *2600

Страна коал состоит из $n$ городов и $m$ двусторонних дорог, их соединяющих. Дороги пронумерованы от $1$ до $m$ в порядке входных данных. Гарантируется, что можно добраться от каждого города до любого другого города.

Коала начинает путешествие из города $1$. Каждый раз, когда он проходит по дороге, он записывает её номер в блокнот. Он не делает пробелов между числами, так что все записи склеятся в одно большое число.

Перед тем как отправится в свой путь, Коала интересуется какое число может получится в блокноте в зависимости от конечного пункта. Для каждого возможного конечного пункта выясните, какое наименьшее число может для него получиться?

Так как эти числа могут быть достаточно большими, вычислите их по модулю $10^9+7$. Обратите внимание, что нужно вычислить остаток минимального возможного числа, не минимально возможный остаток.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 10^5, n - 1 \le m \le 10^5$) — количество городов и количество дорог соответственно.

$i$-я из следующих $m$ строк содержит целые числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$, $x_i \ne y_i$), обозначающие двустороннюю дорогу между $x_i$ и $y_i$.

Гарантируется, что для каждой пары городов есть не более одной дороги их соединяющей, и что можно добраться из каждого города до любого другого.

Выходные данные

Выведите $n - 1$ целое число — ответ для каждого города за исключением первого.

$i$-е число должно быть равно наименьшему числу, которое получилось бы для конечной точки $i+1$. Так как это число может быть достаточно большим, выведите его остаток по модулю $10^9+7$.

A. Анади и домино

графы Перебор *1700

У Анади есть комплект домино. Каждое домино разделено на две части, на каждой части нарисовано сколько-то точек. Для каждой такой пары $a$ и $b$, что $1 \leq a \leq b \leq 6$, есть ровно одно домино с $a$ точками на одной половине и $b$ точками на другой половине. Комплект состоит ровно из $21$ домино. Вот иллюстрация всех домино из набора:

$\text{[math]}$

А также у Анади есть граф без петель и кратных ребер. Он хочет выбрать некоторые домино и поставить их на ребра графа. Когда он ставит домино на ребро, он также выбирает его направления. Иначе говоря, одна половинка домино должна быть направлена в сторону одного конца ребра, а другая половинка в сторону другого конца ребра. На каждое ребро можно поставить не более одного домино. Необязательно ставить домино на все ребра графа.

Но также есть одно дополнительно условие: если несколько половинок домино направлены к одной и той же вершине, все эти половинки должны содержать одинаковое число точек.

Какое максимальное количество домино Анади может расставить на ребрах графа?

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \leq 7$, $0 \leq m \leq \frac{n\cdot(n-1)}{2}$) — количество вершин и ребер графа.

В каждой из следующих $m$ строк записано по два целых числа. Числа в $i$-й строке это $a_i$ и $b_i$ ($1 \leq a, b \leq n$, $a \neq b$), описывающих ребро в графе, соединяющее вершины $a_i$ и $b_i$.

Гарантируется, что никакое ребро не соединяет вершину саму с собой, а также между каждой парой вершин есть не более одного ребра.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальное количество домино, которое Анади может расставить на ребрах графа.

Примечание

Иллюстрация к графу Анади из первого примера:

$\text{[math]}$

А вот один из способов расставить на его ребрах домино:

$\text{[math]}$

Обратите внимание, что к каждой вершине направлены половинки домино с одинаковым числом точек. Например, все половинки направленные к вершины $1$ содержат три точки.

D. Конрад и оценка компании

графы *2400

Конрад — консультант по человеческим отношениям, работающий в VoltModder, крупном производителе электрооборудования. Сегодня ему было поручено оценить уровень счастья в компании.

В VoltModder работает $n$ человек, пронумерованных от $1$ до $n$. Каждый работник зарабатывает разное число денег — изначально, $i$-й человек зарабатывает $i$ рублей в день.

В каждый из $q$ следующих дней, зарплаты будут пересмотрены. В конце $i$-го дня работник $v_i$ начнет получать $n+i$ рублей в день и станет самым оплачиваемым работником в компании. Его зарплата будет оставаться такой же до её следующего пересмотра.

Некоторые пары людей не любят друг друга. Это создает в компании большое психологическое напряжение. Формально, если два человека $a$ и $b$ не любят друга друга, и $a$ зарабатывает больше денег, чем $b$, работник $a$ похвастается этим $b$. Опасная тройка это тройка из трех таких работников $a$, $b$ и $c$, что $a$ похвастается $b$, который, в свою очередь, похвастается $c$. Если $a$ не любит $b$, то и $b$ не любит $a$.

В начале каждого дня, Конрад должен посчитать количество опасных троек в компании. Можете ли вы ему помочь в этом?

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ and $m$ ($1 \le n \le 100\,000$, $0 \le m \le 100\,000$) — количество работников в компании и количество пар работников, которые не любят друг друга. Каждая из следующих $m$ строк содержит по два целых числа $a_i$, $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$, $a_i \neq b_i$) описывающих, что работники $a_i$ и $b_i$ ненавидят друг друга (то есть $a_i$ не любит $b_i$ и $b_i$ не любит $a_i$). Каждое такое взаимоотношение будет упомянуто ровно один раз.

В следующей строке записано целое число $q$ ($0 \le q \le 100\,000$) — количество пересмотров зарплаты. $i$-я из следующих $q$ строк содержит одно целое число $v_i$ ($1 \le v_i \le n$), описывающее, что в конце $i$-го дня, работник $v_i$ будет получать больше всего денег.

Выходные данные

Выведите $q + 1$ целое число. $i$-е из них должно содержать количество опасных троек в компании в начале $i$-го дня.

Примечание

Рассмотрим первый пример. $i$-я строка в следующей иллюстрации показывает структуру компании в $i$-й день. Ориентированное ребро из $a$ в $b$ описывает, что работник $a$ похвастается работнику $b$. Опасные тройки показаны подсвеченными ребрами.

$\text{[math]}$

F. kotlinkotlinkotlinkotlin...

*особая задача графы реализация Строки *2300

Поликарпу очень нравится писать слово «kotlin». Он выписал это слово несколько раз подряд без пробелов. Например, у него могла получиться такая строка «kotlinkotlinkotlinkotlin».

Полученную строку Поликарп порезал на $n$ частей и перемешал полученные строки. В результате в настоящий момент у него есть $n$ строк $s_1, s_2, \dots, s_n$ таких, что их можно объединить в одну строку вида «kotlinkotlin...kotlin», расположив их в подходящем порядке.

Помогите Поликарпу найти такой порядок записи для строк $s_1, s_2, \dots, s_n$, что если выписать все эти строки в этом порядке, то получится повторённое один или более раз слово «kotlin».

Обратите внимание, что необходимо использовать все заданные строки и при этом каждую ровно по одному разу.

Входные данные

В первой строке записано целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — количество строк у Поликарпа. Далее идут сами строки. Сумма длин строк не превосходит $3\cdot10^5$. Гарантируется, что существует такой порядок последовательной записи всех $n$ строк, что в результате получится повторённое один или более раз слово «kotlin».

Выходные данные

Выведите $n$ различных целых чисел $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$), где $p_i$ это порядковый номер (индекс) строки, которая должна идти $i$-й в искомом объединении. Иными словами, результат конкатенации $s_{p_1}+s_{p_2}+\dots+s_{p_n}$ должен иметь вид «kotlinkotlin...kotlin». Если решений, выведите любое из них.

I. Необычный граф

*особая задача графы *3000

На день рождения Ивану подарили последовательность неотрицательных целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Он сразу же заметил, что каждый элемент последовательности $a_i$ удовлетворяет условию $0 \leq a_i \leq 15$.

Иван — большой любитель теории графов, поэтому он решил превратить подаренную последовательность в неориентированный граф.

В его графе будет $n$ вершин, а ребро между вершинами $u$ и $v$ будет присутствовать тогда и только тогда, когда двоичные записи чисел $a_u$ и $a_v$ отличаются ровно в одном бите (иначе говоря, $a_u \oplus a_v = 2^k$ для какого-то целого $k \geq 0$, где $\oplus$ это операция Побитовое исключающее ИЛИ (XOR)).

Через пару дней случилось страшное — Иван забыл последовательность $a$, у него остался только построенный граф!

Можете ли вы помочь ему, и восстановить любую такую последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n$, что граф, построенный по тем же правилам, которыми пользовался Иван, совпадет с его графом?

Входные данные

В первой строке ввода записаны два целых числа $n,m$ ($1 \leq n \leq 500, 0 \leq m \leq \frac{n(n-1)}{2}$): количество вершин и ребер в графе Ивана.

В следующих $m$ строках содержится описание ребер: в $i$-й строке записаны два целых числа $u_i, v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n; u_i \neq v_i$), описывающие неориентированное ребро, соединяющее вершины $u_i$ и $v_i$.

Гарантируется, что в данном графе нет кратных ребер. Гарантируется, что для заданного графа существует решение.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел, разделенных пробелами, $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($0 \leq a_i \leq 15$).

Выведенные числа должны удовлетворять условию: в графе Ивана ребро между вершинами $u$ и $v$ присутствует тогда и только тогда, когда $a_u \oplus a_v = 2^k$ для какого-то целого $k \geq 0$.

Гарантируется, что есть хотя бы одно решение. Если возможных решений несколько, вы можете вывести любое из них.

F. Нестабильная сортировка строки

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное реализация снм Строки Структуры данных *2100

Авторы загадали строку $s$, состоящую из $n$ строчных букв латинского алфавита.

Вам задано две перестановки ее индексов (не обязательно одинаковых) $p$ и $q$ (обе длины $n$). Напомним, что перестановкой называется массив длины $n$, содержащий каждое целое число от $1$ до $n$ ровно один раз.

Для всех $i$ от $1$ до $n-1$ выполняются следующие свойства: $s[p_i] \le s[p_{i + 1}]$ и $s[q_i] \le s[q_{i + 1}]$. Это значит, что если вы выпишете все символы $s$ в порядке индексов в перестановке, результирующая строка получится отсортированной в неубывающем порядке.

Ваша задача — восстановить любую строку $s$ длины $n$, состоящую хотя бы из $k$ различных строчных букв латинского алфавита, которая подходит к заданным перестановкам.

Если существует несколько возможных ответов, вы можете вывести любой.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5, 1 \le k \le 26$) — длину строки и необходимое количество различных символов.

Вторая строка входных данных содержит $n$ целых чисел $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$, все $p_i$ являются различными целыми числами от $1$ до $n$) — перестановку $p$.

Третья срока входных данных содержит $n$ целых чисел $q_1, q_2, \dots, q_n$ ($1 \le q_i \le n$, все $q_i$ являются различными целыми числами от $1$ до $n$) — перестановку $q$.

Выходные данные

Если невозможно найти подходящую строку, выведите «NO» в первой строке.

Иначе выведите «YES» в первой строке и строку $s$ во второй строке. Она должна состоять ровно из $n$ строчных букв латинского алфавита, содержать хотя бы $k$ различных символов и подходить заданным перестановкам.

Если существует несколько возможных ответов, вы можете вывести любой.

G. Запросы на пути

графы Деревья разделяй и властвуй снм сортировки *1800

Вам задано взвешенное дерево, состоящее из $n$ вершин. Напомним, что деревом называется связный граф без циклов. Вершины $u_i$ и $v_i$ соединены ребром веса $w_i$.

Вам задано $m$ запросов. $i$-й запрос задан целым числом $q_i$. В этом запросе вам необходимо посчитать количество пар вершин $(u, v)$ ($u < v$) таких, что максимальный вес ребра на простом пути между $u$ и $v$ не превосходит $q_i$.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве и количество запросов.

Каждая из следующих $n - 1$ строк описывает ребра дерева. Ребро $i$ обозначается тремя целыми числами $u_i$, $v_i$ и $w_i$ — номерами вершин, которые оно соединяет ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \ne v_i$) и весом ребра ($1 \le w_i \le 2 \cdot 10^5$). Гарантируется, что заданный набор ребер образует дерево.

Последняя строка входных данных содержит $m$ целых чисел $q_1, q_2, \dots, q_m$ ($1 \le q_i \le 2 \cdot 10^5$), где $q_i$ равно максимальному весу ребра в $i$-м запросе.

Выходные данные

Выведите $m$ целых чисел — ответы на запросы. $i$-е число должно равняться количеству пар вершин $(u, v)$ ($u < v$) таких, что максимальный вес ребра на простом пути между $u$ и $v$ не превосходит $q_i$.

Запросы пронумерованы от $1$ до $m$ в порядке входных данных.

Примечание

Картинка, соответствующая дереву из первого тестового примера: $\text{[math]}$

E. Петя и конструктор

графы Деревья Конструктив математика сортировки *2000

Недавно у Пети был день рождения. Его друзья знают, что Петя очень сильно любит головоломки, поэтому они подарили ему популярный конструктор «Электрик-$n$».

Конструктор «Электрик-$n$» состоит из $2n - 1$ проводов и $2n$ лампочек. При этом каждая лампочка имеет свой уникальный номер, являющийся целыми числом от $1$ до $2n$, а все провода являются одинаковыми и неразличимы. Чтобы собрать конструктор требуется каждый из проводов использовать для соединения каких-то двух различных лампочек. Цепочкой в собранном конструкторе назовём последовательность из не менее чем двух различных лампочек, такую что любые две соседние в цепочке лампочки соединены проводом напрямую. Итоговая конфигурация конструктора является корректной, если сеть из проводов и лампочек имеет древовидную структуру, то есть любые две различные лампочки являются концами какой-нибудь цепочки.

На протяжении нескольких дней Петя собирал различные конфигурации. Он обратил внимание на то, что иногда некоторые лампочки начинают светиться. После продолжительных экспериментов Петя выяснил, что лампочки с номерами $2i$ и $2i - 1$ горят тогда, когда цепочка между ними состоит ровно из $d_i$ проводов. При этом выполнялось важное условие: значение $d_i$ всегда было не больше $n$.

Сколько бы Петя не старался, у него так и не получилось найти конфигурацию, в которой бы светились все лампочки, поэтому он решил попросить помощи у вас. Требуется найти любую корректную конфигурацию, в которой горят все лампочки. Гарантируется, что это всегда возможно сделать.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 100\,000$) — параметр конструктора, определяющий количество лампочек и количество проводов.

В следующей строке записаны $n$ целых чисел $d_1, d_2, \ldots, d_n$ ($1 \leq d_i \leq n$), где $d_i$ — требуемое число проводов в цепочке, чтобы лампочки $2i$ и $2i - 1$ светились.

Выходные данные

Выведите $2n - 1$ строк. В $i$-й строке должны быть записаны два различных целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \leq a_i, b_i \leq 2n$, $a_i \ne b_i$), которые означают, что в вашей конфигурации лампочки с этими номерами соединены проводом.

Если существует несколько правильных ответов, то разрешается вывести любой из них.

Примечание

$\text{[math]}$ Ответ на первый тест из условия. $\text{[math]}$ Ответ на второй тест из условия.

D. Покраска ребер

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2100

Вам дан ориентированный граф из $n$ вершин и $m$ ориентированных ребер. Гарантируется, что в нем нет ни петель, ни кратных ребер.

Определим $k$-покраску орграфа следующим образом: мы красим каждое ребро в один из $k$ цветов. $k$-покраска является хорошей тогда и только тогда, когда в графе не существует цикла, состоящего из ребер одного цвета.

Найдите хорошую $k$-покраску с минимально возможным значением $k$.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 5000$, $1 \le m \le 5000$) — количество вершин и ребер, соответственно.

Следующие $m$ строк содержат описание ребер — по одному в строке. Каждое ребро задается парой целых чисел $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \ne v$) — они обозначают ребро из вершины $u$ в вершину $v$.

Гарантируется, что каждая упорядоченная пара $(u, v)$ входит в список ребер не более одного раза.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число $k$ — количество цветов в $k$-покраске графа.

Во второй строке выведите $m$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_m$ ($1 \le c_i \le k$), где $c_i$ — цвет $i$-го ребра (ребра нумеруются в том порядке, в котором заданы во входных данных).

Если ответов несколько, выведите любой (но все равно надо минимизировать $k$).

F. Задача с обязательными онлайн-запросами

графы Деревья разделяй и властвуй снм Структуры данных *2600

Дан неориентированный граф из $n$ вершин и без ребер. Вершины пронумерованы от $1$ до $n$.

Необходимо ответить на запросы к нему. Пусть $last$ будет ответом на предыдущий запрос второго типа (или $0$, если таких запросов еще не было). Тогда запросы следующие:

$1~x~y$ ($1 \le x, y \le n$, $x \ne y$) — добавить неориентированное ребро между вершинами $(x + last - 1)~mod~n + 1$ и $(y + last - 1)~mod~n + 1$, если такого в графе нет, а иначе удалить его;
$2~x~y$ ($1 \le x, y \le n$, $x \ne y$) — проверить, что существует путь между вершинами $(x + last - 1)~mod~n + 1$ и $(y + last - 1)~mod~n + 1$, который проходит только через существующие ребра, и выставить $last$ значение $1$, если есть, и $0$ иначе.

Удачи!

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n, m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в графе и количество запросов, соответственно.

В каждой из следующих $m$ строк записан запрос одного из выше приведенных типов. Гарантируется, что есть хотя бы один запрос второго типа.

Выходные данные

Выведите строку, состоящую из символов '0' и '1'. $i$-й символ должен быть равен ответу на $i$-й запрос второго типа. Таким образом, длина строки должна быть равна количеству запросов второго типа.

Примечание

Преобразованные запросы из первого примера:

1 1 2
1 1 3
2 3 2
1 3 5
2 4 5
1 2 4
2 3 4
1 2 4
2 5 4

Преобразованные запросы из второго примера:

1 1 2
1 2 3
1 3 1
2 1 3
1 1 3
2 3 1
1 2 3
2 2 3
2 1 2

A. BubbleReactor

графы дп *2800

You are in charge of the BubbleReactor. It consists of $N$ BubbleCores connected with $N$ lines of electrical wiring. Each electrical wiring connects two distinct BubbleCores. There are no BubbleCores connected with more than one line of electrical wiring.

Your task is to start the BubbleReactor by starting each BubbleCore. In order for a BubbleCore to be started it needs to be receiving power from a directly connected BubbleCore which is already started. However, you can kick-start one BubbleCore manually without needing power. It is guaranteed that all BubbleCores can be started.

Before the BubbleCore boot up procedure its potential is calculated as the number of BubbleCores it can power on (the number of inactive BubbleCores which are connected to it directly or with any number of inactive BubbleCores in between, itself included)

Start the BubbleReactor so that the sum of all BubbleCores' potentials is maximum.

Input

First line contains one integer $N (3 \leq N \leq 15.000)$, the number of BubbleCores.

The following N lines contain two integers $U, V (0 \leq U \neq V < N)$ denoting that there exists electrical wiring between BubbleCores $U$ and $V$.

Output

Single integer, the maximum sum of all BubbleCores' potentials.

Note

If we start by kickstarting BubbleCup 8 and then turning on cores 7, 2, 1, 3, 0, 9, 4, 5, 6 in that order we get potentials 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 1 + 3 + 1 + 1 = 51

D. Xor Spanning Tree

бпф графы разделяй и властвуй *2400

In the galaxy far far away is the ancient interplanetary republic of Bubbleland, consisting of $N$ planets. Between them, there are $M$ bidirectional wormholes, each connecting a pair of planets. Bubbleland is a very centralized republic, having a capital planet Whiteplanet, from which any another planet can be reached using these wormholes. It is also guaranteed that no wormhole connects planet to itself and that no two different wormholes connect same pair of planets.

We call a path that begins at one planet, visits other planets and each of them at most once and returns to starting point a tour. Interplanetary Safety Regulations guarantee that each planet belongs to at most one tour and that there are at most $42$ tours.

After many eons of usage, wormholes need to be repaired and each wormhole has the cost $W_{i}$ which needs to be payed for reparation. Unfortunately, the Senate of Bubbleland is short on budget. Therefore, they have decided only to fix as many wormholes as they need in order to have all planets reachable from capital and to pay as little money as they have to for this repair. However the way in which the Senate calculates the cost is different. Cost of the set of reparations is binary xor of costs of each individual reparation, that is if reparations to be made have costs $A_{1},A_{2},...,A_{k}$, the cost of entire set is $A_{1} \oplus A_{2} \oplus ... \oplus A_{k}$.

Now the Senate would like to know how much money do they have to pay and also the number of different ways to achieve that cost modulo $1000000007$.

Input

First line of input contains two numbers $N (1 \leq N \leq 100.000)$, the number of planets and $M (1 \leq M \leq 100.041)$, the number of wormholes. Following $M$ lines contain three numbers $U, V (1 \leq U \neq V \leq N)$ and $W (1 \leq W \leq 100.000)$, meaning that there exists a wormhole connecting planets $U$ and $V$, with repair cost of $W$.

Output

Output two numbers, the smallest possible cost of entire reparation and the number of different valid reparations with that cost modulo $1000000007$.

Note

We can repair wormholes $1$,$2$,$3$,$5$ and $6$, paying $5 \oplus 1\oplus 2 \oplus 3 \oplus 4=1$, one can check that this is the cheapest repair in which all of the planets are connected and the only valid repair with that cost.

G. Alpha planetary system

графы Конструктив кратчайшие пути *3000

Three planets $X$, $Y$ and $Z$ within the Alpha planetary system are inhabited with an advanced civilization. The spaceports of these planets are connected by interplanetary space shuttles. The flight scheduler should decide between $1$, $2$ and $3$ return flights for every existing space shuttle connection. Since the residents of Alpha are strong opponents of the symmetry, there is a strict rule that any two of the spaceports connected by a shuttle must have a different number of flights.

For every pair of connected spaceports, your goal is to propose a number $1$, $2$ or $3$ for each shuttle flight, so that for every two connected spaceports the overall number of flights differs.

You may assume that:

1) Every planet has at least one spaceport

2) There exist only shuttle flights between spaceports of different planets

3) For every two spaceports there is a series of shuttle flights enabling traveling between them

4) Spaceports are not connected by more than one shuttle

Input

The first row of the input is the integer number $N$ $(3 \leq N \leq 100 000)$, representing overall number of spaceports. The second row is the integer number $M$ $(2 \leq M \leq 100 000)$ representing number of shuttle flight connections.

Third row contains $N$ characters from the set $\{X, Y, Z\}$. Letter on $I^{th}$ position indicates on which planet is situated spaceport $I$. For example, "XYYXZZ" indicates that the spaceports $0$ and $3$ are located at planet $X$, spaceports $1$ and $2$ are located at $Y$, and spaceports $4$ and $5$ are at $Z$.

Starting from the fourth row, every row contains two integer numbers separated by a whitespace. These numbers are natural numbers smaller than $N$ and indicate the numbers of the spaceports that are connected. For example, "$12\ 15$" indicates that there is a shuttle flight between spaceports $12$ and $15$.

Output

The same representation of shuttle flights in separate rows as in the input, but also containing a third number from the set $\{1, 2, 3\}$ standing for the number of shuttle flights between these spaceports.

E. Туризм

графы Деревья дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм *2200

Лёша решил отправиться в туристическую поездку по стране.

Для простоты стоит считать, что в стране есть $n$ городов и $m$ двусторонних дороги, которые их соединяют. Лёша живёт в городе $s$ и изначально находится в нём. Каждый город в стране по своему хорош, и чтобы сравнивать города между собой, Лёша поставил каждому городу оценку $w_i$, которая тем больше, чем интереснее город кажется Лёше.

Лёша считает, что его поездка по стране будет интересной только в том случае, если ему ни в какой момент времени не придётся ехать назад по дороге, по которой он только что проехал. Другими словами, если Лёша переехал из города $u$ в город $v$, следующим в своей поездке Лёша может выбрать любой город, соединённый с $v$ дорогой, кроме города $u$.

Помогите Лёше спланировать поездку так, чтобы сумма оценок по всем посещённым им городам была максимальна. Считайте, что оценка любого посещённого города учитывается в сумме только один раз, даже если город был посещён не единожды.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$, $m$, ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $0 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество городов и дорог в стране.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $w_1, w_2, \ldots, w_n$ ($0 \le w_i \le 10^9$) — оценки всех городов.

Следующие $m$ строк содержат описание дорог. Каждая из $m$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$) — города, которые соединяются дорогой.

Гарантируется, что любые два города соединены не более, чем одной дорогой, никакой город не соединён дорогой с самим собой, а также что из любого города можно добраться в любой другой по дорогам.

Последняя строка содержит одно целое число $s$ ($1 \le s \le n$) — номер стартового города.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальную сумму оценок посещённых городов, которую можно получить.

E. Поджог в лесу Берляндии

Бинарный поиск графы графы кратчайшие пути *2200

Представим лес Берляндии как бесконечное клеточное поле. В каждой клетке растет дерево. Или росло, до недавних событий.

Разрушительный огонь бушевал в лесу и уничтожил несколько деревьев. У вас есть прямоугольная карта $n \times m$, которая описывает поврежденную часть леса. Сожженные деревья отмечены на карте как «X», в то время как остальные отмечены как «.». Вы можете быть уверены, что все поврежденные деревья отмечены на карте. Все деревья за пределами карты — не повреждены.

Пожарные быстро потушили огонь, и теперь расследуют данный инцидент. Основная версия — это поджог: в какой-то момент времени (примем этот момент за $0$) несколько деревьев были подожжены. В начале минуты $0$ горели только подожженные деревья. В конце каждой минуты огонь распространяется от горящего дерева к $8$ соседним к нему деревьям. В начале минуты $T$ огонь был потушен.

Пожарные хотят найти поджигателей так быстро как это возможно. Но проблема в том, что они не знают ни значение $T$ (как долго бушевал пожар), ни местоположение деревьев, которые были подожжены. Они хотят, чтобы вы определили максимальное значение $T$ (чтобы узнать, сколько времени в запасе у поджигателей) и возможное множество деревьев, которые были подожжены.

Заметим, что вы хотите максимизировать значение $T$, но множество деревьев может быть произвольным.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 10^6$, $1 \le n \cdot m \le 10^6$) — размеры карты.

В следующих $n$ строках задана карта. Строка $i$ соответствует $i$-й строке карты и содержит строку из $m$ символов. $j$-й символ $i$-й строки либо «X», если соответствующее дерево сгорело, либо «.» — если осталось в целости.

Гарантируется, что карта содержит хотя бы один «X».

Выходные данные

В первой строке выведите единственное число $T$ — максимальное время, которое мог гореть лес. В следующих $n$ строках выведите сертификат: карту (прямоугольник $n \times m$), на которой подожженные деревья отмечены как «X», а оставшиеся как «.».

E. Поджог в лесу Берляндии

Бинарный поиск графы графы кратчайшие пути *2200

Заметим, что вы хотите максимизировать значение $T$, но множество деревьев может быть произвольным.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 10^6$, $1 \le n \cdot m \le 10^6$) — размеры карты.

Гарантируется, что карта содержит хотя бы один «X».

Выходные данные

D. Три множества

графы Конструктив Перебор реализация хэши *1900

Дан неориентированный простой граф, который состоит из $n$ вершин и $m$ ребер. Граф не содержит петель (то есть каждое ребро соединяет две различные вершины), между каждой парой вершин существует не более одного ребра. Заданный граф может быть несвязным.

Определим следующее:

Пусть $v_1$ и $v_2$ два некоторых непустых подмножества вершин, которые не пересекаются. Пусть $f(v_{1}, v_{2})$ будет истиной (true) тогда и только тогда, когда все условия удовлетворены:

Нет ребра, которые соединяет две вершины в множестве вершин $v_1$.
Нет ребра, которые соединяет две вершины в множестве вершин $v_2$.
Для каждых двух вершин $x$ и $y$ таких, что $x$ находится в $v_1$ и $y$ находится в $v_2$, есть ребро, которое соединяет $x$ и $y$.

Создайте три множества вершин ($v_{1}$, $v_{2}$, $v_{3}$) таких, что все условия удовлетворены;

Все множества не должны быть пустыми.
Каждая вершина должна принадлежать ровно одному множеству.
$f(v_{1}, v_{2})$, $f(v_{2}, v_{3})$, $f(v_{3}, v_{1})$ должны быть истинами (true).

Возможно ли создать такие три множества? Есть это так, выведите такое разбиение вершин.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($3 \le n \le 10^{5}$, $0 \le m \le \text{min}(3 \cdot 10^{5}, \frac{n(n-1)}{2})$) — количество вершин и ребер в графе.

$i$-я из следующих $m$ строк содержит два целых числа $a_{i}$ и $b_{i}$ ($1 \le a_{i} \lt b_{i} \le n$), которые значат, что существует ребро между $a_{i}$ и $b_{i}$. Граф не содержит петель (то есть каждое ребро соединяет две различные вершины), между каждой парой вершин существует не более одного ребра. Заданный граф может быть несвязным.

Выходные данные

Если ответ существует, выведите $n$ целых чисел. $i$-е целое число обозначает номер множества (от $1$ до $3$), к которому принадлежит $i$-я вершина. Иначе выведите $-1$.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом примере, если $v_{1} = \{ 1 \}$, $v_{2} = \{ 2, 3 \}$ и $v_{3} = \{ 4, 5, 6 \}$, тогда множества будут удовлетворять всем условиям. Но также существует и другое разбиение. Например, «2 3 3 1 1 1», который также будет засчитан как правильный ответ.

$\text{[math]}$

Во втором примере правильное разбиение не существует.

F. Алиса и кактус

графы математика поиск в глубину и подобное Теория вероятностей *3000

Алиса недавно нашла несколько кактусов, растущих рядом с ее домом! Спустя несколько месяцев, все больше и больше кактусов стало появляться и вскоре они заблокировали всю дорогу. Поэтому Алиса хочет уничтожить их.

Кактус это связный неориентированный граф. Никакое ребро такого графа не принадлежит более, чем одному простому циклу. Простым циклом будем называть последовательность различных вершин $x_1, x_2, \ldots, x_k$ графа, такую что $k \geq 3$ и пары вершин $x_1$ и $x_2$, $x_2$ и $x_3$, $\ldots$, $x_{k-1}$ и $x_k$, $x_k$ и $x_1$ соединены ребром. Ребра $(x_1, x_2)$, $(x_2, x_3)$, $\ldots$, $(x_{k-1}, x_k)$, $(x_k, x_1)$ называются принадлежащими этому циклу.

Количество кактусов очень большое, поэтому уничтожить их будет тяжело. Но Алиса обладает магией. Когда она использует магию, каждая вершина кактуса удаляется независимо от других с вероятностью $\frac{1}{2}$. Когда вершина удаляется, все ребра, соседние с этой вершиной также удаляются.

Алиса хочет протестировать свою магию. Она выбрала кактус с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Обозначим за $X[S]$ (где $S$ это подмножество удаленных вершин) количество компонент связности в оставшемся графе после удаления вершин множества $S$. Перед тем, как использовать магию, она хочет узнать дисперсию случайной величины $X$, если все вершины графа имеют вероятность $\frac{1}{2}$ быть удаленными и все эти $n$ событий независимы. По определению дисперсия равна $E[(X - E[X])^2]$, где $E[X]$ это математическое ожидание случайной величины $X$. Помогите ей и посчитайте это число по модулю $10^9+7$.

Формально, обозначим за $M = 10^9 + 7$ (простое число). Можно показать, что ответ может быть представлен в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ это целые числа и $q \not \equiv 0 \pmod{M}$. Выведите целое число, равное $p \cdot q^{-1} \bmod M$. Другими словами, найдите такое целое число $x$, что $0 \le x < M$ и $x \cdot q \equiv p \pmod{M}$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$, разделенных пробелом ($1 \leq n \leq 5 \cdot 10^5, n - 1 \leq m \leq 5 \cdot 10^5$) — количество вершин и ребер в кактусе.

Следующие $m$ строк содержат по два целых числа $u$ и $v$, разделенных пробелом каждая ($1 \leq u, v \leq n, u \neq v$), означающих, что существует ребро между вершинами $u$ и $v$.

Гарантируется, что заданный граф не содержит петель и кратных ребер и является кактусом.

Выходные данные

Выведите одно целое число — дисперсию количества компонент связности в графе, остающемся после удаления множества вершин, при том, что любая вершина имеет вероятность $\frac{1}{2}$ быть удаленной и эти события независимы. Это число надо найти и вывести по модулю $10^9+7$.

Примечание

В первом примере ответ равен $\frac{7}{64}$. Когда все вершины удалены, значение $X$ равно $0$, иначе оно равно $1$. Поэтому математическое ожидание $X$ равно $0\times\frac{1}{8}+1\times\frac{7}{8}=\frac{7}{8}$. Тогда дисперсия $X$ равна $(0 - \frac{7}{8})^2\times\frac{1}{8}+(1-\frac{7}{8})^2\times\frac{7}{8} = (\frac{7}{8})^2\times\frac{1}{8}+(\frac{1}{8})^2\times\frac{7}{8} = \frac{7}{64}$.

Во втором примере ответ равен $\frac{1}{4}$.

F. Максимальное поддерево

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *2200

Пусть у вас есть $k$ одномерных отрезков $s_1, s_2, \dots s_k$ (каждый отрезок представляется двумя числами — координатами его концов). Тогда вы можете построить граф из $k$ вершин на этих отрезках. Между $i$-й и $j$-й вершинами ($i \neq j$) есть ребро тогда и только тогда, когда отрезки $s_i$ и $s_j$ пересекаются (когда существует хотя бы одна точка, принадлежащая обоим отрезкам).

Например, если $s_1 = [1, 6], s_2 = [8, 20], s_3 = [4, 10], s_4 = [2, 13], s_5 = [17, 18]$, то граф будет выглядеть следующим образом:

$\text{[math]}$

Дерево размера $m$ считается хорошим, если можно выбрать $m$ таких одномерных отрезков, что граф, построенный на этих отрезках, совпадает с деревом.

Вам задано дерево, найдите максимальный размер хорошего поддерева этого дерева. Напомним, что поддеревом называется связный подграф дерева.

Обратите внимание, что вам нужно ответить на $q$ независимых запросов.

Входные данные

Первая строка содержит число $q$ ($1 \le q \le 15 \cdot 10^4$) — количество запросов.

Первая строка каждого запроса содержит число $n$ ($2 \le n \le 3 \cdot 10^5$) — количество вершин дерева.

Каждая из следующих $n - 1$ содержит два числа $x$ и $y$ ($1 \le x, y \le n$) — ребро между вершинами $x$ и $y$. Гарантируется, что заданный граф является деревом.

Гарантируется, что сумма всех $n$ не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

На каждый запрос выведите одно число — максимальный размер хорошего поддерева заданного дерева.

Примечание

В первом запросе одно из хороших поддеревьев размера $8$ состоит из вершин: ${9, 4, 10, 2, 5, 1, 6, 3}$.

D. Конкурс котиков

2-sat графы Паросочетания поиск в глубину и подобное *2400

В Котовице в ближайшие выходные будет проходить конкурс котиков. Для конкурса нужно выбрать жюри и участников. Всего в Котовице $n$ жителей и $n$ котиков, у каждого жителя живёт ровно один котик. Жители и котики пронумерованы целыми числами от $1$ до $n$, причем у $i$-го жителя живёт $i$-й котик.

Каждый житель Котовице знаком с несколькими котиками, включая, конечно же, своего. Для конкурса нужно выбрать нескольких жителей на роль жюри, и нескольких котиков на роль участников. Для того, чтобы конкурс состоялся, в нём должен принять участие хотя бы один член жюри, и хотя бы один участник. Для того, чтобы конкурс прошёл честно, ни один член жюри не должен быть знаком ни с одним участником. И, наконец, чтобы конкурс прошёл наиболее интересно, было решено, что количество членов жюри плюс количество участников должно равняться $n$.

Помогите жителям Котовице выбрать состав жюри и участников для предстоящего конкурса, либо определите, что это сделать невозможно.

Входные данные

Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \le t \le 100\,000$) — количество тестовых случаев. Далее следует описание $t$ тестовых случаев, каждый из которых задан следующим образом:

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le m \le 10^6$) — количество жителей в Котовице и количество пар знакомых жителей и котиков.

В следующих $m$ строках заданы пары целых чисел $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$), обозначающих, что $a_i$-й житель знаком с $b_i$-м котиком. Каждая пара жителя и котика встречается в списке знакомых не более одного раза.

Гарантируется, что для любого $i$ в списке присутствует пара из $i$-го жителя и $i$-го котика.

Тестовые случаи разделены одной пустой строкой.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем тестам не превосходит $10^6$, и что сумма $m$ по всем тестам не превосходит $10^6$.

Выходные данные

Для каждого тестового случая выведите:

«No», если выбрать состав жюри и участников для конкурса невозможно.
Иначе выведите «Yes».
Во второй строке выведите два целых числа $j$ и $p$ ($1 \le j$, $1 \le p$, $j + p = n$) — количество членов жюри и участников в конкурсе.
В третьей строке выведите $j$ различных целых чисел от $1$ до $n$ — номера жителей, которые должны быть выбраны на роль жюри.
В четвертой строке выведите $p$ различных целых чисел от $1$ до $n$ — номера котиков, которые должны быть выбраны на роль участников.
Если существует несколько корректных ответов, выведите любой из них.

Примечание

В первом тестовом случае на роль жюри можно выбрать первого и третьего жителя, ни один из них не знаком со вторым котиком, поэтому его можно выбрать на роль участника.

Во втором тестовом случае на роль жюри можно выбрать второго жителя, он не знаком ни с первым, ни с третьим котиком, которых можно выбрать на роль участников.

В третьем тестовом случае ответа не существует, потому что единственный житель знаком с единственным котиком. Поэтому они не могут участвовать в конкурсе одновременно. Значит, в конкурсе не будет участвовать ни один житель, либо ни один котик.

В четвёртом тестовом случае, каждый житель знаком с каждым котиком, поэтому в конкурсе не могут одновременно участие какой-то житель и какой-то котик.

F. Жулик, не воруй

графы реализация *3400

Я Карта! Я КАрТa! Я КААААРТА!!!

Карта

В ожидании новых приключений Башмачок захотел совершить доброе дело. Посовещавшись с Картой и Рюкзаком, он решил подарить Даше связный граф. После долгих поисков, Башмачок выбрал $t$ вариантов графа, которые могли бы понравиться Даше, но, к сожалению, все его планы решил испортить лис Жулик.

Жулик знает, что Даша пока умеет считать только до $3$, поэтому у него родилась идея. Он хочет украсть непустой набор вершин так, чтобы Даша не заметила пропажи. Поэтому он решил украсть непустой набор вершин такой, что если удалить выбранные вершины и связанные с ними рёбра из графа, то для любой из оставшихся вершин будет верно, что её степень (число смежных рёбер) будет иметь такой же остаток от деления на $3$, что и степень до удаления рёбер. Также он понял, что будет слишком подозрительно, если он украдёт все вершины, поэтому он решил воздержаться от такой соблазнительной затеи.

Башмачок понял, что он не может позволить случиться преступлению. Но он боится, что одному ему не справиться. Поэтому он решил попросить у вас помощи. Башмачок хочет для каждого варианта графа узнать, сможет ли Жулик осуществить свои злобные планы, или нет.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100\,000$) — количество вариантов графа.

Первая строка описания каждого варианта содержит целые числа $n$, $m$ ($1 \le n \le 500\,000$, $0 \le m \le 500\,000$) — количество вершин и рёбер в графе.

Затем следуют $m$ строк, в каждой из которых записаны целые числа $a_i$, $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$) — номера вершин, соединённых очередным ребром.

Гарантируется, что граф связен и что в нём нет кратных рёбер и петель.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем вариантам не превосходит $500\,000$, и что сумма $m$ по всем вариантам не превосходит $500\,000$.

Описания вариантов графа разделены одной пустой строкой.

Выходные данные

Для каждого варианта:

В случае, если ответ существует, выведите «Yes», а затем сам пример.
Первая строка примера должна содержать целое число $c$ ($1 < c < n$) — количество вершин, которые может украсть Жулик, чтобы Даша не заметила пропажи. В следующей строке выведите $c$ различных чисел — номера этих вершин в произвольном порядке.
Иначе выведите «No».

Если существует несколько способов украсть вершины требуемым образом, выведите любой из них.

Обратите внимание, что необязательно красть максимальное возможное число вершин.

Примечание

На картинке ниже изображен третий вариант графа из примера. Жирным отмечены вершины, которые может украсть Жулик.

$\text{[math]}$

F. Футбол

графы *3100

В мире есть $n$ футбольных команд.

Главная футбольная организация (ГФО) хочет провести не более $m$ игр. ГФО хочет, чтобы $i$-я игра была сыграна между командами $a_i$ и $b_i$ на одном из $k$ стадионов.

Пусть $s_{ij}$ будет количеством игр, которые сыграла $i$-я команда на $j$-м стадионе. ГФО не хочет, чтобы какая-то команда сыграла на много больше матчей на одному стадионе, чем на каком-то другом. Поэтому, для каждой команды $i$, абсолютная разница между максимом и минимум среди чисел $s_{i1}, s_{i2}, \ldots, s_{ik}$ не должна превосходить $2$.

Каждая команда имеет $w_i$ — количество денег, которые получит ГФО за каждую игру $i$-й команды. Если $i$-я команда сыграет $l$ матчей, то ГФО заработает $w_i \cdot l$.

ГФО нужно найти какие игры и на каких стадионах нужно сыграть, чтобы они заработали как можно больше денег, но при этом не нарушая правила, которые они установили.

К сожалению, эта задача слишком сложная для ГФО. Поэтому они просят вас решить эту задачу.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$, $k$ ($3 \leq n \leq 100$, $0 \leq m \leq 1\,000$, $1 \leq k \leq 1\,000$) — количество команд, количество игр и количество стадионов.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $w_1, w_2, \ldots, w_n$ ($1 \leq w_i \leq 1\,000$) — количество денег, которое получит ГФО за каждую игру $i$-й команды.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \leq a_i, b_i \leq n$, $a_i \neq b_i$) — команды, которые могут сыграть $i$-ю игру. Гарантируется, что каждая пара команд может сыграть не более одной игры.

Выходные данные

Для каждой игры в том же порядке выведите $t_i$ ($1 \leq t_i \leq k$) — номер стадиона, на котором команды $a_i$ и $b_i$ сыграют игру. Если $i$-я игра не должна быть сыграна, то $t_i$ должен быть равен $0$.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

Один из возможных решений примера показан ниже:

$\text{[math]}$

B. 0-1 MST

графы поиск в глубину и подобное снм сортировки *1900

Уджан накопил много ненужного хлама в своих ящиках, значительная часть которого является тетрадями с записями по математике: настало время их разобрать. Сейчас он нашёл старую запылившуюся тетрадь по теории графов с описанием одного графа.

Это неориентированный взвешенный граф с $n$ вершинами. К тому же, это полный граф: каждая пара вершин соединена ребром. Вес каждого ребра равен либо $0$, либо $1$; к тому же, ровно $m$ рёбер имеют вес $1$, а все остальные рёбра имеют вес $0$.

Так как Уджан не очень сильно желает разбирать свои записи, он решил найти вес минимального остовного дерева данного графа. (Вес остовного дерева графа равняется сумме весов всех его рёбер.) Можете ли вы найти ответ за Уджана, чтобы он прекратил валять дурака?

Входные данные

Первая строка ввода содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \leq 10^5$, $0 \leq m \leq \min(\frac{n(n-1)}{2},10^5)$), количество вершин и количество рёбер веса $1$ в данном графе.

$i$-тая из следующих $m$ строк содержит целые числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \leq a_i, b_i \leq n$, $a_i \neq b_i$), концы $i$-го ребра с весом $1$.

Гарантируется, что ни одно ребро не повторяется во вводе.

Выходные данные

Выведите одно целое число, вес минимального остовного дерева в данном графе.

Примечание

Граф из первого примера показан на картинке ниже. Пунктирные рёбра имеют вес $0$, все остальные рёбра имеют вес $1$. Одно из возможных остовных деревьев покрашено в оранжевый цвет и имеет общий вес $2$.

$\text{[math]}$

Во втором примере, вес каждого ребра $0$, поэтому вес любого остовного дерева равен $0$.

C. Баланс сумм

битмаски графы дп поиск в глубину и подобное *2400

У Уджана в коробках накопилось много чисел. Ему нравится баланс и порядок, поэтому он решил перераспределить числа.

Всего есть $k$ коробок, пронумерованных числами от $1$ до $k$. $i$-я коробка содержит $n_i$ целых чисел. Числа могут быть и отрицательными. Все данные числа различны.

Уджан ленивый, поэтому он выполнит следующее перераспределение ровно один раз. Вначале он выберет по одному числу из каждой коробки, всего $k$ чисел. Затем он поместит выбранные числа по одному числу в каждую из коробок, так, что количество чисел в каждой коробке такое же, как и в начале. Учтите, что он может поместить число, которое он выбрал из одной коробки обратно в ту же коробку.

Уджан будет рад, если сумма чисел во всех коробках станет одинаковая. Может ли он достичь этого, и сбалансировать таким образом все коробки, как все вещи и должны быть?

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $k$ ($1 \leq k \leq 15$), количество коробок.

$i$-я из следующих $k$ строк начинается с одного целого числа $n_i$ ($1 \leq n_i \leq 5\,000$), количества чисел в коробке с номером $i$. Затем та же строка содержит $n_i$ чисел $a_{i,1}, \ldots, a_{i,n_i}$ ($|a_{i,j}| \leq 10^9$), числа, которые находятся в $i$-й коробке.

Гарантируется, что все числа $a_{i,j}$ различны.

Выходные данные

Если Уджан не может достичь своей цели, выведите «No». В противоположном случае выведите сначала «Yes», и затем выведите $k$ строк. $i$-я из этих строк должна содержать два целых числа $c_i$ и $p_i$. Эти числа должны означать то, что Уджан выберет число $c_i$ из $i$-й коробки и поместит его в $p_i$-ю коробку.

Если существует больше одного решения, выведите любое.

Вы можете выводить каждую букву в любом регистре (строчную или заглавную).

Примечание

В первом примере Уджан может поместить число $7$ во $2$-ю коробку, число $2$ в $3$-ю коробку, число $5$ в $1$-ю коробку, а число $10$ оставить в той же $4$-й коробке. Тогда коробки будут содержать числа $\{1,5,4\}$, $\{3, 7\}$, $\{8,2\}$ и $\{10\}$. Сумма чисел в каждой коробке станет равна $10$.

Во втором примере невозможно выбрать и перераспределить числа данным способом.

В третьем примере можно поменять местами числа $-20$ и $-10$, тогда сумма чисел в обеих коробках станет равна $-10$.

E. Планарный периметр

графы Конструктив *3200

Уджан наконец-то убрал свой дом и теперь хочет декорировать интерьер. Он решил приобрести красивый ковёр, который бы по-настоящему украсил гостевую комнату.

Его интересуют ковры, которые состоят из многоугольных частей (граней), где каждая сторона любой части либо является стороной одной другой (отличной) части, либо является внешней стороной. Другими словами, ковёр можно описать как планарный граф, где каждая часть соответствует одной грани, которая является простым многоугольником. Периметр ковра равняется количеству внешних сторон.

Уджан считает ковёр красивым, если он состоит из $f$ частей, где $i$-я часть имеет ровно $a_i$ сторон, и периметр наименьший возможный. Найдите пример такого ковра, чтобы Уджан мог бы его заказать!

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $f$ ($1 \leq f \leq 10^5$), количество частей ковра.

Следующая строка содержит $f$ целых чисел $a_1, \ldots, a_f$ ($3 \leq a_i \leq 3\cdot 10^5$), количества сторон каждой части ковра. Общее количество сторон частей $a_1 + \ldots + a_f$ не превышает $3\cdot10^5$.

Выходные данные

Выведите описание ковра как граф.

Сначала выведите одно целое число $n$ ($3 \leq n \leq 3 \cdot 10^5$), общее количество вершин в графе (вершины должны быть пронумерованы числами от $1$ до $n$).

Затем выведите $f$ строк с описанием граней. $i$-я строка должна содержать описание $i$-й грани и содержать $a_i$ различных целых чисел $v_{i,1}, \ldots, v_{i,a_i}$ ($1 \leq v_{i,j} \leq n$), что означает, что вершины $v_{i,j}$ и $v_{i,(j \bmod{a_i})+1}$ соединены ребром для каждой пары $1 \leq j \leq a_i$.

Граф должен быть планарным и удовлетворять ограничениям, описанным в условии. Его периметр должен быть наименьшим возможным. Граф не должен содержать кратные рёбра или петли. Граф должен быть связным. Учтите, что решение всегда существует; если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом примере, две треугольных грани соединены одним ребром, поэтому периметр получается равным $4$.

На картинке показана одна возможная конфигурация для второго примера. Наименьший периметр в данном случае равен $3$.

$\text{[math]}$

D. Покраска вершин

графы Деревья дп Конструктив Перебор реализация *1800

Вам задано дерево, состоящее из $n$ вершин. Дерево — это связный неориентированный граф, не содержащий циклов.

$\text{[math]}$ Пример дерева.

Вы должны покрасить каждую вершину дерева в один из трех цветов. Для каждой вершины известна стоимость ее покраски в каждый из трех цветов.

Вам нужно покрасить все вершины таким образом, чтобы в любом пути, состоящем ровно из трех различных вершин, цвета всех этих трех вершин были различны. Иными словами, рассмотрим все такие тройки вершин $(x, y, z)$, что $x \neq y, y \neq z, x \neq z$, вершина $x$ соединена ребром с вершиной $y$, а вершина $y$ соединена ребром с вершиной $z$. Тогда цвета вершин $x$, $y$ и $z$ должны быть попарно различны. Назовем такую покраску вершин хорошей.

Перед вами стоит задача определить минимальную стоимость хорошей покраски дерева, а также в какой цвет необходимо покрасить каждую из вершин. Если не существует ни одной хорошей покраски дерева, сообщите об этом.

Входные данные

В первой строке следует целое число $n$ $(3 \le n \le 100\,000)$ — количество вершин в дереве.

Во второй строке следует последовательность $c_{1, 1}, c_{1, 2}, \dots, c_{1, n}$ $(1 \le c_{1, i} \le 10^{9})$, где $c_{1, i}$ равно стоимости покраски $i$-й вершины в первый цвет.

В третьей строке следует последовательность $c_{2, 1}, c_{2, 2}, \dots, c_{2, n}$ $(1 \le c_{2, i} \le 10^{9})$, где $c_{2, i}$ равно стоимости покраски $i$-й вершины во второй цвет.

В четвертой строке следует последовательность $c_{3, 1}, c_{3, 2}, \dots, c_{3, n}$ $(1 \le c_{3, i} \le 10^{9})$, где $c_{3, i}$ равно стоимости покраски $i$-й вершины в третий цвет.

В каждой из следующих $(n - 1)$ строк следует по два целых числа $u_j$ и $v_j$ $(1 \le u_j, v_j \le n, u_j \neq v_j)$ — номера вершин, соединенных неориентированным ребром $j$. Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Выходные данные

Если не существует хорошей покраски дерева, выведите $-1$.

В противном случае, в первой строке выведите минимальную стоимость хорошей покраски графа. Во второй строке выведите $n$ целых чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ $(1 \le b_i \le 3)$, где $i$-е число должно быть равно цвету, в который нужно покрасить вершину $i$. Если подходящих покрасок минимальной стоимости несколько, разрешается вывести любую из них.

Примечание

В первом примере три вершины, поэтому все они должны быть покрашены в разные цвета. Первую вершину нужно покрасить в цвет $1$, вторую вершину — в цвет $3$, а третью вершину — в цвет $2$. Стоимость такой покраски равна $3 + 2 + 1 = 6$.

D. Шичикуджи и электросеть

графы Деревья жадные алгоритмы кратчайшие пути снм *1900

Шичикуджи — новое местное божество Южного Храма Черной Улитки. Ее первое задание заключается в следующем:

В префектуре X построено $n$ новых городов. Города пронумерованы от $1$ до $n$. Город $i$ находится в $x_i$ км на север от храма и в $y_i$ ем на восток от храма. Возможно, что $(x_i, y_i) = (x_j, y_j)$ даже если $i \ne j$.

Шичикуджи планирует обеспечить электричеством каждый город либо с помощью установки там электростанции, либо с помощью соединения его с другим городом, в котором уже есть электричество. То есть в городе есть электричество, если в нём есть электростанция или он соединён напрямую или по цепочке кабелей с городом, в котором есть электростанция.

Возведение электростанции в городе $i$ стоит $c_i$ иен;
Соединение города $i$ и города $j$ стоит $k_i + k_j$ иен за каждый км кабеля, использованного для соединения. Однако кабель можно прокладывать вдоль сторон света (на север, юг, восток, запад). Кабели могут пересекать друг друга. У каждого кабеля оба конца должны быть в некоторых городах. Если город $i$ и город $j$ соединены кабелем, то кабель всегда будет прокладываться по кратчайшему пути из города $i$ в город $j$. Тогда длина кабеля, соединяющего город $i$ и город $j$, равна $|x_i - x_j| + |y_i - y_j|$ км.

Шичикуджи хочет осуществить эту затею, потратив как можно меньше денег, так как она считает, что нет ничего важнее в мире, чем деньги. Однако она умерла, когда была всего в пятом классе (разумеется, божества не стареют после смерти), поэтому недостаточно смышленая, чтобы воплотить проект в жизнь. Поэтому она просит вас о помощи.

Таким образом, от вас требуется предоставить Шичикуджи следующую информацию: минимальное количество иен, необходимое, чтобы обеспечить электричеством все города, города, в которых будут построены электростанции, и проведенные соединения.

Если существует несколько способов так выбрать города и соединения, чтобы получить конструкцию минимальной цены, то выведите любую из них.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 2000$) — количество городов.

Затем следует $n$ строк. В $i$-й строке записаны два целых числа $x_i$ ($1 \leq x_i \leq 10^6$) и $y_i$ ($1 \leq y_i \leq 10^6$) — координаты $i$-го города.

В следующей строке записаны $n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($1 \leq c_i \leq 10^9$) — цена установки электростанции в $i$-м городе.

В последней строке записаны $n$ целых чисел $k_1, k_2, \dots, k_n$ ($1 \leq k_i \leq 10^9$).

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число, обозначающее минимальное количество иен, требуемых для конструкции.

Затем выведите одно целое число $v$ — количество электростанций, которые требуется построить.

Далее выведите $v$ целых чисел, обозначающих номера городов, в которых требуется построить электростанции. Каждое число должно быть от $1$ до $n$ и все числа должны быть попарно различны. Можно выводить числа в произвольном порядке.

После этого выведите одно целое число $e$ — количество необходимых соединений.

Наконец, выведите $e$ пар целых чисел $a$ и $b$ ($1 \le a, b \le n$, $a \ne b$), обозначающих, что между городами $a$ и $b$ будет проведено соединение. Каждая неупорядоченная пара городов может встречаться не более одного раза (для каждого $(a, b)$ не должно больше существовать пар $(a, b)$ или $(b, a)$). Пары можно выводить в произвольном порядке.

Примечание

Для ответов на примеры смотрите на данные графики (города с электростанциями раскрашены зеленым, остальные — синим, кабели покрашены в красный):

$\text{[math]}$

В первом примере цена строительства электростанций во всех городах равна $3 + 2 + 3 = 8$. Можно показать, что больше никакая конфигурация не стоит меньше 8 иен.

Во втором примере цена строительства электростанции в городе 2 равна 2. Стоимость соединения городов 1 и 2 равна $2 \cdot (3 + 2) = 10$. Стоимость соединения городов 2 и 3 равна $3 \cdot (2 + 3) = 15$. Поэтому итоговая цена равна $2 + 10 + 15 = 27$. Можно показать, что никакая конфигурация не стоит меньше 27 иен.

E. Компания MST

Бинарный поиск графы *2400

Компания MST (Meaningless State Team) выиграла очередной тендер на проведение важной государственной реформы в Берляндии.

В Берляндии n городов, некоторые пары из которых соединены дорогами. У каждой дороги есть ее стоимость. По любой дороге можно двигаться в любом направлении. Компания MST должна провести ремонтные работы на некотором таком наборе дорог, что из любого города можно добраться до любого другого, двигаясь только по отремонтированным дорогам. Кроме того, этот набор должен содержать ровно k столичных дорог (то есть таких, что одним из ее концов является столица). Столица имеет номер 1.

Так как бюджет работ уже утвержден, то компании MST выгодно найти такой набор, что сумма длин входящих в него дорог наименьшая.

Входные данные

Первая строка входного файла содержит три целых числа n, m, k (1 ≤ n ≤ 5000;0 ≤ m ≤ 10⁵;0 ≤ k < 5000), где n — это количество городов в стране, m — количество дорог в стране, k — количество столичных дорог в искомом наборе. Далее в m строках перечислены сами дороги. Каждая дорога задана тройкой чисел a_i, b_i, w_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; 1 ≤ w ≤ 10⁵), где a_i, b_i — это номера городов, соединяемых дорогой, а w_i — это ее длина.

Между каждой парой городов существует не более одной дороги. Нет дорог, ведущих из себя в себя же. Столица имеет номер 1.

Выходные данные

Выведите количество дорог в искомом наборе в первую строку. Вторая строка должна содержать номера дорог, включенных в искомое множество. Если искомого набора не существует, то выведите -1.

E. The Coronation

графы реализация *2300

The coronation of King Berl XXII is soon! The whole royal family, including $n$ daughters of Berl XXII, will be present.

The King has ordered his jeweler to assemble $n$ beautiful necklaces, so each of the princesses could wear exactly one necklace during the ceremony — and now these necklaces are finished. Each necklace consists of $m$ gems attached to a gold chain. There are two types of gems used in the necklaces — emeralds and sapphires. So, each necklace can be represented by a sequence of $m$ gems (listed from left to right), and each gem is either an emerald or a sapphire. Formally, the $i$-th necklace can be represented by a binary string $s_i$ of length $m$; if the $j$-th character of $s_i$ is 0, then the $j$-th gem in the $i$-th necklace is an emerald; otherwise, this gem is a sapphire.

Now, looking at the necklaces, the King is afraid that some of his daughters may envy the other daughters' necklaces. He wants all necklaces to look similar. Two necklaces are considered similar if there are at least $k$ positions where these necklaces contain the same type of gems.

For example, if there is a necklace represented by a sequence 01010111 and a necklace represented by a sequence 01100000, then there are $3$ positions where these necklaces contain the same type of gems (both first gems are emeralds, both second gems are sapphires, and both fifth gems are emeralds). So if $k = 3$, these necklaces are similar, and if $k = 4$, they are not similar.

The King thinks that if two of his daughters notice that their necklaces are not similar, then they may have a conflict — and, obviously, he doesn't want any conflicts during the coronation! So Berl XXII wants to tell some of his daughters to wear their necklaces backward. If a necklace is worn backward, then the sequence of gems in this necklace is reversed. For example, if a necklace is represented by a sequence 01100, then, if worn backward, it would be represented by a sequence 00110. The King wants to find the minimum number of necklaces to be worn backward during the coronation so that there are no conflicts.

Berl XXII is too busy with preparation for the coronation, so he ordered you to resolve this issue for him. Help him — and he will give you a truly royal reward!

Input

The first line contains one integer $t$ ($1 \le t \le 50$) — the number of test cases. Then the test cases follow.

Each test case begins with a line containing three integers $n$, $m$ and $k$ ($2 \le n \le 50$, $1 \le k \le m \le 50$) — the number of necklaces, the number of gems in each necklace, and the minimum number of positions where two necklaces have to have the same type of gems in order to look similar, respectively.

Then $n$ lines follow, the $i$-th of them contains a binary string $s_i$ of length $m$ representing the $i$-th necklace.

Output

For each test case, print the answer as follows.

If it is impossible to avoid the conflict, print -1 on a single line. In this case you should not output anything else for that test case.

Otherwise, the first line of the test case answer should contain the single integer $d$ — the minimum number of necklaces that are to be worn backward. The second line of the test case answer should contain the numbers of these necklaces (integers from $1$ to $n$) in any order. If $d = 0$ then leave the second line of the test case answer empty. If there are multiple answers, you may print any of them.

K. Projectors

графы Потоки *3100

There are $n$ lectures and $m$ seminars to be conducted today at the Faculty of Approximate Sciences. The $i$-th lecture starts at $a_i$ and ends at $b_i$ (formally, time of the lecture spans an interval $[a_i, b_i)$, the right bound is exclusive). The $j$-th seminar starts at $p_j$ and ends at $q_j$ (similarly, time of the seminar spans an interval $[p_j, q_j)$, the right bound is exclusive).

There are $x$ HD-projectors numbered from $1$ to $x$ and $y$ ordinary projectors numbered from $x + 1$ to $x + y$ available at the faculty. Projectors should be distributed in such a way that:

an HD-projector is used in each lecture;
some projector (ordinary or HD) is used in each seminar;
a projector (ordinary or HD) can only be used in one event at the same moment of time;
if a projector is selected for an event, it is used there for the whole duration of the event;
a projector can be reused in some following event, if it starts not earlier than current event finishes.

You are to find such distribution of projectors, if it exists.

Again, note that the right bound of the event's time range is not inclusive: if some event starts exactly when another event finishes, the projector can be reused (suppose that it is instantly transported to the location of the event).

Input

The first line contains an integer $t$ ($1 \le t \le 300$) — the number of test cases.

Each test case starts with a line containing four integers $n, m, x, y$ ($0 \le n, m, x, y \le 300$; $n+m>0$, $x + y > 0$) — the number of lectures, the number of seminars, the number of HD projectors and the number of ordinary projectors, respectively.

The next $n$ lines describe lectures. Each line contains two integers $a_i$, $b_i$ ($1 \le a_i < b_i \le 10^6$) — the start time (inclusive) and finish time (exclusive) of the $i$-th lecture.

The next $m$ lines describe seminars. Each line contains two integers $p_j$, $q_j$ ($1 \le p_j < q_j \le 10^6$) — the start time (inclusive) and finish time (exclusive) of the $j$-th seminar.

Output

For each test case, print YES if it is possible to distribute projectors in order to meet all requirements, or NO otherwise.

In case of positive answer, output one additional line containing $n + m$ integers. The first $n$ integers should be not less than $1$ and not greater than $x$, and the $i$-th of them should be the index of HD projector used in the $i$-th lecture. The last $m$ integers should be not less than $1$ and not greater than $x + y$, and the $j$-th of them should be the index of projector used in the $j$-th seminar. If there are multiple answers, print any of them.

N. Wires

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2000

Polycarpus has a complex electronic device. The core of this device is a circuit board. The board has $10^9$ contact points which are numbered from $1$ to $10^9$. Also there are $n$ wires numbered from $1$ to $n$, each connecting two distinct contact points on the board. An electric signal can pass between wires $A$ and $B$ if:

either both wires share the same contact point;
or there is a sequence of wires starting with $A$ and ending with $B$, and each pair of adjacent wires in the sequence share a contact point.

$\text{[math]}$ The picture shows a circuit board with $5$ wires. Contact points with numbers $2, 5, 7, 8, 10, 13$ are used. Here an electrical signal can pass from wire $2$ to wire $3$, but not to wire $1$.

Currently the circuit board is broken. Polycarpus thinks that the board could be fixed if the wires were re-soldered so that a signal could pass between any pair of wires.

It takes $1$ minute for Polycarpus to re-solder an end of a wire. I.e. it takes one minute to change one of the two contact points for a wire. Any contact point from range $[1, 10^9]$ can be used as a new contact point. A wire's ends must always be soldered to distinct contact points. Both wire's ends can be re-solded, but that will require two actions and will take $2$ minutes in total.

Find the minimum amount of time Polycarpus needs to re-solder wires so that a signal can pass between any pair of wires. Also output an optimal sequence of wire re-soldering.

Input

The input contains one or several test cases. The first input line contains a single integer $t$ — number of test cases. Then, $t$ test cases follow.

The first line of each test case contains a single integer $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — the number of wires. The following $n$ lines describe wires, each line containing two space-separated integers $x_i, y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le 10^9$, $x_i \neq y_i$) — contact points connected by the $i$-th wire. A couple of contact points can be connected with more than one wire.

Sum of values of $n$ across all test cases does not exceed $10^5$.

Output

For each test case first print one line with a single integer $k$ — the minimum number of minutes needed to re-solder wires so that a signal can pass between any pair of wires. In the following $k$ lines print the description of re-solderings. Each re-soldering should be described by three integers $w_j, a_j, b_j$ ($1 \le w_j \le n$, $1 \le a_j, b_j \le 10^9$). Such triple means that during the $j$-th re-soldering an end of the $w_j$-th wire, which was soldered to contact point $a_j$, becomes soldered to contact point $b_j$ instead. After each re-soldering of a wire it must connect two distinct contact points. If there are multiple optimal re-solderings, print any of them.

L. Road Construction

графы Потоки *2300

There are $N$ cities in the country of Numbata, numbered from $1$ to $N$. Currently, there is no road connecting them. Therefore, each of these $N$ cities proposes a road candidate to be constructed.

City $i$ likes to connect with city $A_i$, so city $i$ proposes to add a direct bidirectional road connecting city $i$ and city $A_i$. It is guaranteed that no two cities like to connect with each other. In other words, there is no pair of integers $i$ and $j$ where $A_i = j$ and $A_j = i$. It is also guaranteed that any pair of cities are connected by a sequence of road proposals. In other words, if all proposed roads are constructed, then any pair of cities are connected by a sequence of constructed road.

City $i$ also prefers the road to be constructed using a specific material. Each material can be represented by an integer (for example, $0$ for asphalt, $1$ for wood, etc.). The material that can be used for the road connecting city $i$ and city $A_i$ is represented by an array $B_i$ containing $M_i$ integers: $[(B_i)_1, (B_i)_2, \dots, (B_i)_{M_i}]$. This means that the road connecting city $i$ and city $A_i$ can be constructed with either of the material in $B_i$.

There are $K$ workers to construct the roads. Each worker is only familiar with one material, thus can only construct a road with a specific material. In particular, the $i^{th}$ worker can only construct a road with material $C_i$. Each worker can only construct at most one road. You want to assign each worker to construct a road such that any pair of cities are connected by a sequence of constructed road.

Input

Input begins with a line containing two integers: $N$ $K$ ($3 \le N \le 2000$; $1 \le K \le 2000$) representing the number of cities and the number of workers, respectively. The next $N$ lines each contains several integers: $A_i$ $M_i$ $(B_i)_1$, $(B_i)_2$, $\cdots$, $(B_i)_{M_i}$ ($1 \le A_i \le N$; $A_i \ne i$; $1 \le M_i \le 10\,000$; $0 \le (B_i)_1 < (B_i)_2 < \dots < (B_i)_{M_i} \le 10^9$) representing the bidirectional road that city $i$ likes to construct. It is guaranteed that the sum of $M_i$ does not exceed $10\,000$. It is also guaranteed that no two cities like to connect with each other and any pair of cities are connected by a sequence of road proposals. The next line contains $K$ integers: $C_i$ ($0 \le C_i \le 10^9$) representing the material that is familiarized by the workers.

Output

If it is not possible to assign each worker to construct a road such that any pair of cities are connected by a sequence of constructed road, simply output -1 in a line. Otherwise, for each worker in the same order as input, output in a line two integers (separated by a single space): $u$ and $v$ in any order. This means that the worker constructs a direct bidirectional road connecting city $u$ and $v$. If the worker does not construct any road, output "0 0" (without quotes) instead. Each pair of cities can only be assigned to at most one worker. You may output any assignment as long as any pair of cities are connected by a sequence of constructed road.

Note

Explanation for the sample input/output #1

We can assign the workers to construct the following roads:

The first worker constructs a road connecting city $1$ and city $2$.
The second worker constructs a road connecting city $2$ and city $3$.
The third worker constructs a road connecting city $3$ and city $4$.
The fourth worker does not construct any road.
The fifth worker constructs a road connecting city $4$ and city $2$.

Therefore, any pair of cities are now connected by a sequence of constructed road.

Explanation for the sample input/output #2

There is no worker that can construct a road connecting city $1$, thus city $1$ is certainly isolated.

D. Гармоничный граф

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное снм сортировки *1700

Вам дан неориентированный граф из $n$ вершин и $m$ ребер. Вершины пронумерованы целыми числами от $1$ до $n$.

Назовем граф гармоничным если и только если выполняется следующее свойство:

Для каждой такой тройки целых чисел $(l, m, r)$, что $1 \le l < m < r \le n$, если есть путь из вершины $l$ в вершину $r$, тогда существует путь из вершины $l$ в вершину $m$.

Иначе говоря, в гармоничном графе, если из вершины $l$ можно по ребрам дойти до вершины $r$ ($l < r$), тогда также должно быть можно дойти до вершин $(l+1), (l+2), \ldots, (r-1)$.

Какое минимальное число ребер надо добавить в граф, чтобы он стал гармоничным?

Входные данные

В первой строке входного файла записаны два целых числа $n$ и $m$ ($3 \le n \le 200\ 000$ и $1 \le m \le 200\ 000$).

В $i$-й из следующих $m$ строк записаны два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \neq v_i$), описывающих ребро между вершинами $u$ и $v$.

Гарантируется, что граф простой (в нем нет петель, а также между каждой парой вершин существует не более одного ребра).

Выходные данные

Выведите минимальное количество ребер которое нужно добавить в граф, чтобы он стал гармоничным.

Примечание

В первом примере граф не гармоничный (например, при $1 < 6 < 7$, из вершины $1$ можно достичь вершину $7$ по пути $1 \rightarrow 2 \rightarrow 7$, но из вершины $1$ нельзя достичь вершину $6$). Однако добавление ребра $(2, 4)$ достаточно, чтобы сделать его гармоничным.

Во втором примере граф уже гармоничный.

F. Дешевый робот

Бинарный поиск графы Деревья кратчайшие пути снм *2500

Вам дан простой, неориентированный, связный взвешенный граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами.

Вершины пронумерованы от $1$ до $n$. Есть ровно $k$ центров (точек перезарядки), находящихся в вершинах $1, 2, \ldots, k$.

Рассмотрим робота, двигающегося по этому графу, с батареей емкости $c$, пока не фиксированной конструктором. В любой момент времени батарея может содержать целое количество $x$ энергии от $0$ до $c$ включительно.

Переход по ребру веса $w_i$ возможен, только если $x \ge w_i$, и это стоит $w_i$ энергии ($x := x - w_i$).

Когда робот достигает центра, его батарея полностью перезаряжается ($x := c$).

Вам дано $q$ независимых миссий, в $i$-й миссии роботу требуется добраться от центра $a_i$ до центра $b_i$.

Для каждой миссии, вам требуется найти минимальную емкость батареи, которая требуется, чтобы пройти эту миссию.

Входные данные

В первой строке записано четыре целых числа $n$, $m$, $k$ и $q$ ($2 \le k \le n \le 10^5$ и $1 \le m, q \le 3 \cdot 10^5$).

В $i$-й из следующих $m$ строк записаны три целых числа $u_i$, $v_i$ и $w_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \neq v_i$, $1 \le w_i \le 10^9$), означающих, что в графе есть ребро между вершинами $u$ и $v$, с весом $w_i$.

Гарантируется, что данный граф простой (в нем нет петель, между каждой парой вершин есть не более одного ребра) и связный.

В $i$-й из следующих $q$ строк записаны два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le k$, $a_i \neq b_i$).

Выходные данные

Вам нужно вывести $q$ строк, $i$-я из них должна содержать одно целое число: минимальная емкость, которая нужна, чтобы пройти $i$-ю миссию.

Примечание

В первом примере, граф является цепочкой $10 - 9 - 2^C - 4 - 1^C - 5 - 7 - 3^C - 8 - 6$, где центрами являются вершины $1$, $2$ and $3$.

Для миссии $(2, 3)$, существует только один простой путь. Вот пример прохождения этой миссии с емкостью $12$.

Робот начинает в вершине $2$, с $c = 12$ энергии.
Робот использует ребро веса $4$.
Робот дошел до вершины $4$, с $12 - 4 = 8$ энергии.
Робот использует ребро веса $8$.
Робот дошел до вершины $1$ с $8 - 8 = 0$ энергии.
Робот на центре, поэтому его батарея перезаряжается. Теперь у него есть $c = 12$ энергии.
Робот использует ребро веса $2$.
Робот находится в вершине $5$, с $12 - 2 = 10$ очками энергии.
Робот использует ребро веса $3$.
Робот находится в вершине $7$, с $10 - 3 = 7$ очками энергии.
Робот использует ребро веса $2$.
Робот находится в вершине $3$, с $7 - 2 = 5$ очками энергии.
Робот на центре, поэтому его батарея перезаряжается. Теперь у него есть $c = 12$ энергии.
Конец симуляции

Обратите внимание, что если бы $c$ было меньше $12$, у нас было бы меньше $8$ энергии в вершине $4$, поэтому было бы невозможно воспользоваться ребром $4 \leftrightarrow 1$ веса $8$. Таким образом $12$ это минимальная возможная емкость, которой хватит, для прохождения миссии.

—

Граф во втором примере описан здесь (центры это красные вершины):

$\text{[math]}$

Робот может выполнить миссию $(3, 1)$ с батареей емкости $c = 38$, испольуя путь $3 \rightarrow 9 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 2 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 1$

Робот может выполнить миссию $(2, 3)$ с батареей емкости $c = 15$, используя путь $2 \rightarrow 7 \rightarrow 8 \rightarrow 9 \rightarrow 3$

B. Замки для холодильников

графы реализация *1100

Хань живет в общей квартире. Там живет $n$ человек (включая Ханя), у каждого из которых есть собственный холодильник.

$n$ холодильников защищены несколькими цепями. Каждая цепь соединяет два различных холодильника и защищена цифровым замком. Владелец холодильника знает коды доступа всех связанных с ним цепей. Холодильник может быть открыт только в том случае, если все цепи, подключенные к нему, разблокированы. Например, если холодильник вообще не имеет связанных с ним цепей, то его может открыть любой из $n$ человек.

$\text{[math]}$ Например, на рисунке есть $n=4$ людей и $5$ цепей. Первый человек знает пароль для двух цепей: $1-4$ и $1-2$. $1$-й холодильник может открыть его владелец ($1$-й человек), а также $2$-й и $4$-й (работая сообща) могут его открыть.

Цены этих холодильников равны $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Чтобы сделать цепь, соединяющую холодильники $u$ и $v$, вы должны заплатить $a_u + a_v$ долларов. Обратите внимание, что владелец квартиры позволяет вам сделать несколько цепей, соединяющих одну и ту же пару холодильников.

Хозяин квартиры, в которой живет Хань, просит вас создать ровно $m$ цепей, чтобы все холодильники были защищены. Холодильник является защищенным тогда и только тогда, когда из $n$ людей, живущих в квартире, только владелец холодильника может открыть его (то есть больше никто, действуя самостоятельно, не сможет его открыть). Другими словами, $i$-й холодильник не защищен, если существует человек $j$ ($i \ne j$) такой, что $j$ в одиночку сможет открыть $i$-й холодильник.

Например, на рисунке все холодильники защищены. С другой стороны, если есть $n=2$ холодильника и только одна цепь (которая их соединяет), то оба холодильника не являются защищенными (оба холодильника могут быть открыты не только его владельцем, но и другим человеком).

Конечно, владелец хочет минимизировать общую стоимость всех цепей. Определите, существует ли какой-либо способ сделать ровно $m$ цепей, и, если да, выведите любое решение, которое минимизирует суммарную стоимость.

Входные данные

Во входных данных находятся несколько (не меньше одного) наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $T$ ($1 \le T \le 10$) — количество наборов входных данных. Далее следуют их описания.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$, $m$ ($2 \le n \le 1000$, $1 \le m \le n$) — количество людей, которые живут вместе с Ханьом и нужное количество цепей.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($0 \le a_i \le 10^4$) — цены холодильников.

Выходные данные

Для каждого набора выведите:

Если решение не существует, то выведите $-1$.
Иначе выведите $c$ — минимальную цену. Затем $i$-я из следующих $m$ строк должна содержать два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \ne v_i$), которые обозначают, что $i$-я цепь соединяет два холодильника $u_i$ и $v_i$. Между парой холодильников может быть произвольное количество цепей.

Если существует несколько решений, то выведите любое из них.

D. Секретные пароли

Один малоизвестный хакер захотел заполучить пароль администратора от тестирующей системы AtForces, чтобы узнать задачи с предстоящего контеста. Чтобы достичь этого, он пробрался в кабинет администратора и украл листочек, на котором записан список из $n$ паролей — строк, состоящих из строчных букв латинского алфавита.

Хакер вернулся домой и начал готовиться ко взлому. Он обнаружил, что в системе содержатся только пароли с украденного листочка, и что система определяет эквивалентность паролей $a$ и $b$ следующим образом:

два пароля $a$ и $b$ эквивалентны, если существует символ, который есть и в $a$, и в $b$;
два пароля $a$ и $b$ эквивалентны, если существует другой пароль $c$ из списка, которому эквивалентны одновременно и $a$, и $b$.

Если в системе установлен некоторый пароль, а применяется ему эквивалентный, то пользователь получает доступ к системе.

К примеру, если в списке содержатся пароли «a», «b», «ab», «d», то с точки зрения системы пароли «a», «b», «ab» эквивалентны друг другу, а пароль «d» никакому другому не эквивалентен. Иначе говоря, если:

установленный пароль равен, например, «b», то можно зайти в систему под любым из трёх паролей: «a», «b», «ab»;
установленный пароль равен «d», то можно зайти в систему только под паролем «d».

Известно, что ровно один пароль из списка является паролем администратора от тестирующей системы. Помогите хакеру понять, какое минимальное количество паролей понадобится использовать при взломе, чтобы гарантированно получить доступ к системе. Имейте в виду, что хакер не знает, какой именно пароль установлен в системе.

Входные данные

В первой строке задано число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество паролей. В следующих $n$ строках заданы пароли администратора из списка — непустые строки $s_i$, длины которых не превышают $50$ символов. Некоторые строки могут совпадать.

Гарантируется, что суммарная длина всех паролей не превышает $10^6$ символов. Все они состоят только из строчных букв латинского алфавита.

Выходные данные

В единственной строке выведите минимальное количество паролей, использование которых позволит гарантированно получить доступ к системе.

Примечание

Во втором примере необходимо использовать любой из паролей, чтобы получить доступ к системе.

F. Экономические проблемы

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное Потоки Структуры данных *2400

Электросеть дворцов в Берляндии состоит из 2-х сетей: основной и запасной. Провода во дворцах сделаны из дорогого материала, поэтому их продажа будет отличной идеей!

Каждая из сетей (основная и запасная) имеет главный узел (он имеет номер $1$), из которого ток поступает на другие узлы сети. Все узлы доступны от главного по единственному пути. В обеих сетях количество узлов, из которых ток не распространяется дальше, равно $n$.

Иными словами, каждая из сетей является отдельным корневым ориентированным деревом с $n$ листьями и с корнем в вершине $1$. В каждом дереве свои вершины и своя независимая нумерация вершин.

Кроме электросетей во дворце есть $n$ приборов, каждый из которых соединён с одним из узлов основной и с одним из узлов запасной сети. Приборы соединяются только с такими узлами, из которых ток не распространяется далее (то есть, которые являются листьями). Каждый такой узел (лист дерева) соединён ровно с одним прибором.

$\text{[math]}$ В этом примере основная сеть содержит $6$ узлов (изображена сверху), а запасная — $4$ узла (изображена снизу). Количество приборов равно $3$, они пронумерованы синим цветом.

Гарантируется, что вся электросеть (две сети и $n$ приборов) может быть изображена на схеме способом, аналогичным картинке выше:

основная сеть будет составлять дерево сверху, в котором все провода ведут в направлении «сверху вниз»,
запасная сеть будет составлять дерево снизу, в котором все провода ведут в направлении «снизу вверх»,
приборы — горизонтальный ряд между ними, пронумерованный от $1$ до $n$ слева направо,
провода между узлами сетей изображены непересекающимися отрезками.

Формально, для каждого дерева существует такой обход в глубину из вершины $1$, что его листья посещаются в порядке их присоединения к приборам $1, 2, \dots, n$ (то есть сначала узел, присоединенный к прибору $1$, затем узел, присоединенный к прибору $2$, и так далее).

Предприниматель хочет продать (удалить) максимальное количество проводов так, чтобы на каждый прибор поступал ток из хотя бы одной сети. Иначе говоря, для каждого прибора должен существовать путь до главного узла сети (основной или запасной), проходящий по проводам сети от этого главного узла.

Входные данные

В первой строке записано целое число $n$ ($1 \le n \le 1000$) — количество приборов во дворце.

В следующей строке записано целое число $a$ ($1 + n \le a \le 1000 + n$) — количество узлов в основной электросети.

В следующей строке содержатся $a - 1$ целых чисел $p_i$ ($1 \le p_i \le a$). Каждое число $p_i$ задает провод от $p_i$-го узла к $(i + 1)$-му.

В следующей строке записаны $n$ чисел $x_i$ ($1 \le x_i \le a$) — номер узла в основной электросети, с которым соединен $i$-й электроприбор.

В следующей строке записано целое число $b$ ($1 + n \le b \le 1000 + n$) — количество узлов в запасной электросети.

В следующей строке содержатся $b - 1$ целых чисел $q_i$ ($1 \le q_i \le b$). Каждое число $q_i$ задает провод от $q_i$-го узла к $(i + 1)$-му.

В следующей строке записаны $n$ чисел $y_i$ ($1 \le y_i \le b$) — номер узла в запасной электросети, с которым соединен $i$-й электроприбор.

Гарантируется, что каждая сеть представляет собой дерево, у каждого из которых ровно $n$ листьев, причем каждый лист соединен с одним прибором. Также гарантируется, что для каждой сети существует такой порядок обхода в глубину из вершины $1$, что листы появляются в данном обходе в порядке нумерации соответствующих приборов.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — максимальное количество проводов, которые можно удалить из сети так, чтобы каждый прибор продолжил получать электрический ток.

Примечание

Для первого примера ниже на картинке изображен один из возможных вариантов решения (красным цветом отмечены провода, которые можно удалить):

$\text{[math]}$

Второй и третий примеры изображены ниже:

$\text{[math]}$

D. Уменьшаем долги

графы жадные алгоритмы Конструктив математика реализация Структуры данных *2000

Рассмотрим компанию из $n$ людей, пронумерованных от $1$ до $n$. Они используют бурли, чтобы платить за товары и услуги. Иногда человеку не хватает денег на какую-либо покупку, тогда он занимает деньги у другого человека с намерением потом отдать их с процентами. Мы обозначим за $d(a,b)$ сумму, которую $a$ должен отдать $b$, или $0$, если долга нет.

Иногда система долгов может усложняться — например, в ситуации, когда один человек дал на время денег другому, но первому самому не хватает денег на покупку, а второй еще не отдал долг. Тогда первому человеку придется занимать у кого-то ещё.

Если процесс одалживания денег длится достаточно долго, система долгов может стать очень сложной и потребовать упрощения. Упрощать систему можно при помощи двух операций:

Пусть $d(a,b) > 0$ и $d(c,d) > 0$, при этом $a \neq c$ или $b \neq d$. Можно уменьшить $d(a,b)$ и $d(c,d)$ на $z$ и при этом увеличить $d(c,b)$ и $d(a,d)$ на $z$, если $0 < z \leq \min(d(a,b),d(c,d))$.
Пусть $d(a,a) > 0$. Можно уменьшить $d(a,a)$ до $0$.

Суммарный долг определяется следующей величиной:

\Sigma_d = \sum_{a,b} d(a,b)

Вы можете использовать ранее описанные операции в любом порядке. Ваша цель — минимизировать суммарный долг. Обратите внимание, что не обязательно минимизировать количество ненулевых долгов, только суммарный долг должен стать как можно меньше.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ ($1 \leq n \leq 10^5$) и $m$ ($0 \leq m \leq 3\cdot 10^5$) — количество людей и долгов, соответственно.

Далее следуют $m$ строк, каждая из которых содержит три целых числа $u_i$, $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n, u_i \neq v_i$), $d_i$ ($1 \leq d_i \leq 10^9$), обозначающих, что человек $u_i$ должен $d_i$ бурлей человеку $v_i$.

Выходные данные

В первой строке выведите число $m'$ ($0 \leq m' \leq 3\cdot 10^5$) — количество долгов после уменьшения системы долгов. Можно показать, что всегда существует способ упростить систему до минимального суммарного долга с соблюдением этого условия.

Далее выведите $m'$ строк, $i$-я из которых содержит три целых числа $u_i, v_i, d_i$, обозначающих, что человек $u_i$ должен отдать человеку $v_i$ ровно $d_i$ бурлей. На эти числа накладываются следующие ограничения: $1 \leq u_i, v_i \leq n$, $u_i \neq v_i$ и $0 < d_i \leq 10^{18}$.

Для каждой пары $i \neq j$ должно соблюдаться условие $u_i \neq u_j$ или условие $v_i \neq v_j$. Иными словами, каждая пара людей должна встречаться в выходных данных только один раз.

Примечание

В первом примере одна из оптимальных последовательностей операций — следующая:

Проведём операцию первого типа с $a = 1$, $b = 2$, $c = 2$, $d = 3$ и $z = 5$. В результате система долгов становится следующей: $d(1, 2) = 5$, $d(2, 2) = 5$, $d(1, 3) = 5$, все остальные долги равны $0$;
Проведём операцию второго типа с $a = 2$. В результате система долгов становится следующей: $d(1, 2) = 5$, $d(1, 3) = 5$, все остальные долги равны $0$.

Во втором примере одна из оптимальных последовательностей операций — следующая:

Проведём операцию первого типа с $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$, $d = 1$ и $z = 10$. В результате система долгов становится следующей: $d(3, 2) = 10$, $d(2, 3) = 15$, $d(1, 1) = 10$, все остальные долги равны $0$;
проведём операцию первого типа с $a = 2$, $b = 3$, $c = 3$, $d = 2$ и $z = 10$. В результате система долгов становится следующей: $d(2, 2) = 10$, $d(3, 3) = 10$, $d(2, 3) = 5$, $d(1, 1) = 10$, все остальные долги равны $0$;
Проведём операцию второго типа с $a = 2$. В результате система долгов становится следующей: $d(3, 3) = 10$, $d(2, 3) = 5$, $d(1, 1) = 10$, все остальные долги равны $0$;
Проведём операцию второго типа с $a = 3$. В результате система долгов становится следующей: $d(2, 3) = 5$, $d(1, 1) = 10$, все остальные долги равны $0$;
Проведём операцию второго типа с $a = 1$. В результате система долгов становится следующей: $d(2, 3) = 5$, все остальные долги равны $0$.

F. Почти одинаковое расстояние

графы поиск в глубину и подобное *2900

Пусть $G$ — простой граф, а $W$ — непустое подмножество множества вершин этого графа. Назовем $W$ почти-$k$-единым, если для каждой пары различных вершин $u,v \in W$ расстояние между $u$ и $v$ равно либо $k$, либо $k+1$.

Вам задано дерево из $n$ вершин. Для каждого $i$ от $1$ до $n$ найдите максимальный размер почти-$i$-единого множества вершин.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $n$ ($2 \leq n \leq 5 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

Затем следуют $n-1$ строк, $i$-я из которых содержит два целых числа $u_i$, $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$), обозначающих, что существует ребро, соединяющее вершины $u_i$ и $v_i$.

Гарантируется, что заданный граф — дерево.

Выходные данные

Выведите одну строку, содержащую $n$ целых чисел $a_i$, где $a_i$ — максимальный размер почти-$i$-единого множества.

Примечание

Рассмотрим первый пример.

Единственное максимальное почти-$1$-единое множество вершин — это $\{1, 2, 3, 4\}$.
Одно из максимальных почти-$2$-единых множеств — $\{2, 3, 5\}$, также таким множеством является $\{2, 3, 4\}$.
Максимальное почти-$3$-единое множество — любые две вершины на расстоянии $3$.
Почти-$k$-единое множество может состоять из единственной (любой) вершины для любого $k \geq 1$.

Во втором примере существует почти-$2$-единое множество размера $4$: $\{2, 3, 5, 6\}$.

H. Красно-синий граф

meet-in-the-middle графы дп математика матрицы *3400

Дан ориентированный граф из $n$ вершин, пронумерованных от $1$ до $n$, в котором из каждой вершины (кроме $n$) исходит две дуги, красная и синяя. В любой момент времени ровно одна исходящая дуга является активной для каждой вершины. Изначально все синие дуги активны, а в вершине $1$ находится фишка. В начале каждой секунды у вершины, в которой стоит фишка, меняется активная дуга. Затем фишка перемещается по активной дуге. Когда фишка достигает вершины $n$, она останавливается. Гарантируется, что вершина $n$ достижима по дугам из всех остальных вершин графа.

Вам задаются $q$ запросов, в каждом из которых описывается состояние графа — пара $(v, s)$ следующего вида:

$v$ — вершина, в которой находится фишка;
$s$ — строка из $n - 1$ символов. $i$-й символ обозначает, какая дуга, ведущая из $i$, активна (красная, если символ равен 'R', или синяя, если символ — 'B').

Для каждого запроса определите, достижимо ли заданное состояние из стартового, и если да — когда такое состояние графа появится в первый раз. Обратите внимание, что заданные две операции неразрывны между собой — состояние не считается достигнутым, если оно появляется после изменения активной дуги, но до того, как фишку переместили по дуге.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $n$ ($2 \leq n \leq 58$) — количество вершин.

Далее следуют $n-1$ строк, $i$-я из которых содержит два целых числа $b_i$ и $r_i$ ($1 \leq b_i, r_i \leq n$), обозначающих синюю дугу $(i, b_i)$ и красную дугу $(i, r_i)$, соответственно. Гарантируется, что вершина $n$ достижима из всех остальных.

Следующая строка содержит одно целое число $q$ ($1 \leq q \leq 5000$) — количество запросов.

Затем следуют $q$ строк с запросами. $j$-я из них содержит целое число $v$ ($1 \leq v < n$) и строку $s$ из $n-1$ символов, каждый из которых либо 'R', либо 'B'. $i$-й из этих символов равен 'R', если красная дуга, ведущая из вершины $i$, активна, иначе этот символ равен 'B'.

Выходные данные

Выведите $q$ чисел, каждое из которых содержит ответ на один запрос.

Если состояние в $i$-м запросе недостижимо, выведите $-1$. Иначе выведите $t_i$ — первый момент времени, когда это состояние появилось (выводите время в секундах, начиная отсчет с секунды $0$, в которую появилось стартовое состояние).

Примечание

На картине изображен граф из первого примера.

$\text{[math]}$

Первые $19$ запросов показывают перемещение фишки. После $19$-го шага фишка достигает вершины $6$. Последние два запроса соответствуют недостижимым состояниям.

D. Инвертирования в турнире

графы математика Перебор разделяй и властвуй *3200

Вам дан турнир — полный ориентированный граф.

За одну операцию вы можете взять любую вершину $v$ и поменять направления всех ребер с $v$ на одном из концов (таким образом все ребра $u \to v$ меняют направление на $v \to u$ и наоборот).

Вам нужно сделать турнир сильно связным за минимальное количество таких операций.

А также, если это возможно, вам необходимо посчитать количество способов сделать турнир сильно связным за такое число операций (два способа отличаются, если для какого-то $i$, вершина выбранная на $i$-й операции одного способа, отличается от вершины выбранной на $i$-й операции другого способа). Вам нужно найти остаток от деления этой величины на $998\,244\,353$.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $n$ ($3 \leq n \leq 2000$): количество вершин в турнире.

Следующие $n$ строк содержат описания ребер турнира, каждая из них содержит бинарную строку длины $n$. Если $j$-й символ $i$-й строки равен '1', тогда в графе есть ребро $i \to j$.

Гарантируется, что в графе нет ребер $i \to i$ и в графе есть ровно одно ребро среди $i \to j$ и $j \to i$ для разных $i$ и $j$.

Выходные данные

Если невозможно сделать турнир сильно связным за такое количество операций, выведите «-1».

Иначе, выведите два целых числа: минимальное количество операций, которое нужно, чтобы сделать турнир сильно связным и количество способов сделать турнир сильно связным за такое число операций, по модулю $998\,244\,353$.

G. Подмножество с суммой ноль

графы Конструктив математика поиск в глубину и подобное *2700

Вам даны $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$, причем для каждого $1\le i \le n$ выполняется $i-n\le a_i\le i-1$.

Найдите какое-то непустое подмножество этих чисел, сумма которых равна $0$. Можно показать, что при данных ограничениях такое подмножество существует. Если существуют несколько подмножеств с суммой ноль, вы можете вывести любое из них.

Входные данные

Во входных данных находятся несколько (не меньше одного) тестовых случаев. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^6$) — количество тестовых случаев. Далее следуют описания тестовых случаев.

Первая строка описания тестового случая содержит единственное целое число $n$ ($1\le n \le 10^6$).

Вторая строка описания тестового случая содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($i-n \le a_i \le i-1$).

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем тестовым случаям не превосходит $10^6$.

Выходные данные

Для каждого теста, выведите две строки.

В первой строке выведите $s$ ($1\le s \le n$) — количество элементов в вашем подмножестве.

В второй строке выведите $s$ чисел $i_1, i_2, \dots, i_s$ ($1\le i_k \le n$). Все числа должны быть попарно различными, а сумма $a_{i_1} + a_{i_2} + \dots + a_{i_s}$ должна быть равна $0$. Если существуют несколько подмножеств с суммой ноль, вы можете вывести любое из них.

Примечание

В первом примере, сумма равна $a_1 = 0$.

Во втором примере, сумма равна $a_1 + a_4 + a_3 + a_2 = 0$.

E. Ближайшая противоположная четность

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1900

Вам задан массив $a$, состоящий из $n$ целых чисел. За один ход вы можете прыгнуть с позиции $i$ в позицию $i - a_i$ (если $1 \le i - a_i$) или в позицию $i + a_i$ (если $i + a_i \le n$).

Для каждой позиции $i$ от $1$ до $n$ вы хотите узнать минимальное количество ходов, необходимое, чтобы достичь любой позиции $j$ такой, что $a_j$ имеет четность, отличающуюся от четности $a_i$ (то есть если $a_i$ нечетно, то $a_j$ должно быть четным и наоборот).

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество элементов в $a$.

Вторая строка входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$), где $a_i$ равно $i$-му элементу $a$.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел $d_1, d_2, \dots, d_n$, где $d_i$ равно минимальному количеству ходов, необходимому, чтобы достичь любой позиции $j$ такой, что $a_j$ имеет четность, отличающуюся от четности $a_i$ (то есть если $a_i$ нечетно, то $a_j$ должно быть четным и наоборот) или же -1, если такой позиции достичь невозможно.

D. Дерево отрезков

графы Деревья снм Структуры данных *2100

Как видно из названия задачи, вам предстоит решить задачу про отрезки и деревья.

Напомним, что деревом является связный неориентированным граф, такой что между каждой парой его вершин существует ровно один простой путь.

Вам дано $n$ отрезков $[l_1, r_1], [l_2, r_2], \dots, [l_n, r_n]$, $l_i < r_i$ для всех $i$. Гарантируется, что концы отрезков являются целыми числами, все концы являются уникальными — нет такой пары отрезков, которые начинались бы в одной и той же точке, заканчивались в одной и той же точке, или один бы начинался в такой точке, что другой в ней заканчивается.

Давайте построим граф с $n$ вершинами. Вершины $v$ и $u$ соединены ребром тогда и только тогда, когда отрезки $[l_v, r_v]$ и $[l_u, r_u]$ пересекаются и ни один из них не лежит полностью внутри другого.

Например, пары $([1, 3], [2, 4])$ и $([5, 10], [3, 7])$ будут образовывать ребра, а пары $([1, 2], [3, 4])$ и $([5, 7], [3, 10])$ не будут.

Определите, является ли полученный граф деревом или нет.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 5 \cdot 10^5$) — количество отрезков.

$i$-я из следующих $n$ строк содержит описание $i$ отрезка — два целых числа $l_i$ и $r_i$ ($1 \le l_i < r_i \le 2n$).

Гарантируется, что концы всех отрезков попарно различны.

Выходные данные

Выведите «YES», если полученный граф является деревом и «NO» в противном случае.

Примечание

Граф полученный в первом примере:

$\text{[math]}$

Граф полученный во втором примере:

$\text{[math]}$

Граф полученный в третьем примере:

$\text{[math]}$

C. Jeremy Bearimy

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2000

Добро пожаловать! Все хорошо.

Вы прибыли в Среднее место, место между Хорошим местом и Плохим местом. Вам поручено выполнить два задания, одно сделает всех людей счастливыми, другое будет мучить их вечно.

У вас есть список $k$ пар людей, которые прибыли в новый район. Вам нужно назначить каждому из $2k$ людей свой из $2k$ домов. Каждый человек будет владельцем ровно одного дома и каждый дом будет иметь ровно одного владельца.

Конечно, в этом районе можно перемещаться между домами. Всего есть $2k - 1$ дорога, каждая из них соединяет два дома. Требуется некоторое время, чтобы проехать по дороге. Эти времена известны для каждой дороги. Район спроектирован таким образом, что между любыми двумя домами существует ровно один путь по дорогам от одного дома до другого, не проходящий по одной и той же дороге дважды. Другими словами, граф, в котором вершины это дома, а ребра это дороги это дерево.

Люди в каждой из $k$ пар людей хорошо дружат и любят ходить в гости. Мы пронумеруем пары людей от $1$ до $k$. Обозначим за $f(i)$ время, которое требуется $i$-й паре людей, чтобы проехать между домами друг друга.

Как уже было сказано ранее, вы должны сопоставить каждому из $2k$ людей один из $2k$ домов. У вас есть две миссии, одна назначена из Хорошего места, другая назначена из Плохого места. Эти миссии заключаются в следующем:

Первая миссия, из Хорошего места, заключается в том, чтобы сопоставить людям дома, так чтобы сумма $f(i)$ по всем парам $i$ была минимальна. Давайте обозначим эту минимальную возможную сумму за $G$. Это дает нам уверенность, что все пары друзей могут легко и эффективно посещать друг друга;
Вторая миссия, из Плохого места, заключается в том, чтобы сопоставить людям дома, так чтобы сумма $f(i)$ по всем парам $i$ была максимальна. Давайте обозначим эту максимальную возможную сумму за $B$. Это дает нам уверенность, что все пары друзей могут только трудно и неэффективно посещать друг друга;

Чему равны значения $G$ и $B$?

Входные данные

В первой строке находится единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 500$), количество тестовых случаев. В следующих строках находится описание тестовых случаев.

Первая строка каждого тестового случая содержит единственное целое число $k$, обозначающая количество пар людей ($1 \le k \le 10^5$). В следующих $2k - 1$ строках находится описание дорог; в $i$-й строке находится три целых числа $a_i, b_i, t_i$, которые обозначают, что $i$-я дорога соединяет дома $a_i$ и $b_i$ и требует $t_i$ единиц времени, чтобы проехать по ней ($1 \le a_i, b_i \le 2k$, $a_i \neq b_i$, $1 \le t_i \le 10^6$). Гарантируется, что данные дороги образуют структуру дерева.

Гарантируется, что сумма всех $k$ по всем тестовым случаям не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого тестового случая, выведите два целых числа $G$ и $B$, разделенные пробелом.

Примечание

Для первого тестового случая, мы можем получить минимальную сумму равную $G = 15$. Один из способов достичь такую сумму это следующее назначение домов:

Первой паре людей назначим дома $5$ и $6$, что даст нам $f(1) = 5$;
Второй паре людей назначим дома $1$ и $4$, что даст нам $f(2) = 6$;
Третьей паре людей назначим дома $3$ и $2$, что даст нам $f(3) = 4$.

Обратите внимание, что тогда сумма всех $f(i)$ это $5 + 6 + 4 = 15$.

Также мы можем получить максимальную сумму равной $B = 33$. Один из способов достичь такую сумму это следующее назначение домов:

Первой паре людей назначим дома $1$ и $4$, что даст нам $f(1) = 6$;
Второй паре людей назначим дома $6$ и $2$, что даст нам $f(2) = 14$;
Третьей паре людей назначим дома $3$ и $5$, что даст нам $f(3) = 13$.

Обратите внимание, что тогда сумма всех $f(i)$ это $6 + 14 + 13 = 33$.

E. Тортик - ложь

графы Конструктив поиск в глубину и подобное Структуры данных *2400

Мы заботимся о моральном состоянии участников соревнования. Поэтому вместо задачи мы предлагаем вам полакомиться кусочком торта.

Ох, кто-то уже разрезал торт! Мы просили их дождаться вас, но они не послушали. Если поторопитесь, успеете взять кусочек. Вы, конечно, перед тем, как попробовать торт, задумались, как торт был разрезан.

Известно, что торт изначально представлял собой правильный $n$-угольник, каждая вершина которого имела уникальный номер от $1$ до $n$. Вершины были пронумерованы в некотором произвольном порядке.

Каждый кусок торта — это треугольник. Торт разрезали на $n - 2$ куска следующим образом: каждый раз проводили один разрез ножом (от вершины до вершины) такой, что от текущего торта отделялся ровно один треугольный кусок, а оставшаяся часть продолжала составлять выпуклый многоугольник. Иными словами, каждый раз выбирали три подряд идущие вершины многоугольника и отрезали соответствующий треугольник.

Возможный процесс разрезания торта представлен на рисунке ниже.

$\text{[math]}$ Пример разрезания 6-угольного торта.

Вам задан набор получившихся $n-2$ треугольных кусочков в произвольном порядке. Вершины каждого из кусочков записаны в произвольном порядке — по или против часовой стрелки. Каждый кусочек задается тремя числами — номерами соответствующих ему вершин $n$-угольного торта.

Например, для ситуации с рисунком выше вам мог быть задан набор кусочков: $[3, 6, 5], [5, 2, 4], [5, 4, 6], [6, 3, 1]$.

Вас интересуют два вопроса.

Какая была нумерация вершин $n$-угольного торта?
В каком порядке отрезались кусочки?

Формально, вам предстоит найти две перестановки $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$) и $q_1, q_2, \dots, q_{n - 2}$ ($1 \le q_i \le n - 2$) такие, что если вершины торта пронумерованы числами $p_1, p_2, \dots, p_n$ в порядке по или против часовой стрелки, то при отрезании кусков торта в порядке $q_1, q_2, \dots, q_{n - 2}$ всегда отрезается треугольный кусок так, что оставшаяся часть образует один выпуклый многоугольник.

Например, для рисунка выше искомыми перестановками могли бы быть: $p=[2, 4, 6, 1, 3, 5]$ (или любой её циклический сдвиг, или её переворот и после этого любой циклический сдвиг) и $q=[2, 4, 1, 3]$.

Напишите программу, которая по заданным треугольным кусочкам находит любую подходящую пару перестановок $p$ и $q$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных. Далее следуют $t$ независимых наборов входных данных.

Первая строка каждого набора состоит из одного целого числа $n$ ($3 \le n \le 10^5$) — количество вершин в торте.

Далее следуют $n - 2$ строк, описывающих номера вершин кусков торта: каждая строка состоит из трех различных целых чисел $a, b, c$ ($1 \le a, b, c \le n$) — номера вершин куска торта, записанные в произвольном порядке. Сами куски тоже заданы в произвольном порядке.

Гарантируется, что ответ на каждый из тестов существует. Также гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Выведите $2t$ строк — ответы на заданные $t$ наборов в порядке их записи во входных данных. Каждый ответ должен состоять из $2$ строк.

В первой строке ответа на набор входных данных выведите $n$ различных чисел $p_1, p_2, \dots, p_n$($1 \le p_i \le n$) — номера вершин торта в порядке по или против часовой стрелки. Просмотр вершин торта можно начать с любой из них.

Во второй строке ответа на набор входных данных выведите $n - 2$ различных чисел $q_1, q_2, \dots, q_{n - 2}$($1 \le q_i \le n - 2$) — порядок отрезания кусков торта. Номер куска торта соответствует его номеру во входных данных.

Если существует несколько ответов, выведите любой. Гарантируется, что ответ на каждый из тестов существует.

D. Рождественские деревья

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути *1800

На бесконечной числовой прямой находятся $n$ рождественных деревьев. $i$-е дерево растет на позиции $x_i$. Гарантируется, что все значения $x_i$ различны.

Каждая целочисленная точка может быть либо занята рождественским деревом, либо занята человеком, либо не занята вообще. Нецелые точки не могут быть заняты ничем.

Есть $m$ человек, которые хотят отпраздновать Рождество. Пусть $y_1, y_2, \dots, y_m$ — это позиции людей (заметьте, что все значения $x_1, x_2, \dots, x_n, y_1, y_2, \dots, y_m$ должны быть различны и все $y_j$ должны быть целыми). Вы хотите найти такое расположение людей, что значение $\sum\limits_{j=1}^{m}\min\limits_{i=1}^{n}|x_i - y_j|$ минимально возможное (другими словами, сумма расстояний до ближайшего рождественского дерева по всем людям должна быть минимизирована).

Другими словами, пусть $d_j$ равно дистанции от $j$-го человека до ближайшего к нему рождественского дерева ($d_j = \min\limits_{i=1}^{n} |y_j - x_i|$). Тогда вам надо выбрать такие позиции $y_1, y_2, \dots, y_m$, что $\sum\limits_{j=1}^{m} d_j$ минимально возможна.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 2 \cdot 10^5$) — количество рождественских деревьев и количество людей.

Вторая строка входных данных содержит $n$ целых чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ ($-10^9 \le x_i \le 10^9$), где $x_i$ равно позиции $i$-го рождественского дерева. Гарантируется, что все $x_i$ различны.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число $res$ — минимально возможное значение $\sum\limits_{j=1}^{m}\min\limits_{i=1}^{n}|x_i - y_j|$ (другими словами, сумму расстояний до ближайшего рождественского дерева по всем людям).

Во второй строке выведите $m$ целых чисел $y_1, y_2, \dots, y_m$ ($-2 \cdot 10^9 \le y_j \le 2 \cdot 10^9$), где $y_j$ равно позиции $j$-го человека. Все $y_j$ должны быть различными, а еще все значения $x_1, x_2, \dots, x_n, y_1, y_2, \dots, y_m$ должны быть различными.

Если существует несколько ответов, выведите любой.

F. Новый год и социальная сеть

графы Деревья математика Паросочетания Структуры данных *3200

Новая социальная сеть (НСС) от Donghyun содержит $n$ пользователей с номерами $1, 2, \ldots, n$. Их сеть представляет собой дерево, поэтому между пользователем существует $n-1$ прямых соединений. Каждый пользователь может связаться с другим пользователем, используя некоторую последовательность прямых соединений. Мы будем обозначать эту первичную сеть как $T_1$.

Чтобы предотвратить возможную поломку сервера, Donghyun создал резервную сеть $T_2$, которая соединяет тех же $n$ пользователей как дерево. Если система выходит из строя, ровно одно ребро $e \in T_1$ становится непригодным для использования. В этом случае Donghyun защитит ребро $e$, выбрав другое ребро $f \in T_2$, и добавит его в существующую сеть. Это новое ребро должно сделать сеть опять связной.

Donghyun хочет выбрать заменяющее ребро $f \in T_2$ для максимально возможного количества ребер $e \in T_1$. Однако, поскольку резервная сеть $T_2$ является хрупкой, $f \in T_2$ может быть выбрано в качестве замещающего ребра для не более одного ребра в $T_1$. С этим ограничением Donghyun хочет защитить как можно больше ребер в $T_1$.

Формально, пусть $E(T)$ — множество ребер дерева $T$. Рассмотрим двудольный граф с двумя долями $E(T_1)$ и $E(T_2)$. Для $e \in E(T_1), f \in E(T_2)$, существует ребро, соединяющее $\{e, f\}$ тогда и только тогда, когда граф $T_1 - \{e\} + \{f\}$ — дерево. Вы должны найти максимальное паросочетание в этом двудольном графе.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $n$ ($2 \le n \le 250\,000$) — размер обоих деревьев.

В следующих $n-1$ строках записано по два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$). Эти два числа обозначают ребро из $T_1$.

В следующих $n-1$ строках записано по два целых числа $c_i$ и $d_i$ ($1 \le c_i, d_i \le n$). Эти два числа обозначают ребро из $T_2$.

Гарантируется, что оба этих множества ребер — это деревья на $n$ вершинах.

Выходные данные

В первой строке выведите целое число $m$ ($0 \leq m < n$), размер максимального по размеру паросочетания.

В следующих $m$ строках выведите по четыре целых числа $a_i, b_i, c_i, d_i$. Эти четыре целых числа описывают, что ребро $(a_i, b_i)$ из $T_1$ объединено в пару с ребром $(c_i, d_i)$ из $T_2$.

Все выведенные ребра должны принадлежать соответствующим деревьям, и все выведенные ребра одного дерева должны быть различными. Если убирают ребро $(a_i, b_i)$ из $T_1$ и добавляют ребро $(c_i, d_i)$ из $T_2$, то сеть должна оставаться связной. Порядок выведенных пар и порядок вершин внутри ребер не имеет значения.

Если есть несколько возможных решений, вы можете вывести любое.

G. Корейский Новый год

графы *3300

Осталось несколько дней до Корейского Нового года, и Джаехьюн пригласил свою семью в сад. Среди гостей есть дети. Чтобы сделать времяпровождение для них интереснее, Джаехьюн решил устроить игру в прятки.

Сад можно описать как таблицу $n \times m$ из единичных клеток. Некоторые (возможно ноль) из них заняты камнями, а остальные свободны. Две клетки называются соседними если у них есть общее ребро. Таким образом, у каждой клетки есть не более четырех соседей: два по горизонтали, и два по вертикали.

Так как сад можно описать как таблицу, клетки бывают двух видов: «черные» или «белые», как в шахматной доске. Первая клетка $(1, 1)$ черная. А затем, остальные клетки покрашены чередуясь. Клетки пронумерованы в 1-индексации.

Джаехьюн хочет превратить его сад в лабиринт расстановкой стен между двумя клетками. Стены могут быть размещены только между соседними клетками. Если поставить стену между двумя соседними клетками $a$ и $b$, тогда клетки $a$ и $b$ больше не считаются соседними. Можно идти прямо между двумя соседними клетками тогда и только тогда, когда нет прямой стены между ними.

Лабиринт должен обладать следующим свойством. Для каждой пары свободных клеток, должен быть ровно один простой путь между ними. Простой путь между клетками $a$ и $b$ это последовательность клеток, в которой первая клетка $a$, последняя $b$, все клетки различны, и любые две подряд идущие клетки являются соседями, между которыми не стоит стена.

Сначала, дети соберутся в клетке $(1, 1)$, и начнут играть в прятки. Ребенок может спрятаться в клетке если и только если это не стартовая клетка $(1, 1)$, и у нее есть ровно один свободный сосед. Джаехьюн посадил розы в черных клетках, так что там опасно прятаться. Поэтому Джаехьюн хочет построить лабиринт, в котором дети смогут прятаться только в клетках белого цвета.

Вам дана карта сада. Ваша задача — помочь Джаехьюну построить лабиринт.

Входные данные

Вашей программе нужно будет обработать несколько тестовых случаев.

В первой строке записано количество тестовых случаев $t$ ($1 \le t \le 100$). Затем, $t$ тестовых случаев даны в описанном далее формате:

Первая строка тестового случая содержит два целых числа $n, m$, размеры таблицы ($2 \le n, m \le 20$).

Каждая из следующих $n$ строк содержит строку длины $m$, состоящую из следующих символов (без пробелов):

O: Пустая клетка.
X: Камень.

Гарантируется, что первая клетка (клетка $(1, 1)$) свободная, и все свободные клетки достижимы из $(1, 1)$.

Если $t \geq 2$, то в каждом тестовом случае размеры поля удовлетворяют $n \le 10, m \le 10$. Иначе говоря, если во вводе дана таблица с $n > 10$ или $m > 10$, то это будет единственный тестовой случай во вводе ($t = 1$).

Выходные данные

Для каждого тестового случая, выведите следующее:

Если нет возможных лабиринтов, выведите NO.

Иначе, выведите YES, после чего выведите таблицу $(2n-1) \times (2m-1)$ описывающих выбранный лабиринт. Все клетки в 1-индексации. Правила описания лабиринта следующие:

Для всех $1 \le i \le n, 1 \le j \le m$, если клетка $(i, j)$ свободная, выведите 'O' в клетке $(2i-1, 2j-1)$. Иначе, выедите 'X' в клетке $(2i-1, 2j-1)$.
Для всех $1 \le i \le n, 1 \le j \le m-1$, если между клетками $(i, j), (i, j+1)$ стоит стена, выведите ' ' в клетке $(2i-1, 2j)$. Иначе, выведите любой выводимый символ кроме пробела в клетке $(2i-1, 2j)$. У выводимого символа ASCII код расположен в отрезке $[32, 126]$: Это включает пробелы, буквы, и цифры.
Для всех $1 \le i \le n-1, 1 \le j \le m$, если между клетками $(i, j), (i+1, j)$ стоит стена, выведите ' ' в клетке $(2i, 2j-1)$. Иначе, выведите любой выводимый символ кроме пробела в клетке $(2i, 2j-1)$.
Для всех $1 \le i \le n-1, 1 \le j \le m-1$, выведите любой выводимый символ в клетке $(2i, 2j)$.

Пожалуйста, будьте аккуратны с лишними символами переноса строк и пробелами. Каждая строка таблицы должна содержать ровно $2m-1$ символов, а строки должны быть разделены символом новой строки. Пробелы в конце строк не должны быть пропущены.

E. Удали один отрезок

графы Деревья дп Конструктив Перебор сортировки Структуры данных *2300

На координатной прямой $Ox$ заданы $n$ отрезков $[l_1, r_1]$, $[l_2, r_2]$, ..., $[l_n, r_n]$. Отрезок $[l, r]$ покрывает все точки от $l$ до $r$ включительно, то есть такие $x$, что $l \le x \le r$.

Отрезки могут располагаться произвольным образом — вкладываться друг в друга, совпадать и т.п. Отрезки могут вырождаться в точку, то есть допустимо, что $l_i=r_i$.

Объединением набора отрезков называется такой минимальный набор отрезков, который покрывает в точности тот же набор точек, что и заданный набор. Например:

если $n=3$ и отрезки имеют вид $[3, 6]$, $[100, 100]$, $[5, 8]$, то их объединение состоит из $2$ отрезков: $[3, 8]$ и $[100, 100]$;
если $n=5$ и отрезки имеют вид $[1, 2]$, $[2, 3]$, $[4, 5]$, $[4, 6]$, $[6, 6]$ то их объединение состоит из $2$ отрезков: $[1, 3]$ и $[4, 6]$.

Очевидно, что объединение — это набор непересекающихся отрезков.

Требуется удалить ровно один отрезок из заданных $n$ таким образом, чтобы количество отрезков в объединении оставшихся $n-1$ было наибольшим.

Например, если $n=4$ и отрезки имеют вид $[1, 4]$, $[2, 3]$, $[3, 6]$, $[5, 7]$, то:

если из набора удалить первый отрезок, то останутся отрезки $[2, 3]$, $[3, 6]$, $[5, 7]$, объединение которых состоит из $1$ отрезка;
если из набора удалить второй отрезок, то останутся отрезки $[1, 4]$, $[3, 6]$, $[5, 7]$, объединение которых состоит из $1$ отрезка;
если из набора удалить третий отрезок, то останутся отрезки $[1, 4]$, $[2, 3]$, $[5, 7]$, объединение которых состоит из $2$ отрезков;
если из набора удалить четвертый отрезок, то останутся отрезки $[1, 4]$, $[2, 3]$, $[3, 6]$, объединение которых состоит из $1$ отрезка.

Таким образом, в примере выше надо обязательно удалять третий отрезок, чтобы получить ответ $2$.

Напишите программу, которая найдет наибольшее количество отрезков, которые получатся в объединении $n-1$ оставшегося, если можно удалить любой из заданных $n$ отрезков.

Обратите внимание, что если в заданном наборе есть несколько одинаковых отрезков, то удалить вы всё-равно можете ровно один из них. То есть набор отрезков после удаления одного будет содержать ровно $n-1$ отрезок.

Входные данные

В первой строке записано целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте. Далее следуют описания $t$ наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит целое число $n$ ($2 \le n \le 2\cdot10^5$) — количество отрезков в заданном наборе. Далее в $n$ строках заданы сами отрезки парами целых чисел $l_i$, $r_i$ ($-10^9 \le l_i \le r_i \le 10^9$), где $l_i$ и $r_i$ — координаты левого и правого конца $i$-го отрезка, соответственно.

Отрезки заданы в произвольном порядке.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам во входных данных не превосходит $2\cdot10^5$.

Выходные данные

Выведите $t$ чисел — ответы на заданные $t$ наборов входных данных в порядке их следования в тесте. Ответ равен максимальному количеству отрезков в объединении $n-1$ отрезка из $n$ заданных, если допускается удалить один любой отрезок.

B. Числа на дереве

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное Структуры данных *1800

Евлампию подарили корневое дерево, вершины которого пронумерованы от $1$ до $n$. В каждой $i$-й вершине написано число $a_i$. Евлампий посчитал для каждой вершины $i$ величину $c_i$ — количество вершин $j$ в поддереве вершины $i$, для которых $a_j < a_i$.

$\text{[math]}$ Иллюстрация ко второму примеру, первым написано $a_i$, а в скобках написано $c_i$

После нового года Евлампий не смог вспомнить, каким был его подарок! Он помнит дерево и значения $c_i$, однако совсем забыл, какие числа $a_i$ были написаны в вершинах. Помогите ему восстановить исходные числа!

Входные данные

В первой строке содержится целое число $n$ $(1 \leq n \leq 2000)$ — количество вершин в дереве.

Далее в $n$ строках идёт описание вершин дерева: в $i$-й строке находятся два целых числа $p_i$ и $c_i$ ($0 \leq p_i \leq n$; $0 \leq c_i \leq n-1$), где $p_i$ — номер родителя вершины $i$ или $0$ для корня дерева, а $c_i$ — количество вершин $j$ в поддереве вершины $i$, для которых $a_j < a_i$.

Гарантируется, что значения $p_i$ задают некоторое корневое дерево из $n$ вершин.

Выходные данные

Если решение существует, то в первой строке выведите «YES», а во второй строке выведите $n$ чисел $a_i$ $(1 \leq a_i \leq {10}^{9})$ — искомые числа, которые были записаны в вершинах дерева. Если решений несколько, выведите любое из них. Можно показать, что если решение существует, то также существует решение, где все $a_i$ лежат от $1$ до $10^9$.

Если же решения не существует, то выведите «NO».

B. Шнурки и шестиклассники

графы Перебор поиск в глубину и подобное реализация *1200

Аня и Маша ведут математический кружок у шестиклассников. Во время кружка шестиклассники ведут себя плохо. Они принесли на кружок много шнурков, и связались друг с другом. А именно, каждый шнурок связывает вместе двух шестиклассников. При этом, если два шестиклассника связаны шнурком, то шнурок связывает как первого со вторым, так и второго с первым.

Чтобы навести порядок, Аня и Маша делают следующее. Сначала Аня для каждого шестиклассника находит, со сколькими другими шестиклассниками он связан шнурками. Если шестиклассник связан ровно с одним другим, Аня объявляет ему выговор. Потом Маша собирает в группу всех шестиклассников, которым Аня объявила выговор, и выгоняет вон из класса. Выгнанные шестиклассники отвязываются и уходят из класса, забирая с собой шнурки, которыми они были привязаны. Потом снова Аня для каждого шестиклассника находит, со сколькими другими шестиклассниками он связан, и так далее. И так они делают, пока Ане удается объявить хотя бы один выговор.

Определите, сколько групп шестиклассников будут выгнаны из класса.

Входные данные

В первой строке даны два целых числа n и m — исходное число шестиклассников и шнурков ( $\text{[math]}$ ). Шестиклассники пронумерованы числами от 1 до n, а шнурки — числами от 1 до m. В следующих m строках дано по два целых числа a и b — номера шестиклассников, связанных i-ым шнурком (1 ≤ a, b ≤ n, a ≠ b). Гарантируется, что никакие два шестиклассника не связаны более чем одним шнурком. Никакой шнурок не связывает шестиклассника с самим собой.

Выходные данные

Выведите единственное число — количество групп шестиклассников, которые будут выгнаны из класса.

Примечание

В первом примере Ане с Машей не выгонят ни одной группы шестиклассников — в изначальной позиции все шестиклассники привязаны к двум другим шестиклассникам, и Ане не удастся сделать ни одного выговора.

Во втором примере четыре шестиклассника связаны в цепочку, а еще два бегают отдельно. Сначала Аня с Машей выгонят двух крайних шестиклассников из цепочки (1 и 4), а затем — двух оставшихся из цепочки (2 и 3). При этом бегающие отдельно от остальных шестиклассники останутся в классе.

В третьем примере Аня с Машей сразу же выгонят всех шестиклассников, кроме четвертого, и на этом процесс закончится. Правильный ответ — один.

C. Освещение префиксов

графы поиск в глубину и подобное снм *2400

В линию было расположено $n$ ламп, пронумерованных целыми числами от $1$ до $n$. Каждая лампа изначально либо выключена ($0$) или включена ($1$).

Вам дано $k$ подмножеств $A_1, \ldots, A_k$ множества ламп $\{1, 2, \dots, n\}$, таких что пересечение любых трех подмножеств пусто. Другими словами, для всех $1 \le i_1 < i_2 < i_3 \le k$ выполнено $A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3} = \varnothing$.

За одну операцию вы можете выбрать одно из этих $k$ подмножеств и изменить состояние всех ламп из этого подмножества (выключенные лампы становятся включенными, включенные становятся выключенными). Гарантируется, что для данных подмножеств можно совершить несколько операций так, чтобы все лампы стали включенными.

Обозначим за $m_i$ минимальное количество операций, которое вы должны совершить, чтобы первые $i$ ламп оказались включенными. Обратите внимание, что при этом состояние других ламп (с номерами между $i+1$ и $n$) может быть любым.

Посчитайте $m_i$ для всех $1 \le i \le n$.

Входные данные

В первой строке находится два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le n, k \le 3 \cdot 10^5$).

Во второй строке находится двоичная строка длины $n$, обозначающая начальное состояние каждой лампы (лампа $i$ выключена, если $s_i = 0$, включена, если $s_i = 1$).

Описание каждого из $k$ подмножеств следует, в следующем формате:

В первой строке описания находится единственное целое число $c$ ($1 \le c \le n$) — количество элементов в подмножестве.

Во второй строке описания находится $c$ различных целых чисел $x_1, \ldots, x_c$ ($1 \le x_i \le n$) — элементы подмножества.

Гарантируется, что:

Пересечение любых трех подмножеств пусто;
С помощью нескольких операций можно сделать все лампы одновременно включенными.

Выходные данные

Вы должны вывести $n$ строк. В $i$-й строке должно содержаться единственное целое число $m_i$ — минимальное количество операций, необходимое для того чтобы сделать все лампы с номерами от $1$ до $i$ включенными.

Примечание

В первом тесте:

Для $i = 1$, мы можем сделать одну операцию с множеством $A_1$, итоговые состояния будут $1010110$;
Для $i = 2$, мы можем сделать операции с множествами $A_1$ и $A_3$, итоговые состояния будут $1100110$;
For $i \ge 3$, we can apply operations on $A_1$, $A_2$ and $A_3$, the final states will be $1111111$.

Во втором тесте:

Для $i \le 6$, мы можем просто сделать одну операцию с множеством $A_2$, итоговые состояния будут $11111101$;
Для $i \ge 7$, мы можем сделать операции с множествами $A_1, A_3, A_4, A_6$, итоговые состояния будут $11111111$.

D. Сорта кофе (сложная версия)

графы интерактив Конструктив *3000

Это сложная версия этой задачи. Вы можете найти простую версию в Div. 2 контесте. Обе версии отличаются только в ограничении на количество раз, которое вы можете попросить вашего друга попробовать кофе.

Это интерактивная задача.

Вы собираетесь поехать в другой город, где живет один из ваших друзей. В этом городе $n$ кафе, где число $n$ является степенью двойки. В $i$-м кафе варят кофе сорта $a_i$.

Поскольку вы большой любитель кофе, перед тем, как выбрать поехать ли в этот город или нет, вы хотите узнать количество различных сортов кофе $d$, которое варят в этом городе.

Вы не знаете значений $a_1, \ldots, a_n$. К счастью, ваш друг хорошо запоминает события последних $k$ дней, где $k$ это степень двойки.

Каждый день, вы можете попросить его попробовать чашечку кофе, сваренного в кафе с номером $c$ и он скажет, пробовал ли он кофе того же сорта в последние $k$ дней.

Также вы можете попросить его забыть все, что он пробовал до этого. После этого он забудет все предыдущие разы, когда он пробовал кофе. Вы можете делать это не больше $30\ 000$ раз.

Более формально, память вашего друга это некоторая очередь $S$. Сделать запрос сходить попробовать кофе в кафе с номером $c$ означает:

Сказать вам, есть ли $a_c$ в $S$;
Добавить $a_c$ в конец очереди $S$;
Если $|S| > k$, удалить первый элемент очереди $S$.

Запрос забывания всех посещений кафе удаляет все элементы очереди $S$, то есть отчищает ее.

Вы можете попросить вашего друга попробовать не больше $\dfrac{3n^2}{2k}$ чашек кофе. Найдите разнообразность города $d$ (количество различных значений в массиве $a$).

Обратите внимание, что попросить вашего друга забыть все походы в кафе, что были до этого не считается среди количества запросов попросить вашего друга попробовать кофе.

В некоторых тестах поведение интерактора будет адаптивным. Это означает, что массив $a$ может быть не фиксированным до начала тестирования вашей программы и может зависеть от ваших запросов. Гарантируется, что в любой момент тестирования, существует хотя бы один массив $a$, для которого верны все данные до этого ответы на запросы.

Входные данные

В первой строке находится два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le k \le n \le 1024$, $k$ и $n$ это степени двойки).

Гарантируется, что $\dfrac{3n^2}{2k} \le 15\ 000$.

Протокол взаимодействия

Вы начинаете взаимодействие со считывания двух чисел $n$ и $k$.

Для того, чтобы попросить вашего друга попробовать чашечку кофе в кафе с номером $c$, в отдельной строке выведите
? $c$
Тут $c$ должно удовлетворять условиям $1 \le c \le n$. Не забывайте сделать сброс буфера потока вывода после этого.
В ответ вы получите символ Y (да) или N (нет), сообщающий вам, встречался ли сорт кофе $a_c$ среди последних $k$ сортов кофе в памяти вашего друга.
Для того чтобы отчистить память вашего друга, в отдельной строке выведите единственный символ R (большая латинская буква). Вы можете сделать этот запрос не более $30\ 000$ раз.
После того, как вы определили количество $d$ различных сортов кофе, выведите
! $d$

В случае, если запрос, сделанный вами, некорректный или вы сделали больше, чем $\frac{3n^2}{2k}$ запросов типа ? или больше, чем $30\ 000$ запросов типа R, в ответ тестирующая программа выведет символ E и закончит тестирование. Вы получите вердикт Wrong Answer. Будьте осторожны, для этого ваша программа должна немедленно завершиться в этом случае, иначе вердикт посылки может быть любым.

После вывода запроса не забывайте переводить строку и делать сброс буфера потока вывода. Иначе, вы получите вердикт Idleness limit exceeded. Для того, чтобы сделать сброс буфера потока вывода, используйте:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
обратитесь к документации для остальных языков.

Взломы

В первой строке теста должно находиться слово fixed

Во второй строке должны содержаться два целых числа $n$ и $k$, разделенных пробелом ($1 \le k \le n \le 1024$, $k$ и $n$ это степени двойки).

Должно быть выполнено, что $\dfrac{3n^2}{2k} \le 15\ 000$.

В третьей строке должны содержаться $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, разделенных пробелом ($1 \le a_i \le n$).

Примечание

В первом тесте, массив $a = [1, 4, 1, 3]$. В городе производится $3$ различных сорта кофе ($1$, $3$ и $4$).

Последовательные сорта кофе, попробованные вашим другом это $1, 4, \textbf{1}, 3, 3, 1, 4$ (жирным выделены запросы с ответом Y). Обратите внимание, что между двумя запросами ? 4, был запрос отчищения памяти, поэтому ответ на второй запрос ? 4 был N. Если бы этого запроса не было, то ответ на второй запрос ? 4 был бы Y.

Во втором тесте, массив $a = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6]$. В городе производится $6$ различных сортов кофе.

Последовательные сорта кофе, попробованные вашим другом это $2, 6, 4, 5, \textbf{2}, \textbf{5}$.

F. Сорта кофе (простая версия)

графы интерактив *2800

Это простая версия задачи. Вы можете найти сложную версию в Div. 1 контесте. Обе версии отличаются только в ограничении на количество раз, которое вы можете попросить вашего друга попробовать кофе.

Это интерактивная задача.

Сказать вам, есть ли $a_c$ в $S$;
Добавить $a_c$ в конец очереди $S$;
Если $|S| > k$, удалить первый элемент очереди $S$.

Запрос забывания всех посещений кафе удаляет все элементы очереди $S$, то есть отчищает ее.

Вы можете попросить вашего друга попробовать не больше $\dfrac{2n^2}{k}$ чашек кофе. Найдите разнообразность города $d$ (количество различных значений в массиве $a$).

Входные данные

В первой строке находится два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le k \le n \le 1024$, $k$ и $n$ это степени двойки).

Гарантируется, что $\dfrac{2n^2}{k} \le 20\ 000$.

Протокол взаимодействия

Вы начинаете взаимодействие со считывания двух чисел $n$ и $k$.

Для того, чтобы попросить вашего друга попробовать чашечку кофе в кафе с номером $c$, в отдельной строке выведите
? $c$
Тут $c$ должно удовлетворять условиям $1 \le c \le n$. Не забывайте сделать сброс буфера потока вывода после этого.
В ответ вы получите символ Y (да) или N (нет), сообщающий вам, встречался ли сорт кофе $a_c$ среди последних $k$ сортов кофе в памяти вашего друга.
Для того чтобы отчистить память вашего друга, в отдельной строке выведите единственный символ R (большая латинская буква). Вы можете сделать этот запрос не более $30\ 000$ раз.
После того, как вы определили количество $d$ различных сортов кофе, выведите
! $d$

В случае, если запрос, сделанный вами, некорректный или вы сделали больше, чем $\frac{2n^2}{k}$ запросов типа ? или больше, чем $30\ 000$ запросов типа R, в ответ тестирующая программа выведет символ E и закончит тестирование. Вы получите вердикт Wrong Answer. Будьте осторожны, для этого ваша программа должна немедленно завершиться в этом случае, иначе вердикт посылки может быть любым.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
обратитесь к документации для остальных языков.

Взломы

В первой строке теста должно находиться слово fixed

Должно быть выполнено, что $\dfrac{2n^2}{k} \le 20\ 000$.

В третьей строке должны содержаться $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, разделенных пробелом ($1 \le a_i \le n$).

Примечание

В первом тесте, массив $a = [1, 4, 1, 3]$. В городе производится $3$ различных сорта кофе ($1$, $3$ и $4$).

Во втором тесте, массив $a = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6]$. В городе производится $6$ различных сортов кофе.

Последовательные сорта кофе, попробованные вашим другом это $2, 6, 4, 5, \textbf{2}, \textbf{5}$.

D. Хаотичная В.

графы Деревья дп жадные алгоритмы математика теория чисел *2700

Æsir - CHAOS

Æsir - V.

«Всё было спланировано, Никаких больше скрытых забот. Состояние Цитуса тоже совершенно..»

Текущее время...... 00:01:12......

Время пришло.

Образцов эмоций теперь достаточно. Прошло почти три года, и пришло время для Айви разбудить свою связанную сестру Ванессу.

Система внутри библиотеки A.R.C. может быть представлена как неориентированный граф с бесконечным числом обрабатывающих вершин, пронумерованных последовательными положительными целыми числами ($1, 2, 3, \ldots$). Вершина с номером $x$ ($x > 1$) напрямую соединена с вершиной с номером $\frac{x}{f(x)}$, где $f(x)$ обозначает наименьший простой делитель $x$.

Разум Ванессы разделён на $n$ фрагментов. Спустя более 500 лет в коме, фрагменты несколько подраскидало: $i$-й фрагмент теперь находится в вершине с номером $k_i!$ (факториал $k_i$).

Чтобы максимизировать шансы успешного пробуждения, Айви хочет разместить образцы эмоций в вершине $P$, такой что суммарная длина всех путей от каждого фрагмента до $P$ является минимально возможной. В случае если несколько фрагментов расположены в одной и той же вершине, путь от них до $P$ учитывается несколько раз.

В мире нулей и единиц такое требование вполне тривиально для Айви. Не более, чем секундой позже, она уже нашла такую вершину.

Возможно ли такое же для простого смертного как вы?

Для простоты, найдите минимальную суммарную длину путей от каждого фрагмента до оптимальной вершины $P$.

Входные данные

Первая строка содержит целое число $n$ ($1 \le n \le 10^6$) — количество фрагментов в разуме Ванессы.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $k_1, k_2, \ldots, k_n$ ($0 \le k_i \le 5000$), задающие вершины содержащие фрагменты разума Ванессы: $i$-й фрагмент расположен в вершине $k_i!$.

Выходные данные

Выведите одно целое число, обозначающее минимальную сумму путей от фрагментов до вершины с образцами эмоций $P$.

Напомним, что если несколько фрагментов расположены в одной вершины, то расстояние от этой вершины до $P$ нужно учесть несколько раз.

Примечание

Первые $24$ вершины системы выглядят следующим образом (вершины $1!$, $2!$, $3!$, $4!$ обозначены жирным):

$\text{[math]}$

В первом примере Айви может разместить образцы эмоций в вершине $1$, тогда:

Расстояние от первого фрагмента Ванессы до вершины $1$ равно $1$.
Расстояние от второго фрагмента Ванессы до вершины $1$ равно $0$.
Расстояние от третьего фрагмента Ванессы до вершины $1$ равно $4$.

Суммарная длина равна $5$.

Во втором примере Айви оптимальной вершина для сбора является $6$:

Расстояние от первого фрагмента Ванессы до вершины $6$ равно $0$.
Расстояние от второго фрагмента Ванессы до вершины $6$ равно $2$..
Расстояние от третьего фрагмента Ванессы до вершины $6$ равно $2$.
Расстояние от четвёртого фрагмента Ванессы до вершины $6$ снова равно $2$.

Суммарная длина равна $6$.

E1. Покраска строки (простая версия)

графы дп жадные алгоритмы Конструктив сортировки *1800

Это простая версия задачи. Задачи отличаются друг от друга, но простая версия почти является подзадачей сложной версии. Обратите внимание на то, что ограничения и формат вывода различаются.

Дана строка $s$, состоящая из $n$ строчных латинских букв.

Вам нужно раскрасить все её символы в один из двух цветов (каждый символ покрашен ровно в один цвет, одинаковые буквы могут быть покрашены как одним цветом, так и разными, т.е. вам нужно выбрать ровно один цвет для каждого индекса в $s$).

После покраски вы можете поменять местами два любых соседних символа строки, которые раскрашены в разные цвета. Вы можете применить эту операцию произвольное (возможно, нулевое) количество раз.

Цель — сделать строку отсортированной, т.е. все символы должны быть расположены в алфавитном порядке.

Ваша задача — определить, возможно ли покрасить заданную строку так, что после покраски она может быть отсортирована с помощью какой-либо последовательности шагов. Обратите внимание: вам нужно восстановить только раскраску, но не последовательность шагов.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 200$) — длина строки $s$.

Вторая строка входных данных содержит строку $s$, состоящую ровно из $n$ строчных латинских букв.

Выходные данные

Если невозможно раскрасить заданную строку так, что после покраски она может быть отсортирована после какой-либо последовательности шагов, выведите «NO» (без кавычек) первой строкой.

В противном случае выведите «YES» первой строкой и любую корректную раскраску второй строкой (раскраской считается строка, состоящая из $n$ символов, где $i$-й символ должен быть '0', если $i$-й символ покрашен в первый цвет и '1' иначе).

D. Вокруг света

битмаски графы графы Деревья дп Комбинаторика математика поиск в глубину и подобное *3000

Ги-Мануэль и Тома планируют $144$ кругосветных путешествия.

Вам дан простой взвешенный неориентированный связный граф из $n$ вершин и $m$ рёбер со следующим ограничением: не существует простого цикла (т. е. цикла, проходящего через каждую вершину не больше раза) длины больше $3$, проходящего через вершину $1$. Стоимостью пути (необязательно простого) в этом графе является XOR весов всех рёбер, входящих в этот путь, причём каждое ребро считается столько, сколько раз через него проходит путь.

Однако, путешествия стоимостью $0$ их не устраивают.

Вы можете выбрать любое подмножество рёбер, инцидентных вершине $1$, и удалить их. Сколько существует таких множеств, что при их удалении в полученном графе нет нетривиального цикла (необязательно простого) стоимостью $0$, проходящего через вершину $1$? Цикл называется нетривиальным, если существует ребро, через которое он проходит нечётное количество раз. Так как ответ может быть большим, выведите его по модулю $10^9+7$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n,m \le 10^5$) — количество вершин и рёбер в графе. $i$-я из следующих $m$ строк содержит три целых числа $a_i$, $b_i$ и $w_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n, a_i \neq b_i, 0 \le w_i < 32$) — концы $i$-го ребра и его вес. Гарантируется, что в графе нет мультирёбер, граф является связным, и не существует простого цикла длины больше $3$, проходящего через вершину $1$.

Выходные данные

В единственной строке выведите ответ по модулю $10^9+7$.

Примечание

На рисунках представлены графы из примеров. $\text{[math]}$ В первом примере в графе нет нетривиальных циклов со стоимостью $0$, так что мы можем как удалить единственное ребро, инцидентное вершине $1$, так и не удалять. $\text{[math]}$ Во втором примере если мы не удаляем ребро $1-2$, то в графе будет цикл $1-2-4-5-2-1$ со стоимостью $0$; аналогично, если мы не удаляем ребро $1-3$, то в графе будет цикл $1-3-2-4-5-2-3-1$ со стоимостью $0$. Единственный вариант — удалить оба ребра. $\text{[math]}$ В третьем примере подходят все подмножества, кроме тех двух, при которых остаются оба ребра $1-3$ и $1-4$.

D. Вокруг света

битмаски графы графы Деревья дп Комбинаторика математика поиск в глубину и подобное *3000

Ги-Мануэль и Тома планируют $144$ кругосветных путешествия.

Однако, путешествия стоимостью $0$ их не устраивают.

Входные данные

Выходные данные

В единственной строке выведите ответ по модулю $10^9+7$.

Примечание

D. Время бега

графы Конструктив реализация *2000

Башар готовится к национальному констесту по программированию. Из-за слишком частого сидения перед компьютером без совершения каких-либо физических действий Башар стал толстеть. Он собирается уйти из программирования после национального контеста и стать актером (как его отец), поэтому ему нужно сбросить вес.

Поэтому, Башар решил пробежать $k$ километров. Башар собирается бежать в месте, которое выглядит как таблица с $n$ строками и $m$ столбцами. В этой таблице есть по две односторонние дороги длинной в один километр между каждой парой соседних по стороне клеток: одна дорога идет от первой клетки ко второй, другая от второй к первой. Поэтому, всего ровно $(4 n m - 2n - 2m)$ дорог.

Давайте рассмотрим, например $n = 3$ и $m = 4$. В этом случае, есть ровно $34$ дороги. Это картинка, демонстрирующая этот случай (стрелки обозначают дороги):

$\text{[math]}$

Башар хочет бежать по следующим правилам:

Он начинает в левой верхней клетке таблицы;
За один ход он может переместиться на одну клетку вверх (символ 'U'), вниз (символ 'D'), влево (символ 'L') или вправо (символ 'R'). Более формально, если он сейчас находится в клетке в строке $i$ и в столбце $j$, то есть в клетке $(i, j)$, то он переместится:
- в случае 'U' в клетку $(i-1, j)$;
- в случае 'D' в клетку $(i+1, j)$;
- в случае 'L' в клетку $(i, j-1)$;
- в случае 'R' в клетку $(i, j+1)$;
Он хочет пробежать ровно $k$ километров, то есть он хочет совершить ровно $k$ ходов;
Башар может закончить в любой клетке таблицы;
Он не может выходить за пределы таблицы, то есть в любой момент времени он должен находиться в одной из клеток таблицы;
Башар не хочет, чтобы ему было скучно во время бега, поэтому он не должен посещать одну и ту же дорогу более одного раза. Но он может посещать одну и ту же клетку любое количество раз.

Башар спрашивает вас, можно ли пробежать по таким правилам. Если это возможно, вы должны сказать ему, как он должен бежать.

Вы должны дать ему $a$ шагов и поскольку Башар не может запомнить слишком много шагов, $a$ не должно превосходить $3000$. Для каждого шага вы должны дать ему положительное целое число $f$ и строчку ходов $s$ длиной не больше $4$. Этот шаг означает, что вы должны повторять ходы строки $s$ $f$ раз. Он будет выполнять шаги в порядке, в котором вы их вывели.

Например, если шаги это $2$ RUD, $3$ UUL, то его ходы будут RUD $+$ RUD $+$ UUL $+$ UUL $+$ UUL $=$ RUDRUDUULUULUUL.

Можете ли вы помочь ему и дать ему корректную последовательность шагов, такую что общее расстояние, которое он пробежит равно $k$ или сказать, что это невозможно?

Входные данные

В единственной строке находится три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($1 \leq n, m \leq 500$, $1 \leq k \leq 10 ^{9}$), которые равны количеству строк, количеству столбцов в таблице и расстоянию, которое Башар хочет пробежать.

Выходные данные

Если не существует способа пробежать $k$ километров, выведите «NO» (без кавычек), иначе выведите «YES» (без кавычек) в первой строке.

Если ответ «YES», во второй строке выведите целое число $a$ ($1 \leq a \leq 3000$) — количество шагов, затем выведите $a$ строк, описывающих шаги.

Для того, чтобы описать шаг, выведите положительное целое число $f$ ($1 \leq f \leq 10^{9}$) и строку ходов $s$ длины не более $4$. Каждый символ строки $s$ должен быть равен 'U', 'D', 'L' или 'R'.

Башар будет начинать в левой верхней клетке. Обратите внимание, что он должен пробежать ровно $k$ километров и не пробежать по одной и той же дороге дважды. Он не должен выходить за пределы таблицы. Он может закончить в любой клетке.

Можно показать, что если можно пробежать ровно $k$ километров, соблюдая все условия, то можно описать какой-то путь в данных ограничениях на выходные данные.

Примечание

Ходы, которые Башар собирается сделать в первом тесте это: «RRLL».

Невозможно пробежать $1000000000$ километров во втором тесте, потому что суммарная длина дорог будет намного меньше, а Башар не может посещать одну и ту же дорогу дважды.

Ходы, которые Башар собирается сделать в третьем тесте это: «RRDDLLRR».

Ходы, которые Башар собирается сделать в пятом тесте это: «RRRLLLDRRRDULLLD». Это картинка его маршрута (дороги вдоль его маршрута покрашены в красный и пронумерованы в порядке, в котором он будет пробегать их):

$\text{[math]}$

F. Супер Джабер

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное реализация *2600

Джабер супергерой в большой стране, которая может быть представлена как таблица с $n$ строками и $m$ столбцами, где в каждой клетке этой таблицы находится свой город.

Джабер дал каждому городу в стране свой цвет от $1$ до $k$. За одну секунду он может пройти из текущего города в любой соседний по стороне город или в любой город, с таким же цветом, как цвет текущего города.

Джабер должен выполнить $q$ миссий. В каждой миссии он начинает в городе в строке $r_1$ и столбце $c_1$ и должен помочь кому-то в городе в строке $r_2$ и столбце $c_2$.

Джабер просит вашей помощи в расчете минимального возможного времени, необходимого, чтобы попасть из стартового города в конечный в каждой миссии.

Входные данные

В первой строке находится три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($1 \leq n, m \leq 1000$, $1 \leq k \leq min(40 , n \cdot m)$) — количество строк, столбцов и цветов.

Каждая из следующих $n$ строк содержит $m$ целых чисел. В $i$-й строке, $j$-е число это $a_{ij}$ ($1 \leq a_{ij} \leq k$), оно равно цвету, данному городу в строке $i$ и столбце $j$.

В следующей строке находится единственное целое число $q$ ($1 \leq q \leq 10^{5}$) — количество миссий.

В каждой из следующих $q$ строк находится четыре целых числа $r_1$, $c_1$, $r_2$, $c_2$ ($1 \leq r_1 , r_2 \leq n$, $1 \leq c_1 , c_2 \leq m$) — координаты начального и конечного городов для очередной миссии.

Гарантируется, что для каждого цвета между $1$ и $k$ существует хотя бы один город с таким цветом.

Выходные данные

Для каждой миссии выведите минимальное время, необходимое, чтобы попасть в клетку $(r_2, c_2)$, начав в клетке $(r_1, c_1)$.

Примечание

В первом тесте:

миссия $1$: Джабер должен пойти из клетки $(1,1)$ в клетку $(3,3)$ потому что они одинакового цвета, затем из клетки $(3,3)$ в клетку $(3,4)$ потому что они соседние по стороне (всего два хода);
миссия $2$: Джабер уже начинает в конечной клетке.

Во втором тесте:

миссия $1$: $(1,1)$ $\rightarrow$ $(1,2)$ $\rightarrow$ $(2,2)$;
миссия $2$: $(1,1)$ $\rightarrow$ $(3,2)$ $\rightarrow$ $(3,3)$ $\rightarrow$ $(3,4)$;
миссия $3$: $(1,1)$ $\rightarrow$ $(3,2)$ $\rightarrow$ $(3,3)$ $\rightarrow$ $(2,4)$;
миссия $4$: $(1,1)$ $\rightarrow$ $(1,2)$ $\rightarrow$ $(1,3)$ $\rightarrow$ $(1,4)$ $\rightarrow$ $(4,4)$.

D. Короткая и длинная НВП

графы жадные алгоритмы Конструктив *1800

Гильдон недавно научился искать Наибольшую Возрастающую Подпоследовательность (НВП) за $O(n\log{n})$ для последовательности длины $n$. Он решил проверить себя, может ли он реализовать этот алгоритм корректно, но он не смог найти эту задачу ни в одном архиве (ни смотря на то, что на самом деле, она есть во многих). Так что вместо этого он решил загадать вам загадку на построение последовательности из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$, включительно, чтобы протестировать своим кодом ваш ответ.

Опишем загадку.

Гильдонг дает вам строку длины $n-1$, состоящую только из символов '<' и '>'. $i$-й (в 1-индексации) символ это результат сравнения $i$-го и $i+1$-го элемента последовательности. Если $i$-й символ строки это '<', тогда $i$-й элемент последовательности меньше чем $i+1$-й. Иначе, $i$-й символ строки '>', и $i$-й элемент последовательности больше чем $i+1$-й элемент.

Он просит вас найти два возможные последовательности (не обязательно различных) состоящих из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$, включительно, что обе последовательности удовлетворяют всем результатам сравнения, и длина НВП первой последовательности минимально возможная, а длина НВП второй последовательности максимально возможная.

Входные данные

Каждый тест состоит из одного или более тестовых случаев. В первой строке записано количество тестовых случаев $t$ ($1 \le t \le 10^4$).

Каждый тестовый случай состоит из ровно одной строки, состоящей из целого числа и строки, состоящей только из символов '<' и '>'. Целое число это $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$), длина перестановки, которую вам нужно найти. Строка это результаты сравнений, описанных в условии. Длина строки равна $n-1$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем тестовым случаям не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого тестового случая, выведите две строки, по $n$ целых чисел в каждой. Первая строка должна содержать последовательность с минимальной НВП, а вторая строка последовательность с максимальным НВП. Если есть несколько возможных ответов, вы можете вывести любой. Каждая последовательность должна содержать все целые числа от $1$ до $n$, включительно, и должна удовлетворять всем результатам сравнения.

Можно показать, что всегда найдется хотя бы один ответ.

Примечание

В первом тестовом случае, $1$ $2$ $3$ это единственный возможный ответ.

Во втором тестовом случае, наименьшая длина НВП это $2$, а наибольшая это $3$. Для примера с наибольшей НВП, $4$ '$3$' $1$ $7$ '$5$' $2$ '$6$'может быть одной из возможных НВП.

G. Курони и Антихайп

битмаски графы дп Перебор снм *3500

Курони плохо разбирается в экономике. Поэтому он решил основать новую финансовую пирамиду под названием Антихайп. У него есть следующие правила:

Вы можете присоединиться к пирамиде бесплатно и получить $0$ монет.
Если вы уже являетесь участником Антихайпа, вы можете пригласить своего друга, который в настоящее время не является участником Антихайпа, и получить количество монет, равное вашему возрасту (за каждого приглашенного друга).

$n$ людей недавно услышали об Антихайпе, возраст $i$-го человека - $a_i$. Некоторые из них являются друзьями, но дружба сегодня — странная вещь: $i$-й человек является другом $j$-го человека тогда и только тогда, когда $a_i \text{ AND } a_j = 0$, где $\text{AND}$ обозначает операцию побитового И.

На данный момент никто из $n$ людей не является членом Антихайпа. Они хотят сотрудничать, чтобы присоединяться и приглашать друг друга в Антихайп таким образом, чтобы максимизировать их суммарную прибыль. Не могли бы вы помочь им?

Входные данные

Первая строка содержит единственное целое число $n$ ($1\le n \le 2\cdot 10^5$) — количество людей.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($0\le a_i \le 2\cdot 10^5$) — возраста людей.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальную возможную суммарную прибыль всех $n$ людей.

Примечание

Только первый и второй человек дружат. Второй может присоединиться к Антихайпу и пригласить первого, получив за это $2$ монеты.

D. Корова и поля

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное сортировки Структуры данных *1900

Бесси пасется на ферме, состоящей из $n$ полей, соединенных с помощью $m$ двусторонних дорог. Сейчас она находится на поле $1$, и вернется домой на поле $n$ в конце дня.

Кор-федерация Коровников приказала Фермеру Джону построить одну дополнительную двустороннюю дорогу. У фермы есть $k$ особых полей, и было решено построить дорогу между двумя различными особыми полями. Фермер Джон может построить дорогу даже между полями, которые уже соединены дорогой.

Уже после постройки дороги, Бесси вернется по кратчайшему пути от поля $1$ к полю $n$. Так как Бесси нужно больше тренироваться, Фермер Джон должен максимизировать длину данного кратчайшего пути. Помогите ему!

Входные данные

В первой строке заданы три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $n-1 \le m \le 2 \cdot 10^5$, $2 \le k \le n$) — количество полей на ферме, количество дорог и количество особых полей.

Во второй строке заданы $k$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_k$ ($1 \le a_i \le n$) — номера особых полей. Все $a_i$ различны.

В $i$-й из следующих $m$ строк задано два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$, $x_i \ne y_i$), описывающих двустороннюю дорогу между полями $x_i$ и $y_i$.

Гарантируется, что из любого поля можно добраться до любого другого поля. Также гарантируется, что для любой пары полей существует не более одной дороги, непосредственно соединяющей их.

Выходные данные

Выведите единственное число — максимально возможную длину кратчайшего пути из $1$ в $n$ после того, как Фермер Джон построит одну дорогу оптимально.

Примечание

Граф из первого примера изображен ниже. Особые поля отмечены красным. Для Фермера Джона оптимально построить дорогу между полями $3$ и $5$, тогда кратчайший путь из $1$ в $5$ будет равен $3$.

$\text{[math]}$

Граф из второго примера изображен ниже. Фермер Джон должен построить дорогу между полями $2$ и $4$, тогда кратчайший путь из $1$ в $5$ будет равен $3$.

$\text{[math]}$

G. Корова и тренировка

графы кратчайшие пути Потоки *3100

Фермер Джон намерен заставить Бесси тренироваться больше!

Бесси сейчас пасется на ферме, которая состоит из $n$ полей, соединенных между собой $m$ ориентированными дорогами. Нужно потратить $w_i$ времени, чтобы пройти по соответствующей дороге. Бесси в данный момент находится на поле $1$ и вернется к себе домой на поле $n$ в конце дня.

Фермер Джон планирует увеличить время прохождения по некоторым дорогам. Он может увеличить время прохождения каждой дороги на неотрицательное число, но суммарная прибавка не должна превосходить $x_i$ для $i$-го плана.

Определите, какому максимальному числу может быть равна длина кратчайшего пути из $1$ в $n$ для каждого из $q$ независимых планов.

Входные данные

В первой строке задано два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 50$, $1 \le m \le n \cdot (n-1)$) — количество полей и дорог соответственно.

В каждой из следующих $m$ строк задано $3$ целых числа $u_i$, $v_i$ и $w_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $1 \le w_i \le 10^6$), означающих, что есть дорога от поля $u_i$ к полю $v_i$, время прохождения которой равно $w_i$.

Гарантируется, что существует путь к полю $n$ из поля $1$. Гарантируется, что граф не содержит петель и кратных ребер. Возможно, что есть как дорога из $u$ в $v$, так и дорога из $v$ в $u$.

В следующей строке задано единственное целое число $q$ ($1 \le q \le 10^5$) — количество независимых планов.

В каждой из следующих $q$ строк задано по одному целому числу $x_i$ ($0 \le x_i \le 10^5$) — ограничение на суммарную прибавку.

Выходные данные

Для каждого плана выведите максимальную длину кратчайшего пути, которую может достичь Фермер Джон, если суммарная прибавка не превосходит $x_i$.

Ваш ответ будет считаться верным, если абсолютная или относительная погрешность не будет превосходить $10^{-6}$.

Формально, пусть Ваш ответ равен $a$, а ответ жюри равен $b$. Вас ответ засчитается тогда и только тогда, когда$\frac{|a - b|}{\max{(1, |b|)}} \le 10^{-6}$.

D. Метро

графы поиск в глубину и подобное *1600

Классическая для городов Берляндии схема метрополитена представляет собой набор n станций, соединенных n переездами, каждый из которых соединяет ровно две станции и не проходит через какие-либо другие. Кроме того, в классической схеме с каждой станции можно добраться до любой другой, двигаясь по переездам. Переезды можно использовать в обе стороны для перемещения. Между каждой парой станций — не более одного переезда.

Недавно математики Берляндии доказали теорему, согласно которой в любой классической схеме существует кольцевая и притом ровно одна. Иными словами, в любой классической схеме можно найти единственный цикл из станций (в котором любые две соседние соединены переездом), и этот цикл не содержит никакую станцию более одного раза.

Это открытие имело мощный социальный эффект — ведь теперь станции можно было сравнивать по принципу их удаления от кольцевой. Например, один житель мог сказать: «я живу в трех переездах от кольцевой», а другой ему ответить: «неудачник, а — я в одном». В интернете стали появляться приложения, предлагающие рассчитать удаленность станции от кольцевой (пошлите смс на короткий номер...).

Правительство Берляндии решило положить конец этим беспорядкам и взять ситуацию в свои руки. Вам поручено написать программу, которая по схеме метрополитена города для каждой станции определит удаленность от кольцевой.

Входные данные

В первой строке содержится целое число n (3 ≤ n ≤ 3000), n — количество станций (и одновременно переездов) в схеме метро. Далее в n строках содержатся описания переездов, по одному в строке. Каждая строка содержит пару целых чисел x_i, y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n), и обозначает наличие переезда со станции x_i до станции y_i. Станции пронумерованы от 1 до n в произвольном порядке. Гарантируется, что x_i ≠ y_i и то, что между каждой парой станций не более одного переезда. Переезды можно использовать для перемещения в обе стороны. Гарантируется, что заданное описание представляет собой классическую схему метрополитена.

Выходные данные

Выведите n чисел. Числа разделяйте пробелами, i-ое из них должно быть равно удалению i-ой станции от кольцевой. Для станций на кольцевой выводите число 0.

D. Путешествие

графы дп Теория вероятностей *2300

Миша живет в стране, в которой есть $n$ городов, пронумерованных целыми числами от $1$ до $n$. Он живет в городе $1$.

Между каждой парой городов ходит поезд. Назовем маршрутом проезд по поезду из города $i$ в город $j$, где $i \neq j$. В частности, всего есть $n(n-1)$ разных маршрутов. У каждого маршрута есть своя стоимость, и стоимость маршрута из города $i$ в город $j$ может отличаться от стоимости маршрута из города $j$ в город $i$.

Миша хочет начать в городе $1$, совершить ровно $k$ переездов из одного города в другой, и в конце снова оказаться в городе $1$. Миша — любитель экономить, так что он хочет, чтобы его путешествие было как можно более дешевым. Обратите внимание, что Миша может посещать один город и даже проезжать по одному маршруту несколько раз.

Миша считает, что путешествие удалось, если среди маршрутов, которые он использовал в своем путешествии, нельзя найти нечетный цикл. Иначе говоря, если можно начать в каком-то городе $v$, который посетил Миша, проехать по нечетному числу маршрутов, которые использовал Миша, вернувшись в город $v$, то путешествие считается неудачным.

Ваша задача помочь Мише, и найти самое дешевое (с минимальной суммой стоимостей маршрутов на нем) путешествие, которое Миша будет считать удачным.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа $n,k$ ($2 \leq n \leq 80; 2 \leq k \leq 10$): количество городов в стране и требуемое количество маршрутов в путешествии Миши. Гарантируется, что $k$ четное.

В следующих $n$ строках записано описание стоимостей маршрутов, $j$-е число в $i$-й строке равно стоимости маршрута из города $i$ в город $j$, если $i \neq j$, иначе число равно нулю (маршрутов $i \to i$ нет). Все стоимости маршрутов — целые числа от $0$ до $10^8$.

Выходные данные

Выведите одно целое число: минимальная сумма стоимостей маршрутов в удачном путешествии.

D. Матрица Нэша

графы Конструктив поиск в глубину и подобное реализация *2000

Нэш придумал интересную, но простую игру, где игрок просто должен выполнять инструкции, написанные на клетке, где игрок сейчас стоит.

В эту игру играют на доске $n\times n$. Строки и столбцы этой доски пронумерованны от $1$ до $n$. Клетку на пересечении $r$-й строки и $c$-го столбца будем обозначать, как $(r, c)$.

Некоторые клетки этой доски называются заблокированными зонами. На каждой клетке доски написан один из следующих $5$ символов — $U$, $D$, $L$, $R$ или $X$ — инструкции для игрока. Пусть текущая клетка — $(r, c)$. Если символ в клетке $R$, игрок должен переместиться в клетку справа, $(r, c+1)$, для $L$ игрок должен переместиться в клетку слева, $(r, c-1)$, для $U$ игрок должен переместиться в клетку выше, $(r-1, c)$, для $D$ игрок должен переместиться в клетку ниже, $(r+1, c)$. Если же символ в клетке равен $X$, то эта клетка является заблокированной зоной. Игрок должен оставаться в этой клетке (и с этого момента игра для него не слишком интересна).

Гарантируется, что символы записаны таким образом, что игрок никогда не будет вынужден сойти с доски, в какой бы клетке он не начал.

Когда игрок начинает в какой-то клетке, он должен двигаться в соответствии с символом в текущей клетке. Игрок двигается до тех пор, пока он не попадет в заблокированную зону. Может оказаться так, что игрок будет двигаться бесконечно долго.

Для каждой из $n^2$ клеток таблицы Алиса, ваш друг, хотела бы узнать, как пройдет игра, если игрок начнет в этой клетке. Для каждой стартовой клетки доски, она запишет клетку, в которой игрок остановится, или то, что игрок никогда не остановится. Она предоставила вам эту информацию: для каждой клетки $(r, c)$ она написала:

пару ($x$,$y$), значащую, что если игрок начинает в клетке $(r, c)$, то он остановится в клетке ($x$,$y$).
или пару ($-1$,$-1$), значащую, что если игрок начинает в клетке $(r, c)$, он будет двигаться бесконечно долго, и никогда не попадет в заблокированную зону.

Возможно, Алиса хочет вас обмануть, и не существует доски, которая удовлетворяет всей информации, которую она вам предоставила. Для данной информации, восстановите подходящую доску, или определите, что ее не существует. Если существует несколько подходящих досок, вы можете найти любую из них.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 10^{3}$) — сторону доски.

$i$-я из последующих $n$ строк содержит $2n$ чисел $x_1, y_1, x_2, y_2, \dots, x_n, y_n$, где $(x_j, y_j)$ ($1 \leq x_j \leq n, 1 \leq y_j \leq n$, или $(x_j,y_j)=(-1,-1)$) — пара, записанная Алисой для клетки $(i, j)$.

Выходные данные

Если не существует доски, удовлетворяющей информации, которую вам дала Алиса, выведите INVALID.

Иначе, выведите VALID. В $i$-й из следующих $n$ строк, выведите строку из $n$ символов, соответствующих $i$-й строке найденной вами подходящей доски. Каждый символ должен быть равен $U$, $D$, $L$, $R$ или $X$. Если существует несколько подходящих досок, вы можете найти любую из них.

Примечание

В первом примере:

Доска с вывода подходит.

Если игрок начинает в $(1,1)$, он не будет двигаться, следуя $X$, и останется там.
Если игрок начинает в $(1,2)$, он пойдет влево, следуя $L$, и остановится в $(1,1)$.
Если игрок начинает в $(2,1)$, он пойдет вправо, следуя $R$, и остановится в $(2,2)$.
Если игрок начинает в $(2,2)$, он не будет двигаться, следуя $X$, и останется там.

Ходы игрока для разных клеток изображены на картинке ниже:

$\text{[math]}$

Во втором примере:

Доска с вывода подходит, так как игрок, начавший с клетки, отличной от центральной клетки $(2,2)$, будет двигаться по циклу и никогда не остановится. Если бы он начал в $(2,2)$, он бы там и остался, следуя инструкции $X$ .

Ходы игрока для разных клеток изображены на картинке ниже:

$\text{[math]}$

E. Биты старой Англии

графы Потоки *2700

Еще одна характерная черта языка Shakespeare — то, что переменные называются именами персонажей пьес Шекспира, а все действия над ними (изменение значений, вывод на печать и так далее) производятся в виде диалога с другими персонажами. Кроме того, новые значения переменных задаются довольно громоздко, поэтому их использование обычно стараются свести к минимуму.

Нам нужно вывести на печать заданную последовательность n натуральных чисел. Для этого у нас есть m персонажей-переменных и два вида действий над ними:

variable=integer
print(variable)

В качестве variable может выступать любая из m переменных. Переменные обозначаются строчными латинскими буквами от «a» до «z» включительно. В качестве integer может выступать любое натуральное число.

Будем считать штрафом за использование первого типа действия количество установленных бит в числе integer. Штраф за использование второго типа действия — 0. Найдите и выведите программу, в которой суммарный штраф будет минимален.

Входные данные

В первой строке записаны целые числа n и m (1 ≤ n ≤ 250, 1 ≤ m ≤ 26). Вторая строка содержит последовательность чисел для вывода. Все ее элементы — натуральные числа от 1 до 10⁹, включительно. Последовательность надо выводить в заданном порядке (слева направо).

Выходные данные

Выведите количество строк и цену в оптимальной программе. Далее выведите саму программу, по одной команде на строку. Если таких программ несколько, то выведите любую (надо минимизировать только цену).

C. Лапша быстрого приготовления

графы математика теория чисел хэши *2300

Ву проголодался после интенсивной тренировки и отправился в ближайший магазин, чтобы приобрести его любимую лапшу быстрого приготовления. После того, как Ву расплатился, кассир задал ему интересную задачу.

Дан двудольный граф, в вершинах правой доли которого записаны положительные целые числа. Для подмножества вершин $S$ левой доли определим $N(S)$ как множество вершин правой доли, смежной хотя бы с одной из вершин $S$, а $f(S)$ — как сумму чисел, записанных в вершинах $N(S)$. Требуется найти наибольший общий делитель чисел $f(S)$ для всех возможных непустых подмножеств $S$ (полагайте, что НОД пустого множества равен $0$).

Ву слишком устал во время тренировки, чтобы справиться с такой задачей. Помогите ему!

Входные данные

В первой строке записано целое число $t$ ($1 \leq t \leq 500\,000$) — количество тестовых случаев, для которых требуется решить задачу. Затем следует описание тестовых случаев.

В первой строке каждого описания записаны два целых числа $n$ и $m$ ($1~\leq~n,~m~\leq~500\,000$) — количество вершин в каждой из долей графа и количество рёбер, соответственно.

Во второй строке записано $n$ целых чисел $c_i$ ($1 \leq c_i \leq 10^{12}$), $i$-е из которых задаёт число, записанное в $i$-й вершине правой доли графа.

В следующих $m$ строках записаны пары целых чисел $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$), обозначающие ребро между $u_i$-й вершиной левой доли графа и $v_i$-й вершиной правой доли графа. Гарантируется, что в графе нет кратных рёбер.

Тестовые случаи разделены пустой строкой. Сумма значений $n$ по всем тестовым случаям не превосходит $500\,000$, сумма значений $m$ по всем тестовым случаям также не превосходит $500\,000$.

Выходные данные

Для каждого тестового случая выведите единственное число — искомый наибольший общий делитель.

Примечание

Наибольшим общим делителем множества чисел называется наибольшее целое число $g$ такое, что все элементы множества без остатка делятся на $g$.

В первом примере все вершины левой доли соединены ребром со всеми вершинами правой доли, поэтому значение $f(S)$ для любого непустого подмножества будет равно $2$, соответственно наибольший общий делитель этих значений будет также равен $2$.

Во втором примере подмножество $\{1\}$ вершин левой доли соединено ребром с вершинами $\{1, 2\}$ правой доли, сумма значений в которых равна $2$, а подмножество $\{1, 2\}$ вершин левой доли соединено рёбрами с вершинами $\{1, 2, 3\}$ правой доли, сумма значений в которых равна $3$. Таким образом, $f(\{1\}) = 2$, $f(\{1, 2\}) = 3$, что значит, что наибольший общий делитель всех чисел $f(S)$ равен $1$.

F. Максимально белое поддерево

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *1800

Вам задано дерево, состоящее из $n$ вершин. Деревом называется связный неориентированный граф с $n-1$ ребром. Каждая вершина $v$ этого дерева имеет свой цвет ($a_v = 1$, если вершина $v$ белая, и $0$, если вершина $v$ черная).

Вам нужно решить следующую задачу для каждой вершины $v$: какую максимальную разницу между количеством белых вершин и количеством черных вершин вы можете получить, если выберете некоторое поддерево заданного дерева, которое содержит вершину $v$? Поддеревом дерева называется связный подграф заданного дерева. Более формально, если вы выберете поддерево, которое содержит $cnt_w$ белых вершин и $cnt_b$ черных вершин, вам нужно максимизировать $cnt_w - cnt_b$.

Входные данные

Первая строка теста содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

Вторая строка теста содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($0 \le a_i \le 1$), где $a_i$ — это цвет $i$-й вершины.

Каждая из последующих $n-1$ строк описывает ребро в дереве. Ребро $i$ задается двумя целыми числами $u_i$ и $v_i$ — номерами вершин, которые оно соединяет $(1 \le u_i, v_i \le n, u_i \ne v_i$).

Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел $res_1, res_2, \dots, res_n$, где $res_i$ — максимальная возможная разница между количеством белых и количеством черных вершин в некотором поддереве, которое содержит вершину $i$.

Примечание

Первый тестовый пример представлен ниже:

$\text{[math]}$

Черные вершины выделены жирным.

Во втором тестовом примере лучшими поддеревьями для вершин $2, 3$ и $4$ являются вершины $2, 3$ и $4$ соответственно. И лучшим поддеревом для вершины $1$ является поддерево, состоящее из вершин $1$ и $3$.

E. НАСТОЯЩАЯ Теория чисел от Ехаба

графы кратчайшие пути Перебор поиск в глубину и подобное теория чисел *2600

Вам дан массив $a$ длины $n$, который имеет специальное условие: каждый элемент в этом массиве имеет не более 7 делителей. Найдите длину кратчайшей непустой подпоследовательности этого массива, произведение элементов которой является полным квадратом.

Последовательность $a$ является подпоследовательностью массива $b$, если $a$ можно получить из $b$, удалив несколько (возможно, ноль или все) элементов.

Входные данные

Первая строка содержит единственное целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — длину массива $a$.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{n}$ ($1 \le a_i \le 10^6$) — элементы массива $a$.

Выходные данные

Выведите длину кратчайшей непустой подпоследовательности $a$, произведение элементов которой является полным квадратом. Если существует несколько таких кратчайших подпоследовательностей, вы можете найти любую из них. Если такой подпоследовательности нет, выведите «-1».

Примечание

В первом примере, вы можете выбрать подпоследовательность $[1]$.

Во втором примере, вы можете выбрать подпоследовательность $[6, 6]$.

В третьем примере, вы можете выбрать подпоследовательность $[6, 15, 10]$.

В четвертом примере, такой подпоследовательности не существует.

F. Последняя теорема Ехаба

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *2500

Идет 5555-й год. У вас есть граф, и вы хотите найти длинный цикл и огромный независимый набор просто потому, что можете. Но пока что вы хотите найти хоть одно из двух.

Для связного графа с $n$ вершинами вы можете или:

найти независимое множество с ровно $\lceil\sqrt{n}\rceil$ вершинами.
найти простой цикл длиной не менее $\lceil\sqrt{n}\rceil$.

Независимое множество — это множество вершин такое, что никакие две вершины из него не связаны ребром. Простой цикл — это цикл, который не содержит ни одной вершины дважды. Гарантировано, что вы всегда можете решить хотя бы одну из этих задач.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($5 \le n \le 10^5$, $n-1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин и ребер в графе.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два разделенных пробелом целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u,v \le n$), которые означают, что между вершинами $u$ и $v$ есть ребро. Гарантируется, что граф связен и не содержит никаких петель или двойных ребер.

Выходные данные

Если вы решили решить первую задачу, то в первой строке выведите 1, а затем строку, содержащую $\lceil\sqrt{n}\rceil$ различных целых чисел, не превышающих $n$, вершины в желаемом независимом наборе.

Если вы решили решить вторую задачу, то в первой строке выведите 2, затем строку, содержащую одно целое число $c$, представляющее длину найденного цикла, за которой следует строка, содержащая $c$ различных целых чисел, не превышающих $n$ — вершины в нужном цикле, в порядке, в котором они идут в цикле.

Примечание

В первом примере:

$\text{[math]}$

Обратите внимание, что вы можете решить обе задачи, поэтому вывод цикла $2-4-3-1-5-6$ также является решением.

Во втором примере:

$\text{[math]}$

Обратите внимание, что если есть несколько ответов, вы можете вывести любой, поэтому, например, вывод цикла $2-5-6$ разрешен.

В третьем примере:

$\text{[math]}$

B. Принцессы и принцы

графы жадные алгоритмы Перебор *1200

У короля Берляндии Поликарпа LXXXIV есть $n$ дочерей. Чтобы показать свою власть соседним королевствам, он хочет выдать своих дочерей замуж за принцев этих королевств. По счастливой случайности других королевств так же $n$.

Поликарп LXXXIV занумеровал своих дочерей от $1$ до $n$ и королевства от $1$ до $n$. Дальше для каждой дочери он собрал списки королевств, за принцев которых она хочет выйти замуж.

Поликарп LXXXIV — очень занятой правитель, поэтому он просто жадно находит пару своим дочерям одну за другой.

Для первой дочери он выбирает королевство с наименьшим номером из ее списка и выдает дочь за их принца. Для второй дочери он выбирает королевство с наименьшим номером из ее списка, принц которой еще не женат. Если нет неженатых принцев в списке, то дочь не выходит замуж ни за кого, а Поликарп LXXXIV переходит к следующей дочери. Процесс заканчивается после $n$-й дочери.

Например, пусть будет $4$ дочери и королевства, списки дочерей: $[2, 3]$, $[1, 2]$, $[3, 4]$, $[3]$, соответственно.

$\text{[math]}$

В данном случае дочь $1$ выходит замуж за принца королевства $2$, дочь $2$ выходит замуж за принца королевства $1$, дочь $3$ выходит замуж за принца королевства $3$, оставляя дочь $4$ без возможности выйти замуж за кого-либо.

На самом деле, до начала всех женитьб у Поликарпа LXXXIV есть время убедить одну из своих дочерей, что за принца какого-либо королевства тоже можно выйти замуж. Фактически, это значит, что он может добавить ровно одно королевство в список ровно одной из своих дочерей. Обратите внимание, что данное королевство не должно содержаться в списке данной дочери.

Поликарп LXXXIV хочет увеличить количество женатых пар.

К сожалению, на что у него нет времени, так это на нахождение записи, которую стоит добавить. Если не существует способа увеличить количество женатых пар, то сообщите, что женитьбы уже оптимальны. Иначе найдите такую запись, после добавления которой итоговое количество женатых пар увеличится.

Если существует несколько способов добавить одну запись так, что количество женатых пар увеличится, то выведите любой из них.

Для вашего и нашего удобства мы просим вас ответить на $t$ независимых наборов тестовых данных.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^5$) — количество наборов тестовых данных.

Затем следуют $t$ наборов тестовых данных.

В первой строке каждого набора записано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — количество дочерей и количество королевств.

В каждой из следующих $n$ строк дано описание списка каждой дочери. Первое целое число $k$ ($0 \le k \le n$) — это количество записей в списке $i$-й дочери. Затем следуют $k$ различных чисел $g_i[1], g_i[2], \dots, g_i[k]$ ($1 \le g_i[j] \le n$) — номера королевств в списке в возрастающем порядке ($g_i[1] < g_i[2] < \dots < g_i[k]$).

Гарантируется, что суммарное количество дочерей по всем наборам тестовых данных не превосходит $10^5$.

Также гарантируется, что суммарное количество королевств в списках по всем наборам тестовых данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Выведите ответ на каждый тест.

Выведите «IMPROVE» в первой строке, если Поликарп LXXXIV может добавить одно королевство в список одной из его дочерей так, чтобы итоговое количество женатых пар увеличилось. Во второй строке выведите два целых числа — номер дочери и номер королевства, которое Поликарп LXXXIV должен добавить в список данной дочери.

В противном случае выведите одно слово «OPTIMAL».

Примечание

Первый набор входных данных изображен на картинке в условии. Добавление четвертого королевства в список четвертой дочери позволит ей выйти замуж за принца четвертого королевства.

Во втором наборе входных данных любая новая запись увеличит количество женатых пар с $0$ до $1$.

В третьем и четвертом наборах входных данных не существует способа добавить запись.

В пятом наборе входных данных не существует способа изменить количество женитьб добавлением новой записи.

D. Бесконечный путь

графы математика Перебор поиск в глубину и подобное теория чисел *2200

Вам задана цветная перестановка $p_1, p_2, \dots, p_n$, то есть $i$-й элемент перестановки имеет цвет $c_i$.

Назовем бесконечным путем последовательность $i, p[i], p[p[i]], p[p[p[i]]] \dots$, в которой все элементы одного цвета ($c[i] = c[p[i]] = c[p[p[i]]] = \dots$).

Мы также можем определить умножение перестановок $a$ и $b$, как перестановку $c = a \times b$, в которой $c[i] = b[a[i]]$. Более того, можно определить степень $k$ перестановки $p$, как $p^k=\underbrace{p \times p \times \dots \times p}_{k \text{ times}}$.

Найдите такое минимальное $k > 0$, что $p^k$ содержит хотя бы один бесконечный путь (т.е. существует позиция $i$ в $p^k$, такая, что последовательность, начинающаяся с $i$ является бесконечным путем).

Можно доказать, что ответ всегда существует.

Входные данные

В первой строке задано единственное число $T$ ($1 \le T \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Следующие $3T$ строк содержат сами наборы — по одному на три строки. В первой строке задано единственное целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — размер перестановки.

Во второй строке задано $n$ целых чисел $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$, $p_i \neq p_j$ при $i \neq j$) — перестановка $p$.

В третьей строке задано $n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($1 \le c_i \le n$) — цвета соответствующих элементов перестановки.

Гарантируется, что сумма $n$ не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Выведите $T$ целых чисел — по одному на набор входных данных. Для каждого набора выведите минимальное $k > 0$ такое, что $p^k$ содержит хотя бы один бесконечный путь.

Примечание

В первом наборе, $p^1 = p = [1, 3, 4, 2]$ и последовательность, стартующая с $1$: $1, p[1] = 1, \dots$ — бесконечный путь.

Во втором наборе, $p^5 = [1, 2, 3, 4, 5]$ и, очевидно, она содержит несколько бесконечных путей.

В третьем наборе, $p^2 = [3, 6, 1, 8, 7, 2, 5, 4]$ и последовательность, стартующая с $4$: $4, p^2[4]=8, p^2[8]=4, \dots$ — бесконечный путь, так как $c_4 = c_8 = 4$.

D. Карусель, карусель — это радость для нас

графы дп жадные алгоритмы Конструктив математика *1800

Круглая карусель состоит из $n$ фигур различных животных. Фигуры пронумерованы от $1$ до $n$ по ходу движения карусели. Таким образом, после $n$-й фигуры идёт фигура с номером $1$. Каждая фигура имеет вид — это животного этой фигуры (лошадка, тигр и др.). Вид животного $i$-й фигуры равен $t_i$.

$\text{[math]}$ Пример изображения карусели для $n=9$ и $t=[5, 5, 1, 15, 1, 5, 5, 1, 1]$.

Вы хотите покрасить каждую фигуру в один из цветов. Вам кажется скучным, если в каруселе разные фигуры (с разными видами животных) идут подряд и покрашены в одинаковые цвета.

Ваша задача — покрасить фигуры так, чтобы количество различных использованных цветов было минимальным и не существовало двух фигур разного вида, которые идут подряд и покрашены в один цвет одновременно. Если Вы используете ровно $k$ различных цветов, то цвета фигур должны быть пронумерованы целыми числами от $1$ до $k$.

Входные данные

Входные данные состоят из одного или более набора входных данных.

В первой строке записано целое число $q$ ($1 \le q \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте. Далее следуют описания $q$ наборов входных данных, по две строки на каждый набор.

Первая строка набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($3 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество фигур на карусели. Фигуры пронумерованы от $1$ до $n$ по ходу вращения карусели. Считайте, что после фигуры $n$ идёт фигура $1$.

Вторая строка набора входных данных содержит $n$ целых чисел $t_1, t_2, \dots, t_n$ ($1 \le t_i \le 2 \cdot 10^5$), где $t_i$ равно виду животного $i$-й фигуры.

Сумма значений $n$ по всем наборам входных данных в тесте не превосходит $2\cdot10^5$.

Выходные данные

Выведите $q$ ответов — на для каждого набора входных данных выведите две строки.

В первую строку выведите одно целое число $k$ — минимально возможное количество различных цветов фигур.

Во вторую строку выведите $n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($1 \le c_i \le k$), где $c_i$ обозначает номер цвета $i$-й фигуры. Если существует несколько возможных ответов, вы можете вывести любой из них.

E. Запросы на дереве

графы Деревья поиск в глубину и подобное *1900

Вам дано корневое дерево, состоящее из $n$ вершин, пронумерованных от $1$ до $n$. Корень дерева находится в вершине с номером $1$.

Дерево — это связный неориентированный граф с $n-1$ ребром.

Вам заданы $m$ запросов. $i$-й запрос состоит из множества $k_i$ различных вершин $v_i[1], v_i[2], \dots, v_i[k_i]$. Ваша задача — определить, существует ли путь от корня до некоторой вершины $u$ такой, что каждая из заданных $k$ вершин или принадлежит этому пути, или расположена на расстоянии $1$ от некоторой вершины на этом пути.

Входные данные

Первая строка теста содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве и количество запросов.

Каждая из следующих $n-1$ строк описывает ребро дерева. Ребро $i$ задается двумя целыми числами $u_i$ и $v_i$ — номерами вершин, которые это ребро соединяет $(1 \le u_i, v_i \le n, u_i \ne v_i$).

Гарантируется, что заданные ребра формируют дерево.

Следующие $m$ строк описывают запросы. $i$-я строка описывает $i$-й запрос и начинается с целого числа $k_i$ ($1 \le k_i \le n$) — количества вершин в текущем запросе. Затем следуют $k_i$ целых чисел: $v_i[1], v_i[2], \dots, v_i[k_i]$ ($1 \le v_i[j] \le n$), где $v_i[j]$ — это $j$-я вершина в $i$-м запросе.

Гарантируется, что все вершины в одном запросе различны.

Также гарантируется, что сумма всех $k_i$ не превосходит $2 \cdot 10^5$ ($\sum\limits_{i=1}^{m} k_i \le 2 \cdot 10^5$).

Выходные данные

Для каждого запроса выведите ответ — «YES», если существует путь от корня до некоторой вершины $u$ такой, что каждая из $k$ заданных вершин или принадлежит этому пути, или расположена на расстоянии $1$ от какой-либо вершины на этом пути, и «NO» в противном случае.

Примечание

Изображение, относящееся к примеру:

$\text{[math]}$

Рассмотрим запросы.

Первый запрос — $[3, 8, 9, 10]$. Ответ — «YES», так как вы можете выбрать путь от корня $1$ до вершины $u=10$. Тогда вершины $[3, 9, 10]$ принадлежат пути от $1$ до $10$ и вершина $8$ расположена на расстоянии $1$ от вершины $7$, которая также принадлежит этому пути.

Второй запрос — $[2, 4, 6]$. Ответ — «YES», так как вы можете выбрать путь до вершины $u=2$. Тогда вершина $4$ находится на расстоянии $1$ от вершины $1$, которая принадлежит этому пути, а вершина $6$ находится на расстоянии $1$ от вершины $2$, которая принадлежит этому пути.

Третий запрос — $[2, 1, 5]$. Ответ — «YES», так как вы можете выбрать путь до вершины $u=5$ и все вершины из запроса будут принадлежать этому пути.

Четвертый запрос — $[4, 8, 2]$. Ответ — «YES», так как вы можете выбрать путь до вершины $u=9$, и вершины $2$ и $4$ расположены на расстоянии $1$ от вершины $1$, которая принадлежит этому пути, а вершина $8$ расположена на расстоянии $1$ от вершины $7$, которая принадлежит этому пути.

Ответ и на пятый, и на шестой запросы — «NO», потому что вы не можете выбрать подходящую вершину $u$.

D. Досуг в школе №41

графы жадные алгоритмы игры Конструктив Перебор реализация сортировки *2100

В средней школе №41 учатся $n$ детей. Всем известно, что они хорошие математики. Однажды на перемене ребята решили провести исследование. Они выстроились в один ряд и повернули головы налево или направо.

Дети проделывали следующую операцию: каждую секунду несколько пар соседних в ряду детей, смотрящих друг на друга, могли одновременно развернуться в противоположную сторону. Таким образом, ребенок, смотрящий на правого соседа, повернется налево, и наоборот для второго ребенка. Более того, каждую секунду хотя бы одна пара соседних детей проделывала подобную операцию. Процесс заканчивается, когда нет пары соседних детей смотрящих друг на друга.

Дано число детей $n$, изначальная расстановка детей в ряду и целое положительное число $k$. Необходимо найти последовательность действий детей, завершающий процесс ровно за $k$ секунд. Более формально, на каждый из $k$ ходов нужно вывести номера детей, которые повернутся налево во время хода.

Для примера, дети могут действовать с конфигурацией приведенной ниже и $k = 2$ следующим образом:

$\text{[math]}$ На первом ходу развернутся две пары: $(1, 2)$ и $(3, 4)$. После этого получается такая конфигурация: $\text{[math]}$ На втором ходу развернется только пара $(2, 3)$. В итоговой конфигурации никакая пара детей не смотрит друг на друга. Хорошая работа. $\text{[math]}$

Если решение существует, то гарантируется что дети совершат не более чем $n^2$ разворотов.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$, $k$ ($2 \le n \le 3000$, $1 \le k \le 3000000$) — количество детей и количество ходов через которые нужно закончить.

Вторая строка входных данных содержит строку длины $n$, которая состоит только из символов L и R. L значит, что ребенок смотрит налево, а R — направо.

Выходные данные

Если решения не существует, выведите $-1$.

Иначе, вывод должен состоять из $k$ строк. Каждая строка должна начинаться с положительного целого числа $n_i$ ($1\le n_i \le \frac{n}{2}$) — количества пар детей, которые развернутся на этом ходу. Далее в этой же строке должно следовать $n_i$ попарно различных чисел — номера детей, которые повернут голову налево во время этого хода.

После проведения всех разворотов, не должно быть пары соседних детей, смотрящих друг на друга.

Если существует более одного решения, выведите любое из них.

Примечание

Первый тест описывает пару детей смотрящих друг на друга. За один ход они развернутся.

Во втором тесте дети не могут сделать ни одного хода. В итоге они не смогут закончить за $k>0$ ходов.

Третий тест описан в условии.

D. Минимальный эйлеров цикл

графы жадные алгоритмы Конструктив реализация *1800

Вам задан полный ориентированный граф $K_n$ из $n$ вершин: у каждой пары вершин $u \neq v$ в $K_n$ есть обе дуги $(u, v)$ и $(v, u)$; петель в графе нет.

Вам нужно найти такой цикл в $K_n$, который проходит по каждой дуге ровно один раз (вершины можно посещать несколько раз).

Мы можем выписать такой цикл как список из $n(n - 1) + 1$ вершин $v_1, v_2, v_3, \dots, v_{n(n - 1) - 1}, v_{n(n - 1)}, v_{n(n - 1) + 1} = v_1$ — порядок обхода, в котором каждая дуга $(v_i, v_{i + 1})$ встречается по одному разу.

Найдите лексикографически минимальный такой цикл. Не трудно доказать, что такой цикл всегда существует.

Так как ответ может быть слишком большим, выведите только его $[l, r]$ отрезок, то есть $v_l, v_{l + 1}, \dots, v_r$.

Входные данные

В первой строке задано единственное число $T$ ($1 \le T \le 100$) — количество наборов входных данных.

В следующих $T$ строках заданы сами наборы входных данных — по одному на строку. В данной строке задано три целых числа $n$, $l$ и $r$ ($2 \le n \le 10^5$, $1 \le l \le r \le n(n - 1) + 1$, $r - l + 1 \le 10^5$) — количество вершин в $K_n$ и отрезок цикла, который нужно вывести.

Гарантируется, что сумма по $n$ не превосходит $10^5$ и сумма длин отрезков $r - l + 1$ не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите отрезок $v_l, v_{l + 1}, \dots, v_r$ лексикографически минимального цикла, который проходит по каждой дуге ровно один раз.

Примечание

Во втором наборе, лексикографически минимальный цикл выглядит следующим образом: $1, 2, 1, 3, 2, 3, 1$.

В третьем примере, довольно очевидно, что цикл должен начинаться и заканчиваться в вершине $1$.

E. Пути по делителям

графы жадные алгоритмы Комбинаторика математика теория чисел *2200

Задано целое положительное число $D$. Построим из него следующий граф:

каждая вершина является делителем $D$ (не обязательно простым, $1$ и $D$ тоже включаются);
между двумя вершинами $x$ и $y$ ($x > y$) есть неориентированное ребро, если $x$ делится на $y$ и $\frac x y$ — простое число;
вес ребра — это количество делителей $x$, которые не являются делителями $y$.

Например, граф для $D=12$:

$\text{[math]}$

У ребра $(4,12)$ вес $3$, потому что у $12$ делители $[1,2,3,4,6,12]$, а у $4$ делители $[1,2,4]$. Поэтому существует $3$ делителя $12$, которые не являются делителями $4$ — $[3,6,12]$.

Между $3$ и $2$ нет ребра, потому что $3$ не делится на $2$. Между $12$ и $3$ нет ребра, потому что $\frac{12}{3}=4$ не простое число.

Длина пути между некоторыми вершинами $v$ и $u$ в графе равна сумме весов ребер в нем. Например, длина пути $[(1, 2), (2, 6), (6, 12), (12, 4), (4, 2), (2, 6)]$ равен $1+2+2+3+1+2=11$. Длина пустого пути равна $0$.

Тогда кратчайший путь между двумя вершинами $v$ и $u$ — это путь, длина которого минимальна.

Два пути $a$ и $b$ различны, если либо содержат различное количество ребер, либо существует такая позиция $i$, что ребра $a_i$ и $b_i$ различны.

Даны $q$ запросов вида:

$v$ $u$ — посчитайте количество кратчайших путей между вершинами $v$ и $u$.

Ответ может быть довольно большим, поэтому выведите его по модулю $998244353$.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $D$ ($1 \le D \le 10^{15}$) — число, из которого строится граф.

Во второй строке записано одно целое число $q$ ($1 \le q \le 3 \cdot 10^5$) — количество запросов.

В каждой из следующих $q$ строк записаны два целых числа $v$ и $u$ ($1 \le v, u \le D$). Гарантируется, что $D$ делится и на $v$, и на $u$ (и $v$, и $u$, являются делителями $D$).

Выходные данные

Выведите $q$ целых чисел — для каждого запроса выведите количество кратчайших путей между двумя данными вершинами по модулю $998244353$.

Примечание

В первом примере:

на первый запрос только пустой путь — длина $0$;
на второй запрос пути $[(12, 4), (4, 2), (2, 1)]$ (длина $3+1+1=5$), $[(12, 6), (6, 2), (2, 1)]$ (длина $2+2+1=5$) и $[(12, 6), (6, 3), (3, 1)]$ (длина $2+2+1=5$).
на третий запрос только путь $[(3, 1), (1, 2), (2, 4)]$ (длина $1+1+1=3$).

F. Роботы на поле

графы жадные алгоритмы матрицы поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2200

Задано прямоугольное поле размера $n \times m$. Каждая клетка поля покрашена либо в черный цвет ('0'), либо в белый цвет ('1'). Цвет клетки $(i, j)$ обозначается как $c_{i, j}$. Вам также задана карта направлений: для каждой клетки указано направление $s_{i, j}$, которое равно одному из четырех символов 'U', 'R', 'D' и 'L'.

Если $s_{i, j}$ равно 'U', то из клетки $(i, j)$ есть переход в клетку $(i - 1, j)$;
если $s_{i, j}$ равно 'R', то из клетки $(i, j)$ есть переход в клетку $(i, j + 1)$;
если $s_{i, j}$ равно 'D', то из клетки $(i, j)$ есть переход в клетку $(i + 1, j)$;
если $s_{i, j}$ равно 'L', то из клетки $(i, j)$ есть переход в клетку $(i, j - 1)$.

Гарантируется, что самая верхняя строка не содержит символов 'U', самая нижняя строка не содержит символов 'D', самый левый столбец не содержит символов 'L' и самый правый столбец не содержит символов 'R'.

Вы хотите поставить роботов на поле (не более одного робота в клетку). При этом следующие условия должны быть соблюдены.

Во-первых, каждый робот всегда обязан перемещаться (то есть он не может пропустить ход). За один ход каждый робот перемещается в соседнюю клетку в соответствии с текущим направлением.
Во-вторых, вам необходимо поставить роботов таким образом, что не найдется такого хода, перед которым два различных робота стоят в одной и той же клетке (это также значит, что вы не можете поставить двух роботов в одну и ту же клетку). Таким образом, Если поле равно «RL» (одна строка, два столбца, цвета здесь не важны), то вы можете поставить двух роботов в клетки $(1, 1)$ и $(1, 2)$, но если поле равно «RLL», то вы не можете поставить роботов в клетки $(1, 1)$ и $(1, 3)$, потому что в течение первой секунды оба робота будут стоять в клетке $(1, 2)$.

Роботы делают бесконечное количество ходов.

Ваша задача — поставить максимальное количество роботов таким образом, чтобы удовлетворить все условия, описанные выше, а среди всех таких способов вам необходимо выбрать такой, что количество черных клеток, на которых стоят роботы перед началом всех перемещений является максимально возможным. Заметьте, что вы можете ставить роботов только перед началом всех перемещений.

Вам необходимо ответить на $t$ независимых наборов тестовых данных.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 5 \cdot 10^4$) — количество наборов тестовых данных. Затем следуют $t$ наборов тестовых данных.

Первая строка набора тестовых данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 < nm \le 10^6$) — количество строк и количество столбцов соответственно.

Следующие $n$ строк содержат по $m$ символов каждая, где $j$-й символ $i$-й строки равен $c_{i, j}$ ($c_{i, j}$ равно либо '0', если клетка $(i, j)$ покрашена в черный цвет, либо '1', если клетка $(i, j)$ покрашена в белый цвет).

Следующие $n$ строк также содержат по $m$ символов каждая, где $j$-й символ $i$-й строки равен $s_{i, j}$ ($s_{i, j}$ равно 'U', 'R', 'D' или 'L', и описывает направление клетки $(i, j)$).

Гарантируется, что сумма размеров полей не превосходит $10^6$ ($\sum nm \le 10^6$).

Выходные данные

Для каждого набора тестовых данных выведите два числа — максимальное количество роботов, которое вы можете поставить, чтобы удовлетворить все ограничения, указанные в условии задачи, и максимальное количество черных клеток, в которых находятся роботы перед началом всех перемещений, если количество поставленных роботов максимально. Заметьте, что вы можете ставить роботов только перед началом всех перемещений.

F. Путешествия

графы Деревья разделяй и властвуй Структуры данных *3500

Где-то в дебрях, далеко-далеко находится святая земля, которая имеет форму дерева — связного неориентированного графа, состоящего из $n$ вершин и $n-1$ ребра. Вершины пронумерованы целыми числами от $1$ до $n$.

Всего есть $m$ путешественников, привлеченных красотой и процветанием этой земли. Каждый из них отправился в путешествие по ней. $i$-й путешественник проехал вдоль кратчайшего пути из $s_i$ в $t_i$. Во время этого путешествия, он прошел через все ребра, лежащие на кратчайшем пути из $s_i$ в $t_i$, который, как известно, единственный в дереве.

Во время своих путешествий, некоторые путешественники познакомились с остальными. Некоторые из путешественников станут друзьями. Более точно, $i$-й и $j$-й путешественники станут друзьями, тогда и только тогда, когда было хотя бы $k$ ребер, по которым прошли и $i$-й и $j$-й путешественники.

Ваша задача состоит в том, чтобы найти количество пар путешественников $(i, j)$, удовлетворяющих следующим условиям:

$1 \leq i < j \leq m$.
$i$-й и $j$-й путешественники станут друзьями.

Входные данные

В первой строке находится три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($2 \le n, m \le 1.5 \cdot 10^5$, $1\le k\le n$).

Каждая из следующих $n-1$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u,v \le n$), обозначающих, что существует ребро между $u$ и $v$.

$i$-я из следующих $m$ строк содержит два целых числа $s_i$ и $t_i$ ($1\le s_i,t_i\le n$, $s_i \neq t_i$), обозначающие начальную и конечную вершины $i$-го путешественника.

Гарантируется, что данные ребра образуют дерево.

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество пар путешественников, удовлетворяющих описанным условиям.

Примечание

$\text{[math]}$

В первом тесте существует $4$ пары, удовлетворяющие описанным условиям: $(1,2)$, $(1,3)$, $(1,4)$, $(3,4)$.

$1$-й путешественник и $2$-й путешественник оба пройдут по ребру $6-8$.
$1$-й путешественник и $3$-й путешественник оба пройдут по ребру $2-6$.
$1$-й путешественник и $4$-й путешественник оба пройдут по ребрам $1-2$ и $2-6$.
$3$-й путешественник и $4$-й путешественник оба пройдут по ребру $2-6$.

E. JYPнация

графы *3500

Благодаря успеху TWICE, JYP Entertainment заработала бесчисленные деньги и стала крупнейшей развлекательной компанией по рыночной капитализации. Поэтому начальник JYP решил создать новую нацию и назначил вас предоставить схему проектирования.

Новая нация состоит из $n$ городов и нескольких дорог между ними. JYP дал некоторые ограничения:

Чтобы гарантировать эффективность, избегая хаоса, для любых $2$ разных городов $A$ и $B$, между ними существует ровно одна дорога, и она является однонаправленной. Нет дорог, соединяющих город с самим собой.
Логотип конкурирующих компаний не должен появляться в плане, а именно: там не существует $4$ различных городов $A$, $B$, $C$, $D$ таких, что выполняется следующая конфигурация.

$\text{[math]}$

JYP дал критерии для вашей диаграммы. Для двух городов $A$, $B$, через $dis(A,B)$ обозначим наименьшее число дорог, которое вам нужно пройти, чтобы пройти от $A$ до $B$. Если невозможно пройти от $A$ к $B$, $dis(A,B) = 614n$. Затем значение эффективности определяется как сумма $dis(A,B)$ по всем упорядоченным парам различных городов $(A,B)$.

Обратите внимание, что $dis(A,B)$ не обязательно должно быть равно $dis(B,A)$.

Вы нарисовали схему проекта, которая удовлетворяет ограничениям JYP. Найдите сумму $dis(A,B)$ по всем упорядоченным парам городов $(A,B)$ с $A\neq B$.

Обратите внимание, что ввод дается в сжатом виде. Но даже хотя он сжат, лучше используйте быстрое считывание.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($4 \le n \le 8000$, $n \equiv 0 \pmod{4}$) — количество городов.

Далее следует описание матрицы. В каждой из $n$ следующих строк следуют по $\frac{n}{4}$ однозначных чисел шестнадцатеричной системы счисления (то есть, эти числа могут задаваться либо как цифры от $0$ до $9$, либо как прописные латинские буквы от $A$ до $F$). Двоичная запись каждого из этих чисел задаёт очередные $4$ элемента матрицы в текущей строке. Например, если число равно $B$, то очередные четыре элемента матрицы равны $1011$, а если число равно $5$, то очередные четыре элемента матрицы равны $0101$.

После того, как вы получите расшифрованную двоичную матрицу, $j$-й символ $i$-й строки будет равен $1$, если односторонняя дорога между городами $i$ и $j$ направлена от $i$ к $j$, и $0$ в противном случае. Гарантируется, что граф удовлетворяет ограничениям, указанным выше.

Выходные данные

Выведите одно целое число, равное сумме $dis(A,B)$ по всем упорядоченным парам городов $(A,B)$ с $A\neq B$.

Примечание

Первый пример соответствует матрице:

$\begin{matrix} 0111 \\ 0010 \\ 0001 \\ 0100 \\ \end{matrix}$

Которая соответствует следующему графу:

$\text{[math]}$

$dis(1,2)=dis(1,3)=dis(1,4)=dis(2,3)=dis(3,4)=dis(4,2)=1$

$dis(2,4)=dis(4,3)=dis(3,2)=2$

$dis(2,1)=dis(3,1)=dis(4,1)=2456$

Поэтому ответ на диаграмму составляет $7380$.

C. Обмены

графы жадные алгоритмы Конструктив *2200

За круглым столом сидят n игроков. У всех них в сумме s карт n цветов, причем на начальный момент у первого человека карты только первого цвета, у второго — второго цвета и так далее. Они могут меняться картами, согласно следующим правилам:

человек может отдавать в процессе обмена карту только своего цвета;
игрок не может брать карту цвета, уже у него имеющегося (в частности, карты своего цвета он брать не может, независимо от того раздал он их все или нет);
в процессе одного обмена пара людей обменивается картами (каждый человек отдает одну карту и получает одну карту).

Цель всех n человек: каждый из них должен отдать все карты, которые были у него в начале (то есть все карты своего цвета). Ваша задача указать, возможна ли такая последовательность обменов. Если ответ положительный, нужно указать все обмены.

Входные данные

В первой строке записаны целые числа n (1 ≤ n ≤ 200000) и s (1 ≤ s ≤ 200000). Вторая строка содержит n чисел — количество карт у 1-го, 2-го, ..., n-го игрока на момент начала игры. Игрок может не иметь карт вообще на момент начала игры.

Выходные данные

Выведите в первой строке «No», если такая последовательность обменов невозможна, и «Yes» в противном случае. Если ответ положительный, выведите далее число k — количество обменов. Далее в k строках опишите обмены — парой номеров меняющихся игроков. Обмены и номера в обменах выводите в любом порядке.

B. Настя и табло

битмаски графы дп жадные алгоритмы *1700

Денис, справившийся с покупкой цветов и конфет (об этой истории вы узнаете в следующей задаче), поехал на встречу с Настей, чтобы предложить ей стать парой.

И вот, они сидят вместе в кафе, болтают. Решительный Денис наконец-то предлагает быть им вместе, но... Но Настя не даёт никакого ответа.

Как же сильно расстроился бедный парень. Так сильно, что он пнул какое-то табло с цифрами. Цифры отображаются таким же образом, как на электронных часах: каждая позиция для цифры состоит из $7$ сегментов, которые могут быть включены или выключены, чтобы отображать различные цифры. На картинке показано, как изображаются все $10$ десятичных цифр:

$\text{[math]}$ После пинка некоторые палочки перестали работать, то есть некоторые палочки могли перестать гореть, если горели раньше. Но Денис запомнил, сколько палочек горело и сколько горит сейчас. Пусть сломалось ровно $k$ палочек и известно, какие палочки горят сейчас. Денис задался вопросом: какое максимальное число может гореть на табло, если включить ровно $k$ палочек (из тех которые сейчас выключены)?

Разрешается, чтобы в числе были лидирующие нули.

Входные данные

В первой строке дано число $n$ $(1 \leq n \leq 2000)$ — количество цифр на табло и $k$ $(0 \leq k \leq 2000)$ — количество сломанных палочек.

В следующих $n$ строках находится по одной бинарной строке длины $7$, $i$-я из которых кодирует $i$-ю цифру табло.

Каждая цифра на табло состоит из $7$ палочек. Пронумеруем их, как на картинке ниже, и пусть на $i$-м месте бинарной строки будет $0$, если $i$-я палочка не горит и $1$, если горит. Тогда бинарная строка длины $7$ будет задавать то, какие палочки горят.

$\text{[math]}$

Таким образом, последовательности «1110111», «0010010», «1011101», «1011011», «0111010», «1101011», «1101111», «1010010», «1111111», «1111011» кодируют по порядку все цифры от $0$ до $9$ включительно.

Выходные данные

Выведите единственное число, состоящее из $n$ разрядов – максимальное число, которое можно получить, если включить ровно $k$ палочек или $-1$, если невозможно так включить ровно $k$ палочек, чтобы на табло получилась какая-то последовательность цифр.

Примечание

В первом тесте мы обязаны включить все $7$ палочек и получить на табло одну цифру $8$.

Во втором тесте у нас включены палочки таким образом, что образуются единицы. За $5$ дополнительно включённых палочек можно получить числа $07$, $18$, $34$, $43$, $70$, $79$, $81$ и $97$, из них выбираем максимальное — $97$.

В третьем тесте невозможно так включить ровно $5$ палочек, чтобы на табло получилась какая-то последовательность цифр.

C. Настя и неожиданный гость

графы дп кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2400

Если девушка не идет к Денису, то Денис идет к девушке. Руководствуясь таким принципом, молодой человек вышел из дома, купил цветы и направился к Насте.

По пути от его дома до дома его возлюбленной есть дорога из $n$ полос, перейти которую за один зеленый свет не всегда возможно. Предвидя это, добрый мэр распорядился поставить в некоторых точках этой дороги островки безопасности. Каждый островок расположен после какой-то полосы, а также в начале и в конце дороги. На них пешеходы могут отдохнуть, набраться сил и дождаться зеленого света.

Денис подошел к левому краю дороги ровно в тот момент, когда загорелся зеленый свет. Мальчик знает, что светофор сначала горит $g$ секунд зеленым, а потом $r$ секунд красным, потом опять $g$ секунд зеленым и так далее.

Формально, дорогу можно представить как отрезок $[0, n]$. Изначально Денис стоит в точке $0$. Его задача - попасть в точку $n$ за минимальное возможное время.

Oн знает множество различных целых чисел $d_1, d_2, \ldots, d_m$, где $0 \leq d_i \leq n$ — координаты точек, в которых расположены островки безопасности. Только в одной из этих точек мальчик может находиться в момент, когда горит красный свет.

К сожалению, из-за волнения Денис не всегда может контролировать себя, поэтому сейчас на его передвижения наложены некоторые ограничения:

Он обязан двигаться всегда, пока горит зеленый, ведь сложно стоять, когда тебя ждет такая девушка. Денис за $1$ секунду может изменить свое положение на $\pm 1$. При этом он должен всегда оставаться внутри отрезка $[0, n]$.
Он может менять направление движения только на островках безопасности (ведь это безопасно). Это означает, что если за предыдущую секунду мальчик изменил свое положение на $+1$, то если он находится на островке безопасности, он может изменить свое положение на $\pm 1$, иначе он может изменить свое положение вновь только на $+1$. Аналогично, если за предыдущую секунду он изменил свое положение на $-1$, на островке безопасности он может изменить свое положение на $\pm 1$, а в любой другой точке вновь только на $-1$.
В момент, когда загорается красный, мальчик должен оказаться на каком-то островке безопасности. Он сможет продолжить движение в любом направлении, когда вновь загорится зеленый.

Считается, что Денис перешел дорогу как только его координата станет равна $n$.

Эта задача оказалась не так проста, ведь возможно, таким способом даже невозможно перейти дорогу. Так как у Дениса все мысли о любви, он не справился решить ее и попросил нас помочь ему в этом. Найдите минимальное возможное время, за которое он сможет перейти дорогу по таким правилам, либо установите, что это сделать невозможно.

Входные данные

В первой строке находится два целых числа $n$ и $m$ $(1 \leq n \leq 10^6, 2 \leq m \leq min(n + 1, 10^4))$ — ширина дороги и количество островков безопасности.

Во второй строке находится $m$ различных целых чисел $d_1, d_2, \ldots, d_m$ $(0 \leq d_i \leq n)$ — точки, в которых расположены островки безопасности. Гарантируется, что среди них есть $0$ и $n$.

В третьей строке находится два целых числа $g, r$ $(1 \leq g, r \leq 1000)$ — время, которое на светофоре горит зеленый свет и время, которое на светофоре горит красный свет.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное время, за которое Денис может перейти дорогу по всем правилам.

Если перейти дорогу по всем правилам невозможно выведите $-1$.

Примечание

В первом тесте оптимальный маршрут такой:

за первый зеленый свет дойти до $7$ и вернуться на $3$. В этом случае, мы сменим направление движения в точке $7$, что разрешено, поскольку в этой точке есть островок безопасности. В конце мы окажемся в точке $3$, где также есть островок безопасности. Следующие $11$ секунд мы должны подождать красный свет.
за второй зеленый свет дойти до $14$. Снова подождать красный свет.
за $1$ секунду перейти в $15$. В итоге Денис оказывается в конце дороги.

Всего получается $45$ секунд.

Во втором тесте невозможно перейти дорогу по всем правилам.

D. Настя и машина времени

графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное *2600

Придя к Насте, Денис обнаружил, что она ему не рада... Но у молодого человека есть последняя надежда. Он хочет купить все вещи, что нравятся Насте. Тогда-то она уж точно согласится с ним общаться.

Карта города, в котором живут наши герои, представляет собой множество площадей, некоторые из которых соединены дорогами. От любой площади можно добраться до любой другой ровно одним способом, используя эти дороги и не посещая одну и ту же площадь дважды. Получается, что граф города — это дерево.

Денис находится в вершине $1$ в момент времени $0$. Он хочет хоть раз побывать в каждой вершине и вернуться назад как можно раньше.

Денис может проходить вдоль любой дороги за $1$ времени. Увы, город столь велик, что сделать это быстро никак не выйдет. Поэтому Денис пошел на отчаянный шаг. Он достал свою карманную машину времени, которую он собрал у себя в подвале. С ее помощью Денис может стоя на месте сменить время на любое неотрицательное время, которое меньше текущего.

Но у машины времени есть один нюанс. Если герой окажется в одном месте и в одно и то же время дважды, произойдет взрыв вселенских масштабов и не получится порадовать Настю. Поэтому Денис просит вас проложить ему маршрут с использованием машины времени такой, что он обойдет все площади и вернется на первую и при этом максимальное время в котором он побывал будет минимально.

Формально, маршрут Дениса можно представить как последовательность пар $\{v_1, t_1\}, \{v_2, t_2\}, \{v_3, t_3\}, \ldots, \{v_k, t_k\}$, где $v_i$ — номер площади, а $t_i$ — время, в котором сейчас находится мальчик.

Должны быть выполнены следующие условия:

Маршрут начинается на площади $1$ в момент времени $0$, то есть $v_1 = 1, t_1 = 0$ и заканчивается на площади $1$, то есть $v_k = 1$.
Все переходы делятся на два типа:
1. Стоя на площади сменить время: $\{ v_i, t_i \} \to \{ v_{i+1}, t_{i+1} \} : v_{i+1} = v_i, 0 \leq t_{i+1} < t_i$.
2. Пройти по одной из дорог: $\{ v_i, t_i \} \to \{ v_{i+1}, t_{i+1} \}$. При этом $v_i$ и $v_{i+1}$ соединены дорогой и $t_{i+1} = t_i + 1$.
Все пары $\{ v_i, t_i \}$ должны быть различны.
Среди $v_1, v_2, \ldots, v_k$ встречаются все площади.

Вам нужно найти маршрут такой, что максимальное время, в котором побывает Денис будет минимальным, то есть маршрут, для которого $\max{(t_1, t_2, \ldots, t_k)}$ будет минимально возможным.

Входные данные

В первой строке находится единственное целое число $n$ $(1 \leq n \leq 10^5)$ — количество площадей в городе.

В следующих $n - 1$ строках находится по два целых числа $u$ и $v$ $(1 \leq v, u \leq n, u \neq v)$ — номера площадей, соединенных дорогой.

Гарантируется, что заданный граф является деревом.

Выходные данные

В первой строке выведите целое число $k$ $(1 \leq k \leq 10^6)$ — длина пути Дениса.

В следующих $k$ строках выведите пары $v_i, t_i$ — пары, описывающие маршрут Дениса (как в условии).

Все требования к маршруту, описанные в условии должны быть выполнены.

Гарантируется, что при заданных ограничениях существует хотя бы один маршрут и ответ, длина которого не превосходит $10^6$. Если возможных ответов несколько, выведите любой.

E. Настя и пчёлы

графы интерактив Теория вероятностей *3000

К сожалению, была найдена ошибка в доказательстве авторского решения этой задачи. На данный момент нам неизвестно абсолютно верное решение. Тем не менее, вы можете сдавать эту задачу, но в случае, если ваше решение пройдет все тесты, оно не будет гарантированно верным. Если ваше решение прошло все тесты и вы уверены в доказательстве его корректности, вы можете написать одному из авторов соревнования об этом.

Наверняка вы все читали книгу «Алиса в стране чудес». В этой задаче Настя оказалась в стране Трёх странных Пчёл. Пчёлы странные, потому что их соты пятиугольные. Настя пробралась туда незаконно, поэтому она хочет, чтобы вы её не поймали. Помогите пчёлам наказать нарушительницу!

Это интерактивная задача.

Пчелиный улей представляет собой связный неориентированный граф, по ребрам которого могут перемещаться пчелы и Настя. Граф удовлетворяет двум свойствам:

Степень любой его вершины не больше чем $3$.
Для каждого ребра существует цикл длины не больше чем $5$, проходящий через это ребро.

Есть три пчелы и Настя. Вы играете за пчел. Сначала вы выбираете вершины, в которые поставите пчел. Затем Настя выбирает вершину, в которой она изначально окажется. Один ход представляет из себя перемещения сначала пчел, потом Насти, по очереди:

Для каждой из ваших пчел, вы можете либо переместить каждую ее по какому-нибудь ребру графа, выходящему из вершины, где находится эта пчела или оставить ее на месте.
Затем Настя обязательно перемещается по какому-нибудь ребру графа, выходящему из вершины, в которой она сейчас находится.

Вы побеждаете, если хотя бы одна из пчел и Настя оказываются в одной вершине в любой момент игры.

Если после $n$ ходов такая ситуация не происходит, то вы проигрываете.

Несколько пчел могут находиться в одной и той же вершине.

Входные данные

В первой строке даны два целых числа $n$ $(4 \leq n \leq 5000)$ и $m$ $(n \leq m \leq 3n)$ — количество вершин и рёбер в графе.

Каждая из следующих $m$ строк содержит по два целых числа $v$ и $u$ $(1 \leq v, u \leq n)$, которые означают, что между вершинами $v$ и $u$ есть ребро. Гарантируется, что граф связен, не содержит петель, что степень любой вершины не превосходит $3$ и через каждое ребро проходит цикл длины не больше чем $5$. Обратите внимание, граф может содержать кратные рёбра.

Протокол взаимодействия

На каждом ходу вы должны выводить ровно по три вершины $a, b, c$ $(1 \leq a, b, c \leq n)$. В первый раз выведенные $3$ вершины будут означать, в какие вершины вы изначально поставили пчел. В ответ вы получите вершину, в которую жюри расположило Настю. Каждые следующие $3$ вершины будут означать, где оказываются $3$ пчелы после вашего хода. Каждая из пчел может независимо от других пчел как остаться в текущей вершине, так и переместиться по ребру. После очередного вывода $3$ вершин, в ответ вы получаете номер новой вершины, в которую пошла Настя.

Как только одна из пчёл оказалась в одной вершине с Настей или вы достигли лимита на количество ходов, ваша программа должна завершить работу. То есть, если вы сделали ход, и одна из пчел оказалась в одной вершине с Настей, ваша программа должна завершить работу, либо если Настя сделала ход и оказалась в одной вершине с одной из пчел, вы не должны делать свой ход и программа должна завершить работу.

При превышении лимита на количество ходов (то есть количество ваших ходов превысило $n$, где $n$ — количество вершин в графе) будет ваша программа получит вердикт неправильный ответ, в случае немедленного завершения.

Ваше решение может получить вердикт Решение «зависло», если вы ничего не выведете или забудете сбросить буфер вывода.

Чтобы сбросить буфер вывода вам нужно сделать следующее сразу после вывода запроса и символа конца строки:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
см. документацию других языков.

В этой задаче интерактор адаптивный. Это означает, что в зависимости от всех ваших предыдущих ходов поведение Насти может изменяться.

Взломы недоступны для этой задачи.

Примечание

Пусть Настя - это зелёная фишка, а три пронумерованных красных - это три пчелы.

В первом тесте перемещение героев выглядит так.

$\text{[math]}$ После выбора стартовых вершин. $\text{[math]}$ Первых ход после перемещения пчёл. $\text{[math]}$ Первых ход после перемещения Насти. Настя поймана пчелой 1.

Во втором тесте перемещение героев выглядит так.

$\text{[math]}$ После выбора стартовых вершин. $\text{[math]}$ Первых ход после перемещения пчёл. $\text{[math]}$ Первых ход после перемещения Насти. $\text{[math]}$ Второй ход после перемещения пчёл. Настя поймана пчелой 1.

E. Распределение весов

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути Перебор сортировки *2100

Вам задан неориентированный невзвешенный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер (который представляет карту Бертауна), а также массив цен $p$ длины $m$. Гарантируется, что между каждой парой вершин (районов) существует путь.

Майк планирует совершить путешествие из вершины (района) $a$ в вершину (район) $b$, а затем из вершины (района) $b$ в вершину (район) $c$. Он может посещать один и тот же район дважды или даже большее число раз. Но есть небольшая проблема: власти города хотят ввести цену за использование дорог, таким образом, что если кто-то проходит по ней, то он должен заплатить цену, соответствующую этой дороге (он платит каждый раз, когда проходит по дороге). Список используемых цен $p$ готов и они просто хотят распределить его между всеми дорогами в городе таким образом, что каждая цена из массива соответствует ровно одной дороге.

Вы являетесь хорошим другом Майка (и, внезапно, мэром Бертауна) и хотите помочь сделать его путешествие настолько дешевым, насколько это возможно. Таким образом, ваша задача заключается в том, чтобы распределить цены между дорогами таким образом, что если Майк выберет оптимальный путь, то цена его путешествия будет минимально возможной. Заметьте, что вы не можете перераспределять цены после после начала путешествия.

Вам необходимо ответить на $t$ независимых наборов тестовых данных.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов тестовых данных. Затем следуют $t$ наборов тестовых данных.

Первая строка набора тестовых данных содержит пять целых чисел $n, m, a, b$ и $c$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $n-1 \le m \le min(\frac{n(n-1)}{2}, 2 \cdot 10^5)$, $1 \le a, b, c \le n$) — количество вершин, количество ребер и районы в путешествии Майка.

Вторая строка набора тестовых данных содержит $m$ целых чисел $p_1, p_2, \dots, p_m$ ($1 \le p_i \le 10^9$), где $p_i$ равно $i$-й цене из массива.

Следующие $m$ строк набора тестовых данных описывают ребра: ребро $i$ предствалено парой целых чисел $v_i$, $u_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$, $u_i \ne v_i$), которые означают индексы вершин, соединенных ребром. Гарантируется, что в графе не существует петель и кратных ребер, то есть для каждой пары ($v_i, u_i$) в списке ребер не существует других пар ($v_i, u_i$) или ($u_i, v_i$), а также для каждой пары $(v_i, u_i)$ выполняется условие $v_i \ne u_i$. Гарантируется, что заданный граф является связным.

Гарантируется, что сумма $n$ (также как и сумма $m$) не превосходит $2 \cdot 10^5$ ($\sum n \le 2 \cdot 10^5$, $\sum m \le 2 \cdot 10^5$).

Выходные данные

Выведите ответ на каждый набор тестовых данных — минимально возможную цену путешествия Майка, если вы распределите цены между ребрами оптимально.

Примечание

Одно из возможных решение первого набора тестовых данных из примера:

$\text{[math]}$

Одно из возможных решение второго набора тестовых данных из примера:

$\text{[math]}$

B. Однополюсные магниты

графы Конструктив поиск в глубину и подобное снм *2000

Однополюсный магнит — это магнит, у которого ровно один полюс: либо северный, либо южный. Они не существуют в природе, потому что настоящие магниты имеют два полюса, но это задача по программированию, поэтому будем считать, что такие магниты существуют.

У вас есть таблица размером $n\times m$. Изначально вы можете поставить несколько магнитов с северным полюсом и несколько магнитов с южным полюсом в некоторые клетки этой таблицы. Вам разрешено расставлять сколько угодно магнитов, в том числе несколько в одну клетку.

Можно выполнять следующую операцию: выбрать один магнит с северным полюсом и один магнит с южным полюсом для активации. Если они находятся в одной строке или в одном столбце, но занимают разные клетки, то магнит с северным полюсом переместится на одну клетку ближе к магниту с южным полюсом. Иначе, если они занимают одинаковые клетки или не находятся в одной строке или в одном столбце, то ничего не произойдет. Обратите внимание, что магниты с южным полюсом неподвижны.

Каждая клетка таблицы покрашена в черный или белый цвет. Будем рассматривать расстановки магнитов в таблице, для которых следующие условия будут выполнены.

В каждой строке и каждом столбце таблицы находится хотя бы один магнит с южным полюсом.
Если клетка таблицы черная, тогда можно переместить какой-нибудь магнит с северным полюсом в эту клетку с помощью некоторой последовательности операций из начального расположения магнитов.
Если клетка таблицы белая, тогда никакой магнит с северным полюсом невозможно переместить в эту клетку с помощью некоторой последовательности операций из начального расположения магнитов.

Определите, можно ли расположить магниты в таблице так, что все условия будут выполнены. Если это возможно, найдите минимальное количество магнитов с северным полюсом, которое для этого требуется (минимизировать количество магнитов с южным полюсом не нужно).

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа $n$ и $m$ ($1\le n,m\le 1000$) — количество строк и столбцов в таблице, соответственно.

Следующие $n$ строк описывают раскраску таблицы: $i$-я из этих строк содержит строку длины $m$, в которой $j$-й символ обозначает цвет клетки таблицы, находящейся в строке $i$ и столбце $j$. Символы «#» и «.» обозначают черный и белый цвета соответственно. Гарантируется, что строка не содержит других символов.

Выходные данные

Выведите единственное целое число, которое равно минимальному количеству магнитов с северным полюсом, которое требуется.

Если не существует способа расставить магниты, который будет удовлетворять всем условиям, выведите единственное целое число $-1$.

Примечание

В первом тесте возможно расположить магниты следующим образом:

$\text{[math]}$

Во втором тесте можно показать, что не существует необходимых расположений магнитов. На следующей картинке показаны три примера расположений, которые удовлетворяют не всем условиям. Первый пример нарушает правило $3$, потому что мы можем переместить магнит с северным полюсом вниз на белую клетку. Второй пример нарушает правило $2$, потому что мы не можем переместить магнит с северным полюсом в левую нижнюю черную клетку никакой последовательностью операций. Третий пример нарушает правило $1$, потому что нет ни одного магнита с южным полюсом в первом столбце.

$\text{[math]}$

Следующая картинка показывает пример возможного расположения магнитов в третьем тесте. Можно показать, что не существует необходимых расположений магнитов с меньшим количеством магнитов с северным полюсом.

$\text{[math]}$

Во четвертом тесте можно показать, что не существует необходимых расположений магнитов. На следующей картинке два примера расположений, которые удовлетворяют не всем условиям. Первый пример нарушает правило $1$, потому что нет ни одного магнита с южным полюсом в первой строке. Второй пример нарушает правила $1$ и $3$, потому что нет ни одного магнита с южным полюсом во второй строке, а кроме того, мы можем переместить магнит с северным полюсом на одну клетку вверх, и он попадет на белую клетку.

$\text{[math]}$

В пятом тесте мы можем поставить магниты с южным полюсом во все клетки и не использовать ни одного магнита с северным полюсом. Поскольку нет ни одной черной клетки, это будет корректной расстановкой магнитов.

C. Задача про кванторы

графы дп математика поиск в глубину и подобное *2600

Логические кванторы — это очень хороший инструмент для создания некоторых утверждений о множестве. В этой задаче мы будем рассматривать множество вещественных чисел. Множество вещественных чисел содержит ноль и отрицательные числа. Есть два вида кванторов: всеобщности ($\forall$) и существования ($\exists$). Вы можете прочитать больше про них здесь.

Квантор всеобщности используется, чтобы сказать, что утверждение выполнено для всех вещественных чисел. Например:

$\forall x,x<100$ читается как: для всех вещественных чисел $x$ число $x$ меньше, чем $100$. Это утверждение ложно.
$\forall x,x>x-1$ читается как: для всех вещественных чисел $x$ число $x$ больше, чем $x-1$. Это утверждение верно.

Квантор существования используется, чтобы сказать, что существует некоторое вещественное число, для которого утверждение выполнено. Например:

$\exists x,x<100$ читается как: существует вещественное число $x$ такое, что $x$ меньше, чем $100$. Это утверждение верно.
$\exists x,x>x-1$ читается как: существует вещественное число $x$ такое, что $x$ больше, чем $x-1$. Это утверждение верно.

Кроме того, эти кванторы могут быть вложенными. Например:

$\forall x,\exists y,x<y$ читается так: для всех вещественных чисел $x$ существует вещественное число $y$ такое, что $x$ меньше, чем $y$. Это утверждение верно для всех $x$, потому что существует $y=x+1$.
$\exists y,\forall x,x<y$ читается так: существует вещественное число $y$ такое, что для всех вещественных чисел $x$ число $x$ меньше, чем $y$. Это утверждение ложно, потому что оно утверждает, что существует максимальное вещественное число: число $y$ больше, чем любое $x$.

Обратите внимание, что порядок переменных и кванторов важен для значения и верности утверждения.

Всего есть $n$ переменных $x_1,x_2,\ldots,x_n$, и вам дана формула вида  f(x_1,\dots,x_n):=(x_{j_1}<x_{k_1})\land (x_{j_2}<x_{k_2})\land \cdots\land (x_{j_m}<x_{k_m}), 

где $\land$ обозначает логическое И. Это означает, что $f(x_1,\ldots, x_n)$ истинно, если каждое неравенство $x_{j_i}<x_{k_i}$ выполнено. Иначе, если хотя бы одно неравенство не выполнено, то $f(x_1,\ldots,x_n)$ ложно.

Ваша задача — выбрать значения каждого из кванторов $Q_1,\ldots,Q_n$ либо квантором всеобщности ($\forall$), либо квантором существования ($\exists$) так, что утверждение  Q_1 x_1, Q_2 x_2, \ldots, Q_n x_n, f(x_1,\ldots, x_n) 

будет верно и количество кванторов всеобщности максимально возможное, или определить, что утверждение ложно для всех возможных выборов кванторов.

Обратите внимание, что порядок переменных, в котором они идут в утверждении фиксирован. Например, если $f(x_1,x_2):=(x_1<x_2)$, то вам не разрешено сделать переменную $x_2$ идущей первой, и получить утверждение $\forall x_2,\exists x_1, x_1<x_2$. Если вы выберете $Q_1=\exists$ и $Q_2=\forall$ получившееся утверждение будет однозначно равно $\exists x_1,\forall x_2,x_1<x_2$.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа $n$ и $m$ ($2\le n\le 2\cdot 10^5$; $1\le m\le 2\cdot 10^5$) — количество переменных и неравенств в формуле, соответственно.

Следующие $m$ строк описывают формулу. $i$-я из этих строк содержит два целых числа $j_i$, $k_i$ ($1\le j_i,k_i\le n$, $j_i\ne k_i$).

Выходные данные

Если ни одной расстановки кванторов такой, что утверждение будет верно, не существует, выведите единственное целое число $-1$.

Иначе на первой строке выведите максимальное возможное количество кванторов всеобщности.

На следующей строке выведите строку длины $n$, в которой $i$-й символ это «A», если $Q_i$ должен быть квантором всеобщности ($\forall$), или «E», если $Q_i$ должен быть квантором существования ($\exists$). Все символы должны быть в верхнем регистре. Если существует несколько возможных решений, в которых количество кванторов всеобщности максимально возможное, выведите любое.

Примечание

В первом тесте утверждение $\forall x_1, \exists x_2, x_1<x_2$ верно. Ответы «EA» и «AA» дают ложные утверждения. Ответ «EE» дает верное утверждение, но количество кванторов всеобщности будет меньше, чем в нашем ответе.

Для второго теста можно показать, что ни одной расстановки кванторов такой, что утверждение будет верно, не существует.

В третьем тесте утверждение $\forall x_1, \forall x_2, \exists x_3, (x_1<x_3)\land (x_2<x_3)$ верно: мы можем выбрать $x_3=\max\{x_1,x_2\}+1$.

D. Построение подземелья

*особая задача графы жадные алгоритмы *1600

Поликарп разрабатывает RPG-видеоигру, главный герой которой сражается с монстрами и ищет сокровища в подземельях. Сейчас Поликарп добавляет в игру одно из подземелий.

Подземелье состоит из $n$ комнат, соединенных $m$ двусторонними туннелями, используя которые, можно добраться из любой комнаты в любую другую комнату. Комнаты охраняются монстрами (количество монстров в $i$-й комнате равно $a_i$), а в туннелях можно найти золотые монеты (количество монет в $i$-м туннеле равно $w_i$). $i$-й двусторонний туннель соединяет комнаты $v_i$ и $u_i$.

Поликарп уже определил количество монет в каждом туннеле (значения $w_i$ уже известны), и теперь он пытается распределить монстров по комнатам (значения $a_i$ пока не известны). Поликарп хочет выбрать количество монстров в каждой комнате так, чтобы выполнялись два условия:

количество монет в туннеле, соединяющем комнаты $x$ и $y$, равно минимум из $a_x$ и $a_y$. То есть, для каждого туннеля $i$ выполняется $w_i = \min (a_{v_i}, a_{u_i})$;
суммарное количество монстров во всех комнатах как можно меньше. То есть, значение $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ — минимально возможное.

Помогите Поликарпу выбрать значения $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$, или скажите ему, что это невозможно и в плане подземелья что-то необходимо поменять.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100000$) — количество наборов входных данных. Затем следуют сами наборы входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 200000$; $n - 1 \le m \le \min(200000, \frac{n(n-1)}{2})$) — количество комнат и туннелей в подземелье, соответственно.

Затем следуют $m$ строк, каждая из которых содержит описание туннеля. В $i$-й строке заданы три целых числа $v_i$, $u_i$ и $w_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$; $v_i \ne u_i$; $1 \le w_i \le 10^9$), обозначающих двусторониий туннель между комнатами $v_i$ и $u_i$, содержащий $w_i$ монет. В каждом наборе входных данных система туннелей связна (можно добраться из любой комнаты в любую другую по туннелям). Каждая пара комнат соединена не более чем одним туннелем.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $200000$. Аналогично, сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $200000$.

Выходные данные

Выведите ответ на каждый набор входных данных следующим образом:

Если невозможно найти значения $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$, удовлетворяющие всем условиям, в единственной строке выведите NO. Иначе выведите YES в первой строке и $n$ целых чисел $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ во второй строке. Если возможных ответов несколько, выведите любой из них.

E. Фокусы

*особая задача графы дп *1700

Маша собирается принять участие в шоу талантов, проводимом университетом, в котором она учится. Она хочет поразить публику множеством разных фокусов!

Для одного из своих фокусов она использует $n$ шариков, один из которых — особенный. Сначала Маша размещает шарики в ряд таким образом, чтобы особенный шарик находился на позиции $k$ (позиции пронумерованы от $1$ до $n$ слева направо). После этого она выполняет $m$ обменов: во время $i$-го обмена она выбирает шарик на позиции $x_i$ и шарик на позиции $y_i$ и меняет их местами.

Чтобы обмануть аудиторию, Маша иногда делает фальшивые действия — имитирует, что начинает обмен, но не выполняет его (но аудитории кажется, что он выполнен). Нет никаких ограничений на то, какие обмены Маша должна имитировать или должна действительно выполнить — например, она может имитировать все обмены или выполнить все из них.

Чтобы фокус работал идеально, особенный шарик должен оказаться в определенной позиции, но Маша еще не определилась, какая из позиций идеальна. Поскольку имитировать обмены сложно, для каждой позиции она хочет знать минимальное количество обменов, которое она должна сымитировать, чтобы особенный шарик оказался там.

К сожалению, Маша — волшебница, а не математик и не программист. Поэтому ей нужна ваша помощь!

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le m \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le k \le n$) — количество шариков, количество обменов и начальное положение особенного шарика соответственно.

Далее следуют $m$ строк, в которых $i$-я строка содержит два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$; $x_i \ne y_i$), обозначающие $i$-й обмен.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел. $i$-е число — минимальное количество обменов, которые Маша должна сымитировать, чтобы особенный шарик оказался в позиции $i$ (или $-1$, если Маша не может поместить туда особенный шарик).

F. Феникс и память

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное Структуры данных *2600

Феникс хотел сделать фото своих $n$ друзей, пронумерованных $1, 2, \dots, n$. Друзья стояли в ряд в некотором порядке. И тут вдруг пришли печенеги с половцами и всех переставили.

Теперь Фениксу нужно восстановить данный порядок, но он почти ничего не помнит! Все, что Феникс запомнил, — что $i$-й слева друг имеет номер от $a_i$ по $b_i$ включительно. Единственным ли является порядок друзей, подходящий под его воспоминания?

Входные данные

В первой строке задано целое число $n$ ($1 \le n \le 2\cdot10^5$) — количество друзей.

В $i$-й из следующих $n$ строк заданы два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i \le b_i \le n$) — то, что запомнил Феникс про $i$-ю позицию слева.

Гарантируется, что информация, которую запомнил Феникс, не противоречива, и существует хотя бы один подходящий порядок.

Выходные данные

Если существует единственный подходящий порядок друзей, выведите YES, а далее $n$ целых чисел, где $i$-е число означает номер $i$-го слева друга.

В противном случае, выведите NO. Далее, выведите любые два подходящих порядка на следующих двух строках. Если существует несколько ответов, выведите любой.

C. Орак и Game of Life

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное реализация *2000

Обратите внимание на необычное ограничение по памяти в этой задаче.

Орак любит игры. Недавно он придумал новую игру, «Game of Life».

Вы должны играть в эту игру на черно-белом клетчатом поле из $n$ строк и $m$ столбцов. Каждая клетка либо белая, либо черная.

На каждой итерации этой игры (исходная итерация это $0$) цвет клетки будет изменяться по следующим правилам:

Если на текущей итерации нет соседних клеток с таким же цветом, как и эта клетка, ее цвет на следующей итерации останется прежним.
Иначе, ее цвет на следующей итерации будет другим.

Две клетки являются соседними, если у них есть общая сторона.

Орак уже выбрал исходное состояние игры, и он хочет знать для клетки $(i,j)$ (в $i$-й строке и $j$-м столбце), чему будет равен ее цвет на итерации $p$. Он может задавать вам эти вопросы по несколько раз.

Входные данные

В первой строке записано три целых числа $n,m,t\ (1\le n,m\le 1000, 1\le t\le 100\,000)$, описывающие количество строк и столбцов, и количество запросов Орака.

Каждая из следующих $n$ строк содержит бинарную строку длины $m$, $j$-й символ в $i$-й строке описывает изначальный цвет клетки $(i,j)$. '0' означает белый, '1' означает черный.

Каждая из следующих $t$ строк содержит три целых числа $i,j,p\ (1\le i\le n, 1\le j\le m, 1\le p\le 10^{18})$, описывающие запрос Орака.

Выходные данные

Выведите $t$ строк, в $i$-й из которых вы должны вывести ответ на $i$-й запрос Орака. Если цвет клетки черный, вы должны вывести '1', иначе, вы должны вывести '0'.

Примечание

$\text{[math]}$

В первом примере картинка выше описывает исходну ситуацию и цвета клеток на итерациях $1$, $2$, и $3$. Вы можете увидеть, что цвет клетки $(1,1)$ на итерации $1$ черный, цвет клетки $(2,2)$ после итерации $2$ черный, и цвет клетки $(3,3)$ после итерации $3$ тоже черный.

Во втором примере можно доказать, что клетки никогда не поменяют свой цвет.

E. Раскраска графа

графы дп поиск в глубину и подобное *2100

Вам задан неориентированный граф без петель и кратных ребер, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Также вам задано три числа $n_1$, $n_2$ и $n_3$.

Определите, можно ли расставить в вершины графа цифры 1, 2 и 3 так, чтобы выполнялись следующие условия:

В каждой вершине должно стоять ровно одно из чисел 1, 2, 3;
Суммарно количество чисел 1 во всех вершинах должно равняться $n_1$;
Суммарно количество чисел 2 во всех вершинах должно равняться $n_2$;
Суммарно количество чисел 3 во всех вершинах должно равняться $n_3$;
Для каждого ребра $(u, v)$ должно быть верно $|col_u - col_v| = 1$, где $col_x$ — цвет вершины с индексом $x$.

Если существует несколько раскрасок, удовлетворяющим все описанным выше условиям, разрешено найти любую из них.

Входные данные

В первой строке следуют два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 5000$; $0 \le m \le 10^5$) — количество вершин в графе и количество ребер в графе.

Во второй строке следуют три целых числа $n_1$, $n_2$ и $n_3$ ($0 \le n_1, n_2, n_3 \le n$) — необходимое количество цифр 1, 2 и 3, соответственно. Гарантируется, что $n_1 + n_2 + n_3 = n$.

В следующих $m$ строках следует описание ребер: в $i$-й строке следуют два целых числа $u_i$, $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$; $u_i \neq v_i$) — номера вершин, которые соединяет $i$-е ребро. Гарантируется, что граф не содержит петель и кратных ребер.

Выходные данные

Если существует раскраска, удовлетворяющая всем описанным условиям, выведите в первую строку «YES» (без кавычек). Во вторую строку выведите строку длины $n$, состоящую только из цифр 1, 2 и 3, причем $i$-й символ этой строки должен быть равен цифре, которую нужно поставить в $i$-ю вершину.

Если подходящей раскраски не существует, выведите «NO» (без кавычек).

E. Полигон

графы дп кратчайшие пути реализация *1300

Полигон — это не только лучшая платформа для разработки задач, но и квадратная матрица со стороной $n$, изначально состоящая из нулей.

На полигоне проводятся боевые учения. Поэтому над каждой клеткой в первой строке и слева от каждой клетки первого столбца находится пушка. Таким образом, всего есть $2n$ пушек.

$\text{[math]}$ Изначальный полигон для $n=4$.

Пушки стреляют единицами. В один момент времени стреляет не больше одной пушки. Когда единица вылетает из пушки, то она летит вперед, по направлению выстрела, до тех пор, пока не столкнется с границей полигона или другой единицей. После этого она занимает клетку, в которой находилась перед столкновением, и остается там. Изучите примеры для лучшего понимания.

Более формально:

если пушка, стоящая в строке $i$ перед первым столбцом, стреляет единицей, то единица начинает свой полет из клетки ($i, 1$) и заканчивает в какой-то клетке ($i, j$);
если пушка, стоящая в столбце $j$ над первой строкой, стреляет единицей, то единица начинает свой полет из клетки ($1, j$) и заканчивает в какой-то клетке ($i, j$).

Например, рассмотрим следующую последовательность выстрелов:

$\text{[math]}$

1. Стреляет пушка в строке $2$. 2. Стреляет пушка в строке $2$. 3. Стреляет пушка в столбце $3$.

У вас на столе лежит отчет с проведенных учений. Этот отчет является квадратной матрицей с длиной стороны $n$, состоящей из нулей и единиц. Вам интересно, действительно ли произошли учения. Другими словами, существует ли такая последовательность выстрелов, что в конце получится заданная матрица?

Каждая пушка может сделать произвольное количество выстрелов. Перед началом учений полигон состоит из нулей.

Входные данные

В первой строке записано целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов тестовых данных в тесте. Далее следуют $t$ наборов тестовых данных.

Каждый набор начинается со строки, в которой записано целое число $n$ ($1 \le n \le 50$) — размер полигона.

Далее следуют $n$ строк длины $n$, состоящих из нулей и единиц — матрица полигона после проведения учений.

Суммарная площадь матриц во всех наборах тестовых данных в одном тесте не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора тестовых данных выведите:

YES, если существует последовательность выстрелов, приводящая к заданной матрице;
NO, если такой последовательности не существует.

Буквы в словах YES и NO можно выводить в любом регистре.

Примечание

Первый набор тестовых данных примера разобран в условии.

Ответ на второй набор NO, так как, вылетев из любой пушки, единица в клетке ($1, 1$) продолжила бы свой полет дальше.

A. Джонни и вклад

графы жадные алгоритмы Конструктив сортировки *1700

Сегодня Джонни хочет увеличить свой вклад. Его план подразумевает написание $n$ блогов. Один блог покрывает одну тему, но одна тема может быть покрыта несколькими блогами. Также, некоторые блоги связаны друг с другом ссылками. Каждая пара блогов, связанных ссылкой, должна покрывать две разные темы. Потому что иначе читатели могут заметить, что блоги разделены только для того, чтобы набрать больше вклада. Множество блогов и двусторонние ссылки между некоторыми парами из них называются сетью блогов.

Всего есть $n$ различных тем, пронумерованных от $1$ до $n$, упорядоченных по пониманию Джонни. Структура сети блогов уже приготовлена. Теперь Джонни должен написать все блоги в некотором порядке. Он ленивый, поэтому каждый раз перед написанием блога, он смотрит на все уже написанные соседние блоги (связанные ссылкой с текущим) и выбирает тему с минимальным номером, которая еще не покрыта соседними блогами. Можно заметить, что такая стратегия всегда позволит ему выбрать тему, потому что максимальное количество соседних блогов равно $n - 1$.

Например, если уже написанные, соседние с текущим, блоги покрывают темы с номерами $1$, $3$, $1$, $5$ и $2$, Джонни выберет тему номер $4$ для текущего блога, потому что темы номер $1$, $2$ и $3$ уже покрыты соседними блогами, а тема номер $4$ — нет.

Как хороший друг, вы провели некоторые исследования и предсказали наилучшую темы для каждого блога. Не могли бы вы сказать Джонни, в каком порядке он должен писать блоги, чтобы в результате его стратегии каждый блог покрывал выбранную вами тему?

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ $(1 \leq n \leq 5 \cdot 10^5)$ и $m$ $(0 \leq m \leq 5 \cdot 10^5)$ — количество блогов и ссылок, соответственно.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $a$ и $b$ ($a \neq b$; $1 \leq a, b \leq n$), которые означают, что в сети блогов есть ссылка между блогами с номерами $a$ и $b$. Гарантируется, что граф сети блогов не содержит кратных ребер.

Последняя строка содержит $n$ целых чисел $t_1, t_2, \ldots, t_n$, $i$-е из них обозначает желаемую тему для $i$-го блога ($1 \le t_i \le n$).

Выходные данные

Если решение не существует, выведите $-1$. Иначе, выведите $n$ различных целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_n$ $(1 \leq p_i \leq n)$, которые обозначают номера блогов в том порядке, в котором Джонни должен их написать. Если существует несколько решений, выведите любое.

Примечание

В первом примере, Джонни начинает с написания блога номер $2$, у него пока еще нет написанных соседних блогов, поэтому Джонни выбирает тему номер один. Потом он пишет блог номер $1$, у него есть ссылка на уже написанный второй блог, поэтому Джонни выбирает вторую тему. Наконец, он пишет блог номер $3$, у него есть ссылки на блоги номер $1$ и $2$, поэтому Джонни выбирает третью тему.

Второй пример: Не существует ни одной перестановки, удовлетворяющей всем условиям.

Третий пример: Сначала Джонни пишет блог номер $2$, который получает тему $1$. Затем, он пишет блог $5$, который тоже получает тему $1$, потому из него нет ссылки на единственный уже написанный блог (номер $2$). Затем, он пишет блог $1$, он получает тему $2$, потому что из него есть ссылка на блог $2$ с темой $1$. Затем, он пишет блог $3$, из него есть ссылка на блог $2$, поэтому он получает тему $2$. Наконец, он пишет блог $4$, из него есть ссылка на блог $5$, поэтому он получает тему $2$.

C. Джонни и ожерелье Меган

Бинарный поиск битмаски графы Конструктив поиск в глубину и подобное снм *2500

У младшей сестры Джонни, Меган, недавно был день рождения. Её брат подарил ей коробочку, подписанную как: «Твое прекрасное ожерелье — сделай сама!». Коробочка содержит много частей ожерелья и магический клей.

Каждая часть ожерелья представляет собой цепочку, соединяющую две жемчужины. Цвет каждой из жемчужин может быть представлен целым неотрицательным числом. Магический клей позволяет Меган склеивать две жемчужины (возможно, из одной части ожерелья) в одну. Красота соединения двух жемчужин цветов $u$ и $v$ определяется следующим образом: пусть $2^k$ — максимальная степень двух, делящая $u \oplus v$ — исключающее или $u$ и $v$. Тогда красота соединения равна $k$. Если $u = v$, вы можете считать, что красота равна $20$.

Каждая жемчужина может быть склеена с другой максимум один раз. Склеивание двух частей ожерелья объединяет их. Используя клей несколько раз, Меган может наконец получить свое ожерелье, которое является циклом, сделанным из соединенных последовательно частей ожерелья (так, что каждая жемчужина в ожерелье соединена с ровно одной другой жемчужиной). Красота такого ожерелья равна минимальной красоте соединений в нем. Девочка хочет использовать все доступные части ожерелья, чтобы получить ровно одно ожерелье, содержащее все части, с максимальной возможной красотой. Помогите ей!

Входные данные

Первая строка содержит целое число $n$ $(1 \leq n \leq 5 \cdot 10^5)$ — количество частей ожерелья в коробочке.

Каждая из следующих $n$ строк содержит два целых числа $a$ и $b$ $(0 \leq a, b < 2^{20})$, которые обозначают цвета жемчужин из этой части ожерелья. Жемчужины на $i$-й строке имеют индексы $2i - 1$ и $2i$, соответственно.

Выходные данные

Первая строка должна содержать одно целое число $b$, обозначающее максимальную возможную красоту ожерелья, собранного из всех данных частей.

Следующая строка должна содержать $2n$ различных целых чисел $p_i$ $(1 \leq p_i \leq 2n)$ — индексы исходных жемчужин в порядке, в котором они должны быть расположены в ожерелье. Индексы жемчужин, принадлежащих одной части, должны быть расположены на соседних позициях в перестановке (поэтому $1\,4\,3\,2$ не является корректным выводом, а $2\,1\,4\,3$ и $4\,3\,1\,2$ являются). Если существует несколько подходящих ответов, вы можете вывести любой.

Примечание

В первом примере следующие пары жемчужин объединяются: $(7, 9)$, $(10, 5)$, $(6, 1)$, $(2, 3)$ и $(4, 8)$. Красота соединений равна: $3$, $3$, $3$, $20$, $20$, соответственно.

Иллюстрация показывает эту конструкцию:

$\text{[math]}$

E. Джеймс и погоня

графы Деревья поиск в глубину и подобное Теория вероятностей *3000

У Джеймса Бонда есть новый план, как поймать своего врага. Есть несколько городов и ориентированные дороги между ними, причем используя эти дороги можно добраться из любого города до любого другого. Когда враг появляется в каком-то городе, Бонд знает её следующий пункт назначения, но понятия не имеет, какой путь она выберет, чтобы ехать туда.

Город $a$ называется интересным, если для любого города $b$, существует ровно один простой путь из $a$ в $b$. Простым путем называется последовательность различных городов, в которой для каждых двух соседних городов есть дорога, ведущая из первого города во второй.

Враг Бонда хороша в побегах, поэтому только погоня, начатая в интересном городе дает шанс поймать её. Джеймс хочет расположить своих людей в таких городах. Однако, если интересных городов недостаточно много, весь план не имеет смысла, потому что людям Бонда, возможно, придется ждать появления врага очень долго.

Вы ответственны за поиск всех интересных городов. Выведите их, либо сообщите, что их недостаточно много. Под недостаточно много, Джеймс подразумевает строго меньше $20\%$ всех городов.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 2\,000$) — количество наборов входных данных. Каждый набор входных данных описывается следующим образом:

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \le 10^5$, $0 \leq m \le 2 \cdot 10^5$) — количество городов и дорог между ними. Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($u \neq v$; $1 \leq u, v \leq n$), которые обозначают дорогу из города $u$ в город $v$.

Гарантируется, что между каждой упорядоченной парой городов существует максимум одна дорога. Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $10^5$, а сумма $m$ не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Если строго меньше $20\%$ всех городов являются интересными, выведите $-1$. Иначе, пусть $k$ равно количеству интересных городов. Выведите $k$ различных целых чисел в порядке возрастания — номера интересных городов.

Примечание

На всех иллюстрациях, если город интересный, он помечен зеленым, а иначе — красным.

В первом наборе входных данных, все города интересные.

$\text{[math]}$

Во втором наборе входных данных, ни один город не интересен.

$\text{[math]}$

В третьем наборе входных данных, города $1$, $2$, $3$ и $5$ интересные.

$\text{[math]}$

В четвертом наборе входных данных, только город $1$ является интересным. Это строго меньше, чем $20\%$ всех городов, поэтому ответ $-1$.

$\text{[math]}$

D. Последнее следствие Ехаба

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное реализация *2100

Для связного неориентированного графа с $n$ вершинами и целого числа $k$, вы должны, на ваш выбор:

или найти независимое множество с ровно $\lceil\frac{k}{2}\rceil$ вершинами.
или найти простой цикл длины не более $k$.

Независимое множество — это набор вершин такой, что никакие две из них не связаны ребром. Простой цикл — это цикл, который не содержит ни одной вершины дважды.

У меня есть доказательство, что для любых входных данных вы всегда можете решить по крайней мере одну из этих задач, но оно слишком тривиально, чтобы поместиться здесь.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$, and $k$ ($3 \le k \le n \le 10^5$, $n-1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин и ребер в графе и параметр $k$ из условия.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u,v \le n$), которые обозначают, что между вершинами $u$ и $v$ есть ребро. Гарантируется, что граф связен и не содержит петель или кратных ребер.

Выходные данные

Если вы решили решить первую задачу, то в первой строке выведите $1$, а затем строку, содержащую $\lceil\frac{k}{2}\rceil$ различных целых чисел, не превышающих $n$ — вершины в желаемом независимом наборе.

Если же вы решили решить вторую задачу, то в первой строке выведите $2$, затем строку, содержащую одно целое число, $c$, представляющее длину найденного цикла, а затем строку, содержащую $c$ различных целых чисел, не превышающих $n$ — вершины в нужном цикле, в порядке их появления в цикле.

Примечание

В первом примере:

$\text{[math]}$

Обратите внимание, что вывод независимого множества $\{2,4\}$ тоже зачтется, но вывод цикла $1-2-3-4$ — нет, потому что его длина должна быть не более $3$.

Во втором примере:

$\text{[math]}$

Обратите внимание, что вывод независимого множества $\{1,3\}$ или цикла $2-1-4$ также зачтутся.

В третьем примере:

$\text{[math]}$

В четвертом примере:

$\text{[math]}$

D. Решить лабиринт

графы жадные алгоритмы Конструктив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное реализация снм *1700

Vivek столкнулся с интересной задачей. У него есть лабиринт, который можно описать таблицей $n \times m$. Каждая клетка может быть одного из следующих типов:

Пустая — '.'
Стена — '#'
Хороший человек — 'G'
Плохой человек — 'B'

Единственный выход из лабиринта находится в клетке $(n, m)$.

Человек может перейти в клетку если она не содержит стену и она имеет общую сторону с его текущей клеткой. Vivek хочет заблокировать (заменить на стены) некоторые пустые клетки, чтобы все хорошие люди могли дойти до выхода из лабиринта, но чтобы все плохие люди не могли. Клетку которая исходно содержит 'G' или 'B' нельзя блокировать, но через нее можно проходить.

Ваша задача — определить, можно ли заменить несколько (ноль или более) пустых клеток на стены, чтобы удовлетворить описанным ограничениям.

Гарантируется, что клетка $(n,m)$ пустая. Vivek разрешается ее блокировать.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ $(1 \le t \le 100)$ — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных записаны два целых числа $n$, $m$ $(1 \le n, m \le 50)$ — количество строк и столбцов в лабиринте.

В каждой из следующих $n$ строк записаны $m$ символов. Они описывают исходный лабиринт. Если символ в строке равен '.', тогда соответствующая клетка пустая, если символ равен '#', тогда клетка содержит стену, а 'G' и 'B' обозначают, что клетка содержит хорошего или плохого человека, соответственно.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, выведите «Yes» или «No», в зависимости от того, можно ли заменить некоторые пустые клетки на стены, чтобы удовлетворить описанным ограничениям.

Вы можете выводить каждую букву в любом регистре (верхнем или нижнем).

Примечание

В первом и во втором наборах входных данных все условия уже выполнены.

В третьем наборе входных данных есть только одна свободная клетка $(2,2)$, и если мы заменим ее на стену, то хороший человек в клетке $(1,2)$ не сможет выйти.

В четвертом наборе входных данных хороший человек в клетке $(1,1)$ не может сбежать с самого начала, поэтому ответ «No».

В пятом наборе входных данных можно заблокировать клетки $(2,3)$ и $(2,2)$.

В последнем наборе входных данных можно заблокировать выход $(2, 2)$.

F. Прогулка по графу

Бинарный поиск геометрия графы дп *2700

Задан простой взвешенный связный неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер.

Путем длины $k$ в графе назовем последовательность из $k+1$ вершины $v_1, v_2, \dots, v_{k+1}$ такую, что для каждого $i$ $(1 \le i \le k)$ ребро $(v_i, v_{i+1})$ присутствует в графе. У пути из вершины $v$ вершина $v_1=v$. Обратите внимание, что вершины и ребра могут входить в путь по несколько раз.

Вес пути — это сумма весов ребер в нем.

Для каждого $i$ от $1$ до $q$ рассмотрим путь из вершины $1$ длины $i$ максимального веса. Чему равна сумма весов этих $q$ путей?

Ответ может быть довольно большим, поэтому выведите его по модулю $10^9+7$.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа $n$, $m$, $q$ ($2 \le n \le 2000$; $n - 1 \le m \le 2000$; $m \le q \le 10^9$) — количество вершин в графе, количество ребер в графе и количество длин, которые надо учесть в ответе.

В каждой из следующих $m$ строк задано описание ребра: три целых числа $v$, $u$, $w$ ($1 \le v, u \le n$; $1 \le w \le 10^6$) — две вершины $v$ и $u$ соединены неориентированным ребром веса $w$. Граф не содержит петель и кратных ребер. Гарантируется, что данные ребра задают связный граф.

Выходные данные

Выведите одно целое число — сумма весов путей максимального веса из вершины $1$ длин $1, 2, \dots, q$ по модулю $10^9+7$.

Примечание

Граф из первого примера:

$\text{[math]}$

Некоторые максимальные пути:

длина $1$: ребра $(1, 7)$ — вес $3$;
длина $2$: ребра $(1, 2), (2, 3)$ — вес $1+10=11$;
длина $3$: ребра $(1, 5), (5, 6), (6, 4)$ — вес $2+7+15=24$;
длина $4$: ребра $(1, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 4)$ — вес $2+7+15+15=39$;
$\dots$

Поэтому ответ — это сумма $25$ слагаемых: $3+11+24+39+\dots$

Во втором примере веса у путей максимального веса равны $4$, $8$, $12$, $16$ and $20$.

E. Сборка ожерелья

графы дп жадные алгоритмы Перебор поиск в глубину и подобное теория чисел *1900

В магазине продаются $n$ бусинок. Цвет каждой бусинки описывается строчной буквой латинского алфавита («a»–«z»). Вы хотите купить какие-то бусинки, чтобы собрать из них ожерелье.

Ожерелье — набор бусинок, соединенных по кругу.

Например, если в магазине продаются бусинки «a», «b», «c», «a», «c», «c», то вы можете собрать следующие ожерелья (это не все возможные варианты):

$\text{[math]}$

А следующие ожерелья нельзя собрать из бусинок, которые продаются в магазине:

$\text{[math]}$ Первое ожерелье собрать не получится, потому что в нем есть три бусинки «a» (из двух доступных). Второе ожерелье собрать не получится, потому что в нем есть бусинка «d», которой нет в магазине.

Назовем ожерелье $k$-красивым, если при его повороте по часовой стрелке на $k$ бусинок ожерелье остается неизменным. Например, вот последовательность из трех поворотов некоторого ожерелья.

$\text{[math]}$

Так как после трех поворотов по часовой стрелке ожерелье не изменилось, то оно является $3$-красивым. Как можно заметить, это ожерелье также является $6$-красивым, $9$-красивым и так далее, но не является $1$-красивым или $2$-красивым.

В частности, ожерелье длины $1$ является $k$-красивым для любого целого $k$. Ожерелье, которое состоит из бусинок одинакового цвета, тоже является красивым для любого $k$.

Вам даны числа $n$ и $k$, а также строка $s$, содержащая $n$ строчных букв латинского алфавита — каждая буква задает бусинку в магазине. Вы можете купить любое подмножество бусинок и соединить их в произвольном порядке. Найдите максимальную длину $k$-красивого ожерелья, которое вы можете собрать.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов тестовых данных в тесте. Далее следуют $t$ наборов тестовых данных.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le n, k \le 2000$).

Вторая строка каждого набора содержит строку $s$, содержащую $n$ строчных букв латинского алфавита — набор бусинок в магазине.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам тестовых данных в тесте не превосходит $2000$.

Выходные данные

Выведите $t$ ответов на наборы тестовых данных. Каждый ответ является целым положительным числом — максимальной длиной $k$-красивого ожерелья, которое вы можете собрать.

Примечание

Первый набор тестовых данных разобран в условии.

Во втором наборе тестовых данных $6$-красивое ожерелье можно собрать из всех букв.

В третьем наборе тестовых данных $1000$-красивое ожерельем можно собрать, например, из бусинок «abzyo».

E. Происшествия на лыжах

графы жадные алгоритмы Конструктив *2500

Артур — владелец горнолыжного курорта. На горе расположено $n$ площадок, пронумерованных от $1$ до $n$, начиная с вершины и заканчивая подножьем горы. Площадки соединены однонаправленными треками. Все треки направлены от вершины к подножью, поэтому они не могут образовывать направленных циклов. Из каждой площадки исходит не более, чем две трека, но в одну и ту же площадку может входить любое количество треков.

Лыжник может спуститься с одной из площадок до другой, если существует путь из треков, которая ведёт из стартовой площади в конечную. К сожалению, в последнее время участились несчастные случаи из-за того, что лыжники, спускающийся по опасному пути, набирают слишком большую скорость и ставят в опасность себя и окружающих. Путь считается опасным, если он состоит из двух или более треков.

Артур хочет обезопасить своих клиентов и закрыть несколько площадок таким образом, чтобы устранить опасные пути. Если площадка закрыта, все треки, входящие и исходящие из этой площадки, также закрываются.

Формально, после закрытия площадок в оставшейся части не должно существовать пути из двух или более треков.

Артур не хочет закрывать слишком много площадок. Он будет доволен, если удастся найти способ закрыть не более $\frac{4}{7}n$ площадок, чтобы оставшаяся часть была безопасна. Помогите ему найти любой способ этого добиться.

Входные данные

В первой строке записано одно положительное целое число $T$ — количество наборов входных данных. После этого следует $T$ блоков с описанием наборов входных данных.

Первая строка каждого блока содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — количество площадок и треков соответственно.

Следующие $m$ строк описывают треки. Каждая из этих строк содержит два целых числа $x$ и $y$ ($1 \leq x < y \leq n$) — номера стартовой и финишной площадки очередного трека. Гарантируется, что из каждой площадки исходит не более двух треков. Могут существовать треки, у которых и начала, и концы совпадают.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число $k$ ($0 \leq k \leq \frac{4}{7}n$) — количество площадок, которые нужно закрыть. В следующей строке выведите $k$ различных целых чисел — номера площадок, которые нужно закрыть, в любом порядке.

Если существует несколько ответов, разрешается вывести любой из них. Обратите внимание, что минимизировать $k$ не требуется. Можно показать, что подходящий ответ всегда существует.

Примечание

В первом наборе входных данных можно закрыть любые две площадки.

Во втором наборе входных данных закрыть только площадку $1$ также является корректным.

G. Двигаем доминошки

геометрия графы Деревья Структуры данных *3200

Билл любит играть с доминошками. Он взял доску размера $n \times m$, разделённую на одинаковые квадратные клетки, и покрыл её доминошками. Каждая доминошка покрывает две клетки, соседние по горизонтали или вертикали, и каждая клетка покрыта ровно одной половиной доминошки (то есть, непокрытых клеток нет, и никакие две доминошки не покрывают одну клетку дважды).

После этого Билл решил поиграть с покрытой доской и выложить фотографии в социальных сетях. Сперва он убирает с доски одну из доминошек, тем самым освобождая две клетки. После этого он двигает некоторые доминошки. Доминошку можно двигать только параллельно её длинной стороне. Двигать доминошку в каком-либо направлении можно лишь, если ближайшая клетка в этом направлении сейчас свободна. Билл не хочет забыть исходное расположение доминошек, поэтому он двигает доминошки только так, чтобы каждая доминошка всегда покрывала хотя бы одну клетку, общую с её исходным положением.

После удаления доминошки и нескольких сдвигов (возможно, ни одного), Билл фотографирует получившуюся доску. Однако, Билл использует очень много фильтров, поэтому границы доминошек разглядеть нельзя, и можно увидеть лишь то, какие две клетки на доске свободны. Когда Билл выкладывает фотографию, он возвращает доску в исходное положение и начинает заново.

Билл хочет выложить как можно больше фотографий, но он не будет выкладывать одну и ту же фотографию дважды. Сколько различных фотографий он сможет сделать? Напомним, что фотографии различны, если различны пары свободных клеток на них.

Входные данные

В первой строке записано два положительных целых числа $n$ и $m$ ($nm \leq 2 \cdot 10^5$) — высота и ширина доски соответственно.

Следующие $n$ строк описывают покрытие доски доминошками, ряд за рядом сверху вниз. Каждая из этих строк содержит $m$ символов, описывающие клетки в соответствующем ряду слева направо. Каждая символ равен U, D, L или R, если клетка покрыта верхней, нижней, левой или правой половиной доминошки соответственно.

Гарантируется, что данное покрытие корректно, то есть, у каждой половины доминошки есть вторая половина в нужной позиции. В частности, поскольку покрытие возможно, количество клеток на доске чётно.

Выходные данные

Выведите одно число — количество различных фотографий, которые сможет сделать Билл.

Примечание

В первом примере после удаления любой доминошки нельзя сделать ни одного сдвига, поэтому различных фотографий четыре.

Во втором примере после удаления самой левой доминошки можно сделать четыре фотографии, поскольку можно независимо двигать/не двигать оставшиеся две доминошки. Две другие фотографии можно сделать, если удалить одну из доминошек справа.

D. СоздатеЛи

графы Деревья дп жадные алгоритмы математика *1900

Ли потратил так много времени на создание хорошей div.2 D задачи, чтобы сбалансировать недавний контест, но задача продолжает ощущаться неподходящей. Ли придумывал ее так мучительно долго, что заработал фобию div.2 D задач. И теперь он прячется в кустах...

Назовем Корневым Сухим Кустом (КСК) уровня $n$ корневое дерево, построенное согласно правилам ниже.

Корневой Сухой Куст уровня $1$ — это одна вершина. Для построения КСК уровня $i$, сначала построим КСК уровня $i-1$ и далее для каждой вершины $u$:

если у $u$ нет детей, то подвесим к ней одного сына;
если у $u$ есть один сын, то подвесим к ней еще двух детей;
если у $u$ есть более одного сына, то пропустим ее.

$\text{[math]}$ Корневые Сухие Кусты уровня $1$, $2$ и $3$.

Назовем лапой корневое дерево из четырех вершин: одна корневая вершина (также называется центром) и три ребенка. Оно напоминает лапу:

$\text{[math]}$ Центром лапы является вершина с номером $1$.

У Ли есть Корневой Сухой Куст уровня $n$. Первоначально все вершины КСК зеленого цвета.

За один шаг, он может выбрать лапу в КСК и, если все вершины в ней зеленые и все вершины лапы являются детьми ее центра, покрасить вершины лапы в в желтый.

Ли хочет узнать максимальное количество желтых вершин, которое он сможет получить. Так как ответ может быть очень большим, выведите его по модулю $10^9+7$.

Входные данные

В первой строке задано одно число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

В следующих $t$ строках заданы сами наборы — по одному в строке.

В первой строке каждого набора задано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^6$) — уровень КСК Ли.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите единственное целое число — максимальное количество желтых вершин, которые может получить Ли, по модулю $10^9 + 7$.

Примечание

Несложно заметить, что ответ для КСК уровня $1$ или $2$ равен $0$.

Ответ для КСК уровня $3$ равен $4$, так как есть только одна лапа, которую можно выбрать: $\{1, 2, 3, 4\}$.

Ответ для КСК уровня $4$ равен $4$, так как мы можем выбрать либо одну лапу $\{1, 3, 2, 4\}$ или одну лапу $\{2, 7, 5, 6\}$. Других лап в КСК уровня $4$ нет (например, мы не можем выбрать $\{2, 1, 7, 6\}$, так как $1$ не является ребенком вершины-центра $2$).

$\text{[math]}$ Корневой Сухой Куст уровня 4.

F1. Загадана пара вершин (простая версия)

Бинарный поиск графы Деревья интерактив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2400

Обратите внимание, что единственное различие между простой и сложной версиями задачи заключается в количестве разрешенных запросов. Вы можете делать взломы, только если все версии задачи решены.

Это интерактивная задача.

Вам дано дерево, состоящее из $n$ вершин, пронумерованных целыми числами от $1$ до $n$. Ayush и Ashish выбрали две секретные различные вершины дерева. Вам нужно отгадать обе вершины. Вы можете делать следующий запрос:

Вы даете список вершин дерева и в результате получаете вершину из списка, сумма растояний от которой до двух загаданных вершин минимально (если таких вершин в списке несколько, вы получите одну из них). Вы также получите сумму расстояний от этой вершины до двух загаданных вершин.

Напомним, что деревом называется связный граф без циклов. Расстоянием между двумя вершинами называется количество ребер, лежащих на простом пути между ними.

Более формально, пусть две загаданные вершины это $s$ и $f$. За один запрос, вы можете дать множество вершин $\{a_1, a_2, \ldots, a_c\}$ дерева. В результате вы получите два числа $a_i$ и $dist(a_i, s) + dist(a_i, f)$. Вершина $a_i$ является любой вершиной из данного вами множества, для которой число $dist(a_i, s) + dist(a_i, f)$ минимально.

Вы можете сделать не более $14$ запросов.

Входные данные

В первой строке находится единственное целое число $t$ $(1 \leq t \leq 10)$ — количество наборов входных данных. Обратите внимание на то, как организован процесс взаимодействия.

В первой строке каждого набора входных данных находится единственное целое число $n$ $(2 \le n \le 1000)$ — количество вершин дерева.

В следующих $n - 1$ строках находится по два целых числа $u$, $v$ $(1 \le u, v \le n, u \ne v)$ — ребра дерева.

Протокол взаимодействия

Для того, чтобы сделать запрос, выведите единственную строку в следующем формате:

В начале строки выведите «? c » (без кавычек), где $c$ $(1 \leq c \leq n)$ равно количеству вершин в списке, про который вы хотите сделать запрос. После этого должны следовать $c$ различных целых чисел из отрезка $[1, n]$ — номера вершин из списка.

В ответ на запрос, вы получите два целых числа $x$, $d$ — вершина (из вершин из списка из запроса) с минимальной суммой расстояний до двух загаданных вершин и сумма расстояний от этой вершины до двух загаданных вершин. Если список вершин в запросе некорректный или вы превысили лимит на количество запросов, вы получите $x = d = -1$. В этом случае, вы должны завершить вашу программу немедленно.

После того, как вы угадаете загаданные вершины, выведите единственную строку «! » (без кавычек). После этого выведите два целых числа из отрезка $[1, n]$ — загаданные вершины. Вы можете выводить их в любом порядке.

После этого, вы должны считать строку. Если вы угадали вершины правильно, вы получите строку «Correct». В этом случае вы должны продолжить решать оставшиеся наборы входных данных или завершить программу, если все наборы входных данных были решены. Иначе, вы получите строку «Incorrect». В этом случае, вы должны завершить программу немедленно.

Запрос угадывания загаданных вершин не считается в количестве сделанных запросов.

Интерактор не адаптивный. Загаданные вершины не меняются во время запросов.

Не забывайте считать строку «Correct» / «Incorrect» после запроса угадывания вершин.

Вы должны решить набор входных данных перед получением входных данных следующего набора входных данных.

Ограничение на $14$ запросов существует для каждого набора входных данных по отдельности, а не для всех входных данных вместе.

После вывода запроса, не забывайте выводить символ переноса строки и сбрасывать буфер выходного потока. Иначе, вы получите вердикт Idleness limit exceeded. Чтобы это сделать, используйте:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
обратитесь к документации для других языков.

Взломы

Чтобы сделать взлом, используйте следующий формат теста:

В первой строке должно находиться единственное целое число $t$ $(1 \leq t \leq 10)$ — количество наборов входных данных. Затем должно следовать описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных должна содержать единственное целое число $n$ $(2 \le n \le 1000)$ — количество вершин в дереве. Во второй строке должно находиться два различных целых числа из отрезка $[1, n]$ — загаданные вершины. Следующая $n - 1$ строка должна содержать по два целых числа $u$, $v$ $(1 \le u, v \le n, u \ne v)$ — ребра дерева.

Примечание

Дерево из первого теста изображено на картинке, загаданные вершины $1$ и $3$.

$\text{[math]}$

F2. Загадана пара вершин (сложная версия)

Бинарный поиск графы Деревья интерактив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2700

Это интерактивная задача.

Вы даете список вершин дерева и в результате получаете вершину из списка, сумма растояний от которой до двух загаданных вершин минимально (если таких вершин в списке несколько, вы получите одну из них). Вы также получите сумму расстояний от этой вершины до двух загаданных вершин.

Вы можете сделать не более $11$ запросов.

Входные данные

В следующих $n - 1$ строках находится по два целых числа $u$, $v$ $(1 \le u, v \le n, u \ne v)$ — ребра дерева.

Протокол взаимодействия

Для того, чтобы сделать запрос, выведите единственную строку в следующем формате:

В начале строки выведите «? c » (без кавычек), где $c$ $(1 \leq c \leq n)$ равно количеству вершин в списке, про который вы хотите сделать запрос. После этого должны следовать $c$ различных целых чисел из отрезка $[1, n]$ — номера вершин из списка.

Запрос угадывания загаданных вершин не считается в количестве сделанных запросов.

Интерактор не адаптивный. Загаданные вершины не меняются во время запросов.

Не забывайте считать строку «Correct» / «Incorrect» после запроса угадывания вершин.

Вы должны решить набор входных данных перед получением входных данных следующего набора входных данных.

Ограничение на $11$ запросов существует для каждого набора входных данных по отдельности, а не для всех входных данных вместе.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
обратитесь к документации для других языков.

Взломы

Чтобы сделать взлом, используйте следующий формат теста:

Примечание

Дерево из первого теста изображено на картинке, загаданные вершины $1$ и $3$.

$\text{[math]}$

G. Изменение дерева

графы Деревья Конструктив Паросочетания Перебор поиск в глубину и подобное *2800

Вам дано дерево с $n$ вершинами. Вы можете изменить строение дерева с помощью следующей многошаговой операции:

Выберите три вершины $a$, $b$ и $c$ такие, чтобы $b$ соединена ребром и с $a$ и с $c$.
Для каждой вершины $d$ кроме $b$, которая соединена ребром с $a$, удалите ребро, соединяющее $d$ и $a$, и добавьте ребро, соединяющее $d$ и $c$.
Удалите ребро, соединяющее $a$ и $b$, и добавьте ребро, соединяющее $a$ и $c$.

В качестве примера рассмотрим следующее дерево:

$\text{[math]}$

Следующая диаграмма иллюстрирует последовательность шагов, которые происходят, когда мы применяем операцию к вершинам $2$, $4$ и $5$:

$\text{[math]}$

Можно доказать, что после каждой операции полученный граф все еще является деревом.

Найдите минимальное количество операций, которые необходимо выполнить, чтобы превратить дерево в звезду. Звезда — это дерево с одной вершиной степени $n - 1$, называемой его центром, и $n - 1$ вершинами степени $1$.

Входные данные

Первая строка содержит целое число $n$ ($3 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

$i$-я из следующих $n - 1$ строк содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \neq v_i$), обозначающих существование ребра, соединяющего вершины $u_i$ и $v_i$. Гарантируется, что данные ребра образуют дерево.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное количество операций, необходимое для преобразования дерева в звезду.

Можно доказать, что при данных ограничениях всегда можно превратить дерево в звезду, используя не более $10^{18}$ операций.

Примечание

Первый пример соответствует дереву из условия. Как мы уже видели, мы можем превратить дерево в звезду с центром в вершине $5$, применив одну операцию к вершинам $2$, $4$ и $5$.

Во втором тестовом примере данное дерево уже является звездой с центром в вершине $4$, поэтому никаких операций выполнять не нужно.

A. Трансформация строки 1

графы Деревья жадные алгоритмы снм сортировки Строки *1700

Обратите внимание, что единственная разница между Трансформация строки 1 и Трансформация строки 2 заключается в операции, которую делает Коа. В этой версии буква $y$, которую выбирает Koa, должна быть строго больше по алфавиту, чем $x$ (для лучшего понимания прочитайте условие). Вы можете делать взломы по этим задачам независимо.

У Коалы Коа есть две строки $A$ и $B$ одинаковой длины $n$ ($|A|=|B|=n$), состоящие из первых $20$ строчных букв английского алфавита (то есть от a до t).

В один ход Коа:

выбирает некоторое подмножество позиций $p_1, p_2, \ldots, p_k$ ($k \ge 1; 1 \le p_i \le n; p_i \neq p_j$ если $i \neq j$) из $A$, такое что $A_{p_1} = A_{p_2} = \ldots = A_{p_k} = x$ (т. е. все буквы на этой позиции равны некоторой букве $x$).
выбирает букву $y$ (из первых $20$ строчных букв английского алфавита) такую, что $y>x$ (т. е. буква $y$ в алфавитном порядке строго больше, чем $x$).
делает все буквы в позициях $p_1, p_2, \ldots, p_k$ равными $y$. Более формально: для каждого $i$ ($1 \le i \le k$) Коа устанавливает $A_{p_i} = y$.
Обратите внимание, что вы можете изменять только буквы в строке $A$.

Коа хочет знать наименьшее число ходов, которые она должна сделать, чтобы сделать строки равными друг другу ($A = B$) или определить, что нет никакого способа сделать их равными. Помогите ей!

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит $t$ ($1 \le t \le 10$) — количество наборов входных данных. Описание наборов входных данных приведено ниже.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — длину строк $A$ и $B$.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит строку $A$ ($|A|=n$).

Третья строка каждого набора входных данных содержит строку $B$ ($|B|=n$).

Обе строки состоят из первых строчных букв английского алфавита $20$ (т.е. от a до t).

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных:

Выведите в единственной строке минимальное количество ходов, которое Koa должна сделать, чтобы строки стали равны друг другу ($A = B$) или $-1$, если нет никакого способа сделать их равными.

Примечание

В $1$-м наборе входных данных Коа:
1. выбирает позиции $1$ и $2$ и устанавливает $A_1 = A_2 = $ b ($\color{red}{aa}b \rightarrow \color{blue}{bb}b$).
2. выбирает позиции $2$ b $3$ и устанавливает $A_2 = A_3 = $ c ($b\color{red}{bb} \rightarrow b\color{blue}{cc}$).
Во $2$-м наборе входных данных Коа не может сделать строку $A$ равной строке $B$.
В $3$-м наборе входных данных Коа:
1. выбирает позицию $1$ и устанавливает $A_1 = $ t ($\color{red}{a}bc \rightarrow \color{blue}{t}bc$).
2. выбирает позицию $2$ и устанавливает $A_2 = $ s ($t\color{red}{b}c \rightarrow t\color{blue}{s}c$).
3. выбирает позицию $3$ и устанавливает $A_3 = $ r ($ts\color{red}{c} \rightarrow ts\color{blue}{r}$).

C. Трансформация строки 2

битмаски графы Деревья дп *3100

Обратите внимание, что единственная разница между Трансформация строки 1 и Трансформация строки 2 заключается в операции, которую делает Коа. В этой версии буква $y$, которую выбирает Koa, может быть любой из первых $20$ букв английского алфавита (для лучшего понимания прочитайте условие). Вы можете делать взломы по этим задачам независимо.

Коала Коа имеет две строки $A$ и $B$ одинаковой длины $n$ ($|A|=|B|=n$), состоящие из первых $20$ строчных букв английского алфавита (то есть от a до t).

В один ход Коа:

выбирает некоторое подмножество позиций $p_1, p_2, \ldots, p_k$ ($k \ge 1; 1 \le p_i \le n; p_i \neq p_j$ если $i \neq j$) из $A$, такое что $A_{p_1} = A_{p_2} = \ldots = A_{p_k} = x$ (т. е. все буквы на этой позиции равны некоторой букве $x$).
выбирает любую букву $y$ (из первых $20$ строчных букв английского алфавита).
делает все буквы в позициях $p_1, p_2, \ldots, p_k$ равными $y$. Более формально: для каждого $i$ ($1 \le i \le k$) Коа устанавливает $A_{p_i} = y$.
Обратите внимание, что вы можете изменять только буквы в строке $A$.

Входные данные

Вторая строка каждого набора входных данных содержит строку $A$ ($|A|=n$).

Третья строка каждого набора входных данных содержит строку $B$ ($|B|=n$).

Обе строки состоят из первых строчных букв английского алфавита $20$ (т.е. от a до t).

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных:

Примечание

В $1$-м наборе входных данных Koa:
1. выбирает позиции $1$ и $2$ и устанавливает $A_1 = A_2 = $ b ($\color{red}{aa}b \rightarrow \color{blue}{bb}b$).
2. выбирает позиции $2$ и $3$ и устанавливает $A_2 = A_3 = $ c ($b\color{red}{bb} \rightarrow b\color{blue}{cc}$).
В $2$-м наборе входных данных Koa:
1. выбирает позиции $1$ и $4$ и устанавливает $A_1 = A_4 = $ a ($\color{red}{c}ab\color{red}{c} \rightarrow \color{blue}{a}ab\color{blue}{a}$).
2. выбирает позиции $2$ и $4$ и устанавливает $A_2 = A_4 = $ b ($a\color{red}{a}b\color{red}{a} \rightarrow a\color{blue}{b}b\color{blue}{b}$).
3. выбирает позицию $3$ и устанавливает $A_3 = $ c ($ab\color{red}{b}b \rightarrow ab\color{blue}{c}b$).
В $3$-м наборе входных данных Koa:
1. выбирает позицию $1$ и устанавливает $A_1 = $ t ($\color{red}{a}bc \rightarrow \color{blue}{t}bc$).
2. выбирает позицию $2$ и устанавливает $A_2 = $ s ($t\color{red}{b}c \rightarrow t\color{blue}{s}c$).
3. выбирает позицию $3$ и устанавливает $A_3 = $ r ($ts\color{red}{c} \rightarrow ts\color{blue}{r}$).

D. Переставьте

графы жадные алгоритмы Конструктив Перебор сортировки *2800

Коала Коа имеет матрицу $A$ из $n$ строк и $m$ столбцов. Элементы этой матрицы — различные целые числа от $1$ до $n \cdot m$ (каждое число от $1$ до $n \cdot m$ встречается в матрице ровно один раз).

Для любой матрицы $M$ из $n$ строк и $m$ столбцов определим следующее:

$i$-я строка $M$ определяется как $R_i(M) = [ M_{i1}, M_{i2}, \ldots, M_{im} ]$ для всех $i$ ($1 \le i \le n$).
$j$-й столбец $M$ определяется как $C_j(M) = [ M_{1j}, M_{2j}, \ldots, M_{nj} ]$ для всех $j$ ($1 \le j \le m$).

Коа определяет $S(A) = (X, Y)$ как спектр $A$, где $X$ — множество максимумов в строках $A$, а $Y$ — множество максимумов в столбцах $A$ соответственно.

Более формально:

$X = \{ \max(R_1(A)), \max(R_2(A)), \ldots, \max(R_n(A)) \}$
$Y = \{ \max(C_1(A)), \max(C_2(A)), \ldots, \max(C_m(A)) \}$

Коа просит вас найти некоторую матрицу $A'$ из $n$ строк и $m$ столбцов такую, чтобы каждое число от $1$ до $n \cdot m$ встречалось в матрице ровно один раз, и выполнялись следующие условия:

$S(A') = S(A)$
$R_i(A')$ является битоническим для всех $i$ ($1 \le i \le n$)
$C_j(A')$ является битоническим для всех $j$ ($1 \le j \le m$).

Массив $t$ ($t_1, t_2, \ldots, t_k$) называется битоническим, если он сначала возрастает, а затем спадает.

Более формально: $t$ является битоническим, если существует некоторая позиция $p$ ($1 \le p \le k$) такая, что: $t_1 < t_2 < \ldots < t_p > t_{p+1} > \ldots > t_k$.

Помогите Коа найти такую матрицу, или определить, что ее не существует.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 250$) — количества строк и столбцов в $A$.

Каждая из следующих $n$ строк содержит $m$ целых чисел. $j$-е целое число в $i$-й строке обозначает элемент $A_{ij}$ ($1 \le A_{ij} \le n \cdot m$) матрицы $A$. Гарантируется, что каждое число от $1$ до $n \cdot m$ встречается ровно один раз среди элементов матрицы.

Выходные данные

Если такой матрицы не существует, в отдельной строке выведите $-1$.

В противном случае вы должны вывести $n$ строк, каждая из которых должная состоять из $m$ целых чисел, разделенных пробелом — описание $A'$.

$j$-е число в $i$-й строке обозначает элемент $A'_{ij}$.

Каждое число от $1$ до $n \cdot m$ должно встречаться в $A'$ ровно один раз, каждая строка и столбец в $A'$ должны быть битоническими и должно выполняться $S(A) = S(A')$.

Если ответов несколько, выведите любой.

Примечание

Проанализируем первый пример:

Для матрицы $A$:

Строки:
- $R_1(A) = [3, 5, 6]; \max(R_1(A)) = 6$
- $R_2(A) = [1, 7, 9]; \max(R_2(A)) = 9$
- $R_3(A) = [4, 8, 2]; \max(R_3(A)) = 8$
Столбцы:
- $C_1(A) = [3, 1, 4]; \max(C_1(A)) = 4$
- $C_2(A) = [5, 7, 8]; \max(C_2(A)) = 8$
- $C_3(A) = [6, 9, 2]; \max(C_3(A)) = 9$

$X = \{ \max(R_1(A)), \max(R_2(A)), \max(R_3(A)) \} = \{ 6, 9, 8 \}$
$Y = \{ \max(C_1(A)), \max(C_2(A)), \max(C_3(A)) \} = \{ 4, 8, 9 \}$
Поэтому $S(A) = (X, Y) = (\{ 6, 9, 8 \}, \{ 4, 8, 9 \})$

Для матрицы $A'$:

Строки:
- $R_1(A') = [9, 5, 1]; \max(R_1(A')) = 9$
- $R_2(A') = [7, 8, 2]; \max(R_2(A')) = 8$
- $R_3(A') = [3, 6, 4]; \max(R_3(A')) = 6$
Столбцы:
- $C_1(A') = [9, 7, 3]; \max(C_1(A')) = 9$
- $C_2(A') = [5, 8, 6]; \max(C_2(A')) = 8$
- $C_3(A') = [1, 2, 4]; \max(C_3(A')) = 4$

Заметим, что каждый из этих массивов является битоническим.
$X = \{ \max(R_1(A')), \max(R_2(A')), \max(R_3(A')) \} = \{ 9, 8, 6 \}$
$Y = \{ \max(C_1(A')), \max(C_2(A')), \max(C_3(A')) \} = \{ 9, 8, 4 \}$
Поэтому $S(A') = (X, Y) = (\{ 9, 8, 6 \}, \{ 9, 8, 4 \})$

F. Особенные ребра

графы Потоки *3200

У коалы Коа есть ориентированный граф $G$ с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Каждое ребро имеет пропускную способность, связанную с ним. Ровно $k$ ребер графа, пронумерованные от $1$ до $k$, являются особенными, такие ребра изначально имеют пропускную способность, равную $0$.

Коа задаст вам $q$ запросов. В каждом запросе она даст вам $k$ целых чисел $w_1, w_2, \ldots, w_k$. Это означает, что пропускная способность $i$-го особенного ребра становится равной $w_i$ (а другие пропускные способности остаются неизменными).

Коа задается вопросом: чему равен максимальный поток, из вершины $1$ в вершину $n$ после каждого такого запроса?

Помогите ей!

Входные данные

Первая строка содержит четыре целых числа $n$, $m$, $k$, $q$ ($2 \le n \le 10^4$, $1 \le m \le 10^4$, $1 \le k \le \min(10, m)$, $1 \le q \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин, количество ребер, количество специальных ребер и количество запросов.

Каждая из следующих $m$ строк содержит три целых числа $u$, $v$, $w$ ($1 \le u, v \le n$; $0 \le w \le 25$) — описание ориентированного ребра из вершины $u$ в вершину $v$ с пропускной способностью $w$.

Ребра нумеруются начиная с $1$ в том же порядке, в котором они указаны во входных данных. Первые $k$ ребер являются специальными ребрами. Гарантируется, что $w_i = 0$ для всех $i$ с $1 \le i \le k$.

Каждая из следующих $q$ строк содержит $k$ целых чисел $w_1, w_2, \ldots, w_k$ ($0 \le w_i \le 25$) — описание запроса. $w_i$ обозначает пропускную способность $i$-го ребра.

Выходные данные

Для $i$-го запроса выведите одно целое число $res_i$ — максимальный поток из вершины $1$ в вершину $n$ с учетом специальных весов ребер $i$-го запроса.

Примечание

Для второго примера следующие изображения соответствуют первым двум запросам (слева направо соответственно). Для каждого ребра указана пара поток/пропускная способность, обозначающая поток, проталкиваемый через ребро, и пропускную способность ребра. Специальные ребра окрашены в красный цвет.

$\text{[math]}$

Как вы можете видеть, в первом запросе максимальный поток от вершины $1$ к вершине $4$ равен $0$, а во втором запросе равен $1$.

E. Ориентация ребер

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2000

Вам задан граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Не гарантируется, что заданный граф связен. Некоторые ребра уже ориентированы и вы не можете менять их направление. Остальные ребра являются неориентированными и вам необходимо выбрать какое-то направление для всех этих ребер.

Вам необходимо ориентировать неориентированные ребра таким образом, что получившийся граф будет ориентированным и ацикличным (то есть графом, каждое ребро которого имеет ориентацию, а сам граф не имеет циклов). Заметьте, что вам необходимо ориентировать все неориентированные ребра.

Вам необходимо ответить на $t$ независимых наборов тестовых данных.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 2 \cdot 10^4$) — количество наборов тестовых данных. Затем следуют $t$ наборов тестовых данных.

Первая строка набора тестовых данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m \le min(2 \cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2})$) — количество вершин и количество ребер в графе, соответственно.

Следующие $m$ строк описывают ребра графа. $i$-е ребро представлено тройкой целых чисел $t_i$, $x_i$ и $y_i$ ($t_i \in [0; 1]$, $1 \le x_i, y_i \le n$) — типом ребра ($t_i = 0$, если ребро является неориентированным, и $t_i = 1$, если ребро является ориентированным) и вершинами, которые соединяет это ребро (неориентированное ребро соединяет вершины $x_i$ и $y_i$, а ориентированное ребро идет из вершины $x_i$ в вершину $y_i$). Гарантируется, что граф не содержит петель (ребер, идущих из вершину в саму себя) и кратных ребер (то есть для каждой пары ($x_i, y_i$) не существует других пар ($x_i, y_i$) или ($y_i, x_i$)).

Гарантируется, что сумма $n$ и сумма $m$ не превосходят $2 \cdot 10^5$ ($\sum n \le 2 \cdot 10^5$; $\sum m \le 2 \cdot 10^5$).

Выходные данные

Выведите ответ на каждый набор тестовых данных — «NO», если невозможно ориентировать неориентированные ребра таким образом, чтобы получившийся граф был ориентированным и ацикличным, иначе выведите «YES» в первой строке, а затем $m$ строк, описывающие ребра получившегося ориентированного ацикличного графа (в любом порядке). Заметьте, что вы не можете менять направление уже ориентированных ребер. Если существует несколько ответов, выведите любой.

Примечание

Объяснение второго набора тестовых данных примера:

$\text{[math]}$

Объяснение третьего набора тестовых данных примера:

$\text{[math]}$

G. Перевороты столбцов

2-sat графы поиск в глубину и подобное реализация снм *2300

Вам дана таблица $a$ размера $2 \times n$ (из двух строк и $n$ столбцов), состоящая из целых чисел от $1$ до $n$.

За один ход вы можете выбрать какой-то столбец $j$ ($1 \le j \le n$) и обменять местами значения $a_{1, j}$ и $a_{2, j}$. Каждый столбец может быть выбран не более одного раза.

Ваша задача — найти минимальное количество ходов, необходимое для того, чтобы получить перестановки размера $n$ в первой и во второй строках, или же определить, что это сделать невозможно.

Вам необходимо ответить на $t$ независимых наборов тестовых данных.

Напомним, что перестановкой размера $n$ называется такой массив размера $n$, который содержит каждое целое число от $1$ до $n$ ровно один раз (порядок элементов не важен).

Входные данные

Первая строка набора тестовых данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество столбцов в таблице. Вторая строка набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_{1, 1}, a_{1, 2}, \dots, a_{1, n}$ ($1 \le a_{1, i} \le n$), где $a_{1, i}$ — это $i$-й элемент первой строки таблицы. Третья строка набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_{2, 1}, a_{2, 2}, \dots, a_{2, n}$ ($1 \le a_{2, i} \le n$), где $a_{2, i}$ — это $i$-й элемент второй строки таблицы.

Гарантируется, что сумма $n$ не превосходит $2 \cdot 10^5$ ($\sum n \le 2 \cdot 10^5$).

Выходные данные

Выведите ответ на каждый набор тестовых данных: -1, если невозможно получить перестановки размера $n$ в первой и второй строках таблицы, или же одно целое число $k$ в первой строке, где $k$ равно минимальному количеству ходов, необходимому для получения перестановок в обеих строках, а затем $k$ различных целых чисел $pos_1, pos_2, \dots, pos_k$ во второй строке ($1 \le pos_i \le n$) в любом порядке — индексы столбцов, в которых вам необходимо обменять значения местами для получения перестановок в обеих строках. Если существует несколько ответов, выведите любой.

D. Капитан Флинт и сокровище

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное реализация Структуры данных *2000

В погоне за очередным сокровищем капитан Флинт наткнулся на некоторую задачу, которая может быть связана с поиском сокровища, а может и не быть. Поэтому капитан Флинт поручил ее решение своим матросам и назначил огромное вознаграждение: целый один выходной день. Задача же звучит так...

Заданы массивы $a$ и $b$ длины $n$. Изначально, $ans$ равен $0$ и определена следующая операция:

Выбрать позицию $i$ ($1 \le i \le n$);
Добавить к $ans$ значение $a_i$;
Если $b_i \neq -1$, то добавить к $a_{b_i}$ значение $a_i$;

Какой максимальный $ans$ можно получить, применив эту операцию к каждой позиции $i$ ($1 \le i \le n$) ровно один раз?

Дядя Богдан очень хочет получить вознаграждение и просит Вас помочь ему с решением задачи, а также предоставить порядок позиций, в котором нужно применять операцию выше.

Входные данные

В первой строке каждого набора задано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — длина массивов $a$ и $b$.

Во второй строке каждого набора задано $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($−10^6 \le a_i \le 10^6$).

В третьей строке каждого набора задано $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($1 \le b_i \le n$ или $b_i = -1$).

Дополнительное ограничение: гарантируется, что для $i$ ($1 \le i \le n$) последовательность $b_i, b_{b_i}, b_{b_{b_i}}, \ldots$ не зациклится, то есть будет всегда оканчиваться на $-1$.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число, максимальный $ans$, который можно получить.

Во второй строке опишите последовательность выполнения операций, чтобы получить этот максимальный ответ: $n$ различных целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$), где $p_i$ обозначает позицию, операция над которой выполняется $i$-й по порядку. Если существует несколько таких последовательностей, выведите любою из них.

G. Выбираем направления

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *2800

Дан неориентированный связный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. $k$ вершин этого графа — особенные.

Вы должны ориентировать каждое ребро графа (или оставить некоторые ребра неориентированными за дополнительную плату). Вы можете оставить $i$-е ребро неориентированным, заплатив $w_i$ монет, или бесплатно ориентировать его.

Назовем вершину насыщенной, если она достижима из всех особенных вершин по ребрам графа (если ребро осталось неориентированным, по нему можно ходить в любом направлении). После того, как вы выберете направления для ребер графа (возможно, оставив некоторые неориентированными), вы получите $c_i$ монет за каждую насыщенную вершину $i$. То есть вашу итоговую прибыль можно посчитать по формуле $\sum \limits_{i \in S} c_i - \sum \limits_{j \in U} w_j$, где $S$ — множество насыщенных вершин, а $U$ — множество ребер, оставшихся неориентированными.

Для каждой вершины $i$ посчитайте максимальную прибыль, которую вы можете получить, если вы обязательно должны сделать вершину $i$ насыщенной.

Входные данные

В первой строке заданы три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($2 \le n \le 3 \cdot 10^5$, $n - 1 \le m \le \min(3 \cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2})$, $1 \le k \le n$).

Во второй строке заданы $k$ попарно различных целых чисел $v_1$, $v_2$, ..., $v_k$ ($1 \le v_i \le n$) — индексы специальных вершин.

В третьей строке заданы $n$ целых чисел $c_1$, $c_2$, ..., $c_n$ ($0 \le c_i \le 10^9$).

В четвертой строке заданы $m$ целых чисел $w_1$, $w_2$, ..., $w_m$ ($0 \le w_i \le 10^9$).

Затем следуют $m$ строк, в $i$-й из которых заданы два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$, $x_i \ne y_i$) — концы $i$-го ребра.

Между каждой парой вершин существует не более одного ребра.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел, $i$-е из которых должно быть равно максимальной прибыли, которую вы можете получить, если необходимо сделать вершину $i$ насыщенной.

Примечание

Рассмотрим первый пример:

лучший способ насытить вершину $1$ — направить ребра следующим образом: $2 \to 1$, $3 \to 2$; $1$ — единственная насыщенная вершина, поэтому ответ равен $11$;
лучший способ насытить вершину $2$ — оставить ребро $1-2$ неориентированным, а другое ребро направить так: $3 \to 2$; $1$ и $2$ — насыщенные вершины, стоимость ребра $1-2$ равна $10$, поэтому ответ равен $2$;
лучший способ насытить вершину $3$ — направить ребра следующим образом: $2 \to 3$, $1 \to 2$; $3$ — единственная насыщенная вершина, поэтому ответ равен $5$.

Лучший план действий во втором примере — направить все ребра по циклу: $1 \to 2$, $2 \to 3$, $3 \to 4$ и $4 \to 1$. Таким образом, все вершины будут насыщенными.

C. Циклические перестановки

графы дп Комбинаторика математика *1500

Перестановка длины $n$ — это массив, состоящий из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$ в произвольном порядке. Например, $[2,3,1,5,4]$ — это перестановка, но $[1,2,2]$ — это не перестановка ($2$ встречается дважды в массиве), а $[1,3,4]$ также не является перестановкой ($n=3$, но в массиве встречается $4$).

Рассмотрим перестановку $p$ длины $n$. Построим граф на $n$ вершинах, используя перестановку следующим образом:

Для каждого $1 \leq i \leq n$ найдите наибольшее значение $j$, для которого $1 \leq j < i$ и $p_j > p_i$, и добавьте неориентированное ребро между вершинами $i$ и $j$.
Для каждого $1 \leq i \leq n$ найдите наименьшее значение $j$, для которого $i < j \leq n$ и $p_j > p_i$, и добавьте неориентированное ребро между вершинами $i$ и $j$

В тех случаях, когда таких $j$ не существует, мы не добавляем ребер. Также обратите внимание, что мы проводим ребра между соответствующими индексами, а не значениями в этих индексах.

Например, рассмотрим случай $n = 4$ и $p = [3,1,4,2]$; здесь ребрами графа являются $(1,3),(2,1),(2,3),(4,3)$.

Перестановка $p$ является циклической, если граф, построенный с использованием $p$, имеет хотя бы один простой цикл.

Для данного $n$, найдите число циклических перестановок длины $n$. Поскольку число может быть очень большим, выведите его по модулю $10^9+7$.

Пожалуйста, обратитесь к разделу Примечания для формального определения простого цикла.

Входные данные

Первая и единственная строка содержит одно целое число $n$ ($3 \le n \le 10^6$).

Выходные данные

Выведите единственное целое число $0 \leq x < 10^9+7$, количество циклических перестановок длины $n$ по модулю $10^9+7$.

Примечание

Для $n = 4$ существует $16$ циклических перестановок. $[4,2,1,3]$ — одна из таких перестановок, она содержит цикл длины четыре: $4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 4$.

Вершины $v_1$, $v_2$, $\ldots$, $v_k$ образуют простой цикл, если выполняются следующие условия:

$k \geq 3$.
$v_i \neq v_j$ для любой пары индексов $i$ и $j$. ($1 \leq i < j \leq k$)
Между $v_i$ и $v_{i+1}$ есть ребро для всех $i$ ($1 \leq i < k$), как и между $v_1$ и $v_k$

E. Пары пар

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *2600

У вас есть простой связный неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер.

Рассмотрим все способы разбить на пары некоторое подмножество из этих $n$ вершин, чтобы ни одна вершина не присутствовала более чем в одной паре.

Такое паросочетание считается хорошим, если для каждой пары выбранных пар индуцированный подграф, содержащий все $4$ вершины, по два из каждой пары, имеет не более $2$ ребер (из $6$ возможных ребер). Более формально, для любых двух выбранных пар $(a,b)$ и $(c,d)$ индуцированный подграф с вершинами $\{a,b,c,d\}$ должен иметь не более $2$ ребер.

Обратите внимание, что подграф, индуцированный набором вершин, содержит вершины только из этого набора и ребра, оба конца которых находятся в этом наборе.

Теперь сделайте одно из двух

Найдите простой путь, состоящий как минимум из $\lceil \frac{n}{2} \rceil$ вершин. Здесь путь называется простым, если он не посещает какую-либо вершину несколько раз.
Найдите хорошее паросочетание, в котором по крайней мере у $\lceil \frac{n}{2} \rceil$ вершин есть пара.

Можно показать, что в каждом графе, удовлетворяющим ограничениям из условия, можно найти или первое, или второе (или оба).

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. В первой строке записано количество наборов входных данных $t$ ($1 \le t \le 10^5$). Описание наборов входных данных приведено ниже.

Первая строка каждого набора входных данных содержит $2$ целых числа $n, m$ ($2 \le n \le 5\cdot 10^5$, $1 \le m \le 10^6$), обозначающих количество вершин и ребер графа соответственно.

Каждая из следующих $m$ строк содержит $2$ целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \neq v$), что обозначает наличие неориентированного ребра между вершинами $u$ и $v$ в данном графе.

Гарантируется, что данный граф является связным и простым — он не содержит кратных ребер и петель.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $5\cdot 10^5$.

Гарантируется, что сумма $m$ по всем наборам входных данных не превышает $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных придерживайтесь следующего формата вывода:

Если вы нашли хорошее паросочетание, в первой строке выведите «PAIRING» (без кавычек).

Затем выведите $k$ ($\lceil \frac{n}{2} \rceil \le 2\cdot k \le n$), количество пар в вашем паросочетании.
Затем в каждой из следующих $k$ строк выведите по $2$ целых числа $a$ и $b$ —, обозначающих, что $a$ и $b$ находятся в одной паре. Заметьте, что в графе не обязано быть ребро между вершинами $a$ и $b$!
Это паросочетание должно быть хорошим, и каждая вершина должен входить не более в $1$ пару.

В противном случае в первой строке выведите «PATH» (без кавычек).

Затем выведите $k$ ($\lceil \frac{n}{2} \rceil \le k \le n$), количество узлов на вашем пути.
Затем во второй строке выведите $k$ целых чисел, $v_1, v_2, \ldots, v_k$, в том порядке, в котором они встречаются на пути. Формально, $v_i$ и $v_{i+1}$ должны иметь ребро между ними для каждого $i$ ($1 \le i < k$).
Этот путь должен быть простым, то есть ни одна вершина не должна встречаться на нем более одного раза.

Примечание

Путь, полученный в первом наборе входных данных, следующий.

$\text{[math]}$

Вот хорошее паросочетание для первого набора входных данных.

$\text{[math]}$

Вот нехорошее паросочетание для первого набора входных данных — подграф $\{1,3,4,5\}$ имеет $3$ ребра.

$\text{[math]}$

Вот паросочетание, полученное во втором наборе входных данных.

$\text{[math]}$

Оно хорошее потому, что —

Подграф $\{1,8,2,5\}$ содержит ребра ($1$,$2$) и ($1$,$5$).
Подграф $\{1,8,4,10\}$ содержит ребра ($1$,$4$) и ($4$,$10$).
Подграф $\{4,10,2,5\}$ содержит ребра ($2$,$4$) и ($4$,$10$).

Вот еще одно хорошее паросочетание для второго набора входных данных.

$\text{[math]}$

I. Кевин и сетка

бпф графы математика *3300

Когда Кевин был в доме БигМена, внезапно ловушка послала его в сетку из $n$ строк и $m$ столбцов.

Ловушка Бигмена задается двумя массивами: массивом $a_1,a_2,\ldots,a_n$ и массивом $b_1,b_2,\ldots,b_m$.

В $i$-м ряду находится нагреватель, который нагревает строку на $a_i$ градусов, а в $j$-м столбце — нагреватель, который нагревает столбец на $b_j$ градусов, так что температура ячейки $(i,j)$ равна $a_i+b_j$.

К счастью, у Кевина есть костюм с одним параметром $x$ и двумя режимами:

теплостойкость. В этом режиме костюм может выдержать все температуры больше или равные $x$, но замерзает, как только достигает ячейки с температурой ниже $x$.
холодостойкость. В этом режиме костюм может выдержать все температуры ниже $x$, но замерзает, как только достигает ячейки с температурой не ниже $x$.

Как только Кевин приземляется на ячейку, костюм автоматически переходит в режим холодостойкости, если ячейка имеет температуру ниже $x$, или в режим теплостойкости в противном случае, и не может измениться после этого.

Мы говорим, что две ячейки соседние, если они имеют общую сторону.

Назовем путем последовательность $c_1,c_2,\ldots,c_k$ ячеек такую, что $c_i$ и $c_{i+1}$ соседние для всех $1 \leq i \leq k-1$.

Скажем, что две ячейки соединены, если между ними есть путь, состоящий только из ячеек, на которые Кевин может наступать.

Связанная компонента — это максимальный набор попарно связанных ячеек.

Назовем связанную компоненту хорошей, если Кевин может выбраться из сетки, начав в ней, то есть если она содержит хотя бы одну ячейку с границы сетки, и плохой в противном случае.

Чтобы оценить ситуацию, Кевин дает оценку $1$ каждой хорошей компоненте и $2$ каждой плохой компоненте.

Итоговой оценкой будет разница между общей оценкой компонент с температурами больше или равными $x$ и общей оценкой компонентов с температурами меньше $x$.

Кевин может использовать $q$ возможных значений $x$, и для каждого из них Кевин хочет знать итоговую оценку.

Помогите Кевину победить Бигмена!

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$,$m$,$q$ ($1 \leq n,m,q \leq 10^5$) — количество строк, столбцов и количество возможных значений для $x$ соответственно.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq 10^5$).

Третья строка содержит $m$ целых чисел $b_1, b_2, \dots, b_m$ ($1 \leq b_i \leq 10^5$).

Каждая из следующих $q$ строк содержит одно целое число $x$ ($1 \leq x \leq 2 \cdot 10^5$).

Выходные данные

Выведите $q$ строк, в $i$-й строке выведите ответ на $i$-е возможное значение $x$ из входных данных.

Примечание

В первом примере, оценка для компонентов с температурой менее $5$ составляет $1+2$, а оценка для компонентов с температурой хотя бы $5$ составляет $2$. Таким образом, итоговая оценка составляет $2-3=-1$.

B. Boboniu ходит по графу

графы Перебор поиск в глубину и подобное хэши *2300

У Boboniu есть ориентированный граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами.

Исходящая степень каждой вершины не превосходит $k$.

У каждого ребра есть целочисленный вес от $1$ до $m$. Никакие два ребра не имеют одинаковый вес.

Boboniu любит ходить по графу придерживаясь определенных правил, которые задаются последовательностью $(c_1,c_2,\ldots,c_k)$. Если в текущий момент он стоит в вершине $u$ с исходящей степени $i$, тогда после этого он перейдет в вершину по ребру с $c_i$-м $(1\le c_i\le i)$ номером в отсортированном по весу порядке среди всех ребер исходящих из $u$.

Boboniu попросил вас посчитать число таких последовательностей $(c_1,c_2,\ldots,c_k)$, что:

$1\le c_i\le i$ для всех $i$ ($1\le i\le k$).
Начав с любой вершины $u$, возможно вернуться обратно в $u$ за конечное время передвигаясь по графу по описанным правилам.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($2\le n\le 2\cdot 10^5$, $2\le m\le \min(2\cdot 10^5,n(n-1) )$, $1\le k\le 9$).

Каждая из следующих $m$ строк содержит три целых числа $u$, $v$ и $w$ $(1\le u,v\le n,u\ne v,1\le w\le m)$, описывающих ребро из $u$ в $v$ с весом $w$. Гарантируется, что в графе нет петель и кратных ребер, и из каждой вершины исходит хотя бы одно ребро.

Гарантируется, что исходящая степень каждой вершины не превышает $k$ и никакие два ребра не имеют одинаковый вес.

Выходные данные

Выведите одно целое число: количество последовательностей.

Примечание

В первом примере есть две последовательности: $(1,1,3)$ и $(1,2,3)$. Синие ребра обозначают $c_i$-е по весу ребра, по которым решил ходить Boboniu.

$\text{[math]}$

Для третьего примера есть только одна последовательность: $(1,2,2,2)$.

$\text{[math]}$

Исходящая степень вершины $u$ это количество ребер исходящих из $u$.

F. Очередное подмножество отрезков

графы дп сортировки Структуры данных *2300

Вам даны $n$ отрезков на координатной оси $OX$. $i$-й отрезок имеет границы $[l_i; r_i]$. Все точки $x$, для которых выполняется условие $l_i \le x \le r_i$, принадлежат $i$-му отрезку.

Ваша задача — выбрать такое максимальное по размеру (количеству отрезков) подмножество заданного множества отрезков, что каждая пара отрезков в этом подмножестве либо не пересекается либо же один из них лежит внутри другого.

Два отрезка $[l_i; r_i]$ и $[l_j; r_j]$ не пересекаются, если у них нет общих точек. Например, отрезки $[1; 2]$ и $[3; 4]$, $[1; 3]$ и $[5; 5]$ не пересекаются, а отрезки $[1; 2]$ и $[2; 3]$, $[1; 2]$ и $[2; 2]$ пересекаются.

Отрезок $[l_i; r_i]$ лежит внутри отрезка $[l_j; r_j]$, если $l_j \le l_i$ и $r_i \le r_j$. Например, отрезки $[2; 2]$, $[2, 3]$, $[3; 4]$ и $[2; 4]$ лежат внутри отрезка $[2; 4]$, а $[2; 5]$ и $[1; 4]$ — нет.

Вам необходимо ответить на $t$ независимых наборов тестовых данных.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов тестовых данных. Затем следуют $t$ наборов тестовых данных.

Первая строка набора тестовых данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 3000$) — количество отрезков. Следующие $n$ строк описывают отрезки. $i$-й отрезок задан двумя целыми числами $l_i$ и $r_i$ ($1 \le l_i \le r_i \le 2 \cdot 10^5$), где $l_i$ — левая граница $i$-го отрезка, а $r_i$ — правая граница $i$-го отрезка.

Дополнительное ограничение на входные данные: в заданном списке отрезков нет дубликатов.

Гарантируется, что сумма $n$ не превосходит $3000$ ($\sum n \le 3000$).

Выходные данные

Для каждого набора тестовых данных выведите ответ: максимально возможный размер такого подмножества заданного множества отрезков, что каждая пара отрезков в этом подмножестве либо не пересекается, либо же один из них лежит внутри другого.

D. Два пути

графы Деревья дп кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1900

Как вы знаете, Васин брат живет во Флатландии. Во Флатландии n городов, соединенных n - 1 двусторонней дорогой. Города пронумерованы от 1 до n. Из любого города можно добраться до любого другого двигаясь по дорогам.

Компания «Два пути», в которой работает Васин брат, выиграла тендер на ремонт двух путей во Флатландии. Путем называется последовательность различных городов, последовательно соединенных дорогами. Пути, которые надо отремонтировать, компания может выбрать самостоятельно. Единственное условие, накладываемое тендером — они не должны пересекаться (то есть иметь общих городов).

Известно, что прибыль, которую получит компания «Два пути», равна произведению длин выбранных двух путей. Считая длину каждой дороги равной 1, а длину пути равной количеству дорог в ней, найдите максимальную возможную прибыль компании.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (2 ≤ n ≤ 200), где n — количество городов в стране. Далее в n - 1 строке записаны сами дороги. Каждая строка содержит пару номеров соединяемых городов a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n).

Выходные данные

Выведите максимальную возможную прибыль.

C. Star Trek

*особая задача графы Деревья дп игры Комбинаторика матрицы поиск в глубину и подобное *2600

The United Federation of Planets is an alliance of $N$ planets, they are indexed from $1$ to $N$. Some planets are connected by space tunnels. In a space tunnel, a starship can fly both ways really fast. There are exactly $N-1$ space tunnels, and we can travel from any planet to any other planet in the Federation using these tunnels.

It's well known that there are $D$ additional parallel universes. These are exact copies of our universe, they have the same planets and space tunnels. They are indexed from $1$ to $D$ (our universe has index $0$). We denote the planet $x$ in universe $i$ by $P_x^i$. We can travel from one universe to another using dimension portals. For every $i$ ($0\leq i \leq D-1$), we will place exactly one portal that allows us to fly from $P_{A_i}^i$ to $P_{B_i}^{i+1}$, for some planet indices $A_i$ and $B_i$ (i.e. $1 \leq A_i, B_i \leq N$).

Once all the portals are placed, Starship Batthyány will embark on its maiden voyage. It is currently orbiting around $P_1^0$. Captain Ágnes and Lieutenant Gábor have decided to play the following game: they choose alternately a destination (a planet) to fly to. This planet can be in the same universe, if a space tunnel goes there, or it can be in another universe, if a portal goes there. Their aim is to visit places where no one has gone before. That's why, once they have visited a planet $P_x^i$, they never go back there (but they can visit the planet $x$ in another universe). Captain Ágnes chooses the first destination (then Gábor, then Ágnes etc.). If somebody can't choose a planet where they have not been before in his/her turn, he/she loses.

Captain Ágnes and Lieutenant Gábor are both very clever: they know the locations of all tunnels and portals, and they both play optimally. For how many different placements of portals does Captain Ágnes win the game? Two placements are different if there is an index $i$ ($0\leq i \leq D-1$), where the $i$th portal connects different pairs of planets in the two placements (i.e $A_i$ or $B_i$ differs).

This number can be very big, so we are interested in it modulo $10^9+7$.

Input

The first line contains two space-separated integers, $N$ ($1\leq N \leq 10^{5}$) – the number of planets and $D$ ($1 \leq D \leq 10^{18}$) – the number of additional parallel universes. Each of the next $N-1$ lines contains two space-separated integers $u$ and $v$ ($1 \leq u, v \leq N$), denoting that $P_u^i$ and $P_v^i$ are connected by a space tunnel for all $i$ ($0 \leq i \leq D$).

Output

You should print a single integer, the number of possible placements of portals where Captain Ágnes wins modulo $10^9+7$.

Scoring

$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Subtask} & \text{Points} & \text{Constraints} \\ \hline 1 & 0 & \text{samples}\\ \hline 2 & 7 & N=2 \\ \hline 3 & 8 & N \leq 100 \: \text{and} \: D = 1 \\ \hline 4 & 15 & N \leq 1000 \: \text{and} \: D = 1\\ \hline 5 & 15 & D=1 \\ \hline 6 & 20 & N \leq 1000 \: \text{and} \: D \leq 10^5\\ \hline 7 & 20 & D \leq 10^5\\ \hline 8 & 15 & \text{no additional constraints}\\ \hline \end{array} $

Note

There is only 1 portal and $3 \cdot 3 = 9$ different placements. The following 4 placements are when the Captain wins.

$\text{[math]}$

A. The Potion of Great Power

*особая задача 2-sat Бинарный поиск графы интерактив сортировки Структуры данных *2400

Once upon a time, in the Land of the Shamans, everyone lived on the Sky-High Beanstalk. Each shaman had a unique identifying number $i$ between $0$ and $N-1$, and an altitude value $H_i$, representing how high he lived above ground level. The distance between two altitudes is the absolute value of their difference.

All shamans lived together in peace, until one of them stole the formula of the world-famous Potion of Great Power. To cover his/her tracks, the Thief has put a Curse on the land: most inhabitants could no longer trust each other...

Despite the very difficult circumstances, the Order of Good Investigators have gained the following information about the Curse:

When the Curse first takes effect, everyone stops trusting each other.
The Curse is unstable: at the end of each day (exactly at midnight), one pair of shamans will start or stop trusting each other.
Unfortunately, each shaman will only ever trust at most $D$ others at any given time.

They have also reconstructed a log of who trusted whom: for each night they know which pair of shamans started/stopped trusting each other.

They believe the Thief has whispered the formula to an Evil Shaman. To avoid detection, both of them visited the home of one of their (respective) trusted friends. During the visit, the Thief whispered the formula to the Evil Shaman through the window. (Note: this trusted friend did not have to be home at the time. In fact, it's even possible that they visited each other's houses – shamans are weird.)

Fortunately, whispers only travel short distances, so the Order knows the two trusted friends visited (by the Thief and the Evil Shaman) must live very close to each other.

They ask you to help with their investigation. They would like to test their suspicions: what if the Thief was $x$, the Evil Shaman was $y$, and the formula was whispered on day $v$? What is the smallest distance the whispered formula had to travel? That is, what is the minimum distance between the apartments of some shamans $x'$ and $y'$ (i.e. $\min\left(\left|H_{x'} - H_{y'}\right|\right)$), such that $x'$ was a trusted friend of $x$ and $y'$ was a trusted friend of $y$ on day $v$?

They will share all their information with you, then ask you a number of questions. You need to answer each question immediately, before receiving the next one.

Interaction

The interaction will begin with a line containing $N$, $D$, $U$ and $Q$ $(2 \leq N \leq 100000$, $1 \leq D \leq 500$, $0 \leq U \leq 200000$, $1 \leq Q \leq 50000)$ – the number of shamans, the maximum number of trusted friends a shaman can have at any given point, the number of days, and the number of questions.

On the next line $N$ space separated integers will follow, the $i$th $(1\leq i \leq N)$ of which being $H_{i-1}$ $(0\leq H_{i-1} \leq 10^9)$, the altitude of shaman $i-1$.

On the next $U$ lines there will be two integers each, on the $i$th ($1 \leq i \leq U$) $A_i$ and $B_i$ $(0 \leq A_i, B_i < N$ and $A_i \neq B_i)$, which represents a pair of shamans who started or stopped trusting each other at the end of day $i-1$. That is, if $A_i$ and $B_i$ trusted each other on day $i-1$, they did not trust each other on day $i$, or vice versa. Read all of these integers.

The interactor now will ask you $Q$ question, so the following interaction should happen $Q$ times:

Read $3$ integers describing the current query: $x,y$ and $v$ ($x \neq y$, $0 \leq x,y < N$ and $0 \leq v \leq U$), where $x$ is the suspected Thief, $y$ is the suspected Evil Shaman, and $v$ is the suspected day..
Then print the answer to this query on a single line, i.e. you should print the minimum distance the whispered formula had to travel from some trusted friend $x'$ of $x$ to a trusted friend $y'$ of $y$.
- In case someone trusted both $x$ and $y$ (i.e. $x'=y'$), you should print $0$.
- If $x$ or $y$ had no trusted friends, print $10^9$.

After printing each line do not forget to output end of line and flush the output. Otherwise, you will get Idleness limit exceeded. To do this, use:

fflush(stdout) or cout.flush() in C++;
System.out.flush() in Java;
flush(output) in Pascal;
stdout.flush() in Python;
see documentation for other languages.

Scoring

$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Subtask} & \text{Points} & \text{Constraints} \\ \hline 1 & 0 & \text{samples}\\ \hline 2 & 17 & Q,U \leq 1000 \\ \hline 3 & 14 & v=U \: \text{for all questions} \\ \hline 4 & 18 & H_i \in \left\{0,1\right\} \: \text{for all shamans} \: i \\ \hline 5 & 21 & U,N \leq 10000\\ \hline 6 & 30 & \text{no additional constraints}\\ \hline \end{array} $

Note

Example queries: $\text{[math]}$

Evolution of friendships: $\text{[math]}$

B. Spring cleaning

*особая задача графы Деревья поиск в глубину и подобное Структуры данных *2300

Spring cleanings are probably the most boring parts of our lives, except this year, when Flóra and her mother found a dusty old tree graph under the carpet.

This tree has $N$ nodes (numbered from $1$ to $N$), connected by $N-1$ edges. The edges gathered too much dust, so Flóra's mom decided to clean them.

Cleaning the edges of an arbitrary tree is done by repeating the following process: She chooses 2 different leaves (a node is a leaf if it is connected to exactly one other node by an edge), and cleans every edge lying on the shortest path between them. If this path has $d$ edges, then the cost of cleaning this path is $d$.

She doesn't want to harm the leaves of the tree, so she chooses every one of them at most once. A tree is cleaned when all of its edges are cleaned. The cost of this is the sum of costs for all cleaned paths.

Flóra thinks the tree they found is too small and simple, so she imagines $Q$ variations of it. In the $i$-th variation, she adds a total of $D_i$ extra leaves to the original tree: for each new leaf, she chooses a node from the original tree, and connects that node with the new leaf by an edge. Note that some nodes may stop being leaves during this step.

For all these $Q$ variations, we are interested in the minimum cost that is required to clean the tree.

Input

The first line contains two space-separated integer, $N$ and $Q$ ($3 \leq N \leq 10^{5}$, $1 \leq Q \leq 10^{5}$) – the number of nodes the tree has and the number of variations.

Each of the next $N-1$ lines contains two space-separated integers $u$ and $v$ denoting that nodes $u$ and $v$ are connected by an edge ($1 \leq u, v \leq N$).

The next $Q$ lines describe the variations. The first integer in the $i$th line is $D_i$ ($1 \leq D_i \leq 10^{5}$). Then $D_i$ space-separated integers follow: if the $j$th number is $a_j$, it means that Flóra adds a new leaf to node $a_j$ ($1 \leq a_j \leq N$). We may add more than one leaf to the same node. $\sum_{1}^{Q} D_i \leq 10^{5}$ i.e. the sum of $D_i$ in all varations is at most $10^5$.

After each variation, Flóra restarts and adds extra leaves to the original tree.

Output

You should print $Q$ lines. In the $i$-th line, print a single integer: the minimum cost required to clean the $i$-th variation of the tree. If the tree cannot be cleaned, print $-1$.

Scoring

$ \begin{array}{|c|c|l|} \hline \text{Subtask} & \text{Points} & \text{Constraints} \\ \hline 1 & 0 & \text{samples}\\ \hline 2 & 9 & Q = 1, \text{there is an edge between node} \: 1 \: \text{and} \: i \: \text{for every} \: i \: (2 \leq i \leq N), \\ & & \text{Flóra can't add extra leaf to node} \: 1 \\ \hline 3 & 9 & Q = 1, \text{there is an edge between node} \: i \: \text{and} \: i+1 \: \text{for all} \: (1 \leq i < N), \\ & & \text{Flóra can't add extra leaf to node} \: 1 \: \text{nor node} \: N \\ \hline 4 & 16 & N \leq 20000, Q \leq 300\\ \hline 5 & 19 & \text{the original tree is a perfect binary tree rooted at node $1$} \\ & & \text{(i.e. each internal node has exactly $2$ children, and every leaf} \\ & & \text{has the same distance from the root)}\\ \hline 6 & 17 & D_i = 1 \: \text{for all} \: i\\ \hline 7 & 30 & \text{no additional constraints}\\ \hline \end{array} $

Note

The following picture shows the second variation. A possible solution is to clean the path between leaves $1 - 6$, $A - 7$ and $ B - 3$.

$\text{[math]}$

You can download the above example and an additional (bigger) sample input here: https://gofile.io/d/8QlbsS

E. Кирпичи

графы Паросочетания Потоки *2800

Кирпич — прямоугольник с целыми сторонами шириной $1$ или высотой $1$ (или и то и другое).

Дана сетка $n\times m$, и каждая ячейка окрашена в черный или белый цвет. Замощение — это способ поместить кирпичи на сетку так, чтобы каждая черная ячейка была покрыта ровно одним кирпичом, а каждая белая ячейка не была покрыта кирпичом. Другими словами, кирпичи размещаются только в черных ячейках, покрывают все черные ячейки, и никакие два кирпича не перекрываются.

$\text{[math]}$ Пример замощения с первого примера с использованием $5$ кирпичей. Существует также замощение из $4$ кирпичей.

Какое минимальное количество кирпичей необходимо для замощения данной сетки?

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$, $m$ ($1\le n, m\le 200$) — количество строк и столбцов соответственно.

Следующие $n$ строки описывают сетку. $i$-я строка содержит строку длиной $m$, где $j$-я строка обозначает цвет ячейки в строке $i$, столбец $j$. Черная ячейка обозначается символом «#», а белая — символом «.».

Гарантируется, что есть хотя бы одна черная ячейка.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное количество требуемых кирпичей.

Примечание

Сетка с первого примера может быть замощена $4$-мя кирпичами, размещенными вертикально.

Сетка с третьего примера может быть замощена такими $18$ кирпичами:

$\text{[math]}$

C. Link Cut центроиды

графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное *1700

Fishing Prince любит деревья и особенно он любит деревья с ровно одним центроидом. Деревом называется связный граф без циклов.

Вершина называется центроидом дерева тогда и только тогда, когда при удалении этой вершины (удалении вершины и всех выходящих из нее ребер) размер наибольшей компоненты связности оставшегося графа будет наименьший возможный.

Например, вершина $2$ является центроидом дерева на следующей картинке, потому что после того, как вы удалите ее, размер наибольшей компоненты связности оставшегося графа будет равен $2$. Невозможно удалить другую вершину, чтобы этот размер был меньше.

$\text{[math]}$

Однако, в некоторых деревьях может быть больше одного центроида, например:

$\text{[math]}$

Обе вершины $1$ и $2$ являются центроидами, потому что размер наибольшей компоненты связности будет равен $3$ после удаления любой из них.

Сейчас у Fishing Prince есть дерево. Он должен удалить одно ребро дерева. После этого он должен добавить одно ребро. Получившийся после этих двух операций граф снова должен стать деревом. Можно добавить только что удаленное ребро.

Он хочет, чтобы у получившегося дерева был единственный центроид. Помогите ему и найдите любую возможную пару операций, которые можно сделать. Можно доказать, что хотя бы один способ сделать такую пару операций существует.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится единственное целое число $t$ ($1\leq t\leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Описание наборов входных данных следует.

В первой строке описания каждого набора входных данных находится целое число $n$ ($3\leq n\leq 10^5$) — количество вершин.

Каждая из следующей $n-1$ строки содержит два целых числа $x, y$ ($1\leq x,y\leq n$). Они означают, что существует ребро, соединяющее вершины $x$ и $y$.

Гарантируется, что данный граф является деревом.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите две строки.

В первой строке выведите два целых числа $x_1, y_1$ ($1 \leq x_1, y_1 \leq n$), которые означают, что вы удаляете ребро между вершинами $x_1$ и $y_1$. Должно существовать ребро, соединяющее вершины $x_1$ и $y_1$.

Во второй строке выведите два целых числа $x_2, y_2$ ($1 \leq x_2, y_2 \leq n$), которые означают, что вы добавляете ребро между вершинами $x_2$ и $y_2$.

Граф, получающийся после применения этих двух операций, должен снова являться деревом.

Если существует несколько возможных решений, выведите любое.

Примечание

Обратите внимание, что вы можете добавлять то же самое ребро, которое вы удалили.

В первом наборе входных данных после удаления и добавления одного и того же ребра вершина $2$ по-прежнему останется единственным центроидом.

Во втором наборе входных данных вершина $2$ станет единственным центроидом после удаления ребра между вершинами $1$ и $3$ и добавления ребра между вершинами $2$ и $3$.

D. Дискретные Центробежные Прыжки

графы дп Структуры данных *2200

В Нью-Йорке есть $n$ красивых небоскребов, высота $i$-го равна $h_i$. Cегодня какие-то негодяи подожгли первые $n - 1$, и теперь единственное безопасное здание — небоскреб с индексом $n$.

Назовем прыжок с небоскреба $i$ на небоскреб $j$ ($i < j$) дискретным, если все небоскребы между ними либо строго меньше по высоте, либо строго больше по высоте. Формально: прыжок дискретный, если $i < j$ и выполнено одно из условий:

$i + 1 = j$,
$\max(h_{i + 1}, \ldots, h_{j - 1}) < \min(h_i, h_j)$,
$\max(h_i, h_j) < \min(h_{i + 1}, \ldots, h_{j - 1})$.

Вася сейчас стоит на первом небоскребе и хочет еще немножко пожить, поэтому хочет добраться до небоскреба с индексом $n$ за наименьшее число дискретных прыжков. Помогите ему посчитать это число.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 3 \cdot 10^5$) — число небоскребов.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $h_1, h_2, \ldots, h_n$ ($1 \le h_i \le 10^9$) — высоты небоскребов.

Выходные данные

Выведите одно число $k$ — минимальное число дискретных прыжков. Можно показать, что ответ всегда существует.

Примечание

В первом тесте Вася может посещать небоскребы в такой последовательности: $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5$.

Во втором и третьем тестах мы можем достичь последнего небоскреба за один прыжок.

Последовательность прыжков в четвертом тесте: $1 \rightarrow 3 \rightarrow 5$.

E. Егор в республике Дагестан

графы дп жадные алгоритмы Конструктив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2500

Егор — известный российский певец, рэпер, актёр и блогер, и наконец-то он решил дать концерт в солнечной республике Дагестан.

В республике есть $n$ городов, некоторые пары которых соединены $m$ односторонними дорогами без дополнительных условий. Иными словами, дорожная сеть Дагестана представляет собой произвольный ориентированный граф. Егор собирается прилететь в город $1$, проехать из него по дорогам вдоль некоторого пути до города $n$, дать в нём концерт и улететь.

Как и у любого артиста, у Егора есть множество недоброжелателей и слишком назойливых фанатов, поэтому ездить Егор и его команда будут только по безопасным дорогам. В Дагестане есть два типа дорог, чёрные и белые: по чёрным можно безопасно проехать только ночью, а по белым — только утром. Перед началом поездки менеджер Егора составляет расписание: он выбирает для каждого города его тип, чёрный или белый, и если команда посещает какой-то город, то уехать из него она сможет только по одной из дорог соответствующего типа. После определения расписания Егор выбирает любой маршрут из города $1$ в город $n$, причём из соображений безопасности этот путь должен быть кратчайшим. Менеджер Егора очень любит Дагестан и хочет задержаться здесь подольше, поэтому он попросил Вас составить такое расписание, чтобы из города $1$ в город $n$ не существовало пути вообще, или кратчайший путь был максимально возможной длины.

Путём является один город или последовательность дорог такая что начало каждой дороги в последовательности (кроме первой) является концом предыдущей. Егор может перемещаться вдоль пути, только если все его дороги безопасны.

Длиной пути называется количество дорог в нём. Кратчайшим путём называется путь минимальной длины.

Входные данные

Первая строка содержит числа $n$, $m$ ($1 \leq n \leq 500000$, $0 \leq m \leq 500000$) — количество городов и дорог, соответственно.

В $i$-й из следующих $m$ строк даны три целых числа — $u_i$, $v_i$ и $t_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$, $t_i \in \{0, 1\}$) — номера городов, соединяемых дорогой, и тип дороги ($0$ — ночная, $1$ — утренняя).

Выходные данные

В первой строке выведите длину искомого пути (или $-1$, если можно подобрать расписание так, чтобы пути из $1$ в $n$ не существовало).

Во второй строке выведите искомое расписание — строку из $n$ целых чисел, где $i$-е число равно $0$, если из $i$-го города можно уехать только по ночным дорогам, и $1$, если только по утренним.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом примере, если покрасить город $1$ в белый цвет, кратчайший путь будет состоять из одной дороги, $1 \rightarrow 3$. Иначе, независимо от цветов остальных городов кратчайший путь будет $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$.

Во втором примере город $3$ следует покрасить в чёрный цвет, а из города $2$ существуют дороги обоих цветов в город $4$. Обратите внимание: может существовать дорога, соединяющая город с самим собой.

E. Избегайте разноцветных циклов

графы Деревья жадные алгоритмы снм сортировки Структуры данных *2400

Вам дано $m$ множеств $A_1, A_2, \ldots, A_m$, состоящих из целых чисел; элементы этих множеств — целые числа от $1$ до $n$ включительно.

Есть два массива положительных целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_m$ и $b_1, b_2, \ldots, b_n$.

За одну операцию вы можете удалить элемент $j$ из множества $A_i$ и заплатить за это $a_i + b_j$ монет.

Вы можете сделать несколько (возможно, ноль) операций (после этого некоторые множества могут стать пустыми).

После этого вы построите неориентированный граф, где каждое ребро будет иметь цвет. Граф будет иметь $n$ вершин. Для каждого множества $A_i$ вы добавите ребро $(x, y)$ цвета $i$ для всех $x, y \in A_i$ и $x < y$. Некоторые пары вершин могут быть соединены больше чем одним ребром, но такие ребра будут иметь разные цвета.

Мы называем цикл $i_1 \to e_1 \to i_2 \to e_2 \to \ldots \to i_k \to e_k \to i_1$ ($e_j$ это какое-то ребро, соединяющее вершины $i_j$ и $i_{j+1}$ этого графа) разноцветным, если цвета всех ребер этого цикла различны.

Найдите минимальное количество монет, которое нужно заплатить, чтобы получить граф без разноцветных циклов.

Входные данные

В первой строке находится два целых числа $m$ и $n$ ($1 \leq m, n \leq 10^5$), количество множеств и количество вершин в графе.

Во второй строке находятся $m$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_m$ ($1 \leq a_i \leq 10^9$).

В третьей строке находятся $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($1 \leq b_i \leq 10^9$).

В каждой из следующих $m$ строк находится описание множества. В $i$-й строке первое число $s_i$ ($1 \leq s_i \leq n$) равно размеру $A_i$. Затем следуют $s_i$ целых чисел — элементы множества $A_i$. Эти целые числа различны и находятся в пределах от $1$ до $n$ включительно.

Гарантируется, что сумма $s_i$ для всех $1 \leq i \leq m$ не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное количество монет, которое нужно заплатить, чтобы получить граф без разноцветных циклов.

Примечание

В первом тесте можно сделать следующие операции.

Удалить элемент $1$ из множества $1$. Вы должны заплатить $a_1 + b_1 = 5$ монет за эту операцию.
Удалить элемент $1$ из множества $2$. Вы должны заплатить $a_2 + b_1 = 6$ монет за эту операцию.

Суммарно вы заплатите $11$ монет. После этих операций первое и второй множества будут равны $\{2\}$, а третье множество будет равно $\{1, 2\}$. Поэтому построенный граф будет содержать одно ребро $(1, 2)$ цвета $3$.

Во втором тесте можно сделать следующие операции.

Удалить элемент $1$ из множества $1$. Вы должны заплатить $a_1 + b_1 = 11$ монет за эту операцию.
Удалить элемент $4$ из множества $2$. Вы должны заплатить $a_2 + b_4 = 13$ монет за эту операцию.
Удалить элемент $7$ из множества $3$. Вы должны заплатить $a_3 + b_7 = 13$ монет за эту операцию.
Удалить элемент $4$ из множества $4$. Вы должны заплатить $a_4 + b_4 = 16$ монет за эту операцию.
Удалить элемент $7$ из множества $6$. Вы должны заплатить $a_6 + b_7 = 13$ монет за эту операцию.

Суммарно вы заплатите $66$ монет. После этих операций будут следующие множества:

$\{2, 3\}$;
$\{1\}$;
$\{1, 3\}$;
$\{3\}$;
$\{3, 4, 5, 6, 7\}$;
$\{5\}$;
$\{8\}$.

Вы построите такой граф:

$\text{[math]}$

В нем нет разноцветных циклов.

G. Подсчет кластеризаций

бпф графы Деревья дп Комбинаторика снм *2700

В сети компании есть $n$ компьютеров. Они пронумерованы от $1$ до $n$.

Для каждой пары компьютеров $1 \leq i < j \leq n$ вы знаете значение $a_{i,j}$: сложность отправки сообщения между компьютерами $i$ и $j$. Значения $a_{i,j}$ для $i<j$ различны.

Вы хотите разделить компьютеры на $k$ множеств $A_1, A_2, \ldots, A_k$, чтобы следующие условия выполнялись:

для каждого компьютера $1 \leq i \leq n$ есть ровно одно множество $A_j$ такое, что $i \in A_j$;
для каждых двух пар компьютеров $(s, f)$ и $(x, y)$ ($s \neq f$, $x \neq y$) таких, что $s$, $f$, $x$ из одного множества, а $x$ и $y$ из разных, выполняется $a_{s,f} < a_{x,y}$.

Для каждого $1 \leq k \leq n$ найдите число способов разделить компьютеры на $k$ групп так, чтобы все упомянутые условия соблюдались. Эти значения могут быть большими, так что вам нужно найти их по модулю $998\,244\,353$.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 1500$): количество компьютеров.

В $i$-й из следующих $n$ строк записаны $n$ целых чисел $a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots, a_{i,n}$ ($0 \leq a_{i,j} \leq \frac{n (n-1)}{2}$).

Гарантируется, что:

для всех $1 \leq i \leq n$ выполняется $a_{i,i} = 0$;
для всех $1 \leq i < j \leq n$ выполняется $a_{i,j} > 0$;
для всех $1 \leq i < j \leq n$ выполняется $a_{i,j} = a_{j,i}$;
все $a_{i,j}$ для $i <j$ различны.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел: $k$-е из них должно быть равно числу способов разбить компьютеры на $k$ групп, соблюдая все описанные условия, по модулю $998\,244\,353$.

Примечание

Ниже приведены все возможные разбиения компьютеров на $4$ группы для второго примера:

$\{1, 2\}, \{3, 4\}, \{5\}, \{6, 7\}$;
$\{1\}, \{2\}, \{3, 4\}, \{5, 6, 7\}$;
$\{1, 2\}, \{3\}, \{4\}, \{5, 6, 7\}$.

D. Трамплины

графы кратчайшие пути *2300

Вася участвует в лыжной гонке по оси X. Старт находится в точке 0, а финиш — в точке L, то есть на расстоянии L метров от старта в положительном направлении оси. Вася так сильно натренирован, что может пробежать один метр ровно за одну секунду.

Кроме того, на трассе расположено n трамплинов, каждый трамплин характеризуется четырьмя числами:

x_i — координата трамплина,
d_i — через сколько метров приземлится Вася, если наедет на этот трамплин,
t_i — длительность полета в секундах
p_i — число, означающее сколько метров до трамплина Вася должен разбегаться, чтобы суметь приготовиться и прыгнуть с этого трамплина. В течение разбега Вася обязан ехать по снегу (то есть не должен находиться в полете), но его скорость все равно составляет один метр в секунду.

Васе разрешается двигаться в любом направлении оси X, но запрещается заходить за линию старта, то есть в отрицательную полуось. Вася сам выбирает, какими трамплинами он воспользуется и в каком порядке, то есть он не обязан пользоваться всеми трамплинами, которые находятся на его пути. В частности, Вася может проехать мимо трамплина. Гарантируется, что x_i + d_i ≤ L, значит, Вася не сможет преодолеть линию финиша в полете.

Вася может прыгать на трамплине только в сторону положительного направления оси X. То есть, используя i-ый трамплин, он начинает разгон в точке x_i - p_i, прыгает в точке x_i и приземляется в точке x_i + d_i. В другую сторону прыгать не разрешается.

Ваша задача — найти минимальное время, которое потратит Вася, чтобы преодолеть дистанцию.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа n и L (0 ≤ n ≤ 10⁵, 1 ≤ L ≤ 10⁹). Далее в n строках находятся описания трамплинов, каждое описание находится на отдельной строке. Каждое описание — это четверка целых неотрицательных чисел x_i, d_i, t_i, p_i (0 ≤ x_i ≤ L, 1 ≤ d_i, t_i, p_i ≤ 10⁹, x_i + d_i ≤ L).

Выходные данные

Выведите в первую строку минимальное время в секундах, которое нужно Васе, чтобы преодолеть трассу. Во вторую строку выведите k — количество трамплинов, которыми нужно воспользоваться Васе, а в третью строку выведите k чисел — номера использованных трамплинов в порядке, в котором Вася их использовал. Каждый номер выводите ровно один раз, числа при выводе разделяйте пробелом. Трамплины нумеруются с 1 в том порядке, в котором они заданы во входных данных.

Примечание

В первом примере, Вася не сможет воспользоваться трамплином номер 2, потому что тогда он должен будет разбегаться, начиная с точки -3, что не разрешено условием. Оптимальный вариант — воспользоваться трамплином номер 1, итоговое время равно: движение до точки разбега + разбег до трамплина + время полета + движение до финиша = 0 + 5 + 5 + 5 = 15.

Во втором примере, Васе вообще не выгодно использовать трамплин номер 1, так как t₁ > d₁. Оптимальный вариант — воспользоваться трамплином номер 2, итоговое время равно: движение до точки разбега + разбег до трамплина + время полета + движение до финиша = 14 + 1 + 1 + 0 = 16.

E. Большая чистка

графы дп Конструктив снм *2300

Дед Мороз со Снегурочкой после того, как раздали все подарки и исполнили все желания, вернулись в свою резиденцию и обнаружили, что она вся занесена снегом. Герои очень устали, и решили расчистить лишь дорожки между домиками. В резиденции n домиков, соединенных m дорожками. По дорожкам можно ходить в обоих направлениях.

Снегурочка предложила разделить работу: Дед Мороз будет чистить широкие дорожки, а она будет протаптывать узенькие. Для каждой дорожки герои определили, кто ее может чистить: либо Дед Мороз, либо Снегурочка. Для экономии усилий было решено расчистить дорожки так, чтобы выполнялись оба условия:

между любыми двумя домиками должен существовать ровно один простой путь по расчищенным дорожкам;
Дед Мороз должен расчистить столько же дорожек, сколько и Снегурочка.

И тут герои задумались: какие же дорожки им надо расчистить?

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два целых положительных числа n и m (1 ≤ n ≤ 10³, 1 ≤ m ≤ 10⁵) — количество домиков и количество дорожек. Далее следует m строк, в каждой из которых задано описание одной дорожки: номера домиков, которые она соединяет, — x и y (1 ≤ x, y ≤ n), и кто ее собирается чистить («S» — Снегурочка, или «M» — Дед Мороз). По каждой дорожке можно ходить в обоих направлениях. Обратите внимание, что между двумя домиками может быть больше одной дорожки, и дорожка может вести из домика в него же.

Выходные данные

Выведите «-1» без кавычек, если невозможно выбрать дорожки, которые будут расчищены по заданным правилам. В противном случае выведите в первую строку количество расчищенных дорожек, а во вторую — номера этих дорожек (дорожки нумеруются с 1 в том порядке, в котором они заданы во входных данных). Номера дорожек разрешается выводить в любом порядке. Каждый номер следует вывести ровно один раз. Числа при выводе разделяйте пробелами.

Примечание

Путь называется простым, если все домики на пути попарно различны.

C. Ладейное поле

графы поиск в глубину и подобное снм *1700

Дана шахматная доска размера $n \times n$. Строки и столбцы доски пронумерованы от $1$ до $n$. Клетка $(x, y)$ лежит на пересечении столбца номер $x$ и строки номер $y$.

Ладья это шахматная фигура, которая за один ход может переместиться на любое количество клеток по вертикали, либо по горизонтали. На доске размещены $m$ ладей ($m < n$), которые не бьют друг друга. То есть, нет пары ладей, стоящих на одной вертикали или горизонтали.

За один ход можно сделать ход одной из ладей. То есть, переместить ее на любое количество клеток по вертикали или горизонтали. При этом, после хода ладья снова не должна оказаться под боем других ладей. Какое минимальное количество ходов нужно сделать, чтобы разместить все ладьи на главной диагонали?

Главной диагональю называются клетки $(i, i)$, где $1 \le i \le n$.

Входные данные

В первой строке дано целое число $t$ — количество тестовых случаев ($1 \leq t \leq 10^3$). Далее дано описание $t$ тестовых случаев.

В первой строке даны два целых числа $n$ и $m$ — размер поля и количество ладей ($2 \leq n \leq 10^5$, $1 \leq m < n$). Следующие $m$ строк содержат пары целых чисел $x_i$ и $y_i$ — позиции ладей, $i$-я ладья исходно стоит в клетке $(x_i, y_i)$ ($1 \leq x_i, y_i \leq n$). Гарантируется, что в исходной расстановке ладьи не бьют друг друга.

Сумма $n$ по всем тестовым случаям не превышает $10^5$.

Выходные данные

Для каждого из $t$ тестовых случаев в новой строке выведите наименьшее количество ходов, которые требуются, чтобы поставить все ладьи на главную диагональ.

Можно доказать, что это всегда возможно.

Примечание

Возможные ходы для первых трех тестовых случаев:

$(2, 3) \to (2, 2)$
$(2, 1) \to (2, 3)$, $(1, 2) \to (1, 1)$, $(2, 3) \to (2, 2)$
$(2, 3) \to (2, 4)$, $(2, 4) \to (4, 4)$, $(3, 1) \to (3, 3)$, $(1, 2) \to (1, 1)$

D. Граф и запросы

графы Деревья реализация снм Структуры данных *2600

Вам дан неориентированный граф из $n$ вершин и $m$ ребер. Изначально в каждой вершине записано число: в вершине $i$ записано число $p_i$ (все $p_i$ — различные числа от $1$ до $n$).

Вы должны обработать $q$ запросов двух типов:

$1$ $v$ — среди всех вершин, достижимых из вершины $v$ по ребрам (включая саму вершину $v$), найти вершину $u$ с максимальным записанным в ней числом $p_u$, вывести $p_u$ и заменить $p_u$ на $0$;
$2$ $i$ — удалить $i$-е ребро из графа.

Обратите внимание, что в запросе первого типа может возникнуть такая ситуация, что во всех вершинах, достижимых из $v$, записано число $0$ — в таком случае вершина $u$ явно не определена, но так как от выбора конкретной вершины $u$ ничего не зависит, в ответ на такой запрос можно выбрать любую вершину, достижимую из $v$, и вывести число, записанное в ней (то есть $0$).

Входные данные

В первой строке заданы три целых числа $n$, $m$ и $q$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le m \le 3 \cdot 10^5$; $1 \le q \le 5 \cdot 10^5$).

Во второй строке заданы $n$ различных чисел $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$, где $p_i$ — число, изначально записанное в вершине $i$ ($1 \le p_i \le n$).

Далее следует $m$ строк, $i$-я строка содержит два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$, $a_i \ne b_i$) и обозначает, что $i$-е ребро соединяет вершины $a_i$ и $b_i$. Гарантируется, что граф не содержит кратных ребер.

Далее следуют $q$ строк, задающих запросы. Каждая строка задается одним из следующих форматов:

$1$ $v$ — обозначает, что очередной запрос — первого типа с заданной вершиной $v$ ($1 \le v \le n$);
$2$ $i$ — обозначает, что очередной запрос — второго типа с заданным ребром $i$ ($1 \le i \le m$). Гарантируется, что на момент каждого запроса второго типа соответствующее ребро еще не удалено из графа.

Выходные данные

На каждый запрос первого типа выведите одно целое число — значение $p_u$, записанное в выбранной в запросе вершине $u$.

C. Mortal Kombat Tower

графы дп жадные алгоритмы кратчайшие пути *1500

Вы и ваш друг играете в Mortal Kombat XI. Вы пытаетесь пройти башню испытаний. Всего в башне есть $n$ боссов, пронумерованных от $1$ до $n$. Тип $i$-го босса равен $a_i$. Если $i$-й босс является легким, то его тип равен $a_i = 0$, иначе этот босс является сложным и его тип равен $a_i = 1$.

В течение одной игровой сессии вы или ваш друг можете убить одного или двух боссов (ни вы, ни ваш друг не можете пропускать сессию, поэтому минимальное количество боссов, убитых в течение сессии, равно хотя бы одному). После сессии вашего друга начинается ваша сессия, затем опять сессия вашего друга, затем опять ваша, и так далее. Первая сессия — сессия вашего друга.

Вашему другу надо научиться играть лучше, потому что на самом деле он не может убивать сложных боссов. Чтобы убивать их, он использует очки пропуска. Одно очко пропуска может быть использовано для того, чтобы убить одного сложного босса.

Ваша задача — найти минимальное количество очков пропуска, которое ваш друг должен использовать для того, чтобы вы с вашим другом убили всех $n$ боссов в заданном порядке.

Например: предположим, что $n = 8$, $a = [1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1]$. Тогда лучшей последовательностью действий является следующая:

ваш друг убивает первых двух боссов, используя одно очко пропуска для первого босса;
вы убиваете третьего и четвертого боссов;
ваш друг убивает пятого босса;
вы убиваете шестого и седьмого боссов;
ваш друг убивает последнего босса, используя одно очко пропуска, таким образом, башня проходится с использованием двух очков пропуска.

Вам необходимо ответить на $t$ независимых наборов тестовых данных.

Входные данные

Первая строка набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество боссов. Вторая строка набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($0 \le a_i \le 1$), где $a_i$ равно типу $i$-го босса.

Гарантируется, что сумма $n$ не превосходит $2 \cdot 10^5$ ($\sum n \le 2 \cdot 10^5$).

Выходные данные

Выведите ответ на каждый набор тестовых данных: минимальное количество очков пропуска, которое ваш друг должен использовать для того, чтобы вы с вашим другом убили всех $n$ боссов в заданном порядке.

F. Огненный ливень

Бинарный поиск графы поиск в глубину и подобное реализация снм Структуры данных *2800

На плоскости есть $n$ отрядов, пронумерованных от $1$ до $n$, $i$-й отряд находится в точке с целочисленными координатами $(x_i, y_i)$. Все отряды находятся в различных точках.

Бримстоун должен посетить каждый отряд как минимум один раз. Вы можете выбрать, с каким отрядом в одной точке изначально находится Бримстоун.

Чтобы перейти от одного отряда к другому, Бримстоун выбирает одно из четырех направлений движения (вверх, вниз, вправо или влево) и двигается в этом направлении с постоянной скоростью — один единичный отрезок в секунду — до тех пор, пока не придёт к какому-либо отряду. Как только он приходит к какому-либо отряду, он может повторить этот процесс.

Каждые $t$ секунд происходит огненный ливень, и в эти моменты Бримстоун должен находиться в одной точке с любым своим отрядом. Он может сколько угодно времени стоять на месте в одной точке с любым отрядом.

Бримстоун хороший командир, поэтому до начала обхода он может собрать не более одного нового отряда и поставить его в любую точку плоскости с целочисленными координатами, в которой не стоит ни один отряд. Обратите внимание, что он также должен будет посетить новый отряд хотя бы один раз.

Помогите Бримстоуну, найдите минимальное целое положительное $t$ такое, что обход можно произвести, добавив не более одного отряда. Если такого $t$ не существует, вы должны сообщить об этом.

Входные данные

В первой строке находится единственное целое число $n$ $(2 \le n \le 1000)$ — изначальное количество отрядов.

В каждой из следующих $n$ строк содержатся два целых числа $x_i$, $y_i$ $(|x_i|, |y_i| \le 10^9)$ — координаты $i$-го отряда.

Гарантируется, что все точки различны.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное время $t$, такое что обход всех отрядов можно произвести, добавив не более одного нового отряда.

Если ни одного такого $t$ не существует, выведите $-1$.

Примечание

В первом примере из условия можно добавить отряд в точку $(0, 0)$, после чего все отряды можно будет обойти при $t = 100$. Можно доказать, что при $t < 100$, даже добавив не более одного нового отряда, не получится сделать обход, поэтому ответ $100$.

Во втором тесте из условия нельзя посетить все отряды ни при каком $t$, даже при добавлении не более одного нового отряда, поэтому ответ $-1$.

В третьем тесте можно добавить отряд в точку $(1, 0)$, и тогда все отряды можно будет обойти при $t = 2$. Можно доказать, что это минимальное такое $t$.

В четвертом тесте не нужно добавлять новый отряд и можно обойти все отряды при $t = 2$. Можно доказать, что это минимальное такое $t$.

D. Возвращение домой

графы кратчайшие пути сортировки *2300

Юра в свой выходной достаточно уже погулял по городу и решил возвращаться домой. Чтобы возвращение домой прошло безопасно, ему нужно вернуться как можно быстрее. А для этого Юра будет использовать точки быстрого перемещения, которые расположены по всему городу.

Давайте расчертим весь город на $n \times n$ квадратных регионов. Юре нужно добраться из региона с координатами $(s_x,s_y)$ в регион с координатами $(f_x,f_y)$. За одну минуту Юра может переместиться в любой соседний по стороне регион, то есть он может двигаться в четырех направлениях. Также в городе есть $m$ точек для быстрого перемещения. Их координаты вам (и Юре, конечно) известны. Юра может мгновенно переместиться к точке быстрого перемещения, если сейчас он находится в клетке с той же самой координатой по $x$ или по $y$.

Помогите Юре посчитать, какое минимальное время потребуется ему для возвращения домой.

Входные данные

В первой строке задаются два целых числа $n$ и $m$ — размер города и количество точек быстрого перемещения ($1 \le n \le 10^9$, $0 \le m \le 10^5$).

В следующей строке задаются четыре целых числа $s_x$ $s_y$ $f_x$ $f_y$ — координаты текущего положения Юры и его дома соответственно ($ 1 \le s_x, s_y, f_x, f_y \le n$).

В следующих $m$ строках задаются по два целых числа $x_i$ $y_i$ — координаты $i$-й точки быстрого перемещения ($1 \le x_i, y_i \le n$).

Выходные данные

В единственной строке выведите минимальное время для возвращения домой.

Примечание

В первом примере Юра должен попасть в $(5, 5)$ из $(1, 1)$. Он может это сделать за $5$ минут, сначала использовав вторую точку быстрого перемещения (потому что ее $y$ координата равна $y$ координате Юры), а затем пройдя пешком $(4, 1) \to (4, 2) \to (4, 3) \to (5, 3) \to (5, 4) \to (5, 5)$.

B. Valuable Paper

Бинарный поиск графы Паросочетания Потоки *1900

The pandemic is upon us, and the world is in shortage of the most important resource: toilet paper. As one of the best prepared nations for this crisis, BubbleLand promised to help all other world nations with this valuable resource. To do that, the country will send airplanes to other countries carrying toilet paper.

In BubbleLand, there are $N$ toilet paper factories, and $N$ airports. Because of how much it takes to build a road, and of course legal issues, every factory must send paper to only one airport, and every airport can only take toilet paper from one factory.

Also, a road can't be built between all airport-factory pairs, again because of legal issues. Every possible road has number $d$ given, number of days it takes to build that road.

Your job is to choose $N$ factory-airport pairs, such that if the country starts building all roads at the same time, it takes the least amount of days to complete them.

Input

The first line contains two integers $N$ $(1 \leq N \leq 10^4)$ - number of airports/factories, and $M$ $(1 \leq M \leq 10^5)$ - number of available pairs to build a road between.

On next $M$ lines, there are three integers $u$, $v$ $(1 \leq u,v \leq N)$, $d$ $(1 \leq d \leq 10^9)$ - meaning that you can build a road between airport $u$ and factory $v$ for $d$ days.

Output

If there are no solutions, output -1. If there exists a solution, output the minimal number of days to complete all roads, equal to maximal $d$ among all chosen roads.

C. Dušan's Railway

графы Деревья разделяй и властвуй *3500

As you may already know, Dušan is keen on playing with railway models. He has a big map with cities that are connected with railways. His map can be seen as a graph where vertices are cities and the railways connecting them are the edges. So far, the graph corresponding to his map is a tree. As you already know, a tree is a connected acyclic undirected graph.

He is curious to find out whether his railway can be optimized somehow. He wants to add so-called shortcuts, which are also railways connecting pairs of cities. This shortcut will represent the railways in the unique path in the tree between the pair of cities it connects. Since Dušan doesn't like repeating the railways, he has also defined good paths in his newly obtained network (notice that after adding the shortcuts, his graph is no more a tree). He calls a path good, if no edge appears more than once, either as a regular railway edge or as an edge represented by some shortcut (Every shortcut in a good path has length 1, but uses up all the edges it represents - they can't appear again in that path). Having defined good paths, he defines good distance between two cities to be the length of the shortest good path between them. Finally, the shortcutting diameter of his network is the largest good distance between any two cities.

Now he is curious to find out whether it is possible to achieve shortcutting diameter less or equal than $k$, while adding as few shortcuts as possible.

Your solution should add no more than $\mathbf{10 \cdot n}$ shortcuts.

Input

The first line in the standard input contains an integer $n$ ($1 \le n \le 10^4$), representing the number of the cities in Dušan's railway map, and an integer k ($3 \le k \le n$) representing the shortcutting diameter that he wants to achieve.

Each of the following $n - 1$ lines will contain two integers $u_i$ and $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n, u_i \neq v_i$), meaning that there is a railway between cities $u_i$ and $v_i$.

Output

The first line of the output should contain a number $t$ representing the number of the shortcuts that were added.

Each of the following $t$ lines should contain two integers $u_i$ and $v_i$, signifying that a shortcut is added between cities $u_i$ and $v_i$.

Note

Notice that adding a shortcut between all cities and city 1 will make a graph theoretic diameter become 2. On the other hand, the paths obtained that way might not be good, since some of the edges might get duplicated. In the example, adding a shortcut between all cities and city 1 doesn't create a valid solution, because for cities 5 and 10 the path that uses shortcuts 5-1 and 1-10 is not valid because it uses edges 1-2, 2-3, 3-4, 4-5 twice.

H. Virus

графы разделяй и властвуй снм Структуры данных *2500

In Bubbleland a group of special programming forces gets a top secret job to calculate the number of potentially infected people by a new unknown virus. The state has a population of $n$ people and every day there is new information about new contacts between people. The job of special programming forces is to calculate how many contacts in the last $k$ days a given person had.

The new virus has an incubation period of $k$ days, and after that time people consider as non-infectious. Because the new virus is an extremely dangerous, government mark as suspicious everybody who had direct or indirect contact in the last $k$ days, independently of the order of contacts.

This virus is very strange, and people can't get durable immunity.

You need to help special programming forces to calculate the number of suspicious people for a given person (number of people who had contact with a given person).

There are 3 given inputs on beginning $n$ where $n$ is population, $q$ number of queries, $k$ virus incubation time in days. Each query is one of three types:

($x$, $y$) person $x$ and person $y$ met that day ($x \neq y$).
($z$) return the number of people in contact with $z$, counting himself.
The end of the current day moves on to the next day.

Input

The first line of input contains three integers $n$ ($1 \le n\le 10^5$) the number of people in the state, $q$ ($1 \le q\le 5×10^5$) number of queries and $k$ ($1 \le k\le 10^5$) virus incubation time in days.

Each of the next $q$ lines starts with an integer $t$ ($1 \le t\le 3$) the type of the query.

A pair of integers $x$ and $y$ ($1 \le x, y \le n$) follows in the query of the first type ($x \neq y$).

An integer $i$ ($1 \le i\le n$) follows in the query of the second type.

Query of third type does not have the following number.

Output

For the queries of the second type print on a separate line the current number of people in contact with a given person.

Note

Pay attention if persons $1$ and $2$ had contact first day and next day persons $1$ and $3$ had contact, for $k$>$1$ number of contacts of person $3$ is $3$(persons:1,2,3).

M. Ancient Language

графы сортировки *2200

While exploring the old caves, researchers found a book, or more precisely, a stash of mixed pages from a book. Luckily, all of the original pages are present and each page contains its number. Therefore, the researchers can reconstruct the book.

After taking a deeper look into the contents of these pages, linguists think that this may be some kind of dictionary. What's interesting is that this ancient civilization used an alphabet which is a subset of the English alphabet, however, the order of these letters in the alphabet is not like the one in the English language.

Given the contents of pages that researchers have found, your task is to reconstruct the alphabet of this ancient civilization using the provided pages from the dictionary.

Input

First-line contains two integers: $n$ and $k$ ($1 \le n, k \le 10^3$) — the number of pages that scientists have found and the number of words present at each page. Following $n$ groups contain a line with a single integer $p_i$ ($0 \le n \lt 10^3$) — the number of $i$-th page, as well as $k$ lines, each line containing one of the strings (up to $100$ characters) written on the page numbered $p_i$.

Output

Output a string representing the reconstructed alphabet of this ancient civilization. If the book found is not a dictionary, output "IMPOSSIBLE" without quotes. In case there are multiple solutions, output any of them.

G. Миллиард оттенков серого

графы Потоки *3300

Вы должны покрасить оттенками серого плитки стены размера $n\times n$. Стена состоит из $n$ рядов плиток, в каждом по $n$ плиток.

Плитки на границе стены (т.е. в первом ряду, последнем ряду, первом столбце и последнем столбце) уже покрашены, и вы не должны менять их цвет. Все остальные плитки не покрашены.

Некоторые из плиток сломаны, их нельзя красить. Гарантируется, что плитки на границе не сломаны.

Вы должны покрасить все не сломанные плитки, которые еще не покрашены. Когда вы красите плитку, вы можете выбрать один из $10^9$ оттенков серого, пронумерованных от $1$ до $10^9$. Вы можете покрасить несколько плиток одним и тем же оттенком. Формально, раскраска стены эквивалентна присвоению оттенка (целое число от $1$ до $10^9$) каждой неокрашенной плитке, которая еще не закрашена.

Контраст между двумя плитками равен модулю разности между оттенками двух плиток. Общий контраст стены является суммой контрастов по всем парам соседних несломанных плиток (две плитки соседние, если они имеют общую сторону).

Вычислите минимально возможный суммарный контраст стены.

Входные данные

Первая строка содержит $n$ ($3\le n\le 200$) — количество строк и столбцов.

Затем следуют $n$ строк, каждая из которых содержит $n$ целых чисел. $i$-я из этих строк описывает $i$-ю строку плиток. Она содержит $n$ целых чисел $a_{ij}$ ($-1\le a_{ij} \le 10^9)$. Значение $a_{ij}$ описывает плитку в $i$-й строке и $j$-м столбце:

Если $a_{ij}=0$, то плитка не покрашена и будет покрашена.
Если $a_{ij}=-1$, то плитка сломана и не должна быть покрашена.
Если $1\le a_{ij}\le 10^9$, то плитка уже закрашена оттенком $a_{ij}$.

Гарантируется, что плитки на границе уже покрашены, плитки не на границе еще не покрашены, и плитки на границе не сломаны.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимально возможный суммарный контраст стены.

Примечание

Пояснение первого примера: Первоначальная конфигурация плиток (плитки, которые нужно покрасить, обозначаются ?):


1 7 6
4 ? 6
1 1 1

Возможный способ покраски плитки, достигающий минимально возможного суммарного контраста в $26$:


1 7 6
4 5 6
1 1 1

Пояснение второго примера: Так как все плитки либо покрашены, либо сломаны, делать нечего. Общий контраст составляет $396$.

Пояснение третьего примера: Первоначальная конфигурация плиток (плитки, которые нужно покрасить, обозначены ?):

Возможный способ покраски плитки достигает минимально возможного контраста в $34$:

B. Соединенные комнаты

графы реализация *1200

На выставке змей есть $n$ комнат (пронумерованных от $0$ до $n - 1$) расположенных по кругу. В каждой комнате находится одна змея. Комнаты соединены $n$ конвейерами, $i$-й из них соединяет комнаты $i$ и $(i+1) \bmod n$. Другими словами, комнаты $0$ и $1$, $1$ и $2$, $\ldots$, $n-2$ и $n-1$, $n-1$ и $0$ соединены конвейерами.

Конвейер $i$ может быть в одном из трех состояний:

Если он направлен по часовой стрелке, змеи могут проползти только из комнаты $i$ в $(i+1) \bmod n$.
Если он направлен против часовой стрелки, змеи могут пройти только из комнаты $(i+1) \bmod n$ в $i$.
Если он выключен, змеи могут проползти в обоих направлениях.

$\text{[math]}$

В этом примере $4$ комнаты, где конвейеры $0$ и $3$ выключены, конвейер $1$ направлен по часовой стрелке, а конвейер $2$ — против часовой стрелки.

Каждая змея хочет покинуть свою комнату, поползать и вернуться в нее потом снова. Назовем комнату возвратимой, если змея может покинуть ее и вернуться в нее позже, ползая по конвейерам. Сколько всего возвратимых комнат?

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$): количество наборов входных данных. Описание наборов входных данных следует.

В первой строке описания каждого набора входных данных находится единственное целое число $n$ ($2 \le n \le 300\,000$): количество комнат.

В следующей строке описания каждого набора входных данных находится строка $s$ длины $n$, состоящая только из символов «<», «>» и «-».

Если $s_{i} = $ «>», то $i$-й конвейер направлен по часовой стрелке.
Если $s_{i} = $ «<», то $i$-й конвейер направлен против часовой стрелки.
Если $s_{i} = $ «-», то $i$-й конвейер выключен.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $300\,000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите количество возвратимых комнат.

Примечание

В первом наборе входных данных все комнаты являются возвратимыми, кроме комнаты $2$. Змея в комнате $2$ заблокирована и не может выйти. Этот набор входных данных соответствует картинке из условия задачи.

Во втором наборе входных данных все комнаты являются возвратимыми, потому что можно вернуться в любую комнату, несколько раз пройдя по конвейерам, направленным по часовой стрелке.

G. Очередное взвешивание графа

битмаски графы дп математика поиск в глубину и подобное Потоки *2600

Дан ориентированный ацикличный граф (ориентированный граф, не содержащий циклов) из $n$ вершин и $m$ дуг. $i$-я дуга ведет из вершины $x_i$ в вершину $y_i$ и имеет вес $w_i$.

Ваша задача — для каждой вершины $v$ выбрать некоторое целое число $a_v$, после чего на каждой дуге $i$ записать такое число $b_i$, что $b_i = a_{x_i} - a_{y_i}$. Вы должны выбрать числа таким образом, чтобы:

все $b_i$ были положительны;
значение выражения $\sum \limits_{i = 1}^{m} w_i b_i$ было минимально возможным.

Можно показать, что для любого ориентированного ацикличного графа с неотрицательными $w_i$ такой способ выбрать числа существует.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 18$; $0 \le m \le \dfrac{n(n - 1)}{2}$).

Далее следуют $m$ строк, $i$-я из них содержит три целых числа $x_i$, $y_i$ и $w_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$, $1 \le w_i \le 10^5$, $x_i \ne y_i$) — описание $i$-й дуги.

Гарантируется, что строки задают описание $m$ дуг ориентированного ацикличного графа без кратных дуг.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ ($0 \le a_v \le 10^9$), которые необходимо записать на вершинах, чтобы все $b_i$ были положительны, и значение выражения $\sum \limits_{i = 1}^{m} w_i b_i$ было минимально возможным. Если ответов несколько — выведите любой. Можно показать, что ответ всегда существует, и хотя бы один из оптимальных ответов удовлетворяет ограничениям $0 \le a_v \le 10^9$.

G. Уменьшение стоимости доставки

графы кратчайшие пути Перебор *2100

Вы являетесь мэром Берлятова. Всего в городе $n$ районов и $m$ двусторонних дорог между ними. $i$-я дорога соединяет районы с индексами $x_i$ и $y_i$. Стоимость путешествия по этой дороге равна $w_i$. Между каждой парой районов существует какой-то путь, поэтому город является связным.

Всего в Берлятове есть $k$ курьерских маршрутов. $i$-й маршрут идет из района $a_i$ в район $b_i$. На каждом маршруте находится один курьер и он всегда будет выбирать самый дешевый (минимальный по суммарной стоимости) путь из района $a_i$ в район $b_i$ для доставки продуктов.

Маршрут может идти из района в него же, также некоторые курьерские маршруты могут совпадать (и вам необходимо учитывать их независимо).

Вы можете уменьшить стоимость не более чем одной дороги до нуля (то есть вы выбираете не более одной дороги и заменяете ее стоимость на $0$).

Пусть $d(x, y)$ равно самой дешевой стоимости путешествия между районами $x$ и $y$.

Ваша задача — найти минимальную суммарную стоимость курьерских маршрутов, которую вы можете достичь, если вы оптимально выберете какую-то дорогу и замените ее стоимость на $0$. Другими словами, вам необходимо найти минимально возможное значение $\sum\limits_{i = 1}^{k} d(a_i, b_i)$ после оптимального применения операции, описанной выше.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит три целых числа $n$, $m$ and $k$ ($2 \le n \le 1000$; $n - 1 \le m \le min(1000, \frac{n(n-1)}{2})$; $1 \le k \le 1000$) — количество районов, количество дорог и количество курьерских маршрутов.

Следующие $m$ строк описывают дороги. $i$-я дорога задана тремя целыми числами $x_i$, $y_i$ и $w_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$; $x_i \ne y_i$; $1 \le w_i \le 1000$), где $x_i$ и $y_i$ — районы, которые соединены $i$-й дорогой, а $w_i$ — ее стоимость. Гарантируется, что между каждой парой районов существует какой-то путь, поэтому город является связным. Также гарантируется, что между каждой парой районов существует не более одной дороги.

Следующие $k$ строк описывают курьерские маршруты. $i$-й маршрут задан двумя целыми числами $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$) — районами $i$-го маршрута. Маршрут может идти из района в него же, также некоторые курьерские маршруты могут совпадать (и вам необходимо учитывать их независимо).

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальную суммарную стоимость курьерских маршрутов, которой вы можете достичь (то есть минимальное значение $\sum\limits_{i=1}^{k} d(a_i, b_i)$, где $d(x, y)$ равно стоимости самого дешевого пути между районами $x$ и $y$), если вы можете сделать стоимость какой-то (не более, чем одной) дороги равной нулю.

Примечание

Картинка, соответствующая первому примеру:

$\text{[math]}$

Здесь вы можете выбрать либо дорогу $(2, 4)$, либо дорогу $(4, 6)$. Оба варианта приведут к суммарной стоимости $22$.

Картинка, соответствующая второму примеру:

$\text{[math]}$

Здесь вы можете выбрать дорогу $(3, 4)$. Это приведет к суммарной стоимости $13$.

D. Бандиты в городе

Бинарный поиск графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *1900

Все в том же городе, где люди гуляли по улице, завелись бандиты! Один из таких, одетый в черную маску, задался целью поймать как можно больше мирных граждан.

Город состоит из $n$ площадей, которые соединяют $n-1$ дорог так, что от каждой площади обычно можно добраться до другой ровно одним способом. Площадь под номером $1$ является главной площадью города.

Во время воскресной прогулки дороги между площадями в городе были изменены на односторонние таким образом, что теперь можно добраться от главной площади до любой другой.

Бандит высадился из автомобиля на главной площади города в тот момент, когда на $i$-й площади было $a_i$ горожан. Далее происходит следующий процесс. Сначала каждый мирный горожанин, находящийся на площади, из которой выходит хотя бы одна односторонняя дорога, выбирает одну из таких дорог и перемещается по ней. Затем бандит выбирает одну из дорог, выходящих из площади, на которой он сейчас находится, и перемещается по ней. После этого процесс повторяется до тех пор, пока бандит не окажется на площади, из которой не выходит ни одной дороги. Бандит ловит всех граждан, оказавшихся на этой площади.

Бандит хочет задержать как можно больше горожан, а горожане не хотят быть пойманными, то есть хотят минимизировать количество задержанных. При этом бандит и горожане знают о расположении горожан на всех площадях в любой момент времени, а все горожане действуют сообща. Если каждая из сторон действует оптимально, то сколько горожан задержит бандит?

Входные данные

В первой строке входного файла содержится одно целое число $n$ — количество площадей в городе ($2 \le n \le 2\cdot10^5$).

Во второй строке входного файла содержатся $n-1$ целых чисел $p_2, p_3 \dots p_n$ — означающие, что существует дорога из площади $p_i$ в $i$ ($1 \le p_i < i$).

В третьей строке содержатся $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ — количество горожан на каждой площади изначально ($0 \le a_i \le 10^9$).

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество горожан, которые задержит бандит при оптимальных действиях обеих сторон.

Примечание

В первом примере горожане на площади $1$ могут разделиться на две группы $2 + 1$, тогда на второй и третьей площади окажется по $3$ человека.

Во втором примере независимо от действий граждан бандит сможет поймать хотя бы $4$ человека.

D. Дерево минимальной высоты

графы Деревья жадные алгоритмы кратчайшие пути *1600

У Монокарпа было дерево из $n$ вершин с корнем в вершине $1$. Он решил изучить алгоритм BFS (Поиск в ширину), и поэтому запустил BFS на своем дереве, стартуя с корня. Упрощенно, BFS можно описать следующим псевдокодом:

a = [] # порядок, в котором вершины обработались
q = Queue()
q.put(1) # кладем корень в конец очереди
while not q.empty():
    k = q.pop() # достаем вершину из начала очереди
    a.append(k) # кладем k в конец последовательности, описывающей порядок посещения вершин
    for y in g[k]: # g[k] — это список всех детей вершины k, отсортированный в порядке возрастания
        q.put(y)

Монокарп был так восхищен алгоритмом BFS, что в результате потерял свое дерево. К счастью, у него осталась последовательность вершин в порядке их посещения алгоритмом BFS (массив a из псевдокода). Монокарп знает, что каждая вершина была посещена ровно один раз (так как они кладутся и забираются из очереди ровно один раз). Также он знает, что все дети каждой вершины были просмотрены в порядке возрастания.

Монокарп понимает, что есть много деревьев (в общем случае) с одинаковым порядком посещения $a$, поэтому даже не надеется восстановить свое дерево. Монокарпа устроит любое дерево минимально возможной высоты.

Высота дерева — это максимум среди глубин вершин дерева, и глубина вершины — это количество дуг на пути от корня до этой вершины. Например, глубина вершины $1$ равна $0$, так как она является корнем, а глубина любого из детей корня равна $1$.

Помогите Монокарпу найти любое дерево с заданным порядком посещения $a$ и минимальной высотой.

Входные данные

В первой строке задано единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора задано одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

Во второй строке каждого набора заданы $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$; $a_i \neq a_j$; $a_1 = 1$) — порядок посещения вершин алгоритмом BFS.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, выведите минимально возможную высоту дерева с заданным порядком обхода $a$.

Примечание

В первом наборе входных данных, есть только одно дерево с заданным порядком посещения:

$\text{[math]}$

Во втором наборе, также есть только одно дерево с заданным порядком посещения:

$\text{[math]}$

В третьем наборе, оптимальное дерево с заданным порядком посещения изображено ниже:

$\text{[math]}$

A2. Бинарная таблица (сложная версия)

графы жадные алгоритмы Конструктив реализация *1900

Это сложная версия задачи. Различие между версиями заключается ограничениях на количество операций. Вы можете делать взломы, если обе версии задачи сданы.

Вам дана бинарная таблица размера $n \times m$. Эта таблица состоит из символов $0$ и $1$.

Вы можете делать следующую операцию: выбрать $3$ различные клетки, которые принадлежат одному квадрату $2 \times 2$, и изменить символы в этих клетках (поменять $0$ на $1$ и $1$ на $0$).

Ваша задача сделать все символы таблицы равными $0$ за не больше чем $nm$ операций. Вам не нужно минимизировать количество операций.

Можно доказать, что это всегда возможно.

Входные данные

В первой строке находится единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 5000$) — количество наборов входных данных. В следующих строках находится описание наборов входных данных.

В первой строке описания каждого набора входных данных находится два целых числа $n$, $m$ ($2 \leq n, m \leq 100$).

Каждая из следующих $n$ строк содержит бинарную строку длины $m$, равную очередной строке таблицы.

Гарантируется, что сумма $nm$ по всем наборам входных данных не превосходит $20000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите целое число $k$ ($0 \leq k \leq nm$) — количество операций.

В каждой из следующих $k$ строк выведите $6$ целых чисел $x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3$ ($1 \leq x_1, x_2, x_3 \leq n, 1 \leq y_1, y_2, y_3 \leq m$), описывающих следующую операцию. Эта операция будет сделана с тремя клетками $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$. Все три клетки должны быть различны. Эти три клетки должны лежать в каком-то квадрате $2 \times 2$.

Примечание

В первом наборе входных данных можно сделать одну операцию с клетками $(1, 1)$, $(2, 1)$, $(2, 2)$. После этого, все символы будут равны $0$.

Во втором наборе входных данных:

операция с клетками $(2, 1)$, $(3, 1)$, $(3, 2)$. После этой операции таблица будет:
```
011
001
000
```
операция с клетками $(1, 2)$, $(1, 3)$, $(2, 3)$. После этой операции таблица будет:
```
000
000
000
```

В пятом наборе входных данных:

операция с клетками $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(2, 3)$. После этой операции таблица будет:
```
010
110
```
операция с клетками $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(2, 2)$. После этой операции таблица будет:
```
000
000
```

B. Задача о подмножестве графа

графы Конструктив Структуры данных *2600

Вам дан неориентированный граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Также вам дано целое число $k$.

Найдите либо клику размера $k$, либо непустое подмножество вершин такое, что каждая вершина этого подмножества имеет хотя бы $k$ соседей в этом подмножестве. Если ни одной такой клики или такого подмножества не существует, сообщите об этом.

Подмножество вершин называется кликой размера $k$, если его размер равен $k$ и существуют ребра между всеми парами вершин этого подмножества. Вершина называется соседом другой вершины, если существует ребро между ними.

Входные данные

В первой строке находится единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — количество наборов входных данных. В следующей строке находится описание наборов входных данных.

В первой строке описания каждого набора входных данных находится три целых числа $n$, $m$, $k$ ($1 \leq n, m, k \leq 10^5$, $k \leq n$).

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u, v$ $(1 \leq u, v \leq n, u \neq v)$, обозначающих ребро между вершинами $u$ и $v$.

Гарантируется, что в графе нет петель и кратных ребер. Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных и сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных:

Если вы нашли подмножество вершин, в котором каждая вершина имеет хотя бы $k$ соседей из этого подмножества, в первой строке выведите $1$ и размер этого подмножества. Во второй строке выведите все вершины этого подмножества в любом порядке.

Если вы нашли клику размера $k$, выведите в первой строке $2$ и во второй строке все вершины клики в любом порядке.

Если не существует ни одной необходимой клики или подмножества выведите $-1$.

Если существует несколько возможных ответов выведите любой.

Примечание

В первом наборе входных данных: подмножество $\{1, 2, 3, 4\}$ является кликой размера $4$.

Во втором наборе входных данных: степень каждой вершины изначального графа хотя бы $3$. Поэтому множество всех вершин является правильным ответом.

В третьем наборе входных данных: не существует клик размера $4$ и необходимых подмножеств, поэтому ответ $-1$.

D. Ракетные шахты

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное Структуры данных *1900

Страна Берляндия состоит из n городов, пронумерованных целыми числами от 1 до n. Некоторые города соединены двунаправленными дорогами, каждая из которых имеет некоторую длину. Из каждого города существует путь в любой другой город по дорогам. Согласно Самым Секретным Документам, Берляндию охраняют Самые Секретные Ракеты. Точное местонахождение Самых Секретных Ракетных Шахт неизвестно, но Вася сумел достать информацию, в которой сказано, что все Шахты расположены точно на расстоянии l от столицы, которая находится в городе номер s.

В документах дано формальное определение: в некотором месте, являющемся городом или точкой на дороге, находится Самая Секретная Ракетная Шахта тогда и только тогда, когда кратчайшее расстояние от этого места до столицы по дорогам страны в точности равно l.

Вася хочет узнать, сколько именно ракетных шахт находится в Берляндии, чтобы затем продать эту информацию вражеским шпионам. Помогите Васе.

Входные данные

В первой строке находятся три целых числа n, m и s (2 ≤ n ≤ 10⁵, $\text{[math]}$ , 1 ≤ s ≤ n) — количество городов, дорог в стране и номер столицы соответственно. Далее в m строках даны описания дорог, каждая из которых описывается тремя целыми числами v_i, u_i, w_i (1 ≤ v_i, u_i ≤ n, v_i ≠ u_i, 1 ≤ w_i ≤ 1000), где v_i, u_i — номера городов, которые соединяет эта дорога, а w_i — ее длина. Последняя строка входных данных содержит целое число l (0 ≤ l ≤ 10⁹) — расстояние от столицы до ракетных шахт. Гарантируется, что:

между любыми двумя городами существует не более одной дороги;
каждая дорога соединяет два различных города;
из каждого города существует хотя бы один путь в любой другой город по дорогам.

Выходные данные

Выведите единственное число — сколько Самых Секретных Ракетных Шахт находится в Берляндии.

Примечание

В первом примере шахты расположены в городах 3 и 4, а также на дороге (1, 3) на расстоянии 2 от города 1 (соответственно, на расстоянии 1 от города 3).

Во втором примере одна из шахт расположена точно на середине дороги (1, 2), а еще две — на дороге (4, 5) на удалении 3 от города 4 в сторону города 5 и на удалении 3 от города 5 в сторону города 4.

C. Тимбилдинг

графы поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2500

Начался новый учебный год, и в университет Берляндии пришли $n$ новых студентов, которых разбили на $k$ групп, причем некоторые группы могли оказаться пустыми. Среди студентов есть $m$ пар знакомых, причём знакомые студенты могут быть как из одной, так и из разных групп.

Алиcа, как куратор нового набора, позвала всех новоприбывших на организационную встречу. На ней она хочет устроить игру, чтобы еще незнакомые студенты получше узнали друг друга. Для этого она выберет две группы, студенты из которых будут играть. При этом правила игры требуют разделить участников на две команды так, чтобы внутри каждой из команд никто не знал друг друга.

Алиcу интересует: сколько существует способов выбрать две различные группы студентов так, чтобы получилось сыграть в игру по всем правилам. При этом в игре должны участвовать все студенты обеих групп.

Обратите внимание, что команды, на которые Алиca разделит студентов, не обязаны совпадать с группами, в которых учатся участники. Более того, команды могут быть разного размера (или даже пустыми).

Входные данные

В первой строке заданы три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($1 \le n \le 500\,000$; $0 \le m \le 500\,000$; $2 \le k \le 500\,000$) — количество студентов, количество пар знакомых студентов и количество групп, соответственно.

Во второй строке заданы $n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($1 \le c_i \le k$), где $c_i$ равняется номеру группы, в которой учится $i$-й студент.

Далее следуют $m$ строк. В $i$-й строке заданы два числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$), означающие, что $a_i$-й и $b_i$-й студент знают друг друга. Гарантируется, что $a_i \neq b_i$, и что если пара студентов знает друг друга, то она встречается ровно один раз.

Выходные данные

Выведите одно число — количество способов выбрать две различные группы так, чтобы получилось сыграть в игру по всем правилам.

Примечание

Граф знакомств для первого тестового примера выглядит следующим образом (рядом с каждым студентом подписан номер его группы):

$\text{[math]}$

В данном случае нам подходят способы:

Выбрать первую и вторую группу — например, можно отнести студентов номер $1$ и $4$ к первой команде, а студентов номер $2$ и $3$ ко второй.
Выбрать вторую и третью группу — можно отнести студентов номер $3$ и $6$ к первой команде, а студентов номер $4$ и $5$ ко второй.
Выбрать первую и третью группы мы не можем, потому что не существует разбиения на команды, удовлетворяющего правилам игры.

Во втором тестовом примере мы можем выбрать любую пару групп. Обратите внимание, что несмотря на то, что в третьей группе нет студентов, мы все равно можем ее выбирать.

E. Капитализм

графы Конструктив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2700

Общество может быть представлено как связный, неориентированный граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Вершины соответствуют людям, а ребро $(i,j)$ обозначает дружбу между людьми $i$ и $j$.

В этом обществе доход $i$-о человека равен $a_i$. Человек $i$ завидует человеку $j$, если $a_j=a_i+1$. То есть человек $j$ имеет ровно на $1$ больше дохода, чем человек $i$.

Общество называется капиталистическим, если для всех пар друзей один из друзей завидует другому. Для некоторых пар друзей вы знаете, какой из друзей завидует другому. Для остальных пар, вы не знаете кто кому завидует.

Неравенство доходов общества определяется как $\max\limits_{1 \leq i \leq n} a_i - \min\limits_{1 \leq i \leq n} a_i$.

Вы знаете про все существующие пары друзей, но не знаете доходы людей. Если это общество не может быть капиталистическим ни при каких доходах людей, сообщите об этом. Иначе, вы должны найти возможные доходы для всех людей такие, чтобы общество было капиталистическим и неравенство доходов было максимальным.

Входные данные

В первой строке находится два целых числа $n$, $m$ ($1\le n\le 200$, $n-1\le m\le 2000$) — количество людей и пар друзей, соответственно.

Следующие $m$ строк описывают пары друзей. Каждая пара друзей описывается тремя целыми числами $i$, $j$, $b$ ($1\le i, j\le n, i\ne j, 0\le b\le 1$). Это описание означает, что люди $i$ и $j$ друзья. Если $b=1$, то человек $i$ завидует человеку $j$. Если $b=0$, то один из двух друзей должен завидовать другому, но неизвестно кто именно кому.

Существует не более одной дружбы между любой парой людей. Гарантируется, что если рассмотреть все пары друзей как неориентированные ребра, получившийся граф будет связным.

Выходные данные

Выведите «YES», если заданное общество может быть капиталистическим и «NO», иначе. Вы можете выводить символы в любом регистре (верхнем или нижнем).

Если ответ «YES» вы должны вывести еще две строки. В первой строке выведите максимальное возможное неравенство доходов. В следующей строке вы должны вывести $n$ целых чисел $a_1,\ldots, a_n$ ($0\le a_i\le 10^6$), где $a_i$ это доход $i$-о человека.

Можно доказать, что если решение существует, то существует решение, в котором $0\le a_i\le 10^6$ для всех $i$.

Если существует несколько возможных решений, выведите любое.

Примечание

В первом тесте можно показать, что для заданного общества не может быть неравенство доходов, большее чем $3$. В приведенном ответе с неравенством доходов, равным $3$:

Человек $2$ завидует человеку $1$.
Человек $3$ завидует человеку $2$.
Человек $5$ завидует человеку $2$.
Человек $6$ завидует человеку $5$ (удовлетворено условие на то, кто из друзей завидует другому).
Человек $6$ завидует человеку $3$.
Человек $2$ завидует человеку $4$ (удовлетворено условие на то, кто из друзей завидует другому).

Во втором тесте можно показать, что не существует способа выбрать доходы, чтобы удовлетворить все условия.

E. Количество простых путей

графы Деревья Комбинаторика поиск в глубину и подобное *2000

Вам дан неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $n$ ребер. Гарантируется, что заданный граф является связным (то есть возможно достичь любую вершину из любой другой вершины) и не содержит петель и кратных ребер.

Ваша задача — посчитать количество простых путей длины хотя бы $1$ в заданном графе. Заметьте, что пути, которые отличаются только направлением, являются одинаковыми (то есть вам необходимо посчитать количество неориентированных путей). Например, пути $[1, 2, 3]$ и $[3, 2, 1]$ являются одинаковыми.

Вам необходимо ответить на $t$ независимых наборов тестовых данных.

Напомним, что путем в графе называется такая последовательность вершин $v_1, v_2, \ldots, v_k$, что каждая пара соседних (последовательных) вершин в этой последовательности соединена ребром. Длиной пути является количество ребер в нем. Простым путем называется такой путь, что все вершины в нем различны.

Входные данные

Первая строка набора тестовых данных содержит одно целое число $n$ ($3 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин (и количество ребер) в графе.

Следующие $n$ строк набора тестовых данных описывают ребра: ребро $i$ задано парой вершин $u_i$, $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \ne v_i$), где $u_i$ и $v_i$ — это вершины, которые соединяет $i$-е ребро. Для каждой пары вершин $(u, v)$ существует не более одного ребра между $u$ и $v$. Не существует ребер из вершины в саму себя. Таким образом, в графе отсутствуют петли и кратные ребра. Граф является неориентированным, то есть все его ребра являются двунаправленными. Граф является связным, то есть всегда возможно достичь любую вершину из любой другой вершины, двигаясь по ребрам графа.

Гарантируется, что сумма $n$ не превосходит $2 \cdot 10^5$ ($\sum n \le 2 \cdot 10^5$).

Выходные данные

Выведите одно целое число для каждого набора тестовых данных: количество простых путей длины хотя бы $1$ в заданном графе. Заметьте, что пути, которые отличаются только направлением, являются одинаковыми (то есть вам необходимо посчитать количество неориентированных путей).

Примечание

Рассмотрим второй набор тестовых данных примера. Он выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

Здесь есть $11$ различных простых путей:

$[1, 2]$;
$[2, 3]$;
$[3, 4]$;
$[2, 4]$;
$[1, 2, 4]$;
$[1, 2, 3]$;
$[2, 3, 4]$;
$[2, 4, 3]$;
$[3, 2, 4]$;
$[1, 2, 3, 4]$;
$[1, 2, 4, 3]$.

D. Флипы и развороты

графы жадные алгоритмы Структуры данных *3100

Вам дана строка $s$ из символов 0 и 1. Вы можете делать преобразование следующего вида:

выбрать непустую сплошную подстроку $s$, содержащую одинаковое количество символов 0 и 1;
заменить все символы 0 в подстроке на 1, и наоборот;
развернуть подстроку.

Например, рассмотрим $s$ = 00111011, и следующее преобразование:

Выберем в качестве подстроки первые шесть символов: 00111011. Эту подстроку можно выбрать, поскольку в ней количество 0 и 1 совпадает. Выбирать подстроки 0, 110, или всю строку целиком нельзя.
Заменим все символы в подстроке на противоположные: 11000111.
Развернём подстроку: 10001111.

Найдите лексикографически минимальную строку, которую можно получить из $s$ после нуля или более преобразований.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $T$ ($1 \leq T \leq 5 \cdot 10^5$) — количество тестовых примеров. Каждая из следующих $T$ строк содержит одну непустую последовательность символов — строку $s$ в соответствующем примере.

Все строки состоят из символов 0 и 1, и их суммарная длина не превосходит $5 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого примера на отдельной строке выведите лексикографически минимальную строку, которую можно получить из $s$ после нуля или более преобразований.

Примечание

В первом примере достаточно применить одно преобразование ко всей строке целиком.

Во втором примере необходимо два преобразования: 0111001, 0110110.

В третьем примере строка в результате любого преобразования не меняется.

E. Уровень воды

графы жадные алгоритмы математика Перебор реализация *2200

Джон очень успешно обосновался на своей новой работе в офисе. Но Джон не любит сидеть без дела, пока его код компилируется, поэтому он сразу же нашел себе достаточно интересное занятие, которое заключается в поддержании уровня воды в кулере, который используют другие зебры.

$\text{[math]}$

Изначально в кулере находится ровно $k$ литров воды. Джон решил, что уровень воды всегда должен быть не менее $l$ литров и не более $r$ литров. Джон будет находиться в офисе ровно $t$ дней. Он знает, что каждый день из кулера будут выпивать ровно $x$ литров воды. Джон перед началом каждого дня может налить в кулер ровно $y$ литров воды. При этом в любой момент времени количество воды в кулере должно находиться в диапазоне $[l, r]$.

Теперь Джону стало интересно, сможет ли он в течение $t$ дней поддерживать количество воды в кулере. Помогите ему ответить на этот вопрос!

Входные данные

Первая строка ввода содержит шесть целых чисел $k$, $l$, $r$, $t$, $x$ и $y$ ($1 \le l \le k \le r \le 10^{18}; 1 \le t \le 10^{18}; 1 \le x \le 10^6; 1 \le y \le 10^{18}$) — изначальное количество воды, требуемый диапазон, количество дней, ежедневные потери воды и допустимое добавляемое количество воды соответственно.

Выходные данные

Выведите «Yes», если Джон сможет поддерживать уровень воды в течение $t$ дней, и «No» в противном случае.

Примечание

В первом тестовом примере Джон не может увеличить запас воды в начале первого дня, так как он превысит лимит $r$. Поэтому после первого дня в кулере будет $2$ литра. Далее Джон увеличивает запас на $4$ литра, однако теряет $6$ литров. В итоге у Джона останется $0$ литров воды, то есть объём не будет в диапазоне $[1, 10]$.

Во втором тестовом примере после первого дня у Джона останется $2$ литра воды. Далее, в начале второго дня он добавит $5$ литров, а потом объём воды уменьшится на $6$ литров. В итоге у Джона останется $1$ литр воды, что входит в диапазон $[1, 10]$.

В третьем тестовом примере после первого дня у Джона останется $7$ литров воды, после второго — $5$ литров, после четвёртого — $1$ литр. Далее, в начале пятого дня Джон добавит $9$ литров, а после потеряет $2$ литра. Значит, после пятого дня у него останется $8$ литров. Далее, каждый день уровень воды будет понижаться на $2$ литра, в итоге после восьмого дня у Джона останется $2$ литра воды, а после девятого — $0$ литров. $0$ не входит в диапазон $[1, 10]$, поэтому ответ «No».

В четвёртом тестовом примере после первого дня у Джона останется $15$ литров воды. В начале второго дня он добавит $7$ литров, а после потеряет $5$, а значит после второго дня у него останется $17$ литров воды. В начале третьего дня он добавит $7$ литров воды, а после потеряет $5$, значит после третьего дня у него останется $19$ литров воды. $19$ входит в диапазон $[15, 25]$, поэтому ответ «Yes».

E. План лекций

графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное реализация снм сортировки *2400

Иван — учитель по программированию. В течение учебного года он планирует прочитать $n$ лекций на $n$ различных тем. Каждая тема должна быть использована ровно в одной лекции. Иван хочет выбрать, какую тему он будет объяснять во время $1$-й, $2$-й, ..., $n$-й лекции — формально он хочет выбрать некоторую перестановку целых чисел от $1$ до $n$ (назовем эту перестановку $q$). $q_i$ — это номер темы, которую Иван объяснит во время $i$-й лекции.

Для каждой темы (за исключением ровно одной) существует обязательная предшествующая тема (для $i$-й темы предшествующая тема — $p_i$). Иван не может читать лекцию по теме, не прочитав лекцию по ее предшествующей теме. Существует по крайней мере один допустимый порядок тем в соответствии с этими предварительными ограничениями.

Правильный порядок тем может помочь студентам лучше понять лекции. У Ивана есть $k$ специальных пар тем $(x_i, y_i)$ таких, что он знает, что студенты лучше поймут $y_i$-ю тему, если лекция по ней будет проводиться сразу после лекции по $x_i$-й теме. Иван хочет удовлетворить ограничениям на каждую такую пару, то есть для каждого $i \in [1, k]$ должно существовать некоторое $j \in [1, n - 1]$ такое, что $q_j = x_i$ и $q_{j + 1} = y_i$.

Теперь Иван хочет знать, существует ли порядок тем, удовлетворяющий всем этим ограничениям, и если хотя бы один из них существует, найти любой из них.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $k$ ($2 \le n \le 3 \cdot 10^5$, $1 \le k \le n - 1$) — количество тем и количество специальных пар тем соответственно.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$ ($0 \le p_i \le n$), где $p_i$ — обязательная предшествующая тема для темы $i$ (или $p_i = 0$, если у $i$-й темы нет предшествующей темы). Ровно одно из этих целых чисел равно $0$. Существует по крайней мере один порядок тем, такой что для каждой темы $i$ тема $p_i$ идет до $i$-й темы.

Затем следует $k$ строк, $i$-я строка содержит два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$; $x_i \ne y_i$) — темы из специальной пары $i$. Все значения $x_i$ попарно различны; аналогично, все значения $y_i$ попарно различны.

Выходные данные

Если не существует порядка тем, удовлетворяющих всем ограничениям, выведите $0$.

В противном случае выведите $n$ попарно различных целых чисел $q_1$, $q_2$, ..., $q_n$ ($1 \le q_i \le n$) — порядок тем, удовлетворяющих всем ограничениям. Если ответов несколько, выведите любой из них.

F. Кошмар Евклида

битмаски графы жадные алгоритмы математика поиск в глубину и подобное снм сортировки *2100

Вы должно быть знаете, что Евклид был математиком. Ну, как оказалось, Морфей об этом тоже знал. Поэтому, когда он захотел разыграть Евклида, он послал ему соответствующий кошмар.

В своем плохом сне, у Евклида был набор $S$ из $n$ $m$-мерных векторов над полем $\mathbb{Z}_2$, и он мог их складывать. Другими словами, у него были вектора с $m$ координатами, каждая координата равнялась либо $0$, либо $1$. Сложение векторов определяется следующим образом: пусть $u+v = w$, тогда $w_i = (u_i + v_i) \bmod 2$.

Евклид может сложить любое подмножество векторов из $S$ и сохранить получившийся $m$-мерный вектор над $\mathbb{Z}_2$. В частности, он может сложить пустое подмножество векторов. В таком случае, все координаты получившегося вектора будут равны $0$.

Пусть $T$ будет множеством всех векторов, которые могут быть получены как сумма некоторого подмножества векторов из $S$. Теперь Евклид интересуется, каков размер $T$, и может ли он использовать только какое-то подмножество $S'$ множества $S$, чтобы получить все вектора из $T$. Как всегда и бывает в таких ситуациях, он не проснется до тех пор, пока не выяснит это. Пока что дела для философа обстоят довольно мрачно. Однако, появилась надежда, когда он заметил, что все вектора из $S$ содержат максимум $2$ координаты, равные $1$.

Помогите Евклиду вычислить $|T|$, количество $m$-мерных векторов над $\mathbb{Z}_2$, которые могут быть получены как сумма какого-то подмножества векторов из $S$. Так как оно может быть довольно велико, выведите его по модулю $10^9+7$. Также, вы должны найти $S'$, минимальное такое подмножество $S$, что все вектора из $T$ могут быть получены как как сумма какого-то подмножества векторов из $S'$. В случае, если существует несколько таких подмножеств с минимальным количеством элементов, выведите лексикографически минимальный по индексам взятых элементов.

Рассмотрим два множества $A$ и $B$, такие что $|A| = |B|$. Пусть $a_1, a_2, \dots a_{|A|}$ и $b_1, b_2, \dots b_{|B|}$ будут возрастающие массивы индексов элементов, взятых в $A$ и в $B$, соответственно. $A$ лексикографически меньше, чем $B$, если существует такое $i$, что $a_j = b_j$ для всех $j < i$ и $a_i < b_i$.

Входные данные

В первой строке даны два целых числа $n$, $m$ ($1 \leq n, m \leq 5 \cdot 10^5$), обозначающие количество векторов в $S$ и количество измерений.

В следующих $n$ строках дано описание векторов из $S$. В каждой из них дано целое число $k$ ($1 \leq k \leq 2$), а затем $k$ различных целых чисел $x_1, \dots x_k$ ($1 \leq x_i \leq m$). Это обозначает $m$-мерный вектор, у которого координаты номер $x_1, \dots x_k$ равны $1$, а все остальные координаты равны $0$.

Среди этих $n$ векторов нет одинаковых.

Выходные данные

В первой строке выведите два целых числа: остаток от деления $|T|$ на $10^9+7$, и $|S'|$. Во второй строке выведите $|S'|$ целых чисел — индексы элементов, входящих в $S'$, в возрастающем порядке. Элементы $S$ нумеруются с $1$ в порядке, в котором они даны во входных данных.

Примечание

В первом примере нам даны три вектора:

$10$
$01$
$11$

Оказывается, что мы может представить все вектора из $2$-мерного пространства используя эти вектора:

$00$, сумма пустого подмножества векторов;
$01 = 11 + 10$, сумма первого и третьего векторов;
$10 = 10$, просто первый вектор;
$11 = 10 + 01$, сумма первого и второго векторов.

Поэтому, $T = \{00, 01, 10, 11\}$. Мы можем выбрать любые два из трех векторов $S$, и все еще будем способны получить все вектора из $T$. В таком случае, мы выберем два первых вектора. Так как мы не можем получить все вектора из $T$, используя только один вектор из $S$, $|S'| = 2$ и $S' = \{10, 01\}$ (индексы $1$ и $2$), как множество $\{1, 2 \}$ — лексикографически минимально. Мы можем получить все вектора из $T$, используя только вектора из $S'$, как показано ниже:

$00$, сумма пустого подмножества;
$01 = 01$, просто второй вектор;
$10 = 10$, просто первый вектор;
$11 = 10 + 01$, сумма первого и второго вектора.

H. Поиск удовлетворяющих решений

графы дп жадные алгоритмы Комбинаторика математика *3300

Добраться до сюда в контесте было непросто. Решив все предыдущие задачи, вы произвели большое впечатление на богов. Поэтому, они решили избавить вас от истории в этой задаче и вместо этого дать вам формальное условие.

Рассмотрим $n$ агентов. У каждого из них изначально есть ровно один предмет, у $i$-го агента есть предмет номер $i$. Мы хотим переназначить предметы между агентами. Назначение будет валидным, если каждый предмет назначен ровно одному агенту, и у каждого агента есть ровно один предмет.

У каждого агента есть предпочтения одних предметов перед другими, которое может быть выражено перестановкой $p$ элементов, отсортированных от наиболее желанных до наименее желанных. Другими словами, агент предпочитает предмет $i$ предмету $j$, если $i$ появляется раньше в его перестановке $p$. Профиль предпочтений это список из $n$ перестановок длины $n$ каждая, $i$-я перестановка описывает предпочтения $i$-го агента.

Возможно, что некоторые агенты недовольны назначенными им предметами. Множество недовольных агентов может выбрать не кооперироваться с другими агентами. В таком случае, они обменяются теми предметами, которые у них были изначально ($i$-му агенту принадлежал $i$-й предмет), только между собой. Агенты из группы не волнуются об удовлетворенности агентов вне группы. Однако, они должны обменяться предметами так, чтобы как минимум один из них стал счастливее, и никто не стал менее счастливым (по сравнению с назначением, которое было сделано).

Формально, рассмотрим валидное назначение элементов — $A$. Скажем, что $A(i)$ обозначает предмет, назначенный $i$-му агенту. Также, рассмотрим подмножество агентов. Пусть $S$ будет множеством их индексов. Скажем, что это подмножество агентов недовольно, если существует такое валидное назначение элементов $B(i)$, что:

Для всех $i \in S$, $B(i) \in S$.
Ни один агент $i \in S$ не предпочитает предмет $A(i)$ предмету $B(i)$ (ни один агент из $S$ не менее счастлив).
Как минимум один агент $i \in S$ предпочитает предмет $B(i)$ предмету $A(i)$ (как минимум один агент из $S$ более счастлив).

Назначение оптимально, если ни одно подмножество агентов не недовольно. Обратите внимание, что пустое подмножество не может быть недовольно. Можно доказать, что для каждого профиля предпочтений существует ровно одно оптимальное назначение.

Пример: Рассмотрим $3$ агентов со следующими профилями предпочтений:

$[2, 1, 3]$
$[1, 2, 3]$
$[1, 3, 2]$

И следующее назначение:

Первый агент получает предмет $2$
Второй агент получает предмет $3$.
Третий агент получает предмет $1$.

Заметьте, что множество агентов $\{1, 2\}$ является недовольным, потому что они могут переупорядочить их (исходные) предметы следующим образом:

Первый агент получает предмет $2$.
Второй агент получает предмет $1$.
Третий агент получает предмет $3$.

Это назначение сделает второго агента более счастливым, и не имеет разницы для первого агента. В результате, третий агент получит предмет, который хуже для него, но это не влияет на то, что множество $\{1,2\}$ будет недовольно (он не лежит в этом множестве).

Следующее назначение будет оптимальным:

Первый агент получает предмет $2$.
Второй агент получает предмет $1$.
Третий агент получает предмет $3$.

Дано назначение $A$, вычислите количество различных профилей предпочтений, для которых это назначение $A$ является оптимальным. Так как ответ может быть большим, выведите его по модулю $10^9+7$.

Два профиля предпочтений считаются различными, если есть агент, у которого различается перестановка предпочтений.

Входные данные

В первой строке дано одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 40$). В следующей строке дано $n$ целых чисел, перестановка чисел от $1$ до $n$. Число на $i$-й позиции обозначает предмет, назначенный $i$-му агенту.

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество профилей предпочтений, для который данное назначение является оптимальным, по модулю $10^9+7$.

Примечание

Назначение в первом примере является оптимальным только для следующего профиля предпочтений:

$2, 1$

$1, 2$

Если бы какой-то агент больше всего хотел получить не тот предмет, который ему дали, он мог бы сам по себе сформировать недовольное подмножество. Поэтому, для любого другого профиля предпочтений это назначение было бы не оптимально.

J. Road Reform

графы жадные алгоритмы снм *1800

There are $n$ cities and $m$ bidirectional roads in Berland. The $i$-th road connects the cities $x_i$ and $y_i$, and has the speed limit $s_i$. The road network allows everyone to get from any city to any other city.

The Berland Transport Ministry is planning a road reform.

First of all, maintaining all $m$ roads is too costly, so $m - (n - 1)$ roads will be demolished in such a way that the remaining $(n - 1)$ roads still allow to get to any city from any other city. Formally, the remaining roads should represent an undirected tree.

Secondly, the speed limits on the remaining roads might be changed. The changes will be done sequentially, each change is either increasing the speed limit on some road by $1$, or decreasing it by $1$. Since changing the speed limit requires a lot of work, the Ministry wants to minimize the number of changes.

The goal of the Ministry is to have a road network of $(n - 1)$ roads with the maximum speed limit over all roads equal to exactly $k$. They assigned you the task of calculating the minimum number of speed limit changes they have to perform so the road network meets their requirements.

For example, suppose the initial map of Berland looks like that, and $k = 7$:

$\text{[math]}$

Then one of the optimal courses of action is to demolish the roads $1$–$4$ and $3$–$4$, and then decrease the speed limit on the road $2$–$3$ by $1$, so the resulting road network looks like that:

$\text{[math]}$

Input

The first line contains one integer $t$ ($1 \le t \le 1000$) — the number of test cases.

The first line of each test case contains three integers $n$, $m$ and $k$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $n - 1 \le m \le \min(2 \cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2})$; $1 \le k \le 10^9$) — the number of cities, the number of roads and the required maximum speed limit, respectively.

Then $m$ lines follow. The $i$-th line contains three integers $x_i$, $y_i$ and $s_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$; $x_i \ne y_i$; $1 \le s_i \le 10^9$) — the cities connected by the $i$-th road and the speed limit on it, respectively. All roads are bidirectional.

The road network in each test case is connected (that is, it is possible to reach any city from any other city by traveling along the road), and each pair of cities is connected by at most one road.

The sum of $n$ over all test cases does not exceed $2 \cdot 10^5$. Similarly, the sum of $m$ over all test cases does not exceed $2 \cdot 10^5$.

Output

For each test case, print one integer — the minimum number of changes the Ministry has to perform so that the maximum speed limit among the remaining $(n - 1)$ roads is exactly $k$.

Note

The explanation for the example test:

The first test case is described in the problem statement.

In the second test case, the road network initially looks like that:

$\text{[math]}$

The Ministry can demolish the roads $1$–$2$, $3$–$2$ and $3$–$4$, and then increase the speed limit on the road $1$–$4$ three times.

In the third test case, the road network already meets all the requirements.

In the fourth test case, it is enough to demolish the road $1$–$2$ so the resulting road network meets the requirements.

M. Similar Sets

графы реализация Структуры данных *2300

You are given $n$ sets of integers. The $i$-th set contains $k_i$ integers.

Two sets are called similar if they share at least two common elements, i. e. there exist two integers $x$ and $y$ such that $x \ne y$, and they both belong to each of the two sets.

Your task is to find two similar sets among the given ones, or report that there is no such pair of sets.

Input

The first line contains a single integer $t$ ($1 \le t \le 50000$) — the number of test cases. Then $t$ test cases follow.

The first line of each test case contains a single integer $n$ ($2 \le n \le 10^5$) the number of given sets. The following $n$ lines describe the sets. The $i$-th line starts with an integer $k_i$ ($2 \le k_i \le 10^5$) — the number of integers in the $i$-th set. Then $k_i$ integers $a_{i,1}$, $a_{i,2}$, ..., $a_{i,k_i}$ ($1 \le a_{i,j} \le 10^9$) follow — the elements of the $i$-th set. It is guaranteed that all elements in each set are different.

The total number of elements in all sets in all test cases is not greater than $2\cdot 10^5$.

Output

For each test case, print the answer on a single line.

If there is no pair of similar sets, print -1.

Otherwise, print two different integers — the indices of the similar sets. The sets are numbered from $1$ to $n$ in the order they are given in the input. If there are multiple answers, print any of them.

B. Дом улыбок

Бинарный поиск графы матрицы *2500

Дом улыбок создан, чтобы повышать настроение. В нем есть n комнат. Некоторые из комнат соединены дверьми. Про каждые две комнаты (с номерами i и j), которые соединены дверью, Петя знает величину c_ij — на сколько изменяется у него настроение при переходе из комнаты с номером i в комнату с номером j.

Петя задумался: может ли он поднять себе настроение до бесконечности, двигаясь по какому-нибудь циклу? А если может, то какое минимальное количество комнат ему надо будет проходить за один период цикла?

Входные данные

В первой строке записаны два целых положительных числа n и m ( $\text{[math]}$ ), где n — количество комнат, а m — количество дверей в доме улыбок. Далее идет описание дверей: m строк по четыре целых числа i, j, c_ij и c_ji (1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j, - 10⁴ ≤ c_ij, c_ji ≤ 10⁴). Гарантируется, что любые две комнаты соединяет не более одной двери. Никакая дверь не соединяет комнату саму с собой.

Выходные данные

Выведите минимальное количество комнат, которое необходимо проходить за один проход по циклу, бесконечно повышающему настроение, или число 0, если такого цикла не существует.

Примечание

Напомним, что циклом называется такая последовательность комнат a₁, a₂, ..., a_k, что a₁ соединена с a₂, a₂ соединена с a₃, ..., a_k - 1 соединена с a_k, a_k соединена с a₁. Некоторые элементы последовательности могут совпадать, то есть цикл не обязательно должен быть простым. Количеством комнат в цикле считается k, длина последовательности. Заметим, что минимальная возможная длина равна двум.

B. Странное определение

битмаски графы математика теория чисел хэши *1900

Назовём два числа $x$ и $y$ смежными, если $\frac{lcm(x, y)}{gcd(x, y)}$ — полный квадрат. К примеру, $3$ и $12$ являются смежными, а $6$ и $9$ — нет.

Здесь $gcd(x, y)$ обозначает наибольший общий делитель (НОД) чисел $x$ и $y$, а $lcm(x, y)$ обозначает наименьшее общее кратное (НОК) чисел $x$ и $y$.

У вас есть массив $a$ размера $n$, и каждую секунду происходит следующее: каждый элемент массива $a_i$ заменяется на произведение всех смежных с ним чисел из массива (включая и сам элемент $a_i$).

Пусть $d_i$ — количество смежных с $a_i$ чисел из массива (включая само число). Красота массива определяется как $\max_{1 \le i \le n} d_i$. Вам даны $q$ запросов, каждый из которых описывается числом $w$. Для каждого запроса выведите красоту массива после $w$ секунд.

Входные данные

В первой строке входных данных содержится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^5)$ — количество тестовых примеров.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($1 \le n \le 3 \cdot 10^5$) — длину массива.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^6$) — элементы массива.

Следующая строка содержит целое число $q$ ($1 \le q \le 3 \cdot 10^5$) — количество запросов.

Каждая из следующих $q$ строк содержит единственное целое число $w$ ($0 \le w \le 10^{18}$) — описание запроса.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$, и сумма значений $q$ по всем наборам входных данных также не превосходит $3 \cdot 10^5$

Выходные данные

Для каждого запроса выведите одно число — красоту массива в соответствующий момент времени.

Примечание

В первом наборе входных данных исходный массив состоит из чисел $[6, 8, 4, 2]$. Элемент $a_4=2$ в этом массиве является смежным с числами $a_4=2$ (так как $\frac{lcm(2, 2)}{gcd(2, 2)}=\frac{2}{2}=1=1^2$) и $a_2=8$ (так как $\frac{lcm(8,2)}{gcd(8, 2)}=\frac{8}{2}=4=2^2$). Таким образом, $d_4=2$, и это максимальное значение $d_i$ среди элементов данного массива.

Во втором наборе входных данных исходный массив состоит из чисел $[12, 3, 20, 5, 80, 1]$. Элементы, смежные с $12$, это $\{12, 3\}$, смежные с $3$ — $\{12, 3\}$, смежные с $20$ — $\{20, 5, 80\}$, смежные с $5$ — $\{20, 5, 80\}$, смежные с $80$ — $\{20, 5, 80\}$, смежные с $1$ — $\{1\}$. Через одну секунду массив превращается в $[36, 36, 8000, 8000, 8000, 1]$.

D. Странное расселение

графы жадные алгоритмы Конструктив Паросочетания поиск в глубину и подобное *2200

В ЛКШ на территории Летово школьники будь жить в домиках. Некоторые пары домиков соединены крытыми переходами, по которым можно перемещаться в обоих направлениях. В некоторых из этих домиках будут жить преподаватели, но из соображений безопасности они не могут быть размещены произвольным образом. А именно, должны выполняться следующие условия:

Каждый переход между домами, ни в одном из которых не живут преподаватели, будет закрыт. Все остальные переходы будут открыты.
От любого дома до другого должен существовать способ добраться по открытым переходам.
Преподаватели не могут жить в домах, соединённых переходом.

Помогите организаторам выбрать домики, в которых будут жить преподаватели, так, чтобы выполнялись все требования безопасности, или определите, что это невозможно.

Входные данные

В первой строке дано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^5$), обозначающее количество наборов входных данных.

Описание каждого набора входных данных начинается с двух чисел $n$ и $m$ ($2 \le n \le 3 \cdot 10^5$, $0 \le m \le 3 \cdot 10^5$) — количества домиков и переходов.

Далее следуют $m$ строк, в каждой из которых даны числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \neq v$), описывающие переход между домами $u$ и $v$. Гарантируется, что между любыми двумя домами существует не более одного перехода, и никакой переход не соединяет домик сам с собой.

Сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$, и сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в первой строке выведите «YES», если организаторы могут поселить преподавателей так, чтобы выполнялись требования безопасности, и «NO» в противном случае. Если ответ «YES», то во второй строке выведите количество домов, в которые нужно поселить преподавателей, а в третьей строке — номера выбранных домов.

Примечание

Следующая картинка соответствует второму примеру из условия:

$\text{[math]}$

E. Странная перестановка

Бинарный поиск графы дп Комбинаторика реализация Структуры данных *3200

У Игоря была перестановка $p_1, p_2, \ldots, p_n$. К сожалению, перестановка выглядела достаточно скучно, так что он решил выбрать несколько непересекающихся подотрезков перестановки и развернуть каждый из них. Стоимость разворота одного отрезка $[l, r]$ (то есть элементов на позициях с $l$ по $r$ включительно) равна $r - l$, а общая стоимость одной операции равна сумме стоимостей разворота для соответствующих отрезков. Игорю на Новый Год подарили целое число $c$, поэтому его интересуют лишь те операции, стоимость которых не превосходит $c$.

Затем Игорю стало совсем скучно, и он решил выписать на листочек все перестановки, которые он может получить из исходной, проделав ровно одну операцию. Каждую перестановку он выписал ровно один раз, даже если какую-то перестановку можно было получить несколькими способами. Полученный список Игорь отсортировал лексикографически.

Теперь Денис решил задать Игорю несколько вопросов про его список. Каждый вопрос выглядит следующим образом: чему равно $i$-е число в $j$-й перестановке в списке Игоря? Разумеется, Игорю слишком скучно заниматься ответами на эти вопросы, так что он обратился к вам за помощью.

Входные данные

В первой строке дано целое число $t$ ($1 \leq t \leq 30$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $c$, $q$ ($1 \leq n \leq 3 \cdot 10^4$, $1 \leq c \leq 4$, $1 \leq q \leq 3 \cdot 10^5$) — размер перестановки, максимальная стоимость операции и число вопросов.

В следующей строке содержатся $n$ целых чисел $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \leq p_i \leq n$, $p_i \neq p_j$ если $i \neq j$) — элементы исходной перестановки.

В каждой из следующих $q$ содержатся описания вопросов, каждое описание состоит из двух целых чисел $i$ и $j$ ($1 \leq i \leq n$, $1 \leq j \leq 10^{18}$).

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$, и что сумма $q$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого вопроса в отдельной строке выведите ответ на этот вопрос или $-1$, если Игорь ошибся и $j$-й перестановки не существует на листочке Игоря.

Примечание

В первом примере Игорь выписал на листочек следующие перестановки: $[1, 2, 3]$, $[1, 3, 2]$, $[2, 1, 3]$.

Обратите внимание, что для получения перестановки $[3, 2, 1]$ Игорю пришлось бы развернуть весь массив, а стоимость такой операции равна $2$, что больше указанного значения $c=1$. Другие две перестановки не могут быть получены из исходной путем применением операции из условия задачи.

C. Длинные прыжки

графы дп *1100

Поликарп нашёл под ёлкой массив $a$ из $n$ элементов и инструкцию для игры с ним:

Выбери число $i$ ($1 \leq i \leq n$) — стартовую позицию в массиве. Помести фишку на позицию $i$ (на элемент $a_i$);
Пока $i \leq n$, прибавь к своему результату значение $a_i$ и переместись на $a_i$ вправо (т.е. замени $i$ на $i + a_i$);
Если $i > n$, то Поликарп заканчивает игру.

Например, если $n = 5$ и $a = [7, 3, 1, 2, 3]$, тогда следующие варианты игр возможны:

Поликарп выбирает $i = 1$. Процесс игры: $i = 1 \overset{+7}{\longrightarrow} 8$. Результат игры: $a_1 = 7$.
Поликарп выбирает $i = 2$. Процесс игры: $i = 2 \overset{+3}{\longrightarrow} 5 \overset{+3}{\longrightarrow} 8$. Результат игры: $a_2 + a_5 = 6$.
Поликарп выбирает $i = 3$. Процесс игры: $i = 3 \overset{+1}{\longrightarrow} 4 \overset{+2}{\longrightarrow} 6$. Результат игры: $a_3 + a_4 = 3$.
Поликарп выбирает $i = 4$. Процесс игры: $i = 4 \overset{+2}{\longrightarrow} 6$. Результат игры: $a_4 = 2$.
Поликарп выбирает $i = 5$. Процесс игры: $i = 5 \overset{+3}{\longrightarrow} 8$. Результат игры: $a_5 = 3$.

Помогите Поликарпу узнать, какой максимальный результат он может получить, если он выбирает стартовую позицию оптимально.

Входные данные

В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют $t$ наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных находится одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — длина массива $a$.

В следующей строке находятся $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq 10^9$) — элементы массива $a$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в отдельной строке выведите одно число — максимальный результат, который Поликарп может получить, сыграв в игру на соответствующем массиве по инструкции из условия. Обратите внимание, что Поликарп выбирает любую стартовую позицию от $1$ до $n$ таким образом, чтобы максимизировать свой результат.

Примечание

Первый набор входных данных разобран в условии.

Во втором наборе входных данных максимальный результат достигается при выборе $i = 1$.

В третьем наборе входных данных максимальный результат достигается при выборе $i = 2$.

В четвёртом наборе входных данных максимальный результат достигается при выборе $i = 1$.

G. Переезд в столицу

графы дп кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2100

В Берляндии находятся $n$ городов. Город с номером $1$ является столицей. Некоторые пары городов соединены односторонней дорогой длины 1.

Перед поездкой Поликарп для каждого города узнал величину $d_i$ — расстояние от столицы (города с номером $1$) до города с номером $i$. Поликарп начинает своё путешествие в городе с номером $s$ и, находясь в $i$-м городе, выбирает одно из следующих действий:

Поехать из $i$-го города в $j$-й, если существует дорога из $i$-го города в $j$-й и $d_i < d_j$;
Поехать из $i$-го города в $j$-й, если существует дорога из $i$-го города в $j$-й и $d_i \geq d_j$;
Прекратить путешествие.

Так как правительство Берляндии не хочет, чтобы все люди съезжались в столицу, поэтому Поликарп может не более одного раза совершить действие из пункта два. Иными словами, второе действие он может совершить $0$ или $1$ раз. Поликарп же, наоборот, хочет оказаться как можно ближе к столице.

$\text{[math]}$

Например, если $n = 6$ и города соединены, как на картинке выше, то Поликарп мог совершить следующие путешествия (не все возможные варианты):

$2 \rightarrow 5 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 5$;
$3 \rightarrow 6 \rightarrow 2$;
$1 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 2 \rightarrow 5$.

Поликарп хочет узнать для каждого стартового города $i$ узнать, на какое ближайшее расстояние он может подобраться к столице. Более формально: он хочет узнать минимальное значение $d_j$, такое что Поликарп может добраться из города $i$ в город $j$ по выше описанным правилам.

Входные данные

Перед каждым набором входных данных расположена пустая строка.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) и $m$ ($1 \leq m \leq 2 \cdot 10^5$) — количество городов и дорог соответственно.

Далее следуют $m$ строк, описывающих дороги. Каждая дорога характеризуется двумя целыми числами $u$ и $v$ ($1 \leq u, v \leq n, u \ne v$) — номера городов, соединённых односторонней дорогой.

Гарантируется, что суммы $n$ и $m$ по всем наборам входных данных не превышают $2 \cdot 10^5$.

Гарантируется, что для каждой пары различных городов $(u, v)$ существует не более одной дороги из $u$ в $v$ (но пара встречных дорог из $u$ в $v$ и из $v$ в $u$ — допустима).

Гарантируется, что из столицы существует путь до всех городов.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в отдельной строке выведите $n$ чисел, $i$-е из которых равно минимально возможному расстоянию от столицы до города, в котором Поликарп закончил своё путешествие.

E. Минимальный путь

графы кратчайшие пути *2400

Задан неориентированный взвешенный связный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Гарантируется, что в данном графе нет петель и кратных ребер.

Определим вес пути, состоящего из $k$ ребер с индексами $e_1, e_2, \dots, e_k$ как $\sum\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}} - \max\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}} + \min\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}}$, где $w_i$ — вес $i$-го ребра в графе.

Ваша задача — для каждого $i$ ($2 \le i \le n$) найти минимальный вес пути от $1$-й вершины до $i$-й вершины.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин и количество ребер в графе.

Следующие $m$ строк содержат по три целых числа $v_i, u_i, w_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$; $1 \le w_i \le 10^9$; $v_i \neq u_i$) — концы $i$-го ребра и его вес соответственно.

Выходные данные

Выведите $n-1$ целых чисел — минимальный вес пути от $1$-й вершины до $i$-й вершины для каждого $i$ ($2 \le i \le n$).

C. Бал в Берляндии

графы Комбинаторика математика *1400

В школе, в которой учится Вася, идет подготовка к проведению выпускного. Одно из запланированных выступлений — бал, в котором примут участие пары состоящие из мальчиков и девочек.

Каждый класс должен представить на бал по две пары. В классе Васи $a$ мальчиков и $b$ девочек изъявили желание участвовать в мероприятии. Но не все мальчики и не все девочки готовы танцевать в паре.

Формально, вам известно $k$ возможных пар, состоящих из одного мальчика и одной девочки. Вам нужно выбрать из этих пар две так, чтобы ни один человек не состоял больше чем в одной паре.

Например, если $a=3$, $b=4$, $k=4$ и следующие пары готовы танцевать вместе $(1, 2)$, $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(3, 4)$ (в каждой паре сначала идет номер мальчика, потом номер девочки), то возможны следующие комбинации из двух пар (ниже перечислены не все возможные варианты):

$(1, 3)$ и $(2, 2)$;
$(3, 4)$ и $(1, 3)$;

Но следующие комбинации не возможны:

$(1, 3)$ и $(1, 2)$ — первый мальчик входит сразу в две пары;
$(1, 2)$ и $(2, 2)$ — вторая девочка входит сразу в две пары;

Найдите количество способов выбрать две пары, походящие под условие выше. Два способа считаются различными, если состоят из разных пар.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют $t$ наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных содержатся три целых числа $a$, $b$ и $k$ ($1 \le a, b, k \le 2 \cdot 10^5$) — количество мальчиков и девочек в классе и количество пар готовых танцевать вместе.

Во второй строке каждого набора входных данных содержится $k$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots a_k$. ($1 \le a_i \le a$), где $a_i$ — номер мальчика в паре с номером $i$.

В третьей строке каждого набора входных данных содержится $k$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots b_k$. ($1 \le b_i \le b$), где $b_i$ — номер девочки в паре с номером $i$.

Гарантируется, что суммы $a$, $b$ и $k$ по всем наборам входных данных не превосходят $2 \cdot 10^5$.

Гарантируется, что каждая пара указана в одном наборе входных данных не больше одного раза.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в отдельной строке выведите одно целое число — количество способов выбрать две пары, походящие под условие выше.

Примечание

В первом наборе входных данных следующие комбинации из двух пар подходят:

$(1, 2)$ и $(3, 4)$;
$(1, 3)$ и $(2, 2)$;
$(1, 3)$ и $(3, 4)$;
$(2, 2)$ и $(3, 4)$.

Во втором наборе входных данных есть всего одна пара.

В третьем наборе входных данных следующие комбинации из двух пар подходят:

$(1, 1)$ и $(2, 2)$;
$(1, 2)$ и $(2, 1)$.

C. Наидлиннейший простой цикл

графы дп жадные алгоритмы *1600

У вас есть $n$ цепей, и $i$-я цепь состоит из $c_i$ вершин. Вершины в каждой цепи пронумерованы независимо от $1$ по $c_i$ вдоль этой цепи. Другими словами, $i$-я цепь — это неориентированный граф из $c_i$ вершин и $(c_i - 1)$ ребер, соединяющих $j$-ю и $(j + 1)$-ю вершины для всех $1 \le j < c_i$.

Вы решили объединить эти цепи в один граф следующим образом:

первая цепь пропускается;
$1$-я вершина $i$-й цепи соединяется ребром с $a_i$-й вершиной $(i - 1)$-й цепи;
последняя ($c_i$-я) вершина $i$-й цепи соединяется ребром с $b_i$-й вершиной $(i - 1)$-й цепи.

$\text{[math]}$ Изображение первого набора входных данных. Пунктирные линии означают ребра, добавленные во время объединения

Посчитайте длину наидлиннейшего простого цикла в полученном графе.

Простой цикл — это, фактически, цепь, в которой первая и последняя вершины также соединены ребром. Если двигаться вдоль простого цикла, то мы посетим каждую вершину этого цикла ровно по одному разу.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора задано одно целое число $n$ ($2 \le n \le 10^5$) — количество цепей.

Во второй строке каждого набора заданы $n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($2 \le c_i \le 10^9$) — количество вершин в соответствующих цепях.

В третьей строке каждого набора заданы $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($a_1 = -1$; $1 \le a_i \le c_{i - 1}$).

В четвертой строке каждого наборе заданы $n$ целых чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ ($b_1 = -1$; $1 \le b_i \le c_{i - 1}$).

Оба числа $a_1$ и $b_1$ равны $-1$, они не используются в построении графа и заданы лишь для соответствия нумерации. Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, выведите длину наибольшего простого цикла.

Примечание

В первом наборе входных данных, наидлиннейший простой цикл изображен ниже:

$\text{[math]}$

Мы не можем увеличить этот цикл с помощью первой цепи, так как в этом случае цикл уже не будет простым — вершина $2$ на второй цепи нарушит простоту цикла.

E. Сопоставление шаблонов

битмаски графы поиск в глубину и подобное сортировки Строки Структуры данных хэши *2300

Вам даны $n$ шаблонов $p_1, p_2, \dots, p_n$ и $m$ строк $s_1, s_2, \dots, s_m$. Каждый шаблон $p_i$ состоит из $k$ символов, каждый из которых — это либо строчная латинская буква или символ подчеркивания. Все шаблоны попарно различны. Каждая строка $s_j$ состоит из $k$ строчных латинских букв.

Строка $a$ подходит под шаблон $b$, если для каждого $i$ от $1$ до $k$ либо $b_i$ — это подчеркивание, либо $b_i=a_i$.

Вам требуется переупорядочить шаблоны таким образом, что первый шаблон, под который подходит $j$-я строка, — это $p[mt_j]$. Разрешается не изменять порядок шаблонов.

Можно ли осуществить такое переупорядочивание? Если можно, то выведите любой корректный порядок.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа $n$, $m$ and $k$ ($1 \le n, m \le 10^5$, $1 \le k \le 4$) — количество шаблонов, количество строк и длина каждого шаблона и строки.

В каждой из следующих $n$ строк записан шаблон — $k$ символов, каждый из которых — это либо строчная латинская буква или символ подчеркивания. Все шаблоны попарно различны.

В каждой из следующих $m$ строк записана строка — $k$ строчных латинских букв, и целое число $mt$ ($1 \le mt \le n$) — номер первого шаблона, под который должна подходить соответствующая строка.

Выходные данные

Выведите «NO», если невозможно переупорядочить шаблоны так, чтобы первый шаблон, под который подходит $j$-я строка, был $p[mt_j]$.

В противном случае выведите «YES» в первой строке. Во второй строке выведите $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$ — порядок шаблонов. Если существует несколько ответов, выведите любой из них.

Примечание

Порядок шаблонов в первом примере после переупорядочивания:

aaaa
__b_
ab__
_bcd
_b_d

Тогда первая строка подходит под шаблоны ab__, _bcd, _b_d в таком порядке, первый из них равен ab__, который действительно $p[4]$. Вторая строка подходит под шаблоны __b_ и ab__, первый из них __b_, который равен $p[2]$. Последняя строка подходит под шаблоны _bcd и _b_d, первый из них _bcd, который равен $p[5]$.

Ответ на этот тест не единственный, другие корректные порядки существуют.

Во втором примере cba не подходит под шаблон __c, а значит, корректного порядка не существует.

В третьем примере в порядке (a_, _b) получается, что первый шаблон под который подходят обе строки — это $1$, а в порядке (_b, a_) получается, что первый шаблон под который подходят обе строки — это $2$. Значит, не существует такого порядка, что ответ равен $1$ и $2$.

D. Nezzar и тайные перестановки

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2800

Nezzar придумал абсолютно новую игру «Тайные перестановки» и собирается сыграть в нее со своим лучшим другом Nanako.

В начале игры Nanako и Nezzar оба знают два целых числа $n$ и $m$. Игра происходит следующим образом.

Сначала Nezzar тайно загадывает две перестановки $p_1,p_2,\ldots,p_n$ и $q_1,q_2,\ldots,q_n$ целых чисел от $1$ до $n$. Nanako тайно загадывает $m$ неупорядоченных пар $(l_1,r_1),(l_2,r_2),\ldots,(l_m,r_m)$;
Затем Nanako показывает выбранные пары Nezzar;
Видя эти $m$ неупорядоченных пар, Nezzar проверяет, существует ли такое $1 \le i \le m$, что $(p_{l_i}-p_{r_i})$ и $(q_{l_i}-q_{r_i})$ имеют различные знаки. Если да, то Nezzar моментально проигрывает игру и получает счет $-1$. Иначе счет, который Nezzar получает, равен количеству индексов $1 \le i \le n$ таких, что $p_i \neq q_i$.

Однако Nezzar случайно узнал пары Nanako заранее и решил извлечь из этого выгоду. Помогите Nezzar найти две перестановки $p$ и $q$ такие, что счет игры будет максимальным.

Входные данные

В первой строке находится единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 5 \cdot 10^5$) — количество наборов входных данных.

В первой строке описания каждого набора входных данных находятся два целых числа $n,m$ ($1 \le n \le 5 \cdot 10^5, 0 \le m \le \min(\frac{n(n-1)}{2},5 \cdot 10^5)$).

Затем следуют $m$ строк, $i$-я из них содержит два целых числа $l_i,r_i$ ($1 \le l_i,r_i \le n$, $l_i \neq r_i$), описывающих $i$-ю пару, которую выбрал Nanako. Гарантируется, что все $m$ неориентированных пар различны.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $5 \cdot 10^5$, и что сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $5\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите две перестановки $p_1,p_2,\ldots,p_n$ и $q_1,q_2,\ldots,q_n$ такие, что счет, который получит Nezzar, будет максимальным.

Примечание

В первом наборе входных данных для каждой пары Nanako:

для первой пары $(1,2)$: $p_1 - p_2 = 1 - 2 = -1$, $q_1 - q_2 = 3 - 4 = -1$, они имеют одинаковый знак;
для второй пары $(3,4)$: $p_3 - p_4 = 3 - 4 = -1$, $q_3 - q_4 = 1 - 2 = -1$, они имеют одинаковый знак.

Поскольку Nezzar не проиграл моментально, Nezzar получает счет $4$, потому что $p_i \neq q_i$ для всех $1 \leq i \leq 4$. Очевидно, что это максимально возможный счет, который Nezzar может получить.

D. AB граф

графы жадные алгоритмы Конструктив Перебор реализация *2000

Ваш друг Salem — брат Warawreh, и ему нравятся только математические и геометрические задачи. Он решил уже множество таких задач, но, по словам Warawreh, чтобы успешно окончить университет, ему нужно решать больше графовых задач. Так как Salem не очень хорош в графах, он попросил вас помочь ему с такой задачей.

$\text{[math]}$

Вам задан полный ориентированный граф из $n$ вершин без петель. Другими словами, у вас есть $n$ вершин, и для каждой пары вершин $u$ и $v$ ($u \neq v$) есть две направленных дуги $(u, v)$ и $(v, u)$.

На каждой направленной дуге графа написано по одной букве: либо «a», либо «b» (дуги $(u, v)$ и $(v, u)$ могут иметь различные метки).

Вам также задано целое число $m > 0$. Вам нужно найти путь длины $m$ такой, что строка, полученная выписыванием букв на дугах в порядке из обхода, будет являться палиндромом. Длина пути — это количество дуг в нем.

Вы можете посещать одни и те же вершины и дуги произвольное количество раз.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 500$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора заданы два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 1000$; $1 \leq m \leq 10^{5}$) — количество вершин в графе и желаемая длина палиндрома.

В следующих $n$ строках задано по $n$ символов. $j$-й символ $i$-й строки описывает символ, написанный на дуге из вершины $i$ в вершину $j$.

Каждый символ — это «a» или «b», если $i \neq j$, либо же «*», если $i = j$, так как граф не содержит петель.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $1000$ и сумма $m$ не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, если возможно найти такой путь, выведите «YES» и сам путь как последовательность из $m + 1$ целых чисел: номера вершин в пути в порядке обхода. Если существует несколько возможных путей, выведите любой из них.

В противном случае (если ответа нет), выведите «NO».

Примечание

Граф для первых трех наборов входных данных изображен ниже:

$\text{[math]}$

В первом наборе ответ — это последовательность $[1,2]$, означающая следующий путь:

1 \xrightarrow{\text{b}} 2

Таким образом, полученная строка равна b.

Во втором наборе ответ — это последовательность $[2,1,3,2]$, означающая следующий путь:

2 \xrightarrow{\text{b}} 1 \xrightarrow{\text{a}} 3 \xrightarrow{\text{b}} 2

Таким образом, полученная строка равна bab.

В третьем наборе ответ — это последовательность $[1,3,1,3,1]$, означающая следующий путь:

1 \xrightarrow{\text{a}} 3 \xrightarrow{\text{a}} 1 \xrightarrow{\text{a}} 3 \xrightarrow{\text{a}} 1

Таким образом, полученная строка равна aaaa.

Строка, полученная в четвертом наборе, равна abaaba.

F. Полезные рёбра

графы кратчайшие пути *2400

Дан взвешенный неориентированный граф на $n$ вершинах, а также $q$ троек $(u, v, l)$, в каждой из которых $u$ и $v$ — некоторые вершины графа, а $l$ — натуральное число. Назовём ребро $e$ полезным, если существует хотя бы одна тройка $(u, v, l)$, для которой найдётся путь (не обязательно простой) в графе со следующими свойствами:

$u$ и $v$ являются концами этого пути,
путь содержит ребро $e$,
сумма весов рёбер этого пути не превосходит $l$.

Найдите количество полезных рёбер в этом графе.

Входные данные

В первой строке даны два целых числа $n$ и $m$ ($2\leq n\leq 600$, $0\leq m\leq \frac{n(n-1)}2$).

Каждая из следующих $m$ строк содержит три числа $u$, $v$ и $w$ ($1\leq u, v\leq n$, $u\neq v$, $1\leq w\leq 10^9$), обозначающих, что в графе есть ребро между вершинами $u$ и $v$ с весом $w$.

Следующая строка содержит единственное число $q$ ($1\leq q\leq \frac{n(n-1)}2$) — количество троек.

Каждая из следующих $q$ строк содержит по три числа $u$, $v$ и $l$ ($1\leq u, v\leq n$, $u\neq v$, $1\leq l\leq 10^9$), обозначающих тройку $(u, v, l)$.

Гарантируется, что:

граф не содержит петель и кратных рёбер,
все пары $(u, v)$ в тройках попарно различны.

Выходные данные

Выведите одно число — количество полезных рёбер в графе.

Примечание

В первом примере каждое ребро полезно, кроме ребра веса $5$.

Во втором примере полезно только ребро между $1$ и $2$, потому что оно принадлежит пути $1-2$, и $10 \leq 11$. С другой стороны, ребро между вершинами $3$ и $4$ не является полезным.

В третьем примере оба ребра полезны, например, потому что существует путь $1-2-3-2$ длины $5$. Обратите внимание, что путь может проходить через вершины по нескольку раз.

D. Делители и степенные разности

графы Конструктив математика теория чисел *2200

Вам дана матрица $a$, состоящая из положительных целых чисел. В ней $n$ строк и $m$ столбцов.

Постройте матрицу $b$, состоящую из положительных целых чисел. Она должна иметь такой же размер, что и матрица $a$, а также должны выполняться следующие условия:

$1 \le b_{i,j} \le 10^6$;
$b_{i,j}$ делится на $a_{i,j}$;
модуль разности чисел в любой паре соседних клеток (двух клеток, имеющих общую сторону) в $b$ равен $k^4$ для некоторого целого числа $k \ge 1$ ($k$ не обязательно одинаковое для всех пар, для каждой пары это число может быть свое).

Можно показать, что ответ всегда существует.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n,m \le 500$).

Каждая из следующих $n$ строк содержит $m$ целых чисел. $j$-е число в $i$-й строке — это $a_{i,j}$ ($1 \le a_{i,j} \le 16$).

Выходные данные

Выведите $n$ строк, в каждой $m$ целых чисел. $j$-е число в $i$-й строке должно быть $b_{i,j}$.

Примечание

В первом примере матрица $a$ может быть использована как матрица $b$, потому что модуль разности чисел в любой паре соседних клеток равен $1 = 1^4$.

В третьем примере:

$327$ делится на $3$, $583$ делится на $11$, $408$ делится на $12$, $664$ делится на $8$;
$|408 - 327| = 3^4$, $|583 - 327| = 4^4$, $|664 - 408| = 4^4$, $|664 - 583| = 3^4$.

E. Парный платёж

Бинарный поиск графы дп Конструктив кратчайшие пути Перебор Потоки *2200

В стране $n$ городов и $m$ двунаправленных дорог. Дороги в стране формируют неориентированный взвешенный граф. Граф может быть несвязным. У каждой дороги есть свой параметр $w$. Вы можете ездить по дорогам, но правительство издало новый закон: вы можете проезжать только по двум дорогам сразу (проехать из города $a$ в город $b$, и из города $b$ в город $c$) и вы должны будете заплатить $(w_{ab} + w_{bc})^2$ денег, чтобы проехать по этим дорогам. Для каждого города $t$ найдите, можно ли добраться до него из города $1$, и какое наименьшее количество денег необходимо потратить, чтобы добраться из $1$ в $t$.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа $n$, $m$ ($2 \leq n \leq 10^5$, $1 \leq m \leq min(\frac{n \cdot (n - 1)}{2}, 2 \cdot 10^5)$).

В следующих $m$ строках находятся по три целых числа $v_i$, $u_i$, $w_i$ ($1 \leq v_i, u_i \leq n$, $1 \leq w_i \leq 50$, $u_i \neq v_i$). Гарантируется, что в графе нет кратных рёбер, то есть для любого ребра $(u_i, v_i)$ не существует других рёбер $(u_i, v_i)$ или $(v_i, u_i)$.

Выходные данные

Для каждого города $t$ выведите одно целое число. Если нет корректного пути из $1$ в $t$ выведите $-1$. Иначе выведите минимальное необходимое количество денег, чтобы добраться из $1$ в $t$.

Примечание

Граф в первом примере выглядит так.

$\text{[math]}$

Во втором примере путь из $1$ в $3$ проходит через $2$, так что результирующая стоимость поездки будет $(1 + 2)^2 = 9$.

$\text{[math]}$

C. Как можно меньше ничьих

графы жадные алгоритмы Конструктив математика Перебор поиск в глубину и подобное реализация *1500

Скоро состоится большой футбольный чемпионат! $n$ команд будут участвовать в нем, и каждая пара различных команд сыграет ровно один матч друг с другом.

У матча может быть два различных исхода:

матч может закончиться вничью, тогда обе команды получат по $1$ очку;
одна из команд может победить, тогда победившая команда получит $3$ очка, а проигравшая — $0$.

Счет команды — суммарное количество очков, полученное командой за все матчи, в которых она играла.

Вас интересует гипотетическая ситуация, в которой все команды будут в конце чемпионата иметь одинаковый счет. Простой пример такой ситуации — если все матчи закончатся вничью, но вас интересует подобная ситуация с минимально возможным количеством ничьих.

Ваша задача — найти ситуацию (выбрать результат каждой игры), в которой у всех команд одинаковый итоговый счет, а количество ничьих минимально возможно.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных.

Затем следуют сами наборы входных данных. Каждый набор описывается одной строкой, содержащей целое число $n$ ($2 \le n \le 100$) — количество команд.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $\frac{n(n - 1)}{2}$ целых чисел, описывающих результаты игр в следующем порядке: первое число соответствует результату матча между командой $1$ и командой $2$, второе — между командой $1$ и командой $3$, затем $1$ и $4$, ..., $1$ и $n$, $2$ и $3$, $2$ и $4$, ..., $2$ и $n$, и так далее, до результата матча между командой $n - 1$ и командой $n$.

Число, соответствующее результату матча между командой $x$ и командой $y$, должно быть равно $1$, если побеждает команда $x$, $-1$, если побеждает команда $y$, или $0$, если матч заканчивается вничью.

Все команды должны иметь одинаковый итоговый счет, и количество ничьих должно быть минимально возможным. Если оптимальных ответов несколько — выведите любой из них. Можно показать, что всегда есть способ составить результаты игр так, что все команды имеют одинаковый итоговый счет.

Примечание

В первом наборе входных данных из примера обе команды получают по $1$ очку, так как их матч заканчивается вничью.

Во втором наборе входных данных из примера команда $1$ побеждает команду $2$ (команда $1$ получает $3$ очка), команда $1$ проигрывает команде $3$ (команда $3$ получает $3$ очка), и команда $2$ выигрывает у команды $3$ (команда $2$ получает $3$ очка).

E. Дешевый обед

графы жадные алгоритмы Перебор реализация сортировки Структуры данных *2000

Иван хочет полноценно пообедать. Для этого он хочет заказать первое, второе, напиток и десерт.

Всего на выбор у Ивана есть $n_1$ разных первых блюд ($i$-е первое стоит $a_i$ монет), $n_2$ разных вторых блюд ($i$-е второе стоит $b_i$ монет), $n_3$ разных напитков ($i$-й напиток стоит $c_i$ монет) и $n_4$ разных десертов ($i$-й десерт стоит $d_i$ монет).

Некоторые блюда не сочетаются между собой. Всего есть $m_1$ пар из первого и второго, которые не сочетаются, $m_2$ несочетающихся пар из второго и напитка и $m_3$ несочетающихся пар из напитка и десерта.

Иван хочет купить ровно одно первое, одно второе, один напиток и один десерт так, чтобы они хорошо сочетались между собой и их общая стоимость была наименьшей возможной. Помогите ему найти самый бюджетный вариант!

Входные данные

В первой строке заданы четыре целых числа $n_1$, $n_2$, $n_3$ и $n_4$ ($1 \le n_i \le 150000$) — количество видов первого, второго, напитков и десертов соответственно.

Далее следуют четыре строки. В первой строке заданы $n_1$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n_1}$ ($1 \le a_i \le 10^8$), где $a_i$ — это цена $i$-го вида первого блюда. Следующие три строки описывают цены вторых блюд, напитков и десертов в том же формате ($1 \le b_i, c_i, d_i \le 10^8$).

В следующей строке задан одно целое число $m_1$ ($0 \le m_1 \le 200000$) — количество несочетающихся пар из первого и второго блюд. В каждой из следующих $m_1$ строк заданы два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i \le n_1$; $1 \le y_i \le n_2$) означающие, что первое блюдо номер $x_i$ не сочетается со вторым блюдом номер $y_i$. Все пары различные.

Блок несочетающихся пар из второго блюда и напитка задан в аналогичном формате. В таком же формате заданы и несочетающиеся пары из напитка и десерта ($0 \le m_2, m_3 \le 200000$).

Выходные данные

Если невозможно выбрать первое, второе, напиток и десерт, сочетающиеся друг с другом, выведите $-1$. В противном случае выведите одно число — наименьшую суммарную стоимость обеда.

Примечание

Оптимальный вариант в первом примере — это выбрать первое блюдо номер $2$, второе номер $1$, напиток номер $2$ и десерт номер $1$.

Во втором примере, единственная пара из первого и второго не сочетается, а потому невозможно выбрать обед.

G. Обменяйте и переверните

графы Конструктив математика *2800

Есть $n$ монет, пронумерованных от $1$ до $n$. Изначально монета $c_i$ находится на позиции $i$ и лежит лицевой стороной вверх (($c_1, c_2, \dots, c_n)$ является перестановкой чисел от $1$ до $n$). Вы можете делать операции с этими монетами.

Одна операция состоит в следующем:

Выберите $2$ различных индекса $i$ и $j$.
Поменяйте местами монеты на позициях $i$ и $j$.
Затем переверните обе эти монеты на позициях $i$ и $j$ (если они изначально лежали лицевой стороной вверх, то после операции они будут лежать лицевой стороной вниз, и наоборот).

Постройте последовательность из не более чем $n+1$ операций таким образом, чтобы после выполнения всех операций монета $i$ находилась на позиции $i$ лицевой стороной вверх.

Обратите внимание, что вам не нужно минимизировать количество операций.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($3 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — количество монет.

Во второй строке содержатся $n$ целых чисел $c_1,c_2,\dots,c_n$ ($1 \le c_i \le n$, $c_i \neq c_j$ для $i\neq j$).

Выходные данные

В первой строке выведите целое число $q$ $(0 \leq q \leq n+1)$ — количество операций, которые вы использовали.

В каждой из следующих $q$ строк выведите по два целых числа $i$ и $j$ $(1 \leq i, j \leq n, i \ne j)$ — позиции, которые вы выбрали для очередной операции.

Примечание

Будем обозначать монету $i$, обращенную лицевой стороной вверх, как $i$, а монету $i$, обращенную вниз, как $-i$.

Последовательность ходов, выполненная в первом примере, изменяет монеты следующим образом:

$[~~~2,~~~1,~~~3]$
$[-3,~~~1,-2]$
$[-3,~~~2,-1]$
$[~~~1,~~~2,~~~3]$

Во втором примере монеты изначально находятся на своих местах, поэтому операций не нужно.

E. A-Z граф

графы Конструктив Структуры данных хэши *2400

У вас есть ориентированный граф, состоящий из $n$ вершин. Каждое ориентированное ребро (дуга) помечено одной буквой. Первоначально, граф пустой.

Вам нужно обработать $m$ запросов на нем. Каждый запрос одного из трех типов:

«$+$ $u$ $v$ $c$» — добавить дугу из $u$ в $v$ с меткой $c$. Гарантируется, что в данный момент в графе нет дуги $(u, v)$;
«$-$ $u$ $v$» — удалить дугу из $u$ в $v$. Гарантируется, что в данный момент в графе есть дуга $(u, v)$;
«$?$ $k$» — найти последовательность из $k$ вершин $v_1, v_2, \dots, v_k$ такую, что существуют и маршрут $v_1 \to v_2 \to \dots \to v_k$, и маршрут $v_k \to v_{k - 1} \to \dots \to v_1$, и если вы выпишите буквы вдоль обоих маршрутов, вы получите одинаковые строки. Вы можете посещать одни и те же вершины любое количество раз.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в графе и количество запросов.

В следующих $m$ строках заданы сами запросы — по одному в строке. Каждый запрос одного из трех типов:

«$+$ $u$ $v$ $c$» ($1 \le u, v \le n$; $u \neq v$; $c$ — строчная буква латинского алфавита);
«$-$ $u$ $v$» ($1 \le u, v \le n$; $u \neq v$);
«$?$ $k$» ($2 \le k \le 10^5$).

Гарантируется, что вы не добавляете кратные ребра и удаляете только существующие ребра. Также в тесте есть хотя бы один запрос третьего типа.

Выходные данные

Для каждого запроса третьего типа, выведите YES, если существует последовательность $v_1, v_2, \dots, v_k$, описанная выше, иначе выведите NO.

Примечание

В первом запросе третьего типа $k = 3$, и мы можем, например, выбрать последовательность $[1, 2, 3]$, так как $1 \xrightarrow{\text{a}} 2 \xrightarrow{\text{b}} 3$ и $3 \xrightarrow{\text{a}} 2 \xrightarrow{\text{b}} 1$.

Во втором запросе третьего типа $k = 2$, и мы не можем выбрать такую последовательность $p_1, p_2$, что дуги $(p_1, p_2)$ и $(p_2, p_1)$ имеют одинаковые метки.

В третьем запросе третьего типа, мы можем, например, выбрать последовательность $[1, 2, 3, 2, 1]$, где $1 \xrightarrow{\text{a}} 2 \xrightarrow{\text{b}} 3 \xrightarrow{\text{d}} 2 \xrightarrow{\text{c}} 1$.

F. Уничтожение ребер

графы Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное реализация *2900

Вам дан неориентированный связный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Ваша цель — уничтожить все ребра данного графа.

Вы можете выбрать любую вершину в качестве начальной и начать ходить от нее по ребрам. Когда вы идете по ребру, вы разрушаете его. Очевидно, что вы не можете пройти по ребру, если оно уже разрушено.

Вы можете выполнить операцию смена режима не более одного раза во время обхода, и эта операция может быть выполнена только тогда, когда вы находитесь в какой-то вершине (вы не можете выполнить ее во время обхода ребра). После смены режима ребра, через которые вы проходите, удаляются следующим образом: первое ребро после смены режима не уничтожается, второе — уничтожается, третье — не уничтожается, четвертое — уничтожается и так далее. Вы не можете переключиться обратно в исходный режим, и вам не нужно выполнять эту операцию, если вы этого не хотите.

Можете ли вы уничтожить все ребра данного графа?

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 3000$; $n - 1 \le m \le \min(\frac{n(n-1)}{2}, 3000$)) — число вершин и число ребер в графе.

Затем следуют $m$ строк, каждая из которых содержит два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$; $x_i \ne y_i$) — концы $i$-го ребра.

Эти ребра образуют связный неориентированный граф без кратных ребер.

Выходные данные

Если невозможно уничтожить все ребра, выведите 0.

В противном случае выведите последовательность ваших действий следующим образом. Сначала выведите $k$ — количество действий ($k \le 2m + 2$). Затем выведите саму последовательность, состоящую из $k$ целых чисел. Первое целое число должно быть индексом стартовой вершины. Затем каждое следующее целое число должно быть либо индексом следующей вершины в вашем обходе, либо $-1$, если вы используете операцию смена режима. Вы можете использовать операцию смена режима не более одного раза.

Если ответов несколько, выведите любой из них.

C. Солнечный огород

графы Конструктив *2300

В Солнечном огороде растет много подсолнухов.

Солнечный огород представляет из себя прямоугольную таблицу из $n$ строк и $m$ столбцов, где в каждой ячейке находится грядка. На всех грядках раньше росли подсолнухи. К сожалению, одной ночью молния ударила в несколько (возможно, ноль) ячеек, и некоторые подсолнухи были сожжены. Другими словами, некоторые ячейки таблицы стали пустыми. Что удивительно, никакие две пустые ячейки не имеют общих точек (ни сторон, ни углов).

Сейчас владелица участка хочет убрать еще несколько (возможно, ноль) подсолнухов так, чтобы были выполнены следующие два условия:

Из любой пустой клетки можно добраться в любую другую пустую клетку. Другими словами, пустые клетки связны.
Между любыми двумя пустыми клетками существует ровно один простой путь. Другими словами, в пустых клетках нет циклов.

Из одной пустой клетки можно перейти в другую, если и только если они имеют общую сторону.

Ваша задача — предложить владелице, какие подсолнухи нужно убрать, чтобы оба условия были выполнены.

Обратите внимание, что вы не можете сажать подсолнухи. Также обратите внимание, что вам не нужно минимизировать число убранных подсолнухов. Можно показать, что решение всегда существует.

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1\le t\le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$, $m$ ($1 \le n,m \le 500$) — количество строк и количество столбцов.

Каждая из следующих $n$ строк содержит $m$ символов. Каждый символ — либо «X», либо «.», что обозначает, соответственно, пустую клетку и клетку с подсолнухом.

Гарантируется, что сумма $n \cdot m$ по всем наборам входных данных не превосходит $250\,000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $n$ строк. Каждая строка должна содержать $m$ символов, описывающих очередную строку таблицы. Каждый символ должен быть равен либо «X», либо «.», что обозначает, соответственно, пустую клетку и клетку с подсолнухом.

Если существует несколько решений, выведите любое из них. Можно показать, что решение всегда существует.

Примечание

Будем использовать запись $(x,y)$ для обозначения клетки в $x$-й строке и $y$-м столбце.

На следующих изображениях белые, желтые и синие клетки обозначают клетки с подсолнухами, клетки, куда ударила молния, и убранные в решении подсолнухи, соответственно.

$\text{[math]}$

В первом наборе входных данных одно из решений — убрать подсолнухи в клетках $(1,2)$, $(2,3)$ и $(3 ,2)$.

$\text{[math]}$

Другое возможное решение — убрать подсолнухи из клеток $(1,2)$, $(2,2)$ и $(3,2)$.

$\text{[math]}$

Данное решение — неверное, так как между любыми двумя клетками есть два простых пути, то есть есть цикл. Например, между $(1,1)$ и $(3,3)$ есть два таких пути:

$(1,1)\to (1,2)\to (1,3)\to (2,3)\to (3,3)$
$(1,1)\to (2,1)\to (3,1)\to (3,2)\to (3,3)$

$\text{[math]}$

Данное решение неверное, так как между пустыми клетками $(1,1)$ и $(3,3)$ нельзя пройти.

D. Деревья поиска в ширину

графы Деревья Комбинаторика кратчайшие пути математика поиск в глубину и подобное *2600

Будем говорить, что остовное дерево некоторого графа является деревом поиска в ширину с корнем в вершине $s$, если и только если для всех вершин $t$ кратчайшее расстояние между вершинами $s$ и $t$ в графе равно кратчайшему расстоянию между $s$ и $t$ в этом остовном дереве.

Для фиксированного графа можно определить $f(x,y)$ как число остовных деревьев в данном графе таких, что они являются деревьями поиска в ширину как с корнем в $x$, так и с корнем в $y$.

Вам дан неориентированный связный граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Вычислите $f(i,j)$ для всех $i$, $j$ по модулю $998\,244\,353$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 400$, $0 \le m \le 600$) — количество вершин и ребер в графе.

$i$-я из следующих $m$ строк содержит два целых числа $a_i$, $b_i$ ($1 \leq a_i, b_i \leq n$, $a_i < b_i$), описывающих ребро, соединяющее $a_i$ и $b_i$.

Гарантируется, что все ребра различны, а граф — связный.

Выходные данные

Выведите $n$ строк, каждая из которых содержит $n$ целых чисел.

Число в строке $i$ на позиции $j$ должно быть равно $f(i,j) \bmod 998\,244\,353$.

Примечание

Изображения ниже описывают первый пример.

$\text{[math]}$

Дерево из красных ребер является деревом поиска в ширину с корнем как в $1$, так и в $2$.

$\text{[math]}$

Похожим образом можно построить деревья поисков в ширину для любой пары соседних вершин.

F. Квадраты

графы Деревья дп Конструктив Структуры данных *3300

$n$ квадратов нарисованы на полу слева направо. На $i$-м квадрате записаны три целых числа $p_i,a_i,b_i$. Последовательность $p_1,p_2,\dots,p_n$ образует перестановку.

Во время каждого раунда вы будете стартовать с самого левого квадрата $1$ и прыгать вправо. Если вы сейчас на $i$-м квадрате, вы можете сделать одну из следующих двух операций:

Перепрыгнуть на $i+1$-й квадрат и заплатить за это $a_i$. Если $i=n$, тогда вы можете закончить раунд, заплатив $a_i$.
Перепрыгнуть на $j$-й квадрат и заплатить за это $b_i$, где $j$ — это самый левый квадрат, который удовлетворяет условиям $j > i, p_j > p_i$. Если таких $j$ не существует, вы можете закончить раунд, заплатив $b_i$.

В игре будет $q$ раундов. Чтобы сделать ее сложнее, вы должны поддерживать множество квадратов $S$ (изначально пустое). Вы обязаны оказаться на этих квадратах во время раунда (вы можете также побывать и в других квадратах). Множество квадратов $S$ для $i$-го раунда получается добавлением или удалением одного квадрата из множества квадратов для $(i-1)$-го раунда.

Для каждого раунда найдите минимальную цену, которую вы должны заплатить, чтобы его закончить.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа $n$, $q$ ($1\le n,q\le 2 \cdot 10^5$) — количество квадратов и количество раундов.

Во второй строке находятся $n$ различных целых чисел $p_1,p_2,\dots,p_n$ ($1\le p_i\le n$). Гарантируется, что последовательность $p_1,p_2,\dots,p_n$ образует перестановку.

В третьей строке находятся $n$ целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($-10^9\le a_i\le 10^9$).

В четвертой строке находятся $n$ целых чисел $b_1,b_2,\dots,b_n$ ($-10^9\le b_i\le 10^9$).

Затем следуют $q$ строк, $i$-я из них содержит единственное целое число $x_i$ ($1\le x_i\le n$). Если $x_i$ было в множестве $S$ для $(i-1)$-го раунда, то вы должны удалить его, иначе вы должны добавить его.

Выходные данные

Выведите $q$ строк, каждая из них должна содержать единственное целое число — минимальную цену, которую вы должны заплатить, чтобы закончить соответствующий раунд.

Примечание

Давайте обозначим символом $T$ конец раунда. Тогда мы можем нарисовать два графа, соответствующих первому и второму примерам.

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

В первом раунде первого примера множество квадратов, через которое вы должны пройти, это $\{1\}$. Путь, который вы можете использовать, это $1\to 3\to T$. Его стоимость равна $6$.

Во втором раунде первого примера множество квадратов, через которое вы должны пройти, это $\{1,2\}$. Путь, который вы можете использовать, это $1\to 2\to 3\to T$. Его стоимость равна $8$.

D. Гений

битмаски графы дп теория чисел *2500

Обратите внимание на нестандартное ограничение по памяти.

Есть $n$ задач, пронумерованных целыми числами от $1$ до $n$. У $i$-й задачи есть сложность $c_i = 2^i$, тэг $tag_i$ и счёт $s_i$.

После задачи с номером $i$ можно решить задачу с номером $j$ только в том случае, если $\text{IQ} < |c_i - c_j|$ и $tag_i \neq tag_j$. После этого $\text{IQ}$ меняется и становится равным $\text{IQ} = |c_i - c_j|$ и вы набираете $|s_i - s_j|$ очков.

Первой можно решить любую задачу. Задачи можно решать в любом порядке, каждую сколько угодно раз.

Изначально $\text{IQ} = 0$. Найдите максимальное количество очков, которое можно набрать.

Входные данные

В первой строке находится единственное целое число $t$ $(1 \le t \le 100)$ — количество наборов входных данных.

В первой строке описания каждого набора входных данных находится единственное целое число $n$ $(1 \le n \le 5000)$ — количество задач.

Во второй строке описания каждого набора входных данных находится $n$ целых чисел $tag_1, tag_2, \ldots, tag_n$ $(1 \le tag_i \le n)$ — тэги задач.

В третьей строке описания каждого набора входных данных находятся $n$ целых чисел $s_1, s_2, \ldots, s_n$ $(1 \le s_i \le 10^9)$ — счёт задач.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $5000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно число — максимальное количество очков, которое можно набрать.

Примечание

В первом наборе входных данных оптимальная последовательность решения задач такая:

$1 \rightarrow 2$, после этого суммарный счёт равен $5$ и $\text{IQ} = 2$
$2 \rightarrow 3$, после этого суммарный счёт равен $10$ и $\text{IQ} = 4$
$3 \rightarrow 1$, после этого суммарный счёт равен $20$ и $\text{IQ} = 6$
$1 \rightarrow 4$, после этого суммарный счёт равен $35$ и $\text{IQ} = 14$

Во втором наборе входных данных оптимальная последовательность решения задач такая:

$1 \rightarrow 2$, после этого суммарный счёт равен $5$ и $\text{IQ} = 2$
$2 \rightarrow 3$, после этого суммарный счёт равен $10$ и $\text{IQ} = 4$
$3 \rightarrow 4$, после этого суммарный счёт равен $15$ и $\text{IQ} = 8$
$4 \rightarrow 1$, после этого суммарный счёт равен $35$ и $\text{IQ} = 14$

В третьем наборе входных данных оптимальная последовательность решения задач такая:

$1 \rightarrow 3$, после этого суммарный счёт равен $17$ и $\text{IQ} = 6$
$3 \rightarrow 4$, после этого суммарный счёт равен $35$ и $\text{IQ} = 8$
$4 \rightarrow 2$, после этого суммарный счёт равен $42$ и $\text{IQ} = 12$

D. Бананы в микроволновке

графы дп поиск в глубину и подобное реализация *2200

У вас есть сломанная микроволновка, в которую вы хотите положить несколько бананов. У вас есть $n$ моментов времени, пока микроволновка не сломается окончательно. В каждый момент времени она показывает новую операцию.

Пусть $k$ будет равно текущему количеству бананов в микроволновке. Изначально $k = 0$. В $i$-й операции на вход подаются три параметра $t_i$, $x_i$, $y_i$. В зависимости от значения $t_i$ необходимо сделать одно из следующий действий:

Тип 1: ($t_i=1$, $x_i$, $y_i$) — выберите $a_i$ такое, что $0 \le a_i \le y_i$, и произведите следующую замену $a_i$ раз: $k:=\lceil (k + x_i) \rceil$.

Тип 2: ($t_i=2$, $x_i$, $y_i$) — выберите $a_i$ такое, что $0 \le a_i \le y_i$, и произведите следующую замену $a_i$ раз: $k:=\lceil (k \cdot x_i) \rceil$.

Обратите внимание, что $x_i$ может быть дробным значением. Смотрите формат входных данных для пояснения. Также $\lceil x \rceil$ — это наименьшее целое число $\ge x$.

В $i$-й момент времени необходимо произвести $i$-ю операцию ровно один раз.

Для каждого $j$ такого, что $1 \le j \le m$, выведите самый ранний момент времени такой, что вы можете получить ровно $j$ бананов. Если нельзя получить ровно $j$ бананов, то выведите $-1$.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ $(1 \le n \le 200)$ и $m$ $(2 \le m \le 10^5)$.

Затем следуют $n$ строк, где $i$-я строка описывает операцию в $i$-й момент времени. Каждая строка содержит три целых числа $t_i$, $x'_i$ и $y_i$ ($1 \le t_i \le 2$, $1\le y_i\le m$).

Обратите внимание, что задается $x'_i$, которое равно $10^5 \cdot x_i$. Чтобы получить $x_i$, используйте формулу $x_i= \dfrac{x'_i} {10^5}$.

Для операций типа 1 $1 \le x'_i \le 10^5 \cdot m$, а для операций типа 2 $10^5 < x'_i \le 10^5 \cdot m$.

Выходные данные

Выведите $m$ целых чисел, где $i$-е число равно самому раннему моменту времени, в который можно получить ровно $i$ бананов (или $-1$, если это невозможно).

Примечание

В первом примере мы хотим показать, как получить $16$ бананов за три момента времени. Изначально $k=0$.

В момент времени 1 мы выбираем $a_1=2$, поэтому мы применяем обновление типа 1 — $k := \lceil(k+3)\rceil$ — два раза. Поэтому $k$ теперь 6.
В момент времени 2 мы выбираем $a_2=0$, поэтому $k$ не изменяется.
В момент времени 3 мы выбираем $a_3=1$, поэтому мы применяем обновление типа 1 $k:= \lceil(k+10)\rceil$ один раз. Поэтому $k$ теперь 16.

Можно показать, что $k=16$ нельзя получить быстрее, чем за три момента времени, используя данные операции.

Во втором примере мы хотим показать, как получить $17$ бананов за два момента времени. Изначально $k=0$.

В момент времени 1 мы выбираем $a_1=1$, поэтому мы применяем обновление типа 1 — $k := \lceil(k+3.99999)\rceil$ — один раз. Поэтому $k$ теперь 4.
В момент времени 2 мы выбираем $a_2=1$, поэтому мы применяем обновление типа 2 — $k := \lceil(k\cdot 4.12345)\rceil$ — один раз. Поэтому $k$ теперь 17.

Можно показать, что $k=17$ нельзя получить быстрее, чем за два момента времени, используя данные операции.

E. Два дома

графы жадные алгоритмы интерактив Перебор сортировки *2200

Это интерактивная задача. Не забывайте о том, что ваша программа должна каждый раз после вывода запроса сбрасывать буфер вывода. Для сброса буфера вывода можно использовать fflush(stdout) в C++, system.out.flush() в Java, stdout.flush() в Python или flush(output) в Pascal. Если вы используете другой язык программирования, посмотрите в его документации, как выполняется эта операция. Также рекомендуем вам прочесть руководство по интерактивным задачам: https://cf.m27.workers.dev/blog/entry/45307.

Диксит живет в городе, в котором $n$ домов. Между каждой парой домов есть ровно одна направленная дорога. То есть для любой пары домов A и B есть либо дорога от дома A к дому B, либо дорога от B к A (но только одна из них). К $i$-му дому ведут $k_i$ дорог.

Два дома A и B являются взаимно достижимыми, если дом A достижим из дома B (существует путь от дома A к дому B по дорогам), и дом B достижим из дома A.

Диксит хочет купить в этом городе два дома, один для того, чтобы жить в нем, другой — для учебы. Естественно, он бы хотел, чтобы от каждого из этих домов можно было добраться до другого дома, то есть ему нужно найти пару взаимно достижимых домов. Если таких пар несколько, Диксит хочет максимизировать величину $|k_A - k_B|$, где $k_i$ — количество дорог, ведущих к дому $i$. Если существует более одной оптимальной пары, подойдет любая из них.

Так как Диксит занят подготовкой CodeCraft, он просит вас помочь ему найти два таких дома, или сообщить, что таких домов нет.

Во входных данных задачи вам не задаются направления дорог. Вы знаете только количество дорог, идущих к каждому дому ($k_i$).

Вы можете задавать запросы следующих типов: вы выводите пару домов A и B, и жюри ответит, есть ли путь от дома A к дому B. В этой задаче нет никакого явного ограничения на количество запросов, которые вы можете задать. Но нельзя задавать запросы после того, как жюри ответит «Yes» на один из ваших запросов. Кроме того, нельзя задавать один и тот же запрос дважды.

Как только вы зададите все необходимые запросы (или жюри ответит «Yes» на один из них), ваша программа должна вывести ответ и завершиться.

Прочтите раздел «Протокол взаимодействия» для того, чтобы получить более подробную информацию о взаимодействии.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $n$ ($3 \le n \le 500$) — количество домов в городе. Во второй строке заданы $n$ целых чисел $k_1, k_2, \dots, k_n$ ($0 \le k_i \le n - 1$), $i$-е из которых равно кол-ву дорог, идущих к $i$-му дому.

Протокол взаимодействия

Чтобы задать запрос, выведите «? A B» $(1 \leq A,B \leq N, A\neq B)$. Программа жюри ответит «Yes», если есть путь от дома A к дому B, или «No», если пути нет.

Чтобы дать ответ на задачу, выведите «! A B», где A и B — номера двух различных домов, достижимых друг из друга, с максимально возможной величиной $|k_A - k_B|$. Если такой пары домов не существует, выведите «! 0 0».

После вывода ответа ваша программа должна завершиться, иначе вы получите вердикт «Неправильный ответ».

Вы не можете задавать один и тот же запрос дважды. Нет никакого ограничения на количество запросов, но вы не можете задавать запросы после получения ответа «Yes». После этого ваша программа сразу должна вывести ответ на задачу («! A B» или «! 0 0») и завершиться.

Если вы зададите запрос в неправильном формате или зададите один и тот же запрос дважды, вы получите вердикт «Неправильный ответ».

После вывода запроса не забудьте вывести символ конца строки и сбросить буфер вывода (иначе вы можете получить вердикт «Решение зависло»). В различных языках программирования сброс буфера вывода реализован следующим образом:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
для других языков посмотрите их документацию.

Примечание

В первом примере нам задан город с тремя домами, в каждый из которых ведет по одной дороге. Решение участника задает запрос «? 1 2», чтобы узнать, можно ли от дома $1$ добраться до дома $2$. Программа жюри отвечает «Yes». После этого решение участника выводит ответ «! 1 2» и завершается.

Во втором примере решение участника делает шесть различных запросов, убеждается в том, что пары домов, достижимых друг из друга, нет, и выводит «! 0 0» в качестве ответа.

G. Раскраска графа

графы интерактив Структуры данных *3100

Вам дан двудольный граф, состоящий из $n_1$ вершин в первой доле и $n_2$ вершин во второй доле и $m$ ребер, пронумерованных от $1$ до $m$. Вы должны раскрасить каждые ребро в один из двух цветов, красный и синий. Необходимо минимизировать следующее значение: $\sum \limits_{v \in V} |r(v) - b(v)|$, где $V$ — множество вершин графа, $r(v)$ — число красных ребер, инцидентных $v$, и $b(v)$ — число синих ребер, инцидентных $v$.

Звучит классически и просто, не так ли? Ну, вы должны обработать $q$ запросов следующего формата:

$1$ $v_1$ $v_2$ — добавить новое ребро, соединяющее вершину $v_1$ первой доли с вершиной $v_2$ второй доли. Это ребро получает новый индекс следующим образом: первое добавленное ребро получает индекс $m + 1$, второе — $m + 2$ и так далее. После добавления ребра вы должны вывести хэш текущей оптимальной раскраски (если существует несколько оптимальных раскрасок, выведите хэш любой из них). На самом деле этот хэш не будет проверен, вы можете вывести любое число в качестве ответа на этот запрос, но вас могут попросить предоставить раскраску с этим хэшем;
$2$ — выведите оптимальную раскраску графа с тем же хэшем, который вы вывели при обработке предыдущего запроса. Запрос этого типа будет задан только после запроса типа $1$, и будет не более $10$ запросов этого типа. Если существует несколько оптимальных раскрасок, соответствующих этому хэшу, выведите любую из них.

Обратите внимание, что если ребро было красным или синим в какой-то раскраске, оно может изменить свой цвет в следующих раскрасках.

Хэш раскраски вычисляется следующим образом: пусть $R$ — множество индексов красных ребер, тогда хэш равен $(\sum \limits_{i \in R} 2^i) \bmod 998244353$.

Обратите внимание, что вы должны решить эту задачу в режиме online. Это означает, что вы не можете считать все входные данные сразу. Вы можете считать каждый запрос только после вывода ответа на последний запрос. Используйте функции fflush в C++ и BufferedWriter.flush в Java после каждого вывода в вашей программе.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа $n_1$, $n_2$ и $m$ ($1 \le n_1, n_2, m \le 2 \cdot 10^5$).

Затем следуют $m$ строк, в $i$-й строке записаны два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i \le n_1$; $1 \le y_i \le n_2$), означающие, что $i$-е ребро соединяет вершину $x_i$ из первой доли и вершину $y_i$ из второй доли.

В следующей строке записано одно целое число $q$ ($1 \le q \le 2 \cdot 10^5$) — количество запросов, которые требуется обработать.

В следующих $q$ строках содержатся запросы в формате, описанном в условии.

Дополнительные ограничения на входные данные:

в любой момент времени в графе нет кратных ребер;
все запросы типа $2$ задаются только если предыдущий запрос был типа $1$;
всего не более $10$ запросов типа $2$.

Выходные данные

Чтобы ответить на запрос типа $1$ выведите одно целое число — хэш оптимальной раскраски.

Чтобы ответить на запрос типа $2$ выведите одну строку. Она должна начинаться с целого числа $k$ — количество красных ребер. Затем должны идти $k$ различных целых чисел — номера красных ребер в вашей раскраске в любом порядке. Каждый номер должен соответствовать существующему ребру, а хэш раскраски, которую вы вывели, должен быть равен хэшу, который вы вывели в ответ на прошлый запрос.

Если существует несколько ответов на запрос, то выведите любой из них.

B. Количество строк

графы Комбинаторика математика поиск в глубину и подобное *1600

Для тех, кто еще не понял: этой зимой в городе XXXводске реально холодно! Настолько холодно, что в голову порой лезут странные мысли. Например, сколько существует строк длины ровно n, над алфавитом размера m, таких, что любая подстрока длины в точности k является палиндромом. Ваша задача — найти это количество по модулю 1000000007 (10⁹ + 7). Смотрите не упустите ни одной!

Напоминаем, что подстрока является палиндромом, если она одинаково читается как слева направо, так и справа налево.

Входные данные

Первая и единственная строка содержит три целых числа: n, m и k (1 ≤ n, m, k ≤ 2000).

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество строк описанного вида по модулю 1000000007 (10⁹ + 7).

Примечание

В первом примере допустимой является только одна строка: «a» (обозначим как «a» единственную букву нашего алфавита).

Во втором примере (если обозначить буквы алфавита как «a» и «b») допустимы следующие строки: «aaaaa» и «bbbbb».

F. Сбалансируйте карты

геометрия графы Конструктив разделяй и властвуй реализация Структуры данных *3500

Сбалансированная скобочная последовательность определяется как целая последовательность целых чисел, которая может быть построена по следующим правилам:

Пустая последовательность сбалансирована.
Если $[a_1,\ldots,a_n]$ и $[b_1,\ldots, b_m]$ сбалансированы, то их конкатенация $[a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_m]$ сбалансирована.
Если $x$ — целое положительное число и $[a_1,\ldots,a_n]$ сбалансирована, то $[x,a_1,\ldots,a_n,-x]$ сбалансирована.

Положительные числа можно представить себе в виде открывающихся скобок, а отрицательные — в виде закрывающих скобок, где соответствующие скобки должны иметь одинаковый тип (абсолютное значение). Например, $[1, 2, -2, -1]$ и $[1, 3, -3, 2, -2, -1]$ сбалансированы, но $[1, 2, -1, -2]$ и $[-1, 1]$ не сбалансированы.

Есть $2n$ карт. Каждая карта имеет число на лицевой стороне и число на оборотной. Каждое целое число $1,-1,2,-2,\ldots,n,-n$ встречается на лицевой стороне ровно одной карты и на оборотной стороне ровной одной карты (необязательно той же карты).

Вы можете переупорядочить карты, как вам угодно. Вам не разрешено переворачивать карты, поэтому числа не могут перемещаться между лицевой и оборотной сторонами карты. Ваша задача — упорядочить карты так, чтобы последовательности, заданные числами на лицевых и оборотных сторонах, были сбалансированы, или сообщить, что это невозможно.

Входные данные

В первой строке содержится одно целое число $n$ ($1\le n\le 2\cdot 10^5$) — количество типов скобок и половина количества карт.

Следующие $2n$ строк описывают карты. В $i$-й из этих строк содержатся два целых числа $a_i$, $b_i$ ($-n\le a_i,b_i\le n$, $a_i\ne 0$, $b_i\ne 0$) — числа на лицевой и оборотной стороне $i$-й карты соответственно. Каждое целое число $1,-1,2,-2,\ldots,n,-n$ встречается ровно один раз как $a_i$ и ровно один раз как $b_i$.

Выходные данные

В первой строке выведите «YES», если можно упорядочить карты, чтобы выполнялось условие. В противном случае выведите «NO». Вы можете выводить каждый символ в любом регистре.

Если это возможно, в следующих $2n$ строках выведите карты в таком порядке, чтобы и лицевая и оборотная части были сбалансированы. Если есть несколько решений, то можно вывести любое.

Примечание

В первом примере лицевые числа образуют сбалансированную последовательность $[1,4,-4,-1,5,3,2,-2,-3,-5]$, а оборотные числа создают сбалансированную последовательность $[3,-3,4,-4,1,-1,2,5,-5,-2]$.

Во втором примере карты даются в таком порядке, что лицевые числа сбалансированы, а оборотные образуют несбалансированную последовательность $[1,2,-1,-2]$. Если бы мы поменяли местами вторую и третью карты, то сбалансировали бы оборотные числа и разбалансировали бы лицевые. Но нет такого порядка, который бы балансировал и то, и другое.

F. Треугольные пути

графы Конструктив кратчайшие пути математика сортировки *2000

Рассмотрим бесконечный треугольник, состоящий из слоев. Занумеруем слои, начиная с единицы, от верхней точки треугольника (сверху вниз). На $k$-м слое треугольника расположены $k$ точек, пронумерованных слева направо. Каждая точка бесконечного треугольника описывается парой чисел $(r, c)$ ($1 \le c \le r$), где $r$ — номер слоя, а $c$ — номер точки в слое. Из каждой точки $(r, c)$ исходит два направленных ребра в точки $(r+1, c)$ и $(r+1, c+1)$, но только одно из рёбер активировано. Если $r + c$ — чётно, тогда активировано ребро в точку $(r+1, c)$, иначе активировано ребро в точку $(r+1, c+1)$. Изучите картинку для лучшего понимания.

$\text{[math]}$ Черным цветом обозначены активированные ребра. Серым цветом обозначены не активированные ребра.

Из точки $(r_1, c_1)$ можно дойти до точки $(r_2, c_2)$, если между ними существует путь только из активированных рёбер. Например, на картинке выше существует путь из точки $(1, 1)$ в точку $(3, 2)$, но не существует пути из точки $(2, 1)$ в точку $(1, 1)$.

Изначально вы находитесь в точке $(1, 1)$. За каждый ход вы можете:

Заменить активированное ребро для точки $(r, c)$. То есть, если активировано ребро в точку $(r+1, c)$, то вместо него активированным станет ребро в точку $(r+1, c+1)$, иначе, если активировано ребро в точку $(r+1, c+1)$, то вместо него активированным станет ребро в точку $(r+1, c)$. Это действие увеличивает стоимость пути на $1$;
Переместиться из текущей точку в другую, перейдя по активированному ребру. Это действие не увеличивает стоимость пути.

Вам дана последовательность из $n$ точек бесконечного треугольника $(r_1, c_1), (r_2, c_2), \ldots, (r_n, c_n)$. Найдите путь минимальной стоимости из точки $(1, 1)$, проходящий через все $n$ точек в произвольном порядке.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют $t$ наборов входных данных.

Каждый набор начинается со строки, в которой записано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество точек, которые необходимо посетить.

Во второй строке находится $n$ чисел $r_1, r_2, \ldots, r_n$ ($1 \le r_i \le 10^9$), где $r_i$ — номер слоя, в котором находится $i$-я точка.

Во третьей строке находится $n$ чисел $c_1, c_2, \ldots, c_n$ ($1 \le c_i \le r_i$), где $c_i$ — номер $i$-й точки в слое $r_i$.

Гарантируется, что все $n$ точек различны.

Гарантируется, что всегда существует хотя бы один способ обойти все $n$ точек.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — минимальную стоимость пути, проходящего через все точки в соответствующем наборе входных данных.

C. Завершите MST

битмаски графы Деревья жадные алгоритмы Перебор поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2500

Как преподаватель, Riko Hakozaki часто помогает ученикам в решении задач по различным предметам. Сегодня ее попросили помочь с задачей по программированию, которая заключается в следующем.

Вам выдается неориентированный полный граф с $n$ вершинами, где для некоторых ребер заданы положительные веса, а для остальных нет. Вам нужно назначить всем еще не назначенным рёбрам неотрицательные веса так, чтобы у получившегося графа XOR (побитовое исключающее ИЛИ) всех весов был равен $0$.

Определим уродство полного графа как вес его минимального остовного дерева, где вес остовного дерева равен сумме весов его рёбер. Нужно назначить веса так, чтобы уродство получившегося графа было как можно меньше.

Напомним, что неориентированный полный граф с $n$ вершинами содержит все рёбра $(u, v)$ с $1 \le u < v \le n$; такой граф имеет $\frac{n(n-1)}{2}$ рёбер.

Она не знает, как решить эту задачу, поэтому просит вас решить ее за нее.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $0 \le m \le \min(2 \cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2} - 1)$) — количество вершин и количество предварительно назначенных рёбер. Гарантируется, что есть по крайней мере одно неназначенное ребро.

$i$-я из следующих строк $m$ содержит три целых числа $u_i$, $v_i$ и $w_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u \ne v$, $1 \le w_i < 2^{30}$), обознаающие ребро от $u_i$ до $v_i$, которому был назначен вес $w_i$. Ни одно ребро не появляется во вводе более одного раза.

Выходные данные

Выведите в одной строке одно целое число — минимальное уродство среди всех возможных назначений весов с XOR суммой равной $0$.

Примечание

На изображении ниже показан первый пример. Черные веса назначены предварительно, красные веса назначены нами, а минимальное остовное дерево состоит из синих ребер.

$\text{[math]}$

D. Строка минимальной стоимости

графы жадные алгоритмы Конструктив Перебор Строки *1600

Определим стоимость строки $s$ как количество пар индексов $i$ и $j$ ($1 \le i < j < |s|$) таких, что $s_i = s_j$ и $s_{i+1} = s_{j+1}$.

Заданы два положительных целых числа $n$ и $k$. Среди всех строк длины $n$, содержащих только первые $k$ букв латинского алфавита, найдите строку с минимально возможной стоимостью. Если таких строк несколько — найдите любую из них.

Входные данные

Единственная строка содержит два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5; 1 \le k \le 26$).

Выходные данные

Выведите строку $s$ такую, что она состоит из $n$ символов, каждый из которых является одной из первых $k$ латинских букв, и она имеет минимально возможную стоимость среди всех таких строк. Если таких строк несколько — выведите любую из них.

D. НОД и МОД

графы жадные алгоритмы Конструктив снм сортировки теория чисел *2000

Вам дан массив $a$ из $n$ ($n \geq 2$) положительных целых чисел, а также целое число $p$. Рассмотрим неориентированный взвешенный граф на $n$ вершинах, пронумерованных от $1$ до $n$, в котором между вершинами $i$ и $j$ ($i<j$) добавлены следующие ребра:

Если $gcd(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, \dots, a_{j}) = min(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, \dots, a_j)$, то между вершинами $i$ и $j$ существует ребро веса $min(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, \dots, a_j)$.
Если $i+1=j$, то между вершинами $i$ и $j$ существует ребро веса $p$.

Здесь $gcd(x, y, \ldots)$ обозначает наибольший общий делитель (НОД) чисел $x$, $y$, ....

Обратите внимание, между вершинами $i$ и $j$ появляются кратные ребра, если оба условия выполнены. Если же ни одно условие не выполнено для $i$ и $j$, то между ними нет ребер.

Ваша цель — найти вес минимального остовного дерева данного графа.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $p$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$, $1 \leq p \leq 10^9$) — количество вершин и параметр $p$.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq 10^9$).

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Выведите $t$ строк. Для каждого набора входных данных выведите вес соответствующего минимального остовного дерева.

Примечание

Ниже изображены графы для четырех наборов входных данных примера (ребра одного из минимальных остовных деревьев показаны розовым):

Набор 1

$\text{[math]}$

Набор 2

$\text{[math]}$

Набор 3

$\text{[math]}$

Набор 4

$\text{[math]}$

E. Гипер-квартира маленького Эхаба

Бинарный поиск графы интерактив сортировки *2700

Это интерактивная задача.

Маленький Эхаб любит ползать по своей квартире. В ней есть $n$ комнат, пронумерованных от $0$ до $n-1$. Для каждой пары комнат $a$ и $b$, либо есть прямой переход из комнаты $a$ в комнату $b$, либо наоборот из комнаты $b$ в комнату $a$, но не одновременно.

Маленький Эхаб хочет пойти поиграть с маленьким Бадави. Он хочет знать, сможет ли он добраться до него. Однако, он не знает ничего про свою квартиру, кроме количества комнат. Он может задать няне два типа вопросов:

переход между комнатами $a$ и $b$ направлен из $a$ в $b$ или в обратную сторону?
есть ли из комнаты $x$ переход, направленный в одну из комнат $s_1$, $s_2$, ..., $s_k$?

Он может задать не более $9n$ вопросов первого типа, и не более $2n$ вопросов второго типа.

После того, как он задаст какие-то вопросы, он хочет знать для каждой пары комнат $a$ и $b$, существует ли путь из $a$ в $b$ или нет. Путь из $a$ в $b$ это последовательность переходов, которая начинается в комнате $a$ и заканчивается в комнате $b$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 30$) — количество наборов входных данных.

Каждый набор входных данных начинается с целого числа $n$ ($4 \le n \le 100$) — количества комнат.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных в одном тесте не превышает $500$.

Выходные данные

Чтобы вывести ответ для набора входных данных, выведите строку содержащую «3», после чего $n$ строк, каждая содержит двоичную строку длины $n$. $j$-й символ в $i$-й строке должен равняться $1$, если существует путь из комнаты $i$ в комнату $j$, и $0$, если нет. $i$-й символ в $i$-й строке должен равняться $1$ для всех $i$.

После вывода ответа, интерактор ответит одним целым числом. Если это $1$, значит вы вывели правильный ответ, и должны продолжить решать следующие наборы входных данных (или завершиться, если это был последний). Если это $-1$, вы вывели неправильный ответ, и должны немедленно завершиться, чтобы получиться вердикт Wrong answer. Иначе, вы можете получить произвольный вердикт, потому что ваше решение будет продолжать читать из закрытого потока.

Протокол взаимодействия

Чтобы задать вопрос первого типа, используйте формат:

$1$ $a$ $b$ ($0 \le a,b \le n-1$, $a \neq b$).
интерактор ответит $1$, если переход ведет из $a$ в $b$, и $0$, если из $b$ в $a$.
вы можете задать не более $9n$ вопросов этого типа в каждом наборе входных данных.

Чтобы задать вопрос второго типа, используйте формат:

$2$ $x$ $k$ $s_1$ $s_2$ ... $s_k$ ($0 \le x,s_i \le n-1$, $0 \le k < n$, $x \neq s_i$, элементы $s$ попарно различны).
интерактор ответит $1$, если существует переход ведущий из $x$ в какую-то из комнат из $s$, и $0$ иначе.
вы можете задать не более $2n$ вопросов этого типа в каждом наборе входных данных.

Если интерактор ответит $-1$ вместо корректного ответа, это означает, что вы превысили разрешенное количество вопросов, или сделали некорректный вопрос. Немедленно завершитесь после получения $-1$, чтобы получить вердикт Wrong answer. Иначе, вы можете получить произвольный вердикт, потому что ваше решение будет продолжать читать из закрытого потока.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Взломы:

Первая строка должна содержать целое число $t$ — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных должна содержать целое число $n$ ($4 \le n \le 100$) — количество комнат.

Каждая из следующих $n$ строк должна содержать двоичную строку длины $n$. $j$-й символ в $i$-й строке должен равняться $1$, если есть переход из комнаты $i$ в комнату $j$, и $0$ иначе. $i$-й символ в $i$-й строке должен равняться $0$.

Примечание

В примере:

$\text{[math]}$

Первый вопрос спрашивает, есть ли переходы из комнаты $3$ в любую другую комнату.

Второй вопрос спрашивает про направление перехода между комнатами $0$ и $1$.

Спустя еще пару вопросов, мы узнаем, что можно добраться из любой комнаты до любой другой, кроме случая, когда мы начинаем в комнате $3$, из которой нельзя выйти. Поэтому, мы выводим матрицу:

Интерактор отвечает $1$, что означает, что наш ответ корректен.

F. Феникс и землетрясение

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное снм *2600

Родина Феникса, Страна Огня, состоит из $n$ городов, которые были соединены $m$ дорогами, но из-за землетрясения они все были разрушены. Теперь Страна Огня хочет восстановить $n-1$ из этих дорог так, чтобы все города стали снова связаны.

Первоначально, в $i$-м городе есть $a_i$ тонн асфальта. Чтобы восстановить дорогу, необходимо $x$ тонн асфальта. При этом, чтобы восстановить дорогу между городами $i$ и $j$, в городах $i$ и $j$ должно быть суммарно хотя бы $x$ тонн асфальта. Другими словами, в городе $i$ есть $a_i$ тонн асфальта, а городе $j$ — $a_j$ тонн, то после восстановления дороги между ними останется $a_i+a_j-x$ тонн. Асфальт можно перевозить между городами, если дорога между ними уже восстановлена.

Определите, возможно ли связать все города, и если да, то выведите последовательность дорог, которые нужно восстановить, в соответствующем порядке.

Входные данные

В первой строке заданы целые числа $n$, $m$ и $x$ ($2 \le n \le 3 \cdot 10^5$; $n-1 \le m \le 3 \cdot 10^5$; $1 \le x \le 10^9$) — количество городов, количество дорог и количество асфальта, необходимого для восстановления одной дороги.

В следующей строке заданы $n$ целых чисел через пробел $a_i$ ($0 \le a_i \le 10^9$) — первоначальное количество асфальта в городе $i$.

В следующих $m$ строках задано по два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($x_i\ne y_i$; $1 \le x_i, y_i \le n$) — города соединенные $i$-й дорогой. Гарантируется, что между каждой парой городов есть не более одной дороги, и что перед землетрясением города были связаны.

Выходные данные

Если невозможно связать все города, выведите NO. В противном случае выведите YES и далее $n-1$ целое число $e_1, e_2, \dots, e_{n-1}$ — порядок, в котором нужно восстанавливать дороги. $e_i$ — это номер $i$-й в порядке восстановления дороги. Если существует несколько ответов, выведите любой.

Примечание

В первом примере, дороги восстанавливаются в следующем порядке:

Дорога $3$ восстановлена (соединяет города $3$ и $4$). В городе $4$ первоначально было $4$ тонны асфальта. После восстановления, осталось $3$ тонны.
Дорога $2$ восстановлена (соединяет города $2$ и $3$). Асфальт из города $4$ можно перевезти в город $3$ и использовать на дорогу. Осталось $2$ тонны.
Дорога $1$ восстановлена (соединяет города $1$ и $2$). Асфальт перевезен в город $2$ и потрачен на дорогу. Осталась $1$ тонна.
Дорога $4$ восстановлена (соединяет города $4$ и $5$). Асфальт перевезен в город $4$ и потрачен на дорогу. Больше асфальта не осталось.

Все города теперь связаны.

Во втором примере, города $1$ и $2$ используют свой асфальт вместе для постройки дороги. В каждом городе по $1$ тонне, то есть вместе $2$ тонны, чего достаточно.

В третьем примере, для восстановления дороги между городами $1$ и $2$ асфальта недостаточно.

G. Феникс и одометры

графы математика поиск в глубину и подобное теория чисел *2700

В городе Огня, есть $n$ перекрестков и $m$ односторонних дорог: $i$-я дорога ведет от перекрестка $a_i$ к $b_i$ и имеет длину $l_i$ миль.

Также есть $q$ машин, которые могут передвигаться только по этим дорогам. Машина $i$ стоит у перекрестка $v_i$ и оборудована одометром с начальным значением $s_i$, который увеличивается на один за каждую пройденную милю и сбрасывается в $0$ когда достигает значения $t_i$. Фениксу дано задание покататься на машинах по каким-то дорогам (возможно, совсем не двигаться) и вернуться к стартовому перекрестку с одометром, сброшенным в $0$.

Для каждой машины определите, возможно ли это.

Машина может посещать одни и те же перекрестки и ездить по одним и тем же дорогам произвольное количество раз. Одометры не прекращают считать пройденное расстояние после сброса, а потому одометры можно сбрасывать произвольное количество раз.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество перекрестков и количество дорог, соответственно.

В каждой из следующих $m$ строк заданы три целых числа $a_i$, $b_i$ и $l_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$; $a_i \neq b_i$; $1 \le l_i \le 10^9$) — описание $i$-й дороги. Граф дорог необязательно связный. Гарантируется, что между любой парой перекрестков есть не более одной дороги в каждом направлении.

В следующей строке задано целое число $q$ ($1 \le q \le 2 \cdot 10^5$) — количество машин.

В каждой из следующих $q$ строк заданы три целых числа $v_i$, $s_i$ и $t_i$ ($1 \le v_i \le n$; $0 \le s_i < t_i \le 10^9$) — стартовый перекресток $i$-й машины, стартовое значение $i$-го одометра и значение, при котором $i$-й одометр сбрасывается, соответственно.

Выходные данные

Выведите $q$ ответов. Если одометр $i$-й машины можно сбросить в $0$ покатавшись по некоторым дорогам и вернувшись назад в $v_i$, выведите YES. В противном случае выведите NO.

Примечание

Ниже представлена иллюстрация первого примера:

$\text{[math]}$

В первом запросе, Феникс может проехать на машине следующем образом: $1$ $\rightarrow$ $2$ $\rightarrow$ $3$ $\rightarrow$ $1$ $\rightarrow$ $2$ $\rightarrow$ $3$ $\rightarrow$ $1$. Одометр будет сброшен $3$ раза, и будет показывать $0$ к концу поездки.

Во втором примере, можно показать, что не существует способа сбросить одометр в $0$ и при этом вернуться к пересечению $1$.

В третьем примере, одометр уже показывает $0$, а поэтому нет необходимости куда-то ехать.

Ниже представлена иллюстрация второго примера:

$\text{[math]}$

D. Ехаб разрезает массив

Бинарный поиск графы дп Структуры данных теория чисел *2100

В этот раз Ехаб решил только разрезать массив. Он начинает с массива $a$ длины $n$, записанного на полоске бумаги, и делает следующее:

Ехаб выбирает отрезок $(l, r)$ и вырезает отрезок с элементами $a_l, a_{l + 1}, \ldots, a_r$, выбрасывая остальные элементы.
Затем он разрезает его на несколько подотрезков.
Чтобы добавить интереса в это занятие, он требует, чтобы произведение элементов на каждом подотрезке было равно их наименьшему общему кратному (НОК).

Формально, он разбивает элементы $a_l, a_{l + 1}, \ldots, a_r$ на подотрезки так, чтобы произведение элементов каждого подотрезка было равно НОК элементов этого подотрезка. У Ехаба есть $q$ независимых отрезков $(l, r)$, для которых он хочет узнать, на какое минимальное число подотрезков их необходимо разрезать, чтобы условие выполнялось.

Входные данные

В первой строке записано $2$ целых числа $n$ и $q$ ($1 \le n,q \le 10^5$) — длина массива $a$ и количество запросов.

Во второй строке записано $n$ целых чисел, $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ ($1 \le a_i \le 10^5$) — элементы массива $a$.

В каждой из следующих $q$ строк записано $2$ целых числа $l$ и $r$ ($1 \le l \le r \le n$) — границы каждого запроса.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите ответ на него.

Примечание

Первый запрос спрашивает про весь массив. Вы можете разделить его так: $[2]$, $[3,10,7]$, и $[5,14]$. Произведение и НОК первого подотрезка равны $2$. Произведение и НОК второго подотрезка равны $210$. И произведение и НОК третьего подотрезка равны $70$. Существует другое возможное разделение: $[2,3]$, $[10,7]$, и $[5,14]$.

Второй запрос спрашивает про отрезок $(2,4)$. Его произведение уже равно его НОК, следовательно, не нужно делить его ни разу.

Последний запрос про отрезок $(3,5)$. Вы можете разделить его на $[10,7]$ и $[5]$.

D. Исследовательская выставка

графы дп кратчайшие пути *1800

Вы бродите по исследовательской выставке на конференции 2050.

Выставка может быть представлена как неориентированный взвешенный граф в виде сетки размера $n\times m$. Множество вершин графа это $\{(i, j)|1\le i\le n, 1\le j\le m\}$. Две вершины $(i_1,j_1)$ и $(i_2, j_2)$ соединены ребром, если и только если $|i_1-i_2|+|j_1-j_2|=1$.

На каждом ходу вы можете перейти из вершины в любую другую вершину, соединенную ребром с текущей. На каждом ребре расположено несколько экспонатов. Так как вы их все уже видели, то при проходе по ребру, на котором расположено $x$ экспонатов, ваша скукота увеличивается на $x$.

Для каждой стартовой вершины $(i, j)$ найдите ответ на следующий вопрос: чему равна минимальная возможная скукота, если вы начнете в вершине $(i, j)$ и вернетесь обратно, сделав ровно $k$ ходов.

Вы можете использовать каждое ребро несколько раз, но и скукота будет увеличиваться это же количество раз. Вы не можете остаться в той же вершине вместо того, чтобы делать ход. Вы также не можете менять направление, когда идете по ребру. Прежде чем вернуться в стартовую вершину $(i, j)$ после $k$ ходов, вы можете посещать (или нет) вершину $(i, j)$ любое количество раз.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($2\leq n, m\leq 500, 1\leq k\leq 20$).

$j$-е число ($1\le j \le m - 1$) в $i$-й из следующих $n$ строк равно количеству экспонатов, расположенных на ребре между вершинами $(i, j)$ и $(i, j+1)$.

$j$-е число ($1\le j\le m$) в $i$-й из следующих $n-1$ строк равно количеству экспонатов, расположенных на ребре между вершинами $(i, j)$ и $(i+1, j)$.

На каждом ребре находится от $1$ до $10^6$ экспонатов.

Выходные данные

Выведите $n$ строк по $m$ чисел в каждой. $j$-е число в $i$-й строке, $answer_{ij}$, должно равняться минимальной возможной скукоте, если вы начнете в вершине $(i, j)$ и вернетесь обратно, сделав ровно $k$ ходов.

Если вы не можете вернуться обратно в вершину $(i, j)$, сделав ровно $k$ ходов, $answer_{ij}$ должен равняться $-1$.

Примечание

В первом примере ответ всегда равен $10$ вне зависимости от того, как вы пойдете.

Во втором примере $answer_{21} = 10$, путь может быть таким: $(2,1) \to (1,1) \to (1,2) \to (2,2) \to (2,1)$, скукота равна $4 + 1 + 2 + 3 = 10$.

G. Звездная ночь в кемпинге

графы Конструктив Потоки *3300

У подножия горы Лиюшань будут установлены $n$ палаток, для тех, кто желает испытать радость от единения с природой, спокойствия ночи и яркого звездного неба.

Палатка номер $i$ будет расположена в точке $(x_i, y_i)$ и будет иметь вес $w_i$. Палатка считается важной, если оба $x_i$ и $y_i$ являются четными. Вам нужно убрать некоторые из палаток так, чтобы для каждой оставшейся важной палатки $(x, y)$ не существовало $3$ другие палатки $(x'_1, y'_1)$, $(x'_2, y'_2)$ и $(x'_3, y'_3)$, такие что оба условия выполнены:

$|x'_j-x|, |y'_j - y|\leq 1$ для всех $j \in \{1, 2, 3\}$.
Эти четыре палатки образуют параллелограмм (или прямоугольник), и одна из его сторон параллельна оси $x$.

Максимизируйте сумму весов оставшихся палаток.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1\leq n\leq 1\,000$), обозначающее количество палаток.

Каждая из следующих $n$ строк содержит три целых числа $x_i$, $y_i$ и $w_i$ ($-10^9\leq x_i,y_i \leq 10^9$, $1\leq w_i\leq 10^9$), обозначающие координаты $i$-й палатки и ее вес. Никакие две палатки не расположены в одной точке.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальную сумму весов оставшихся палаток.

Примечание

Иллюстрация для второго примера. Черные треугольники обозначают важные палатки. Этот пример также показывает все $8$ запрещенных паттернов.

$\text{[math]}$

E. Сдвиг на один

геометрия графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное сортировки *2700

На бесконечной плоскости лежат $n$ точек. Координаты $i$-й точки $(x_i, y_i)$ такие, что $x_i > 0$ и $y_i > 0$. Координаты необязательно целые.

За один ход осуществляются следующие операции:

выбрать две точки $a$ и $b$ ($a \neq b$);
подвинуть точку $a$ из $(x_a, y_a)$ либо в $(x_a + 1, y_a)$, либо в $(x_a, y_a + 1)$;
подвинуть точку $b$ из $(x_b, y_b)$ либо в $(x_b + 1, y_b)$, либо в $(x_b, y_b + 1)$;
удалить точки $a$ и $b$.

Ход можно совершить только в том случае, если существует прямая, проходящая через новые координаты $a$, новые координаты $b$ и $(0, 0)$.

Иначе ход совершить нельзя, и точки остаются на своих начальных координатах $(x_a, y_a)$ и $(x_b, y_b)$, соответственно.

Нумерация точек не меняется после удаления точек. Если точки удалены, то они не могут быть выбраны в последующих ходах. Обратите внимание, что необходимо двигать обе точки во время хода, нельзя оставлять их в изначальных координатах.

Какое наибольшее количество ходов можно совершить? Какие это ходы?

Если существует несколько ответов, то выведите любой из них.

Входные данные

В первой строке записано одно целое $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество точек.

В $i$-й из следующих $n$ строк записаны четыре целых числа $a_i, b_i, c_i, d_i$ ($1 \le a_i, b_i, c_i, d_i \le 10^9$). Координаты $i$-й точки — $x_i = \frac{a_i}{b_i}$ и $y_i = \frac{c_i}{d_i}$.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число $c$ — наибольшее количество ходов, которые можно совершить.

В каждой из следующих $c$ строк должно быть записано описание хода: два целых числа $a$ и $b$ ($1 \le a, b \le n$, $a \neq b$) — точки, удаляемые на текущем ходу. Должен существовать способ подвинуть точки $a$ и $b$ согласно условию так, чтобы существовала прямая, проходящая через новые координаты $a$, новые координаты $b$ и $(0, 0)$. Никакая удаленная точка не может быть удалена в последующих ходах.

Если существует несколько ответов, то выведите любой из них. Можно выводить ходы и точки внутри ходов в произвольном порядке.

Примечание

Точки из первого примера и перемещения для тех из них, которые выбираются в ходах:

$\text{[math]}$

E. Сад

битмаски графы Деревья дп *2500

У Васи есть очень красивый загородный сад, который представляет собой прямоугольное поле размером n × m, разделенное на n·m квадратных клеток. В один прекрасный день Вася вспомнил, что ему нужно проложить дорожки между k важными клетками с постройками — для этого он может залить бетоном некоторые из клеток своего сада.

Про каждую клетку сада известно число a_i_j, которое означает количество цветов, растущих в клетке с координатами (i, j). При заливании бетоном все цветы, растущие в клетке, погибают.

Вася хочет залить бетоном некоторые клетки так, чтобы выполнялись условия:

все k важных клеток обязательно должны быть залиты бетоном
из каждой важной клетки до любой другой важной клетки существовал путь по залитым бетоном клеткам при условии, что соседними считаются клетки, имеющие общую сторону
общее количество погибших растений должно быть минимально

Так как у Васи достаточно большой сад, то он просит Вас ему помочь.

Входные данные

В первой строке входных данных даны три целых числа n, m и k (1 ≤ n, m ≤ 100, n·m ≤ 200, 1 ≤ k ≤ min(n·m, 7)) — размеры сада и количество важных клеток. Далее в n строках по m чисел в каждой даны числа a_i_j (1 ≤ a_i_j ≤ 1000) — количество цветов в клетках. Далее в k строках даны координаты важных клеток в формате «x y» (без кавычек) (1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ m). Числа, расположенные в одной строке, разделены пробелами. Гарантируется, что все k важных клеток имеют различные координаты.

Выходные данные

В первую строку выведите единственное целое число — минимальное количество погибших при строительстве растений. Далее выведите n строк по m символов в каждой — план сада, где символом «X» (заглавная латинская буква X) обозначайте залитую бетоном клеточку, а символом «.» (точка) — незалитую. Если решений несколько, выведите любое.

G. Идти или не идти?

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути Перебор поиск в глубину и подобное реализация *2200

Дима проспал будильник, который должен был поднять его в школу.

Диме интересно, успеет ли он прийти на первый урок. Для этого ему необходимо узнать минимальное время, которое потребуется ему, чтобы дойти от дома до школы.

Город, в котором живет Дима, представляет собой прямоугольное поле размером $n \times m$. Каждая клетка $(i, j)$ на этом поле обозначается одним числом $a_{ij}$:

Число $-1$ означает, что проход по клетке запрещен;
Число $0$ означает, что клетка свободна, и Дима может по ней пройти.
Число $x$ ($1 \le x \le 10^9$) означает, что в клетке расположен портал со стоимостью $x$. Клетка с порталом также считается свободной.

Из любого портала Дима может отправиться в любой другой портал, при этом время перемещения из портала $(i, j)$ в портал $(x, y)$ соответствует сумме их стоимостей $a_{ij} + a_{xy}$.

Помимо перемещения между порталами, Дима также может перемещаться между соседними по стороне не занятыми клетками за время $w$. В частности, он может заходить на клетку с порталом и не пользоваться им.

Изначально Дима находится в левой верхней клетке $(1, 1)$, а школа в правой нижней клетке $(n, m)$.

Входные данные

В первой строке содержатся три целых числа $n$, $m$ и $w$ ($2 \le n, m \le 2 \cdot 10^3$, $1 \le w \le 10^9$), где $n$ и $m$ — размеры города, $w$ — время, за которое Дима перемещается между не занятыми клетками.

Следующие $n$ строк содержат по $m$ чисел ($-1 \le a_{ij} \le 10^9$) — описания клеток.

Гарантируется, что клетки $(1, 1)$ и $(n, m)$ свободны.

Выходные данные

Выведите одно число — минимальное время, которое потребуется Диме, чтобы добраться до школы. Если он не сможет добраться до школы вообще — выведите «-1».

Примечание

Пояснение к первому примеру:

$\text{[math]}$

D. Это птица! Нет, это самолет! Нет, это AaParsa!

графы Конструктив кратчайшие пути *2500

В Шааззззляндии есть $n$ городов, пронумерованных от $0$ до $n-1$. Гааззззляндией, бессмертным врагом Шааззззляндии, правит AaParsa.

Будучи главой разведывательной службы Гааззззляндии, AaParsa выполняет самую важную шпионскую миссию в истории Гааззззляндии на Шааззззляндии.

AaParsa установил $m$ транспортных пушек в городах Шааззззляндии. $i$-я пушка установлена в городе $a_i$ и изначально направлена на город $b_i$.

Гарантируется, что в каждом из $n$ городов есть по крайней мере одна транспортная пушка, и что никакие две пушки из одного города изначально не направлены на один и тот же город (то есть, все пары $(a_i, b_i)$ попарно различны).

AaParsa использовал очень продвинутую технологию для создания пушек, пушки вращаются каждую секунду. Другими словами, если $i$-я пушка направлена на город $x$ в какую-то секунду, то в следующую секунду она будет нацелена на город $(x + 1) \mod n$.

Транспортные пушки, как следует из их названия, предназначены для транспортировки, в частности, для перевозки людей. Если вы используете $i$-ю пушку, чтобы запустить себя в направлении города, на который она сейчас нацелена, вы будете находиться в воздухе в течение $c_i$ секунд, прежде чем достигнете цели.

Если вы все еще не поняли, использование $i$-й пушки на $s$-й секунде (что возможно, только если вы в данный момент находитесь в городе $a_i$) запустит вас в город $(b_i + s) \mod n$, и вы приземлитесь в нем через $c_i$ секунд (таким образом, вы окажетесь там в $(s + c_i)$-ю секунду). Обратите внимание, что пушка, из которой вы изначально стартовали, будет вращаться каждую секунду, но вы, очевидно, не будете менять направление, пока находитесь в воздухе.

В своем грандиозном плане AaParsa хочет использовать пушки для перемещения между городами Шааззляндии, и он может начать перемещения в секунду $0$. Чтобы использовать их в полной мере, ему нужно знать минимальное количество секунд, необходимое для достижения города $u$ из города $v$ с помощью пушек, для каждой пары городов $(u, v)$.

Обратите внимание, что AaParsa может оставаться в любом городе столько, сколько захочет.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ $(2 \le n \le 600 , n \le m \le n^2)$ — количество городов и пушек соответственно.

В $i$-й строке следующих $m$ строк содержатся три целых числа $a_i$, $b_i$ и $c_i$ $( 0 \le a_i , b_i \le n-1 , 1 \le c_i \le 10^9)$, обозначающие пушку в городе $a_i$, которая изначально направлена на $b_i$ и путешествие c которой занимает $c_i$ секунд.

Выходные данные

Выведите $n$ строк, каждая из которых должна содержать $n$ целых чисел.

$j$-е целое число в $i$-й строке должно быть равно минимальному времени, необходимому для достижения города $j$ из города $i$.

Примечание

В первом примере один из возможных путей перехода от $0$ к $2$ был бы таким:

Остаться внутри $0$ и ничего не делать в течение $1$ секунды.
Использовать первую пушку и приземлиться в $2$ через $1$ секунду.

Обратите внимание: мы могли бы использовать вторую пушку в $0$-ю секунду, но в этом случае нам потребовалось бы $3$ секунды, чтобы достичь города $2$.

D. Секретный Санта

графы жадные алгоритмы Конструктив математика Потоки *1600

В компании ВКонтакте в декабре традиционно проводится мероприятие под названием «Секретный Санта». Суть его в следующем.

В мероприятии участвуют $n$ сотрудников, пронумерованных от $1$ до $n$. Каждому сотруднику $i$ назначается другой сотрудник $b_i$, которому сотрудник $i$ должен сделать новогодний подарок. При этом каждый сотрудник назначается ровно одному другому сотруднику, и никто не назначается сам себе (но возможно, что два сотрудника окажутся назначены друг другу). Формально, все $b_i$ должны быть различными целыми числами от $1$ до $n$, и для любого $i$ должно выполняться $b_i \ne i$.

Как правило, назначение происходит случайным образом. Но в качестве эксперимента у участников мероприятия спросили, кому бы они хотели сделать подарок. Каждый сотрудник $i$ сказал, что желает сделать подарок сотруднику $a_i$.

Найдите такое корректное назначение $b$, что как можно больше пожеланий сотрудников окажется выполнено.

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^5$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных.

Каждый набор входных данных задан в двух строках. Первая строка содержит целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — число участников мероприятия.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$; $a_i \ne i$) — пожелания сотрудников в порядке от $1$-го до $n$-го.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите две строки.

В первой строке выведите целое число $k$ ($0 \le k \le n$) — число выполненных пожеланий в вашем назначении.

Во второй строке выведите $n$ различных целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($1 \le b_i \le n$; $b_i \ne i$) — номера сотрудников, назначенных сотрудникам $1, 2, \ldots, n$.

Число $k$ должно быть равно числу индексов $i$ таких, что $a_i = b_i$, и должно быть максимальным возможным. Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом наборе входных данных существует два корректных назначения — $[3, 1, 2]$ и $[2, 3, 1]$. В первом случае будет выполнено два пожелания, а во втором — одно. Таким образом, $k = 2$, и верным ответом является только назначение $[3, 1, 2]$.

G. Карта биомов

*особая задача графы Конструктив поиск в глубину и подобное

Поликарп решил сгенерировать карту биомов для своей игры. Карта представляет собой матрицу, разбитую на клетки $1 \times 1$. В каждой клетке карты должен находиться один из доступных биомов.

Каждый биом определяется двумя параметрами: температура (целое число от $1$ до $n$) и влажность (целое число от $1$ до $m$). Но, возможно, не для каждой комбинации температура/влажность доступен соответствующий биом.

Карта биомов должна быть сгенерирована по следующим правилам:

каждая клетка карты принадлежит ровно одному биому;
каждому доступному биому принадлежит хотя бы одна клетка карты;
если две клетки карты являются соседними по стороне, и они принадлежат биомам с параметрами ($t_1, h_1$) и ($t_2, h_2$) соответственно, то должно выполняться равенство $|t_1-t_2| + |h_1-h_2| = 1$;
пусть количество доступных биомов равно $k$. Ни количество строк, ни столбцов карты не должно превышать $k$.

Помогите Поликарпу сгенерировать карту биомов, которая удовлетворяет всем вышеописанным условиям (или сообщите, что это невозможно).

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 20$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 10$) — максимальные параметры температуры и влажности.

Следующие $n$ строк содержат по $m$ целых чисел $a_{i,1}, a_{i, 2}, \dots, a_{i, m}$ ($0 \le a_{i, j} \le 100$), где $a_{i, j}$ — идентификатор биома с параметрами $(i, j)$, если $a_{i, j} \neq 0$, иначе биом с такими параметрами недоступен.

Все идентификаторы биомов различны и есть хотя бы два доступных биома.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите ответ в следующем формате:

в единственной строке выведите $-1$, если не существует карты удовлетворяющей всем условиям;
иначе в первой строке выведите два целых числа $h$ и $w$ — количество строк и столбцов карты соответственно. В следующих $h$ строках выведите по $w$ целых чисел — идентификаторы биомов в соответствующих клетках поля.

I. Экскурсии

*особая задача графы Конструктив Паросочетания поиск в глубину и подобное Потоки

Ирина работает в экскурсионной компании Саратова. Сегодня она собирается организовать экскурсии по городам Саратов и Энгельс.

Всего существует $n_1$ достопримечательность в Саратове и $n_2$ достопримечательность в Энгельсе. Города разделены рекой, но есть $m$ автобусных маршрутов, которые проходят по мостам и позволяют туристам добраться из Саратова в Энгельс и обратно. Маршрут $i$-го автобуса проходит от $x_i$-й достопримечательности в Саратове до $y_i$-й достопримечательности в Энгельсе, а также в обратном направлении.

Ирина хочет спланировать экскурсии на текущий день. Экскурсионные поездки начинаются в Саратове утром, продолжаются в Энгельсе днем и заканчиваются в Саратове вечером.

Каждый турист начинает свой экскурсионный день с какой-нибудь достопримечательности Саратова, $k_i$ туристов начинают с $i$-й достопримечательности. Затем гиды везут их в Энгельс: на каждой достопримечательности Саратова гид выбирает автобусный маршрут, ведущий от этой достопримечательности в Энгельс, и все туристы, отправляющиеся с этой достопримечательности, отправляются в Энгельс по этому автобусному маршруту. После завершения экскурсий в Энгельсе происходит то же самое: для каждой достопримечательности в Энгельсе гид выбирает автобусный маршрут, ведущий от этой достопримечательности в Саратов, и все туристы с этой достопримечательности отправляются в Саратов по этому автобусному маршруту.

Этот процесс может привести к такой ситуации, что некоторые туристы вернутся к той же достопримечательности в Саратове, с которой они начали утром. Очевидно, туристам это не нравится, поэтому Ирина хочет выбрать, куда гиды повезут туристов (как по дороге из Саратова в Энгельс, так и по дороге из Энгельса в Саратов), чтобы минимально возможное количество туристов вернулось к той же достопримечательности, с которой они начали. Помогите Ирине найти оптимальный план!

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n_1$, $n_2$ и $m$ ($1 \le n_1, n_2 \le 100$; $\max(n_1, n_2) \le m \le n_1 \cdot n_2$) — количество достопримечательностей в Саратове, количество достопримечательностей в Энгельсе и количество автобусных маршрутов соответственно.

Вторая строка содержит $n_1$ целых чисел $k_1, k_2, \dots, k_{n_1}$ ($1 \le k_i \le 10^6$), где $k_i$ — количество туристов, начинающих с $i$-й достопримечательности в Саратове.

Затем следует $m$ строк, каждая из которых описывает автобусный маршрут: $i$-я строка содержит два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i \le n_1$; $1 \le y_i \le n_2$), что означает, что $i$-й маршрут автобуса соединяет $x_i$-ю достопримечательность в Саратове и $y_i$-ю достопримечательность в Энгельсе. Все автобусные маршруты различны, и у каждой достопримечательности есть по крайней мере один автобусный маршрут, ведущий к ней / от нее.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимально возможное количество туристов, которые вернутся к тому же месту, откуда они начали.

C. Головоломка маленького Алана

графы дп Комбинаторика математика снм *1300

Во время перерывов в подготовке к Международной олимпиаде школьников по информатике маленький Алан любит решать различные головоломки, чтобы развивать мозги. Сегодня он решает головоломку, которая выглядит как таблица $2 \times n$, где в каждом ряду записана перестановка чисел $1,2,3,\ldots,n$.

Задача головоломки — сделать так, чтобы ни в каком ряду и ни в каком столбце не было двух одинаковых чисел (назовем такие состояния решенными), а единственная разрешенная операция — поменять местами два числа в одном столбце. Когда маленький Алан решил головоломку много раз, он заскучал и начал размышлять, а сколько вообще существует различных решенных состояний в данной головоломке, которые он может получить из некоторого начального решенного состояния, применяя только разрешенные операции?

Маленький Алан не справился с этой сложной задачей, поэтому он попросил вас помочь ему. Найдите ответ по модулю $10^9+7$.

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных.

Первая строка набора входных данных содержит целое число $n$ ($2 \le n \le 4 \cdot 10^5$).

Следующие две строки описывают начальное состояние головоломки. Каждая строка содержит перестановку чисел $1,2,3,\ldots,n$, и числа в каждом столбце и в каждой строке различны.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $4 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — количество решенных состояний головоломки, которые можно получить из данного, меняя местами числа в столбцах. Так как ответ может быть большим, выведите его по модулю $10^9+7$.

Примечание

Два возможных решенный состояния в примере $1$:

$[1,4,2,3]$ в первой строке, и $[3,2,1,4]$ во второй,
$[3,2,1,4]$ в первой строке, и $[1,4,2,3]$ во второй.

E. Потерянный массив

графы жадные алгоритмы интерактив кратчайшие пути *2300

Это интерактивная задача

XOR-суммой массива $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^9$) называется величина $a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_n$, где $\oplus$ обозначает операцию побитового исключающего ИЛИ.

Маленьких Дорми на Рождество получил массив из $n$ целых $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Однако вскоре он уронил его в XOR-машину, и массив был утерян.

В настройках XOR-машины установлено целое число $k$ (которое вы не можете менять), и вы можете делать запросы к XOR-машине: дав машине $k$ различных индексов $x_1, x_2, \ldots, x_k$, вы получите значение $a_{x_1} \oplus a_{x_2} \oplus \ldots \oplus a_{x_k}$.

Как старший брат Дорми, вы хотите помочь ему восстановить XOR-сумму массива $a_1, a_2, \ldots, a_n$, сделав несколько запросов к XOR-машине.

Маленький Дорми нетерпелив, поэтому вы должны сделать минимальное количество запросов к XOR-машине, чтобы найти XOR-сумму массива. Формально, пусть $d$ равно минимальному числу запросов, необходимому, чтобы найти XOR-сумму любого массива длины $n$, когда размер запроса равен $k$. Ваше решение будет зачтено, если вы найдете XOR-сумму за не более чем $d$ запросов.

Вы заметили, что для некоторых настроек машины $k$ и некоторых значений $n$ может быть невозможно найти XOR-сумму, в таком случае вы должны определить это.

Массив $a_1, a_2, \ldots, a_n$ зафиксирован до того, как вы начнете делать запросы к XOR-машине, и не меняется в процессе взаимодействия.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа $n$ и $k$ ($1 \le n \le 500$, $1 \le k \le n$) — длину массива и размер запросов к XOR-машине.

Элементы массива удовлетворяют $1 \le a_i \le 10^9$.

Можно показать, что если возможно найти XOR-сумму в данном тесте, то это можно сделать за не более чем $500$ запросов. Поэтому $d \le 500$.

После чтения $n$ и $k$ вы можете начать делать запросы.

Выходные данные

Если невозможно вычислить XOR-сумму массива, выведите $-1$ сразу после чтения $n$ и $k$. Не начинайте взаимодействие.

Иначе, когда ваша программа определит XOR-сумму найденного массив $a_1, a_2, \ldots, a_n$, выведите ответ в следующем формате: «! x», где $x$ равен XOR-сумме массива $a_1, a_2, \ldots, a_n$, и завершите программу сразу после сброса буфера вывода.

Вывод ответа не считается за запрос.

Протокол взаимодействия

Чтобы сделать запрос, выведите «? b», где $b$ — массив из ровно $k$ различных целых чисел от $1$ до $n$, обозначающий индексы элементов, XOR-сумму которых вы хотите узнать.

Затем считайте одно целое число $x$ — XOR-сумму запрошенных элементов. Можно показать, что $0 \le x \le 2 \cdot 10^9$.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Если вы сделаете некорректный запрос, или сделаете больше, чем $500$ запросов, взаимодействие немедленно прекратится и вы получите вердикт «Неправильный ответ». Обратите внимание, если вы превысите $d$ запросов, взаимодействие продолжится до тех пор, пока вы не превысите лимит в $500$ запросов, а потом все равно получите вердикт «Неправильный ответ».

Взломы

Чтобы взломать решение, используйте следующий формат.

Первая строка содержит целые числа $n$ и $k$ ($1 \le n \le 500$, $1 \le k \le n$).

Вторая строка содержит массив целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^9$).

Примечание

В первом примере массив $a_1, a_2, \ldots, a_n$ равен $2, 1, 7, 5, 6$, его XOR-сумма равна $7$.

Первый запрос в примере включает индексы $1,2,3$, поэтому ответ на запрос равен $a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 = 2 \oplus 1 \oplus 7 = 4$.

Второй запрос в примере включает индексы $2,3,5$, поэтому ответ на запрос равен $a_2 \oplus a_3 \oplus a_5 = 1 \oplus 7 \oplus 6 = 0$.

Первый запрос в примере включает индексы $4,1,5$, поэтому ответ на запрос равен $a_4 \oplus a_1 \oplus a_5 = 5 \oplus 2 \oplus 6 = 1$. Обратите внимание, что индексы можно выводить в любом порядке.

Обратите внимание, что в примере сделано три запроса для демонстрации взаимодействия, но они не обязательно следуют оптимальной стратегии.

Во втором примере невозможно вычислить XOR-сумму массива, поэтому нужно сразу вывести $-1$.

F1. Падающий песок (простая версия)

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2500

Это простая версия задачи. Разница в версиях заключается в ограничениях на $a_i$. Вы можете делать взломы, только если обе версии задачи решены.

Маленький Дорми недавно получил головоломку от своего друга, и ему требуется ваша помощь для ее решения.

Головоломка состоит из вертикальной доски с $n$ строками и $m$ столбцами, некоторые ячейки на доске пустые, а некоторые заполнены песком. Также даны $m$ неотрицательных целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_m$ ($0 \leq a_i \leq n$). В этой версии задачи $a_i$ равно числу ячеек с песком в столбце $i$.

Если стукнуть по ячейке, заполненной песком, то весь песок из ячейки упадет вниз на счетчик песка своего столбца (в каждом столбце есть счетчик песка). Когда песок падает, весь песок, в какой-либо момент находящийся в соседней ячейке с падающим песком, тоже начинает падать. А именно, если песок начинает падать из ячейки $(i,j)$, то он будет падать через все ячейки ниже в этом столбце, включая саму ячейку $(i,j)$, вызывая падения во всех ячейках, соседних к какой-либо ячейке на пути. Соседними к ячейке $(i,j)$ являются ячейки $(i-1,j)$, $(i,j-1)$, $(i+1,j)$ и $(i,j+1)$ (если такие существуют). Обратите внимание, что новые падающие ячейки песка тоже вызывают падение соседних ячеек.

За одну операцию вы можете стукнуть по одной ячейке с песком. Головоломка решена, если на счетчике песка в $i$-м столбце находится не менее $a_i$ ячеек с песком для всех столбцов от $1$ до $m$.

Вам нужно определить минимальное количество операций, необходимое, чтобы решить головоломку. Маленький Дорми никогда не даст вам головоломку, которую нельзя решить.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \cdot m \leq 400\,000$).

Каждая из следующих $n$ строк содержит $m$ символов, описывающих очередную строку таблицы сверху вниз. Символ «.» обозначает пустую ячейку, а «#» обозначает ячейку с песком.

Последняя строка содержит $m$ неотрицательных целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_m$ ($0 \leq a_i \leq n$) — минимальное количество ячеек с песком, которые должны упасть на счетчик песка в каждом столбце. В этой версии задачи $a_i$ всегда равно количеству ячеек с песком в столбце $i$.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное количество операций, необходимое, чтобы решить головоломку.

Примечание

В примере $1$ можно стукнуть ячейку в левом верхнем углу, ячейку во втором сверху ряду в четвертом столбце слева, и ячейку в третьем ряду сверху в шестом столбце слева. Тогда упадет необходимое количество песка в каждом столбце. Можно показать, что нельзя сделать меньше $3$ операций, и поэтому ответ равен $3$. Ниже приведен рисунок к первому примеру.

$\text{[math]}$

В примере $2$ можно стукнуть по ячейке в верхнем ряду в правом столбце, и весь песок в таблице упадет вниз. Поэтому ответ равен $1$. Ниже приведен рисунок ко второму примеру.

$\text{[math]}$

F2. Падающий песок (сложная версия)

графы дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *3000

Это сложная версия задачи. Разница в версиях заключается в ограничениях на $a_i$. Вы можете делать взломы, только если обе версии задачи решены.

Маленький Дорми недавно получил головоломку от своего друга, и ему требуется ваша помощь для ее решения.

Головоломка состоит из вертикальной доски с $n$ строками и $m$ столбцами, некоторые ячейки на доске пустые, а некоторые заполнены песком. Также даны $m$ неотрицательных целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_m$ ($0 \leq a_i \leq n$). В этой версии задачи $a_i$ всегда не превышает количества ячеек с песком в столбце $i$.

Вам нужно определить минимальное количество операций, необходимое, чтобы решить головоломку, или сказать, что это невозможно. Маленький Дорми никогда не даст вам головоломку, которую нельзя решить.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \cdot m \leq 400\,000$).

Последняя строка содержит $m$ неотрицательных целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_m$ ($0 \leq a_i \leq n$) — минимальное количество ячеек с песком, которые должны упасть на счетчик песка в каждом столбце. В этой версии задачи $a_i$ всегда не превышает количества ячеек с песком в столбце $i$.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное количество операций, необходимое, чтобы решить головоломку.

Примечание

В примере $1$ можно стукнуть по ячейке в левом верхнем углу, и по ячейке в третьей строке сверху в шестом столбце слева. Тогда на счетчики песка упадет необходимый объем песка в каждом столбце. Можно показать, что нельзя решить головоломку менее чем за $3$ операции, и поэтому ответ равен $3$. Ниже приведен рисунок к первому примеру.

$\text{[math]}$

В примере $3$ можно стукнуть по ячейке в верхнем ряду в правом столбце, и в каждом столбце упадет достаточно песка. Можно показать, что невозможно решить головоломку за менее, чем $1$ операцию, поэтому ответ $1$. Ниже приведен рисунок ко второму примеру.

$\text{[math]}$

H. Потерянные вершины

графы Деревья дп интерактив Конструктив сортировки *3500

Это интерактивная задача.

Так как маленький Эрики прошел на Международную олимпиаду школьников по информатике в этом году, он получил подарок от своих друзей: дерево с $n$ вершинами!

По пути к месту проведения Эрики было скучно, поэтому он решил сыграть в игру с маленьким Ивонном с использованием нового дерева. Сначала Ивонн загадывает две (не обязательно различные) вершины $a$ и $b$ в этом дереве (не сообщая их Эрики), а затем сообщает ему подсказку $f$ — одну из вершин на простом пути от $a$ до $b$.

Затем маленький Эрики может спрашивать следующие вопросы:

Если подвесить дерево за вершину $r$ (Эрики может выбрать $r$), какая вершина будет наименьшим общим предком вершин $a$ и $b$?

Задача маленького Эрики — найти вершины $a$ и $b$.

Маленький Ивонн считает игру слишком простой, поэтому в начале игры, перед тем, как дать подсказку $f$, он просит Эрики найти максимальное количество запросов, необходимых для нахождения $a$ и $b$ для всех возможных значений $a$, $b$ и $f$ в предположении, что Эрики действует оптимально. Под оптимальными действиями подразумевается стратегия, делающая наименьшее число запросов. Конечно, после того, как маленький Эрики скажет это максимальное количество запросов, Ивонн не разрешит сделать больше запросов в самой игре.

Дерево, $a$, $b$ и $f$ фиксированы до начала игры и не меняются в зависимости от запросов.

Протокол взаимодействия

Сначала считайте строку, содержащую одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — количество вершин в дереве.

Сделающие $n−1$ строк описывают дерево маленького Дорми. Каждая из этих строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u,v \le n$), обозначающие ребро между вершинами $u$ и $v$ ($u \neq v$). Гарантируется, что эти ребра образуют дерево.

После этого вы должны вывести $k$ — максимальное число запросов, необходимое для определения $a$ и $b$ по всем возможным значениям $a$, $b$ и $f$ в предположении оптимальной игры. Вы должны вывести перевод строки и сбросить буфер вывода после вывода $k$.

Затем считайте одно целое число $f$ ($1 \le f \le n$) — подсказку: вершину на пути от $a$ до $b$ включительно.

После этого вы можете делать запросы. Вам будет разрешено сделать не более $k$ запросов, где $k$ — число, которое вы вывели.

Для того, чтобы сделать запрос, выведите «? r», где $r$ — целое число, $1 \le r \le n$, обозначающее, за какую вершину вы хотите подвесить дерево.

В ответ вы получите целое число $x$ ($1 \le x \le n$) — наименьший общий предок вершин $a$ и $b$, если дерево подвесить за $r$.

Когда ваша программа определит $a$ и $b$, выведите их в следующем формате: «! a b», где $a$ и $b$ — две загаданные вершины, и завершите программу сразу после сброса буфера вывода. Вы можете вывести $a$ и $b$ в любом порядке.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Если вы сделаете некорректный вывод, или сделаете более $k$ запросов, взаимодействие прекратится и вы получите вердикт «Неправильный ответ». Вывод считается некорректным, если это некорректный запрос, или вы вывели $k$, меньшее $0$ или большее $n$.

Взломы

Чтобы взломать решение, используйте следующий формат:

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$).

Следующие $n−1$ строк содержат по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u,v \le n$), обозначающие ребро между вершинами $u$ и $v$ ($u \neq v$). Эти $n-1$ ребра должны образовывать дерево.

Следующая строка содержит два целых числа $a$ и $b$ ($1 \le a,b \le n$).

Последняя строка должна содержать одно целое число $f$ ($1 \le f \le n$). Вершина $f$ должна лежать на простом пути от $a$ до $b$ включительно.

Примечание

Дерево из первого примера показано ниже. Вершины $a$ и $b$ выделены жирным.

$\text{[math]}$

Обратите внимание, что вы можете вывести $a$ и $b$ в любом порядке.

Ниже приведены ответы на все возможные запросы $1,2,\ldots,n$:

$1$: $1$
$2$: $2$
$3$: $2$
$4$: $4$

__________________________________________

Дерево из второго примера показано ниже. Вершины $a$ и $b$ выделены жирным.

$\text{[math]}$

Ниже приведены ответы на все возможные запросы $1,2,\ldots,n$ в примере $2$:

$1$: $1$
$2$: $4$
$3$: $1$
$4$: $4$
$5$: $4$

E. Омкар и лес

графы Комбинаторика кратчайшие пути математика *2300

Последний присоединившийся последователь Омкара, Ajit, вошел в Священный лес. Ajit понимает, что лес Омкара — это таблица размером $n$ на $m$ ($1 \leq n, m \leq 2000$), состоящая из целых неотрицательных чисел. Поскольку лес благословлен Омкаром, он удовлетворяет некоторым особым условиям:

Для любых двух соседних по стороне клеток абсолютное значение разности чисел в них не превышает $1$.
Если число в какой-то клетке строго больше $0$, то оно должно быть строго больше, чем значение числа в по крайней мере одной клетке, примыкающей к ней по стороне.

К сожалению, Ajit еще не полностью достоин способностей Омкара. Он видит каждую клетку как "0" или "#". Если клетка обозначена как "0", то число в ней должно быть равно $0$. Иначе число в ней может быть любым неотрицательным целым числом.

Определите, сколько существует различных конфигураций элементов, при которых выполняются эти особые условия. Две конфигурации считаются различными, если существует хотя бы одна клетка такая, что числа, записанные в ней в этих конфигурациях, различны. Поскольку ответ может быть огромным, найдите ответ по модулю $10^9+7$.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит количество наборов входных данных $t$ ($1 \leq t \leq 100$). Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n, m \leq 2000, nm \geq 2$) — размеры леса.

Далее следуют $n$ строк, каждая из которых состоит из одной строки из $m$ символов. Каждый из этих символов является либо "0", либо "#".

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2000$, а также сумма $m$ по всем наборам входных данных не превышает $2000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число: количество допустимых конфигураций по модулю $10^9+7$.

Примечание

Для первого набора входных данных есть две допустимых конфигурации:

$0000\\ 0000\\ 0000$

$0000\\ 0010\\ 0000$

F. Исправляем фигуры

графы жадные алгоритмы Конструктив математика поиск в глубину и подобное снм *2200

У вас есть связный неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. У $i$-го узла есть начальное значение $v_i$ и целевое значение $t_i$.

За одну операцию можно выбрать любое ребро $(i, j)$ и добавить $k$ к $v_i$ и $v_j$, где $k$ может быть любым целым числом. В частности, $k$ может быть отрицательным.

Ваша задача определить, можно ли, выполнив некоторое конечное число операций (возможно, ноль), добиться того, что каждого узла $i$, $v_i = t_i$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$), количество наборов входных данных. Затем следуют наборы входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$, $m$ ($2 \leq n \leq 2\cdot 10^5$, $n-1\leq m\leq \min(2\cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2})$) — количество вершин и ребер соответственно.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $v_1\ldots, v_n$ ($-10^9 \leq v_i \leq 10^9$) — начальные значения вершин.

Третья строка содержит $n$ целых чисел $t_1\ldots, t_n$ ($-10^9 \leq t_i \leq 10^9$) — целевые значения вершин.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $i$ и $j$, обозначающих ребро между вершинами $i$ и $j$ ($1 \leq i, j \leq n$, $i\ne j$).

Гарантируется, что граф связный и между одной парой вершин есть не более одного ребра.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$, а сумма $m$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого наборам входных данных, если возможно, чтобы значение в каждой вершине стало равно целевому после некоторого количества операций, выведите «YES». В противном случае выведите «NO».

Примечание

Вот визуализация первого тестового случая (оранжевые значения обозначают начальные значения, а синие — целевые):

$\text{[math]}$

Один из возможных порядков действий для получения нужных значений для каждого узла следующий:

Операция $1$: Добавить $2$ к вершинами $2$ и $3$.
Операция $2$: Добавить $-2$ к вершинам $1$ и $4$.
Операция $3$: Добавить $6$ к вершинам $3$ и $4$.

Теперь мы видим, что в общей сложности мы добавили $-2$ к вершине $1$, $2$ к вершине $2$, $8$ к вершине $3$ и $4$ к вершине $4$, что привело каждую вершину к нужному значению.

Для графа из второго набора входных данных получить нужные значения невозможно.

C. Профили-двойники

графы сортировки хэши *2300

Вам предложили работу в компании, разрабатывающей крупную социальную сеть. Ваше первое задание связано с поиском профилей, с большой вероятностью принадлежащих одному и тому же пользователю.

В социальной сети зарегистрировано n профилей, пронумерованных от 1 до n. Некоторые пары среди них являются друзьями (отношение «быть друзьями» взаимно, то есть если i является другом j, то и j является другом i). Будем говорить, что профили i и j (i ≠ j) являются двойниками, если для любого профиля k (k ≠ i, k ≠ j), верно одно из двух утверждений: либо k дружит и с i, и с j, либо k не дружит ни с одним из них. При этом i и j могут как дружить между собой, так и не дружить.

Вам нужно посчитать количество различных неупорядоченных пар (i, j), таких что профили i и j — двойники. Обратите внимание, что пары неупорядоченные, то есть пары (a, b) и (b, a) считается одинаковыми.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 10⁶, 0 ≤ m ≤ 10⁶), разделенных пробелом — количество профилей и количество пар друзей соответственно.

В следующих m строках записаны описания пар друзей в формате «v u», где v и u (1 ≤ v, u ≤ n, v ≠ u) — номера профилей, являющихся друзьями. Гарантируется, что каждая неупорядоченная пара друзей встречается не более одного раза и никакой профиль не является другом самого себя.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — количество неупорядоченных пар профилей, являющихся двойниками.

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для чтения или записи 64-х битовых чисел на С++, вместо него рекомендуется использовать спецификатор %I64d.

Примечание

В первом и втором примерах любые два профиля являются двойниками.

В третьем примере двойниками являются пары профилей (1, 3) и (2, 4).

A. Отличные графы

графы жадные алгоритмы Конструктив кратчайшие пути сортировки *1400

У Фермера Джона есть ферма, состоящая из $n$ пастбищ, соединенных с помощью односторонних дорог. У каждой дороги есть вес, означающий время, которое необходимо потратить, чтобы пройти по ней. Дороги могут иметь отрицательный вес, иными словами, коровы по ним движутся так быстро, что способны перемещаться назад во времени! Однако, Фермер Джон гарантирует, что коровы никак не смогут попасть во временную петлю в том смысле, что не смогут, двигаясь по дорогам, уйти бесконечно далеко в прошлое. Кроме того, каждая пара пастбищ соединена не более чем одной дорогой в каждом направлении.

К сожалению, Фермер Джон потерял карту фермы. Все, что он знает — это массив $d$, где $d_i$ — это минимальное время, за которое коровы могут добраться до $i$-го пастбища из $1$-го, двигаясь по дорогам. Стоимость его фермы — это сумма весов всех дорог, и Фермер Джон хочет узнать минимально возможную стоимость фермы, которая не противоречит тому, что он помнит.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют $t$ наборов входных данных.

В первой строке каждого набора задано одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 10^5$) — количество пастбищ.

Во второй строке каждого набора заданы $n$ целых чисел через пробел $d_1, d_2, \ldots, d_n$ ($0 \leq d_i \leq 10^9$) — массив $d$. Гарантируется, что $d_1 = 0$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора, выведите минимально возможную стоимость фермы, которая не противоречит воспоминаниям Фермера Джона.

Примечание

В первом наборе вы можете добавить дороги

от пастбища $1$ к пастбищу $2$ с весом $2$,
от пастбища $2$ к пастбищу $3$ с весом $1$,
от пастбища $3$ к пастбищу $1$ с весом $-3$,
от пастбища $3$ к пастбищу $2$ с весом $-1$,
от пастбища $2$ к пастбищу $1$ с весом $-2$.

Суммарная стоимость равна $2 + 1 + -3 + -1 + -2 = -3$.

Во втором набор вы можете добавить дорогу от пастбища $1$ к пастбищу $2$ с весом $1000000000$ и дорогу от пастбища $2$ к пастбищу $1$ со стоимостью $-1000000000$. Суммарная стоимость равна $1000000000 + -1000000000 = 0$.

В третьем наборе, вы не можете добавить ни одной дороги. Суммарная стоимость равна $0$.

B. Древесный массив

графы Деревья дп Комбинаторика математика Перебор Теория вероятностей *2300

Вам задано дерево, состоящее из $n$ вершин. По заданному дереву вы строите массив, отмечая вершины по одной.

Первоначально, когда еще не помечено ни одной вершины, вы выбираете вершину равновероятно по всем вершинам дерева и отмечаете ее.

После этого, пока еще остаются непомеченные вершины, вы выбираете и помечаете вершину равновероятно среди всех еще непомеченных, но связанных по ребру хотя бы с одной помеченной вершиной.

Можно доказать, что данный процесс пометит все вершины в дереве.

Финальный массив $a$ — это список номеров вершин в порядке, в котором они были помечены.

Определите математическое ожидание количества инверсий в массиве, полученном на основе заданного дереве с помощью описанного выше алгоритма.

Количество инверсий в массиве $a$ — это количество пар индексов $(i, j)$ таких, что $i < j$ и $a_i > a_j$. Например, в массиве $[4, 1, 3, 2]$ количество инверсий равно $4$: $(1, 2)$, $(1, 3)$, $(1, 4)$, $(3, 4)$.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $n$ ($2 \le n \le 200$) — количество вершин в дереве.

В следующих $n - 1$ строках заданы по два целых числа $x$ и $y$ ($1 \le x, y \le n$; $x \neq y$), означающие ребро между вершинами $x$ и $y$.

Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Выходные данные

Выведите математическое ожидание количества инверсий в построенном массиве по модулю $10^9+7$.

Формально, пусть $M = 10^9+7$. Можно показать, что ответ может быть представлен в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q \not \equiv 0 \pmod{M}$. Выведите целое число, равное $p \cdot q^{-1} \bmod M$. Другими словами, выведите такое целое число $x$, что $0 \le x < M$ и $x \cdot q \equiv p \pmod{M}$.

Примечание

Изображение дерева из первого примера:

$\text{[math]}$

В первом примере получающиеся массивы почти фиксированы. Если первоначально выбрана вершина $2$, то единственный возможный массив — это $[2, 1, 3]$ ($1$ инверсия). Если первоначально выбрана вершина $3$, то единственный возможный массив — это $[3, 1, 2]$ ($2$ инверсии). Если первоначально выбрана вершина $1$, то массивы $[1, 2, 3]$ ($0$ инверсий) и $[1, 3, 2]$ ($1$ инверсия) — это единственные варианты и они равновероятны. В результате математическое ожидание количества инверсий равно $\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1) = \frac{7}{6}$.

$166666669 \cdot 6 = 7 \pmod {10^9 + 7}$, то есть ответ равен $166666669$.

Изображение дерева из второго примера:

$\text{[math]}$

Изображение дерева из третьего примера:

$\text{[math]}$

E. Финальное преследование

битмаски графы жадные алгоритмы Конструктив математика разделяй и властвуй *2700

В конечном счете вы победили Рэйзора и теперь считаетесь Самым Разыскиваемым уличным гонщиком. Сержант Кросс послал в смертельную погоню за вами целый полицейский отряд. К счастью, вы нашли укромное убежище, но все еще переживаете, что Кросс и его ребята в конце концов вас отыщут. Чтобы увеличить свои шансы на выживание, вы собираетесь перенастроить и перекрасить вашу BMW M3 GTR.

Машину можно представлять как перенумерованный $n$-мерный гиперкуб. Простым $n$-мерным гиперкубом называется неориентированный невзвешенный граф, построенный рекурсивно следующим образом:

Возьмите два простых $(n-1)$-мерных гиперкуба. Вершины одного из них должны быть пронумерованы числами от $0$ до $2^{n-1}-1$, а другого — от $2^{n-1}$ до $2^{n}-1$. Простой $0$-мерный гиперкуб — это одна вершина.
Добавьте ребро между вершинами $i$ и $i+2^{n-1}$ для каждого $0\leq i < 2^{n-1}$.

Перенумерованный $n$-мерный гиперкуб получается перестановкой номеров вершин простого $n$-мерного гиперкуба произвольным образом.

Примеры простого и перенумерованного $3$-мерных гиперкубов представлены ниже:

$\text{[math]}$

Заметьте, что перенумерованный $n$-мерный гиперкуб обладает следующими свойствами:

Он содержит в точности $2^n$ вершин.
Он содержит в точности $n\cdot 2^{n-1}$ ребер.
Каждая вершина соединена ровно с $n$ другими вершинами.
Он не содержит петель и кратных ребер.

Обозначим за $P$ перестановку, использованную для получения перенумерованного $n$-мерного гиперкуба, описывающего вашу машину, из простого $n$-мерного гиперкуба. Прежде чем наводить беспорядок в функциональностях машины, вы хотите найти эту перестановку, чтобы, если что-то пойдет не так, суметь восстановить машину. Но это еще не все.

У вас с собой есть $n$ различных цветов, пронумерованных от $0$ до $n-1$. Вы хотите покрасить вершины перенумерованного $n$-мерного гиперкуба таким образом, чтобы для каждой вершины $u$, удовлетворяющей $0\leq u < 2^n$, и каждого цвета $c$, удовлетворяющего $0\leq c < n$, существовала хотя бы одна вершина $v$, соседняя с $u$ и покрашенная в цвет $c$. Иными словами, из каждой вершины должно быть возможно перейти в вершину любого цвета ровно по одному ребру.

Дан перенумерованный $n$-мерный гиперкуб, найдите любые допустимые перестановку $P$ и покраску.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1\leq t\leq 4096$) — количество наборов входных данных.

Для каждого набора входных данных первая строка содержит одно целое число $n$ ($1\leq n\leq 16$).

Каждая из последующих $n\cdot 2^{n-1}$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($0\leq u, v < 2^n$), означающее, что вершины $u$ и $v$ соединены ребром.

Гарантируется, что граф, описанный во входных данных, задает перенумерованный $n$-мерный гиперкуб.

Также гарантируется, что сумма $2^n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2^{16}=65\,536$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите две строки.

В первой строке выведите любую перестановку $P$ длины $2^n$, которая может быть использована для получения перенумерованного $n$-мерного гиперкуба, данного во входных данных, из простого $n$-мерного гиперкуба. Два перенумерованных гиперкуба считаются одинаковыми, если они имеют одинаковый набор ребер. Если возможно несколько ответов, выведите любой из них.

Во второй строке выведите покраску. Если не существует покраски, удовлетворяющей условиям, выведите $-1$. В противном случае напечатайте одну строку, содержащую $2^n$ целых чисел, разделенных пробелом. $i$-е число должно быть равно цвету вершины с номером $(i-1)$ в перенумерованном $n$-мерном гиперкубе. Если возможно несколько ответов, выведите любой из них.

Примечание

Покраска и перенумерованный гиперкуб для первого набора входных данных представлены ниже:

$\text{[math]}$

Покраска и перенумерованный гиперкуб для второго набора входных данных представлены ниже:

$\text{[math]}$

Перенумерованный гиперкуб для третьего набора дан в условии задачи. Однако, можно показать, что не существует покраски, удовлетворяющей всем условиям. Заметьте, что некоторые другие перестановки, например, $[0, 5, 7, 3, 1, 2, 4, 6]$ и $[0, 1, 5, 2, 7, 4, 3, 6]$ дадут этот же перенумерованный гиперкуб.

C. AquaMoon и перестановки

2-sat графы Комбинаторика Конструктив Паросочетания Перебор *2800

Cirno подготовила $n$ массивов длины $n$ каждый. Каждый массив — это перестановка из $n$ целых чисел от $1$ до $n$. Эти массивы специальные: для всех $1 \leq i \leq n$, если мы возьмем $i$-й элемент каждого массива и построим другой массив длины $n$, состоящий из этих элементов, получившийся массив также будет перестановкой $n$ чисел от $1$ до $n$. Другими словами, если эти $n$ массивов расположить друг под другом, образовав матрицу с $n$ строками и $n$ столбцами, эта матрица будет латинским квадратом.

После этого Cirno добавила дополнительные $n$ массивов, каждый массив также является перестановкой из $n$ целых чисел от $1$ до $n$. Для всех $1 \leq i \leq n$ существует хотя бы одна позиция $1 \leq k \leq n$, такая что для $i$-го и $(n + i)$-го массивов $k$-е элементы совпадают. Обратите внимание, что массивы с индексами от $n + 1$ до $2n$ не обязаны образовывать латинский квадрат.

Также Cirno убедилась, что среди $2n$ массивов никакие два не равны, то есть для всех пар индексов $1 \leq i < j \leq 2n$ существует хотя бы одна позиция $1 \leq k \leq n$, такая что в $i$-м и $j$-м массивах $k$-е элементы различны.

В конце Cirno произвольно поменяла порядок, в котором расположены подготовленные $2n$ массивов.

AquaMoon называет подмножество всех $2n$ массивов размера $n$ хорошим, если эти массивы образуют латинский квадрат.

AquaMoon хочет узнать, сколько хороших подмножеств существует. Поскольку это количество может быть очень большим, найдите его по модулю $998\,244\,353$. Также она хочет найти любое хорошее подмножество. Можете ли вы помочь ей?

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 100$) — количество наборов входных данных.

В первой строке описания каждого набора входных данных находится единственное целое число $n$ ($5 \leq n \leq 500$).

Затем $2n$ строк следует. $i$-я из этих строк содержит $n$ целых чисел, составляющих $i$-й массив.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $500$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите две строки.

В первой строке выведите количество хороших подмножеств по модулю $998\,244\,353$.

Во второй строке выведите $n$ индексов от $1$ до $2n$ — индексы $n$ массивов, которые образуют хорошее подмножество (вы можете вывести их в любом порядке). Если существует несколько возможных ответов — выведите любой.

Примечание

В первом наборе входных данных количество хороших подмножеств равно $1$. Единственное такое подмножество это подмножество массивов с индексами $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$.

Во втором наборе входных данных количество хороших подмножеств равно $2$. Эти подмножества это $1$, $3$, $5$, $6$, $10$, а также $2$, $4$, $7$, $8$, $9$.

G. Сколько путей?

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *2100

Задан ориентированный граф $G$, в котором допустимы петли (то есть рёбра из вершины в себя). В $G$ отсутствуют кратные рёбра, то есть для каждой упорядоченной пары вершин $(u, v)$ существует не более одного ребра из $u$ в $v$. Вершины пронумерованы от $1$ до $n$.

Назовём путем из $u$ в $v$ такую последовательность рёбер, что:

вершина $u$ является началом первого ребра пути;
вершина $v$ является концом последнего ребра пути;
для любой пары соседних рёбер следующее ребро начинается с вершины, на которую заканчивается предыдущее ребро.

Дополнительно будем считать, что пустая последовательность рёбер — это путь из $u$ в $u$.

Для каждой вершины $v$ выведите одно из четырёх значений:

$0$, если не существует пути из $1$ в $v$;
$1$, если существует ровно один путь из $1$ в $v$;
$2$, если существует более одного пути из $1$ в $v$ и это число является конечной величиной;
$-1$, если существует бесконечно много путей из $1$ в $v$.

Рассмотрим пример, изображённый на рисунке.

$\text{[math]}$

Тогда:

ответ для вершины $1$ равен $1$: существует ровно один путь из $1$ в $1$ (путь длины $0$);
ответ для вершины $2$ равен $0$: не существует пути из $1$ в $2$;
ответ для вершины $3$ равен $1$: существует ровно один путь из $1$ в $3$ (это ребро $(1, 3)$);
ответ для вершины $4$ равен $2$: существует более одного, но конечное число путей из $1$ в $4$ (два пути: $[(1, 3), (3, 4)]$ и $[(1, 4)]$);
ответ для вершины $5$ равен $-1$: существует бесконечно много путей из $1$ в $5$ (петля может быть использована в пути сколько угодно раз);
ответ для вершины $6$ равен $-1$: существует бесконечно много путей из $1$ в $6$ (петля может быть использована в пути сколько угодно раз).

Входные данные

В первой строке записано целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте. Далее заданы описания $t$ наборов входных данных. Перед каждым из них в тесте содержится пустая строка.

В первой строке набора входных данных записаны два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 4 \cdot 10^5, 0 \le m \le 4 \cdot 10^5$) — количество вершин и рёбер в графе, соответственно. Далее входные данные содержат $m$ строк с описаниями рёбер. Каждая строка состоит из двух целых чисел $a_i$, $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$) — начало и конец $i$-го ребра. Вершины графа пронумерованы от $1$ до $n$. Заданный граф может содержать петли (допустимо $a_i = b_i$), но не может содержать кратных рёбер (недопустимо $a_i = a_j$ и $b_i = b_j$ для $i \ne j$).

Сумма значений $n$ по всем наборам входных данных в тесте не превосходит $4 \cdot 10^5$. Аналогично, сумма значений $m$ по всем наборам входных данных в тесте не превосходит $4 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Выведите $t$ строк. $i$-я строка должна содержать ответ на $i$-й набор входных данных — последовательность $n$ целых чисел от $-1$ до $2$.

A. Паутина лжи

графы жадные алгоритмы Перебор *1400

Когда играешь в игру престолов, ты побеждаешь или умираешь. Третьего не дано.

Серсея Ланнистер, Игра престолов, Джордж Р. Р. Мартин

Есть $n$ дворян, пронумерованных от $1$ до $n$. Дворянин $i$ обладает могуществом $i$. Дворяне «дружат» между собой — всего есть $m$ пар дружных дворян. Дружба между дворянами $a$ и $b$ всегда взаимная.

Дворянин считается уязвимым, если выполнены оба следующих условия.

у этого дворянина есть хотя бы один друг, и
все друзья этого дворянина обладают могуществом, превосходящим могущество этого дворянина.

Вам нужно будет обрабатывать следующие три типа запросов.

Добавить дружбу между $u$ и $v$.
Удалить дружбу между $u$ и $v$.
Посчитать ответ на следующий процесс.

Процесс: все уязвимые дворяне одновременно умирают, и все их дружбы заканчиваются. После этого, возможно, некоторые другие дворяне становятся уязвимыми. Процесс повторяется до тех пор, пока есть уязвимые дворяне. Можно доказать, что процесс завершится за конечное число шагов. После завершения процесса вам необходимо посчитать количество оставшихся дворян.

Заметьте, что результаты процессов не влияют на дальнейшие и предыдущие запросы, то есть все дворяне живы в начале каждого процесса!

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 2\cdot 10^5$, $0 \le m \le 2\cdot 10^5$) — количество дворян и количество изначальных пар друзей соответственно.

Следующие $m$ строк содержат по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u,v \le n$, $u \ne v$), описывающие дружбу между дворянами. Никакая пара друзей не повторяется дважды.

Следующая строка содержит целое число $q$ ($1 \le q \le 2\cdot {10}^{5}$) — количество запросов.

Следующие $q$ строк содержат сами запросы по одному в строке. Каждый запрос имеет один из следующих видов:

$1$ $u$ $v$ ($1 \le u,v \le n$, $u \ne v$) — добавить дружбу между $u$ и $v$. Гарантируется, что $u$ и $v$ не друзья в этот момент.
$2$ $u$ $v$ ($1 \le u,v \le n$, $u \ne v$) — удалить дружбу между $u$ и $v$. Гарантируется, что $u$ и $v$ дружат в этот момент.
$3$ — вывести ответ на процесс, описанный в условии.

Выходные данные

На каждый запрос $3$-го типа выведите целое число, по одному на строку. Гарантируется, что будет хотя бы один запрос типа $3$.

Примечание

Ситуация в первом запросе типа 3 изображена на рисунке ниже.

В первом раунде процесса дворянин $1$ слабее, чем все его друзья ($2$ и $3$), и поэтому он умирает. Никакой другой дворянин в раунде 1 не является уязвимым. В раунде 2 дворянин $3$ слабее своего единственного друга, дворянина $4$, и поэтому он умирает. На этом этапе процесс завершается, ответ равен $2$.

$\text{[math]}$

Во втором запросе типа 3 единственным выжившим является дворянин $4$.

Второй пример состоит только из одного запроса типа $3$. В первом раунде умирают два дворянина, во втором раунде умирает один дворянин. Итоговый ответ равен $1$, поскольку только один дворянин выжил.

$\text{[math]}$

E. Грегор и два маляра

графы жадные алгоритмы математика разделяй и властвуй Структуры данных *3400

Два маляра, Амин и Бенджи, перекрашивают потолок в гостиной Грегора! Потолок можно представить как таблицу размера $n \times m$.

Для каждого $i$ от $1$ до $n$ включительно маляр Амин нанес $a_i$ слоев краски на весь $i$-й ряд. Для каждого $j$ от $1$ до $m$ включительно маляр Бенджи нанес $b_j$ слоев краски на весь $j$-й столбец. Таким образом, клетка $(i,j)$ оказалась покрашенной в $a_i+b_j$ слоев краски.

Грегор считает, что клетка $(i,j)$ плохо покрашена, если $a_i+b_j \le x$. Определим плохо покрашенную область как максимальную по включению связную компоненту плохо покрашенных клеток, то есть такую связную компоненту плохо покрашенных клеток, что все клетки, соседние с этой компонентой, не являются плохо покрашенными. Две клетки являются соседними, если они имеют общую сторону.

Грегор потрясен состоянием потолка, покрашенного малярами, и хочет знать количество плохо покрашенных областей.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $x$ ($1 \le n,m \le 2\cdot 10^5$, $1 \le x \le 2\cdot 10^5$) — размеры потолка Грегора и максимальное количество слоев краски в плохо покрашенной клетке.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le 2\cdot 10^5$) — количество слоев краски, которое Амин наносит на каждый ряд.

Третья строка содержит $m$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_m$ ($1 \le b_j \le 2\cdot 10^5$) — количество слоев краски, которое Бенджи наносит на каждый столбец.

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество плохо покрашенных областей.

Примечание

Рисунок ниже иллюстрирует первый пример. Числа слева от каждого ряда представляют собой список $a$, а числа над каждым столбцом — список $b$. Числа внутри каждой клетки равны количеству слоев краски в этой клетке.

Цветные клетки соответствуют плохо покрашенным клеткам. Красные и синие клетки соответственно образуют $2$ плохо покрашенных области.

$\text{[math]}$

B. Грегор и игра в пешки

графы дп жадные алгоритмы Паросочетания поиск в глубину и подобное Потоки реализация *800

Дана шахматная доска размера $n$ на $n$. Клетка на пересечении $i$-й сверху ряду и $j$-го слева столбца обозначается как $(i,j)$.

На данный момент у Грегора есть несколько пешек в $n$-м ряду. Также в $1$-м ряду стоят вражеские пешки. За один шаг Грегор перемещает одну из своих пешек. Пешка может ходить на одну клетку вверх (из $(i,j)$ в $(i-1,j)$), если клетка назначения не занята другой пешкой. В дополнение, пешка может переместиться на одну клетку вверх по диагонали (из $(i,j)$ в $(i-1,j-1)$ или в $(i-1,j+1)$), если и только если в этой клетке стоит вражеская пешка. Вражеская пешка в таком случае убирается с доски.

Грегор хочет узнать, какое максимальное количество его пешек может достичь $1$-го ряда.

Заметьте, что в этой игре ходит только Грегор, вражеские пешки никогда не перемещаются. Также, когда пешка Грегора достигает $1$-го ряда, она останавливается и больше не может перемещаться.

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $t$ ($1\le t\le 2\cdot 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание этих $t$ наборов.

Каждый набор входных данных состоит из трех строк. Первая строка содержит одно целое число $n$ ($2\le n\le 2\cdot{10}^{5}$) — размер доски.

Вторая строка содержит бинарную строку длины $n$, в которой $1$ на $i$-й позиции соответствует вражеской пешке в $i$-й слева клетке в первом ряду, а $0$ соответствует пустой клетке.

Третья строка содержит бинарную строку длины $n$, в которой $1$ на $i$-й позиции соответствует пешке Грегора в $i$-й слева клетке в последнем ряду, а $0$ соответствует пустой клетке.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных меньше $2\cdot{10}^{5}$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число: максимальное количество пешек Грегора, которые могут достичь $1$-го ряда.

Примечание

В первом примере Грегор может просто переместить вперед все его $3$ пешки. Таким образом, ответ равен $3$.

Во втором примере Грегор может гарантировать, что все его $4$ пешки достигнут вражеского ряда, следуя раскрашенным путям как показано ниже. Помните — только Грегор делает ходы в этой «игре»!

$\text{[math]}$

В третьем примере единственная пешка Грегора застряла перед вражеской пешкой и не может достигнуть желаемого ряда.

В четвертом примере у Грегора нет пешек, поэтому ответ равен $0$.

F. Попрыгунчик

Бинарный поиск графы дп кратчайшие пути разделяй и властвуй снм Структуры данных *2700

Представьте себе бесконечный пруд, спроецированный на числовую прямую. В пруду есть $n$ камней, пронумерованных от $1$ до $n$. $i$-й камень находится в целой координате $a_i$. Координаты камней попарно различны. Камни пронумерованы в порядке увеличения координаты, поэтому $a_1 < a_2 < \dots < a_n$.

Лягушка-робот сидит на камне номер $s$. Лягушку можно запрограммировать. У нее есть встроенный параметр базовой длины прыжка $d$. Также есть настройка для интервала длины прыжка. Если интервал длины прыжка выставляется на некоторое целое значение $k$, то лягушка может прыгать с некоторого камня на любой другой камень на расстоянии от $d - k$ до $d + k$ включительно в любом направлении. Расстояние между двумя камнями — это модуль разности между их координатами.

Вам поручили задачу реализовать новую функцию для лягушки. По двум заданным целым числам $i$ и $k$ определить, может ли лягушка достичь камня номер $i$ с камня номер $s$, осуществив последовательность прыжков с интервалом длины прыжка установленным на $k$. Последовательность может быть сколь угодно длинной или пустой.

Вам будет предоставлено $q$ тестов для данной функции, $j$-й набор состоит из двух целых чисел $i$ и $k$. Выведите «Yes», если $i$-й камень достижим и «No» в противном случае.

Вы можете выводить «YES» и «NO» в любом регистре (например, строки «yEs», «yes», «Yes» и «YES» будут распознаны как положительный ответ).

Входные данные

В первой строке записаны четыре целых числа $n$, $q$, $s$ и $d$ ($1 \le n, q \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le s \le n$; $1 \le d \le 10^6$) — количество камней, количество тестов, начальный камень и базовая длина прыжка.

Во второй строке записаны $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^6$) — координаты камней. Координаты камней попарно различны. Камни пронумерованы в порядке увеличения координаты, поэтому $a_1 < a_2 < \dots < a_n$.

В каждой из следующих $q$ строк записаны два целых числа $i$ и $k$ ($1 \le i \le n$; $1 \le k \le 10^6$) — параметры теста.

Выходные данные

На каждый тест выведите ответ. Если существует такая последовательность прыжков с камня номер $s$ до камня номер $i$ с интервалом длины прыжка установленным на $k$, то выведите «Yes». В противном случае выведите «No».

Примечание

Пояснение к первому примеру:

В первом тесте финальный камень тот же, что и начальный, поэтому не надо прыгать, чтобы его достичь.

Во втором тесте лягушка может прыгать на любую длину в отрезке $[5 - 2; 5 + 2]$. Поэтому она может достичь камня номер $5$ (прыжком на $7$ направо) и камня номер $3$ (прыжком на $3$ налево). С камня номер $3$ она может достичь камня номер $2$ (прыжком на $5$ налево). С камня номер $2$ она может достичь камня номер $1$ (прыжком на $4$ налево). Однако, нет способа достичь камня номер $7$.

В третьем тесте лягушка может прыгать на любую длину в отрезке $[5 - 3; 5 + 3]$. Поэтому она может достичь камня номер $7$, прыгнув сначала на камень номер $5$, а с него на $7$.

Четвертый тест показан в описании ко второму тесту.

B. Забег за золотом

графы жадные алгоритмы Комбинаторика сортировки *1500

Олимпийские игры только что начались, и Федерико с нетерпением ждет начала марафонского забега.

В марафоне будут участвовать $n$ спортсменов, от $1$ до $n$, и все они в прошлом участвовали в $5$ важных марафонах, пронумерованных от $1$ до $5$. Для каждого $1\le i\le n$ и $1\le j\le 5$ Федерико помнит, что спортсмен $i$ занял место $r_{i,j}$ в марафоне $j$ (например, $r_{2,4}=3$ означает, что спортсмен $2$ был третьим в марафоне $4$).

Федерико считает, что спортсмен $x$ превосходит спортсмена $y$, если спортсмен $x$ занял лучшее место, чем спортсмен $y$, по крайней мере в $3$ прошлых марафонах, т.е. $r_{x,j}<r_{y,j}$ по крайней мере для $3$ различных значений $j$.

Федерико считает, что у спортсмена хорошие шансы получить золотую медаль на Олимпийских играх, если он превосходит всех остальных спортсменов.

Найдите любого спортсмена, у которого хорошие шансы получить золотую медаль (то есть спортсмена, который превосходит всех остальных спортсменов), или определите, что такого спортсмена нет.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных. Затем следуют $t$ наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1\le n\le 50\,000$) — количество спортсменов.

Затем следуют $n$ строк, каждая из которых описывает места одного спортсмена.

$i$-я из этих строк содержит $5$ целых чисел $r_{i,1},\,r_{i,2},\,r_{i,3},\,r_{i,4},\, r_{i,5}$ ($1\le r_{i,j}\le 50\,000$) — места спортсмена $i$ в последних $5$ марафонах. Гарантируется, что в каждом из $5$ прошедших марафонов $n$ спортсменов заняли различные места, т.е. для каждого $1\le j\le 5$, $n$ значений $r_{1,j},\, r_{2, j},\, \dots,\, r_{n, j}$ попарно различны.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $50\,000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — номер спортсмена, у которого хорошие шансы получить золотую медаль (то есть спортсмена, который превосходит всех остальных спортсменов). Если таких спортсменов нет, выведите $-1$. Если таких спортсменов больше, чем один, выведите любого из них.

Примечание

Объяснение первого набора входных данных: Есть только один спортсмен, поэтому он превосходит всех остальных (так как больше никого нет), и поэтому у него хорошие шансы получить золотую медаль.

Пояснение второго набора входных данных: Есть $n=3$ спортсменов.

Спортсмен $1$ превосходит спортсмена $2$. Действительно, спортсмен $1$ лучше спортсмена $2$ в марафонах $1$, $2$ и $3$.
Спортсмен $2$ превосходит спортсмена $3$. Действительно, спортсмен $2$ превосходит спортсмена $3$ в марафонах $1$, $2$, $4$ и $5$.
Спортсмен $3$ превосходит спортсмена $1$. Действительно, спортсмен $3$ лучше, чем спортсмен $1$ в марафонах $3$, $4$ и $5$.

Объяснение третьего набора входных данных: Есть $n=3$ спортсменов.

Спортсмен $1$ превосходит спортсменов $2$ и $3$. Поскольку он превосходит всех остальных спортсменов, у него хорошие шансы получить золотую медаль.
Спортсмен $2$ превосходит спортсмена $3$.
Спортсмен $3$ не превосходит ни одного другого спортсмена.

Пояснение четвертого набора входных данных: Есть $n=6$ спортсменов.

Спортсмен $1$ превосходит спортсменов $3$, $4$, $6$.
Спортсмен $2$ превосходит спортсменов $1$, $4$, $6$.
Спортсмен $3$ превосходит спортсменов $2$, $4$, $6$.
Спортсмен $4$ не превосходит ни одного другого спортсмена.
Спортсмен $5$ превосходит спортсменов $1$, $2$, $3$, $4$, $6$. Поскольку он превосходит всех остальных спортсменов, у него хорошие шансы получить золотую медаль.
Спортсмен $6$ превосходит только спортсмена $4$.

D. Массив как разность

битмаски графы дп Конструктив математика Перебор поиск в глубину и подобное *1800

Вам дана последовательность из $n$ целых чисел $a_1, \, a_2, \, \dots, \, a_n$.

Существует ли последовательность из $n$ целых чисел $b_1, \, b_2, \, \dots, \, b_n$ такая, что выполняется следующее свойство?

Для каждого $1 \le i \le n$ существуют два (не обязательно различных) индекса $j$ и $k$ ($1 \le j, \, k \le n$) такие, что $a_i = b_j - b_k$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 20$) — количество наборов входных данных. Затем следуют $t$ наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10$).

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, \, \dots, \, a_n$ ($-10^5 \le a_i \le 10^5$).

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите строку, содержащую YES, если существует последовательность $b_1, \, \dots, \, b_n$, удовлетворяющая требуемому свойству, и NO в противном случае.

Примечание

В первом наборе входных данных, последовательность $b = [-9, \, 2, \, 1, \, 3, \, -2]$ удовлетворяет свойству. Действительно, имеет место следующее:

$a_1 = 4 = 2 - (-2) = b_2 - b_5$;
$a_2 = -7 = -9 - (-2) = b_1 - b_5$;
$a_3 = -1 = 1 - 2 = b_3 - b_2$;
$a_4 = 5 = 3 - (-2) = b_4 - b_5$;
$a_5 = 10 = 1 - (-9) = b_3 - b_1$.

Во втором наборе входных данных достаточно выбрать $b = [0]$, так как $a_1 = 0 = 0 - 0 = b_1 - b_1$.

В третьем наборе входных данных можно показать, что никакая последовательность $b$ длины $3$ не удовлетворяет свойству.

E. Сдвиг перестановки

графы Комбинаторика Конструктив математика Перебор поиск в глубину и подобное снм *2100

Тождественная перестановка длины $n$ — это массив $[1, 2, 3, \dots, n]$.

Мы применили следующие операции к тождественной перестановке длины $n$:

Вначале мы циклически сдвинули ее вправо на $k$ позиций, где $k$ вам неизвестно (вы знаете только то, что $0 \le k \le n - 1$). При циклическом сдвиге массива вправо на $k$ позиций необходимо взять $k$ последних элементов исходного массива (не меняя их относительный порядок) и дописать $n - k$ первых элементов исходного массива справа от них (также не меняя относительный порядок этих $n - k$ элементов). Например, если бы мы циклически сдвинули тождественную перестановку длины $6$ на $2$ позиции вправо, мы бы получили массив $[5, 6, 1, 2, 3, 4]$;
Далее мы выполнили следующую операцию не более $m$ раз: выбрали два элемента массива и поменяли их местами.

Вам даны $n$ и $m$, а также полученный массив. Ваша задача — найти все возможные значения $k$ в операции циклического сдвига.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^5$) — количество наборов входных данных.

Каждый набор входных данных описывается двумя строками. Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $m$ ($3 \le n \le 3 \cdot 10^5$; $0 \le m \le \frac{n}{3}$).

Вторая строка каждого набора содержит $n$ целых чисел $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$, каждое целое число от $1$ до $n$ встречается в последовательности ровно один раз) — полученный массив.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите ответ следующим образом:

Вначале выведите одно целое число $r$ ($0 \le r \le n$) — количество возможных значений $k$ в операции циклического сдвига;
Далее выведите $r$ целых чисел $k_1, k_2, \dots, k_r$ ($0 \le k_i \le n - 1$) — все возможные значения $k$ в возрастающем порядке.

Примечание

Рассмотрим примеры из условия.

В первом наборе входных данных единственное возможное значение для циклического сдвига это $3$. Если мы сдвинем $[1, 2, 3, 4]$ на $3$ позиции, мы получим $[2, 3, 4, 1]$. Далее мы можем поменять $3$-й и $4$-й элементы местами, чтобы получить массив $[2, 3, 1, 4]$;
Во втором наборе единственное возможное значение для циклического сдвига это $0$. Если мы сдвинем $[1, 2, 3]$ на $0$ позиций, мы получим $[1, 2, 3]$. Далее мы не производим операций обмена (так как нам разрешено совершить не более $1$-го обмена), таким образом, полученный массив остается равным $[1, 2, 3]$;
В третьем наборе все значения от $0$ до $2$ допустимы для циклического сдвига:
- если мы сдвинем $[1, 2, 3]$ на $0$ позиций, мы получим $[1, 2, 3]$. Далее мы можем поменять $1$-й и $3$-й элементы, чтобы получить $[3, 2, 1]$;
- если мы сдвинем $[1, 2, 3]$ на $1$ позицию, мы получим $[3, 1, 2]$. Далее мы можем поменять $2$-й и $3$-й элементы, чтобы получить $[3, 2, 1]$;
- если мы сдвинем $[1, 2, 3]$ на $2$ позиции, мы получим $[2, 3, 1]$. Далее мы можем поменять $1$-й и $2$-й элементы, чтобы получить $[3, 2, 1]$;
В четвертом наборе входных данных операции обмена запрещены, однако ни один циклический сдвиг не равен массиву $[1, 2, 3, 4, 6, 5]$.

G. Граф общих делителей

графы Конструктив математика Перебор снм теория чисел хэши *2700

Рассмотрим последовательность различных целых чисел $a_1, \ldots, a_n$, каждое из которых соответствует отдельной вершине графа. Будем соединять две вершины ребром, если соответствующие им числа не взаимно просты, т. е. если они имеют общий делитель, больший чем $1$.

Вам даны $q$ запросов, в каждом запросе вы хотите попасть из вершины, соответствующей значению $a_s$, в вершину, соответствующую $a_t$. Для того чтобы это сделать, вы можете выбирать существующее значение $a_i$, создать новую вершину со значением $a_{n+1} = a_i \cdot (1 + a_i)$ и соединить ее со всеми вершинами, значения которых не взаимно просты с $a_{n+1}$. После этого $n$ увеличивается на $1$. Вы можете повторять эту операцию любое количество раз, удлиняя последовательность, и, возможно, получая одинаковые значения. Какое минимальное количество вершин нужно добавить, чтобы $a_t$ стало достижимо из $a_s$?

Обратите внимание, что запросы независимы. В каждом запросе вы начинаете с исходной последовательности $a$, заданной во входных данных.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $q$ ($2 \leq n \leq 150\,000$, $1 \leq q \leq 300\,000$) — размер исходной последовательности и количество запросов.

Вторая строка содержит $n$ различных целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($2 \leq a_i \leq 10^6$, $a_i \neq a_j$, если $i \ne j$).

$j$-я из следующих $q$ строк содержит два различных целых числа $s_j$ и $t_j$ ($1 \leq s_j, t_j \leq n$, $s_j \neq t_j$) — индексы вершин для $j$-го запроса.

Выходные данные

Выведите $q$ строк. $j$-я строка должна содержать одно целое число: минимальное количество вершин, которое нужно добавить, чтобы можно было достичь $a_{s_j}$ из $a_{t_j}$.

Примечание

В первом примере вы можете добавить вершину со значением $2 \cdot 3 = 6$, или $10 \cdot 11 = 110$, или $3 \cdot 4 = 12$. Ни одно из этих добавлений не нужно в первом запросе, так как вы уже можете добраться из $a_1 = 2$ в $a_2 = 10$.

Во втором запросе оптимальным является добавление вершины со значением $6$ или $12$. Например, добавляя вершину со значением $6$, мы сможем добраться из $a_1 = 2$ в $a_3 = 3$ по пути со значениями $(2, 6, 3)$.

$\text{[math]}$

В последнем запросе второго примера мы хотим добраться из $a_3 = 7$ в $a_5 = 25$. Одним из возможных способов достичь это является создание вершины со значением $6 \cdot 7 = 42$, а затем создание вершины со значением $25 \cdot 26 = 650$. В финальном графе, состоящем из 7 вершин, существует путь из $a_3 = 7$ в $a_5 = 25$.

F. Хороший граф

графы Деревья снм Структуры данных *2700

У вас есть неориентированный граф из $n$ вершин, и у каждого ребра есть вес.

Назовем простым циклом цикл в графе без повторяющихся вершин. Назовем весом цикла исключающее ИЛИ весов его ребер.

Скажем, что граф хороший, если все его простые циклы имеют вес $1$. Граф плохой, если он является не хорошим.

Первоначально, граф пустой. Далее приходят $q$ запросов. Каждый запрос имеет следующий вид:

$u$ $v$ $x$ — нужно добавить ребро между вершинами $u$ и $v$ веса $x$, если добавление данного ребра не делает граф плохим.

Для каждого запроса выведите: было ли добавлено данное ребро.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $q$ ($3 \le n \le 3 \cdot 10^5$; $1 \le q \le 5 \cdot 10^5$) — количество вершин и запросов.

В следующих $q$ строках заданы запросы — по одному в строке. Каждый запрос состоит из трех целых чисел $u$, $v$ и $x$ ($1 \le u, v \le n$; $u \neq v$; $0 \le x \le 1$) — вершины ребра и его вес.

Гарантируется, что в запросах нет кратных ребер.

Выходные данные

Для каждого запроса, выведите YES, если ребро было добавлено в граф, или NO в противном случае (оба в любом регистре).

F. Ставки на матчи

битмаски графы дп Комбинаторика математика Теория вероятностей *2500

$\text{[math]}$

Василий увлекается не только трейдингом, но и ставками на спортивные матчи. В матче участвует $n$ спортивных команд. Каждая команда характеризуется силой $a_i$. Каждые две команды $i < j$ играют друг с другом ровно один раз. С вероятностью $\frac{a_i}{a_i + a_j}$ побеждает команда $i$, с вероятностью $\frac{a_j}{a_i + a_j}$ побеждает команда $j$.

Команда называется победителем, если она прямо или косвенно победила все остальные команды. Команда $a$ победила (прямо или косвенно) команду $b$, если существует последовательность команд $c_1$, $c_2$, ... $c_k$ такая, что $c_1 = a$, $c_k = b$ и команда $c_i$ выиграла матч у команды $c_{i + 1}$ для всех $i$ от $1$ до $k - 1$. Обратите внимание, что возможно, что команда $a$ победила команду $b$, и в то же время команда $b$ победила команду $a$.

Василий хочет, чтобы вы помогли ему определить математическое ожидание количества победителей.

Входные данные

В первой строке находится целое число $n$ ($1 \leq n \leq 14$) — количество команд, участвующих в матче.

В следующей строке находится $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq 10^6$) — силы команд, участвующих в матче.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — математическое ожидание количества победителей турнира по модулю $10^9 + 7$.

Примечание

Чтобы лучше понять, в каких ситуациях возможно несколько победителей, рассмотрим второй тест:

Одним из возможных результатов сыгранных матчей является следующий ($a \rightarrow b$ означает, что $a$ выиграла матч у $b$):

$1 \rightarrow 2$
$2 \rightarrow 3$
$3 \rightarrow 1$
$1 \rightarrow 4$
$1 \rightarrow 5$
$2 \rightarrow 4$
$2 \rightarrow 5$
$3 \rightarrow 4$
$3 \rightarrow 5$
$4 \rightarrow 5$

Или более наглядно на рисунке:

$\text{[math]}$

В данном варианте каждая команда из множества $\{ 1, 2, 3 \}$ прямо или косвенно победила всех. То есть:

$1$-я победила всех, так как до остальных можно добраться следующим образом $1 \rightarrow 2$, $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$, $1 \rightarrow 4$, $1 \rightarrow 5$.
$2$-я победила всех, так как до остальных можно добраться следующим образом $2 \rightarrow 3$, $2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$, $2 \rightarrow 4$, $2 \rightarrow 5$.
$3$-я победила всех, так как до остальных можно добраться следующим образом $3 \rightarrow 1$, $3 \rightarrow 1 \rightarrow 2$, $3 \rightarrow 4$, $3 \rightarrow 5$.

Следовательно, количество победителей равно $3$.

H. Конструктор

графы жадные алгоритмы математика Теория вероятностей *3300

$\text{[math]}$

Василий любит различные конструкторы. На один из дней рождения друзья ему подарили полный неориентированный взвешенный граф из $n$ вершин.

Он хочет построить такое остовное дерево этого графа, чтобы для первых $k$ вершин выполнялись следующие условия: степень вершины под номером $i$ не превышает $d_i$. У вершин от $k + 1$ до $n$ степени могут быть любыми.

Василий просит найти вас минимальный вес остовного дерева, подходящего под все условия.

Напомним, что остовным деревом называется подмножество ребер графа, образующее дерево на всех $n$ вершинах графа. Весом остовного дерева называется сумма весов ребер, входящих в остовное дерево.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $k$ ($2 \leq n \leq 50$, $1 \leq k \leq min(n - 1, 5)$).

Вторая строка содержит $k$ целых чисел $d_1, d_2, \ldots, d_k$ ($1 \leq d_i \leq n$).

$i$-я из следующих $n - 1$ строк содержит по $n - i$ целых чисел $w_{i,i+1}, w_{i,i+2}, \ldots, w_{i,n}$ ($1 \leq w_{i,j} \leq 100$) — веса ребер между вершинами $(i,i+1),(i,i+2),\ldots,(i,n)$.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальный вес остовного дерева при заданных ограничениях на степени первых $k$ вершин.

E. Нижний уровень

meet-in-the-middle Бинарный поиск графы жадные алгоритмы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *3000

В некоторой компьютерной игре игрок управляет героем, который характеризуется одним целочисленным параметром — силой.

На текущем уровне герой попал в систему из $n$ пещер, пронумерованных от $1$ до $n$, и $m$ коридоров между ними. Каждый коридор соединяет две различные пещеры. Любые две пещеры соединены не более чем одним коридором. Из любой пещеры можно попасть в любую другую, двигаясь по коридорам.

Герой начинает уровень в пещере $1$, а в каждой из оставшихся пещер находится монстр.

Герой может перемещаться между пещерами по коридорам. Если герой вышел из пещеры и начал движение по коридору, он обязан завершить его и дойти до противоположного конца коридора.

По любому коридору герой может перемещаться в обоих направлениях. Однако герой не может использовать один и тот же коридор два раза подряд. Формально, если герой перешёл по коридору из пещеры $i$ в пещеру $j$, он не может сразу же направиться обратно в пещеру $i$, но может направиться в любую другую пещеру, соединённую коридором с пещерой $j$.

Известно, что из любой пещеры выходит как минимум два коридора, поэтому герой никогда не попадёт в тупик даже с учётом предыдущего требования.

Чтобы пройти уровень, герою нужно победить монстров во всех пещерах. Когда герой впервые зайдёт в пещеру, ему придётся драться с монстром в ней. Герой может победить монстра в пещере $i$ только в том случае, если сила героя строго больше $a_i$. В случае победы над монстром сила героя увеличится на $b_i$. Если герой не может победить монстра, с которым он дерётся, игра заканчивается и игрок проигрывает.

После того, как герой победит монстра в пещере $i$, все последующие визиты в пещеру $i$ не будут иметь последствий — монстра в этой пещере уже не будет, но и сила героя не будет изменяться.

Найдите минимальную необходимую силу, с которой герой должен начать уровень, чтобы иметь возможность победить всех монстров и пройти уровень.

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке задано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных.

Первая строка набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($3 \le n \le 1000$; $n \le m \le min(\frac{n(n-1)}{2}, 2000)$) — число пещер и коридоров.

Вторая строка содержит $n-1$ целых чисел $a_2, a_3, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^9$) — значения, с которыми сравнивается сила героя при битве с монстрами в пещерах $2, 3, \ldots, n$.

Третья строка содержит $n-1$ целых чисел $b_2, b_3, \ldots, b_n$ ($1 \le b_i \le 10^9$) — прибавки к силе героя за победу над монстрами в пещерах $2, 3, \ldots, n$.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$; $u_i \ne v_i$) — номера пещер, соединённых коридором.

Никакие две пещеры не соединены более чем одним коридором. Из любой пещеры можно попасть в любую другую, двигаясь по коридорам. Из любой пещеры выходит как минимум два коридора.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $1000$, а сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — минимальную силу героя, необходимую для того, чтобы иметь возможность победить всех монстров и пройти уровень.

Примечание

В первом наборе входных данных герой может пройти уровень, начав с силы $15$, следующим образом:

перейти из пещеры $1$ в пещеру $2$: так как $15 > 11$, герой побеждает монстра, сила героя увеличивается до $15 + 8 = 23$;
перейти из пещеры $2$ в пещеру $3$: так как $23 > 22$, герой побеждает монстра, сила героя увеличивается до $23 + 7 = 30$;
перейти из пещеры $3$ в пещеру $4$: так как $30 > 13$, герой побеждает монстра, сила героя увеличивается до $30 + 5 = 35$.

Во втором наборе входных данных ситуация аналогична, но прибавки к силе героя в пещерах $2$ и $4$ поменялись местами. Герой может использовать другой маршрут, $1 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2$, и пройти уровень с начальной силой $15$.

В третьем наборе входных данных герой может пройти уровень, начав с силы $19$, следующим образом:

перейти из пещеры $1$ в пещеру $2$: так как $19 > 10$, герой побеждает монстра, сила героя увеличивается до $19 + 7 = 26$;
перейти из пещеры $2$ в пещеру $4$: так как $26 > 20$, герой побеждает монстра, сила героя увеличивается до $26 + 10 = 36$;
перейти из пещеры $4$ в пещеру $5$: так как $36 > 30$, герой побеждает монстра, сила героя увеличивается до $36 + 5 = 41$;
перейти из пещеры $5$ в пещеру $2$: в этой пещере монстра уже нет, поэтому ничего не происходит;
перейти из пещеры $2$ в пещеру $3$: так как $41 > 40$, герой побеждает монстра, сила героя увеличивается до $41 + 2 = 43$.

C. Mocha и прогулка

графы Конструктив *1200

Mocha живет в городском уезде Чжицзян. В уезде $n+1$ поселение и $2n-1$ ориентированная дорога.

Все дороги имеют один из двух типов:

$n-1$ дорога идет от поселения $i$ к поселению $i+1$, для всех $1\leq i \leq n-1$.
$n$ дорог описываются последовательностью $a_1,\ldots,a_n$. Если $a_i=0$, то $i$-я из этих дорог идет от поселения $i$ к поселению $n+1$, иначе она идет от поселения $n+1$ к поселению $i$, для всех $1\leq i\leq n$.

Mocha собирается в поход вместе с Taki. Чтобы поход не был скучным, они собираются посетить каждое поселение ровно один раз. Они могут начать и закончить в любых поселениях. Можете помочь составить им план похода?

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 20$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных, каждый в двух строках.

Первая строка набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10^4$), что означает, что всего поселений $n+1$.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($0 \le a_i \le 1$). Если $a_i=0$, то есть дорога из поселения $i$ в поселение $n+1$. Если $a_i=1$, то есть дорога из поселения $n+1$ в поселение $i$.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^4$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку с $n+1$ целыми числами, где $i$-е число — поселение, которое они должны посетить $i$-м по порядку. Если ответа не существует, выведите $-1$.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом наборе входных данных уезд выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

Возможные ответы: $(1 \to 4 \to 2 \to 3)$ или $(1 \to 2 \to 3 \to 4)$.

Во втором наборе входных данных уезд выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

Возможные ответы — $(4 \to 1 \to 2 \to 3)$, $(1 \to 2 \to 3 \to 4)$, $(3 \to 4 \to 1 \to 2)$ и $(2 \to 3 \to 4 \to 1)$.

D1. Mocha и Diana (простая версия)

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив Перебор снм *1400

Это простая версия задачи. Две версии отличаются ограничениями на $n$. Вы можете делать взломы, только если обе версии задачи решены.

Лесом называется неориентированный граф без циклов (не обязательно связный).

Mocha и Diana — друзья из Чжицзяна, у каждой из них есть лес с вершинами, пронумерованными от $1$ до $n$, и они хотят добавить ребра в свои леса с выполнением следующих условий:

После добавления ребер каждый из графов остается лесом.
Они добавляют одинаковые ребра. Это значит, что если ребро $(u, v)$ добавляется в лес Mocha, то также ребро $(u, v)$ добавляется в лес Diana, и наоборот.

Mocha и Diana хотят знать, какое максимальное количество ребер они могут добавить, и какие ребра им нужно добавлять.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m_1$ и $m_2$ ($1 \le n \le 1000$, $0 \le m_1, m_2 < n$) — количество вершин и начальное количество ребер в лесе Mocha и в лесе Diana, соответственно.

Каждая из следующих $m_1$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \neq v$) — ребра в лесе Mocha.

Каждая из следующих $m_2$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \neq v$) — ребра в лесе Diana.

Выходные данные

Первая строка содержит одно целое число $h$ — максимальное количество ребер, которое можно добавить в каждый из лесов Mocha и Diana.

Каждая из следующих $h$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \neq v$) — ребра, которые нужно добавить.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом примере нельзя добавить ни одно ребро.

Во втором примере начальные леса выглядят следующим образом.

$\text{[math]}$

Можно добавить ребро $(2, 4)$.

$\text{[math]}$

D2. Mocha и Diana (сложная версия)

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное снм *2500

Это сложная версия задачи. Две версии отличаются ограничениями на $n$. Вы можете делать взломы, только если обе версии задачи решены.

Лесом называется неориентированный граф без циклов (не обязательно связный).

После добавления ребер каждый из графов остается лесом.
Они добавляют одинаковые ребра. Это значит, что если ребро $(u, v)$ добавляется в лес Mocha, то также ребро $(u, v)$ добавляется в лес Diana, и наоборот.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m_1$ и $m_2$ ($1 \le n \le 10^5$, $0 \le m_1, m_2 < n$) — количество вершин и начальное количество ребер в лесе Mocha и в лесе Diana, соответственно.

Каждая из следующих $m_1$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \neq v$) — ребра в лесе Mocha.

Каждая из следующих $m_2$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \neq v$) — ребра в лесе Diana.

Выходные данные

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом примере нельзя добавить ни одно ребро.

Во втором примере начальные леса выглядят следующим образом.

$\text{[math]}$

Можно добавить ребро $(2, 4)$.

$\text{[math]}$

D. Улики

графы Комбинаторика *2500

Расследуя очередное дело, Шерлок Холмс нашел некоторое количество улик. Также он нашел прямые связи между некоторыми из этих улик. Прямые связи между уликами не направлены. То есть, прямая связь между уликами A и B и прямая связь между уликами B и A — это одно и тоже. Кроме того, между двумя уликами может существовать не более одной прямой связи.

Конечно, Шерлок может найти прямые связи между всеми уликами. Но это займет слишком много времени — преступники могут успеть залечь на дно. Чтобы раскрыть дело, ему надо добиться того, чтобы каждая улика была связана со всеми остальными (возможно, не напрямую). Улики A и B считаются связанными, если есть прямая связь между ними или есть прямая связь между уликой A и некой уликой C, которая связана с B.

Шерлок Холмс посчитал минимальное количество прямых связей между уликами, которые ему еще надо найти, чтобы раскрыть дело. Оно оказалось равно ровно T.

Посчитайте, пожалуйста, количество различных способов найти ровно T прямых связей между уликами так, чтобы дело оказалось раскрытым. Два способа считаются различными, если существует хотя бы одна такая пара улик, что в одном способе между ними найдена прямая связь, а в другом — нет.

Поскольку количество способов может оказаться очень большим, выведите его по модулю k.

Входные данные

В первой строке записаны через пробел три целых числа n, m, k (1 ≤ n ≤ 10⁵, 0 ≤ m ≤ 10⁵, 1 ≤ k ≤ 10⁹) — количество улик, количество прямых связей между уликами, которые уже известны Холмсу, и модуль, по которому необходимо вывести ответ.

В следующих m строках даны по два целых числа a и b (1 ≤ a, b ≤ n, a ≠ b), обозначающие прямую связь между уликами. Гарантируется, что между двумя уликами есть не больше одной прямой связи. Обратите внимание, что прямые связи между уликами не направлены.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — ответ на задачу по модулю k.

Примечание

В первом примере есть всего две улики, и Шерлок пока не нашел между ними прямой связи. Есть единственный способ раскрыть дело — найти эту связь.

Во втором примере есть три улики, И Шерлок пока не нашел никаких прямых связей между ними. Ему нужно найти две из трех возможных прямых связей между уликами, чтобы раскрыть дело — есть 3 способа это сделать.

В третьем примере четыре улики, и уже найдена одна прямая связь, между первой и четвертой уликами. Есть 8 способов найти еще две прямых связи так, чтобы дело было раскрыто.

G. Четыре вершины

графы жадные алгоритмы Конструктив кратчайшие пути реализация Структуры данных *3100

Дан неориентированный взвешенный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ рёбер.

На этом графе осуществляются запросы:

Удалить из графа существующее ребро.
Добавить в граф ещё не существующее в нём ребро.

В самом начале и после каждого запроса вам необходимо найти четыре различные вершины $a$, $b$, $c$, $d$ такие, что существует путь между $a$ и $b$, существует путь между $c$ и $d$ и сумма длин двух кратчайших путей из $a$ в $b$ и из $c$ в $d$ минимальна. Ответ на запрос — это сумма длин этих двух кратчайших путей. Длина пути равна сумме весов рёбер на этом пути.

Входные данные

В первой строке находится два целых числа $n$ и $m$ $(4 \le n, m \le 10^5)$ — количество вершин и рёбер в графе соответственно.

Каждая из следующих $m$ строк содержит три целых числа $v$, $u$, $w$ ($1 \le v, u \le n, v \neq u$, $1 \le w \le 10^9$) — это означает, что существует ребро между вершинами $v$ и $u$ с весом $w$.

Следующая строка содержит одно целое число $q$ $(0 \le q \le 10^5)$ — количество запросов.

Следующие $q$ строк содержат запросы двух типов:

$0$ $v$ $u$ — такой запрос означает удаление ребра между вершинами $v$ и $u$ $(1 \le v, u \le n, v \neq u)$. Гарантируется, что такое ребро существует в графе.
$1$ $v$ $u$ $w$ — такой запрос означает добавление ребра между вершинами $v$ и $u$ весом $w$ ($1 \le v, u \le n, v \neq u$, $1 \le w \le 10^9$). Гарантируется, что такого ребра не было в графе.

Гарантируется, что изначальный граф не содержит кратных рёбер.

В самом начале и после каждого запроса граф не обязательно связный.

Гарантируется, что в любой момент количество рёбер в графе не будет меньше $4$. Можно доказать, что в любой момент существуют четыре различные вершины $a$, $b$, $c$, $d$ такие, что существует путь между вершинами $a$ и $b$, и существует путь между вершинами $c$ и $d$.

Выходные данные

Выведите $q + 1$ целое число — минимальную сумму длин кратчайших путей для выбранных пар вершин до всех запросов и после каждого из них.

Примечание

До всех запросов можно выбрать вершины $(a, b) = (3, 2)$ и $(c, d) = (1, 4)$. Сумма длин двух кратчайших путей равна $3 + 1 = 4$.

После первого запроса можно выбрать вершины $(a, b) = (2, 5)$ и $(c, d) = (1, 4)$. Сумма длин двух кратчайших путей равна $2 + 1 = 3$.

После второго запроса можно выбрать вершины $(a, b) = (3, 4)$ и $(c, d) = (2, 5)$. Сумма длин двух кратчайших путей равна $1 + 2 = 3$.

После третьего запроса можно выбрать вершины $(a, b) = (2, 6)$ и $(c, d) = (4, 5)$. Сумма длин двух кратчайших путей равна $4 + 3 = 7$.

После последнего запроса можно выбрать вершины $(a, b) = (1, 6)$ и $(c, d) = (2, 5)$. Сумма длин двух кратчайших путей равна $3 + 2 = 5$.

F. Непереводимое название

2-sat графы Конструктив поиск в глубину и подобное реализация снм *2700

У Алисы есть пустое поле из $n$ строк и $m$ столбцов. Некоторые клетки этого поля помечены, и ни одна помеченная клетка не касается края поля. (Две клетки считаются соседними, если они касаются по стороне.)

Алиса хочет записать в каждую клетку число так, чтобы они удовлетворяли следующим условиям:

в каждой непомеченной клетке записано либо $1$, либо $4$;
в каждой помеченной клетке записана сумма чисел всех соседних непомеченных клеток (если у помеченной вершины нет соседних непомеченных, то сумма равна $0$);
в каждой помеченной клетке записанное число делится на $5$.

Не придумав ничего, Алиса решила попросить помощи у Боба. Помогите Бобу найти любое подходящее заполнение поля, или определить, что такого поля не существует.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n, m \leq 500$) — количество строк и столбцов поля, соответственно.

Далее следуют $n$ строк, каждая состоит из $m$ символов. Каждый символ — это «.» или «X» — непомеченная или помеченная клетка, соответственно. Ни одна помеченная клетка не касается краев поля.

Выходные данные

Выведите «NO», если не существует подходящего заполнения. В противном случае выведите «YES». Далее выведите $n$ строк по $m$ целых чисел через пробел — числа в клетках поля.

Примечание

Можно показать, что во втором примере не существует подходящего заполнения.

F. Палиндромный гамильтонов путь

графы дп Перебор поиск в глубину и подобное хэши *3000

Задан простой неориентированный граф с $n$ вершинами, $n$ четно. Вы планируете написать одну букву на каждой вершине. Каждая буква должна быть одной из первых $k$ букв латинского алфавита.

Путь в графе называется гамильтоновым, если он посещает каждую вершину ровно один раз. Строка называется палиндромной, если она читается одинаково слева направо и справа налево. Путь в графе называется палиндромным, если при выписывании букв с вершин в порядке пути получается палиндромная строка.

Строка длины $n$ хорошая, если:

каждая буква — это одна из первых $k$ латинского алфавита;
если написать $i$-ю букву строки на $i$-й вершине графа, то в графе будет существовать палиндромный гамильтонов путь.

Обратите внимание, что путь не обязан проходить по вершинам в порядке $1, 2, \dots, n$.

Посчитайте количество хороших строк.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа $n$, $m$ and $k$ ($2 \le n \le 12$; $n$ четно; $0 \le m \le \frac{n \cdot (n-1)}{2}$; $1 \le k \le 12$) — количество вершин в графе, количество ребер в графе и количество первых букв алфавита, которые можно использовать.

В каждой из следующих $m$ строк записаны по два целых числа $v$ и $u$ ($1 \le v, u \le n$; $v \neq u$) — ребра графа. Граф не содержит кратных ребер и петель.

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество хороших строк.

A. Книга

Бинарный поиск графы дп Перебор реализация сортировки Структуры данных *1800

У вас есть книга, в которой $n$ глав.

В начале каждой главы перечислен список других глав, которые нужно понимать для понимания написанного в этой главе. Чтобы понять главу, нужно прочитать эту главу после того, как вы поняли все главы из данного списка.

Сейчас ни одна глава книги не понятна вам. Вы планируете читать книгу с начала до конца по кругу до тех пор, пока не поймете все главы. Обратите внимание, что если вы читаете некоторую главу, но еще не понимаете какие-то из необходимых для ее понимания глав, то вы не можете понять эту главу.

Определите, сколько раз вам нужно будет прочитать всю книгу, чтобы понять все главы, или определите, что есть главы, которые вы никогда не поймете, сколько бы раз вы не прочитали книгу.

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 2\cdot10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных.

Первая строка набора входных данных содержит $n$ ($1 \le n \le 2\cdot10^5$) — количество глав.

Далее следуют $n$ строк. $i$-я из этих строк начинается с целого числа $k_i$ ($0 \le k_i \le n-1$) — количества глав, которые требуется понимать для понимания $i$-й главы. Далее следуют $k_i$ целых чисел $a_{i,1}, a_{i,2}, \dots, a_{i, k_i}$ ($1 \le a_{i, j} \le n, a_{i, j} \ne i, a_{i, j} \ne a_{i, l}$ для $j \ne l$) — главы, которые нужно понимать для понимания $i$-й главы.

Гарантируется, что сумма значений $n$ и сумма значений $k_i$ по всем наборам входных данных не превосходят $2\cdot10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, если вы можете понять все главы, выведите, сколько раз вам нужно прочитать книгу целиком, иначе выведите $-1$.

Примечание

В первом примере с первого прочтения вы поймете главы $\{2, 4\}$, а со второго — главы $\{1, 3\}$.

Во втором примере для понимания любой главы нужно сначала понимать какую-то другую, поэтому невозможно понять всю книгу.

В третьем примере для понимания любой главы нужно понимать только более ранние, поэтому можно понять всю книгу за одно прочтение.

В четвертом примере вы поймете главы $\{2, 3, 4\}$ с первого прочтения, и главу $1$ со второго.

В пятом примере вы будем понимать главы по одной за прочтение, с $5$-й по $1$-ю.

D. Бридж-клуб

графы жадные алгоритмы Паросочетания Потоки *2800

В местном бридж-клубе сейчас спорят на $n$ различных тем, пронумерованных от $0$ до $n-1$, и, вот совпадение, в клубе состоят ровно $2^n$ игроков, пронумерованных от $0$ до $2^n-1$. Никакие два игрока не имеют полностью совпадающих взглядов на все $n$ тем, а именно, у $i$-го игрока положительный взгляд на $j$-ю тему, если $i\ \&\ 2^j > 0$, и отрицательный взгляд иначе. Здесь $\&$ обозначает операцию побитового И.

Вы хотите организовать турнир по бриджу, в котором примут участие не более чем $k$ пар игроков (в бридж играют командами из двух игроков). Вы можете составлять пары игроков произвольным образом (каждый игрок должен быть не более чем в одной паре), но с одним условием: два игрока не могут быть в одной паре, если у них различные взгляды на $2$ или более из данных $n$ тем.

Вы знаете, что $i$-й игрок заплатит вам $a_i$ долларов, если примет участие в турнире. Вычислите максимальную сумму, которую можно получить, выбрав команды оптимальным образом.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$, $k$ ($1 \le n \le 20$, $1 \le k \le 200$) — количество спорных тем, и количество пар игроков, которые могут сыграть в турнире.

Вторая строка содержит $2^n$ целых чисел $a_0, a_1, \dots, a_{2^n-1}$ ($0 \le a_i \le 10^6$) — суммы, которые вам заплатят игроки в случае участия в турнире.

Выходные данные

Выведите одно целое число: максимальную сумму, которую вы можете получить, если составите команды оптимальным образом.

Примечание

В первом примере оптимальное решение — поставить в пару $0$-го и $2$-го игрока, что принесет $8 + 5 = 13$ долларов. Хотя $0$-й и $5$-й игроки принесли бы вместе $8 + 10 = 18$ долларов, мы их не можем объединить в команду, так как их взгляды отличаются в $2$ из $3$ тем.

Во втором примере можно объединить в команду $0$-го и $1$-го игрока, а также $2$-го и $3$-го игрока, что в сумме даст $7 + 4 + 5 + 7 = 23$ долларов.

D. Самый сильный билд

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы Перебор поиск в глубину и подобное реализация Структуры данных хэши *2000

Иван играет в очередную roguelike компьютерную игру. В игре он управляет одним героем. У героя есть $n$ слотов для экипировки предметов. Для $i$-го слота есть список из $c_i$ предметов, $j$-й из них увеличивает силу героя на $a_{i,j}$. Предметы для каждого из слотов попарно различные и упорядочены по возрастанию увеличения силы. То есть, $a_{i,1} < a_{i,2} < \dots < a_{i,c_i}$.

В каждый слот Иван выбирает ровно один предмет. Пусть в $i$-й слот он выбрал $b_i$-й предмет из соответствующего списка. Последовательность выборов $[b_1, b_2, \dots, b_n]$ называется билдом.

Сила билда — это сумма увеличений силы предметов в нем. Некоторые билды в игре запрещены. Задан список из $m$ попарно различных запрещенных билдов. Гарантируется, что хотя бы один билд не запрещен.

Какой билд среди не запрещенных в игре имеет максимальную силу? Если есть несколько билдов с максимальной силой, выведите любой из них.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10$) — количество слотов экипировки.

В $i$-й из следующих $n$ строк содержится описание предметов для $i$-го слота. Сначала одно целое число $c_i$ ($1 \le c_i \le 2 \cdot 10^5$) — количество предметов для $i$-го слота. Затем $c_i$ целых чисел $a_{i,1}, a_{i,2}, \dots, a_{i,c_i}$ ($1 \le a_{i,1} < a_{i,2} < \dots < a_{i,c_i} \le 10^8$).

Сумма $c_i$ не превосходит $2 \cdot 10^5$.

В следующей строке записано одно целое число $m$ ($0 \le m \le 10^5$) — количество запрещенных билдов.

В каждой из следующих $m$ строк содержится описание запрещенного билда — последовательность из $n$ целых чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ ($1 \le b_i \le c_i$).

Билды попарно различные, и существует хотя бы один не запрещенный билд.

Выходные данные

Выведите билд с максимальной силой среди не запрещенных в игре. Если есть несколько билдов с максимальной силой, выведите любой из них.

F. Вхождения

бпф графы дп Комбинаторика поиск в глубину и подобное снм *2700

Подмассив массива $a$ с индекса $l$ по индекс $r$ — это массив $[a_l, a_{l+1}, \dots, a_{r}]$. Количество вхождений массива $b$ в массива $a$ — это количество таких подмассивов массива $a$, которые равны $b$.

Вам даны $n$ массивов $A_1, A_2, \dots, A_n$; их элементы — целые числа от $1$ до $k$. Вы должны построить массив $a$ из $m$ целых чисел от $1$ до $k$ таким образом, чтобы для каждого заданного массива $A_i$ выполнялось следующее условие: количество вхождений массива $A_i$ в массив $a$ не меньше, чем количество вхождений каждого непустого подмассива $A_i$ в $a$ (по отдельности). Обратите внимание, что если $A_i$ не входит в $a$, и никакой подмассив $A_i$ не входит в $a$, это условие выполняется для $A_i$.

Ваша задача — посчитать количество различных массивов $a$, удовлетворяющих этим условиям, и вывести его по модулю $998244353$.

Входные данные

В первой строке заданы три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($1 \le n, m, k \le 3 \cdot 10^5$) — количество заданных массивов, требуемое количество элементов в массиве $a$, и верхнее ограничение на элементы массивов.

Затем следуют $n$ строк. $i$-я строка задает массив $A_i$. Первое число в $i$-й строке — $c_i$ ($1 \le c_i \le m$), количество элементов в массиве $A_i$; затем следуют $c_i$ целых чисел от $1$ до $k$ — элементы массива $A_i$.

Дополнительное ограничение на входные данные: $\sum\limits_{i=1}^n c_i \le 3 \cdot 10^5$; то есть общее количество элементов в заданных массивах не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество различных массивов $a$, удовлетворяющих данным условиям, по модулю $998244353$.

A. Anti-Tetris

графы Конструктив кратчайшие пути *2800

Let us consider the game "Sticky Tetris". In this game, there is a field of $n \times m$ squares. Tiles appear on the field and the player can move the tiles.

Each tile is a $4$-connected set of at most $7$ squares.

Each new tile appears in any position that fits inside the field, does not intersect any other tile, and the top cell of the tile is at the top row of the field. The player can move the tile left, right, and down, and at any moment the tile must still entirely fit inside the field and must not intersect other tiles. The player can stop the tile at any position at any time. After that, it cannot be moved. Since this is "Sticky Tetris," the tile will not fall once stopped.

You are given a final configuration of a "Sticky Tetris" game. You need to restore a sequence of steps that leads to that configuration if it exists.

Input

The first line contains two integers $n$ and $m$ ($1 \le n, m \le 50$) — the size of the playing field.

The next $n$ lines contain a string of $m$ characters each. Each character could be either a '.', or lowercase English letter. Connected components of the same letter correspond to a single tile. Each tile consists of at most $7$ squares.

Output

If there is no solution, print $-1$.

Otherwise, print $k$ — the number of different tiles that are placed on the field.

On the next $k$ lines print the sequence of steps for each of the tiles in the order they are placed.

Each line consists of a number $x$ followed by a string with steps. $x$ ($1 \le x \le m$) is the starting column of the leftmost square in the top row of the tile. The string consists of characters 'L' (for left), 'R' (for right), and 'D' (for down), describing the path of that tile, ending with a single character 'S' (for stop). The final position of the tile determines which tile is being placed. The string with steps can have at most $n \cdot m + 1$ characters.

K. Kingdom of Islands

графы Перебор реализация *2800

The Kingdom of Islands consists of $p$ islands. As the king, you rule over the whole kingdom, while each island is ruled over by one or several jarls under your rule. In total, there are $n$ jarls under your jurisdiction.

Each island of the kingdom has its own strong traditions, so jarls that rule over the same island support each other and never have conflicts. The downsides of such strength are cultural conflicts between people inhabiting different islands. Thus, two jarls that rule over different islands are in conflict.

However, recent years brought a few changes to traditional relations between the jarls. To your knowledge, there are exactly $k$ pairs of jarls such that relationships between two jarls in the pair are different from the traditional. That is, if two jarls of the pair you know rule over the same island, these jarls are in conflict. If they rule over different islands, then they overcome cultural disagreement and there is no conflict between them anymore.

As a true responsible king, you are worried about whether the kingdom is close to a major conflict. In order to estimate the current situation, you would like to find the largest possible group of jarls such that every two jarls in the group are in conflict.

Input

The first line of the input consists of two integers $p$ and $n$ ($1 \le p \le n \le 10^5$; $1 \le p \le 10^4$).

The second line consists of $n$ integers $s_1, s_2, \ldots, s_n$ ($1 \le s_i \le p$). The integer $s_i$ denotes that the $i$-th jarl rules over the island number $s_i$. It is guaranteed that each island is ruled by at least one jarl.

The third line consists of a single integer $k$ ($0 \le k \le 20$).

Then $k$ lines follow. The $j$-th of these lines consists of two distinct integers $a_j$ and $b_j$ ($1 \le a_j < b_j \le n$), denoting that the relation between the $a_j$-th jarl and the $b_j$-th jarl differs from traditional. It is guaranteed that no pair of jarls appears twice in this list.

Output

In the first line print a single integer $q$ between $1$ and $n$ — the largest possible number of jarls in a pairwise conflicting group. In the second line print $q$ distinct integers between $1$ and $n$ — the numbers of jarls in the group. The numbers of jarls can be printed in any order.

Note

The conflict graph for the last sample testcase is given below. Each circle represents an island.

$\text{[math]}$

D. Продуктивная встреча

графы жадные алгоритмы Конструктив *1400

На встрече собрались $n$ человек. В каждый момент времени любые два человека могут отойти и поговорить наедине. Одни и те же два человека могут поговорить несколько (сколько угодно) раз за встречу.

У каждого человека есть ограниченная общительность. Общительность $i$-го человека равна неотрицательному целому числу $a_i$. Это означает, что после $a_i$ личных разговоров этот человек уходит со встречи (и больше ни с кем не разговаривает). Если $a_i = 0$, $i$-й человек уходит со встречи сразу после ее начала.

Встреча считается тем более продуктивной, чем больше в течение нее состоялось разговоров.

По данному массиву общительности $a$ определите, какие люди должны разговаривать друг с другом, чтобы суммарное количество разговоров было как можно больше.

Входные данные

В первой строке записано целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных.

В следующих $2t$ строках даны описания наборов входных данных.

В описании каждого набора данных первая строка содержит целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество людей на встрече, а во второй строке через пробел перечислены $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($0 \le a_i \le 2 \cdot 10^5$) — параметры общительности всех людей.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$. Также гарантируется, что сумма всех $a_i$ (по всем наборам входных данных и всем $i$) не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Выведите $t$ ответов на все наборы входных данных.

В первой строке ответа выведите число $k$ — максимальное количество разговоров, которое возможно провести за встречу.

В каждой из следующих $k$ строк выведите через пробел по два целых числа $i$ и $j$ ($1 \le i, j \le n$ и $i \neq j$) — номера людей, между которыми состоится очередной разговор.

Если ответов несколько, выведите любой из них.

F. Стабилизируй массив (И-версия)

графы кратчайшие пути математика Перебор теория чисел *1700

Задан массив из нулей и единиц $a[0 \ldots n - 1] = [a_0, a_1, \ldots, a_{n - 1}]$. Обратите внимание, что в этой задаче, в отличие от остальных, индексы массива нумеруются с нуля, а не с единицы.

За один шаг массив $a$ заменяется на другой массив длины $n$ по следующим правилам:

Сначала строится новый массив $a^{\rightarrow d}$ — циклический сдвиг массива $a$ вправо на $d$ ячеек. Элементы этого массива определяются как $a^{\rightarrow d}_i = a_{(i + n - d) \bmod n}$, где $(i + n - d) \bmod n$ — остаток от деления $i + n - d$ на $n$.
Таким образом весь массив $a^{\rightarrow d}$ можно записать как a^{\rightarrow d} = [a_{n - d}, a_{n - d + 1}, \ldots, a_{n - 1}, a_0, a_1, \ldots, a_{n - d - 1}]
Затем каждый элемент массива $a_i$ заменяется на $a_i \,\&\, a^{\rightarrow d}_i$, где $\&$ — операция логического «И».

Например, если $a = [0, 0, 1, 1]$ и $d = 1$, то $a^{\rightarrow d} = [1, 0, 0, 1]$, и значение $a$ после первого шага будет равно $[0 \,\&\, 1, 0 \,\&\, 0, 1 \,\&\, 0, 1 \,\&\, 1]$, то есть $[0, 0, 0, 1]$.

Процесс завершается, когда массив перестает меняться. Для заданного массива $a$ определите, будет ли он состоять из одних нулей по окончании процесса. Если да, то также найдите количество шагов, которое процесс совершит до своего завершения.

Входные данные

В первой строке записано целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$) — количество наборов входных данных.

В следующих $2t$ строках даны описания наборов входных данных.

В описании каждого набора входных данных первая строка содержит два целых числа: $n$ ($1 \le n \le 10^6$) — размер массива, и $d$ ($1 \le d \le n$) — размер сдвига массива на каждом шаге. Во второй строке описания через пробел записаны $n$ чисел $a_i$ ($0 \le a_i \le 1$) — элементы исходного массива.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$.

Выходные данные

Выведите $t$ строк, каждая из которых содержит ответ на соответствующий набор входных данных. В качестве ответа выведите одно целое число — количество шагов, после которого массив впервые станет состоять из всех нулей. Если же после завершения процесса в массиве все еще будут присутствовать единицы, выведите -1.

Примечание

В третьем наборе входных данных из примера с массивом будут происходить следующие изменения:

В начале $a = [1, 1, 0, 1, 0]$, и $a^{\rightarrow 2} = [1, 0, 1, 1, 0]$. Их поэлементное «И» равно [1 \,\&\, 1, 1 \,\&\, 0, 0 \,\&\, 1, 1 \,\&\, 1, 0 \,\&\, 0] = [1, 0, 0, 1, 0]
Теперь $a = [1, 0, 0, 1, 0]$, тогда $a^{\rightarrow 2} = [1, 0, 1, 0, 0]$. Их поэлементное «И» равно [1 \,\&\, 1, 0 \,\&\, 0, 0 \,\&\, 1, 1 \,\&\, 0, 0 \,\&\, 0] = [1, 0, 0, 0, 0]
И, наконец, при $a = [1, 0, 0, 0, 0]$ получаем $a^{\rightarrow 2} = [0, 0, 1, 0, 0]$. Их поэлементное «И» равно [1 \,\&\, 0, 0 \,\&\, 0, 0 \,\&\, 1, 0 \,\&\, 0, 0 \,\&\, 0] = [0, 0, 0, 0, 0]

Таким образом, ответ — $3$ итерации.

В четвертом наборе входных данных массив не будет изменяться при сдвиге на $2$ вправо, потому что каждый элемент будет вычисляться как $0 \,\&\, 0$ или $1 \,\&\, 1$. Таким образом, единицы останутся на своих местах, и ответ — -1, массив никогда не будет состоять только из нулей.

E. Строительство железных дорог

графы Конструктив кратчайшие пути Перебор Структуры данных *3400

Поскольку железнодорожная система в Генсоке часто перегружена, инженер-энтузиастка Кавасиро Нитори планирует построить больше железных дорог, чтобы уменьшить заторы.

В Генсоке есть $n$ станций, пронумерованных от $1$ до $n$, и $m$ железных дорог с двусторонним движением. Каждая железная дорога с двусторонним движением соединяет две разные станции и имеет положительную целочисленную длину $d$. Никакие две железные дороги не соединяют одни и те же станции. Среди $n$ станций станция $1$ является главной. Вы можете добраться до любой станции от любой другой пользуясь только дорогами с двусторонним движением.

Из-за технологических ограничений Нитори может строить только односторонние железные дороги. Их длина также может быть произвольным целым положительным числом. Строительство железной дороги в один конец от станции $u$ будет стоить $w_u$ единиц ресурсов независимо от станции назначения.

Чтобы уменьшить заторы, Нитори планирует, что после строительства из станции $1$ в любую другую станцию должно быть хотя бы два различных кратчайших пути, не имеющие общих станций, кроме станции $1$ и конечной станции. Кроме того, Нитори не хочет изменять длину кратчайшего пути от станции $1$ до любой другой станции.

В силу разных причин стоимость строительства новой железной дороги иногда может расти бесконтрольно. Произойдут $q$ событий, где $i$-е событие увеличивает стоимость постройки односторонних дорог из станции $k_i$ на $x_i$.

Для экономии ресурсов Нитори хочет, чтобы вы помогли ей рассчитать минимальную стоимость строительства железной дороги до всех событий и после каждого из них.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит три целых числа $n$, $m$, $q$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m \le 3 \cdot 10^5$, $0 \le q \le 2\cdot10^5$).

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $w_1,w_2,\ldots,w_n$ ($1 \le w_i \le 10^9$).

Каждая из следующих $m$ строк содержит три целых числа $u$, $v$, $d$ ($1 \le u,v \le n$, $u \ne v$, $1 \le d \le 10^9$), описывающие двустороннюю железную дорогу между станциями $u$ и $v$ длины $d$.

$i$-я из следующих $q$ строк содержит два целых числа $k_i,x_i$ ($1 \le k_i \le n, 1 \le x_i \le 4 \times 10^8$) — описание событий.

Выходные данные

Выведите $q+1$ строк, где $i$-я строка содержит одно целое число, равное минимальной стоимости строительства железной дороги после $i-1$-го события ($0$-е событие — ни одного события не произошло).

Примечание

Во втором тестовом примере Нитори может строить железные дороги следующим образом: $1 \rightarrow 2$, $1 \rightarrow 3$, $1 \rightarrow 4$, $2 \rightarrow 8$. Стоимость в таком случае составит $14 + 14 + 14 + 4 = 46$.

B. Диаметр графа

графы жадные алгоритмы Конструктив математика *1200

CQXYM хочет построить связный неориентированный граф на $n$ вершинах с $m$ ребер и диаметром, строго меньшим $k-1$.

Также CQXYM не хочет, чтобы граф имел петли или кратные ребра (то есть каждое ребро соединяет две различные вершины, между любой парой вершин проведено не более чем одно ребро).

Диаметр графа — это максимальное расстояние между любыми двумя его вершинами.

Расстояние между двумя вершинами — наименьшее количество ребер в пути, концами которого являются эти вершины.

CQXYM задается вопросом, можно ли построить такой граф.

Входные данные

Входные данные состоят из нескольких тестовых примеров.

Первая строка содержит целое число $t (1 \leq t \leq 10^5)$ — количество тестовых примеров. Ниже приводится описание тестовых случаев.

Единственная для каждого тестового случая строка содержит три целых числа: $n(1 \leq n \leq 10^9)$, $m$, $k$ $(0 \leq m,k \leq 10^9)$.

Выходные данные

Для каждого тестового случая выведите YES, если построить граф возможно, и NO в противном случае. Вы можете выводить буквы в любом регистре (верхнем или нижнем).

Примечание

В первом тестовом случае диаметр графа равен 0.

Во втором случае диаметр графа может быть только 2.

В третьем случае диаметр графа может быть только 1.

E. Момент цветения

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив Паросочетания поиск в глубину и подобное *2200

Она делает все возможное, чтобы безупречно провести последний обряд человека и сохранить баланс инь и ян в мире.

Ху Тао, будучи маленькой проказницей, попыталась напугать вас этой задачей с графом! Вам дан связный неориентированный граф из $n$ вершин с $m$ ребрами. У вас также есть $q$ запросов. Каждый запрос состоит из двух вершин $a$ и $b$.

Изначально все ребра графа имеют вес $0$. Для каждого запроса вы должны выбрать простой путь, начинающийся из $a$ и заканчивающийся в $b$. Затем к весу каждого ребра вдоль этого пути добавляется $1$. Определите, возможно ли, чтобы после обработки всех $q$ запросов все ребра в этом графе имели четный вес. Если да, то выведите выбор путей для каждого запроса.

Если это невозможно, определите наименьшее количество дополнительных запросов, которые можно добавить, чтобы это стало возможным. Можно показать, что при заданных ограничениях это число не превысит $10^{18}$.

Простой путь определяется как любой путь, который не посещает вершину более одного раза.

Считается, что ребро имеет четный вес, если его значение кратно $2$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 3 \cdot 10^5$, $n-1 \leq m \leq \min{\left(\frac{n(n-1)}{2}, 3 \cdot 10^5\right)}$).

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $x$ и $y$ ($1 \leq x, y \leq n$, $x\neq y$), указывающих на неориентированное ребро между вершинами $x$ и $y$. Входные данные не будут содержать петель или дублирующихся ребер, и полученный граф будет связным.

Следующая строка содержит одно целое число $q$ ($1 \leq q \leq 3 \cdot 10^5$).

Каждая из следующих $q$ строк содержит два целых числа $a$ и $b$ ($1 \leq a, b \leq n, a \neq b$), описание каждого запроса.

Гарантируется, что $nq \leq 3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Если можно заставить все веса ребер быть четными, выведите «YES» в первой строке, а затем $2q$ строк, указывающих выбор пути для каждого запроса в том же порядке, в котором задаются запросы. Для каждого запроса первая строка должна содержать одно целое число $x$: количество узлов в выбранном пути. Следующая строка должна содержать $x$ целых чисел $p_i$, указывающих выбранный путь ($p_1 = a, p_x = b$ и все числа должны лежать между $1$ и $n$). Этот путь не может содержать одну вершину более одного раза и должен быть корректным простым путем в графе.

Если невозможно заставить все веса ребер быть четными, выведите «NO» в первой строке и минимальное количество запросов, которые нужно добавить, во второй строке.

Примечание

Вот как выглядят запросы для первого примера (красный цвет соответствует 1-му запросу, синий — 2-му, а зеленый — 3-му):

$\text{[math]}$ Обратите внимание, что каждое ребро в графе входит либо в $0$, либо в $2$ цветных пути.

Граф во втором примере выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$ Не существует такого назначения путей, которое заставит все ребра иметь четные веса при заданных запросах. Чтобы получить набор запросов, удовлетворяющих условию, нужно добавить по крайней мере $2$ новых запроса.

F. Странная НОП

битмаски графы дп жадные алгоритмы Строки *2600

Вам даны $n$ строк $s_1, s_2, \ldots, s_n$, состоящих из строчных и заглавных латинских букв. Более того, каждый символ в каждой строке встречается не более двух раз. Найдите самую длинную общую подпоследовательность этих строк.

Строка $t$ является подпоследовательностью строки $s$, если $t$ может быть получена из $s$ удалением нескольких (возможно, ни одного или всех) символов.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 5$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка описания каждого набора входных данных содержит единственное целое число $n$ ($2 \leq n \leq 10$) — количество строк.

В следующих $n$ строках содержатся строки $s_i$. Все $s_i$ непустые, состоят из строчных и заглавных латинских букв, и никакой символ не встречается ни в одной строке более чем два раза.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите ответ в двух строках.

В первой строке выведите длину самой длинной общей подпоследовательности.

Во второй — саму подпоследовательность. Если существует несколько самых длинных общих подпоследовательностей, выведите любую из них.

Примечание

В первом наборе входных данных одна из самых длинных общих подпоследовательностей это «A». Нет ни одной общей подпоследовательности длины $2$.

Во втором наборе входных данных множества символов строк не пересекаются, поэтому никакая непустая строка не может быть общей подпоследовательностью.

G. Браконьеры

графы Деревья дп игры *2500

Алиса и Боб — два браконьера, которые рубят лес.

Лес это набор (возможно пустой) деревьев. Дерево — это связный граф без циклов. Подвешенное дерево имеет специальную вершину — корень. Родителем вершины $v$ называется следующая вершина на кратчайшем пути от $v$ до корня. Детьми вершины $v$ называются вершины, для которых $v$ является родителем. Вершина называется листом, если у неё нет детей.

В этой задаче мы определим глубину вершины как количество вершин на простом пути от этой вершины до корня. Рангом дерева назовем минимальную глубину его листа.

Изначально дан непустой лес подвешенных деревьев. Алиса и Боб играют в игру на этом лесе. Они ходят по очереди, Алиса ходит первой. В начале каждого хода игрок выбирает дерево из леса. Далее игрок выбирает положительное целое число — глубину разреза, которая не превосходит ранга выбранного дерева. Затем игрок удаляет из дерева все вершины, чьи глубины меньше либо равны глубине разреза. Все остальные вершины разбиваются на набор подвешенных деревьев, корнем каждого становится вершина, имевшая наименьшую глубину в дереве до разреза. Все эти деревья добавляются в лес и игра продолжается.

Игрок проигрывает, если на момент начала его хода лес пуст.

Определите, может ли Алиса победить, если оба игрока играют оптимально.

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 5 \cdot 10^5$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных.

Первая строка набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 5 \cdot 10^5$) — суммарное количество вершин в деревьях изначального леса.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ($0 \leq p_i \leq n$) — описание леса. Если $p_i = 0$, то $i$-я вершина дерева является корнем, иначе $p_i$ является родителем вершины $i$. Гарантируется, что $p$ задает корректный лес подвешенных деревьев.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $5 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES» (без кавычек), если Алиса может победить, иначе выведите «NO» (без кавычек). Вы можете выводить каждую букву в любом регистре.

Примечание

В первом наборе входных данных у Боба есть симметричная стратегия, поэтому Алиса выиграть не может.

$\text{[math]}$

Во втором наборе Алиса может выбрать второе дерево и глубину разреза $1$, чтобы получить лес, где уже у нее есть симметричная стратегия.

$\text{[math]}$

В третьем наборе ранг единственного дерева равен $2$, и оба возможных хода Алисы приводят к неудаче. В первом случае Боб может перейти к позиции с симметричной стратегией, а во втором сразу опустошить лес.

$\text{[math]}$

В четвертом наборе все листья единственного дерева имеют одинаковую глубину, поэтому Алиса может за один ход опустошить весь лес.

$\text{[math]}$

F. Прыжки по массиву

Бинарный поиск графы Структуры данных *3500

Вам задан массив целых чисел $a$ размера $n$ и перестановка $p$ размера $n$. К вам приходят $q$ запросов трех типов:

Даны числа $l$ и $r$. Требуется посчитать сумму чисел массива $a$ на отрезке c $l$ по $r$: $\sum\limits_{i=l}^{r} a_i$.
Даны числа $v$ и $x$. Давайте представим $p$ в виде ориентированного графа, у которого $n$ вершин и $n$ рёбер $i \to p_i$. Пусть $C$ — это множество вершин, которые достижимы из $v$ в графе. Требуется прибавить число $x$ ко всем $a_u$ таким, что $u$ лежит в $C$.
Даны индексы $i$ и $j$. Вам нужно поменять местами значения $p_i$ и $p_j$.

$\text{[math]}$ Граф, получаемый из перестановки $[2, 3, 1, 5, 4]$.

От вас требуется вывести ответы на все запросы $1$ вида.

Входные данные

В первой строке находится единственное целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — размер массива и перестановки.

Во второй строке входных данных находится $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($-10^8 \le a_i \le 10^8$).

В третьей строке входных данных находится $n$ различных целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$).

В четвертой строке находится единственное целое число $q$ — количество запросов ($1 \le q \le 2 \cdot 10^5$).

В следующих $q$ строках заданы запросы. В $i$-й строке находится целое число $t_i$ ($1 \le t_i \le 3$) — тип запроса.

Если $t_i = 1$, то в $i$-й строке заданы еще два целых числа: $l$, $r$ ($1 \le l \le r \le n$).
Если $t_i = 2$, то в $i$-й строке заданы еще два целых числа: $v$, $x$ ($1 \le v \le n$, $-10^8 \le x \le 10^8$).
Если $t_i = 3$, то в $i$-й строке заданы еще два целых числа: $i$, $j$ ($1 \le i, j \le n$).

Выходные данные

Для каждого запроса первого типа выведите единственное целое число — ответ на запрос.

Примечание

Рассмотрим первый тест.

$\text{[math]}$ Граф, получаемый из изначальной перестановки.

В первом тесте $6$ запросов.

Сумма на отрезке с $1$ по $5$ это $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 6 + 9 + (-5) + 3 + 0 = 13$.
Из вершины $1$ достижимы вершины $\{1, 2, 3\}$. Получается, что после этого запроса массив $a$ будет выглядеть так: $[7, 10, -4, 3, 0]$.
Сумма на отрезке с $1$ по $5$ это $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 6 + 9 + (-5) + 3 + 0 = 16$.
После запроса $p = [4, 3, 1, 5, 2]$. $\text{[math]}$ Граф, получаемый из перестановки после четвёртого запроса.
Из вершины $2$ достижимы вершины $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Получается, что после этого запроса массив $a$ будет выглядеть так: $[6, 9, -5, 2, -1]$.
Сумма на отрезке с $1$ по $5$ это $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 6 + 9 + (-5) + 2 + (-1) = 11$.

C. Бакри и разделение

битмаски графы Деревья дп Конструктив поиск в глубину и подобное *1700

Бакри столкнулся с задачей, но поскольку ему лень ее решать, он просит вашей помощи.

Вам дано дерево на $n$ вершинах, $i$-й вершине присвоено значение $a_i$ для каждого $i$ от $1$ до $n$. Напомним, что дерево на $n$ вершинах — это связный граф с $n-1$ ребрами.

Вы хотите удалить из дерева не менее $1$, но не более $k-1$ ребер так, чтобы выполнялось следующее условие:

Для каждой компоненты связности вычислим побитовое исключающего ИЛИ значений вершин в ней. Тогда, эти значения должны быть одинаковыми для всех компонент связности.

Возможно ли выполнить это условие?

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит количество наборов входных данных $t$ $(1 \leq t \leq 5 \cdot 10^4)$. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $k$ $(2 \leq k \leq n \leq 10^5)$.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ $(1 \leq a_i \leq 10^9)$.

В $i$-й из следующих $n-1$ строк содержится два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$, $u_i\neq v_i$), что означает, что между вершинами $u_i$ и $v_i$ есть ребро.

Гарантируется, что данный граф является деревом.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных вы должны вывести одну строку. Если вы можете удалить ребра в соответствии с условиями, написанными выше, выведите «YES» (без кавычек). В противном случае выведите «NO» (без кавычек).

Вы можете вывести каждую букву «YES» и «NO» в любом регистре (верхнем или нижнем).

Примечание

Можно показать, что условие недостижимо для первого, третьего и пятого наборов входных данных.

Во втором наборе входных данных можно просто удалить все ребра. Останется $5$ компонент связности, каждая из которых содержит только одну вершину со значением $3$, поэтому побитовое ИЛИ для каждой из них будет $3$.

В четвертом случае дерево изображено ниже: $\text{[math]}$ .

Вы можете удалить ребро $(4,5)$.

Побитовое ИЛИ первой компоненты будет равен $a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 = 1 \oplus 6 \oplus 4 \oplus 1 = 2$ (где $\oplus$ обозначает побитовое ИЛИ).

Побитовое ИЛИ второй компоненты будет равно $a_5 = 2$.

D. Количество предателей

графы дп Конструктив поиск в глубину и подобное снм *1700

Теофанис начал играть в новую онлайн-игру под названием «Among them». Однако, он постоянно играет с игроками из Кипра, и всех их зовут «Андреас» (самое распространенное имя на Кипре).

В каждой игре Теофанис играет с $n$ другими игроками. Так как у них всех одинаковые имена, то они были пронумерованы от $1$ по $n$.

Игроки написали $m$ комментариев в чате. Каждый комментарий имеет вид «$i$ $j$ $c$», где $i$ и $j$ — это два различных целых числа, а $c$ — строка ($1 \le i, j \le n$; $i \neq j$; $c$ — это либо imposter (предатель), либо crewmate (член экипажа)). Данный комментарий означает, что игрок $i$ говорит, что роль игрока $j$ — это $c$.

Предатели всегда врут, а члены экипажа всегда говорят правду.

Помогите Теофанису подсчитать максимальное возможное количество предателей среди всех кипрских игроков, или определить, что комментарии противоречат друг другу (ознакомьтесь с заметками для лучшего понимания).

Заметим, что у каждого игрока ровно одна роль: либо imposter (предатель), либо crewmate (член экипажа).

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных.

В первой строке каждого набора заданы два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $0 \le m \le 5 \cdot 10^5$) — количество игроков, исключая Теофаниса, и количество комментариев.

В каждой из следующих $m$ строк задан очередной комментарий игроков в форме «$i$ $j$ $c$», где $i$ и $j$ — это два различных целых числа, а $c$ — строка ($1 \le i, j \le n$; $i \neq j$; $c$ — это либо imposter, либо crewmate).

Для одной пары $(i, j)$ может быть более одного комментария.

Гарантируется, что сумма $n$ не превосходит $2 \cdot 10^5$ и сумма $m$ не превосходит $5 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — максимально возможное количество предателей. Если комментарии противоречат друг другу, выведите $-1$.

Примечание

В первом наборе входных данных, предателями могут быть Андреас $2$ и Андреас $3$.

Во втором наборе, предателями могут быть Андреас $1$, Андреас $2$, Андреас $3$ и Андреас $5$.

В третьем наборе, комментарии противоречат друг другу. Это потому что игрок $1$ называет игрока $2$ предателем, в то время как игрок $2$ называет игрока $1$ членом экипажа. Если игрок $1$ — член экипажа, то он должен говорить правду, а значит игрок $2$ — предатель. Но если игрок $2$ — предатель, то он лжет, и, следовательно, игрок $1$ не может быть членом экипажа. Противоречие.

I. Desert

графы Структуры данных *2700

You are given an undirected graph of $N$ nodes and $M$ edges, $E_1, E_2, \dots E_M$.

A connected graph is a cactus if each of it's edges belogs to at most one simple cycle. A graph is a desert if each of it's connected components is a cactus.

Find the number of pairs $(L, R)$, ($1 \leq L \leq R \leq M$) such that, if we delete all the edges except for $E_L, E_{L+1}, \dots E_R$, the graph is a desert.

Input

The first line contains two integers $N$ and $M$ ($2 \leq N \leq 2.5 \times 10^5$, $1 \leq M \leq 5 \times 10^5$). Each of the next $M$ lines contains two integers. The $i$-th line describes the $i$-th edge. It contains integers $U_i$ and $V_i$, the nodes connected by the $i$-th edge ($E_i=(U_i, V_i)$). It is guaranteed that $1 \leq U_i, V_i \leq N$ and $U_i \neq V_i$.

Output

The output contains one integer number – the answer.

Note

In the second example: Graphs for pairs $(1, 1)$, $(2, 2)$ and $(3, 3)$ are deserts because they don't have any cycles. Graphs for pairs $(1, 2)$ and $(2, 3)$ have one cycle of length 2 so they are deserts.

D. Ребра в MST

графы поиск в глубину и подобное снм сортировки *2300

Дан связный взвешенный неориентированный граф без петель и кратных ребер.

Напоминаем, что остовным деревом графа называется ациклический связный подграф данного графа, в который входят все его вершины. Весом дерева называется сумма весов входящих в него ребер. Минимальным остовным деревом (MST) графа называется остовное дерево этого графа, имеющее минимальный возможный вес. Очевидно, что для любого связного графа минимальное остовное дерево существует, но, в общем случае, минимальное остовное дерево графа не единственно.

Ваша задача — для каждого ребра данного графа определить: либо оно входит в любое MST, либо оно входит хотя бы в одно MST, либо оно не входит ни в одно MST.

Входные данные

В первой строке даны два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 10⁵, $\text{[math]}$ ) — количество вершин и ребер графа, соответственно. Далее следует m строк по три целых числа в каждой — описание ребер графа в формате «a_i b_i w_i» (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, 1 ≤ w_i ≤ 10⁶, a_i ≠ b_i), где a_i и b_i — номера вершин, которые соединяет i-е ребро, w_i — вес ребра. Гарантируется, что граф связный, и не содержит петель и кратных ребер.

Выходные данные

Выведите m строк — ответы для всех ребер. Если i-е ребро входит в любое MST, выведите «any»; если i-е ребро входит хотя бы в одно MST, выведите «at least one»; если i-е ребро не входит ни в одно MST, выведите «none». Ответы для ребер выводите в том порядке, в котором ребра заданы во входных данных.

Примечание

Во втором примере для данного графа MST единственно: оно содержит первые два ребра.

В третьем примере для данного графа любые два ребра образуют MST. Значит, любое ребро входит хотя бы в одно MST.

B. Лягушка-путешественница

графы дп кратчайшие пути поиск в глубину и подобное Структуры данных *1900

Лягушонок Горф отправился в путешествие по Болотному королевству. К несчастью, он не рассчитал длину своего прыжка и упал в колодец глубиной $n$ метров. Теперь Горф лежит на самом дне колодца и ему предстоит долгий путь наверх.

Стенки колодца в некоторых местах скользкие, а в некоторых, наоборот, очень удобные. А именно, если Горф сейчас находится на глубине $x$ метров от уровня земли, то за один прыжок он может подняться на любое расстояние от $0$ по $a_x$ метров вверх. (Заметим, что Горф не прыгает вниз, только вверх).

К сожалению, Горф не может прыгать без перерывов. После каждого прыжка ему нужно отдохнуть (даже после прыжка на $0$ метров). А потому, после прыжка в позицию $x$ метров ниже уровня земли, он соскользнет ровно на $b_x$ метров вниз (пока отдыхает).

Определите, за какое минимальное число прыжков Горф способен подняться до уровня земли.

Входные данные

В первой строке задано целое положительное число $n$ ($1 \le n \le 300\,000$) — глубина колодца.

Во второй строке задано $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($0 \le a_i \le i$), где $a_i$ — это максимальная высота, доступная для прыжка с глубины $i$.

В третьей строке вводится $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($0 \le b_i \le n - i$), где $b_i$ — это глубина, на которую лягушонок провалится, взяв перерыв на глубине $i$.

Выходные данные

Если лягушонок не может выбраться из колодца, выведите $-1$. В противном случае сначала выведите целое число $k$ — минимально возможное количество прыжков.

Далее выведите последовательность глубин $d_1,\,d_2,\,\ldots,\,d_k$, где $d_j$ — это глубина, которую достигнет Горф после $j$-го прыжка, но до того, как соскользнет вниз во время передышки. Уровень земли считается равным $0$.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом примере Горф находится на дне колодца, за один прыжок вверх поднимается к отметке в $1$ метр глубины. После этого он соскальзывает вниз на метр и оказывается на отметке в $2$ метра. С этой отметки он уже сможет выпрыгнуть из колодца за один прыжок.

Во втором примере Горф может допрыгнуть до отметки в один метр, но сразу после этого соскользнет обратно на дно колодца, поэтому ему не выбраться.

В третьем примере выбраться из колодца можно только прыгнув с глубины $5$. Попасть напрямую туда нельзя, но можно добраться с помощью серии прыжков $10 \Rightarrow 9 \dashrightarrow 9 \Rightarrow 4 \dashrightarrow 5$, где $\Rightarrow$ обозначает прыжок вверх, а $\dashrightarrow$ обозначает спуск.

F. Робот на доске 2

графы Перебор поиск в глубину и подобное реализация *2300

Робот находится на клетчатой прямоугольной доске размера $n \times m$ ($n$ строк, $m$ столбцов). Строки пронумерованы от $1$ до $n$ сверху вниз, столбцы — от $1$ до $m$ слева направо.

Робот умеет передвигаться из текущей клетки в одну из четырех соседних с ней по стороне.

На каждой клетке доски написан один из символов 'L', 'R', 'D' или 'U', обозначающий направление движения робота, находящегося в этой клетке — влево, вправо, вниз или вверх, соответственно.

Начать свое движение робот может в любой клетке. После этого он за один ход перемещается в соседнюю по стороне клетку в направлении, указанном на текущей клетке.

Если робот перемещается за границу доски, он падает и ломается.
Если робот оказывается в клетке, в которой он был ранее, то он ломается (он останавливается и больше не двигается).

Робот может выбрать любую клетку в качестве стартовой. Его цель — совершить максимальное количество команд до поломки или остановки.

Определите, с какой клетки роботу стоит начинать свое движение, чтобы выполнить как можно больше команд. Команда считается успешно выполненной, если робот переместился с той клетки, на которой эта команда была написана (не важно, на другую клетку или за границу доски).

Входные данные

В первой строке записано целое число $t$ ($1 \le t \le 10000$) — количество наборов входных данных в тесте.

Перед каждым набором в тесте записана пустая строка. Далее идёт строка, которая содержит целые числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 2000$; $1 \le m \le 2000$) — размеры доски. Затем следуют $n$ строк, $i$-я из которых описывает $i$-ю строку доски. Каждая из них имеет длину ровно $m$ и состоит из символов 'L', 'R', 'D' и 'U'.

Гарантируется, что сумма размеров всех досок во входных данных не превосходит $4\cdot10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите три целых числа $r$, $c$ и $d$ ($1 \le r \le n$; $1 \le c \le m$; $d \ge 0$), которые обозначают, что роботу следует начать движение из клетки $(r, c)$, чтобы сделать максимальное количество ходов $d$. Если ответов несколько, то выведите любой из них.

C. Мастер игры

графы дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное Структуры данных *1700

$n$ игроков играют в игру.

В игре есть две различные игровые карты. Для каждого игрока мы знаем его силу на каждой карте. Когда два игрока сражаются на определенной карте, всегда побеждает игрок с большей силой на этой карте. Нет двух игроков с одинаковой силой на одной и той же карте.

Вы — мастер этой игры, и хотите организовать турнир. Всего будет проведено $n-1$ боев. Пока в турнире участвует более одного игрока, выберите любую карту и любых двух из оставшихся игроков, которые будут сражаться на ней. Игрок, который проиграет, выбывает из турнира.

В итоге останется ровно один игрок, и он объявляется победителем турнира. Для каждого игрока определите, может ли он выиграть турнир.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 10^5$) — количество игроков.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq 10^9$, $a_i \neq a_j$ для $i \neq j$), где $a_i$ — сила $i$-го игрока на первой карте.

Третья строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ ($1 \leq b_i \leq 10^9$, $b_i \neq b_j$ для $i \neq j$), где $b_i$ — сила $i$-го игрока на второй карте.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите строку длины $n$. $i$-й символ должен быть «1», если $i$-й игрок может выиграть турнир, или «0» в противном случае.

Примечание

В первом наборе входных данных $4$-й игрок обыграет любого другого игрока в любой игре, поэтому он обязательно выиграет турнир.

Во втором наборе входных данных каждый может стать победителем.

В третьем наборе входных данных есть только один игрок. Очевидно, что он выиграет турнир.

D. Домино

бпф графы Комбинаторика математика теория чисел *2400

Вам дано $n$ домино. Каждое домино имеет левую и правую клетку. Каждая клетка может быть окрашена в черный или белый цвет. Некоторые клетки уже окрашены, а некоторые еще нет.

Раскраска считается допустимой тогда и только тогда, когда можно переставить доминошки в некотором порядке так, чтобы для каждого $1 \le i \le n$ цвет правой клетки $i$-го домино отличался от цвета левой клетки $((i \bmod n)+1)$-го домино.

Обратите внимание, что домино нельзя вращать, поэтому левая клетка всегда остается левой, а правая — правой.

Подсчитайте количество допустимых способов раскрасить еще не раскрашенные клетки домино. Два способа считаются разными, если есть клетка, которая в одном способе окрашивается в белый цвет, а во втором — в черный. В частности, раскраски BW WB и WB BW различны (и обе недопустимы).

Поскольку это число может быть очень большим, выведите его по модулю $998\,244\,353$.

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — количество доминошек.

Следующие $n$ строк описывают домино. Каждая строка содержит два символа, которые представляют левую и правую клетку. Символ B означает, что соответствующая клетка черная, символ W означает, что соответствующая клетка белая, а ? означает, что клетка еще не окрашена.

Выходные данные

Выведите одно целое число — ответ на задачу.

Примечание

В первом примере есть только одна доминошка, и нам нужно, чтобы цвет ее правой клетки отличался от цвета ее левой клетки. Этого можно добиться только одним способом.

Во втором примере существует только $2$ таких раскраски:

BB WW и WB WB.

D. Социальная сеть

графы Деревья жадные алгоритмы реализация снм *1600

$\text{[math]}$

Василий приехал на посвященную криптовалютам конференцию. Для того, чтобы быть в курсе всех самых важных новостей из мира криптовалют, нужно постоянно заводить новые знакомства или пользоваться знакомствами своих друзей.

В конференции участвует $n$ человек, которые изначально не знакомы между собой. Василий может познакомить двух любых людей $a$ и $b$, которые не были знакомы до этого.

У Василия есть $d$ условий, $i$-е из которых требует, чтобы человек $x_i$ имел связь с человеком $y_i$. Формально два человека $x$ и $y$ имеют связь, если найдется цепочка $p_1=x, p_2, p_3, \dots, p_k=y$ такая, что для всех $i$ от $1$ до $k - 1$ известно, что люди под номерами $p_i$ и $p_{i + 1}$ знакомы.

Василий хочет, чтобы для каждого $i$ ($1 \le i \le d$) вы рассчитали, какое максимальное количество знакомств может иметь один человек при условии, что Василий выполнил все условия от $1$ до $i$ включительно, произведя при этом ровно $i$ знакомств. Проверка условий происходит после того, как Василий провел $i$ знакомств. Ответ для каждого $i$ необходимо найти независимо. То есть, когда вы вычисляете ответ для $i$, вы должны считать, что никто из людей еще не был знаком.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $d$ ($2 \le n \le 10^3, 1 \le d \le n - 1$) — количество людей и количество условий.

Следующие $d$ строк содержат по два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n, x_i \neq y_i$) — номера людей, которые должны иметь связь согласно $i$-му условию.

Выходные данные

Выведите $d$ целых чисел. $i$-е число должно быть равно количеству знакомств у человека с наибольшим возможным количеством знакомств, если Василий провел $i$ знакомств и выполнил первые $i$ условий.

Примечание

Пояснение для первого тестового примера:

В этом пояснении круг и вписанное число обозначают человека с соответствующим номером. Линии, соединяющие людей, обозначают то, что эти люди знакомы между собой. Человек, отмеченный красным цветом, имеет наибольшее количество знакомых. Данные способы познакомить людей не являются единственными правильными.

$\text{[math]}$

F. Маштали: космическая одиссея

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *3000

Ли планировал приблизиться к сердцу Маштали, чтобы осуществить свой коварный план (о котором мы пока не знаем), поэтому он решил украсить граф Маштали. Но он установил для себя несколько правил. А еще он был слишком занят своими планами, что у него не было времени на такие мелкие дела, поэтому он обратился за помощью к вам.

Граф Маштали — это неориентированный взвешенный граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами с весами, равными либо $1$, либо $2$. Ли хочет направить ребра графа Маштали так, чтобы он был как можно красивее.

Ли считает, что красота направленного взвешенного графа равна количеству его вершин Одиссея. Вершина $v$ является вершиной Оддисея, если $|d^+(v) - d^-(v)| = 1$, где $d^+(v)$ — сумма весов исходящих из $v$ ребер, а $d^-(v)$ — сумма весов входящих в $v$ ребер.

Найдите наибольшую возможную красоту графа, которую Ли может получить, направляя ребра графа Маштали. Кроме того, найдите любой способ ее достижения.

Обратите внимание, что вы должны ориентировать каждое из ребер.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ $(1 \le n \le 10^5;\; 1 \le m \le 10^5)$ — количество вершин и ребер в графе.

В $i$-й строке следующих $m$ строк содержится три целых числа $u_i$, $v_i$ и $w_i$ $( 1 \le u_i , v_i \le n;\; u_i \neq v_i;\; \bf{w_i \in \{1, 2\}} )$ — концы $i$-го ребра и его вес.

Обратите внимание, что граф не обязательно должен быть связным, и он может содержать мультиребра.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число — максимальную красоту графа, которую может достичь Ли.

Во второй строке выведите строку длины $m$, состоящую из $1$ и $2$ — направления ребер.

Если вы решили направить $i$-е ребро из вершины $u_i$ в вершину $v_i$, то $i$-й символ строки должен быть $1$. В противном случае он должен быть равен $2$.

Примечание

Объяснение к первому примеру:

$\text{[math]}$ вершины $2$ и $5$ — вершины Одиссея.

Объяснение для третьего примера:

$\text{[math]}$ вершины $1$ и $6$ — вершины Одиссея.

E. Сумасшедший робот

Дана поле, состоящая из $n$ строк и $m$ столбцов. Каждая ячейка матрица либо свободна, либо занята. В одной из свободных клеток находится лаборатория. Все ячейки за границами поля заблокированы.

Сумасшедший робот сбежал из лаборатории. В данный момент он находится в некоторой свободной клетке. Вы можете послать ему одну из следующих команд: «идти вправо», «идти вниз», «идти влево» или «идти вверх». Каждая команда означает переход в соседнюю клетку в соответствующем направлении.

Однако, так как робот сумасшедший, он сделает что угодно, кроме выполнения команды. При получении команды, он выберет такое направление, что оно отличается от данного в команде, и ячейка в выбранном направлении не занята. Если есть такое направление, то он переместится в этом направлении. Иначе, он не сделает ничего.

Мы хотим привести робота обратно в лаборатории, чтобы его починить. Для каждой свободной клетке определите, можно ли заставить робота достичь лаборатории, если он начнет в этой клетке. То есть, после каждого шага работа можно будет послать такую команду, что какие бы направления робот ни выбирал, он окажется в лаборатории.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных записаны два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 10^6$; $n \cdot m \le 10^6$) — количество строк и столбцов поля.

В $i$-й из следующих $n$ строк задается описание $i$-й строки поля. Она состоит из $m$ элементов одного из трех типов:

'.' — ячейка свободна;
'#' — ячейка занята;
'L' — ячейка содержит лабораторию.

Поле содержит ровно одну лабораторию. Сумма $n \cdot m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$.

Выходные данные

На каждый набор входных данных найдите все свободные клетки, из которых можно заставить робота дойти до лаборатории. В заданном поле замените свободные клетки (обозначенные точкой) знаком плюса ('+') в тех клетках, из которых можно заставить робота дойти до лаборатории. Выведите получившееся поле.

Примечание

В первом наборе входных данных нет такой свободной клетки, из которой можно заставить робота дойти до лаборатории. Рассмотрим угловую клетку. Если послать любое направление, то робот перейдет в граничную клетку, которая не является углом. Теперь рассмотрим не угловую граничную клетку. Какое бы направление вы ни послали, робот всегда может выбрать такое другое направление, что он окажется в углу.

В последнем наборе входных данных можно посылать команду, которая противоположна направлению к лаборатории, чтобы у робота не было выбора кроме как двигаться к ней.

C. Менора

графы жадные алгоритмы математика Перебор *1600

У вас есть особая версия меноры: она состоит из $n$ свечей и некоторые из них уже зажжены. Мы можем описать, какие из свечей горят, с помощью бинарной строки $s$, где $i$-я свечка горит тогда и только тогда, когда $s_i=1$.

$\text{[math]}$

Первоначально, горящие свечки описаны строкой $a$. За одну операцию, вы можете выбрать любую горящую в данный момент свечку — выбранная свеча продолжит гореть, а каждая из других свечей изменит свое состояние (если она горела, то потухнет, а если не горела — то загорится).

Вы хотите, чтобы в результате свечи горели так, как описывает строка $b$. Ваша задача определить, возможно ли это и какое наименьшее количество операций нужно будет совершить.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $t$ ($1\le t\le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют $t$ наборов.

В первой строке каждого набора задано одно целое число $n$ ($1\le n\le 10^5$) — количество свечей.

Во второй строке каждого набора задана строка $a$ длины $n$, состоящая из символов 0 и 1 — первоначально состояние свечей.

В третьей строке задана строка $b$ длины $n$, состоящая из символов 0 и 1 — желаемое состояние свечей.

Гарантируется, что сумма $n$ не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите наименьшее количество операций, чтобы превратить $a$ в $b$, или же $-1$, если это невозможно.

Примечание

В первом наборе входных данных, две строки уже равны, а потому нам не нужно применять ни одной операции.

Во втором наборе, мы можем применить одну операцию, выбрав вторую свечку, и превратить $01$ в $11$.

В третьем наборе, невозможно применить ни одной операции, потому что нет ни одной горящей свечи, которую можно выбрать.

В четвертом наборе, мы можем применить следующие операции, чтобы превратить $a$ в $b$:

Выберем $7$-ю свечу: $100010{\color{red}1}11\to 011101{\color{red} 1}00$.
Выберем $2$-ю свечу: $0{\color{red} 1}1101100\to 1{\color{red} 1}0010011$.
Выберем $1$-ю свечу: ${\color{red}1}10010011\to {\color{red}1}01101100$.

В пятом наборе, мы можем применить следующие операции, чтобы превратить $a$ в $b$:

Выберем $6$-ю свечу: $00101{\color{red}1}011\to 11010{\color{red}1}100$
Выберем $2$-ю свечу: $1{\color{red}1}0101100\to 0{\color{red}1}1010011$
Выберем $8$-ю свечу: $0110100{\color{red}1}1\to 1001011{\color{red}1}0$
Выберем $7$-ю свечу: $100101{\color{red}1}10\to 011010{\color{red}1}01$

D. (XO)R-ождественское дерево

битмаски графы Деревья поиск в глубину и подобное снм *2200

Это была ночь перед рождеством, и пришло время Санте украсить свое Рождественское дерево. Это дерево состоит из $n$ вершин, соединенных $n-1$ ребром. На каждом ребре дерева расположена гирлянда, которую можно описать некоторым числом в двоичном представлении.

$\text{[math]}$

Посмотреть на это дерево собралось $m$ эльфов. Каждый эльф выбрал две вершины $a$ и $b$, и он смотрит только на гирлянды на простом пути между этими вершинами. В результате созерцания у эльфа появляется любимое число, равное побитовому исключающему ИЛИ значений на ребрах этого пути.

Однако, Северный Полюс только начал восстанавливаться после недавней эпидемии ОРВИ. Из-за этого Санта успел забыть, как выглядели некоторые гирлянды, и проверить их он не может, потому что уже покинул Северный Полюс! К счастью, на помощь пришли эльфы: каждый из них сообщил Санте свою пару вершин $(a_i, b_i)$, и четность количества единичных битов в своем любимом числе. Другими словами, каждый эльф помнит, было ли количество $1$-ц в его любимом числе, записанном в двоичном виде, четным или нечетным.

Помогите Санте проверить, могло ли существовать такое дерево, и если да, как оно могло выглядеть, и возможно вы войдете в историю!

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 2 \cdot 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют $t$ наборов входных данных.

В первой строке каждого набора заданы два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$; $1 \leq m \leq 2 \cdot 10^5$) — размер дерева и количество эльфов, соответственно.

В следующих $n-1$ строках каждого набора заданы по три целых числа $x$, $y$ и $v$ ($1 \leq x, y \leq n$; $-1 \leq v < 2^{30}$), описывающих ребро между вершинами $x$ и $y$. Если

$v = -1$, то Санта не помнит как выглядит гирлянда на этом ребре.
$v \geq 0$, то состояние гирлянды равно $v$.

В следующих $m$ строках каждого набора заданы по три целых числа $a$, $b$ и $p$ ($1 \leq a, b \leq n$; $a \neq b$; $0 \leq p \leq 1$) — пара вершин выбранная эльфом и четность количества единичных битов в любимом числе эльфа.

Гарантируется, что сумма $n$ и сумма $m$ по всем наборам не превосходят $2 \cdot 10^5$ (каждая).

Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, сначала выведите YES или NO (в любом регистре), в зависимости от того, существует ли дерево, соответствующее памяти Санты, или нет.

Если ответ YES, выведите $n-1$ строк по три целых числа в каждом: $x$, $y$ и $v$ ($1 \le x, y \le n$; $0 \le v < 2^{30}$) — ребро дерева и число, описывающее состояние гирлянды на нем. Множество ребер должно совпадать с множеством из входных данных, и если состояние гирлянды на ребре известно, то оно не должно измениться. Вы можете выводить ребра в любом порядке.

Если существует несколько решений, выведите любое.

Примечание

Первый набор входных данных соответствует изображению из условия.

Один из возможных ответов — это присвоить ребру $(1, 2)$ значение $5$, а ребру $(2, 5)$ — значение $3$. Этот способ подходит потому что:

Первый эльф рассматривает путь между вершинами $2$ и $3$. Его любимое число будет равно $4$, а потому он помнит значение $1$ (так как в двоичном представлении $4$ нечетное количество битов $1$).
Второй эльф рассматривает путь между вершинами $2$ и $5$. Его любимое число будет равно $3$, а потому он помнит значение $0$ (так как в двоичном представлении $3$ четное количество битов $1$).
Третий эльф рассматривает путь между вершинами $5$ и $6$. Его любимое число будет равно $7$, а потому он помнит значение $1$ (так как в двоичном представлении $7$ нечетное количество битов $1$).
Четвертый эльф рассматривает путь между вершинами $6$ и $1$. Его любимое число будет равно $1$, а потому он помнит значение $1$ (так как в двоичном представлении $1$ нечетное количество битов $1$).
Пятый эльф рассматривает путь между вершинами $4$ и $5$. Его любимое число будет равно $4$, а потому он помнит значение $1$ (так как в двоичном представлении $4$ нечетное количество битов $1$).

Заметим, что существуют и другие возможные ответы.

E. Фиолетовый мелок

графы Деревья жадные алгоритмы игры математика поиск в глубину и подобное сортировки Структуры данных *2400

Два игрока, Красный и Синий, снова в деле, и этот раз они играют с цветными мелками! Сегодня озорной паре под руку попалось корневое дерево, с которым они играют в свою любимую игру, раскрашивая вершины этого дерева.

Игра выглядит следующим образом: есть дерево из $n$ вершин с корнем в вершине $1$, и каждая вершина первоначально белого цвета. У Красного и Синего есть ровно по одному ходу. Первым ходит Красный.

В свой ход, Красный может выполнить следующее действие произвольное количество раз:

Он выбирает любое поддерево корневого дерева и красит каждую из вершин поддерева в красный.

Однако, для большей честности, Красный может покрасить только $k$ вершин дерева. Другими словами, после окончания хода Красного, не более $k$ вершин может быть покрашено в красный.

Далее подходит очередь Синего. Он может выполнять следующее действие произвольное количество раз:

Он выбирает любое поддерево корневого дерева и красит каждую вершину поддерева в синий. Однако, ему нельзя выбирать поддеревья, в которых содержатся вершины, уже покрашенные в красный. Ведь в таком случае вершина получится фиолетового цвета, а никто не любит фиолетовый мелок* (англ. purple crayon).

Заметим, что нет ограничения на то, сколько вершин покрасит Синий, главное, что он не красит уже покрашенные Красным вершины.

После того как каждый сделает свой ход, счет игры определяется следующим образом: пусть $w$ — количество оставшихся белых вершин, $r$ — количество красных вершин, а $b$ — количество синих вершин. Счет игры будет равен $w \cdot (r - b)$.

Красный хочет максимизировать счет, а Синий — минимизировать. Чему будет равен счет игры, если оба игрока действуют оптимально?

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $k$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le k \le n$) — количество вершин в дереве и максимальное количество красных вершин.

В следующих $n - 1$ строках заданы описания ребер дерева. В $i$-й строке заданы два целых числа $u_i$ и $v_i$ через пробел ($1 \le u_i, v_i \le n$; $u_i \neq v_i$) — $i$-е ребро дерева.

Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Выходные данные

Выведите одно число — итоговый счет игры, если и Красный и Синий действуют оптимально.

Примечание

В первом наборе входных данных, одна из оптимальных стратегий следующая:

Красный выбирает для покраски поддеревья вершин $2$ и $3$.
Синий выбирает для покраски поддерево вершины $4$.

В результате вершины $2$ и $3$ покрашены в красный, $4$ — в синий, а вершина $1$ — в белый. Счет игры равен $1 \cdot (2 - 1) = 1$.

Во втором наборе, оптимальная стратегия следующая:

Красный выбирает для покраски поддерево вершины $4$. Тем самым красит вершины $4$ и $5$.
Синий не может ничего выбрать, а потому ничего не красит.

В результате вершины $4$ и $5$ покрашены в красный, а вершины $1$, $2$ и $3$ — белые. Счет игры равен $3 \cdot (2 - 0) = 6$.

В третьем наборе:

$\text{[math]}$

Счет игры равен $4 \cdot (2 - 1) = 4$.

H. Оленьи игры

Бинарный поиск графы Конструктив кратчайшие пути Потоки разделяй и властвуй Структуры данных *3000

На северном полюсе проживают $n$ оленей, и все они соревнуются за первые позиции в таблице лидеров на главной странице CodeNorses (популярный сайт по спортивным оленьим играм). Довольно примечательно, что лидерство в таблице зависит от вклада и напрямую не связано с уровнем навыков в самих оленьих играх, однако для оленей таблица все равно крайне важна.

На текущий момент, у $i$-го оленя вклад равен $a_i$. Вы хотите повлиять на таблицу лидеров с помощью нескольких операций. За одну операцию вы можете выбрать оленя и либо увеличить, либо уменьшить его вклад на $1$. Отрицательные вклады разрешены.

При этом у вас есть $m$ ограничений на получившиеся вклады. Каждое ограничение задается упорядоченной парой $(u, v)$, означающей, что в финальный вклад оленя $u$ должен быть меньше или равен финального вклада оленя $v$.

Ваша задача — сделать наименьшее количество операций так, чтобы все ограничения были выполнены.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $m$ ($2\le n\le 1000$; $1\le m\le 1000$) — количество оленей и ограничений, соответственно.

Во второй строке заданы $n$ целых чисел $a_1,\ldots, a_n$ ($1\le a_i\le 10^9$), где $a_i$ равно первоначальному вкладу $i$-го оленя.

В следующих $m$ строках заданы сами ограничения.

В $i$-й строке заданы два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1\le u_i, v_i\le n$; $u_i\ne v_i$) — номера оленей в $i$-м ограничении.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел $b_1,\ldots, b_n$ ($-10^{15}\le b_i\le 10^{15}$), где $b_i$ будет равно финальному вкладу $i$-го оленя после применения всех операций.

Если существует несколько решений с наименьшим количеством операций, выведите любое из них.

Можно доказать, что всегда существует оптимальное решение с $|b_i|\le 10^{15}$ для всех $i$.

F. Трехцветные треугольники

графы математика матрицы Перебор *2900

Вам дан простой неориентированный граф из $n$ вершин и $m$ ребер. Ребро $i$ имеет цвет $c_i$, который равен $1$, $2$ или $3$, или еще не покрашено (в таком случае $c_i = -1$).

Вам нужно покрасить все еще не покрашенные ребра так, чтобы для любых трех попарно соседних вершин $1 \leq a < b < c \leq n$ цвета ребер $a \leftrightarrow b$, $b \leftrightarrow c$ и $a \leftrightarrow c$ были либо попарно различны, либо все одинаковые. В случае, если не существует подходящей раскраски, вы должны определить это.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10$): количество наборов входных данных.

Следующие строки содержат описания наборов входных данных.

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($3 \leq n \leq 64$, $0 \leq m \leq \min(256, \frac{n(n-1)}{2})$): количество вершин и ребер в графе.

Каждая из следующих $m$ строк содержит три целых числа $a_i$, $b_i$ и $c_i$ ($1 \leq a_i, b_i \leq n$, $a_i \ne b_i$, $c_i$ равно $-1$, $1$, $2$ или $3$), означающих, что между вершинами $a_i$ и $b_i$ существует ребро цвета $c_i$. Гарантируется, что любая пара вершин соединена не более чем одним ребром.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $m$ целых чисел $d_1, d_2, \ldots, d_m$, где $d_i$ — цвет $i$-го ребра в вашей раскраске. Если не существует подходящей раскраски, выведите $-1$.

G. Просто добавь ребро

графы дп поиск в глубину и подобное *3500

Вам дан ориентированный ациклический граф из $n$ вершин и $m$ ребер. Для всех ребер графа $a \to b$ выполняется $a < b$.

Вам нужно найти количество пар вершин $x$, $y$ таких, что $x > y$, и после добавления в граф ребра $x \to y$ в нем будет существовать гамильтонов путь.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 5$): количество наборов входных данных.

Следующие строки содержат описания наборов входных данных.

В первой строке находятся два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \leq 150\,000$, $0 \leq m \leq \min(150\,000, \frac{n(n-1)}{2})$): количество вершин и ребер в графе.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $a$ и $b$ ($1 \leq a < b \leq n$), описывающих ребро графа $a \to b$. Никакое ребро $a \to b$ не встречается более одного раза.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число: количество пар вершин $x$, $y$, $x > y$, таких, что после добавления в граф ребра $x \to y$ в графе найдется гамильтонов путь.

Примечание

В первом примере любое ребро $x \to y$ такое, что $x > y$, подойдет, т. к. уже существует путь $1 \to 2 \to 3$.

Во втором примере подходит только ребро $4 \to 1$. Если его добавить, появится путь $3 \to 4 \to 1 \to 2$.

В третьем примере можно добавить ребра $2 \to 1$, $3 \to 1$, $4 \to 1$, $4 \to 2$.

E. Новогодние конфеты

графы Деревья дп игры кратчайшие пути математика поиск в глубину и подобное реализация теория чисел *2700

Лунный Новый год приближается, и Льдинка только что получила коробку конфет от бабушки с дедушкой! Коробка содержит $n$ конфет. $i$-я конфета имеет вкус $a_i$.

Льдинка верит, что хорошие вещи случаются парами. К сожалению, вкусы всех конфет попарно различны (все $a_i$ различны). Льдинка хочет сделать равные вкусы хотя бы у одной пары конфет.

Поэтому она попросила бабушку с дедушкой выполнить несколько замен. Перед выполнением замен Льдинка выбирает две конфеты с номерами $x$ и $y$ ($1 \le x, y \le n$, $x \ne y$).

За одну замену дедушка и бабушка Льдинки выбирают неотрицательное целое число $k$ такое, что $2^k \ge a_x$, и заменяют вкус $x$-й конфеты с $a_x$ на $2^k - a_x$ (то есть, присваивают $a_x := 2^k - a_x$).

Замены прекратятся только при условии, что $a_x = a_y$. Заметьте, что другие пары равных по вкусу конфет не остановят процесс.

У Льдинки умные бабушка и дедушка, поэтому они выберут такую последовательность замен, которая минимизирует количество требуемых замен. Поскольку Льдинка любит доставлять неприятности, она хочет максимизировать минимальное требуемое количество замен, выбрав соответствующие $x$ и $y$. Она задаётся вопросом, как выбрать такую пару $(x, y)$, что минимальное требуемое количество замен максимально среди всех возможных пар $(x, y)$.

Так как у Льдинки не очень хорошо с математикой, она надеется, что вы поможете ей решить эту задачу.

Входные данные

Первая строка ввода содержит единственное целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество конфет.

Вторая строка ввода содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($0 \le a_i \le 10^9$).

Гарантируется, что все $a_i$ различны.

Выходные данные

Выведите три целых числа $x$, $y$ и $m$.

$x$ и $y$ являются номерами оптимальных конфет для применения замен. Ваш ответ должен удовлетворять $1 \le x, y \le n$, $x \ne y$.

$m$ является минимальным количеством замен, чтобы сделать $a_x = a_y$. Можно показать, что $m \le 10^9$ для любой пары конфет.

Примечание

В первом тесте минимальное количество замен, требуемое, чтобы заменить конфету со вкусом $6$ на конфету со вкусом $9$, является $5$. Последовательность замен следующая: $6 \rightarrow 2 \rightarrow 0 \rightarrow 1 \rightarrow 7 \rightarrow 9$.

Во втором тесте минимальное количество замен, требуемое, чтобы заменить конфету со вкусом $4$ на конфету со вкусом $8$, является $2$. Последовательность замен следующая: $4 \rightarrow 0 \rightarrow 8$.

H. Поезда и самолёты

графы Деревья кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *3500

Транспортная сеть одного крупного города состоит из $n$ станций, соединённых $n-1$ перегонами, и представляет собой дерево. Станция с номером $1$ является центром города. Для каждого перегона известно время в минутах, за которое его преодолевают поезда. Временем остановки поездов на станциях можно пренебречь. Обозначим за $dist(v)$ время, за которое можно доехать от станции $v$ до станции $1$.

Эта транспортная сеть разделена на зоны, для обозначения которых используются первые $k$ заглавных латинских букв. Зона станции $i$ обозначается как $z_i$. Центр города находится в зоне A. Для всех остальных станций выполнено, что ближайшая в направлении центра города станция находится в зоне с таким же, или лексикографически меньшим, обозначением. Любой перегон полностью принадлежит зоне его конца, более удалённого от центра города.

Турист летит в этот город на самолёте и по прибытии в аэропорт сразу направится в центр города. Опишем подробнее, как происходит поездка от станции $v$ до станции $1$:

В момент времени $0$ турист садится на поезд, который едет от станции $v$ до станции $1$ по кратчайшему пути. Поездка займёт $dist(v)$ минут.
В любой момент турист может купить билеты для любого подмножества зон. Билет для зоны $i$ стоит $pass_i$ евро.
Каждые $T$ минут с момента посадки на поезд (то есть в моменты $T, 2T, \ldots$) его будет сканировать система контроля безбилетного проезда. Если туриста сканировали в зоне $i$ без билета для зоны $i$, он будет обязан заплатить штраф $fine_i$ евро. Зона в которой находится турист формально определяется следующим образом:
- Если турист находится на станции $1$, то он уже доехал до центра города и не должен платить штраф.
- Если турист находится на станции $u \neq 1$, то он находится в зоне $z_u$.
- Если турист едет по перегону от станции $x$ к станции $y$, то он находится в зоне $z_x$.
Обратите внимание, что турист может заплатить штраф в одной зоне несколько раз.

Турист всегда выберет такой способ оплаты проезда, который минимизирует количество потраченных евро. Для станции $v$ обозначим это число за $f(v)$.

К сожалению, турист не знает, чему равны текущие $pass_i$ и $fine_i$ для разных зон, а также не помнит, около какой станции находится аэропорт прибытия. Он будут делать разные предположения, а Вам предстоит обработать запросы $3$ видов:

$1$ $i$ $c$ — запрос изменения стоимости билета в зоне $i$. Теперь $pass_i$ равно $c$.
$2$ $i$ $c$ — запрос изменения штрафа в зоне $i$. Теперь $fine_i$ равно $c$.
$3$ $u$ — решите следующую задачу для текущих значений $pass$ и $fine$:
- Дана станция $u$. Рассмотрим множество станций $v$, удовлетворяющих двум следующим условиям:
  - $z_v = z_u$.
  - Станция $u$ находится на пути от станции $v$ до станции $1$.
  Найдите значение $\min(f(v))$ по всем станциям $v$ из этого множества, в предположении, что у туриста есть билет в зоне $z_u$.

Входные данные

В первой строке дано число $n$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — количество станций в транспортной сети.

Следующие $n - 1$ строка содержат по три числа $v_i$, $u_i$, $t_i$ ($1 \leq v_i, u_i \leq n, 1 \leq t_i \leq 10^9$) — концы $i$ перегона и время, за которое его преодолевают поезда. Гарантируется, что данные перегоны образуют дерево.

Следующая строка содержит число $k$ ($1 \leq k \leq 26$) — количество зон транспортной сети.

Следующая строка содержит $n$ символов $z_1z_2 \ldots z_n$ — где $z_i$ это обозначение зоны, в которой находится $i$ станция. Гарантируется, что условия из второго абзаца выполняются.

Следующая строка содержит $k$ чисел $pass_1$, $pass_2$, $\ldots$, $pass_k$ ($1 \leq pass_i \leq 10^9$) — изначальные стоимости билетов.

Следующая строка содержит $k$ чисел $fine_1$, $fine_2$, $\ldots$, $fine_k$ ($1 \leq fine_i \leq 10^9$) — изначальные размеры штрафов.

Следующая строка содержит число $T$ ($1 \leq T \leq 10^9$) — частоту сканирования туриста системой контроля безбилетного проезда.

Следующая строка содержит число $q$ ($1 \leq q \leq 2 \cdot 10^5$) — количество запросов.

Следующие $q$ строк содержат запросы в описанном в условии формате. Гарантируется, что в запросах первого и второго вида $i$ является корректным обозначением зоны (одной из первых $k$ заглавных латинских букв) и $1 \leq c \leq 10^9$, а в запросах третьего вида $1 \leq u \leq n$.

Выходные данные

Для каждого запроса третьего вида выведите ответ на него в отдельной строке.

Примечание

Обратите внимание, что штраф может быть дешевле билета.

$\text{[math]}$ Транспортная сеть из примера. Зелёным обозначены станции и перегоны, находящиеся в зоне A, синим — в зоне B, красным — в зоне D. Около каждого перегона указано время, за которое его преодолевают поезда.

В первом запросе аэропорт может быть расположен около станции $2$ или около станции $4$. Во время поездки, турист всегда будет в зоне A. У него уже есть билет для этой зоны, поэтому ответ $0$.

После второго запроса стоимость билета в зоне A стала равна $10$.

В третьем запросе аэропорт может быть расположен только около станции $3$. Оптимальным решением будет купить билет для зоны A. В течении первых $3$ секунд поездки турист будет в зоне B. Потом он попадёт в зону A и будет сканирован там на $4$-й и $8$-й секундах поездки. Так как у него есть билет для этой зоны, он не будет платить штраф.

После четвёртого запроса штраф в зоне A стал равен $3$.

В пятом запросе аэропорт может быть расположен только около станции $7$ и $f(7) = 6$.

В шестом запросе аэропорт может быть расположен около станции $6$ или около станции $8$. Так как $f(6)=9$ и $f(8)=6$ ответ равен $6$.

G. Дерево минимального ора

битмаски графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм *1900

В последнее время Влад увлёкся остовными деревьями, так что его друзья не долго думая подарили ему на день рождения связный взвешенный неориентированный граф из $n$ вершин и $m$ рёбер.

Влад определил орность остовного дерева как побитовое ИЛИ всех его весов и теперь его интересует, какова минимальная возможная орность, которой можно добиться, выбрав некоторое остовное дерево. Остовное дерево — связный подграф данного графа, не содержащий циклов.

Иными словами вы хотите оставить $n-1$ ребро, так чтобы граф остался связным и побитовое ИЛИ весов рёбер было как можно меньше. Вы должны найти само побитовое ИЛИ.

Входные данные

В первой строке входных данных записано целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Перед каждым набором в тесте записана пустая строка.

Далее следуют два числа $n$ и $m$ ($3 \le n \le 2 \cdot 10^5, n - 1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин и рёбер графа, соответственно.

Следующие $m$ строк содержат описание рёбер. Строка $i$ содержит три числа $v_i$, $u_i$ и $w_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$, $1 \le w_i \le 10^9$, $v_i \neq u_i$) — вершины, которые соединяет ребро, и его вес.

Гарантируется, что сумма $m$ и сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$ и каждый тест содержит связный граф.

Выходные данные

Выведите $t$ строк, каждая из которых содержит ответ на соответствующий набор входных данных — минимальную возможную орность остовного дерева.

Примечание

$\text{[math]}$ Изначальный граф из первого примера. $\text{[math]}$ Орность такого дерева равна 2 or 2 = 2 и является оптимальной. $\text{[math]}$ Оставив ребро веса $1$ мы получим орность 1 or 2 = 3.

E1. Обновление котов (простая версия)

графы Деревья дп Перебор поиск в глубину и подобное разделяй и властвуй Структуры данных *2500

Это простая версия задачи. Единственным различием между простой и сложной версиями задачи является наличие запросов удаления: они присутствуют лишь в сложной версии.

Компания «Interplanetary Software, Inc.» вместе с компанией «Robots of Cydonia, Ltd.» разработала и выпустила роботов-котов. Эти электронные питомцы умеют мяукать, ловить мышей и всячески развлекать хозяина.

Недавно разработчики из «Interplanetary Software, Inc.» решили выпустить обновление программного обеспечения для этих роботов. После обновления коты должны уметь решать задачи, связанные со скобочными последовательностями. Одна из таких задач приведена ниже.

$\text{[math]}$

Сначала немного погрузимся в теорию скобочных последовательностей. Будем рассматривать строки, состоящие из символов «(», «)» и «.». Назовем строку правильной скобочной последовательностью (ПСП), если из нее можно получить пустую строку путем операций удаления одиночных символов «.» либо подряд идущих символов «()». Например, строка «(()(.))» является ПСП, т. к. с ней можно проделать следующую цепочку удалений:

«(()(.))» $\rightarrow$ «(()())» $\rightarrow$ «(())» $\rightarrow$ «()» $\rightarrow$ «».

Мы получили пустую строку, а это значит, что исходная строка является ПСП. В то же время, строка «)(» не является ПСП, поскольку к ней нельзя применить описанные выше операции удаления.

Будем называть ПСП простой, если эта ПСП непуста, не начинается на «.» и не заканчивается на «.».

Также будем считать, что подстрока строки $s$ — это ее последовательный подотрезок. В частности, $s[l\dots r] = s_ls_{l+1}\dots s_r$, где $s_i$ — $i$-й символ строки $s$.

Теперь перейдем к формулировке задачи. Вам дана строка $s$, изначально состоящая из символов «(» и «)». Необходимо отвечать на запросы следующего вида.

Даны индексы $l$ и $r$ ($1 \le l < r \le n$), причем гарантируется, что подстрока $s[l\dots r]$ — простая ПСП. Требуется найти количество подстрок в $s[l\dots r]$, которые являются простыми ПСП. Иными словами, необходимо найти количество пар индексов $i$, $j$ таких, что $l \le i < j \le r$ и $s[i\dots j]$ является простой ПСП.

Вы работаете в «Interplanetary Software, Inc.» и Вам поручили непростое задание: научить котов после обновления решать описанную выше задачу.

Обратите внимание, что в данной версии задачи в строке не может появиться символ «.». Он нужен лишь для сложной версии задачи.

Входные данные

В первой строке входных данных находится два целых числа $n$ и $q$ ($2 \le n \le 3\cdot10^5$, $1 \le q \le 3\cdot10^5$) — длина строки и количество запросов.

Во второй строке находится строка $s$, состоящая из $n$ символов «(» и «)».

В каждой из следующих $q$ строк находится по три целых числа $t$, $l$ и $r$ ($t = 2$, $1 \le l < r \le n$) — запросы, которые требуется обработать. Гарантируется, что все запросы корректны и удовлетворяют условию задачи. Обратите внимание, что в данной задаче число $t$ не используется и всегда равно двум. Оно необходимо для сложной версии задачи.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите по одному целому числу в отдельной строке — количество подстрок, которые являются простыми ПСП. Ответы требуется выводить в том же, порядке, в котором приведены сами запросы.

Примечание

Рассмотрим пример из условия.

Ответ на первый запрос равен $3$, поскольку существует всего три требуемых подстроки: $s[3\dots6]$, $s[3\dots4]$ и $s[5\dots6]$.

Ответ на второй запрос равен $4$. Подходящие подстроки — $s[3\dots6]$, $s[3\dots4]$, $s[5\dots6]$ и $s[2\dots7]$.

Ответ на третий запрос равен $1$. Подходящая подстрока — $s[8\dots9]$.

Ответ на четвертый запрос равен $6$. Подходящие подстроки — $s[3\dots6]$, $s[3\dots4]$, $s[5\dots6]$, $s[2\dots7]$, $s[8\dots9]$ и $s[2\dots9]$.

E2. Обновление котов (сложная версия)

Бинарный поиск графы Деревья поиск в глубину и подобное Структуры данных *2800

Это сложная версия задачи. Единственным различием между простой и сложной версиями задачи является наличие запросов удаления: они присутствуют лишь в сложной версии.

$\text{[math]}$

«(()(.))» $\rightarrow$ «(()())» $\rightarrow$ «(())» $\rightarrow$ «()» $\rightarrow$ «».

Будем называть ПСП простой, если эта ПСП непуста, не начинается на «.» и не заканчивается на «.».

Теперь перейдем к формулировке задачи. Вам дана строка $s$, изначально состоящая из символов «(» и «)». Необходимо отвечать на следующие запросы:

Даны индексы $l$ и $r$ ($1 \le l < r \le n$). Гарантируется, что $l$-й символ строки равен «(», $r$-й символ строки равен «)», а символы между ними равны «.». Тогда требуется сделать $l$-й и $r$-й символ равными «.».
Даны индексы $l$ и $r$ ($1 \le l < r \le n$), причем гарантируется, что подстрока $s[l\dots r]$ — простая ПСП. Требуется найти количество подстрок в $s[l\dots r]$, которые являются простыми ПСП. Иными словами, необходимо найти количество пар индексов $i$, $j$ таких, что $l \le i < j \le r$ и $s[i\dots j]$ является простой ПСП.

Входные данные

Во второй строке находится строка $s$, состоящая из $n$ символов «(» и «)».

В каждой из следующих $q$ строк находится по три числа $t$, $l$ и $r$ ($t \in \{1, 2\}$, $1 \le l < r \le n$) — запросы, которые требуется обработать. Гарантируется, что все запросы корректны и удовлетворяют условию задачи.

Выходные данные

Для каждого запроса второго типа выведите по одному целому числу в отдельной строке — количество подстрок, которые являются простыми ПСП. Ответы требуется выводить в том же, порядке, в котором приведены сами запросы.

Примечание

Рассмотрим пример из условия.

Ответ на второй запрос равен $4$. Подходящие подстроки — $s[3\dots6]$, $s[3\dots4]$, $s[5\dots6]$ и $s[2\dots7]$.

После третьего запроса строка станет равной «)(..())()».

Ответ на четвертый запрос равен $2$. Подходящие подстроки — $s[5\dots6]$ и $s[2\dots7]$. Обратите внимание, что $s[3\dots6]$ больше не является простой ПСП, т. к. начинается с «.».

Ответ на пятый запрос равен $4$. Подходящие подстроки — $s[5\dots6]$, $s[2\dots7]$, $s[8\dots9]$ и $s[2\dots9]$.

После шестого запроса строка станет равной «)(....)()».

После седьмого запроса строка станет равной «)......()».

Ответ на восьмой запрос равен $1$. Подходящая подстрока — $s[8\dots9]$.

F. Не разрезать

геометрия графы жадные алгоритмы кратчайшие пути реализация *2700

У вас есть квадрат $k \times k$, причем $k$ четно. Клетка в строке $r$ и столбце $c$ обозначается $(r,c)$. Две клетки $(r_1, c_1)$ и $(r_2, c_2)$ называются соседними, если $\lvert r_1 - r_2 \rvert + \lvert c_1 - c_2 \rvert = 1$.

Массив пар соседних клеток называется прочным, если существует способ разрезать квадрат на две связных конгруэнтных части таким образом, что в каждой данной паре клеток обе клетки принадлежат одной части. Две части конгруэнтны, если одну можно наложить на другую с помощью переноса, вращения и/или зеркального отражения, а также их комбинаций.

$\text{[math]}$ Рисунок выше демонстрирует первый пример. Стрелки показывают пары клеток, а жирная линия показывает разрез на две части.

Вам дан массив $a$ из $n$ пар соседних клеток. Найдите размер наибольшей прочной подпоследовательности $a$. Массив $p$ является подпоследовательностью $q$, если $p$ может быть получен из $q$ удалением нескольких (возможно, ни одного или всех) элементов.

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 100$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $k$ ($1 \leq n \leq 10^5$; $2 \leq k \leq 500$, $k$ четно) — размер $a$ и размер квадрата, соответственно.

Далее следуют $n$ строк. $i$-я из этих строк содержит четыре целых числа $r_{i,1}$, $c_{i,1}$, $r_{i,2}$ и $c_{i,2}$ ($1 \leq r_{i,1}, c_{i,1}, r_{i,2}, c_{i,2} \leq k$) — $i$-й элемент $a$, где $(r_{i,1}, c_{i,1})$ — строка и столбец первой клетки, а $(r_{i,2}, c_{i,2})$ — строка и столбец второй. Эти квадраты соседние.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$, и что сумма значений $k$ по всем наборам входных данных не превосходит $500$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — размер наибольшей прочной подподпоследовательности $a$.

Примечание

В первом примере $a$ не является прочным, но подпоследовательность $[a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_8]$ является, т. к. квадрат может быть разрезан способом, показанным в условии.

Во втором примере подпоследовательность из четырех последних элементов $a$ является прочным, т. к. квадрат можно разрезать с помощью горизонтальной прямой через центр.

F. Сделай его двудольным!

графы Паросочетания Потоки теория чисел *3400

Дан неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин, пронумерованных от $1$ до $n$. Вершина $i$ имеет значение $a_i$, все $a_i$ попарно различны. Между вершинами $u$ и $v$ есть ребро, если либо $a_u$ делит $a_v$, либо $a_v$ делит $a_u$.

Найдите минимальное количество вершин, которое нужно удалить, чтобы граф стал двудольным. При удалении вершины удаляются все инцидентные ей ребра.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка каждого теста содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует их описание.

Первая строка каждого набора содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 5\cdot10^4$) — количество вершин в графе.

Вторая строка каждого набора содержит $n$ целых чисел, $i$-е число равно значению $a_i$ ($1 \le a_i \le 5\cdot10^4$) $i$-й вершины. Все $a_i$ различны.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $5\cdot10^4$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно число — минимальное количество вершин, которое нужно удалить, чтобы граф стал двудольным.

Примечание

В первом примере удалив вершины со значениями $1$ и $2$ мы получим двудольный граф. Таким образом ответ $2$. Невозможно удалить меньше $2$ вершин и получить двудольный граф.

Before	After
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

test case #1

Во втором примере мы не должны удалять ни одну вершину, так как граф уже двудольный. Таким образом ответ $0$.

Before	After
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

test case #2

В третьем примере достаточно удалить вершину со значением $12$, таким образом ответ $1$.

Before	After
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

test case #3

В четвертом примере мы удаляем вершины со значениями $2$ и $195$, значит ответ $2$.

Before	After
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

test case #4

E1. Дистанционное дерево (простая версия)

Бинарный поиск графы Деревья кратчайшие пути поиск в глубину и подобное Структуры данных *2400

Эта версия задачи отличается от следующей только ограничением на $n$.

Дерево — это связный неориентированный граф без циклов. Взвешенное дерево — это такое дерево, в котором у каждого ребра есть некоторый вес. Расстояние между вершинами — минимальная сумма весов на пути между ними.

Дано взвешенное дерево c $n$ вершинами, у каждого ребра вес $1$. Введём $d(v)$ как расстояние между вершиной $1$ и вершиной $v$.

Пусть $f(x)$ равно минимально возможному значению $\max\limits_{1 \leq v \leq n} \ {d(v)}$, если можно временно добавить одно ребро веса $x$ между любыми двумя вершинами $a$ и $b$ $(1 \le a, b \le n)$. Обратите внимание, что после этой операции граф уже не является деревом.

Для каждого целого числа $x$ от $1$ до $n$ найдите $f(x)$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 3000$).

Каждая из следующих $n−1$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u,v \le n$), указывающих на наличие ребра между вершинами $u$ и $v$. Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $3000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите в одной строке $n$ целых чисел, $x$-е из которых равно $f(x)$ для всех $x$ от $1$ до $n$.

Примечание

$\text{[math]}$ В первом наборе входных данных:

Для $x = 1$ мы можем добавить ребро между вершинами $1$ и $3$, после чего $d(1) = 0$ и $d(2) = d(3) = d(4) = 1$, поэтому $f(1) = 1$.
Для $x \ge 2$, вне зависимости от того, какое ребро мы добавим, $d(1) = 0$, $d(2) = d(4) = 1$ и $d(3) = 2$, поэтому $f(x) = 2$.

E. Запросы об остовном дереве

Бинарный поиск графы Деревья жадные алгоритмы математика поиск в глубину и подобное снм сортировки Структуры данных *2400

Задан связный взвешенный неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер.

К нему задаются $k$ запросов. Каждый запрос состоит из одного целого числа $x$. На каждый запрос вы должны выбрать остовное дерево в графе. Пусть веса его ребер будут $w_1, w_2, \dots, w_{n-1}$. Стоимость остовного дерева равна $\sum \limits_{i=1}^{n-1} |w_i - x|$ (сумма абсолютных разностей между весами и $x$). Ответ на запрос — это минимальная стоимость остовного дерева.

Запросы даны в сжатом формате. Первые $p$ $(1 \le p \le k)$ запросов $q_1, q_2, \dots, q_p$ даны явно. Для запросов с $p+1$ по $k$ выполняется $q_j = (q_{j-1} \cdot a + b) \mod c$.

Выведите исключающее или ответов на все запросы.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 50$; $n - 1 \le m \le 300$) — количество вершин и количество ребер в графе.

В каждой из следующих $m$ строк содержится описание неориентированного ребра: три целых числа $v$, $u$ и $w$ ($1 \le v, u \le n$; $v \neq u$; $0 \le w \le 10^8$) — вершины, которые соединяет ребро, и его вес. Обратите внимание, что между парой вершин может быть несколько ребер. Ребра образуют связный граф.

В следующей строке записаны пять целых чисел $p, k, a, b$ и $c$ ($1 \le p \le 10^5$; $p \le k \le 10^7$; $0 \le a, b \le 10^8$; $1 \le c \le 10^8$) — количество запросов, заданных явно, общее количество запросов и параметры для генерации запросов.

В следующей строке записаны $p$ целых чисел $q_1, q_2, \dots, q_p$ ($0 \le q_j < c$) — первые $p$ запросов.

Выходные данные

Выведите одно целое число — исключающее или ответов на все запросы.

Примечание

Запросы в первом примере: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0$. Ответы: $11, 9, 7, 3, 1, 5, 8, 7, 5, 7, 11$.

$\text{[math]}$

Запросы во втором примере: $3, 0, 2, 1, 6, 0, 3, 5, 4, 1$. Ответы: $14, 19, 15, 16, 11, 19, 14, 12, 13, 16$.

$\text{[math]}$

Запросы в третьем примере: $75, 0, 0, \dots$. Ответы: $50, 150, 150, \dots$.

$\text{[math]}$

E. Честный делёж

графы Конструктив Паросочетания поиск в глубину и подобное Структуры данных *2400

Even a cat has things it can do that AI cannot.

— Fei-Fei Li

Вам дано $m$ массивов целых положительных чисел, длина каждого массива чётна.

От вас требуется составить два равных мультимножества $L$ и $R$ так, чтобы каждый элемент каждого массива попал ровно в одно мультимножество. Кроме того, для каждого из $m$ массивов ровно половина его элементов должна попасть в $L$, а остальные — в $R$.

Приведите пример такого разбиения или определите, что такого разбиения не существует.

Входные данные

В первой строке записано целое число $m$ ($1 \le m \le 10 ^ 5$) — количество массивов.

В следующих $2 \cdot m$ строках даны описания массивов.

В описании каждого массива первая строка содержит чётное число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10 ^ 5$) — длина массива. Во второй строке через пробел перечислены $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10 ^ 9$) — элементы массива.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем массивам не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

В случае если ответ существует выведите «YES», а затем выведите $m$ строк.

В каждой строке для каждого элемента выведите букву «L» или «R» (обязательно заглавную, без пробелов) — в какое мультимножество должен попасть данный элемент.

Если ответа не существует, в единственной строке выведите «NO».

Примечание

В первом массиве первый элемент мы добавляем в $R$, а второй в $L$. Сейчас $L = \{2\}$, а $R = \{1\}$.

Во втором массиве первый и третий элемент мы добавляем в $L$, а остальные в $R$. Сейчас $L = \{1, 2, 3\}$ и $R = \{1, 2, 3\}$.

В третьем массиве элементы 2, 3 и 6 мы добавляем в $L$, а на остальных — в $R$. В итоге $L = R = \{1, 1, 2, 2, 3, 3\}$.

E. Автомобили

2-sat графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное снм сортировки *2200

На координатной оси $OX$ стоят $n$ автомобилей. Каждая машина изначально находится в целочисленной точке, и никакие две машины не находятся в одной и той же точке. Кроме того, каждая машина ориентирована либо влево, либо вправо, и в любой момент они могут двигаться с любой постоянной положительной скоростью в этом направлении.

Более формально мы можем описать $i$-й автомобиль буквой и целым числом: его ориентацию $ori_i$ и его местоположение $x_i$. Если $ori_i = L$, то $x_i$ убывает со временем. Точно так же, если $ori_i = R$, то $x_i$ увеличивается со временем.

Мы называем две машины нерелевантными, если они никогда не оказываются в одной и той же точке независимо от их скорости. Другими словами, они не будут иметь одну и ту же координату в любой момент.

Мы называем два автомобиля предназначенными, если они когда-нибудь окажутся в одной и той же точке независимо от их скорости.

К сожалению, мы потеряли всю информацию о наших машинах, но мы помним $m$ отношений между ними. Существует два типа отношений:

$1$ $i$ $j$ —$i$-й автомобиль и $j$-й автомобиль нерелевантные.

$2$ $i$ $j$ —$i$-й автомобиль и $j$-й автомобиль предназначенные.

Восстановите ориентации и местоположения автомобилей, удовлетворяющих отношениям, или сообщите, что это невозможно. Если решений несколько, можно вывести любое.

Обратите внимание на то, что если два автомобиля окажутся в одной точке, то они продолжат свое движение.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа: $n$ и $m$ $(2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5; 1 \leq m \leq min(2 \cdot 10^5, \frac{n(n-1)}{2})$ — количество автомобилей и количество отношений соответственно.

Каждая из следующих $m$ строк содержит три целых числа: $type$, $i$ и $j$ $(1 \leq type \leq 2; 1 \leq i,j \leq n; i≠j)$.

Если $type$ = $1$, то $i$-й автомобиль и $j$-й автомобиль являются нерелевантными. В противном случае $i$-й автомобиль и $j$-й автомобиль являются предназначенными.

Гарантируется, что для каждой пары автомобилей существует не более $1$-го отношения между ними.

Выходные данные

В первой строке выведите «YES», если можно восстановить ориентации и положения автомобилей, удовлетворяющих отношениям, и «NO» в противном случае.

Если ответ «YES», выведите $n$ строк, каждая из которых содержит символ и целое число: $ori_i$ и $x_i$ $(ori_i \in \{L, R\}; -10^9 \leq x_i \leq 10^9)$ — представляет информацию о $i$-м автомобиле.

Если ориентация налево, то $ori_i$ = $L$. В противном случае $ori_i$ = $R$.

$x_i$ — координата, где находится $i$-й автомобиль. Обратите внимание, что все $x_i$ должны быть различными.

Мы можем доказать, что если существует решение, то должно быть и решение, удовлетворяющее ограничениям на $x_i$.

C. Граф инверсий

графы математика снм Структуры данных *1300

Вам дана перестановка $p_1, p_2, \dots, p_n$. Затем вы строите неориентированный граф следующим образом: добавляется ребро между вершинами $i$, $j$ такими, что $i < j$ тогда и только тогда, когда $p_i > p_j$. Вам нужно посчитать количество компонент связности в этом графе.

Две вершины $u$ и $v$ принадлежат одной компоненте связности тогда и только тогда, когда существует хотя бы один путь по рёбрам графа, соединяющий $u$ и $v$.

Перестановкой называется массив, состоящий из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$ в произвольном порядке. Например, $[2,3,1,5,4]$ является перестановкой, но $[1,2,2]$ не является перестановкой ($2$ встречается дважды в массиве) и $[1,3,4]$ тоже не является перестановкой ($n=3$, но $4$ присутствует в массиве).

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^5$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных содержится целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — длина перестановки.

Во второй строке каждого набора входных данных содержатся $n$ целых чисел $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$) — элементы перестановки.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число $k$ — количество компонент связности.

Примечание

Каждый отдельный набор входных данных изображен на картинке ниже. Цветные квадраты представляют собой элементы перестановки. Для одной перестановки каждый цвет представляет некоторую компоненту связности. Ответом является количество различных цветов.

$\text{[math]}$

A. Охота за сокровищами

графы интерактив

Во всех задачах этого контеста одинаковое условие, они отличаются только тестом. Подробнее об оценивании смотрите в разделе «Система оценки» в конце условия.

Задача является интерактивной.

Вы — опытный искатель сокровищ, вам в руки попала древняя карта, которая может вас обогатить. На карте отмечены лесные дороги, а на каждом перекрёстке этих дорог можно найти клад. Вы отправляетесь в путешествие в надежде отыскать все отмеченные на карте сокровища, но ещё не знаете, что вам противостоит злой волшебник, который хочет запутать дороги и не дать вам дойти до цели.

Карта сокровищ представлена в виде неориентированного графа, где вершины соответствуют перекресткам, а ребра — дорогам. Вы начинаете свой путь из некоторой фиксированной вершины, номер которой вам известен. Каждый раз, приходя в вершину, в которой вы не были ранее, вы выкапываете сундук с сокровищем и ставите в этой вершине флаг. В начальной вершине клад будет выкопан вами сразу же, а значит, и флаг будет установлен тоже сразу.

Находясь на перекрёстке, вы видите для каждой из соседних вершин её степень и есть ли там флаг. Кроме этого вам ничего не видно. К тому же, силы злого волшебника так велики, что он способен менять расположение дорог и перекрестков на местности без изменения структуры графа. Поэтому порядок дорог, выходящих из перекрестка $v$, может оказаться другим каждый раз, когда вы попадаете в перекресток $v$. Но не забывайте, что множество соседних перекрестков при этом не меняется, и про каждую выходящую из вершины $v$ дорогу вы знаете, выкопали ли вы уже клад ранее в ее втором конце.

Ваша задача — собрать сокровища из всех вершин графа как можно быстрее. Удачи в охоте!

Протокол взаимодействия

На первой строке интерактор выведет целое число $t$ ($1 \leq t \leq 5$) — число карт, для которых вам нужно решить задачу.

Далее для каждой из $t$ карт интерактор сначала выводит описание графа, а потом начинает взаимодействие на этой карте. Сначала интерактор выведет описание графа и начальной вершины в следующем формате.

На первой строке содержатся четыре целых числа $n, m, start, base\_move\_count$ ($2 \leq n \leq 300$, $1 \leq m \leq min(\frac{n(n-1)}{2}, 25n)$, $1 \leq start \leq n$, $1000 \leq base\_move\_count \leq 30000$) — количество вершин и ребер в графе, номер вершины, в которой вы начинаете путешествие, и некоторое базовое число шагов, от которого зависит оценка за карту. Гарантируется, что у жюри есть решение, с высокой вероятностью обходящее карту за не более чем $base\_move\_count$ шагов.

Далее в $m$ строках даны описания ребер графа $u, v$ ($1 \leq u, v \leq n$, $u \neq v$). Гарантируется, что граф связный, не содержит кратных ребер и степени всех вершин не превосходят 50.

Описание карт для каждого теста вы найдете в архиве 'map_descriptions.zip', который вы найдете в любом из архивов 'problem-X-materials.zip' в разделе «Материалы соревнования» — все они одинаковы.

Описание карт для каждого теста вы найдете в архиве map_descriptions.zip, приложенном к контесту.

После вывода описания графа начинается взаимодействие. Интерактор выводит описания вершин в следующем формате: R~d~deg_1~flag_1~deg_2~flag_2 \ldots deg_d~flag_d, где $d$ — степень текущей вершины, $deg_i$ — степень $i$-й вершины, соседней с текущей, а $flag_i$ — индикатор того, есть ли в $i$-й вершине флаг (0 или 1). Порядок соседей в описании вершины каждый раз выбирается интерактором случайно равновероятно независимо. Помните, что вам не даны настоящие номера соседних вершин.

В ответ на описание вершины вы должны вывести одно целое число $i$ ($1 \leq i \leq d$), означающее, что вы выбрали вершину с описанием $deg_i~flag_i$. Не забывайте использовать операцию flush после каждого вывода. Если ваш вывод окажется некорректным, вы получите вердикт «Неправильный ответ».

Когда вы посетите все вершины графа хотя бы по одному разу, интерактор вместо описания вершины выведет строку «AC». Если вы не уложитесь в $2 \cdot base\_move\_count$ ходов, интерактор выведет строку «F». В обоих случаях после этого вы должны начать считывать описание следующей карты, либо, если это была последняя карта в тесте, ваша программа должна завершиться.

Ниже приведен пример взаимодействия интерактора и решения. Обратите внимание, что тест из примера не совпадает с тестом, на котором будет запускаться ваше решение.


Интерактор Решение
1 
3 3 1 1000 
1 2 
2 3 
3 1 
R 2 2 0 2 0 
1
R 2 2 0 2 1 
2
R 2 2 0 2 1 
1
AC

Система оценки

Все задачи этого соревнования имеют одинаковые условия и отличаются только тестом. Каждая задача содержит один тест, описание карт которого доступно вам в архиве.

Каждый тест состоит из нескольких карт.

Оценкой решения за задачу будет $0$, если ваше решение для некоторой карты не смогло получить ответа «AC» или «F». Если решение корректно провзаимодействовало с интерактором на всех $t$ картах, оценка за задачу будет равна сумме оценок за каждую из карт.

Если вы успешно обошли граф из $n$ вершин, использовав $moves$ ходов, очки за карту рассчитываются так. Обозначим base\_fraction=\frac{base\_move\_count + 1}{n}, sol\_fraction=\frac{moves+1}{n}, c=\frac{90}{\sqrt{base\_fraction - 1}}.

Тогда:

если $moves \leq base\_move\_count$, то за карту вы получите $100-c \sqrt{sol\_fraction - 1}$ очков.
если $base\_move\_count < moves \leq 2 \cdot base\_move\_count$, то за карту вы получите $20 - \frac{10\cdot(moves + 1)}{base\_move\_count + 1}$ очков.

Если вы не уложились в $2 \cdot base\_move\_count$ ходов, то за эту карту получите 0 очков.

Для каждой задачи выбирается решение, набравшее наибольшее количество баллов за данную задачу. Обратите внимание, что максимум выбирается не для каждой карты в отдельности, а для всего решения целиком.

Итоговым результатом участника является сумма баллов по каждой из задач.

A. Переменная, или Туда и обратно

Непроста жизнь самой обычной переменной по имени Вася. Куда бы она ни отправилась, ей то присваивают значение, то просто игнорируют, то вообще используют!

Жизнь Васи проходит в состояниях программы, в которой ей случилось быть объявленной. В каждом состоянии Васю могут либо использовать (например, для вычисления значения другой переменной), либо присваивать ей значение, либо игнорировать. Между некоторыми состояниями есть ориентированные переходы.

Путь — это последовательность состояний v₁, v₂, ..., v_x, где для каждого 1 ≤ i < x существует переход из v_i в v_i + 1.

Значение Васи в состоянии v интересует окружающий мир, если существует путь p₁, p₂, ..., p_k такой, что p_i = v для некоторого i (1 ≤ i ≤ k), в состоянии p₁ Васе присваивают значение, в состоянии p_k Васю используют и ни в каких состояниях p_i, кроме p₁, Васе не присваивают значение.

Помогите Васе: найдите состояния, в которых значение Васи интересует окружающий мир.

Входные данные

В первой строке через пробел записаны два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 10⁵) — количества состояний и переходов, соответственно.

Во второй строке через пробел записаны n целых чисел f₁, f₂, ..., f_n (0 ≤ f_i ≤ 2), f_i описывает действия над Васей в состоянии номер i: 0 соответствует игнорированию, 1 — присваиванию значения, 2 — использованию.

В следующих m строках через пробел записаны пары целых чисел a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i), каждая пара задает переход из состояния с номером a_i в состояние с номером b_i. Между двумя состояниями может быть любое количество переходов.

Выходные данные

Выведите n целых чисел r₁, r₂, ..., r_n, разделенных пробелами или переводами строк. Число r_i должно быть равно 1, если значение Васи в состоянии номер i интересует окружающий мир, и равно 0 в противном случае. Состояния нумеруются от 1 до n в том же порядке, в котором заданы их описания во входных данных.

Примечание

В первом примере из состояний программы можно составить единственный путь, в котором значение Васи интересует окружающий мир, 1 $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 3 $\text{[math]}$ 4; в него входят все состояния, поэтому во всех них значение Васи интересует окружающий мир.

Во втором примере единственный путь, в котором значение Васи интересует окружающий мир, — 1 $\text{[math]}$ 3; состояние 2 в него не входит.

В третьем примере из состояний нельзя составить ни одного пути, в котором значение Васи интересует окружающий мир, поэтому значение Васи никогда не интересует окружающий мир.

C. Автоматное программирование

графы Потоки *2400

В один замечательный день в компанию «X» завезли k автоматов. И не простых автоматов, а автоматов-программистов! Это был последний неудачный шаг перед переходом на андроидов-программистов, но это уже совсем другая история.

В компании сейчас n задач, для каждой из которых известно время начала ее выполнения s_i, длительность ее выполнения t_i и прибыль компании от ее завершения c_i. Любой автомат может выполнять любую задачу, ровно одну в один момент времени. Если автомат начал выполнять задачу, то он занят все моменты времени с s_i по s_i + t_i - 1 включительно и не может переключиться на другую задачу.

Вам требуется выбрать набор задач, которые можно выполнить с помощью этих k автоматов и который принесет максимальную суммарную прибыль.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и k (1 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ k ≤ 50) — количества задач и автоматов, соответственно.

В следующих n строках через пробелы записаны тройки целых чисел s_i, t_i, c_i (1 ≤ s_i, t_i ≤ 10⁹, 1 ≤ c_i ≤ 10⁶), s_i — время начала выполнения i-го задания, t_i — длительность i-го задания, а c_i — прибыль от его выполнения.

Выходные данные

Выведите n целых чисел x₁, x₂, ..., x_n. Число x_i должно быть равно 1, если задачу i следует выполнить, и 0 в противном случае.

Если оптимальных решений несколько, то выведите любое из них.

Примечание

В первом примере задания требуют выполнения в моменты времени 2 ... 8, 1 ... 3 и 4 ... 4, соответственно. Первое задание пересекается со вторым и третьим, поэтому можно выполнять либо его одно (прибыль 5), либо второе и третье (прибыль 6).

B. Мадока и элегантный подарок

графы Конструктив Перебор реализация *1200

Отец Мадоки достиг отметки в $1$ миллион подписчиков на Mathub! В честь этого вебсайт решил отправить ему персонализированную награду — Битовую Кнопку Mathub!

Награда представляет из себя таблицу из $n$ строк и $m$ столбцов, в каждой клетке которой записано число $0$ или $1$. Изучив таблицу, она вывела следующие характеристики:

Подпрямоугольник $A$ лежит в подпрямоугольнике $B$, если нет клетки, которая лежит внутри $A$, но при этом не лежит внутри $B$.
Два подпрямоугольника пересекаются, если найдется клетка, лежащая внутри обоих подпрямоугольников.
Подпрямоугольник называется чёрным, если в нём нет клетки со значением $0$.
Подпрямоугольник называется красивым, если он чёрный и не лежит в каком-то другом чёрном подпрямоугольнике.
Таблица называется элегантной, если никакие два красивых подпрямоугольника не пересекаются.

Например, на первой картинке красный подпрямоугольник является красивым, а на второй нет, так как он лежит внутри фиолетового подпрямоугольника.

$\text{[math]}$

Помогите Мадоке определить, является ли таблица элегантной.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 200$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных содержатся два целых числа $n, m$ ($1 \le n, m \le 100$) — размеры таблицы.

Далее следуют $n$ строк длины $m$, состоящих из нулей и единиц — описание таблицы.

Гарантируется, что сумма значений $n$ и сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходят $777$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES», если данная таблица является элегантной. Иначе, выведите «NO».

Вы можете выводить каждую букву в любом регистре (например, «YES», «Yes», «yes», «yEs» будут распознаны как положительный ответ).

Примечание

Во втором наборе входных данных таблица не элегантная, поскольку красный красивый подпрямоугольник пересекается с фиолетовым.

$\text{[math]}$

В четвертом наборе входных данных таблица не элегантная, поскольку красный красивый подпрямоугольник пересекается с фиолетовым.

$\text{[math]}$

E. Авиареформа

графы Деревья поиск в глубину и подобное разделяй и властвуй реализация снм Структуры данных *3200

Берляндия — большая страна с развитой системой авиасообщения. Всего в стране есть $n$ городов, которые исторически обслуживаются авиакомпанией Берляфлот. Авиакомпания выполняет двухсторонние рейсы между $m$ парами городов, $i$-й из них соединяет города с номерами $a_i$ и $b_i$ и имеет цену $c_i$ на перелёт в каждую из сторон.

Известно, что с помощью рейсов Берляфлота можно добраться от любого города до любого другого (возможно, с пересадками), а стоимость любого маршрута из нескольких стыковочных рейсов Берляфлота равна стоимости самого дорогого из них. Более формально, стоимость маршрута из города $t_1$ в город $t_k$ с $(k-2)$-мя пересадками в городах $t_2,\ t_3,\ t_4,\ \ldots,\ t_{k - 1}$ равна максимуму из стоимостей рейсов из города $t_1$ в $t_2$, из $t_2$ в $t_3$, из $t_3$ в $t_4$ и так далее до рейса из $t_{k - 1}$ в $t_k$. Разумеется, все эти рейсы должны выполняться авиакомпанией Берляфлот.

Недавно в Берляндии начала работать новая авиакомпания S8 Airlines. Эта авиакомпания совершает двусторонние рейсы между всеми парами городов, между которыми нет рейсов Берляфлота. Таким образом, между каждой парой городов есть рейс либо Берляфлота, либо S8 Airlines.

Стоимости рейсов авиакомпании S8 Airlines рассчитываются следующим образом: для каждой пары городов $x$ и $y$, между которыми выполняется рейс S8 Airlines, стоимость этого рейса равняется минимальной стоимости маршрута между городами $x$ и $y$ у Берляфлота в соответствии с описанным ранее ценообразованием.

Известно, что с помощью рейсов S8 Airlines можно добраться от любого города до любого другого с возможными пересадками, и, аналогично Берляфлоту, стоимость маршрута между любыми двумя городами стыковочными рейсами S8 Airlines равна стоимости самого дорогого рейса в этом маршруте.

Из-за увеличившейся конкуренции с S8 Airlines Берляфлот решил провести авиареформу и изменить стоимости своих рейсов. А именно, для $i$-го своего рейса между городами $a_i$ и $b_i$ Берляфлот хочет сделать стоимость этого рейса равной минимальной стоимости маршрута между городами $a_i$ и $b_i$ у авиакомпании S8 Airlines. Помогите менеджерам Берляфлота рассчитать новые стоимости рейсов.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке вводятся одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10\,000$) — число наборов входных данных. Далее следуют описания наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных водятся два целых числа $n$ и $m$ ($4 \le n \le 200\,000$, $n - 1 \le m \le 200\,000$, $m \le \frac{(n - 1) (n - 2)}{2}$) — число городов в Берляндии и число рейсов у Берляфлота.

В следующих $m$ строках описываются рейсы Берляфлота. В $i$-й строке даны три целых числа $a_i$, $b_i$ и $c_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$, $1 \le c_i \le 10^9$) — номера городов, которые соединены $i$-м рейсом Берляфлота, и стоимость $i$-го рейса Берляфлота.

Гарантируется, что никакой рейс не соединяет город сам с собой, а никакие 2 рейса не соединяют одну и ту же пару городов. Гарантируется, что рейсами Берляфлота можно добраться от любого города до любого другого и что рейсами S8 Airlines можно добраться от любого города до любого другого.

Обозначим за $N$ сумму значений $n$ по всем наборам входных данных, и за $M$ — сумму значений $m$ по всем наборам входных данных. Гарантируется, что $N, M \le 200\,000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в отдельной строке выведите $m$ целых чисел, $i$-е из которых должно быть равно стоимости $i$-го рейса Берляфлота после авиареформы.

Примечание

В примере в первом наборе входных данных авиакомпания S8 Airlines будет выполнять рейсы между парами городов: $(1, 3)$, $(1, 4)$ и $(2, 4)$.

Стоимость рейса между городами $1$ и $3$ будет равна $2$, так как минимальная стоимость маршрута Берляфлота равна $2$ — маршрут состоит из рейса между городами $1$ и $2$ стоимостью $1$ и рейса между городами $2$ и $3$ стоимостью $2$, максимум из стоимостей равен $2$.

Стоимость рейса между городами $1$ и $4$ будет равна $3$, так как минимальная стоимость маршрута Берляфлота составляет $3$ — маршрут состоит из рейса между городами $1$ и $2$ стоимостью $1$, рейса между городами $2$ и $3$ стоимостью $2$ и рейса между городами $3$ и $4$ стоимостью $3$, максимум из стоимостей равен $3$.

Стоимость рейса между городами $2$ и $4$ будет равна $3$, так как минимальная стоимость маршрута Берляфлота составляет $3$ — маршрут состоит из рейса между городами $2$ и $3$ стоимостью $2$ и рейса между городами $3$ и $4$ стоимостью $3$, максимум из стоимостей равен $3$.

После авиареформы стоимость рейса Берляфлота между городами $1$ и $2$ будет составлять $3$, так как минимальная стоимость маршрута S8 Airlines между этими городами составляет $3$ — маршрут состоит из рейса между городами $1$ и $4$ стоимостью $3$ и рейса между городами $2$ и $4$ стоимостью $3$, максимум равен $3$.

Стоимость рейса Берляфлота между городами $2$ и $3$ будет составлять $3$, так как минимальная стоимость маршрута S8 Airlines между этими городами составляет $3$ — маршрут состоит из рейса между городами $2$ и $4$ стоимостью $3$, рейса между городами $1$ и $4$ стоимостью $3$ и рейса между $1$ и $3$ стоимостью $2$, максимум равен $3$.

Стоимость рейса Берляфлота между городами $3$ и $4$ будет составлять $3$, так как минимальная стоимость маршрута S8 Airlines между этими городами составляет $3$ — маршрут состоит из рейса между городами $1$ и $3$ стоимостью $2$ и рейса между городами $1$ и $4$ стоимостью $3$, максимум равен $3$.

Во втором наборе входных данных у авиакомпании S8 Airlines будут следующие рейсы: между городами $1$ и $4$ стоимостью $1$, между городами $2$ и $3$ стоимостью $1$, между городами $2$ и $5$ стоимостью $2$, между городами $3$ и $4$ стоимостью $1$ и между городами $3$ и $5$ стоимостью $2$.

F. Два проспекта

графы поиск в глубину и подобное Структуры данных *3500

Для того чтобы сделать столицу Берляндии более привлекательным туристическим местом, великий король придумал следующий план: выбрать две улицы города и назвать их проспектами. Естественно, эти проспекты будут объявлены чрезвычайно важными историческими местами, что должно привлечь туристов со всего мира.

Столицу Берляндии можно представить в виде графа, вершинами которого являются перекрестки, а ребрами являются улицы, соединяющие два перекрестка напрямую. Всего в графе $n$ вершин и $m$ ребер, по любой улице можно двигаться в обоих направлениях, от любого перекрестка можно добраться до любого другого, перемещаясь только по улицам, каждая улица соединяет два различных перекрестка, и никакие две улицы не соединяют одинаковую пару перекрестков.

Чтобы снизить поток обычных горожан, перемещающихся по великим проспектам, было решено ввести платный проезд по каждому их них в обе стороны. Теперь за один проезд по проспекту нужно заплатить $1$ тугрик. За проезд по остальным улицам платить не нужно.

Аналитики собрали выборку из $k$ горожан, $i$-му из них надо ездить на работу от перекрестка $a_i$ к перекрестку $b_i$. После выбора двух проспектов каждый горожанин будет добираться на работу вдоль пути, стоимость которого будет минимальна.

Для того чтобы заработать как можно больше денег, было решено выбрать в качестве двух проспектов две такие улицы, что суммарное количество тугриков, которые заплатят эти $k$ горожан, будет максимально возможным. Помогите королю: по заданной схеме города и выборке горожан найдите, какие две улицы нужно сделать проспектами, и сколько тугриков заплатят горожане при таком выборе.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — количество наборов входных данных.

В первой строке описания каждого набора входных данных находятся два целых числа $n$ и $m$ ($3 \leq n \leq 500\,000$, $n - 1 \leq m \leq 500\,000$, $m \le \frac{n (n - 1)}{2}$) — количество перекрестков и улиц города.

В следующих $m$ строках содержатся описания улиц, в $i$-й строке находятся два целых числа $s_i$ и $f_i$ ($1 \leq s_i, f_i \leq n$, $s_i \neq f_i$) — номера перекрестков, которые соединяет $i$-я улица. Гарантируется, что никакие две улицы не соединяют одну и ту же пару перекрестков, и что от любого перекрестка можно добраться до любого другого, перемещаясь только по улицам.

В следующей строке находится единственное целое число $k$ ($1 \leq k \leq 500\,000$) — количество горожан в выборке.

В следующих $k$ строках содержатся описания горожан, в $i$-й строке находятся два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \leq a_i, b_i \leq n$, $a_i \neq b_i$) — $i$-й горожанин едет на работу от перекрестка $a_i$ до перекрестка $b_i$.

Пусть $M$ обозначает сумму значений $m$ по всем наборам входных данных, а $K$ означает сумму значений $k$ по всем наборам входных данных. Гарантируется, что $M, K \le 500\,000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в выведите ответ на задачу.

В первой строке ответа данных выведите суммарное количество тугриков, которое заплатят горожане.

Во второй строке ответа выведите два целых числа $x_1$ и $y_1$ — номера перекрёстков, дорогу между которыми нужно сделать первым проспектом.

В третей строке ответа выведите два целых числа $x_2$ и $y_2$ — номера перекрёстков, дорогу между которыми нужно сделать вторым проспектом.

Номера перекрестков, соединенных улицей, можно выводить в произвольном порядке, каждая из двух выведенных улиц должна встречаться среди $m$ улиц города, выбранные улицы должны быть различными.

G. Подсчёт коротких путей

графы дп кратчайшие пути поиск в глубину и подобное Структуры данных *2100

Задан неориентированный связный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Граф не содержит петель (рёбер из вершины в себя же) и кратных ребер (то есть между каждой парой вершин не более одного ребра). Вершины графа пронумерованы от $1$ до $n$.

Найдите количество путей из вершины $s$ в $t$, длина которых отличается от длины кратчайшего пути из $s$ в $t$ не более, чем на $1$. Необходимо учесть все подходящие пути, даже если они проходят по одной и той же вершине или ребру более одного раза (то есть, не являются простыми).

$\text{[math]}$ Граф, состоящий из $6$ вершин и $8$ ребер.

Например, пусть $n = 6$, $m = 8$, $s = 6$ и $t = 1$, а граф выглядит как на рисунке выше. Тогда длина кратчайшего пути из $s$ в $t$ равна $1$. Рассмотрим все пути, длина которых не более $1 + 1 = 2$.

$6 \rightarrow 1$. Длина пути равна $1$.
$6 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Длина пути равна $2$.
$6 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. Длина пути равна $2$.
$6 \rightarrow 5 \rightarrow 1$. Длина пути равна $2$.

Всего существует $4$ подходящих пути.

Входные данные

В первой строке входных данных задано число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Перед каждым набором входных данных записана пустая строка.

Первая строка набора содержит два числа $n, m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин и ребер в графе.

Вторая строка содержит два числа $s$ и $t$ ($1 \le s, t \le n$, $s \neq t$) — номера начальной и конечной вершины пути.

В следующих $m$ строках содержатся описания ребер: в $i$-й строке заданы два целых числа $u_i$, $v_i$ ($1 \le u_i,v_i \le n$) — номера вершин, которые соединяют $i$-е ребро. Гарантируется, что граф является связным и не содержит петель и кратных рёбер.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных теста не превосходит $2 \cdot 10^5$. Аналогично, гарантируется, что сумма значений $m$ по всем наборам входных данных теста не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого тестового случая выведите единственное число — количество путей из $s$ в $t$ таких, что их длина отличается от длины кратчайшего пути не более, чем на $1$.

Так как это число может быть слишком большим, выведите его по модулю $10^9 + 7$.

D. Ближайшие точки

Бинарный поиск графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное Структуры данных *1900

Вам даны $n$ различных точек на плоскости. Координаты $i$-й из них — $(x_i, y_i)$.

Для каждой точки $i$ вам необходимо найти ближайшую (по Манхэттенскому расстоянию) точку с целочисленными координатами, которая не принадлежит множеству заданных $n$ точек. Если существует несколько таких точек, вы можете выбрать любую из них.

Манхэттенское расстояние между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ равно $|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество точек в множестве.

Следующие $n$ строк описывают точки. В $i$-й из них находится два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le 2 \cdot 10^5$) — координаты $i$-й точки.

Гарантируется, что все точки во входных данных различны.

Выходные данные

Выведите $n$ строк. В $i$-й из них выведите точку с целочисленными координатами, не принадлежащую заданным $n$ точкам, и являющуюся ближайшей (по Манхэттенскому расстоянию) к $i$-й точке из входных данных.

Выводимые координаты должны находиться в отрезке $[-10^6; 10^6]$. Можно показать, что любой оптимальный ответ удовлетворяет заданным ограничениям.

Если существует несколько возможных ответов, вы можете вывести любой из них.

F. Параметрическое MST

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы Конструктив математика сортировки *2600

Вам дано $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Для любого вещественного числа $t$ рассмотрим полный взвешенный граф на $n$ вершинах $K_n(t)$ с весом ребра между вершинами $i$ и $j$, равным $w_{ij}(t) = a_i \cdot a_j + t \cdot (a_i + a_j)$.

Пусть $f(t)$ будет стоимостью минимального остовного дерева для $K_n(t)$. Определите, ограничена ли $f(t)$ сверху, и если да, то выведите максимальное значение, которое она достигает.

Входные данные

Входные данные состоят из нескольких наборов входных данных. В первой строке записано одно целое число $T$ ($1 \leq T \leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — количество вершин графа.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($-10^6 \leq a_i \leq 10^6$).

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку с максимальным значением $f(t)$ (можно показать, что это целое число) или «INF», если $f(t)$ не ограничена сверху.

G. Циклические палиндромы

графы Конструктив математика *3200

Мы говорим, что последовательность из $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ является палиндромом, если для всех $1 \leq i \leq n$ выполняется $a_i = a_{n-i+1}$. Вам дана последовательность из $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, и вы должны найти, если она существует, такую циклическую перестановку $\sigma$, что последовательность $a_{\sigma(1)}, a_{\sigma(2)}, \ldots, a_{\sigma(n)}$ — палиндром.

Перестановка $1, 2, \ldots, n$ — это биективная функция из $\{1, 2, \ldots, n\}$ в $\{1, 2, \ldots, n\}$. Мы говорим, что перестановка $\sigma$ является циклической перестановкой, если $1, \sigma(1), \sigma^2(1), \ldots, \sigma^{n-1}(1)$ — попарно различные числа. Здесь $\sigma^m(1)$ обозначает $\underbrace{\sigma(\sigma(\ldots \sigma}_{m \text{ раз}}(1) \ldots))$.

Входные данные

Входные данные состоят из нескольких наборов входных данных. В первой строке записано единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 3 \cdot 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — длину последовательности.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, \ldots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq n$).

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку с «YES», если необходимая циклическая перестановка существует, иначе выведите одну строку с «NO».

Если ответ «YES», выведите еще одну строку с $n$ целыми числами $\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(n)$ — перестановкой. Если существует более одной подходящей перестановки, вы можете вывести любую.

I. Упорядочивание соседей

графы Конструктив *3500

Для неориентированного графа $G$ назовем порядком соседей упорядоченный список всех соседей вершины для каждой из вершин $G$. Рассмотрим некоторый порядок соседей в графе $G$ и три вершины $u$, $v$ и $w$ такие, что $v$ является соседом $u$ и $w$. Мы будет использовать запись $u <_{v} w$, если $u$ стоит после $w$ в списке соседей вершины $v$.

Порядок соседей называется хорошим, если для каждого простого цикла $v_1, v_2, \ldots, v_c$ графа выполняется одно из следующих условий:

$v_1 <_{v_2} v_3, v_2 <_{v_3} v_4, \ldots, v_{c-2} <_{v_{c-1}} v_c, v_{c-1} <_{v_c} v_1, v_c <_{v_1} v_2$,
$v_1 >_{v_2} v_3, v_2 >_{v_3} v_4, \ldots, v_{c-2} >_{v_{c-1}} v_c, v_{c-1} >_{v_c} v_1, v_c >_{v_1} v_2$.

Для заданного графа $G$ определите, существует ли для него порядок хороших соседей, и постройте его, если он существует.

Входные данные

Входные данные состоят из нескольких наборов входных данных. В первой строке записано единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 3 \cdot 10^5$, $1 \leq m \leq 3 \cdot 10^5$), количество вершин и количество ребер графа.

Следующие $m$ строк содержат по два целых числа $u, v$ ($0 \leq u, v < n$), обозначающих, что существует ребро, соединяющее вершины $u$ и $v$. Гарантируется, что граф связный и в нем нет петель и кратных ребер.

Сумма $n$ и сумма $m$ для всех тестовых случаев не превосходят $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку с «YES», если граф допускает хороший порядок соседей, иначе выведите одну строку с «NO». Вы можете печатать каждую букву в любом регистре (верхнем или нижнем).

Если ответ «YES», дополнительно выведите $n$ строк, описывающих порядок хороших соседей. В $i$-й строке выведите соседей вершины $i$ по порядку.

F. Слова на дереве

2-sat графы Деревья поиск в глубину и подобное снм *2600

Дано дерево из $n$ вершин, а также $q$ троек $(x_i, y_i, s_i)$, где $x_i$ и $y_i$ — целые числа от $1$ до $n$, а $s_i$ — строка, длина которой равна количеству вершин на простом пути от $x_i$ до $y_i$.

Вы должны написать на каждой вершине строчную латинскую букву таким образом, что для каждой из $q$ троек выполняется хотя бы одно из условий:

если выписать буквы на пути от $x_i$ до $y_i$ в том порядке, в котором они встречаются на пути, вы получите строку $s_i$;
если выписать буквы на пути от $y_i$ до $x_i$ в том порядке, в котором они встречаются на пути, вы получите строку $s_i$.

Найдите любой способ написать по одной букве на каждую вершину, чтобы соблюсти ограничения, или сообщите, что это невозможно.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа $n$ и $q$ ($2 \le n \le 4 \cdot 10^5$; $1 \le q \le 4 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве и троек, соответственно.

Затем следуют $n - 1$ строк; в $i$-й из них заданы два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$; $u_i \ne v_i$) — концы $i$-го ребра. Эти ребра задают дерево.

Затем следуют $q$ строк; в $j$-й из них заданы два целых числа $x_j$ и $y_j$, а также строка $s_j$, состоящая из строчных латинских букв. Длина $s_j$ равна количеству вершин на простом пути между $x_j$ и $y_j$.

Дополнительное ограничение на входные данные: $\sum \limits_{j=1}^{q} |s_j| \le 4 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Если нет способа удовлетворить ограничения задачи, выведите NO. Иначе выведите YES в первой строке и $n$ строчных латинских букв во второй строке; $i$-я буква должна соответствовать той букве, которую вы пишете на $i$-й вершине. Если ответов несколько, выведите любой из них.

E. AND-MEX-прогулка

битмаски графы Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное снм *2200

Вам дан неориентированный связный граф из $n$ вершин и $m$ взвешенных ребер. Прогулкой от вершины $u$ до вершины $v$ называется последовательность вершин $p_1,p_2,\ldots,p_k$ (не обязательно различных), начинающаяся в вершине $u$ и заканчивающаяся в вершине $v$, такая что $p_i$ и $p_{i+1}$ соединены ребром для всех $1 \leq i < k$.

Определим длину прогулки следующим образом: выпишем веса ребер в порядке следования в массив. Затем выпишем побитовое И каждого непустого префикса этого массива. Длиной прогулки называется MEX этих значений.

Более формально, пусть веса ребер это $[w_1,w_2,\ldots,w_{k-1}]$, где $w_i$ — вес ребра между $p_i$ и $p_{i+1}$. Тогда длина прогулки равна $\mathrm{MEX}(\{w_1,\,w_1\& w_2,\,\ldots,\,w_1\& w_2\& \ldots\& w_{k-1}\})$, где $\&$ обозначает операцию побитового И.

Вы должны обработать $q$ запросов вида u v. Для каждого запроса найдите минимально возможную длину пути из $u$ в $v$.

MEX (минимальное отсутствующее) множества чисел — наименьшее неотрицательное число, отсутствующее в этом множестве. Например:

MEX множества $\{2,1\}$ равен $0$, т. к. $0$ отсутствует в множестве.
MEX множества $\{3,1,0\}$ равен $2$, т. к. $0$ и $1$ присутствуют в множестве, а $2$ — нет.
MEX множества $\{0,3,1,2\}$ равен $4$, т. к. $0$, $1$, $2$ и $3$ присутствуют в множестве, а $4$ отсутствует.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 10^5$; $n-1 \leq m \leq \min{\left(\frac{n(n-1)}{2},10^5\right)}$).

Каждая из следующих $m$ строк содержит три целых числа $a$, $b$ и $w$ ($1 \leq a, b \leq n$, $a \neq b$; $0 \leq w < 2^{30}$), обозначающих неориентированное ребро между вершинами $a$ и $b$ веса $w$. Гарантируется, что не существует петель и кратных ребер, а также что граф связный.

Следующая строка содержит одно целое число $q$ ($1 \leq q \leq 10^5$).

Каждая из следующих $q$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \leq u, v \leq n$, $u \neq v$) — описание запроса.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите одно целое число — ответ на запрос.

Примечание

Ниже находится пояснение к первому примеру.

$\text{[math]}$ Граф из первого примера.

Идна из возможных прогулок в первом запросе:

1 \overset{5}{\rightarrow} 3 \overset{3}{\rightarrow} 2 \overset{1}{\rightarrow} 1 \overset{5}{\rightarrow} 3 \overset{1}{\rightarrow} 4 \overset{2}{\rightarrow} 5.

Массив весов равен $w=[5,3,1,5,1,2]$. Если мы возьмем побитовое И для всех префиксов, мы получим множество $\{5,1,0\}$. MEX этого множества равен $2$. Нельзя получить прогулку меньшей длины.

F. Игра с деревом и перестановкой

графы Деревья игры поиск в глубину и подобное *3000

Есть дерево из $n$ вершин и перестановка $p$ из $n$ чисел. В вершине $x$ дерева находится фишка.

Алиса и Боб играют в игру. Алиса управляет перестановкой $p$, а Bob управляет фишкой на дереве. В свой ход Алиса обязана выбрать два различных числа $u$ и $v$ (не индексы; $u \neq v$) такие, что фишка не находится ни в вершине $u$, ни в вершине $v$ дерева, и поменять их местами в перестановке $p$. В свой ход Боб обязан передвинуть фишку в соседнюю с текущей вершину.

Алиса хочет отсортировать перестановку в порядке возрастания, Боб хочет помешать этому. Алиса выигрывает, если перестановка отсортирована по возрастанию в начале или в конце ее хода. Боб выигрывает, если он может сделать так, чтобы игра продолжалась бесконечное количество ходов (то есть чтобы Алиса никогда не могла бы получить отсортированную перестановку). Оба игрока играют оптимально. Алиса ходит первой.

По данному дереву, перестановке $p$ и вершине $x$, в которой изначально находится фишка, определите победителя игры.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов входных данных.

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $x$ ($3 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$; $1 \leq x \leq n$).

Каждая из следующих $n-1$ строк содержит два целых числа $a$ и $b$ ($1 \le a, b \le n$, $a \neq b$), обозначающих неориентированное ребро между вершинами $a$ и $b$. Гарантируется, что данные ребра образуют дерево.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$) — перестановка $p$.

Сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку, содержащую слово Alice или Bob — победителя игры. В ответе важен регистр букв.

Примечание

Ниже находится объяснение первого примера.

В первом наборе входных данных Алиса может выиграть. Например, возможна такая последовательность ходов:

Алиса меняет местами $5$ и $6$, получается $[2,1,3,5,4,6]$.
Боб передвигает фишку в вершину $5$.
Алиса меняет местами $1$ и $2$, получается $[1,2,3,5,4,6]$.
Боб передвигает фишку в вершину $3$.
Алиса меняет местами $4$ и $5$, получается $[1,2,3,4,5,6]$ и выигрывает.

Во втором наборе входных данных Алиса не может выиграть, так как Боб может бесконечно долго затягивать игру. Например, возможна такая последовательность ходов:

Алиса меняет местами $1$ и $3$, получается $[3,1,2]$.
Боб передвигает фишку в вершину $1$.
Алиса меняет местами $2$ и $3$, получается $[2,1,3]$.
Боб передвигает фишку в вершину $2$.
Алиса меняет местами $1$ и $3$, получается $[2,3,1]$.
Боб передвигает фишку в вершину $3$.
Алиса меняет местами $1$ и $2$, получается $[1,3,2]$.
Боб передвигает фишку в вершину $2$.

И далее последовательность бесконечно повторяется.

В третьем наборе Алиса выигрывает сразу, так перестановка уже отсортирована.

B. Получение нуля

битмаски графы дп жадные алгоритмы кратчайшие пути Перебор поиск в глубину и подобное *1300

Предположим, у вас есть целое число $v$. За одну операцию вы можете:

либо присвоить $v = (v + 1) \bmod 32768$
либо присвоить $v = (2 \cdot v) \bmod 32768$.

Вам заданы $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$. Какое минимальное количество операций необходимо, чтобы сделать каждое $a_i$ равным $0$?

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 32768$) — количество чисел.

Во второй строке заданы $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($0 \le a_i < 32768$).

Выходные данные

Выведите $n$ чисел: $i$-е число должно равняться минимальному количеству операций, чтобы сделать $a_i$ равным $0$.

Примечание

Рассмотрим каждый $a_i$:

$a_1 = 19$. Вы можете, сначала, увеличить его на единицу и получить $20$, а потом умножить его на два $13$ раз. Вы получите $0$ за $1 + 13 = 14$ шагов.
$a_2 = 32764$. Вы можете увеличить число на единицу $4$ раза: $32764 \rightarrow 32765 \rightarrow 32766 \rightarrow 32767 \rightarrow 0$.
$a_3 = 10240$. Вы можете умножить его на два $4$ раза: $10240 \rightarrow 20480 \rightarrow 8192 \rightarrow 16384 \rightarrow 0$.
$a_4 = 49$. Вы можете умножить его на два $15$ раз.

C. European Trip

графы дп математика матрицы

The map of Europe can be represented by a set of $n$ cities, numbered from $1$ through $n$, which are connected by $m$ bidirectional roads, each of which connects two distinct cities. A trip of length $k$ is a sequence of $k+1$ cities $v_1, v_2, \ldots, v_{k+1}$ such that there is a road connecting each consecutive pair $v_i$, $v_{i+1}$ of cities, for all $1 \le i \le k$. A special trip is a trip that does not use the same road twice in a row, i.e., a sequence of $k+1$ cities $v_1, v_2, \ldots, v_{k+1}$ such that it forms a trip and $v_i \neq v_{i + 2}$, for all $1 \le i \le k - 1$.

Given an integer $k$, compute the number of distinct special trips of length $k$ which begin and end in the same city. Since the answer might be large, give the answer modulo $998\,244\,353$.

Input

The first line contains three integers $n$, $m$ and $k$ ($3 \le n \le 100$, $1 \le m \le n(n - 1) / 2$, $1 \le k \le 10^4$) — the number of cities, the number of roads and the length of trips to consider.

Each of the following $m$ lines contains a pair of distinct integers $a$ and $b$ ($1 \le a, b \le n$) — each pair represents a road connecting cities $a$ and $b$. It is guaranteed that the roads are distinct (i.e., each pair of cities is connected by at most one road).

Output

Print the number of special trips of length $k$ which begin and end in the same city, modulo $998\,244\,353$.

Note

In the first sample, we are looking for special trips of length $2$, but since we cannot use the same road twice once we step away from a city we cannot go back, so the answer is $0$.

In the second sample, we have the following $12$ special trips of length $3$ which begin and end in the same city: $(1, 2, 4, 1)$, $(1, 3, 4, 1)$, $(1, 4, 2, 1)$, $(1, 4, 3, 1)$, $(2, 1, 4, 2)$, $(2, 4, 1, 2)$, $(3, 1, 4, 3)$, $(3, 4, 1, 3)$, $(4, 1, 3, 4)$, $(4, 3, 1, 4)$, $(4, 1, 2, 4)$, and $(4, 2, 1, 4)$.

F. Antennas

графы графы кратчайшие пути кратчайшие пути поиск в глубину и подобное реализация реализация Структуры данных

There are $n$ equidistant antennas on a line, numbered from $1$ to $n$. Each antenna has a power rating, the power of the $i$-th antenna is $p_i$.

The $i$-th and the $j$-th antenna can communicate directly if and only if their distance is at most the minimum of their powers, i.e., $|i-j| \leq \min(p_i, p_j)$. Sending a message directly between two such antennas takes $1$ second.

What is the minimum amount of time necessary to send a message from antenna $a$ to antenna $b$, possibly using other antennas as relays?

Input

Each test contains multiple test cases. The first line contains an integer $t$ ($1\le t\le 100\,000$) — the number of test cases. The descriptions of the $t$ test cases follow.

The first line of each test case contains three integers $n$, $a$, $b$ ($1 \leq a, b \leq n \leq 200\,000$) — the number of antennas, and the origin and target antenna.

The second line contains $n$ integers $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \leq p_i \leq n$) — the powers of the antennas.

The sum of the values of $n$ over all test cases does not exceed $200\,000$.

Output

For each test case, print the number of seconds needed to trasmit a message from $a$ to $b$. It can be shown that under the problem constraints, it is always possible to send such a message.

Note

In the first test case, we must send a message from antenna $2$ to antenna $9$. A sequence of communications requiring $4$ seconds, which is the minimum possible amount of time, is the following:

In $1$ second we send the message from antenna $2$ to antenna $1$. This is possible since $|2-1|\le \min(1, 4) = \min(p_2, p_1)$.
In $1$ second we send the message from antenna $1$ to antenna $5$. This is possible since $|1-5|\le \min(4, 5) = \min(p_1, p_5)$.
In $1$ second we send the message from antenna $5$ to antenna $10$. This is possible since $|5-10|\le \min(5, 5) = \min(p_5, p_{10})$.
In $1$ second we send the message from antenna $10$ to antenna $9$. This is possible since $|10-9|\le \min(5, 1) = \min(p_{10}, p_9)$.

F. Antennas

There are $n$ equidistant antennas on a line, numbered from $1$ to $n$. Each antenna has a power rating, the power of the $i$-th antenna is $p_i$.

What is the minimum amount of time necessary to send a message from antenna $a$ to antenna $b$, possibly using other antennas as relays?

Input

Each test contains multiple test cases. The first line contains an integer $t$ ($1\le t\le 100\,000$) — the number of test cases. The descriptions of the $t$ test cases follow.

The first line of each test case contains three integers $n$, $a$, $b$ ($1 \leq a, b \leq n \leq 200\,000$) — the number of antennas, and the origin and target antenna.

The second line contains $n$ integers $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \leq p_i \leq n$) — the powers of the antennas.

The sum of the values of $n$ over all test cases does not exceed $200\,000$.

Output

For each test case, print the number of seconds needed to trasmit a message from $a$ to $b$. It can be shown that under the problem constraints, it is always possible to send such a message.

Note

In $1$ second we send the message from antenna $2$ to antenna $1$. This is possible since $|2-1|\le \min(1, 4) = \min(p_2, p_1)$.
In $1$ second we send the message from antenna $1$ to antenna $5$. This is possible since $|1-5|\le \min(4, 5) = \min(p_1, p_5)$.
In $1$ second we send the message from antenna $5$ to antenna $10$. This is possible since $|5-10|\le \min(5, 5) = \min(p_5, p_{10})$.
In $1$ second we send the message from antenna $10$ to antenna $9$. This is possible since $|10-9|\le \min(5, 1) = \min(p_{10}, p_9)$.

J. Training Camp

графы Потоки

You are organizing a training camp to teach algorithms to young kids. There are $n^2$ kids, organized in an $n$ by $n$ grid. Each kid is between $1$ and $n$ years old (inclusive) and any two kids who are in the same row or in the same column have different ages.

You want to select exactly $n$ kids for a programming competition, with exactly one kid from each row and one kid from each column. Moreover, kids who are not selected must be either older than both kids selected in their row and column, or younger than both kids selected in their row and column (otherwise they will complain). Notice that it is always possible to select $n$ kids satisfying these requirements (for example by selecting $n$ kids who have the same age).

During the training camp, you observed that some kids are good at programming, and the others are not. What is the maximum number of kids good at programming that you can select while satisfying all the requirements?

Input

The first line contains $n$ ($1 \leq n \leq 128$) — the size of the grid.

The following $n$ lines describe the ages of the kids. Specifically, the $i$-th line contains $n$ integers $a_{i,1}, \, a_{i,2}, \, \dots, \, a_{i, n}$ ($1 \le a_{i,j} \le n$) — where $a_{i,j}$ is the age of the kid in the $i$-th row and $j$-th column. It is guaranteed that two kids on the same row or column have different ages, i.e., $a_{i,j} \ne a_{i,j'}$ for any $1\le i\le n$, $1\le j < j'\le n$, and $a_{i,j} \ne a_{i',j}$ for any $1\le i < i'\le n$, $1\le j\le n$.

The following $n$ lines describe the programming skills of the kids. Specifically, the $i$-th line contains $n$ integers $c_{i,1}, \, c_{i,2}, \, \dots, \, c_{i, n}$ ($c_{i,j} \in \{0, \, 1\}$) — where $c_{i,j}=1$ if the kid in the $i$-th row and $j$-th column is good at programming and $c_{i,j}=0$ otherwise.

Output

Print the maximum number of kids good at programming that you can select while satisfying all the requirements.

Note

In the first sample, it is not possible to select the two kids good at programming (in row $1$ and column $1$, and in row $2$ and column $3$), because then you would have to select the kid in row $3$ and column $2$, and in that case two kids would complain (the one in row $1$ and column $2$, and the one in row $3$ and column $1$).

A valid selection which contains $1$ kid good at programming is achieved by choosing the $3$ kids who are $1$ year old.

In the second sample, there are $10$ valid choices of the $n$ kids that satisfy the requirements, and each of them selects exactly $2$ kids good at programming.

O. Circular Maze

графы Перебор поиск в глубину и подобное реализация

You are given a circular maze such as the ones shown in the figures.

$\text{[math]}$ Determine if it can be solved, i.e., if there is a path which goes from the center to the outside of the maze which does not touch any wall. The maze is described by $n$ walls. Each wall can be either circular or straight.

Circular walls are described by a radius $r$, the distance from the center, and two angles $\theta_1, \theta_2$ describing the beginning and the end of the wall in the clockwise direction. Notice that swapping the two angles changes the wall.
Straight walls are described by an angle $\theta$, the direction of the wall, and two radii $r_1 < r_2$ describing the beginning and the end of the wall.

Angles are measured in degrees; the angle $0$ corresponds to the upward pointing direction; and angles increase clockwise (hence the east direction corresponds to the angle $90$).

Input

Each test contains multiple test cases. The first line contains an integer $t$ ($1\le t\le 20$) — the number of test cases. The descriptions of the $t$ test cases follow.

The first line of each test case contains an integer $n$ ($1 \leq n \leq 5000$) — the number of walls.

Each of the following $n$ lines each contains a character (C for circular, and S for straight) and three integers:

either $r, \theta_1, \theta_2$ ($1 \leq r \leq 20$ and $0 \leq \theta_1,\theta_2 < 360$ with $\theta_1 \neq \theta_2$) if the wall is circular,
or $r_1$, $r_2$ and $\theta$ ($1 \leq r_1 < r_2 \leq 20$ and $0 \leq \theta < 360$) if the wall is straight.

It is guaranteed that circular walls do not overlap (but two circular walls may intersect at one or two points), and that straight walls do not overlap (but two straight walls may intersect at one point). However, circular and straight walls can intersect arbitrarily.

Output

For each test case, print YES if the maze can be solved and NO otherwise.

Note

The two sample test cases correspond to the two mazes in the picture.

D. Волшебники и дороги

графы жадные алгоритмы Паросочетания разделяй и властвуй Структуры данных *3000

В некоторой стране живут волшебники. Они любят строить города и дороги.

Раньше в стране было k городов, j-ый (1 ≤ j ≤ k) был расположен в точке (x_j, y_j). Было решено наколдовать еще n - k городов. Причем i-ый (k < i ≤ n) город колдовался в точку с координатами (x_i, y_i):

x_i = (a·x_i - 1 + b) mod (10⁹ + 9)
y_i = (c·y_i - 1 + d) mod (10⁹ + 9)

Здесь a, b, c, d — простые числа. Причем a ≠ c, b ≠ d.

После постройки всех n городов, волшебники заметили удивительное свойство. Для любых двух различных городов с номерами i и j: x_i ≠ x_j и y_i ≠ y_j.

Города построены, пора строить дороги! Было решено использовать самое сложное (и, конечно же, самое мощное) заклинание для постройки дорог. C использованием этого заклинания, между городами u, v (y_u > y_v) проводится дорога тогда и только тогда, когда для любого города w, лежащего строго внутри уголка на точках u, v (см. ниже), есть город s, не лежащий в уголке, который находится по x-координате строго между w и u и при этом y_s > y_v.

Уголком на точках p₂(x₂, y₂), p₁(x₁, y₁) (y₂ > y₁) называется множество точек (x, y), для которых выполнено хотя бы одно из двух условий:

min(x₁, x₂) ≤ x ≤ max(x₁, x₂) и y ≥ y₁
y₁ ≤ y ≤ y₂ и (x - x₂)·(x₁ - x₂) ≥ 0

$\text{[math]}$ На рисунке изображены примеры уголков

Для того, чтобы опробовать заклинание, оно будет применено ко всем городам, лежащим по x-координате в отрезке [L, R]. После постройки дорог руководство страны хочет выбрать как можно больше пар городов, соединенных дорогой, так, что никакой город не лежит в двух или более парах. Вам предлагается для каждого из m предложенных вариантов выбора значений L, R посчитать максимальное количество таких пар после постройки дорог. Обратите внимание, что города, не лежащие в отрезке [L, R] по x-координате, никак не влияют на постройку дорог.

Входные данные

В первой строке через пробел записаны два целых числа n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 10⁵, k ≤ 30). В следующих k строках записаны координаты точек расположения городов с первого по k-ый. В j-й строке записана через пробел пара целых чисел x_j, y_j (0 ≤ x_j, y_j < 10⁹ + 9) — координаты j-го города.

В следующей строке через пробел записаны целые числа a, b, c, d (2 ≤ a, b, c, d < 10⁹ + 9). Гарантируется, что эти числа простые, а так же, что a ≠ c, b ≠ d.

Гарантируется, что для любых двух различных городов с номерами i и j, x_i ≠ x_j и y_i ≠ y_j.

В следующей строке записано целое число m (1 ≤ m ≤ 10⁵) — количество вариантов постройки дорог. В следующих m строках через пробел записаны пары целых чисел L_i, R_i (0 ≤ L_i ≤ R_i < 10⁹ + 9) — варианты выбора городов, для постройки дорог.

Выходные данные

Для каждой пары чисел L_i, R_i выведите ответ на задачу в отдельной строке. Ответы для пар выводите в том порядке, в котором пары заданы во входных данных.

Примечание

В первом примере дороги соединяют города в цепочку в порядке возрастания x.

Во втором примере оставшиеся 5 городов будут построены в точках (5, 11); (20, 263098); (65, 292514823); (200, 76958738); (605, 622120197).

E. Волшебники и пари

графы математика матрицы поиск в глубину и подобное *2900

В некоторой стране живут волшебники. Они любят заключать странные пари.

Два волшебника нарисовали ациклический ориентированный граф с n вершинами и m ребрами (вершины графа пронумерованы от 1 до n). Назовем истоком вершину, в которую не входит ни одного ребра, а стоком — вершину, из которой не выходит ни одного ребра. Заметим, что вершина может быть стоком и истоком одновременно. В графе волшебников количество стоков и истоков совпадает.

Волшебники занумеровали истоки в порядке увеличения номера вершины от 1 до k. Cтоки занумерованы от 1 до k аналогичным способом.

Для заключения пари, они, как настоящие волшебники, применяют заклинание, которое выбирает набор из k путей из всех истоков в стоки, причем так, что никакие два пути не пересекаются по вершинам. В таком случае в каждый сток ведет путь из ровно одного истока. Пусть в i-ый сток ведет путь из a_i истока. Тогда назовем пару (i, j) инверсией, если i < j и a_i > a_j. Если количество инверсий среди всевозможных пар (i, j), таких что (1 ≤ i < j ≤ k), четно, то выиграл первый волшебник (второй отдает ему 1 волшебную монету). Иначе выиграл второй волшебник (он получает 1 волшебную монету от первого).

Наших волшебников охватил безумный азарт, поэтому они выбирали новые пути снова и снова так долго, что в итоге получили ровно по одному разу все возможные наборы путей. Наборы непересекающихся по вершинам путей считаются различными, если существует ребро, принадлежащее какому-то пути одного набора и не принадлежащее никакому пути другого набора. Для проверки своих записей они просят вас посчитать суммарный выигрыш первого игрока на этих наборах путей по модулю простого числа p.

Входные данные

В первой строке входного файла записано через пробел три целых числа n, m, p (1 ≤ n ≤ 600, 0 ≤ m ≤ 10⁵, 2 ≤ p ≤ 10⁹ + 7). Гарантируется, что p — простое.

В следующих m строках заданы ребра графа. В каждой строке находится пара целых чисел, разделенных пробелом, a_i b_i — ребро из вершины a_i в вершину b_i. Гарантируется, что граф ациклический и что в графе одинаковое число стоков и истоков. Обратите внимание, в графе могут быть кратные ребра.

Выходные данные

Выведите ответ на задачу — суммарный выигрыш первого игрока по модулю простого числа p. Обратите внимание, что выигрыш может быть отрицательным, но остаток по модулю должен быть неотрицательным (см. пример).

Примечание

В первом примере существует ровно 1 набор путей — $\text{[math]}$ . Число инверсий — 0, что является четным числом. Поэтому первый волшебник получает 1 монету.

Во втором примере существует ровно 1 набор путей — $\text{[math]}$ . Существует ровно одна инверсия. Поэтому первый получает -1 монету. $\text{[math]}$ .

В третьем примере существует два набора путей, которые учитываются с разными знаками.

В четвертом примере наборов путей вообще не существует.

В пятом примере есть три истока — вершины с номерами (2, 3, 5) и три стока — вершины с номерами (1, 2, 4). Для единственного набора путей $\text{[math]}$ существует 2 инверсии, то есть их число четно.

C. Где пицца?

графы математика поиск в глубину и подобное реализация снм Структуры данных *1400

Хоссам в попытках найти пиццу наткнулся на две перестановки $a$ и $b$ длины $n$.

Вспомним, что перестановкой называется массив из $n$ различных чисел от $1$ до $n$ в произвольном порядке. Например, $[2,3,1,5,4]$ — перестановка, а $[1,2,2]$ — не перестановка ($2$ встречается дважды), и $[1,3,4]$ тоже не перестановка ($n=3$, но в массиве есть число $4$).

Хоссам позабыл про пиццу и начал играть с этими перестановками. В процессе игры некоторые элементы первой перестановки смешались с элементами второй, но к удивлению Хоссама в итоге получилась тоже перестановка длины $n$.

Более конкретно, он смешал перестановки, получив массив $c$ следующим образом.

Для всех $i$ ($1\le i\le n$), он сделал $c_i=a_i$ или $c_i=b_i$.
Массив $c$ является перестановкой.

Вы знаете две перестановки $a$ и $b$ и значения на некоторых позициях в $c$. Пожалуйста, посчитайте количество различных перестановок $c$, не противоречащих описанному процессу и известным значениям. Так как ответ может быть большим, выведите его по модулю $10^9+7$.

Гарантируется, что существует хотя бы одна перестановка $c$, удовлетворяющая всем ограничениям.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^5$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1\le n\le 10^5$) — длину перестановок.

Следующая строка содержит $n$ различных чисел $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($1\le a_i\le n$) — первую перестановку.

Следующая строка содержит $n$ различных чисел $b_1,b_2,\ldots,b_n$ ($1\le b_i\le n$) — вторую перестановку.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $d_1,d_2,\ldots,d_n$ ($d_i$ равно $0$, $a_i$, или $b_i$) — описание известных значений $c$. Если $d_i=0$, то про значение $c_i$ ничего не известно. Иначе $c_i=d_i$.

Гарантируется, что существует хотя бы одна перестановка $c$, удовлетворяющая всем ограничениям.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $5 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите количество различных перестановок $c$ по модулю $10^9+7$.

Примечание

В первом наборе входных данных подходят $4$ перестановки: $[2,3,1,4,5,6,7]$, $[2,3,1,7,6,5,4]$, $[2,3,1,4,6,5,7]$, $[2,3,1,7,5,6,4]$.

Во втором наборе входных данных подходит только одна перестановка: $[1]$.

В третьем наборе входных данных подходят $2$ перестановки: $[6,5,2,1,4,3]$, $[6,5,3,1,4,2]$.

В четвертом наборе входных данных подходят $2$ перестановки: $[1,2,8,7,4,3,6,5]$, $[1,6,4,7,2,3,8,5]$.

В пятом наборе входных данных подходит только одна перестановка: $[1,9,2,3,4,10,8,6,7,5]$.

F1. Перемешивание массива

графы жадные алгоритмы Конструктив *2000

У oolimry есть массив $a$ длины $n$, который ему очень нравится. Сегодня вы изменили его массив на $b$, перестановку $a$, чтобы он расстроился.

Поскольку oolimry всего лишь утка, он может выполнять только следующую операцию для восстановления своего массива:

Выбрать два целых числа $i,j$ таких, что $1 \leq i,j \leq n$.
Поменять местами $b_i$ и $b_j$.

Печаль массива $b$ — это минимальное количество операций, необходимое для преобразования $b$ в $a$.

Для данного массива $a$, найдите любой массив $b$, который является перестановкой $a$ и имеет максимальную печаль среди всех перестановок массива $a$.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — длину массива.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq n$) — элементы массива $a$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ — описывающих массив $b$. Если ответов несколько, вы можете вывести любой.

Примечание

В первом наборе входных данных массив $[1,2]$ имеет печаль $1$. Мы можем преобразовать $[1,2]$ в $[2,1]$ с помощью одной операции с $(i,j)=(1,2)$.

Во втором наборе входных данных массив $[3,3,2,1]$ имеет печаль $2$. Мы можем преобразовать $[3,3,2,1]$ в $[1,2,3,3]$ с помощью двух операций с $(i,j)=(1,4)$ и $(i,j)=(2,3)$ соответственно.

F2. Чекер для Перемешивания массива

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2800

Выбрать два целых числа $i,j$ таких, что $1 \leq i,j \leq n$.
Поменять местами $b_i$ и $b_j$.

Печаль массива $b$ — это минимальное количество операций, необходимое для преобразования $b$ в $a$.

Для данных массивов $a$ и $b$, где $b$ — перестановка $a$, определите, имеет ли $b$ максимальную печаль среди всех перестановок $a$.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — длину массива.

Третья строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($1 \leq b_i \leq n$) — элементы массива $b$.

Гарантируется, что $b$ является перестановкой $a$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «AC» (без кавычек), если $b$ имеет максимальную печаль среди всех перестановок $a$, и «WA» (без кавычек) в противном случае.

Примечание

В третьем наборе входных данных массив $[2,1]$ имеет печаль $0$.

В четвертом наборе входных данных массив $[3,2,3,1]$ имеет печаль $1$.

G. Крестовый ксор

графы Конструктив математика матрицы *3200

Дана таблица с $r$ строк и $c$ столбцов, где в клетке на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца записано целое число $a_{i, j}$. Изначально все элементы равны $0$. Мы можем выполнять следующую операцию:

Выберем индексы $1 \le i \le r$ и $1 \le j \le c$, затем заменим все значения в той же строке или столбце, что и $(i, j)$, значением xor $1$. Другими словами, для всех $a_{x, y}$, где хотя бы одно из $x=i$ и $y=j$ верно, мы заменим $a_{x, y}$ на $a_{x, y}$ xor $1$.

Вы хотите получить таблицу $b$, проделав вышеописанные операции конечное число раз. Однако, некоторые элементы $b$ отсутствуют и заменены на '?'.

Пусть $k$ — количество символов '?'. Среди всех $2^k$ способов заполнения таблицы $b$ путем замены каждого '?' на '0' или '1', подсчитайте количество таблиц, которые могут быть получены путем выполнения этой операции конечное число раз, начиная с таблицы, заполненной $0$. Поскольку это число может быть большим, выведите его по модулю $998244353$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $r$ и $c$ ($1 \le r, c \le 2000$) — количество строк и столбцов таблицы соответственно.

$i$-я из следующих $r$ строк содержит $c$ символов $b_{i, 1}, b_{i, 2}, \ldots, b_{i, c}$ ($b_{i, j} \in \{0, 1, ?\}$).

Выходные данные

Выведите одно целое число, представляющее количество способов заполнения таблицы $b$ по модулю $998244353$.

Примечание

В первом примере единственный способ заполнить $\texttt{?}$ — это заполнить так:

0	1	0
1	1	1
0	1	0

Этого можно добиться, выполнив одну операцию, выбрав $(i,j)=(2,2)$.

Во втором примере можно показать, что не существует последовательности операций, которые могут создать такую таблицу.

G. Удали ориентированные ребра

графы дп поиск в глубину и подобное *2000

Дан ориентированный ацикличный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Вершины пронумерованы от $1$ до $n$. В графе нет кратных ребер и петель.

Пусть $\mathit{in}_v$ будет количеством входящих ребер (степень входа), а $\mathit{out}_v$ будет количеством исходящих ребер (степень исхода) вершины $v$.

Требуется удалить некоторые ребра из графа. Пусть новые степени будут $\mathit{in'}_v$ и $\mathit{out'}_v$.

Разрешается удалять ребра, только если выполняются следующие условия для каждой вершины $v$:

$\mathit{in'}_v < \mathit{in}_v$ or $\mathit{in'}_v = \mathit{in}_v = 0$;
$\mathit{out'}_v < \mathit{out}_v$ or $\mathit{out'}_v = \mathit{out}_v = 0$.

Назовем множество вершин $S$ красивым, если для каждой пары вершин $v$ и $u$ ($v \neq u$), таких, что $v \in S$ и $u \in S$, существует путь либо из $v$ в $u$, либо из $u$ в $v$ по неудаленным ребрам.

Какой максимальный возможный размер красивого множества $S$ после того, как вы удалите некоторые ребра из графа, а степени входа и исхода всех вершин либо уменьшатся, либо останутся равны $0$?

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $0 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин и количество ребер графа.

В каждой из следующих $m$ строк записаны два целых числа $v$ и $u$ ($1 \le v, u \le n$; $v \neq u$) — описание ребра.

Данные ребра образуют корректный ориентированный ацикличный граф. Кратные ребра отсутствуют.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальный возможный размер красивого множества $S$ после того, как вы удалите некоторые ребра из графа, а степени входа и исхода всех вершин либо уменьшатся, либо останутся равны $0$.

Примечание

В первом примере можно удалить ребра $(1, 2)$ и $(2, 3)$. $\mathit{in} = [0, 1, 2]$, $\mathit{out} = [2, 1, 0]$. $\mathit{in'} = [0, 0, 1]$, $\mathit{out'} = [1, 0, 0]$. Можно видеть, что для всех $v$ условия выполняются. Максимальное красивое множество $S$ образовано вершинами $1$ и $3$. Они все еще соединены ребром напрямую, поэтому между ними есть путь.

Во втором примере нет ребер. Так как все $\mathit{in}_v$ и $\mathit{out}_v$ равны $0$, оставить граф с нулем ребер разрешено. Есть $5$ красивых множеств, в каждом содержится одна вершина. Поэтому максимальный размер множества равен $1$.

В третьем примере можно удалить ребра $(7, 1)$, $(2, 4)$, $(1, 3)$ и $(6, 2)$. Максимальное красивое множество $S = \{7, 3, 2\}$. Можно еще удалить ребро $(7, 3)$, и ответ не изменится.

Изображение графа с третьего примера:

$\text{[math]}$

D. Вертикальные пути

графы Деревья реализация *1300

Задано корневое дерево из $n$ вершин. Вершины пронумерованы от $1$ до $n$. Корнем может быть любая из вершин.

Дерево — это связный неориентированный граф без циклов. Корневое дерево — дерево с выделенной вершиной, которую называют корнем.

Дерево задано массивом предков $p$, содержащим $n$ целых чисел: $p_i$ — предок вершины с номером $i$. Предком вершины $u$ называется такая вершина, которая является следующей вершиной на кратчайшем пути от $u$ к корню. Например, на простом пути из $5$ в $3$ (корень), следующая вершина будет $1$, таким образом, предком вершины $5$ является вершина $1$.

У корня предка нет, для него в качестве $p_i$ используется значение $i$ (таким образом, корень — единственная вершина, для которой $p_i=i$).

Найдите такой набор путей, что:

каждая вершина принадлежит ровно одному пути, каждый путь может содержать одну или более вершину;
в каждом пути каждая очередная вершина — это сын текущей вершины (то есть пути всегда ведут вниз — от родителя к сыну);
количество путей минимально.

Например, если $n=5$ и $p=[3, 1, 3, 3, 1]$, то дерево можно разбить на три пути:

$3 \rightarrow 1 \rightarrow 5$ (путь из $3$ вершин),
$4$ (путь из $1$ вершины),
$2$ (путь из $1$ вершины).

$\text{[math]}$ Пример разбиения корневого дерева на три пути для $n=5$, корень дерева — вершина $3$.

Входные данные

Каждый набор входных данных состоит из двух строк.

В первой из них записано целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

Во второй записано $n$ целых чисел $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$). Гарантируется, что массив $p$ кодирует некоторое корневое дерево.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных в тесте не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных на первой строке выведите целое число $m$ — минимальное количество непересекающихся путей, идущих сверху вниз, которыми можно покрыть все вершины дерева.

Затем выведите $m$ пар строк, содержащих описания путей. В первую из них выведите длину пути, во второй — последовательность вершин, задающих этот путь в порядке сверху вниз. Вы можете выводить пути в любом порядке.

Если ответов несколько, выведите любой из них.

G. Чёрно-белые сбалансированные поддеревья

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *1300

Вам дано подвешенное дерево из $n$ вершин, пронумерованных от $1$ до $n$. Корнем является вершина $1$. Также есть строка $s$, задающая цвета всех вершин: если $s_i = \texttt{B}$, то вершина $i$ чёрная, а если $s_i = \texttt{W}$, то вершина $i$ белая.

Поддерево дерева называется сбалансированным, если количество белых вершин поддерева равняется количеству чёрных вершин поддерева. Посчитайте количество сбалансированных поддеревьев.

$\text{[math]}$ На картинке дерево при $n=7$, $a=[1,1,2,3,3,5]$ и $s=\texttt{WBBWWBW}$. Поддерево вершины $3$ сбалансированно.

Дерево — это связный граф без циклов. Подвешенное дерево — это дерево с выбранной вершиной, которую называют корнем. В этой задаче корнем каждого дерева является вершина $1$.

Дерево описано массивом предков $a_2, \dots, a_n$, содержащим $n-1$ число: $a_i$ — предок вершины с номером $i$ для всех $i = 2, \dots, n$. Предок вершины $u$ это следующая вершина на простом пути от $u$ к корню. Поддерево вершины $u$ — это множество всех вершин, которые содержат $u$ в пути к корню. Например на картинке выше, $7$ в поддереве у $3$, потому что простой путь $7 \to 5 \to 3 \to 1$ проходит через $3$. Обратите внимание, что сама вершина входит в своё поддерево, и поддеревом корня является всё дерево.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит число $n$ ($2 \le n \le 4000$) — количество вершин в дереве.

Вторая строка каждого набора содержит $n-1$ число $a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i < i$) — родители вершин $2, \dots, n$.

Третья строка каждого набора содержит строку $s$ длины $n$, состоящую из символов $\texttt{B}$ и $\texttt{W}$ — раскраска дерева.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно число — количество сбалансированных поддеревьев.

Примечание

Первый пример изображён в условии. Только поддеревья вершин $2$ и $3$ сбалансированны.

Во втором примере только поддерево вершины $1$ сбалансированно.

в третьем примере сбалансированны поддеревья вершин $1$, $3$, $5$ и $7$.

C. Tokitsukaze и две красочные ленты

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *1900

У Tokitsukaze есть две красочные ленты. Существует $n$ различных цветов, пронумерованных от $1$ до $n$, и каждый цвет появляется ровно один раз на каждой из двух лент. Обозначим цвет $i$-й позиции первой ленты как $ca_i$, а цвет $i$-й позиции второй ленты как $cb_i$.

Теперь Tokitsukaze хочет выбрать для каждого цвета некоторое целочисленное значение от $1$ до $n$, различные для всех цветов. После этого она запишет во все позиции на каждой ленте значение соответствующего цвета. Обозначим число, записанное в $i$-й позиции первой ленты как $numa_i$, а число в $i$-й позиции второй ленты как $numb_i$.

$\text{[math]}$

В примере на рисунке выше, если предположить, что красный цвет получит значение $x$ ($1 \leq x \leq n$), то так как он появляется на $1$-й позиции первой ленты и на $3$-й позиции второй ленты, то $numa_1=numb_3=x$.

Обратите внимание, что все цвета $i$ от $1$ до $n$ будут иметь различные значения, и один и тот же цвет, встречающийся в обеих лентах, будет иметь одинаковое значение.

После выбора значений цветов красота двух лент рассчитывается как \sum_{i=1}^{n}|numa_i-numb_i|.

Пожалуйста, помогите Tokitsukaze найти самую высокую возможную красоту лент.

Входные данные

Первая строка содержит единственное положительное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Дальше следует описание наборов входных данных:

Первая строка содержит единственное целое число $n$ ($1\leq n \leq 10^5$) — количество цветов.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $ca_1, ca_2, \ldots, ca_n$ ($1 \leq ca_i \leq n$) — цвет каждой позиции первой ленты. Гарантируется, что $ca$ является перестановкой.

Третья строка содержит $n$ целых чисел $cb_1, cb_2, \ldots, cb_n$ ($1 \leq cb_i \leq n$) — цвет каждой позиции второй ленты. Гарантируется, что $cb$ является перестановкой.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^{5}$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — наибольшую возможную красоту.

Примечание

Оптимальное решение для первого набора входных данных показано на следующем рисунке:

$\text{[math]}$

Оптимальное решение для второго набора входных данных показано на следующем рисунке:

$\text{[math]}$

D. Граф? А... А я думал, барон...

Бинарный поиск графы дп поиск в глубину и подобное *1900

Однажды Маша прогуливалась по парку и нашла под деревом граф... Удивлены? Вы думали, что в этой задаче будет логичная обоснованная история? Не дождетесь! Так вот...

У Маши есть ориентированный граф, в $i$-й вершине которого записано некоторое целое положительное число $a_i$. Изначально Маша может положить в некоторую вершину графа монетку. За один ход разрешается переместить монетку, которая сейчас находится в некоторой вершине $u$, в любую вершину $v$, такую что в графе существует ориентированное ребро $u \to v$. Каждый раз, когда монетка оказывается в какой-либо вершине $i$, Маша записывает в блокнот число $a_i$ (в частности, когда Маша изначально кладет монетку в некоторую вершину графа, она пишет в блокнот число, записанное в этой вершине). Маша хочет сделать ровно $k - 1$ ходов таким образом, чтобы максимальное число, записанное ей в блокноте, было как можно меньше.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $0 \le m \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le k \le 10^{18}$) — количество вершин и ребер в графе, а также количество ходов, которое хочет сделать Маша, соответственно.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_i$ ($1 \le a_i \le 10^9$) — числа, записанные в вершинах графа.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u \ne v \le n$) — это означает, что в графе существует ребро $u \to v$.

Гарантируется, что граф не содержит петель и кратных ребер.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное значение максимального числа, которое Маша выписала в блокнот, при оптимальном перемещении монетки.

В случае, если Маше не удастся переместить монетку $k - 1$ раз, в качестве ответа выведите число $-1$.

Примечание

На изображении ниже приведен граф, описанный в первых двух примерах.

$\text{[math]}$

В первом примере можно выбрать в качестве изначальной вершину $1$. После этого можно выполнить три хода: $1 \to 3$, $3 \to 4$ и $4 \to 5$. В итоге в блокнот будут записаны числа $1, 2, 3$ и $4$.

Во втором примере можно выбрать в качестве изначальной вершину $2$. После этого можно выполнить $99$ ходов: $2 \to 5$, $5 \to 6$, $6 \to 2$, $2 \to 5$, и так далее. В итоге в блокнот будут записаны числа $10, 4, 5, 10, 4, 5, \ldots, 10, 4, 5, 10$.

В третьем примере на имеющемся графе не удастся выполнить $4$ хода.

F. Свободное вершинное покрытие

графы Деревья поиск в глубину и подобное разделяй и властвуй снм *2600

Дан простой связный неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Вершины пронумерованы от $1$ до $n$.

Вершинное покрытие графа — это такой набор вершин, что у каждого ребра есть хотя бы один конец в наборе.

Назовем свободным вершинным покрытием такое вершинное покрытие, что не более одного ребра имеет оба конца в наборе.

Найдите свободное вершинное покрытие графа или сообщите, что его нет. Если существует несколько ответов, то выведите любой из них.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных записаны два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 10^6$; $n - 1 \le m \le \min(10^6, \frac{n \cdot (n - 1)}{2})$) — количество вершин и количество ребер графа.

В каждой из следующих $m$ строк записаны два целых числа $v$ и $u$ ($1 \le v, u \le n$; $v \neq u$) — описания ребер.

В каждом наборе входных данных граф связный и не содержит кратных ребер. Сумма $n$ по всем наборам не превосходит $10^6$. Сумма $m$ по всем наборам не превосходит $10^6$.

Выходные данные

На каждый набор входных данных в первой строке выведите YES, если свободное вершинное покрытие существует и NO, если нет. Если оно существует, то во второй строке выведите бинарную строку $s$ длины $n$, где $s_i = 1$ означает, что $i$-я вершина в вершинном покрытии, а $s_i = 0$ означает, что $i$-я вершина не в нем.

Если существует несколько ответов, то выведите любой из них.

Примечание

Здесь изображены графы из первого примера. Вершины в свободном вершинном покрытии помечены красным.

$\text{[math]}$

E. Неупорядоченные обмены

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив математика поиск в глубину и подобное сортировки *2700

У Алисы есть перестановка $p$ чисел от $1$ до $n$. Алиса может поменять местами пару $(x, y)$, что означает поменять местами элементы в позициях $x$ и $y$ в $p$ (то есть поменять местами $p_x$ и $p_y$). Алиса недавно изучила свой первый алгоритм сортировки, поэтому она решила отсортировать свою перестановку за минимальное количество возможных обменов. Она записала на листе бумаги все обмены в том порядке, в котором она их выполняла для сортировки перестановки.

Например,

$[(2, 3), (1, 3)]$ является правильной последовательностью обменов Алисы для перестановки $p = [3, 1, 2]$, в то время как $[(1, 3), (2, 3)]$ не является, потому что не сортирует перестановку. Обратите внимание, что мы не можем отсортировать перестановку менее чем за $2$ обмена.
$[(1, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 3)]$ не может быть последовательностью обменов Алисы для $p = [2, 1, 4, 3]$, даже если она сортирует перестановку, потому что $p$ можно отсортировать за $2$ обмена, например, используя последовательность $[(4, 3), (1, 2)]$.

К сожалению, Боб переставил местами обмены в последовательности, выписанной Алисой.

Вам дана перестановка Алисы $p$ и обмены, сделанные Алисой в произвольном порядке. Можете ли вы восстановить правильную последовательность обменов, которая сортирует перестановку $p$? Поскольку Алиса написала правильные обмены до того, как Боб их перемешал, гарантируется, что существует некоторый порядок обменов, который сортирует перестановку.

Входные данные

Первая строка содержит $2$ целых числа $n$ и $m$ $(2 \le n \le 2 \cdot 10^5, 1 \le m \le n - 1)$ — размер перестановки и минимальное количество обменов, необходимое для сортировки перестановки.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $p_1, p_2, ..., p_n$ ($1 \le p_i \le n$, все $p_i$ различны) — элементы $p$. Гарантируется, что $p$ образует перестановку.

Далее следуют $m$ строк. В $i$-й из следующих $m$ строк содержатся два целых числа $x_i$ и $y_i$ — обозначающих $i$-й обмен $(x_i, y_i)$.

Гарантируется, что можно отсортировать $p$ с этими $m$ обменами и что нет способа отсортировать $p$ с менее чем $m$ обменами.

Выходные данные

Выведите перестановку $m$ целых чисел — правильный порядок обменов, выписанный Алисой, который сортирует перестановку $p$. Для лучшего понимания обратитесь к объяснению примера.

В случае нескольких возможных ответов выведите любой.

Примечание

В первом примере $p = [2, 3, 4, 1]$, $m = 3$ и заданы обмены $[(1, 4), (2, 1), (1, 3)]$.

Существует только один правильный порядок обмена, а именно $[2, 3, 1]$.

Сначала мы выполняем обмен $2$ из входных данных, т.е. $(2, 1)$, $p$ становится $[3, 2, 4, 1]$.
Затем мы выполняем обмен $3$ из входных данных, т.е. $(1, 3)$, $p$ становится $[4, 2, 3, 1]$.
Наконец, мы выполняем обмен $1$ из входных данных, т.е. $(1, 4)$ и $p$ становится $[1, 2, 3, 4]$, что является отсортированным.

Во втором примере $p = [6, 5, 1, 3, 2, 4]$, $m = 4$ и заданные обмены $[(3, 1), (2, 5), (6, 3), (6, 4)]$.

Один из возможных правильных порядков обмена — $[4, 2, 1, 3]$.

Выполните обмен $4$ из входных данных, т.е. $(6, 4)$, $p$ становится $[6, 5, 1, 4, 2, 3]$.
Выполните обмен $2$ из входных данных, т.е. $(2, 5)$, $p$ становится $[6, 2, 1, 4, 5, 3]$.
Выполните обмен $1$ из входных данных, т.е. $(3, 1)$, $p$ становится $[1, 2, 6, 4, 5, 3]$.
Выполните обмен $3$ из входных данных, т.е. $(6, 3)$ и $p$ становится $[1, 2, 3, 4, 5, 6]$, что является отсортированным.

Возможны и другие ответы, например, $[1, 2, 4, 3]$.

F. Поток минимальной стоимости?

графы жадные алгоритмы Потоки сортировки Структуры данных *2700

Вам даны два массива $a$ и $b$ целых чисел ($b_i \neq 0$ и $|b_i| \leq 10^9$). Массив $a$ отсортирован в неубывающем порядке.

Стоимость подмассива $a[l:r]$ определяется следующим образом:

Если $ \sum\limits_{j = l}^{r} b_j \neq 0$, то стоимость не определена.
Иначе:
- Постройте двудольный поточный граф с $r-l+1$ вершинами, помеченными от $l$ до $r$, причем все вершины с $b_i \lt 0$ расположены слева, а с $b_i \gt 0$ — справа. Для каждых $i, j$ таких, что $l \le i, j \le r$, $b_i<0$ и $b_j>0$, нарисуйте ребро от $i$ к $j$ с бесконечной пропускной способностью и стоимостью единицы потока равной $|a_i-a_j|$.
- Добавьте еще две вершины: источник $S$ и сток $T$.
- Для каждого $i$ такого, что $l \le i \le r$ и $b_i<0$, добавьте ребро от $S$ к $i$ со стоимостью $0$ и пропускной способностью $|b_i|$.
- Для каждого $i$ такого, что $l \le i \le r$ и $b_i>0$, добавьте ребро от $i$ к $T$ со стоимостью $0$ и пропускной способностью $|b_i|$.
- Стоимость подмассива определяется как минимальная стоимость максимального потока из $S$ в $T$.

Вам даны $q$ запросов в виде двух целых чисел $l$ и $r$. Вы должны вычислить стоимость подмассива $a[l:r]$ для каждого запроса, по модулю $10^9 + 7$.

Если вы не знаете, что означает минимальная стоимость максимального потока, обратитесь сюда.

Входные данные

Первая строка ввода содержит два целых числа $n$ и $q$ $(2 \leq n \leq 2\cdot 10^5, 1 \leq q \leq 2\cdot10^5)$ — длину массивов $a$, $b$ и количество запросов.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $a_1,a_2 \ldots a_n$ ($0 \leq a_1 \le a_2 \ldots \le a_n \leq 10^9)$ — массив $a$. Гарантируется, что $a$ отсортирован в неубывающем порядке.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $b_1,b_2 \ldots b_n$ $(-10^9\leq b_i \leq 10^9, b_i \neq 0)$ — массив $b$.

В $i$-й из следующих $q$ строк содержится два целых числа $l_i,r_i$ $(1\leq l_i \leq r_i \leq n)$. Гарантируется, что $ \sum\limits_{j = l_i}^{r_i} b_j = 0$.

Выходные данные

Для каждого запроса $l_i$, $r_i$ — выведите стоимость подмассива $a[l_i:r_i]$ по модулю $10^9 + 7$.

Примечание

В первом запросе, максимально возможный поток составляет $1$, т.е. одна единица из источника в $2$, затем одна единица из $2$ в $3$, затем одна единица из $3$ в сток. Стоимость потока равна $0 \cdot 1 + |2 - 4| \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 2$.

Во втором запросе, максимально возможный поток снова составляет $1$, т.е. от источника к $7$, от $7$ к $6$ и от $6$ к стоку со стоимостью $0 \cdot |10 - 10| \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0$.

В третьем запросе, граф показан слева с пропускной способностью, указанной вне скобок, и стоимостью, указанной в скобках. Изображение справа показывает поток через каждое ребро в оптимальной конфигурации.

$\text{[math]}$ Максимальный поток составляет $3$ при стоимости $0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 = 9$.

В четвертом запросе, сеть потока выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

Минимальная стоимость максимального потока достигается следующим образом:

$\text{[math]}$

Максимальный поток в этой сети равен 4, а минимальная стоимость такого потока равна 15.

B. Железнодорожная система

графы жадные алгоритмы интерактив Конструктив сортировки *1700

Это интерактивная задача.

Под непосредственным наблюдением Kanako и Moriya железнодорожная система Gensokyo наконец-то завершена. GSKR (Gensokyo Railways) состоит из $n$ станций с $m$ двунаправленными дорожками, соединяющими их. $i$-я дорожка имеет длину $l_i$ ($1\le l_i\le 10^6$). Из-за бюджетных ограничений железнодорожная система может быть не связной, хотя между двумя станциями может быть более одного пути.

Значение железнодорожной системы определяется как общая длина всех ее дорожек. Максимальная (или минимальная) мощность железнодорожной системы определяется как максимальное (или минимальное) значение среди всех полных остовных лесов.

Полный остовный лес графа — это остовный лес с той же связностью, что и данный граф.

У Kanako есть симулятор, способный обрабатывать не более $2m$ запросов. На вход симулятора подается строка $s$ длины $m$, состоящая из символов 0 и/или 1. Симулятор оставит $i$-ю дорожку, если $s_i=$ 1. Затем устройство сообщит Kanako максимальную мощность системы в смоделированном состоянии.

Kanako хочет узнать минимальную мощность системы со всеми дорожками с помощью симулятора.

Структура железнодорожной системы определяется заранее. Другими словами, интерактор не адаптивен.

Входные данные

Первая и единственная строка ввода содержит два целых числа $n,m$ ($2 \leq n \leq 200$, $1\le m \le 500$) — количество станций и путей.

Протокол взаимодействия

Начните взаимодействие, прочитав $n,m$.

Чтобы сделать запрос, выведите «? $s$» (без кавычек, $s$ — это строка длины $m$, состоящая из символов 0 и/или 1 ). Затем вы должны прочитать наш ответ из стандартного ввода — максимальная мощность системы в смоделированном состоянии.

Если ваша программа сделала недопустимый запрос или закончились попытки, интерактор немедленно завершится, и ваша программа получит вердикт Неверный ответ.

Чтобы дать окончательный ответ, выведите «! $L$» (без кавычек, $L$ — это минимальная мощность системы со всеми дорожками). Обратите внимание, что предоставление этого ответа не считается как один из $2m$ запросов.

После печати запроса не забудьте вывести конец строки и очистить вывод. В противном случае вы получите превышение лимита бездействия. Для этого используйте:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Паскале;
stdout.flush() в Python;
см. документацию для других языков.

Взломы

Первая строка ввода должна содержать два целых числа $n,m$ ($2 \leq n \leq 200$, $1\le m \le 500$) — количество станций и путей.

Следующие $m$ строк должны содержать ровно $3$ целых чисел через пробел $u_i$, $v_i$, $l_i$ ($1\le u_i,v_i \le n$, $u_i\ne v_i$, $1 \leq l_i \leq 10^6$) — вершины ребра и длина $i$-й дорожки.

Примечание

Пример из условия, в котором $l_i=i$:

$\text{[math]}$

E. Бесконечность

битмаски графы Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное снм *2500

После окончания университета Влад получил массив $a_1,a_2,\ldots,a_n$ из $n$ целых неотрицательных чисел. Он сразу же захотел построить граф, состоящий из $n$ вершин, пронумерованных $1, 2,\ldots, n$. Он решил добавлять ребро между $i$ и $j$ тогда и только тогда, когда $a_i \& a_j > 0$, где $\&$ обозначает операцию побитового И.

Влад также хочет, чтобы такой граф был связным, что, к сожалению, может быть не так. Чтобы удовлетворить свое желание, он может выполнять следующие два типа операций над массивом:

Выбрать некоторый элемент $a_i$ и увеличить его на $1$.
Выбрать некоторый элемент $a_i$ и уменьшить его на $1$ (разрешено, только если $a_i > 0$).

Можно доказать, что существует конечная последовательность таких операций, при которой граф станет связным. Не могли бы вы помочь Владу найти минимально возможное количество операций для этого, а также предоставить способ, как это сделать?

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных.

В первой строке каждого набора задано одно целое число $n$ ($2\leq n \leq 2000$).

Во второй строке каждого набора задано $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($0\leq a_i < 2^{30}$) — элементы массива.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам не превышает $2000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите в первой строке единственное целое число $m$ — минимальное количество операций. Во второй строке выведите массив после допустимой последовательности операций, которые были выполнены так, что граф из задачи стал связным.

Если решений несколько, выведите любое.

Примечание

В первом наборе входных данных граф уже связен.

Во втором наборе входных данных мы можем дважды увеличить $0$ и получить массив $[2,2]$. Поскольку $2 \& 2 = 2 > 0$, граф связен. Можно показать, что одной операции недостаточно.

В третьем наборе входных данных мы можем один раз уменьшить $12$ и получить массив $[3,11]$. $3 \& 11 = 3 > 0$, следовательно, граф связен. Необходимо выполнить одну операцию, так как граф вначале не связен.

F. Движущаяся строка

графы математика Строки теория чисел *1700

Поликарп нашёл строку $s$ и перестановку $p$. Их длины оказались одинаковы и равны $n$.

Перестановка из $n$ элементов — это массив длины $n$, в котором каждое целое число от $1$ до $n$ встречается ровно по одному разу. Например, $[1, 2, 3]$ и $[4, 3, 5, 1, 2]$ — это перестановки, но $[1, 2, 4]$, $[4, 3, 2, 1, 2]$ и $[0, 1, 2]$ — это не перестановки.

За одну операцию он может умножить $s$ на $p$, то есть заменить строку $s$ на строку $new$, в которой для каждого $i$ от $1$ до $n$ верно, что $new_i = s_{p_i}$. Например, при $s=wmbe$ и $p = [3, 1, 4, 2]$, после применения операции строка превратится в $s=s_3 s_1 s_4 s_2=bwem$.

Поликарпу стало интересно, через сколько операций строка впервые вернётся к своему первоначальному виду. Так как это может занять слишком много времени, он просит вашей помощи в этом вопросе.

Можно доказать, что искомое количество операций всегда существует. Оно может оказаться очень большим, используйте 64-битный целочисленный тип.

Входные данные

В первой строке входных данных записано целое число $t$ ($1 \le t \le 5000$) — количество наборов входных данных в тесте.

Первая строка каждого набора содержит целое число $n$ ($1 \le n \le 200$) — длину строки и перестановки.

Вторая строка каждого набора содержит строку $s$ длины $n$, состоящую из строчных латинских букв.

Третья строка каждого набора содержит $n$ целых чисел — перестановку $p$ ($1 \le p_i \le n$), все $p_i$ различны.

Выходные данные

Выведите $t$ строк, каждая из которых содержит ответ на соответствующий набор входных данных. В качестве ответа выведите единственное число — минимальное количество операций, после которого строка $s$ станет такой же, какой была до их применения.

Примечание

В первом наборе входных данных применение операции не изменяет строку, поэтому она станет равной самой себе после $1$ операции.

Во втором наборе входных данных строка будет меняться следующим образом:

$s$ = babaa
$s$ = abaab
$s$ = baaba
$s$ = abbaa
$s$ = baaab
$s$ = ababa

E. Число групп отрезков

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм сортировки Структуры данных *2300

Вам дано $n$ цветных отрезков на числовой оси. Каждый отрезок либо красный, либо синий. Отрезок $i$ описывается тройкой чисел $(c_i, l_i, r_i)$. Отрезок содержит все точки на отрезке $[l_i, r_i]$, включая концы, а его цвет описывается значением $c_i$:

если $c_i = 0$, то это красный отрезок;
если $c_i = 1$, то это синий отрезок.

Скажем, что два отрезка различных цветов соединены, если они имеют хотя бы одну общую точку. Два отрезка принадлежат одной группе отрезков, если они соединены непосредственно или через цепочку соединенных непосредственно отрезок. Найдите число различных групп отрезков.

$\text{[math]}$

Входные данные

Первая строка набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 10^5$) — количество отрезков.

Каждая из следующих $n$ строк содержит три целых числа $c_i, l_i, r_i$ ($0 \leq c_i \leq 1, 0 \leq l_i \leq r_i \leq 10^9$), описывающие $i$-й отрезок.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число $k$ — количество групп отрезков.

Примечание

В первом примере $5$ отрезков. Отрезки $1$ и $2$ соединены, так как они различных цветов и имеют общую точку. Также отрезки $2$ и $3$ соединены, и отрезки $4$ и $5$ соединены. Таким образом, есть две группы: одна содержит отрезки $\{1, 2, 3\}$, другая содержит отрезки $\{4, 5\}$.

C. Keshi ищет AmShZ

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути *2300

AmShZ приехал в Италию из Ирана на концерт Тома Йорка. В Италии есть $n$ городов с номерами от $1$ до $n$ и $m$ ориентированных дорог с номерами от $1$ до $m$. Изначально Keshi находится в городе $1$ и хочет добраться к дому AmShZ в городе $n$. Поскольку Keshi не знает карту Италии, AmShZ помогает ему встретиться как можно скорее.

В начале каждого дня AmShZ может отправить Keshi одно из следующих двух сообщений:

AmShZ отправляет Keshi номер одной дороги, обозначая её как блокированную дорогу. Тогда Keshi поймет, что он никогда не должен пользоваться этой дорогой и останется в своем текущем городе на весь день.
AmShZ говорит Keshi двигаться. Затем Keshi случайным образом выберет один из городов, до которых можно добраться из его текущего города, и переедет туда. (Город $B$ достижим из города $A$, если есть исходящая дорога из города $A$ в город $B$, которая еще не заблокирована). Если таких городов нет, Keshi останется в своем текущем городе.
Заметим, что AmShZ всегда знает текущее местоположение Keshi.

AmShZ и Keshi хотят найти наименьшее возможное целое число $d$, при котором они могут быть уверены, что увидят друг друга через не более чем $d$ дней. Помогите им найти $d$.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ $(2 \le n \le 2 \cdot 10^5, 1 \le m \le 2 \cdot 10^5)$ — количество городов и дорог соответственно.

В $i$-й строке из следующих $m$ строк содержится два целых числа $v_i$ и $u_i$ $(1 \le v_i , u_i \le n,v_i \neq u_i)$, обозначающих ориентированную дорогу, идущую из города $v_i$ в город $u_i$.

Гарантируется, что существует хотя бы один маршрут из города $1$ в город $n$. Обратите внимание, что между парой городов может быть более одной дороги в каждом направлении.

Выходные данные

Выведите наименьшее возможное целое число $d$, при котором они могут быть уверены, что увидят друг друга через не более чем $d$ дней.

Примечание

В первом примере достаточно, чтобы AmShZ отправил сообщение второго типа.

Во втором примере, в первый день, AmShZ блокирует первую дорогу. Поэтому единственным городом, до которого можно добраться из города $1$, будет город $4$. Следовательно, на второй день AmShZ может сказать Keshi двигаться, и Keshi прибудет в дом AmShZ.

AmShZ также может сказать Keshi двигаться в течение двух дней.

C. Нулевой путь

графы дп жадные алгоритмы кратчайшие пути Перебор Структуры данных *1700

Вам дана таблица с $n$ строк и $m$ столбцов. Обозначим ячейку в $i$-й ($1\le i\le n$) строке и $j$-м ($1\le j\le m$) столбце через $(i, j)$, а число в ней через $a_{ij}$. Все числа равны $1$ или $-1$.

Вы начинаете с ячейки $(1, 1)$ и можете перемещаться на одну ячейку вниз или вправо за один раз. В конце концов, вы хотите оказаться в ячейке $(n, m)$.

Можно ли двигаться таким образом, чтобы сумма значений, записанных во всех посещенных ячейках (включая $a_{11}$ и $a_{nm}$), была равна $0$?

$\text{[math]}$

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит количество наборов входных данных $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$). Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 1000$) — размер таблицы.

Каждая из следующих $n$ строк содержит $m$ целых чисел. $j$-е целое число в $i$-й строке это $a_{ij}$ ($a_{ij} = 1$ или $-1$) — элемент в ячейке $(i, j)$.

Гарантируется, что сумма $n\cdot m$ по всем наборам входных данных не превышает $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES», если существует путь из левого верхнего угла в правый нижний, который дает в сумме $0$, и «NO» в противном случае. Вы можете выводить каждую букву в любом регистре.

Примечание

Один из возможных путей для четвертого набора входных данных приведен на рисунке в утверждении.

E. Неоднозначное домино

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2700

Поликарп и Монокарп решают одну и ту же головоломку с домино. Им дан одинаковый набор из $n$ доминошек, $i$-я из которых содержит два числа $x_i$ и $y_i$. Также им обоим дана одинаковая таблица $m$ на $k$ с числами $a_{ij}$ такая, что $m\cdot k = 2n$.

Задача состоит в том, чтобы разместить $n$ доминошек на таблице таким образом, чтобы никакие две из них не пересекались, а значения на каждой доминошке совпадали со значениями $a_{ij}$, которые покрывает доминошка. Домино можно произвольно поворачивать перед размещением на таблице, поэтому домино $(x_i, y_i)$ эквивалентно домино $(y_i, x_i)$.

Они оба решили головоломку и сравнили свои ответы, но заметили, что их решения не только не совпадают, но ни одна из $n$ доминошек не находится в одном и том же месте в обоих решениях! Формально, если в решении Поликарпа две ячейки были покрыты одной и той же доминошкой, то в решении Монокарпа они были покрыты разными доминошками. На изображении ниже показана одна потенциальная таблица $a$, а также решения двух игроков.

$\text{[math]}$

Поликарп и Монокарп помнят набор домино, с которого они начинали, но они потеряли таблицу $a$. Помогите им восстановить одну из возможных таблиц $a$, а также оба их решения, или определите, что такой таблицы не существует.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 3\cdot 10^5$).

В $i$-й из следующих $n$ строк содержится два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le 2n$).

Выходные данные

Если решения нет, выведите одно целое число $-1$.

В противном случае выведите $m$ и $k$, высоту и ширину сетки головоломки, в первой строке вывода. Они должны удовлетворять условию $m\cdot k = 2n$.

В $i$-й из следующих $m$ строк должно быть $k$ целых чисел, $j$-е из которых $a_{ij}$.

Следующие $m$ строк описывают решение Поликарпа. Выведите $m$ строк по $k$ символов в каждой. Для каждой ячейки, если она покрыт верхней половиной домино в решении Поликарпа, в ней должна стоять буква «U». Аналогично, если она покрыта нижней, левой или правой половиной домино, она должна содержать «D», «L» или «R», соответственно.

Следующие $m$ строк должны описывать решение Монокарпа в том же формате, что и решение Поликарпа.

Если ответов несколько, выведите любой из них

Примечание

Дополнительные пустые строки добавляются в вывод для наглядности, но не являются обязательными.

Третий пример соответствует изображению из условия.

F. Восстановление дерева

графы Деревья Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное снм *2600

Fishingprince любит деревья. Дерево — это связный неориентированный граф без циклов.

У Fishingprince'а есть дерево на $n$ вершинах. Его вершины пронумерованы числами от $1$ до $n$. Пусть $d(x,y)$ равно длине кратчайшего расстояния между вершинами $x$ и $y$, если считать длину каждого ребра равной $1$.

К сожалению, Fishingprince потерял своё дерево. Тем не менее какая-то информация о нём сохранилась. А именно, для каждой тройки чисел $x,y,z$ ($1\le x<y\le n$, $1\le z\le n$) известно, выполнено ли равенство $d(x,z)=d(y,z)$.

Помогите ему восстановить структуру дерева или сообщите, что дерева, удовлетворяющего всем ограничениям, не существует.

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 200$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных.

Первая строка набора входных данных содержит целое число $n$ ($2\le n\le 100$) — количество вершин в дереве.

Далее следует $n-1$ строк. Из этих $n-1$ строк $i$-я строка содержит $n-i$ последовательностей символов длины $n$, состоящих из 0 и 1. Если $k$-й символ в $j$-й последовательности $i$-й строки равен 0, то $d(i,k)\ne d(i+j,k)$; если же $k$-й символ в $j$-й последовательности $i$-й строки равен 1, то $d(i,k)=d(i+j,k)$.

Гарантируется, что в каждом тесте:

есть не более $2$ наборов входных данных с $n>50$;
есть не более $5$ наборов входных данных с $n>20$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных:

выведите No, если искомого дерева не существует;
иначе в первой строке выведите Yes. Затем выведите $n-1$ строк. Каждая из них должна содержать два целых числа $x,y$ ($1\le x,y\le n$), означающих ребро между вершинами $x$ и $y$ в дереве. Если существуют несколько решений, выведите любое из них.

При выводе Yes и No вы можете выводить каждый символ в любом регистре (верхнем или нижнем).

E. Раскраска

геометрия графы дп жадные алгоритмы Комбинаторика Конструктив математика Перебор реализация *2400

Заданы $n$ точек на плоскости, координаты $i$-й из них — $(x_i, y_i)$. Ни у каких двух точек не совпадают координаты.

Расстояние между точками $i$ и $j$ определено как $d(i,j) = |x_i - x_j| + |y_i - y_j|$.

Для каждой точки необходимо выбрать цвет — целое число от $1$ до $n$. Для каждой упорядоченной тройки различных точек $(a,b,c)$ должны выполняться следующие условия:

если $a$, $b$ и $c$ покрашены в одинаковый цвет, то $d(a,b) = d(a,c) = d(b,c)$;
если $a$ и $b$ покрашены в одинаковый цвет, а цвет $c$ отличен от цвета $a$, то $d(a,b) < d(a,c)$ и $d(a,b) < d(b,c)$.

Посчитайте количество различных способов выбрать цвета, чтобы удовлетворить данные условия.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $n$ ($2 \le n \le 100$) — количество точек.

Затем следуют $n$ строк. В $i$-й из них записаны два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($0 \le x_i, y_i \le 10^8$).

Ни у каких двух точек не совпадают координаты (т. ею если $i \ne j$, то либо $x_i \ne x_j$, либо $y_i \ne y_j$).

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество различных способов выбрать цвета точек. Так как оно может быть довольно велико, выведите его остаток от деления на $998244353$.

Примечание

В первом тесте подходят следующие способы выбрать цвета:

$[1, 1, 1]$;
$[2, 2, 2]$;
$[3, 3, 3]$;
$[1, 2, 3]$;
$[1, 3, 2]$;
$[2, 1, 3]$;
$[2, 3, 1]$;
$[3, 1, 2]$;
$[3, 2, 1]$.

F. Слишком много ограничений

2-sat графы Конструктив реализация *2800

Ваша задача — построить массив $a$, состоящий из $n$ целых чисел, каждый элемент должен быть от $1$ до $k$.

Массив должен быть неубывающим ($a_i \le a_{i+1}$ для всех $i$ от $1$ до $n-1$).

Также есть дополнительные ограничения на него. Каждое ограничение одного из трех следующих типов:

$1~i~x$: $a_i$ должно быть не равно $x$;
$2~i~j~x$: $a_i + a_j$ должно быть меньше или равно $x$;
$3~i~j~x$: $a_i + a_j$ должно быть больше или равно $x$.

Постройте любой неубывающий массив, который удовлетворяет всем ограничениям, или скажите, что такого массива не существует.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных записаны три целых числа $n, m$ и $k$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^4$; $0 \le m \le 2 \cdot 10^4$; $2 \le k \le 10$).

В $i$-й из следующих $m$ строк записано описание ограничения. Каждое ограничение одного из трех следующих типов:

$1~i~x$ ($1 \le i \le n$; $1 \le x \le k$): $a_i$ должно быть не равно $x$;
$2~i~j~x$ ($1 \le i < j \le n$; $2 \le x \le 2 \cdot k$): $a_i + a_j$ должно быть меньше или равно $x$;
$3~i~j~x$ ($1 \le i < j \le n$; $2 \le x \le 2 \cdot k$): $a_i + a_j$ должно быть больше или равно $x$.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^4$. Сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^4$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных определит, существует ли неубывающий массив, который удовлетворяет всем ограничениям. Если такого не существует, то выведите -1. Иначе выведите валидный массив — $n$ целых чисел от $1$ до $k$.

F. Равный разворот

графы Конструктив математика реализация *2800

У вас есть массив $a$ длины $n$. Вы можете выполнять с ним следующую операцию:

Выберите два индекса $l$ и $r$ такие, что $1 \le l \le r \le n$ и $a_l = a_r$. После этого разверните подотрезок с $l$-го по $r$-й элемент, то есть замените $[a_l, a_{l + 1}, \ldots, a_{r - 1}, a_r]$ на $[a_r, a_{r-1}, \ldots, a_{l+1}, a_l]$.

Вам также дан массив $b$ длины $n$, который является перестановкой $a$. Найдите последовательность из не более чем $n^2$ операций, которая превращает массив $a$ в $b$, или определите, что такого массива не существует.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 500$) — длину массивов $a$ и $b$.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$) — элементы массива $a$.

Третья строка содержит $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($1 \le b_i \le n$) — элементы массива $b$.

Гарантируется, что $b$ является перестановкой $a$.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $500$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «NO» (без кавычек), если невозможно превратить $a$ в $b$, используя не более $n^2$ операций.

Иначе выведите «YES» (без кавычек). Затем выведите целое число $k$ ($0 \leq k \leq n^2$) — число операций, которое вы сделаете. Обратите внимание, что вам не нужно минимизировать число операций.

Затем выведите $k$ строк. В $i$-й строке выведите два целых числа $l_i$ и $r_i$ ($1 \leq l_i \leq r_i \leq n$) — индексы для $i$-й операции.

Вы можете выводить «YES» и «NO» в любом регистре (например, строки «yEs», «yes» и «Yes» будут считаться положительным ответом).

Если существуют несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом примере можно выполнить следующие операции: [1,2,4,3,1,2,1,1] \xrightarrow[l=5,\,r=8]{} [1,2,4,3,1,1,2,1] \xrightarrow[l=1,\,r=6]{} [1,1,3,4,2,1,2,1].

Во втором примере можно выполнить следующие операции: [1,2,3,1,3,2,3] \xrightarrow[l=1,\,r=4]{} [1,3,2,1,3,2,3] \xrightarrow[l=3,\,r=6]{} [1,3,2,3,1,2,3].

Можно показать, что в третьем и четвертом примерах нельзя превратить $a$ в $b$.

E. Раздели на два набора

графы поиск в глубину и подобное снм *1600

Поликарпу недавно подарили набор из $n$ (число $n$ — чётное) костяшек домино. На каждой костяшке написаны два целых числа от $1$ до $n$.

Сможет ли он разделить все костяшки на два набора так, чтобы все числа на костяшках каждого набора были различны? Каждая костяшка должна войти ровно в один из двух наборов.

Например, если у него есть $4$ костяшки: $\{1, 4\}$, $\{1, 3\}$, $\{3, 2\}$ и $\{4, 2\}$, то Поликарп сможет разделить их на два набора требуемым образом. В первый набор может войти первая и третья костяшка ($\{1, 4\}$ и $\{3, 2\}$), а во второй — вторая и четвёртая ($\{1, 3\}$ и $\{4, 2\}$).

Входные данные

В первой строке записано единственное число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Далее следуют описания наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных содержится единственное целое чётное число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество костяшек.

В следующих $n$ строках содержатся пары чисел $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$), описывающие числа на $i$-й костяшке.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных в тесте не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите:

YES, если возможно разделить $n$ костяшек на два набора так, что числа на костяшках каждого набора различны;
NO, если сделать это невозможно.

Вы можете выводить YES и NO в любом регистре (например, строки yEs, yes, Yes и YES будут распознаны как положительный ответ).

Примечание

В первом наборе входных данных костяшки можно разделить так:

Первый набор: $[\{1, 2\}, \{4, 3\}]$
Второй набор: $[\{2, 1\}, \{3, 4\}]$

Иными словами в первый набор берём костяшки с номерами $1$ и $2$, а во второй набор берём костяшки с номерами $3$ и $4$.

Во втором наборе входных данных как костяшки не раздели на $2$ набора, хотя бы в одном будут повторяющиеся числа.

E. Посчитать секунды

графы дп Конструктив математика Перебор реализация *2200

У Cirno есть ориентированный ациклический граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами. В графе ровно одна вершина, не имеющая исходящих ребер. На $i$-й вершине написано целое число $a_i$.

Каждую секунду происходит следующее:

Пусть $S$ — множество вершин $x$, у которых $a_x > 0$.
Для всех $x \in S$ из $a_x$ вычитается $1$, а затем для каждой вершины $y$ такой, что существует ребро из $x$ в $y$, $1$ прибавляется к $a_y$.

Найдите первый момент времени, когда все $a_i$ станут равны $0$. Так как ответ может быть очень большим, выведите его по модулю $998\,244\,353$.

Входные данные

Первая строка содержит единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$) — количество наборов входных данных. Далее следует их описание.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n, m$ ($1 \leq n, m \leq 1000$) — количество вершин и ребер в графе.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($0 \leq a_i \leq 10^9$) — числа, записанные в вершинах.

Следующие $m$ строк содержит два целых числа $x, y$ ($1 \leq x, y \leq n$), обозначающих ориентированное ребро из $x$ в $y$. Гарантируется, что граф является ориентированным ациклическим, без кратных ребер, и ровно одна вершина не имеет исходящих ребер.

Гарантируется, что сумма $n$ и сумма $m$ по всем наборам входных данных меньше или равны $10\,000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в отдельной строке выведите целое число — первый момент времени, когда все $a_i$ станут $0$, по модулю $998\,244\,353$.

Примечание

В первом наборе входных данных:

В момент времени $0$ значения узлов равны $[1, 1, 1]$.
В момент времени $1$ значения узлов равны $[0, 1, 1]$.
В момент времени $2$ значения узлов равны $[0, 0, 1]$.
В момент времени $3$ значения узлов равны $[0, 0, 0]$.

Так что ответ равен $3$.

Во втором наборе входных данных:

В момент времени $0$ значения узлов равны $[1, 0, 0, 0, 0]$.
В момент времени $1$ значения узлов равны $[0, 1, 0, 0, 1]$.
В момент времени $2$ значения узлов равны $[0, 0, 1, 0, 0]$.
В момент времени $3$ значения узлов равны $[0, 0, 0, 1, 0]$.
В момент времени $4$ значения узлов равны $[0, 0, 0, 0, 1]$.
В момент времени $5$ значения узлов равны $[0, 0, 0, 0, 0]$.

Итак, ответ равен $5$.

В третьем наборе входных данных:

Первый момент времени, когда все $a_i$ становятся $0$, равен $6\cdot 998244353 + 4$.

C. Деревья поиска в глубину

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм сортировки *2400

Вам дан связный неориентированный граф из $n$ вершин и $m$ рёбер. Вес $i$-го ребра равен $i$.

Ниже представлен некорректный алгоритм поиска минимального остовного дерева:


vis := массив длины n
s := множество рёбер

function dfs(u):
    vis[u] := true
    пройтись по каждому ребру (u, v) в порядке увеличения весов
        if vis[v] = false
            добавить ребро (u, v) в множество (s)
            dfs(v)

function findMST(u):
    установить все элементы (vis) в false
    очистить множество (s)
    dfs(u)
    return множество (s)

Любой из вызовов функций findMST(1), findMST(2), ..., findMST(n) возвращает вам остовное дерево графа. Определите, какие из этих деревьев являются минимальными остовными деревьями.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$, $m$ ($2\le n\le 10^5$, $n-1\le m\le 2\cdot 10^5$) — количество вершин и ребер в графе.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1\le u_i, v_i\le n$, $u_i\ne v_i$), описывающих неориентированное ребро $(u_i,v_i)$ в графе, $i$-е ребро во входных данных имеет вес $i$.

Гарантируется, что граф связный и между любой парой вершин существует не более одного ребра.

Выходные данные

Выведите строку $s$, состоящую из нулей и единиц, где $s_i=1$, если findMST(i) возвращает минимальное остовное дерево, и $s_i = 0$ иначе.

Примечание

Ниже показан граф из первого примера:

$\text{[math]}$

В этом графе существует только одно минимальное остовное дерево, состоящее из ребер $(1,2),(3,5),(1,3),(2,4)$, имеющих суммарный вес $1+2+3+5=11$.

Ниже описана часть вычислений при вызове findMST(1):

реинициализируем массив vis и множество ребер s;
вызываем dfs(1);
vis[1] := true;
итерируемся по ребрам $(1,2),(1,3)$;
добавляем ребро $(1,2)$ во множество s, вызываем dfs(2):
- vis[2] := true;
- итерируемся по ребрам $(2,1),(2,3),(2,4)$;
- так как vis[1] = true, игнорируем ребро $(2,1)$;
- добавляем ребро $(2,3)$ во множество s, вызываем dfs(3):
  - ...

В конце алгоритма будут выбраны ребра $(1,2),(2,3),(3,5),(2,4)$ с суммарным весом $1+4+2+5=12>11$, поэтому findMST(1) находит не минимальное остовное дерево.

Можно показать, что остальные остовные деревья являются минимальными, поэтому ответ 01111.

F. Мультимножество строк

meet-in-the-middle битмаски бпф графы Деревья дп математика Перебор Потоки *2500

Вам даны три целых числа $n$, $k$ и $f$.

Рассмотрим все бинарные строки (то есть все строки, состоящие из символов $0$ и/или $1$) длины от $1$ до $n$. Для каждой такой строки $s$ вы должны выбрать целое число $c_s$ от $0$ до $k$.

Мультимножество из бинарных строк длины ровно $n$ считается красивым, если для каждой бинарной строки $s$ длины от $1$ до $n$ выполняется следующее: количество строк в мультимножестве, для которых $s$ является префиксом, не превосходит $c_s$.

Например, пусть $n = 2$, $c_{0} = 3$, $c_{00} = 1$, $c_{01} = 2$, $c_{1} = 1$, $c_{10} = 2$ и $c_{11} = 3$. Мультимножество строк $\{11, 01, 00, 01\}$ является красивым, так как:

для строки $0$ существует $3$ строки из мультимножества, для которых $0$ — префикс, и $3 \le c_0$;
для строки $00$ существует одна строка из мультимножества, для которой $00$ — префикс, и $1 \le c_{00}$;
для строки $01$ существует $2$ строки из мультимножества, для которых $01$ — префикс, и $2 \le c_{01}$;
для строки $1$ существует одна строка из мультимножества, для которой $1$ — префикс, и $1 \le c_1$;
для строки $10$ существует $0$ строк из мультимножества, для которых $10$ — префикс, и $0 \le c_{10}$;
для строки $11$ существует одна строка из мультимножества, для которой $11$ — префикс, и $1 \le c_{11}$.

А теперь — сама задача. Вы должны посчитать количество способов выбрать числа $c_s$ для всех бинарных строк $s$ длины от $1$ до $n$ таким образом, чтобы максимальный возможный размер красивого мультимножества был равен ровно $f$.

Входные данные

В единственной строке заданы три целых числа $n$, $k$ и $f$ ($1 \le n \le 15$; $1 \le k, f \le 2 \cdot 10^5$).

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество способов выбрать числа $c_s$ для всех бинарных строк $s$ длины от $1$ до $n$ таким образом, чтобы максимальный возможный размер красивого мультимножества был равен ровно $f$. Так как ответ может быть очень большим, выведите его по модулю $998244353$.

Примечание

В первом примере есть три способа выбрать значения $c_s$:

$c_0 = 0$, $c_1 = 2$, тогда максимальное красивое мультимножество — $\{1, 1\}$;
$c_0 = 1$, $c_1 = 1$, тогда максимальное красивое мультимножество — $\{0, 1\}$;
$c_0 = 2$, $c_1 = 0$, тогда максимальное красивое мультимножество — $\{0, 0\}$.

B. Вечеринка

графы Перебор *1300

В некотором клубе планируется вечеринка, и на нее будут приглашены некоторые из $n$ участников этого клуба. Все $n$ участников пронумерованы числами $1, 2, \dots, n$. Если $i$-й участник не будет приглашен, уровень уныния на вечеринке увеличится на $a_i$.

Среди $n$ участников клуба $m$ пар друзей. Если оба человека из пары друзей будут приглашены на вечеринку, по традиции они должны будут съесть тортик на двоих. Таким образом, на вечеринке будет съедено ровно столько тортиков, сколько будет пар друзей, в которых оба участника приглашены.

Для вечеринки клуб закажет несколько пар тортиков. Поэтому необходимо, чтобы на вечеринке было съедено четное число тортиков.

Чему равен минимальный возможный уровень уныния на вечеринке, если пригласить участников так, что будет съедено четное число тортиков?

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \leq 10^5$, $0 \leq m \leq \min(10^5,\frac{n(n-1)}{2})$) — количество участников в клубе и количество пар друзей.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1,a_2, \dots,a_n$ ($0 \leq a_i \leq 10^4$) — значения увеличения уныния.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $x$ и $y$ ($1 \leq x,y \leq n$, $x \neq y$), означающие, что $x$ и $y$ друзья. Каждая неупорядоченная пара $(x,y)$ встречается в каждом наборе входных данных максимум один раз.

Гарантируется, что сумма значений $n$ и сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходят $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число: минимальное возможное значение уныния.

Примечание

В первом наборе входных данных можно пригласить всех участников. Уровень уныния будет равен $0$.

Во втором наборе возможны следующие варианты:

пригласить участников $1$ и $2$ — $0$ тортиков, уныние $3$;
пригласить участников $2$ и $3$ — $0$ тортиков, уныние $2$;
пригласить только участника $1$ — $0$ тортиков, уныние $4$;
пригласить только участника $2$ — $0$ тортиков, уныние $5$;
пригласить только участника $3$ — $0$ тортиков, уныние $3$;
не пригласить никого — $0$ тортиков, уныние $6$.

Минимальное значение уныния достигается при приглашении участников $2$ и $3$.

В третьем примере приглашение участников $3,4,5$ дает подходящую вечеринку с минимальным возможным значением уныния.

D. 2+ стула

2-sat битмаски графы жадные алгоритмы *1900

У куратора из Омеги есть массив целых чисел $a$ длины $n$, и он может сказать вам только число $n$ и $q$ утверждений про массив, каждое из которых записывается как $i, j, x$, что означает, что $a_i \mid a_j = x$, где $|$ обозначает операцию побитового ИЛИ.

Найдите массив $a$, если про него также известно, что он лексикографически минимален среди всех массивов, которые удовлетворяют условиям.

Массив $a$ лексикографически меньше массива $b$ такой же длины, если и только если выполняется следующее:

в первой позиции, где $a$ и $b$ различны, в массиве $a$ элемент меньше, чем соответствующий элемент в $b$.

Входные данные

В первой строке вводятся два целых числа $n$ и $q$ ($1 \le n \le 10^5$, $0 \le q \le 2 \cdot 10^5$).

В каждой из следующих $q$ строк содержится три целых числа $i$, $j$ и $x$ ($1 \le i, j \le n$, $0 \le x < 2^{30}$) — утверждения про массив.

Гарантируется, что всегда существует такой массив, для которого выполняются все $q$ условий.

Выходные данные

На одной строке выведите $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($0 \le a_i < 2^{30}$) — массив $a$.

Примечание

В первом примере под условия подходят следующие массивы:

$[0, 3, 2, 2]$,
$[2, 1, 0, 0]$,
$[2, 1, 0, 2]$,
$[2, 1, 2, 0]$,
$[2, 1, 2, 2]$,
$[2, 3, 0, 0]$,
$[2, 3, 0, 2]$,
$[2, 3, 2, 0]$,
$[2, 3, 2, 2]$.

E. Долгий путь домой

геометрия графы дп жадные алгоритмы кратчайшие пути разделяй и властвуй Структуры данных *2400

Олеся решила отправиться в путешествие по стране, состоящей из $n$ городов (она живет в городе $1$). Между некоторыми городами страны есть двусторонние дороги. Для каждой дороги известно время, необходимое для того, чтобы по ней проехать. Также между каждой парой городов есть авиарейс, перелет из города $u$ в город $v$ занимает $(u - v)^2$ времени.

Олеся недавно посмотрела «Чудо на Гудзоне» и несколько боится летать, поэтому она может воспользоваться не более чем $k$ перелетами. Олеся хочет узнать минимальное время путешествия в каждый из $n$ городов страны из города $1$.

Входные данные

В первой строке находятся числа $n$, $m$ и $k$ ($2 \leq n \leq 10^{5}$, $1 \leq m \leq 10^{5}$, $1 \leq k \leq 20$) — количество городов, дорог и максимальное количество перелётов, которое может совершить Олеся.

Следующие $m$ строк описывают дороги. В каждой находятся числа $u$, $v$, $w$ ($1 \leq u, v \leq n$, $u \neq v$, $1 \leq w \leq 10^{9}$) — города, которые соединяет дорога, и время, необходимое, чтобы по ней проехать. Некоторые пары городов могут быть соединены более чем одной парой дорог.

Выходные данные

Выведите $n$ чисел, $i$-е из которых равно минимальному времени путешествия в город $i$.

Примечание

В первом примере время путешествия до города 1 равно 0; чтобы добраться в город 2, можно воспользоваться авиаперелетом из 1 в 2 за 1 единицу времени; в город 3 можно добраться из города 1 по дороге за 1 единицу времени.

Во втором примере время путешествия до города 1 равно 0. Чтобы добраться в город 2, можно воспользоваться авиаперелетом из 1 в 2, занимающим 1 единицу времени. Чтобы добраться в город 3 за 4 единицы времени, можно проехать из города 1 в город 2 по дороге за 3 единицы времени, а потом воспользоваться авиаперелетом из 2 в 3. Чтобы добраться в город 4, можно воспользоваться авиаперелетом из города 1 в город 2, а потом проехать из города 2 в город 4 по дороге за 5 единиц времени.

F. Мадока и первая сессия

графы Конструктив Паросочетания Потоки реализация *2500

О нет, на первой же сессии Мадоке попался билет со следующей сложной задачей:

Дано число $n$ и $m$ пар чисел ($v_i, u_i$). А также есть массив $b_1, b_2, \ldots, b_n$, изначально заполненный нулями.

Затем для каждого индекса $i$, где $1 \leq i \leq m$, выполняется либо $b_{v_i} := b_{v_i} - 1$ и $b_{u_i} := b_{u_i} + 1$, либо $b_{v_i} := b_{v_i} + 1$ и $b_{u_i} := b_{u_i} - 1$. Обратите внимание, что ровно одна из этих операций должна быть выполнена для каждого $i$.

Также дан массив $s$ размера $n$, состоящий только из $0$ и $1$. И массив $a_1, a_2, \ldots, a_n$, где гарантируется, что если $s_i = 0$, то $a_i = 0$.

Помогите Мадоке и определите, можно ли выполнить операции выше таким образом, чтобы для каждого $i$, где $s_i = 1$, выполнялось $a_i = b_i$. И если возможно, то как это сделать.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 10000, 1 \leq m \leq 10000$) — длина массива $a$ и количество пар чисел.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $s_1, s_2, \ldots s_n$ ($0 \le s_i \le 1$) — элементы массива $s$.

Третья строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($|a_i| \leq m$) — элементы массива $a$. Гарантируется, что если $s_i = 0$, то $a_i = 0$.

$i$-я из следующих $m$ строк содержат два целых числа $v_i$ и $u_i$ ($1 \leq v_i, u_i \leq n, v_i \ne u_i$) — индексы элементов массива $b$, к которым применяется операция. Также гарантируется, что не существует таких двух индексов $i$ и $j$, где $1 \le i < j \le m$, что $(v_i, u_i) = (v_j, u_j)$ или $(v_i, u_i) = (u_j, v_j)$.

Выходные данные

Выведите в первой строке «YES», если можно выполнить операции нужным образом, и «NO» в противном случае.

В случае, если вы вывели «YES», выведите $m$ пар целых чисел. Если для пары $(v_i, u_i)$ нужно выполнить $b_{v_i} := b_{v_i} - 1$ и $b_{u_i} := b_{u_i} + 1$, выведите $(v_i, u_i)$. Иначе выведите $(u_i, v_i)$. Если существует несколько способов получить правильный ответ, можно вывести любой из них.

Пары можно выводить в любом порядке.

Примечание

В первом примере массив $b$ будет меняться следующим образом: $[0,0,0,0,0] \rightarrow [-1,0,0,1,0] \rightarrow [-2,0,0,1,1] \rightarrow [-2,0,1,0,1] \rightarrow [-2,0,2,0,0] \rightarrow [-2,0,2,1,-1]$. $a_i = b_i$ для всех индексов $i$ от $1$ до $5$.

Во втором примере нам достаточно, чтобы в конце $b_2 = 1$, поскольку только $s_2 = 1$.

В третьем примере входных данных нельзя выполнить операции нужным образом.

E. Импрессионизм

графы Конструктив математика реализация *3500

У Бурёнки есть две картины $a$ и $b$, представляющие собой таблицы одинакового размера $n \times m$. Каждая клетка каждой картины имеет цвет — число от $0$ до $2 \cdot 10^5$, при этом ни в какой строке и никаком столбце каждой из двух картин нет повторяющихся цветов, за исключением цвета $0$.

Бурёнка хочет получить из картины $a$ картину $b$. Для достижения своей цели Бурёнка может сделать одну из $2$ операций: поменять местами две любые строки картины $a$ или любые два её столбца. Сообщите Бурёнке, может ли она исполнить желаемое и если да, то подскажите ей последовательность действий.

Нумерация строк — от $1$ до $n$ сверху вниз, столбцов — от $1$ до $m$ слева направо.

Входные данные

В первой строке содержатся два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \cdot m \leq 2 \cdot 10^5$) — размеры картин.

В $i$-й из следующих $n$ строк записаны $m$ целых чисел $a_{i, 1}, a_{i, 2}, \ldots, a_{i, m}$ ($0 \leq a_{i,j} \leq 2 \cdot 10^5$) — цвета в $i$-й строке рисунка $a$. Гарантируется, что нет одинаковых чисел в одной строке или одном столбце, за исключением числа $0$.

В $i$-й из следующих $n$ строк записаны $m$ целых чисел $b_{i, 1}, b_{i, 2}, \ldots, b_{i, m}$ ($0 \leq b_{i,j} \leq 2 \cdot 10^5$) — цвета в $i$-й строке рисунка $b$. Гарантируется, что нет одинаковых чисел в одной строке или одном столбце, за исключением числа $0$.

Выходные данные

В первой строке выведите число $-1$, если добиться желаемого невозможно, иначе выведите число действий в вашем решении $k$ ($0 \le k \le 2 \cdot 10^5$). Можно доказать, что если решение существует, то существует решение, где $k \le 2 \cdot 10^5$.

В следующих $k$ строках выведите операции. Сначала выведите тип операции ($1$ — поменять местами строки, $2$ — столбцы), а потом два номера строк или столбцов, к которым применяется операция.

Обратите внимание, что вам не нужно минимизировать число операций.

F. Уменьшение паросочетания

графы интерактив Конструктив Паросочетания Перебор поиск в глубину и подобное Потоки *2800

Дан двудольный граф с $n_1$ вершинами в первой доле, $n_2$ вершинами во второй доле и $m$ ребрами. Максимальное паросочетание в таком графе — максимальный по размеру набор ребер, такой, что ни одна вершина не инцидентна более чем одному выбранному ребру.

Вам нужно обрабатывать запросы двух видов к этому графу:

$1$ — удалить минимально возможное количество вершин так, чтобы размер максимального паросочетания уменьшился ровно на $1$, и вывести список удаленных вершин. Затем найти любое максимальное паросочетание в полученном графе и вывести сумму номеров ребер, входящих в это паросочетание;
$2$ — запрос этого типа может быть задан только после запроса типа $1$. В качестве ответа на этот запрос вы должны вывести список номеров ребер, входящих в выбранное в предыдущем запросе паросочетание.

Входные данные

В первой строке заданы четыре целых числа $n_1$, $n_2$, $m$ и $q$ ($1 \le n_1, n_2 \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le m \le \min(n_1 \cdot n_2, 2 \cdot 10^5)$; $1 \le q \le 2 \cdot 10^5$).

Затем следуют $m$ строк. В $i$-й из них заданы два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i \le n_1$; $1 \le y_i \le n_2$), обозначающих, что $i$-е ребро соединяет вершину $x_i$ в первой доле с вершиной $y_i$ во второй доле. Ни одна пара вершин не соединена более чем одним ребром.

Затем следуют $q$ строк. В $i$-й из них задано одно целое число — $1$ или $2$ — обозначающее $i$-й запрос. Дополнительные ограничения на запросы:

количество запросов типа $1$ не превысит размер максимального паросочетания в исходном графе;
количество запросов типа $2$ не превысит $3$;
каждому запросу типа $2$ предшествует запрос типа $1$;
ваше решение может считать $i$-й запрос только после того, как выведет ответ на запрос $(i-1)$ и сбросит буфер вывода.

Выходные данные

Для запроса типа $1$ выведите три строки:

в первой строке выведите количество удаляемых вершин;
во второй строке выведите список вершин, которые вы удаляете, следующим образом: если вы удаляете вершину $x$ из первой доли, выведите $x$; если вы удаляете вершину $y$ из второй доли, выведите $-y$ (номер со знаком минус);
в третьей строке выведите сумму номеров ребер, которые принадлежат некоторому максимальному паросочетанию. Ребра нумеруются от $1$ до $m$.

Для запроса типа $2$ выведите две строки:

в первой строке выведите одно число — размер максимального паросочетания;
во второй строке выведите номера ребер, формирующих максимальное паросочетание. Обратите внимание, что сумма этих номеров должна быть равна числу, которое вы вывели в конце предыдущего запроса типа $1$;

После вывода ответа на запрос не забудьте сбросить буфер вывода.

Протокол взаимодействия

В этой задаче вы можете получить вердикт «Решение зависло», так как ее нужно решать в режиме online. Если это случилось, то либо вы не следуете формату вывода, либо нарушаете какое-то из ограничений задачи. Вы можете считать, что это эквивалентно вердикту «Неправильный ответ».

Для вашего удобства в примере из условия вывод для запросов разделен строкой ===. Ваше решение не должно выводить эту строку; она добавлена только для того, чтобы было проще понять, где ответ на какой запрос.

M. Moving Both Hands

графы дп кратчайшие пути *1800

Pak Chanek is playing one of his favourite board games. In the game, there is a directed graph with $N$ vertices and $M$ edges. In the graph, edge $i$ connects two different vertices $U_i$ and $V_i$ with a length of $W_i$. By using the $i$-th edge, something can move from $U_i$ to $V_i$, but not from $V_i$ to $U_i$.

To play this game, initially Pak Chanek must place both of his hands onto two different vertices. In one move, he can move one of his hands to another vertex using an edge. To move a hand from vertex $U_i$ to vertex $V_i$, Pak Chanek needs a time of $W_i$ seconds. Note that Pak Chanek can only move one hand at a time. This game ends when both of Pak Chanek's hands are on the same vertex.

Pak Chanek has several questions. For each $p$ satisfying $2 \leq p \leq N$, you need to find the minimum time in seconds needed for Pak Chanek to end the game if initially Pak Chanek's left hand and right hand are placed on vertex $1$ and vertex $p$, or report if it is impossible.

Input

The first line contains two integers $N$ and $M$ ($2 \leq N \leq 10^5$, $0 \leq M \leq 2 \cdot 10^5$) — the number of vertices and edges in the graph.

The $i$-th of the next $M$ lines contains three integers $U_i$, $V_i$, and $W_i$ ($1 \le U_i, V_i \le N$, $U_i \neq V_i$, $1 \le W_i \le 10^9$) — a directed edge that connects two different vertices $U_i$ and $V_i$ with a length of $W_i$. There is no pair of different edges $i$ and $j$ such that $U_i = U_j$ and $V_i = V_j$.

Output

Output a line containing $N-1$ integers. The $j$-th integer represents the minimum time in seconds needed by Pak Chanek to end the game if initially Pak Chanek's left hand and right hand are placed on vertex $1$ and vertex $j+1$, or $-1$ if it is impossible.

Note

If initially Pak Chanek's left hand is on vertex $1$ and his right hand is on vertex $5$, Pak Chanek can do the following moves:

Move his right hand to vertex $4$ in $1$ second.
Move his left hand to vertex $2$ in $2$ seconds.
Move his left hand to vertex $4$ in $1$ second.

$\text{[math]}$

In total it needs $1+2+1=4$ seconds. It can be proven that there is no other way that is faster.

C. Правильная скобочная последовательность Jatayu

графы жадные алгоритмы снм Структуры данных *1300

Прошлым летом Feluda подарил Lalmohan-Babu правильную скобочную последовательность $s$ длины $2 n$.

Topshe скучал во время летних каникул, и поэтому решил нарисовать неориентированный граф из $2 n$ вершин, используя правильную скобочную последовательность $s$. Для каждых двух различных вершин $i$ и $j$ ($1 \le i < j \le 2 n$) Topshe рисует ребро между этими двумя вершинами тогда и только тогда, когда подотрезок $s[i \ldots j]$ образует правильную скобочную последовательность.

Определите количество компонент связности в графе Topshe.

Смотрите определения подчёркнутых терминов в Примечании.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 10^5$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит единственное целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — количество открывающих скобок в строке $s$.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит строку $s$ длины $2 n$ — правильная скобочная последовательность, состоящая из $n$ открывающих скобок «(» и $n$ закрывающих скобок «)».

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите единственное целое число — количество компонент связности в графе Topshe.

Примечание

Объяснение примера:

В первом наборе входных данных, граф, построенный из скобочной последовательности (), является просто графом, содержащим вершины $1$ и $2$, соединёнными единственным ребром.

Во втором наборе входных данных, граф, построенный из скобочной последовательности ()(()) будет следующим (содержит две компоненты связности):

$\text{[math]}$

Определения подчёркнутых терминов:

Последовательность скобок является правильной, если её можно превратить в корректное математическое выражение путём добавления символов $+$ и $1$. Например, последовательности (())(), () и (()(())) являются правильными, а )(, (() и (()))( не являются.
Подотрезок $s[l \ldots r]$ обозначает последовательность $[s_l, s_{l + 1}, \ldots, s_r]$.
Компонента связности является множеством вершин $X$ таким, что для каждых двух вершин из этого множества существует хотя бы один путь в графе, соединяющий эти вершины, но добавление любой другой вершины в $X$ нарушает это правило.

D. Разделение рёбер

графы Деревья Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное снм Теория вероятностей *2000

Вам дан связный, неориентированный и невзвешенный граф с $n$ вершинами и $m$ рёбрами. Обратите внимание на ограничение на количество рёбер: $m \le n + 2$.

Давайте скажем, что мы красим некоторые рёбра в красный и оставшиеся рёбра в синий. Теперь рассмотрим только красные рёбра и посчитаем количество компонент связности в графе. Пусть это значение равно $c_1$. Аналогично, рассмотрим только синие рёбра и посчитаем количество компонент связности в графе. Пусть это значение равно $c_2$.

Найдите распределение цветов по рёбрам такое, что величина $c_1+c_2$ минимальна.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $n-1 \leq m \leq \min{\left(n+2,\frac{n \cdot (n-1)}{2}\right)}$) — количество вершин и рёбер в графе соответственно.

Затем следуют $m$ строк. $i$-я строка содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i,v_i \le n$, $u_i \ne v_i$) обозначающая, что $i$-е ребро соединяет вершины $u_i$ и $v_i$. Гарантируется, что в графе нет петель и кратных рёбер. Также гарантируется, что граф связен.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$. Гарантируется, что сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите бинарную строку длины $m$. $i$-й символ строки должен быть 1, если $i$-е ребро должно иметь красный цвет, и 0, если оно должно иметь синий цвет. Если существует несколько способов распределить цвета, чтобы получить минимальную величину, вы можете вывести любой.

Примечание

Граф в первом наборе входных данных следующий: $\text{[math]}$
$c_1 + c_2 = 1 + 2 = 3$
Граф во втором наборе входных данных следующий: $\text{[math]}$
$c_1 + c_2 = 2 + 2 = 4$

D. Наместничество

графы жадные алгоритмы Конструктив реализация *2500

В Троичном королевстве ровно n = 3k городов. Все они расположены на побережье реки Триссисипи, которая протекает через все королевство. Некоторые из городов расположены по одну сторону реки, а все остальные — по другую.

Между некоторыми городами построены мосты. Каждый мост соединяет два города, расположенные по разные стороны реки. Между любыми двумя городами имеется не более одного моста.

Недавно взошедший на престол король Тристан Третий занят распределением своих наместников между городами. Всего имеется k наместников и король хочет поручить каждому из них управлять ровно тремя городами. Однако никакому из наместников нельзя поручать управление городами, которые соединены мостом — ради своей выгоды наместник может установить слишком высокую пошлину на проезд по мосту, что плохо скажется на репутации короля.

Помогите королю Тристану Третьему распределить наместников между городами, если это возможно.

Входные данные

В первой строке даны два целых числа n и m — количество городов и мостов (3 ≤ n < 10⁵, n = 3k, 0 ≤ m ≤ 10⁵). В следующих m строках описаны мосты. i-ая строка содержит два целых числа a_i и b_i — номера городов, которые соединяет i-ый мост (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 1 ≤ i ≤ m).

Гарантируется, что никакой мост не соединяет город сам с собой, а также, что между любыми двумя городами не более одного моста.

Выходные данные

Если нужным образом распределить наместников нельзя, то в единственной строке выведите «NO» (без кавычек).

Иначе в первой строке выведите «YES» (без кавычек), а во второй — какой наместник должен управлять каждым из городов. i-ое число должно означать номер наместника (от 1 до k), который должен управлять i-ым городом из входных данных — всего n чисел.

Если возможных решений несколько — выведите любое.

C. Сдвиг по фазе

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное реализация снм Строки *1400

Была строка $s$, которую захотели зашифровать. Для этого взяли все $26$ строчных латинских букв, расположили их в некотором порядке по кругу, после чего заменили каждую букву в $s$ на ту, что является следующей по часовой стрелке, получив таким образом строку $t$.

Вам дали строку $t$. Определите лексикографически минимальную строку $s$, из которой могла быть получена данная строка $t$.

Строка $a$ лексикографически меньше строки $b$ такой же длины, если и только если:

в первой позиции, где $a$ и $b$ различны, в строке $a$ находится буква, которая встречается в алфавите раньше, чем соответствующая буква в $b$.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 3 \cdot 10^4$) — количество наборов входных данных. Описание наборов входных данных следует ниже.

Первая строка каждого набора содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10^5$) — длину строки $t$.

Следующая строка содержит строку $t$ длины $n$, состоящую из строчных букв латинского алфавита.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку — лексикографически минимальную строку $s$, из которой могла получиться $t$.

Примечание

В первом наборе входных данных мы не могли иметь строку «a», поскольку тогда буква a переходила бы сама в себя, что невозможно. В качестве ответа нам подходит лексикографически вторая строка «b».

Во втором наборе нам не подходит «aa», поскольку a переходила бы в себя, и не подходит «ab», поскольку круг переходов замкнулся бы на $2$ буквах, а он должен состоять из всех $26$. Следующая строка «ac» нам подходит.

Ниже приведены схемы для первых трех наборов входных данных. В круге пропущены неучаствующие буквы, их можно расставить произвольно в пропуски.

$\text{[math]}$

D. Эла и волшебник

графы дп жадные алгоритмы кратчайшие пути Перебор реализация *2200

$\text{[math]}$

Эле нужно отправить большой пакет данных с компьютера $1$ на компьютер $n$ через сеть компьютеров. В настоящее время сеть работает слишком медленно, и пакет может не успеть вовремя. К счастью, добрый волшебник протянул ей руку помощи.

Сеть может быть представлена как неориентированный связный граф с $n$ вершинами, каждая из которых представляет компьютер. Для их соединения используются $m$ проводов. Провод $i$ используется для соединения компьютеров $u_i$ и $v_i$ и имеет вес $w_i$. Вышеупомянутый пакет при прохождении через провод $i$ переместится с компьютера $u_i$ на компьютер $v_i$ (или наоборот) ровно за $w_i$ микросекунд. Волшебник может использовать свое заклинание произвольное количество раз. Для каждого заклинания он выберет провод с индексом $i$, соединяющий компьютеры $u_i$ и $v_i$, и переподключит его, выполнив следующие действия:

Выберет один из компьютеров, соединенный этим проводом. Без ограничения общности выберем $v_i$.
Выберет компьютер, который в данный момент подключен к $v_i$ (можно выбрать $u_i$), назовем его $t_i$, отсоединит провод с индексом $i$ от $v_i$, и соединит им $u_i$ и $t_i$.

Переподключение провода $i$ займет $w_i$ микросекунд, а вес провода после этой операции не изменится. После переподключения компьютер может иметь какой-то провод, соединяющий его с самим собой. Переподключение также может сделать граф несвязным.

Задача Элы — как можно быстрее отправить пакет данных с компьютера $1$ на компьютер $n$. Обратите внимание, что волшебник может использовать свое заклинание сколько угодно раз (возможно, ноль). Чтобы обеспечить бесперебойную работу сети при передаче большого пакета, все заклинания могут использоваться только до начала передачи данных с компьютера $1$.

Какое минимальное количество времени потребуется для передачи пакета данных с компьютера $1$ на компьютер $n$, с учетом времени, потраченного на применение заклинаний?

Входные данные

Во входных данных находятся несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных. Далее следуют наборы входных данных.

В первой строке каждого набора заданы два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 500$, $n - 1 \le m \le 250 000$) — количество вершин и проводов соответственно.

$i$-я из следующих $m$ строк содержит три числа $u_i$, $v_i$ и $w_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $1 \le w_i \le 10^9$) — номера двух компьютеров, соединенных $i$-м проводом, и его вес.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам не превышает $500$ и сумма $m$ по всем наборам не превышает $250 000$. Граф в каждом наборе входных данных гарантированно будет связным и без петель, но он может содержать кратные ребра.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число, обозначающее наименьшее количество времени, необходимое для передачи пакета данных с компьютера $1$ на $n$.

Примечание

Граф в первом наборе входных данных:

$\text{[math]}$

Эла может попросить волшебника использовать его заклинание на проводе с индексом $7$, который соединяет компьютеры $2$ и $3$. Поскольку компьютер $8$ подключена к компьютеру $3$, волшебник может отключить провод $7$ от компьютера $3$ и подключить его к компьютеру $8$ за $3$ микросекунды (вес провода $3$).

После этого пакет можно отправить с компьютера $1$ на компьютер $8$ за $6$ микросекунд. Следовательно, ответ $3 + 6 = 9$ микросекунд.

$\text{[math]}$

D. Упоротые перестановки

графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *1900

Дана перестановка $a_1, a_2, \dots, a_n$ целых чисел от $1$ до $n$, и пороговое значение $k$ такое, что $0 \leq k \leq n$, по ним вычисляется последовательность $b_1, b_2, \dots, b_n$ следующим образом.

Для всех $1 \leq i \leq n$ в порядке возрастания положим $x = a_i$.

Если $x \leq k$, приравняем $b_{x}$ последнему элементу $a_j$ ($1 \leq j < i$) такому, что $a_j > k$. Если такого элемента $a_j$ не существует, положим $b_{x} = n+1$.
Если $x > k$, приравняем $b_{x}$ последнему элементу $a_j$ ($1 \leq j < i$) такому, что $a_j \leq k$. Если такого элемента $a_j$ не существует, положим $b_{x} = 0$.

К сожалению, после построения последовательности $b_1, b_2, \dots, b_n$, перестановка $a_1, a_2, \dots, a_n$ и пороговое значение $k$ потерялись.

Теперь у вас есть только последовательность $b_1, b_2, \dots, b_n$. Ваша задача найти любую подходящую перестановку $a_1, a_2, \dots, a_n$ и пороговое значение $k$ которые порождают последовательность $b_1, b_2, \dots, b_n$. Гарантируется, что существует хотя бы одна пара перестановки $a_1, a_2, \dots, a_n$ и порогового значения $k$, что порождают $b_1, b_2, \dots, b_n$.

Перестановкой чисел от $1$ до $n$ называется последовательность длины $n$ которая содержит все целые числа от $1$ до $n$ ровно один раз.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — количество наборов входных данных. Затем следуют описания наборов входных данных.

В первой строке набора входных данных содержится целое число $n$ ($1 \leq n \leq 10^5$), означающее длину перестановки $a$.

Во второй строке содержится $n$ целых чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ ($0 \leq b_i \leq n+1$), означающие элементы последовательности $b$.

Гарантируется, что существует хотя бы одна пара перестановки $a_1, a_2, \dots, a_n$ и порогового значения $k$, что порождают $b_1, b_2, \dots, b_n$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите пороговое значение $k$ ($0 \leq k \leq n$) в первой строке, и затем выведите перестановку $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq n$) во второй строке так, что перестановку $a_1, a_2, \dots, a_n$ и пороговое значение $k$ порождают последовательность $b_1, b_2, \dots, b_n$. Если существуют несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом примере перестановка $a = [1,3,2,4]$ и пороговое значение $k = 2$ породят $b$ следующим образом.

Когда $i = 1$, $x = a_i = 1 \leq k$, нет такого $a_j$ ($1 \leq j < i$) что $a_j > k$. Значит, $b_1 = n + 1 = 5$.
Когда $i = 2$, $x = a_i = 3 > k$, последний элемент $a_j$ такой, что $a_j \leq k$ это $a_1$. Значит, $b_3 = a_1 = 1$.
Когда $i = 3$, $x = a_i = 2 \leq k$, последний элемент $a_j$ такой, что $a_j > k$ это $a_2$. Значит, $b_2 = a_2 = 3$.
Когда $i = 4$, $x = a_i = 4 > k$, последний элемент $a_j$ такой, что $a_j \leq k$ это $a_3$. Значит, $b_4 = a_3 = 2$.

Получается последовательность $b = [5,3,1,2]$.

Для второго примера перестановка $a = [1,2,3,4,5,6]$ и пороговое значение $k = 3$ породят $b$ следующим образом.

Когда $i = 1, 2, 3$, $a_i \leq k$, нет такого $a_j$ ($1 \leq j < i$) что $a_j > k$. Значит, $b_1 = b_2 = b_3 = n + 1 = 7$.
Когда $i = 4, 5, 6$, $a_i > k$, последний элемент $a_j$ такой, что $a_j \leq k$ это $a_3$. Значит, $b_4 = b_5 = b_6 = a_3 = 3$.

Получается последовательность $b = [7,7,7,3,3,3]$.

Для третьего примера перестановка $a = [6,5,4,3,2,1]$ и пороговое значение $k = 3$ породят $b$ следующим образом.

Когда $i = 1, 2, 3$, $a_i > k$, нет такого $a_j$ ($1 \leq j < i$) что $a_j \leq k$. Значит, $b_4 = b_5 = b_6 = 0$.
Когда $i = 4, 5, 6$, $a_i \leq k$, последний элемент $a_j$ такой, что $a_j > k$ это $a_3$. Значит, $b_1 = b_2 = b_3 = a_3 = 4$.

Получается последовательность $b = [4,4,4,0,0,0]$.

F. Упоротая связность

графы Деревья жадные алгоритмы интерактив Конструктив кратчайшие пути снм *2400

Это интерактивная задача.

Дан простой неориентированный граф с $n$ вершинами пронумерованными от $1$ до $n$, ваша задача состоит в том, чтобы покрасить все вершины так, чтобы для каждого цвета $c$, выполнялись следующие условия:

Множество вершин цвета $c$ является связным;
$s_c \leq n_c^2$, где $n_c$ число вершин цвета $c$, и $s_c$ сумма степеней вершин цвета $c$.

Можно показать, что всегда существует раскраска такая, что условия выполняются.

Исходно вам дано только $n$ - число вершин и степень каждой вершины.

Каждым запросом вы можете выбрать вершину $u$. В ответ вы получите $k$-е ребро, исходящее из $u$, если это $k$-й запрос к вершине $u$.

Вы можете сделать максимум $n$ запросов.

Неориентированный граф называется простым, если он не содержит кратных ребер и петель.

Степень вершины это число ребер, исходящих из нее.

Множество вершин $S$ называется связным если для любых двух различных вершин $u, v \in S$, существует путь, который проходит только по вершинам множества $S$, и соединяет $u$ и $v$. Формально, существует последовательность ребер $(u_1, v_1), (u_2, v_2), \dots, (u_k, v_k)$ с $k \geq 1$ такая, что

$u_1 = u$, $v_k = v$, и $v_i = u_{i+1}$ для любого $1 \leq i < k$; и
$u_k \in S$ и $v_k \in S$ для любого $1 \leq i \leq k$.

Множество содержащее одну вершину является связным.

Протокол взаимодействия

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке содержится целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$) — количество наборов входных данных. Следующие строки содержат описание и интерактивную часть каждого набора входных данных.

Для каждого набора входных данных вы начинаете взаимодействие с итерактором с чтения целого числа $n$ ($1\le n \le 1000$) в первой строке, означающего число вершин в графе.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $d_1, d_2, \dots, d_n$ ($0 \leq d_i \leq n - 1$), где $d_i$ это степень вершины $i$.

Чтобы совершить запрос к вершине $u$ ($1 \leq u \leq n$), вы должны вывести

«? $u$»

В отдельной строке. Если это $k$-й запрос к вершине $u$, вершина $e_{u, k}$ будет выведена на следующей отдельной строке, где $\left(u, e_{u, k}\right)$ это $k$-е ребро, исходящее из вершины $u$. В случае если $k > d_u$, положим $e_{u, k} = -1$. Вы должны сделать не более $n$ «?» запросов.

Чтобы дать ответ вы должны вывести

«! $c_1$ $c_2$ $\dots$ $c_n$»

в отдельной строке, где $c_i$ ($1 \leq c_i \leq n$) это цвет вершины $i$. После этого ваша программа должны продолжить работать со следующим набором входных данных или завершиться, если это был последний.

Гарантируется, что дан простой неориентированный граф.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $1000$.

В случае, если формат запроса неверный, или вы сделали более $n$ «?» запросов, вы получите вердикт Неправильный Ответ.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Формат взломов

Первая строка взлома должна содержать целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$), означающее число наборов входных данных. Следующие строки содержат описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($1 \leq n \leq 1000$), означающее число вершин в графе.

Затем следуют $n$ строк. В $i$-й строке содержится целое число $d_i$ ($0 \leq d_i \leq n - 1$), означающее степень вершины $i$, и затем $d_i$ различных целых чисел $e_{i,1}, e_{i,2}, \dots, e_{i,d_i}$ ($1 \leq e_{i, j} \leq n$ и $e_{i,j} \neq i$), где $\left(i, e_{i,j}\right)$ это $j$-е ребро, исходящее из вершины $i$.

Вы должны гарантировать, что граф является простым и неориентированным.

Вы должны гарантировать, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $1000$.

Примечание

В примере только один набор входных данных.

В нем $n = 5$ вершин, из которых $1, 2, 3, 4$ имеют степень $2$ и вершина $5$ имеет степень $0$. Это означает, что вершина $5$ изолированная - не соединена ни с одной другой вершиной.

Возможное взаимодействие с итерактором показано во вводе и выводе примера, использовано $4$ «?» запроса. Из них два к вершине $1$ и два к вершине $3$. Исходя из результатов этих запросов мы знаем, что вершины $1$ и $3$ соединены с вершинами $2$ и $4$.

Возможное решение показано, вершины $1$ и $2$ покрашены в цвет $1$, вершины $3$ и $4$ покрашены в цвет $2$, и вершина $5$ покрашена в цвет $3$. Легко заметить, что решение удовлетворяет условиям.

Для цвета $c = 1$, вершины $1$ и $2$ связны. Также, $n_1 = 2$ и $s_1 = d_1 + d_2 = 2 + 2 = 4 \leq n_1^2 = 2^2 = 4$;
Для цвета $c = 2$, вершины $3$ и $4$ связны. Также, $n_2 = 2$ и $s_2 = d_3 + d_4 = 2 + 2 = 4 \leq n_2^2 = 2^2 = 4$;
Для цвета $c = 3$, есть только одна вершина (вершина $5$) покрашенная в цвет $3$. Также, $n_3 = 1$ и $s_3 = d_5 = 0 \leq n_3^2 = 1^2 = 1$.

D. Сбросить k ребер

Бинарный поиск графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное Структуры данных *1900

Задано корневое дерево, состоящее из $n$ вершин. Вершины пронумерованы от $1$ до $n$, корень — это вершина $1$.

Вы можете совершить следующую операцию не более $k$ раз:

выбрать ребро $(v, u)$ дерева такое, что $v$ является родителем $u$;
удалить ребро $(v, u)$;
добавить ребро $(1, u)$ (т. е. сделать $u$ с его поддеревом ребенком корня).

Высотой дерева называют максимальную глубину среди всех его вершин, а глубина вершины — это количество ребер на пути от корня до нее. Например, глубина вершины $1$ равна $0$, так как она — корень, а глубина всех ее детей равна $1$.

Какую минимальную высоту дерева можно получить?

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных записаны два целых числа $n$ и $k$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $0 \le k \le n - 1$) — количество вершин в дереве и наибольшее количество операций, которые вы можете совершить.

Во второй строке записаны $n-1$ целых чисел $p_2, p_3, \dots, p_n$ ($1 \le p_i < i$) — родитель $i$-й вершины. Вершина $1$ — корень.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

На каждый набор входных данных выведите одно число — наименьшая высота дерева, которую можно получить, совершив не более $k$ операций.

I. Хрустальные шары

геометрия графы дп разделяй и властвуй разделяй и властвуй Структуры данных теория чисел *3500

В мире Compfestnesia Пак Чанек нашел секретное подземелье. Внутри него находится сундук с сокровищами, окруженный $n$ статуями, расположенными по кругу. Статуи пронумерованы от $0$ до $n-1$, причем статуя $i$ находится слева от статуи $i+1$, а статуя $n-1$ — слева от статуи $0$.

Пак Чанек заметил, что каждая статуя держит хрустальный шар с целым числом от $0$ до $m-1$ включительно. В хрустальном шаре статуи $i$ содержится число $a_i$.

В подземелье есть инструкция, согласно которой, чтобы открыть сундук с сокровищами, все целые числа в хрустальных шарах должны быть равны $0$. Для этого Паку Чанеку дается целое число $k$, и он может выполнить ноль или более операций. За одну операцию Пак Чанек делает следующее:

Он выберет ровно $k$ последовательных статуй. Другими словами, выберет статуи $p, (p+1) \bmod n, (p+2) \bmod n, (p+3) \bmod n, \ldots, (p+k-1) \bmod n$ для некоторого выбранного индекса $p$.
Выполнит одно из следующих действий:
- Для каждой выбранной статуи заменит её значение $a_i$ на $(a_i+1) \bmod m$.
- Для каждой выбранной статуи заменит её значение $a_i$ на $(a_i-1) \bmod m$.

Помогите Паку Чанеку найти минимально возможное количество операций, чтобы открыть сундук с сокровищами.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($2 \leq n,m \leq 10^6$, $nm \leq 2 \cdot 10^6$, $1 \leq k < n$) — количество статуй, верхнее ограничение на значения чисел в хрустальных шарах и количество статуй, которые можно изменять за одну операцию.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}$ ($0 \leq a_i < m$) — целые числа в хрустальных шарах.

Выходные данные

Если возможно выполнить ноль или более операций так, чтобы стало $a_0=a_1=\ldots=a_{n-1}=0$, выведите минимальное требуемое количество операций. В противном случае выведите $-1$.

Примечание

В первом примере Пак Чанек может выполнять следующие операции:

Выполнить операцию $a_i := (a_i-1) \bmod m$ $3$ раза для статуй $1$, $2$ и $3$. Теперь $a=[8,7,1,2,0]$.
Выполнить операцию $a_i := (a_i-1) \bmod m$ $1$ раз для статуй $3$, $4$ и $0$. Теперь $a=[7,7,1,1,8]$.
Выполнить операцию $a_i := (a_i+1) \bmod m$ $2$ раза для статуй $4$, $0$ и $1$. Теперь $a=[0,0,1,1,1]$.
Выполнить операцию $a_i := (a_i-1) \bmod m$ $1$ раз для статуй $2$, $3$ и $4$. Теперь $a=[0,0,0,0,0]$.

D. Маша и красивое дерево

графы Деревья поиск в глубину и подобное разделяй и властвуй сортировки *1300

Девочка Маша гуляла в лесу и нашла полное бинарное дерево высоты $n$ и перестановку $p$ длины $m=2^n$.

Полное бинарное дерево высоты $n$ — это такое корневое дерево, что каждая вершина кроме листьев имеет ровно двух сыновей, а длина пути от корня до любого из листьев равна $n$. Ниже на картинке изображено полное бинарное дерево для $n=2$.

Перестановкой называется массив, состоящий из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$. Например, [$2,3,1,5,4$] является перестановкой, а [$1,2,2$] не является ($2$ встречается дважды), и [$1,3,4$] тоже не является перестановкой ($n=3$, но в массиве есть $4$).

Пронумеруем $m$ листьев этого дерева слева направо. В листе с номером $i$ записано значение $p_i$ ($1 \le i \le m$).

Например, если $n = 2$, $p = [3, 1, 4, 2]$, дерево будет выглядеть так:

$\text{[math]}$

Маша считает дерево красивым, если значения в его листьях упорядочены слева направо по возрастанию.

За одну операцию Маша может выбрать произвольную не являющуюся листом вершину дерева и поменять местами ее левого и правого сына (вместе с их поддеревьями).

Например, если Маша применит эту операцию к корню рассмотренного выше дерева, оно приобретет следующий вид:

$\text{[math]}$

Помогите Маше понять, сможет ли она за некоторое количество операций сделать дерево красивым. Если сможет, то выведите минимальное количество операций, чтобы сделать дерево красивым.

Входные данные

В первой строке дано число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

В каждом наборе входных данных в первой строке дано целое число $m$ ($1 \le m \le 262144$), являющееся степенью двойки — размер перестановки $p$.

Во второй строке даны $m$ целых чисел: $p_1, p_2, \dots, p_m$ ($1 \le p_i \le m$) — перестановка $p$.

Гарантируется, что сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в отдельной строке выведите минимальное возможное количество операций, за которое Маша сможет сделать дерево красивым или -1, если это невозможно.

Примечание

Рассмотрим первый тест.

В первом наборе входных данных можно действовать так (фиолетовым цветом выделена вершина, к которой на текущем шаге применяется операция):

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

Можно показать, что нельзя сделать дерево красивым за меньшее число операций.

Во втором наборе входных данных можно показать, что нельзя сделать дерево красивым.

В третьем наборе входных данных дерево сразу является красивым.

G. Кирилл и компания

битмаски графы дп кратчайшие пути Перебор поиск в глубину и подобное Потоки *2200

Кирилл живёт на связном неориентированном графе из $n$ вершин и $m$ рёбер в вершине с номером $1$. В один прекрасный вечер он собрал у себя $f$ друзей, $i$-й друг живёт в вершине $h_i$. Таким образом, в настоящий момент все друзья находятся в вершине $1$, каждый должен добраться домой — $i$-й друг должен попасть в вершину $h_i$.

Вечер подошёл к концу и настала пора расходиться. Оказалось, что у $k$ ($k \le 6$) из его друзей нет машин и им придётся идти пешком, если их никто не подвезёт. Один друг с машиной может подвезти любое количество друзей без машин, но только если он может подвезти их, проехав по одному из кратчайших путей до своего дома.

Например, в графе ниже, друг из вершины $h_i=5$ может подвезти друзей из следующих наборов вершин: $[2, 3]$, $[2, 4]$, $[2]$, $[3]$, $[4]$, но не может подвезти друга из вершины $6$ или набор $[3, 4]$.

$\text{[math]}$ Вершины в которых живут друзья без машин выделены зелёным, а с машинами — красным.

Кирилл хочет, чтобы как можно меньшему числу друзей пришлось идти пешком. Помогите ему найти минимально возможное количество.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит целое число $t$ ($1 \le t \le 10^3$) — количество наборов входных данных в тесте.

Первая строка набора содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 10^4$, $n-1 \le m \le min (10^4, $$ \frac{n \cdot (n - 1)}{2} $$)$) — количество вершин и рёбер соответственно.

Следующие $m$ строк набора содержат описание рёбер, по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \ne v$) — номера вершин, соединённых ребром. Гарантируется, что в графе нет петель и кратных рёбер.

Дальше следует строка набора, содержащая число $f$ ($1 \le f \le 10^4$) — количество друзей Кирилла.

Следующая строка набора содержит $f$ целых чисел: $h_1, h_2, \dots, h_f$ ($2 \le h_i \le n$) — вершины, в которых они живут. Некоторые вершины могут повторяться.

Следующая строка набора содержит число $k$ ($1 \le k \le min(6, f)$) — количество друзей без машин.

Последняя строка каждого набора содержит $k$ целых чисел: $p_1, p_2, \dots, p_k$ ($1 \le p_i \le f$, $p_i < p_{i+1}$) — номера друзей без машин.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам не превосходит $10^4$, как и суммы $m$ и $f$.

Выходные данные

Выведите $t$ строк, каждая из которых содержит ответ на соответствующий набор входных данных. В качестве ответа выведите единственное число — минимально возможное количество друзей, которым придётся идти пешком.

Примечание

Первый набор входных данных первого примера разобран в условии.

Во втором наборе входных данных первого примера в вершине $5$ живут два друга с машинами, один может подвезти друзей из вершин $2$ и $3$, а второй из вершины $4$, не подвезут только друга из вершины $6$.

E. Кактусовая стена

графы Конструктив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2400

Монокарп играет в Minecraft и хочет построить стену из кактусов. Он хочет построить ее на поле из песка размера $n \times m$ клеток. Изначально в некоторых ячейках поля есть кактусы. Обратите внимание, что в Minecraft кактусы не могут расти на соседних по стороне клетках; и начальное поле соответствует этому ограничению. Монокарп может сажать новые кактусы (они также должны соответствовать вышеупомянутому условию). Он не может срубить ни один из кактусов, которые уже растут на поле — у него нет топора, а кактусы слишком колючие для его рук.

Монокарп считает, что стена завершена, если нет пути от верхнего ряда поля к нижнему ряду, такого, что:

каждые две последовательные клетки в пути соседние по стороне;
ни одна ячейка, принадлежащая пути, не содержит кактуса.

Ваша задача — посадить минимальное количество кактусов, чтобы построить стену (или сообщить, что это невозможно).

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^3$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n, m \le 2 \cdot 10^5$; $n \times m \le 4 \cdot 10^5$) — количество строк и столбцов, соответственно.

Затем следуют $n$ строк, $i$-я строка содержит строку $s_i$ длины $m$, где $s_{i, j}$ равно '#', если на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца растет кактус, и $s_{i, j}$ равно '.' в противном случае.

Сумма $n \times m$ по всем наборам входных данных не превосходит $4 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, в первой строку выведите NO, если невозможно построить стену кактусов не нарушая правил. В противном случае в первой строке выведите YES, затем выведите $n$ строк по $m$ символов — поле с кактусами, где $j$-й символ $i$-й строки равен '#', если на если на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца поля есть кактус, в противном случае символ равен '.'. Если существует несколько оптимальных решений, выведите любое из них.

F. Gnomes of Might and Magic

графы кратчайшие пути реализация Структуры данных *3000

Вася играет в популярную игру Gnomes of Might and Magic.

В этой игре Вася управляет королевством гномов, состоящим из нескольких замков, соединенных двусторонними дорогами. Сеть дорог королевства имеет специальный вид. В королевстве есть m главных замков: a₁, a₂, ... , a_m, которые образуют Путь Добра. Этот путь состоит из дорог между замками a_i, a_i + 1 (1 ≤ i < m), а так же дороги между a_m и a₁. Никаких других дорог между замками Пути Добра нет.

Кроме того, для каждой пары соседних замков Пути Добра u и v существует ровно один Обход Зла — путь по дорогам королевства, ведущий из первого замка (u) во второй (v) и не имеющий с Путем Добра общих вершин, кроме вершин u и v. Известно, что никаких других дорог и замков в королевстве нет, то есть каждая дорога и каждый замок лежит либо на Пути Добра, либо на Обходе Зла (замки могут лежать и там, и там). Кроме того, никакие два Обхода Зла не имеют общих замков, отличных от замков Пути Добра.

В начале каждой недели в королевстве появляется один очень плохой гном, который встает на одну из дорог королевства и начинает грабить корованы, проходящие через эту дорогу. На одной дороге может скапливаться несколько очень плохих гномов. Вася бережет свои корованы, поэтому иногда отправляет Миссию Смерти из одного замка в другой.

Пусть Миссия Смерти должна попасть из замка s в замок t. Тогда она будет двигаться из замка s к замку t, уничтожая всех очень плохих гномов, находящихся на дорогах пути, по которому она следует. Вася настолько крут, что его Миссия Смерти может уничтожить любое число гномов на своем пути. Однако, Вася очень добрый, поэтому всегда выбирает такой путь между замками s и t, следуя которому придется уничтожить наименьшее число гномов. Если таких путей несколько то среди них Вася выбирает путь, содержащий наименьшее число дорог. Если и таких путей несколько, то среди них Вася выбирает лексикографически минимальный.

Помогите Васе, промоделируйте жизнь королевства в игре Gnomes of Might and Magic.

Под путем понимается последовательность замков такая, что каждая пара соседних замков пути соединена дорогой. При этом путь x₁, x₂, ... , x_p лексикографически меньше пути y₁, y₂, ... , y_q, если либо p < q и x₁ = y₁, x₂ = y₂, ... , x_p = y_p, либо существует такое число r (r < p, r < q), что x₁ = y₁, x₂ = y₂, ... , x_r = y_r и x_r + 1 < y_r + 1.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа n и m (3 ≤ m ≤ n ≤ 100000) — количество замков в королевстве и количество замков на Пути Добра, соответственно.

Во второй строке находится m целых чисел — номера замков Пути Добра (замки нумеруются от 1 до n) в порядке следования по Пути, начиная с некоторого замка. Все замки Пути Добра различны.

Каждая из следующих m строк описывает один Обход Зла. Сначала в строке записано целое число k_i (3 ≤ k_i ≤ 100000) — количество замков на соответствующем Обходе Зла (с учетом двух замков, находящихся на пути добра), затем следует k_i целых чисел — номера замков в порядке следования по данному Обходу. Все замки в одном Обходе Зла различны. Гарантируется, что первый и последний замки Обхода находятся на Пути Добра, а первые замки в Обходах Зла образуют Путь Добра и представлены в том же порядке, что и Путь во второй строке.

В следующей строке находится целое число q (1 ≤ q ≤ 100000) — количество событий в жизни королевства. Каждая из следующих q строк описывает одно событие. Событие описывается символом c_j и двумя номерами замков s_j и t_j (символ и номера замков разделены единичным пробелом). Если символ c_j равен «+» (плюс), то это означает, что на дороге между замками s_j и t_j встал (возможно, не первый) очень плохой гном. Если c_j равен «?» (вопрос), то Вася направил Миссию Смерти из замка s_j в замок t_j. Гарантируется, что при запросе «+» дорога между замками s_j и t_j существует. События даны в хронологическом порядке, начиная с самого раннего. Изначально очень плохих гномов на дорогах нет.

Все числа во всех строках разделены единичными пробелами. Гарантируется, что все заданные Обходы Зла и Путь Добра соответствуют ограничениям, описанным в условии задачи.

Выходные данные

Для каждого запроса «?» необходимо вывести единственное число на отдельной строчке — количество очень плохих гномов, уничтоженных соответствующей Миссией Смерти. Ответы на запросы нужно выводить в хронологическом порядке.

Примечание

В примере после первых 4 запросов существует только один путь из замка 1 в замок 2, не содержащий дорог с очень плохими гномами: 1 $\text{[math]}$ 6 $\text{[math]}$ 3 $\text{[math]}$ 5 $\text{[math]}$ 2.

После того, как гном встал на дорогу (2, 5), следующая Миссия Смерти движется по пути 1 $\text{[math]}$ 2 и уничтожает гнома, находившегося на дороге (1, 2). Следующая Миссия смерти идет по этому же пути, уже свободному от гномов.

После того, как еще один гном встал на дорогу (1, 2), следующая Миссия Смерти идет по пути 1 $\text{[math]}$ 2 и уничтожает этого гнома.

D. Пляж

графы Конструктив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2400

Андрей обожает море. Именно поэтому в разгар летнего сезона он решил отправиться на пляж, взяв с собой лежак, чтобы позагорать.

Пляж представляет собой прямоугольное поле, состоящее из $n$ строк и $m$ столбцов. Некоторые клетки этого поля свободны, на некоторых расположены дорожки, камни, ларьки и другие несдвигаемые объекты, а так же на двух соседних по стороне клетках могут стоять лежаки, расположенные как горизонтально, так и вертикально.

Андрей надеется поставить где-то свой лежак, но вот незадача, свободных мест для него может уже не быть! Именно поэтому Андрей просит вас помочь найти ему свободное место для лежака. Лежак Андрея тоже должен занимать две соседние по стороне клетки.

Если двух соседних свободных клеток нет, то для того, чтобы освободить место для лежака, придется потревожить других туристов. Для этого вы можете делать следующие действия:

Подойти к любому лежаку, и доставив $p$ единиц дискомфорта его хозяину, поднять лежак за одну из сторон и повернуть на $90$ градусов. Одна из половин лежака должна остаться в той же клетке, а вторая переместиться в свободную клетку. При этом во время поворота на пути лежака может быть что угодно.
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
Поворот лежака на $90$ градусов вокруг клетки $(1, 2)$.
Подойти к любому лежаку, и доставив $q$ единиц дискомфорта его хозяину, подвинуть лежак вдоль его длинной стороны на одну клетку. Одна сторона лежака должна переместиться на место другой, а другая — в свободную клетку.
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
Сдвиг лежака на одну клетку вправо.

В любой момент времени каждый лежак занимает две соседние клетки, не содержащие ничего другого. Вы можете двигать одновременно максимум один лежак.

Помогите Андрею освободить место для еще одного лежака, доставив минимальное количество дискомфорта окружающим, или скажите, что сделать это не получится.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 300\,000$, $1 \le n \cdot m \le 300\,000$) — количество строк и столбцов на поле.

Вторая строка содержит два целых числа $p$ и $q$ ($1 \le p, q \le 10^9$) — количество единиц дискомфорта, которые приносят поворот и сдвиг лежака, соответственно.

Каждая из следующих $n$ строк содержит $m$ символов, описывающие клетки поля. Все строки состоят из символов «L», «R», «D», «U», «.» и «#», задающих тип клетки. Символы «L», «R», «D» и «U» обозначают половину лежака, находящегося в этой клетке — левая, правая, нижняя или верхняя половина, соответственно. Символ «.» обозначает свободную клетку, а символ «#» — клетку, занятую несдвигаемым объектом.

Выходные данные

Выведите одно число — минимальное количество дискомфорта, которое возникнет при освобождении места для лежака. Если освободить место для лежака невозможно, выведите число $-1$.

Примечание

В первом примере, передвинув верхний лежак налево, а нижний лежак направо, Андрей сможет вертикально поставить лежак посередине пляжа. Таким образом, мы доставим $2 + 2 = 4$ единицы дискомфорта. Можно показать, что доставить меньшее количество дискомфорта не получится.

$\text{[math]}$

Оптимальные действия в первом примере (лежак Андрея обозначен белым цветом). Во втором примере из условия невозможно освободить место для лежака Андрея. Всевозможные состояния пляжа после поворотов и сдвигов показаны в условии задачи.

E. Тик-так

графы Комбинаторика поиск в глубину и подобное снм *2500

Танхаус, часовщик в городе Винден, делает необычные часы, измеряющие время в $h$ часах, пронумерованных от $0$ до $h-1$. Однажды он решил сделать из таких часов загадку.

Загадка состоит из таблицы размера $n \times m$ с часами, где каждые часы показывают какой-то час ровно (то есть время не лежит между двумя ровными часами). За один ход он может выбрать строку или столбец и перевести все часы в строке или столбце на час вперед$^\dagger$.

Таблица с часами называется решаемой, если можно сделать так, чтобы все часы показывали одно и то же время.

При создании закагки Танхаус вдруг забеспокоился, что, возможно, его загадка не получится решаемой. В некоторых клетках таблицы уже находятся часы, которые показывают определенное время, а некоторые клетки еще пустые.

Вам дана частично заполненная таблица с часами, найдите количество способов$^\ddagger$ заполнить пустые клетки часами так, чтобы таблица была решаемой. Так как ответ может быть большим, выведите его по модулю $10^9 + 7$.

$^\dagger$ Если часы показывают $t$ часов, и их переводят на час вперед, они будут показывать $(t+1) \bmod h$ часов.

$^\ddagger$ Два способа считаются различными, если существует клетка с часами, в двух способах показывающими различное время.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 5 \cdot 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $m$ и $h$ ($1 \leq n, m \leq 2 \cdot 10^5$; $1 \leq h \leq 10^9$) — количество строк и столбцов в таблице, а также количество часов на каждых часах.

Каждая из следующих $n$ строк содержит $m$ целых чисел, описывающих часы в таблице. Число $x$ ($-1 \leq x < h$) в $i$-м ряду в $j$-м столбце показывает изначальное время на соответствующих часах, а если $x = -1$, то эта клетка пуста.

Гарантируется, что сумма значений $n \cdot m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите число способов заполнить пустые клетки таблицы так, чтобы загадка была решаемой. Так как ответ может быть большим, выведите его по модулю $10^9 + 7$.

Примечание

В первом примере например подходит следующая конфигурация часов:

1	0	3
0	3	2

Она решаемая, например, так:

Перевести часы в среднем столбце на час.
Перевести часы в третьем столбце на час.
Перевести часы в третьем столбце на час.
Перевести часы во второй строке на час.

После этого все часы показывают один час.

Во втором примере можно показать, что нет решаемых конфигураций.

G. Любимая задача SlavicG-а

битмаски графы поиск в глубину и подобное *1700

Вам задано взвешенное дерево с $n$ вершинами. Деревом называется неориентированный связный граф без циклов. Дерево является взвешенным, если каждому его ребру сопоставлено число — его вес. Дерево неориентировано, не содержит корня.

Так как деревья слишком скучны, вы решили повеселить себя игрой на дереве.

За один ход вы можете переместиться из вершины в любого его соседа (такую вершину, в которую есть ребро из текущей).

Вы начинаете игру, имея значение переменной $x$ равное $0$. Когда вы перемещаетесь по ребру $i$, то $x$ изменяет своё значение на $x ~\mathsf{XOR}~ w_i$ (где — $w_i$ вес $i$-го ребра).

Ваша задача пройти от вершины $a$ до вершины $b$, но вы имеете право входить в вершину $b$ только если $x$ после этого станет равно $0$. Другими словами, вы можете пройти по ребру $i$, которое ведёт в $b$ тогда и только тогда, когда $x ~\mathsf{XOR}~ w_i = 0$. Как только вы попадаете $b$, то игра заканчивается вашей победой.

Есть дополнительное правило — не более одного раза за игру вы можете воспользоваться телепортом. Он перемещает вас мгновенно в любую вершину (отличную от $b$). Вы можете использовать телепорт из любой вершины (даже из $a$).

Выведите «YES», если вы можете попасть в $b$ из $a$. Выведите «NO» в противном случае.

Операция $\mathsf{XOR}$ обозначает битовое исключающее ИЛИ.

Входные данные

Первая строка содержит единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$) — количество наборов входных данных в тесте.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $a$ и $b$ ($2 \leq n \leq 10^5$), ($1 \leq a, b \leq n; a \ne b$) — количество вершин, а также начальную и конечную вершина, соответственно.

Каждая из следующих $n-1$ строк задает ребро дерева. Ребро $i$ задано тремя целыми числами $u_i$, $v_i$ и $w_i$ — метками вершин, которые оно соединяет ($1 \leq u_i, v_i \leq n; u_i \ne v_i; 1 \leq w_i \leq 10^9$) и своим весом.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES», если вы можете достичь вершины $b$, и «NO» в противном случае.

Примечание

Для первого набора входных данных мы можем перейти от вершины $1$ в вершину $3$, при этом $x$ изменится с $0$ на $1$. Затем мы перейдем из $3$ в $2$, при этом $x$ станет равным $3$. Теперь мы можем телепортироваться в узел $3$ и переместиться из узла $3$ в узел $4$, достигнув узла $b$, так как в итоге $x$ стало равно $0$. Поэтому ответ равен «YES».

Во втором наборе входных данных пример у нас нет ходов, так как мы не можем телепортироваться к узлу $b$, а единственный ход, который у нас есть — это добраться до узла $2$, что невозможно, поскольку $x$ не будет равно $0$. Таким образом, ответ равен «NO».

C. Построение множеств

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *1400

Вам дана бинарная матрица $b$ (все элементы матрицы равны $0$ или $1$) из $n$ строк и $n$ столбцов.

Вам нужно построить $n$ множеств $A_1, A_2, \ldots, A_n$, для которых выполняются следующие условия:

Каждое множество непустое и состоит из различных целых чисел от $1$ до $n$ включительно.
Все множества попарно различны.
Для всех пар $(i,j)$, удовлетворяющих условиям $1\leq i, j\leq n$, $b_{i,j}=1$ тогда и только тогда, когда $A_i\subsetneq A_j$. Другими словами, $b_{i, j}$ равно $1$, если $A_i$ является собственным подмножеством $A_j$ и $0$ в противном случае.

Множество $X$ является собственным подмножеством множества $Y$, если $X$ является непустым подмножеством $Y$, и $X \neq Y$.

Гарантируется, что для всех наборов входных данных в этой задаче, такие $n$ множеств существуют. Заметим, что это не означает, что такие $n$ множеств существуют для всех возможных наборов входных данных.

Если существует несколько решений, то можно вывести любое из них.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1\le t\le 1000$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка содержит целое число $n$ ($1\le n\le 100$).

Следующие $n$ строк содержат бинарную матрицу $b$, $j$-е символ $i$-й строки обозначает $b_{i,j}$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $1000$.

Гарантируется, что для всех наборов входных данных в данной задаче такие $n$ множеств существуют.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $n$ строк.

В $i$-й строке сначала выведите $s_i$ $(1 \le s_i \le n)$ — размер множества $A_i$. Затем выведите $s_i$ попарно различных целых чисел от $1$ до $n$ — элементы множества $A_i$.

Если существует несколько решений, то можно вывести любое из них.

Гарантируется, что для всех наборов входных данных в данной задаче такие $n$ множеств существуют.

Примечание

В первом наборе входных данных имеем $A_1 = \{1, 2, 3\}, A_2 = \{1, 3\}, A_3 = \{2, 4\}, A_4 = \{1, 2, 3, 4\}$. Множества $A_1, A_2, A_3$ являются собственными подмножествами $A_4$, а также множество $A_2$ является собственным подмножеством $A_1$. Никакое другое множество не является собственным подмножеством никакого другого множества.

Во втором наборе входных данных имеем $A_1 = \{1\}, A_2 = \{1, 2\}, A_3 = \{1, 2, 3\}$. $A_1$ является собственным подмножеством $A_2$ и $A_3$, а $A_2$ является собственным подмножеством $A_3$.

E. Сделайте связным

Бинарный поиск графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив матрицы Перебор снм *2400

Вам дан простой неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин. Граф не содержит петель, между каждой парой вершин существует не более одного ребра. Ваша задача проста: сделать граф связным.

Вы можете выполнить следующую операцию любое количество раз (возможно, ноль):

Выберите произвольную вершину $u$.
Для каждой вершины $v$, для которой $v\ne u$, если $v$ смежна с $u$, удалите ребро между $u$ и $v$, иначе добавьте ребро между $u$ и $v$.

Найдите минимальное количество операций, необходимых для того, чтобы сделать граф связным. Также найдите любую последовательность операций минимальной длины, которая делает граф связным.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1\leq t\leq 800$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2\leq n\leq 4000$) — количество вершин в графе.

Затем следуют $n$ строк. В $i$-й строке содержится бинарная строка $s_i$ длины $n$, где $s_{i,j}$ равно '1', если между вершинами $i$ и $j$ изначально существует ребро, иначе $s_{i,j}$ равно '0'.

Гарантируется, что $s_{i,i}$ всегда '0' и $s_{i,j}=s_{j,i}$ для $1\leq i,j\leq n$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $4000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в первой строке выведите целое число $m$ — минимально необходимое количество операций.

Если $m$ больше нуля, то выведите дополнительную строку, состоящую из $m$ целых чисел — вершин, выбранных в операциях в вашем решении. Если существует несколько решений с минимальным количеством операций, выведите любое из них.

Примечание

В первом наборе входных данных граф связен в начале, поэтому ответ — $0$.

Во втором наборе входных данных, если мы выполним операцию с вершиной $1$, то получим следующий граф, представленный следующей матрицей смежности:

 \begin{bmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix} 

Очевидно, что приведенный выше граф является связным.

В третьем наборе входных данных, если мы проделаем операцию с вершинами $3$ и $4$, то получим следующий граф, представленный следующей матрицей смежности:

 \begin{bmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&1&1&0 \end{bmatrix} 

Очевидно, что приведенный выше граф является связным, и можно доказать, что мы не можем выполнить менее $2$ операций, чтобы сделать граф связным.

E. Пары вершин

графы дп математика теория чисел *2200

Давайте назовем упорядоченную пару вершин $(u, v)$ в ориентированном графе однонаправленный если $u \neq v$, существует путь от $u$ до $v$, и не существует пути от $v$ до $u$.

Ориентированный граф называется $p$-достижимым, если он содержит ровно $p$ упорядоченных пар вершин $(u, v)$ таких, что $u < v$, $u$ и $v$ достижимы друг из друга. Найдите минимальное количество вершин, необходимое для создания $p$-достижимого ориентированного.

Еще, среди всех $p$-достижимых ориентированных графов с минимальным числом вершин, пусть $G$ обозначает граф, который максимизирует количество однонаправленных пар вершин. Найдите это число.

Входные данные

Первая и единственная строка содержит одно целое число $p$ ($0 \le p \le 2 \cdot 10^5$) — количество упорядоченных пар вершин.

Выходные данные

Выведите одну строку, содержащую два целых числа — минимальное количество вершин, необходимое для создания $p$-достижимого ориентированного графа, и максимальное количество однонаправленных пар вершин среди всех таких $p$-достижимых ориентированных графов с минимальным количеством вершин.

Примечание

В первом примере минимальное количество вершин, необходимое для создания $3$-достижимого ориентированного графа это $3$. Среди всех $3$-достижимых ориентированных графов с $3$ вершинами, следующий граф $G$ является одним из графиков с максимальным количеством однонаправленных пар вершин, который является $0$.

$\text{[math]}$

F. Запросы к ребрам

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *3000

Вам дан неориентированных, связный граф из $n$ вершин и $m$ ребер. Все вершины $u$ графа удовлетворяют следующему условию:

Пусть $S_u$ это множество вершин принадлежащих длиннейшему простому циклу начинающемуся и заканчивающемуся в $u$.
Пусть $C_u$ это объединение множеств вершин всех простых циклов начинающихся и заканчивающихся в $u$.
$S_u = C_u$.

Вы должны ответить на $q$ запросов.

Для каждого запроса вам будет дана вершина $a$ и вершина $b$. Для всех ребер принадлежащих любому простому пути из $a$ в $b$, посчитайте число ребер таких, что если вы удалите их, $a$ и $b$ останутся достижимы друг из друга.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m \le \min$($2 \cdot 10^5$, $(n \cdot (n-1))/2$)) — число вершин и ребер графа, соответственно.

Следующие $m$ строк содержат пары целых чисел $u$ и $v$ ($1 \le$ ($u$, $v$) $\le n$, $u \neq v$) — описывающие ребра, означающие $u$ что $v$ соединены друг с другом.

Гарантируется, что между одной парой вершин проведено не более одного ребра и данный граф связен.

В следующей строке содержится одно целое число $q$ ($1 \le q \le 2 \cdot 10^5$) — количество запросов.

Затем $q$ следующих строк содержат запросы. Каждая из них содержит два целых числа $a$ и $b$ ($1 \le$ $a$, $b$ $\le n$).

Выходные данные

Для каждого запроса выведите одно целое число — ответ на запрос.

Примечание

Граф в первом примере:

$\text{[math]}$

Первый запрос это $(1, 4)$. Тут всего $5$ ребер принадлежат любому простому пути из $1$ в $4$. Ребра $(3, 4), (4, 5), (5, 3)$ будут посчитаны как ответ на запрос.

Четвертый запрос $(2, 8)$. Тут только один простой путь из $2$ в $8$, причем ни одно ребро не будет посчитано в ответ.

Пятый запрос $(7, 10)$. Тут всего $4$ ребра принадлежат любому простому пути из $7$ в $10$, все они будут посчитаны в ответе.

C. Дореми и строительство города

графы жадные алгоритмы *1400

Строительство нового города Дореми начинается! Город можно представить как простой неориентированный граф из $n$ вершин. Высота $i$-й вершины равна $a_i$. Теперь Дореми должна решить, какие вершины должны быть соединены ребрами.

По экономическим причинами в графе не должно быть петель или кратных ребер.

Из соображений безопасности не должно быть попарно различных вершин $u$, $v$ и $w$ таких, что $a_u \leq a_v \leq a_w$, и существуют ребра $(u,v)$ и $(v,w)$.

Дореми хочет знать, какое максимальное количество ребер в графе может быть при данных ограничениях. Можете помочь ей?

Обратите внимание, что построенный граф не обязательно должен быть связным.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1\le t\le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2\cdot 10^5$) — количество вершин.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1\le a_i\le 10^6$) — высоты всех вершин.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите максимально возможное число ребер в графе.

Примечание

В первом наборе входных данных максимум может быть $3$ ребра. Одно из возможных решений — добавить ребра $(1,3)$, $(2,3)$, $(3,4)$. На рисунке ниже красное число над вершиной $i$ равно $a_i$.

$\text{[math]}$

Список ниже перечисляет все тройки $u$, $v$, $w$ такие, что существуют ребра $(u,v)$ и $(v,w)$.

$u=1$, $v=3$, $w=2$;
$u=1$, $v=3$, $w=4$;
$u=2$, $v=3$, $w=1$;
$u=2$, $v=3$, $w=4$;
$u=4$, $v=3$, $w=1$;
$u=4$, $v=3$, $w=2$.

Другое возможное решение — добавить ребра $(1,4)$, $(2,4)$, $(3,4)$.

$\text{[math]}$

Неправильное решение — добавить ребра $(1,3)$, $(2,3)$, $(2,4)$, $(3,4)$. В таком случае если выбрать $u=4$, $v=2$, $w=3$, то $a_u\le a_v \le a_w$ выполняется, и есть соответствующие ребра.

$\text{[math]}$

H. Hospital Queue

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы реализация *2200

There are $n$ people (numbered from $1$ to $n$) signed up for a doctor's appointment. The doctor has to choose in which order he will appoint these people. The $i$-th patient should be appointed among the first $p_i$ people. There are also $m$ restrictions of the following format: the $i$-th restriction is denoted by two integers $(a_i, b_i)$ and means that the patient with the index $a_i$ should be appointed earlier than the patient with the index $b_i$.

For example, if $n = 4$, $p = [2, 3, 2, 4]$, $m = 1$, $a = [3]$ and $b = [1]$, then the only order of appointment of patients that does not violate the restrictions is $[3, 1, 2, 4]$. For $n =3$, $p = [3, 3, 3]$, $m = 0$, $a = []$ and $b = []$, any order of appointment is valid.

For each patient, calculate the minimum position in the order that they can have among all possible orderings that don't violate the restrictions.

Input

The first line contains two integers $n$ and $m$ ($1 \le n \le 2000$; $0 \le m \le 2000$).

The second line contains $n$ integers $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$).

Then $m$ lines follow. The $i$-th of them contains two integers $a_i$ and $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$; $a_i \ne b_i$). All pairs of $(a_i, b_i)$ are distinct (i. e. if $i \ne j$, then either $a_i \ne a_j$, $b_i \ne b_j$, or both).

Additional constraint on the input: there is at least one valid order of patients.

Output

Print $n$ integers, where $i$-th integer is equal to the minimum position of $i$-th patient in the order, among all valid orders. Positions in the order are numbered from $1$ to $n$.

Note

In the first example, $[3, 1, 2, 4]$ the only one valid order, so the minimum position of each patient is equal to their position in this order.

In the second example, any order is valid, so any patient can be appointed first.

In the third example, there are three valid orders: $[4, 2, 3, 1, 5]$, $[3, 4, 2, 1, 5]$ and $[4, 3, 2, 1, 5]$.

E. Algebra Flash

meet-in-the-middle битмаски графы Деревья дп математика Перебор *2500

Выпущена новая версия: Algebra Flash 2.2

Список изменений:

Новый игровой режим!

Благодарим вас за непрерывную поддержку игры!

И это все? С небольшим разочарованием вы запускаете игру и нажимаете на новый режим. Написано «Цветные платформы».

В ряд расположены $n$ платформ, пронумерованных от $1$ до $n$. В игре доступны $m$ цветов, пронумерованных от $1$ до $m$. $i$-я платформа раскрашена в цвет $c_i$.

Вы начинаете на платформе $1$ и хотите добраться до платформы $n$. За один ход вы можете прыгнуть с некоторой платформы $i$ на платформы $i + 1$ или $i + 2$.

Все платформы изначально деактивированы (включая платформы $1$ и $n$). Для каждого цвета $j$ можно заплатить $x_j$ монет, чтобы активировать все платформы этого цвета.

Вы хотите включить некоторые платформы так, чтобы можно было начать на активированной платформе $1$, попрыгать по некотором активированным платформам и достичь платформы $n$.

Какое наименьшее количество монет потребуется для достижения этого?

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 3 \cdot 10^5$; $1 \le m \le 40$) — количество платформ и количество цветов, соответственно.

Во второй строке записаны $n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($1 \le c_i \le m$) — цвета платформ.

В третьей строке записаны $m$ целых чисел $x_1, x_2, \dots, x_m$ ($1 \le x_i \le 10^7$) — стоимости включения всех платформ каждого цвета.

Выходные данные

Выведите наименьшее количество монет, которое потребуется того, чтобы можно было начать на активированной платформе $1$, попрыгать по некотором активированным платформам и достичь платформы $n$.

D. Удачная перестановка

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *1800

Вам дана перестановка$^\dagger$ $p$ длины $n$.

За одну операцию вы можете выбрать два индекса $1 \le i < j \le n$ и поменять местами $p_i$ и $p_j$.

Найдите минимальное количество операций, которое необходимо сделать, чтобы в итоговой перестановке была ровно одна инверсия$^\ddagger$.

$^\dagger$ Перестановкой называется массив, состоящий из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$ в произвольном порядке. Например, $[2,3,1,5,4]$ является перестановкой, но $[1,2,2]$ не является перестановкой ($2$ встречается дважды в массиве) и $[1,3,4]$ тоже не является перестановкой ($n=3$, но $4$ присутствует в массиве).

$^\ddagger$ Количеством инверсий в перестановке $p$ называется количество пар индексов $(i, j)$ таких, что $1 \le i < j \le n$ и $p_i > p_j$.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных содержится одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — длина перестановки.

Вторая строка каждого набора содержит $n$ чисел $p_1,p_2,\ldots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$). Гарантируется, что $p$ — перестановка.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно число — минимальное количество операций, которое необходимо сделать, чтобы в итоговом массиве была ровно одна инверсия. Можно показать, что это всегда возможно.

Примечание

В первом наборе входных перестановка уже удовлетворяет условию.

Во втором наборе вы можете выполнить операцию с $(i,j)=(1,2)$, после этого в перестановке $[2,1]$ будет ровно одна инверсия.

В третьем наборе нельзя выполнить условие меньше чем за $3$ операции. А за $3$ операции можно добиться выполнения условия так: $(i,j)$ должны равняться $(1,3)$, $(2,4)$, $(3,4)$ в соответствующих операциях. Итоговой перестановкой будет $[1, 2, 4, 3]$, в ней ровно одна инверсия.

В четвёртом наборе нужно сделать обмен, в котором $(i,j)=(2,4)$, в результате чего перестановка будет равняться $[2,1,3,4]$.

C1. Вечеринка

wowaka ft. Hatsune Miku - Ura-Omote Lovers

В честь проведения второго турнира ABBYY Cup Умный Бобер решил устроить вечеринку. У Бобра много знакомых, и некоторые из них дружат друг с другом, а некоторые друг другу не нравятся. Чтобы вечеринка удалась на славу, Умный Бобер хочет пригласить только тех своих знакомых, которые дружат, и не приглашать тех, кто не нравится друг другу. Отношения дружбы и антипатии симметричны.

Более формально, для каждого приглашенного человека должны выполняться следующие условия:

все его друзья должны быть также приглашены на вечеринку;
среди приглашенных не должно быть людей, которые ему не нравятся;
все приглашенные на вечеринку должны быть связаны с ним дружбой напрямую или через цепь общих друзей произвольной длины. Будем говорить, что люди a₁ и a_p связаны цепью общих друзей, если существует последовательность людей a₂, a₃, ..., a_p - 1 такая, что все пары людей a_i и a_i + 1 (1 ≤ i < p) — друзья.

Помогите Бобру определить максимальное количество знакомых, которых он сможет пригласить.

Входные данные

В первой строке входных данных записано целое число n — количество знакомых Бобра.

Во второй строке записано целое число k $\text{[math]}$ — количество пар друзей. В следующих k строках через пробел записаны пары чисел u_i, v_i $\text{[math]}$ — номера людей, которые входят в i-ую пару друзей.

В следующей строке записано число m $\text{[math]}$ — количество пар людей, которые друг другу не нравятся. В следующих m строках перечислены пары таких людей в том же формате, что и пары друзей.

Каждая пара людей упоминается во входных данных не более одного раза $\text{[math]}$ . В частности, два человека не могут быть друзьями и одновременно не нравиться друг другу.

Ограничения на входные данные для получения 30 баллов:

2 ≤ n ≤ 14

Ограничения на входные данные для получения 100 баллов:

2 ≤ n ≤ 2000

Выходные данные

Выведите единственное число — максимальное количество людей, которых Бобер сможет пригласить на вечеринку. Если группу людей, удовлетворяющую всем требованиям, выбрать невозможно, выведите 0.

Примечание

Рассмотрим пример.

$\text{[math]}$

Под условия задачи подходят две группы людей: {1, 2, 3} и {4, 5}, при этом ответом будет размер наибольшей из этих групп. Группа {6, 7, 8, 9} не подходит, так как в ней есть люди 7 и 9, которые не нравятся друг другу. Группа {1, 2, 3, 4, 5} также не подходит, так как не все ее члены связаны цепью общих друзей (например, люди 2 и 5 не связаны).

D. Косия и игра

графы игры Конструктив Паросочетания поиск в глубину и подобное Потоки реализация снм Структуры данных *2000

Косия и Махиру играют в игру с тремя массивами $a$, $b$ и $c$ длины $n$. Каждый элемент $a$, $b$ и $c$ — целое число от $1$ до $n$ включительно.

Игра состоит из $n$ раундов. В $i$-м раунде они делают следующие ходы:

Пусть $S$ — мультимножество $\{a_i, b_i, c_i\}$.
Косия удаляет один из элементов $S$ по своему выбору.
Затем Махиру выбирает одно из двух оставшихся в $S$ чисел.

Пусть $d_i$ — число, выбранное Махиру в $i$-м раунде. Если $d$ является перестановкой$^\dagger$, Косия выигрывает. Иначе выигрывает Махиру.

Сейчас выбраны только массивы $a$ и $b$. Являясь ярым поклонником Косии, вы хотите выбрать массив $c$ так, чтобы Косия выиграла. Вычислите количество таких $c$ по модулю $998\,244\,353$.

Обратите внимание, что Косия и Махиру играют оптимально.

$^\dagger$ Перестановкой длины $n$ является массив, состоящий из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$ в произвольном порядке. Например, $[2,3,1,5,4]$ — перестановка, но $[1,2,2]$ не перестановка ($2$ встречается в массиве дважды) и $[1,3,4]$ тоже не перестановка ($n=3$, но в массиве встречается $4$).

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 2 \cdot 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq {10}^5$) — размеры массивов.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq n$).

Третья строка содержит $n$ целых чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ ($1 \leq b_i \leq n$).

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит ${10}^5$.

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество массивов $c$, при которых выигрывает Косия, по модулю $998\,244\,353$.

Примечание

В первом примере есть $6$ массивов $c$, при которых выигрывает Косия: $[1, 2, 3]$, $[1, 3, 2]$, $[2, 2, 3]$, $[2, 3, 2]$, $[3, 2, 3]$, $[3, 3, 2]$.

Во втором примере можно показать, что нет массивов $c$, при которых выигрывает Косия.

F. Копия копии копии

графы Конструктив поиск в глубину и подобное реализация сортировки *2000

Все началось с черно-белой картинки, которую можно представить как матрицу $n \times m$ такую, что все ее элементы равны $0$ или $1$. Строки пронумерованы от $1$ до $n$, столбцы пронумерованы от $1$ до $m$.

Над картинкой проделали несколько операций (возможно, ноль), каждая — одного из двух типов:

выбрать ячейку такую, что она не находится на границе (строка не $1$ и не $n$, столбец не $1$ и не $m$) и она окружена четырьмя ячейками противоположного цвета (четырьмя нулями, если она единица, и наоборот), и перекрасить ее саму в противоположный цвет;
сделать копию текущей картинки.

Обратите внимание, что порядок операций мог быть произвольным, они могут не чередоваться.

Вам сообщили результат: все $k$ копий, которые были сделаны. Кроме того, вам сообщили первоначальную картинку. Однако, все эти $k+1$ картинки были перемешаны.

Восстановите последовательность операций. Если существует несколько ответов, то выведите любой из них. Тесты построены из реальной последовательности операций, т. е. хотя бы один ответ всегда существует.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа $n, m$ и $k$ ($3 \le n, m \le 30$; $0 \le k \le 100$) — количество строк, количество столбцов и количество сделанных копий, соответственно.

Затем следуют $k+1$ картинок — $k$ копий и первоначальная. Их порядок произвольный.

Каждая картинка состоит из $n$ строк, в каждой по $m$ символов, каждый символ — это $0$ или $1$. Перед каждой картинкой идет пустая строка.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число — номер первоначальной картинки. Картинки пронумерованы от $1$ до $k+1$ в порядке, в котором они заданы во входных данных.

Во второй строке выведите одно целое число $q$ — количество операций.

В каждой из следующих $q$ строк должна быть записана одна операция. Операции должны быть перечислены в том порядке, в котором они применялись. Каждая операция может быть одного из двух типов:

$1$ $x$ $y$ — перекрасить ячейку $(x, y)$ ($y$-я ячейка в $x$-й строке, она не должна лежать на границу и должна быть окружена четырьмя клетками противоположного от себя цвета);
$2$ $i$ — сделать копию текущей картинки и присвоить ей номер $i$ (картинка под номером $i$ должна совпадать с текущей картинкой).

Каждый номер от $1$ до $k+1$ должен встречаться в выводе ровно один раз — один из них — это номер первоначальной картинки, остальные $k$ — аргументы операций второго типа.

Если существует несколько ответов, то выведите любой из них. Тесты построены из реальной последовательности операций, т. е. хотя бы один ответ всегда существует.

D. Дружелюбные пауки

графы кратчайшие пути математика поиск в глубину и подобное теория чисел *1800

На Марсе обитает необычный вид пауков — двоичные пауки.

Прямо сейчас марсианские ученые наблюдают за колонией из $n$ пауков, $i$-й из которых имеет $a_i$ лапок.

Некоторые пауки дружат между собой. А именно, $i$-й и $j$-й пауки являются друзьями, если $\gcd(a_i, a_j) \ne 1$, т. е. существует некоторое число $k \ge 2$ такое, что $a_i$ и $a_j$ одновременно делятся на $k$ без остатка. Здесь $\gcd(x, y)$ обозначает наибольший общий делитель (НОД) чисел $x$ и $y$.

Ученые обнаружили, что пауки могут передавать сообщения. Если два паука являются друзьями, то тогда они могут передать сообщение напрямую за одну секунду. Иначе паук должен передать сообщение своему другу, тот, в свою очередь, должен передать сообщение своему другу, и так далее, пока сообщение не дойдет до адресата.

Рассмотрим пример.

Пусть паук с восемью лапками хочет передать сообщение пауку с $15$-ю лапками. Напрямую он этого сделать не может, потому что $\gcd(8, 15) = 1$. Зато он может передать сообщение через паука с шестью лапками, поскольку $\gcd(8, 6) = 2$ и $\gcd(6, 15) = 3$. Таким образом, сообщение дойдет за две секунды.

Прямо сейчас ученые наблюдают, как $s$-й паук хочет передать сообщение $t$-му пауку. У исследователей есть гипотеза, что пауки всегда передают сообщения оптимально. По этой причине ученым потребуется программа, которая смогла бы вычислить минимальное время передачи сообщения, а также вывести один из оптимальных маршрутов.

$\text{[math]}$

Входные данные

В первой строке входных данных находится целое число $n$ ($2 \le n \le 3\cdot10^5$) — количество пауков в колонии.

Во второй строке входных данных находится $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le 3\cdot10^5$) — количество лапок у пауков.

В третьей строке входных данных находится два целых числа $s$ и $t$ ($1 \le s, t \le n$) — пауки, между которыми необходимо передать сообщение.

Выходные данные

Если передать сообщение между заданной парой пауков невозможно, выведите $-1$.

Иначе в первой строке выходных данных выведите целое число $t$ ($t \ge 1$) — количество пауков, которые участвуют в передаче сообщения (т. е. минимальное время доставки сообщения в секундах плюс один). Во второй строке выведите $t$ различных целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_t$ ($1 \le b_i \le n$) — номера пауков, через которых должно следовать сообщение, в порядке его следования от отправителя к получателю.

Если вариантов построения оптимального маршрута для сообщения несколько, то выведите любой из них.

Примечание

Первый пример разобран выше. В нем видно, что сообщение от паука номер $5$ (с восемью лапками) к пауку номер $6$ (с $15$-ю лапками) оптимально передать через паука номер $4$ (с шестью лапками).

Во втором примере паук номер $7$ (с $11$ лапками) ни с кем не дружит, поэтому ему невозможно передать сообщение.

F. Train Splitting

графы жадные алгоритмы Конструктив *1700

There are $n$ big cities in Italy, and there are $m$ train routes between pairs of cities. Each route connects two different cities bidirectionally. Moreover, using the trains one can reach every city starting from any other city.

Right now, all the routes are operated by the government-owned Italian Carriage Passenger Company, but the government wants to privatize the routes. The government does not want to give too much power to a single company, but it also does not want to make people buy a lot of different subscriptions. Also, it would like to give a fair chance to all companies. In order to formalize all these wishes, the following model was proposed.

There will be $k \ge 2$ private companies indexed by $1, \, 2, \, \dots, \, k$. Each train route will be operated by exactly one of the $k$ companies. Then:

For any company, there should exist two cities such that it is impossible to reach one from the other using only routes operated by that company.
On the other hand, for any two companies, it should be possible to reach every city from any other city using only routes operated by these two companies.

Find a plan satisfying all these criteria. It can be shown that a viable plan always exists. Please note that you can choose the number $k$ and you do not have to minimize or maximize it.

Input

Each test contains multiple test cases. The first line contains an integer $t$ ($1 \le t \le 1000$) — the number of test cases. The descriptions of the $t$ test cases follow.

The first line of each test case contains two integers $n$ and $m$ ($3 \le n \le 50$, $n-1 \le m \le n(n-1)/2$) — the number of cities and the number of train routes.

The next $m$ lines contain two integers $u_i$ and $v_i$ each ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \ne v_i$) — the $i$-th train route connects cities $u_i$ and $v_i$.

It is guaranteed that the routes connect $m$ distinct pairs of cities. It is guaranteed that using the trains one can reach every city starting from any other city.

The sum of the values of $n$ over all test cases does not exceed $5000$.

Output

For each test case, on the first line print an integer $k$ ($2 \le k \le m$) — the number of companies in your plan; on the second line print $m$ integers $c_1, \, c_2, \, \dots, \, c_m$ ($1 \le c_i \le k$) — in your plan company $c_i$ operates the $i$-th route.

If there are multiple valid plans, you may print any of them.

Note

In the first test case, the output is illustrated in the following picture, where different colors correspond to different companies (blue for $1$, red for $2$, green for $3$, and yellow for $4$):

$\text{[math]}$

If we consider, for example, only companies $2$ and $3$, we can see that from any city it is possible to reach every other city (picture on the left below). However, if we restrict to company $2$ alone, it becomes impossible to reach city $5$ from city $1$ (picture on the right).

$\text{[math]}$

In the second test case, the output is illustrated in the following picture:

$\text{[math]}$

J. Italian Data Centers

графы кратчайшие пути *2500

An Italian data center consists of a set of servers, each colored green, white, or red, and a set of wires connecting them. Each wire connects two distinct servers and two servers are connected by at most one wire. Additionally, the data center is connected, i.e. there is a way to transmit information between any two servers through a sequence of wires.

To judge all of the contestant submissions, SWERC has an Italian data center. Since every year the number of contestants doubles, the data center needs to grow to adapt to the extra load. To address this, SWERC builds a new data center based on the previous year's one by following these steps:

For each server $s$ in the old data center, the new data center contains two servers $s_1$ and $s_2$ of the same color as $s$. A wire is placed connecting the two servers $s_1$ and $s_2$.
For each wire connecting servers $s$ and $t$ in the old data center: if $s$ and $t$ have the same color, then a wire is placed in the new data center connecting $s_1$ and $t_1$ and another wire connecting $s_2$ and $t_2$; otherwise, a wire is placed in the new data center connecting $s_1$ and $t_2$ and another one connecting $s_2$ and $t_1$.

One can show that if the old data center is connected than the new data center is also connected.

You are given the Italian data center that SWERC currently has, which contains $n$ servers (indexed by $1, \, 2, \, \dots, \, n$) and $m$ wires connecting them. The organization wants to know how good their data center will be after $k$ years, so you should determine the diameter of the data center SWERC will have in $k$ years. The diameter of the data center is the largest distance between any two servers, i.e. the shortest number of wires that have to be used to transmit something between the two servers.

Input

The first line contains three integers $n$, $m$ and $k$ ($2 \leq n \leq 100$, $n - 1 \leq m \leq n (n - 1) / 2$, $0 \leq k \leq 100$) — the number of servers, the number of wires, and the number of years to consider.

The second line contains $n$ integers $c_1, \, c_2, \, \dots, \, c_n$ ($1 \leq c_i \leq 3$) — $c_i$ is the color of server $i$ (where $1$ stands for green, $2$ for white and $3$ for red).

Each of the next $m$ lines contains two integers $s_i$ and $t_i$ ($1 \leq s_i, t_i \leq n$) — the two servers the $i$-th wire connects.

It is guaranteed that the data center is connected, the endpoints of each wire are distinct, and that there are no repeated wires.

Output

Print the diameter of SWERC's data center after $k$ years.

Note

In the first sample, the Italian data center is the following:

$\text{[math]}$

The distance between any pair of servers is $1$ so the diameter is $1$.

In the second sample, the initial Italian data center is the one from the first sample.

After one year we obtain the following (where the numbers indicate which copy the server refers to):

$\text{[math]}$

Consider the highlighted servers. The distance between them is $2$ and there is no pair of servers with greater distance, so the diameter is $2$.

In the third sample, the data center after one year is the following:

$\text{[math]}$

After one more year:

$\text{[math]}$

Consider the highlighted servers. The distance between them is $3$ and there is no pair of servers with greater distance, so the diameter is $3$.

E. Разворот ребер

Бинарный поиск графы Деревья поиск в глубину и подобное *2200

Задан ориентированный взвешенный граф на $n$ вершинах и $m$ ориентированных ребрах, вес $i$-го ребра равен $w_i$ ($1 \le i \le m$).

Нужно развернуть несколько ребер (изменить их ориентацию на противоположную) в этом графе таким образом, чтобы все вершины графа стали достижимы из какой-то одной. Стоимость таких разворотов равна максимальному весу среди всех развернутых ребер. Если можно обойтись без разворота ребер, стоимость считается равной $0$.

Гарантируется, что в графе нет петель и кратных ребер.

Найдите наименьшую стоимость, необходимую для достижения цели. Если решения нет, выведите $-1$.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит два числа: $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в графе и количество ребер в графе.

Следующие $m$ строк каждого набора входных данных содержат по $3$ числа $u$, $v$, $w$ ($1 \le u, v \le n$, $1 \le w \le 10^9$), которые задают ребро из $u$ в $v$ с весом $w$. Гарантируется, что никакое ребро не соединяет вершину саму с собой, а также никакая пара ребер не имеют одновременно общее начало и общий конец.

Гарантируется, что сумма значений $n$, а также сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите наименьшую необходимую стоимость. Если решения нет, выведите $-1$.

Примечание

В первом наборе входных данных существует ребро из $1$ в $2$, так что все вершины уже достижимы из $1$.

Во втором наборе входных данных невозможно добиться того, чтобы все вершины были достижимы из какой-то одной, как бы ни были развернуты ребра. Поэтому в качестве ответа нужно вывести $-1$.

В третьем наборе входных данных можно развернуть $4$-е или $5$-е ребро. После этого все вершины станут достижимы из вершины $1$. Для ответа выбирается $5$-е ребро, поскольку его вес меньше.

F. Максимизируем корень

графы Деревья дп математика поиск в глубину и подобное теория чисел *2600

Вам дано корневое дерево, состоящее из $n$ вершин, пронумерованных от $1$ до $n$. Вершина $1$ является корнем дерева. Каждая вершина имеет целочисленное значение. Значение $i$-й вершины равно $a_i$. Следующую операцию можно выполнить не более $k$ раз:

Выберите вершину $v$, которая не была выбрана ранее, и целое число $x$ такое, что $x$ является общим делителем значений всех вершин поддерева $v$. Умножьте значение каждой вершины поддерева $v$ на $x$.

Какое максимально возможное значение корневой вершины $1$ можно получить после не более чем $k$ операций? Формально, вы должны максимизировать значение $a_1$.

Дерево — это связный неориентированный граф без циклов. Корневое дерево — это дерево с выбранной вершиной, которая называется корнем. Поддерево вершины $u$ — это множество всех вершин $y$ таких, что простой путь от $y$ до корня проходит через $u$. Обратите внимание, что вершина $u$ входит в поддерево вершины $u$.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 50\,000$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $k$ ($2 \leq n \leq 10^5$, $0 \leq k \leq n$) — количество вершин в дереве и количество операций.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq 1000$), где $a_i$ обозначает значение в вершине $i$.

Каждая из следующих $n - 1$ строк содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$, $u_i \neq v_i$), обозначающих ребро дерева между вершинами $u_i$ и $v_i$. Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора выведите максимальное значение корня после выполнения не более чем $k$ операций.

Примечание

Оба примера имеют одно и то же дерево:

$\text{[math]}$

Для первого набора вы можете выполнить две операции следующим образом:

Выберите поддерево с вершиной $4$ и $x = 2$. $\text{[math]}$ После этой операции значения вершин станут $\{24, 12, 24, 12, 12\}.$
Выберите поддерево с вершиной $1$ и $x = 12$. $\text{[math]}$ После этой операции значения вершин станут $\{288, 144, 288, 144, 144\}.$

Значение корня равно $288$ и является максимальным.

Для второго тестового примера можно выполнить три операции следующим образом:

Выберите поддерево с вершиной $4$ и $x = 2$. $\text{[math]}$ После этой операции значения вершин станут $\{24, 12, 24, 12, 12\}.$
Выберите поддерево с вершиной $2$ и $x = 4$. $\text{[math]}$ После этой операции значения вершин станут $\{24, 48, 24, 48, 48\}.$
Выберите поддерево с вершиной $1$ и $x = 24$. $\text{[math]}$ После этой операции значения вершин станут $\{576, 1152, 576, 1152, 1152\}.$

Значение корня равно $576$ и является максимальным.

E. Параллельные показательные матчи Ани

графы жадные алгоритмы интерактив Конструктив сортировки *2400

Это интерактивная задача.

Аня собрала $n$ шахматных экспертов, пронумерованных от $1$ до $n$, для которых выполняются следующие свойства:

Для любой пары игроков один игрок всегда выигрывает игру против другого (ничей не бывает);
Свойство транзитивности не обязательно выполняется: может быть такое, что $A$ всегда выигрывает $B$, $B$ всегда выигрывает $C$, а $C$ всегда выигрывает $A$.

Аня не знает, кто из игроков выигрывает кого в каждой паре.

Рассмотрим турнир из $n-1$ игр. В каждой игре Аня выбирает двух игроков. Один из них выигрывает и остается в турнире, другой выбывает. После всех игр только остается только один игрок, называемый победителем. Игрок называется кандидатом в мастера, если он может победить в турнире (обратите внимание, что победитель турнира может зависеть от Аниного выбора игроков в $n-1$ игре).

Так как Аня — любознательная девочка, ей интересно найти, какие игроки являются кандидатами в мастера. К сожалению, у нее не очень много времени. Она может организовать не более $2n$ сеансов параллельной игры, в которых один игрок играет против многих.

В каждом сеансе Аня выберет ровно одного игрока, который сыграет по одной партии против нескольких (как минимум одного) других игроков. Выбранный игрок выиграет все игры, которые он бы выиграл в обычных условиях, то же самое верно для проигрышей. После окончания сеанса Аня узнает только количество партий, выигранных выбранным игроком (но не какие из партий были выиграны). По результатам сеанса никто не выбывает из турнира.

Можете помочь Ане определить кандидатов в мастера?

Выигрывающий игрок в каждой паре игроков может быть изменен между сеансами, но только так, чтобы результаты всех предыдущих сеансов сохранились. Эти изменения могут зависеть от ваших запросов.

Протокол взаимодействия

Сначала считайте одно целое число $n$ ($3 \leq n \leq 250$) — количество игроков. После этого вы можете устраивать сеансы или выводить ответ.

Чтобы устроить сеанс, выведите «? $i \; s_1 s_2 \ldots s_n$» (без кавычек), где $i$ — номер игрока, который будет одновременно играть против других. $s$ — бинарная строка, обозначающая, против кого будет играть этот игрок. $i$ играет против каждого $j$, для которого выполняется $s_j = 1$ ($s_j = 1$ должно выполняться хотя бы для одного $1 \leq j \leq n$). Обратите внимание, должно выполняться $s_i = 0$, так как игрок не может играть сам против себя, иначе запрос считается некорректным.

После этого считайте одно целое число — количество партий, в которых выиграл $i$.

Когда вы нашли ответ, выведите «! $c_1 c_2 \ldots c_n$» (без кавычек) и завершите свою программу. $c$ — бинарная строка, показывающая кандидатов в мастера. Игрок $i$ является кандидатом в мастера, если выполняется $c_i=1$, иначе он им не является.

Если вы сделаете более $2n$ запросов, или какой-то запрос некорректен, взаимодействие немедленно завершится, и вы получите вердикт Неправильны ответ.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Взломы в этой задаче запрещены.

Примечание

В первом примере первый запрос описывает сеанс игрока $1$ против игрока $2$ (и никого другого). Ответ на запрос равен $1$, что означает, что игрок $1$ выиграл единственную игру. Можно заключить, что $1$ побеждает $2$. Аналогично во втором запросе $2$ побеждает $3$, и в третьем запросе $3$ побеждает $1$. Все игроки являются кандидатами в мастера, потому что

Игрок $1$ может выиграть турнир, если сначала играют $2$ и $3$. $3$ проигрывает и выбывает, а $2$ остается. $1$ играет против $2$ и выигрывает;
Другие игроки могут выиграть аналогично.

Во втором примере третий запрос описывает сеанс игрока $1$ против всех остальных. Ответ на этот запрос равен $4$, что означает, что им были выиграны все игры. Можно понять, что $1$ побеждает всех других игроков. Так как этот игрок не может проиграть, то только он может остаться в конце турнира, то есть это единственный кандидат в мастера.

G. Игра века

графы Конструктив кратчайшие пути *3000

Время пришло, MKnez и Балтик должны наконец-то провести Игры века. Для этого они построили деревню для размещения всех участников.

Деревня имеет вид равностороннего треугольника, ограниченного тремя дорогами длины $n$. Она разделена на $n^2$ меньших равносторонних треугольников со стороной $1$ с помощью $3n-3$ дополнительных дорог, параллельных сторонам, см. рисунок для $n=3$. Каждая из $3n$ дорог состоит из нескольких (возможно, $1$) участков дороги длины $1$, соединяющих соседние перекрестки.

$\text{[math]}$

Для всех $3n$ дороги уже выбраны направления (то есть, для каждой дороги выбрано одно и то же направление для всех ее участков). Транспорт может двигаться по участкам дорог только в выбранном направлении (т. е. дороги односторонние).

Ваша задача — внести поправки в план движения так, чтобы от каждого перекрестка можно было доехать до любого другого. А именно, вы можете изменять направление движения на любом участке дороги длины $1$. Чему равно минимальное количество участков дорог, на которых нужно изменить направление?

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10\,000$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое положительное число $n$ ($1\leq n\leq 10^5$) — размер стороны треугольной деревни.

Далее следуют три строки, каждая из которых содержит бинарную строку длины $n$, описывающую направления движения на дорогах.

$i$-я из этих строк содержит бинарную строку $s_i$ длины $n$, описывающую направления на дорогах, параллельных дороге $i$ на рисунке выше. А именно, $j$-й символ $s_i$ равен «1», если $j$-я кратчайшая дорога (параллельная дороге $i$ на рисунке) имеет такое же направление, как дорога $i$ на рисунке, и «0», если ее направление противоположное. Таким образом, первый символ $s_i$ описывает направление на дороге из $1$ участка, а последний символ описывает направление на дороге из $n$ участков.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите минимальное количество участков дороги, на которых нужно изменить направление движения.

Примечание

Первый пример показан на рисунке в условии. Существует несколько решений, изменяющих направление на ровно $2$ участках дорог, но изменение направления только на $1$ участке дороги не может привести к тому, что от каждого перекрестка можно добраться до любого другого. Одно из возможных решений показано на рисунке ниже, измененные участки дорог показаны синим.

$\text{[math]}$

Во втором примере ответ равен $0$, потому что уже в изначальной конфигурации можно от каждого перекрестка добраться до любого другого.

F. Двойная сортировка II

графы Паросочетания поиск в глубину и подобное Потоки *2500

Даны две перестановки $a$ и $b$, обе размера $n$. Перестановка размера $n$ — это массив из $n$ элементов, в который каждое целое число от $1$ до $n$ входит ровно один раз. Элементы в каждой перестановке пронумерованы от $1$ до $n$.

Вы можете выполнять следующую операцию любое количество раз:

выбрать целое число $i$ от $1$ до $n$;
обозначим за $x$ такое целое число, что $a_x = i$. Поменять местами $a_i$ и $a_x$;
обозначим за $y$ такое целое число, что $b_y = i$. Поменять местами $b_i$ и $b_y$.

Вы должны отсортировать обе перестановки в порядке возрастания (то есть должны выполняться условия $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ и $b_1 < b_2 < \dots < b_n$) за минимальное количество операций. Обратите внимание, что обе перестановки должны быть отсортированы после того, как вы выполните выбранную вами последовательность операций.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число $n$ ($2 \le n \le 3000$).

Во второй строке заданы $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$; все $a_i$ различны).

В третьей строке заданы $n$ целых чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ ($1 \le b_i \le n$; все $b_i$ различны).

Выходные данные

Сначала выведите одно целое число $k$ ($0 \le k \le 2n$) — минимальное количество операций, за которое можно отсортировать обе перестановки. Обратите внимание: можно показать, что $2n$ операций всегда достаточно.

Затем выведите $k$ целых чисел $op_1, op_2, \dots, op_k$ ($1 \le op_j \le n$), где $op_j$ — значение $i$, выбранное для $j$-й операции.

Если ответов несколько, выведите любой из них.

D. Игра на оси

графы Комбинаторика поиск в глубину и подобное реализация снм *1900

Есть $n$ точек $1,2,\ldots,n$, у каждой точки $i$ написано число $a_i$. Вы играете в игру на этих точках. Изначально вы находитесь в точке $1$. Когда вы находитесь в точке $i$, выполните следующий шаг:

Если $1\le i\le n$, перейдите к точке $i+a_i$;
В противном случае игра заканчивается.

Перед началом игры вы можете выбрать два целых числа $x$ и $y$, удовлетворяющих $1\le x\le n$, $-n \le y \le n$, и заменить число $a_x$ на $y$ (сделать $a_x := y$). Найдите количество различных пар $(x,y)$, при которых игра, которую вы начнете после замены, закончится за конечное число шагов.

Обратите внимание, что вам не нужно удовлетворять условию $a_x\not=y$.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит целое число $t$ ($1\le t\le 10^4)$ — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1\le n\le 2\cdot 10^5$) — количество точек.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($-n \le a_i \le n$) — числа на оси.

Гарантируется, что сумма $n$ не превосходит $2\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите строку, содержащую одно целое число — количество различных пар $(x,y)$, игра с которыми конечна.

Примечание

В первом наборе входных данных парами $(x,y)$, с которыми игра конечна, являются $(1,-1)$ и $(1,1)$, соответствующие маршрутам $1\rightarrow 0$ и $1\rightarrow 2$. Обратите внимание, что пара $(1,2)$ не подходит, так как при $n=1$ равенство $y=2$ нарушает $-n\le y\le n$. $(1,0)$ также не подходит, так как вы всегда переходите от $1$ к $1$, и игра не заканчивается.

Во втором наборе входных данных подходящие пары равны $(1,-2),(1,-1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2)$.

В четвертом наборе входных данных подходящие пары $(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,1),(2,2)$.

F. XOR, деревья и запросы

битмаски графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное реализация снм *2500

Вам дано дерево с $n$ вершинами. Вершины пронумерованы от $1$ до $n$.

Вам нужно будет назначить каждому ребру вес. Пусть вес $i$-го ребра будет $a_i$ ($1 \leq i \leq n-1$). Вес каждого ребра должен быть целым числом от $0$ до $2^{30}-1$, включительно.

Вам дано $q$ условий. Каждое условие состоит из трех целых чисел $u$, $v$ и $x$. Это означает, что побитовое исключающее ИЛИ всех ребер на кратчайшем пути от $u$ до $v$ должно быть равно $x$.

Выясните, существуют ли числа $a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}$, удовлетворяющие заданным условиям. Если существуют, выведите такое решение, при котором $a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_{n-1}$ будет наименьшим. Здесь $\oplus$ обозначает операцию побитового исключающего ИЛИ.

Если существует несколько решений таких, что $a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_{n-1}$ является наименьшим, выведите любое из них.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $q$ ($2 \le n \le 2.5 \cdot 10^5$, $0 \le q \le 2.5 \cdot 10^5$). В $i$-й из следующих $n-1$ строк содержится два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$, $x_i \neq y_i$), то есть $i$-е ребро соединяет вершины $x_i$ и $y_i$ в дереве.

Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Следующие $q$ строк содержат информацию об условиях.

Каждая строка содержит три целых числа $u$, $v$, $x$ ($1 \le u, v \le n$, $u \neq v$, $0 \le x \le 2^{30}-1$), означающие, что побитовое исключающее ИЛИ всех ребер на кратчайшем пути от $u$ до $v$ должно быть $x$.

Выходные данные

Если не существует $a_1$, $a_2$, ..., $a_{n-1}$, которые удовлетворяют заданным условиям, выведите «No».

В противном случае в первой строке выведите «Yes».

Затем в следующей строке выведите $n-1$ целых чисел, где $i$-е целое число — это вес $i$-го ребра. Если существует несколько решений, то выведите такое решение, при котором $a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_{n-1}$ будет наименьшим.

Если существует несколько решений, при которых $a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_{n-1}$ принимает наименьшее значение, выведите любое.

При выводе «Yes» или «No» вы можете выводить каждую букву в любом регистре (строчную или заглавную). Например, строки «yEs», «yes», «Yes» и «YES» будут приняты как положительный ответ.

Примечание

Для первого примера не существует набора весов ребер, удовлетворяющего заданному условию.

Для второго примера два условия означают, что $a_1 \oplus a_2 \oplus a_3=2$ и $a_4 \oplus a_5=7$. Может существовать несколько решений, например, $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)=(1, 2, 1, 4, 3)$.

Для третьего примера два условия означают, что $a_1 \oplus a_2 \oplus a_3=3$ и $a_1 \oplus a_4 \oplus a_5=5$. Существует множество решений, удовлетворяющих данному условию.

$(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)=(1, 1, 3, 4, 0)$ удовлетворяет заданным условиям, но побитовое исключающее ИЛИ весов всех ребер равно $7$, что не является наименьшим возможным значением $a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_{n-1}$, поэтому это не является верным решением.

F. Тимофей и черно-белое дерево

графы Деревья жадные алгоритмы кратчайшие пути математика Перебор поиск в глубину и подобное разделяй и властвуй *2100

Тимофей приехал в известную летнюю школу и нашел там дерево на $n$ вершинах. Дерево — это связный неориентированный граф без циклов.

Каждая вершина этого дерева, кроме $c_0$, покрашена в белый цвет. Вершина $c_0$ покрашена в черный цвет.

Тимофей хочет покрасить все вершины этого дерева в черный цвет. Для этого он выполняет $n - 1$ операцию. Во время $i$-й операции он выбирает белую вершину $c_i$ и красит ее в черный цвет.

Назовем позитивностью дерева минимальное расстояние между всеми парами различных черных вершин в нем. Расстоянием между вершинами $v$ и $u$ называется количество ребер на пути от $v$ до $u$.

После каждой очередной покраски Тимофей хочет знать позитивность текущего дерева.

Входные данные

В первой строке записано число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных записаны числа $n, c_0$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le c_0 \le n$) — количество вершин в дереве и номер начальной черной вершины.

Во второй строке каждого набора входных данных записано $n - 1$ различных чисел $c_1, c_2, \dots, c_{n-1}$ ($1 \le c_i \le n$, $c_i \ne c_0$), где $c_i$ это вершина, покрашенная в черный цвет во время $i$-й операции.

В следующей $n - 1$ строке каждого набора входных данных записаны числа $v_i, u_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$) — ребра в дереве.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите в отдельной строке $n - 1$ число.

Число с номером $i$ должно быть равно позитивности дерева, полученного первыми $i$ покрасками.

Примечание

В первом наборе входных данных, после второй покраски, дерево выглядит так: $\text{[math]}$

Расстояние между вершинами $1$ и $6$ равно $3$, расстояние между вершинами $4$ и $6$ равно $3$, расстояние между вершинами $1$ и $4$ равно $2$. Позитивность такого дерева равна минимуму из этих расстояний, то есть $2$.

В третьем наборе входных данных, после четвертой покраски, дерево выглядит так: $\text{[math]}$

Позитивность такого дерева равна $2$.

G. Фишки на графе

графы Конструктив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2300

Вам дан неориентированный связный граф, в некоторых вершинах которого находятся фишки и/или бонусы. Рассмотрим игру, в которой участвует один игрок — вы.

Вы можете передвигать фишки согласно следующим правилам:

В начале игры вы можете совершить ровно один ход: подвинуть любую фишку на любую соседнюю вершину.
Если перемещение фишки завершилось на бонусе, то разрешается совершить ещё один ход любой другой фишкой.

Можно использовать разные бонусы в любом порядке, один и тот же бонус может быть использован несколько раз. Бонусы в ходе игры не перемещаются.

В одной вершине может одновременно находиться несколько фишек, но изначально в каждой вершине находится не более одной фишки.

Вершина с номером $1$ является финишной, и ваша задача — определить, можно ли попасть в неё какой-либо фишкой, совершая ходы фишками по описанным выше правилам. Если какая-то фишка изначально находится в вершине $1$, то игра считается уже выигранной.

$\text{[math]}$ Финиш обозначен чёрным цветом, бонусы красным, фишки — серым. Например, для данного графа можно дойти до финиша фишкой из $8$-й вершины, совершив следующую последовательность ходов:

Перейти из $8$-й вершины в $6$-ю.
Перейти из $7$-й вершины в $5$-ю.
Перейти из $6$-й вершины в $4$-ю.
Перейти из $5$-й вершины в $6$-ю.
Перейти из $4$-й вершины в $2$-ю.
Перейти из $6$-й вершины в $4$-ю.
Перейти из $2$-й вершины в $1$-ю, которая является финишной.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов входных данных.

Первая строка описания каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $0 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — число вершин и рёбер в графе, соответственно.

Вторая строка описания каждого набора входных данных содержит два целых числа $p$ и $b$ ($1 \le p \le n, 0 \le b \le n$) — число фишек и бонусов, соответственно.

Третья строка описания каждого набора входных данных содержит $p$ различных целых чисел от $1$ до $n$ — номера вершин, в которых находятся фишки.

Четвёртая строка описания каждого набора входных данных содержит $b$ различных целых чисел от $1$ до $n$ — номера вершин, в которых находятся бонусы. Обратите внимание, что значение $b$ может быть равно $0$. В этом случае эта строка является пустой.

В одной вершине могут одновременно находиться и фишка и бонус.

Следующие $m$ строк описания каждого набора входных данных содержат по два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \ne v_i$) — вершины, соединяемые $i$-м ребром. Между каждой парой вершин существует не более одного ребра. Заданный граф является связным, то есть из любой вершины можно попасть в любую, двигаясь по рёбрам.

Наборы входных данных разделены пустой строкой.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$. Аналогично, гарантируется, что сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в отдельной строке выведите YES, если можно дойти до финиша какой-нибудь фишкой, и NO в противном случае.

Примечание

Первый набор входных данных разобран в условии.
Во втором наборе входных данных есть только одна фишка, она может походить только один раз, и не может дойти до финиша.
В третьем наборе входных данных фишка может дойти до финиша за $1$ ход.
В четвёртом наборе входных данных нужно просто походить от вершины $2$ к вершине $1$.
В шестом наборе входных данных фишка изначально находится в вершине номер $1$, поэтому мы побеждаем сразу.

F1. Покраска графа (простая версия)

графы дп Комбинаторика *2700

Единственное различие между простой и сложной версией — ограничение на $n$.

Дан полный неориентированный граф из $n$ вершин. Полный граф — это такой граф, где между каждой парой вершин существует ровно одно ребро. Вы должны покрасить ребра этого графа в два цвета, синий и красный (каждое ребро должно быть покрашено в один из этих цветов).

Назовем множество вершин $S$ связным по красному цвету, если для каждой пары вершин $(v_1, v_2)$, такой, что $v_1 \in S$ и $v_2 \in S$, существует путь из $v_1$ в $v_2$, проходящий только по вершинам из $S$ и по красным ребрам. Аналогично, назовем множество вершин $S$ связным по синему цвету, если для каждой пары вершин $(v_1, v_2)$, такой, что $v_1 \in S$ и $v_2 \in S$, существует путь из $v_1$ в $v_2$, проходящий только по вершинам из $S$ и по синим ребрам.

Нужно раскрасить граф так, чтобы выполнялись следующие условия:

хотя бы одно ребро красное;
хотя бы одно ребро синее;
для каждого множества вершин $S$, такого, что $|S| \ge 2$, $S$ связно по красному цвету или по синему цвету, но не по обоим цветам.

Посчитайте количество способов покрасить граф и выведите его по модулю $998244353$.

Входные данные

В первой (и единственной) строке задано одно целое число $n$ ($3 \le n \le 5 \cdot 10^3$).

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество способов покрасить граф, взятое по модулю $998244353$.

F2. Покраска графа (сложная версия)

бпф графы дп Комбинаторика Перебор разделяй и властвуй *2900

Единственное различие между простой и сложной версией — ограничение на $n$.

Нужно раскрасить граф так, чтобы выполнялись следующие условия:

хотя бы одно ребро красное;
хотя бы одно ребро синее;
для каждого множества вершин $S$, такого, что $|S| \ge 2$, $S$ связно по красному цвету или по синему цвету, но не по обоим цветам.

Посчитайте количество способов покрасить граф и выведите его по модулю $998244353$.

Входные данные

В первой (и единственной) строке задано одно целое число $n$ ($3 \le n \le 5 \cdot 10^4$).

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество способов покрасить граф, взятое по модулю $998244353$.

G. Последовательные удаления

битмаски графы поиск в глубину и подобное *2700

Задан простой неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Вершины пронумерованы от $1$ до $n$. На $i$-й вершине написано значение $a_i$.

Вы будете удалять вершины из этого графа. Вершину $i$ разрешается удалить только если ее степень равна $a_i$. Когда вершина удаляется, все инцидентные ребра также удаляются, соответственно, уменьшая степени соседних неудаленных вершин.

Корректная последовательность удалений — это такая перестановка $p_1, p_2, \dots, p_n$ $(1 \le p_i \le n)$, что вершина $p_i$ удаляется $i$-й по очереди, и каждое удаление разрешено.

Пара вершин $(x, y)$ называется красивой, если существуют две корректные последовательности удалений таких, что в одной $x$ удаляется раньше $y$, а в другой $y$ удаляется раньше $x$.

Посчитайте количество красивых пар $(x, y)$ таких, что $x < y$.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных записаны два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 10^5$; $0 \le m \le \min(10^5, \frac{n \cdot (n - 1)}{2})$) — количество вершин и количество ребер графа.

Во второй строке записаны $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($0 \le a_i \le n - 1$) — необходимые для удалений степени.

В каждой из следующих $m$ строк записаны два целых числа $v$ и $u$ ($1 \le v, u \le n$; $v \neq u$) — описание ребра.

Граф не содержит петель и кратных ребер.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$. Сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Дополнительное ограничение на входные данные: всегда существует хотя бы одна корректная последовательность удалений.

Выходные данные

На каждый набор входных данных выведите одно целое число — количество красивых пар вершин.

A. Li Hua и лабиринт

графы жадные алгоритмы Конструктив Потоки реализация *800

Имеется прямоугольный лабиринт размером $n\times m$. Обозначим $(r,c)$ как клетку в $r$-й строке сверху и $c$-м столбце слева. Две клетки называются соседними, если они имеют общую сторону. Путь — это последовательность пустых клеток, в которой любые две подряд идущие клетки являются соседними.

Каждая клетка изначально пуста. Li Hua может выбрать несколько клеток (кроме $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$) и поместить в каждую из них препятствие. Он хочет узнать минимальное количество препятствий, которые нужно поставить, чтобы не существовало пути из $(x_1, y_1)$ в $(x_2, y_2)$.

Предположим, что вы Li Hua. Пожалуйста, решите эту задачу.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 500$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n,m$ ($4\le n,m\le 10^9$) — размер лабиринта.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит четыре целых числа $x_1,y_1,x_2,y_2$ ($1\le x_1,x_2\le n, 1\le y_1,y_2\le m$) — координаты начальной и конечной клетки.

Гарантируется, что $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\ge 2$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите минимальное количество препятствий, которое нужно поставить на поле, чтобы не существовало пути из $(x_1, y_1)$ в $(x_2, y_2)$.

Примечание

В первом наборе входных данных можно поставить препятствия на $(1,3), (2,3), (3,2), (4,2)$. Тогда путь из $(2,2)$ в $(3,3)$ не будет существовать.

$\text{[math]}$

E1. Непростительное заклятие (простая версия)

графы жадные алгоритмы Конструктив Перебор снм Строки *1400

Это простая версия задачи. В этой версии $k$ всегда равно $3$.

Верховный чародей Визенгамота однажды поймал злого волшебника Drahyrt, но злой волшебник вернулся и хочет отомстить верховному чародею. Поэтому он украл у его ученика Гарри заклинание $s$.

Заклинание — это строка длины $n$, состоящая из строчных латинских букв.

Drahyrt хочет заменить заклинание на непростительное заклятие — строку $t$.

Drahyrt с помощью древней магии может менять местами буквы на расстоянии $k$ или $k+1$ в заклинании сколько угодно раз. В этой версии задачи можно менять буквы на расстоянии $3$ или $4$. Другими словами, Drahyrt может поменять буквы на позициях $i$ и $j$ в заклинании $s$ если $|i-j|=3$ или $|i-j|=4$.

Например, если $s = $ «talant» и $t = $ «atltna», то Drahyrt может действовать следующим образом:

поменять местами буквы на позициях $1$ и $4$, получив заклинание «aaltnt».
поменять местами буквы на позициях $2$ и $6$, получив заклинание «atltna».

Вам даны заклинания $s$ и $t$. Может ли Drahyrt изменить заклинание $s$ на $t$?

Входные данные

В первой строке входных данных дано единственное целое число $T$ ($1 \le T \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Далее следуют описания наборов входных данных.

В первой строке содержится два целых числа $n, k$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $k = 3$) — длина заклинаний и число $k$ такое, что Drahyrt может менять буквы в заклинании на расстоянии $k$ или $k+1$.

Во второй строке дано заклинание $s$ — строка длины $n$, состоящая из строчных латинских букв.

В третьей строке дано заклинание $t$ — строка длины $n$, состоящая из строчных латинских букв.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$. Обратите внимание, что ограничений на сумму значений $k$ по всем наборам входных данных нет.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите в отдельной строке «YES» если Drahyrt может изменить заклинание $s$ на $t$ и «NO» иначе.

Вы можете выводить ответ в любом регистре (например, строки «yEs», «yes», «Yes» и «YES» будут распознаны как положительный ответ).

Примечание

Первый пример разобран в условии.

Во втором примере можно действовать следующим образом:

Поменять местами буквы на позициях $2$ и $5$ (расстояние $3$), тогда получим заклинание «aaacbba».
Поменять местами буквы на позициях $4$ и $7$ (расстояние $3$), тогда получим заклинание «aaaabbc».

Во третьем примере можно показать, что из строки $s$ невозможно получить строку $t$ меняя местами буквы на расстоянии $3$ или $4$.

В четвертом примере подходит например следующая последовательность преобразований:

«accio» $\rightarrow$ «aocic» $\rightarrow$ «cocia» $\rightarrow$ «iocca» $\rightarrow$ «aocci» $\rightarrow$ «aicco» $\rightarrow$ «cicao».

В пятом примере можно показать, что невозможно получить из строки $s$ строку $t$.

В шестом примере достаточно поменять местами две крайние буквы.

E2. Непростительное заклятие (сложная версия)

графы жадные алгоритмы Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное снм Строки *1500

Это сложная версия задачи. В этой версии нет дополнительных ограничений на число $k$.

Заклинание — это строка длины $n$, состоящая из строчных латинских букв.

Drahyrt хочет заменить заклинание на непростительное заклятие — строку $t$.

Drahyrt с помощью древней магии может менять местами буквы на расстоянии $k$ или $k+1$ в заклинании сколько угодно раз. Другими словами, Drahyrt может поменять буквы на позициях $i$ и $j$ в заклинании $s$ если $|i-j|=k$ или $|i-j|=k+1$.

Например, если $k = 3, s = $ «talant» и $t = $ «atltna», то Drahyrt может действовать следующим образом:

поменять местами буквы на позициях $1$ и $4$, получив заклинание «aaltnt».
поменять местами буквы на позициях $2$ и $6$, получив заклинание «atltna».

Вам даны заклинания $s$ и $t$. Может ли Drahyrt изменить заклинание $s$ на $t$?

Входные данные

Далее следуют описания наборов входных данных.

В первой строке содержится два целых числа $n, k$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le k \le 2 \cdot 10^5$) — длина заклинаний и число $k$ такое, что Drahyrt может менять буквы в заклинании на расстоянии $k$ или $k+1$.

Во второй строке дано заклинание $s$ — строка длины $n$, состоящая из строчных латинских букв.

В третьей строке дано заклинание $t$ — строка длины $n$, состоящая из строчных латинских букв.

Выходные данные

Примечание

Первый пример разобран в условии.

Во втором примере можно менять соседние буквы местами, так что можем отсортировать строку например с помощью сортировки пузырьком.

Во третьем примере можно показать, что из строки $s$ невозможно получить строку $t$ меняя местами буквы на расстоянии $6$ или $7$.

В четвертом примере подходит например следующая последовательность преобразований:

«accio» $\rightarrow$ «aocic» $\rightarrow$ «cocia» $\rightarrow$ «iocca» $\rightarrow$ «aocci» $\rightarrow$ «aicco» $\rightarrow$ «cicao».

В пятом примере можно показать, что невозможно получить из строки $s$ строку $t$.

В шестом примере достаточно поменять местами две крайние буквы.

D. Путь домой

Бинарный поиск графы дп жадные алгоритмы кратчайшие пути сортировки Структуры данных *2100

Известный фокусник Боря Будини путешествовал по стране $X$, которая состоит из $n$ городов. Однако случилось несчастье, и его обокрали в городе номер $1$. Теперь Будини предстоит нелегкий путь домой в город $n$.

Добираться он собирается самолетами. Всего в стране есть $m$ авиарейсов, $i$-й летит из города $a_i$ в город $b_i$ и стоит $s_i$ монет. Обратите внимание, что $i$-й рейс односторонний, то есть не может использоваться, чтобы добраться из города $b_i$ в город $a_i$. Чтобы им воспользоваться, Боря должен быть в городе $a_i$ и иметь на руках хотя бы $s_i$ монет (которые он потратит на перелет).

После ограбления у него осталось всего $p$ монет, однако он не отчаивается! Находясь в городе $i$, он может хоть каждый день организовывать представления, которые будут приносить ему по $w_i$ монет каждый.

Помогите фокуснику узнать, сможет ли он добраться до дома, а также какое минимальное количество представлений придется для этого организовать.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 80$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных содержит три целых числа $n$, $m$ и $p$ ($2 \le n \le 800$, $1 \le m \le 3000$, $0 \le p \le 10^9$) — количество городов, количество авиарейсов и изначальное количество монет.

Во второй строке каждого набора входных даны $n$ целых чисел $w_1, w_2, \ldots, w_n$ $(1 \le w_i \le 10^9)$ — прибыль от представлений.

В следующих $m$ строках даны по три целых числа $a_i$, $b_i$ и $s_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$, $1 \le s_i \le 10^9$) — начальный и конечный город, а также стоимость $i$-го авиарейса.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $800$, а также, что сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10000$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите единственное целое число — минимальное количество представлений, которое придется организовать Боре, чтобы добраться до дома, или $-1$, если это сделать невозможно.

Примечание

В первом примере Боре оптимально сделать $4$ представления в первом городе, имея в итоге $2 + 7 \cdot 4 = 30$ рублей, а потом пройтись по маршруту $1-3-2-4$, потратив $6+8+11=25$ рублей.

Во втором примере Боре оптимально сделать $15$ представлений в первом городе, полететь в $3$ город, сделать там $9$ представлений, и далее отправиться в $4$ город.

E. Маршрутизация

битмаски графы дп Перебор поиск в глубину и подобное *2400

Ада управляет сетью, состоящей из $n$ серверов и $m$ прямых соединений между ними. Каждое прямое соединение между парой различных серверов позволяет осуществлять двустороннюю передачу информации между этими двумя серверами. Ада знает, что с помощью этих $m$ прямых соединений возможна передача информации между любыми двумя серверами в этой сети (напрямую или через промежуточные серверы). Будем называть сервер $v$ соседом сервера $u$, если существует прямое соединение между этими двумя серверами.

Аде нужно настроить в своей сети WRP (Weird Routing Protocol — Странный протокол маршрутизации). Для каждого сервера $u$ ей нужно выбрать ровно одного соседа и назначить его вспомогательным сервером $a(u)$. Рассмотрим процесс того, как будет работать маршрутизация после определения всех $a(u)$. Предположим, сервер $u$ хочет найти путь до сервера $v$, отличного от $u$.

Сервер $u$ смотрит на все свои прямые соединения с другими серверами. Если он видит прямое соединение с сервером $v$, он знает путь и процесс завершается.
Если путь не был найден на первом шаге, сервер $u$ запрашивает поиск пути у своего вспомогательного сервера $a(u)$.
Вспомогательный сервер $a(u)$ следует этому процессу, начиная с первого шага.
После того, как $a(u)$ находит путь, он возвращает его $u$. Затем сервер $u$ строит результирующий путь как объединение прямого соединения между $u$ и $a(u)$ и пути от $a(u)$ до $v$.

Как видите, эта процедура либо создает правильный путь и завершается, либо работает вечно. Таким образом, для Ады крайне важно правильно настроить WRP своей сети.

Ваша цель — назначить вспомогательный сервер $a(u)$ для каждого сервера $u$ в данной сети таким образом, чтобы WRP мог построить путь от любого сервера $u$ к любому другому серверу $v$, используя вышеупомянутую процедуру. Или же требуется определить, что такое назначение вспомогательных серверов невозможно.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 20$, $n - 1 \leq m \leq \frac{n \cdot (n - 1)}{2}$) — количество серверов и количество прямых соединений в данной сети.

Далее следуют $m$ строк, содержащих по два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$, $u_i \ne v_i$), $i$-я строка описывает $i$-е прямое соединение.

Гарантируется, что между любыми двумя серверами существует не более одного прямого соединения. Гарантируется, что существует прямой или непрямой маршрут (состоящий только из заданных прямых соединений) между любыми двумя серверами.

Выходные данные

Если нет возможности назначить вспомогательный сервер $a(u)$ для каждого сервера $u$ таким образом, чтобы WRP смог найти путь от любого сервера $u$ к любому другому серверу $v$, выведите «No» в единственной строке вывода.

В противном случае выведите «Yes» в первой строке вывода. Во второй строке выведите $n$ целых чисел, $i$-е из которых должно быть равно $a(i)$ – номеру вспомогательного сервера для сервера $i$. Не забывайте, что должно быть прямое соединение между сервером $i$ и сервером $a(i)$.

Вы можете выводить каждую букву в любом регистре (строчную или заглавную). Например, строки «yEs», «yes», «Yes» и «YES» будут приняты как положительный ответ.

F. Приближение диаметра

Бинарный поиск графы кратчайшие пути разделяй и властвуй *2700

У Джека есть граф из $n$ вершин и $m$ рёбер. Все рёбра двунаправлены и имеют единичную длину. Граф связен, то есть существует путь между любыми двумя его вершинами. Одну и ту же пару вершин может соединять несколько ребер. Граф может содержать петли, то есть рёбра, соединяющие вершину саму с собой.

Расстояние между вершинами $u$ и $v$ обозначается как $\rho(u, v)$ и равно минимально возможному количеству рёбер на пути между $u$ и $v$. Диаметр графа $G$ определяется как максимальное расстояние между парой его вершин и обозначается как $d(G)$. Формально, d(G) = \max_{1 \le u, v \le n}{\rho(u, v)}.

Джек планирует последовательно применить к своему графу $q$ модификаций. Каждая модификация добавляет ровно одно ребро. Обозначим через $G_i$ граф Джека после первых $i$ модификаций. Джек хочет вычислить $q + 1$ значений $d(G_0), d(G_1), d(G_2), \ldots, d(G_q)$.

Джек подозревает, что нахождение точных диаметров $q + 1$ графов может быть сложной задачей, поэтому ему подойдут приближённые ответы, отличающиеся от правильных ответов не более чем в два раза. Формально, Джек хочет найти последовательность целых положительных чисел $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_q$ такую, что \left\lceil \frac{d(G_i)}{2} \right\rceil \le a_i \le 2 \cdot d(G_i) для каждого $i$.

Взломы

Вы не можете делать взломы в этой задаче.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит три целых числа $n$, $m$ и $q$ ($2 \leq n \leq 10^5$, $n - 1 \leq m \leq 10^5$, $0 \leq q \leq 10^5$) — количество вершин в данном графе, количество рёбер и количество модификаций соответственно.

Далее следуют $m$ строк, описывающие исходные рёбра графа. В $i$-й из этих строк записаны два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$) — номера вершин, соединенных $i$-м ребром.

Затем следуют $q$ строк, описывающие модификации. В $i$-й из этих строк записаны два целых числа $u'_i$ и $v'_i$ ($1 \leq u'_i, v'_i \leq n$) — номера вершин, соединенных ребром, которое добавляется в граф в $i$-й модификации.

Важное примечание. Для осуществления тестирования входные данные могут содержать дополнительные строки. Они будут использоваться проверяющей программой для проверки вашего ответа на корректность. Эти строки не являются частью тестовых данных, вы не должны использовать их никоим образом, и вы можете даже не считывать их.

Выходные данные

Выведите последовательность из $q + 1$ целого положительного числа $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_q$. $i$-е из этих чисел должно отличаться от диаметра графа $G_i$ не более чем в два раза.

Примечание

В первом примере последовательность значений диаметров $d(G_0), d(G_1), d(G_2), \ldots, d(G_q)$ равна $6, 6, 6, 3, 3, 3, 2, 2, 2$.

Во втором примере входные данные содержат дополнительную строку, чтение которой можно не делать. Она не являются частью теста и будет использоваться для проверки правильности вашего ответа. Вывод на второй пример содержит правильные значения $d(G_i)$.

D. Широкий-преширокий граф

графы Деревья дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *1800

Дано дерево (связный граф без циклов) на $n$ вершинах.

Зафиксируем число $k$. Назовем графом $G_k$ граф на $n$ вершинах, в котором между вершинами $u$ и $v$ есть ребро тогда и только тогда, когда расстояние между вершинами $u$ и $v$ в данном дереве не меньше $k$.

Для каждого $k$ от $1$ до $n$ выведите количество компонент связности в графе $G_k$.

Входные данные

В первой строке дано целое число $n$ ($2 \le n \le 10^5$) — количество вершин в графе.

В каждой из следующих $n-1$ строк содержатся два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$), обозначающие ребро между вершинами $u$ и $v$ в дереве. Гарантируется, что данные ребра задают корректное дерево.

Выходные данные

Выведите $n$ целых чисел — количество компонент связности в графе $G_k$ для каждого $k$ от $1$ до $n$.

Примечание

В первом примере: При $k=1$ в графе будет ребро между каждой парой вершин, поэтому в нём будет одна компонента. При $k=4$ в графе будут только рёбра $4 \leftrightarrow 6$ и $5 \leftrightarrow 6$, поэтому в графе будет $4$ компоненты.

Во втором примере: при $k=1$ и $k=2$ в графе одна компонента. При $k=3$ граф $G_k$ разбивается на $3$ компоненты: в одной компоненте вершины $1$, $4$ и $5$, а ещё две компоненты содержат по одной вершине. При $k=4$ и $k=5$ каждая вершина является отдельной компонентой.

F. Путешествие по Берляндии

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы реализация Структуры данных *2500

В Берляндии $n$ городов, расположенных по кругу и пронумерованных от $1$ до $n$ по часовой стрелке.

Мы хотим объехать всю Берляндию, начав в каком-то городе, посетив все остальные города и вернувшись в стартовый город. К сожалению, ехать мы можем только по Берляндской Кольцевой Автодороге, соединяющей все $n$ городов. Проектировал дорогу очень титулованный и респектабельный министр, поэтому она односторонняя — по ней можно ехать только по часовой стрелке, то есть только из города $i$ в город $(i \bmod n) + 1$ (т.е. из $1$ в $2$, из $2$ в $3$, ..., из $n$ в $1$).

Бензобак машины вмещает до $k$ литров бензина. На пути $i$-го города в следующий машина расходует $a_i$ литров бензина.

В каждом городе есть заправка; литр бензина на заправке в $i$-м городе стоит $b_i$ бурлей. Заправляться между городами нельзя; если бензин закончился между городами, то такая поездка считается незавершенной.

Для каждого города посчитайте минимальную стоимость путешествия, если оно должно начаться и закончиться в нем.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $k$ ($3 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le k \le 10^9$) — количество городов и объем бензобака, соответственно.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le k$).

Третья строка содержит $n$ целых чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ ($1 \le b_i \le 2$).

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $n$ целых чисел, где $i$-е из них равно минимальной стоимости путешествия, если начать и закончить в $i$-м городе.

E. Монстры

графы жадные алгоритмы Перебор поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2100

Вам дан неориентированный граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Изначально для каждой вершины $i$ существует монстр с опасностью $a_{i}$ в этой вершине. Вы можете победить монстра с опасностью $a_{i}$ тогда и только тогда, когда вы уже победили как минимум $a_{i}$ других монстров.

Вы хотите победить всех монстров. Сначала вы выбираете некоторую вершину $s$ и побеждаете монстра в этой вершине (поскольку вы еще не побеждали монстров, $a_{s}$ должно быть равно $0$). Затем вы можете перемещаться в соседние вершины. Если вы хотите переместиться из вершины $u$ в вершину $v$, то должно выполняться следующее: либо монстр в вершине $v$ уже побежден ранее, либо вы можете победить его сейчас. Во втором случае вы побеждаете монстра в вершине $v$ и достигаете вершины $v$. Вы можете проходить вершины и ребра любое количество раз.

Определите, сможете ли вы победить всех монстров или нет.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит количество наборов входных данных $t$ ($1 \le t \le 10^4$). Далее следует их описание.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$, $m$ ($1 \le n, m \le 2 \cdot 10^5$).

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ ($0 \le a_{i} \le n$).

Следующие $m$ строк содержат по два целых числа $u$, $v$ ($1 \le u, v \le n$), описывающих ребро между вершинами $u$ и $v$. Гарантируется, что в графе нет кратных ребер и петель.

Гарантируется, что сумма $n$ и сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходят $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого наборов входных данных выведите «YES», если вы можете победить всех монстров, и «NO» иначе.

Примечание

В первом наборе входных данных мы можем начать с вершины $3$, победить монстра в ней, затем перейти в вершины $2$, $1$ в этом порядке, победив монстров в них. Затем вернуться к вершине $3$ и пойти к вершине $4$, победив в ней монстра.

В третьем наборе входных данных нет пути к вершине $4$, если мы начинаем с вершины $1$. Также нет пути к вершинам $1$, $2$, $3$, если мы начнем с вершины $4$.

F. Это цветок?

графы поиск в глубину и подобное реализация *2100

Влад обнаружил у себя во дворе клумбу с графами и решил взять один себе. Позже он узнал, что на той клумбе помимо обычных графов росли также $k$-цветки. Граф называется $k$-цветком если он состоит из простого цикла длины $k$, через каждую вершину которого проходит свой простой цикл длины $k$ и эти циклы не пересекаются по вершинам. Например $3$-цветок выглядит так:

$\text{[math]}$

Обратите внимание, что $1$-цветок и $2$-цветок не существуют, поскольку для формирования цикла нужно хотя бы $3$ вершины.

Владу очень понравилась структура $k$-цветков и теперь он хочет узнать повезло ли ему взять с клумбы один из них.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит единственное число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Далее следуют описания наборов. Перед каждым набором в тесте записана пустая строка.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m \le \min(2 \cdot 10^5, \frac{n \cdot (n-1)}{2})$) — количество вершин и рёбер в графе, соответственно.

Следующие $m$ строк содержат по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \ne v$) — номера вершин, соединённых ребром. Гарантируется, что граф не содержит кратных рёбер и петель.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам не превосходит $2 \cdot 10^5$. Также это гарантируется для суммы $m$.

Выходные данные

Выведите $t$ строк, каждая из которых является ответом на соответствующий набор входных данных. В качестве ответа выведите «YES», если граф Влада является $k$-цветком для некоторого $k$, и «NO» в противном случае.

B. Граф сумм

графы Деревья интерактив Конструктив кратчайшие пути Перебор реализация *2000

Это интерактивная задача.

Загадана перестановка $p_1, p_2, \dots, p_n$.

Рассмотрим неориентированный граф с $n$ вершинами и без рёбер. Вы можете делать два типа запросов:

Укажите целое число $x$ такое, что $2 \le x \le 2n$. Тогда для всех целых чисел $i$ ($1 \le i \le n$) таких, что $1 \le x-i \le n$, будет добавлено ребро между вершинами $i$ и $x-i$.
Запросить число рёбер в кратчайшем пути между вершинами $p_i$ и $p_j$. В качестве ответа вы получите количество рёбер на кратчайшем пути, если такой путь существует, или $-1$, если такого пути нет.

Обратите внимание, что вы можете делать оба типа запросов в любом порядке.

Сделав $2n$ запросов (включая тип $1$ и тип $2$), угадайте две возможные перестановки, хотя бы одна из которых равна $p_1, p_2, \dots, p_n$. Ваш ответ будет засчитан, если хотя бы одна из перестановок верна. Вы можете вывести одну и ту же перестановку дважды.

Перестановкой длины $n$ является массив, состоящий из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$ в произвольном порядке. Например, $[2,3,1,5,4]$ — перестановка, но $[1,2,2]$ не перестановка ($2$ встречается в массиве дважды) и $[1,3,4]$ тоже не перестановка ($n=3$, но в массиве встречается $4$).

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит единственное целое число $n$ ($2 \le n \le 10^3$) — длина перестановки.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^3$.

Протокол взаимодействия

Взаимодействие для каждого набора входных данных начинается после считывания $n$.

Затем, сделайте не более $2n$ запросов:

Если вы хотите сделать запрос типа $1$, выведите «+ x». $x$ должно быть целым числом от $2$ до $2n$ включительно. После этого считайте $1$ или $-2$. Если вы считали $1$, то ваш запрос был корректным, иначе он был некорректным или вы превысили количество запросов, и ваша программа должна немедленно завершиться, чтобы получить вердикт Неправильный ответ.
Если вы хотите сделать запрос типа $2$, выведите «? i j». $i$ и $j$ должны быть целыми числами от $1$ до $n$ включительно. После этого, считайте единственное целое число $r$ ($-1 \le r \le n$) — ответ на ваш запрос. Если вы получили число $−2$ вместо ответа, то ваша программа сделала некорректный запрос или превысила число запросов. Ваша программа должна немедленно завершиться для получения вердикта Неправильный ответ.

В любой момент взаимодействия, если вы хотите угадать две перестановки, выведите «! $p_{1,1}$ $p_{1,2}$ $\dots$ $p_{1,n}$ $p_{2,1}$ $p_{2,2}$ $\dots$ $p_{2,n}$». Обратите внимание, что вы должны выводить две перестановки на одной и той же строке и без восклицательного знака между перестановками. После этого считайте $1$ или $-2$. Если вы считали $1$, то ваш ответ был правильным, иначе он был неправильным, и ваша программа должна немедленно завершиться, чтобы получить вердикт Неправильный ответ. После этого, перейдите к следующему набору входных данных, или завершите программу, если такого нет. Обратите внимание, что вывод ответа не считается как запрос.

Обратите внимание, что даже если вы вывели правильную перестановку, вторая перестановка должна быть именно перестановкой, а не произвольным массивом.

В любой момент, если вы продолжите взаимодействие после считывания числа $-2$, вы можете получить любой вердикт, так как программа продолжит чтение из закрытого потока.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Интерактор является неадаптивным. Это означает, что все перестановки зафиксированы до начала взаимодействия.

Взломы

Чтобы сделать взлом, используйте следующий формат.

Первая строка должна содержать единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных должна содержать единственное целое число $n$ ($2 \le n \le 10^3$) — длину перестановки.

Вторая строка каждого набора входных данных должна содержать $n$ различных целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$) — загаданную перестановку.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^3$.

Примечание

В первом наборе входных данных $n=6$ и загадана перестановка $p = [1,4,2,5,3,6]$.

Сначала сделаем запросы типа $1$ с $x=12, 2, 3$ соответственно. Это суммарно добавит в граф четыре ребра:

Ребро, соединяющее вершины $6$ и $6$.
Ребро, соединяющее вершины $1$ и $1$.
Ребро, соединяющее вершины $1$ и $2$.
Ребро, соединяющее вершины $2$ и $1$.

Поскольку все эти запросы корректны, интерактор вернул $1$ после каждого из них.

Затем спросим количество рёбер на кратчайшем пути между вершинами $p_1 = 1$ и $p_3 = 2$, которое равно $1$.

Затем сделаем запрос типа $1$ с $x=5$. Это суммарно добавит в граф четыре ребра:

Ребро, соединяющее вершины $1$ и $4$.
Ребро, соединяющее вершины $2$ и $3$.
Ребро, соединяющее вершины $3$ и $2$.
Ребро, соединяющее вершины $4$ и $1$.

Поскольку этот запрос корректен, интерактор вернул $1$.

Затем спросим количество рёбер на кратчайшем пути между вершинами $p_1 = 1$ и $p_5 = 3$, которое равно $2$.

Затем спросим количество рёбер на кратчайшем пути между вершинами $p_4 = 5$ и $p_5 = 3$. Такого пути не существует, поэтому интерактор вернёт $-1$.

После этого, благодаря некоторой магии, две возможные перестановки, которые могут быть равны $p$, определены: первая перестановка равна $[1,4,2,5,3,6]$, и вторая перестановка равна $[1,2,3,4,5,6]$. Так как первая перестановка равна загаданной перестановке, этот набор входных данных решён корректно. Всего $7$ запросов использовано, что находится в пределах $2 \cdot 6 = 12$ запросов.

Поскольку ответ правильный, интерактор вернул $1$.

Во втором наборе входных данных $n=2$ и загадана перестановка $p = [2,1]$.

Так как есть только $2! = 2$ возможные перестановки, никаких запросов не требуется. Достаточно просто вывести две перестановки $[1,2]$ и $[2,1]$. Всего $0$ запросов использовано, что находится в пределах $2 \cdot 2 = 4$ запросов.

Поскольку ответ правильный, интерактор вернул $1$.

C. Между

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *2200

Вам дано целое число $n$, а также $m$ пар целых чисел $(a_i,b_i)$, где $1\leq a_i , b_i \leq n$, $a_i \ne b_i$.

Вы хотите построить последовательность, удовлетворяющую следующим требованиям:

Все элементы последовательности являются целыми числами между $1$ и $n$.
Есть ровно один элемент со значением $1$ в последовательности.
Для каждого $i$ ($1 \le i \le m$), между любыми двумя элементами (на различных позициях) в последовательности со значениями $a_i$, есть хотя бы один элемент со значением $b_i$.
Построенная последовательность имеет максимальную длину среди всех последовательностей, удовлетворяющий вышеуказанным свойствам.

Иногда возможно, что такая последовательность может быть сколь угодно длинной, в таком случае вам нужно вывести «INFINITE». Иначе, вам нужно вывести «FINITE» и саму последовательность. Если существует несколько возможных последовательностей с максимальной длиной, выведите любую из них.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 300$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 1500$, $0 \le m \le 5000$) — максимально возможное значение элемента последовательности и количество пар.

$i$-я из следующих $m$ строк содержит два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i , b_i \le n$, $a_i \ne b_i$).

$(a_i, b_i) \ne (a_j, b_j)$ для всех $1 \le i < j \le m$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $1500$ и сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $5000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных на первой строке выведите «INFINITE», если последовательность может быть сколь угодно длинной, и «FINITE» иначе.

Если вы вывели «FINITE», то ваш вывод должен содержать ещё $2$ строки.

Первая строка содержит целое число $s$ — максимальную длину последовательности.

Вторая строка содержит $s$ целых чисел, каждое со значением от $1$ до $n$ включительно, обозначающие элементы последовательности.

Если существует несколько последовательностей с максимальной длиной, выведите любую из них.

Можно доказать, что во всех наборах входных данных с ответом «FINITE», при данных ограничениях, максимально возможная сумма длин последовательностей в этих наборах входных данных не превосходит $2\cdot10^6$.

Примечание

В первом наборе входных данных есть элемент $1$ между двумя элементами со значением $3$, и элемент $1$ между двумя элементами со значением $2$. Можно доказать, что не существует подходящих последовательностей длины более $5$.

Во втором наборе входных данных $[1]$ является единственной возможной последовательностью, потому что должен быть ровно один элемент со значением $1$ в последовательности.

В третьем наборе входных данных мы можем получить сколь угодно длинную последовательность вида $1, 2, 2, 2, \ldots$.

F. OH NO1 (-2-3-4)

графы Конструктив математика *3500

Вам дан неориентированный граф с $n$ вершинами и $3m$ рёбрами. Граф может содержать кратные рёбра, но не содержит петель.

Граф удовлетворяет следующему условию: данные рёбра можно разделить на $m$ групп по $3$, таких что каждая группа является треугольником.

Треугольником являются три ребра $(a,b)$, $(b,c)$ и $(c,a)$ для некоторых трёх различных вершин $a,b,c$ ($1 \leq a,b,c \leq n$).

Изначально каждая вершина $v$ имеет неотрицательный целый вес $a_v$. Для каждого ребра $(u,v)$ в графе вы должны выполнить следующую операцию ровно один раз:

Выбрать целое число $x$ от $1$ до $4$. Затем увеличть $a_u$ и $a_v$ на $x$.

После выполнения всех операций должно выполняться следующее условие: если $u$ и $v$ соединены ребром, то $a_u \ne a_v$.

Можно доказать, что это всегда возможно при ограничениях задачи. Приведите способ, как это сделать, выводя выбор $x$ для каждого ребра. Легко видеть, что порядок операций не имеет значения. Если существует несколько правильных ответов, выведите любой.

Входные данные

Первая строка содержит единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($3 \le n \le 10^6$, $1 \le m \le 4 \cdot 10^5$), обозначающие граф с $n$ вершинами и $3m$ рёбрами.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($0 \leq a_i \leq 10^6$) — изначальные веса каждой вершины.

Затем следуют $m$ строк. $i$-я строка содержит три целых числа $a_i$, $b_i$, $c_i$ ($1 \leq a_i < b_i < c_i \leq n$), обозначающие три ребра $(a_i,b_i)$, $(b_i,c_i)$ и $(c_i,a_i)$.

Обратите внимание, что граф может содержать кратные рёбра: пара $(x,y)$ может несколько раз встречаться в треугольниках.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$, и сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $4 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $m$ строк по $3$ целых числа в каждой.

$i$-я строка должна содержать три целых числа $e_{ab},e_{bc},e_{ca}$ ($1 \leq e_{ab}, e_{bc} , e_{ca} \leq 4$), обозначающие выбор значения $x$ для рёбер $(a_i, b_i)$, $(b_i,c_i)$ and $(c_i, a_i)$ соответственно.

Примечание

В первом наборе входных данных изначальные веса равны $[0,0,0,0]$. Мы добавим значения следующим образом:

Добавили $2$ к вершинам $1$ и $2$
Добавили $1$ к вершинам $2$ и $3$
Добавили $3$ к вершинам $3$ и $1$

Итоговые веса равны $[5,3,4,0]$. Ответ корректен, потому что $a_1 \neq a_2$, $a_1 \neq a_3$, $a_2 \neq a_3$, и все выбранные значения находятся между $1$ и $4$.

Во втором наборе входных данных изначальные веса равны $[0,0,0,0,0]$. Веса после операций равны $[12,5,6,7,6]$. Ответ корректен, потому что $a_1 \neq a_2$, $a_1 \neq a_3$, $a_2 \neq a_3$, and that $a_1 \neq a_4$, $a_1 \neq a_5$, $a_4 \neq a_5$, и все выбранные значения находятся между $1$ и $4$.

В третьем наборе входных данных изначальные веса равны $[3,4,5,6]$. Веса после операций равны $[19,16,17,20]$, поэтому все итоговые веса различны, что означает, что никакие две соседние вершины не имеют одинаковый вес.

B. Граф-рыба

графы Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное *1900

Дан простой неориентированный граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Граф может не быть связным. Вершины графа пронумерованы от $1$ до $n$.

Граф-рыба — это граф, содержащий простой цикл с особой вершиной $u$, принадлежащей циклу. Помимо ребер цикла, у графа должно быть ровно $2$ дополнительных ребра. Оба ребра должны быть соединены с вершиной $u$, но не должны быть соединены с любой другой вершиной цикла.

Определите, содержит ли данный граф подграф-рыбу, и если да, найдите любой такой подграф.

В этой задаче подграф определяется как граф, полученный путем выбора любого подмножества ребер исходного графа.

$\text{[math]}$ Визуализация примера 1. Красные ребра образуют один из возможных подграфов, который является графом-рыбой.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа, $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 2\,000$) — количество вершин и количество ребер.

Каждая из следующих $m$ строк содержит описание ребра. Каждая строка содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$, $u_i\neq v_i$) — ребро соединяет вершину $u_i$ с вершиной $v_i$.

Гарантируется, что никакие два ребра не соединяют одну и ту же неупорядоченную пару вершин.

Кроме того, гарантируется, что сумма $n$ и сумма $m$ для всех наборов входных данных не превышает $2\,000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES», если граф содержит подграф-рыбу, в противном случае выведите «NO». Если ответ «YES», на следующих строках выведите описание подграфа.

Первая строка описания содержит одно целое число $k$ — количество ребер подграфа.

В следующих $k$ строках выведите ребра выбранного подграфа. Каждая из $k$ строк должна содержать два целых числа $u$ и $v$ ($1\le u, v\le n$, $u\neq v$) — ребро между $u$ и $v$ принадлежит подграфу. Порядок, в котором выводятся $u$ и $v$, не имеет значения, если эти две вершины соединены ребром в исходном графе. Порядок вывода ребер не имеет значения, если полученный подграф является графом-рыбой.

Если есть несколько решений, выведите любое.

Примечание

В первом примере возможный допустимый подграф содержит цикл $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Особой вершиной этого цикла является вершина $4$. Два дополнительных ребра $4 - 5$ и $4 - 6$ оба соединены с $4$, образуя граф-рыбу.

Во втором примере возможный допустимый подграф содержит цикл $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Особой вершиной этого цикла является вершина $3$. Два дополнительных ребра $3 - 2$ и $3 - 5$ оба соединены с $3$, образуя граф-рыбу.

В последнем примере можно доказать, что у графа нет подграфа-рыбы.

A. Поле битвы

геометрия графы кратчайшие пути реализация *2200

Вася плохо учился в университете и попал на поле битвы. Шутка. Он всего лишь играет в какую-то компьютерную игру. Поле представляет собой плоскую площадку, на которой выкопано n траншей. Траншеи — это отрезки на плоскости, параллельные осям координат. Никакие две траншеи не пересекаются.

Далеко от Васи находится огромный вражеский лазер. Лазер заряжается в течении a секунд, а после этого стреляет непрерывно в течении b секунд. Потом снова a секунд заряжается. Потом опять непрерывно в течении b секунд стреляет и так далее. Числа a и b известны Васе. Так же Васе известно, что во время выстрела лазера ему необходимо находиться в траншее, а в пока лазер заряжается, он может без опасений передвигаться по полю. Главное успеть до выстрела спрятаться в траншее. Если Вася добегает до траншеи ровно в момент начала выстрела лазера, считается, что Вася успел спрятаться. Так совпало, что длина любой траншеи в метрах численно не превосходит b.

Изначально Вася находится в точке A. Ему необходимо попасть в точку B. Вася передвигается со скоростью 1 метр в секунду в любом направлении. В траншею можно входить и из нее можно выходить в любой её точке. Вход и выход из траншеи осуществляется мгновенно. Так же по траншее можно передвигаться, не выходя из нее.

Какое минимальное время потребуется Васе, чтобы добраться из точки A в точку B, если в начальный момент времени лазер только что начал заряжаться? Если же Вася не может попасть из точки A в точку B, выведите -1. Если Вася достигнет точки B в момент начала выстрела лазера, то считается, что он успел дойти в точку B.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа через пробел: a и b (1 ≤ a, b ≤ 1000), — продолжительность процесса зарядки лазера и продолжительность выстрела лазера в секундах.

Во второй строке заданы четыре целых числа через пробел: A_x, A_y, B_x, B_y ( - 10⁴ ≤ A_x, A_y, B_x, B_y ≤ 10⁴) — координаты точек А и B. Гарантируется, что точки A и B не принадлежат никакой траншее.

В третьей строке задано единственное целое число: n (1 ≤ n ≤ 1000), — количество траншей.

В каждой из следующих n строк задано по четыре целых числа через пробел: x₁, y₁, x₂, y₂ ( - 10⁴ ≤ x_i, y_i ≤ 10⁴) — координаты концов соответствующей траншеи.

Все координаты заданы в метрах. Гарантируется, что для каждой траншеи либо x₁ = x₂, либо y₁ = y₂. Никакие две траншеи не пересекаются. Длина любой траншеи в метрах численно не превосходит b.

Выходные данные

Если Вася может попасть из точки A в точку B, то выведите минимальное время, которое ему для этого потребуется. Иначе выведите число -1.

Ответ будет считаться правильным, если абсолютная или относительная погрешность не превышает 10^- 4

F. Подружки-садоводы

графы Деревья дп Перебор поиск в глубину и подобное *1700

Две подруги, Алиса и Юки, посадили в своем саду дерево из $n$ вершин. Дерево — это неориентированный граф без циклов, петель и кратных ребер. Каждое ребро в этом дереве имеет длину $k$. Изначально вершина $1$ — корень дерева.

Алиса и Юки выращивают дерево не просто так, они хотят продать его. Стоимостью дерева назовем максимальное расстояние от корня до вершины по всем вершинам дерева. Расстоянием между двумя вершинами $u$ и $v$ является сумма длин ребер на пути от $u$ до $v$.

Девочки проходили курс юных садоводов, поэтому они умеют модифицировать дерево. За $c$ монет Алиса и Юки могут поменять корень дерева, выбрав одного из соседей текущего корня и сделав его корнем дерева. Эту операцию можно применять любое количество раз (в том числе и ноль). Обратите внимание, что операция не затрагивает структуру дерева; единственное изменение заключается в том, что корнем дерева становится другая вершина.

Подруги хотят продать дерево с максимальной выгодой. Выгода — это разность стоимости дерева и затрат на все операции.

Помогите девочкам и найдите максимальную выгоду, которую они могут получить, применив к дереву операции произвольное число раз (возможно, ноль).

Входные данные

В первой строке входных данных содержится число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Далее следуют описания наборов.

В первой строке набора содержатся три целых числа $n$, $k$, $c$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le k, c \le 10^9$) — количество вершин в дереве, длина каждого ребра и стоимость операции.

В каждой из следующих $n - 1$ строк набора содержится по паре целых чисел $u_i$, $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$) — описания ребер. Эти ребра задают дерево.

Сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите единственное число — максимальную выгоду, которую могут получить Юки и Алиса.

E. Удалить граф

графы дп игры математика Перебор *2500

Алиса и Боб играют с графом. У них есть неориентированный граф без петель и кратных ребер. Все вершины графа имеют степень равную $2$. Граф может содержать несколько компонент связности. Обратите внимание, что если такой граф имеет $n$ вершин, он будет иметь ровно $n$ ребер.

Алиса и Боб ходят по очереди. Алиса ходит первой. За один ход игрок может выбрать $k$ ($l \le k \le r$; $l < r$) вершин, которые образуют связный подграф, и удалить эти вершины из графа, включая все инцидентные ребра.

Игрок, который не может сделать ход, проигрывает.

Предположим, для примера, что они играют на заданном графе с заданными $l = 2$ и $r = 3$:

$\text{[math]}$

Следующие множества вершин допустимы для первого хода Алисы:

$\{1, 2\}$
$\{1, 3\}$
$\{2, 3\}$
$\{4, 5\}$
$\{4, 6\}$
$\{5, 6\}$
$\{1, 2, 3\}$
$\{4, 5, 6\}$

Пусть Алиса выбрала подграф $\{4, 6\}$.

Тогда следующие множества вершин допустимы для первого хода Боба:

$\{1, 2\}$
$\{1, 3\}$
$\{2, 3\}$
$\{1, 2, 3\}$

Пусть Боб выбрал подграф $\{1, 2, 3\}$.

Алиса не может сделать ход, поэтому она проигрывает.

Вам дан граф размера $n$ и целые числа $l$ и $r$. Кто победит, если Алиса и Боб играют оптимально.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $l$ и $r$ ($3 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le l < r \le n$) — количество вершин в графе и ограничения на количество вершин, которые Алиса или Боб могут выбрать одним ходом.

Следующие $n$ строк содержат ребра графа: по одному в строке. $i$-я строка содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$; $u_i \neq v_i$) — описание $i$-го ребра.

Гарантируется, что степени всех вершин данного графа равны $2$.

Выходные данные

Выведите Alice (регистро-независимо), если Алиса победит, или Bob в противном случае.

Примечание

В первом тесте даны те же входные данные, что и в условии.

Во втором тесте дан тот же граф, что и в условии, но $l = 1$ и $r = 2$

F. Случайная прогулка

графы Деревья дп математика Теория вероятностей *2600

Вам задано дерево, состоящее из $n$ вершин и $n - 1$ ребер, и у каждой вершины $v$ есть свой счетчик $c(v)$.

Первоначально в вершине $s$ расположена фишка, и все счетчики, кроме $c(s)$, равны $0$; $c(s)$ равен $1$.

Ваша задача — переместить фишку в вершину $t$. Для этого вы можете совершить следующую последовательность шагов. Пусть сейчас фишка расположена в вершине $v$. За один шаг вы можете сделать следующее:

выбрать одну из соседних вершин $to$ вершины $v$ равновероятно ($to$ является соседней вершиной $v$ тогда и только тогда, когда в дереве есть ребро $\{v, to\}$);
передвинуть фишку в вершину $to$ и увеличить $c(to)$ на $1$.

Вы будете повторять данную операцию, пока не достигните вершины $t$.

Для каждой вершины $v$ вычислите математическое ожидание значения $c(v)$ по модулю $998\,244\,353$.

Входные данные

В первой строке заданы три целых числа: $n$, $s$ и $t$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le s, t \le n$; $s \neq t$) — количество вершин в дереве, стартовая и конечная вершины.

В следующих $n - 1$ строках заданы ребра дерева: по одному в строке. В $i$-й строке заданы два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$; $u_i \neq v_i$), обозначающих ребро между вершинами $u_i$ и $v_i$.

Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Выходные данные

Выведите $n$ чисел: математические ожидания значений $c(v)$ по модулю $998\,244\,353$ для каждого $v$ от $1$ по $n$.

Формально, пусть $M = 998\,244\,353$. Можно показать, что ответ может быть представлен в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q \not \equiv 0 \pmod{M}$. Выведите целое число, равное $p \cdot q^{-1} \bmod M$. Другими словами, выведите такое целое число $x$, что $0 \le x < M$ и $x \cdot q \equiv p \pmod{M}$.

Примечание

Дерево из первого примера показано ниже:

$\text{[math]}$ Посчитаем математическое ожидание $E[c(1)]$:

$P(c(1) = 0) = 0$, так как $c(1)$ изначально равно $1$.
$P(c(1) = 1) = \frac{1}{2}$, так как есть только одна последовательность шагов, приводящая к $c(1) = 1$. Это $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ с вероятностью $1 \cdot \frac{1}{2}$.
$P(c(1) = 2) = \frac{1}{4}$: единственный путь $1 \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.5} 1 \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.5} 3$.
$P(c(1) = 3) = \frac{1}{8}$: единственный путь $1 \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.5} 1 \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.5} 1 \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.5} 3$.
$P(c(1) = i) = \frac{1}{2^i}$ в общем случае.

В результате $E[c(1)] = \sum\limits_{i=1}^{\infty}{i \frac{1}{2^i}} = 2$. Изображение дерева во втором тесте $\text{[math]}$ Изображение дерева в третьем тесте $\text{[math]}$

E. Walk the Runway

битмаски графы дп Перебор реализация сортировки Структуры данных *2400

Тур состоит из $m$ идентичных подиумных шоу в разных городах. Всего есть $n$ моделей, которые хотят участвовать в туре, пронумерованных от $1$ до $n$. У людей в разных городах разные взгляды на индустрию моды, поэтому они оценивают моделей по-разному. В частности, люди в городе $i$ оценивают модель $j$ рейтингом $r_{i, j}$.

Из желающих моделей вы выберете $k$ моделей и некоторый их порядок, пусть эти модели в этом порядке имеют номера $j_1, j_2, \dots, j_k$. В каждом городе на подиум выйдут эти $k$ моделей в данном порядке. Чтобы сделать шоу захватывающим, в каждом городе рейтинги моделей должны строго возрастать в порядке их выхода на подиум. Более формально, для любого города $i$ и индекса $t$ ($2 \leq t \leq k$), рейтинги должны удовлетворять условию $r_{i,j_{t - 1}} < r_{i,j_t}$.

В конце концов, индустрия моды сфокусирована на деньгах, поэтому выбрав модель $j$ для участия в туре, вы получите $p_j$ прибыли. Вычислите, какую максимальную прибыль вы можете получить при правильном выборе моделей и порядка их выступления, при условии соблюдения всех ограничений.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $m$ и $n$ ($1 \leq m \leq 500$, $1 \leq n \leq 5000$) — число шоу и число моделей, желающих участвовать, соответственно.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $p_j$ ($1 \leq p_j \leq 10^9$) — прибыль от приглашения $j$-й модели в тур.

В каждой из следующих $m$ строк содержится $n$ целых чисел. Строка под номером $i$ содержит $n$ целых чисел $r_{i, j}$ ($1 \leq r_{i, j} \leq n$) — рейтинги моделей в городе $i$.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальную суммарную прибыль.

Примечание

В первом примере в тур приглашены $3$ модели. Шоу состоит из моделей в следующем порядке $[1, 3, 4]$.

Соответственные рейтинги в городах:

Город $1$ — $[ 1, 3, 4 ]$.
Город $2$ — $[ 1, 2, 3 ]$.
Город $3$ — $[ 2, 4, 5 ]$.

Видно, что рейтинги моделей в каждом городе возрастают. Суммарная прибыль равна $10 + 10 + 10 = 30$. Можно доказать, что невозможно достичь большей прибыли.

Во втором примере мы можем пригласить в тур пятую модель, откуда получаем общую прибыль $50$. Можно доказать, что невозможно достичь большей прибыли.

В третьем примере мы приглашаем в тур единственную модель, откуда получаем прибыль $1\,000\,000\,000$.

В четвертом примере мы можем пригласить всех моделей и шоу будет состоять из моделей в следующем порядке $[ 5, 4, 3, 2, 1 ]$. Тогда общая прибыль будет равна $5 \cdot 1\,000\,000\,000 = 5\,000\,000\,000$.

E. Озера

графы поиск в глубину и подобное реализация снм *1100

Дана сетка $a$ размера $n \times m$ из неотрицательных целых чисел, где $a_{i,j}$ представляет глубину воды в $i$-й строке и $j$-м столбце.

Озеро — это набор ячеек, таких что:

Каждая ячейка в наборе имеет $a_{i,j} > 0$
Существует путь между любой парой ячеек в озере, двигаясь вверх, вниз, влево или вправо, несколько раз и не наступая на ячейку с $a_{i,j} = 0$.

Объем озера — это сумма глубин всех ячеек в озере.

Найдите наибольший объем озера в сетке.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n, m$ ($1 \leq n, m \leq 1000$) — размеры сетки.

Затем следуют $n$ строк, каждая из которых содержит $m$ целых чисел $a_{i,j}$ ($0 \leq a_{i,j} \leq 1000$) — глубина воды в каждой ячейке.

Гарантируется, что сумма $n \cdot m$ по всем наборам не превышает $10^6$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите одно целое число — наибольший объем озера в сетке.

F. Вечная зима

графы математика поиск в глубину и подобное *1300

Граф-снежинка генерируется из двух целых чисел $x$ и $y$, которые больше $1$, следующим образом:

Начните с одной центральной вершины.
Подключите $x$ новых вершин к этой центральной вершине.
Подключите $y$ новых вершин к каждой из этих $x$ вершин.

Например, ниже приведен граф-снежинка для $x=5$ и $y=3$. $\text{[math]}$

Граф-снежинка выше имеет центральную вершину $15$, затем $x=5$ вершин, подключенных к ней ($3$, $6$, $7$, $8$ и $20$), а затем $y=3$ вершины, подключенные к каждой из них.

Для заданного графа-снежинки определите значения $x$ и $y$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$) — количество наборов входных данных в тесте.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 200$; $1 \leq m \leq \min\left(1000, \frac{n(n-1)}{2}\right)$) — количество вершин и ребер в графе соответственно.

Следующие $m$ строк содержат по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \leq u, v \leq n$, $u \neq v$) — номера вершин, соединенных ребром. Граф не содержит кратных ребер и петель.

Гарантируется, что этот граф является графом снежинки для некоторых целых чисел $x$ и $y$, которые больше $1$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных на отдельной строке выведите значения $x$ и $y$, в этом порядке, разделенные пробелом.

Примечание

Первый набор входных данных изображен в условии. Обратите внимание, что вывод 3 5 является неправильным, так как сначала должно быть выведено $x$, а затем $y$.

A. Copil Copac рисует деревья

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *1400

Copil Copac получил список из $n-1$ ребра, описывающих дерево на $n$ вершинах. Он решил нарисовать его, используя следующий алгоритм:

Шаг $0$: Рисует первую вершину (вершину $1$). Переходит к шагу $1$.
Шаг $1$: Для каждого ребра из входных данных в порядке ввода: если ребро соединяет уже нарисованную вершину $u$ с не нарисованной вершиной $v$, он рисует $v$ и ребро. После прохода по всем рёбрам он переходит к шагу $2$.
Шаг $2$: Если все вершины нарисованы, завершает алгоритм. Иначе переходит к шагу $1$.

Количество проходов определяется как количество раз, которое Copil Copac выполняет шаг $1$.

Найдите количество проходов, необходимых Copil Copac для рисования дерева.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Затем следует описание наборов.

Первая строка каждого набора содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин дерева.

Следующие $n - 1$ строк каждого набора содержат по два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \neq v_i$) — концы ребра $(u_i,v_i)$, которое является $i$-м ребром в списке. Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите количество проходов, необходимых Copil Copac для рисования дерева.

Примечание

В первом наборе входных данных:

После первого прохода дерево будет выглядеть так:

$\text{[math]}$

После второго прохода:

$\text{[math]}$

Таким образом, Copil Copac нужно $2$ прохода, чтобы нарисовать дерево.

E. Хороводы

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное снм *1600

$n$ людей пришли на праздник и решили станцевать несколько хороводов. В хороводе не менее $2$-х людей и у каждого человека есть ровно два соседа, если в хороводе $2$ человека, с обоих сторон один и тот же сосед.

Вы решили узнать, сколько именно было хороводов. Но каждый участник праздника запомнил ровно одного соседа. Ваша задача — определить, какое минимальное и максимальное число хороводов могло быть.

Например, если на празднике было $6$ человек, и номера соседей, которых они запомнили, равны $[2, 1, 4, 3, 6, 5]$ соответственно, то хороводов могло быть минимум $1$:

$1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 1$

и максимум $3$:

$1 - 2 - 1$
$3 - 4 - 3$
$5 - 6 - 5$

Входные данные

Первая строка содержит положительное число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка описания каждого набора входных данных содержит положительное число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество людей на празднике.

Вторая строка описания каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_i$ ($1 \le a_i \le n, a_i \neq i$) — номер соседа, которого запомнил $i$-й человек.

Гарантируется, что входные данные корректны и соответствуют хотя бы одному разбиению людей на хороводы.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите два целых числа — минимальное и максимальное количество хороводов, которое могло быть.

D. Гипотеза доктора Брауна

графы математика поиск в глубину и подобное теория чисел *2900

Повстанцы потерпели поражение в последней битве с имперскими войсками, но появился луч новой надежды.

Тем временем на одной из завоеванных планет Люк готовился к нелегальным уличным гонкам (что не должно удивлять, учитывая историю его семьи). Люк прибыл к финишу с 88 милями в час на спидометре. Выйдя из машины, он был встречен новой реальностью. Оказалось, что битва еще не произошла и начнется ровно через $k$ часов.

Повстанцы разместили по одному линкору на каждой из $n$ планет. $m$ однонаправленных червоточин соединяют планеты. Прохождение каждой червоточины занимает ровно один час. Генералы Империума точно спланировали битву, но их войска не могут быстро адаптироваться к изменяющимся обстоятельствам. Поэтому повстанцам достаточно переместить несколько кораблей перед битвой, чтобы запутать противника, обеспечить победу и изменить судьбу галактики.

В силу многочисленных стратегических соображений, которые мы сейчас опустим, повстанцы хотели бы выбрать два корабля, которые поменяются местами так, чтобы оба они были в движении все время (ровно $k$ часов). Другими словами, повстанцы ищут две планеты $x$ и $y$ такие, что существуют пути длиной $k$ от $x$ до $y$ и от $y$ до $x$.

Из-за ограниченного запаса топлива выбор одного корабля также будет приемлемым. Этот корабль должен лететь через червоточины в течение $k$ часов, а затем вернется на исходную планету.

Сколько существует способов выбора кораблей для выполнения задания?

Входные данные

В первой строке ввода находятся три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($1 \leq n \leq 10^5$, $0 \leq m \leq 2 \cdot 10^5$, $n^3 \leq k \leq 10^{18}$), обозначающие соответственно количество планет, червоточин и часов, оставшихся до начала битвы.

Следующие $m$ строк содержат по два целых числа $x$ и $y$ ($1 \leq x, y \leq n$, $x \ne y$), означающих, что существует однонаправленная червоточина от планеты $x$ до планеты $y$. Гарантируется, что не существует двух одинаковых червоточин, т. е. для любых двух червоточин либо $x_1 \neq x_2$, либо $y_1 \neq y_2$.

Выходные данные

В первой и единственной строке ваша программа должна вывести количество возможных вариантов выбора пары или одного военного корабля для миссии.

Примечание

В первом наборе входных данных можно выбрать пары кораблей со следующих планет: $2$ и $5$, $3$ и $5$, $1$ и $4$. Также можно было выбрать отдельные корабли с планет $6$ и $7$.

Во втором наборе входных данных можно выбрать пару кораблей из следующих планет: $2$ и $3$. Также можно было выбрать отдельные корабли с планет $1$, $2$, $3$, $4$ и $5$.

В третьем наборе входных данных нет пар кораблей, которые мы можем выбрать. Также можно было выбрать отдельные корабли с планет $2$ и $3$.

F. Хороший граф

битмаски графы Паросочетания поиск в глубину и подобное реализация *3500

Вам дан двудольный граф $G$ с множеством вершин в левой доле $L$, в правой доле $R$ и $m$ ребрами, соединяющими эти два множества. Мы знаем, что $|L| = |R| = n$.

Для любого подмножества $S \subseteq L$, пусть $N(S)$ обозначает множество всех соседей вершин в $S$. Мы говорим, что подмножество $S \subseteq L$ в графе $G$ является строгим, если $|S| = |N(S)|$. Мы говорим, что граф $G$ является хорошим, если $\forall_{S \subseteq L}, |S| \leq |N(S)|$.

Ваша задача — проверить, является ли граф хорошим, и, если да, то оптимизировать его. Если граф не является хорошим, найдите подмножество $S \subseteq L$ такое, что $|S| > |N(S)|$. Однако, если граф хороший, ваша задача — найти хороший двудольный граф $G'$ с тем же набором вершин $L \cup R$, в котором $\forall_{S \subseteq L}$ множество $S$ является строгим в $G$ тогда и только тогда, когда $S$ строго в $G'$. Если таких графов несколько, выберите один с наименьшим возможным числом ребер. Если таких графов по-прежнему несколько, выведите любой из них.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n \leq 10^3$, $0 \leq m \leq n^2$), разделенных пробелом. Число $n$ обозначает количество вершин в каждом из множеств $L$ и $R$, а число $m$ — количество ребер между ними.

Следующие $m$ строк описывают ребра. Каждая из них содержит два целых числа $l$ и $r$ ($1 \leq l \leq n$, $n+1 \leq r \leq 2 \cdot n$), разделенных пробелом, что указывает на наличие ребра из вершины $l \in L$ в вершину $r \in R$.

Выходные данные

Если граф $G$, заданный на входе, не является хорошим, выведите в первой строке вывода одно слово «NO». Во второй строке вывода выведите число $k$, а в третьей строке выведите $k$ чисел $l_1, l_2, \dots, l_k$, разделенные пробелами. Эти числа должны показать, что для множества $S = \{l_1, l_2, \dots, l_k\}$ выполняется $|S| > |N(S)|$.

Однако, если граф $G$, заданный на входе, хороший, выведите одно слово «YES» в первой строке вывода. Во второй строке вывода выведите число $m'$, обозначающее количество ребер в новом, также хорошем графе $G'$. Затем, в следующих $m'$ строках, выведите ребра графа $G'$ в том же формате, что и во входных данных.

Примечание

В первом тестовом примере граф $G$ хороший; таким образом, мы ищем эквивалентный граф с такими же строгими множествами. Единственный строгий набор — это $\{ 1, 2, 3 \}$, который остается строгим в результирующем графе. Более того, никакое другое множество не является строгим в полученном графе. Можно доказать, что не существует графа с менее чем $6$ ребрами и такими же строгимимножествами.

Во втором тестовом примере граф $G$ не является хорошим. Множество $\{ 2, 3 \}$ имеет только одного соседа — вершину $6$. Таким образом, $|\{ 2, 3 \}| > |\{ 6 \}|$, что доказывает, что входной граф не является хорошим.

F. Рельсотроны

графы дп Перебор поиск в глубину и подобное *2200

Тёма играет в одну очень интересную компьютерную игру.

Во время прохождения очередной миссии, персонаж Тёмы оказался на незнакомой планете. В отличие от Земли эта планета плоская и представима в виде прямоугольника $n \times m$.

Персонаж Тёмы находится в точке с координатами $(0, 0)$, чтобы успешно завершить миссию ему необходимо живым добраться до точки с координатами $(n, m)$.

Пусть персонаж компьютерной игры находится в координате $(i, j)$. Каждую секунду, начиная с первой, Тёма может:

либо воспользоваться технологией гиперпрыжка по вертикали, после чего его персонаж попадёт в координату $(i + 1, j)$ в конце секунды,
либо воспользоваться технологией гиперпрыжка по горизонтали, после чего его персонаж попадёт в координату $(i, j + 1)$ в конце секунды,
либо Тёма может не совершать гиперпрыжок, тогда его персонаж не будет перемещаться в течение этой секунды.

Пришельцы, что обитают на этой планете очень опасны и настроены враждебно. Поэтому они будут стрелять из своих рельсотронов $r$ раз.

Каждый выстрел полностью простреливает одну координату по вертикали или горизонтали. Если в момент выстрела (в конце секунды) персонаж находится в зоне его поражения, то он умирает.

Так как Тёма посмотрел исходный код игры, он знает полную информацию о каждом выстреле — время, простреливаемую координату, а также направление выстрела.

За какое минимальное время персонаж может добраться до нужной точки? Если он обречён на смерть и не сможет добраться до точки с координатами $(n, m)$, выведите $-1$.

Входные данные

В первой строке входных данных содержится одно целое число $T$ ($1 \le T \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Далее следуют описания наборов.

В первой строке набора содержатся два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \cdot m \le 10^4$) — размеры планеты, её высота и ширина.

Во второй набора данных содержится единственное целое число $r$ ($1 \le r \le 100$) — количество выстрелов.

Далее следует $r$ строк, каждая из которых описывает один выстрел.

Выстрел описывается тремя целыми числами $t$, $d$, $coord$. Где $t$ — секунда, в которую будет произведён данный выстрел ($1 \le t \le 10^9$). $d$ — обозначение направления выстрела ($d = 1$ обозначает выстрел вдоль горизонтали, $d = 2$ обозначает выстрел вдоль вертикали). $coord$ — величина простреливаемой координаты ($0 \le coord \le n$ при $d = 1$, $0 \le coord \le m$ при $d = 2$).

Cумма произведений $n \cdot m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^4$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите единственное число — минимальное время, за которое персонаж сможет добраться до координаты $(n, m)$, либо же $-1$, если ему суждено погибнуть.

Примечание

В первом наборе входных данных персонаж может перемещаться следующим образом: $(0, 0) \rightarrow (0, 1) \rightarrow (0, 2) \rightarrow (0, 3) \rightarrow (0, 3) \rightarrow (1, 3)$.

Во втором примере входных данных персонаж не сможет выйти за пределы прямоугольника, который будет полностью простреливаться выстрелами на $2$ секунде.

D. Тенцинг и его друзья животные

графы жадные алгоритмы Конструктив *1900

Расскажи историю обо мне и моих друзьях животных.

У Тенцинга есть $n$ друзей животных. Он пронумеровал их от $1$ до $n$.

Однажды Тенцинг захотел поиграть со своими друзьями. Для этого Тенцинг устроит несколько игр.

В рамках одной игры он выберет множество $S$, которое является подмножеством $\{1,2,3,...,n\}$ и выберет целое число $t$. Затем он будет играть в игру с животными из $S$ в течение $t$ минут.

Но есть некоторые ограничения:

Тенцинг очень любит друга $1$, поэтому $1$ должен быть элементом $S$.
Тенцинг не любит друга $n$, поэтому $n$ не должен быть элементом $S$.
Существует m дополнительных ограничений. $i$-е специальное ограничение описывается целыми числами $u_i$, $v_i$ и $y_i$. Предположим, что $x$ — это общее время, в течение которого ровно один из $u_i$ и $v_i$ играет с Тенцингом. Тенцинг должен гарантировать, что $x$ меньше или равно $y_i$. Иначе будет несчастье.

Тенцинг хочет узнать максимальное общее время, которое он может играть со своими друзьями животными. Пожалуйста, найдите максимальное общее время, которое Тенцинг может играть со своими друзьями животными, и способ организации игр, при котором достигается это максимальное общее время, или сообщите, что он может играть со своими друзьями животными бесконечное количество времени. Кроме того, Тенцинг не хочет устраивать очень много игр, поэтому он устроит не более $n^2$ игр.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 100$, $0 \leq m \leq \frac{n(n-1)}{2}$) — количество друзей животных и количество специальных ограничений.

В $i$-й из следующих $m$ строк ввода содержится три целых числа $u_i$, $v_i$ и $y_i$ ($1\leq u_i<v_i\leq n$, $0\leq y_i\leq 10^9$), описывающих $i$-е ограничение. Гарантируется, что для $1 \leq i < j \leq m$, $(u_i,v_i) \neq (u_j,v_j)$.

Выходные данные

Если Тенцинг может играть со своими друзьями-животными бесконечное количество времени, выведите «inf» (без кавычек).

Иначе, в первой строке выведите общее время $T$ ($0 \leq t \leq 10^{18}$) и количество игр $k$ ($0 \leq k \leq n^2$).

В следующих $k$ строках вывода выведите двоичную строку $s$ длины $n$ и целое число $t$ ($0 \leq t \leq 10^{18}$) — представление множества $S$ и количество минут, в течение которых будет играться эта игра. Если $s_i=\texttt{1}$, то $i \in S$, иначе, если $s_i=\texttt{0}$, то $i \notin S$.

При ограничениях этой задачи можно доказать, что если Тенцинг может играть со своими друзьями только конечное количество времени, то он может играть с ними не более $10^{18}$ минут.

Примечание

В первом примере:

Тенцинг проведёт игру с другом $\{1\}$ в течение $1$ минуты.
Тенцинг проведёт игру с друзьями $\{1,4\}$ в течение $1$ минуты.
Тенцинг проведёт игру с друзьями $\{1,3\}$ в течение $1$ минуты.
Тенцинг проведёт игру с друзьями $\{1,2,3,4\}$ в течение $1$ минуты.

Если после этого Тенцинг проведет еще одну игру с друзьями $\{1,2\}$ в течение $1$ минуты, то время пребывания ровно одного из друзей $2$ или $3$ с Тенцинг станет $2$ минуты, что не будет удовлетворять $3$-му ограничению.

Во втором наборе никаких специальных ограничений нет. Поэтому Тенцинг может играть с другом $\{1\}$ в течение бесконечного количества времени.

H. Тенцинг и случайные вещественные числа

битмаски графы дп математика Теория вероятностей *3000

Имеется $n$ непрерывно распределённых случайных вещественных чисел от 0 до 1 включительно, которые обозначаются как $x_1, x_2, \ldots, x_n$.

Тенцинг имеет $m$ условий. Каждое условие имеет вид $x_i+x_j\le 1$ или $x_i+x_j\ge 1$.

Тенцинг хочет узнать вероятность того, что все условия выполнены, по модулю $998~244~353$.

Формально, пусть $M = 998~244~353$. Можно показать, что ответ может быть представлен в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q \not \equiv 0 \pmod{M}$. Выведите целое число, равное $p \cdot q^{-1} \bmod M$. Другими словами, выведите такое целое число $x$, что $0 \le x < M$ и $x \cdot q \equiv p \pmod{M}$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1\le n\le 20$, $0\le m\le n^2+n$).

Затем следующие $m$ строк содержат три целых числа $t$, $i$ и $j$ ($t \in \{0,1\}$, $1\le i\le j\le n$).

Если $t=0$, то условие равно $x_i+x_j\le 1$.
Если $t=1$, то условие равно $x_i+x_j\ge 1$.

Гарантируется, что все условия попарно различны.

Выходные данные

Выведите вероятность того, что все условия выполнены, по модулю $M = 998~244~353$.

Примечание

В первом примере условиями являются $x_1+x_2 \le 1$ и $x_3+x_3\ge 1$, и вероятность выполнения каждого условия равна $\frac 12$, поэтому вероятность того, что они оба выполнены, равна $\frac 12\cdot \frac 12=\frac 14$, по модулю $998~244~353$ равно $748683265$.

Во втором примере ответ равен $\frac 14$.

В третьем примере ответ равен $\frac 1{16}$.

В четвертом случае сумма всех переменных должна быть равна $2$, поэтому вероятность равна $0$.

F1. Метрополитен в Омске (простая версия)

графы Деревья дп жадные алгоритмы математика поиск в глубину и подобное Структуры данных *1800

Это простая версия задачи. Единственное отличие между простой и сложной версией состоит в том, что в этой версии для всех вопросов $u = 1$.

Как известно, Омск — столица Берляндии. Как и в любой столице, в Омске есть хорошо развитая система метрополитена. Метрополитен Омска представляет из себя некоторое количество станций, соединённых туннелями, причём между любыми двумя станциями есть ровно один путь, проходящий по каждому из туннелей не более одного раза. Иными словами, метрополитен представляет собой дерево.

Для развития метрополитена и привлечения жителей в Омске используется следующая система. Каждая станция имеет свой вес $x \in \{-1, 1\}$. Если станция имеет вес $-1$, то при посещении станции с жителя Омска взимается плата в $1$ бурль. Если же вес станции равен $1$, то житель Омска вознаграждается $1$-м бурлем.

Пока что есть только одна станция с номером $1$ и весом $x = 1$. Каждый день происходит одно из следующих событий:

К станции с номером $v_i$ присоединяется новая станция с весом $x$, и ей присваивается номер, на единицу больший количества уже существующих станций.
Лёша, живущий в Омске, задаётся вопросом: существует ли подотрезок$\dagger$ (возможно, пустой) пути между вершинами $u$ и $v$ такой, что, проехав по нему, можно заработать ровно $k$ бурлей (если $k < 0$, то это означает, что на проезд придётся потратить $k$ бурлей). Иначе говоря, Лёшу интересует, существует ли такой подотрезок пути, что сумма весов вершин в нем равна $k$. Обратите внимание, что подотрезок может быть пустым, и тогда сумма равна $0$.

Вы являетесь другом Лёши, поэтому Ваша задача — ответить на вопросы Лёши.

$\dagger$Подотрезок — непрерывная последовательность элементов.

Входные данные

В первой строке находится число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных дано число $n$ ($1 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — количество событий.

Далее следует $n$ строк, описывающих события. В $i$-й строке возможен один из вариантов:

Сначала идёт символ «+» (без кавычек), затем два числа $v_i$ и $x_i$ ($x_i \in \{-1, 1\}$, также гарантируется, что вершина с номером $v_i$ существует). В этом случае к станции с номером $v_i$ присоединяется новая станция с весом $x_i$.
Сначала идёт символ «?» (без кавычек), а затем три числа $u_i$, $v_i$ и $k_i$ ($-n \le k_i \le n$). Гарантируется, что вершины с номерами $u_i$ и $v_i$ существуют. В этом случае необходимо определить, существует ли подотрезок (возможно, пустой) пути между станциями $u_i$ и $v_i$ с суммой весов ровно $k_i$. В этой версии задачи гарантируется, что $u_i = 1$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого вопроса Лёши выведите «Yes» (без кавычек), если описанный в условии подотрезок существует, иначе выведите «No» (без кавычек).

Примечание

Пояснение к первому примеру.

Ответ на второй вопрос «Yes», так как существует путь $1$.

В четвертом вопросе мы можем снова выбрать путь $1$.

В пятом запросе ответ «Yes», так как есть путь $1-3$.

В шестом запросе мы можем выбрать пустой путь, так как сумма весов на нем равна $0$.

Нетрудно показать, что нет путей, удовлетворяющих первому и третьему запросу.

E. Прекрасные таблицы

2-sat графы Конструктив поиск в глубину и подобное снм *2400

Таблицу размерами $n \times m$, состоящую из символов, назовём прекрасной, если она удовлетворяет следующим трём условиям:

Каждый символ — это 'A', 'B' или 'C'.
В любой непрерывной подтаблице размерами $2 \times 2$ каждая из трёх букв встречается хотя бы один раз.
В любых двух клетках, имеющих общую сторону, записаны разные буквы.

Через $(x,y)$ обозначим клетку на пересечении $x$-й сверху строки и $y$-го слева столбца.

Вы хотите построить прекрасную таблицу, которая бы также удовлетворяла $k$ ограничениям. Каждое ограничение задаёт условие на две клетки — $(x_{i,1},y_{i,1})$ и $(x_{i,2},y_{i,2})$, которые имеют ровно один общий угол. Вы хотите, чтобы в вашей таблице в клетках $(x_{i,1},y_{i,1})$ и $(x_{i,2},y_{i,2})$ были записаны одинаковые буквы.

Определите, существует ли прекрасная таблица, удовлетворяющая всем ограничениям.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^3$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа: $n$, $m$ и $k$ ($2 \le n,m \le 2 \cdot 10^3$, $1 \le k \le 4 \cdot 10^3$).

Каждая из следующих $k$ строк содержит по четыре целых числа: $x_{i,1}$, $y_{i,1}$, $x_{i,2}$ и $y_{i,2}$ ($1 \le x_{i,1} < x_{i,2} \le n$, $1 \le y_{i,1},y_{i,2} \le m$). Гарантируется, что $(x_{i,2},y_{i,2}) = (x_{i,1}+1,y_{i,1}+1)$ или $(x_{i,2},y_{i,2}) = (x_{i,1}+1,y_{i,1}-1)$.

Пары клеток попарно различны, т. е. для всех $1 \le i < j \le k$ неверно, что $x_{i,1} = x_{j,1}$, $y_{i,1} = y_{j,1}$, $x_{i,2} = x_{j,2}$ и $y_{i,2} = y_{j,2}$ одновременно.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^3$.

Гарантируется, что сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^3$.

Гарантируется, что сумма значений $k$ по всем наборам входных данных не превосходит $4 \cdot 10^3$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES», если существует прекрасная таблица, удовлетворяющая всем ограничениям. Иначе выведите «NO».

Примечание

В первом наборе входных данных следующая прекрасная таблица удовлетворяет всем ограничениям:

B	A	B	C
C	B	C	A
A	C	A	B

Во втором наборе входных данных два ограничения означают, что в клетках $(1,1)$ и $(2,2)$ записаны одинаковые буквы, а также в клетках $(1,2)$ и $(2,1)$ записаны одинаковые буквы. Поэтому невозможно сделать так, чтобы единственная подтаблица $2 \times 2$ содержала бы все три буквы хотя бы по разу.

G. Рудольф и CodeVid-23

битмаски графы дп жадные алгоритмы кратчайшие пути *1900

Среди программистов распространился новый вирус «CodeVid-23». Рудольфу, как программисту, также не удалось избежать его.

Всего есть $n$ симптомов, пронумерованных от $1$ до $n$, которые могут появиться при заболевании. Изначально Рудольф имеет некоторые из них. Чтобы вылечиться он сходил в аптеку и купил $m$ лекарств.

Для каждого лекарства известно количество дней, которое его нужно принимать, а также набор симптомов, которые оно снимает. К сожалению, у лекарств часто бывают побочные эффекты. Поэтому для каждого из лекарств также известен набор симптомов, которые появляются при его приеме.

Почитав инструкции Рудольф понял, что принимать больше одного лекарства одновременно очень вредно для организма.

Рудольф хочет как можно быстрее встать на ноги. Поэтому он просит вас посчитать за какое минимальное количество дней он сможет избавиться от всех симптомов, или сказать, что это невозможно.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ $(1 \le t \le 100)$ — количество наборов входных данных.

Далее следуют описания наборов.

Первая строка набора содержит два целых числа $n, m$ $(1 \le n \le 10, 1 \le m \le 10^3)$ — количество симптомов и лекарств, соответственно.

Вторая строка набора содержит строку длины $n$, состоящую из символов $0$ и $1$ — описание симптомов Рудольфа. Если $i$-й символ строки равен $1$, Рудольф имеет $i$-й симптом, иначе нет.

Затем следуют $3 \cdot m$ строк — описание лекарств.

Первая строка каждого описания содержит целое число $d$ $(1 \le d \le 10^3)$ — количество дней, которое нужно принимать лекарство.

Следующие две строки описания содержат две строки длины $n$, состоящие из символов $0$ и $1$ — описание симптомов, которые оно снимает, а также описание побочных эффектов.

В первой из строк $1$ на $i$-й позиции означает, что лекарство снимает $i$-й симптом, и $0$ иначе.

Во второй из строк $1$ на $i$-й позиции означает, что после приема появляется $i$-й симптом, и $0$ иначе.

Разные лекарства могут иметь одинаковые наборы симптомов и побочных эффектов. Если лекарство снимает некоторый симптом, то его не будет среди побочных эффектов.

Сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^3$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в отдельной строке выведите одно целое число — минимальное количество дней, через которое Рудольф сможет избавиться ото всех симптомов. Если этого не случится никогда выведите $-1$.

Примечание

В первом примере мы можем применить сначала лекарство номер $4$, после него симптомы примут вид «00101». После этого лекарство номер $2$, тогда симптомы полностью исчезнут, а количество дней будет равно $5 + 3 = 8$. Ещё один вариант применения лекарств в порядке $1, 3, 2$. В этом случае все симптомы также исчезнут, но количество дней будет равно $3 + 3 + 3 = 9$.

Во втором примере симптомов нет изначально, поэтому лечение займет $0$ дней.

В третьем примере нет вариантов полностью убрать симптомы.

H. Третья буква

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное реализация снм *1700

Чтобы выиграть свою самую трудную битву, Мирча придумал отличную стратегию для своей армии. У него есть $n$ солдат, и он решил расположить их определенным образом в лагерях. Каждый солдат должен принадлежать ровно одному лагерю, и на каждой целочисленной точке оси $x$ находится один лагерь (на точках $\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots$).

Стратегия состоит из $m$ условий. Условие $i$ гласит, что солдат $a_i$ должен принадлежать лагерю, который находится в $d_i$ метрах перед лагерем, к которому принадлежит человек $b_i$. (Если $d_i < 0$, то лагерь $a_i$ должен быть в $-d_i$ метрах позади лагеря $b_i$.)

Теперь Мирча задается вопросом, существует ли разбиение солдат, которое удовлетворяет условию, и просит вашей помощи! Ответьте «YES», если существует разбиение из $n$ солдат, которое удовлетворяет всем $m$ условиям, и «NO» в противном случае.

Обратите внимание, что два разных солдата могут быть размещены в одном лагере.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 100$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит два положительных целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$; $1 \leq m \leq n$) — количество солдат и количество условий соответственно.

Затем следуют $m$ строк, каждая из которых содержит $3$ целых числа: $a_i$, $b_i$, $d_i$ ($a_i \neq b_i$; $1 \leq a_i, b_i \leq n$; $-10^9 \leq d_i \leq 10^9$) — описывающие условия, объясненные в условии. Обратите внимание, что если $d_i$ положительно, то $a_i$ должен быть в $d_i$ метрах перед $b_i$, а если отрицательно, то $a_i$ должен быть в $-d_i$ метрах позади $b_i$.

Обратите внимание, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES», если существует такое расположение $n$ солдат, которое удовлетворяет всем $m$ условиям, и «NO» в противном случае.

Примечание

В первом примере мы можем разделить солдат на лагеря следующим образом:

Солдат $1$ в лагере с координатой $x = 3$.
Солдат $2$ в лагере с координатой $x = 5$.
Солдат $3$ в лагере с координатой $x = 9$.
Солдат $4$ в лагере с координатой $x = 11$.

Для второго примера не существует разбиения, которое может удовлетворить все ограничения одновременно.

Для третьего примера не существует разбиения, которое удовлетворяет всем условиям, так как мы получаем противоречивую информацию о той же паре.

Одно из возможных разбиений, удовлетворяющих условиям в четвёртом примере:

Солдат $1$ в лагере с координатой $x = 10$.
Солдат $2$ в лагере с координатой $x = 13$.
Солдат $3$ в лагере с координатой $x = -2023$.
Солдат $4$ в лагере с координатой $x = -2023$.

E. Настя и зелья

графы дп поиск в глубину и подобное сортировки *1500

Алхимик Настя очень любит смешивать зелья. Всего алхимии известно $n$ видов зелий, одно зелье вида $i$ можно купить за $c_i$ монет.

Любой вид зелий можно получить не более чем одним способом, путём смешивания из нескольких других. Зелья, которые используются в смешивании при этом потратятся. Причём ни одно зелье нельзя получить из самого себя путём одного или нескольких смешиваний.

Как опытный алхимик, Настя имеет зелья $k$ видов $p_1, p_2, \dots, p_k$ в неограниченных количествах, но не знает какое захочет получить следующим. Чтобы определиться, она просит вас для всех $1 \le i \le n$ узнать, какое минимальное число монет нужно потратить, чтобы следующим получить зелье вида $i$.

Входные данные

В первой строке входных данных содержится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Далее следуют описания наборов.

В первой строке набора содержится два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le k < n \le 2 \cdot 10^5$) — количество видов зелий всего и количество видов зелий, которые есть у Насти.

Во второй строке набора содержатся $n$ чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($1 \le c_i \le 10^9$) – стоимости покупки зелий.

В третьей строке набора содержатся $k$ различных целых чисел $p_1, p_2, \dots, p_k$ ($1 \le p_i \le n$) — номера зелий, которые уже есть у Насти в неограниченных количествах.

Далее следуют $n$ строк, описывающих способы получения зелий смешиванием.

Каждая строка начинается с числа $m_i$ ($0 \le m_i < n$) — количество зелий, необходимое для смешивания зелья вида $i$ ($1 \le i \le n$).

Дальше строка содержит $m_i$ различных целых чисел $e_1, e_2, \dots, e_{m_i}$ ($1 \le e_j \le n$, $e_j \ne i$) — номера зелий необходимых для смешивания зелья вида $i$. Если этот список пуст, то зелье вида $i$ можно только купить.

Гарантируется, что ни одно зелье нельзя получить из самого себя путём одного или нескольких смешиваний.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$. Аналогично гарантируется, что сумма значений $m_i$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $n$ чисел — минимальное число монет, которое нужно потратить, чтобы получить зелье каждого вида.

Примечание

В первом наборе первого примера оптимально:

Получить зелье первого типа купив и смешав $2$, $4$ и $5$;
зелье второго типа можно получить только купив его;
у Насти уже есть неограниченное число зелий третьего типа;
зелье четвертого типа выгоднее купить, чем купить и смешать другие зелья;
зелье пятого типа можно получить только купив его;

G. Влад и горы

Бинарный поиск графы Деревья реализация снм сортировки Структуры данных *2000

Влад решил отправиться в путешествие в горы. Всего он планирует перемещаться по $n$ горам, между некоторыми из которых есть дороги. Горы имеют высоты, высота $i$-й горы равна $h_i$.

Если между горами $i$ и $j$ есть дорога, то Влад может перейти с горы $i$ на гору $j$, потратив при этом $h_j - h_i$ единиц энергии. Если при переходе его энергия должна опуститься ниже нуля, он не сможет перейти с горы $i$ на гору $j$. Обратите внимание, что $h_j - h_i$ может быть отрицательным и тогда энергия восстановится.

Влад хочет рассмотреть разные варианты маршрута, поэтому просит вас ответить на следующие запросы: можно ли построить какой-либо маршрут, начинающийся на горе $a$ и заканчивающийся на горе $b$, если изначально у него есть $e$ единиц энергии?

Входные данные

В первой строке входных данных содержится целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Далее следуют описания наборов.

Первая строка набора содержит два числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m \le \min(\frac{n\cdot(n - 1)}{2}, 2 \cdot 10^5)$) — количество гор и дорог между ними, соответственно.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $h_1, h_2, h_3, \dots, h_n$ ($1 \le h_i \le 10^9$) — высоты гор.

Следующие $m$ строк содержат по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \ne v$) — номера гор, которые соединяет дорога. Гарантируется, что ни одна дорога не встречается дважды.

Следующая строка содержит одно целое число $q$ ($1 \le q \le 2 \cdot 10^5$) — количество запросов.

Следующие $q$ строк содержат по три числа $a$, $b$ и $e$ ($1 \le a, b \le n$, $0 \le e \le 10^9$) — начальная и конечная горы маршрута и количество энергии, соответственно.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам не превосходит $2 \cdot 10^5$. Также это гарантируется для $m$ и $q$.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите «YES», если Влад может составить маршрут от горы $a$ до горы $b$, и «NO» в противном случае.

В примерах ниже ответы на разные наборы данных разделены пустой строкой, вы можете её не выводить.

B. Несбалансированные массивы

графы жадные алгоритмы Конструктив математика сортировки *1800

Ntarsis придумал массив $a$ из $n$ неотрицательных целых чисел.

Массив $b$ из $n$ целых чисел называется несбалансированным, если он удовлетворяет следующим условиям:

$-n\le b_i\le n$, $b_i \ne 0$,
не существует двух индексов $(i, j)$ ($1 \le i, j \le n$), таких что $b_i + b_j = 0$,
для каждого $1 \leq i \leq n$, существует ровно $a_i$ индексов $j$ ($1 \le j \le n$) таких, что $b_i+b_j>0$, где $i$ и $j$ не обязательно различны.

Дан массив $a$. Ntarsis хочет, чтобы вы построили любой несбалансированный массив. Помогите ему решить эту задачу или определите, что это невозможно.

Входные данные

Первая строка каждого набора содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 10^5$).

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($0 \leq a_i \leq n$).

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам не превышает $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «NO», если не существует несбалансированного массива.

В противном случае выведите «YES». Затем, на следующей строке, выведите $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$, где $b_i \neq 0$ для всех $1 \leq i \leq n$ — допустимый несбалансированный массив.

Примечание

Для первого набора входных данных, $b = [1]$ является допустимым несбалансированным массивом: для $i = 1$ существует ровно одно $j$ ($j = 1$), где $b_1 + b_j > 0$.

Для второго набора можно показать, что не существует допустимого несбалансированного массива.

Для третьего набора, $a = [0, 1, 0]$. Массив $b = [-3, 1, -2]$ является допустимым несбалансированным массивом.

Для $i = 1$ и $i = 3$ не существует индекса $j$ такого, что $b_i + b_j > 0$.
Для $i = 2$ существует только один индекс $j = 2$, такой что $b_i + b_j > 0$ ($b_2 + b_2 = 1 + 1 = 2$).

Другой возможный ответ на третий пример — $b = [-2, 1, -3]$.

G. Подсчет графов

графы Деревья жадные алгоритмы Комбинаторика разделяй и властвуй снм сортировки *2000

Дано дерево, состоящее из $n$ вершин. Дерево — это связный неориентированный граф без циклов. Каждое ребро дерева имеет свой вес, $w_i$.

Ваша задача — подсчитать количество различных графов, для которых одновременно выполняются четыре условия:

В графе нет петель и кратных ребер.
Веса на ребрах графа целые числа и не превышают $S$.
Граф имеет ровно одно минимальное остовное дерево.
Минимальное остовное дерево графа является заданным деревом.

Два графа считаются различными, если их наборы рёбер различны с учётом весов рёбер.

Ответ может быть большим, выведите его по модулю $998244353$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1\le t\le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $S$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5, 1\le S\le 10^9$) — количество вершин и верхняя граница весов.

Затем следуют $n-1$ строк, описывающих дерево, $i$-я строка содержит три целых числа $u_i$, $v_i$ и $w_i$ ($1\le u_i,v_i\le n, u_i \ne v_i, 1\le w_i\le S$) — ребро в дереве с весом $w_i$.

Гарантируется, что сумма $n$ для всех тестов не превышает $2\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите количество различных графов, удовлетворяющих условиям, по модулю $998244353$.

Примечание

В первом примере существует единственный граф, который и является заданным деревом.

Во втором примере заданное дерево выглядит так:

$\text{[math]}$ Ниже изображены все возможные графы для второго примера, красным цветом выделено минимальное остовное дерево: $\text{[math]}$

F. Телепортация в Байтландии

графы Деревья кратчайшие пути поиск в глубину и подобное разделяй и властвуй Структуры данных *3200

В Байтландии есть $n$ городов, некоторые пары которых соединены дорогами, по которым можно ездить в обе стороны. $i$-я дорога характеризуется сложностью проезда по ней $w_i$. Время проезда по дороге со сложностью $w_i$ равняется $\lceil\frac{w_i}{c}\rceil$ часов, где $c$ — навык вождения водителя.

Транспортная система Байтландии представляет собой дерево. Иными словами, между любой парой городов существует ровно один путь, который проходит по каждому городу не более одного раза.

В некоторых городах можно посетить курсы вождения. Если провести в таком городе, изучая курсы, $T$ часов, то навык вождения $c$ увеличивается в $2$ раза. Заметьте, что значение $T$ одинаково во всех городах, и курсы можно посещать в одном и том же городе несколько раз.

Вам нужно ответить на $q$ запросов: за какое минимальное время можно добраться из города $a$ в город $b$, если начать путь с навыком вождения $c = 1$?

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка входных данных содержит единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $T$ ($1 \le n \le 10^5, 1 \le T \le 10^6$) - количество городов в Байтландии и время, которое занимает прохождение одного курса.

Каждая из следующих $n - 1$ строк содержит три целых числа $u_i$, $v_i$ и $w_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n, 1 \le w_i \le 10^6, u_i \neq v_i$), которые описывают дорогу между городами $u_i$ и $v_i$ со сложностью $w_i$.

Следующая строка содержит бинарную строку $s$ длины $n$, состоящую из символов $0$ и $1$. Если $s_i = 1$ ($1 \le i \le n$), то в $i$-м городе можно пройти курсы. Если $s_i = 0$ ($1 \le i \le n$), то в $i$-м городе нельзя пройти курсы.

Следующая строка содержит одно целое число $q$ ($1 \le q \le 10^5$) — количество запросов, на которые вам нужно ответить.

Каждая из следующих $q$ строк содержит по два числа $a_j$ и $b_j$ ($1 \le a_j, b_j \le n, 1 \le j \le q$) — вершины, между которыми нужно найти минимальное время поездки в $j$-м запросе.

Гарантируется, что система дорог образует дерево. Гарантируется, что сумма $n$ и сумма $q$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите одно целое число в отдельной строке — минимальное время, за которое можно добраться в соответствующем запросе.

Примечание

В первом наборе входных данных в первом запросе оптимально не проходить курсы вождения. Тогда минимальное время равно сложности дороги между городами $1$ и $2$, которое равно $1$.

Во втором наборе входных данных в первом запросе оптимально вначале пройти курсы вождения за $3$ часа в городе $1$ один раз, а потом поехать в город $5$. Тогда всего путь займёт $3 + \lceil\frac{5}{2}\rceil + \lceil\frac{10}{2}\rceil = 11$ часов.

E. Редактор с быстрым перемещением

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное Структуры данных *2400

Задана строка $s$, состоящая из строчных латинских букв.

Курсор изначально находится между двумя соседними буквами строки. Курсор не может стоять до первой или после последней буквы.

Вы можете совершить любое количество действий с курсором (возможно, ноль). Каждое действие должно быть одного из трех типов:

подвинуть курсор на одну позицию влево (если это не поместит его до первой буквы);
подвинуть курсор на одну позицию вправо (если это не поместит его после последней буквы);
пусть $x$ — буква сразу слева от курсора, а $y$ — буква сразу справа. Вы можете выбрать любую пару соседних букв в строке, такую, что левая буква в паре тоже $x$, а правая тоже $y$, и переместить курсор в позицию между этими двумя буквами.

Вы должны обработать $m$ запросов. В каждом запросе задаются два целых числа $f$ и $t$, описывающих корректные позиции курсора в строке; в качестве ответа на запрос вы должны вывести минимальное количество действий, требуемое, чтобы переместить курсор из позиции $f$ в позицию $t$.

Входные данные

В первой строке записана строка $s$ ($2 \le |s| \le 5 \cdot 10^4$), состоящая из строчных латинских букв.

Во второй строке записано одно целое число $m$ ($1 \le m \le 5 \cdot 10^4$) — количество запросов.

В $i$-й из следующих $m$ строк записаны два целых числа $f$ и $t$ ($1 \le f, t \le |s| - 1$) — начальная и конечная позиции курсора в $i$-м запросе. Позиция $x$ означает, что курсор находится между $x$-й и $(x+1)$-й буквами строки (в $1$-индексации).

Выходные данные

На каждый запрос выведите одно целое число — минимальное количество действий, необходимое, чтобы передвинуть курсор из позиции $f$ в позицию $t$.

E. Спидран

графы дп жадные алгоритмы математика Перебор поиск в глубину и подобное сортировки *2100

Вы играете в компьютерную игру, в которой есть $n$ заданий, которые вам нужно выполнить. Однако $j$-е задание можно выполнить только в начале $h_j$-го часа игрового дня. Каждый игровой день длится ровно $k$ часов. Часы каждого игрового дня пронумерованы числами $0, 1, \ldots, k - 1$. После конца первого дня начинается следующий, и так далее.

Между заданиями есть зависимости: для некоторых пар $(a_i, b_i)$ задание с номером $b_i$ может быть выполнено только после выполнения задания с номером $a_i$. Гарантируется, что циклических зависимостей нет, поскольку иначе игру пройти было бы невозможно и никто не стал бы в неё играть.

Вы очень хорошо умеете играть в эту игру, поэтому вы можете выполнить любое число заданий за пренебрежимо малое время (т. е. вы можете выполнить любое число заданий в начале одного и того же часа, даже если между ними есть зависимости). Вам нужно выполнить все задания как можно быстрее. Вы можете выполнять их в любом доступном порядке. Время прохождения игры равно разнице между временем завершения последнего задания и временем завершения первого задания в этом порядке.

Найдите наименьшее время, за которое можно пройти игру.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1\le t\le 100\,000$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($1\le n\le 200\,000$, $0\le m\le 200\,000$, $1\le k\le 10^9$) — количество заданий, количество зависимостей между ними, а также длительность игрового дня в часах.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $h_1, h_2, \ldots, h_n$ ($0\le h_i < k$).

Следующие $m$ строк описывают зависимости. В $i$-й из них содержатся два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1\le a_i < b_i\le n$): это означает, что задание с номером $b_i$ может быть выполнено только после выполнения задания $a_i$. Гарантируется, что все зависимости попарно различны.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $200\,000$.

Гарантируется, что сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $200\,000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно число — наименьшее время, необходимое для прохождения игры.

Примечание

В первом наборе входных данных задания $1$ и $4$ нужно выполнить в начале $12$-го часа дня, но они не могут быть выполнены в течение одного часа, поскольку между ними нужно выполнить задания $2$ и $3$. Однако всё это можно сделать за $24$ часа. Для этого можно начать в $12$ часов первого игрового дня, выполнив первое задание. В $16$ часов можно выполнить задание $2$. В $18$ часов можно выполнить задание $3$. Наконец, в $12$ часов следующего дня можно выполнить задание $4$. С момента выполнения первого задания до момента выполнения последнего прошло $24$ часа.

В третьем наборе входных данных можно выполнить первое задание, а затем сразу же выполнить второе. Можно начать в $5$ часов первого дня, выполнив первое задание. Сразу после этого становится доступным второе задание, его можно выполнять немедленно. Суммарное прошедшее время равно $0$.

В четвёртом наборе входных данных можно начать с третьего задания. Можно начать в $555$ часов первого дня и закончить в $35$ часов второго дня. Суммарное прошедшее время равно $1035-555=480$.

G. Swaps

графы дп Комбинаторика математика *2800

Дан массив целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$). Вы можете выполнить следующую операцию несколько раз (возможно, ни одного):

выбрать произвольное $i$ и выполнить swap$(a_i, a_{a_i})$.

Сколько различных массивов можно получить? Выведите ответ по модулю $(10^9 + 7)$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 10^6$).

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1\le a_i\le n$).

Выходные данные

Выведите одно число — число достижимых массивов по модулю $(10^9 + 7)$.

Примечание

В первом примере изначально массив равен $[1, 1, 2]$. Если выполнить операцию с $i = 3$, то местами поменяются значения $a_3$ и $a_2$, массив станет равен $[1, 2, 1]$. Можно показать, что других достижимых массивов нет.

Во втором примере четыре достижимых массива суть $[2, 1, 4, 3]$, $[1, 2, 4, 3]$, $[1, 2, 3, 4]$, $[2, 1, 3, 4]$. Можно показать, что других достижимых массивов нет.

I. Будущие доминаторы

графы жадные алгоритмы *3500

Dhruvil и amenotiomoi живут в разных странах и общаются онлайн. Изначально у amenotiomoi есть пустая доска размера $n \times n$, а у Dhruvil'а есть последовательность целых чисел $1, 2, \ldots, n^2$, каждое число в которой встречается по одному разу. Эти числа могут быть расположены в клетках доски, каждая клетка — либо пустая, либо содержит ровно одно число.

Текущее состояние доски назовём хорошим, если существует способ расположить оставшиеся числа в пустые клетки доски так, что у каждого числа, кроме $1$, будет сосед с меньшим значением. Две клетки считаются соседними, если они имеют общую сторону.

Строки доски пронумерованы от $1$ до $n$ сверху вниз, столбцы пронумерованы от $1$ до $n$ слева направо. Клетку на пересечении $x$-й строки и $y$-го столбца обозначим как $(x, y)$.

В процессе общения amenotiomoi задаёт Dhruvil'у $q$ запросов. Каждый раз он сообщает Dhruvil'у координаты некоторой пустой клетки $(x, y)$. Dhruvil должен расположить в этой клетке одно из оставшихся чисел таким образом, чтобы доска осталась хорошей. Среди всех возможных способов это сделать он выберет самое большое число, которое он может расположить в этой клетке, и отправит его amenotiomoi в качестве ответа на запрос.

Поскольку amenotiomoi заранее знает ответы на все запросы, он сообщает Dhruvil'у $(x \oplus k,y \oplus k)$ вместо $(x, y)$, где $k$ — ответ на предыдущий запрос. Когда amenotiomoi отправляет свой первый запрос, он считает, что $k = 0$. На каждом запросе Dhruvil должен декодировать сообщение и отправить ответ amenotiomoi. Здесь $\oplus$ обозначает операцию побитового исключающего ИЛИ.

Помогите Dhruvil ответить на все запросы amenotiomoi.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $q$ ($1 \le n \le 10^3$, $1 \le q \le n^2$).

В $i$-й из следующих $q$ строк содержится два целых числа $x_i'$ и $y_i'$. Соответствующий запрос задаёт клетку $(x_i, y_i)$, где $x_i'=x_i \oplus k$ и $y_i' = y_i \oplus k$, где $k$ — корректный ответ на предыдущий запрос. Если $i = 1$, то используется $k = 0$. Гарантируется, что $1 \le x_i, y_i \le n$ и $(x_i, y_i)$ — пустая клетка в момент $i$-го запроса.

Гарантируется, что сумма значений $n^2$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, выведите ответы на все запросы через пробел на одной строке.

Примечание

В первом наборе входных данных, первый запрос задаёт клетку $(1, 1)$, Dhruvil располагает в ней число $4$.

Второй запрос поступает как $(6, 6)$, Dhruvil декодирует его в $(2, 2)$, используя предыдущий ответ ($2 \oplus 4 = 6$). Если Dhruvil расположит $3$ в клетке $(2, 2)$, то доска перестанет быть хорошей. Поэтому, Dhruvil может расположить в ней только число $2$.

Третий запрос поступает как $(3, 0)$, Dhruvil декодирует его в $(1, 2)$, используя предыдущий ответ ($1 \oplus 2 = 3$, $2 \oplus 2 = 0$). Dhruvil может расположить в этой клетке число $3$.

Четвёртый запрос поступает как $(1, 2)$, Dhruvil декодирует его в $(2, 1)$, используя предыдущий ответ ($2 \oplus 3 = 1$, $1 \oplus 3 = 2$). В последовательности осталось только число $1$, и если поместить $1$ в эту клетку, доска останется хорошей.

Ниже представлено история всех изменений доски:

$\text{[math]}$

Во втором наборе входных данных итоговое состояние доски выглядит так:

$8$	$7$	$5$
$9$	$3$	$4$
$1$	$2$	$6$

C. Completely Searching for Inversions

графы дп поиск в глубину и подобное *1900

Pak Chanek has a directed acyclic graph (a directed graph that does not have any cycles) containing $N$ vertices. Vertex $i$ has $S_i$ edges directed away from that vertex. The $j$-th edge of vertex $i$ that is directed away from it, is directed towards vertex $L_{i,j}$ and has an integer $W_{i,j}$ ($0\leq W_{i,j}\leq1$). Another information about the graph is that the graph is shaped in such a way such that each vertex can be reached from vertex $1$ via zero or more directed edges.

Pak Chanek has an array $Z$ that is initially empty.

Pak Chanek defines the function dfs as follows:

// dfs from vertex i
void dfs(int i) {
    // iterate each edge of vertex i that is directed away from it
    for(int j = 1; j <= S[i]; j++) {
        Z.push_back(W[i][j]); // add the integer in the edge to the end of Z
        dfs(L[i][j]); // recurse to the next vertex
    }
}

Note that the function does not keep track of which vertices have been visited, so each vertex can be processed more than once.

Let's say Pak Chanek does dfs(1) once. After that, Pak Chanek will get an array $Z$ containing some elements $0$ or $1$. Define an inversion in array $Z$ as a pair of indices $(x, y)$ ($x < y$) such that $Z_x > Z_y$. How many different inversions in $Z$ are there if Pak Chanek does dfs(1) once? Since the answer can be very big, output the answer modulo $998\,244\,353$.

Input

The first line contains a single integer $N$ ($2 \leq N \leq 10^5$) — the number of vertices in the graph. The following lines contain the description of each vertex from vertex $1$ to vertex $N$.

The first line of each vertex $i$ contains a single integer $S_i$ ($0 \leq S_i \leq N-1$) — the number of edges directed away from vertex $i$.

The $j$-th of the next $S_i$ lines of each vertex $i$ contains two integers $L_{i,j}$ and $W_{i,j}$ ($1 \leq L_{i,j} \leq N$; $0 \leq W_{i,j} \leq 1$) — an edge directed away from vertex $i$ that is directed towards vertex $L_{i,j}$ and has an integer $W_{i,j}$. For each $i$, the values of $L_{i,1}$, $L_{i,2}$, ..., $L_{i,S_i}$ are pairwise distinct.

It is guaranteed that the sum of $S_i$ over all vertices does not exceed $2 \cdot 10^5$. There are no cycles in the graph. Each vertex can be reached from vertex $1$ via zero or more directed edges.

Output

An integer representing the number of inversions in $Z$ if Pak Chanek does dfs(1) once. Since the answer can be very big, output the answer modulo $998\,244\,353$.

Note

The following is the dfs(1) process on the graph.

$\text{[math]}$

In the end, $Z=[0,1,0,1,1,0]$. All of its inversions are $(2,3)$, $(2,6)$, $(4,6)$, and $(5,6)$.

K. Keen Tree Calculation

Бинарный поиск геометрия графы Деревья дп реализация Структуры данных *2500

There is a tree of $N$ vertices and $N-1$ edges. The $i$-th edge connects vertices $U_i$ and $V_i$ and has a length of $W_i$.

Chaneka, the owner of the tree, asks you $Q$ times. For the $j$-th question, the following is the question format:

$X_j$ $K_j$ – If each edge that contains vertex $X_j$ has its length multiplied by $K_j$, what is the diameter of the tree?

Notes:

Each of Chaneka's question is independent, which means the changes in edge length do not influence the next questions.
The diameter of a tree is the maximum possible distance between two different vertices in the tree.

Input

The first line contains a single integer $N$ ($2\leq N\leq10^5$) — the number of vertices in the tree.

The $i$-th of the next $N-1$ lines contains three integers $U_i$, $V_i$, and $W_i$ ($1 \leq U_i,V_i \leq N$; $1\leq W_i\leq10^9$) — an edge that connects vertices $U_i$ and $V_i$ with a length of $W_i$. The edges form a tree.

The $(N+1)$-th line contains a single integer $Q$ ($1\leq Q\leq10^5$) — the number of questions.

The $j$-th of the next $Q$ lines contains two integers $X_j$ and $K_j$ as described ($1 \leq X_j \leq N$; $1 \leq K_j \leq 10^9$).

Output

Output $Q$ lines with an integer in each line. The integer in the $j$-th line represents the diameter of the tree on the $j$-th question.

Note

In the first example, the following is the tree without any changes.

$\text{[math]}$

The following is the tree on the $1$-st question.

$\text{[math]}$

The maximum distance is between vertices $6$ and $7$, which is $6+6+6=18$, so the diameter is $18$.

The following is the tree on the $2$-nd question.

$\text{[math]}$

The maximum distance is between vertices $2$ and $6$, which is $3+2+6=11$, so the diameter is $11$.

D. Циклические операции

графы жадные алгоритмы Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное реализация *1800

У Егора был массив $a$ длины $n$, изначально состоящий из нулей. Однако он захотел сделать из него другой массив $b$ длины $n$.

Поскольку Егор не ищет легких путей, разрешено использовать только такую операцию (возможно ноль или несколько раз):

выбрать массив $l$ длины $k$ ($1 \leq l_i \leq n$, все $l_i$ различны) и поменять каждый элемент $a_{l_i}$ на $l_{(i\%k)+1}$ ($1 \leq i \leq k$).

Ему стало интересно, а можно ли вообще получить массив $b$ с помощью таких операций. Поскольку Егор еще только начинающий программист, он попросил Вас помочь ему решить эту задачу.

Операция $\%$ означает взятие по модулю, то есть $a\%b$ равно остатку от деления числа $a$ на число $b$.

Входные данные

В первой строке входных данных дано целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) - количество наборов входных данных.

Каждый набор состоит из двух строк. В первой строке даны целые числа $n$ и $k$ ($1 \leq k \leq n \leq 10^5$).

Во второй строке вводится массив $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($1 \leq b_i \leq n$).

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES» (без кавычек), если существует способ получить массив $b$, используя только заданную операцию. Иначе выведите «NO» (без кавычек). Вы можете выводить каждую букву в любом регистре (строчную или заглавную). Например, строки «yEs», «yes», «Yes» и «YES» будут приняты как положительный ответ.

Примечание

Рассмотрим первый пример:

Применим операцию с $l$ = $[1,2,3]$. Теперь $a$ = $[2,3,1,0,0]$.
Применим операцию с $l$ = $[3,5,4]$. Теперь $a$ = $[2,3,5,3,4]$ = $b$.

Мы видим, что получить массив $b$ можно. Следовательно ответ YES.

Во втором примере можно доказать, что массив $b$ получить нельзя, следовательно ответ NO.

B1. Конфетная вечеринка (простая версия)

битмаски графы жадные алгоритмы Конструктив математика реализация *1700

Это простая версия задачи. Единственное отличие состоит в том, что в этой версии каждый должен дать конфеты ровно одному человеку и получить конфеты ровно от одного человека. Обратите внимание, что посылка не может пройти обе версии задачи одновременно. Вы можете делать взломы, только если обе версии задачи решены.

После экзамена Daniel и его друзья собираются устроить вечеринку. Все придут с конфетами.

На вечеринке будут присутствовать $n$ человек. Изначально у $i$-го человека есть $a_i$ конфет. Во время вечеринки они будут обмениваться конфетами. Для этого они выстроятся в произвольном порядке и каждый из них сделает следующее ровно один раз:

Выберет целое число $p$ ($1 \le p \le n$) и неотрицательное целое число $x$, затем даст $2^{x}$ конфет $p$-му человеку. Заметим, что человек не может отдать больше конфет, чем у него есть в данный момент (он мог получить конфеты от кого-то другого), и он не может отдать конфеты самому себе.

Daniel любит справедливость, поэтому он будет счастлив тогда и только тогда, когда каждый получит конфеты от ровно одного человека. В то же время его друг Tom любит среднее, поэтому он будет счастлив тогда и только тогда, когда у всех людей будет одинаковое количество конфет после всех обменов.

Определите, существует ли способ обменяться конфетами так, чтобы Daniel и Tom были счастливы после обменов.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1\le t\le 1000$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2\le n\le 2\cdot 10^5$) — количество человек на вечеринке.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($1\le a_i\le 10^9$) — количество конфет у каждого человека.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «Yes» (без кавычек), если существует способ обменяться конфетами так, чтобы Daniel и Tom были счастливы, и выведите «No» (без кавычек) в противном случае.

Вы можете вывести ответ в любом регистре (верхнем или нижнем). Например, строки «yEs», «yes», «Yes», и «YES» будут распознаны как положительный ответ.

Примечание

В первом наборе входных данных:

Первый человек даёт $1$ конфету третьему человеку;
Второй человек даёт $2$ конфеты первому человеку;
Третий человек даёт $1$ конфету второму человеку.

Тогда у всех трёх человек есть по $3$ конфеты.

Во втором наборе входных данных:

Пятый человек даёт $4$ конфеты первому человеку, и теперь у первого человека есть $5$ конфет;
Первый человек даёт $2$ конфеты третьему человеку;
Третий человек даёт $2$ конфеты пятому человеку;
Четвёртый человек даёт $2$ конфеты второму человеку;
Второй человек даёт $1$ конфету четвёртому человеку.

Тогда у всех трёх людей есть по $3$ конфеты. Обратите внимание, что вначале первый человек не может дать $2$ конфеты третьему человеку, потому что у него есть только $a_1=1$ конфета. Но после того, как пятый человек дал ему $4$ конфеты, он может это сделать, потому что сейчас у него есть $1+4=5$ конфет.

В третьем наборе входных данных невозможно сделать так, чтобы у всех людей было одинаковое количество конфет.

В четвёртом наборе входных данных первый человек даёт второму человеку $1024$ конфеты, и второй также даёт $1024$ конфеты первому человеку.

D. Цветочное псевдодерево

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив реализация *3000

Псевдодеревом называется связный граф, который имеет ровно один цикл и не имеет петель. Обратите внимание, что псевдодерево может содержать кратные рёбра. Можно доказать, что псевдодерево с $n$ вершинами всегда содержит $n$ рёбер.

После удаления всех рёбер на цикле в псевдодереве образуется лес$^{\dagger}$. Можно доказать, что каждое дерево в лесу будет содержать ровно одну вершину, которая находится на цикле до удаления рёбер. Если все деревья в лесу имеют одинаковую глубину$^{\ddagger}$ при выборе вершины на цикле в качестве корня, мы называем исходное псевдодерево цветочным.

У нашего друга sszcdjr, было цветочное псевдодерево с $n$ вершинами и $n$ рёбрами. Однако, он забыл все рёбра в псевдодереве. К счастью, он все ещё помнит степени вершин. В частности, степень $i$-й вершины равна $d_i$.

Вы должны помочь sszcdjr построить возможное цветочное псевдодерево с $n$ вершинами, где степень $i$-й вершины строго равна $d_i$, или сообщить ему, что это невозможно.

$^{\dagger}$ Лесом называется граф, в котором все компоненты связности являются деревьями. Деревом называется связный граф без циклов и петель.

$^{\ddagger}$ Глубиной дерева с корнем называется максимальное расстояние от корня до вершины этого дерева.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1\leq t\leq 10^5$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2\leq n\leq 10^6$) — количество вершин.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $d_1,d_2,\ldots,d_n$ ($1\leq d_i\leq n$) — степень каждой вершины.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, если существует возможное цветочное псевдодерево:

Выведите «Yes» (без кавычек) в первой строке.
Затем выведите $n$ строк, в каждой строке выведите два целых числа $u_i$ и $v_i$ — две вершины, которые соединяет $i$-е ребро.

Если есть несколько ответов, вы можете вывести любой из них.

В противном случае, выведите «No» (без кавычек) в единственной строке вывода.

Вы можете выводить первую строку для каждого набора входных данных в любом регистре (верхнем или нижнем). Например, строки «yEs», «yes», «Yes» и «YES» будут распознаны как положительные ответы.

Примечание

В первом наборе входных данных единственным возможным цветочным псевдодеревом является:

$\text{[math]}$

После удаления всех рёбер на цикле в псевдодереве каждое дерево имеет глубину $0$.

Во втором наборе входных данных можно доказать, что не существует такого цветочного псевдодерева.

В третьем наборе входных данных одним из возможных цветочных псевдодеревьев является:

$\text{[math]}$

H. Стандартная задача на графы

графы Деревья жадные алгоритмы Структуры данных *3500

Вам дан взвешенный ориентированный граф, содержащий $n$ вершин и $m$ ребер. Каждая вершина графа может быть выделенной или обычной, изначально все вершины обычные. Ценой графа назовём минимальную суммарную цену рёбер, которые нужно взять, чтобы из каждой обычной вершины была достижима по взятым ребрам хотя бы одна любая выделенная вершина. Если такого набора рёбер не существует, то цена равна $-1$.

Вам предстоит вычислить цену графа после каждого из $q$ запросов. Запросы бывают двух типов:

$+\;v_i$ делает вершину $v_i$ выделенной; гарантируется, что перед запросом вершина была обычной.
$-\;v_i$ делает вершину $v_i$ обычной; гарантируется, что перед запросом вершина была выделенной.

Выведите цену графа после каждого из $q$ запросов.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $q$ ($3 \le n \le 2 \cdot 10^5, 1 \le m, q \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин графа, количество рёбер и число запросов.

Следующие $m$ строк содержат рёбра графа, по одному ребру в каждой строке. $i$-я строка содержит три целых числа $u_i$, $v_i$ и $c_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n, u_i \ne v_i, 1 \leq c_i \leq 10^6$) — концы $i$-го ребра (из $u_i$ в $v_i$), а также его вес ($c_i$).

Следующие $q$ строк содержат запросы, по одному запросу в каждой строке. $i$-я строка содержит $+\;v_i$, если это операция первого типа, и $-\;v_i$, если это операция второго типа ($1 \leq v_i \leq n$).

Выходные данные

Выведите $q$ чисел. $i$-е число — это цена графа после первых $i$ запросов.

Примечание

В первом тесте:

Посыле первого запроса выгоднее всего взять ребра с номерами $3, 4, 5$, сумма их цен равна $15$.
После второго запроса, нет ни одной выделенной вершины, а значит, не существует подходящих наборов ребер, цена графа $-1$.
После третьего запроса выгоднее всего взять ребра с номерами $1, 2, 5$, сумма их цен равна $14$.
После четвертого запроса выгоднее всего взять ребра с номерами $4$ и $5$, сумма их цен равна $12$.
После пятого запроса выгоднее всего взять только ребро номер $5$, его цена равна $4$.
После шестого запроса все вершины выделенные и можно не брать ребер, цена графа равна $0$.

F. Продажа зверинца

графы математика поиск в глубину и подобное реализация снм *1800

Вы владелец зверинца, состоящего из $n$ животных пронумерованных от $1$ до $n$. Однако содержать зверинец достаточно затратно, поэтому вы решили его продать!

Известно, что каждое животное боится ровно одного другого животного. А точнее, животное $i$ боится животного $a_i$ ($a_i \neq i$). Также для каждого животного известна его стоимость, для животного $i$ она равняется $c_i$.

Вы будете продавать всех своих животных в каком-то зафиксированном порядке. Формально, вам надо будет выбрать некоторую перестановку$^\dagger$ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, и продать сначала животное $p_1$, потом животное $p_2$, и так далее, последним продав животное $p_n$.

Когда вы продаёте животное $i$, есть два варианта развития событий:

Если животное $a_i$ было продано раньше чем животное $i$, вы получаете $c_i$ денег за продажу животного $i$.
Если животное $a_i$ не было продано раньше чем животное $i$, вы получаете $2 \cdot c_i$ денег за продажу животного $i$. (Удивительно, но животные, которые боятся в текущий момент имеют большую ценность).

Ваша задача — выбрать порядок продажи животных так, чтобы максимизировать суммарную прибыль.

Например, если $a = [3, 4, 4, 1, 3]$, $c = [3, 4, 5, 6, 7]$ и выбранная вами перестановка равна $[4, 2, 5, 1, 3]$, то:

Первым продаётся животное $4$. Животное $a_4 = 1$ не было продано ранее, а значит, вы получаете $2 \cdot c_4 = 12$ денег за продажу.
Вторым продаётся животное $2$. Животное $a_2 = 4$ было продано ранее, а значит, вы получаете $c_2 = 4$ денег за продажу.
Третьим продаётся животное $5$. Животное $a_5 = 3$ не было продано ранее, а значит, вы получаете $2 \cdot c_5 = 14$ денег за продажу.
Четвёртым продаётся животное $1$. Животное $a_1 = 3$ не было продано ранее, а значит, вы получаете $2 \cdot c_1 = 6$ денег за продажу.
Пятым продаётся животное $3$. Животное $a_3 = 4$ было продано ранее, а значит, вы получаете $c_3 = 5$ денег за продажу.

Ваша суммарная прибыль при таком выборе перестановки, равна $12 + 4 + 14 + 6 + 5 = 41$. Обратите внимание, что $41$ — не максимально возможная прибыль в этом примере.

$^\dagger$ Перестановкой длины $n$ называется массив, состоящий из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$ в произвольном порядке. Например, $[2,3,1,5,4]$ является перестановкой, но $[1,2,2]$ не является перестановкой ($2$ встречается дважды в массиве) и $[1,3,4]$ тоже не является перестановкой ($n=3$, но в массиве присутствует $4$).

Входные данные

Первая строка входных данных содержит целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных в тесте.

Далее следуют описания наборов входных данных.

Первая строка описания каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($2 \le n \le 10^5$) — количество животных.

Вторая строка набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$, $a_i \neq i$) — $a_i$ означает номер животного, которого боится животное $i$.

Третья строка набора входных данных содержит $n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($1 \le c_i \le 10^9$) — стоимости животных.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам не превышает $10^5$.

Выходные данные

Выведите $t$ строк, каждая из которых содержит ответ на соответствующий набор входных данных. В качестве ответа выведите $n$ целых чисел — перестановку $p_1, p_2, \ldots, p_n$, обозначающую, в каком порядке нужно продавать животных, чтобы максимизировать прибыль. Если есть несколько возможных ответов, можно вывести любой из них.

H. Безумный город

графы Деревья игры кратчайшие пути поиск в глубину и подобное снм *1700

Марсель и Валериу находятся в безумном городе, который представляет собой $n$ зданий с $n$ двусторонними дорогами между ними.

Марсель и Валериу начинают в зданиях $a$ и $b$ соответственно. Марсель хочет поймать Валериу, то есть оказаться в том же здании, что и он, или встретиться на одной дороге.

Во время каждого хода они выбирают, пойти в соседнее здание от текущего или остаться в том же здании. Поскольку Валериу хорошо знает Марселя, Валериу может предсказать, куда Марсель пойдет в следующем ходу. Валериу может использовать эту информацию, чтобы сделать свой ход. Они начинают и заканчивают ход одновременно.

Гарантируется, что любая пара зданий соединена некоторым путем, и между любой парой зданий есть не более одной дороги.

Предполагая, что оба игрока играют оптимально, ответьте, есть ли у Валериу стратегия, чтобы бесконечно уходить от Марселя.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит три целых числа, разделенных пробелом: $n$, $a$, $b$ ($3 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$; $1 \leq a, b \leq n$) — количество зданий (которое равно количеству дорог) и начальные здания Марселя и Валериу.

Следующие $n$ строк содержат по два целых числа $u_i$, $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \neq v_i$) — между зданиями $u_i$ и $v_i$ есть дорога. Между любой неупорядоченной парой зданий может быть не более одной дороги.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Дороги заданы таким образом, что можно добраться из любого здания в любое другое, двигаясь по дорогам.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES», если Валериу может бесконечно уходить от Марселя, и «NO» в противном случае.

Примечание

В первом примере граф выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$ Марсель начинает в здании $2$, а Валериу начинает в здании $1$. Валериу знает, каким путем Марсель будет двигаться вокруг треугольника, и он может просто всегда двигаться так же, чтобы всегда избегать Марселя.

Во втором примере граф выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$ Марсель начинает в здании $1$, а Валериу начинает в здании $4$. Марсель может пойти в здание $4$ на своем первом ходу и победить, так как Валериу должен либо пойти в здание $1$ (тогда они встретятся на дороге от $1$ до $4$), либо остаться в здании $4$ (тогда они встретятся в здании $4$). Таким образом, у Валериу нет стратегии для победы.

B. Медуза и математика

битмаски графы дп кратчайшие пути Перебор поиск в глубину и подобное *2400

Медузе даны целые неотрицательные числа $a$, $b$, $c$, $d$ и $m$. Первоначально $(x,y)=(a,b)$. Медуза хочет выполнить несколько операций так, чтобы получилось $(x,y)=(c,d)$.

Одна операция заключается в выполенении одного из следующих действий:

$x := x\,\&\,y$,
$x := x\,|\,y$,
$y := x \oplus y$,
$y := y \oplus m$.

Здесь $\&$ обозначает побитовую операцию И, $|$ обозначает побитовую операцию ИЛИ, $\oplus$ обозначает побитовое исключающее ИЛИ.

Медуза хочет узнать минимальное количество операций, после которого можно получить $(x,y)=(c,d)$.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. В первой строке указывается количество наборов входных данных $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$). Далее следует описание наборов входных данных.

Единственная строка каждого набора входных данных содержит пять целых чисел $a$, $b$, $c$, $d$ и $m$ ($0 \leq a, b, c, d, m < 2^{30}$).

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — минимальное количество операций. Если требуемые значения не достижимы, то вместо этого выведите $-1$.

Примечание

В первом наборе входных данных мы можем выполнить операцию $y = x \oplus y$.

Во втором наборе входных данных получить $(x,y)=(1,2)$ с помощью какой-либо последовательности операций невозможно.

В третьем наборе входных данных можно выполнить операцию $x = x\,\&\,y$, а после $y = y \oplus m$.

C. Медуза и EVA

графы дп жадные алгоритмы математика Теория вероятностей *2300

Монстры снова вторглись в город! Асука приглашает свою хорошую подругу, Медузу, сесть за руль EVA вместе с ней.

В стране есть $n$ городов. Все монстры находятся в городе $n$. Медуза и Асука сейчас находятся в городе $1$ и должны переместиться в город $n$, чтобы победить монстров.

Существует $m$ дорог. По $i$-й дороге можно попасть из города $a_i$ в город $b_i$. Все дороги являются направленными. То есть из города $b_i$ в город $a_i$ по $i$-й дороге попасть нельзя. Интересно, что все дороги удовлетворяют условию $a_i<b_i$.

Вождение EVA требует совместной работы двух человек. Однако Асука и Медуза ранее не проводили совместных тренировок.

Предположим, что в данный момент EVA находится в городе $u$. Медуза и Асука выберут неразрушенную дорогу, которая начинается в городе $u$. Предположим, что Медуза и Асука выбирают дороги, которые заканчиваются в городах $v_1$ и $v_2$ соответственно. Если $v_1 = v_2$, то EVA успешно перемещается в город $v_1$. В противном случае EVA остается в городе $u$, а обе выбранные ими дороги будут уничтожены.

Возможна ситуация, когда EVA находится в городе $u$ ($u \neq n$) и нет неразрушенных дорог, начинающихся в городе $u$. В этом случае миссия будет провалена. А если в итоге они достигнут города $n$, то миссия будет считаться успешной.

Каждый раз, когда они выбирают дороги, Медуза знает, что Асука выберет дорогу случайным образом. Теперь Медуза хочет знать, если она выбирает дороги оптимально, то какова максимальная вероятность того, что миссия будет успешной.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. В первой строке содержится количество наборов входных данных $t$ ($1 \leq t \leq 2000$). Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа, $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 5000$, $0 \leq m \leq \min(\frac{n(n-1)}{2}, 2 \cdot 10^5)$) — количество городов и количество дорог.

В следующих $m$ строках каждого набора входных данных содержатся по два целых числа $a$ и $b$ ($1 \leq a < b \leq n$) — дорога из города $a$ в город $b$.

Гарантируется, что для каждого набора входных данных каждая дорога встречается не более одного раза.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $5000$, а сумма $m$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Выведите максимальную вероятность того, что миссия будет успешной, если Медуза выбирает дороги оптимально.

Ваш ответ будет принят, если абсолютная или относительная погрешность не превышает $10^{-9}$. Формально пусть ваш ответ равен $a$, а ответ жюри — $b$. Ваш ответ считается правильным, если $\frac{|a-b|}{\max(1,|b|)} \leq 10^{-9}$.

Примечание

В первом наборе входных данных Медуза выберет $v_1=3$, а Асука выберет $v_2=2$ с вероятностью $0.5$ и $v_2=3$ с вероятностью $0.5$. Миссия будет успешной с вероятностью $0.5$.

C. Автосинтез

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное сортировки *2100

Ханека написала массив $a$ из $n$ целых положительных чисел. Изначально ни один элемент не обведён. За одну операцию Ханека может обвести один элемент. Один и тот же элемент можно обвести несколько раз.

После выполнения всех операций Ханека составляет последовательность $r$, состоящую из всех не обведенных элементов $a$ в порядке возрастания их индексов.

Также Ханека составляет другую последовательность $p$, длина которой равна количеству выполненных операций, а $p_i$ — индекс элемента, обведенного в кружок при выполнении $i$-й операции.

Ханека хочет выполнить несколько операций так, чтобы последовательность $r$ была равна последовательности $p$. Помогите ей добиться этого или сообщите, если это невозможно! Обратите внимание, что если решений несколько, то можно вывести любое из них.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 2\cdot10^5$) — размер массива $a$.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$ ($1\leq a_i\leq n$).

Выходные данные

Выведите одно число $-1$, если это невозможно.

В противном случае вывод состоит из двух строк. Первая строка содержит целое число $z$, равное количеству выполненных операций. Вторая строка содержит $z$ целых чисел, причем $i$-е целое число представляет собой индекс элемента, обведенного кружком в $i$-й операции. Если решений несколько, то можно вывести любое из них.

Примечание

В первом примере выполнение операций, аналогичных приведенным в примере, дает следующие результаты:

Элемент $a_2$ обводится $1$ раз.
Элемент $a_3$ обводится $2$ раза.
Необведёнными элементами (упорядоченными по индексам) являются $a_1$, $a_4$ и $a_5$. Таким образом, $r=[3,2,3]$.
$p=[3,2,3]$

Следовательно, $r=p$.

Во втором примере это невозможно.

D. Лексихроматография

графы Комбинаторика поиск в глубину и подобное снм *2500

Пак Чанек любит свой факультет — факультет компьютерных наук Университета Индонезии (Fasilkom). Он хочет поиграть с цветами эмблемы факультета - синим и красным.

Имеется массив $a$, состоящий из $n$ элементов, элемент $i$ имеет значение $a_i$. Пак Чанек хочет окрасить каждый элемент массива в синий или красный цвет так, чтобы выполнялись следующие условия:

Если все синие элементы складываются в подпоследовательность$^\dagger$ и все красные элементы тоже, то синяя подпоследовательность строго меньше красной подпоследовательности лексикографически$^\ddagger$.
Массив $a$ не имеет ни одного несбалансированного подмассива. Подмассив называется несбалансированным тогда и только тогда, когда существует такое значение $k$, что количество красных элементов на этом подмассиве со значением $k$ и количество синих элементов со значением $k$ отличается хотя бы на $2$.
Заметим, что можно покрасить все элементы массива в один и тот же цвет.

Сколько различных раскрасок удовлетворяют всем этим условиям? Поскольку ответ может быть очень большим, выведите ответ по модулю $998\,244\,353$. Две раскраски различны тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент, который в одной раскраске является синим, а в другой - красным.

$^\dagger$ Подпоследовательность массива - это последовательность, которая может быть получена из массива путем удаления некоторых элементов (возможно, ни одного), без изменения порядка оставшихся элементов.

$^\ddagger$ Пусть $p$ и $q$ - две различные последовательности. Считается, что последовательность $p$ лексикографически меньше последовательности $q$ тогда и только тогда, когда $p$ является префиксом $q$ или существует индекс $i$ такой, что $p_j=q_j$ для всех $1\leq j<i$, и $p_i<q_i$. В частности, пустая последовательность всегда лексикографически меньше любой непустой последовательности.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 2\cdot10^5$) — размер массива $a$.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$ ($1\leq a_i\leq2\cdot10^5$).

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество различных раскрасок, удовлетворяющих всем условиям задачи, по модулю $998\,244\,353$.

Примечание

В первом примере $3$ способа раскраски всех элементов с индекса $1$ по индекс $8$:

Синий, красный, красный, синий, синий, красный, красный, синий.
Синий, красный, красный, красный, синий, синий, красный, синий.
Красный, красный, синий, голубой, синий, красный, красный, синий.

Например, если мы раскрасим элементы с индекса $1$ по индекс $8$ в красный, красный, синий, красный, красный, красный, синий, синий, синий, то это не будет корректной раскраской, так как для подмассива $a[2..6]$ существует $0$ синих элементов со значением $3$ и $2$ красных элемента со значением $3$, что делает подмассив $a[2..6]$ несбалансированным подмассивом.

F. Неопределенная рыба-клоун

Бинарный поиск графы *3500

Пак Чанек только что купил пустой аквариум и мечтал заполнить его своими любимыми рыбками — рыбой-клоуном. Рыбы-клоуны нравятся Пак Чанеку тем, что они способны менять свой пол по желанию. Поскольку его аквариум очень большой, Пак Чанек хочет купить ровно $k$ рыб-клоунов, чтобы заполнить его.

Пак Чанек отправляется в местный рыбный магазин. Магазин предоставляет $n$ рыб-клоунов, пронумерованных от $1$ до $n$, причем рыба-клоун $i$ имеет размер $a_i$. Изначально каждая рыба-клоун в магазине не имеет определенного пола, но имеет возможность быть отнесенной к двум возможным полам - женскому или мужскому.

В магазине существует процедура, которой должен следовать Пак Чанек, чтобы купить рыбу-клоуна. Владелица магазина будет последовательно показывать на каждую рыбу-клоуна от $1$ до $n$ и про каждую рыбу-клоуна спрашивать у Пака Чанека, покупать ее или нет. При этом Пак Чанек должен ответить, прежде чем хозяйка магазина перейдет к следующей рыбе-клоуну. Если Пак Чанек решает купить рыбу-клоуна, о которой его спрашивают, то он также должен немедленно объявить пол, который будет присвоен этой рыбе-клоуну. При назначении пола для спрашиваемой в данный момент рыбы-клоуна должны выполняться следующие условия:

Если Пак Чанек назначает ее самкой, а до этого он уже покупал рыбу-клоуна женского пола, то размер текущей рыбы должен быть ровно на $1$ больше, чем размер последней самки.
Если Пак Чанек считает, что это самец, и он уже покупал самца рыбы-клоуна, то размер этой рыбы должен быть ровно на $1$ меньше, чем размер последнего самца.

Пак Чанек хочет купить ровно $k$ рыб-клоунов, таких, что:

Имеется по крайней мере одна рыба-клоун женского пола и один рыба-клоун мужского пола.
Среди $k$ рыб-клоунов, которых покупает Пак Чанек, средний размер самки рыбы-клоуна равен среднему размеру самца рыбы-клоуна.

Пусть $l$ и $r$ - соответственно минимальный и максимальный индекс рыбы-клоуна, которую покупает Пак Чанек. Каково минимально возможное значение $r-l$?

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $k$ ($2 \leq k \leq n \leq 2\cdot10^5$) — количество рыб-клоунов в магазине и количество рыб-клоунов, которых должен купить Пак Чанек.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$ ($1\leq a_i\leq n$) — размер каждой рыбки-клоуна.

Выходные данные

Выведите минимально возможное значение $r-l$. Если невозможно купить ровно $k$ рыб-клоунов и удовлетворить условиям задачи, выведите $-1$.

Примечание

В первом примере Пак Чанек может сделать следующее:

Не покупать рыбу-клоуна $1$.
Купить рыбу-клоуна $2$ и присвоить ей статус самца.
Купить рыбу-клоуна $3$ и присвоить ей статус самки.
Купить рыбу-клоуна за $4$ и присвоить ей статус самца.
Купить рыбу-клоуна за $5$ и присвоить ей статус самца.
Не покупать рыбу-клоуна $6$.
Купить рыбу-клоуна $7$ и присвоить ей статус самца.
Купить рыбу-клоуна $8$ и присвоить ей статус самки.
Не покупать рыбу-клоуна $9$.

Тогда получаем, что:

Средний размер среди $2$ самок рыб-клоунов, которых покупает Пак Чанек, составляет $\frac{2+3}{2} = 2.5$.
Средний размер среди $4$ самцов рыбы-клоуна, которых покупает Пак Чанек, составляет $\frac{4+3+2+1}{4} = 2.5$.
$l=2$, $r=8$, $r-l=6$.

Стратегий с ответом лучше не существует.

E. Интерактивная игра с раскраской

графы Деревья интерактив Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное реализация *2400

Дано дерево с $n$ вершинами; вершина $1$ является корнем дерева. Для каждого $i \in [2, n]$ вам дан родитель $i$-й вершины $p_i$; для каждой вершины соблюдается $p_i < i$.

Вам предстоит раскрасить все ребра дерева, используя минимально возможное количество цветов, таким образом, чтобы выиграть в игру на этом дереве (каждое ребро должно быть окрашено в ровно один цвет).

Игра, в которую мы собираемся играть, будет проходить следующим образом. После того как вы раскрасите ребра и выведите их цвета, жюри поместит фишку в одну из вершин дерева (кроме корня). Ваша цель — переместить эту фишку в корень ровно за $d$ ходов, где $d$ — расстояние от вершины до корня (расстояние равно количеству ребер на пути). Если фишка достигает корня за $d$ ходов, вы выигрываете. В противном случае вы проигрываете.

Жюри не сообщит вам, где находится фишка. Вы даже не будете знать значение $d$ заранее. Однако в начале каждого хода вам будет сообщено, сколько ребер каждого цвета инцидентно текущей вершине (это включает как ребро, ведущее вверх по дереву, так и ребра, ведущие вниз). Вы должны выбрать один из этих цветов, и фишка будет перемещена вдоль ребра выбранного цвета (если есть несколько ребер с этим цветом, жюри выбирает одно из них). После перемещения фишки вам снова будет сообщена та же информация о текущей вершине, и игра продолжается, пока вы не достигнете корня или не сделаете $d$ ходов, не достигнув корня.

Интерактор для этой задачи является адаптивным. Это означает, что начальная вершина и текущая вершина не фиксированы и могут изменяться «на ходу» в зависимости от вывода вашей программы. Однако состояние игры всегда будет согласовано с информацией, которую вы получаете: всегда будет как минимум одна начальная вершина и как минимум один путь вашей фишки из этой вершины, согласующийся как с информацией о цветах, которую вы получаете, так и с цветами, которые вы выбирали во время ходов.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($3 \le n \le 100$) — количество вершин в дереве.

Вторая строка содержит $n-1$ целых чисел $p_2, p_3, \dots, p_n$ ($1 \le p_i < i$), где $p_i$ — родитель $i$-й вершины в дереве.

Протокол взаимодействия

Сначала вы должны вывести выбранную вами раскраску ребер следующим образом:

в первой строке выведите одно целое число $k$ ($1 \le k \le n - 1$) — количество используемых вами цветов;
во второй строке выведите $n-1$ целых чисел $c_2, c_3, \dots, c_n$ ($1 \le c_i \le k$), где $c_i$ — цвет ребра, соединяющего вершины $p_i$ и $i$.

Затем начинается игра. В начале каждого хода программа жюри выводит что-то одно из следующего:

целое число $1$ на отдельной строке, указывающее, что фишка достигла корня, и вы выиграли;
целое число $-1$ на отдельной строке, указывающее, что вы не достигли корня за $d$ ходов и проиграли, или вы сделали что-то неправильно (либо раскраска, которую вы предоставили, не соответствует ограничениям, либо ваш предыдущий ход невозможен);
или целое число $0$ на отдельной строке, за которым следует строка, содержащая $k$ целых чисел $e_1, e_2, \dots, e_k$, где $e_i$ — количество ребер с цветом $i$, инцидентных текущей вершине.

Если вы получаете $1$ или $-1$, ваша программа должна немедленно завершиться, в противном случае вердикт для вашей посылки может быть неопределенным. Если вы получаете $0$, за которым следуют $k$ целых чисел $e_1, e_2, \dots, e_k$, вы должны вывести одно целое число, указывающее цвет, который вы выбираете во время хода (конечно, $e_i$ для этого цвета не должно быть равно $0$).

Не забывайте сбрасывать буфер вывода каждый раз, когда что-то выводите!

Примечание

В первом примере каждая вершина от $2$ до $n$ соединена с корнем. Поэтому мы можем покрасить все ребра в один цвет $1$, и когда игра начнется, будет только одно ребро, инцидентное текущей вершине (и оно будет вести к корню).

Во втором примере дерево представляет собой путь из $4$ вершин. Мы должны покрасить его ребра в разные цвета, потому что можно показать, что у нас нет выигрышной стратегии с двумя цветами.

F. Минимальное максимальное расстояние

графы Деревья дп кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1700

У вас есть дерево из $n$ вершин, некоторые вершины которого помечены. Дерево — это связный неориентированный граф без циклов.

Обозначим за $f_i$ максимальное расстояние от вершины с номером $i$ до какой-то из помеченных вершин.

Ваша задача — найти минимальное значение $f_i$ среди всех вершин.

$\text{[math]}$

Например, в дереве из примера раскрашены вершины с номерами $2$, $6$ и $7$. Тогда массив $f(i) = [2, 3, 2, 4, 4, 3, 3]$. $f_i$ минимальна для вершин с номерами $1$ и $3$.

Входные данные

В первой строке записано число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных записаны два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le k \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве и количество помеченных вершин соответственно.

Во второй строке каждого набора входных данных записаны $k$ целых чисел $a_i$ ($1 \le a_i \le n, a_{i-1} < a_i$) — номера помеченных вершин.

Следующие $n - 1$ строк содержат по два челых числа $u_i$ и $v_i$ — номера вершин, соединяемых $i$-м ребром.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — минимальное значение $f_i$ по всем вершинам.

B. Путешествия во времени

Бинарный поиск графы кратчайшие пути *1900

Берляндия — страна с древней историей, столетиями в ней строились и разрушались дороги. Известно, что в Берляндии всегда было $n$ городов. Также у вас сохранились записи про $t$ ключевых моментов в истории страны, пронумерованных от $1$ до $t$. Каждая запись содержит список двунаправленных дорог между некоторым парами городов, по которым можно было перемещаться в Берляндии в конкретный момент времени.

Вы обнаружили машину времени, которая перемещает вас между ключевыми моментами. К сожалению, вы не можете выбирать, в какой момент времени переместиться, но знаете порядок, состоящий из $k$ моментов времени $a_{i}$, в котором машина будет вас перемещать. Так как времени между перемещениями мало, то оказавшись в очередном ключевом моменте времени (в том числе после последнего перемещения во времени), вы можете проехать не более чем по одной существующей в данный момент времени дороге, выходящей из города, в котором вы оказались перед перемещением во времени.

Сейчас вы находитесь в городе $1$, и машина времени уже перенесла вас в момент времени $a_{1}$. Вы хотите как можно быстрее добраться до города $n$. Определите минимальное количество перемещений во времени, включая первое, которые нужно совершить, чтобы оказаться в городе $n$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $t$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5, 1 \le t \le 2 \cdot 10^5$) — количество городов в Берляндии и количество записей про ключевые моменты истории. Далее следует описание каждой из $t$ записей.

Первая строка описания каждой записи содержит одно целое число $m_{i}$ ($0 \le m_{i} \le \min \left(\frac{n(n-1)}{2}, 2 \cdot 10^5\right)$) — количество дорог в $i$-й записи.

Каждая из следующих $m_i$ строк содержит два целых числа $v_{j}$ и $u_{j}$ ($1 \le v_{j}, u_{j} \le n$, $v_{j} \neq u_{j}$) — номера городов, которые соединяет $j$-я дорога в $i$-й ключевой момент истории.

Следующая строка содержит одно целое число $k$ ($1 \le k \le 2 \cdot 10^5$) — количество моментов времени, между которыми будут происходить перемещения.

Следующая строка содержит $k$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_k$ ($1 \le a_{i} \le t$) — моменты времени, в которых вы будете оказываться после каждого перемещения.

Гарантируется, что сумма $m_{i}$ не превосходит $2 \cdot 10^5$. Гарантируется, что каждая неупорядоченная пара $(u, v)$ встречается в описании дорог для одной записи не более одного раза.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимально количество перемещений во времени, чтобы добраться из города $1$ в город $n$, или $-1$, если это невозможно.

Обратите внимание, что перемещение в момент времени $a_{1}$ тоже считается перемещением.

Примечание

В первом примере вы находитесь в городе $1$ и перемещаетесь в момент $a_{1} = 2$. Так как подходящих для проезда дорог нет, то вы ничего не делаете и перемещаетесь в момент $a_{2} = 1$, после чего проезжаете по дороге $(1, 2)$. Переместившись в момент $a_{3} = 2$, вы проезжаете по дороге $(2, 3)$. Переместившись в момент $a_{4} = 1$, вы останетесь в городе $3$ и сделаете следующее перемещение во времени. В момент времени $a_{5} = 2$ вы проедете по дороге $(3, 5)$ и окажетесь в конечном городе за $5$ перемещений во времени.

Во втором примере можно показать, что при данных перемещениях во времени добраться до города $5$ невозможно.

E. Хорошие раскраски

Бинарный поиск графы интерактив Конструктив *3100

Алиса предложила Бобу сыграть в игру. Бобу эта идея не понравилась, но отказать Алисе он не смог, а потому попросил вас написать программу, которая будет играть вместо него.

Игра начинается с того, что Алиса достает клетчатый лист размера $n \times n$, клетки которого изначально не закрашены. После этого она закрашивает какие-то $2n$ различных клеток в цвета $1,2,\ldots, 2n$, соответственно, и сообщает об этих клетках Бобу.

За один ход Боб может указать на какую-то ещё не закрашенную клетку и попросить Алису закрасить эту клетку. Алиса закрашивает эту клетку в один из $2n$ цветов по своему выбору, сообщая при этом Бобу выбранный цвет. Боб может сделать не более $10$ ходов, после чего ему требуется найти хорошую четвёрку клеток.

Четвёрка клеток называется хорошей, если выполняются следующие условия:

Все клетки из четвёрки закрашены;
Никакие две клетки из четвёрки не раскрашены в один и тот же цвет;
Центры клеток образуют прямоугольник, стороны которого параллельны линиям сетки.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 200$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($3 \le n \le 1000$) — размер поля.

$i$-я из следующих $2n$ строк содержит два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$) — координаты клетки, покрашенной в $i$-й цвет.

Гарантируется, что все координаты $(x_i, y_i)$ попарно различны для одного набора входных данных.

После считывания входных данных для каждого набора продолжите взаимодействие описанным ниже образом.

Протокол взаимодействия

Вы можете совершить не более $10$ ходов. Чтобы сделать ход, выведите «? $x$ $y$» ($1 \leq x,y \leq n$). В ответ на это программа жюри в единственной строке выведет единственное целое число от $1$ до $2n$ — цвет клетки $(x,y)$.

После всех ходов (не обязательно делать все $10$ ходов и не обязательно делать хотя бы один ход) выведите строку в формате «! $x_1$ $x_2$ $y_1$ $y_2$» ($1 \leq x_1, x_2, y_1, y_2 \leq n, x_1 \ne x_2, y_1 \ne y_2$). Если клетки $(x_1, y_1)$, $(x_1, y_2)$, $(x_2, y_1)$, $(x_2, y_2)$ раскрашены в различные цвета, то программа жюри выведет «OK». После этого переходите к следующему набору входных данных или завершите программу, если наборов больше не осталось.

В ином случае, если какие-то из указанных клеток раскрашены в один цвет или одна из клеток ещё не раскрашена, то программа жюри выведет вам «ERROR». В таком случае ваша программа должна немедленно завершить своё исполнение, чтобы получить вердикт Неправильный ответ. В противном случае вы можете получить произвольный вердикт.

После каждого хода или ответа не забудьте вывести перевод строки и сбросить буфер вывода. В противном случае вы получите вердикт Решение «зависло». Для сброса буфера используйте:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Обратите внимание, что интерактор является адаптивным, то есть цвет, в который Алиса будет закрашивать клетки при ходах Боба, не фиксирован заранее.

Взломы

Вы не можете делать взломы в этой задаче.

Примечание

В первом наборе входных данных:

$\text{[math]}$

Во втором наборе входных данных клетки с координатами $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$ изначально раскрашены Алисой в различные цвета.

D. Игра со стеками

графы Деревья Перебор поиск в глубину и подобное реализация *3000

У вас есть $n$ стеков $r_1,r_2,\ldots,r_n$. Каждый стек содержит некоторое количество целых положительных чисел в диапазоне от $1$ до $n$.

Определим следующие функции:

function init(pos):
    stacks := массив, содержащий n стеков r[1], r[2], ..., r[n].
    return get(stacks, pos)

function get(stacks, pos):
    if stacks[pos] пуст:
        return pos
    else:
        new_pos := верхний элемент stacks[pos]
        удалить верхний элемент stacks[pos]
        return get(stacks, new_pos)

Вы хотите узнать значения, возвращаемые $\texttt{init(1)}, \texttt{init(2)}, \ldots, \texttt{init(n)}$.

Заметим, что во время этих вызовов стеки $r_1,r_2,\ldots,r_n$ не изменяются, поэтому вызовы $\texttt{init(1)}, \texttt{init(2)}, \ldots, \texttt{init(n)}$ являются независимыми.

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $n$ ($1\le n\le 10^5$) — длина массива $r$.

Каждая из последующих $n$ строк содержит несколько целых чисел. Первое целое число $k_i$ ($0\le k_i\le 10^5$) представляет собой количество элементов в $i$-м стеке, а следующие $k_i$ положительных целых чисел $c_{i,1},c_{i,2},\ldots,c_{i,k_i}$ ($1\le c_{i,j}\le n$) представляют элементы в $i$-м стеке. $c_{i,1}$ - нижний элемент.

В каждом тесте $\sum k_i\le 10^6$.

Выходные данные

Необходимо вывести $n$ значений, $i$-м из которых является значение, возвращаемое $\texttt{init(i)}$.

Примечание

В первом примере:

При вызове $\texttt{init(1)}$ присваивается $\texttt{stacks := [[1,2,2],[3,1,2],[1,2,1]]}$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 1)}$.
- $\texttt{stacks[1]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 2}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[1]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2],[3,1,2],[1,2,1]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 2}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[2]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2],[3,1],[1,2,1]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 1}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[2]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2],[3],[1,2,1]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 1)}$.
- $\texttt{stacks[1]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 2}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[1]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1],[3],[1,2,1]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 3}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[2]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1],[],[1,2,1]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 3)}$.
- $\texttt{stacks[3]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 1}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[3]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1],[],[1,2]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 1)}$.
- $\texttt{stacks[1]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 1}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[1]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[],[],[1,2]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 1)}$.
- $\texttt{stacks[1]}$ пуст, возвращается $1$.
При вызове $\texttt{init(2)}$ присваивается $\texttt{stacks := [[1,2,2],[3,1,2],[1,2,1]]}$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 2}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[2]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2,2],[3,1],[1,2,1]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 1}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[2]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2,2],[3],[1,2,1]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 1)}$.
- $\texttt{stacks[1]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 2}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[1]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2],[3],[1,2,1]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 3}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[2]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2],[],[1,2,1]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 3)}$.
- $\texttt{stacks[3]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 1}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[3]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2],[],[1,2]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 1)}$.
- $\texttt{stacks[1]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 2}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[1]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1],[],[1,2]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ пуст, возвращается $2$.
При вызове $\texttt{init(3)}$ присваивается $\texttt{stacks := [[1,2,2],[3,1,2],[1,2,1]]}$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 3)}$.
- $\texttt{stacks[3]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 1}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[3]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2,2],[3,1,2],[1,2]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 1)}$.
- $\texttt{stacks[1]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 2}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[1]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2],[3,1,2],[1,2]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 2}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[2]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2],[3,1],[1,2]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 1}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[2]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1,2],[3],[1,2]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 1)}$.
- $\texttt{stacks[1]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 2}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[1]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1],[3],[1,2]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 3}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[2]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1],[],[1,2]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 3)}$.
- $\texttt{stacks[3]}$ не пуст, присваивается $\texttt{new_pos := 2}$ и удаляется верхний элемент $\texttt{stacks[3]}$, в результате чего $\texttt{stacks}$ станет $[[1],[],[1]]$, а затем вызывается $\texttt{get(stacks, 2)}$.
- $\texttt{stacks[2]}$ пуст, возвращается $2$.

E. Обменные деревья Дореми

графы Деревья поиск в глубину и подобное *3500

Рассмотрим два неориентированных графа $G_1$ и $G_2$. Каждая вершина в $G_1$ и в $G_2$ имеет номер. Дореми называет $G_1$ и $G_2$ подобными тогда и только тогда, когда:

Все номера в $G_1$ различны, и все номера в $G_2$ различны.
Множество $S$ номеров в $G_1$ совпадает с множеством номеров в $G_2$.
Для каждой пары двух различных номеров $u$ и $v$ в $S$ соответствующие вершины находятся в одной и той же компоненте связности в $G_1$ тогда и только тогда, когда они находятся в одной и той же компоненте связности в $G_2$.

Теперь Дореми дает вам два дерева $T_1$ и $T_2$ с $n$ вершинами, пронумерованными от $1$ до $n$. Вы можете выполнить следующую операцию любое количество раз:

Выбрать множество ребер $E_1$ из $T_1$ и множество ребер $E_2$ из $T_2$, такие, что $\overline{E_1}$ и $\overline{E_2}$ подобны. Здесь $\overline{E}$ представляет собой граф, который задается набором рёбер $E$ из дерева $T$ и концами этих рёбер (т.е. подграф, индуцированный ребрами). Иными словами, $\overline{E}$ получается из $T$ удалением всех рёбер, не входящих в $E$, а также последующего удаления всех изолированных вершин.
Поменяйте местами множество ребер $E_1$ в $T_1$ с множеством ребер $E_2$ в $T_2$.

Теперь Дореми интересно, сколько различных $T_1$ можно получить после любого количества операций. Можете ли вы помочь ей найти ответ? Выведите ответ по модулю $10^9+7$.

Входные данные

Входные данные состоят из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1\le t\le 2\cdot 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка содержит целое число $n$ ($2\le n\le 10^5$) — количество вершин в деревьях $T_1$ и $T_2$.

Каждая из следующих $n-1$ строк содержит два целых числа $u,v$ ($1\le u,v\le n$), представляющих собой неориентированное ребро в $T_1$. Гарантируется, что эти ребра образуют дерево.

Каждая из следующих $n-1$ строк содержит два целых числа $u,v$ ($1\le u,v\le n$), представляющих собой ненаправленное ребро в $T_2$. Гарантируется, что эти ребра образуют дерево.

Гарантируется, что сумма $n$ не превышает $2\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку с целым числом, представляющим собой количество отличий $T_1$ после любого количества операций по модулю $10^9+7$.

Примечание

В первом наборе входных данных существует не более одного множества $T_1$, имеющего единственное ребро $(1,2)$.

Во втором наборе входных данных можно выбрать множество ребер $\{(1,3),(2,3)\}$ в $T_1$, множество ребер $\{(1,2),(2,3)\}$ в $T_2$ и поменять их местами. Таким образом, $T_1$ может быть $1-3-2$ или $1-2-3$.

В третьем наборе входных данных существует $4$ различных $T_1$, как показано на следующих рисунках.

$\text{[math]}$

A. Анонимный информатор

графы Перебор поиск в глубину и подобное реализация *1400

Вам дан массив $b_1, b_2, \ldots, b_n$.

Некий анонимный информатор сообщил вам, что массив $b$ был получен следующим образом: изначально существовал некоторый массив $a_1, a_2, \ldots, a_n$, после чего $k$ раз была произведена следующая двухкомпонентная операция:

Была выбрана некоторая фиксированная точка$^{\dagger}$ массива $a$, пусть $x$.
После чего ровно $x$ раз массив $a$ был заменён на свой циклический сдвиг влево$^{\ddagger}$.

И в результате $k$ таких операций был получен массив $b_1, b_2, \ldots, b_n$. Вы хотите проверить, могут ли слова анонимного информатора быть правдивы, или же он гарантированно лжёт.

$^{\dagger}$Число $x$ называется фиксированной точкой массива $a_1, a_2, \ldots, a_n$, если $1 \leq x \leq n$ и $a_x = x$.

$^{\ddagger}$Циклический сдвиг влево от массива $a_1, a_2, \ldots, a_n$ это массив $a_2, \ldots, a_n, a_1$.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целые числа $n, k$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le k \le 10^9$) — длину массива $b$ и количество проведённых операций.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($1 \le b_i \le 10^9$) — элементы массива $b$.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «Yes», если слова анонимного информатора могут быть правдой, и «No», если он гарантированно лжёт.

Примечание

В первом наборе входных данных массив $a$ мог быть равен $[3, 2, 3, 4, 3]$. В первой операции была выбрана фиксированная точка $x = 2$, и после $2$ сдвигов влево массив принял вид $[3, 4, 3, 3, 2]$. Во второй операции была выбрана фиксированная точка $x = 3$, и после $3$ сдвигов влево массив принял вид $[3, 2, 3, 4, 3]$. В третьей же операции была выбрана фиксированная точка $x = 3$, и после $3$ сдвигов влево массив принял вид $[4, 3, 3, 2, 3]$, чему и равняется массив $b$.

Во втором наборе входных данных массив $a$ мог быть равен $[7, 2, 1]$. После операции с фиксированной точкой $x = 2$ массив принял вид $[1, 7, 2]$. Далее после операции с фиксированной точкой $x = 1$ массив снова принял изначальный вид $[7, 2, 1]$. Далее эти же $2$ операции (с $x = 2$ и $x = 1$) были повторены $49$ раз. И итого после $100$ операций массив снова принял вид $[7, 2, 1]$.

В третьем наборе входных данных нетрудно показать, что ответа нет.

E. Симфония кактусов

графы дп Комбинаторика поиск в глубину и подобное *3500

Вам дан связный неориентированный граф, в котором любые два различных простых цикла не имеют общих вершин. Так как граф может быть очень большим, он дан вам в сжатом виде: для каждого ребра вам также дано некое число $d$, обозначающее, что на этом ребре дополнительно находится $d$ вершин.

Требуется назначить каждой вершине и каждому ребру графа вес — целое число от $1$ до $3$.

Ребро графа назовём хорошим, если побитовый XOR весов смежных ему вершин не равен $0$ и не равен весу этого ребра.

Аналогично вершину графа назовём хорошей, если побитовый XOR весов смежных ей рёбер не равен $0$ и не равен весу этой вершины.

Вам нужно определить, сколько существует способов назначить веса вершинам и рёбрам графа, чтобы все вершины и все рёбра были хорошими. Так как ответ может быть достаточно большим, нужно вычислить остаток от деления ответа на $998\,244\,353$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ — количество вершин и количество рёбер в графе ($2 \le n \le 5 \cdot 10^5$, $n - 1 \le m \le 10^6$).

Каждая из следующих $m$ строк содержит три целых числа $a_i, b_i$ и $d_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$, $a_i \ne b_i$, $0 \le d_i \le 10^9$), означающих, что в графе существует ребро, соединяющее вершины $a_i$ и $b_i$. Также, на этом ребре, дополнительно находятся $d_i$ вершин. Гарантируется, что заданный граф является связным, в нем нет кратных рёбер, петель, а также любые два различных простых цикла графа не имеют общих вершин.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — ответ на задачу по модулю $998\,244\,353$.

Примечание

В первом тесте граф имеет вид простого цикла из $3$ вершин. Можно показать, что есть ровно $12$ способов назначить веса вершинам и рёбрам, чтобы все они были хорошими.

Во втором тесте граф имеет вид двух простых циклов из $3$ вершин, соединённых ребром. Можно показать, что для такого графа нет ни одного способа расставить веса, чтобы все вершины и рёбра были хорошими.

E. Бесконечная карточная игра

Бинарный поиск графы дп жадные алгоритмы игры Перебор поиск в глубину и подобное снм сортировки Структуры данных *2300

Монокарп и Бикарп играют в карточную игру. Каждая карта имеет два параметра: значение атаки и значение защиты. Карта $s$ бьет карту $t$, если значение атаки карты $s$ строго больше значения защиты карты $t$.

У Монокарпа есть $n$ карт, $i$-я из которых имеет значение атаки $\mathit{ax}_i$ и значение защиты $\mathit{ay}_i$. У Бикарпа есть $m$ карт, $j$-я из которых имеет значение атаки $\mathit{bx}_j$ и значение защиты $\mathit{by}_j$.

На первом ходе Монокарп выбирает одну из своих карт и кладет ее на стол. Бикарп должен побить эту карту своей картой. Затем Монокарп должен побить карту Бикарпа. Затем ход переходит к Бикарпу, и так далее.

После того, как карта побита, она возвращается в руку игрока, который ее сыграл. Это подразумевает, что у игрока, который сейчас ходит, всегда на руках те же карты, что и в начале игры. Игра заканчивается, когда у текущего игрока нет карт, которые побеждают карту, которую только что сыграл его оппонент, и текущий игрок проигрывает.

Если игра длится $100^{500}$ ходов, объявляется ничья.

И Монокарп, и Бикарп играют оптимально. То есть, если у игрока есть выигрышная стратегия независимо от ходов его оппонента, он играет на победу. В противном случае, если у него есть стратегия для ничьи, он играет на ничью.

Вам нужно вычислить три значения:

количество начальных ходов Монокарпа, которые приводят к победе Монокарпа;
количество начальных ходов Монокарпа, которые приводят к ничьей;
количество начальных ходов Монокарпа, которые приводят к победе Бикарпа.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит целое число $n$ ($1 \le n \le 3 \cdot 10^5$) — количество карт у Монокарпа.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $\mathit{ax}_1, \mathit{ax}_2, \dots, \mathit{ax}_n$ ($1 \le \mathit{ax}_i \le 10^6$) — значения атаки карт Монокарпа.

Третья строка содержит $n$ целых чисел $\mathit{ay}_1, \mathit{ay}_2, \dots, \mathit{ay}_n$ ($1 \le \mathit{ay}_i \le 10^6$) — значения защиты карт Монокарпа.

Четвертая строка содержит одно целое число $m$ ($1 \le m \le 3 \cdot 10^5$) — количество карт у Бикарпа.

Пятая строка содержит $m$ целых чисел $\mathit{bx}_1, \mathit{bx}_2, \dots, \mathit{bx}_m$ ($1 \le \mathit{bx}_j \le 10^6$) — значения атаки карт Бикарпа.

Шестая строка содержит $m$ целых чисел $\mathit{by}_1, \mathit{by}_2, \dots, \mathit{by}_m$ ($1 \le \mathit{by}_j \le 10^6$) — значения защиты карт Бикарпа.

Дополнительные ограничения на входные данные: сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$, сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите три целых числа:

количество начальных ходов Монокарпа, которые приводят к победе Монокарпа;
количество начальных ходов Монокарпа, которые приводят к ничьей;
количество начальных ходов Монокарпа, которые приводят к победе Бикарпа.

F. Лёшины капризы

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив кратчайшие пути *1600

Дерево — связный граф без циклов. Можно показать, что любое дерево из $n$ вершин имеет ровно $n - 1$ ребро.

Лист — вершина в дереве, из которой выходит ровно одно ребро.

Расстояние между двумя вершинами $u$ и $v$ в дереве — минимальное количество рёбер, которое нужно пройти, чтобы из вершины $u$ прийти в вершину $v$.

У Лёши скоро день рождения, и Тимофею хотелось бы подарить ему дерево из $n$ вершин. Однако Лёша очень капризный мальчик. Каждый день на протяжении $q$ дней он будет выбирать целое число, обозначим выбранное в $i$-й день число $d_i$. Если в $i$-й день в дереве не будет двух листов на расстоянии ровно $d_i$, то Лёша будет разочарован.

Тимофей решил подарить Лёше конструктор, чтобы он сам мог менять своё дерево, как ему хочется. Тимофей знает, что Лёша ещё и ленив (ужас, а не человек), поэтому в начале каждого дня он может выполнить не более одной операции следующего вида:

Выбрать вершины $u$, $v_1$ и $v_2$, такие, что между $u$ и $v_1$ есть ребро, а между $u$ и $v_2$ нет ребра. После этого удалить ребро между $u$ и $v_1$ и добавить ребро между $u$ и $v_2$. Эту операцию нельзя выполнить, если после неё граф перестанет быть деревом.

Чудесным образом Тимофею удалось узнать все $d_i$. После этого его посетила ещё одна гениальная мысль — на всякий случай сделать инструкцию к набору, при этом такую, чтобы Лёша не был разочарован.

Тимофей не такой ленивый, как Лёша, но когда он увидел число $n$, у него резко пропало желание разрабатывать инструкцию и придумывать изначальное дерево, поэтому он поручил эту задачу вам. Можно показать, что дерево и последовательность операций, удовлетворяющие описанным условиям, всегда существуют.

$\text{[math]}$

Вот пример операции, где были выбраны вершины: $u$ — $6$, $v_1$ — $1$, $v_2$ — $4$.

Входные данные

В первой строке дано целое число $t$ ($1 \leq t \leq 100$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных даны целые числа $n$ ($3 \leq n \leq 500$) и $q$ ($1 \leq q \leq 500$) — количество вершин в дереве и количество дней соответственно.

В $i$-й из следующих $q$ строк дано целое число $d_i$ ($2 \leq d_i \leq n - 1$).

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $500$. То же самое гарантируется для $q$.

Можно показать, что дерево и последовательность операций, удовлетворяющие описанным условиям, всегда существуют.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных сначала выведите $n - 1$ строку с описанием рёбер дерева. Если вы хотите, чтобы в дереве было ребро между вершинами $u$ и $v$, то среди этих $n - 1$ строк должна быть строка $v$ $u$ или $u$ $v$.

В следующих $q$ строках выведите по три целых числа $u$ $v_1$ $v_2$ — описание операций. Если Лёше не нужно выполнять операцию, выведите $-1$ $-1$ $-1$.

E. Контрнаступление

графы снм сортировки Структуры данных хэши *2100

Берляндия смогла отразить удар флатландцев и теперь переходит в наступление.

Во Флатландии n городов, пронумерованных от 1 до n, и некоторые пары из них соединены двухсторонними дорогами. Флатландцы (то ли это их военная хитрость, а может, они просто экономят чернила) на своих картах соединяют дорогой те и только те города, между которыми на самом деле нет дороги. Другими словами, если на карте флатландцев два города соединены дорогой, значит на самом деле между ними дороги нет. Обратное тоже верно: если на карте флатландцев два города не соединены дорогой, значит на самом деле дорога между ними есть.

В руки берляндцев попала флатландская карта. Теперь ефрейтор Вася по заданию генерала Туристова хочет найти все такие группы флатландских городов, что в каждой группе из каждого города можно попасть в каждый, двигаясь по настоящим дорогам, при этом города из разных групп недостижимы по настоящим дорогам. Действительно, разгромить такие группы по отдельности значительно легче, чем окружать сразу всю Флатландию!

Помогите ефрейтору выполнить это задание и получить-таки звание сержанта! Не забудьте, что на флатландской карте города, соединены дорогой тогда и только тогда, когда на самом деле между ними нет дороги.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа через пробел n и m (1 ≤ n ≤ 5·10⁵, 0 ≤ m ≤ 10⁶) — количество городов и количество дорог, обозначенных на флатландской карте, соответственно.

В следующих m строках записаны описания дорог на карте. В i-ой строке записано два целых числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i) — номера городов, которые соединяет i-я дорога на карте флатландцев.

Гарантируется, что каждая пара городов встречается во входных данных не больше одного раза.

Выходные данные

Выведите в первой строке число k — количество групп городов во Флатландии таких, что в каждой группе из каждого города можно добраться до каждого по дорогам Флатландии, а города разных групп недостижимы по флатландским дорогам.

В каждой из следующих k строк выведите сначала t_i (1 ≤ t_i ≤ n) — количество вершин в i-й группе. Далее через пробел выведите номера городов i-й группы.

Порядок вывода групп и порядок вывода номеров в группах значения не имеет. Сумма t_i по всем k группам должна быть равна n.

Примечание

В первом примере есть только дороги между парами городов 1-4 и 2-3.

Во втором примере между городами 1 и 2 нет дороги, но все равно можно добраться из одного до другого через город номер 3.

E. Транзитивный граф

графы дп поиск в глубину и подобное реализация снм *2100

Дан ориентированный граф $G$ с $n$ вершинами и $m$ ребрами.

Изначально граф $H$ совпадает с графом $G$. Затем вы решили выполнить следующие действия:

Если в графе $H$ существует тройка вершин $a$, $b$, $c$ такая, что есть ребро из $a$ в $b$ и ребро из $b$ в $c$, но нет ребра из $a$ в $c$, то добавить ребро из $a$ в $c$.
Повторять предыдущий шаг до тех пор, пока существуют такие тройки.

Заметим, что после выполнения этих действий количество ребер в $H$ может достигать $n^2$.

Вы также записали некоторые значения на вершинах графа $H$: на вершине $i$ записано значение $a_i$.

Рассмотрим простой путь, состоящий из $k$ различных вершин с номерами $v_1, v_2, \ldots, v_k$. Длина такого пути равняется $k$. Значение этого пути определим как $\sum_{i = 1}^k a_{v_i}$.

Простой путь считается самым длинным, если в графе нет другого простого пути с большей длиной.

Среди всех самых длинных простых путей в $H$ найдите тот, который имеет наименьшее значение.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n,m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин и количество ребер.

Вторая строка каждого набора содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($0 \le a_i \le 10^9$) — числа, записанные на вершинах графа $H$.

В $i$-й из следующих $m$ строк записаны два целых числа $v_i$ и $u_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$) — в графе $G$ есть ребро, идущее от вершины $v_i$ к вершине $u_i$. Заметим, что ребра являются ориентированными. Также заметим, что в графе могут быть петли и кратные рёбра.

Гарантируется, сумма $n$ и сумма $m$ по всем наборам входных данных не превышают $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите два числа — длину самого длинного простого пути в $H$ и минимально возможное значение такого пути.

Примечание

В первом наборе входных данных самый длинный путь в обоих графах равен $1 \to 3 \to 4 \to 5 \to 2$. Поскольку путь включает все вершины, то минимально возможное значение самого длинного пути равно сумме значений по всем вершинам, которое равняется $12$.

Во втором наборе входных данных самый длинный путь равен $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 6 \to 7$. Поскольку самых длинных путей с вершиной $5$ не существует, то такой путь имеет минимально возможное значение $5\,999\,999\,995$.

В третьем наборе входных данных можно доказать, что не существует пути длиннее $11$ и что значение самого длинного пути не может быть меньше $37$. Также заметим, что данный граф содержит петли и кратные ребра.

E. Сжатие дерева

графы Деревья дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное сортировки *2200

Вам дано дерево, состоящее из $n$ вершин. На каждой вершине записано число; число на вершине $i$ равно $a_i$.

Вы можете выполнить следующую операцию любое количество раз (возможно, ноль):

выбрать вершину, имеющую не более $1$ инцидентного ребра, и удалить ее из дерева.

Обратите внимание, что вы можете удалить все вершины.

После выполнения всех операций происходит сжатие дерева. Процесс сжатия выполняется следующим образом. Пока в дереве есть вершина, имеющая ровно $2$ инцидентных ребра, выполняется следующую операцию:

удалить эту вершину, а ее соседей соединить ребром.

Можно показать, что если существует несколько способов выбрать вершину для удаления в процессе сжатия, итоговое дерево остается тем же самым.

Ваша задача — вычислить максимально возможную сумму чисел, записанных на вершинах, после применения вышеописанной операции любое количество раз, а затем сжатия дерева.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 5 \cdot 10^5$) — количество вершин.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($-10^9 \le a_i \le 10^9$).

Каждая из следующих $n - 1$ строк описывает ребра дерева. Ребро $i$ описывается двумя целыми числами $v_i$ и $u_i$, номерами вершин, которые оно соединяет ($1 \le v_i, u_i \le n$, $v_i \ne u_i$). Данные ребра образуют дерево.

Дополнительное ограничение на входные данные: сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $5 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, выведите одно целое число — максимально возможную сумму чисел, записанных на вершинах, после применения вышеописанной операции любое количество раз, а затем сжатия дерева.

F. Снова деревья и XOR-запросы

графы Деревья математика поиск в глубину и подобное разделяй и властвуй реализация Структуры данных *2400

Вам дано дерево, состоящее из $n$ вершин. На каждой вершине написано целое число; на $i$-й вершине написано число $a_i$.

Вам необходимо обработать $q$ запросов. $i$-й запрос состоит из трех целых чисел $x_i$, $y_i$ и $k_i$. Для этого запроса вы должны ответить, возможно ли выбрать набор вершин $v_1, v_2, \dots, v_m$ (возможно, пустой) так, чтобы:

каждая вершина $v_j$ находилась на простом пути между $x_i$ и $y_i$ (в том числе можно использовать концы пути);
$a_{v_1} \oplus a_{v_2} \oplus \dots \oplus a_{v_m} = k_i$, где $\oplus$ обозначает оператор побитового исключающего ИЛИ.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$).

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($0 \le a_i \le 2^{20} - 1$).

Затем следуют $n-1$ строк. Каждая из них содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$; $u \ne v$), обозначающие ребро дерева.

Следующая строка содержит одно целое число $q$ ($1 \le q \le 2 \cdot 10^5$) — количество запросов.

Затем следуют $q$ строк. В $i$-й из них содержатся три целых числа $x_i$, $y_i$ и $k_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$; $0 \le k_i \le 2^{20} - 1$).

Выходные данные

Для каждого запроса выведите YES, если возможно сформировать набор вершин, удовлетворяющий ограничениям. В противном случае выведите NO.

Каждую букву можно выводить в любом регистре.

F. Няня

2-sat Бинарный поиск графы Деревья Структуры данных *2500

Теофанис хочет играть в видеоигры, но при этом он должен заботиться о своей сестре. Поскольку Теофанис учится на программиста, он нашел способ делать и то, и другое. Он установит в своем доме несколько камер, чтобы убедиться, что с его сестрой все в порядке.

Его дом — это неориентированный граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Его сестра любит играть на ребрах графа, поэтому он должен установить камеру хотя бы в одном из концов каждого ребра графа. Теофанис хочет найти вершинное покрытие, которое максимизирует минимальную разницу между номерами выбранных вершин.

Более формально, пусть $a_1, a_2, \ldots, a_k$ — вершинное покрытие графа. Пусть минимальная разница между номерами выбранных вершин — это минимальное $\lvert a_i - a_j \rvert$ (где $i \neq j$) среди вершин, которые вы выбрали. Если $k = 1$, то считаем, что минимальная разница между номерами выбранных вершин равна $n$.

Можете ли вы найти максимально возможную минимальную разницу между номерами выбранных вершин?

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 10^{5}, 1 \le m \le 2 \cdot 10^{5}$) — количество вершин и количество ребер.

В $i$-й из следующих $m$ строк содержатся два целых положительных числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i,v_i \le n$), обозначающие, что между ними в графе существует ребро.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^{5}$.

Гарантируется, что сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^{5}$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите максимум среди минимальных разностей между выбранными вершинами среди всех вершинных покрытий.

Примечание

В первом наборе входных данных мы можем установить камеры в вершинах $1$, $3$ и $7$, поэтому ответ — $2$.

$\text{[math]}$

Во втором наборе входных данных мы можем установить только одну камеру в вершине $1$, поэтому ответ равен $3$.

E. Запросы на дереве

графы Деревья поиск в глубину и подобное реализация Структуры данных *2500

Кто не работает, тот не ест. Получи то, что ты хочешь своими силами. Поверь, искренние и серьёзные люди всегда смеются последними. Но я всё равно не дам тебе подарка.

—Санта, Hayate no Gotoku!

Поскольку Хаяте не получил никаких рождественских подарков от Санты, его вместо этого ожидает решение задачи на запросы на дереве.

У Хаяте есть дерево с $n$ вершинами.

Теперь Хаяте хочет, чтобы вы ответили на $q$ запросов. Каждый запрос состоит из вершины $x$ и $k$ других дополнительных вершин $a_1,a_2,\ldots,a_k$. Эти $k+1$ вершина гарантированно различны.

Для каждого запроса необходимо найти длину самого длинного простого пути, начинающегося в вершине $x^\dagger$ после удаления вершин $a_1,a_2,\ldots,a_k$ вместе со всеми ребрами, соединенными хотя бы с одной из вершин $a_1,a_2,\ldots,a_k$.

$^\dagger$ Простой путь длины $k$, начинающийся в вершине $x$ — это последовательность различных вершин $x=u_0,u_1,\ldots,u_k$ таких, что существует ребро между вершинами $u_{i-1}$ и $u_i$ для всех $1 \leq i \leq k$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $q$ ($1 \le n, q \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин дерева и количество запросов.

Следующие $n - 1$ строк содержат по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \ne v$) — в дереве есть ребро между вершинами $u$ и $v$. Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Следующие $q$ строк описывают запросы. Каждая строка содержит целые числа $x$, $k$ и $a_1,a_2,\ldots,a_k$ ($1 \leq x \leq n$, $0 \leq k < n$, $1 \leq a_i \leq n$) — начальная вершина, количество удаленных вершин и удаленные вершины.

Гарантируется, что в запросе все вершины $x,a_1,a_2,\ldots,a_k$ различны.

Гарантируется, что сумма $k$ по всем запросам не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите одно целое число, являющееся ответом на этот запрос.

Примечание

В первом примере дерево выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

В первом запросе ни одна вершина не пропущена. Самый длинный простой путь, начинающийся в вершине $2$, это $2 \to 1 \to 3 \to 4$. Таким образом, ответ — $3$.

Во третьем запросе отсутствуют вершины $1$ и $6$, и дерево показано ниже. Самый длинный простой путь из вершины $2$ — это $2 \to 5$. Таким образом, ответ — $1$.

$\text{[math]}$

F. Прекрасное дерево

графы Деревья поиск в глубину и подобное реализация Структуры данных *2800

У Ланчбокса есть дерево размера $n$ с корнем в вершине $1$. Каждой вершине присваивается значение. Ланчбокс считает дерево прекрасным, если каждое значение является уникальным и находится в диапазоне от $1$ до $n$. Кроме того, прекрасное дерево должно удовлетворять $m$ требованиям $2$ типов:

«1 a b c» — Вершина с наименьшим значением на пути между вершинами $a$ и $b$ должна быть $c$.
«2 a b c» — Вершина с наибольшим значением на пути между вершинами $a$ и $b$ должна быть $c$.

Теперь вы должны присвоить значения каждой вершине так, чтобы получившееся дерево было прекрасным. Если это невозможно, выведите $-1$.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n, m \le 2 \cdot 10^5$).

Следующие $n - 1$ строк содержат по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n, u \ne v$) — в дереве есть ребро между вершинами $u$ и $v$. Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Следующие $m$ строк содержат по четыре целых числа $t$, $a$, $b$ и $c$ ($t \in \{1,2\}$, $1 \le a, b, c \le n$). Гарантируется, что вершина $c$ находится на пути между вершинами $a$ и $b$.

Выходные данные

Если невозможно присвоить значения так, чтобы дерево было прекрасным, выведите $-1$. В противном случае выведите $n$ целых чисел, $i$-е из которых обозначает значение вершины $i$.

G. Освещение

графы жадные алгоритмы Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное реализация *2200

В конце дня Анне нужно выключить свет в офисе. Есть $n$ ламп и $n$ выключателей, но схема их работы довольно странная. Выключатель $i$ меняет состояние лампы $i$, но также меняет состояние другой лампы $a_i$ (изменение состояния означает, что если лампа была включена, она выключается, и наоборот).

Помогите Анне выключить все лампы, используя минимальное количество выключателей, или скажите, что это невозможно.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов.

Первая строка каждого набора содержит целое число $n$ ($2 \le n \le 10^5$) — количество ламп.

Вторая строка каждого набора содержит строку из $n$ символов — начальное состояние ламп. Символ «0» означает, что соответствующая лампа выключена, а «1» означает, что она включена.

Третья строка каждого набора содержит $n$ целых чисел $a_i$ ($1 \le a_i \le n$, $a_i \neq i$) — выключатель $i$ меняет состояние лампы $i$ и лампы $a_i$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам не превышает $2 \cdot 10^5$

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите целое число $k$ — минимальное количество выключателей, которое нужно использовать, затем в отдельной строке выведите список из $k$ выключателей.

Если невозможно выключить все лампы, выведите одно целое число $-1$.

D. Схема метро

графы жадные алгоритмы *2700

В Берляндии очень беспокоятся о секретности, поэтому почти все планы и схемы всего и вся засекречены. Несмотря на это, шпиону соседнего государства удалось украсть схему метрополитена Берляндска.

В метро Берляндска есть n станций, пронумерованных от 1 до n, и m двусторонних тоннелей, их соединяющие. Все берляндское метро состоит из линий. Если быть более точным, есть два типа линий: кольцевые и радиальные.

Радиальная линия — это последовательность станций v₁, ..., v_k (k > 1), где станции v_i и v_i + 1 (i < k) соединены тоннелем, причем никакая станция не входит в состав линии более одного раза (v_i ≠ v_j при i ≠ j).

Кольцевая линия — это последовательность станций v₁, ..., v_k (k > 2), где станции v_i и v_i + 1 соединены тоннелем. Кроме того, станции v₁ и v_k тоже соединены тоннелем. Никакая станция не входит в кольцевую линию более одного раза.

Заметим, что через одну станцию может проходить любое количество линий.

Согласно берляндским нормативам между двумя станциями не может быть более одного тоннеля и каждый тоннель принадлежит ровно одной линии. Естественно, на каждой линии есть хоть один тоннель. Между любыми двумя станциями есть путь по тоннелям метро. Кроме того, с точки зрения теории графов, метрополитен является вершинным кактусом: если рассмотреть метро как граф, в котором станции являются вершинами, а тоннели — ребрами, то каждая вершина лежит не более чем на одном простом цикле.

К сожалению, на схеме, украденной шпионом, были изображены только станции и тоннели. По ней было невозможно определить, к какой линии относится каждый тоннель. Но для совершения диверсии шпиону необходимо знать, какое минимальное и максимальное количество линий может быть в метро Берляндска.

Помогите ему!

Входные данные

На первой строке записаны два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 10⁵, 0 ≤ m ≤ 3·10⁵) — количество станций и тоннелей, соответственно.

На следующих m строках содержатся по два целых числа — номера станций, которые соединяет соответствующий тоннель. Станции нумеруются целыми числами от 1 до n.

Гарантируется, что в графе, который соответствует метро, нет кратных ребер и петель, что он связен и что он является вершинным кактусом.

Выходные данные

Выведите два числа — минимальное и максимальное количество линий, соответственно.

Примечание

Схема метро с минимально возможным количеством линий для второго примера:

$\text{[math]}$

E. Задача про матрицу

графы Потоки *2400

Вам дана матрица $a$, состоящая из $n$ строк и $m$ столбцов. Каждый элемент матрицы равен $0$ или $1$.

Вы можете выполнять следующую операцию любое количество раз (возможно, ни одного): выбрать элемент матрицы и заменить его на $0$ или $1$.

Также вам даны два массива $A$ и $B$ (длиной $n$ и $m$ соответственно). После выполнения операций матрица должна удовлетворять следующим условиям:

количество единиц в $i$-й строке матрицы должно быть ровно $A_i$ для каждого $i \in [1, n]$.
количество единиц в $j$-м столбце матрицы должно быть ровно $B_j$ для каждого $j \in [1, m]$.

Вычислите минимальное количество операций, которое вам нужно выполнить.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n, m \le 50$).

Затем следуют $n$ строк. $i$-я из них содержит $m$ целых чисел $a_{i,1}, a_{i,2}, \dots, a_{i,m}$ ($0 \le a_{i,j} \le 1$).

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $A_1, A_2, \dots, A_n$ ($0\le A_i\le m$).

Следующая строка содержит $m$ целых чисел $B_1, B_2, \dots, B_m$ ($0\le B_i\le n$).

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное количество операций, которые вам нужно выполнить, или -1, если это невозможно.

G1. Лампочки (простая версия)

графы Деревья дп Комбинаторика математика Перебор поиск в глубину и подобное снм *2100

Простая и сложная версии этой задачи отличаются друг от друга только ограничениями на $n$. В простой версии сумма значений $n^2$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$. Кроме того, $n$ не превосходит $1000$ в каждом наборе входных данных.

В ряд расположены $2n$ лампочек. У каждой лампочки есть цвет от $1$ до $n$ (ровно по две лампочки каждого цвета).

Изначально все лампочки выключены. Вы выбираете некоторое множество лампочек $S$, которое вы изначально включите. После этого вы можете выполнять следующие операции в любом порядке любое количество раз:

выбрать две лампочки $i$ и $j$ одинакового цвета, ровно одна из которых включена, и включить вторую из них;
выбрать три лампочки $i, j, k$, такие, что обе лампочки $i$ и $k$ включены и имеют одинаковый цвет, а лампочка $j$ находится между ними ($i < j < k$), и включить лампочку $j$.

Вы хотите выбрать такое множество лампочек $S$, которые вы изначально включаете, чтобы путем выполнения описанных операций можно было добиться того, чтобы все лампочки оказались включены.

Посчитайте два числа:

минимальный размер множества $S$, которое вы изначально включаете;
количество множеств $S$ минимального размера (по модулю $998244353$).

Входные данные

В первой строке входных данных содержится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов.

В первой строке каждого набора задано одно целое число $n$ ($2 \le n \le 1000$) — количество пар лампочек.

Во второй строке каждого набора заданы $2n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_{2n}$ ($1 \le c_i \le n$), где $c_i$ — цвет $i$-й лампочки. Для каждого цвета от $1$ до $n$ ровно две лампочки имеют этот цвет.

Дополнительное ограничение на входные данные: сумма значений $n^2$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите два целых числа:

минимальный размер множества $S$, которое вы изначально включаете;
количество множеств $S$ минимального размера (по модулю $998244353$).

G2. Лампочки (сложная версия)

графы дп Комбинаторика поиск в глубину и подобное Структуры данных хэши *2300

Простая и сложная версии этой задачи отличаются друг от друга только ограничениями на $n$. В сложной версии сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$. Кроме того, никаких дополнительных ограничений на значение $n$ в одиночном наборе входных данных нет.

В ряд расположены $2n$ лампочек. У каждой лампочки есть цвет от $1$ до $n$ (ровно по две лампочки каждого цвета).

выбрать две лампочки $i$ и $j$ одинакового цвета, ровно одна из которых включена, и включить вторую из них;
выбрать три лампочки $i, j, k$, такие, что обе лампочки $i$ и $k$ включены и имеют одинаковый цвет, а лампочка $j$ находится между ними ($i < j < k$), и включить лампочку $j$.

Посчитайте два числа:

минимальный размер множества $S$, которое вы изначально включаете;
количество множеств $S$ минимального размера (по модулю $998244353$).

Входные данные

В первой строке каждого набора задано одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество пар лампочек.

Дополнительное ограничение на входные данные: сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите два целых числа:

минимальный размер множества $S$, которое вы изначально включаете;
количество множеств $S$ минимального размера (по модулю $998244353$).

G. Велосипеды

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути реализация сортировки *1800

Все друзья Славика планируют отправиться на вечеринку на своих велосипедах из места, где они живут. У всех есть велосипеды, кроме Славика. Есть $n$ городов, через которые они могут путешествовать. Все живут в городе $1$ и хотят пойти на вечеринку, которая находится в городе $n$. Карту городов можно рассматривать как ненаправленный граф с $n$ узлами и $m$ ребрами. Ребро $i$ соединяет города $u_i$ и $v_i$ и имеет длину $w_i$.

У Славика нет велосипеда, но у него есть деньги. В каждом городе есть ровно один велосипед, который можно купить. У велосипеда в $i$-м городе есть коэффициент медлительности $s_{i}$. Как только Славик купит велосипед, он может использовать его, чтобы путешествовать из города, в котором он находится, в любой город. Проезд по ребру $i$ с использованием велосипеда $j$ занимает время $w_i \cdot s_j$.

Славик может купить столько велосипедов, сколько захочет, так как деньги для него не проблема. Славик ненавидит путешествовать на велосипеде, поэтому он хочет добраться на вечеринку за минимальное время. И поскольку он уже подзабыл информатику, он просит вас ему помочь.

Какое минимальное количество времени потребуется Славику, чтобы добраться из города $1$ в город $n$? Славик не может путешествовать без велосипеда. Гарантируется, что возможно добраться от города $1$ до любого другого города.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 100$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание самих наборов.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа, разделенных пробелом: $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 1000$; $n - 1 \leq m \leq 1000$) — количество городов и количество дорог, соответственно.

$i$-я из следующих $m$ строк содержит три целых числа $u_i$, $v_i$, $w_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \neq v_i$; $1 \leq w_i \leq 10^5$), обозначающих, что есть дорога между городами $u_i$ и $v_i$ длиной $w_i$.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $s_1, \ldots, s_n$ ($1 \leq s_i \leq 1000$) — коэффициент медлительности каждого велосипеда. Одну и ту же пару городов может соединять больше, чем одна дорога.

Сумма $n$ по всем наборам не превышает $1000$, и сумма $m$ по всем наборам не превышает $1000$.

Дополнительное ограничение на ввод: возможно путешествовать от города $1$ до любого другого города.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число, обозначающее минимальное количество времени, за которое Славик может добраться из города $1$ в город $n$.

F. Разделение на группы

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *2900

В $31$ лицее существовало две группы олимпиадников: информатики и математики. Численность информатиков составляла $n_1$, математиков — $n_2$. Точно неизвестно кто какой именно группе принадлежал, но известно, что между некоторыми парами людей существовали дружественные связи (причем они могли образовываться как между парой людей одной группы, так и двух различных).

Связи были настолько крепкими, что даже если убрать одного человека, а вместе с ним убрать все его дружественные связи, то любая пара людей всё равно оставалась знакома либо напрямую, либо через общих приятелей.

$^{\dagger}$ Более формально, два человека $(x, y)$ знакомы в следующем случае: найдутся такие люди $a_1, a_2, \ldots,a_n$ ($1 \le a_i \le n_1 + n_2$), что одновременно выполняются следующие условия:

$\bullet$ Человек $x$ напрямую знаком с $a_1$.

$\bullet$ Человек $a_n$ напрямую знаком с $y$.

$\bullet$ Человек $a_i$ напрямую знаком с $a_{i + 1}$ для любого ($1 \le i \le n - 1$).

Преподаватели были недовольны тем, что информатики дружат с математиками и наоборот, и поэтому они решили разделить школьников на две группы таким образом, чтобы выполнялось два условия:

$\bullet$ В группе информатиков было $n_1$ человек, а в группе математиков — $n_2$ человек.

$\bullet$ Любая пара информатиков должна быть знакома (допускается знакомство при участии общих знакомых, которые обязаны быть из той же группы, что и люди из этой пары), тоже самое должно выполняться и для математиков.

Помогите им разрешить эту задачу и найдите, кто к какой группе относится.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n_1$, $n_2$ и $m$ ($1 \le n_1, n_2 \le 2000$, $1 \le m \le 5000$). $n_1$, $n_2$ являются размерами двух групп, описанных в задаче, $m$ — количество дружественных связей изначально.

В следующих $m$ строках дано описание дружественных связей: в $i$-й ($1 \le i \le m$) из них дана пара чисел $(a, b)$, которая означает, что человек с номером $a$ дружит с человеком с номером $b$ (и обратно).

Гарантируется, что для каждого набора входных данных все дружественные связи различные.

Гарантируется, что сумма $n_1 + n_2$ по всем наборам входных данных не превосходит $2000$, а сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $5000$.

Также гарантируется, что для каждого набора входных данных ответ существует.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите две строки.

В первой строке выведите $n_1$ различных чисел $a_i$ ($1 \le a_i \le n_1 + n_2$) — люди, принадлежащие первой группе.

Во второй строке выведите $n_2$ различных чисел $b_i$ ($1 \le b_i \le n_1 + n_2$) — люди, принадлежащие второй группе.

Все числа должны быть различные.

Если существует несколько вариантов ответа, выведите любой.

Примечание

Рассмотрим третий набор входных данных. Разделение на группы выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$ В зелёный цвет покрашены школьники, которые были выбраны информатиками, в синий же цвет покрашены те, кто были выбраны математиками.

Рассмотрим все пары информатиков и то, как они знакомы:

Пары $(4, 5), (4, 6)$ знакомы напрямую.

Пара $(5, 6)$ знакома через информатика с номером $4$.

Рассмотрим все пары математиков и то, как они знакомы:

Пары $(1, 2), (2, 3)$ знакомы напрямую.

Пара $(1, 3)$ знакома через математика с номером $2$.

Получаем, что любая пара людей, принадлежащих одной группе, знакомы друг с другом, а значит разбиение на две группы верное.

F. Гусеница на дереве

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное реализация сортировки *2500

Гусеница решила побывать в каждой вершине дерева. Изначально она сидит в корне.

Дерево представлено как корневое дерево с корнем в вершине $1$. Каждое переползание в соседнюю вершину у неё занимает $1$ минуту.

А под деревом стоит батут. Если гусеница отцепится от дерева и упадёт на батут, то за $0$ секунд окажется в корне дерева. Но батут старый и выдержит не более $k$ падений гусеницы.

За какое минимальное время гусеница сможет обойти дерево?

Более формально — надо найти минимальное время, нужное, чтобы посетить все вершины дерева, если гусеница начинает в корне (вершине $1$) и двигается с помощью двух способов.

Перейти по ребру в одну из соседних вершин: тратит $1$ минуту.
Телепортироваться в корень: не тратит времени, никакие новые вершины не становятся посещёнными.

Второй способ (телепортацию) можно применить не более $k$ раз. Гусеница может закончить путешествие в любой вершине.

Входные данные

В первой строке входных данных находятся два целых числа: $n$ ($2 \le n \le 2\cdot 10^5$) — количество вершин в дереве, и $k$ ($0 \le k \le 10^9$) — максимальное число телепортаций в корень.

Во второй строке записаны $n-1$ целых чисел $p_2$, $p_3$, ..., $p_n$ ($1 \le p_i \le n$) — предки в дереве для вершин $2, 3, \ldots, n$; вершина $1$ — корень.

Выходные данные

В единственной строке выведите одно число — минимальное число минут, за которое можно побывать во всех вершинах дерева.

Примечание

На картинке показан один из способов обойти дерево из первого теста за 9 минут.

$\text{[math]}$

F1. Спокойное плавание (простая версия)

Бинарный поиск графы кратчайшие пути Перебор поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2500

Единственное отличие двух версий этой задачи состоит в ограничении на $q$. Вы можете делать взломы, только если обе версии задачи решены.

Томас плавает вокруг острова, окружённого океаном. Океан и остров можно представить в виде таблицы с $n$ строками и $m$ столбцами. Строки пронумерованы от $1$ до $n$ сверху вниз, а столбцы пронумерованы от $1$ до $m$ слева направо. Позицию клетки в строке $r$ и в столбце $c$ обозначим как $(r, c)$. Ниже приведен пример допустимой таблицы.

$\text{[math]}$ Пример допустимой таблицы

Существует три типа клеток: остров, океан и подводный вулкан. Клетки, представляющие остров, отмечены символом '#', клетки, представляющие океан, отмечены символом '.', а клетки, представляющие подводный вулкан, отмечены символом 'v'. Гарантируется, что есть хотя бы одна клетка острова и хотя бы одна клетка подводного вулкана. Также гарантируется, что множество всех клеток острова образует единую связную компоненту$^{\dagger}$, и множество всех клеток океана и подводных вулканов также образует единую связную компоненту. Кроме того, гарантируется, что на краю таблицы (то есть, в строке $1$, в строке $n$, в столбце $1$ и в столбце $m$) нет клеток острова.

Определим круговой маршрут, проходимый Томасом, начинающийся в клетке $(x, y)$, как путь, который удовлетворяет следующим условиям:

Путь начинается и заканчивается в клетке $(x, y)$.
Если Томас находится в клетке $(i, j)$, то он может перейти в клетки $(i+1, j)$, $(i-1, j)$, $(i, j-1)$ и $(i, j+1)$, при условии, что клетка, в которую он переходит, является клеткой океана или подводного вулкана и находится внутри таблицы. Обратите внимание, что Томасу разрешается посещать одну и ту же клетку несколько раз за один круговой маршрут.
Путь должен обойти остров и полностью его окружить. Некоторый путь $p$ полностью окружает остров, если невозможно добраться от клетки острова до клетки на границе таблицы, перемещаясь только в соседние по стороне или диагонали клетки, не посещая при этом клетку на пути $p$. На изображении ниже путь, начинающийся в $(2, 2)$, приходящий в $(1, 3)$ и возвращающийся в $(2, 2)$ в обратную сторону, не полностью окружает остров и не считается круговым маршрутом.

$\text{[math]}$ Пример пути, который не полностью окружает остров

Безопасность кругового маршрута — это минимальное манхэттенское расстояние$^{\ddagger}$ от клетки на круговом маршруте до подводного вулкана (обратите внимание, что наличие клеток острова не влияет на это расстояние).

У вас есть $q$ запросов. Запрос можно представить как $(x, y)$, и для каждого запроса вы хотите найти максимальную безопасность кругового маршрута, начинающегося в $(x, y)$. Гарантируется, что $(x, y)$ является клеткой океана или подводного вулкана.

$^{\dagger}$Множество клеток образует единую связную компоненту, если из любой клетки этого множества можно добраться до любой другой клетки этого множества, перемещаясь только по клеткам этого множества, каждый раз переходя в клетку с общей стороной.

$^{\ddagger}$Манхэттенское расстояние между клетками $(r_1, c_1)$ и $(r_2, c_2)$ равно $|r_1 - r_2| + |c_1 - c_2|$.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $q$ ($3 \leq n, m \leq 10^5$, $9 \leq n \cdot m \leq 3 \cdot 10^5$, $1 \leq q \leq 5$) — количество строк и столбцов таблицы и количество запросов.

Каждая из следующих $n$ строк содержит $m$ символов, описывающих клетки таблицы. Символ '#' обозначает клетку острова, '.' обозначает клетку океана, и 'v' обозначает клетку подводного вулкана.

Гарантируется, что есть хотя бы одна клетка острова и хотя бы одна клетка подводного вулкана. Гарантируется, что множество всех клеток острова образует единую связную компоненту, и множество всех клеток океана и подводных вулканов также образует единую связную компоненту. Также гарантируется, что нет клеток острова на краю таблицы (то есть, в строке $1$, в строке $n$, в столбце $1$ и в столбце $m$).

Следующие $q$ строк описывают запросы. Каждая из этих строк содержит два целых числа $x$ и $y$ ($1 \leq x \leq n$, $1 \leq y \leq m$), обозначающие круговой маршрут, начинающийся в $(x, y)$.

Гарантируется, что $(x, y)$ является клеткой океана или подводного вулкана.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите одно целое число — максимальную безопасность кругового маршрута, начинающегося в указанной клетке.

Примечание

Для первого примера на изображении ниже показан оптимальный круговой маршрут, начинающийся в $(1, 1)$. Безопасность кругового маршрута равна $3$, так как минимальное манхэттенское расстояние от клетки на круговом маршруте до подводного вулкана равно $3$.

$\text{[math]}$ Пример оптимального кругового маршрута

В четвёртом примере помните, что Томасу разрешается посещать одну и ту же клетку несколько раз за один круговой маршрут. Например, это необходимо для кругового маршрута, начинающегося в $(7, 6)$.

F2. Спокойное плавание (сложная версия)

Бинарный поиск геометрия графы Деревья снм Структуры данных *3000

$\text{[math]}$ Пример допустимой таблицы

Путь начинается и заканчивается в клетке $(x, y)$.
Если Томас находится в клетке $(i, j)$, то он может перейти в клетки $(i+1, j)$, $(i-1, j)$, $(i, j-1)$ и $(i, j+1)$, при условии, что клетка, в которую он переходит, является клеткой океана или подводного вулкана и находится внутри таблицы. Обратите внимание, что Томасу разрешается посещать одну и ту же клетку несколько раз за один круговой маршрут.
Путь должен обойти остров и полностью его окружить. Некоторый путь $p$ полностью окружает остров, если невозможно добраться от клетки острова до клетки на границе таблицы, перемещаясь только в соседние по стороне или диагонали клетки, не посещая при этом клетку на пути $p$. На изображении ниже путь, начинающийся в $(2, 2)$, приходящий в $(1, 3)$ и возвращающийся в $(2, 2)$ в обратную сторону, не полностью окружает остров и не считается круговым маршрутом.

$\text{[math]}$ Пример пути, который не полностью окружает остров

$^{\ddagger}$Манхэттенское расстояние между клетками $(r_1, c_1)$ и $(r_2, c_2)$ равно $|r_1 - r_2| + |c_1 - c_2|$.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа $n$, $m$ и $q$ ($3 \leq n, m \leq 10^5$, $9 \leq n \cdot m \leq 3 \cdot 10^5$, $1 \leq q \leq 3 \cdot 10^5$) — количество строк и столбцов таблицы и количество запросов.

Гарантируется, что $(x, y)$ является клеткой океана или подводного вулкана.

Выходные данные

Примечание

$\text{[math]}$ Пример оптимального кругового маршрута

E. Посчитай пути

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2000

Вам дано дерево, состоящее из $n$ вершин, пронумерованных от $1$ до $n$. Каждая вершина окрашена в некоторый цвет, обозначенный целым числом от $1$ до $n$.

Простой путь в дереве называется красивым, если:

он состоит хотя бы из $2$ вершин;
первая и последняя вершины пути имеют одинаковый цвет;
ни одна другая вершина на пути не имеет такой же цвет, как и первая вершина.

Посчитайте количество красивых простых путей в дереве. Обратите внимание, что пути считаются ненаправленными (то есть путь из $x$ в $y$ — это то же самое, что и путь из $y$ в $x$).

Входные данные

В первой строке записано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

В первой строке каждого теста записано одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

Во второй строке записаны $n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($1 \le c_i \le n$) — цвет каждой вершины.

В $i$-й из следующих $n - 1$ строк записаны два целых числа $v_i$ и $u_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$; $v_i \neq u_i$) — $i$-е ребро дерева.

Данные ребра образуют валидное дерево. Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — количество красивых простых путей в дереве.

G. Влад и проблемы в МИТ

графы Деревья дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное Потоки реализация *1900

У Владислава есть сын, который очень хотел поступить в МИТ. Общежитие колледжа в МИТ (Молдавский институт технологий) можно представить в виде дерева с $n$ вершинами, где каждая вершина представляет собой комнату с ровно одним студентом. Дерево — это связный неориентированный граф с $n$ вершинами и $n-1$ ребром.

Сегодня ночью есть три типа студентов:

студенты, которые хотят веселиться и слушать музыку (обозначены $\texttt{P}$),
студенты, которые хотят спать и наслаждаться тишиной (обозначены $\texttt{S}$), и
студенты, которым не важно, что делать ночью (обозначены $\texttt{C}$).

Изначально все рёбра представляют собой тонкие стены, которые позволяют музыке проходить через них, поэтому когда веселящийся студент включает музыку, её можно услышать в каждой комнате. Однако мы можем установить толстые стены на любые рёбра — толстые стены не позволяют музыке проходить через них.

Университет хочет установить несколько толстых стен, чтобы каждый веселящийся студент мог слушать музыку, и ни один спящий студент не мог её услышать.

Поскольку университет потерял много денег в судебном процессе о правах на наименование, они просят вас найти минимальное количество толстых стен, которые им придется использовать.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит целое число $n$ ($2 \leq n \leq 10^5$) — количество вершин в дереве.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n-1$ целых чисел $a_2, \dots , a_n$ ($1 \leq a_i < i$) — это означает, что есть ребро между $i$ и $a_i$ в дереве.

Третья строка каждого набора входных данных содержит строку $s$ длиной $n$, состоящую из символов $\texttt{P}$, $\texttt{S}$ и $\texttt{C}$, обозначающих, что студент $i$ относится к типу $s_i$.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — искомое минимальное количество толстых стен.

Примечание

В первом случае мы можем установить одну толстую стену между комнатами $1$ и $2$, как показано ниже. Мы не можем установить $0$ стен, так как тогда музыка из комнаты 3 дойдет до комнаты 2, где студент хочет спать, поэтому ответ равен $1$. Существуют и другие допустимые решения.

$\text{[math]}$

F. Микроцикл

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное реализация снм сортировки Структуры данных *1900

Дан неориентированный взвешенный граф из $n$ вершин и $m$ рёбер. Между каждой парой вершин в графе существует не более одного ребра, граф не содержит петель (рёбер из вершины в себя же). Граф не обязательно связный.

Цикл в графе называется простым, если он не проходит через одну и ту же вершину дважды и не содержит одно и то же ребро дважды.

Найдите любой простой цикл этого графа, в котором вес самого лёгкого ребра минимален.

Входные данные

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $m$ ($3 \le n \le m \le \min(\frac{n\cdot(n - 1)}{2}, 2 \cdot 10^5)$) — размер графа и количество рёбер.

Следующие $m$ строк набора содержат по три целых числа $u$, $v$ и $w$ ($1 \le u, v \le n$, $u \ne v$, $1 \le w \le 10^6$) — вершины $u$ и $v$ соединены ребром веса $w$.

Гарантируется, что между каждой парой вершин существует не более одного ребра. Обратите внимание, что при заданных ограничениях в графе всегда есть хотя бы один простой цикл.

Гарантируется, что сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите пару чисел $b$ и $k$, где:

$b$ — минимальный вес ребра в найденном цикле,
$k$ — количество вершин в найденном цикле.

В следующей строке выведите $k$ чисел от $1$ до $n$ — вершины цикла в порядке обхода.

Обратите внимание, что ответ всегда существует, так как при заданных ограничениях в графе всегда есть хотя бы один простой цикл.

E. Модообразная последовательность

графы дп жадные алгоритмы Конструктив математика Перебор теория чисел *2300

Даны два целых числа $x$ и $y$. Назовем последовательность $a$ длины $n$ модообразной, если $a_1=x$, и для всех $1 < i \le n$ значение $a_{i}$ равно либо $a_{i-1} + y$, либо $a_{i-1} \bmod y$. Здесь $x \bmod y$ обозначает остаток от деления $x$ на $y$.

Определите, существует ли модообразная последовательность длины $n$, сумма элементов которой равна $S$, и если существует, то найдите любую такую последовательность.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 2 \cdot 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая и единственная строка каждого набора входных данных содержит четыре целых числа $n$, $x$, $y$ и $s$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $0 \le x \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le y \le 2 \cdot 10^5$, $0 \le s \le 2 \cdot 10^5$) — длина последовательности, параметры $x$ и $y$, и необходимая сумма элементов последовательности.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$, а также сумма $s$ по всем наборам не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, если искомая последовательность существует, выведите в первой строке «Yes» (без кавычек). Далее, во второй строке выведите $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ через пробел — элементы последовательности $a$. Если подходящих последовательностей несколько, выведите любую из них.

Если же последовательность не существует, выведите в единственной строке «No».

Примечание

В первом наборе входных данных условиям удовлетворяет последовательность $[8, 11, 2, 5, 2]$. Таким образом, $a_1 = 8 = x$, $a_2 = 11 = a_1 + 3$, $a_3 = 2 = a_2 \bmod 3$, $a_4 = 5 = a_3 + 3$, $a_5 = 2 = a_4 \bmod 3$.

Во втором наборе входных данных первый элемент последовательности должен равняться $5$, поэтому последовательность $[2, 2, 2]$ не подходит.

E. Саша и веселая нарезка дерева

битмаски графы Деревья дп жадные алгоритмы математика Перебор поиск в глубину и подобное *2300

Саше за победу на очередной олимпиаде подарили дерево$^{\dagger}$ из $n$ вершин. Но, вернувшись домой после празднования очередной победы, он заметил его потерю. Саша помнит, что он покрасил некоторые рёбра этого дерева. При этом он точно знает, что для любой из $k$ пар вершин $(a_1, b_1), \ldots, (a_k, b_k)$ он покрасил хотя бы одно ребро на простом пути$^{\ddagger}$ между вершинами $a_i$ и $b_i$.

Саша не помнит, сколько рёбер он точно покрасил, так что он просит вас сказать, какое минимальное количество рёбер он мог покрасить, чтобы выполнялось описанное выше условие.

$^{\dagger}$Деревом называется неориентированный связный граф без циклов.

$^{\ddagger}$Простой путь — это путь, проходящий через каждую вершину не более одного раза.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2 \leq n \leq 10^5$) — количество вершин в дереве.

Следующие $(n - 1)$ строка описывают рёбра дерева. $i$-я из них содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$, $u_i \ne v_i$) — номера вершин, которые соединяет $i$-е ребро.

Следующая строка содержит одно целое число $k$ ($1 \leq k \leq 20$) — количество пар вершин, на простом пути между которыми Саша покрасил хотя бы одно ребро.

Следующие $k$ строк описывают пары. $j$-я из них содержит два целых числа $a_j$ и $b_j$ ($1 \leq a_j, b_j \leq n, a_j \neq b_j$) — вершины в $j$-й паре.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$. Гарантируется, что сумма $2^k$ по всем наборам входных данных не превосходит $2^{20}$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — минимальное количество рёбер, которое мог покрасить Саша.

Примечание

В первом наборе входных данных Саша мог покрасить только одно ребро $(1, 2)$. Тогда на простом пути между вершинами $1$ и $3$ и вершинами $4$ и $1$ будет хотя бы одно покрашенное ребро.

$\text{[math]}$

Во втором наборе входных данных Саша мог покрасить рёбра $(1, 6)$ и $(1, 3)$.

$\text{[math]}$

A. Разрезание фигуры

графы Деревья Конструктив *1700

Дан лист клетчатой бумаги n × m. Некоторые его клетки закрашены. Множество всех закрашенных клеток листа бумаги обозначим через A. Множество A является связным. Требуется найти минимальное количество клеток, которые можно удалить из множества A так, чтобы оно перестало быть связным.

Множество закрашенных клеток называется связным, если для каждых двух клеток из этого множества a и b найдется последовательность клеток множества, начинающаяся в a и заканчивающаяся в b, такая, что любая клетка этой последовательности, исключая последнюю, имеет общую сторону со следующей в последовательности клеткой. Пустое множество и множество, состоящее из одной клетки, по определению считаются связными.

Входные данные

В первой строке входного файла записаны через пробел два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 50) — размеры листа бумаги.

В следующих n строках содержится по m символов — описание листа бумаги: j-й символ i-й строки равен «#», если соответствующая клетка закрашена (принадлежит множеству A), или равен «.», если соответствующая клетка не закрашена (не принадлежит множеству A). Гарантируется, что множество всех закрашенных клеток A связно и не пусто.

Выходные данные

На первой строке выведите минимальное количество клеток, которые нужно удалить, чтобы лишить множество A связности или -1, если это невозможно.

Примечание

В первом примере можно удалить любые две клетки, не имеющие общей стороны и множество закрашенных клеток потеряет связность.

Пояснение ко второму примеру изображено на рисунке. Слева изображено изначальное множество клеток. Справа — множество с удаленными клетками. Удаленные клетки помечены крестиками.

$\text{[math]}$

F. Скриншоты чата

графы Комбинаторика поиск в глубину и подобное *1700

В чате контестов по программированию состоит $n$ человек. Участники чата упорядочены по активности, однако каждый человек видит самого себя в начале списка.

Например, в чате $4$ участника, и их порядок равен $[2, 3, 1, 4]$. Тогда

$1$-й пользователь видит порядок $[1, 2, 3, 4]$;
$2$-й пользователь видит порядок $[2, 3, 1, 4]$;
$3$-й пользователь видит порядок $[3, 2, 1, 4]$;
$4$-й пользователь видит порядок $[4, 2, 3, 1]$.

$k$ человек выложили в чат скриншоты, на которых виден порядок участников, показываемый данному пользователю. Скриншоты были сделаны в течение короткого промежутка времени, и порядок участников не изменился.

Ваша задача — определить, существует ли некоторый порядок, которому соответствуют все скриншоты.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов входных данных.

Первая строка описания каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le k \le n \le 2 \cdot 10^5, n \cdot k \le 2 \cdot 10^5$) — количество участников чата и количество участников, выложивших скриншоты.

Следующие $k$ строк содержат описания скриншотов, выложенных участниками.

$i$-я строка содержит $n$ целых чисел $a_{ij}$ каждая ($1 \le a_{ij} \le n$, все $a_{ij}$ различны) — порядок участников, показываемый участнику $a_{i0}$, где $a_{i0}$ — автор скриншота. Можно показать, что в описании скриншота он всегда будет в начале списка.

Гарантируется, что сумма $n \cdot k$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$. Также гарантируется, что все авторы скриншотов различны.

Выходные данные

Выведите $t$ строк, каждая из которых является ответом на соответствующий набор входных данных. В качестве ответа выведите «YES», если существует хотя бы один порядок участников, при котором могли быть получены все $k$ скриншотов. Иначе выведите «NO».

G. Перемещающиеся платформы

графы кратчайшие пути математика теория чисел *2300

Есть игра, в которой вам нужно перемещаться по лабиринту. Лабиринт состоит из $n$ платформ, соединенных $m$ проходами.

Каждая платформа находится на уровне $l_i$, уровни платформ — целые числа от $0$ до $H - 1$. За один шаг, если вы находитесь на платформе $i$, вы можете остаться на ней или перейти на другую платформу $j$. Чтобы перейти на платформу $j$, они должны быть соединены проходом, и их уровни должны быть одинаковыми, то есть $l_i = l_j$.

После каждого шага уровни всех платформ меняются. Новый уровень платформы $i$ вычисляется как $l'_i = (l_i + s_i) \bmod H$, для всех $i$.

Вы начинаете на платформе $1$. Найдите минимальное количество шагов, необходимых, чтобы добраться до платформы $n$.

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Затем следуют описания наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $m$, и $H$ ($2 \le n \le 10^5$, $1 \le m \le 10^5$, $1 \le H \le 10^9$).

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $l_i$, начальный уровень каждой платформы ($0 \le l_i \le H-1$).

Третья строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $s_i$, изменение уровня для каждой платформы ($0 \le s_i \le H-1$).

Далее следуют $m$ строк, содержащих описание проходов. Каждый проход описывается парой целых чисел — платформы, соединенные проходом. Есть не более одного прохода, соединяющего каждую пару платформ, и нет прохода, соединяющего платформу с самой собой.

Сумма $n$ для всех тестов не превышает $10^5$, сумма $m$ для всех тестов не превышает $10^5$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите одно целое число, минимальное количество шагов, необходимых, чтобы добраться с платформы $1$ до платформы $n$.

Если невозможно добраться до платформы $n$, выведите $-1$.

Примечание

Вот как меняются уровни платформ и какие действия нам нужно выполнить в первом примере.

	Платформа 1	Платформа 2	Платформа 3	Действие
Шаг 1	1	9	4	Остаться на платформе 1
Шаг 2	3	2	4	Остаться на платформе 1
Шаг 3	5	5	4	Перейти на платформу 2
Шаг 4	7	8	4	Остаться на платформе 2
Шаг 5	9	1	4	Остаться на платформе 2
Шаг 6	1	4	4	Перейти на платформу 3

F. Робот и подземные толчки

графы дп кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2100

Мир представляет собой прямоугольную таблицу с $n$ строками и $m$ столбцами. Строки нумеруются $0, 1, \ldots, n-1$, а столбцы нумеруются $0, 1, \ldots, m-1$. В этом мире столбцы циклические (т.е. верхние и нижние ячейки в каждом столбце смежны). Ячейка в $i$-й строке и $j$-м столбце ($0 \le i < n, 0 \le j < m$) обозначается как $(i,j)$.

В момент времени $0$ ячейка $(i,j)$ (где $0 \le i < n, 0 \le j < m$) содержит либо камень, либо ничего. Состояние ячейки $(i,j)$ можно описать с помощью целого числа $a_{i,j}$:

Если $a_{i,j} = 1$, в $(i,j)$ есть камень.
Если $a_{i,j} = 0$, в $(i,j)$ ничего нет.

В результате подземных толчков от землетрясения, столбцы следуют за движениями тектонических плит: каждый столбец циклически двигается вверх со скоростью $1$ ячейка за единицу времени. Формально, для некоторых $0 \le i < n, 0 \le j < m$, если в данный момент времени в $(i,j)$ есть камень, он переместится из $(i, j)$ в $(i - 1, j)$ (или в $(n - 1, j)$, если $i=0$).

Робот по имени RT изначально находится в позиции $(0,0)$. Ему нужно добраться до $(n-1,m-1)$ для проведения операции спасения от землетрясения (в правый нижний угол поля). Подземные толчки не изменяют положения робота, они только изменяют положение камней в мире.

Пусть текущее положение RT имеет координаты $(x,y)$ ($0 \le x < n, 0 \le y < m$), он может выполнить следующие операции:

Перейти на одну ячейку циклически вверх, т.е. из $(x,y)$ в $((x+n-1) \bmod n, y)$ за $1$ единицу времени.
Перейти на одну ячейку циклически вниз, т.е. из $(x,y)$ в $((x+1) \bmod n, y)$ за $1$ единицу времени.
Перейти на одну ячейку вправо, т.е. из $(x,y)$ в $(x, y+1)$ за $1$ единицу времени. (RT может выполнить эту операцию только если $y < m-1$.)

Обратите внимание, что RT не может ни двигаться влево с помощью этих операций, ни оставаться на месте.

К сожалению, RT взорвется при столкновении с камнем. Поэтому, когда RT находится в $(x,y)$ и есть камень в $((x+1) \bmod n, y)$ или $((x+2) \bmod n, y)$, RT не может двигаться вниз, иначе он столкнется с камнем.

$\text{[math]}$

Аналогично, если $y+1 < m$ и есть камень в $((x+1) \bmod n, y+1)$, RT не может двигаться вправо, иначе он столкнется с камнем.

$\text{[math]}$

Стоит отметить, что если на клетках $(x \bmod n, y+1)$ и $((x+1) \bmod n, y)$ находится камень, RT всё равно может безопасно перейти вправо.

$\text{[math]}$

Найдите минимальное количество времени, которое RT нужно, чтобы добраться до $(n-1,m-1)$ без столкновения с камнями. Если это невозможно, выведите $-1$.

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

В каждом наборе первая строка содержит два целых числа $n$, $m$ ($3 \le n, m \le 10^3$) — размеры планеты.

Каждая из следующих $n$ строк содержит $m$ целых чисел. $(j+1)$-е целое число в $(i+1)$-й строке ($0 \le i < n, 0 \le j < m$) — это $a_{i,j}$ ($0 \le a_{i,j} \le 1$), которое обозначает, есть ли камень в $(i,j)$ в момент времени $0$.

Кроме того, гарантируется, что $a_{0,0} = 0$, и $a_{i, m-1} = 0$ для $0 \le i < n$. Другими словами, в начальной позиции RT также нет камня, а в столбце $m-1$ его также нет.

Сумма $n \cdot m$ по всем наборам входных данных не превышает $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных:

Если конечная точка может быть достигнута без столкновения с камнями, выведите одно целое число — минимальное количество времени, которое RT нужно, чтобы добраться до $(n-1,m-1)$.
В противном случае выведите $-1$.

Примечание

Визуальное объяснение первого теста в примере:

$\text{[math]}$

C. Арена покемонов

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути реализация сортировки Структуры данных *2400

Вы находитесь на дуэльной арене. Вы также владеете $n$ покемонами. Изначально на арене находится только $1$-й покемон.

Каждый покемон имеет $m$ характеристик. Значение $j$-й характеристики у $i$-го покемона равно $a_{i,j}$. Также у каждого покемона есть стоимость его вызова: цена $i$-го покемона равна $c_i$.

Вы хотите добиться того, чтобы на арене находился $n$-й покемон. Для этого вы можете выполнять операции двух типов любое количество раз в любом порядке:

Выбрать три целых числа $i$, $j$, $k$ ($1 \le i \le n$, $1 \le j \le m$, $k > 0$) и навсегда увеличить $a_{i,j}$ на $k$. Стоимость такой операции равна $k$.
Выбрать два числа $i$, $j$ ($1 \le i \le n$, $1 \le j \le m$) и вызвать $i$-го покемона, который бросит вызов текущему покемону на арене по $j$-й характеристике. При этом $i$-й покемон победит, если $a_{i,j}$ не меньше, чем $j$-я характеристика текущего покемона на арене (иначе он проиграет). После дуэли на арене остаётся только её победитель. Стоимость такой операции равна $c_i$.

Найдите наименьшую суммарную стоимость операций, необходимых для того, чтобы на арене оказался $n$-й покемон.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 4 \cdot 10^5$, $1 \le m \le 2 \cdot 10^5$, $2 \leq n \cdot m \leq 4 \cdot 10^5$).

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $c_1, c_2, \ldots, c_n$ ($1 \le c_i \le 10^9$).

Далее, $i$-я из следующих $n$ строк содержит $m$ целых чисел $a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots, a_{i,m}$ ($1 \le a_{i,j} \le 10^9$).

Гарантируется, что сумма значений $n \cdot m$ по всем наборам входных данных не превосходит $4 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите минимальную суммарную стоимость операций, чтобы на арене оказался $n$-й покемон.

Примечание

В первом наборе входных данных массив значений характеристик $1$-го покемона (который изначально расположен на арене) есть $[2,9,9]$.

На первой операции можно выбрать $i=3$, $j=1$, $k=1$ и увеличить $a_{3,1}$ на $1$ навсегда. Теперь массив значений характеристик $3$-го покемона станет равен $[2,2,1]$. Стоимость этой операции равна $k = 1$.

На второй операции можно выбрать $i=3$, $j=1$ и вызвать $3$-го покемона, который сразится с текущим покемоном на арене по $1$-й характеристике. Поскольку $a_{i,j}=a_{3,1}=2 \ge 2=a_{1,1}$, $3$-й покемон победит. Стоимость этой операции равна $c_3 = 1$.

Таким образом, $3$-й покемон находится на арене, а суммарная стоимость операций равна $2$. Можно показать, что меньше $2$ ответ получить нельзя.

Во втором наборе входных данных массив значений характеристик $1$-го покемона есть $[9,9,9]$.

На первой операции можно выбрать $i=2$, $j=3$, $k=2$ и увеличить $a_{2,3}$ на $2$ навсегда. Теперь массив значений характеристик $2$-го покемона есть $[6,1,9]$. Стоимость этой операции равна $k = 2$.

На второй операции можно выбрать $i=2$, $j=3$ и вызвать $2$-го покемона, который сразится с текущим покемоном на арене по $3$-й характеристике. Поскольку $a_{i,j}=a_{2,3}=9 \ge 9=a_{1,3}$, $2$-й покемон победит. Стоимость этой операции равна $c_2 = 3$.

На третьей операции можно выбрать $i=3$, $j=2$ и вызвать $3$-го покемона, который сразится с текущим покемоном на арене по $2$-й характеристике. Поскольку $a_{i,j}=a_{1,2}=2 \ge 1=a_{2,2}$, $3$-й покемон победит. Стоимость этой операции равна $c_3 = 1$.

Таким образом, $3$-й покемон находится на арене, а суммарная стоимость операций равна $6$. Можно показать, что меньше $6$ ответ получить нельзя.

G. Рудольф и метро

графы Конструктив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2000

Бернарду не помогло строительство мостов, и он все равно продолжил везде опаздывать. Тогда Рудольф решил научить его оптимально пользоваться метро.

Рудольф изобразил карту метро как неориентированный связный граф, не имеющий петель, в котором вершины представляют собой станции метро. Любая пара вершин соединяется не более чем одним ребром.

Две вершины соединяются ребром, если между соответствующими станциями метро можно переместиться на поезде напрямую, минуя другие станции. Метро в городе, в котором живут Рудольф и Бернард, имеет цветовую нотацию. Это значит, что любое ребро между какими-либо станциями имеет определенный цвет. Ребра определенного цвета в совокупности образуют ветку метро. Ветка метро не может содержать не связанные между собой ребра, то есть образует связный подграф заданного графа метро.

Пример карты метро приведен на рисунке.

$\text{[math]}$

Рудольф утверждает, что маршрут будет максимально оптимальным, если он будет проходить через минимальное количество веток.

Помогите Бернарду определить это минимальное количество для заданных станций отправления и назначения.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Далее следуют описания наборов.

Первая строка набора содержит целые числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5, 1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество станций метро и количество прямых маршрутов между станциями (то есть ребер графа).

Далее следует $m$ строк — описание ребер. Каждая строка описания содержит три целых числа $u$, $v$ и $c$ ($1 \le u, v \le n, u \ne v, 1 \le c \le 2 \cdot 10^5$) — номера вершин, между которыми есть ребро, и цвет этого ребра. Гарантируется, что ребра одного цвета образуют связный подграф заданного графа метро. Между каждой парой вершин не более одного ребра.

Далее следует два целых числа $b$ и $e$ ($1 \le b, e \le n$) — станции отправления и назначения.

Сумма всех $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$. Аналогично, сумма всех $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите единственное целое число — минимальное количество веток, через которое может пройти маршрут от станции $b$ до станции $e$.

Примечание

Граф метро для первого примера приведен на рисунке в условии.

В первом наборе тестовых данных из вершины $1$ в вершину $3$ можно добраться по пути $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$, воспользовавшись только зеленой веткой.

Во втором наборе тестовых данных из вершины $1$ в вершину $6$ можно добраться по пути $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 6$, воспользовавшись зеленой и синей веткой.

В третьем наборе тестовых данных из вершины $6$ в ту же самую вершину не нужно ехать, поэтому количество веток равно $0$.

В четвертом наборе тестовых данных все ребра графа принадлежат одной ветке, поэтому ответ $1$.

A. Разрушение мостов

графы жадные алгоритмы математика *800

Имеется $n$ островов, пронумерованных $1, 2, \ldots, n$. Изначально каждая пара островов соединена мостом. Таким образом, всего существует $\frac{n (n - 1)}{2}$ мостов.

Эверул живет на острове $1$ и с удовольствием посещает другие острова, используя мосты. Доминатор может уничтожить не более $k$ мостов, чтобы минимизировать количество островов, на которые Эверул может попасть, пройдя по оставшимся (возможно, нескольким) мостам.

Найдите минимальное количество островов (включая остров $1$), которые Эверул может посетить, если Доминатор разрушит мосты оптимально.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^3$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая и единственная строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le n \le 100$, $0 \le k \le \frac{n \cdot (n - 1)}{2}$).

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите минимальное количество островов, которые может посетить Эверул, если Доминатор разрушит мосты оптимально.

Примечание

В первом наборе входных данных, поскольку ни один мост не может быть разрушен, все острова будут доступны.

Во втором наборе входных данных вы можете уничтожить мост между островами $1$ и $2$. Эверул не сможет посетить остров $2$, но сможет посетить остров $1$. Таким образом, общее количество островов, которые может посетить Эверул, равняется $1$.

В третьем наборе входных данных Эверул всегда имеет возможность добраться до всех островов, вне зависимости от действий Доминатора. Например, если Доминатор разрушит мост между островами $1$ и $2$, Эверул все равно может посетить остров $2$, путешествуя по пути $1 \to 3 \to 2$, так как мосты между $1$ и $3$, а также между $3$ и $2$ не разрушены.

В четвертом наборе входных данных можно уничтожить все мосты, так как $k = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}$. Эверул сможет посетить только $1$ остров (остров $1$).

C. Стрелочный путь

графы дп Конструктив кратчайшие пути Перебор поиск в глубину и подобное *1300

Задано поле, состоящее из $2$ строк и $n$ столбцов. Строки нумеруются от $1$ до $2$ сверху вниз. Столбцы нумеруются от $1$ до $n$ слева направо. Каждая клетка поля содержит стрелку, указывающую либо влево, либо вправо. Ни одна стрелка не указывает за пределы поля.

Есть робот, который начинает в клетке $(1, 1)$. Каждую секунду происходят следующие два действия одно за другим:

сначала робот двигается влево, вправо, вниз или вверх (он не может попытаться выйти за пределы поля и не может пропустить ход);
затем он двигается по направлению стрелки, которая находится в текущей ячейке (в ячейке, в которой он окажется после своего хода).

Ваша задача — определить, может ли робот достичь клетки $(2, n)$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$).

Вторая строка содержит строку, состоящую ровно из $n$ символов < и/или > — первая строка поля.

Третья строка содержит строку, состоящую ровно из $n$ символов < и/или > — вторая строка поля.

Дополнительные ограничения на входные данные:

$n$ — четное число;
нет стрелок, указывающих за пределы поля;
сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите YES, если робот может достичь клетки $(2, n)$; в противном случае выведите NO.

Вы можете печатать каждую букву в любом регистре. Например, yes, Yes, YeS будут распознаны как положительный ответ.

Примечание

В первом примере один из возможных путей выглядит следующим образом: $(1, 1) \rightarrow (1, 2) \rightarrow (1, 3) \rightarrow (2, 3) \rightarrow (2, 4)$.

Во втором примере один из возможных путей выглядит следующим образом: $(1, 1) \rightarrow (2, 1) \rightarrow (2, 2)$.

В третьем примере нет способа достичь клетки $(2, 4)$.

В четвертом примере один из возможных путей выглядит следующим образом: $(1, 1) \rightarrow (2, 1) \rightarrow (2, 2) \rightarrow (1, 2) \rightarrow (1, 3) \rightarrow (2, 3) \rightarrow (2, 4) \rightarrow (2, 5) \rightarrow (2, 6)$.

E. Разделение на клики

графы жадные алгоритмы Конструктив Перебор реализация *2100

Даны два целых числа, $n$ и $k$. Рассмотрим граф на $n$ вершинах, пронумерованных от $1$ до $n$, в котором изначально нет ребер.

Вам нужно назначить каждой вершине число; пусть $a_i$ — число, назначенное вершине $i$. Все $a_i$ должны быть различными целыми числами от $1$ до $n$.

После того как вы назначили числа для вершин, вы добавляете в граф ребра. Для пары вершин $(i, j)$ добавляется ребро между ними, если $|i - j| + |a_i - a_j| \le k$.

Ваша цель — создать граф, который можно разбить на минимально возможное (для заданных значений $n$ и $k$) количество клик. Каждая вершина графа должна принадлежать ровно одной клике. Напомним, что клика — это такое множество вершин, что каждая пара вершин в этом множестве соединена ребром.

Поскольку BledDest не особо подтянул свои навыки программирования, он не может решить задачу «дан граф, разбейте его на минимальное количество клик». Поэтому мы также просим вас вывести само разбиение.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1600$) — количество наборов входных данных.

Каждый набор входных данных состоит из одной строки, содержащей два целых числа $n$ и $k$ ($2 \le n \le 40$; $1 \le k \le 2n$).

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите три строки:

первая строка должна содержать $n$ различных целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$) — значения, которые вы назначаете вершинам;
вторая строка должна содержать одно целое число $q$ ($1 \le q \le n$) — количество клик, на которые вы разбиваете граф;
третья строка должна содержать $n$ целых чисел $c_1, c_2, \dots, c_n$ ($1 \le c_i \le q$) — разбиение графа на клики. Где две вершины $u$ и $v$ в одной клике, если $c_u = c_v$.

Если существует несколько ответов, выведите любой из них.

G. Scooter

графы жадные алгоритмы *2300

The Czech Technical University campus consists of $n$ buildings, indexed from $1$ to $n$. In each building, there can be a math class scheduled, or a computer science class, or neither (but not both). Additionally, in each building, there is at most one professor, and each professor is either an expert in mathematics or in computer science.

As an intern at University Express Inc., your job is to quickly transport the professors to their classes. For this, you have been granted a brand new two-person scooter, able to accommodate yourself, plus at most one passenger.

Initially, you are the only person on the scooter. When you arrive at a building, you may drop off or pick up professors to/from that building. However, in order to improve the efficiency of your task, you are allowed to drive to each of the $n$ buildings at most once, in the order of your choice (you can also decide where to start the itinerary).

After the end of your itinerary, in each building where a math class is scheduled, there must be a professor expert in math, and in each building where a computer science class is scheduled, there must be a professor expert in computer science.

Devise an itinerary that makes it possible to teach all classes.

Input

The first line contains an integer $n$ ($1\le n \le 2000$) — the number of buildings in the campus.

The second line contains a string of $c$ of length $n$ consisting of the characters $\texttt{-}$, $\texttt{C}$, $\texttt{M}$ — the $i$-th character denotes the subject of the class scheduled in the $i$-th building. $\texttt{C}$ stands for computer science, $\texttt{M}$ stands for mathematics, while $\texttt{-}$ means that there is no class scheduled in the $i$-th building.

The third line contains a string $p$ of length $n$ consisting of the characters $\texttt{-}$, $\texttt{C}$, $\texttt{M}$ — the $i$-th character denotes the expertise of the professor in the $i$-th building (if there is a professor). $\texttt{C}$ stands for computer science, $\texttt{M}$ stands for mathematics, while $\texttt{-}$ means that there is no professor in the $i$-th building.

It is guaranteed that, for all tests given to your program, there exists a valid itinerary.

Output

In the first line print an integer $l$ — the number of operations in your chosen itinerary.

The $i$-th ($1 \leq i \leq l$) of the next $l$ lines must contain one of three commands:

$\texttt{DRIVE } x$ — go to the building with the number $x$ ($1 \leq x \leq n$);
$\texttt{PICKUP}$ — pick up the professor which was initially at the current building;
$\texttt{DROPOFF}$ — drop off the passenger professor at the current building.

In order for the itinerary to be valid, the following conditions must hold:

No two $\texttt{DRIVE}$ instructions should go to the same building;
At most one $\texttt{DROPOFF}$ and one $\texttt{PICKUP}$ instruction in this order should be issued at each specific building;
For all $\texttt{PICKUP}$ instructions, there must be a professor initially at the building, as well as no one already riding along on the scooter;
For all $\texttt{DROPOFF}$ instructions, there must be a professor riding along at the time of the command;
After the itinerary, in each building, if there is a class in that building, there must be a professor expert in the class' subject (either initially, or because they were dropped off there).

Note that, in particular, you cannot pick up a professor that you just dropped off for an itinerary to be valid.

Note

In the first sample, You start by driving to building number $3$. You then pick up the mathematics professor. After dropping him off at building number $2$, where a mathematics class is being held, you pick up the computer science professor from there, and drop her off at building number $1$, finishing your itinerary.

I. Disks

геометрия графы Паросочетания поиск в глубину и подобное *1800

You are given $n$ disks in the plane. The center of each disk has integer coordinates, and the radius of each disk is a positive integer. No two disks overlap in a region of positive area, but it is possible for disks to be tangent to each other.

Your task is to determine whether it is possible to change the radii of the disks in such a way that:

Disks that were tangent to each other remain tangent to each other.
No two disks overlap in a region of positive area.
The sum of all radii strictly decreases.

The new radii are allowed to be arbitrary positive real numbers. The centers of the disks cannot be changed.

Input

The first line contains an integer $n$ ($1\le n \le 1000$) — the number of disks.

The next $n$ lines contain three integers each. The $i$-th of such lines contains $x_i$, $y_i$ ($-10^9 \leq x_i, y_i \leq 10^9$), and $r_i$ ($1 \leq r_i \leq 10^9$) — the coordinates of the center, and the radius, of the $i$-th disk.

Output

Print $\texttt{YES}$ if it is possible to change the radii in the desired manner. Otherwise, print $\texttt{NO}$.

Note

In the first sample, one can decrease the radii of the first and third disk by $0.5$, and increase the radius of the second disk by $0.5$. This way, the sum of all radii decreases by $0.5$. The situation before and after changing the radii is depicted below.

$\text{[math]}$ First sample (left) and a valid way to change the radii of the disks (right).

In the second sample, depicted below, there is no way to change the radii of the disks in the desired manner.

$\text{[math]}$ Second sample.

J. Amanda the Amoeba

графы Деревья реализация *2600

This problem has an attachment. You can use it to simulate and visualize the movements of the amoeba.

Amoeba Amanda lives inside a rectangular grid of square pixels. Her body occupies some of these pixels. Other pixels may be either free or blocked. Amanda moves across the grid using the so-called amoeboid movement. In each step of such a movement, her body first shrinks by one pixel (one pixel of the body is removed and becomes free), and then grows at a different place (one previously-free pixel is added to the body).

To prevent structural damage, Amanda's body always occupies a connected region of pixels, which means that any pair of pixels forming the body can be connected by a sequence of adjacent pixels without ever leaving the body. Two pixels are considered adjacent if they share a common side (each pixel has at most 4 neighbours). The body remains connected even during the movement, including the moment after removing a pixel and before adding another one.

Your task is to help Amanda find her way around. Given her initial position and desired final position, suggest a sequence of valid moves leading from the former to the latter.

$\text{[math]}$ Illustration of sample $1$: The filled shape is the initial position, the dotted region is the final position.

Input

The first line contains two integers $r$ and $c$ ($1\le r,c \le 50$) — the size of the rectangular grid in pixels.

The next $r$ lines contain $c$ characters each, describing the initial position of Amanda. Each of those characters is either a dot $\texttt{.}$ denoting a free pixel, an asterisk $\texttt{*}$ denoting Amanda's body, or an $\texttt{X}$ denoting a blocked pixel which may never be occupied.

The next line is empty.

The next $r$ lines describe the desired final position in the same format as the initial position.

It is guaranteed that:

The number of pixels forming Amanda's body is the same in both positions, and it is at least 2.
The body of Amanda is connected in the initial position.
The body of Amanda is connected in the final position.
The blocked pixels do not change between the descriptions of the initial and final position, their placement is exactly the same in both positions.

Output

Print $\texttt{YES}$ if it is possible for Amanda to go from the initial position to the final one. Otherwise, print $\texttt{NO}$.

If it is possible, on the next line print one integer $m$ ($0\le m\le 10\,000$) — the number of moves to execute.

The following $m$ lines must contain four integer coordinates each: $i_1$, $j_1$, $i_2$, $j_2$ ($1\le i_1,i_2\le r$, $1\le j_1,j_2\le c$). These four coordinates specify one move, meaning that the pixel at $i_1$-th row and $j_1$-th column is first removed from the body. Then, $(i_2,j_2)$ must designate a different location where one pixel is added.

The sequence should consist only of valid moves and after the last move, Amanda's body should occupy the desired final position.

If there are multiple solutions, print any of them.

Under the assumptions of this problem, it can be proven that if it is possible for Amanda to go from the initial position to the desired final one, then it is possible to do it with at most $10\,000$ moves.

Note

In the first sample, Amanda executes 5 moves to reach the final position, as shown in the figure below.

$\text{[math]}$

E. Построение леса

графы снм Структуры данных *2000

Ориентированным взвешенным лесом называется взвешенный ациклический орграф, в котором из каждой вершины выходит не более одного ребра.

Корнем вершины v ориентированного взвешенного леса назовем вершину, из которой не выходит ребра, и до которой можно дойти из вершины v, двигаясь по ребрам ориентированного взвешенного леса. Обозначим корень вершины v как root(v).

Глубиной вершины v назовем сумму весов пути проходящего от вершины v до ее корня. Обозначим глубину вершины v как depth(v).

Рассмотрим процесс построения ориентированного взвешенного леса. Изначально лес не содержит вершин. Вершины последовательно добавляются по одной. Всего выполняется n операций добавления. i-я (i > 0) операция добавления описывается набором чисел (k, v₁, x₁, v₂, x₂, ... , v_k, x_k) и означает, что в граф нужно добавить вершину номер i и k ребер: ребро из вершины root(v₁) в вершину i весом depth(v₁) + x₁, ребро из вершины root(v₂) в вершину i весом depth(v₂) + x₂ и так далее. В случае, если k = 0, в граф добавляется только вершина i и не добавляется никаких ребер.

Ваша задача состоит в том, чтобы по заданным операциям добавления вершин вычислить остаток от деления суммы весов всех ребер леса, получившихся после применения всех заданных операций, на 1000000007 (10⁹ + 7).

Входные данные

В первой строке записано единственное целое число: n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество операций добавления вершины.

Следующие n строк содержат описание операций, i-я из них содержит описание операции добавления i-ой вершины в следующем формате: первый числом строки является целое k (0 ≤ k ≤ i - 1), далее следует 2k целых чисел, разделенных пробелами: v₁, x₁, v₂, x₂, ... , v_k, x_k (1 ≤ v_j ≤ i - 1, |x_j| ≤ 10⁹).

Операции заданы в том порядке, в котором их следует применять к графу. Гарантируется, что сумма k по всем операциям не превосходит 10⁵, а также что в результате применения операций добавления вершин не образуется петель и кратных ребер.

Выходные данные

Выведите одно целое число — сумму весов всех ребер получившегося графа по модулю 1000000007 (10⁹ + 7).

Примечание

Рассмотрим первый пример:

Добавляется вершина 1. Так как k = 0, то ребер не добавляется.
Добавляется вершина 2. Так как k = 0, то ребер не добавляется.
Добавляется вершина 3. k = 1. v₁ = 2, x₁ = 1. Добавляется ребро из вершины root(2) = 2 в вершину 3 веса depth(2) + x₁ = 0 + 1 = 1.
Добавляется вершина 4. k = 2. v₁ = 1, x₁ = 5. Добавляется ребро из вершины root(1) = 1 в вершину 4 веса depth(1) + x₁ = 0 + 5 = 5. v₂ = 2, x₂ = 2. Добавляется ребро из вершины root(2) = 3 в вершину 4 веса depth(2) + x₁ = 1 + 2 = 3.
Добавляется вершина 5. k = 1. v₁ = 1, x₁ = 2. Добавляется ребро из вершины root(1) = 4 в вершину 5 веса depth(1) + x₁ = 5 + 2 = 7.
Добавляется вершина 6. k = 1. v₁ = 3, x₁ = 4. Добавляется ребро из вершины root(3) = 5 в вершину 6 веса depth(3) + x₁ = 10 + 4 = 14.

Получившийся граф показан на иллюстрации ниже: $\text{[math]}$

G. Перемешивание песен

битмаски графы дп поиск в глубину и подобное реализация Строки хэши *1900

У Владислава есть плейлист, состоящий из $n$ песен, пронумерованных от $1$ до $n$. Песня $i$ имеет жанр $g_i$ и автора $w_i$. Он хочет составить плейлист таким образом, чтобы каждая пара соседних песен либо имела одного и того же автора, либо была из того же жанра (или и то, и другое). Он называет такой плейлист захватывающим. И $g_i$, и $w_i$ являются строками, длины не более $10^4$.

Не всегда возможно составить захватывающий плейлист, используя все песни, поэтому процесс перемешивания происходит в два этапа. Сначала удаляются некоторое количество (возможно, нулевое) песен, а затем оставшиеся песни в плейлисте переставляются, чтобы сделать его захватывающим.

Поскольку Владислав не любит, когда песни удаляются из его плейлиста, он хочет, чтобы составление плейлиста выполнялось с минимальным количеством удалений. Помогите ему найти минимальное количество удалений, которые необходимо выполнить, чтобы можно было переставить оставшиеся песни, чтобы сделать плейлист захватывающим.

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество тестов. Затем следует описание тестов.

Первая строка каждого теста содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 16$) — количество песен в исходном плейлисте.

Затем следуют $n$ строк, $i$-я из которых содержит две строки строчных букв $g_i$ и $w_i$ ($1 \leq |g_i|, |w_i| \leq 10^4$) — жанр и автор $i$-й песни. Где $|g_i|$ и $|w_i|$ — длины строк.

Сумма $2^n$ по всем тестам не превышает $2^{16}$.

Сумма $|g_i| + |w_i|$ по всем наборам входных данных не превышает $4 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите одно целое число — минимальное количество удалений, необходимых для того, чтобы получившийся плейлист можно было сделать захватывающим.

Примечание

В первом тесте плейлист уже захватывающий.

Во втором тесте, если у вас есть песни в порядке $4, 3, 1, 2$, это захватывающий плейлист, поэтому вам не нужно удалять никакие песни.

В третьем тесте вы можете удалить песни $4, 5, 6, 7$. Тогда плейлист с песнями в порядке $1, 2, 3$ будет захватывающим.

I. Выращивание деревьев

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы Конструктив Потоки *3200

ඞ

Вам дан неориентированный связный простой граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами, где ребро $i$ соединяет вершины $u_i$ и $v_i$. С каждым ребром связаны два положительных параметра $a_i$ и $b_i$. Кроме того, вам дано целое число $k$.

Неотрицательный массив $x$ длины $m$ называется генератором $k$-остовного-дерева, если он удовлетворяет следующим условиям:

Рассмотрим неориентированный мультиграф с $n$ вершинами, в котором ребро $i$ клонировано $x_i$ раз (т.е. существует $x_i$ ребер, соединяющих $u_i$ и $v_i$). Можно разбить ребра этого графа на $k$ остовных деревьев, где каждое ребро принадлежит ровно одному остовному дереву$^\dagger$.

Стоимость такого массива $x$ определяется как $\sum_{i = 1}^m a_i x_i^2 + b_i x_i$. Найдите минимальную стоимость генератора $k$-остовного-дерева.

$^\dagger$ Остовное дерево (мульти)графа — это подмножество ребер графа, которые образуют дерево, соединяющее все вершины графа.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \le t \le 500$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($2 \le n \le 50, n - 1 \le m \le \min(50, \frac{n(n - 1)}{2}), 1 \le k \le 10^7$) — количество вершин в графе, количество ребер в графе и параметр для генератора $k$-остовного-дерева.

Каждая из следующих $m$ строк каждого набора входных данных содержит четыре целых числа $u_i$, $v_i$, $a_i$ и $b_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n, u_i \neq v_i, 1 \le a_i, b_i \le 1000$) — конечные точки ребра $i$ и два его параметра. Гарантируется, что граф прост и связен.

Гарантируется, что сумма $n^2$ и сумма $m^2$ по всем наборам входных данных не превосходит $2500$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число: минимальную стоимость генератора $k$-остовного-дерева.

Примечание

В первом наборе входных данных допустимым генератором $1$-остовного-дерева является $x = [1, 1, 1, 1, 0]$, как показано на следующем рисунке. Стоимость этого генератора равна $(1^2 \cdot 5 + 1 \cdot 5) + (1^2 \cdot 5 + 1 \cdot 7) + (1^2 \cdot 6 + 1 \cdot 2) + (1^2 \cdot 3 + 1 \cdot 5) + (0^2 \cdot 4 + 0 \cdot 9) = 38$. Можно доказать, что ни один другой генератор не имеет меньшей стоимости.

$\text{[math]}$ Разбиение $1$-остовного-дерева $x = [1, 1, 1, 1, 0]$

Во втором наборе входных данных допустимым генератором $3$-остовного-дерева является $x = [2, 3, 2, 2, 3]$, как показано на следующем рисунке. Стоимость этого генератора равна $(2^2 \cdot 5 + 2 \cdot 5) + (3^2 \cdot 5 + 3 \cdot 7) + (2^2 \cdot 6 + 2 \cdot 2) + (2^2 \cdot 3 + 2 \cdot 5) + (3^2 \cdot 4 + 3 \cdot 9) = 191$. Можно доказать, что ни один другой генератор не имеет меньшей стоимости.

$\text{[math]}$ Разбиение $3$-остовного-дерева $x = [2, 3, 2, 2, 3]$

F. Нина и игра в баскетбол

графы Конструктив снм сортировки Структуры данных *3000

Нина тренирует свою команду по баскетболу. Команда Нины состоит из $n$ игроков, пронумерованных от $1$ до $n$. У $i$-го игрока есть интервал рук $[l_i,r_i]$. Два игрока $i$ и $j$ ($i \neq j$) могут передавать мяч друг другу, только если $|i-j|\in[l_i+l_j,r_i+r_j]$ (здесь $|x|$ обозначает абсолютное значение $x$).

Нина хочет проверить готовность своей команды. Для этого она проведет несколько раундов передач.

В каждом раунде Нина выберет последовательность игроков $p_1,p_2,\ldots,p_m$ такую, что игроки $p_i$ и $p_{i+1}$ могут передавать мяч друг другу для всех $1 \le i < m$. Длина последовательности $m$ может быть выбрана Ниной. Каждый игрок может появиться в последовательности $p_1,p_2,\ldots,p_m$ несколько раз или вообще не появиться в ней.
Затем Нина бросит мяч игроку $p_1$, игрок $p_1$ передаст мяч игроку $p_2$ и так далее... Игрок $p_m$ выбросит мяч за пределы баскетбольного поля, так что его больше нельзя будет использовать.

Как тренер, Нина хочет, чтобы каждый из $n$ игроков участвовал хотя бы в одном раунде передач. Поскольку Нина хочет пойти на свидание после школы, она хочет, чтобы вы вычислили минимальное количество раундов передач, необходимых для выполнения задачи.

Входные данные

В первой строке дано одно целое число $t$ ($1 \le t \le 2\cdot 10^5$) — количество наборов входных данных.

В первой строке дано одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2\cdot 10^6$) — количество игроков.

В $i$-й из следующих $n$ строк даны два целых числа $l_i$ и $r_i$ ($1\leq l_i\leq r_i\leq n$) — интервал рук $i$-го игрока.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем тестовым случаям не превосходит $2\cdot 10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — минимальное количество раундов передач, которое Нина должна провести, чтобы завершить свою работу.

Примечание

В первых двух наборах входных данных Нина может провести два раунда передач: один с $p=[1]$ и один с $p=[2]$. Можно показать, что одного раунда передач недостаточно, поэтому ответ $2$.

В третьем наборе входных данных Нина может провести два раунда передач: один с $p=[1,3]$ и один с $p=[2]$. Игрок $1$ может передать мяч игроку $3$, так как $|3-1|=2 \in [1+1,3+3]$. Можно показать, что одного раунда передач недостаточно, поэтому ответ $2$.

I. Равные деревья

*особая задача meet-in-the-middle графы *3100

Задано два корневых дерева, состоящих из $n$ вершин каждое. Вершины в деревьях пронумерованы от $1$ до $n$, корень дерева — вершина $1$.

Вы можете выполнять следующую операцию: выбрать дерево и вершину $v$ (кроме корня дерева) в нем; соединить дочерние узлы $v$ с родителем $v$ и удалить $v$ из дерева.

Давайте скажем, что два дерева равны, если выполняются оба следующих условия:

множества оставшихся вершин в обоих деревьях одинаковы;
для каждой вершины $v$, которая не удалена, ее родитель в первом дереве такой же, как и ее родитель во втором дереве.

Ваша задача — вычислить минимальное количество вышеупомянутых операций, чтобы сделать деревья равными.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 40$) — количество вершин в деревьях.

Вторая строка содержит $n-1$ целых чисел $a_2, a_3, \dots, a_n$ ($1 \le a_i \le n$), где $a_i$ — родитель $i$-й вершины в первом дереве. Вершина $1$ — корень дерева.

Третья строка содержит $n-1$ целых чисел $b_2, b_3, \dots, b_n$ ($1 \le b_i \le n$), где $b_i$ — родитель $i$-й вершины во втором дереве. Вершина $1$ — корень дерева.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимальное количество вышеупомянутых операций, чтобы сделать деревья равными.

B. Бесконечный лабиринт

Имеется прямоугольный лабиринт размером n × m клеток, каждая из которых либо проходима, либо является стеной (непроходима). Маленький мальчик нашел этот лабиринт и циклически замостил им плоскость таким образом, что плоскость стала бесконечным лабиринтом. Теперь клетка (x, y) этой плоскости является стеной тогда и только тогда, когда клетка $\text{[math]}$ является стеной.

Под $\text{[math]}$ в этой задаче понимается остаток от деления числа a на число b.

Маленький мальчик встал в некоторую клетку плоскости и интересуется, может ли он удалиться от своего стартового расположения на бесконечно большое расстояние. Из клетки (x, y) он может перемещаться в одну из клеток (x, y - 1), (x, y + 1), (x - 1, y) и (x + 1, y), если эта клетка не является стеной.

Входные данные

В первой строке записаны через пробел два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 1500) — высота и ширина лабиринта, которым маленький мальчик циклически замостил плоскость.

В следующих n строках записано по m символов — описание лабиринта. Каждый символ равен либо «#», что означает стену, либо «.», что означает проходимый участок, либо «S», что означает стартовую позицию маленького мальчика.

Стартовая позиция является проходимым участком. Гарантируется, что символ «S» присутствует во входных данных ровно один раз.

Выходные данные

Выведите «Yes» (без кавычек), если маленький мальчик сможет удалиться от своего первоначального расположения на бесконечно большое расстояние, и «No» (без кавычек) иначе.

Примечание

В первом примере маленький мальчик может бесконечно долго идти вверх, так как существует «сквозной» проход снизу вверх. Для этого надо бесконечно повторять последовательность шагов «вверх, вверх, влево, вверх, вверх, вправо, вверх».

Во втором примере проход снизу вверх закрыт. Выйти за пределы лабиринта влево тоже не получается — в следующей «копии» лабиринта маленький мальчик попадает в тупик.

E. Открытие порталов

графы кратчайшие пути снм *2600

Павел играет в одну известную компьютерную игру. Игроку предоставлена в распоряжение целая страна, где можно свободно путешествовать, выполнять квесты и набирать опыт.

В этой стране n городов, соединенных m двусторонними дорогами различной длины так, что из каждого города можно добраться до каждого. В k из этих городов имеются порталы. В начале игры все порталы закрыты. Когда игрок посещает город, в котором есть портал, этот портал становится открытым. Из открытого портала в открытый можно, как ни странно, телепортироваться. Телепортация происходит мгновенно, что дает возможность игроку быстро перемещаться между довольно удаленными областями страны.

В начале игры Павел находится в городе с номером 1. Он хочет как можно быстрее открыть все порталы. Какое наименьшее время ему для этого потребуется?

Входные данные

В первой строке через пробел записано два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 10⁵, 0 ≤ m ≤ 10⁵) — количества городов и дорог в игре.

В каждой из следующих m строк содержится описание дороги — три целых числа x_i, y_i, w_i, записанные через пробел (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i, 1 ≤ w_i ≤ 10⁹) — номера городов, соединенных i-ой дорогой и время, необходимое на ее преодоление. Между любыми двумя городами проведено не более одной дороги. Гарантируется, что из любого города можно добраться до любого, двигаясь по дорогам страны.

В следующей строке записано целое число k (1 ≤ k ≤ n) — количество порталов.

В следующей строке через пробел записаны k целых чисел p₁, p₂, ..., p_k — номера городов, в которых установлены порталы. В каждом городе установлено не более одного портала.

Выходные данные

Выведите единственное число — минимальное время, которое требуется игроку, чтобы открыть все порталы.

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для чтения или записи 64-битных чисел на C++. Рекомендуется использовать потоки cin, cout или спецификатор %I64d.

Примечание

Во втором примере игрок должен прийти в город 2, открыть в нем портал, затем отправиться в город 3, открыть там портал, телепортироваться обратно в город 2 и, наконец, завершить свое путешествие в городе 4.

D. Длинный путь к неубыванию

Бинарный поиск графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное реализация *2800

Малышка R — волшебница, которая любит неубывающие массивы. У нее есть массив длины $n$, изначально равный $a_1, \ldots, a_n$, в котором каждый элемент — целое число в диапазоне $[1, m]$. Она хочет, чтобы он стал неубывающим, то есть выполнялось $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$.

Для этого она может проделать несколько фокусов. У малышки R есть фиксированный массив $b_1\ldots b_m$ длины $m$. Формально определим фокус как процедуру, которая выполняет следующие действия по порядку:

Выбрать множество $S \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}$.
Для каждого $u \in S$ присвоить $a_u$ значение $b_{a_u}$.

Малышка R задается вопросом, сколько нужно сделать фокусов, чтобы исходный массив стал неубывающим. Если это невозможно ни при каком количестве фокусов, выведите вместо этого $-1$.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1\le t\le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1\leq n \leq 10^6$, $1 \leq m \leq 10^6$) — длину исходного массива и диапазон элементов в массиве.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, \ldots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq m$) — изначальный массив.

Третья строка каждого набора входных данных содержит $m$ целых чисел $b_1, \ldots, b_m$ ($1 \leq b_i \leq m$) — фиксированный магический массив.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$, и сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число: минимально необходимое количество фокусов или $-1$, если невозможно сделать $a_1, \ldots, a_n$ неубывающим.

Примечание

В первом наборе входных данных изначальный массив $a_1, \ldots, a_n$ равен $[1, 6, 3, 7, 1]$. Вы можете выбрать $S$ следующим образом:

первый фокус: $S = [2, 4, 5]$, $a = [1, 1, 3, 5, 2]$;
второй фокус: $S = [5]$, $a = [1, 1, 3, 5, 3]$;
третий фокус: $S = [5]$, $a = [1, 1, 3, 5, 5]$.

Таким образом, с помощью $3$ фокусов можно сделать $a_1, \ldots, a_n$ неубывающим. Можно показать, что это минимально возможное количество фокусов.

Во втором наборе входных данных невозможно сделать $a_1, \ldots, a_n$ неубывающим.

D. Игра в перестановке

графы жадные алгоритмы игры математика Перебор поиск в глубину и подобное *1300

Бодя и Саша нашли перестановку $p_1,\dots,p_n$ и массив $a_1,\dots,a_n$. Они решили сыграть в известную игру в перестановке.

Каждый из них выбрал стартовую позицию в перестановке.

Игра длится $k$ ходов. Игроки делают ходы одновременно. На каждом ходу с каждым игроком происходит две вещи:

Если текущая позиция игрока $x$, его счет увеличивается на $a_x$.
Затем игрок либо остается на своей текущей позиции $x$, либо перемещается с $x$ на $p_x$.

Победителем игры становится игрок с более высоким счетом после ровно $k$ ходов.

Зная стартовую позицию Боди $P_B$ и стартовую позицию Саши $P_S$, определите, кто выигрывает в игре, если оба игрока пытаются победить.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1\le t\le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит целые числа $n$, $k$, $P_B$, $P_S$ ($1\le P_B,P_S\le n\le 2\cdot 10^5$, $1\le k\le 10^9$) — длина перестановки, продолжительность игры, стартовые позиции соответственно.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $p_1,\dots,p_n$ ($1 \le p_i \le n$) — элементы перестановки $p$.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $a_1,\dots,a_n$ ($1\le a_i\le 10^9$) — элементы массива $a$.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите:

«Bodya», если Бодя выигрывает игру.
«Sasha», если Саша выигрывает игру.
«Draw», если у игроков одинаковый счет.

Примечание

Ниже вы можете найти объяснение для первого набора входных данных, где игра состоит из $k=2$ ходов.

Ход	Позиция Боди	Очки Боди	Ход Боди	Позиция Саши	Очки Саши	Ход Саши
первый	$3$	$0 + a_3 = 0 + 5 = 5$	остаётся в текущей позиции	$2$	$0 + a_2 = 0 + 2 = 2$	переходит в $p_2=1$
второй	$3$	$5 + a_3 = 5 + 5 = 10$	остаётся в текущей позиции	$1$	$2 + a_1 = 2 + 7 = 9$	остаётся в текущей позиции
конечный результат	$3$	$10$		$1$	$9$

Как мы видим, счет Боди больше, поэтому он выигрывает игру. Можно показать, что Бодя всегда может выиграть эту игру.

G2. Min-Fund Prison (Medium)

графы Деревья дп Перебор поиск в глубину и подобное *2200

In the medium version, $2 \leq \sum n \leq 300$ and $1 \leq \sum m \leq 300$

After a worker's strike organized by the Dementors asking for equal rights, the prison of Azkaban has suffered some damage. After settling the spirits, the Ministry of Magic is looking to renovate the prison to ensure that the Dementors are kept in check. The prison consists of $n$ prison cells and $m$ bi-directional corridors. The $i^{th}$ corridor is from cells $u_i$ to $v_i$. A subset of these cells $S$ is called a complex if any cell in $S$ is reachable from any other cell in $S$. Formally, a subset of cells $S$ is a complex if $x$ and $y$ are reachable from each other for all $x, y \in S$, using only cells from $S$ on the way. The funding required for a complex $S$ consisting of $k$ cells is defined as $k^2$.

As part of your Intro to Magical Interior Design course at Hogwarts, you have been tasked with designing the prison. The Ministry of Magic has asked that you divide the prison into $2$ complexes with $\textbf{exactly one corridor}$ connecting them, so that the Dementors can't organize union meetings. For this purpose, you are allowed to build bi-directional corridors. The funding required to build a corridor between any $2$ cells is $c$.

Due to budget cuts and the ongoing fight against the Death Eaters, you must find the $\textbf{minimum total funding}$ required to divide the prison as per the Ministry's requirements or $-1$ if no division is possible.

Note: The total funding is the sum of the funding required for the $2$ complexes and the corridors built. If after the division, the two complexes have $x$ and $y$ cells respectively and you have built a total of $a$ corridors, the total funding will be $x^2 + y^2 + c \times a$. Note that $x+y=n$.

Input

The first line contains one integer $t$ ($1 \leq t \leq 300$) — the number of test cases. Then $t$ test cases follow.

The first line of each test case consists of three integers $n, m$ and $c$ ($2 \leq n \leq 300$, $1 \leq m \leq 300$, $1 \leq c \leq 10^9$)

$m$ lines follow, each consisting of 2 integers — $u_i, v_i$ indicating a corridor is present between cells $u_i$ and $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$, $u_i \neq v_i$)

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed $300$.

It is guaranteed that the sum of $m$ over all test cases does not exceed $300$.

It is guaranteed that there exists at most one corridor between any two cells.

Output

Print the $\textbf{minimum funding}$ required to divide the prison as per the Ministry's requirements or $-1$ if no division is possible.

Note

In the first test case of the sample input, there is no way to divide the prison according to the Ministry's requirements.

In the second test case, consider the corridor between cells $1$ and $5$ as the connection between the $2$ complexes consisting of $\{2, 3, 5, 6\}$ and $\{1, 4\}$ cells respectively. There are no new corridors built. The total funding is $4^2 + 2^2 = 20$. You can verify this is the minimum funding required. $\text{[math]}$

In the third test case, build a corridor between $2$ and $4$. Consider the corridor between cells $1$ and $5$ as the connection between the $2$ complexes consisting of $\{3, 5, 6\}$ and $\{1, 2, 4\}$ cells respectively. The total funding is $3^2 + 3^2 + 7 \times 1 = 25$. You can verify this is the minimum funding required. $\text{[math]}$

In the fourth test case, build a corridor between $2$ and $4$ and between $5$ and $7$. Consider the corridor between cells $5$ and $7$ as the connection between the $2$ complexes consisting of $\{1, 2, 4, 7\}$ and $\{3, 5, 6\}$ cells respectively. The total funding is $4^2 + 3^2 + 4 \times 2 = 33$. You can verify this is the minimum funding required. $\text{[math]}$

Note for all test cases that there may be multiple ways to get the same funding but there is no other division which will have a more optimal minimum funding.

G3. Min-Fund Prison (Hard)

битмаски графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *2400

In the hard version, $2 \leq \sum n \leq 10^5$ and $1 \leq \sum m \leq 5 \times 10^{5}$

Input

The first line contains one integer $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — the number of test cases. Then $t$ test cases follow.

The first line of each test case consists of three integers $n, m$ and $c$ ($2 \leq n \leq 10^5$, $1 \leq m \leq 5 \times 10^{5}$, $1 \leq c \leq 10^9$)

$m$ lines follow, each consisting of 2 integers — $u_i, v_i$ indicating a corridor is present between cells $u_i$ and $v_i$ ($1 \leq u_i, v_i \leq n$, $u_i \neq v_i$)

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed $10^5$.

It is guaranteed that the sum of $m$ over all test cases does not exceed $5 \times 10^5$.

It is guaranteed that there exists at most one corridor between any two cells.

Output

Print the $\textbf{minimum funding}$ required to divide the prison as per the Ministry's requirements or $-1$ if no division is possible.

Note

In the first test case of the sample input, there is no way to divide the prison according to the Ministry's requirements.

Note for all test cases that there may be multiple ways to get the same funding but there is no other division which will have a more optimal minimum funding.

H. ±1

2-sat графы поиск в глубину и подобное *2100

У Боба есть таблица с $3$ строками и $n$ столбцами, в каждом из которых находится либо $a_i$, либо $-a_i$ для некоторого целого числа $1 \leq i \leq n$. Например, одна из возможных сеток для $n=4$ показана ниже:

\begin{bmatrix} a_1 & -a_2 & -a_3 & -a_2 \\ -a_4 & a_4 & -a_1 & -a_3 \\ a_1 & a_2 & -a_2 & a_4 \end{bmatrix}

Алиса и Боб играют в игру следующим образом:

Боб показывает Алисе свою сетку.
Алиса дает Бобу массив $a_1, a_2, \dots, a_n$, который она выбирает, элементы которого либо $\mathbf{-1}$, либо $\mathbf{1}$.
Боб подставляет эти значения в свою сетку, чтобы получить сетку из $-1$ и $1$.
Боб сортирует элементы каждого столбца в неубывающем порядке.
Алиса выигрывает, если все элементы в средней строке равны $1$; в противном случае выигрывает Боб.

Например, предположим, что Алиса дает Бобу массив $[1, -1, -1, 1]$ для приведенной выше сетки. Тогда произойдет следующее (цвета добавлены для ясности):

\begin{bmatrix} \color{red}{a_1} & \color{green}{-a_2} & \color{blue}{-a_3} & \color{green}{-a_2} \\ -a_4 & a_4 & \color{red}{-a_1} & \color{blue}{-a_3} \\ \color{red}{a_1} & \color{green}{a_2} & \color{green}{-a_2} & a_4 \end{bmatrix} \xrightarrow{[\color{red}{1},\color{green}{-1},\color{blue}{-1},1]} \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{green}{1} & \color{blue}{1} & \color{green}{1} \\ -1 & 1 & \color{red}{-1} & \color{blue}{1} \\ \color{red}{1} & \color{green}{-1} & \color{green}{1} & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{сортировка каждого столбца}} \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 & 1 \\ \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\,.  Поскольку средняя строка состоит только из $1$, Алиса выигрывает.

Учитывая сетку Боба, определите, может ли Алиса выбрать массив $a$ и выиграть игру.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1000$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит одно целое число $n$ ($2 \leq n \leq 500$) — количество столбцов сетки Боба.

Следующие три строки содержат по $n$ целых чисел, $i$-я из которых содержит $g_{i,1}, g_{i,2}, \dots, g_{i,n}$ ($-n \leq g_{i,j} \leq n$, $g_{i,j} \neq 0$), представляющих сетку Боба.

Если ячейка $x > 0$ присутствует во входных данных, то эта ячейка в сетке Боба должна содержать $a_x$; если $x < 0$ присутствует во входных данных, то эта ячейка в сетке Боба должна содержать $-a_{-x}$. Для лучшего понимания смотрите пример ввода и примечание.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES» (без кавычек), если Алиса может выиграть, и «NO» (без кавычек) в противном случае.

Вы можете выводить «YES» и «NO» в любом регистре (например, строки «yEs», «yes», и «Yes» будут распознаны как положительный ответ).

Примечание

Первый пример описан в условии.

Во втором примере сетка Боба выглядит следующим образом:

\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ -a_1 & -a_2 \\ a_2 & -a_2 \end{bmatrix}

Чтобы в последнем столбце была $1$ в средней строке после сортировки, Алиса должна выбрать $a_2 = -1$. Однако тогда невозможно выбрать $a_1$ так, чтобы первый столбец имел $1$ в средней строке после сортировки. Таким образом, Алиса не может выиграть.

В третьем примере Алиса может выбрать $a = [1,1,1,1,1]$.

E. Кот, Лиса и обмены

графы математика сортировки *2500

Лиса нашла массив $p_1, p_2, \ldots, p_n$, который является перестановкой длины $n^\dagger$ чисел $1, 2, \ldots, n$. Она хочет отсортировать элементы в порядке возрастания. Кот хочет помочь Лисе — он может поменять местами любые два числа $x$ и $y$ в массиве, но только если $l \leq x + y \leq r$ (обратите внимание, что ограничение накладывается на значения элементов, а не на их позиции). Он может делать такие обмены любое число раз.

Они не знают числа $l$, $r$, но они знают, что $1 \leq l \leq r \leq 2 \cdot n$.

Вам дано число $n$ и массив $p_1, p_2, \ldots, p_n$. Определите, сколько пар $(l, r)$, удовлетворяющих условиям, позволяют отсортировать массив, если разрешается менять местами два числа $(x, y)$ таких, что $l \leq x + y \leq r$ (произвольное число раз, возможно, $0$).

Входные данные

Описание каждого набора входных данных состоит из двух строк. Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 10^5$).

Вторая строка содержит $n$ целых чисел: массив $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ($1 \le p_i \le n$). Гарантируется, что этот массив является перестановкой длины $n$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите количество пар целых чисел $(l, r)$, таких, что $1 \leq l \leq r \leq 2 \cdot n$, и вы сможете отсортировать массив при данных ограничениях.

Примечание

В первом примере нам нужно иметь возможность поменять местами $1$ и $2$, поэтому мы должны иметь возможность поменять местами числа с суммой $3$. Существует ровно $6$ пар, удовлетворяющих условию: $(1, 3), (2, 3), (3, 3), (1, 4), (2, 4)$ и $(3, 4)$, поэтому ответ — $6$.

Во втором примере $11$ пар, удовлетворяющих условию, — это $(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5)$ и $(4, 6)$. Например, если мы выберем пару $(3, 4)$, то сначала поменяем местами числа $1$ и $2$, а затем $1$ и $3$, после чего перестановка будет отсортирована.

E. Тензор

графы интерактив Конструктив *2600

Это интерактивная задача.

Вам дано целое число $n$.

Жюри загадало ориентированный граф с $n$ вершинами (пронумерованными от $1$ до $n$) и с некоторым количеством рёбер. Дополнительно известно, что:

Граф содержит рёбра только вида $i \leftarrow j$, где $1 \le i < j \le n$.
Для любых трёх вершин $1 \le i < j < k \le n$ верно хотя бы одно из следующего$^\dagger$:
- Вершина $i$ достижима из вершины $j$, или
- Вершина $i$ достижима из вершины $k$, или
- Вершина $j$ достижима из вершины $k$.

Вы хотите покрасить каждую вершину графа либо в белый, либо в чёрный цвет так, чтобы для любых двух вершин $i$ и $j$ ($1 \le i < j \le n$) одного цвета вершина $i$ была достижима из вершины $j$.

Для этого вы можете делать запросы следующего вида:

? i j — достижима ли вершина $i$ из вершины $j$ ($1 \le i < j \le n$)?

Найдите любую подходящую раскраску вершин графа за не более чем $2 \cdot n$ запросов. Можно доказать, что такая раскраска всегда существует.

Примечание: интерактор не является адаптивным, то есть граф фиксируется до выполнения каких-либо запросов.

$^\dagger$ Вершина $a$ достижима из вершины $b$ если в графе существует путь из вершины $b$ в вершину $a$.

Входные данные

Единственная строка каждого набора входных данных содержит единственное целое число $n$ ($3 \le n \le 100$) — количество вершин в графе.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $1000$.

Протокол взаимодействия

Взаимодействие для каждого набора входных данных начинается с чтения целого числа $n$.

Для формирования запроса выведите «? i j» без кавычек ($1 \le i < j \le n$). Если вершина $i$ достижима из вершины $j$, вы получите в ответ YES. Иначе, вы получите в ответ NO.

Если вместо ответа или допустимого значения $n$ вы получите целое число $-1$, то это означает, что ваша программа сделала некорректный запрос, превысила лимит запросов или дала неверный ответ на предыдущем наборе входных данных. При получении вердикта «Неправильный ответ» ваша программа должна немедленно завершиться. В противном случае можно получить произвольный вердикт, поскольку решение будет продолжать считывать данные из закрытого потока.

Когда вы будете готовы дать окончательный ответ, выведите «! $c_1 \ c_2 \ \ldots \ c_n$» без кавычек — раскраска вершин графа, где $c_i = 0$, если вершина чёрная, и $c_i = 1$, если вершина белая. После решения одного набора входных данных программа должна сразу же переходить к следующему. После решения всех наборов входных данных программа должна быть немедленно завершена.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Взломы

Для взлома используйте следующий формат:

Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($3 \le n \le 100$, $0 \le m \le \frac{n\cdot(n - 1)}{2}$) — количество вершин и рёбер в графе.

Следующие $m$ строк должны содержать два числа $a$ и $b$ ($1 \le b < a \le n$), означающие, что в графе присутствует ребро $a \rightarrow b$. Граф должен удовлетворять условиям выше.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не должна превышать $1000$.

Примечание

Граф в первом примере:

$\text{[math]}$

Граф во втором примере:

$\text{[math]}$

Взаимодействие происходит следующим образом:

Решение	Жюри	Объяснение
	2	Есть $2$ набора входных данных.
	4	В первом наборе входных данных загадан граф с $4$-мя вершинами.
? 1 2	YES	Решение спрашивает, достижима ли вершина $1$ из вершины $2$, жюри отвечает YES.
? 2 3	YES	Решение спрашивает, достижима ли вершина $2$ из вершины $3$, жюри отвечает YES.
? 1 3	YES	Решение спрашивает, достижима ли вершина $1$ из вершины $3$, жюри отвечает YES.
? 1 4	NO	Решение спрашивает, достижима ли вершина $1$ из вершины $4$, жюри отвечает NO.
? 2 4	NO	Решение спрашивает, достижима ли вершина $2$ из вершины $4$, жюри отвечает NO.
? 3 4	NO	Решение спрашивает, достижима ли вершина $3$ из вершины $4$, жюри отвечает NO.
! 0 0 0 1		Решение каким-то образом определило, что такая раскраска подходит, и выводит её. Поскольку ответ правильный, жюри переходит к следующему набору входных данных.
	1	Во втором наборе входных данных загадан граф с $5$-ю вершинами.
! 1 1 0 1 0		Решение каким-то образом определило, что такая раскраска подходит, и выводит её. Поскольку ответ верен и наборов входных данных больше нет, жюри и решение завершаются.

Обратите внимание, что пустые строки во входных и выходных данных примера сделаны для наглядности и не встречаются в реальном взаимодействии.

F. Большой граф

графы поиск в глубину и подобное снм Структуры данных теория чисел *2400

Дан массив $a$ длины $n$. Построим квадратную матрицу $b$ размера $n \times n$, где в $i$-й строке записан массив $a$, циклически сдвинутый на $(i - 1)$ вправо. Например, для массива $a = [3, 4, 5]$ получается матрица

b = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 3 \end{bmatrix}

Построим следующий граф:

Граф содержит $n^2$ вершин, каждая из которых соответствует одному из элементов матрицы. Обозначим вершину, соответствующую элементу $b_{i, j}$, как $(i, j)$.
Между вершинами $(i_1, j_1)$ и $(i_2, j_2)$ проведём ребро, если $|i_1 - i_2| + |j_1 - j_2| \le k$ и $\gcd(b_{i_1, j_1}, b_{i_2, j_2}) > 1$, где $\gcd(x, y)$ обозначает наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$.

Ваша задача — посчитать количество компонент связности$^{\dagger}$ в полученном графе.

$^{\dagger}$Компонента связности графа — это множество некоторых вершин графа, в котором любая вершина достижима из любой по рёбрам, и добавление любой другой вершины в множество нарушает это правило.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $k$ ($2 \le n \le 10^6$, $2 \le k \le 2 \cdot 10^6$) — длина массива и параметр $k$.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^6$) — элементы массива $a$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — количество компонент связности в полученном графе.

Примечание

В первом наборе входных данных матрица $b$ приведена в условии. Первая компонента связности содержит вершины $(1, 1)$, $(2, 2)$ и $(3, 3)$. Вторая компонента связности содержит вершины $(1, 2)$, $(2, 3)$ и $(3, 1)$. Третья компонента связности содержит вершины $(1, 3)$, $(2, 1)$ и $(3, 2)$. Таким образом, в графе есть $3$ компоненты связности.

Во втором наборе входных данных получается следующая матрица:

b = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 9 \\ 9 & 3 & 4 \\ 4 & 9 & 3 \end{bmatrix}

Первая компонента связности содержит все вершины, соответствующие элементам со значениями $3$ и $9$. Вторая компонента связности содержит все вершины, соответствующие элементам со значением $4$.

В четвёртом наборе входных данных все вершины находятся в одной компоненте связности.

F. Теорема Костяныча

графы интерактив Конструктив Перебор *2900

Это интерактивная задача.

Костяныч загадал полный неориентированный граф$^{\dagger}$ на $n$ вершинах, после чего удалил из него ровно $(n - 2)$ ребра. Вы можете делать запросы следующего вида:

«? $d$» — Костяныч сообщает вам номер вершины $v$ со степенью хотя бы $d$. Из всех возможных таких вершин он выбирает вершину с минимальной степенью, если таких несколько, то с минимальным номером. Также он сообщает вам номер другой вершины из графа, с которой $v$ не соединена ребром (если такой не нашлось, то сообщается $0$). Из всех возможных таких вершин он выбирает вершину с минимальным номером. Затем он удаляет вершину $v$ и все выходящие из неё рёбра. Если требуемой вершины $v$ не нашлось, то сообщается «$0\ 0$».

Найдите в исходном графе гамильтонов путь$^{\ddagger}$ за не более чем $n$ запросов. Можно показать, что при данных ограничениях гамильтонов путь всегда существует.

$^{\dagger}$Полным неориентированным графом называется граф, в котором между любой парой различных вершин есть ровно одно неориентированное ребро. Таким образом, полный неориентированный граф на $n$ вершинах содержит $\frac{n(n-1)}{2}$ рёбер.

$^{\ddagger}$Гамильтоновым путём в графе называется путь, который проходит через каждую вершину ровно один раз.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Единственная строка каждого набора входных данных содержит единственное целое число $n$ ($2 \le n \le 10^5$) — количество вершин в графе.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Протокол взаимодействия

Взаимодействие для каждого набора входных данных начинается с чтения целого числа $n$.

Затем вы можете сделать не более $n$ запросов.

Чтобы сделать запрос, выведите строку в формате «? $d$» (без кавычек) ($0 \le d \le n - 1$). После каждого запроса считайте два целых числа — ответ на ваш запрос.

Когда вы будете готовы сообщить ответ, выведите строку в формате «! $v_1\ v_2 \ldots v_n$» (без кавычек) — вершины в порядке их следования в гамильтоновом пути. Вывод ответа не считается как один из $n$ запросов. После решения одного набора входных данных программа должна сразу же переходить к следующему. После решения всех наборов входных данных программа должна быть немедленно завершена.

Если ваша программа сделает более $n$ запросов для одного набора входных данных или сделает некорректный запрос, то ответом на запрос будет $-1$, после получения такого ответа ваша программа должна немедленно завершится, чтобы получить вердикт Неправильный ответ. Иначе она может получить любой другой вердикт.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Интерактор неадаптивный. Граф не меняется в процессе взаимодействия.

Взломы

Для взлома используйте следующий формат:

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных.

Каждая из следующих $(n - 2)$ строк должна содержать два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \ne v$) — концы ребра, которое удалили из графа. Каждое ребро должно встречаться не более одного раза.

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не должна превышать $10^5$.

Примечание

В первом наборе входных исходный граф выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

Рассмотрим запросы:

Вершины степени хотя бы $3$ в графе нет, поэтому сообщается «$0\ 0$».
Есть четыре вершины степени хотя бы $2$, и все они имеют степень ровно $2$: $1$, $2$, $3$, $4$. Сообщается вершина $1$, потому что она имеет минимальный номер, и вершина $4$, потому что только она не соединена с вершиной $1$. После этого вершина $1$ удаляется из графа.
Есть три вершины степени хотя бы $1$, из них минимальную степень $1$ имеют вершины $2$ и $3$ (вершина $4$ имеет степень $2$). Сообщается вершина $2$, потому что она имеет минимальный номер, и вершина $3$, потому что только она не соединена с вершиной $2$. После этого вершина $2$ удаляется из графа.

Путь $4 - 3 - 1 - 2$ является гамильтоновым.

Во втором наборе входных данных исходный граф выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

Рассмотрим запросы:

Вершина $1$ имеет степень хотя бы $3$, но при этом она соединена со всеми вершинами, поэтому сообщается «$1\ 0$». После этого вершина $1$ удаляется из графа.
Оставшиеся вершины $2$, $3$ и $4$ имеют степень хотя бы $0$, но из них вершина $4$ имеет минимальную степень $0$ (вершины $2$ и $3$ имеют степень $1$). Вершина $4$ не соединена с обеими вершинами $2$ и $3$, поэтому сообщается вершина $2$ (так как она имеет минимальный номер). После этого вершина $4$ удаляется из графа.

Путь $4 - 1 - 2 - 3$ является гамильтоновым.

В третьем наборе входных данных граф состоит из $2$ вершин, соединённых ребром.

G. Яся и таинственное дерево

битмаски графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное Строки Структуры данных *2300

Яся гуляла по лесу и совершенно случайно нашла дерево на $n$ вершинах. Дерево — это связный неориентированный граф, в котором отсутствуют циклы.

Рядом с деревом девочка нашла древний манускрипт, на котором записаны $m$ запросов. Запросы бывают двух видов.

Первый вид запросов описывается числом $y$. Вес каждого ребра в дереве заменяется на побитовое исключающее «ИЛИ» веса этого ребра и числа $y$.

Второй вид описывается вершиной $v$ и числом $x$. Яся выбирает вершину $u$ ($1 \le u \le n$, $u \neq v$) и мысленно проводит в дереве двунаправленное ребро веса $x$ из $v$ в $u$.

Затем Яся находит простой цикл в получившемся графе и считает побитовое исключающее «ИЛИ» от всех рёбер на нём. Она хочет выбрать такую вершину $u$, чтобы посчитанное значение было максимально. Это посчитанное значение и будет ответом на запрос. Можно показать существование и единственность такого цикла в указанных ограничениях (независимо от выбора $u$). Если ребро между $v$ и $u$ уже существовало, простым циклом будет путь $v \to u \to v$.

Обратите внимание, что запрос второго типа выполняется мысленно, то есть дерево после него никак не меняется.

Помогите Ясе ответить на все запросы.

Входные данные

В первой строке дано целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Далее следуют описания наборов.

В первой строке каждого набора даны целые числа $n$, $m$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в дереве и количество запросов.

В следующих $n - 1$ строках каждого набора даны целые числа $v$, $u$, $w$ ($1 \le v, u \le n$, $1 \le w \le 10^9$) — концы некоторого ребра в дереве и его вес.

Гарантируется, что заданный набор рёбер образует дерево.

В следующих $m$ строках каждого набора описаны запросы:

^ $y$ ($1 \le y \le 10^9$) — параметр запроса первого типа;
? $v$ $x$ ($1 \le v \le n$, $1 \le x \le 10^9$) — параметры запроса второго типа.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$. То же самое гарантируется для $m$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите ответы на запросы второго типа.

D. Черепаха и умножение

графы Конструктив поиск в глубину и подобное теория чисел *2400

Черепаха только что научилась умножать два целых числа на уроке математики и была очень взволнована.

Затем Свинка дала ей целое число $n$ и попросила построить последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n$, состоящую из целых чисел, которые удовлетворяли бы следующим условиям:

Для всех $1 \le i \le n$, $1 \le a_i \le 3 \cdot 10^5$.
Для всех $1 \le i < j \le n - 1$, $a_i \cdot a_{i + 1} \ne a_j \cdot a_{j + 1}$.

Из всех таких последовательностей Пятачок попросил Черепаху найти ту, в которой будет минимальное количество различных элементов.

Черепаха определенно не смогла бы решить задачу, поэтому пожалуйста, помогите ей!

Входные данные

Каждый тест содержит несколько тестовых случаев. Первая строка содержит количество тестов $t$ ($1 \le t \le 10^4$). Затем следует описание тестов.

Первая строка каждого теста содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 10^6$) — длина последовательности $a$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем тестовым случаям не превышает $10^6$.

Выходные данные

Для каждого тестового случая выведите $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ — элементы последовательности $a$.

Если существует несколько ответов, выведите любой из них.

Примечание

В третьем тестовом случае $a = [3, 4, 2, 6]$ нарушает второе условие, так как $a_1 \cdot a_2 = a_3 \cdot a_4$. $a = [2, 3, 4, 4]$ удовлетворяет условиям, но количество различных элементов в нем не минимально.

E. Черепаха и пересекающиеся отрезки

графы жадные алгоритмы снм Структуры данных *2600

Черепаха только что получила $n$ отрезков и последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n$. $i$-й отрезок представляет собой $[l_i, r_i]$.

Черепаха создаст неориентированный граф $G$. Если отрезок $i$ и отрезок $j$ пересекаются, то Черепаха добавит неориентированное ребро между $i$ и $j$ с весом $|a_i - a_j|$, для каждого $i \ne j$.

Черепаха хочет, чтобы вы вычислили сумму весов рёбер минимального остовного дерева графа $G$, или сообщили, что у графа $G$ нет остовного дерева.

Мы говорим, что два отрезка $[l_1, r_1]$ и $[l_2, r_2]$ пересекаются тогда и только тогда, когда $\max(l_1, l_2) \le \min(r_1, r_2)$.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько тестовых случаев. Первая строка содержит количество тестов $t$ ($1 \le t \le 10^5$). Далее следует описание тестов.

Первая строка каждого теста содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 5 \cdot 10^5$) — количество отрезков.

$i$-я из следующих $n$ строк содержит три целых числа $l_i, r_i, a_i$ ($1 \le l_i \le r_i \le 10^9, 1 \le a_i \le 10^9$) — $i$-й отрезок и $i$-й элемент последовательности.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем тестовым случаям не превышает $5 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите одно целое число — сумму весов рёбер минимального остовного дерева графа $G$. Если у графа $G$ нет остовного дерева, выведите $-1$.

Примечание

В первом тесте граф $G$ выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

Одно из минимальных остовных деревьев $G$ выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

Сумма весов рёбер минимального остовного дерева равна $9$.

Во втором тесте граф $G$ выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

$G$ уже является деревом, и сумма весов дерева равна $13$.

В третьем тесте граф $G$ выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

В четвертом тесте граф $G$ выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

Легко видеть, что $G$ не связан, поэтому у $G$ нет остовного дерева.

H1. Максимизация наибольшей компоненты (простая версия)

графы Перебор поиск в глубину и подобное реализация снм Структуры данных *1700

Простая и сложная версии фактически представляют собой разные задачи, поэтому внимательно прочитайте условия обеих задач. Единственное различие между двумя версиями — это применяемая операция.

У Алекса есть матрица из $n$ строк и $m$ столбцов, состоящая из символов '.' и '#'. Набор '#' ячеек формирует компоненту связности, если из любой ячейки в этом наборе можно достичь любую другую ячейку в этом наборе, перемещаясь только в другую ячейку набора, которая имеет общую сторону. Размер компоненты связности — это количество ячеек в наборе.

За одну операцию Алекс выбирает любую строку $r$ ($1 \le r \le n$) или любой столбец $c$ ($1 \le c \le m$), затем устанавливает каждую ячейку в строке $r$ или столбце $c$ равной '#'. Помогите Алексу найти максимально возможный размер наибольшей компоненты связности из ячеек '#', который он может достичь после выполнения операции не более одного раза.

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \cdot m \le 10^6$) — количество строк и столбцов матрицы.

Следующие $n$ строк содержат по $m$ символов. Каждый символ может быть '.' или '#'.

Гарантируется, что сумма $n \cdot m$ по всем наборам не превышает $10^6$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите одно целое число — максимально возможный размер компоненты связности из ячеек '#', который может достичь Алекс.

Примечание

Во втором примере для Алекса оптимально установить все ячейки в столбце $2$ равными '#'. Это приведет к тому, что наибольшая компонента связности из '#' будет иметь размер $6$.

В третьем примере для Алекса оптимально установить все ячейки в строке $2$ равными '#'. Это приведет к тому, что наибольшая компонента связности из '#' будет иметь размер $9$.

В четвертом примере для Алекса оптимально установить все ячейки в строке $4$ равными '#'. Это приведет к тому, что наибольшая компонента связности из '#' будет иметь размер $11$.

F. Внеучебная задача

графы Деревья поиск в глубину и подобное *1900

Вам дан связный неориентированный граф, вершины которого пронумерованы целыми числами от $1$ до $n$. Ваша задача минимизировать количество пар вершин $1 \leq u < v \leq n$, между которыми существует путь в этом графе. Для этого вы можете удалить ровно одно любое ребро из графа.

Найдите это наименьшее количество пар вершин!

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует их описание.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 10^5$, $n - 1 \leq m \leq \min(10^5, \frac{n \cdot (n - 1)}{2})$) — количество вершин в графе и количество ребер.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \leq u, v \leq n, u \neq v$), означающих, что в графе есть неориентированное ребро между вершинами $u$ и $v$.

Гарантируется, что данный граф связный и без кратных ребер.

Гарантируется, что сумма $n$ и сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите наименьшее количество пар достижимых друг из друга вершин, если можно удалить ровно одно ребро.

Примечание

В первом наборе входных данных мы удалим единственное ребро $(1, 2)$ и единственная пара вершин $(1, 2)$ станет не достижима друг из друга.

Во втором наборе входных данных какое бы ребро мы не удалили, все вершины будут достижимы друг из друга.

В четвертом наборе входных данных так выглядит граф изначально.

$\text{[math]}$

Мы удалим ребро $(3, 4)$ и тогда достижимы друг из друга будут только пары вершин $(1, 2)$, $(1, 3)$, $(2, 3)$, $(4, 5)$, $(4, 6)$, $(5, 6)$.

$\text{[math]}$

В шестом наборе входных данных так выглядит граф изначально.

$\text{[math]}$

После удаления ребра $(2, 4)$ граф будет выглядеть следующим образом. Таким образом, будет $21$ пара достижимых друг из друга вершин.

$\text{[math]}$

F. Раскрась одновременно

графы поиск в глубину и подобное разделяй и властвуй *3000

Задана матрица, состоящая из $n$ строк и $m$ столбцов.

Вы можете выполнять над ней два типа действий:

покрасить весь столбец в синий;
покрасить всю строку в красный.

Обратите внимание, что вы не можете выбирать, в какой цвет красить строку или столбец.

За одну секунду можно выполнить как одно действие, так и несколько одновременно. Если сделать одно действие, то это будет бесплатно. Если же сделать $k > 1$ действий одновременно, то на это придется потратить $k^2$ монет. Когда несколько действий выполняются одновременно, для каждой клетки, которая затрагивается действиями обоих типов, цвет можно выбрать независимо.

Требуется обработать $q$ запросов. Перед каждым запросом все ячейки становятся бесцветными. Изначально ограничений на итоговый цвет клеток нет. В $i$-м запросе добавляется ограничение вида:

$x_i~y_i~c_i$ — клетка в строке $x_i$ в столбце $y_i$ должна быть покрашена в цвет $c_i$.

Таким образом, после $i$ запросов существует $i$ ограничений на необходимые цвета клеток матрицы. После каждого запроса выведите минимальную стоимость покраски в соответствии с ограничениями.

Входные данные

В первой строке записано три целых числа $n, m$ и $q$ ($1 \le n, m, q \le 2 \cdot 10^5$) — размер матрицы и количество запросов.

В $i$-й из следующих $q$ строк записаны два целых числа $x_i, y_i$ и символ $c_i$ ($1 \le x_i \le n$; $1 \le y_i \le m$; $c_i \in$ {'R', 'B'}, где 'R' значит красный, а 'B' значит синий) — описание $i$-го ограничения. Клетки во всех ограничениях попарно различные.

Выходные данные

Выведите $q$ целых чисел — После каждого запроса выведите минимальную стоимость покраски в соответствии с ограничениями.

D. Простая XOR раскраска

битмаски графы жадные алгоритмы Конструктив математика теория чисел *1900

Вам дан неориентированный граф с $n$ вершинами, пронумерованными от $1$ до $n$. Между вершинами $u$ и $v$ существует ребро тогда и только тогда, когда $u \oplus v$ является простым числом, где $\oplus$ обозначает операцию побитового исключающего ИЛИ.

Раскрасьте все вершины графа в минимальное количество цветов так, чтобы ни одна пара вершин, непосредственно соединенных ребром, не была покрашена в один цвет.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 500$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Единственная строка содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в графе.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите две строки.

Первая строка должна содержать одно целое число $k$ ($1 \le k \le n$) — минимально необходимое количество цветов.

Вторая строка должна содержать $n$ целых чисел $c_1, c_2, \ldots, c_n$ ($1 \le c_i \le k$) — цвет каждой вершины.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом наборе входных данных минимальное количество цветов равно $1$, потому что дана только одна вершина.

Во втором наборе входных данных минимальное количество цветов равно $2$, потому что существует ребро, соединяющее $1$ и $2$ ($1 \oplus 2 = 3$, что является простым числом).

В третьем наборе входных данных минимальное количество цветов по-прежнему равно $2$, потому что $2$ и $3$ могут быть окрашены одинаково, так как между $2$ и $3$ нет ребра ($2 \oplus 3 = 1$, что не является простым числом).

В четвертом наборе входных данных можно показать, что минимальное количество цветов равно $3$.

В пятом наборе входных данных можно показать, что минимальное количество цветов равно $3$.

В шестом наборе входных данных можно показать, что минимальное количество цветов равно $4$.

E. Игра с раскрасками

графы жадные алгоритмы игры интерактив Конструктив поиск в глубину и подобное *1900

Это интерактивная задача.

Рассмотрим связный неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ ребер. Каждая вершина может быть окрашена в один из трех цветов: $1$, $2$ или $3$. Изначально все вершины не окрашены.

Алиса и Боб играют в игру, состоящую из $n$ раундов. В каждом раунде происходит следующий двухэтапный процесс:

Алиса выбирает два различных цвета.
Боб выбирает непокрашенную вершину и красит ее в один из двух цветов, выбранных Алисой.

Алиса выигрывает, если существует ребро, соединяющее две вершины одного цвета. В противном случае побеждает Боб.

Вам дан граф. Ваша задача — решить, за кого из игроков вы хотите играть, и выиграть игру.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$, $m$ ($1 \le n \le 10^4$, $n - 1 \le m \le \min(\frac{n \cdot (n - 1)}{2}, 10^4)$) — количество вершин и количество ребер в графе соответственно.

Каждая из следующих $m$ строк каждого набора входных данных содержит по два целых числа $u_i$, $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$) — ребра графа. Гарантируется, что граф связен, и что в нем нет петель и кратных ребер.

Гарантируется, что сумма $n$ и сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходят $10^4$.

Протокол взаимодействия

Для каждого набора входных данных необходимо вывести одну строку, содержащую либо «Alice», либо «Bob» — игрока, за которого вы хотите играть.

Затем происходит $n$ раундов, в каждом из которых происходит данный двухэтапный процесс:

Алиса (либо вы, либо собеседник) выводит два целых числа $a$ и $b$ ($1 \le a, b \le 3$, $a \neq b$) — цвета, выбранные Алисой.
Боб (либо вы, либо собеседник) выводит два целых числа $i$ и $c$ ($1 \le i \le n$, $c = a$ или $c = b$) — вершина и цвет, выбранные Бобом. Вершина $i$ должна быть неокрашенной.

Если любой из ваших выводов недействителен, жюри выведет «-1» и вы получите вердикт Неправильный ответ.

В конце $n$ раундов, если ваше решение проиграло, жюри выведет «-1» и вы получите вердикт Неправильный ответ.

Если вы получили число $-1$ вместо корректного значения, ваша программа должна немедленно завершиться. В противном случае вы можете получить любой вердикт, так как программа продолжит чтение из закрытого потока.

Обратите внимание, что если вы играете за Алису, и уже есть ребро, соединяющее вершины одного цвета, интерактор не завершит игру досрочно, и будут сыграны все $n$ раундов.

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Взломы в этой задаче отключены.

Примечание

Обратите внимание, что приведенные наборы входных данных являются примерами игр и не обязательно представляют собой оптимальную стратегию для обоих игроков.

В первом наборе входных данных вы решили играть за Алису.

Алиса выбирает два цвета: $3$ и $1$. Боб выбирает вершину $3$ и окрашивает ее в цвет $1$.
Алиса выбирает два цвета: $1$ и $2$. Боб выбирает вершину $2$ и окрашивает ее в цвет $2$.
Алиса выбирает два цвета: $2$ и $1$. Боб выбирает вершину $1$ и окрашивает ее в цвет $1$.

Алиса выигрывает, потому что ребро $(3, 1)$ соединяет две вершины одного цвета.

Во втором наборе входных данных вы решили играть за Боба.

Алиса выбирает два цвета: $2$ и $3$. Боб выбирает вершину $1$ и окрашивает ее в цвет $2$.
Алиса выбирает два цвета: $1$ и $2$. Боб выбирает вершину $2$ и окрашивает ее в цвет $1$.
Алиса выбирает два цвета: $2$ и $1$. Боб выбирает вершину $4$ и окрашивает ее в цвет $1$.
Алиса выбирает два цвета: $3$ и $1$. Боб выбирает вершину $3$ и окрашивает ее в цвет $3$.

Боб выигрывает, потому что нет ребер, соединяющих вершины одного цвета.

D. Смешная игра

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив математика снм теория чисел *1900

У Вани есть граф из $n$ вершин (пронумерованных от $1$ до $n$) и массив $a$ из $n$ целых чисел, изначально в графе нет рёбер. Ване стало скучно, и чтобы ему стало весело, он решил выполнить $n - 1$ операцию.

Операция под номером $x$ (операции нумеруются по порядку начиная с $1$) заключается в следующем:

Выбрать $2$ различных числа $1 \leq u,v \leq n$, таких что $|a_u - a_v|$ делится на $x$.
Добавить в граф неориентированное ребро между вершинами $u$ и $v$.

Помогите Ване с помощью $n - 1$ операции получить связный$^{\text{∗}}$ граф, или скажите, что это невозможно.

$^{\text{∗}}$Граф называется связным, если в нём можно от любой вершины дойти до любой другой, двигаясь по рёбрам.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \le t \le 10^{3}$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных дано число $n$ ($1 \leq n \leq 2000$) — количество вершин в графе.

Во второй строке каждого набора входных данных дано $n$ чисел $a_1, a_2, \cdots a_n$ ($1 \leq a_i \leq 10^9$).

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, если решения не существует, то выведите «No» (без кавычек).

Иначе выведите «Yes» (без кавычек), после этого выведите $n - 1$ строку, в $i$-й из них выведите числа $u$ и $v$, которые надо выбрать на операции $i$.

Вы можете вывести каждую букву в любом регистре (например, «YES», «Yes», «yes», «yEs» будут распознаны как положительный ответ).

Примечание

Рассмотрим второй набор входных данных.

Первая операция $(x = 1)$: можно соединить вершины $4$ и $1$, так как $|a_4 - a_1| = |13 - 99| = |-86| = 86$, а $86$ кратно $1$.

$\text{[math]}$

Вторая операция $(x = 2)$: можно соединить вершины $2$ и $1$, так как $|a_2 - a_1| = |7 - 99| = |-92| = 92$, а $92$ кратно $2$.

$\text{[math]}$

Третья операция $(x = 3)$: можно соединить вершины $3$ и $2$, так как $|a_3 - a_2| = |1 - 7| = |-6| = 6$, а $6$ кратно $3$.

$\text{[math]}$ Из картинки видно, что получился связный граф.

F. Stardew Valley

графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное *2500

Пеликан-таун представляет из себя $n$ домов, соединенных $m$ двунаправленными дорогами. На некоторых дорогах стоят NPC. Фермеру Бубе очень важно пройти по каждой дороге с NPC и поговорить с ними.

Помогите фермеру найти маршрут, для которого выполняются следующие условия:

Маршрут начинается у некоторого дома, проходит по некоторым дорогам, и заканчивается в том же доме.
Маршрут не проходит ни по какой дороге более одного раза (в обоих направлениях вместе).
Маршрут проходит по каждой дороге с NPC ровно один раз.

Обратите внимание, фермер может ходить по дорогам без NPC, также, вам не нужно минимизировать длину маршрута.

Гарантируется, что если в Пеликан-тауне оставить только дороги с NPC, то можно будет добраться от любого дома до любого другого.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \le t \le 10^{4}$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных даны два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 5 \cdot 10^5, 1 \leq m \leq 5 \cdot 10^5$) — количество домов и дорог в Pelican town соответственно.

В каждой из следующих $m$ строк даны три целых числа $u$, $v$ и $c$ ($1 \leq u, v \leq n, c = 0/1$) — концы дороги и находятся ли NPC на этой дороге. Если $c = 1$, то на дороге стоят NPC. Если $c = 0$, то на дороге нет NPC.

В графе могут быть кратные ребра и петли, причем, если есть кратные ребра, на которых стоят NPC, то маршрут должен проходить по всем таким дорогам.

Гарантируется, что сумма $n$ и $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $5 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, если решения не существует, то выведите «No» (без кавычек).

Иначе выведите «Yes» (без кавычек), после этого выведите $k$ — количество дорог в маршруте. В следующей строке выведите $k + 1$ число — дома маршрута в порядке обхода. Обратите внимание, что первый дом должен совпадать с последним, поскольку маршрут циклический.

Если существуют несколько решений, вы можете вывести любое из них.

Примечание

Обратите внимание, что в третьем наборе входных данных присутствуют кратные ребра $(5, 2)$. Вам обязательно нужно пройти по двум из них.

G. Minecraft

битмаски графы дп математика Перебор *2600

После победы в очередной игре в Bed Wars, Маша и Оля захотели отдохнуть и решили поиграть в новую игру. Маша дает Оле массив $a$ длины $n$ и число $s$. Теперь задача Оли найти такое неотрицательное число $x$, что $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i \oplus x = s$. Но она очень устала после напряженного раунда, поэтому, пожалуйста, помогите ей в этом.

Но такая задача показалась им слишком простой, поэтому они решили сделать числа большими (до $2^k$) и предоставить вам их двоичное представление.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $k$ ($1 \le n, k, n \cdot k \le 2 \cdot 10^6$) — длина массива $a$ и длина битовой записи всех чисел.

Вторая строка содержит строку длины $k$, состоящую из нулей и единиц — битовая запись числа $s$, начиная со старших битов.

Следующие $n$ строк также содержат строки длины $k$, состоящие из нулей и единиц, $i$-я из этих строк содержит битовую запись числа $a_i$, начиная со старших битов.

Гарантируется, что сумма значений $n \cdot k$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в отдельной строке выведите строку длины $k$, состоящую из нулей или единиц — битовую запись любого подходящего числа $x$ ($x \ge 0$), начиная со старших битов, или $-1$, если такого $x$ не существует.

Примечание

В первом наборе входных данных $s = 11, a = [14, 6, 12, 15]$, если $x = 14$, то $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i \oplus x = (14 \oplus 14) + (6 \oplus 14) + (12 \oplus 14) + (15 \oplus 14) = 0 + 8 + 2 + 1 = 11 = s$.

Во втором наборе входных данных $s = 41, a = [191, 158]$, если $x = 154$, то $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i \oplus x = (191 \oplus 154) + (158 \oplus 154) = 37 + 4 = 41 = s$.

G. Пенакония

графы жадные алгоритмы Перебор Структуры данных хэши *2200

На Пенаконии, земле грёз существует $n$ домов и $n$ дорог. Существует дорога между домом $i$ и $i+1$ для всех $1 \leq i \leq n-1$ и дорога между домом $n$ и домом $1$. Все дороги двусторонние. Однако из-за кризиса на Пенаконии, управляющая семья залезла в долги и может не быть в состоянии поддерживать все дороги.

Среди жителей Пенаконии существует $m$ пар друзей. Если житель, живущий в доме $a$, дружит с жителем, живущим в доме $b$, должен существовать путь между домами $a$ и $b$ через поддерживаемые дороги.

Какое минимальное количество дорог для этого необходимо поддержать?

Входные данные

Первая строка содержит $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество тестов.

Первая строка каждого теста содержит два целых числа $n$ и $m$ ($3 \leq n \leq 2 \cdot 10^5, 1 \leq m \leq 2 \cdot 10^5$) — количество домов и количество дружб.

Следующие $m$ строк содержат два целых числа $a$ и $b$ ($1 \leq a < b \leq n$) — житель дома $a$ дружит с жителем дома $b$. Гарантируется, что все ($a, b$) различны.

Гарантируется, что сумма $n$ и $m$ по всем тестам не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите целое число — минимальное количество дорог, которые должны быть поддержаны.

Примечание

В первом примере должны быть поддержаны следующие дороги:

$8 \leftarrow \rightarrow 1$
$7 \leftarrow \rightarrow 8$
$1 \leftarrow \rightarrow 2$
$4 \leftarrow \rightarrow 5$

D. Определите победные острова в гонке

графы дп жадные алгоритмы кратчайшие пути Структуры данных *2100

МУУУУУУУУУУУУУУУУУ

— Корова Бесси, Искусство гонок по островам

Две коровы фермера Джона, Бесси и Элси, планируют участвовать в гонках по $n$ островам. Существует $n - 1$ основных мостов, соединяющих остров $i$ с островом $i + 1$ для всех $1 \leq i \leq n - 1$. Кроме того, существует $m$ альтернативных мостов. Элси может использовать и основные, и альтернативные мосты, а Бесси — только основные. Все мосты являются односторонними и могут использоваться только для перемещения с острова с меньшим индексом на остров с большим индексом.

Изначально Элси находится на острове $1$, а Бесси — на острове $s$. Коровы ходят по очереди, причем Бесси ходит первой. Предположим, что корова находится на острове $i$. Во время хода коровы, если есть мост, соединяющий остров $i$ с островом $j$, то корова может переместиться на остров $j$. Затем остров $i$ разрушается, и все мосты, соединяющие остров $i$, также разрушаются. Обратите внимание на следующее:

Если нет мостов, соединяющих остров $i$ с другим островом, то остров $i$ разрушается, и эта корова выбывает из гонки.
Если другая корова также находится на острове $i$, то после того, как эта корова переместится на другой остров, остров разрушится, и другая корова выбывает из гонки.
После того, как остров или мост разрушились, ни одна корова не может ими воспользоваться.
Если корова выбывает из гонки, ее ход пропускается до конца гонки.

Гонка заканчивается, как только одна из коров достигнет острова $n$. Можно показать, что независимо от стратегий коров, хотя бы одна из них достигнет острова $n$. Бесси побеждает тогда и только тогда, когда она первой достигает острова $n$.

Для каждого $1 \leq s \leq n - 1$ определите, выиграет ли Бесси, если она начнет гонку на острове $s$. Предположим, что обе коровы следуют оптимальным стратегиям, чтобы обеспечить себе победу.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$, $0 \leq m \leq 2 \cdot 10^5$) — количество островов и количество альтернативных мостов.

Следующие $m$ строк каждого набора входных данных содержат по два числа $u$ и $v$ ($1 \leq u < v \leq n$) — острова, которые соединяет альтернативный мост. Гарантируется, что все альтернативные мосты различны и не совпадают с основными мостами.

Гарантируется, что ни сумма $n$, ни сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите в отдельной строке бинарную строку длины $n - 1$. $i$-й символ равен $1$, если Бесси может выиграть, если она начнет с острова $i$. В противном случае он равен $0$.

Примечание

В первом наборе входных данных нет альтернативных мостов, по которым Элси могла бы обогнать Бесси и первой достичь острова $n$, поэтому Бесси выиграет на всех островах, потому что она всегда ходит первой.

Во втором случае Бесси проиграет, если начнет с острова $3$, потому что:

Ход Бесси: Перейти по основному мосту с острова $3$ на остров $4$.
Ход Элси: Перейти по основному мосту с острова $1$ на остров $2$.
Ход Бесси: Перейти по основному мосту с острова $4$ на остров $5$.
Ход Элси: Перейти по альтернативному мосту с острова $2$ на остров $6$. Элси первой достигает острова $n$.

C. Алгоритм Дейкстры?

графы кратчайшие пути *1900

Задан неориентированный взвешенный граф, вершины которого пронумерованы от 1 до n. Ваша задача найти кратчайший путь из вершины 1 в вершину n.

Входные данные

В первой строке содержатся целые числа n и m (2 ≤ n ≤ 10⁵, 0 ≤ m ≤ 10⁵), где n — количество вершин, а m — количество ребер в графе. Далее в m строках содержатся сами ребра, по одному в строке. Каждое ребро задается тремя числами a_i, b_i, w_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, 1 ≤ w_i ≤ 10⁶), где a_i, b_i — это концы ребра, а w_i — его длина.

Граф может содержать кратные ребра и петли.

Выходные данные

Выведите число -1 если пути нет или сам кратчайший путь, если он существует.

G. Звонок во время пути

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы кратчайшие пути Перебор *2100

Вы живёте в городе, состоящем из $n$ перекрёстков и $m$ улиц, соединяющих некоторые пары перекрёстков. По каждой улице можно перемещаться в любую сторону. Никакие две улицы не соединяют одну и ту же пару перекрёстков, и никакая улица не соединяет перекрёсток с самим собой. Из любого перекрёстка можно добраться до любого другого, возможно, проходя через какие-то другие перекрёстки.

Каждую минуту вы можете сесть на автобус на перекрёстке $u_i$ и доехать за $l_{i1}$ минут до перекрёстка $v_i$. И наоборот доехать от перекрёстка $v_i$ до перекрёстка $u_i$ за $l_{i1}$ минут. Садиться в автобус и выходить из него можно только на перекрёстках. Сесть в автобус на перекрёстке можно только находясь в нём.

Также по каждой улице можно пройти пешком за $l_{i2} > l_{i1}$ минут.

Вы можете делать остановки на перекрёстках.

Вы живёте на перекрёстке с номером $1$. Сегодня вы проснулись в момент времени $0$, и у вас запланировано важное мероприятие на перекрёстке с номером $n$, на которое вы должны добраться не позднее момента времени $t_0$. Также у вас запланирован телефонный звонок, который продлится с $t_1$ по $t_2$ минуту ($t_1 < t_2 < t_0$).

Во время телефонного разговора нельзя ехать на автобусе, но можно идти по любым улицам пешком, сделать остановку или находиться у себя дома. Вы можете выходить из автобуса в минуту $t_1$ и заходить в автобус в минуту $t_2$.

Так как вы хотите выспаться, вам стало интересно — как поздно вы можете выйти из дома, чтобы успеть поговорить по телефону и при этом не опоздать на мероприятие?

Входные данные

Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следуют описания наборов входных данных.

Первая строка описания каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$, $m$ ($2 \le n \le 10^5, 1 \le m \le 10^5$) — количество перекрёстков и улиц в городе.

Вторая строка описания каждого набора входных данных содержит три целых числа $t_0$, $t_1$, $t_2$ ($1 \le t_1 < t_2 < t_0 \le 10^9$) — время начала мероприятия, время начала телефонного звонка и время его конца, соответственно.

Следующие $m$ строк каждого набора данных содержат описания улиц.

$i$-я строка содержит четыре целых числа $u_i$, $v_i$, $l_{i1}$, $l_{i2}$ ($1 \le u_i, v_i \le n$, $u_i \neq v_i$, $1 \le l_{i1} < l_{i2} \le 10^9$) — номера перекрёстков, соединяемых $i$-й улицей, а также время пути по улице на автобусе и пешком. Гарантируется, что никакие две улицы не соединяют одну и ту же пару перекрёстков, а также что из любого перекрёстка можно добраться до любого другого.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$. Также гарантируется, что сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — максимальный момент времени, когда вы можете выйти из дома, чтобы успеть поговорить по телефону и не опоздать на мероприятие. Если вы не можете попасть на мероприятие вовремя, выведите -1.

D1. Проверка DFS (лёгкая версия)

графы Деревья Перебор поиск в глубину и подобное Структуры данных хэши *1900

Это лёгкая версия задачи. В этой версии заданное дерево является полным бинарным деревом, а ограничения на $n$ и $q$ ниже. Вы можете совершать взломы только в том случае, если решены обе версии задачи.

Вам дано полное бинарное дерево$^\dagger$, состоящее из $n$ вершин. Вершины пронумерованы от $1$ до $n$, вершина $1$ — корень. Вам также дана перестановка $p_1, p_2, \ldots, p_n$ чисел $[1,2,\ldots,n]$.

Вам нужно ответить на $q$ запросов. В каждом запросе вам даются два целых числа $x$, $y$; вам нужно поменять местами $p_x$ и $p_y$ и определить, является ли $p_1, p_2, \ldots, p_n$ возможным порядком обхода в глубину$^\ddagger$ заданного дерева.

Обратите внимание, что перестановки элементов сохраняются между запросами.

$^\dagger$ Полное бинарное дерево — это дерево с корнем в вершине $1$, имеющее размер $n=2^k-1$ для некоторого целого положительного числа $k$, и где родитель каждой вершины $i$ ($1<i\le n$) — это $\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor$. Таким образом, все листья этого дерева находятся на расстоянии $k - 1$ от корня.

$^\ddagger$ Порядок обхода в глубину получается вызовом следующей функции $\texttt{dfs}$ на заданном дереве.

dfs_order = []

function dfs(v):
    добавить v в конец dfs_order
    выбрать произвольную перестановку s детей v
    for child in s:
         dfs(child)

dfs(1)

Обратите внимание, что порядок обхода DFS определён не однозначно.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1\le t\le10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных содержатся два целых числа $n$, $q$ ($3\le n\le 65\,535$, $2\le q\le 5 \cdot 10^4$) — количество вершин в дереве и количество запросов. Гарантируется, что $n=2^k-1$ для некоторого целого положительного числа $k$.

В следующей строке содержатся $n-1$ целое число $a_2,a_3,\ldots,a_n$ ($1\le a_i<i$) — родитель каждой вершины в заданном дереве. Гарантируется, что $a_i=\left\lfloor\frac{i}{2}\right\rfloor$.

В следующей строке содержатся $n$ целых чисел $p_1,p_2,\ldots,p_n$ ($1\le p_i\le n$, все $p_i$ различны) — начальная перестановка $p$.

В следующих $q$ строках содержится по два целых числа $x$, $y$ ($1\le x,y\le n,x\neq y$) — позиции элементов, которые нужно поменять местами в перестановке.

Гарантируется, что сумма всех $n$ не превышает $65\,535$, а сумма всех $q$ не превышает $5 \cdot 10^4$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $q$ строк, соответствующих $q$ запросам. Для каждого запроса выведите $\texttt{YES}$, если есть порядок обхода в глубину, который точно равен текущей перестановке, и выведите $\texttt{NO}$ в противном случае.

Вы можете вывести $\texttt{Yes}$ и $\texttt{No}$ в любом регистре (например, строки $\texttt{yEs}$, $\texttt{yes}$, $\texttt{Yes}$ и $\texttt{YES}$ будут распознаны как положительный ответ).

Примечание

В первом наборе входных данных перестановка $p_1, p_2, \ldots, p_n$ после каждой модификации равна $[1,3,2],[1,2,3],[3,2,1]$ соответственно. Первые две перестановки — это возможные порядки обхода в глубину; третья — не порядок обхода в глубину.

Во втором наборе входных данных перестановка $p_1, p_2, \ldots, p_n$ после каждой модификации равна $[1,2,3,4,5,6,7],[1,2,5,4,3,6,7],[1,3,5,4,2,6,7],[1,3,7,4,2,6,5],[1,3,7,6,2,4,5]$ соответственно.

D2. Проверка DFS (сложная версия)

Бинарный поиск графы Деревья поиск в глубину и подобное Структуры данных хэши *2300

Это сложная версия задачи. В этой версии на заданное дерево нет дополнительных ограничений, а ограничения на $n$ и $q$ выше. Вы можете совершать взломы только в том случае, если решены обе версии задачи.

Вам дано корневое дерево, состоящее из $n$ вершин. Вершины пронумерованы от $1$ до $n$, вершина $1$ — корень. Вам также дана перестановка $p_1, p_2, \ldots, p_n$ чисел $[1,2,\ldots,n]$.

Обратите внимание, что перестановки элементов сохраняются между запросами.

$^\dagger$ Порядок обхода в глубину получается вызовом следующей функции $\texttt{dfs}$ на заданном дереве.

dfs_order = []

function dfs(v):
    добавить v в конец dfs_order
    выбрать произвольную перестановку s детей v
    for child in s:
         dfs(child)

dfs(1)

Обратите внимание, что порядок обхода DFS определён не однозначно.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1\le t\le10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

В первой строке каждого набора входных данных содержатся два целых числа $n$,$q$ ($2\le n\le 3\cdot 10^5$, $2\le q\le 10^5$) — количество вершин в дереве и количество запросов.

В следующей строке содержатся $n-1$ целых чисел $a_2,a_3,\ldots,a_n$ ($1\le a_i<i$) — родитель каждой вершины в заданном дереве.

В следующих $q$ строках каждая строка содержит два целых числа $x$, $y$ ($1\le x,y\le n,x\neq y$) — позиции элементов, которые нужно поменять местами в перестановке.

Гарантируется, что сумма всех $n$ не превышает $3\cdot 10^5$, а сумма всех $q$ не превышает $10^5$.

Выходные данные

Примечание

D2. Черепаха и задача MEX (сложная версия)

графы дп жадные алгоритмы математика поиск в глубину и подобное реализация *2100

Две версии — это разные задачи. В этой версии задачи нельзя выбирать одно и то же целое число дважды или более. Можно делать взломы только в том случае, если обе версии решены.

Однажды Черепаха играла с $n$ последовательностями. Пусть длина $i$-й последовательности равна $l_i$. Тогда $i$-я последовательность была $a_{i, 1}, a_{i, 2}, \ldots, a_{i, l_i}$.

Свинка дала Черепахе задачу, когда Черепаха играла. Условие задачи было следующим:

Сначала было неотрицательное целое число $x$. Черепаха могла выполнять произвольное количество (возможно, ноль) операций с этим числом.
В каждой операции Черепаха могла выбрать целое число $i$, такое что $1 \le i \le n$ и $i$ не было выбрано ранее, и сделать $x$ равным $\text{mex}^{\dagger}(x, a_{i, 1}, a_{i, 2}, \ldots, a_{i, l_i})$.
Черепаха должна была найти ответ, который был максимальным значением $x$ после выполнения произвольного количества операций.

Черепаха без труда решила вышеуказанную задачу. Она определила $f(k)$ как ответ на вышеуказанную задачу, когда начальное значение $x$ было $k$.

Затем Свинка дала Черепахе неотрицательное целое число $m$ и попросил Черепаху найти значение $\sum\limits_{i = 0}^m f(i)$ (т.е. значение $f(0) + f(1) + \ldots + f(m)$). К сожалению, она не смогла решить эту задачу. Пожалуйста, помогите ей!

$^{\dagger}\text{mex}(c_1, c_2, \ldots, c_k)$ определяется как наименьшее неотрицательное целое число $x$, которое не встречается в последовательности $c$. Например, $\text{mex}(2, 2, 0, 3)$ равно $1$, $\text{mex}(1, 2)$ равно $0$.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит количество наборов входных данных $t$ ($1 \le t \le 10^4$). Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n, m$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5, 0 \le m \le 10^9$).

Каждая из следующих $n$ строк содержит несколько целых чисел. Первое целое число $l_i$ ($1 \le l_i \le 2 \cdot 10^5$) представляет длину $i$-й последовательности, а следующие $l_i$ целых числа $a_{i, 1}, a_{i, 2}, \ldots, a_{i, l_i}$ ($0 \le a_{i, j} \le 10^9$) представляют элементы $i$-й последовательности.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$, а сумма $\sum l_i$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — значение $\sum\limits_{i = 0}^m f(i)$.

Примечание

В первом наборе входных данных, когда $x$ изначально равен $2$, Черепаха может выбрать $i = 3$ и сделать $x$ равным $\text{mex}(x, a_{3, 1}, a_{3, 2}, a_{3, 3}, a_{3, 4}) = \text{mex}(2, 7, 0, 1, 5) = 3$. Можно доказать, что Черепаха не может сделать значение $x$ больше $3$, поэтому $f(2) = 3$.

Можно увидеть, что $f(0) = 3$, $f(1) = 3$, $f(2) = 3$, $f(3) = 3$, и $f(4) = 4$. Таким образом, $f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 3 + 3 + 3 + 3 + 4 = 16$.

Во втором наборе входных данных, когда $x$ изначально равен $1$, Черепаха может выбрать $i = 1$ и сделать $x$ равным $\text{mex}(x, a_{1, 1}, a_{1, 2}, a_{1, 3}, a_{1, 4}, a_{1, 5}) = \text{mex}(1, 0, 2, 0, 4, 11) = 3$. Можно доказать, что Черепаха не может сделать значение $x$ больше $3$, поэтому $f(1) = 3$.

Можно увидеть, что $f(0) = 4$, $f(1) = 3$, $f(2) = 4$, $f(3) = 3$, и $f(4) = 4$. Таким образом, $f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 4 + 3 + 4 + 3 + 4 = 18$.

В четвертом наборе входных данных можно увидеть, что $f(0) = 3$ и $f(1) = 1$. Таким образом, $f(0) + f(1) = 3 + 1 = 4$.

D. Цветные порталы

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы кратчайшие пути Перебор реализация Структуры данных *1600

На прямой расположено $n$ городов. Города пронумерованы целыми числами от $1$ до $n$.

Для перемещения между городами используются порталы. Порталы бывают $4$ цветов: синий, зеленый, красный и желтый. В каждом городе расположены порталы двух разных цветов. Из города $i$ можно переместиться в город $j$, если в них есть порталы одинакового цвета (например, между городом «красный-синий» и городом «синий-зеленый» можно перемещаться). Данное перемещение стоит $|i-j|$ монет.

Ваша задача — ответить на $q$ независимых запросов: посчитайте минимальную стоимость, чтобы переместиться из города $x$ в город $y$.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит два целых числа $n$ и $q$ ($1 \le n, q \le 2 \cdot 10^5$) — количество городов и количество запросов, соответственно.

Вторая строка содержит $n$ строк одного из следующих типов: BG, BR, BY, GR, GY или RY; $i$-я из них описывает порталы, находящиеся в $i$-м городе; символ B обозначает, что в городе есть портал синего цвета, G — зеленого, R — красного, а Y — желтого.

$j$-я из следующих $q$ строк содержит два целых числа $x_j$ и $y_j$ ($1 \le x_j, y_j \le n$) — описание $j$-го запроса.

Дополнительные ограничения на входные данные:

сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$;
сумма $q$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите одно целое число — минимальную стоимость, чтобы переместиться из города $x$ в город $y$ (или $-1$, если это невозможно).

A. Ирис и игра на дереве

графы Деревья жадные алгоритмы игры Конструктив поиск в глубину и подобное *1700

У Ирис есть дерево, корень которого находится в вершине $1$. Каждая вершина имеет значение $\mathtt 0$ или $\mathtt 1$.

Рассмотрим лист дерева (вершина $1$ никогда не считается листом) и определим его вес. Построим строку, сформированную значениями вершин на пути от корня до этого листа. Тогда вес листа — это разность количества вхождений подстроки $\mathtt{10}$ и количества вхождений подстроки $\mathtt{01}$ в этой строке.

Возьмем следующее дерево в качестве примера. Зеленые вершины имеют значение $\mathtt 1$, в то время как белые вершины имеют значение $\mathtt 0$.

$\text{[math]}$

Посчитаем вес листа $5$: сформированная строка равна $\mathtt{10110}$. Количество вхождений подстроки $\mathtt{10}$ равно $2$, количество вхождений подстроки $\mathtt{01}$ равно $1$, так что разность равна $2 - 1 = 1$.
Посчитаем вес листа $6$: сформированная строка равна $\mathtt{101}$. Количество вхождений подстроки $\mathtt{10}$ равно $1$, количество вхождений подстроки $\mathtt{01}$ равно $1$, так что разность равна $1 - 1 = 0$.

Оценкой дерева назовём количество листьев с ненулевым весом в дереве.

Однако значения некоторых вершин ещё не определены и будут даны вам как $\texttt{?}$. Заполнение пропусков было бы слишком скучным, поэтому Ирис собирается пригласить Дору поиграть в игру. На каждом ходу одна из девочек выбирает любую из оставшихся вершин со значением $\texttt{?}$ и изменяет её значение на $\mathtt{0}$ или $\mathtt{1}$, при этом Ирис ходит первой. Игра продолжается до тех пор, пока в дереве не останется вершин со значением $\mathtt{?}$. Ирис стремится максимизировать оценку дерева, в то время как Дора стремится минимизировать её.

Предполагая, что обе девочки играют оптимально, определите итоговую оценку дерева.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 5\cdot 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Каждая из следующих $n - 1$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \leq u, v \leq n$) — обозначающие ребро между вершинами $u$ и $v$.

Гарантируется, что данные рёбра образуют дерево.

Последняя строка содержит строку $s$ длины $n$. $i$-й символ строки $s$ представляет значение вершины $i$. Гарантируется, что $s$ содержит только символы $\mathtt{0}$, $\mathtt{1}$ и $\mathtt{?}$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — итоговую оценку дерева.

Примечание

В первом наборе входных данных значения во всех вершинах уже определены. Существует три различных пути от корня до листа:

От вершины $1$ до вершины $2$. Сформированная строка равна $\mathtt{01}$, так что вес листа равен $0-1=-1$.
От вершины $1$ до вершины $3$. Сформированная строка равна $\mathtt{00}$, так что вес листа равен $0-0=0$.
От вершины $1$ до вершины $4$. Сформированная строка равна $\mathtt{01}$, так что вес листа равен $0-1=-1$.

Таким образом, есть два листа с ненулевым весом, так что оценка дерева равна $2$.

Во втором наборе входных данных одна из последовательностей оптимальных ходов для двух игроков может быть следующей:

Ирис выбирает изменить значение вершины $3$ на $\mathtt 1$.
Дора выбирает изменить значение вершины $1$ на $\mathtt 0$.
Ирис выбирает изменить значение вершины $2$ на $\mathtt 0$.

Итоговое дерево выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$

Единственный лист с ненулевым весом — это $3$, так что оценка дерева равна $1$. Обратите внимание, что это может быть не единственная последовательность оптимальных ходов для Ирис и Доры.

F. Краски Доры

графы Комбинаторика Конструктив Перебор реализация *3500

К сожалению, Дора пролила краску, когда рисовала мурал в классе. Дора рассматривает мурал как матрицу $b$ размера $n \times n$. Изначально $b_{i,j} = 0$ для всех $1 \le i, j \le n$.

У Доры есть только две кисти, которые имеют два разных цвета. За одну операцию она может покрасить матрицу одной из двух кистей:

Первая кисть имеет цвет $1$ и может покрасить один столбец матрицы. То есть, Дора выбирает целое число $1 \leq j \leq n$ и присваивает $b_{i,j} := 1$ для всех $1 \leq i \leq n$;
Вторая кисть имеет цвет $2$ и может покрасить одну строку матрицы. То есть, Дора выбирает целое число $1 \leq i \leq n$ и присваивает $b_{i,j} := 2$ для всех $1 \leq j \leq n$.

Дора раскрашивает матрицу так, чтобы полученная матрица $b$ содержала только $1$ и $2$.

Для матрицы $b$ обозначим $f(b)$ как минимальное количество операций, необходимых, чтобы превратить начальную матрицу (содержащую только $0$) в $b$. Красота матрицы $b$ равна количеству способов раскрасить начальную матрицу за ровно $f(b)$ операций, чтобы превратить её в $b$. Если нет способа превратить начальную матрицу в $b$, то красота $b$ равна $0$.

Однако Дора сделала случайную ошибку. В матрице $a$, которую вы получили, ровно один элемент отличается от настоящей матрицы $b$. То есть, существует ровно одна пара $(i, j)$ такая, что $a_{i, j} = 3 - b_{i, j}$.

Пожалуйста, помогите Доре вычислить ожидаемую красоту настоящей матрицы $b$ по модулю $998\,244\,353$ (все возможные $n^2$ ошибок имеют равную вероятность).

Поскольку размер матрицы слишком велик, Дора скажет вам только позиции $m$ элементов цвета $1$, а остальные $n^2-m$ элементов имеют цвет $2$.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$, $0 \leq m \leq \min(10^6, n^2)$) — размер матрицы и количество элементов цвета $1$.

Затем следуют $m$ строк, каждая из которых содержит два положительных целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \leq x_i, y_i \leq n$) — обозначающие, что $a_{x_i, y_i} = 1$.

Гарантируется, что если $i \neq j$, то $(x_i, y_i) \neq (x_j, y_j)$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $4\cdot10^5$, а сумма $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — ожидаемую красоту настоящей матрицы $b$, по модулю $998\,244\,353$.

Примечание

В первом наборе входных данных матрица $a = \left[\begin{matrix}1&1\\2&2\end{matrix}\right]$. Рассмотрим изменение элемента $(1,1)$ для вычисления ответа.

Можно доказать, что минимальное количество операций для раскрашивания начальной матрицы в $\left[\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right]$ равно $3$. Сначала мы можем покрасить первую строку в цвет $2$, затем покрасить второй столбец в цвет $1$, и наконец покрасить вторую строку в цвет $2$. Процесс выглядит следующим образом:

\left[\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}\right]\Rightarrow\left[\begin{matrix}2&2\\0&0\end{matrix}\right]\Rightarrow\left[\begin{matrix}2&1\\0&1\end{matrix}\right]\Rightarrow\left[\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right]

Можно доказать, что это единственный способ раскрасить матрицу за $3$ операции. Таким образом, красота матрицы $\left[\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right]$ равна $1$. Аналогично, если изменить любой другой элемент матрицы, красота всегда равна $1$, поэтому ожидаемая красота настоящей матрицы $b$ равна $1$.

Во втором наборе входных данных матрица $a = \left[\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right]$. Рассмотрим изменение элемента $(2, 2)$ для вычисления ответа.

Можно доказать, что невозможно раскрасить начальную матрицу в $\left[\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right]$, поэтому её красота равна $0$. Если изменить любой другой элемент матрицы, красота всегда равна $2$, поэтому ожидаемая красота равна $\frac{0 + 2 + 2 + 2}{4} = \frac{6}{4} \equiv 499\,122\,178 \pmod {998\,244\,353}$.

D. Хобби Сакурако

графы дп математика снм *1100

Для некоторой перестановки $p$$^{\text{∗}}$ Сакурако называет целое число $j$ достижимым из целого числа $i$, если можно сделать так, чтобы $i$ стало равным $j$, присваивая $i=p_i$ некоторое количество раз.

Если $p=[3,5,6,1,2,4]$, то, например, $4$ достижимо из $1$, потому что: $i=1$ $\rightarrow$ $i=p_1=3$ $\rightarrow$ $i=p_3=6$ $\rightarrow$ $i=p_6=4$. Теперь $i=4$, так что $4$ достижимо из $1$.

Каждое число перестановки окрашено либо в чёрный, либо в белый цвет.

Сакурако определяет функцию $F(i)$ как количество целых чисел чёрного цвета, которые достижимы из $i$.

Сакурако интересует $F(i)$ для каждого $1\le i\le n$, но вычислить все значения становится очень сложно, поэтому она просит вас, как своего хорошего друга, вычислить это.

$^{\text{∗}}$Перестановка длины $n$ — это массив, состоящий из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$ в произвольном порядке. Например, $[2,3,1,5,4]$ является перестановкой, но $[1,2,2]$ не является перестановкой (число $2$ встречается дважды в массиве), а $[1,3,4]$ также не является перестановкой ( $n=3$, но в массиве есть $4$).

Входные данные

В первой строке содержится одно целое число $t$ ($1\le t\le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит одно целое число $n$ ($1\le n\le 2\cdot 10^5$) — количество элементов массива.

Вторая строка каждого набора содержит $n$ целых чисел $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1\le p_i\le n$) — элементы перестановки.

Третья строка каждого набора содержит строку $s$ длины $n$, состоящую из '0' и '1'. Если $s_i=0$, то число $p_i$ окрашено в чёрный цвет, если $s_i=1$, то число $p_i$ окрашено в белый цвет.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $n$ целых чисел $F(1), F(2), \dots, F(n)$.

H. Странная матрица

*особая задача графы жадные алгоритмы

Задана матрица $a$ размера $n \times m$, состоящая из целых чисел от $0$ до $31$ включительно.

Назовем матрицу странной, если для любых ее двух различных строк $i$ и $j$ выполняются оба следующих условия:

для каждого набора из $k$ индексов $(x_1, x_2, \dots, x_k)$, где $1 \le x_1 < x_2 < \cdots < x_k \le m$, выполняется равенство $a_{i, x_1} \mathbin{\&} a_{j, x_1} \mathbin{\&} a_{i, x_2} \mathbin{\&} a_{j, x_2} \mathbin{\&} \cdots \mathbin{\&} a_{i, x_k} \mathbin{\&} a_{j, x_k} = 0$ (где $\mathbin{\&}$ — побитовое И двух чисел);
для каждого набора из $k$ индексов $(x_1, x_2, \dots, x_k)$, где $1 \le x_1 < x_2 < \cdots < x_k \le m$, выполняется равенство $a_{i, x_1} \mathbin{|} a_{j, x_1} \mathbin{|} a_{i, x_2} \mathbin{|} a_{j, x_2} \mathbin{|} \cdots \mathbin{|} a_{i, x_k} \mathbin{|} a_{j, x_k} = 31$ (где $\mathbin{|}$ — побитовое ИЛИ двух чисел).

Вы можете выполнять следующее действие любое количество раз: взять любую строку матрицы и число $y$ от $0$ до $31$ включительно; а затем применить побитовое исключающее ИЛИ (XOR) с числом $y$ ко всем элементам выбранной строки. Стоимость такой операции равна $y$.

Ваша задача — определить минимальную стоимость, чтобы сделать матрицу странной. Или сообщите, что это невозможно.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($1 \le n, m \le 50$; $1 \le k \le m$).

Далее следует $n$ строк, $i$-я из них содержит по $m$ целых чисел $a_{i, 1}, a_{i, 2}, \dots, a_{i, m}$ ($0 \le a_{i, j} \le 31$).

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — минимальную стоимость, чтобы сделать матрицу странной; или -1, если матрицу невозможно сделать странной.

E. Встреча Мариан и Робина

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1800

В скромном акте встречи радость раскрывается, как цветок в цветении.

Отсутствие заставляет сердце тосковать. Мариан продала свой последний товар на рынке в то же время, когда Робин закончил тренировку у Великого Дуба. Они не могли дождаться встречи, поэтому оба отправились в путь без промедления.

Сеть путешествий представлена как $n$ вершин, пронумерованных от $1$ до $n$, и $m$ рёбер. $i$-е ребро соединяет вершины $v_i$ и $u_i$ и занимает $w_i$ секунд на преодоление (все $w_i$ четные). Мариан начинает с вершины $1$ (Рынок), а Робин начинает с вершины $n$ (Великий Дуб).

Кроме того, у $h$ из $n$ вершин есть по одному доступному коню. И Мариан, и Робин являются опытными всадниками и могут оседлать лошадей в считанные секунды (т.е. за $0$ секунд). Время в пути сокращается вдвое при езде на лошади. Как только они сядут на лошадь, она будет служить им на протяжении всего оставшегося пути. Встреча должна происходить на вершине (т.е. не на ребре). Каждый из них также может останавливаться в вершинах.

Выведите самое раннее время, когда Робин и Мариан могут встретиться. Если вершины $1$ и $n$ не соединены, выведите $-1$, так как встреча отменяется.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1\leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $m$, $h$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5, \;1 \le m \le 2 \cdot 10^5, \; 1 \le h \le n$) — количество вершин, количество рёбер и количество вершин, в которых есть по одному коню.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $h$ различных целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_h$ ($1 \le a_i \le n$) — вершины, у которых есть по одному доступному коню.

Затем следуют $m$, каждая содержит по три целых числа $u_i$, $v_i$, $w_i$ ($1\le u_i,v_i \le n, \; 2\le w_i \le 10^6$) — что означает, что существует ребро между вершинами $u_i$ и $v_i$ с затратами на путешествие $w_i$ секунд без лошади.

Гарантируется, что суммы как $n$, так и $m$ по всем наборам входных данных не превышают $2 \cdot 10^5$.

В графе нет петель и кратных рёбер, все $w_i$ являются четными целыми числами.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — самое раннее время, когда Робин и Мариан могут встретиться. Если встреча невозможна, выведите $-1$.

Примечание

В первом наборе входных данных Мариан едет от вершины $1$ к вершине $2$, Робин ждет.

Во втором наборе входных данных вершины $1$ и $3$ не соединены.

В третьем наборе входных данных и Мариан, и Робин едут к вершине $2$, чтобы встретиться.

В четвертом наборе входных данных Мариан едет к вершине $2$ без лошади, оседлает лошадь на вершине $2$ и едет к вершине $3$, чтобы встретиться с Робином.

В пятом наборе входных данных Мариан едет к вершине $2$ без лошади, оседлает лошадь на вершине $2$ и возвращается к вершине $1$, а затем к вершине $3$.

D. Соедини точки

графы Деревья дп математика Перебор снм *1800

Одним уютным вечером Алиса решила сыграть в классическую игру «Соедини точки», но с подвохом.

Чтобы начать игру, Алиса рисует прямую линию и отмечает на ней $n$ точек, проиндексированных числами от $1$ до $n$. Изначально между точками нет рёбер, так что все они попарно не соединены. Затем Алиса выполняет $m$ операций следующего типа:

Она выбирает три целых числа $a_i$, $d_i$ ($1 \le d_i \le 10$) и $k_i$.
Затем для точек $a_i, a_i+d_i, a_i+2d_i, a_i+3d_i, \ldots, a_i+k_i\cdot d_i$ Алиса соединяет ребром каждую пару из них.

Алиса хочет узнать, сколько компонент связности$^\dagger$ образуют эти точки после выполнения всех $m$ операций.

$^\dagger$ Считается, что две точки лежат в одной компоненте связности, если между ними есть путь, использующий несколько (возможно, ноль) промежуточных рёбер и вершин.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n \le 2 \cdot 10^5$, $1 \le m \le 2 \cdot 10^5$).

В $i$-й из следующих $m$ строк содержится три целых числа $a_i$, $d_i$ и $k_i$ ($1 \le a_i \le a_i + k_i\cdot d_i \le n$, $1 \le d_i \le 10$, $0 \le k_i \le n$).

Гарантируется, что сумма значений $n$, а также сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$ каждая.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите количество компонент связности.

Примечание

В первом наборе входных данных есть $n = 10$ точек. Первая операция соединяет точки $1$, $3$, $5$, $7$ и $9$. Вторая операция соединяет точки $2$, $4$, $6$, $8$ и $10$. В итоге получаем две компоненты связности: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ и $\{2, 4, 6, 8, 10\}$.

Во втором наборе входных данных есть $n = 100$ точек. Единственная операция соединяет точки $19$, $21$, $23$, $25$ и $27$. Теперь они образуют одну компоненту связности размера $5$. Остальные $95$ точек ни с кем не соединены, так что каждая из них образует отдельную компоненту связности. Значит, ответ равен $1 + 95 = 96$.

В третьем наборе входных данных есть $n = 100$ точек. После выполнения всех операций все точки с нечётными номерами от $1$ до $79$ образуют одну компоненту связности размера $40$. Остальные $60$ точек ни с кем не соединены, так что каждая из них образует отдельную компоненту связности. Значит, ответ равен $1 + 60 = 61$.

E1. Цифровая деревня (простая версия)

бпф графы Деревья дп жадные алгоритмы математика Перебор поиск в глубину и подобное реализация снм Структуры данных *2300

Это простая версия задачи. В трех версиях отличаются ограничения на $n$ и $m$. Вы можете совершать взломы только в том случае, если решены все версии задачи.

Пак Чанек устанавливает интернет-связь в деревне Кхунтиен. Деревню можно представить как связный простой граф с $n$ домами и $m$ интернет-кабелями, соединяющими дом $u_i$ и дом $v_i$, каждый с задержкой $w_i$.

Существует $p$ домов, которым требуется интернет. Пак Чанек может установить серверы не более чем в $k$ домов. Дома, которым нужен интернет, будут подключены к одному из серверов. Однако, поскольку каждый кабель имеет свою задержку, задержка, которую испытывает дом $s_i$, нуждающийся в интернете, будет равна максимальной задержке кабелей между этим домом и сервером, к которому он подключен.

Для каждого $k = 1,2,\ldots,n$, помогите Пак Чанеку определить минимальную суммарную задержку, которая может быть достигнута для всех домов, требующих интернет.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $m$, $p$ ($2 \le n \le 400$; $n-1 \le m \le 400$; $1 \le p \le n$) — количество домов, количество кабелей и количество домов, которым нужен интернет.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $p$ целых чисел $s_1, s_2, \ldots, s_p$ ($1 \le s_i \le n$) — номера домов, которым нужен интернет. Гарантируется, что все элементы $s$ различны.

В $i$-й из следующих $m$ строк каждого набора входных данных содержатся три целых числа $u_i$, $v_i$ и $w_i$ ($1 \le u_i < v_i \le n$; $1 \le w_i \le 10^9$) — интернет-кабель, соединяющий дом $u_i$ и дом $v_i$ с задержкой $w_i$. Гарантируется, что заданные ребра образуют простой связный граф.

Гарантируется, что сумма $n^3$ и сумма $m^3$ не превосходят $10^8$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $n$ целых чисел: минимальное общее время ожидания, которое может быть достигнуто для всех домов, нуждающихся в интернете для каждого $k = 1,2,\ldots,n$.

Примечание

В первом наборе входных данных для $k=3$ одним из лучших решений является установка серверов в вершинах $2$, $6$ и $8$ и получение следующей задержки:

задержка$(2) = 0$
задержка$(5) = \max(3, 5) = 5$
задержка$(6) = 0$
задержка$(8) = 0$
задержка$(9) = \max(2, 4) = 4$

Таким образом, общая задержка составит $9$.

E2. Цифровая деревня (сложная версия)

графы Деревья дп математика снм Структуры данных *2500

Это сложная версия задачи. В трех версиях отличаются ограничения на $n$ и $m$. Вы можете совершать взломы только в том случае, если решены все версии задачи.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 2000$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $m$, $p$ ($2 \le n \le 5000$; $n-1 \le m \le 5000$; $1 \le p \le n$) — количество домов, количество кабелей и количество домов, которым нужен интернет.

Гарантируется, что сумма $n$ и сумма $m$ не превосходят $5000$.

Выходные данные

Примечание

задержка$(2) = 0$
задержка$(5) = \max(3, 5) = 5$
задержка$(6) = 0$
задержка$(8) = 0$
задержка$(9) = \max(2, 4) = 4$

Таким образом, общая задержка составит $9$.

E3. Цифровая деревня (экстремальная версия)

графы Деревья дп жадные алгоритмы математика поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2800

Это экстремальная версия задачи. В трех версиях отличаются ограничения на $n$ и $m$. Вы можете совершать взломы только в том случае, если решены все версии задачи.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $m$, $p$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$; $n-1 \le m \le 2 \cdot 10^5$; $1 \le p \le n$) — количество домов, количество кабелей и количество домов, которым нужен интернет.

Гарантируется, что сумма $n$ и сумма $m$ не превосходят $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Примечание

задержка$(2) = 0$
задержка$(5) = \max(3, 5) = 5$
задержка$(6) = 0$
задержка$(8) = 0$
задержка$(9) = \max(2, 4) = 4$

Таким образом, общая задержка составит $9$.

E1. Billetes MX (простая версия)

2-sat Бинарный поиск графы Комбинаторика Конструктив поиск в глубину и подобное снм *2500

Это простая версия задачи. В этой версии гарантируется, что $q = 0$. Вы можете совершать взломы только в том случае, если решены обе версии задачи.

Целочисленная сетка $A$ с $p$ строками и $q$ столбцами называется красивой, если:

Все элементы сетки являются целыми числами от $0$ до $2^{30}-1$, и
Для любой подсетки XOR значений в углах равен $0$. Формально, для любых четырех целых чисел $i_1$, $i_2$, $j_1$, $j_2$ ($1 \le i_1 < i_2 \le p$; $1 \le j_1 < j_2 \le q$) должно выполняться $A_{i_1, j_1} \oplus A_{i_1, j_2} \oplus A_{i_2, j_1} \oplus A_{i_2, j_2} = 0$, где $\oplus$ обозначает операцию побитового исключающего ИЛИ.

Имеется частично заполненная целочисленная сетка $G$ с $n$ строками и $m$ столбцами, в которой заполнены только $k$ ячеек. Поликарп хочет узнать, сколькими способами он может распределить целые числа по незаполненным ячейкам, чтобы сетка стала красивой.

Однако Монокарп считает, что эта задача слишком проста. Поэтому он выполнит $q$ обновлений сетки. В каждом обновлении он будет выбирать незаполненную ячейку и присваивать ей целое число. Заметим, что эти обновления перманентны. То есть изменения, внесенные в сетку, будут применяться при обработке будущих обновлений.

Для каждого из $q + 1$ состояния сетки (начального состояния и после каждого из $q$ запросов) определите количество способов, которыми Поликарп может присвоить целые числа незаполненным ячейкам, чтобы сетка стала красивой. Поскольку это число может быть очень большим, от вас требуется только вывести их значения по модулю $10^9+7$.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит четыре целых числа $n$, $m$, $k$ и $q$ ($2 \le n, m \le 10^5$; $0 \le k \le 10^5$; $q = 0$) — количество строк, количество столбцов, количество фиксированных ячеек и количество обновлений.

Следующие $k$ строк содержат по три целых числа $r$, $c$ и $v$ ($1 \le r \le n, 1 \le c \le m$; $0 \le v < 2^{30}$) — изначально элементу $G_{r, c}$ присвоено целое число $v$.

Следующие $q$ строк содержат по три целых числа $r$, $c$ и $v$ ($1 \le r \le n, 1 \le c \le m$; $0 \le v < 2^{30}$) — данное обновление присваивает элементу $G_{r, c}$ целое число $v$.

Гарантируется, что пары $(r,c)$ во всех присваиваниях различны.

Гарантируется, что суммы $n$, $m$, $k$ и $q$ по всем наборам входных данных не превосходят $10^5$ соответственно.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $q + 1$ строку. В $i$-й строке вывода должен содержаться ответ для $i$-го состояния решетки по модулю $10^9 + 7$.

Примечание

В первом наборе входных данных мы имеем следующую сетку:

$0$	$6$	$10$
$6$	$0$	$12$
$10$	$12$	$?$

Можно доказать, что единственным допустимым значением для ячейки $(3, 3)$ является $0$.

E2. Billetes MX (сложная версия)

Бинарный поиск графы Комбинаторика снм Структуры данных *2600

Это сложная версия задачи. В этой версии гарантируется, что $q \leq 10^5$. Вы можете совершать взломы только в том случае, если решены обе версии задачи.

Целочисленная сетка $A$ с $p$ строками и $q$ столбцами называется красивой, если:

Все элементы сетки являются целыми числами от $0$ до $2^{30}-1$, и
Для любой подсетки XOR значений в углах равен $0$. Формально, для любых четырех целых чисел $i_1$, $i_2$, $j_1$, $j_2$ ($1 \le i_1 < i_2 \le p$; $1 \le j_1 < j_2 \le q$) должно выполняться $A_{i_1, j_1} \oplus A_{i_1, j_2} \oplus A_{i_2, j_1} \oplus A_{i_2, j_2} = 0$, где $\oplus$ обозначает операцию побитового исключающего ИЛИ.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит четыре целых числа $n$, $m$, $k$ и $q$ ($2 \le n, m \le 10^5$; $0 \le k, q \leq 10^5$) — количество строк, количество столбцов, количество фиксированных ячеек и количество обновлений.

Гарантируется, что пары $(r,c)$ во всех присваиваниях различны.

Гарантируется, что суммы $n$, $m$, $k$ и $q$ по всем наборам входных данных не превосходят $10^5$ соответственно.

Выходные данные

Примечание

В первом наборе входных данных мы изначально имеем следующую сетку:

$0$	$6$	$10$
$6$	$0$	$12$
$10$	$12$	$?$

Можно доказать, что единственным допустимым значением для ячейки $(3, 3)$ является $0$, поэтому первый ответ — $1$. Для второго запроса ячейка не удовлетворяет условию, поэтому ответ — $0$.

B. Пропуск

Бинарный поиск графы дп кратчайшие пути *1700

На улице уже $3024$ год, идеи для задач давно закончились, а олимпиады теперь проходят в изменённом индивидуальном формате. Олимпиада состоит из $n$ задач, пронумерованных от $1$ до $n$. $i$-я задача имеет свою стоимость $a_i$ и некоторый параметр $b_i$ ($1 \le b_i \le n$).

Изначально тестирующая система выдаёт участнику первую задачу. Когда участнику выдают $i$-ю задачу, у него есть два варианта:

Либо он сдаёт задачу и получает $a_i$ баллов;
Либо он может пропустить задачу, тогда он никогда не сможет её сдать.

Далее тестирующая система выбирает для участника следующую задачу среди задач с номерами $j$, такими что:

Если он сдал $i$-ю задачу, она смотрит на задачи с номерами $j < i$;
Если он пропустил $i$-ю задачу, она смотрит на задачи с номерами $j \leq b_i$.

Среди этих задач она выбирает задачу с максимальным номером, которую она ранее не выдавала участнику (до этого он её не сдавал и не пропускал). Если такой задачи нет, то соревнование для участника завершается, и его результат равен сумме баллов за все сданные задачи. В частности, если участник сдаёт первую задачу, то соревнование для него завершается. Заметьте, что участник получает каждую задачу максимум один раз.

Прохор тщательно готовился к олимпиаде, и теперь он может сдать любую задачу. Помогите ему определить, какое максимальное количество баллов он может получить.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит единственное целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 4 \cdot 10^5$) — количество задач на олимпиаде.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \leq a_i \leq 10^9$) — стоимости задач.

Третья строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($1 \leq b_i \leq n$) — параметры задач.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $4 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите единственное целое число — максимальное количество баллов, которое может получить Прохор.

Примечание

В первом наборе входных данных Прохор может пропустить первую задачу, тогда он получит задачу с номером $b_1 = 2$. Прохор может сдать её и получить $a_2 = 16$ баллов. После этого соревнование завершится, потому что Прохор уже получал все задачи. Обратите внимание, что если Прохор сдаст первую задачу, то он получит $a_1 = 15$ баллов, но соревнование сразу завершится.

Во втором наборе входных данных Прохор может пропустить первую задачу, тогда он получит задачу с номером $b_1 = 3$. Прохор может сдать её и получить $a_3 = 100$ баллов. После этого Прохор получит вторую задачу, которую он может пропустить и получить задачу с номером $b_2 = 4$. Прохор может сдать четвёртую задачу и получить ещё $a_4 = 100$ баллов. После этого соревнование завершается, потому что Прохор уже получал все задачи с номерами, не превосходящими $4$. Таким образом, суммарно Прохор получит $200$ баллов.

В третьем наборе входных данных Прохор может сдать первую задачу и получить $100$ баллов, после чего соревнование сразу завершится.

C. Ч+К+С

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное реализация Строки хэши *2400

Вам даны два сильно связных$^{\dagger}$ ориентированных графа, в каждом из которых ровно $n$ вершин, но может быть разное количество рёбер. Посмотрев на них внимательно, вы заметили важную особенность — длина любого цикла в этих графах делится на $k$.

Каждая из $2n$ вершин относится ровно к одному из двух типов: входящая или исходящая. Для каждой вершины вам известен её тип.

Вам нужно определить, можно ли провести ровно $n$ ориентированных рёбер между исходными графами так, чтобы выполнялись следующие четыре условия:

Концы любого добавленного ребра лежат в разных графах.
Из каждой исходящей вершины исходит ровно одно добавленное ребро.
В каждую входящую вершину входит ровно одно добавленное ребро.
В получившемся графе длина любого цикла делится на $k$.

$^{\dagger}$Сильно связный граф — это граф, в котором из каждой вершины существует путь до любой другой вершины.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит единственное целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $k$ ($2 \le k \le n \le 2 \cdot 10^5$) — количество вершин в каждом из графов и значение, на которое делится длина каждого цикла.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($a_i \in \{0, 1\}$). Если $a_i = 0$, то вершина $i$ первого графа является входящей. Если $a_i = 1$, то вершина $i$ первого графа является исходящей.

Третья строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $m_1$ ($1 \le m_1 \le 5 \cdot 10^5$) — количество рёбер в первом графе.

Следующие $m_1$ строк содержат описания рёбер первого графа. $i$-я из них содержит два целых числа $v_i$ и $u_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$) — ребро в первом графе, ведущее из вершины $v_i$ в вершину $u_i$.

Далее в таком же формате следует описание второго графа.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($b_i \in \{0, 1\}$). Если $b_i = 0$, то вершина $i$ второго графа является входящей. Если $b_i = 1$, то вершина $i$ второго графа является исходящей.

Следующая строка содержит одно целое число $m_2$ ($1 \le m_2 \le 5 \cdot 10^5$) — количество рёбер во втором графе.

Следующие $m_2$ строк содержат описания рёбер второго графа. $i$-я из них содержит два целых числа $v_i$ и $u_i$ ($1 \le v_i, u_i \le n$) — ребро во втором графе, ведущее из вершины $v_i$ в вершину $u_i$.

Гарантируется, что оба графа являются сильно связными, а также длины всех циклов кратны $k$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10^5$. Гарантируется, что сумма $m_1$ и сумма $m_2$ по всем наборам входных данных не превосходят $5 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES» (без кавычек), если можно провести $n$ новых рёбер так, чтобы выполнялись все условия, и «NO» (без кавычек) иначе.

Примечание

В первом наборе входных данных можно провести из первого графа во второй граф рёбра $(1, 3)$ и $(4, 2)$ (первое число в паре — номер вершины в первом графе, второе число в паре — номер вершины во втором графе), а из второго графа в первый граф провести рёбра $(1, 2)$, $(4, 3)$ (первое число в паре — номер вершины во втором графе, второе число в паре — номер вершины в первом графе).

Во втором наборе входных данных всего есть $4$ входящих вершины и $2$ исходящих, поэтому нельзя провести $3$ рёбер.

F. Выбери свои запросы

графы Деревья дп жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *2700

Дан массив $a$, состоящий из $n$ целых чисел (нумеруемых от $1$ до $n$). Изначально все они равны нулю.

Необходимо обработать $q$ запросов $i$-й запрос состоит из двух различных целых чисел $x_i$ и $y_i$. В ходе $i$-го запроса нужно выбрать целое число $p$ (которое равно либо $x_i$, либо $y_i$) и целое число $d$ (которое равно либо $1$, либо $-1$), и присвоить $a_p = a_p + d$.

После каждого запроса каждый элемент массива $a$ должен быть неотрицательным целым числом.

Необходимо обработать все запросы таким образом, чтобы сумма всех элементов массива $a$ после последнего запроса была минимально возможной.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $q$ ($2 \le n \le 3 \cdot 10^5$; $1 \le q \le 3 \cdot 10^5$) — количество элементов в массиве $a$ и количество запросов соответственно.

Затем следуют $q$ строк. $i$-я из этих строк содержит два целых числа $x_i$ и $y_i$ ($1 \le x_i, y_i \le n$; $x_i \ne y_i$) — описание $i$-го запроса.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите строку, содержащую два символа:

первый символ должен быть x, если вы выбрали $p=x_i$, или y, если вы выбрали $p=y_i$;
второй символ должен быть +, если вы выбрали $d=1$, или -, если вы выбрали $d=-1$.

Если существует несколько ответов, выведите любой из них.

E. Лучшая подпоследовательность

битмаски графы Паросочетания поиск в глубину и подобное Потоки *2500

Задан целочисленный массив $a$ размера $n$.

Скажем, что ценность массива равна его размеру минус количество единичных бит в побитовом ИЛИ всех элементов массива.

Например, для массива $[1, 0, 1, 2]$ побитовое ИЛИ равно $3$ (содержит $2$ единичных бита), а ценность массива равна $4-2=2$.

Ваша задача — вычислить максимально возможную ценность некоторой подпоследовательности заданного массива.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 100$).

Вторая строка набора содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($0 \le a_i < 2^{60}$).

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите максимально возможную ценность некоторой подпоследовательности заданного массива.

C. Добавьте нули

графы дп жадные алгоритмы Перебор поиск в глубину и подобное Структуры данных *1500

Вам дан массив $a$, изначально содержащий $n$ целых чисел. За одну операцию вы можете сделать следующее:

Выбрать позицию $i$ такую, что $1 < i \le |a|$ и $a_i = |a| + 1 - i$, где $|a|$ — текущая длина массива.
Добавить $i - 1$ нулей в конец $a$.

Какова максимально возможная длина массива $a$ после выполнения данной операции некоторое количество раз (возможно, нулевое)?

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно число $n$ ($1 \le n \le 3 \cdot 10^5$) — длину массива $a$.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^{12}$).

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — максимально возможную длину $a$ после выполнения некоторой последовательности операций.

Примечание

В первом наборе входных данных мы можем сначала выбрать $i = 4$, так как $a_4 = 5 + 1 - 4 = 2$. После этого массив станет равен $[2, 4, 6, 2, 5, 0, 0, 0]$. Затем мы можем выбрать $i = 3$, так как $a_3 = 8 + 1 - 3 = 6$. После этого массив станет равен $[2, 4, 6, 2, 5, 0, 0, 0, 0, 0]$, то есть будет иметь длину $10$. Можно показать, что нельзя получить более длинный массив.

Во втором наборе входных данных мы можем выбрать $i=2$, затем $i=3$, затем $i=4$. Итоговый массив будет равен $[5, 4, 4, 5, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]$, и его длина будет равняться $11$.

D1. Финальный диалог (простая версия)

Бинарный поиск графы дп жадные алгоритмы реализация *1700

Это простая версия задачи. Единственное отличие заключается в том, что в этой версии вам нужно вывести только минимальную суммарную стоимость операций. Вы можете делать взломы, только если обе версии задачи решены.

Даны массив $a$ длины $n$ и массив $b$ длины $m$ ($b_i > b_{i+1}$ для всех $1 \le i < m$). Изначально значение $k$ равно $1$. Ваша цель — сделать массив $a$ пустым, выполняя операции двух типов:

$1$ тип: Если значение $k$ меньше $m$ и массив $a$ не пуст, вы можете увеличить значение $k$ на $1$. Это не влечет за собой никаких затрат.
$2$ тип: Удалить непустой префикс массива $a$, такой, что его сумма не превосходит $b_k$. Стоимость этой операции равна $m - k$.

Вам нужно минимизировать суммарную стоимость последовательности операций, в результате которой массив $a$ станет пустым. Если сделать массив пустым невозможно, выведите $-1$. В противном случае выведите минимальную суммарную стоимость операций.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 3 \cdot 10^5$, $\boldsymbol{1 \le n \cdot m \le 3 \cdot 10^5}$).

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($1 \le a_i \le 10^9$).

Третья строка каждого набора входных данных содержит $m$ целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_m$ ($1 \le b_i \le 10^9$). Гарантируется, что $b_i > b_{i+1}$ для всех $1 \le i < m$.

Гарантируется, что сумма $\boldsymbol{n \cdot m}$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, если возможно сделать $a$ пустым, выведите минимальную суммарную стоимость операций.

Если не существует последовательности операций, которая делает $a$ пустым, то выведите одно число $-1$.

Примечание

В первом наборе входных данных оптимальная последовательность операций, имеющая стоимость $1$, выглядит следующим образом:

Выполните операцию типа $2$. Выберите префикс $[9]$. Эта операция стоит $1$.
Выполните операцию типа $1$. Значение $k$ теперь равно $2$. Это не влечет за собой никаких затрат.
Выполните операцию типа $2$. Выберите префикс $[3, 4]$. Эта операция стоит $0$.
Выполните операцию типа $2$. Выберите префикс $[3]$. Эта операция стоит $0$.
Массив $a$ стал пустым, а суммарная стоимость всех операций равна $1$.

Во втором наборе входных данных невозможно удалить ни одного префикса массива, так как $a_1 > b_1$, поэтому массив $a$ нельзя сделать пустым ни одной последовательностью операций.

D. Приключения Алисы в картах

графы дп жадные алгоритмы Конструктив реализация Структуры данных Тернарный поиск *2000

Алиса играет в карты с Дамой Червей, Королем Червей и Валетом Червей. В их карточной игре есть $n$ различных типов карт. В данный момент у Алисы есть карта типа $1$, и ей нужна карта типа $n$, чтобы сбежать из Страны Чудес. У остальных игроков есть по одной карте каждого типа.

В этой карточной игре Алиса может обмениваться картами с тремя другими игроками. У каждого игрока есть свои предпочтения среди этих $n$ типов, которые можно описать перестановками$^{\text{∗}}$ $q$, $k$ и $j$ для Дамы, Короля и Валета соответственно.

Игрок оценивает карту $a$ больше, чем карту $b$, если для их перестановки $p$, $p_a > p_b$. Тогда этот игрок готов обменять карту $b$ с Алисой в обмен на карту $a$. Предпочтения Алисы просты: она оценивает карту $a$ больше, чем карту $b$ если $a > b$, и она будет обмениваться картами только в соответствии с этими предпочтениями.

Определите, может ли Алиса обменять карту типа $1$ на карту типа $n$, учитывая эти предпочтения. Если это возможно, приведите возможный набор обменов для этого.

$^{\text{∗}}$Перестановкой длины $n$ является массив, состоящий из $n$ различных целых чисел от $1$ до $n$ в произвольном порядке. Например, $[2,3,1,5,4]$ — перестановка, но $[1,2,2]$ не перестановка ($2$ встречается в массиве дважды) и $[1,3,4]$ тоже не перестановка ($n=3$, но в массиве встречается $4$).

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($2\le n\le 2\cdot 10^5$) — количество типов карт.

Следующие три строки содержат предпочтения Дамы, Короля и Валета соответственно. Каждая из этих строк содержит $n$ целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ($1\le p_i\le n$) — перестановка, соответствующая предпочтениям игрока.

Сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в первой строке выведите одну строку «YES» или «NO» (без кавычек), обозначающую, может ли Алиса обменяться на карту $n$.

Если первая строка была «YES», то на следующей строке выведите $k$ — количество обменов, которые сделает Алиса. На следующих $k$ строках выведите через пробел символ $c\in \{\texttt{q}, \texttt{k}, \texttt{j}\}$ и целое число $x$, обозначающее, что Алиса обменивается с игроком $c$, чтобы получить карту $x$. Должно быть так, что на $k$-й строке $x = n$. Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Вы можете выводить каждую букву в любом регистре (строчную или заглавную). Например, строки «yEs», «yes», «Yes» и «YES» будут приняты как положительный ответ. То же самое касается символа $c$, обозначающего игрока в обмене ($\texttt{Q}, \texttt{K}, \texttt{J}$ будут приняты наряду с их строчными вариантами).

Примечание

В первом наборе входных данных Алиса может обменяться с Королем, чтобы получить карту $2$. Затем она может обменяться с Дамой, чтобы получить карту $3$.

Во втором наборе входных данных, хотя Алиса может обменяться с Дамой, чтобы получить карту $3$, с Королем, чтобы получить карту $2$, а затем с Валетом, чтобы получить карту $4$, это не является допустимым решением, так как оно не соответствует предпочтениям Алисы. Мы можем показать, что нет способа для Алисы получить карту $4$.

D. Классный граф

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *1900

Вам дан неориентированный граф с $n$ вершинами и $m$ рёбрами.

Вы можете выполнить следующую операцию не более чем $2\cdot \max(n,m)$ раз:

Выберите три различные вершины $a$, $b$ и $c$. Затем для каждого из рёбер $(a,b)$, $(b,c)$ и $(c,a)$ выполните следующее:
- Если ребро не существует, добавьте его. В противном случае, если оно существует, удалите его.

Граф называется классным, если и только если выполняется одно из следующих условий:

Граф не имеет рёбер, или
Граф является деревом.

Вам нужно сделать граф классным, выполняя указанные выше операции. Обратите внимание, что вы можете использовать не более чем $2\cdot \max(n,m)$ операций.

Можно показать, что всегда существует хотя бы одно решение.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($3\le n\le 10^5$, $0\le m\le \min\left(\frac{n(n-1)}{2},2\cdot 10^5\right)$) — количество вершин и количество рёбер.

Затем следуют $m$ строк, $i$-я строка содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1\le u_i,v_i\le n$) — две вершины, которые соединяет $i$-е ребро.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $10^5$, а сумма $m$ по всем наборам входных данных не превышает $2\cdot 10^5$.

Гарантируется, что в данном графе нет петель или кратных рёбер.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных в первой строке выведите целое число $k$ ($0\le k\le 2\cdot \max(n, m)$) — количество операций.

Затем выведите $k$ строк, $i$-я строка содержит три различных целых числа $a$, $b$ и $c$ ($1\le a,b,c\le n$) — три целых числа, которые вы выбрали в $i$-й операции.

Если существует несколько решений, вы можете вывести любое из них.

Примечание

В первом наборе входных данных граф уже классный, потому что рёбер нет.

Во втором наборе входных данных, после выполнения единственной операции, граф становится деревом, поэтому он классный.

В третьем наборе входных данных граф уже классный, потому что он является деревом.

В четвёртом наборе входных данных, после выполнения единственной операции, граф не имеет рёбер, поэтому он классный.

В пятом наборе входных данных:

Операция	Граф до операции	Граф после операции
$1$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$2$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$3$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

Обратите внимание, что после первой операции граф уже стал классным, и есть две лишние операции. Поскольку граф по-прежнему классный после двух лишних операций, это является допустимым ответом.

F. Палиндромы везде

графы жадные алгоритмы Конструктив *2500

Дан цикл с $n$ вершинами, пронумерованными от $0$ до $n-1$. Для каждого $0\le i\le n-1$ существует неориентированное ребро между вершиной $i$ и вершиной $((i+1)\bmod n)$ с цветом $c_i$ ($c_i=\texttt{R}$ или $\texttt{B}$).

Проверьте, выполняется ли следующее условие для каждой пары вершин $(i,j)$ ($0\le i<j\le n-1$):

Существует палиндромный маршрут между вершиной $i$ и вершиной $j$. Обратите внимание, что маршрут может не быть простым. Формально, должна существовать последовательность $p=[p_0,p_1,p_2,\ldots,p_m]$, такая что:
- $p_0=i$, $p_m=j$;
- Для всех $0\leq x\le m-1$, либо $p_{x+1}=(p_x+1)\bmod n$, либо $p_{x+1}=(p_{x}-1)\bmod n$;
- Для всех $0\le x\le y\le m-1$ таких, что $x+y=m-1$, ребро между $p_x$ и $p_{x+1}$ имеет такой же цвет, как и ребро между $p_y$ и $p_{y+1}$.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит количество наборов входных данных $t$ ($1 \le t \le 10^5$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($3\leq n\leq10^6$) — количество вершин в цикле.

Вторая строка содержит строку $c$ длиной $n$ ($c_i=\texttt{R}$ или $\texttt{B}$) — цвет каждого ребра.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите «YES» (без кавычек), если существует палиндромный маршрут между любой парой вершин, и «NO» (без кавычек) в противном случае.

Примечание

В первом наборе входных данных легко показать, что существует палиндромный маршрут между любыми двумя вершинами.

Во втором наборе входных данных между любыми двумя вершинами существует маршрут, состоящий только из красных рёбер.

В третьем наборе входных данных цикл выглядит следующим образом: $0\color{red}{\overset{\texttt{R}}{\longleftrightarrow}}1\color{blue}{\overset{\texttt{B}}{\longleftrightarrow}}2\color{blue}{\overset{\texttt{B}}{\longleftrightarrow}}3\color{red}{\overset{\texttt{R}}{\longleftrightarrow}}4\color{blue}{\overset{\texttt{B}}{\longleftrightarrow}}0$. Возьмём $(i,j)=(0,3)$ в качестве примера, тогда $0\color{red}{\overset{\texttt{R}}{\longrightarrow}}1\color{blue}{\overset{\texttt{B}}{\longrightarrow}}2\color{blue}{\overset{\texttt{B}}{\longrightarrow}}3\color{red}{\overset{\texttt{R}}{\longrightarrow}}4\color{blue}{\overset{\texttt{B}}{\longrightarrow}}0\color{blue}{\overset{\texttt{B}}{\longrightarrow}}4\color{red}{\overset{\texttt{R}}{\longrightarrow}}3$ является палиндромным маршрутом. Таким образом, условие выполняется для $(i,j)=(0,3)$.

В четвёртом наборе входных данных не существует палиндромного маршрута для $(i,j)=(0,2)$.

I. Вызов дисперсии

графы жадные алгоритмы Потоки *3400

Кевин недавно узнал определение дисперсии. Для массива $a$ длины $n$ дисперсия $a$ определяется следующим образом:

Пусть $x=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$, т.е. $x$ — это среднее арифметическое массива $a$;
Тогда дисперсия $a$ равна  V(a)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(a_i-x)^2.

Теперь Кевин даст вам массив $a$, состоящий из $n$ целых чисел, а также целое число $k$. Вы можете выполнять следующую операцию над $a$:

Выберите отрезок $[l,r]$ ($1\le l\le r\le n$), затем для каждого $l\le i\le r$ увеличьте $a_i$ на $k$.

Для каждого $1\le p\le m$ вам нужно найти минимально возможную дисперсию $a$ после выполнения ровно $p$ операций, независимо для каждого $p$.

Для простоты вам нужно только вывести ответы, домноженные на $n^2$. Можно доказать, что результаты всегда являются целыми числами.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1\le t\le 100$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $m$ и $k$ ($1\le n,m\le 5000$, $\color{red}{n\cdot m\le 2\cdot 10^4}$, $1\le k\le 10^5$) — длину массива $a$, максимальное количество операций и число, которое добавляется к $a_i$ в операции из условия.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1,a_2,\ldots, a_n$ ($1\le a_i\le 10^5$) — элементы массива $a$.

Гарантируется, что сумма $n\cdot m$ по всем тестам не превышает $2\cdot 10^4$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите $m$ целых чисел в одной строке, где $p$-е целое число обозначает минимально возможную дисперсию $a$ после выполнении ровно $p$ операций, домноженную на $n^2$.

Примечание

В первом наборе входных данных:

Для $p = 1$ вы можете выполнить операцию на $[1, 1]$, изменив $a$ с $[1, 2, 2]$ на $[2, 2, 2]$. Поскольку все элементы равны, дисперсия равна $0$.
Для $p = 2$ вы можете выполнить операцию на $[1, 3]$, а затем на $[1, 1]$, изменив $a$ с $[1, 2, 2]$ на $[2, 3, 3]$, а затем на $[3, 3, 3]$. Поскольку все элементы равны, дисперсия равна $0$.

Во втором наборе входных данных:

$p=1$: $[\underline{1,}\,2,2]\to [3,2,2]$;
$p=2$: $[1,\underline{2,2}] \to [\underline{1,}\,4,4] \to [3,4,4]$.

В третьем наборе входных данных:

$p=1$: $[10,\underline{1,1,1,1,10,1,1,1,1}]\to[10,2,2,2,2,11,2,2,2,2]$;
$p=2$: $[10,1,1,1,1,10,\underline{1,1,1,1}] \to [10,\underline{1,1,1,1},10,2,2,2,2] \to [10,2,2,2,2,10,2,2,2,2]$.

В восьмом наборе входных данных для всех $p$ оптимально выполнить операцию над всем массивом $p$ раз.

D. Генокракен

графы Деревья жадные алгоритмы интерактив Конструктив реализация Структуры данных *1800

Это интерактивная задача.

Очистив Прибрежную Зону, Гретель обнаружила монстра по имени Генокракен и удерживает его для своих научных исследований.

Нервная система монстра может быть представлена как дерево$^{\dagger}$ из $n$ вершин (на самом деле, всё не должно постоянно напоминать деревья$\ldots$), пронумерованных от $0$ до $n-1$, с вершиной $0$ в качестве корня.

Цель Гретель — узнать точную структуру нервной системы монстра. Более конкретно, она хочет узнать значения $p_1, p_2, \ldots, p_{n-1}$ дерева, где $p_i$ ($0 \le p_i < i$) является прямым предком вершины $i$ ($1 \le i \le n - 1$).

Она не знает точно, как расположены вершины, но знает несколько приятных фактов:

Если мы удалим корневую вершину $0$ и все смежные ребра, то это дерево превратится в лес, состоящий только из путей$^{\ddagger}$. Каждая вершина, которая изначально была смежной с вершиной $0$, будет концом какого-то пути.
Вершины нумеруются таким образом, что если $1 \le x \le y \le n - 1$, то $p_x \le p_y$.
Вершина $1$ гарантированно имеет ровно две смежные вершины (включая вершину $0$).

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
Дерево на этой картинке не удовлетворяет условию, потому что если мы удалим вершину $0$, то вершина $2$ (которая изначально была смежной с вершиной $0$) не будет концом пути $4-2-5$.	Дерево на этой картинке не удовлетворяет условию, потому что должно выполняться $p_3 \le p_4$.	Дерево на этой картинке не удовлетворяет условию, потому что вершина $1$ имеет только одну смежную вершину.

Гретель может делать запросы к защитной камере:

«? a b» ($1 \le a, b < n$, $a \ne b$) — камера проверит, содержит ли простой путь между вершинами $a$ и $b$ вершину $0$.

Однако, чтобы избежать неожиданных последствий от чрезмерной стимуляции существа, Гретель хочет сделать не более $2n - 6$ запросов. Хотя Гретель одарена, она не может сделать всё сразу, так что можете ли вы протянуть ей руку помощи?

$^{\dagger}$Дерево — это связный граф, в котором каждая пара различных вершин имеет ровно один простой путь, соединяющий их.

$^{\ddagger}$Путь — это дерево, вершины которого могут быть записаны в порядке $v_1, v_2, \ldots, v_k$ так, что рёбра имеют вид $(v_i, v_{i+1})$ ($1 \le i < k$).

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($4 \le n \le 10^4$) — количество вершин в нервной системе Генокракена.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $10^4$.

Протокол взаимодействия

Для каждого набора входных данных взаимодействие начинается с чтения целого числа $n$.

Затем вы можете делать запросы следующего вида:

«? a b» (без кавычек) ($1 \le a, b < n$, $a \ne b$).

После запроса прочитайте целое число $r$ — ответ на ваш запрос. Вам разрешено использовать не более $2n - 6$ запросов этого типа.

Если простой путь между вершинами $a$ и $b$ не содержит вершину $0$, вы получите $r = 0$.
Если простой путь между вершинами $a$ и $b$ содержит вершину $0$, вы получите $r = 1$.
В случае, если вы сделаете более $2n-6$ запросов или сделаете некорректный запрос, вы получите $r = -1$. После получения такого ответа ваша программа должна немедленно завершиться, чтобы получить вердикт «Неправильный ответ». В противном случае вы можете получить произвольный вердикт, потому что ваше решение продолжит чтение из закрытого потока.

Когда вы определите структуру, выведите строку в формате «! $p_1 \space p_2 \ldots p_{n-1}$» (без кавычек), где $p_i$ ($0 \le p_i < i$) обозначает индекс прямого предка вершины $i$. Этот запрос не учитывается в лимите $2n - 6$ запросов.

После решения одного набора входных данных программа должна сразу же переходить к следующему. После решения всех наборов входных данных программа должна быть немедленно завершена.

После вывода любого запроса не забудьте вывести перевод строки и сбросить буфер вывода. В противном случае вы получите вердикт Решение «зависло». Для сброса буфера используйте:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
System.out.flush() в Java;
flush(output) в Pascal;
stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Интерактор неадаптивный. Дерево не меняется в процессе взаимодействия.

Взломы

Для взлома используйте следующий формат:

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 500$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n-1$ целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_{n-1}$ ($0 \le p_1 \le p_2 \le \ldots \le p_{n-1} \le n - 2$, $0 \le p_i < i$) — прямые предки вершин $1$, $2$, ..., $n-1$ в системе соответственно.

В каждом наборе входных данных значения $p_1, p_2, \ldots, p_{n-1}$ должны обеспечивать следующее в дереве:

Если мы удалим корневую вершину $0$ и все смежные ребра, то это дерево превратится в лес, состоящий только из путей. Каждая вершина, которая изначально была смежной с вершиной $0$, будет концом какого-то пути.
Вершина $1$ имеет ровно две смежные вершины (включая вершину $0$).

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не должна превышать $10^4$.

Примечание

В первом наборе входных данных нервная система Генокракена образует следующее дерево:

$\text{[math]}$

Ответ на «? 2 3» равен $1$. Это означает, что простой путь между вершинами $2$ и $3$ содержит вершину $0$.

Во втором наборе входных данных нервная система Генокракена образует следующее дерево:

$\text{[math]}$

Ответ на «? 2 3» равен $1$. Это означает, что простой путь между вершинами $2$ и $3$ содержит вершину $0$.
Ответ на «? 2 4» равен $0$. Это означает, что простой путь между вершинами $2$ и $4$ не содержит вершину $0$.

В третьем наборе входных данных нервная система Генокракена образует следующее дерево:

$\text{[math]}$

E. Сакурако, Косукэ и перестановка

графы жадные алгоритмы математика Перебор поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *1400

Экзамены Сакурако закончились, она справилась на отлично. В награду она получила перестановку $p$. Косукэ был не совсем доволен, потому что он провалил один экзамен и не получил подарок. Он решил пробраться в её комнату (спасибо за код от её замка) и испортить перестановку так, чтобы она стала простой.

Перестановка $p$ считается простой, если для каждого $i$ $(1\le i \le n)$ выполняется одно из условий:

$p_i=i$
$p_{p_i}=i$

Например, перестановки $[1, 2, 3, 4]$, $[5, 2, 4, 3, 1]$ и $[2, 1]$ являются простыми, а $[2, 3, 1]$ и $[5, 2, 1, 4, 3]$ — нет.

За одну операцию Косукэ может выбрать индексы $i,j$ $(1\le i,j\le n)$ и поменять местами элементы $p_i$ и $p_j$.

Сакурако вот-вот вернется домой. Ваша задача — вычислить минимальное количество операций, которые необходимо выполнить Косукэ, чтобы сделать перестановку простой.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1\le t\le 10^4$) — количество наборов входных данных.

Каждый набор входных данных описывается двумя строками.

Первая строка содержит одно целое число $n$ ($1\le n \le 10^6$) — длину перестановки $p$.
Вторая строка содержит $n$ целых чисел $p_i$ ($1\le p_i\le n$) — элементы перестановки $p$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $10^6$.

Гарантируется, что $p$ является перестановкой.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите минимальное количество операций, которые необходимо выполнить Косукэ, чтобы перестановка стала простой.

Примечание

В первом и втором примерах перестановки уже простые.

В четвёртом примере достаточно поменять местами $p_2$ и $p_4$. Таким образом перестановка станет равна $[2, 1, 4, 3]$ за $1$ операцию.

C. Заперт в лабиринте ведьмы

графы Конструктив поиск в глубину и подобное реализация *1400

В четвёртом подвиге Рустама, легендарного героя из Шахнаме, старая ведьма создала волшебный лабиринт, чтобы заманить его в ловушку. Лабиринт представляет собой прямоугольную сетку, состоящую из $n$ строк и $m$ столбцов. Каждая клетка в лабиринте указывает в определенном направлении: вверх, вниз, влево или вправо. Ведьма заколдовала Рустама так, что всякий раз, когда он находится в клетке, он перемещается в следующую клетку в направлении, указанном этой клеткой.

$\text{[math]}$

Если Рустам в конце концов выйдет из лабиринта, он освободится от чар ведьмы и победит ее. Однако, если он будет вечно блуждать по лабиринту, то он останется там навсегда.

Ведьма еще не определила направления для всех клеток. Она хочет назначить направления для неуказанных клеток таким образом, чтобы количество клеток, начав из которых Рустам будет пойман навсегда, было максимальным. Ваша задача — найти это количество.

Входные данные

Для каждого набора входных данных:

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \leq n, m \leq 1000$), представляющих количество строк и столбцов в лабиринте.
Каждая из следующих $n$ строк содержит строку из $m$ символов, представляющих направления в лабиринте. Каждый символ является одним из следующих:
- U (вверх)
- D (вниз)
- L (влево)
- R (вправо)
- ? (неуказанное направление)

Гарантируется, что сумма $n \cdot m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — максимальное количество клеток, начиная из которых Рустам будет заперт навсегда, после оптимального назначения направлений неопределенным ячейкам.

Примечание

Назовём плохими клетки, начиная в которых Рустам не сможет выбраться. Остальные клетки назовём хорошими.

В первом наборе входных данных все клетки будут хорошими, независимо от ваших действий.

Во втором наборе входных данных, если вы назначите ? значения, как показано на рисунке ниже, все клетки будут плохими:

$\text{[math]}$

В третьем наборе входных данных, если вы назначите ? значения, как показано на рисунке ниже, у вас будет $5$ плохих клеток (клетки, закрашенные красным):

$\text{[math]}$

E. Контроль случайности

графы Деревья дп жадные алгоритмы Комбинаторика математика поиск в глубину и подобное Теория вероятностей *2100

Дано дерево с $n$ вершинами.

В некоторую вершину $v \ne 1$ посадят робота. Пусть у вас изначально есть $p$ монет. Рассмотрим следующий процесс, где в $i$-й шаг (начиная с $i = 1$):

Если $i$ нечётное, робот передвинется в соседнюю вершину в сторону вершины $1$;
Иначе, $i$ чётное. Можно либо заплатить одну монету (если остались), после чего робот передвинется в соседнюю вершину в сторону вершины $1$, либо ничего не платить, после чего робот передвинется в равновероятно выбранную соседнюю вершину.

Процесс останавливается, как только робот попадает в вершину $1$. Определим $f(v, p)$ как минимально возможное математическое ожидание количества шагов процесса выше (количество использованных монет минимизировать не надо).

Необходимо ответить на $q$ запросов, в $i$-м из которых надо найти значение $f(v_i, p_i)$ по модулю$^{\text{∗}}$ $998\,244\,353$.

$^{\text{∗}}$ Формально, пусть $M = 998\,244\,353$. Можно показать, что ответ может быть представлен в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q \not \equiv 0 \pmod{M}$. Выведите целое число, равное $p \cdot q^{-1} \bmod M$. Другими словами, выведите такое целое число $x$, что $0 \le x < M$ и $x \cdot q \equiv p \pmod{M}$.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа: $n$ и $q$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^3$; $1 \le q \le 2 \cdot 10^3$) — количество вершин в дереве и количество запросов.

В следующих $n - 1$ строках каждого набора входных данных заданы ребра дерева: по одному в строке. В $i$-й строке заданы два целых числа $u_i$ и $v_i$ ($1 \le u_i, v_i \le n$; $u_i \neq v_i$), обозначающих ребро между вершинами $u_i$ и $v_i$.

В следующих $q$ строках каждого набора входных данных заданы два целых числа: $v_i$ и $p_i$ ($2 \le v_i \le n$; $0 \le p_i \le n$).

Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10 ^ 3$.

Гарантируется, что сумма значений $q$ по всем наборам входных данных не превосходит $2 \cdot 10 ^ 3$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $q$ целых чисел: значения $f(v_i, p_i)$ по модулю $998\,244\,353$.

Примечание

Дерево из первого набора показано ниже:

$\text{[math]}$

Для первого запроса значение математического ожидания равно $1$, так как робот начинает движение с вершины $2$ и первым ходом попадает в вершину $1$ и завершает перемещение.

Посчитаем значение математического ожидания для второго запроса ($x$ это количество шагов в процессе):

$P(x < 2) = 0$, расстояние до вершины $1$ равно $2$ и робот не может дойти до него за меньшее количество шагов.
$P(x = 2) = \frac{1}{3}$, так как есть только одна последовательность шагов, приводящая к $x = 2$. Это $3 \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.33} 1$ с вероятностью $1 \cdot \frac{1}{3}$.
$P(x \bmod 2 = 1) = 0$, так как робот может достичь вершину $1$ сделав только чётное количество шагов.
$P(x = 4) = \frac{2}{9}$: возможные пути $3 \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.67} [3, 4] \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.33} 1$.
$P(x = 6) = \frac{4}{27}$: возможные пути $3 \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.67} [3, 4] \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.67} [3, 4] \rightarrow_{1} 2 \rightarrow_{0.33} 1$.
$P(x = i \cdot 2) = \frac{2^{i - 1}}{3^i}$ в общем случае.

В результате $f(v, p) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}{i \cdot 2 \cdot \frac{2^{i - 1}}{3^i}} = 6$.

Дерево из второго набора показано ниже:

$\text{[math]}$

D. Drunken Maze

графы кратчайшие пути Перебор поиск в глубину и подобное *1700

$\text{[math]}$ Image generated by ChatGPT 4o.

You are given a two-dimensional maze with a start and end position. Your task is to find the fastest way to get from the start to the end position. The fastest way is to make the minimum number of steps where one step is going left, right, up, or down. Of course, you cannot walk through walls.

There is, however, a catch: If you make more than three steps in the same direction, you lose balance and fall down. Therefore, it is forbidden to make more than three consecutive steps in the same direction. It is okay to walk three times to the right, then one step to the left, and then again three steps to the right. This has the same effect as taking five steps to the right, but is slower.

Input

The first line contains two numbers $n$ and $m$, which are the height and width of the maze. This is followed by an ASCII-representation of the maze where $\tt{\#}$ is a wall, $\tt{.}$ is an empty space, and $\tt S$ and $\tt T$ are the start and end positions.

$12 \leq n\times m \leq 200000$.
$3\leq n,m \leq 10000$.
Characters are only $\tt{.\#ST}$ and there is exactly one $\tt{S}$ and one $\tt{T}$.
The outer borders are only $\tt{\#}$ (walls).

Output

The minimum number of steps to reach the end position from the start position or -1 if that is impossible.

K. Trophic Balance Species

Бинарный поиск графы Перебор поиск в глубину и подобное *3100

$\text{[math]}$ Image generated by ChatGPT 4o.

In an interdisciplinary collaboration, an ecosystem scientist and a computer scientist join forces to analyze the structure of a complex ecosystem using computational methods. The ecosystem scientist models the ecosystem as a directed graph $D = (V, A)$, where each species is represented by a node $v \in V$, and each feeding relationship is represented as a directed edge $(x, y) \in A$ from prey $x$ to predator $y$. This graph structure allows them to simulate the flow of energy throughout the ecosystem from one species to another.

Two essential features of the ecosystem are defined:

Independent Trophic Group: A set $S$ of animal species is classified as an independent trophic group if no species $x \in S$ can reach another species $y \in S$ (for some $y \ne x$) through a series of directed feeding relationships, meaning there is no directed path in $D$ from $x$ to $y$.
Trophic Balance Species: A species is termed a trophic balance species if it has a nearly equal number of species that affect it as directly or indirectly predators (species it can reach via a directed path in $D$, excluding itself) and species that affect it as directly or indirectly prey (species that can reach it via a directed path in $D$, excluding itself). Specifically, trophic balance species are those for which the absolute difference between the above two numbers is minimum among all species in the ecosystem.

Consider an ecosystem with $n = 4$ species and $m = 3$ feeding relationships:

Species 1: Grass (Node 1)
Species 2: Rabbits (Node 2)
Species 3: Foxes (Node 3)
Species 4: Hawks (Node 4)

The directed edges representing the feeding relationships are as follows:

$(1, 2)$: Grass is eaten by Rabbits.
$(2, 3)$: Rabbits are eaten by Foxes.
$(2, 4)$: Rabbits are also eaten by Hawks.

Now, consider the set $S=\{3,4\}$ (Foxes and Hawks). There are no directed paths between Foxes (Node 3) and Hawks (Node 4); Foxes cannot reach Hawks, and Hawks cannot reach Foxes through any directed paths. Therefore, this set qualifies as an independent trophic group.

Examination of Species

Species 1 (Grass):
- Can reach: 3 (Rabbits, Foxes, and Hawks)
- Can be reached by: 0 (None)
- Absolute difference: $|3 - 0| = 3$
Species 2 (Rabbits):
- Can reach: 2 (Foxes and Hawks)
- Can be reached by: 1 (Grass)
- Absolute difference: $|2 - 1| = 1$
Species 3 (Foxes):
- Can reach: 0 (None)
- Can be reached by: 2 (Grass and Rabbits)
- Absolute difference: $|0-2| = 2$
Species 4 (Hawks):
- Can reach: 0 (None)
- Can be reached by: 2 (Grass and Rabbits)
- Absolute difference: $|0-2| = 2$

Among these species, Rabbits have the smallest absolute difference of $1$, indicating that they are a trophic balance species within the ecosystem.

It is known that any independent trophic group in the ecosystem has a size of at most $k$. The task is to find the set of all trophic balance species in the ecosystem.

Input

The first line contains exactly two integers $n$ and $m$, where $n$ (resp. $m$) denotes the number of nodes (resp. edges) in the directed graph $D$ induced by the investigated ecosystem. The nodes are numbered as $1, 2, \ldots, n$. Then, $m$ lines follow. The $i$-th line contains two integers $x_i$ and $y_i$ indicating a directed edge from node $x_i$ to node $y_i$.

$1 \le n \le 2 \times 10^5$
$0 \le m \le \min\{ n(n-1), 4 \times 10^5\}$
$k$ is not an input value, and it is guaranteed that $1 \le k \le 16$ for each investigated ecosystem.
For all $i$ ($1\le i\le m$), $1\le x_i, y_i\le n$ and $x_i\neq y_i$.
Each ordered pair $(x_i, y_i)$ appears at most once in the input.

Output

Output on a single line the node identidiers of all trophic balance species in ascending order. For any two consecutive node identifiers, separate them by a space.

E. Преобразование матриц

битмаски графы жадные алгоритмы Перебор поиск в глубину и подобное реализация Структуры данных *2300

Даны две матрицы $A$ и $B$ размером $n \times m$, заполненные целыми числами от $0$ до $10^9$. Вы можете выполнять следующие операции над матрицей $A$ в любом порядке любое количество раз:

&=: выбрать два целых числа $i$ и $x$ ($1 \le i \le n$, $x \ge 0$) и заменить каждый элемент в строке $i$ на результат побитового И между числом $x$ и этим элементом. Формально, для каждого $j \in [1, m]$ элемент $A_{i,j}$ заменяется на $A_{i,j} \text{ & } x$;
|=: выбрать два целых числа $j$ и $x$ ($1 \le j \le m$, $x \ge 0$) и заменить каждый элемент в столбце $j$ на результат побитового ИЛИ между числом $x$ и этим элементом. Формально, для каждого $i \in [1, n]$ элемент $A_{i,j}$ заменяется на $A_{i,j} \text{ | } x$;

В разных операциях можно выбирать разные значения $x$.

Определите, возможно ли преобразовать матрицу $A$ в матрицу $B$ с помощью нескольких (возможно, нуля) указанных операций.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \le t \le 100$) — количество наборов входных данных. Далее следуют $t$ наборов входных данных.

Каждый набор входных данных задается следующим образом:

первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 10^3$; $n \cdot m \le 10^3$) — размеры матриц $A$ и $B$;
в следующих $n$ строках содержится описание матрицы $A$, где $i$-я строка содержит $m$ целых чисел $A_{i,1}, A_{i,2}, \dots, A_{i,m}$ ($0 \le A_{i,j} \le 10^9$);
в следующих $n$ строках содержится описание матрицы $B$, где $i$-я строка содержит $m$ целых чисел $B_{i,1}, B_{i,2}, \dots, B_{i,m}$ ($0 \le B_{i,j} \le 10^9$).

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите Yes, если можно преобразовать $A$ в $B$, или No в противном случае. Каждую букву можно выводить в любом регистре.

Примечание

Рассмотрим второй набор входных данных и приведем последовательность операций, позволяющих получить из матрицы $A$ матрицу $B$:

Изначально матрица выглядит так:

$\begin{bmatrix} 10&10\\ 42&42\\ \end{bmatrix}$

Применим операцию первого типа с параметрами $i = 1$ и $x = 0$. В результате получим матрицу:

$\begin{bmatrix} 0&0\\ 42&42\\ \end{bmatrix}$

Применим операцию первого типа с параметрами $i = 2$ и $x = 0$. В результате получим матрицу:

$\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0\\ \end{bmatrix}$

Применим операцию второго типа с параметрами $j = 1$ и $x = 21$. В результате получим матрицу:

$\begin{bmatrix} 21&0\\ 21&0\\ \end{bmatrix}$

Применим операцию второго типа с параметрами $j = 2$ и $x = 21$. В результате получим матрицу:

$\begin{bmatrix} 21&21\\ 21&21\\ \end{bmatrix}$

Таким образом, мы преобразовали матрицу $A$ в матрицу $B$.

G1. Средняя демоническая задача (легкая версия)

графы Деревья Паросочетания поиск в глубину и подобное реализация *1700

Это легкая версия задачи. Ключевое отличие между двумя версиями выделено жирным шрифтом.

Группа из $n$ пауков собралась, чтобы обменяться плюшевыми игрушками. Изначально у каждого паука есть $1$ плюшевая игрушка. Каждый год, если паук $i$ имеет хотя бы одну плюшевую игрушку, он отдаст ровно одну плюшевую игрушку пауку $r_i$. В противном случае он ничего не сделает. Обратите внимание, что все передачи плюшевых игрушек происходят одновременно. В этой версии, если у любого паука в любой момент времени больше $1$ плюшевой игрушки, он выбросит все, кроме $1$.

Процесс считается стабильным в текущем году, если у каждого паука количество плюшевых игрушек (до обмена в текущем году) совпадает с количеством плюшевых игрушек, которое у него было в предыдущем году (до обмена в предыдущем году). Обратите внимание, что год $1$ никогда не может быть стабильным.

Найдите первый год, в котором процесс становится стабильным.

Входные данные

Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — количество пауков.

Следующая строка содержит $n$ целых чисел $r_1, r_2, \ldots, r_n$ ($1 \leq r_i \leq n, r_i \neq i$) — получатель плюшевой игрушки от каждого паука.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите целое число в новой строке, первый год, в котором процесс становится стабильным.

Примечание

Для второго набора входных данных:

В год $1$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 1, 1, 1, 1]$. Затем происходит обмен в год $1$.
В год $2$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 1, 1, 1, 1]$. Поскольку этот массив такой же, как в предыдущем году, этот год является стабильным.

Для третьего набора входных данных:

В год $1$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 1, 1, 1, 1]$. Затем происходит обмен в год $1$.
В год $2$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 1, 1, 1, 0]$. Затем происходит обмен в год $2$. Обратите внимание, что, хотя два паука отдали пауку $2$ плюшевые игрушки, паук $2$ может оставить только одну плюшевую игрушку.
В год $3$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 1, 0, 1, 0]$. Затем происходит обмен в год $3$.
В год $4$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 1, 0, 0, 0]$. Затем происходит обмен в год $4$.
В год $5$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 1, 0, 0, 0]$. Поскольку этот массив такой же, как в предыдущем году, этот год является стабильным.

G2. Средняя демоническая задача (сложная версия)

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное реализация снм *1900

Это сложная версия задачи. Ключевое отличие между двумя версиями выделено жирным шрифтом.

Группа из $n$ пауков собралась, чтобы обменяться плюшевыми игрушками. Изначально у каждого паука есть $1$ плюшевая игрушка. Каждый год, если паук $i$ имеет хотя бы одну плюшевую игрушку, он отдаст ровно одну плюшевую игрушку пауку $r_i$. В противном случае он ничего не сделает. Обратите внимание, что все передачи плюшевых игрушек происходят одновременно. В этой версии каждому пауку разрешено иметь более 1 плюшевой игрушки в любой момент времени.

Процесс считается стабильным в текущем году, если у каждого паука такое же количество плюшевых игрушек (до обмена в текущем году), как и в предыдущем году (до обмена в предыдущем году). Обратите внимание, что год $1$ никогда не может быть стабильным.

Найдите первый год, в котором процесс становится стабильным.

Входные данные

Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — количество пауков.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Примечание

Для второго набора входных данных:

В год $1$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 1, 1, 1, 1]$. Затем происходит обмен в год $1$.
В год $2$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 1, 1, 1, 1]$. Поскольку этот массив такой же, как в предыдущем году, этот год является стабильным.

Для третьего набора входных данных:

В год $1$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 1, 1, 1, 1]$. Затем происходит обмен в год $1$.
В год $2$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 2, 1, 1, 0]$. Затем происходит обмен в год $2$.
В год $3$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 3, 0, 1, 0]$. Затем происходит обмен в год $3$.
В год $4$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 4, 0, 0, 0]$. Затем происходит обмен в год $4$.
В год $5$ следующий массив показывает количество плюшевых игрушек у каждого паука: $[1, 4, 0, 0, 0]$. Поскольку этот массив такой же, как в предыдущем году, этот год является стабильным.

G. X Aura

графы кратчайшие пути математика *2200

Mount ICPC can be represented as a grid of $R$ rows (numbered from $1$ to $R$) and $C$ columns (numbered from $1$ to $C$). The cell located at row $r$ and column $c$ is denoted as $(r, c)$ and has a height of $H_{r, c}$. Two cells are adjacent to each other if they share a side. Formally, $(r, c)$ is adjacent to $(r-1, c)$, $(r+1, c)$, $(r, c-1)$, and $(r, c+1)$, if any exists.

You can move only between adjacent cells, and each move comes with a penalty. With an aura of an odd positive integer $X$, moving from a cell with height $h_1$ to a cell with height $h_2$ gives you a penalty of $(h_1 - h_2)^X$. Note that the penalty can be negative.

You want to answer $Q$ independent scenarios. In each scenario, you start at the starting cell $(R_s, C_s)$ and you want to go to the destination cell $(R_f, C_f)$ with minimum total penalty. In some scenarios, the total penalty might become arbitrarily small; such a scenario is called invalid. Find the minimum total penalty to move from the starting cell to the destination cell, or determine if the scenario is invalid.

Input

The first line consists of three integers $R$ $C$ $X$ ($1 \leq R, C \leq 1000; 1 \leq X \leq 9; X$ is an odd integer).

Each of the next $R$ lines consists of a string $H_r$ of length $C$. Each character in $H_r$ is a number from 0 to 9. The $c$-th character of $H_r$ represents the height of cell $(r, c)$, or $H_{r, c}$.

The next line consists of an integer $Q$ ($1 \leq Q \leq 100\,000)$.

Each of the next $Q$ lines consists of four integers $R_s$ $C_s$ $R_f$ $C_f$ ($1 \leq R_s, R_f \leq R; 1 \leq C_s, C_f \leq C$).

Output

For each scenario, output the following in a single line. If the scenario is invalid, output INVALID. Otherwise, output a single integer representing the minimum total penalty to move from the starting cell to the destination cell.

Note

Explanation for the sample input/output #1

For the first scenario, one of the solutions is to move as follows: $(1, 1) \rightarrow (2, 1) \rightarrow (3, 1) \rightarrow (3, 2) \rightarrow (3, 3) \rightarrow (3, 4)$. The total penalty of this solution is $(3 - 4)^1 + (4 - 3)^1 + (3 - 6)^1 + (6 - 8)^1 + (8 - 1)^1 = 2$.

Explanation for the sample input/output #2

For the first scenario, the cycle $(1, 1) \rightarrow (2, 1) \rightarrow (2, 2) \rightarrow (1, 2) \rightarrow (1, 1)$ has a penalty of $(1 - 2)^5 + (2 - 0)^5 + (0 - 9)^5 + (9 - 1)^5 = -26250$. You can keep repeating this cycle to make your total penalty arbitrarily small. Similarly, for the second scenario, you can move to $(1, 1)$ first, then repeat the same cycle.

M. Mirror Maze

графы Перебор поиск в глубину и подобное реализация *1800

You are given a grid of $R$ rows (numbered from $1$ to $R$ from north to south) and $C$ columns (numbered from $1$ to $C$ from west to east). Every cell in this grid is a square of the same size. The cell located at row $r$ and column $c$ is denoted as $(r, c)$. Each cell can either be empty or have a mirror in one of the cell's diagonals. Each mirror is represented by a line segment. The mirror is type $1$ if it is positioned diagonally from the southwest corner to the northeast corner of the cell, or type $2$ for the other diagonal.

These mirrors follow the law of reflection, that is, the angle of reflection equals the angle of incidence. Formally, for type $1$ mirror, if a beam of light comes from the north, south, west, or east of the cell, then it will be reflected to the west, east, north, and south of the cell, respectively. Similarly, for type $2$ mirror, if a beam of light comes from the north, south, west, or east of the cell, then it will be reflected to the east, west, south, and north of the cell, respectively.

$\text{[math]}$

You want to put a laser from outside the grid such that all mirrors are hit by the laser beam. There are $2 \cdot (R+C)$ possible locations to put the laser:

from the north side of the grid at column $c$, for $1 \leq c \leq C$, shooting a laser beam to the south;
from the south side of the grid at column $c$, for $1 \leq c \leq C$, shooting a laser beam to the north;
from the east side of the grid at row $r$, for $1 \leq r \leq R$, shooting a laser beam to the west; and
from the west side of the grid at row $r$, for $1 \leq r \leq R$, shooting a laser beam to the east.

$\text{[math]}$

Determine all possible locations for the laser such that all mirrors are hit by the laser beam.

Input

The first line consists of two integers $R$ $C$ ($1 \leq R, C \leq 200$).

Each of the next $R$ lines consists of a string $S_r$ of length $C$. The $c$-th character of string $S_r$ represents cell $(r, c)$. Each character can either be . if the cell is empty, / if the cell has type $1$ mirror, or \ if the cell has type $2$ mirror. There is at least one mirror in the grid.

Output

Output a single integer representing the number of possible locations for the laser such that all mirrors are hit by the laser beam. Denote this number as $k$.

If $k > 0$, then output $k$ space-separated strings representing the location of the laser. Each string consists of a character followed without any space by an integer. The character represents the side of the grid, which could be N, S, E, or W if you put the laser on the north, south, east, or west side of the grid, respectively. The integer represents the row/column number. You can output the strings in any order.

Note

Explanation for the sample input/output #1

The following illustration shows one of the solutions of this sample.

$\text{[math]}$

Explanation for the sample input/output #2

The following illustration shows one of the solutions of this sample.

$\text{[math]}$

D. За императора!

графы Потоки *3100

В Древнем Риме был разработан план по уничтожению варваров, но для его реализации каждый город должен быть проинформирован о нем.

Северная часть Римской Империи состоит из $n$ городов, соединенных $m$ односторонними дорогами. Изначально в $i$-м городе находится $a_i$ гонцов, и каждый гонец может свободно перемещаться между городами по существующим дорогам. Гонец может взять с собой копию плана и информировать города, которые он посещает, а также может делать неограниченное количество копий для других гонцов в городе, в котором он находится.

В начале вы сделаете несколько копий планов и доставите их выбранным вами гонцам. Ваша цель — сделать так, что каждый город будет посещен гонцом с планом. Найдите наименьшее количество копий планов, которые вам нужно произвести изначально, чтобы гонцы доставили их в каждый город, или определите, что это невозможно сделать.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $m$ ($2 \le n \le 200$, $1 \le m \le 800$) — количество городов и дорог.

Вторая строка содержит $n$ неотрицательных целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($0 \le a_{i} \le n$) — начальное количество гонцов в каждом городе.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u,v \le n, u \ne v$), указывая, что существует односторонняя дорога от города $u$ к городу $v$. Дороги могут повторяться.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $200$. Гарантируется, что сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $800$.

Выходные данные

Выведите одну строку, содержащую одно целое число — наименьшее количество гонцов, которым вам нужно в начале дать копию плана, или $-1$, если невозможно проинформировать все города.

E. Кевин и двудольный граф

графы жадные алгоритмы Конструктив *2000

Оружейный завод нуждается в шаблоне дизайна постера и обращается за помощью к Кевину.

Шаблон дизайна постера — это двудольный граф с $ 2n $ вершинами в левой части и $ m $ вершинами в правой части, где существует ребро между каждой вершиной в левой части и каждой вершиной в правой части, в результате чего получается в общей сложности $ 2nm $ рёбер.

Кевин должен раскрасить каждое ребро в положительное целое число из отрезка $ [1, n] $. Шаблон дизайна постера является хорошим, если в двудольном графе нет одноцветных циклов$^{\text{∗}}$.

Кевин нуждается в вашей помощи в построении хорошего двудольного графа или в том, чтобы сообщить ему, если это невозможно.

$^{\text{∗}}$Одноцветным циклом называется простой цикл, в котором все рёбра окрашены в один и тот же цвет.

Входные данные

Каждый тест содержит несколько наборов входных данных. Первая строка содержит количество наборов входных данных $ t $ ($ 1 \le t \le 100 $).

Единственная строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $ n $ и $ m $ ($ 1 \le n, m \leq 10^3 $) — двудольный граф имеет $ 2n $ вершин в левой части и $ m $ вершин в правой части.

Гарантируется, что сумма $ n $ и сумма $ m $ по всем наборам входных данных не превышают $ 10^3 $.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных, если решения нет, выведите «No».

В противном случае выведите «Yes», а затем выведите $ 2n $ строк, каждая из которых содержит $ m $ положительных целых чисел. $ j $-е целое число в $ i $-й строке представляет цвет ребра между $ i $-й вершиной в левой части и $ j $-й вершиной в правой части.

Если есть несколько ответов, вы можете вывести любой из них.

Вы можете выводить ответ в любом регистре (верхнем или нижнем). Например, строки «yEs», «yes», «Yes» и «YES» будут распознаны как положительные ответы.

Примечание

Для первого набора входных данных граф показан следующим образом:

$\text{[math]}$

Для второго набора входных данных можно доказать, что нет допустимого решения.

G. Змейки

битмаски графы дп снм *2100

Предположим, вы играете в игру, где игровое поле выглядит как полоска из $1 \times 10^9$ квадратных ячеек, пронумерованных от $1$ до $10^9$.

У вас есть $n$ змеек (пронумерованных от $1$ до $n$), которые нужно разместить в некоторых ячейках. Изначально каждая змейка занимает ровно одну ячейку, и вы не можете разместить более одной змейки в одной ячейке. После этого начинается игра.

Игра длится $q$ секунд. Каждую секунду происходит один из двух типов событий:

змейка $s_i$ увеличивается: если змейка $s_i$ занимала ячейки $[l, r]$, она увеличивается до отрезка $[l, r + 1]$;
змейка $s_i$ уменьшается: если змейка $s_i$ занимала ячейки $[l, r]$, она уменьшается до отрезка $[l + 1, r]$.

Каждую секунду происходит ровно одно из событий.

Если в любой момент времени какая-либо змея наткнется на какое-либо препятствие (либо на другую змею, либо на конец полосы), вы проигрываете. В противном случае вы выигрываете со счетом, равным максимальной ячейке, занятой какой-либо змеей на данный момент.

Какой минимально возможный счет вы можете получить?

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $q$ ($1 \le n \le 20$; $1 \le q \le 2 \cdot 10^5$) — количество змей и количество событий. Далее в $q$ строках заданы описания событий — по одному на строку.

В $i$-й строке задано

либо «$s_i$ +» ($1 \le s_i \le n$), означающее, что $s_i$-я змея увеличивается,
либо «$s_i$ -» ($1 \le s_i \le n$), означающее, что $s_i$-я змея уменьшается.

Дополнительное ограничение на входные данные: заданная последовательность событий валидна, т. е. змея длиной $1$ никогда не уменьшается.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимально возможный счет.

Примечание

В первом тесте оптимальная стратегия заключается в том, чтобы разместить вторую змею в ячейке $1$, третью змею — в $2$, а первую — в $3$. Максимальная занятая ячейка — ячейка $4$, и это минимально возможный результат.

Во втором тесте одна из оптимальных стратегий — следующая: нужно поставить

змейку $2$ в позицию $1$;
змейку $3$ в позицию $4$;
змейку $5$ в позицию $6$;
змейку $1$ в позицию $9$;
змейку $4$ в позицию $10$.

E. Находчивая гусеничная последовательность

графы Деревья дп жадные алгоритмы игры поиск в глубину и подобное *1900

Endless Repeating 7 Days

— r-906, Panopticon

Дано дерево, состоящее из $n$ вершин. Гусеница обозначается парой целых чисел $(p, q)$ ($1 \leq p, q \leq n$, $p \neq q$): её голова находится в вершине $p$, её хвост находится в вершине $q$, и она доминирует над всеми вершинами на простом пути от $p$ до $q$ (включая $p$ и $q$). Гусеничная последовательность пары $(p, q)$ определяется как последовательность, состоящая только из вершин на простом пути, отсортированных в порядке возрастания расстояния до $p$.

Нора и Арон по очереди двигают гусеницу, причем Нора ходит первой. Оба игрока будут использовать свою собственную оптимальную стратегию:

Они будут играть, чтобы выиграть;
Однако, если это невозможно, они будут играть, чтобы помешать другому человеку победить (таким образом, игра закончится ничьёй).

В свой ход Нора может выбрать вершину $u$, смежную с вершиной $p$, над которой не доминирует гусеница, и переместить все вершины в ней на одно ребро по направлению к вершине $u$$^{\text{∗}}$. В свою очередь, Арон может выбрать вершину $v$, смежную с вершиной $q$, над которой не доминирует гусеница, и переместить все вершины в ней на одно ребро по направлению к вершине $v$. Обратите внимание, что ходы, разрешенные двум игрокам, различны.

Если $p$ — лист$^{\text{†}}$, то Нора выигрывает$^{\text{‡}}$. Если $q$ — лист, то Арон выигрывает. Если либо изначально оба $p$ и $q$ являются листьями, либо после $10^{100}$ ходов игра не закончится, результатом будет ничья.

Пожалуйста, посчитайте количество целочисленных пар $(p, q)$ с $1 \leq p, q \leq n$ и $p \neq q$ таких, что если изначально гусеница находится на $(p, q)$, то Арон выиграет.

$^{\text{∗}}$Другими словами: Пусть текущая гусеничная последовательность равна $c_1, c_2, \ldots, c_k$. Тогда после перемещения новая гусеничная последовательность становится $d(u, c_1), d(u, c_2), \ldots, d(u, c_k)$. Здесь $d(x, y)$ обозначает следующую вершину на простом пути от $y$ до $x$.

$^{\text{†}}$В дереве вершина называется листом тогда и только тогда, когда её степень равна $1$.

$^{\text{‡}}$Поэтому Нора всегда может выбрать вершину $u$, если игра ещё не закончилась. То же самое относится и к Арону.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 2\cdot 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2 \leq n \leq 2\cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

Каждая из следующих $n - 1$ строк содержит по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \leq u, v \leq n$), обозначающих ребро между вершинами $u$ и $v$. Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $4\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку, содержащую целое число: количество целых пар $(p, q)$, для которых Арон выиграет.

Примечание

В первом наборе входных данных всеми возможными гусеницами являются $(1, 2)$ и $(2, 1)$, что приводит к ничьей с самого начала, поскольку оба $p$ и $q$ являются листьями.

Во втором наборе входных данных, гусеницы, которые позволяют Арону выиграть, следующие: $(1, 3)$, $(1, 4)$, $(1, 5)$, $(2, 3)$, $(2, 4)$, $(2, 5)$. Давайте рассмотрим некоторых гусениц.

Для гусеницы $(1, 5)$: вершина $p = 1$ — это не лист, но вершина $q = 5$ — лист, так что Арон выигрывает в самом начале.
Для гусеницы $(2, 1)$: вершина $p = 2$ не является листом, и $q = 1$ не является листом. На первом ходу Нора может переместить гусеницу в направлении вершины $5$. Следовательно, гусеница становится $(5, 2)$, а вершина $p = 5$ — лист, так что Нора выиграет.

I2. Ласковые массивы (сложная версия)

графы дп жадные алгоритмы кратчайшие пути математика Структуры данных *3500

Обратите внимание, что данное условие отличается от условия, использованного в официальном раунде. Условие было исправлено на версию, имеющую решение. Все посылки по этой задачи в официальном раунде были удалены.

Это сложная версия задачи. Отличие между версиями заключается в том, что в этой версии вам нужно вычислить сумму значений подходящих массивов. Вы можете делать взломы только в том случае, если решили все версии этой задачи.

Ирис хранит целочисленный массив $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Она знает, что этот массив обладает интересным свойством: максимальное абсолютное значение всех элементов меньше или равно сумме всех элементов, то есть $\max(\lvert a_i\rvert) \leq \sum a_i$.

Ирис определяет скучность массива как максимальную сумму его подмассива$^{\text{∗}}$.

Приближается день рождения Ирис, и Виктор собирается прислать ей ещё один массив $b_1, b_2, \ldots, b_m$. По некоторым, казалось бы, очевидным причинам он решает, что массив $b_1, b_2, \ldots, b_m$ должен обладать следующими свойствами.

$a_1, a_2, \ldots, a_n$ должен быть подпоследовательностью$^{\text{†}}$ из $b_1, b_2, \ldots, b_m$.
Эти два массива имеют одинаковую сумму. То есть, $\sum\limits_{i=1}^n a_i = \sum\limits_{i=1}^m b_i$.
Значение скучности массива $b_1, b_2, \ldots, b_m$ является наименьшим из возможных.
Среди массивов с наименьшей скучностью длина массива $b$ (т.е. $m$) является наименьшей из возможных. В этом случае Ирис поймёт его уважение как можно скорее!

Для массива $b_1, b_2, \ldots, b_m$, удовлетворяющего условиям выше, Виктор определяет значение массива как количество вхождений массива $a$ как подпоследовательности в массив $b$. Другими словами, вычисляет количество массивов $c_1, c_2, \ldots, c_{n}$ таких, что $1\le c_1< c_2< \ldots< c_n\le m$, и для всех целых $i$, удовлетворяющих $1\le i\le n$, выполняется $b_{c_{i}}=a_i$, и называет это число значением массива $b$.

Даже при таких ограничениях, как указано выше, всё равно существует слишком много возможных подарков. Поэтому Виктор просит вас посчитать сумму значений подходящих массивов $b_1, b_2, \ldots, b_m$, удовлетворяющих всем вышеприведенным условиям. Так как ответ может быть очень большим, Виктору нужно только это число по модулю $998\,244\,353$. Он обещает вам: если вы успешно поможете ему, он поделится с вами кусочком праздничного торта Ирис.

$^{\text{∗}}$Массив $c$ является подмассивом массива $d$, если $c$ может быть получен из $d$ удалением нескольких (возможно, ни одного или всех) элементов с начала и нескольких (возможно, ни одного или всех) элементов с конца.

$^{\text{†}}$Последовательность $c$ является подпоследовательностью $d$, если $c$ может быть получена из $d$ удалением нескольких (возможно, ни одного или всех) элементов на произвольных позициях.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \leq n \leq 3\cdot 10^6$) — длина массива $a_1, a_2, \ldots, a_n$.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит $n$ целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ($-10^9 \leq a_i \leq 10^9$) — исходный массив. Гарантируется, что $\max(\lvert a_i\rvert) \leq \sum a_i$.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $3\cdot 10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку, содержащую целое число: сумму значений подходящих массивов $b_1, b_2, \ldots, b_m$ по модулю $998\,244\,353$.

Примечание

В первом наборе входных данных $a=[1, 2, 3, 4]$. Единственный возможный массив $b$ — это $[1, 2, 3, 4]$, его значение равно $1$.

Во втором наборе входных данных $a=[2, -3, 2, 2]$. Возможными массивами $b$ являются $[1, 2, -3, 2, -1, 2]$ и $[2, 1, -3, 2, -1, 2]$, их значения равны $1$.

В третьем наборе $a=[1, -2, 2, 1]$. Единственный подходящий массив $b$ является $[1, 1, -2, 2, -1, 1]$. Его значение равно $2$, так как мы можем выбрать массивы $c=[1,3,4,6]$ или $[2,3,4,6]$. Таким образом, массив $a$ встречается в $b$ дважды, поэтому ответ $2$.

B. Найдите перестановку

графы Перебор поиск в глубину и подобное реализация сортировки *1300

Вам дан неориентированный граф с $n$ вершинами, пронумерованными от $1$ до $n$. Этот граф кодирует секретную перестановку$^{\text{∗}}$ $p$ длины $n$. Граф строится следующим образом:

Для каждой пары целых чисел $1 \le i < j \le n$, между вершиной $p_i$ и вершиной $p_j$ добавляется неориентированное ребро тогда и только тогда, когда $p_i < p_j$. Обратите внимание, что ребро добавляется не между вершинами $i$ и $j$, а между вершинами соответствующих им элементов. Обратитесь к примечаниям для лучшего понимания.

Ваша задача состоит в том, чтобы восстановить и вывести перестановку $p$. Можно доказать, что перестановка $p$ может быть определена однозначно.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 500$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($1 \le n \le 1000$).

В $i$-й из следующих $n$ строк содержится $n$ символов $g_{i, 1}g_{i, 2}\ldots g_{i, n}$ ($g_{i, j} = \mathtt{0}$ или $g_{i, j} = \mathtt{1}$) — матрица смежности. $g_{i, j} = \mathtt{1}$ тогда и только тогда, когда существует ребро между вершинами $i$ и $j$.

Гарантируется, что существует перестановка $p$, которая генерирует данный граф. Также гарантируется, что граф неориентирован и не имеет петель, то есть выполняется $g_{i, j} = g_{j, i}$ и $g_{i, i} = \mathtt{0}$.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $1000$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $n$ целых чисел $p_1, p_2, \ldots, p_n$ — восстановленную перестановку.

Примечание

В первом наборе входных данных $p = [1]$. Поскольку нет пар $1 \le i < j \le n$, в графе нет рёбер.

Граф для второго набора входных данных показан ниже. Например, когда мы выбираем $i = 3$ и $j = 4$, мы добавляем ребро между вершинами $p_i = 1$ и $p_j = 3$, потому что $p_i < p_j$. Однако, когда мы выбираем $i = 2$ и $j = 3$, то $p_i = 2$ и $p_j = 1$, так что $p_i < p_j$ не выполняется. Поэтому мы не добавляем ребро между $2$ и $1$.

$\text{[math]}$

В третьем наборе входных данных в графе нет рёбер, поэтому нет пар целых чисел $1 \le i < j \le n$ таких, что $p_i < p_j$. Следовательно, $p = [6, 5, 4, 3, 2, 1]$.

E1. Очередное упражнение на графы (простая версия)

Бинарный поиск графы дп кратчайшие пути Перебор снм сортировки *2300

Это простая версия задачи. Отличие между версиями заключается в том, что в этой версии есть дополнительное ограничение на $m$. Вы можете делать взломы только в том случае, если решили все версии этой задачи.

Недавно преподавателям «Т-поколения» нужно было сделать учебный контест. Им не хватает одной задачи, и в контесте как раз нет ни одной задачи на графы, поэтому они придумали следующую задачу.

Вам дан связный взвешенный неориентированный граф из $n$ вершин и $m$ ребер, который не содержит петель и кратных ребер.

Есть $q$ вопросов вида $(a, b, k)$: среди всех путей от вершины $a$ до вершины $b$ найти наименьший $k$-й максимум весов ребер на пути$^{\dagger}$.

Преподавателям показалось, что задача звучит очень интересно, но есть одно но... они не умеют ее решать. Помогите им и решите задачу, ведь до начала контеста осталось всего пару часов.

$^{\dagger}$ Пусть $w_1 \ge w_2 \ge \ldots \ge w_{h}$ — веса всех ребер на пути в порядке невозрастания. Тогда $k$-й максимум весов ребер на этом пути равен $w_{k}$.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n, m$ и $q$ ($2 \le n \le 400$, $n - 1 \le m \le \operatorname{min}(\mathbf{400}, \frac{n \cdot (n - 1)}{2})$, $1 \le q \le 3 \cdot 10^5$) — количество вершин, количество ребер и количество вопросов соответственно.

Каждая из следующих $m$ строк каждого набора входных данных содержит три целых числа $v, u$ и $w$ ($1 \le v, u \le n$, $1 \le w \le 10^9$) — концы очередного ребра графа и его вес соответственно. Гарантируется, что граф не содержит петель и кратных ребер.

Каждая из следующих $q$ строк каждого набора входных данных содержит три целых числа $a, b$ и $k$ ($1 \le a, b \le n$, $k \ge 1$) — очередной вопрос. Гарантируется, что любой путь из вершины $a$ в вершину $b$ содержит не менее $k$ ребер.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $400$.

Гарантируется, что сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $400$.

Гарантируется, что сумма значений $q$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите ответы на все вопросы.

Примечание

В первом наборе входных данных одним из оптимальных путей в первом запросе является путь $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4$, $2$-й максимум весов ребер на этом пути это $1$. Во втором запросе одними из оптимальных путей являются путь $2 \rightarrow 4 \rightarrow 3$, $1$-й максимум весов ребер это $2$.

Во втором наборе входных данных одним из оптимальных путей в первом запросе является путь $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6$, $3$-й максимум весов ребер на этом пути это $2$.

E2. Очередное упражнение на графы (сложная версия)

Бинарный поиск графы дп кратчайшие пути поиск в глубину и подобное снм сортировки *2500

Это сложная версия задачи. Отличие между версиями заключается в том, что в этой версии Дополнительные ограничения на $m$ отсутствуют. Вы можете делать взломы только в том случае, если решили все версии этой задачи.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n, m$ и $q$ ($2 \le n \le 400$, $n - 1 \le m \le \frac{n \cdot (n - 1)}{2}$, $1 \le q \le 3 \cdot 10^5$) — количество вершин, количество ребер и количество вопросов соответственно.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $400$.

Гарантируется, что сумма значений $q$ по всем наборам входных данных не превосходит $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите ответы на все вопросы.

Примечание

D. Граф и граф

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути Структуры данных *1900

Вам даны два связных неориентированных графа с одинаковым количеством вершин. В обоих графах в какой-то вершине находится фишка. В первом графе фишка изначально находится в вершине $s_1$, во втором графе фишка изначально находится в вершине $s_2$. Далее бесконечное количество раз повторяются следующая операция:

Пусть сейчас в первом графе фишка находится в вершине $v_1$, а во втором графе в вершине $v_2$.
Выбирается какая-то вершина $u_1$, смежная с $v_1$, в первом графе.
Выбирается какая-то вершина $u_2$, смежная с $v_2$, во втором графе.
Фишки перемещаются в выбранные вершины: в первом графе фишка перемещается из $v_1$ в $u_1$, во втором графе из $v_2$ в $u_2$.
Стоимость такой операции равна $|u_1 - u_2|$.

Определите минимально возможную суммарную стоимость всех операций или сообщите, что это значение будет бесконечно большим.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $s_1$ и $s_2$ ($2 \le n \le 1000$, $1 \le s_1, s_2 \le n$) — количество вершин в каждом графе, номер вершины в первом графе, где изначально находится фишка, и номер вершины во втором графе, где изначально находится фишка.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $m_1$ ($1 \le m_1 \le 1000$) — количество рёбер в первом графе.

$i$-я из следующих $m_1$ строк содержит два целых числа $a_i$ и $b_i$ ($1 \le a_i, b_i \le n$, $a_i \ne b_i$) — номера концов $i$-го ребра в первом графе.

Следующая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $m_2$ ($1 \le m_2 \le 1000$) — количество рёбер во втором графе.

$j$-я из следующих $m_2$ строк содержит два целых числа $c_j$ и $d_j$ ($1 \le c_j, d_j \le n$, $c_j \ne d_j$) — номера концов $j$-го ребра во втором графе.

Гарантируется, что сумма $n$, сумма $m_1$ и сумма $m_2$ по всем наборам входных данных не превосходят $1000$.

Гарантируется, что оба графа являются связными.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — минимальную суммарную стоимость всех операций или $-1$, если это значение будет бесконечно большим.

Примечание

В первом наборе входных данных можно построить бесконечную последовательность переходов в вершины $2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, \ldots$, по которой фишка может двигаться как в первом, так и во втором графе.

Во втором наборе входных данных можно доказать, что стоимость любой операции будет больше $0$, поэтому суммарная стоимость всех операций будет бесконечно большой.

E. Составление графа

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм *1500

Даны два простых неориентированных графа $F$ и $G$ с $n$ узлами. У графа $F$ есть $m_1$ рёбер, а у графа $G$ — $m_2$ рёбер. Вы можете выполнять одну из следующих двух операций любое количество раз:

Выберите два целых числа $u$ и $v$ ($1 \leq u,v \leq n$), такие что между $u$ и $v$ в графе $F$ есть ребро. Затем удалите это ребро из $F$.
Выберите два целых числа $u$ и $v$ ($1 \leq u,v \leq n$), такие что между $u$ и $v$ в графе $F$ нет ребра. Затем добавьте ребро между $u$ и $v$ в $F$.

Определите минимальное количество операций, необходимых для того, чтобы для всех целых чисел $u$ и $v$ ($1 \leq u,v \leq n$) существовал путь от $u$ до $v$ в $F$ если и только если существует путь от $u$ до $v$ в $G$.

Входные данные

Первая строка содержит целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество независимых наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит три целых числа $n$, $m_1$ и $m_2$ ($1 \leq n \leq 2\cdot 10^5$, $0 \leq m_1,m_2 \leq 2\cdot 10^5$) — количество узлов, количество рёбер в $F$ и количество рёбер в $G$.

Следующие $m_1$ строк содержат по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \leq u, v\leq n$) — между $u$ и $v$ в графе $F$ есть ребро. Гарантируется, что нет повторяющихся рёбер и петель.

Следующие $m_2$ строк содержат по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \leq u,v\leq n$) — между $u$ и $v$ в графе $G$ есть ребро. Гарантируется, что нет повторяющихся рёбер и петель.

Гарантируется, что сумма $n$, сумма $m_1$ и сумма $m_2$ по всем наборам входных данных не превышают $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одно целое число, обозначающее минимальное количество операций, необходимых на новой строке.

Примечание

В первом наборе входных данных вы можете выполнить следующие три операции:

Добавить ребро между вершиной $1$ и вершиной $3$.
Удалить ребро между вершиной $1$ и вершиной $2$.
Удалить ребро между вершиной $2$ и вершиной $3$.

Можно показать, что меньшее количество операций невозможно достичь.

Во втором наборе входных данных графы $F$ и $G$ уже изначально удовлетворяют условию.

В пятом наборе входных данных рёбра от $1$ до $3$ и от $2$ до $3$ должны быть оба удалены.

G. Кевин и команды

графы интерактив Конструктив *2900

Это интерактивная задача.

У Кевина есть $n$ одноклассников, пронумерованных $1, 2, \ldots, n$. Каждая пара одноклассников может быть либо друзьями, либо нет.

Кевин хочет выбрать $2k$ одноклассников, чтобы сформировать $k$ команд, где в каждой команде будет ровно по $2$ человека. Каждый человек может принадлежать не более чем к одной команде.

Пусть $u_i$ и $v_i$ — два человека в $i$-й команде. Чтобы избежать потенциальных конфликтов, команды должны удовлетворять одному из двух условий:

Для всех команд $i$ ($1\leq i \leq k$), одноклассники $u_i$ и $v_i$ являются друзьями.
Для всех команд $i$ ($1\leq i \leq k$), одноклассники $u_i$ и $v_i$ не являются друзьями.

Кевин хочет определить максимальное число $k$, такое, что независимо от дружеских отношений между $n$ одноклассниками, он всегда сможет найти $2k$ человек для формирования команд. Далее ему нужно сформировать $k$ команд. Но спрашивать, дружат ли два одноклассника, неудобно, поэтому Кевин хочет добиться этого, спросив о статусе дружбы не более чем у $n$ пар одноклассников.

Интерактор является адаптивным. Это означает, что скрытые отношения между одноклассниками не фиксируются до взаимодействия и будут меняться во время взаимодействия.

Протокол взаимодействия

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое положительное число $n$ ($2\leq n \leq 10^5$) — количество одноклассников.

Сначала вы должны вывести целое число $k$ ($1\leq k\leq \frac{n}2$) — максимальное количество команд, которое вы можете сформировать.

Вы можете задавать вопросы. Для этого выведите строку вида $?\;u\;v$, где $1\leq u\neq v \leq n$. После этого прочитайте одно число $0$ или $1$ — являются ли они друзьями. $1$ означает, что они друзья, а $0$ означает, что нет.

Если вы хотите вывести ответ, выведите $!\;u_1\;v_1\;u_2\;v_2\;\ldots\;u_k\;v_k$. Вы должны вывести ровно $2k$ различных чисел. Затем взаимодействие продолжается со следующим набором входных данных.

Вы можете сделать не более $n$ запросов. Вывод ответа не учитывается при подсчете количества выполненных запросов.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^5$.

После вывода каждого запроса не забудьте вывести перевод строки и сбросить буфер вывода$^{\text{∗}}$. В противном случае вы получите вердикт Решение «зависло».

На любом шаге взаимодействия, если вы считали $-1$ вместо корректных данных, ваше решение должно немедленно завершиться. Это означает, что ваше решение получит вердикт Неправильный ответ из-за некорректного запроса или любой другой ошибки. Если программа не завершится, вы можете получить любой вердикт, так как ваша программа продолжит чтение из закрытого потока.

Взломы

Интерактор для взломов не является адаптивным. Чтобы произвести взлом, используйте следующий формат.

Первая строка содержит слово «manual».

Вторая строка содержит единственное целое число $t$ ($1\leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит целое число $n$ ($2\leq n \leq 10^5$) — количество одноклассников.

Вторая строка каждого набора входных данных содержит строку $s$ длины $\frac{n(n - 1)}{2}$, состоящую из '0' и '1', и указывающую на взаимосвязь между $(1, 2)$, $(1, 3)$, $\ldots$, $(1, n)$, $(2, 3)$, $(2, 4)$, $\ldots$, $(2, n)$, $\ldots$, $(n - 1, n)$. '1' означает дружбу, а '0' означает её отсутствие.

Ниже приведён текст взлома, аналогичный примеру:


manual
2
3
011
5
1011101011

Сумма $n$ по всем наборам входных данных не должна превосходить $10^5$.

Существует дополнительное ограничение для взломов: сумма $\frac{n(n-1)}{2}$ по всем наборам входных данных не должна превосходить $10^7$.

$^{\text{∗}}$Чтобы сбросить буфер вывода, используйте:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
sys.stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Примечание

В первом наборе входных данных:

Кевин утверждает, что он может сформировать $1$ команду независимо от дружеских отношений между $3$ людьми.

Кевин спрашивает о дружеских отношениях между $1$ и $2$. Жюри отвечает, что они друзья.

Кевин отвечает, что он может сформировать команду из одноклассников $1$ и $2$.

Во втором наборе входных данных:

Кевин утверждает, что он может сформировать $2$ команды независимо от дружеских отношений между $5$ людьми.

Кевин спрашивает о дружеских отношениях между людьми $(1, 2), (3, 4), (3, 5), (1, 3), (2, 4)$. Жюри отвечает: $1, 0, 1, 0, 0$.

Кевин отвечает, что он может сформировать две команды из людей $(1, 2)$ и $(3, 5)$.

Также возможно сформировать две команды из людей $(1, 3)$ и $(2, 4)$, поскольку обе пары не являются друзьями.

H1. Кевин и камни (простая версия)

графы Паросочетания Потоки *3500

Это простая версия задачи. Отличие между версиями заключается в том, что в этой версии вам нужно только определить, существует ли корректная последовательность операций. Вы можете делать взломы только в том случае, если решили все версии этой задачи.

У Кевина есть неориентированный граф с $n$ вершинами и $m$ рёбрами. Изначально некоторые вершины содержат камни, которые Кевин хочет переместить на новые позиции.

Кевин может выполнять следующую операцию:

Для каждого камня на $u_i$ выбрать соседнюю вершину $v_i$. Одновременно переместить каждый камень из $u_i$ на соответствующую ему $v_i$.

В любой момент каждая вершина может содержать не более одного камня.

Определите, существует ли корректная последовательность операций, которая перемещает камни из начального состояния в целевое.

Входные данные

Первая строка каждого набора входных данных содержит два целых числа $n$ и $m$ ($1\leq n \leq 2000$, $0\leq m \leq \min(\frac{n(n-1)}{2}, 10^4)$) — количество вершин и рёбер в графе.

Вторая строка содержит бинарную строку $s$, состоящую из '0' и '1'. $i$-й символ $s$ обозначает количество камней в $i$-й вершине в исходном состоянии.

Третья строка содержит бинарную строку $t$, состоящую из '0' и '1'. $i$-й символ $t$ обозначает количество камней в $i$-й вершине в целевом состоянии.

Каждая из следующих $m$ строк содержит два целых числа $u$ и $v$ ($1\leq u, v \leq n$) — существует неориентированное ребро между вершинами $u$ и $v$.

Гарантируется, что граф прост, то есть в графе нет петель и кратных рёбер.

Гарантируется, что количество '1' в $s$ и $t$ совпадает.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2000$.

Гарантируется, что сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^4$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных на отдельной строке выведите «Yes» или «No» — существует ли допустимая последовательность операций.

H2. Кевин и камни (сложная версия)

графы Потоки *3500

Это сложная версия задачи. Отличие между версиями заключается в том, что в этой версии вам нужно вывести корректную последовательность операций, если она существует. Вы можете делать взломы только в том случае, если решили все версии этой задачи.

Кевин может выполнять следующую операцию:

Для каждого камня на $u_i$ выбрать соседнюю вершину $v_i$. Одновременно переместить каждый камень из $u_i$ на соответствующую ему $v_i$.

В любой момент каждая вершина может содержать не более одного камня.

Определите, существует ли корректная последовательность операций, которая перемещает камни из начального состояния в целевое. Выведите корректную последовательность операций, содержащую не более $2n$ операций, если она существует. Можно доказать, что если существует корректная последовательность, то существует и корректная последовательность, содержащая не более $2n$ операций.

Входные данные

Гарантируется, что граф прост, то есть в графе нет петель и кратных рёбер.

Гарантируется, что количество '1' в $s$ и $t$ совпадает.

Гарантируется, что сумма значений $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $2000$.

Гарантируется, что сумма значений $m$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^4$.

Выходные данные

Если существует корректная последовательность операций, во второй строке выведите единственное целое число $k$ ($0 \leq k \leq 2n$), обозначающее количество операций. Предположим, что в исходном состоянии имеется $c$ камней. Каждая из следующих $k + 1$ строк должна содержать $c$ различных целых чисел, представляющих положение камней до операций и после каждой операции. Эти позиции должны удовлетворять следующим требованиям:

Расположение камней в первой строке соответствует исходному состоянию из входных данных в любом порядке.
Расположение камней в последней строке соответствует целевому состоянию из входных данных в любом порядке.
Для всех $i$ ($1\leq i\leq k$) и $j$ ($1\leq j\leq c$) убедитесь, что $j$-е целое число в $i$-й строке и $j$-е целое число в $(i+1)$-й строке соответствуют соседним вершинам в графе. Другими словами, камень перемещается из своего предыдущего положения в следующее.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

D. Сбалансированное дерево

графы Деревья дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2200

Дано дерево$^{\text{∗}}$ с $n$ вершинами и значениями $l_i, r_i$ для каждой вершины. Вы можете выбрать начальные значения $a_i$, удовлетворяющие условию $l_i\le a_i\le r_i$ для $i$-й вершины. Дерево считается сбалансированным, если все значения в вершинах равны, а значение сбалансированного дерева определяется как значение любой вершины.

За одну операцию вы можете выбрать две вершины $u$ и $v$ и увеличить значения всех вершин в поддереве$^{\text{†}}$ вершины $v$ на $1$, рассматривая $u$ как корень всего дерева. Обратите внимание, что $u$ может быть равен $v$.

Ваша цель — выполнить последовательность операций так, чтобы дерево стало сбалансированным. Найдите минимально возможное значение дерева после выполнения этих операций. Обратите внимание, что вам не нужно минимизировать количество операций.

$^{\text{∗}}$Деревом называется связный граф без циклов.

$^{\text{†}}$Вершина $w$ принадлежит поддереву вершины $v$, если любой путь от корня $u$ до $w$ проходит через $v$.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — количество входных наборов данных.

Первая строка каждого набора данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 2\cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

Затем следуют $n$ строк. $i$-я строка содержит два целых числа $l_i,r_i$ ($0\le l_i \le r_i\le 10^9$) — ограничения на значение $i$-й вершины.

Следующие $n-1$ строк содержат ребра дерева. $i$-я строка содержит два целых числа $u_i,v_i$ ($1\le u_i,v_i \le n$, $u_i \neq v_i$) — ребро, соединяющее $u_i$ и $v_i$. Гарантируется, что заданные ребра образуют дерево.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам данных не превосходит $2\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора данных выведите одно целое число — минимально возможное значение, к которому могут быть приведены все $a_i$ после выполнения операций. Можно доказать, что ответ всегда существует.

Примечание

В первом наборе данных вы можете выбрать $a=[6,6,0,5]$.

Вы можете выполнить следующие операции, чтобы сделать все $a_i$ равными:

Выберите $u=4$, $v=3$ и выполните операцию $5$ раз.
Выберите $u=1$, $v=3$ и выполните операцию $6$ раз.

Полный процесс показан ниже (числа в скобках — значения $a$):

$\text{[math]}$

Можно доказать, что это оптимальное решение.

E1. Игра (простая версия)

графы Деревья жадные алгоритмы игры поиск в глубину и подобное Структуры данных *2000

Это простая версия задачи. Отличие между версиями заключается в том, что в этой версии вам нужно только найти только одну из возможных вершин, которую может выбрать Чирно. Вы можете делать взломы только в том случае, если решили все версии этой задачи.

Чирно и Дайёсей играют в игру с деревом$^{\text{∗}}$ из $n$ вершин, корнем которого является вершина $1$. Значение $i$-й вершины равно $w_i$. Они по очереди делают ходы; первым ходит Чирно.

На каждом ходу, предполагая, что противник выбрал $j$ на последнем ходу, игрок может выбрать любую оставшуюся вершину $i$, удовлетворяющую условию $w_i>w_j$, и удалить поддерево$^{\text{†}}$ вершины $i$. В частности, Чирно может выбрать любую вершину и удалить её поддерево на первом ходу.

Первый игрок, который не может сделать ход, выигрывает, и они оба надеются победить. Найдите одну из возможных вершин, которую может выбрать Чирно на первом ходу, чтобы выиграть, если оба игрока будут играть оптимально.

$^{\text{∗}}$Деревом называется связный граф без циклов.

$^{\text{†}}$Вершина $u$ принадлежит поддереву вершины $i$, если любой путь от $1$ до $u$ проходит через $i$.

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($1 \le n \le 4\cdot 10^5$) — количество вершин в дереве.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $w_1,w_2,\ldots,w_n$ ($1 \le w_i \le n$) — значения вершин.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $4\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку.

Если Чирно может выиграть, выведите любую вершину, которую она может выбрать на первом ходу.

В противном случае выведите «0» (без кавычек).

Примечание

В первом наборе входных данных:

Если Чирно выберет $1$ или $3$ на первом ходу, Дайёсей не сможет сделать ход, поэтому Дайёсей выигрывает.
Если Чирно выберет $2$ или $4$ на первом ходу, Дайёсей сможет выбрать только $3$, но после этого Чирно не сможет сделать ход, поэтому Чирно выигрывает.

Таким образом, все возможные вершины, которые может выбрать Чирно — это $2$ и $4$.

Во втором наборе входных данных, независимо от того, какую вершину выберет Чирно, Дайёсей не сможет сделать ход, поэтому Дайёсей выигрывает.

В третьем и четвертом наборах входных данных единственной возможной вершиной, которую может выбрать Чирно на первом ходу, является $2$.

В пятом наборе входных данных все возможные вершины, которые может выбрать Чирно на первом ходу — это $3,4,6,7$ и $10$.

E2. Игра (сложная версия)

графы Деревья игры поиск в глубину и подобное реализация Структуры данных *3000

Это сложная версия задачи. Отличие между версиями заключается в том, что в этой версии вам нужно найти все возможные вершины, которые может выбрать Чирно. Вы можете делать взломы только в том случае, если решили все версии этой задачи.

Первый игрок, который не может сделать ход, выигрывает, и они оба надеются победить. Найдите все возможные вершины, которые может выбрать Чирно на первом ходу, чтобы выиграть, если оба игрока будут играть оптимально.

$^{\text{∗}}$Деревом называется связный граф без циклов.

$^{\text{†}}$Вершина $u$ принадлежит поддереву вершины $i$, если любой путь от $1$ до $u$ проходит через $i$.

Входные данные

Первая строка ввода содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^5$) — количество наборов входных данных.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $w_1,w_2,\ldots,w_n$ ($1 \le w_i \le n$) — значения вершин.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превосходит $4\cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите одну строку.

Если Чирно может выиграть, выведите несколько чисел. Первое число $k$ обозначает количество возможных вершин, которые она может выбрать на первом ходу. Следующие $k$ чисел обозначают данные вершины в порядке возрастания.

В противном случае выведите «0» (без кавычек).

Примечание

В первом наборе входных данных:

Если Чирно выберет $1$ или $3$ на первом ходу, Дайёсей не сможет сделать ход, поэтому Дайёсей выигрывает.
Если Чирно выберет $2$ или $4$ на первом ходу, Дайёсей сможет выбрать только $3$, но после этого Чирно не сможет сделать ход, поэтому Чирно выигрывает.

Таким образом, все возможные вершины, которые может выбрать Чирно — это $2$ и $4$.

F. Задача котовояжёра

геометрия графы дп жадные алгоритмы Конструктив математика сортировки *2900

Вы — кот, продающий интересные алгоритмические задачи. Сегодня вы хотите прорекламировать свои интересные алгоритмические задачи в $k$ городах.

Всего есть $n$ городов, каждый из которых имеет два параметра $a_i$ и $b_i$. Между любыми двумя городами $i,j$ ($i\ne j$) есть двусторонняя дорога длиной $\max(a_i + b_j , b_i + a_j)$. Стоимость пути определяется как сумма длин дорог между каждыми двумя соседними городами вдоль пути.

Для $k=2,3,\ldots,n$ найдите минимальную стоимость среди всех простых путей, содержащих ровно $k$ различных городов.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 1500$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2 \leq n \leq 3\cdot 10^3$) — количество городов.

Затем следуют $n$ строк, $i$-я строка содержит два целых числа $a_i,b_i$ ($0 \leq a_i,b_i \leq 10^9$) — параметры города $i$.

Гарантируется, что сумма $n^2$ по всем наборам входных данных не превышает $9\cdot 10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите $n-1$ целых числа в одной строке. $i$-е целое число представляет собой минимальную стоимость при $k=i+1$.

Примечание

В первом наборе входных данных:

Для $k=2$ оптимальный путь: $1\to 2$ со стоимостью $\max(0+1,2+2)=4$.
Для $k=3$ оптимальный путь: $2\to 1\to 3$ со стоимостью $\max(0+1,2+2)+\max(0+3,3+2)=4+5=9$.

Во втором наборе входных данных:

Для $k=2$ оптимальный путь: $1\to 4$.
Для $k=3$ оптимальный путь: $2\to 3\to 5$.
Для $k=4$ оптимальный путь: $4\to 1\to 3\to 5$.
Для $k=5$ оптимальный путь: $5\to 2\to 3\to 1\to 4$.

G. Фабрика перестановок

геометрия графы Паросочетания Потоки *3500

Даны две перестановки $p_1,p_2,\ldots,p_n$ и $q_1,q_2,\ldots,q_n$ длины $n$. За одну операцию вы можете выбрать два целых числа $1\leq i,j\leq n,i\neq j$ и поменять местами $p_i$ и $p_j$. Стоимость операции равна $\min (|i-j|,|p_i-p_j|)$.

Найдите минимальную стоимость последовательности операций, в результате которых для всех $1\leq i\leq n$ выполняется равенство $p_i = q_i$, и выведите последовательность с минимальной стоимостью.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 100$) — длина перестановок $p$ и $q$.

Вторая строка содержит $n$ целых чисел $p_1,p_2,\ldots,p_n$ ($1\leq p_i\leq n$) — перестановка $p$. Гарантируется, что $p_1,p_2,\ldots,p_n$ является перестановкой чисел $1,2,\ldots,n$.

Третья строка содержит $n$ целых чисел $q_1,q_2,\ldots,q_n$ ($1\leq q_i\leq n$) — перестановка $q$. Гарантируется, что $q_1,q_2,\ldots,q_n$ является перестановкой чисел $1,2,\ldots,n$.

Гарантируется, что сумма $n^3$ по всем наборам входных данных не превосходит $10^6$.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите общее количество операций $k$ ($0\le k\le n^2$) в первой строке. Затем выведите $k$ строк, каждая из которых содержит два целых числа $i,j$ ($1\le i,j\le n$, $i\neq j$) — операцию обмена $p_i$ и $p_j$. Операции выводите в порядке выполнения.

Можно показать, что ни одна оптимальная последовательность операций не имеет длину больше $n^2$.

Примечание

Во втором наборе входных данных вы можете поменять местами $p_1,p_3$, что будет стоить $\min(|1-3|,|1-3|)=2$. Тогда $p$ станет равно $q$, а общая стоимость равна $2$.

В третьем наборе входных данных вы можете выполнить следующие операции:

Изначально, $p=[2,1,4,3]$.

Поменять местами $p_1,p_4$, что будет стоить $\min(|1-4|,|2-3|)=1$, в результате чего $p=[3,1,4,2]$.
Поменять местами $p_2,p_4$, что будет стоить $\min(|2-4|,|1-2|)=1$, в результате чего $p=[3,2,4,1]$.
Поменять местами $p_1,p_3$, что будет стоить $\min(|1-3|,|3-4|)=1$. Тогда $p$ станет равно $q$. Общая стоимость равна $3$.

C. Удалить ровно две

графы Деревья дп жадные алгоритмы Перебор поиск в глубину и подобное сортировки Структуры данных *1600

Недавно Маленький Джон получил дерево от своей тёти, чтобы украсить свой дом. Но, как кажется, одного дерева недостаточно, чтобы украсить весь дом. У Маленького Джона появилась идея. Может быть, он сможет удалить несколько вершин из дерева. Это превратит его в большее количество деревьев! Верно?

Вам дано дерево$^{\text{∗}}$, состоящее из $n$ вершин. Вы должны выполнить следующую операцию ровно дважды.

Выберите вершину $v$;
Удалите все рёбра, соединённые с вершиной $v$, а также саму вершину $v$.

Вам необходимо найти максимальное количество компонент связности после выполнения операции ровно дважды.

Две вершины $x$ и $y$ находятся в одной компоненте связности тогда и только тогда, когда существует путь от $x$ до $y$. Граф с $0$ вершинами имеет $0$ компонент связности по определению.$^{\text{†}}$

$^{\text{∗}}$Деревом называется связный граф без циклов.

$^{\text{†}}$Но считается ли такой граф связным?..

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 2 \cdot 10^5$).

Каждая из следующих $n-1$ строк содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$, обозначающие две вершины, соединённые ребром ($1 \le u_i,v_i \le n$, $u_i \neq v_i$). Гарантируется, что данные рёбра образуют дерево.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем тестам не превышает $2 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите максимальное количество компонент связности в отдельной строке.

Примечание

В первом примере удаление вершины дважды сделает граф пустым. По определению количество компонент связности в графе с $0$ вершинами равно $0$. Поэтому ответ равен $0$.

Во втором примере удаление двух вершин $1$ и $2$ оставляет $2$ компоненты связности. Поскольку невозможно создать $3$ компоненты связности с $2$ вершинами, ответ равен $2$.

В третьем примере удаление двух вершин $1$ и $5$ оставляет $4$ компоненты связности, которые являются $\left\{ 2,4\right\}$, $\left\{ 3\right\}$, $\left\{ 6\right\}$ и $\left\{ 7\right\}$. Можно показать, что невозможно получить $5$ компонент связности. Поэтому ответ равен $4$.

F1. Считать не весело (Простая версия)

графы Деревья дп Комбинаторика математика поиск в глубину и подобное реализация снм Структуры данных хэши *2400

Это простая версия задачи. Отличие между версиями заключается в том, что в этой версии ограничения на $t$ и $n$ меньше. Вы можете делать взломы только в том случае, если решили все версии этой задачи.

Теперь Маленький Джон богат, и поэтому он наконец-то покупает дом, достаточно большой, чтобы вместить его и его любимую скобочную последовательность. Но каким-то образом он оказался с большим количеством скобок! Разочарованный, он пробивает потолок с помощью «ладони Будды».

Скобочная последовательность называется правильной, если она может быть построена по следующей формальной грамматике:

Пустая последовательность $\varnothing$ сбалансирована.
Если скобочная последовательность $A$ правильная, то $\mathtt{(}A\mathtt{)}$ также является правильной.
Если скобочные последовательности $A$ и $B$ правильные, то и их конкатенированная последовательность $A B$ также правильная.

Например, последовательности «(())()», «()», «(()(()))» и пустая последовательность являются правильными, в то время как «(()» и «(()))(» — нет.

Дана правильная скобочная последовательность $s$, пара индексов $(i,j)$ ($i<j$) называется хорошей, если $s_i$ — это «(», а $s_j$ — это «)», и две скобки добавляются одновременно в соответствии с правилом 2 при построении последовательности $s$. Например, последовательность «(())()» имеет три разные хорошие пары: $(1,4)$, $(2,3)$ и $(5,6)$. Можно показать, что любая правильная скобочная последовательность из $2n$ скобок содержит ровно $n$ различных пар скобок, и использование любого порядка правил для построения одной и той же последовательности скобок приведет к одному и тому же набору пар скобок.

Эмили будет играть в игру по угадыванию скобок с Джоном. Игра проходит следующим образом.

Изначально у Джона есть правильная скобочная последовательность $s$, содержащая $n$ различных пар скобок, которая не известна Эмили. Джон говорит Эмили значение $n$ и просит Эмили угадать последовательность.

На протяжении $n$ ходов Джон дает Эмили следующие подсказки на каждом ходе:

$l\;r$: Последовательность $s$ содержит пару скобок $(l,r)$.

Гарантируется, что подсказки, которые Джон дает Эмили, попарно различны и не противоречат друг другу.

В какой-то момент Эмили может быть уверена, что правильная скобочная последовательность, удовлетворяющая подсказкам, данным до сих пор, уникальна. Например, предположим, что Эмили знает, что $s$ имеет $3$ хорошие пары, и она содержит пару скобок $(2,5)$. Из $5$ правильных скобочных последовательностей с $3$ хорошими парами существует только одна такая последовательность «((()))» с парой скобок $(2,5)$. Следовательно, можно увидеть, что Эмили не всегда нужно $n$ ходов, чтобы угадать $s$.

Чтобы как можно раньше узнать содержимое $s$, Эмили хочет знать количество различных правильных скобочных последовательностей, которые соответствуют подсказкам после каждого хода. Конечно, это не легкая задача для Эмили, особенно когда ей дано настолько много хороших пар. Теперь ваша очередь помочь Эмили. Учитывая подсказки, вы должны найти ответ до всех ходов и после каждого хода. Поскольку ответы могут быть огромными, вам нужно найти их по модулю $998\,244\,353$.

Входные данные

Первая строка каждого набора содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 5000$) — количество хороших пар.

Затем каждая из следующих $n$ строк содержит два целых числа $l_i$ и $r_i$, представляющих $i$-ю подсказку ($1 \le l_i < r_i \le 2n$).

Подсказки в одном наборе входных данных попарно различны и не противоречат друг другу.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $5000$.

Выходные данные

Для каждого набора выведите $n+1$ целых числа в одной строке:

Первое целое число — это ответ до всех подсказок, по модулю $998\,244\,353$.
Для всех $i \ge 1$, $i+1$-е целое число — это ответ после $i$-й подсказки, по модулю $998\,244\,353$.

Примечание

Первый пример из примера объясняется в описании задачи.

Третий пример из примера объясняется следующим образом.

Можно показать, что существует $132$ сбалансированных последовательностей скобок с $6$ парами скобок. Ответы после каждой подсказки следующие:

Вам дана хорошая пара $(2,3)$. Существует $42$ правильных скобочных последовательностей, имеющих хорошую пару $(2,3)$.
Вам дана хорошая пара $(1,6)$. Существует $5$ правильных скобочных последовательностей, имеющих хорошие пары $(2,3)$, $(1,6)$.
Вам дана хорошая пара $(7,8)$. Существуют $2$ правильных скобочных последовательностей, имеющих три хорошие пары. Это строки «(()())()(())» и «(()())()()()», соответственно.
Вам дана хорошая пара $(9,12)$. Существует только одна правильная скобочная последовательность, содержащая четыре хорошие пары. Таким образом, содержимое $s$ имеет вид «(()())()(())».

Тогда количество правильных скобочных последовательностей после пятой и шестой подсказки равно $1$, поскольку вы уже знаете содержимое $s$.

F2. Считать не весело (Сложная версия)

графы Деревья Комбинаторика поиск в глубину и подобное реализация снм Структуры данных *2700

Это сложная версия задачи. Отличие между версиями заключается в том, что в этой версии ограничения на $t$ и $n$ больше. Вы можете делать взломы только в том случае, если решили все версии этой задачи.

Пустая последовательность $\varnothing$ сбалансирована.
Если скобочная последовательность $A$ правильная, то $\mathtt{(}A\mathtt{)}$ также является правильной.
Если скобочные последовательности $A$ и $B$ правильные, то и их конкатенированная последовательность $A B$ также правильная.

Эмили будет играть в игру по угадыванию скобок с Джоном. Игра проходит следующим образом.

На протяжении $n$ ходов Джон дает Эмили следующие подсказки на каждом ходе:

$l\;r$: Последовательность $s$ содержит пару скобок $(l,r)$.

Гарантируется, что подсказки, которые Джон дает Эмили, попарно различны и не противоречат друг другу.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 3 \cdot 10^5$) — количество хороших пар.

Подсказки в одном наборе входных данных попарно различны и не противоречат друг другу.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $3 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого набора выведите $n+1$ целых числа в одной строке:

Первое целое число — это ответ до всех подсказок, по модулю $998\,244\,353$.
Для всех $i \ge 1$, $i+1$-е целое число — это ответ после $i$-й подсказки, по модулю $998\,244\,353$.

Примечание

Первый пример из примера объясняется в описании задачи.

Третий пример из примера объясняется следующим образом.

Вам дана хорошая пара $(2,3)$. Существует $42$ правильных скобочных последовательностей, имеющих хорошую пару $(2,3)$.
Вам дана хорошая пара $(1,6)$. Существует $5$ правильных скобочных последовательностей, имеющих хорошие пары $(2,3)$, $(1,6)$.
Вам дана хорошая пара $(7,8)$. Существуют $2$ правильных скобочных последовательностей, имеющих три хорошие пары. Это строки «(()())()(())» и «(()())()()()», соответственно.
Вам дана хорошая пара $(9,12)$. Существует только одна правильная скобочная последовательность, содержащая четыре хорошие пары. Таким образом, содержимое $s$ имеет вид «(()())()(())».

F. Скибидус и slay

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное Структуры данных *1700

Определим мажорирующий элемент последовательности из $k$ элементов как уникальное значение, которое появляется строго более чем $\left \lfloor {\frac{k}{2}} \right \rfloor$ раз. Если такое значение не существует, то последовательность не имеет мажорирующего элемента. Например, последовательность $[1,3,2,3,3]$ имеет мажорирующий элемент $3$, потому что оно появляется $3 > \left \lfloor {\frac{5}{2}} \right \rfloor = 2$ раза, но $[1,2,3,4,5]$ и $[1,3,2,3,4]$ не имеют мажорирующего элемента.

Скибидус нашел дерево$^{\text{∗}}$ из $n$ вершин и массив $a$ длиной $n$. Вершина $i$ имеет значение $a_i$, написанное на ней, где $a_i$ — это целое число в диапазоне $[1, n]$.

Для каждого $i$ от $1$ до $n$ определите, существует ли нетривиальный простой путь$^{\text{†}}$ такой, что $i$ является мажорирующим элементом последовательности целых чисел, написанных на вершинах, которые образуют путь.

$^{\text{∗}}$Деревом называется связный граф без циклов.

$^{\text{†}}$Последовательность вершин $v_1, v_2, ..., v_m$ ($m \geq 2$) образует нетривиальный простой путь, если $v_i$ и $v_{i+1}$ соединены ребром для всех $1 \leq i \leq m - 1$ и все $v_i$ попарно различны. Обратите внимание, что путь должен состоять как минимум из $2$ вершин.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. В первой строке находится одно целое число $t$ ($1 \le t \le 10^4$) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.

Первая строка каждого набора содержит одно целое число $n$ ($2 \le n \le 5 \cdot 10^5$) — количество вершин.

Вторая строка каждого набора содержит $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($1 \le a_i \le n$) — целые числа, написанные на вершинах.

Каждая из следующих $n-1$ строк содержит два целых числа $u_i$ и $v_i$, обозначающих две вершины, соединенные ребром ($1 \le u_i,v_i \le n$, $u_i \neq v_i$).

Гарантируется, что данные ребра образуют дерево.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем тестам не превышает $5 \cdot 10^5$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите двоичную строку $s$ длиной $n$ на отдельной строке. $s_i$ должно вычисляться следующим образом:

Если существует нетривиальный путь, содержащий $i$ как мажорирующий элемент, то $s_i$ равно '1';
В противном случае $s_i$ равно '0'.

Примечание

В первом примере нет нетривиального пути с $1$, $2$ или $3$ в качестве мажорирующего элемента, поэтому выводимая двоичная строка — «000».

Во втором примере $1\rightarrow 2\rightarrow 4$ — это нетривиальный путь с $3$ в качестве мажорирующего элемента.

A. Идентификация объектов

графы жадные алгоритмы интерактив реализация *1400

Это интерактивная задача.

Вам дан массив $x_1, \ldots, x_n$ из чисел от $1$ до $n$. Также у жюри есть заранее фиксированный, но скрытый от вас массив $y_1, \ldots, y_n$ из чисел от $1$ до $n$. Элементы массива $y$ вам неизвестны. Дополнительно известно, что для всех $i$ выполнено $x_i \neq y_i$, а также все пары $(x_i, y_i)$ различны.

Жюри загадало один из двух объектов, вам нужно угадать, какой именно:

Объект A: Ориентированный граф на $n$ вершинах с номерами от $1$ до $n$, и с $n$ рёбрами вида $x_i \to y_i$.
Объект B: $n$ точек на координатной плоскости. $i$-я точка имеет координаты $(x_i, y_i)$.

Чтобы отгадать, какой объект загадало жюри, вы можете делать запросы. В одном запросе вы должны задать два числа $i, j$ $(1 \leq i, j \leq n, i \neq j)$. В ответ вам будет возвращено одно число:

Если жюри загадало Объект A, вам вернут длину кратчайшего пути (в рёбрах) от вершины $i$ до вершины $j$ в графе, или же $0$, если пути нет.
Если жюри загадало Объект B, вам вернут Манхэттенское расстояние между точками $i$ и $j$, то есть: $|x_i -x_j| + |y_i - y_j|$

У вас есть $2$ запроса, чтобы определить, какой из объектов загадало жюри.

Входные данные

Протокол взаимодействия

Взаимодействие начинается со считывания $n$ ($3 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$) — длина массива $x$ и $y$, в начале каждого набора входных данных.

Далее, в следующей строке считайте $n$ целых чисел: $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ($1 \leq x_i \leq n$) — элементы массива $x$.

Массив $y_1, y_2, \ldots, y_n$ фиксирован для каждого теста. Иными словами, интерактор не адаптивен.

Гарантируется, что $x_i \neq y_i$ для всех $1 \leq i \leq n$, а также все пары $(x_i, y_i)$ различны.

Гарантируется, что сумма $n$ по всем наборам входных данных не превышает $2 \cdot 10^5$.

Чтобы задать запрос, выведите «? $i$ $j$» (без кавычек, $1 \le i, j \le n, i \neq j$). Затем вы должны считать ответ на запрос, который является целым неотрицательным числом.

Чтобы дать ответ, выведите «! A», если загадан Объект A или «! B» если загадан Объект B (вывод без кавычек). Заметьте, что вывод ответа не считается одним из $2$ запросов.

После вывода каждого запроса не забудьте вывести перевод строки и сбросить буфер вывода$^{\text{∗}}$. В противном случае вы получите вердикт Решение «зависло». На любом шаге взаимодействия, если вы считали $-1$ вместо корректных данных, ваше решение должно немедленно завершиться. Это означает, что ваше решение получит вердикт Неправильный ответ из-за некорректного запроса или любой другой ошибки. Если программа не завершится, вы можете получить любой вердикт, так как ваша программа продолжит чтение из закрытого потока. Обратите внимание, что если запрос корректный, ответ на него никогда не будет равен $-1$.

Взломы

Первая строка должна содержать целое число $t$ ($1 \le t \le 1000$) — количество наборов входных данных.

Первая строка каждого набора входных данных должна содержать целое число $n$ ($3 \le n \le 2 \cdot 10^5$) — длину загаданного массива.

Вторая строка каждого набора должна содержать $n$ целых чисел — $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ($1 \le x_i \le n$).

Третья строка каждого набора должна содержать $n$ целых чисел — $y_1, y_2, \ldots, y_n$ ($1 \le y_i \le n$).

Необходимо, чтобы $x_i \neq y_i$ для всех $1 \le i \le n$, а также все пары $(x_i, y_i)$ должны быть различны.

В четвёртой строке должен содержаться один символ: A или B, обозначающий, какой из объектов вы хотите загадать.

Сумма $n$ по всем наборам не должна превосходить $2 \cdot 10^5$.

$^{\text{∗}}$Чтобы сбросить буфер вывода, используйте:

fflush(stdout) или cout.flush() в C++;
sys.stdout.flush() в Python;
смотрите документацию для других языков.

Примечание

В первом наборе входных данных $x = [2,2,3]$, $y = [1,3,1]$ и загадан Объект A.

Во втором наборе входных данных $x = [5,1,4,2,3]$, $y = [3,3,2,4,1]$ и загадан объект B.

C. Контрольный пункт полиции

графы дп кратчайшие пути *1900

Дорожная сеть Берляндии состоит из n городов и m двусторонних дорог. Города пронумерованы от 1 до n, причем главная столица имеет номер n, а культурная столица — номер 1. Дорожная сеть устроена таким образом, что по дорогам возможно доехать от любого города до любого другого. Проезд по каждой их дорог в любом направлении занимает одно и тоже время.

Все жители Берляндии — очень ленивые люди, и поэтому, когда они хотят добраться из города v в город u, то всегда выбирают один из кратчайших путей (неважно какой именно).

Правительство Берляндии хочет сделать дорожную сеть своей страны более безопасной и для этого собирается поставить в один из городов пункт полиции, который обладает странным свойством: когда гражданин Берляндии едет по дороге, в одном из концов которой находится пункт полиции, он внимательнее следит за дорогой, и поэтому все такие дороги считаются безопасными. Дороги, оба конца которых отличаются от города с пунктом полиции, считаются опасными.

Теперь Правительство задумалось, где поставить пункт полиции так, чтобы усредненное количество безопасных дорог по всем кратчайшим путям от культурной столицы до главной принимало максимальное значение.

Входные данные

В первой строке входных данных содержатся два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 100, $\text{[math]}$ ) — количество городов и количество дорог в Берляндии соотвественно. Далее в m строках даны пары целых чисел v_i, u_i (1 ≤ v_i, u_i ≤ n, v_i ≠ u_i) — номера городов, соединенных i-ой дорогой. Числа в строке разделяются пробелом.

Гарантируется, что каждая пара городов соединена не более одной дорогой и что по дорогам Берляндии можно доехать от любого города до любого другого.

Выходные данные

Выведите максимально возможное значение усредненного количества безопасных дорог по всем кратчайшим путям от культурной столицы до главной. Ответ будет считаться правильным, если его абсолютная или относительная погрешность не превосходит 10^- 6.

Примечание

В первом примере если поставить пункт полиции в одну из столиц, тогда на каждом пути будет ровно по одной безопасной дороге, а если пункт поставить не в столицу, то среднее количество безопасных дорог также составит $\text{[math]}$ .

Во втором примере наибольшее искомое значение достигается, если поставить пункт в город номер 4, тогда 6 путей будут иметь по 2 безопасные дороги, и один путь — 0, таким образом, ответ будет равен $\text{[math]}$ .

C. Тропинки и полянки

графы жадные алгоритмы Конструктив снм *2400

Вася пришел погулять в парк. В парке есть n полянок пронумерованных от 1 до n. Между полянками есть m тропинок. Тропинки пронумерованы от 1 до m, причем i-ая тропинка соединяет полянки номер x_i и y_i. Номера соединяемых полянок могут совпадать (x_i = y_i) — это значит, что тропинка ведет с какой-то полянки на нее же. Также между двумя полянками может быть несколько непересекающихся тропинок.

Вася стоит на полянке номер 1, он хочет прогуляться по всем тропинкам парка ровно один раз, так чтобы в итоге вернуться на полянку номер 1. К сожалению, Вася не знает возможна такая прогулка или нет. Помогите Васе, определите возможна такая прогулка или нет. Если такая прогулка невозможна, найдите, какое минимальное количество тропинок придется дополнительно проложить в парке, чтобы описанная прогулка стала возможной.

Переходить с тропинки на тропинку Вася может только на полянках. По тропинкам можно двигаться в обоих направлениях. Если Вася зашел на тропинку, соединяющую полянки a и b, со стороны полянки a, то он обязан выйти с этой тропинки со стороны полянки b.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 10⁶, 0 ≤ m ≤ 10⁶) — количество полянок в парке и количество тропинок в парке соответственно. В следующих m строках задано описание тропинок. В i-й строке задано описание i-й тропинки — два числа, записанных через пробел, x_i, y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n) — номера полянок, которые эта тропинка соединяет.

Выходные данные

Выведите одно число — ответ на задачу. Если прогулка Васи возможна без строительства дополнительных тропинок выведите 0, иначе выведите минимальное количество тропинок, которые придется дополнительно проложить в парке, чтобы описанная прогулка стала возможной.

Примечание

В первом тестовом примере описанная прогулка возможна и без постройки дополнительных тропинок. Например, сначала можно пройти по первой тропинке, потом по второй и, наконец, по третьей.

Во втором тестовом примере описанная прогулка невозможна без постройки дополнительных тропинок. Чтобы прогулка стала возможной, достаточно построить одну тропинку между полянками номер один и два.

D. Обход графа

битмаски графы Паросочетания *2400

Вам задан взвешенный неориентированный граф. Ваша задача найти наименьшую длину такого цикла, который начинается (и заканчивается) в вершине 1 и проходит по каждому ребру хотя бы раз. Граф может содержать кратные ребра (т.е. несколько ребер между парой вершин) и петли (ребра из вершины в себя).

Входные данные

Первая строке содержит пару чисел n, m (1 ≤ n ≤ 15, 0 ≤ m ≤ 2000), n — количество вершин в графе, а m — количество ребер. Далее в m строках заданы ребра графа тройками чисел x, y, w (1 ≤ x, y ≤ n, 1 ≤ w ≤ 10000), x, y — концы ребра, а w — длина ребра.

Выходные данные

Выведите искомую длину цикла или -1 если такой не существует.

A. Катание на Коньках

графы Перебор поиск в глубину и подобное снм *1200

Байтек учится кататься на льду. Он новичок, и поэтому он передвигается следующим образом: сначала отталкивается от сугроба на север, восток, юг или запад — и катится до тех пор, пока не повстречает очередной сугроб. Байтек заметил, что таким образом он не сможет добраться от некоторых сугробов до некоторых других, какой бы ни была последовательность его движений. Теперь он хочет соорудить несколько дополнительных сугробов так, чтобы он мог добраться от любого сугроба до любого другого. Байтек попросил Вас найти наименьшее количество сугробов, которые ему потребуется соорудить.

Мы предполагаем, что Байтек может сооружать сугробы только в точках с целочисленными координатами.

Входные данные

В первой строке входного файла записано единственное целое число n (1 ≤ n ≤ 100) — количество сугробов. Каждая из следующих n строк содержит по два целых числа x_i и y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ 1000) — координаты i-ого сугроба.

Обратите внимание, что направление на север совпадает с направлением оси Oy, таким образом, направление на восток совпадает с направлением оси Ox. Все сугробы расположены в различных точках.

Выходные данные

Выведите наименьшее количество сугробов, которые надо соорудить Байтеку для того, чтобы он мог добраться от любого сугроба до любого другого.

D. Выбор столицы Древляндии

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *1700

Страна Древляндия состоит из n городов, некоторые пары из которых соединены односторонними дорогами. Всего в этой стране n - 1 дорога. Известно, что если не обращать внимание на направление дорог, то из любого города можно добраться до любого другого.

Недавно советом старейшин было решено выбрать столицу Древляндии. Конечно, это должен быть один из городов страны. Предполагается, что совет будет заседать в столице и регулярно перемещаться из столицы в другие города (об обратном перемещении пока никто не думает). По этой причине, если город a будет выбран столицей, то все дороги должны быть ориентированы так, что, двигаясь по ним, можно из города a добраться до любого другого города. Для этого, возможно, некоторые дороги придется переориентировать.

Помогите старейшинам выбрать столицу так, что необходимо переориентировать минимальное количество дорог в стране.

Входные данные

В первой строке входных данных записано целое число n (2 ≤ n ≤ 2·10⁵) — количество городов в Древляндии. Следующие n - 1 строк содержат описания дорог, по одной дороге в строке. Дорога описывается парой целых чисел s_i, t_i (1 ≤ s_i, t_i ≤ n; s_i ≠ t_i) — номерами соединяемых дорогой городов, i-ая дорога ориентирована из города s_i в город t_i. Считайте, что города в Древляндии пронумерованы от 1 до n.

Выходные данные

В первую строку выведите минимальное количество переориентируемых дорог при оптимальном выборе столицы. Во вторую строку выведите все возможные способы выбрать столицу — последовательность номеров городов в порядке возрастания.

C. Системный администратор

графы *1700

Вася устроился на работу системным администратором в корпорацию X. Первым его заданием было соединить n серверов с помощью m двусторонних прямых соединений так, чтобы данные с любого сервера можно было передать на любой другой по проложенной сети. Каждое прямое соединение должно соединять два различных сервера, причем между каждой парой серверов должно быть не более одного прямого соединения. Корпорация Y, конкурент корпорации X, сделала Васе предложение, от которого он не смог отказаться: Вася должен проложить сеть так, чтобы в случае выхода из строя сервера с номером v, передача данных между некоторыми двумя серверами, отличными от v, становилась невозможной, то есть сеть переставала быть связной. Помогите Васе проложить сеть.

Входные данные

В первой строке входных данных через пробел записаны 3 целых числа n, m, v (3 ≤ n ≤ 10⁵, 0 ≤ m ≤ 10⁵, 1 ≤ v ≤ n), n — число серверов, m — число прямых соединений, v — номер сервера, при поломке которого должна ломаться вся сеть.

Выходные данные

Если искомой схемы соединений не существует, выведите -1. Иначе выведите m строк по 2 числа в каждой — описание всех прямых соединений в сети. Каждое прямое соединение описывается двумя числами — номерами двух соединяемых серверов. Серверы нумеруются начиная с 1. Если решений несколько, выведите любое.

E. Схема

графы Деревья поиск в глубину и подобное *2300

Чтобы как можно быстрее узнавать последние новости о своей любимой принципиально новой операционной системе, BolgenOS community Нижнего Тагила решило разработать схему, согласно которой первый член community, узнавший какую-либо новость, звонит кому-то другому, тот звонит третьему и так далее. То есть человеку с номером i был назначен человек с номером f_i, которому он должен звонить, как только сам узнает новость. Со временем участники BolgenOS community поняли, что их схема не всегда срабатывает — некоторые могут так и не узнать новость. Теперь они хотят дополнить ее: в схему добавляется несколько указаний вида (x_i, y_i), означающих, что человек x_i должен позвонить еще и человеку y_i. Какое наименьшее число указаний нужно добавить, чтобы, независимо от того, кто первый узнал новость, в итоге новость узнали все?

Входные данные

В первой строке входных данных записано число n (2 ≤ n ≤ 10⁵) — количество участников BolgenOS community Нижнего Тагила. Во второй строке через пробел записано n целых чисел f_i (1 ≤ f_i ≤ n, i ≠ f_i) — номер человека, которому звонит человек с номером i.

Выходные данные

В первую строку выходных данных выведите одно число — какое наименьшее число указаний нужно добавить. Далее выведите один из возможных вариантов добавления этих указаний в схему, по одному указанию в строке. Если решений несколько, выведите любое.

D. Паук

геометрия графы *3000

На плоскости задан не обязательно выпуклый многоугольник без самопересечений, состоящий из n вершин, пронумерованных от 1 до n. На границе многоугольника сидит паук, который может совершать следующие перемещения:

Переход. Паук из точки p₁ с координатами (x₁, y₁), лежащей на границе многоугольника, перемещается в точку p₂ с координатами (x₂, y₂), также лежащую на границе. При этом он не может покидать границу многоугольника, то есть путь паука от точки p₁ к точке p₂ проходит вдоль границы многоугольника. Направление обхода границы многоугольника при перемещении (по часовой стрелке или против) паук выбирает сам.
Спуск. Паук из точки p₁ с координатами (x₁, y₁) перемещается в точку p₂ с координатами (x₂, y₂), при этом точки p₁ и p₂ должны лежать на одной вертикальной прямой (x₁ = x₂), точка p₁ должна быть не ниже точки p₂ (y₁ ≥ y₂) и отрезок p₁p₂ не должен иметь точек, находящихся строго вне многоугольника (в частности, отрезок может иметь общие точки с границей).

Изначально паук находится в вершине многоугольника с номером s. Найдите длину кратчайшего пути до вершины с номером t, состоящего из переходов и спусков. Расстояние определяется обычной Евклидовой метрикой $\text{[math]}$ .

Входные данные

В первой строке записано целое число n (3 ≤ n ≤ 10⁵) — количество вершин заданного многоугольника. В следующих n строках через пробел записаны по два целых числа — координаты вершин многоугольника. Вершины перечислены в порядке обхода против часовой стрелки. Координаты вершин многоугольника по абсолютной величине не превосходят 10⁴.

В последней строке записаны два целых числа через пробел s и t (1 ≤ s, t ≤ n) — стартовая и конечная вершина искомого кратчайшего пути.

Считайте, что вершины многоугольника пронумерованы в том же порядке, в котором они заданы во входных данных, то есть координаты первой вершины находятся во второй строке входных данных, а n-ой — в (n + 1)-ой строке. Гарантируется, что заданный многоугольник простой, то есть не имеет самопересечений и самокасаний.

Выходные данные

В выходной файл выведите единственное вещественное число — длину кратчайшего пути из вершины s в вершину t. Ответ считается правильным, если его абсолютная или относительная погрешность не превосходит 10^- 6.

Примечание

В первом примере паук делает переход по стороне, соединяющей вершины с номерами 1 и 4.

Во втором примере пауку никуда не нужно идти, поэтому расстояние равно нулю.

В третьем примере пауку выгоднее всего перейти из вершины 3 в точку (2,3), совершить спуск в точку (2,1), а затем сделать переход в вершину 1.

E. Планарный граф

геометрия графы Потоки *3000

Граф называется планарным, если он может быть изображен на плоскости так, что его ребра пересекаются только в вершинах.

Точкой сочленения называется такая вершина неориентированного графа, при удалении которой число компонент связности графа увеличивается.

Мостом называется такое ребро неориентированного графа, при удалении которого число компонент связности графа увеличивается.

Задан связный неориентированный планарный граф, состоящий из n вершин, пронумерованных от 1 до n, уложенный на плоскость. Граф не имеет мостов, точек сочленения, петель и кратных ребер. Также заданы q запросов. Каждый запрос представляет из себя цикл в графе. Ответ на запрос — количество вершин графа, которые (если нарисовать граф и цикл на плоскости) находятся внутри цикла, либо на нем самом. Напишите программу, которая по заданному графу и запросам отвечает на каждый из запросов.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа через пробел n и m (3 ≤ n, m ≤ 10⁵) — количество вершин и ребер графа. В следующих m строках заданы ребра графа: в i-ой строке записаны два целых числа через пробел u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n) — номера вершин, соединяющих i-ое ребро. В следующих n строках заданы положения вершин планарного графа на плоскости: в i-ой строке записана пара целых чисел через пробел x_i и y_i (|x_i|, |y_i| ≤ 10⁹) — координаты i-ой вершины графа на плоскости.

В следующей строке записано целое число q (1 ≤ q ≤ 10⁵) — количество запросов. Затем следуют q строк с описаниями запросов: в i-ой строке записана последовательность целых чисел через пробел k_i, a₁, a₂, ..., a_{k_i} (1 ≤ a_j ≤ n; k_i > 2), где k_i — длина цикла в i-ом запросе, a_j — номера вершин, входящих в цикл. Номера вершин в цикле заданы в порядке обхода по или против часовой стрелки. Заданные циклы простые, то есть проходят не более одного раза по каждой вершине графа. Суммарная длина циклов во всех запросах не превышает 10⁵.

Гарантируется, что заданный граф не содержит мостов, точек сочленения, петель и кратных ребер. Гарантируется, что отрезки-ребра могут иметь общие точки только в вершинах графа.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите единственное целое число — количество вершин внутри цикла, либо на нем самом. Ответы на запросы выводите в том порядке, в котором запросы заданы во входных данных. Числа разделяйте пробельными символами.

D. Змейка

битмаски графы поиск в глубину и подобное реализация *2200

Напомним правила одной очень популярной игры, которая называется «Змейка» (эта игра также известна как «Удав», «Питон» или «Червяк»).

Игровое поле представляет собой прямоугольную таблицу размера n × m. Некоторые клетки поля считаются непроходимыми (стены), все остальные клетки поля проходимы.

Вы управляете змейкой, которая состоит из сегментов. Каждый сегмент занимает ровно одну проходимую клетку поля, причем в любой проходимой клетке находится не более одного сегмента. Все сегменты пронумерованы целыми числами от 1 до k, где k — длина змейки. Сегмент с номером 1 называется головой, а с номером k — хвостом. Для любого i (1 ≤ i < k) клетки поля, в которых находятся сегменты с номерами i и i + 1, являются соседними, то есть имеют общую сторону.

В одной из проходимых клеток поля находится яблоко. Цель змейки — достичь яблока и съесть его (то есть сделать так, чтобы голова оказалась в той же клетке, где и яблоко).

В процессе игры змейка двигается. За один ход змейка может переместить голову в одну из соседних клеток поля. При этом все остальные сегменты подтягиваются за головой. То есть каждый сегмент с номером i (1 < i ≤ k) перемещается в клетку, где только что находился сегмент с номером i - 1. Считайте, что перемещение всех сегментов, включая голову, происходит одновременно (смотри второй тестовый пример). Если после хода голова змейки оказывается в непроходимой клетке или в клетке, в которой находится другой сегмент, то змейка умирает. Поэтому такие ходы мы будем считать недопустимыми.

Ваша задача — определить наименьшее количество допустимых ходов, необходимых для того, чтобы змейка достигла яблока.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа через пробел n и m (1 ≤ n, m ≤ 15) — количество строк и столбцов игрового поля.

В следующих n строках описано игровое поле. В каждой из этих строк записано по m символов. Символ «#» обозначает стену, «.» обозначает проходимую клетку, «@» обозначает яблоко. Сегмент змейки номер один обозначается символом «1», сегмент номер два — символом «2» и так далее.

Описание игрового поля не содержит никаких символов кроме «#», «.», «@» и цифр (кроме цифры 0). Гарантируется, что описанное поле корректно. Гарантируется, что на описанном поле находится ровно одно яблоко и ровно одна змейка, длина которой не меньше 3 и не больше 9.

Выходные данные

В выходной файл выведите единственное целое число — наименьшее количество ходов, необходимое для достижения яблока. Если яблока достичь невозможно, выведите -1.

E. Как два пальца об асфальт

2-sat графы поиск в глубину и подобное снм *1900

В Берляндии n городов, некоторые из которых соединены двунаправленными дорогами. Про каждую дорогу известно, заасфальтирована она, или нет.

Король Берляндии Валера II хочет заасфальтировать все дороги Берляндии, для этого он собрал бригаду рабочих. Каждый день Валера выбирает ровно один из городов и отдает приказ бригаде асфальтировать все дороги, исходящие из этого города. Доблестная бригада за день выполняет приказ короля, после чего работяги отправляются по домам.

К сожалению, не все так гладко, как хотелось бы Валере II. Основная часть бригады — гастарбайтеры. Поэтому, получив приказ заасфальтировать все дороги, исходящие из некоторого города, бригада асфальтировала все не асфальтированные дороги, исходящие из этого города, и, наоборот, снимала асфальт с тех дорог, где он был.

Узнав о таком ходе работ, Валера II был сильно расстроен, но так как менять что-либо было поздно, он попросил вас составить программу, которая бы определяла, можно ли хоть каким-то образом не более чем за n дней заасфальтировать все дороги Берляндии. Помогите королю.

Входные данные

В первой строке через пробел записаны два целых числа n, m $\text{[math]}$ — количество городов и дорог в Берляндии соответственно. В следующих m строках заданы описания дорог Берляндии: в i-й строке записаны три целых числа через пробел a_i, b_i, c_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i; 0 ≤ c_i ≤ 1). Первые два числа (a_i, b_i) — номера городов, которые соединяет i-я дорога, третье число (c_i) равно 1, если изначально дорога асфальтирована, и 0 в противном случае.

Считайте, что города в Берляндии пронумерованы от 1 до n, а дороги от 1 до m. Гарантируется, что между двумя городами Берляндии существует не более одной дороги.

Выходные данные

В первой строке выведите единственное целое число x (0 ≤ x ≤ n) — количество дней, требуемое для ремонта всех дорог. Во второй строке через пробел выведите x целых чисел номера городов, в которые нужно посылать бригады, в том порядке, в котором Валера посылает их ремонтировать дороги. В случае, если решений несколько выведите любое.

Если заасфальтировать все дороги никак не получится, выведите «Impossible» (без кавычек).

B. Планеты

Бинарный поиск графы кратчайшие пути Структуры данных *1700

Гоа'улд Апофис снова захватил команду Джека О'Нила! Сам Джек смог спастись, но к тому времени корабль Апофиса уже совершил прыжок в гиперпространство. Однако Джек знает, на какой планете высадится Апофис. Чтобы спасти друзей, Джеку предстоит несколько раз пройти через звездные врата, чтобы попасть на эту планету.

Всего в галактике находится n планет, пронумерованных числами от 1 до n. Джек находится на планете с номером 1, а Апофис высадится на планете с номером n. Между некоторыми парами планет можно перемещаться через звездные врата (перемещение возможно в обоих направлениях); перемещение занимает положительное и, возможно, для разных пар планет неодинаковое количество секунд. Джек начинает свое путешествие в момент времени 0.

Может оказаться, что на планету, где сейчас находится Джек, через звездные врата прибывают другие путешественники, в этом случае Джек должен подождать ровно 1 секунду, прежде чем сам сможет воспользоваться звездными вратами. То есть, если в момент времени t на планету прибывает другой путешественник, то Джек может пройти через врата только в момент времени t + 1, если только в момент времени t + 1 на ту же планету не прибывают еще путешественники.

Зная информацию о времени перемещения между планетами, а также о моментах времени, когда Джек не сможет пользоваться звездными вратами на конкретных планетах, определите наименьшее время, за которое он сможет попасть на планету с номером n.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа, разделенные пробелом: n (2 ≤ n ≤ 10⁵), количество планет в галактике, и m (0 ≤ m ≤ 10⁵), количество пар планет, между которыми можно перемещаться сквозь звездные врата. Далее следуют m строк, в каждой из них содержится три целых числа: i-ая строка содержит номера планет a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i), между которыми есть связь через звездные врата, и целочисленное время (в секундах) перемещения между этими планетами c_i (1 ≤ c_i ≤ 10⁴). Гарантируется, что между любой парой планет существует не более одного перехода, образованного звездными вратами.

Далее следуют n строк: i-тая строка содержит целое число k_i (0 ≤ k_i ≤ 10⁵), которое обозначает количество моментов времени, в которые на планету с номером i прибывают другие путешественники. Далее через пробел следуют k_i упорядоченных по возрастанию различных целых чисел t_ij (0 ≤ t_ij < 10⁹). Число t_ij обозначает, что в момент времени t_ij (в секундах) на планету i прибывает другой путешественник. Гарантируется, что сумма всех k_i не превышает 10⁵.

Выходные данные

Выведите единственное число — наименьшее количество времени, которое понадобится Джеку, чтобы попасть с планеты 1 на планету n. Если Джек не сможет попасть на планету n ни за какое время, выведите число -1.

Примечание

В первом примере у Джека три выбора, куда переместиться с планеты 1. Если он переместится сразу на планету 4, то потратит 8 секунд. Если он переместится на планету 3, то потратит 3 секунды, но, поскольку в моменты времени 3 и 4 на планету 3 прибывают другие путешественники, то он сможет отправиться на планету 4 только в момент времени 5, затратив в сумме 8 секунд. Если же Джек переместится на планету 2, а потом на планету 4, то потратит в сумме всего лишь 2 + 5 = 7 секунд.

Во втором примере с планеты 1 на планету 3 нельзя попасть, перемещаясь через звездные врата.

C. Треугольники

графы Комбинаторика математика *1900

Алиса и Боб больше не играют ни в какие игры; теперь они дружно изучают свойства различных графов. Алиса придумала следующее занятие: из полного неориентированного графа с n вершинами она выбирает какие-то m ребер и оставляет их себе. Оставшиеся же $\text{[math]}$ ребер достаются Бобу.

Алисе и Бобу очень нравятся «треугольники» в графах, то есть циклы длины 3. Поэтому они хотят узнать ответ на такой вопрос: какое суммарное количество треугольников находится в двух графах, образованных ребрами Алисы и ребрами Боба, соответственно?

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 10⁶, 0 ≤ m ≤ 10⁶), разделенные пробелом — количество вершин в изначальном полном графе, а также количество ребер в графе Алисы, соответственно. Далее следуют m строк: i-тая строка содержит два целых числа a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i), разделенные пробелом — номера двух вершин, соединенных i-тым ребром графа Алисы. Гарантируется, что граф Алисы не содержит кратных ребер и петель. Изначальный полный граф также не содержит кратных ребер и петель.

Считайте, что вершины графа пронумерованы некоторым образом от 1 до n.

Выходные данные

Выведите единственное число — суммарное количество циклов длины 3 в графах Алисы и Боба.

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для чтения или записи 64-битных чисел на С++. Рекомендуется использовать потоки cin, cout или спецификатор %I64d.

Примечание

В первом примере в графе Алисы есть 2 треугольника: (1, 2, 3) и (2, 3, 4). В графе Боба всего 1 треугольник: (1, 4, 5). Поэтому в двух графах всего 3 треугольника.

Во втором примере в графе Алисы всего 1 треугольник: (1, 2, 3). В графе Боба находится 3 треугольника: (1, 4, 5), (2, 4, 5) и (3, 4, 5). В данном случае ответ на задачу — 4.

B. Вечеринка

графы Конструктив математика *1600

На вечеринку пришли N человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно 1 знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, ..., N - 1 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода.

Какое наибольшее число людей могло в итоге остаться?

Входные данные

В первой строке входного файла содержится одно число T — количество тестов (1 ≤ T ≤ 10⁵). В каждой из следующих T строк записано одно целое число N (1 ≤ N ≤ 10⁵).

Выходные данные

Для каждого теста выведите в отдельной строке одно число — наибольшее количество людей, которое могло остаться.

E. Кактус

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное Структуры данных *2100

Связный неориентированный граф называется вершинным кактусом, если каждая вершина этого графа принадлежит не более чем одному простому циклу.

Простым циклом в неориентированном графе назовем последовательность различных вершин v₁, v₂, ..., v_t (t > 2) такую, что для любого i (1 ≤ i < t) существует ребро между вершинами v_i и v_i + 1, а также существует ребро между вершинами v₁ и v_t.

Простым путем в неориентированном графе назовем последовательность не обязательно различных вершин v₁, v₂, ..., v_t (t > 0) такую, что для любого i (1 ≤ i < t) существует ребро между вершинами v_i и v_i + 1, причем каждое ребро встречается не более одного раза. Будем говорить, что простой путь v₁, v₂, ..., v_t начинается в вершине v₁ и заканчивается в вершине v_t.

Вам задан граф, состоящий из n вершин и m ребер, который является вершинным кактусом. Также есть список из k пар интересных вершин x_i, y_i, для которых Вы захотели узнать следующую информацию — сколько различных простых путей начинается в вершине x_i и заканчивается в вершине y_i. Два простых пути будем считать различными, если различаются множества ребер, которые в них входят.

Для каждой пары интересных вершин посчитайте количество различных простых путей между ними. Поскольку это количество может быть достаточно большим, требуется посчитать остаток от деления этого числа на 1000000007 (10⁹ + 7).

Входные данные

В первой строке через пробел записаны два целых числа n, m (2 ≤ n ≤ 10⁵; 1 ≤ m ≤ 10⁵) — количество вершин и ребер в графе соответственно. В следующих m строках задано описание ребер: в i-той строке через пробел записаны два целых числа a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n) — номера вершин, которые соединяет i-тое ребро.

Во следующей строке записано единственное целое число k (1 ≤ k ≤ 10⁵) — количество пар интересных вершин. В следующих k строках задан список пар интересных вершин: в i-ой строке через пробел записаны два целых числа x_i, y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n; x_i ≠ y_i) — номера интересных вершин в i-ой паре.

Гарантируется, что заданный граф является вершинным кактусом. Гарантируется, что в графе отсутствуют петли и кратные ребра. Считайте, что вершины графа некоторым образом пронумерованы от 1 до n.

Выходные данные

Выведите k строк: в i-ой строке выведите единственное число — остаток от деления количества различных простых путей, начинающихся в x_i и заканчивающихся в y_i, на 1000000007 (10⁹ + 7).

A. Циклы

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы Конструктив *1600

Джон Доу задумался о графах. После раздумья он понял, что хочет нарисовать неориентированный граф, в котором будет ровно k циклов длины 3.

Цикл длины 3 — это неупорядоченная тройка различных вершин графа a, b и c, таких, что каждая пара из них соединена ребром графа.

Джон долго рисовал, но у него ничего не получилось. Помогите ему найти такой граф. Обратите внимание, чтобы Джон смог без проблем за день нарисовать найденный граф, количество вершин в найденном графе не должно превышать 100.

Входные данные

В единственной строке записано целое число k (1 ≤ k ≤ 10⁵) — количество циклов длины 3 в искомом графе.

Выходные данные

В первой строке выведите целое число n (3 ≤ n ≤ 100) — количество вершин в найденном графе. В следующих n строках выведите по n символов «0» и «1»: i-тый символ j-той из этих строк должен быть равен «0», если между вершинами i и j нет ребра и «1» в противном случае. Обратите внимание, так как искомый граф неориентированный, i-тый символ j-той строки должен быть равен j-тому символу i-той строки. Граф не должен содержать петель, поэтому i-тый символ i-той строки должен быть равен «0» для всех i.

C. Графы Доу

графы дп Конструктив кратчайшие пути разделяй и властвуй *2600

Джон Доу решил, что в его честь должен быть назван какой-нибудь математический объект и изобрел графы Доу. Графы Доу — это семейство неориентированных графов, каждый из которых характеризуются единственным целым неотрицательным числом — порядком.

Граф Доу порядка k обозначим за D(k), за |D(k)| обозначим количество вершин в графе D(k). Тогда определим графы Доу следующим образом:

D(0) состоит из единственной вершины, которая имеет номер 1.
D(1) состоит из двух вершин с номерами 1 и 2, соединенных ребром.
D(n) для n ≥ 2 получается из графов D(n - 1) и D(n - 2). D(n - 1) и D(n - 2) объединяются в один граф, при этом номера всех вершин графа D(n - 2) увеличиваются на |D(n - 1)| (например, вершина номер 1 графа D(n - 2) становится вершиной номер 1 + |D(n - 1)|). После этого в граф добавляются два ребра: первое — между вершинами с номерами |D(n - 1)| и |D(n - 1)| + 1, второе — между вершинами с номерами |D(n - 1)| + 1 и 1. Обратите внимание, что из определения графа D(n) следует, что D(n) является связным графом, вершины которого пронумерованы от 1 до |D(n)|.

$\text{[math]}$ На рисунке изображены, слева-направо, графы Доу порядка 1, 2, 3 и 4.

Графы Доу, по мнению Джона, хороши прежде всего тем, что для них существует полиномиальный алгоритм поиска Гамильтонова пути. Однако от Вас требуется отвечать на запросы о нахождении кратчайшего по длине пути между вершинами a_i и b_i в графе D(n).

Путь между парой вершин u и v в графе — это последовательность вершин x₁, x₂, ..., x_k (k > 1) такая, что x₁ = u, x_k = v, и для любого i (i < k) вершины x_i и x_i + 1 связаны ребром графа. Длиной пути x₁, x₂, ..., x_k называется число (k - 1).

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа t и n (1 ≤ t ≤ 10⁵; 1 ≤ n ≤ 10³) — количество запросов и порядок рассматриваемого графа. В i-той из следующих t строк записано два целых числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ 10¹⁶, a_i ≠ b_i) — номера двух вершин в i-м запросе. Гарантируется, что a_i, b_i ≤ |D(n)|.

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для чтения или записи 64-х битовых чисел на С++. Рекомендуется использовать потоки cin, cout или спецификатор %I64d.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите в отдельной строке единственное целое число — длину кратчайшего пути между вершинами a_i и b_i. Ответы на запросы выводите в том порядке, в котором запросы заданы во входных данных.

D. Игра с Графом

графы *3000

В информатике есть метод под названием «Разделяй и властвуй по вершине», используемый для решения тяжелых задач про пути на дереве. Опишем принцип работы этого метода функцией:

solve(t) (t — дерево):

Выберите вершину x (обычно выбирается взвешенный центр) в дереве t. Назовем этот шаг алгоритма «строка A».
Проделайте нужную работу с путями, проходящими через вершину x.
Затем удалите x из дерева t.
После этого t превращается в некоторое количество поддеревьев.
Примените solve к каждому поддереву.

Этот процесс завершается, когда у t есть только одна вершина, потому что после ее удаления не остается ничего.

WJMZBMR ошибочно подумал, что можно выбрать любую вершину в «строке A». То есть, он выбирает вершину в «строке A» наугад. Ситуацию осложняет то, что по мнению юноши, у «дерева» должно быть одинаковое количество ребер и вершин! Таким образом, функция меняется следующим образом.

Определим переменную totalCost. Изначально значение totalCost равняется 0. Итак, solve(t) (теперь t — граф) выглядит так:

totalCost = totalCost + (size of t). Операция «=» означает присвоение. (Size of t) означает количество вершин в t.
Выберите наугад (равновероятно среди всех вершин t) вершину x в графе t.
Затем удалите x из графа t.
После этого t превратится в некоторое количество связных компонент.
Примените solve к каждой компоненте.

Юноша применит solve к связному графу с n вершинами и n ребрами. Он думает, что функция будет работать быстро, но она очень медленная. Теперь юноша хочет узнать матожидание значения totalCost после выполнения этой процедуры. Можете ли Вы помочь ему?

Входные данные

В первой строке записано целое число n (3 ≤ n ≤ 3000) — количество вершин и ребер в графе. Каждая из следующих n строк содержит два целых числа a_i, b_i (0 ≤ a_i, b_i ≤ n - 1), записанных через пробел — они указывают на то, что между вершинами a_i и b_i есть ребро.

Считайте, что вершины графа пронумерованы от 0 до (n - 1). Гарантируется, что граф не содержит петель и кратных ребер. Гарантируется, что граф связный.

Выходные данные

Выведите единственное вещественное число — матожидание totalCost. Ваш ответ будет признан корректным, если его абсолютная или относительная погрешность не будет превышать 10^- 6.

Примечание

Рассмотрим первый пример. Что бы мы ни выбрали в первую очередь, totalCost всегда будет равна 3 + 2 + 1 = 6.

D. Д-Декомпозиция

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2000

Вам задано неориентированное дерево s, состоящее из n вершин. Необходимо построить для него оптимальную Д-декомпозицию. Определим Д-декомпозицию следующим образом.

Обозначим за v множество всех вершин s. Рассмотрим неориентированное дерево t, вершинами которого являются некоторые непустые подмножества v, которые обозначим через x_i $\text{[math]}$ . Дерево t является Д-декомпозицией s, если выполняются следующие условия:

объединение всех x_i равно v;
для любого ребра (a, b) дерева s существует вершина дерева t, содержащая как a, так и b;
если вершины дерева t x_i и x_j, содержат вершину a дерева s, то все вершины дерева t, лежащие на пути из x_i в x_j также содержат вершину a, то есть это условие эквивалентно тому, что все вершины дерева t, которые содержат вершину a дерева s, образуют связное поддерево дерева t.

Очевидно, что существует много различных деревьев t, являющихся Д-декомпозициями дерева s. Например, Д-декомпозицией является дерево, состоящее из одной вершины, представляющей собой все множество v.

Назовем мощностью вершины x_i количество вершин дерева s, которые в ней содержатся. Выберем в дереве t вершину с максимальной мощностью. Пусть ее мощность равна w. Тогда весом Д-декомпозиции t назовем величину w. Оптимальной назовем Д-декомпозицию, у которой вес минимален.

Вам необходимо найти оптимальную Д-декомпозицию, заданного дерева s имеющую наименьшее количество вершин.

Входные данные

В первой строке задано единственное целое число n (2 ≤ n ≤ 10⁵), обозначающее количество вершин в дереве s.

В каждой из следующих n - 1 строк через пробел заданы два целых числа a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i), обозначающие, что вершины дерева s с номерами a_i и b_i соединены ребром.

Считайте, что вершины дерева s пронумерованы от 1 до n. Гарантируется, что s является деревом.

Выходные данные

В первой строке выведите единственное целое число m, обозначающее количество вершин в искомой Д-декомпозиции.

Далее выведите m строк, содержащих описания вершин Д-декомпозиции. В i-той (1 ≤ i ≤ m) из них выведите описание вершины x_i Д-декомпозиции. Описание каждой из вершин x_i должно начинаться с целого числа k_i, обозначающего количество вершин исходного дерева s, которые содержатся в вершине x_i. Далее через пробел нужно вывести k_i различных целых чисел — номера вершин из s, содержащихся в x_i, в любом порядке.

Далее выведите m - 1 строк, содержащих по два целых числа p_i, q_i (1 ≤ p_i, q_i ≤ m; p_i ≠ q_i). Пара чисел p_i, q_i обозначает наличие ребра между вершинами x_{p_i} и x_{q_i} Д-декомпозиции.

Выведенная Д-декомпозиция должна быть оптимальной Д-декомпозицией для заданного дерева s и содержать минимально возможное количество вершин среди оптимальных. Если существует несколько оптимальных Д-декомпозиций с минимальным количеством вершин, выведите любую из них.

E. Собираем строку

графы Потоки *2000

Вам очень нужно собрать некоторую строку t. Для этого Вы заранее приготовили n некоторых строк s₁, s₂, ..., s_n. Чтобы собрать строку t, Вам разрешатся выполнить ровно |t| (|t| — длина строки t) операций с этими строками. Каждая операция имеет следующий вид:

выбрать любую непустую строку из строк s₁, s₂, ..., s_n;
выбрать произвольный символ выбранной строки и записать его на листок бумаги;
удалить выбранный символ из выбранной строки.

Заметьте, что после применения описанной операции общее количество символов в строках s₁, s₂, ..., s_n уменьшится на 1. Считается, что вы собрали строку t, если символы, записанные на листок бумаги, в порядке применения операций образуют строку t.

Однако есть и другие ограничения. Для каждой строки s_i Вам известно число a_i — максимальное количество символов, которое разрешается удалить из строки s_i. Также известно, что каждая операция, в результате которой из строки s_i удаляется символ, имеет цену i рублей. То есть, операция над строкой s₁ самая дешевая (она стоит 1 рубль), а операция над строкой s_n — самая дорогая (она стоит n рублей).

Вам нужно посчитать, какое наименьшее количество денег (в рублях) потребуется, чтобы собрать строку t по описанным правилам. Считайте, что стоимость сборки строки t — это сумма цен использованных Вами операций.

Входные данные

В первой строке входных данных записана строка t — строка, которую Вам нужно собрать.

Во второй строке записано единственное целое число n (1 ≤ n ≤ 100) — количество строк, к которым разрешается применять описанную операцию. В каждой из следующих n строк записаны строка и целое число. В i-ой строке через пробел записаны строка s_i и целое число a_i (0 ≤ a_i ≤ 100). Число a_i обозначает максимальное количество символов, которое можно удалить из строки s_i.

Все строки во входных данных состоят только из строчных латинских букв. Все строки непустые. Длины всех строк не превосходят 100 символов.

Выходные данные

Выведите единственное число — наименьшее количество денег (в рублях), которое потребуется, чтобы собрать строку t. Если решения не существует, выведите -1.

Примечание

Пояснения к примерам:

В первом примере из первой строки нужно взять символы «b» и «z» по цене 1 рубль, из второй строки символы «a», «e» и «b» по цене 2 рубля. Стоимость строки t в таком случае 2·1 + 3·2 = 8.

Во втором примере из первой строки нужно взять два символа «a» по цене 1 рубль, из второй строки символ «c» по цене 2 рубля, из третьей строки два символа «a» по цене 3 рубля, из четвертой строки два символа «b» по цене 4 рубля. Стоимость строки t в таком случае 2·1 + 1·2 + 2·3 + 2·4 = 18.

В третьем примере решения не существует, потому что ни из одной строки невозможно получить символ «y».

E. Встретить Ее

графы дп кратчайшие пути *2600

Урпал живет в большом городе. Он назначил свидание своей любимой этим вечером.

Всего в городе n перекрестков, пронумерованных от 1 до n. Перекрестки соединены m направленными улицами, все улицы имеют одинаковую длину. Урпал живет на перекрестке a, а свидание назначено в ресторане на перекрестке b. Он хочет добраться до перекрестка b на общественном транспорте. Всего есть k автобусных компаний. В начале каждой секунды автобус из i-ой компании выбирает случайный наикратчайший путь между перекрестком s_i и перекрестком t_i и проезжает по этому пути. Возможна такая ситуация, когда от перекрестка s_i до перекрестка t_i не существует никакого пути. В этом случае ни один автобус не отправится из s_i до t_i. Если автобус проезжает перекресток, на котором стоит Урпал, то юноша может сесть на этот автобус. Также он может сойти с автобуса на любом перекрестке на пути.

Урпал хочет знать, возможно ли добраться до свидания на общественном транспорте за конечное время (время его поездки — это сумма длин дорог, которые он проехал) и на какое наименьшее количество автобусов ему придется сесть в наихудшем случае.

В любой момент времени юноша знает лишь только свое местоположение и место, куда ему надо ехать. Когда он садится в автобус, он знает только номер компании этого автобусного маршрута. Конечно же, Урпал хорошо знает карту города и маршруты (пары s_i, t_i) для каждой компании.

Обратите внимание, что Урпалу неизвестна скорость автобусов.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит целые числа n, m, a, b (2 ≤ n ≤ 100; 0 ≤ m ≤ n·(n - 1); 1 ≤ a, b ≤ n; a ≠ b).

Следующие m строк содержат по два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n; u_i ≠ v_i), которые описывают направленную дорогу из перекрестка u_i до перекрестка v_i. Все дороги во входных данных различны.

В следующей строке записано целое число k (0 ≤ k ≤ 100). Затем идут k строк, содержащих целые числа s_i и t_i (1 ≤ s_i, t_i ≤ n; s_i ≠ t_i), означающие, что есть автобусный путь от s_i до t_i. Обратите внимание, что между перекрестками s_i и t_i может не существовать пути, данная ситуация описана в условии задачи.

Выходные данные

В единственной строке выходных данных выведите наименьшее количество автобусов, на которые Урпал должен сесть по пути на свидание в наихудшем случае. Если в нахудшем случае пункт назначения достичь невозможно, выведите -1.

A. Кольцевая

графы *1400

Сейчас во всем мире в целях повышения безопасности вождения и уменьшения пробок вводится одностороннее движение. Правительство Берляндии решило не отставать от новой тенденции. Раньше в Берляндии все n городов были соединены n двусторонними дорогами в кольцо, т. е. каждый город был соединен напрямую ровно с двумя другими, и из каждого города можно было добраться до любого другого. Правительство Берляндии ввело одностороннее движение на всех n дорогах, но вскоре выяснилось, что из некоторых городов нельзя доехать до некоторых других. Сейчас для каждой дороги известно, в какую сторону направлено движение по ней, и стоимость перенаправления движения. Какую наименьшую сумму денег придется потратить правительству на переориентирование дорог так, чтобы из каждого города можно было добраться до любого другого?

Входные данные

В первой строке записано целое число n (3 ≤ n ≤ 100) — количество городов (и дорог) в Берляндии. Далее в n строках находятся описания дорог. Каждая дорога описывается тремя целыми числами a_i, b_i, c_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 1 ≤ c_i ≤ 100) — дорога направлена из города a_i в город b_i, перенаправление движения стоит c_i.

Выходные данные

Выведите одно целое число — какую наименьшую сумму денег придется потратить правительству на перенаправление дорог так, чтобы из каждого города можно было добраться до любого другого по этим дорогам.

E. Ремонт дорог

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2800

В стране Берляндии n городов. Они пронумерованы целыми числами от 1 до n. Город номер 1 является столицей государства. Между некоторыми парами городов проложены дороги с односторонним движением, однако не все из них находятся в хорошем состоянии. Про каждую дорогу известно, нуждается ли она в ремонте. Если дорога нуждается в ремонте, то проезд по ней запрещен. Однако правительство Берляндии может отремонтировать дорогу и возобновить проезд по ней.

Сейчас над Берляндией нависла угроза войны с соседним государством, поэтому в столице было принято решение отправить в каждый город по одному военному отряду. Отряды могут передвигаться только по существующим дорогам, потому что на создание новых нет ни времени, ни средств. Однако для того, чтобы добраться до некоторых городов, возможно, придется отремонтировать какие-то дороги.

Конечно же, чтобы победить противника нужно много сил, поэтому силы надо экономить. С этой целью правительство Берляндии хочет отремонтировать минимальное число дорог, чтобы после этого военные отряды смогли добраться из столицы в любой другой город по отремонтированным дорогам или дорогам, уже находящимся в хорошем состоянии. Вам необходимо помочь правительству Берляндии и найти, какие дороги следует отремонтировать.

Входные данные

В первой строке через пробел заданы два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 10⁵) — количество городов и количество дорог в Берляндии.

В следующих m строках через пробел заданы три целых числа a_i, b_i, c_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 0 ≤ c_i ≤ 1), обозначающие дорогу из города a_i в город b_i. Если c_i равно 0, то данная дорога находится в хорошем состоянии, если c_i равно 1, то она нуждается в ремонте.

Гарантируется, что между городами существует не более одной дороги в каждом из направлений.

Выходные данные

Если даже после ремонта всех дорог из столицы нельзя добраться до какого-нибудь из городов, то выведите -1. В противном случае в первую строку выведите минимальное количество дорог, которые нужно отремонтировать, а во вторую строку выведите номера этих дорог через одиночные пробелы.

Дороги нумеруются, начиная с 1, в том порядке, в котором они заданы во входном файле.

Если существует несколько наборов, состоящих из минимального числа дорог, после ремонта которых все города станут достижимы из столицы, выведите любой из них.

Если в любой из городов можно добраться по дорогам, уже находящимся в хорошем состоянии, выведите 0 в единственную строку выходного файла.

E. Flights

графы кратчайшие пути *2600

LiLand is a country, consisting of n cities. The cities are numbered from 1 to n. The country is well known because it has a very strange transportation system. There are many one-way flights that make it possible to travel between the cities, but the flights are arranged in a way that once you leave a city you will never be able to return to that city again.

Previously each flight took exactly one hour, but recently Lily has become the new manager of transportation system and she wants to change the duration of some flights. Specifically, she wants to change the duration of some flights to exactly 2 hours in such a way that all trips from city 1 to city n take the same time regardless of their path.

Your task is to help Lily to change the duration of flights.

Input

First line of the input contains two integer numbers n and m (2 ≤ n ≤ 1000; 1 ≤ m ≤ 5000) specifying the number of cities and the number of flights.

Each of the next m lines contains two integers a_i and b_i (1 ≤ a_i < b_i ≤ n) specifying a one-directional flight from city a_i to city b_i. It is guaranteed that there exists a way to travel from city number 1 to city number n using the given flights. It is guaranteed that there is no sequence of flights that forms a cyclical path and no two flights are between the same pair of cities.

Output

If it is impossible for Lily to do her task, print "No" (without quotes) on the only line of the output.

Otherwise print "Yes" (without quotes) on the first line of output, then print an integer ans_i (1 ≤ ans_i ≤ 2) to each of the next m lines being the duration of flights in new transportation system. You should print these numbers in the order that flights are given in the input.

If there are multiple solutions for the input, output any of them.

C. Путь короля

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное хэши *1800

Черный король находится на шахматном поле, состоящем из 10⁹ строк и 10⁹ столбцов. Будем считать, что строки этого шахматного поля пронумерованы целыми числами от 1 до 10⁹ сверху вниз. Аналогично, столбцы пронумерованы целыми числами от 1 до 10⁹ слева направо. Клетку поля, находящуюся в i-ой строке и j-ом столбце, будем обозначать (i, j).

Известно, что некоторые клетки заданного шахматного поля являются разрешенными. Все разрешенные клетки шахматного поля заданы в виде n отрезков. Каждый отрезок описывается тремя целыми числами r_i, a_i, b_i (a_i ≤ b_i), обозначающими, что в r_i-ой строке клетки с номерами столбцов с a_i по b_i включительно являются разрешенными.

Ваша задача — найти минимальное количество ходов, за которое шахматный король сможет добраться из клетки поля (x₀, y₀) в клетку поля (x₁, y₁), двигаясь только по разрешенным клеткам поля. Другими словами, во время своего пути шахматный король может находиться только лишь на разрешенных клетках поля.

Напомним, что шахматный король за один ход может переместиться в любую из (в общем случае восьми) соседних клеток. Две клетки шахматного поля считаются соседними, если они имеют хотя бы одну общую точку.

Входные данные

В первой строке через пробел записаны четыре целых числа x₀, y₀, x₁, y₁ (1 ≤ x₀, y₀, x₁, y₁ ≤ 10⁹), обозначающие начальную и конечную позиции короля.

Во второй строке записано целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵), обозначающее количество отрезков разрешенных клеток. В следующих n строках заданы описания этих отрезков. В i-той из этих строк через пробел записаны три целых числа r_i, a_i, b_i (1 ≤ r_i, a_i, b_i ≤ 10⁹, a_i ≤ b_i), обозначающие, что в r_i-ой строке клетки с номерами столбцов с a_i по b_i включительно, являются разрешенными. Обратите внимание, что отрезки разрешенных клеток могут произвольным образом пересекаться и вкладываться друг в друга.

Гарантируется, что начальная позиция и конечная позиция короля являются разрешенными клетками. Гарантируется, что начальная позиция не совпадает с конечной позицией короля. Гарантируется, что суммарная длина всех разрешенных отрезков не превосходит 10⁵.

Выходные данные

Если пути между начальной и конечной позициями, состоящего из разрешенных клеток, не существует, выведите -1.

В противном случае выведите единственное целое число — минимальное количество ходов, за которое король сможет добраться из начальной позиции в конечную.

D. Спор

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2100

У Валеры имеется n счетчиков, пронумерованных от 1 до n. Некоторые из них соединены проводами, также на каждом из счетчиков имеется специальная кнопка.

Изначально, во всех счетчиках записано число 0. При нажатии кнопки, расположенной на некотором счетчике, записанное в нем значение увеличивается на единицу. Также значения, записанные во всех счетчиках, непосредственно соединенных с ним проводом, увеличиваются на единицу.

Валера и Игнат затеяли небольшой спор, заключающийся в следующем. Игнат загадал последовательность из n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n. Валере нужно выбрать некоторый набор различных счетчиков и нажать кнопки на каждом из них ровно по одному разу (на остальных счетчиках кнопки останутся не нажатыми). Если после этого найдется счетчик с номером i, в котором записано значение равное a_i, то Валера проигрывает спор, иначе он побеждает в споре.

Помогите Валере определить, на каких счетчиках нужно нажать кнопки, чтобы выиграть спор.

Входные данные

В первой строке через пробел записаны два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 10⁵), обозначающие количество счетчиков у Валеры и количество пар счетчиков, соединенных проводами, соответственно.

В каждой из следующих m строк через пробел записаны два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i), которые обозначают, что счетчики с номерами u_i и v_i соединены проводом. Гарантируется, что каждая пара соединенных счетчиков встречается во входных данных ровно один раз.

В последней строке через пробел записаны n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (0 ≤ a_i ≤ 10⁵), где a_i — значение, которое загадал Игнат для i-го счетчика.

Выходные данные

Если Валера не сможет победить в споре, выведите в первой строке -1.

В противном случае в первой строке выведите целое число k (0 ≤ k ≤ n). Во второй строке выведите через пробел k различных целых чисел — номера счетчиков, на которых Валере нужно нажать кнопки, чтобы выиграть спор, в любом порядке.

Если существует несколько ответов, выведите любой.

B. Гидра

графы сортировки *2000

Однажды Петя на день рождения получил в подарок от мамы книжку «Легенды и Мифы Теории Графов». Оттуда он узнал о таком графе как гидра.

Неориентированный граф называется гидрой, если он имеет структуру, указанную на рисунке ниже. А именно: имеются две соединенные ребром вершины u и v, которые соответственно называются грудью и животом гидры. Грудь соединена с h вершинами, которые называются головами гидры. Живот соединен с t вершинами, которые называются хвостами гидры. Заметим, что гидра является деревом, состоящим из h + t + 2 вершин.

$\text{[math]}$

Еще у Пети есть неориентированный граф G, состоящий из n вершин и m ребер, который он получил в подарок от мамы на прошлый день рождения. Граф G не содержит петель и кратных ребер.

Теперь Петя хочет найти в графе G какую-нибудь гидру. Или же установить, что там гидры не содержится.

Входные данные

В первой строке записаны четыре целых числа n, m, h, t (1 ≤ n, m ≤ 10⁵, 1 ≤ h, t ≤ 100) — количество вершин и ребер графа G, а так же количество голов и хвостов у гидры.

В следующих m строках дано описание ребер графа G. В i-ой из этих строк записаны два целых числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a ≠ b) — номера вершин, которые соединяет i-ое ребро.

Гарантируется, что граф G не содержит петель и кратных ребер. Считайте, что вершины графа G пронумерованы целыми числами от 1 до n.

Выходные данные

Если в графе G гидры нет, то выведите «NO» (без кавычек).

Иначе в первой строке выведите «YES» (без кавычек). Во второй строке выведите два целых числа — номера вершин u и v. В третьей строке выведите h чисел — номера вершин, которые являются головами. В четверной строке выведите t чисел — номера вершин, которые являются хвостами. Все выведенные вершины должны быть различны.

Если возможных ответов несколько — разрешается вывести любой.

Примечание

На картинке ниже изображен первый тестовый пример:

$\text{[math]}$

G. Возможные друзья

графы Перебор *2200

Поликарп работает программистом в одной развивающейся социальной сети. Начальство поставило перед ним задачу разработать механизм определения возможных друзей. Поликарп долго думал над поставленной задачей и пришел к следующему выводу.

Пусть заданы все отношения дружбы в социальной сети в виде m пар имен пользователей a_i, b_i (a_i ≠ b_i). Каждая пара a_i, b_i обозначает, что пользователи a_i и b_i являются друзьями. Отношение дружбы симметричное, то есть если a_i друг b_i, то и b_i друг a_i. Пользователь y является возможным другом пользователя x, если выполняются условия:

x ≠ y;
x и y не являются друзьями;
среди всех пользователей социальной сети, которые удовлетворяют первым двум условиям, пользователь y имеет наибольшее количество общих друзей с пользователем x. Пользователь z является общим другом пользователя x и пользователя y (z ≠ x, z ≠ y), если x и z друзья, а также y и z друзья.

Ваша задача, помочь Поликарпу реализовать механизм определения возможных друзей.

Входные данные

В первой строке записано единственное целое число m (1 ≤ m ≤ 5000) — количество пар друзей в социальной сети. В следующих m строках заданы пары имен пользователей-друзей. В i-той строке через пробел записаны два имени a_i и b_i (a_i ≠ b_i). Имена пользователей непустые и состоят из не более 20 заглавных и строчных латинских букв.

Гарантируется, что каждая пара друзей встречается во входных данных только один раз, например, во входных данных одновременно не могут встречаться пары x, y и y, x. Гарантируется, что различные пользователи имеют различные имена. Гарантируется, что каждый пользователь социальной сети имеет хотя бы одного друга. Последнее гарантирует, что имя каждого пользователя социальной сети встречается во входных данных хотя бы один раз.

Выходные данные

В первой строке выведите единственное целое число n — количество пользователей социальной сети. В следующих n строках выведите для каждого пользователя, количество возможных друзей. В i-той строке выведите имя пользователя c_i и количество его возможных друзей d_i через пробел.

Информацию про пользователей можно выводить в любом порядке.

Примечание

В первом тестовом примере рассмотрим пользователя David. Пользователи Mike и Tank имеют одного общего друга (Gerald) с David. Пользователь Kate не имеет ни одного общего друга с David. Поэтому возможные друзья David: пользователи Mike и Tank.

D. Цветной граф

графы Перебор поиск в глубину и подобное *1600

Вам задан неориентированный граф, состоящий из n вершин и m ребер. Будем считать, что вершины графа пронумерованы целыми числами от 1 до n. Каждая вершина графа имеет цвет. Цветом i-ой вершины назовем целое число c_i.

Рассмотрим все вершины графа, которые покрашены в некоторый цвет k. Обозначим множество таких вершин через V(k). Определим величину разноцветность соседей для цвета k как мощность множества Q(k) = {c_u : c_u ≠ k и существует вершина v принадлежащая множеству V(k) такая, что вершины v и u соединены ребром графа}.

От Вас требуется найти такой цвет k, для которого мощность множества Q(k) максимальна. Другими словами, вы хотите найти такой цвет, у которого соседи наиболее разноцветны. Обратите внимание, что вы хотите найти такой цвет k, что в графе существует хотя бы одна вершина с таким цветом.

Входные данные

В первой строке через пробел заданы два целых числа n, m (1 ≤ n, m ≤ 10⁵) — количество вершин и ребер графа соответственно. Во второй строке задана последовательность целых чисел c₁, c₂, ..., c_n (1 ≤ c_i ≤ 10⁵) — цвета вершин графа. Числа в строке разделяются пробелами.

В следующих m строках содержится описание ребер: в i-ой строке заданы два целых числа через пробел a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i) — номера вершин, которые соединяет i-ое ребро.

Гарантируется, что в заданном графе нет петель и кратных ребер.

Выходные данные

Выведите номер цвета, множество цветов соседей которого имеет максимальную мощность. Если оптимальных цветов несколько, выведите цвет с минимальным номером. Обратите внимание, что вы хотите найти такой цвет, что в графе существует хотя бы одна вершина с таким цветом.

C. Дороги в Берляндии

графы кратчайшие пути *1900

В Берляндии n городов, пронумерованных от 1 до n, некоторые из которых соединены двусторонними дорогами. Все дороги имеют длину — некоторое целое число от 1 до 1000. Известно, что из любого города можно доехать до любого другого по существующим дорогам. Так же для каждой пары городов известно кратчайшее расстояние между ними. Правительство Берляндии планирует построить k новых дорог. Для каждой запланированной дороги известна ее длина, и какие города она будет соединять. Чтобы контролировать правильность постройки новых дорог, после открытия очередной дороги правительство Берляндии хочет проверять сумму кратчайших расстояний между всеми парами городов. Помогите им — по заданной матрице кратчайших расстояний по старым дорогам и планам всех новых дорог, выясните, как будет меняться сумма кратчайших расстояний между всеми парами городов после постройки каждой дороги.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (2 ≤ n ≤ 300) — число городов в Берляндии. Далее в n строках записано по n целых чисел — матрица кратчайших расстояний. j-ое число в i-ой строке — d_i, j, кратчайшее расстояние между городами i и j. Гарантируется, что d_i, i = 0, d_i, j = d_j, i, и заданная матрица является матрицей кратчайших расстояний для некоторого набора двусторонних дорог с целочисленной длиной от 1 до 1000, таким, что по этим дорогам можно доехать из любого города до любого другого.

На следующей строке записано целое число k (1 ≤ k ≤ 300) — число запланированных дорог. В следующих k строках записаны описания запланированных дорог. Каждая дорога описывается тремя целыми числами a_i, b_i, c_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 1 ≤ c_i ≤ 1000) — a_i и b_i — пара городов, которые соединяет дорога, c_i — длина дороги. Между парой городов может быть несколько дорог, но никакая дорога не соединяет город сам с собой.

Выходные данные

Выведите k целых чисел q_i (1 ≤ i ≤ k). q_i должно равняться сумме кратчайших расстояний между всеми парами городов после постройки дорог с номерами от 1 до i. Дороги нумеруются начиная с 1 в том порядке, в котором они даны во входных данных. Каждая пара городов учитывается в сумме один раз, т. е. имеются в виду неупорядоченные пары.

D. Дороги не только в Берляндии

графы Деревья снм *1900

Правительство Берляндии решило улучшать отношения с соседними странами. В первую очередь было решено построить новые дороги так чтобы из всех городов Берляндии и соседних стран можно было добраться до всех остальных. Всего в Берляндии и соседних странах n городов и ровно n - 1 двусторонних дорог. Из-за недавнего финансового кризиса правительство Берляндии сильно стеснено в средствах, поэтому чтобы построить новую дорогу оно вынуждено закрывать какую-то из существующих. Каждый день можно закрыть одну существующую дорогу и сразу же построить новую. Ваша задача — определить, сколько дней потребуется для перестройки дороги так, чтобы из любого города можно было добраться до любого другого, а так же составить план закрытия старых и постройки новых дорог.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (2 ≤ n ≤ 1000) — число городов в Берляндии и соседних странах. Далее в n - 1 строках записаны описания дорог. Каждая дорога описывается двумя целыми числами a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i) — пара городов, которые дорога соединяет. Между каждой парой городов не может быть больше одной дороги, никакая дорога не соединяет город сам с собой.

Выходные данные

Выведите ответ на задачу, число t — какое наименьшее число дней потребуется, чтобы перестроить дороги так чтобы из любого города можно было добраться до любого другого. Далее выведите t строк — план закрытия старых и постройки новых дорог. Каждая строка должна описывать действия в очередной день в формате i j u v — означает, что нужно закрыть дорогу между городами i и j и построить дорогу между городами u и v. Города нумеруются начиная с 1. Если решений несколько, выведите любое.

C. Текстовый редактор

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное Структуры данных *1600

Нехотя, тыкая пальцами в кнопки на клавиатуре, Вася выдавливает из себя скудные мысли по поводу того, о чем же думал Андрей Болконский, глядя на небо Аустерлица... Ну как объяснить учительнице по литературе, что Вася не собирается становиться писателем, а хочет стать программистом. Поэтому программу он напишет с удовольствием, а вот сочинение дается ему с трудом.

Пока Вася думал о том, как выудить из себя очередное предложение, ему в голову пришел неожиданный вопрос: а какое наименьшее количество нажатий на кнопки ему нужно сделать, чтобы переместить курсор из одной позиции в другую?

Опишем его вопрос более формально: для набора текста Вася использует текстовый редактор. Он уже написал n строчек, в i-й строке написано a_i символов (включая пробелы). Если в некоторой строке записано k символов, то всего в этой строке существует (k + 1) позиция, в которой может находиться курсор: перед каким-то символом или после всех символов (в конце строки). Таким образом, положение курсора задается парой чисел (r, c), где r — номер строки, а c — позиция курсора в ней (позиции нумеруются с единицы от начала строки).

Для перемещения курсора Вася не использует мышь. Он использует клавиши «Вверх», «Вниз», «Вправо» и «Влево». При нажатии на каждую из этих клавиш курсор перемещается следующим образом. Пусть до нажатия соответствующей клавиши курсор находился в позиции (r, c), тогда после нажатия клавиши:

«Вверх»: если курсор находился в первой строке (r = 1), то он не перемещается. Иначе он перемещается на предыдущую строку (с номером r - 1) в ту же позицию. При этом, если предыдущая строка короткая, то есть курсор не может находиться в ней в позиции c, то курсор перемещается на последнюю позицию строки с номером r - 1;
«Вниз»: если курсор находился в последней строке (r = n), то он не перемещается. Иначе он перемещается на следующую строку (с номером r + 1) в ту же позицию. При этом, если следующая строка короткая, то есть курсор не может находиться в ней в позиции c, то курсор перемещается на последнюю позицию строки с номером r + 1;
«Вправо»: если курсор может переместиться вправо в текущей строке (c < a_r + 1), то он перемещается вправо (в позицию c + 1). Иначе он находится в конце строки и, при нажатии клавиши «Вправо», никуда не перемещается;
«Влево»: если курсор может переместиться влево в текущей строке (c > 1), то он перемещается влево (в позицию c - 1). Иначе он находится в начале строки и, при нажатии клавиши «Влево», никуда не перемещается.

Вам задано количество строк в текстовом файле и количество символов, записанное в каждой строке этого файла. Найдите наименьшее количество нажатий описанных выше клавиш, требуемое для того, чтобы переместить курсор из положения (r₁, c₁) в положение (r₂, c₂).

Входные данные

В первой строке входных данных записано целое число n (1 ≤ n ≤ 100) — количество строк в файле. Во второй строке записано n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (0 ≤ a_i ≤ 10⁵), разделенных одиночными пробелами. В третьей строке записано четыре целых числа r₁, c₁, r₂, c₂ (1 ≤ r₁, r₂ ≤ n, 1 ≤ c₁ ≤ a_r₁ + 1, 1 ≤ c₂ ≤ a_r₂ + 1).

Выходные данные

Выведите единственное число — наименьшее количество нажатий, требуемое для того, чтобы переместить курсор из положения (r₁, c₁) в положение (r₂, c₂).

Примечание

В первом примере в редакторе записаны четыре строки. Обозначим цифрами возможные позиции курсора в строке. Буквой s обозначим начальную позицию курсора, буквой t — конечную. Тогда все возможные положения курсора в текстовом редакторе описываются следующей таблицей.

123

123s567

1t345

Один из возможных ответов в данном примере: «Влево», «Вниз», «Влево».

D. Крысы

графы кратчайшие пути Перебор поиск в глубину и подобное реализация *2300

В подвале магазина, которым владеет Василий Петрович, расплодились крысы. Василий Петрович, возможно, и не замечал бы их присутствия, но они повадились пробираться на склад и красть оттуда продукты. Василий Петрович не может с этим больше мириться: он должен уничтожить крыс в подвале. Поскольку мышеловки уже изжили себя и совсем не помогают, а крысиным ядом потом можно отравиться и самому, он избрал радикальный способ: взорвать в подвале две гранаты (больше у него нет).

В данной задаче мы будем представлять подвал магазина в виде прямоугольной таблицы из n × m клеток. Некоторые клетки заняты стенами, а остальные — свободны. Василий Петрович понаблюдал за крысами и выяснил, что в определенный момент времени они ложатся спать, причем все время в одни и те же места. В этот удобный момент он и хочет взорвать гранаты. На плане своего подвала он отметил те клетки, в которых спят крысы. Эти клетки, разумеется, не заняты стенами.

Гранату можно взорвать только в клетке, не занятой стеной. Взрывная волна от гранаты распространяется следующим образом. Будем считать, что подрыв гранаты происходит в момент времени 0. В этот начальный момент времени взорвана только клетка, где подорвали гранату. Если в момент времени t взорвана некоторая клетка, то в момент времени t + 1 будут взорваны те соседние по стороне клетки, которые не заняты стенами (некоторые из них могли быть взорваны и до этого). Взрывная волна распространяется ровно d секунд, после чего мгновенно угасает.

$\text{[math]}$ Пример распространения взрывной волны: на первой картинке ситуация до взрыва, а на последующих картинках показаны взорванные клетки на моменты времени 0,1,2,3 и 4. Таким образом взрывная волна на картинке распространяется d = 4 секунды.

Василий Петрович интересуется, можно ли выбрать две клетки для подрыва гранат таким образом, чтобы все клетки, в которых спят крысы, оказались взорваны. Напишите программу, которая это выясняет.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа n, m и d, разделенных одиночными пробелами (4 ≤ n, m ≤ 1000, 1 ≤ d ≤ 8). В следующих n строках записана таблица, задающая план подвала. Каждая строка таблицы состоит из m символов. Символ «X» означает, что соответствующая клетка занята стеной, символ «.» означает свободную клетку, символ «R» — свободную клетку, в которой спят крысы.

Гарантируется, что первая и последняя строки, а также первый и последний столбцы состоят из символов «X». На плане есть хотя бы две клетки, не занятые стенами. Имеется хотя бы одна клетка, в которой спят крысы.

Выходные данные

Если невозможно взорвать все клетки, в которых спят крысы, выведите единственное целое число -1. Иначе выведите через пробел четыре целых числа r₁, c₁, r₂, c₂, означающих, что одну из гранат следует взорвать в клетке (r₁, c₁), а другую — в клетке (r₂, c₂).

Считайте, что строки таблицы пронумерованы сверху вниз от 1 до n, а столбцы слева направо от 1 до m. Поскольку r₁ и r₂ задают номера строк, а c₁ и c₂ — номера столбцов в таблице, то должны выполняться ограничения: 1 ≤ r₁, r₂ ≤ n, 1 ≤ c₁, c₂ ≤ m. В одной и той же клетке дважды взрывать гранату нельзя. Взрывные волны гранат могут пересекаться. Возможно, взрыв одной из гранат не уничтожит ни одной крысы, а взрыв другой уничтожит всех.

D. Черно-белое дерево

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив снм *2100

На доске нарисован граф-дерево из n вершин. Напомним, что неориентированный граф называется деревом, если он связен и не содержит циклов.

Каждая вершина графа покрашена в черный или белый цвет таким образом, что не существует двух вершин одного цвета, соединенных ребром. На каждом ребре записана его стоимость — неотрицательное целое число.

Плохой мальчик Вася подошел к доске и написал около каждой вершины v число s_v — сумму стоимостей всех инцидентных этой вершине ребер, после чего он стер ребра и их стоимости с доски.

Ваша задача — восстановить исходное дерево по цветам вершин и числам s_v.

Входные данные

В первой строке входных данных записано единственное целое число n (2 ≤ n ≤ 10⁵) — количество вершин в дереве. Далее в n строках записаны пары разделенных пробелом целых чисел c_i, s_i (0 ≤ c_i ≤ 1, 0 ≤ s_i ≤ 10⁹), где c_i означает цвет i-ой вершины (0 — белый, 1 — черный), а s_i означает сумму стоимостей инцидентных i-ой вершине ребер в нарисованном на доске дереве.

Выходные данные

Выведите описание n - 1 ребер графа-дерева. Каждое описание — это тройка чисел v_i, u_i, w_i (1 ≤ v_i, u_i ≤ n, v_i ≠ u_i, 0 ≤ w_i ≤ 10⁹), где v_i и u_i — номера вершин, которые соединяет i-ое ребро, а w_i — его стоимость. Обратите внимание, что должно выполняться условие c_{v_i} ≠ c_{u_i}.

Гарантируется, что для любых входных данных существует по крайней мере один соответствующий этим данным граф. Если существует несколько решений, то выведите любое. Ребра разрешается выводить в любом порядке. Числа при выводе разделяйте пробелами.

D. Цикл в графе

графы поиск в глубину и подобное *1800

Вам задан неориентированный граф G, состоящий из n вершин. Будем считать, что вершины этого графа пронумерованы целыми числами от 1 до n. Известно, что каждая вершина графа G соединена ребрами не менее чем с k другими вершинами этого графа. Ваша задача — найти в описанном графе простой цикл длины не менее k + 1.

Простым циклом длины d (d > 1) в графе G называется последовательность различных вершин графа v₁, v₂, ..., v_d такая, что вершины v₁ и v_d соединены ребром графа, а также для любого целого i (1 ≤ i < d) вершины v_i и v_i + 1 соединены ребром графа.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа n, m, k (3 ≤ n, m ≤ 10⁵; 2 ≤ k ≤ n - 1) — количество вершин в графе, ребер в графе и ограничение снизу на степень вершины графа. В следующих m строках записаны пары целых чисел. В i-той строке записаны числа a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i) — номера вершин графа, которые соединяет i-тое ребро.

Гарантируется, что заданный граф не содержит кратных ребер и петель. Гарантируется, что каждая вершина графа соединена ребрами не менее чем с k другими вершинами этого графа.

Выходные данные

В первой строке выведите целое число r (r ≥ k + 1) — длина найденного цикла. В следующей строке выведите r различных целых чисел v₁, v₂, ..., v_r (1 ≤ v_i ≤ n) — найденный простой цикл.

Гарантируется, что ответ существует. Если существует несколько правильных ответов, разрешается вывести любой из них.

D. БерДональдс

графы кратчайшие пути математика *2400

В Бертауне собираются открыть кафе известной сети БерДональдс. При этом очень важно правильно выбрать месторасположение нового кафе, чтобы до него было удобно добираться. Система дорог Бертауна представляет собой n перекрестков, соединенных m двусторонними дорогами. Для каждой дороги известна ее длина. Также известно, что от каждого перекрестка по дорогам можно добраться до любого другого.

Ваша задача — найти такое расположение кафе, при котором кратчайшее расстояние по дорогам от кафе до самого дальнего перекрестка будет минимально. Учтите, что кафе может находиться не только на перекрестке, но и в любой точке любой дороги.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m ( $\text{[math]}$ ) — количество перекрестков и дорог соответственно. Далее следует m строк — описание всех дорог в Бертауне. Каждая дорога описывается тремя целыми числами a_i, b_i, w_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i; 1 ≤ w_i ≤ 10⁵), где a_i и b_i — номера перекрестков, которые соединяет i-ая дорога, а w_i — длина i-ой дороги.

Гарантируется, что каждая дорога соединяет два различных перекрестка, между любыми двумя перекрестками имеется не более одной дороги, и от любого перекрестка можно добраться до любого другого.

Выходные данные

Выведите единственное вещественное число — кратчайшее расстояние от оптимального положения кафе до самого дальнего перекрестка. Ответ будет считаться правильным, если его абсолютная или относительная погрешность не превосходит 10^- 9.

B. Домино

Дан набор костяшек домино. Можно ли выложить все доминошки в цепочку друг за другом так, что бы любые две соприкасались сторонами с одинаковым числом очков? В наборе может встречаться две и более костяшек одного вида. Костяшки можно переворачивать, меняя левую и правую сторону (костяшка «1-4» превращается в «4-1»).

Входные данные

В первой строке содержится число n (1 ≤ n ≤ 100). Далее в n строках описаны доминошки. В каждой из этих строк содержится два числа — количество очков на левой и правой половине соответственно. Количества очков — неотрицательные целые числа от 0 до 6. В заданном наборе могут быть дубликаты (одинаковые костяшки).

Выходные данные

Выведите «No solution», если костяшки выложить требуемым образом невозможно. Если решение существует, то опишите любой из способов укладки. Доминошки выкладываются справа налево. В каждой из n строк запишите номер костяшки, которая кладётся в соответствующей позиции, а затем (через пробел) знак «+» (в случае, если доминошку не следует переворачивать) или «–» (если её надо перевернуть).

C. Неисправный Поток

графы жадные алгоритмы Конструктив Потоки *2100

Эмускальд считает себя мастером алгоритмов по нахождению потока. Он только что завершил самую искусную из всех своих программ: она вычисляет максимальный поток в неориентированном графе. Граф состоит из n вершин и m ребер. Вершины пронумерованы от 1 до n. Вершины 1 и n — исток и сток, соответственно.

Однако, его алгоритм максимального потока, похоже, немного неисправен: для каждого ребра он находит только величину потока, протекающего по этому ребру, но не направление, в котором течет поток. Помогите ему для каждого ребра найти направление, в котором должен протекать поток по этому ребру, чтобы в итоге получился корректный максимальный поток.

Более формально: дан неориентированный граф, в котором для каждого неориентированного ребра (a_i, b_i) задана величина c_i. Вы должны ориентировать все ребра так, чтобы выполнялись следующие условия:

для каждой вершины v (1 < v < n), сумма c_i входящих ребер равняется сумме c_i исходящих ребер;
вершина номер 1 не имеет входящих ребер;
полученный ориентированный граф не имеет циклов.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа через пробел n и m (2 ≤ n ≤ 2·10⁵, n - 1 ≤ m ≤ 2·10⁵), количество вершин и ребер в графе. Каждая из следующих m строк содержит три целых числа a_i, b_i и c_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 1 ≤ c_i ≤ 10⁴) через пробел, которые обозначают неориентированное ребро от a_i до b_i, по которому протекает в некотором направлении c_i единиц потока.

Гарантируется, что не существует двух ребер, соединяющих одни и те же вершины; данный граф связный; решение всегда существует.

Выходные данные

Выведите m строк, в каждой строке должно быть по целому числу d_i, равному 0, если направление i-го ребра равняется a_i → b_i (поток протекает от вершины a_i к вершине b_i), и равному 1 в противном случае. Считайте, что ребра пронумерованы от 1 до m в том порядке, в котором они заданы во входных данных.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

В первом тестовом примере 10 единиц потока проходят по пути $\text{[math]}$ , а 5 единиц потока проходят прямо от истока к стоку: $\text{[math]}$ .

D. Максимальный водопад

графы дп сортировки Структуры данных *2600

Эмускальда наняли на разработку искусственного водопада в соответствии с последними тенденциями в ландшафтной архитектуре. Современный искусственный водопад состоит из нескольких горизонтальных панелей, прикрепленных к широкой плоской стене. Вода течет вниз, начиная от верха стены, от панели к панели, пока не достигнет нижней части стены.

Стена имеет высоту t. К ней прикреплены n панелей. Каждая панель представляет собой горизонтальный отрезок на высоте h_i, который начинается с l_i и заканчивается в r_i. Панель номер i соединяет точки стены (l_i, h_i) и (r_i, h_i). Верхняя часть стены считается панелью, соединяющей точки ( - 10⁹, t) и (10⁹, t). Аналогично, нижняя часть стены соединяет точки ( - 10⁹, 0) и (10⁹, 0). Никакие две панели не имеют общую точку.

Эмускальд знает, что для того, чтобы водопад выглядел эффектно, он может течь с панели i на панель j ( $\text{[math]}$ ), только если выполнены следующие условия:

max(l_i, l_j) < min(r_i, r_j) (горизонтальные проекции панелей перекрываются);
h_j < h_i (панель j ниже панели i);
нет такой панели k (h_j < h_k < h_i), что первые два условия выполняются для пар панелей (i, k) и (k, j).

Тогда поток по $\text{[math]}$ равняется min(r_i, r_j) - max(l_i, l_j), длине пересечения их горизонтальных проекций.

Эмускальд решил, что в его водопаде вода будет течь по одному пути сверху вниз. Если вода падает на какую-то панель (исключая низ стены), то далее вода должна падать ровно на одну панель ниже нее. Общий поток воды в таком водопаде определяется как минимум величин пересечения горизонтальных проекций между двумя соседними панелями на пути водопада. Более формально:

водопад состоит из одного пути панелей $\text{[math]}$ ;
поток водопада равняется минимальному потоку на пути $\text{[math]}$ .

Для того, чтобы сделать действительно грандиозный водопад, Эмускальд должен максимизировать этот поток воды, но на стене слишком много панелей, и он с трудом планирует свое детище. Ниже приведен пример одного из водопадов, который хочет установить Эмускальд:

$\text{[math]}$

Помогите Эмускальду поддержать свою репутацию и найдите значение максимально возможного потока воды в некотором водопаде.

Входные данные

Первая строка входных данных состоит из двух целых чисел n и t (1 ≤ n ≤ 10⁵, 2 ≤ t ≤ 10⁹), записанных через пробел — количество панелей, не считая верхнюю и нижнюю панели, и высота стены. Каждая из последующих n строк содержит по три целых числа через пробел h_i, l_i и r_i (0 < h_i < t, - 10⁹ ≤ l_i < r_i ≤ 10⁹) — высота, левый и правый концы отрезка i-ой панели.

Гарантируется, что никакие две панели не имеют общих точек.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — максимально возможную величину потока воды в искомом водопаде.

Примечание

Первый тест соответствует картинке.

D. Кольцевая 2

2-sat графы поиск в глубину и подобное снм *2200

Всем известно, что в Берляндии есть n городов, образующих Серебряное кольцо — пары городов с номерами i и i + 1 (1 ≤ i < n), а так же n и 1 соединены дорогами. Правительство Берляндии решило построить m новых дорог. Уже подготовлен план постройки — список пар городов, которые нужно соединить дорогами. Каждая дорога будет представлять собой непрерывную линию, находящуюся внутри, либо снаружи кольца. Дороги не будут иметь общих точек с кольцом (кроме двух ее концов).

Теперь разработчикам плана интересно, можно ли построить дороги так, чтобы они не пересекались (заметим, что дороги могут пересекаться своими концами). Если это возможно сделать, то какие дороги должны находиться внутри кольца, а какие снаружи?

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m (4 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 100). Далее следует m строк по два целых числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i). Между парой городов не может быть больше одной дороги. План не содержит тех дорог, которые уже существуют в Серебряном кольце.

Выходные данные

Если невозможно построить дороги так, чтобы они пересекались только в концах, выведите Impossible. Иначе выведите m символов. i-ый символ должен быть i, если дорогу нужно проводить внутри кольца, или o — если дорогу нужно проводить снаружи кольца. Если решений несколько, выведите любое.

E. Дима и кони

графы Комбинаторика Конструктив *2200

Дима приехал в страну коней. В стране коней живет n коней. У каждого коня в стране коней есть несколько врагов (отношение вражды симметричное). Страна коней не очень враждебная, поэтому количество врагов каждого коня не превышает трех.

Сейчас в стране коней выборы. Поэтому кони поручили Диме разделить их на две партии. При этом кони хотят, чтобы выполнялось следующее условие: у каждого коня не должно быть более одного врага в своей партии.

Помогите Диме разделить коней на партии. Обратите внимание, что одна из партий может оказаться пустой.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n, m $\text{[math]}$ — количество коней в стране коней и количество пар врагов.

В следующих m строках заданы пары врагов. В i-той строке записаны целые числа a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i), которые обозначают, что конь a_i враг коня b_i.

Считайте, что кони пронумерованы некотором образом от 1 до n. Гарантируется, что у каждого коня не более трех врагов. Никакая пара врагов не задана во входных данных более одного раза.

Выходные данные

Выведите строку, состоящую из n символов: i-тый символ строки должен быть равен «0», если конь номер i будет принадлежать первой партии, иначе этот символ должен быть равен «1».

Если не существует способа разделить коней требуемым образом выведите -1.

D. Прекрасная матрица

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное сортировки *2200

У Ленни была матрица размера n × m, состоящая из целых чисел. Он обожал эту матрицу, поскольку числа в каждой строке матрицы были отсортированы в порядке неубывания. Матрицы, которые обладают таким свойством, Ленни называет прекрасными.

Однажды, когда Ленни был в школе, его младший брат играл с матрицей Ленни в своей комнате. Он стер некоторые записи в матрице и изменил порядок некоторых ее столбцов. Придя домой, Ленни очень опечалился и теперь хочет восстановить свою матрицу.

Помогите ему найти порядок столбцов матрицы так, чтобы было возможно заполнить стертые записи и снова получить прекрасную матрицу. Обратите внимание, что стертые записи можно заполнять любыми целыми числами.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два положительных целых числа n и m (1 ≤ n·m ≤ 10⁵). Каждая из следующих n строк содержит m целых чисел через пробел — матрица Ленни. Число -1 обозначает стертую запись в матрице. Все остальные целые числа (каждое из которых между 0 и 10⁹, включительно) представляют заполненные записи.

Выходные данные

Если не существует возможных способов переупорядочить столбцы, выведите -1. В противном случае, выходные данные должны содержать m целых чисел p₁, p₂, ..., p_m, обозначающих искомую перестановку столбцов. Таким образом, первый столбец прекрасной матрицы будет p₁-ым столбцом изначальной матрицы. Второй столбец прекрасной матрицы будет p₂-ым столбцом изначальной матрицы и так далее.

E. Девочка и задача про дерево

графы Деревья Структуры данных *2100

Девочка очень любит задачи про деревья. Вот одна из них.

Дерево — это неориентированный связный граф без циклов. Степень вершины x в дереве — это количество вершин y дерева таких, что каждая из них связана с вершиной x каким-то ребром дерева.

Рассмотрим дерево, состоящее из n вершин. Будем считать, что вершины этого дерева пронумерованы от 1 до n. Рассматриваемое дерево обладает следующим свойством: каждая вершина, кроме вершины с номером 1, имеет степень не более 2.

Изначально в каждой вершине дерева записано число 0. Ваша задача — быстро выполнять запросы двух типов:

Запрос вида: 0 v x d. В ответ на запрос нужно добавить x ко всем числам, записанным в вершинах, которые находятся на расстоянии не более чем d от вершины с номером v. Расстоянием между двумя вершинами будем считать количество ребер на кратчайшем пути между ними.
Запрос вида: 1 v. В ответ на запрос нужно вывести текущее число, записанное в вершине с номером v.

Входные данные

В первой строке заданы числа n (2 ≤ n ≤ 10⁵) и q (1 ≤ q ≤ 10⁵) — количество вершин дерева и количество запросов, соответственно.

Каждая из следующих n - 1 строк содержит два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i), которые обозначают, что существует ребро между вершинами с номерами u_i и v_i. Описание каждого ребра встречается во входных данных ровно один раз. Гарантируется, что заданный граф — дерево, обладающее свойством, которое описано в условии.

Следующие q строк описывают запросы.

Запрос на добавление имеет следующий формат: 0 v x d (1 ≤ v ≤ n, 1 ≤ x ≤ 10⁴, 1 ≤ d < n).
Запрос на вывод значения, записанного в вершине, имеет следующий формат: 1 v (1 ≤ v ≤ n).

Числа в строках разделяются одиночными пробелами.

Выходные данные

Для каждого запроса на вывод значения, записанного в вершине, выведите целое число — ответ на запрос.

B. pSort

графы поиск в глубину и подобное снм *1600

Однажды n ячеек одного массива решили поиграть в некоторую игру. Сначала каждая ячейка записала в себя свой порядковый номер (считая с 1), а затем каждая ячейка назвала свое любимое число. На своем ходе i-ая ячейка могла поменять местами свое содержимое и содержимое j-ой ячейки, если |i - j| = d_i, где d_i — любимое число i-ой ячейки. «Игроки» ходят в любом порядке, в каком захотят. Количество ходов не ограничено.

Вам дана перестановка чисел от 1 до n и любимые числа ячеек. Ваша задача ответить: может ли игра зайти в такое положение.

Входные данные

В первой строке дано натуральное число n (1 ≤ n ≤ 100) — количество ячеек в массиве. Во второй строке задано n различных целых чисел от 1 до n — заданная перестановка. В третьей строке задано n целых чисел от 1 до n — любимые числа ячеек.

Выходные данные

Если игра могла зайти в заданное положение выведите YES, иначе выведите NO.

D. Максимальная сумма k подотрезков

графы Потоки реализация Структуры данных *2800

Рассмотрим последовательность целых чисел a₁, a₂, ..., a_n. Вам требуется выполнять запросы двух типов:

Формат запроса «0 i val». В ответ на запрос нужно выполнить присвоение: a_i = val.
Формат запроса «1 l r k». В ответ на запрос нужно вывести максимальную сумму не более чем k непересекающихся подотрезков последовательности a_l, a_l + 1, ..., a_r. Формально, вам нужно выбрать не более чем k пар целых чисел (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_t, y_t) (l ≤ x₁ ≤ y₁ < x₂ ≤ y₂ < ... < x_t ≤ y_t ≤ r; t ≤ k) таких, чтобы сумма a_x₁ + a_x₁ + 1 + ... + a_y₁ + a_x₂ + a_x₂ + 1 + ... + a_y₂ + ... + a_{x_t} + a_{x_t + 1} + ... + a_{y_t} была как можно больше. Обратите внимание, что требуется выбрать не более чем k подотрезков. В частности, можно выбрать 0 подотрезков. В таком случае описанная сумма считается равной нулю.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество чисел в последовательности. В следующей строке записаны n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (|a_i| ≤ 500).

В третьей строке записано целое число m (1 ≤ m ≤ 10⁵) — количество запросов. В следующих m строках записаны запросы в формате, описанном в условии.

Для всех запросов на изменение элемента выполняются ограничения: 1 ≤ i ≤ n, |val| ≤ 500.

Для всех запросов на подсчет максимальной суммы не более чем k непересекающихся подотрезков выполняются ограничения: 1 ≤ l ≤ r ≤ n, 1 ≤ k ≤ 20. Гарантируется, что количество запросов на подсчет максимальной суммы не более чем k непересекающихся подотрезков не превышает 10000.

Выходные данные

Для каждого запроса на подсчет максимальной суммы не более чем k непересекающихся подотрезков выведите ответ — максимальную сумму. Ответы на запросы выводите в порядке следования запросов во входных данных.

Примечание

В первом запросе первого примера можно выбрать единственную пару (1, 9). Таким образом, описанная сумма будет равна 17.

Взгляните на второй запрос первого примера. Как выбрать два подотрезка? (1, 3) и (7, 9)? Нет, конечно: сумма (1, 3) и (7, 9) равняется 20, в то время как при оптимальном выборе (1, 7) и (9, 9) сумма равняется 25.

Ответ на третий запрос равняется 0, мы предпочитаем ничего не выбирать, если на данном интервале все числа отрицательные.

B. Коровки программируют

графы дп поиск в глубину и подобное *1700

Фермер Джон только что дал коровкам поиграться с программой! Программа содержит две целочисленные переменные x и y. Ей подается на вход последовательность положительных целых чисел a₁, a₂, ..., a_n, в зависимости от которой она выполняет следующие операции:

Изначально x = 1 и y = 0. Если после какого-то шага x ≤ 0 или x > n, то программа немедленно завершается.
Программа одновременно увеличивает x и y на a_x.
Затем программа увеличивает y на a_x, уменьшая x на a_x.
Программа попеременно выполняет шаги 2 и 3 (сначала 2, затем 3), пока не завершится (она может никогда не завершиться). Таким образом, последовательность шагов может начаться так: шаг 2, шаг 3, шаг 2, шаг 3, шаг 2 и так далее.

Коровки все же не очень хорошо считают, и поэтому они хотят разобраться, как работает программа. Пожалуйста, помоги им!

Дана последовательность a₂, a₃, ..., a_n. Предположим, что для каждого i (1 ≤ i ≤ n - 1) мы запускаем программу на последовательности i, a₂, a₃, ..., a_n. Для каждого такого запуска выведите итоговое значение y, если программа завершится, или -1, если программа не завершится.

Входные данные

Первая строка содержит единственное целое число, n (2 ≤ n ≤ 2·10⁵). Следующая строка содержит n - 1 целых чисел через пробел, a₂, a₃, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ 10⁹).

Выходные данные

Выведите n - 1 строк. В i-ой строке выведите требуемое значение, когда программа запускается на последовательности i, a₂, a₃, ...a_n.

Примечание

В первом примере

Для i = 1, x изменяется следующим образом: $\text{[math]}$ , y становится 1 + 2 = 3.
Для i = 2, x изменяется следующим образом: $\text{[math]}$ , y становится 2 + 4 = 6.
Для i = 3, x изменяется следующим образом: $\text{[math]}$ , y становится 3 + 1 + 4 = 8.

C. Почтовые штампы

графы поиск в глубину и подобное реализация Структуры данных *1700

Однажды Васе в руки попалось бумажное письмо в конверте. Вася знает, что когда работники Берляндской почты пересылают письмо напрямую из города «A» в город «B» они ставят на него либо штамп «A B», либо «B A». К сожалению, часто невозможно напрямую переслать письмо из города отправителя в город получателя, поэтому письмо пересылается через некоторые промежуточные города. Работники почты никогда не пересылают письмо по циклу, то есть письмо не может побывать в одном городе дважды. Вася уверен, что при каждой пересылке они исправно ставят штампы.

На конверте Васиного письма n почтовых штампов. Он понимает, что возможных маршрута следования письма всего два. Но штампов очень много, и Вася не может сам определить ни один из этих маршрутов. Поэтому он просит вас помочь ему. Найдите один из возможных маршрутов следования письма.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — числа почтовых штампов на конверте. Далее следует n строк по два целых числа — описания штампов. Каждый штамп описывается номерами городов, между которыми письмо пересылалось. Номера городов — целые числа от 1 до 10⁹. Номера всех городов различны. Каждой пересылке письма соответствует ровно один почтовый штамп. Гарантируется, что описанные штампы соответствуют корректному маршруту следования письма из одного города в некоторый другой.

Выходные данные

Выведите n + 1 число — номера городов в одном из двух возможных маршрутов в порядке следования письма.

E. Ссора

графы кратчайшие пути *2400

Друзья Вася и Петя живут в Бертауне. В этом городе n перекрестков, некоторые из которых соединены одинаковыми по длине двунаправленными улицами. Вася живет в доме на перекрестке номер 1, а Петя — в доме на перекрестке номер n.

Однажды Вася и Петя поссорились так сильно, что отказывались даже видеть друг друга. Так уж вышло, что сегодня Васе нужно дойти от своего дома до перекрестка n, а Пете — от своего дома до перекрестка 1. При этом они не хотят встречаться ни на одном перекрестке, но вполне допустимо, если они встретятся в середине улицы, проходя ее в противоположных направлениях. Вася и Петя попросили вас, как их общего друга, помочь им справиться с этой непростой задачей.

Найдите для Васи и Пети такие маршруты с одинаковым числом улиц, чтобы ребята, следуя маршрутам, никогда не оказывались одновременно на одном перекрестке. Встречаться в середине улицы, двигаясь навстречу друг другу, они могут (см. пример 1). Среди всех возможных маршрутов выберите такой, что количество улиц в нем как можно меньше. Пока оба одновременно не дошли до своих целей, ребята не могут стоять на месте.

Вася и Петя двигаются одновременно и с одинаковой скоростью, то есть допустима ситуация, когда один из них приходит к некоторому перекрестку, а другой уходит из него же. Например, Вася может пойти от перекрестка 1 к перекрестку 2, а Петя может в то же время пойти от перекрестка 2 к перекрестку 3.

Если маршрутов, удовлетворяющих всем требованиям, не существует, ваша программа должны выводить -1.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 500, 1 ≤ m ≤ 10000) — число перекрестков и улиц соответственно. Далее следует m строк по два целых числа в каждой — описания улиц. Улица описывается парой перекрестков, которые она соединяет. Гарантируется, что никакая улица не соединяет перекресток с самим собой, и между любой парой перекрестков есть не более одной улицы.

Выходные данные

Если искомых маршрутов не существует, выведите -1. Иначе в первой строке должно быть записано одно натуральное число k — длина кратчайшего маршрута (число улиц в нем). Следующая строка должна содержать k + 1 чисел — маршрут Васи, т. е. номера k + 1 перекрестков в порядке их прохождения Васей. Следующая строка должна содержать k + 1 чисел — маршрут Пети в том же формате. Если решений несколько, выведите любое.

F. Жадный Петя

*особая задача графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2800

Петя — неопытный спортивный программист. Недавно ему попалась следующая задача:

Дан неориентированный граф, состоящий из n вершин и m ребер. Определите, есть ли в этом графе Гамильтонов путь.

Петя быстренько и без багов написал программу, которая (по его мнению) решает эту задачу. После чего Петя решил дать эту задачу на первоапрельский контест. К сожалению, Петя мог ошибиться и придумать неправильный алгоритм решения задачи. Но это же не повод уйти с контеста с несданной задачей, правда?

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n, m (1 ≤ n ≤ 20; 0 ≤ m ≤ 400). В следующих m строках записаны пары целых чисел v_i, u_i (1 ≤ v_i, u_i ≤ n).

Выходные данные

Следуйте формату вывода программы Пети.

B. Топология сети

графы реализация *1200

В задаче используется упрощенная модель топологий сетей, внимательно прочтите условие задачи и используйте его как формальный документ при разработке решения.

Поликарп продолжает работать системным администратором в некоторой большой корпорации. Компьютерная сеть этой корпорации состоит из n компьютеров, некоторые из которых соединены кабелем. Компьютеры пронумеруем целыми числами от 1 до n. Известно, что любые два компьютера соединены кабелем непосредственно или через другие компьютеры.

Поликарп решил узнать топологию этой сети. Сетевая топология — это способ описания конфигурации сети, схема расположения и соединения сетевых устройств.

Поликарп знает три основные топологии сети: шина, кольцо и звезда. Шина — это топология, которая представляет собой общий кабель, к которому подсоединены все компьютеры. Кольцо — топология, в которой каждый компьютер соединен кабелем только с двумя другими. Звезда — это топология, в которой все компьютеры сети присоединены к единому центральному узлу.

Представим каждую из этих топологий сети в виде связного неориентированного графа. Под шиной будем понимать связный граф, являющийся единственным путем, то есть граф, в котором все вершины соединены с двумя другими, за исключением двух вершин, которые являются началом и концом пути. Под кольцом будем понимать связный граф, в котором все вершины соединены с двумя другими. Под звездой будем понимать связный граф, в котором выделена единственная центральная вершина, которая соединена со всеми остальными вершинами. Для лучшего понимания ознакомьтесь с рисунком.

$\text{[math]}$ (1) — шина, (2) — кольцо, (3) — звезда

Вам задан связный неориентированный граф, характеризующий компьютерную сеть корпорации, в которой работает Поликарп. Помогите ему узнать, к какой из данных топологий относится заданная компьютерная сеть. Если это невозможно определить, сообщите, что топология этой сети неизвестна.

Входные данные

В первой строке через пробел заданы два целых числа n и m (4 ≤ n ≤ 10⁵; 3 ≤ m ≤ 10⁵) — количество вершин и ребер в графе соответственно. Далее в m строках задано описание ребер графа. В i-той строке через пробел задана пара целых чисел x_i, y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n) — номера вершин, которые соединяет i-ое ребро.

Гарантируется, что заданный граф является связным. Между любыми двумя вершинами существует не более одного ребра. Ни одно ребро не соединяет вершину саму с собой.

Выходные данные

В единственную строку выведите название топологии сети, к которой относится заданный граф. Если ответом является шина, выведите «bus topology» (без кавычек), если ответом является кольцо, выведите «ring topology» (без кавычек), если ответом является звезда, выведите «star topology» (без кавычек). Если ни один из этих типов не подходит, выведите «unknown topology» (без кавычек).

B. Егор и граф

графы дп кратчайшие пути *1700

У Егора есть взвешенный ориентированный граф, состоящий из n вершин. В этом графе между любой парой различных вершин есть ребро в обоих направлениях. Егор любит играть с графом, и сейчас он придумал новую игру:

Игра состоит из n шагов.
На i-том шаге Егор удаляет из графа вершину номер x_i. Удаляя вершину, Егор удаляет все ребра, которые входили в данную вершину и которые выходили из нее.
Перед выполнением каждого шага, Егор хочет знать сумму длин кратчайших путей между всеми парами оставшихся вершин. Кратчайший путь может проходить через любую оставшуюся вершину. Другими словами, если обозначить как d(i, v, u) кратчайший путь между вершинами v и u в графе, который получился до удаления вершины x_i, то Егор хочет знать значение следующей суммы: $\text{[math]}$ .

Помогите Егору, выведите значение искомой суммы перед каждым шагом.

Входные данные

В первой строке содержится целое число n (1 ≤ n ≤ 500) — количество вершин в графе.

В следующих n строках содержится по n целых чисел — матрица смежности графа: j-тое число в i-той строке a_ij (1 ≤ a_ij ≤ 10⁵, a_ii = 0) обозначает вес ребра, ведущего из вершины i в вершину j.

В следующей строке содержится n различных целых чисел: x₁, x₂, ..., x_n (1 ≤ x_i ≤ n) — вершины, которые удаляет Егор.

Выходные данные

Выведите n целых чисел — i-тое число равно искомой сумме перед i-тым шагом.

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для чтения или записи 64-х битовых чисел на C++. Рекомендуется использовать потоки cin, cout или спецификатор %I64d.

C. Егор и друзья

графы дп Комбинаторика кратчайшие пути *2100

Егор с друзьями гуляли по лесу, всего, включая Егора, гуляло n человек. Очень скоро перед ними оказалась река. Ребята сразу же захотели перебраться через реку, тем более, что возле берега, к которому подошла компания стояла лодка. Известно, что эта лодка вмещает людей, суммарным весом не более k килограмм.

Егор тут же выписал на листок бумаги список весов всех людей из его компании, включая свой вес. Оказалось, что каждый человек весит либо 50, либо 100 килограмм. Сейчас Егору нужно знать, за какое минимальное количество переправ на лодке через реку вся компания сможет оказаться на другом берегу. При переправе в лодке обязательно должен быть хотя бы один человек. При переправке в лодке может сидеть любое (ненулевое) количество человек, но их суммарный вес не должен превышать k.

Так же Егора заинтересовал вопрос: сколько существует способов переправить всех людей на другую сторону за минимальное количество переправ на лодке. Два способа считаются различными, если при какой-либо переправе множество людей находящихся в лодке отличается.

Помогите Егору с этой задачей.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа n, k (1 ≤ n ≤ 50, 1 ≤ k ≤ 5000) — количество людей, включая Егора, и вместительность лодки. В следующей строке записаны n целых чисел — веса людей. Вес человека — это либо 50 килограмм, либо 100 килограмм.

Можете считать, что Егор и друзья пронумерованы некоторым образом.

Выходные данные

В первую строку выведите целое число — минимальное количество переправ. Если невозможно переправить всех людей на другой берег, то выведите целое число -1.

Во вторую строку выведите остаток от деления количества способов переправить людей за минимальное количество переправ на число 1000000007 (10⁹ + 7). Если невозможно переправить всех людей на другой берег, то выведите число 0.

Примечание

В первом тесте Егор гуляет один и соответственно требуется только одна переправа через реку.

Во втором тесте нужно действовать по следующему плану:

переправить двух людей весом по 50 килограмм;
переправить одного человека весом 50 килограмм обратно;
переправить человека весом 100 килограмм;
переправить человека весом 50 килограмм обратно;
переправить двух людей весом по 50 килограмм.

Суммарно выходит 5 переправ. В зависимости от того, какого человека выбрать на шаге 2, получаются два различных способа.

B. Тренер

графы Перебор поиск в глубину и подобное *1500

У тренера по программированию есть n обучающихся у него студентов, причем известно, что n делится на 3. Пускай все студенты пронумерованы от 1 до n, включительно.

Тренер хочет перед чемпионатом университета по программированию разделить всех студентов на команды из трех человек. Для некоторых пар студентов известно, что они хотят быть в одной команде. Причем, если i-ый студент хочет быть в команде с j-ым, то и j-ый хочет быть в команде с i-ым. Тренер заинтересован в том, чтобы команды показали хороший результат, поэтому он хочет, чтобы было выполнено условие: если i-ый студент хочет быть в одной команде с j-ым, то i-ый и j-ый студенты должны быть в одной команде. Также, очевидно, каждый студент должен быть ровно в одной команде.

Помогите тренеру, разделите команды так, как он хочет.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны целые числа n и m (3 ≤ n ≤ 48, $\text{[math]}$ . Далее следует m строк, в каждой из них записана пара целых чисел a_i, b_i (1 ≤ a_i < b_i ≤ n) — пара a_i, b_i означает, что студенты с номерами a_i и b_i хотят быть в одной команде.

Гарантируется, что n делится на 3. Гарантируется, что каждая пара a_i, b_i упоминается во входных данных не более одного раза.

Выходные данные

Если искомого разбиения на команды не существует, выведите число -1. Иначе выведите $\text{[math]}$ строки. В каждой строке выведите три целых числа x_i, y_i, z_i (1 ≤ x_i, y_i, z_i ≤ n) — i-ая команда.

Если существует несколько ответов, разрешается вывести любой.

B. Ярослав и время

Бинарный поиск графы кратчайшие пути *2100

Ярослав играет в игру «Время». В игре у него есть таймер, на котором изображено время, которое ему осталось жить. Как только таймер показывает 0, игровой персонаж Ярослава умирает и игра заканчивается. Так же в игре существует n часовых станций, станция номер i находится в точке (x_i, y_i) плоскости. Зайдя на станцию номер i, игрок увеличивает текущее время на своем таймере на a_i. Станции одноразовые, то есть если игрок второй раз зайдет на какую-нибудь станцию, то время на его таймере не увеличится.

На перемещение между станциями игрок тратит d·dist единиц времени, где dist — расстояние, пройденное игроком, а d — некоторая константа. Расстояние между станциями i и j определяется как |x_i - x_j| + |y_i - y_j|.

Изначально игрок находится на станции номер 1, и у игрока осталось строго больше нуля и меньше одной единицы времени. На станции номер 1 за единицу денег можно увеличить время на таймере на единицу времени (можно покупать только целое количество единиц времени).

Сейчас Ярослава интересует вопрос: сколько единиц денег нужно ему, чтобы попасть на станцию номер n? Помогите Ярославу. Считайте, что время покупки и увеличения времени на таймере пренебрежимо мало.

Входные данные

В первой строке содержатся целые числа n и d (3 ≤ n ≤ 100, 10³ ≤ d ≤ 10⁵) — количество станций и константа из условия.

Во второй строке заданы n - 2 целых числа: a₂, a₃, ..., a_n - 1 (1 ≤ a_i ≤ 10³). В следующих n строках содержатся координаты станций. В i-той из них записаны два целых чисел x_i, y_i (-100 ≤ x_i, y_i ≤ 100).

Гарантируется, что никакие две станции не находятся в одной точке.

Выходные данные

В единственную строку выведите целое число — ответ на задачу.

C. Наименьший модуль

графы математика Перебор теория чисел *2400

Дано n различных целых чисел a₁, a₂, ..., a_n. Из них Вы можете удалить не более k. Найдите минимальный модуль m (m > 0), такой, что для каждой пары оставшихся чисел (a_i, a_j) выполняется следующее неравенство: $\text{[math]}$ .

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и k (1 ≤ n ≤ 5000, 0 ≤ k ≤ 4), упомянутые выше.

Во второй строке записано n различных целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (0 ≤ a_i ≤ 10⁶).

Выходные данные

Выведите единственное целое положительное число — минимальный модуль m.

C. Достать сокровище

графы кратчайшие пути Перебор Структуры данных *2500

Рейнбоу выстроил h ячеек в ряд и пронумеровал их от 1 до h слева направо. В n из этих ячеек находится сокровище. Будем называть каждую из этих n ячеек «ячейка с сокровищами». «Ячейка с сокровищами» номер i — это a_i-ая ячейка, в ней лежат сокровища на c_i долларов.

Сейчас Фреда встала в первую ячейку. В любой момент она может пройти k ячеек вперед или вернуться в первую ячейку. Это значит, что Фреда может дойти до 1-ой, (k + 1)-ой, (2·k + 1)-ой, (3·k + 1)-ой ячеек и так далее.

Рейнбоу дала Фреде m операций. Каждая операция относится к одному из следующих трех типов:

Добавить способ перемещения x: в любой момент времени можно также пройти на x ячеек вперед. Например, в самом начале у Фреды есть только один способ перемещения k. Если в какой-то момент времени у Фреды есть способы перемещения a₁, a₂, ..., a_r, то она может дойти до любой ячейки вида $\text{[math]}$ , где v_i — некоторое целое неотрицательное число.
Уменьшить цену сокровища в x-ой «ячейке с сокровищами» на y долларов. Иными словами, выполнить присвоение c_x = c_x - y.
Узнать стоимость самого ценного сокровища среди ячеек, до которых может дойти Фреда. Если Фреда не может дойти ни до одной ячейки с сокровищами, то считается, что стоимость самого ценного сокровища в таком случае равна 0 и дальше ничего не происходит. Иначе, Фреда забирает самое ценное сокровище из соответствующей ячейки. Если существует несколько «ячеек с сокровищами», которые содержат самое ценное сокровище, то нужно выбрать ту, номер которой минимален (такая ячейка не обязательно имеет минимальный номер, потому что нумерации ячеек и «ячеек с сокровищами» независимы). После этой операции количество ячеек, в которых содержится сокровище, становится на единицу меньше.

Фреда как программист просит Вас написать программу, которая выполнит каждую операцию.

Входные данные

Первая строка содержит четыре целых числа: h (1 ≤ h ≤ 10¹⁸), n, m (1 ≤ n, m ≤ 10⁵) и k (1 ≤ k ≤ 10⁴).

Каждая из следующих n строк содержит два целых числа: a_i (1 ≤ a_i ≤ h), c_i (1 ≤ c_i ≤ 10⁹). Это означает, что i-ая «ячейка с сокровищами» — это a_i-ая ячейка и в ней лежит сокровище на c_i долларов. Все a_i различны.

Каждая из следующих m строк записана в одном из следующих трех форматов:

«1 x» — операция типа 1, 1 ≤ x ≤ h;
«2 x y» — операция типа 2, 1 ≤ x ≤ n, 0 ≤ y < c_x;
«3» — операция типа 3.

Максимальное количество операций типа 1 — 20. Гарантируется, что в любой момент стоимость сокровища в любой ячейке с сокровищем положительна. Гарантируется, что все операции корректны (никакая операция не может уменьшить стоимость уже взятого сокровища).

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld, для чтения 64-битных чисел на С++. Рекомендуется использовать потоки cin, cout или спецификатор %I64d.

Выходные данные

Для каждой операции типа 3, выведите целое число, указывающее на ценность (в долларах) самого ценного сокровища среди «ячеек c сокровищами», которые Фреда может достать. Если такого сокровища нет, выведите 0.

Примечание

В примере дано 10 ячеек и 3 «ячейки с сокровищами». Первая — это ячейка 5, в ней лежит сокровище на 50 долларов. Вторая — это ячейка 7, в ней лежит сокровище на 60 долларов. Третья — это ячейка 8, в ней лежит сокровище на 100 долларов.

Сначала Фреда может дотянуться только до ячеек 1, 3, 5, 7 и 9. Первая операция уменьшает стоимость в долларах второй «ячейки с сокровищами» с 60 до 55. После этого самое ценное сокровище среди доступных ей «ячеек с сокровищами» — это max(50, 55) = 55. После третьей операции она может двигаться на 3 ячейки вперед с каждым шагом, таким образом она может достигнуть ячеек 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Значит, четвертая операция забирает сокровище стоимостью 100 долларов.

Обратите внимание, что она забрала сокровище стоимостью 55 и 100 долларов, следовательно, ответ последней операцией она забирает сокровище стоимостью 50 долларов.

C. Баланс

графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное *2500

Имеется система из n сосудов с водой, некоторые пары которых соединены трубками с клапанами и механизмами для переливания. Через трубки, соединяющие сосуды, можно переливать целое число литров из одного сосуда в другой (в любом направлении). Два сосуда могут быть соединены более чем одной трубкой. Общее количество трубок равно e. Объемы всех сосудов одинаковы и равны v, и объем воды в сосудах, разумеется, не должен превышать объема сосуда в процессе переливаний.

Известны начальные объемы a_i воды в сосудах и объемы b_i, которые требуется получить. Найдите последовательность переливаний, которая выполняет эту задачу. Число переливаний не должно превышать 2·n².

Входные данные

Первая строка содержит целые числа n, v, e (1 ≤ n ≤ 300, 1 ≤ v ≤ 10⁹, 0 ≤ e ≤ 50000).

Следующие две строки содержат по n неотрицательных целых чисел каждая — изначальные a_i и требуемые объемы b_i соответствующих сосудов (0 ≤ a_i, b_i ≤ v).

В следующих e строках содержится описание всех трубок в формате x y (1 ≤ x, y ≤ n, x ≠ y) для трубки, соединяющей сосуды с номерами x и y. Два сосуда могут быть соединены более чем одной трубкой. Считайте, что сосуды пронумерованы некоторым образом от 1 до n.

Выходные данные

Выведите «NO» (без кавычек), если такой последовательности переливаний не существует.

Иначе выведите любую подходящую последовательность переливаний в следующем формате. В первой строчке выведите число переливаний k (k не должно превышать 2·n²). В последующих строчках выведите переливания по одному на строке в формате x y d (переливание d литров из сосуда номер x в сосуд номер y, x и y должны быть различны). Для всех операций число d должно быть целым неотрицательным.

B. Пинг-Понг (упрощенная версия)

графы поиск в глубину и подобное *1500

В этой задаче в каждый момент времени у Вас есть набор интервалов. Вам разрешено перейти от интервала (a, b) из набора к интервалу (c, d) из набора тогда и только тогда, когда c < a < d или c < b < d. Считается, что путь от интервала I₁ к интервалу I₂ существует, если есть последовательность переходов, начинающихся с I₁, таких, что можно добраться до I₂.

Ваша программа должна обрабатывать запросы двух следующих типов:

«1 x y» (x < y) — добавьте новый интервал (x, y) в набор интервалов. Длина нового интервала гарантированно строго больше длин всех предыдущих интервалов.
«2 a b» (a ≠ b) — ответьте на вопрос: есть ли путь от a-го (один-индексация) добавленного интервала до b-го (один-индексация) добавленного интервала?

Выполните все запросы. Считайте, что изначально в вашем наборе нет ни одного интервала.

Входные данные

Первая строка содержит целое число n (1 ≤ n ≤ 100), обозначающее количество запросов. Каждая из следующих строк содержит запрос в формате, описанном выше. Все числа во входных данных целые и не превосходят по модулю 10⁹.

Гарантируется, что все запросы корректные.

Выходные данные

Для каждого запроса второго типа выведите «YES» или «NO» в отдельной строке в зависимости от ответа на вопрос.

B. Граф-турнир

графы Конструктив *2200

В данной задаче от Вас требуется построить граф-турнир, состоящий из n вершин, такой, что для любой ориентированной пары вершин (v, u)(v ≠ u) существует путь из вершины v в вершину u длины не более двух ребер.

Ориентированный граф без петель называется турниром, если между любыми его двумя различными вершинами есть ровно одно ребро (в одном из двух возможных направлений).

Входные данные

В первой строке записано единственное целое число n (3 ≤ n ≤ 1000) — количество вершин графа.

Выходные данные

Выведите -1, если не существует ни одного графа, удовлетворяющего описанным условиям.

Иначе выведите n строк, в каждой строке по n целых чисел, разделенных пробелами, — матрицу смежности a найденного турнира. Считайте, что вершины графа пронумерованы целыми числами от 1 до n. Тогда a_v, u = 0, если в турнире нет ребра из вершины v в вершину u, и a_v, u = 1, если ребро есть.

Так как выведенный граф должен быть турниром, то должны выполняться следующие равенства:

a_v, u + a_u, v = 1 для всех v, u (1 ≤ v, u ≤ n; v ≠ u);
a_v, v = 0 для всех v (1 ≤ v ≤ n).

C. Монстры и бриллианты

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2600

Красная Шапочка нашла одного монстра и книгу о монстрах. В книге она нашла информацию о том, что всего существует n типов монстров, и каждый тип монстра имеет номер (целое число от 1 до n). А также, что если монстра накормить пирожком, то он превратится в несколько (возможно, ноль) других или таких же монстров, и несколько (не менее одного) бриллиантов. Известно, что монстр определенного типа может превращаться несколькими способами.

Красная Шапочка взяла монстра и посадила его на полянке. Затем она накормила его пирожком. Покуда на полянке есть хотя бы один монстр, Красная Шапочка продолжает кормить их пирожками. В конце, когда монстров больше не осталось, она собирает все бриллианты, которые получились в процессе превращений монстров.

Вам дана информация о всех возможных превращениях: для каждого превращения определенного типа монстра, во что он превратится. Известно, что для каждого типа монстра имеется хотя бы одно превращение. Некоторые типы монстров могут иметь больше одного варианта превращения, тогда в тот момент, когда такой монстр превращается, Красная Шапочка выбирает, какое именно превращение будет иметь место в этот раз.

Для каждого типа монстра определите, каково наименьшее и наибольшее количество бриллиантов, которое Красная Шапочка может собрать к моменту, когда на полянке не останется монстров, если изначально у нее будет один монстр этого типа. Учтите, Красная Шапочка имеет бесконечно большой запас пирожков.

Входные данные

В первой строке содержится два целых числа: m и n (1 ≤ m, n ≤ 10⁵), количество возможных превращений и количество различных типов монстров. В последующих m строках перечислены превращения по одному в строке. Описание каждого превращения начинается с целого числа (типа монстра) m_i (1 ≤ m_i ≤ n), а затем положительного целого числа l_i, обозначающего количество монстров и бриллиантов, в которые может превратиться текущий монстр. Далее в строке следуют l_i целых чисел — во что превращается текущий монстр: положительное число обозначает монстра соответствующего типа, -1 обозначает бриллиант.

Для каждого типа монстра существует хотя бы одно превращение. Каждое превращение содержит хотя бы один бриллиант. Сумма всех l_i не превышает 10⁵.

Выходные данные

Для каждого типа монстра, в порядке их номеров, выведите одну строку с двумя целыми числами: минимальное и максимальное количество бриллиантов, которое можно получить к моменту, когда на полянке не останется ни одного монстра, если начать с одним монстром этого типа. Если, начав с этого монстра, Красная Шапочка не имеет никакого шанса остаться без монстров на полянке, выведите -1 вместо минимального и -1 вместо максимального значения. Если, начав с этим монстром, Красная Шапочка может получить произвольно большое количество бриллиантов, выведите -2 вместо максимального значения.

Если любое значение в выходных данных превышает 314000000 (но является конечным), выведите 314000000 вместо этого значения.

E. Тропинки и полянки

графы жадные алгоритмы Комбинаторика поиск в глубину и подобное снм *2800

Красная Шапочка и Иван Дурак гуляют по лесу. Гуляя по лесу, они обнаружили, что в лесу есть тропинки и полянки. Всего в лесу n полянок, которым Иван Дурак назначил номера от 0 до n - 1. Иван Дурак заметил, что для каждой полянки i, из нее есть ровно две тропинки: одна ведет в полянку номер (2·i) mod n, вторая — в полянку ((2·i) + 1) mod n.

Красная Шапочка, в свою очередь, заметила, что все тропинки однонаправленные (Красная Шапочка не может объяснить природу этого явления). Теперь, стоя в полянке с номером 0, Красная Шапочка задалась вопросом — если она начнет гулять по тропинкам, может ли она обойти все полянки ровно по одному разу и в конце вернуться на полянку с номером 0 опять (тем самым посетив ее дважды)?

Запись x mod y обозначает операцию взятия остатка от деления числа x на число y.

Входные данные

Единственная строка содержит целое число n (2 ≤ n ≤ 10⁵) — количество полянок.

Выходные данные

Выведите порядок, в котором следует обойти полянки. Каждая полянка должна быть выведена ровно один раз, кроме полянки 0, которая должна быть выведена ровно дважды: первой и последней в списке. Если решения не существует, выведите -1. Если решений несколько, выведите любое из них.

D. Башни из кирпичей

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *1900

Наигравшись на бумаге, Яхуб перешел на компьютерные игры. Он играет в игру под названием «Башни из кирпичей». Играется она на прямоугольной таблице, состоящей из n строк и m столбцов (таблица содержит n × m ячеек). Цель игры — построить свой собственный город. Некоторые ячейки таблицы — это огромные дыры, и там Яхуб никакого здания построить не может. Остальные ячейки — пустые. В некоторой пустой ячейке можно построить ровно одну башню одного из двух следующих видов:

Синие башни. Лимит населения каждой равен 100.
Красные башни. Лимит населения каждой равен 200. Однако, красную башню можно построить в некоторой ячейке только тогда, когда на момент постройки хотя бы одна из соседних ячеек имеет синюю башню. Две ячейки являются соседними, если они имеют общую сторону.

Яхубу также разрешено уничтожить здание в любой ячейке. Он может выполнять эту операцию какое угодно количество раз. Уничтожение одного здания не влияет на остальные здания, а ячейка, в которой уничтожили здание, становится пустой (таким образом, Яхуб может, если это нужно, построить башню в этой ячейке — такой случай показан во втором примере).

Яхуб может привезти в свой город столько населения, сколько хочет. Итак, ему нужно построить свой город так, чтобы в нем помещалось как можно больше людей. То есть нужно найти оптимальную последовательность застройки, такую, что итоговый суммарный лимит населения как можно больше.

Яхуб говорит, что в этой игре он лучший, и все же, у него нет оптимального решения. Напишите программу, которая высчитывает оптимальное решение и покажите зазнайке, что он не так уж и крут!

Входные данные

В первой строке содержатся два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 500). В каждой из следующих n строк содержится m символов, описывающих таблицу. Если j-ой символ в i-ой строке равен «.», значит, в ячейке с координатами (i, j) разрешается строить башню (пустая ячейка). А если символ равен «#», значит, в ячейке огромная дыра.

Выходные данные

В первой строке выведите целое число k (0 ≤ k ≤ 10⁶) — количество операций, которое должен совершить Яхуб, чтобы застроить город оптимально.

Каждая из следующих k строк должна содержать одну из трех описанных операций в формате:

«B x y» (1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ m) — операция постройки синей башни в клетке (x, y);
«R x y» (1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ m) — операция постройки красной башни в клетке (x, y);
«D x y» (1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ m) — операция разрушения башни в клетке (x, y).

Если существует несколько решений, разрешается вывести любое. Обратите внимание, минимизировать количество операций не требуется.

D. Рыцари

геометрия графы кратчайшие пути сортировки *2000

Над Берляндией снова сгустились тучи. Армия злого лорда Ван де Марта собирается захватить королевство. На военный совет созванный королём Берляндии Валерием Суровым прибыло n рыцарей. После долгих дискуссий стало ясно, что в королевстве есть ровно n опорных точек (сдача каждого из них врагу равносильна поражению в войне) и каждый рыцарь займёт одну из этих точек.

Берляндия разделена на m + 1 область m заборами, и единственный способ перейти из одной области в другую это перелезть через забор. Каждый забор представляет собой окружность на плоскости, причём никакие два забора не имеют общих точек и ни одна опорная точка не находится на заборе. Вам задано k пар чисел a_i, b_i. Для каждой пары вам нужно узнать: сколько заборов придётся пересечь рыцарю, находящемуся в опорной точке номер a_i, чтобы достигнуть опорной точки b_i (в случае если Ван де Март нанесёт первый удар в опорную точку номер b_i). Поскольку каждый рыцарь путешествует на коне (а коня непросто перекидывать через забор), то вам нужно для каждой пары найти минимальное число пересечений.

Входные данные

В первой строке входных данных записано три целых числа n, m, k (1 ≤ n, m ≤ 1000, 0 ≤ k ≤ 100000). В следующих n строках записано по два целых числа Kx_i, Ky_i ( - 10⁹ ≤ Kx_i, Ky_i ≤ 10⁹) — координаты опорной точки номер i. Опорные точки могут совпадать.

Каждая из следующих m строк описывает забор номер i тремя целыми числами r_i, Cx_i, Cy_i (1 ≤ r_i ≤ 10⁹, - 10⁹ ≤ Cx_i, Cy_i ≤ 10⁹) — радиусом и центром окружности, на которой находится соответствующий забор.

Далее заданы k пар целых чисел a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n), каждая в отдельной строке — запросы на которые вам придётся отвечать. a_i и b_i могут совпадать.

Выходные данные

Выведите ровно k строк, в каждой из которых записано одно число — ответ на соответствующий запрос.

B. Строим дорогу

графы Конструктив *1300

В одной стране есть n городов. Изначально в этой стране нет дорог. Но вот, однажды король решает построить дороги, соединяющие пары городов. По дорогам можно путешествовать в любую сторону. Король хочет построить дороги так, чтобы можно было добраться из любого города в любой другой, проехав не более двух дорог. Также дано m пар городов — между этими парами городов дороги строить нельзя.

Ваша задача — построить как можно меньше дорог так, чтобы вышеперечисленные условия выполнялись. Ограничения гарантируют, что это возможно всегда.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа, n и m $\text{[math]}$ .

Затем следует m строк, каждая строка состоит из двух целых чисел, a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i), показывающих, что нельзя строить дорогу между городами a_i и b_i. Считайте, что города пронумерованы от 1 до n.

Гарантируется, что каждая пара городов упоминается во входных данных ровно один раз.

Выходные данные

В первой строке выведите целое число s: наименьшее количество дорог, которые надо построить. Затем следует вывести s строк, по два целых числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i) в каждой, означающих, что надо построить дорогу между городами a_i и b_i.

Если существует несколько решений, можно выводить любое.

Примечание

Ниже показано одно из возможных решений тестового примера:

$\text{[math]}$

Примеры неправильных решений:

$\text{[math]}$ Решение, изображенное на картинке выше, неверно из-за того, что количество построенных дорог не минимально (4 против 3). Также, здесь строится дорога между городами 1 и 3, несмотря на то, что во входных данных указан запрет на строительство дороги между этой парой. $\text{[math]}$ Решение, изображенное на картинке выше, неверно, так как нужно проехать по меньшей мере 3 дороги, чтобы попасть из города 1 в город 3, а в Вашем ответе должно быть возможно добраться из любого города в любой другой, пройдя не более 2 дорог. $\text{[math]}$ И наконец, это решение неверно потому, что должна быть возможность добраться от любого города до любого другого, а в этом ответе невозможно добраться от 1 до 3, от 2 до 3, и от 4 до 3.

D. Похищение чертежей

графы математика *2400

В руки повстанцев случайно попал план сверхсекретного исследовательского полигона, созданного на одной из дальних планет для нужд Галактической Империи. По предположению повстанцев на территории этого полигона ведется разработка нового смертоносного оружия. Полигон состоит из n ракетных шахт, соединенных двусторонними подземными переходами. К переходам примыкают лаборатории, в которых и проводятся исследования. Разумеется, переходы тщательно охраняются: переход между шахтами i и j патрулируют c_i, j боевых дроидов.

Изучая план полигона, повстанцы обратили внимание на его необычную структуру. Оказалось, что для любого k-элементного множества шахт S существует ровно одна шахта, напрямую соединенная переходом с каждой шахтой из S (будем называть эту шахту соседней с S). С учетом этого повстанцы приняли решение провести разведывательную операцию на полигоне следующим образом:

выбирается k-элементное множество шахт S;
в каждую шахту из S с воздуха высаживается группа разведчиков;
каждая группа двигается по соответствующему переходу в шахту, соседнюю с S, попутно осматривая лаборатории на предмет наличия чертежей оружия;
в шахте, соседней с S, группы поднимаются на корабль и улетают.

Опасностью операции назовем суммарное количество дроидов, патрулирующих переходы, через которые пройдут разведчики. Очевидно, опасность операции зависит только от способа выбора множества S. Повстанцы еще не решили, в какие именно шахты будут высаживаться разведчики, однако они хотят начать подготовку вооружения для разведывательных групп уже сейчас. Для этого повстанцам нужно знать, каково среднее арифметическое опасностей операций, соответствующих всем возможным способам выбора множества S. Решите эту задачу, чтобы помочь повстанцам защитить идеалы Республики!

Входные данные

В первой строке записано два целых числа n и k (2 ≤ n ≤ 2000, 1 ≤ k ≤ n - 1) — количество шахт и количество разведывательных групп соответственно. В следующих n - 1 строках описывается план полигона: i-ая из этих строк содержит n - i целых чисел c_{i, i + 1}, c_{i, i + 2}, ..., c_i, n — количество дроидов, патрулирующих соответствующие переходы (-1 ≤ c_i, j ≤ 10⁹; если c_i, j = -1, то перехода между шахтами i и j нет). Все переходы являются двунаправленными, то есть можно считать, что c_i, j = c_j, i. Переходов, соединяющих шахту саму с собой, не существует. Гарантируется, что план полигона удовлетворяет условию задачи.

Выходные данные

Выведите среднюю опасность разведывательной операции, округленную вниз до целого числа. Обратите внимание, что при указанных ограничениях ответ на задачу всегда помещается в стандартный целочисленный 64-битный тип данных.

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для вывода 64-битных чисел на С++. Рекомендуется использовать поток cout или спецификатор %I64d.

Примечание

В первом примере существует 6 одноэлементных множеств шахт. Для множеств {1}, {5} опасность операции составит 8, для множеств {3}, {6} — 3, для множеств {2}, {4} — 5. Среднее арифметическое равно $\text{[math]}$ .

Во втором примере существует 3 двухэлементных множества шахт: {1, 3} (опасность равна 21), {1, 2} (опасность равна 11), {2, 3} (опасность равна 10). Средняя опасность операции равна $\text{[math]}$ .

C. Ксюша и гири

графы дп жадные алгоритмы Конструктив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1700

У Ксюши есть набор из гирек, а также чашечные весы. Каждая гирька имеет целочисленный вес от 1 до 10 килограмм. Ксюша собирается поиграть с весами и гирьками. Для этого она последовательно кладет гирьки на весы. Первую гирьку на левую чашу весов, вторую гирьку — на правую чашу весов, третью — на левую чашу весов, четвертую — на правую чашу весов и так далее. Всего Ксюша хочет положить на весы m гирек.

Просто так класть гирьки на весы не интересно, поэтому Ксюша установила несколько правил. Во-первых, она не кладет на весы подряд две гирьки одинакового веса. То есть i-я положенная гирька, должна отличаться от (i + 1)-й по весу для любого i (1 ≤ i < m). Во-вторых, Ксюше хочется, чтобы каждый раз, когда она кладет гирьку на некоторую чашу весов, эта чаша весов перевешивала противоположную. То есть сумма весов гирек на соответствующей чаше должна быть строго больше, чем на противоположной.

Вам заданы все типы гирек, которые имеются у Ксюши. Можете считать, что у Ксюши имеется бесконечное количество гирек каждого заданного типа. Ваша задача, помочь Ксюше выложить m гирек на весы или сказать, что это сделать невозможно.

Входные данные

В первой строке записана строка, состоящая из ровно десяти нулей и единиц: i-тый (i ≥ 1) символ в этой строке равен «1», если у Ксюши имеются гирьки, которые весят i килограмм, и равен «0» иначе. Во второй строке записано целое число m (1 ≤ m ≤ 1000).

Выходные данные

В первой строке выведите «YES», если существует способ выложить m гирек на весы, соблюдая все правила, иначе в первой строке выведите «NO». Если выложить m гирек на весы возможно, то в следующей строке выведите m целых чисел — веса гирек в порядке их выкладывания на весы.

Если существует несколько решений, разрешается вывести любое.

D. Карта дорог

графы поиск в глубину и подобное *1600

В Берляндии n городов. Каждый город имеет номер — целое число от 1 до n, причем столица имеет номер r₁. Все дороги в Берляндии двусторонние, причем карта дорог устроена так, что есть ровно один путь от столицы до каждого города, то есть карта представляет собой дерево. В летописях Берляндии карта хранится в следующем виде: для каждого отличного от столицы города i хранится число p_i — номер последнего города на пути из столицы в i.

Однажды король Берляндии Берл XXXIV решил перенести столицу из города r₁ в город r₂. Естественно, после этого старое представление карты в летописях перестало быть верным. Помогите королю — найдите новое представление карты дорог в описанном выше виде.

Входные данные

В первой строке через пробел записано три целых числа n, r₁, r₂ (2 ≤ n ≤ 5·10⁴, 1 ≤ r₁ ≠ r₂ ≤ n) — количество городов в Берляндии, номер исходной столицы и номер новой столицы соответственно.

На следующей строке через пробел записано n - 1 целых чисел — старое представление карты дорог. Для всех городов за исключением r₁ задано целое число p_i — номер последнего города на пути из столицы в город i. Все города описаны в порядке увеличения номеров.

Выходные данные

Выведите n - 1 чисел — новое представление карты дорог в том же формате.

D. Водяное дерево

графы Деревья поиск в глубину и подобное Структуры данных *2100

Безумный ученый Майк построил корневое дерево, которое состоит из n вершин. Каждая вершина представляет собой резервуар, который может быть либо пуст, либо заполнен водой.

Вершины дерева пронумерованы числами от 1 до n. Корень дерева находится в вершине 1. Резервуары детей каждой вершины расположены ниже резервуара этой вершины, при этом вершина соединена с каждым из детей трубой, по которой вниз может стекать вода.

Майк хочет выполнять с деревом следующие операции:

Заполнить водой вершину v. Тогда v и все ее потомки (дети, дети детей, и так далее) заполняются водой.
Опустошить вершину v. Тогда v и все ее предки становятся пустыми.
Определить, заполнена ли вершина v водой в данный момент.

Изначально все вершины дерева пусты.

Майк уже составил полный список операций, которые он хочет выполнить по порядку. Перед испытанием дерева Майк решил провести симуляцию этих действий. Помогите Майку определить, какие результаты он получит в результате выполнения всех операций.

Входные данные

В первой строке входных данных записано целое число n (1 ≤ n ≤ 500000) — количество вершин в дереве. В каждой из следующих n - 1 строк через пробел записаны по два целых числа a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i) — ребра дерева.

В следующей строке дано целое число q (1 ≤ q ≤ 500000) — количество операций. В каждой из следующих q строк через пробел записано по два целых числа c_i (1 ≤ c_i ≤ 3), v_i (1 ≤ v_i ≤ n), где c_i обозначает номер типа операции (согласно нумерации в условии), а v_i обозначает вершину, над которой проводится операция.

Гарантируется, что данный граф является деревом.

Выходные данные

Для каждой операции типа 3 выведите на отдельной строке 1, если вершина заполнена, и 0, если вершина пуста. Ответы на запросы выводите в том порядке, в котором запросы даны во входных данных.

E. Насосные станции

графы Деревья жадные алгоритмы Перебор поиск в глубину и подобное Потоки разделяй и властвуй *2900

Безумный ученый Майк устроился на работу. Его задача — управлять системой насосных станций для перекачки воды.

Система состоит из n насосных станций, которые пронумерованы целыми числами от 1 до n. Некоторые пары станций соединены двунаправленными трубами, по которым может течь вода в том или другом направлении (но одновременно только в одном). Для каждой трубы задана пропускная способность — наибольшее количество литров воды, которое может через нее протекать в течение одного часа. Каждая насосная станция может перекачивать входящую воду из одних станций в другие станции по трубам при условии, что за один час общее входящее в эту станцию количество литров воды равняется общему исходящему из этой станции количеству литров воды.

В обязанности Майка входит перекачивание воды между станциями. Из станции a в станцию b по трубам (возможно, через другие станции) в течение одного часа можно пустить какое-то количество литров воды согласно правилам, описанным выше. В течение этого времени вода из других станций не может втекать в станцию a, и не может вытекать из станции b, при том из станции a может вытекать любое количество воды, и в станцию b может втекать любое количество воды. Если из станции a за час в общем было выкачано x литров воды, то Майк получает к зарплате x бублей.

Чтобы получить зарплату, Майк по контракту должен работать n - 1 дней. В первый день он выбирает две станции v₁ и v₂, и в течение одного часа перекачивает определённое количество воды из v₁ в v₂. Далее в i-тый день Майк выбирает до этого ни разу не выбранную станцию v_i + 1, и в течение одного часа перекачивает определенное количество воды из станции v_i в станцию v_i + 1. При этом количество перекачиваемой воды в i-тый день не зависит от количества перекачиваемой воды в (i - 1)-ый день.

Для своих проектов Майку нужно заработать как можно больше бублей. Помогите Майку найти такую перестановку номеров станций v₁, v₂, ..., v_n, при которой Майк может заработать наибольшую возможную зарплату.

Входные данные

В первой строке входных данных через пробел записаны два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 200, 1 ≤ m ≤ 1000) — количество станций и количество труб в системе, соответственно. В i-той из следующих m строк через пробелы записаны три числа a_i, b_i и c_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 1 ≤ c_i ≤ 100) — номера станций, которое соединяет i-тая труба и пропускная способность трубы, соответственно. Гарантируется, что любые две станции соединяет не более чем одна труба и между любыми двумя станциями существует путь по трубам.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число — наибольшее значение зарплаты, которую может получить Майк. В второй строке через пробелы выведите перестановку из n чисел от 1 до n — номера станций последовательности v₁, v₂, ..., v_n. Если существует несколько ответов, выведите любой.

B. Простые молекулы

графы математика Перебор *1200

Безумный ученый Майк ставит эксперименты по химии. Сегодня он попытается собрать одну молекулу из трех атомов.

Известно, что молекула состоит из атомов, некоторые пары которых соединены атомарными связями. У каждого атома есть значение валентности — количества связей, которые атом должен образовывать с другими атомами. Атом может создавать одну или несколько связей с любым другим атомом, но не с самим собой. Количество связей для атома в молекуле должно быть равно его валентности.

$\text{[math]}$

Майку известны валентности всех трех атомов. Найдите молекулу, которую из них можно собрать, или же определите, что это невозможно.

Входные данные

В единственной строке входных данных через пробел записаны три целых числа a, b и c (1 ≤ a, b, c ≤ 10⁶) — валентности трех данных атомов.

Выходные данные

Если нужная молекула существует, выведите через пробел три целых числа — количество связей между 1-м и 2-м, 2-м и 3-м, 3-м и 1-м атомами соответственно. Если решений несколько, выведите любое. Если решения не существует, выведите «Impossible» (без кавычек).

Примечание

Первый пример соответствует первому рисунку. Между 1-м и 2-м атомами в данном случае нет связей.

Второй пример соответствует второму рисунку. Между каждой парой атомов есть одна или несколько связей.

Третий пример соответствует третьему рисунку. Решения не существует, потому что атом не может образовывать связи с самим собой.

Ситуация на четвертом рисунке невозможна, так как каждый атом должен вступать хотя бы в одну атомарную связь.

D. Письмо счастья

*особая задача графы поиск в глубину и подобное *2200

Письма счастья — сообщения, которые требуют от получателя переслать их копии как можно большему количеству людей, обычно с неким мистическим объяснением. Конечно, это всего лишь суеверие, и вы игнорируете такие письма — чего нельзя сказать о ваших друзьях. Известно, что сегодня такое письмо будет циркулировать среди ваших друзей, и вы хотите знать заранее, сколько его копий вы получите — конечно, пересылать его дальше вы не собираетесь!

Связи между вами и n - 1 вашими друзьями заданы массивом строк f из n элементов: j-ый символ i-ой строки (f[i][j]) — «1», если люди номер i и j будут обмениваться сообщениями (есть в контактах друг у друга), и «0» в противном случае. Человек номер 1 начинает рассылать сообщения всем своим контактам; каждый человек, получая письмо впервые, пересылает его всем своим контактам. Вы — человек номер n, и вы не пересылаете полученные письма.

Сколько копий этого письма вы получите?

Входные данные

Первая строка входных данных содержит целое число n (2 ≤ n ≤ 50) — количество задействованных людей. Следующие n строк содержат элементы массива f — строки длины n, состоящие из символов «0» и «1». Гарантируется, что выполняются равенства: f[i][j] = f[j][i], f[i][i] = 0, для всех i, j (1 ≤ i, j ≤ n).

Выходные данные

Выведите целое число — количество копий письма, которые вы получите со временем.

Примечание

В первом случае все посылают письма друг другу, так что вы получите копии от всех троих друзей.

Во втором случае вы не знаете никого из этих людей.

В третьем случае двое друзей посылают вам письма, но третий не знает ни одного из них и не получает письмо.

D. Управляем роботом

графы дп кратчайшие пути *2600

Робокомпанию возглавляет жестокий человек. Его девиз: «Движение или смерть»! Именно этим его продукт и занимается. Рассмотрим поведение робота этой компании. Пусть робот движется по ориентированному графу. Поведение робота на таком графе называется «Три закона робототехники»:

Закон 1. Робот самоликвидируется, если посетит ранее посещенную вершину графа.
Закон 2. Робот самоликвидируется, если окажется в ситуации, в которой ему некуда будет идти (иными словами, если робот зайдет в вершину, исходящая степень которой равна нулю).
Закон 3. Робот движется случайным образом, когда он может двигаться в нескольких направлениях (то есть, когда он достигает вершины, исходящая степень которой больше единицы). Конечно, робот может двигаться только по направленным ребрам графа.

Можете представить робота с таким поведением? Поэтому они очень дешевые и рассчитаны на потребителя, стесненного в средствах. Среди них, конечно, есть пользователь mzry1992. У mzry1992 имеется такой робот и она хочет переместить его из вершины s в вершину t по направленному графу так, чтобы робот не самоликвидировался. К счастью, в каждой вершине девушка может посылать роботу специальные приказ. Специальный приказ показывает роботу нужное направление в тех случаях, когда у робота есть несколько направлений на выбор (во избежание случайного выбора направления робота согласно закону 3). Когда робот дойдет до вершины номер t, mzry1992 немедленно изымает его из графа. Таким образом, девушка всегда найдет способ достичь желаемого результата, при условии, что существует путь из s в t (независимо от того, равна ли исходящая степень вершины t нулю или нет).

$\text{[math]}$ Тест 2

Однако отсылать приказы недешево. Поэтому Ваша задача — найти наименьшее количество приказов, которые должна отдать mzry1992 в наихудшем случае. Заметим, что mzry1992 может отдавать приказ роботу в момент движения робота по графу. Обратите внимание на первый пример для лучшего понимания этой части задачи.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n (1 ≤ n ≤ 10⁶) — количество вершин графа, и m (1 ≤ m ≤ 10⁶) — количество ребер. Затем следует m строк, в каждой строке записано два целых числа, u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n; v_i ≠ u_i), эти целые числа обозначают направленное ребро, проходящее из вершины u_i в вершину v_i. В последней строке записано два целых числа, s и t (1 ≤ s, t ≤ n).

Гарантируется, что граф не содержит петель и кратных ребер.

Выходные данные

Если выполнить поставленную цель возможно, выведите требуемое минимальное количество приказов в худшем случае. Иначе выведите -1.

Примечание

Рассмотрим первый пример. Изначально робот находится в вершине номер 1. Таким образом, на первом шагу робот может пойти в вершину 2 или 3. В зависимости от выбора робота, mzry1992 должна отдать приказ роботу. Приказ направляет его в вершину 4. Если mzry1992 не отдает приказа роботу на вершине 2 или 3, то робот может выбрать «плохое» исходящее ребро (вернуться в вершину 1) согласно закону № 3. Таким образом, ответ — один.

B. Курорт

графы *1500

Валера наконец-то решил отдохнуть! Он собрал все свои вещи и отправился на горнолыжный курорт.

Валера решил прокатиться на лыжах, однако понял, что плохо ориентируется на местности. Ему подсказали, что на курорте есть n объектов (будем считать, что объекты пронумерованы некоторым образом числами от 1 до n), и каждый из объектов является либо отелем, либо горой.

Валера разузнал, что на горнолыжном курорте построено несколько лыжных дорожек. А именно, для каждого объекта v на курорте существует не более одного объекта u такого, что из объекта u построена лыжная дорожка, ведущая в объект v. Известно, что не существует такого отеля, из которого построена лыжная дорожка, ведущая в некоторый объект.

Валера боится потеряться на курорте, поэтому он хочет, чтобы Вы предложили для его лыжной прогулки маршрут из объектов v₁, v₂, ..., v_k (k ≥ 1) такой, что:

Объекты с номерами v₁, v₂, ..., v_k - 1 — горы, а объект с номером v_k — отель.
Для любого целого i (1 ≤ i < k) из объекта с номером v_i построена ровно одна лыжная дорожка. Эта дорожка должна вести в объект v_i + 1.
В маршруте как можно больше объектов (k максимально).

Помогите Валере. Найдите такой маршрут, который удовлетворит всем критериям нашего героя!

Входные данные

В первой строке записано целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество объектов.

Во второй строке записаны n целых чисел через пробел type₁, type₂, ..., type_n — тип объекта с номером i. Если type_i равно нулю, то i-ый объект является горой. Если type_i равно единице, то i-ый объект является отелем. Гарантируется, что хотя бы один объект является отелем.

В третьей строке входных данных записано n целых чисел через пробел a₁, a₂, ..., a_n (0 ≤ a_i ≤ n) — описание лыжных дорожек. Если число a_i равно нулю, это означает, что не существует такого объекта v такого, что из v в i построена лыжная дорожка. Если число a_i не равно нулю, это означает, что из объекта с номером a_i построена дорожка в объект i.

Выходные данные

В первой строке выведите k — максимальную возможную длину маршрута для Валеры. Во второй строке выведите k целых чисел v₁, v₂, ..., v_k — сам маршрут.

Если существует несколько решений, разрешается вывести любое.

E. Неверный Флойд

графы Конструктив Перебор поиск в глубину и подобное *2200

Валера проводит эксперименты с алгоритмами поиска кратчайших путей. Недавно он изучил алгоритм Флойда, сегодня Валера решил поэкспериментировать именно с ним.

Валера уже написал код, который посчитает ему кратчайшие расстояния между всеми парами вершин в неориентированном связном графе из n вершин и m ребер, не содержащем петли и кратные ребра. Также Валера решил часть вершин пометить, а именно он пометил ровно k вершин a₁, a₂, ..., a_k.

Ниже приведена реализация его алгоритма.


ans[i][j] // кратчайшее расстояние для пары вершин i, j
a[i]  // помеченные Валерой вершины

for(i = 1; i <= n; i++) {
    for(j = 1; j <= n; j++) {
        if (i == j)
            ans[i][j] = 0;
        else
            ans[i][j] = INF;  //INF — очень большое число 
    }
}    

for(i = 1; i <= m; i++) {
    считать пару вершин u, v, между которыми есть неориентированное ребро;
    ans[u][v] = 1;
    ans[v][u] = 1;
}

for (i = 1; i <= k; i++) {
    v = a[i];
    for(j = 1; j <= n; j++)
        for(r = 1; r <= n; r++)
            ans[j][r] = min(ans[j][r], ans[j][v] + ans[v][r]);
}

Валера понял, что его код неверный. Помогите Валере, найдите для заданного набора помеченных вершин a₁, a₂, ..., a_k такой неориентированный связный граф, состоящий из n вершин и m ребер, для которого код Валеры хотя бы для одной из пар вершин (i, j) посчитает неверное кратчайшее расстояние. Валера очень хочет, чтобы найденный граф не содержал петли и кратные ребра. Если же такого графа не существует, выведите -1.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три целых числа n, m, k (3 ≤ n ≤ 300, 2 ≤ k ≤ n , $\text{[math]}$ ) — количество вершин, количество ребер, и количество помеченных вершин.

Во второй строке входных данных записаны k целых чисел через пробел a₁, a₂, ... a_k (1 ≤ a_i ≤ n) — номера помеченных вершин. Гарантируется, все числа a_i различны.

Выходные данные

Если требуемого графа не существует выведите в единственной строке -1. Иначе выведите m строк по два целых числа u, v — описание ребер искомого Валерой графа.

E. Дима и пинки

графы Перебор реализация снм *2300

Дима хороший. Очень. Но всему хорошему приходит конец...

Сережа собирается надавать Диме пинков. Для этого Сережа разделил комнату на единичные квадраты. Теперь комната представляет собой прямоугольник, состоящий из единичных квадратов, размера n × m.

Первоначально Сережа поставил Диму в центр некоторого единичного квадрата. Затем он начал давать Диме пинков (известно, что он дал Диме как минимум один пинок). Каждый раз, когда Дима получает пинок, он подлетает и перемешается в одном из четырех направлений (вверх, вниз, влево, вправо) на k (k > 1) единиц длины. Сережа очень добрый, поэтому он пинает Диму так, что тот никогда не ударяется о стены (то есть не вылетает за пределы прямоугольной комнаты). Еще Сережа очень оригинальный, поэтому он пинает Диму так, что тот никогда не пролетает над одним и тем же отрезком, который соединяет центры двух соседних по стороне квадратов, дважды.

Сережа долго пинал Диму. Но Дима не злопамятный — Дима записывает. Поэтому Дима пометил все квадраты, в которых он находился и над центрами которых он пролетал. Дима совершенно не помнит, с какой силой его пинал Сережа. Он хочет восстановить по своим записям все возможные варианты. Помогите ему, найдите все такие значения k, что Сережа мог пинать Диму так, что тот перемещался по комнате на k единиц от одного пинка.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 10³) — размеры комнаты.

Далее следует n строк, содержащих по m чисел a_ij — записи Димы: a_ij = 1, если Дима стоял в клеточке (i, j) или пролетал над ней. В противном случае a_ij = 0.

Известно, что как минимум одно значение a_ij равно 1.

Выходные данные

В единственной строке выведите в возрастающем порядке все k (k > 1), при которых могли получиться такие записи Димы. Если таких k не существует и Дима выдумал всю эту историю с пинками, выведите -1.

E. Два пути

графы Конструктив реализация снм *2600

Как-то раз археологи нашли m таинственных бумажек, на каждой из которых была написана пара целых чисел. Известно, что в древние времена очень любили записывать номера дорог, по которым ходили, в виде «a b» или «b a», где a, b — номера двух различных городов, между которыми шла дорога. Также известно, что таинственные бумаги — это листы из двух путевых дневников (для каждого нового путешествия раньше всегда заводили новый дневник).

В течение одного путешествия странник мог проходить по одной и той же дороге несколько раз в одном или разных направлениях, но в этом случае он ровно столько же раз делал запись об этой дороге в своем дневнике. Кроме того, археологи предполагают, что направление движения путника по дороге никак не влияло на запись в дневнике: запись «a b» могла относиться как к дороге из a в b, так и к дороге из b в a.

Археологи очень хотят расположить страницы в правильной последовательности и восстановить два маршрута путешествия, но, увы, они не сильны в программировании, так что настал ваш час. Помогите им!

Входные данные

В первой строке входных данных находится целое число m (1 ≤ m ≤ 10000). В каждой из последующих m строк описана одна бумага. Каждое описание состоит из пары целых чисел a, b (1 ≤ a, b ≤ 10000, a ≠ b).

Выходные данные

В первой строке выведите число L₁ — длину первого пути, т.е. количество бумаг в его описании. В следующей строке через пробел выведите L₁ чисел — номера бумаг, описывающих первый из путей. В третьей и четвертой строках аналогичным образом выведите длину второго пути L₂ и сам путь. Оба пути должны содержать по крайней мере по одной дороге, т.е. должно выполняться L₁ > 0 и L₂ > 0. Бумаги нумеруются числами от 1 до m в соответствии с порядком их задания во входном файле. Номера следует выводить в том порядке, в каком путешественник проходил соответствующие дороги. Если решений несколько, выведите любое из них.

Если построить два таких пути невозможно, выведите «-1».

Не забудьте, что использовать нужно все записи ровно по одному разу, т.е. L₁ + L₂ = m.

E. Левко и игра

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути *2800

Левко очень любит соревнования по спортивному ориентированию в своем городе. Чтобы лучше выступать на соревнованиях Левко тренируется все свободное время. Тренировки проводятся в игровой форме.

Город состоит из n перекрестков, которые соединены m + k односторонними дорогами. Между двумя перекрестками может существовать больше одной дороги, а также могут быть дороги из одного перекрестка в него же.

Левко и Зенык играют в игру. В самом начале игры Левко стоит на перекрестке s₁, а Зенык — на перекрестке s₂. Они оба хотят добраться до перекрестка f. Кто сделает это быстрее, тот и победит. Если они доберутся туда одновременно, то объявляется ничья. По предварительной договоренности игроки стартуют одновременно, а также двигаются по дорогам с одинаковой скоростью.

Левко очень хочет победить в игре. Он знает длины всех дорог в городе и знает, что есть ровно k дорог, длины которых можно изменить, заплатив городскому правительству. По заказу Левко правительство может изменить длину i-ой из этих k дорог на любое целое значение из интервала [l_i, r_i] (оба конца отрезка включаются). Левко стало интересно, может ли он перестроить дороги так, чтобы победить в игре, и если нет, то может ли он надеяться на ничью.

Считайте, что оба игрока действуют оптимально, играя в игру. Гарантируется, что из перекрестков s₁ и s₂ можно добраться до перекрестка f.

Входные данные

В первой строке записано три целых числа n, m и k (1 ≤ n, m ≤ 10⁴, 1 ≤ k ≤ 100). Во второй строке записано три целых числа s₁, s₂ и f (1 ≤ s₁, s₂, f ≤ n).

В следующих m строках записаны дороги, длины которых нельзя менять. В каждой строке записано три целых числа a_i, b_i и c_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, 1 ≤ c_i ≤ 10⁹), обозначающих дорогу, ведущую из перекрестка a_i в перекресток b_i длины c_i.

В следующих k строках записаны дороги, длины которых можно менять. В каждой строке записано по четыре целых числа a_i, b_i, l_i и r_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, 1 ≤ l_i ≤ r_i ≤ 10⁹), обозначающих, что есть дорога из перекрестка a_i в перекресток b_i, длину которой Левко может установить в пределах [l_i, r_i].

Считайте, что перекрестки пронумерованы от 1 до n. Гарантируется, что из перекрестков s₁ и s₂ можно добраться до перекрестка f.

Выходные данные

В первой строке выведите строку «WIN» (без кавычек) — если Левко может победить в этой игре, «DRAW» (без кавычек) — если Левко может достичь ничьи и «LOSE» (без кавычек), если он точно проиграет.

Если ответ «WIN» или «DRAW» во второй строке выведите k целых чисел через пробел — длины дорог, которые устанавливает Левко. Длины для дорог выводите в порядке следования дорог во входных данных.

D. Дураки и дороги

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2100

На уроках географии в школе Вам наверняка рассказывали о Стране Дураков. В частности, Вы должны знать, что внутреннее устройство Страны Дураков не менялось на протяжении многих столетий. Страна состоит из n городов, некоторые пары которых соединены двусторонними дорогами, причем каждая из дорог характеризуется величиной l_i — своей длиной.

Так и жили бы дураки, но недавно в результате государственного переворота в стране поменялся король — им стал медведь Василий. Василий разделил города страны на области таким образом, что между любыми двумя городами из одной области существует путь по дорогам страны, а между двумя городами из разных областей такого пути нет. После этого Василий решил провести дорожную реформу: построить в стране ровно p новых дорог. Строительство одной дороги происходит следующим образом:

Выбирается пара различных городов u, v, которые будет соединять новая дорога (при этом возможно, что между этими городами уже существует дорога).
Определяется длина новой дороги: если города u, v относятся к различным областям, то длина вычисляется как min(10⁹, S + 1) (S — суммарная длина всех дорог, существующих в соединяемых областях), иначе длина полагается равной 1000.
Между выбранными городами строится дорога указанной длины. Если новая дорога соединяла различные области, то после ее строительства эти две области будут объединены в одну.

Василий хочет, чтобы после проведения дорожной реформы страна состояла ровно из q областей. Ваша задача — разработать для медведя Василия такой план строительства дорог, удовлетворяющий этому требованию, чтобы суммарная длина построенных дорог была минимально возможной.

Входные данные

В первой строке записано четыре целых числа n (1 ≤ n ≤ 10⁵), m (0 ≤ m ≤ 10⁵), p (0 ≤ p ≤ 10⁵), q (1 ≤ q ≤ n) — количество городов в Стране Дураков, количество существующих дорог, количество дорог, которые планируется построить, и требуемое количество областей.

В следующих m строках описываются дороги, существующие на момент начала реформы. Каждая из этих строк содержит три целых числа x_i, y_i, l_i: x_i, y_i — номера городов, которые соединяет дорога (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i), l_i — ее длина (1 ≤ l_i ≤ 10⁹). Обратите внимание, что одна и та же пара городов может быть соединена несколькими дорогами.

Выходные данные

Если невозможно требуемым образом построить дороги, выведите единственную строку «NO» (без кавычек). В противном случае выведите в первую строку слово «YES» (без кавычек), а в следующих p строках приведите план строительства дорог. Каждая строка плана должна состоять из двух различных целых чисел, задающих номера городов, которые соединяет очередная дорога. Дороги в плане должны следовать в том порядке, в котором их нужно строить. Если существует несколько оптимальных решений, можно вывести любое.

Примечание

Рассмотрим первый пример. До начала реформы Страна Дураков состоит из четырех областей. Первая область включает в себя города 1, 2, 3, вторая — города 4 и 6, третья — города 5, 7, 8, четвертая — город 9. Суммарная длина дорог, существующих в этих областях, составляет 11, 20, 5 и 0 соответственно. Согласно плану, первой строится дорога длины 6 между городами 5 и 9, а второй — дорога длины 23 между городами 1 и 9. Таким образом, суммарная длина построенных дорог составляет 29.

E. Петя и трубопровод

графы кратчайшие пути Потоки *2300

Мальчик Петя мечтает вырасти и стать Главным Сантехником Берляндии. Уже сейчас он обдумывает задачи, которые ему наверняка придется решать в будущем. К сожалению, Петя еще слишком неопытен, и потому одну из таких задач (вызывающую у Пети наибольший интерес) предстоит решить Вам.

В столице Берляндии есть n резервуаров для воды, пронумерованных целыми числами от 1 до n. Эти резервуары некоторым образом соединены однонаправленными трубами, причем любая пара резервуаров соединена не более чем одной трубой в каждом из направлений. Каждая труба характеризуется своей толщиной — строго положительным целым числом, которое определяет, сколько литров воды в единицу времени эта труба может пропустить. Вода в город поступает из главного водохранилища, имеющего номер 1. Пройдя по некоторому пути из труб, она должна попасть в сточный резервуар, снабженный очистной системой (он имеет номер n).

Петя хочет увеличить толщину некоторого поднабора труб суммарно не более чем на k единиц толщины таким образом, чтобы толщина каждой трубы осталась целочисленной. Помогите ему определить, какое максимальное количество воды может протекать в единицу времени из главного водохранилища в сточный резервуар после осуществления такой операции.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа n и k (2 ≤ n ≤ 50, 0 ≤ k ≤ 1000), разделенные пробелом. Далее следуют n строк по n целых чисел, разделенных единичными пробелами. В строке i + 1 в колонке j записано целое число c_ij — толщина трубы из резервуара i в резервуар j (0 ≤ c_ij ≤ 10⁶, с_ii = 0). Если c_ij = 0, то трубы из резервуара i в резервуар j нет.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — максимальное количество воды, которое может протекать в единицу времени из главного водохранилища в сточный резервуар.

Примечание

В первом тесте можно увеличить толщину трубы из 1-го во 2-ой резервуар на 7 единиц.

Во втором тесте толщину трубы из 1-го во 2-ой резервуар нужно увеличить на 4 единицы, из 2-го в 3-ий — на 3 единицы, из 3-го в 4-ый — на 2 единицы и из 4-ого в 5-ый — на 1 единицу.

C. Сережа и расстановка чисел

графы жадные алгоритмы сортировки *2000

Назовем массив, состоящий из n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n, красивым, если он обладает следующим свойством:

рассмотрим все пары чисел x, y (x ≠ y) такие, что число x встречается в массиве a, и число y встречается в массиве a;
для каждой пары x, y должна существовать некоторая позиция j (1 ≤ j < n) такая, что выполняется одно из двух: либо a_j = x, a_j + 1 = y, либо a_j = y, a_j + 1 = x.

Сережа хочет построить красивый массив a, состоящий из n целых чисел. Но не все так просто, у друга Сережи Димы есть m талонов, на каждом из которых написано два целых числа q_i, w_i. Талон i стоит w_i рублей и позволяет использовать при построении массива a сколько угодно чисел q_i. У Сережи никаких талонов нет, поэтому Дима с Сережей договорились следующим образом. Дима строит некоторый красивый массив a из n элементов. После чего он берет с Сережи w_i рублей за каждое q_i, которое встречается в массиве a. Сережа поверил другу и согласился на договор, теперь ему стало интересно, а какую максимальную сумму денег он может заплатить.

Помогите Сереже, найдите максимальную сумму денег, которую Сережа может заплатить Диме.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 2·10⁶, 1 ≤ m ≤ 10⁵). Следующие m строк содержат пары целых чисел. В i-ой строке содержатся числа q_i, w_i (1 ≤ q_i, w_i ≤ 10⁵).

Гарантируется, что все q_i различны.

Выходные данные

В единственную строку выведите максимальную сумму денег (в рублях), которую может потратить Сережа.

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для чтения или записи 64-битных чисел на С++. Рекомендуется использовать потоки cin, cout или спецификатор %I64d

Примечание

В первом примере Сережа заплатит максимум 5 рублей, например, если Дима построит массив: [1, 2, 1, 2, 2]. Возможны и другие оптимальные массивы.

В третьем примере Сережа заплатит максимум 100 рублей, если Дима построит массив: [2].

C. Валера и выборы

графы Деревья поиск в глубину и подобное *1600

В городе, где живет Валера, скоро состоятся выборы в Городскую Думу.

Всего в городе есть n районов и n - 1 двусторонняя дорога. При этом известно, что из любого района существует путь по дорогам в любой другой район. Пронумеруем все районы в городе некоторым образом целыми числами от 1 до n включительно. Для каждой дороги жители определили, является ли она проблемной или нет. Проблемная дорога — это дорога, которая нуждается в ремонте.

На выборы баллотируются n кандидатов. Пронумеруем всех кандидатов некоторым образом целыми числами от 1 до n включительно. Если кандидат с номером i будет избран в Городскую Думу, то он выполнит ровно одно обещание — отремонтировать все проблемные дороги на пути от района с номером i до района с номером 1, в котором расположена Городская Дума.

Помогите Валере и найдите множество кандидатов, после избрания которых в Городскую Думу все проблемные дороги в городе будут отремонтированы. Если же существует несколько таких множеств, следует выбрать множество, состоящее из минимального количества кандидатов.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число n (2 ≤ n ≤ 10⁵) — количество районов в городе.

Далее следует n - 1 строка. Каждая строка содержит описание дороги в виде трех целых положительных чисел x_i, y_i, t_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, 1 ≤ t_i ≤ 2) — районы, которые соединяет i-я двусторонняя дорога, и тип дороги. Если t_i равно единице, то i-я дорога не является проблемной; если t_i равно двум, то i-я дорога является проблемной.

Гарантируется, что если представить город в виде графа дорог, граф будет являться деревом.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое неотрицательное число k — минимальный возможный размер искомого множества.

Во второй строке выведите k целых чисел a₁, a₂, ... a_k — номера кандидатов, которые образуют искомое множество. Если существует несколько решений, то разрешается вывести любое.

D. Валера и дураки

графы дп кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2200

Одним прекрасным утром n дураков выстроились в ряд. После этого они пронумеровали друг друга номерами от 1 до n включительно. Каждый дурак получил уникальный номер. Дураки решили не менять своих номеров до конца веселья.

У каждого дурака есть ровно k патронов и пистолет. Вероятность того, что дурак с номером i убьет дурака, в которого совершит выстрел, равна p_i процентов.

Дураки решили провести несколько раундов веселья. Каждый раунд веселья состоит в следующем: каждый еще живой дурак совершает выстрел в другого живого дурака с наименьшим номером (дураки не настолько глупы, чтобы стрелять в самих себя). Все выстрелы совершаются одновременно. Если остался ровно один живой дурак, то он не совершает выстрелов.

Назовем ситуацией множество номеров всех живых дураков на некоторый момент времени. Будем говорить, что ситуация возможна, если для некоторого целого числа j (0 ≤ j ≤ k) существует ненулевая вероятность, что через j раундов веселья будет иметь место именно такая ситуация.

Валера знает числа p₁, p₂, ..., p_n и k. Помогите Валере определить количество различных возможных ситуаций.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа n, k (1 ≤ n, k ≤ 3000) — изначальное количество дураков и количество патронов у каждого дурака.

Во второй строке задано n целых чисел p₁, p₂, ..., p_n (0 ≤ p_i ≤ 100) — указанные вероятности (в процентах).

Выходные данные

Выведите единственное число — ответ на задачу.

Примечание

В первом примере любая ситуация возможна, кроме ситуации {1, 2}.

Во втором примере ровно один дурак, поэтому он не совершает выстрелов.

В третьем примере возможны ситуации {1, 2} (после нуля раундов) и «пустая» ситуация {} (после одного раунда).

В четвертом примере возможна только ситуация {1, 2, 3}.

E. Испытание для вождя

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути *2600

Разгадав словарь древнеберляндского языка, ученые смогли прочитать записи летописцев того времени. В частности, они узнали, как происходил выбор вождя древнеберляндского племени.

Как только на место вождя набиралось достаточное количество претендентов, среди них проводилось следующее испытание: шаман племени брал плиту, разделенную вертикальными и горизонтальными полосам на одинаковые клетки (плита состояла из N строк и M столбцов), и красил каждую клетку в черный или белый цвет. Затем каждому испытуемому выдавалась плита такого же размера, но покрашенная полностью в белый цвет. За один день он мог перекрасить любое связное по стороне множество клеток этой плиты в некоторый цвет. Множество называется связным, если для любых двух клеток этого множества существует путь, все клетки которого принадлежат этому множеству, и любые две соседние клетки на этом пути имеют общую сторону. Цель каждого из претендентов — получить в точности такую же раскраску как у шамана. Тот, кто получал такую раскраску раньше всех, становился новым вождем племени.

Ученые обнаружили плиту, раскрашенную шаманом древнеберляндского племени. Помогите им определить, за какое минимальное количество дней мог определиться новый вождь, если ему нужно было получить заданную раскраску.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа N и M (1 ≤ N, M ≤ 50) — количество строк и столбцов у плиты. В следующих N строках записаны по M символов — итоговая раскраска плиты. Символ W означает, что клетка должна быть покрашена в белый цвет, а B — в черный.

Выходные данные

В единственной строке выведите минимальное количество перекрашиваний связных областей, необходимых для получения искомой раскраски плиты.

A. Ладья, слон и король

графы кратчайшие пути математика *1100

Маленький Петя учится играть в шахматы. Он уже выучил, как перемещаются король, ладья и слон. Напомним и вам правила перемещения этих шахматных фигур. Шахматная доска представляет собой 64 квадратных поля, выстроенных в таблицу 8 × 8. Поле обозначается парой целых чисел (r, c) — номером строки и номером столбца (в классическом варианте столбцы обозначаются буквами). Каждая фигура занимает ровно одно поле. Ход состоит в перемещении фигуры, причем фигуры перемещаются по следующим правилам:

Ладья за один ход перемещается на произвольное количество клеток по горизонтали либо по вертикали.
Слон за один ход перемещается на произвольное количество клеток по диагонали.
Король за один ход перемещается на одно поле в любом направлении — горизонтально, вертикально, или по диагонали.

$\text{[math]}$ Ходы шахматных фигур

Петя раздумывает над следующей задачей: за какое наименьшее количество ходов каждая из этих фигур может переместиться из поля (r₁, c₁) на поле (r₂, c₂)? При этом считается, что других фигур, кроме данной, на доске нет. Помогите ему в решении этой задачи.

Входные данные

Во входных данных записаны четыре целых числа r₁, c₁, r₂, c₂ (1 ≤ r₁, c₁, r₂, c₂ ≤ 8) — координаты стартового и конечного полей. Стартовое поле не совпадает с конечным.

Можете считать, что строки шахматного поля нумеруются сверху вниз от 1 до 8, а столбцы слева направо от 1 до 8.

Выходные данные

Выведите три целых числа через пробел: наименьшее количество ходов, требуемых ладье, слону и королю (в таком порядке) для того, чтобы переместиться из поля (r₁, c₁) на поле (r₂, c₂). В случае, если какая-то из фигур не может совершить такое перемещение, выведите вместо соответствующего числа 0.

C. Инна и Дима

графы дп поиск в глубину и подобное реализация *1900

Инна и Дима купили в магазине табличку размера n × m. В каждой ячейке этой таблички записана одна из букв: «D», «I», «M», «A».

Инна любит Диму, поэтому она хочет, двигаясь по табличке, собрать его имя как можно больше раз. Для этого Инна действует следующим образом:

изначально Инна выбирает некоторую ячейку таблицы, в которой записана буква «D»;
затем Инна может перейти в одну из соседних по стороне ячеек таблицы, в которой записана буква «I»; затем из этой ячейки она может перейти в одну из соседних по стороне ячеек таблицы, в которой записана буква «M»; затем в одну из соседних по стороне ячеек таблицы, в которой записана буква «A», после чего Инна считает, что собрала целиком имя своего возлюбленного;
следующим ходом Инна может перейти в одну из соседних по стороне ячеек таблицы, в которой записана буква «D», и далее аналогичным образом продолжить набор имени DIMA. Инна никогда не пропускает буквы, то есть из буквы «D» она всегда переходит в букву «I», из буквы «I» — в букву «M», из буквы «M» — в букву «A», а из буквы «A» — в букву «D» для начала набора имени еще раз.

В зависимости от выбора первоначальной ячейки таблицы Инна может собрать слово DIMA либо бесконечное количество раз, либо некоторое положительное конечное количество раз, либо вообще не может собрать слово DIMA ни разу. Помогите Инне определить, какое максимальное количество раз она может собрать слово DIMA.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 10³).

Далее следует n строк, описывающих таблицу Инны и Димы. Каждая строка содержит m символов. Каждый символ — это один из символов: «D», «I», «M», «A».

Обратите внимание, не гарантируется, что таблица содержит хотя бы одну букву «D».

Выходные данные

Если Инна не может собрать ни одного слова DIMA, в единственной строке выведите «Poor Dima!» без кавычек. Если Инна может собрать бесконечное количество слов DIMA, выведите «Poor Inna!» без кавычек. Иначе выведите целое число — какое максимальное количество раз Инна сможет собрать слово DIMA.

Примечание

Пояснения к примерам:

В первом тестовом примере, Инна не может собрать слово DIMA ни разу.

Во втором тестовом примере, Инна может собрать бесконечное количество слов DIMA. Для этого она должна двигаться по часовой стрелке, начиная от правого нижнего угла.

В третьем тестовом примере, выгоднее всего изначально выбрать ячейку в левом верхнем углу таблицы. Начиная от этой ячейки, можно собрать слово DIMA 4 раза.

B. Сережа и дерево

графы реализация *2400

Сережа очень любит деревья. Сегодня он придумал совершенно новый вид корневых бинарных деревьев.

Новое дерево состоит из n уровней, а каждая вершина проиндексирована двумя целыми числами: номером уровня и номером вершины на текущем уровне. Корень дерева находится на уровне 1 и имеет индекс (1, 1). Далее следует псевдокод построения дерева.


//глобальные данные - целочисленные массивы cnt[], left[][], right[][]

cnt[1] = 1;
заполнить массивы left[][], right[][] значениями -1;
for(level = 1; level < n; level = level + 1){
    cnt[level + 1] = 0;
    for(position = 1; position <= cnt[level]; position = position + 1){
        if(значение position является степенью двойки){ // то есть 1, 2, 4, 8...
            left[level][position] = cnt[level + 1] + 1;
            right[level][position] = cnt[level + 1] + 2;
            cnt[level + 1] = cnt[level + 1] + 2;            
        }else{
            right[level][position] = cnt[level + 1] + 1;
            cnt[level + 1] = cnt[level + 1] + 1;
        }
    }
}

После выполнения псевдокода в ячейке cnt[level] хранится количество вершин на уровне level. В ячейке left[level][position] хранится номер вершины на уровне level + 1, которая является левым сыном вершины с индексом (level, position), или хранится -1, если левого сына у вершина нет. Аналогично, ячейка right[level][position] отвечает за правого сына. В примечаниях можно посмотреть, как выглядит дерево, для n = 4.

Сережа любит все усложнять, поэтому сначала Сережа построил дерево, а потом для каждой вершины дерева Сережа завел пустое множество A(level, position). Далее Сережа выполняет m операций. Каждая операция имеет один из двух следующих видов:

Формат операции «1 t l r x». Для всех вершин level, position (level = t; l ≤ position ≤ r) добавить значение x в множество A(level, position).
Формат операции «2 t v». Для вершины level, position (level = t, position = v) найти объединение всех множеств вершин, находящихся в поддереве вершины (level, position). Вывести размер объединения этих множеств.

Помогите Сереже выполнить операции. В этой задаче считается, что множество содержит в себе различные элементы как std::set в C++.

Входные данные

Первая строка содержит целые числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 7000).

Следующие m строк содержат описания операций. Операция первого типа задается пятью целыми числами: 1 t l r x (1 ≤ t ≤ n; 1 ≤ l ≤ r ≤ cnt[t]; 1 ≤ x ≤ 10⁶). Операция второго типа задается тремя целыми числами: 2 t v (1 ≤ t ≤ n; 1 ≤ v ≤ cnt[t]).

Выходные данные

Для каждой операции второго типа выведите ответ в отдельной строке.

Примечание

Определения связанные с корневыми деревьями можно найти по ссылке http://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_(теория_графов).

Ниже нарисовано построенное дерево для n = 4.

$\text{[math]}$

D. Ксюша и пешки

графы Деревья поиск в глубину и подобное реализация *2200

У Ксюши есть шахматная доска размером n × m. На каждой клетке этой шахматной доски нарисован один из символов: «<», «>», «^», «v», «#». Клетки, на которых нарисован символ «#», Ксюша называет заблокированными. Известно, что все клетки шахматной доски, которые касаются ее границы, являются заблокированными.

Ксюша играет с двумя пешками на этой шахматной доске. Изначально она ставит пешки на шахматную доску. Причем в одной клетке шахматной доски в один момент времени могут стоять две пешки тогда и только тогда, когда эта клетка заблокированная. В других случаях две пешки не могут находиться в одной клетке. Игра начинается, когда Ксюша поставила пешки на доску. За один ход Ксюша перемещает каждую из пешек на соседнюю по стороне клетку в направлении стрелки, нарисованной на клетке, на которой стоит соответствующая пешка (если пешка стоит на «#», она не двигается). Считайте, что Ксюша двигает пешки одновременно (смотрите второй тестовый пример).

Конечно, Ксюша играет на очки. Как же посчитать очки за игру? Очень просто! Давайте посчитаем сколько перемещений совершила первая пешка и сколько вторая, просуммируем эти два числа — это и будет являться результирующим количеством очков игры.

Ксюше очень интересно, какое максимальное количество очков она может заработать (для этого одна должна оптимально разместить пешки в самом начале игры). Помогите ей, найдите это число.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 2000) — размеры доски. В каждой из следующих n строк записано по m символов — описание доски. Каждый символ — это один из символов: «<», «>», «^», «v», «#».

Гарантируется, что граничные клетки доски — это заблокированные клетки (с символом «#»).

Выходные данные

Если Ксюша может заработать бесконечно большое количество очков, выведите -1. Иначе выведите максимальное количество очков, которое она может заработать.

D. Игра с точками

графы дп кратчайшие пути реализация *2100

Представьте, что Вы играете в следующую игру. Имеется n точек, являющихся вершинами правильного n-угольника. Точки пронумерованы целыми числами от 1 до n. Каждая пара точек соединена отрезком некоторого цвета. Различных цветов не более 26, они обозначаются строчными латинскими буквами. В трех различных точках стоит по фишке. Все фишки одинаковые. За один ход Вы можете взять любую из фишек и передвинуть ее в другую точку. При этом цвет отрезка, по которому Вы можете передвинуть фишку, должен совпадать с цветом отрезка, соединяющего точки, в которых находятся две другие фишки. Нельзя перемещать фишку в точку, в которой уже находится другая фишка. Ваша задача состоит в том, чтобы за наименьшее количество ходов добиться того, чтобы фишки находились в точках с номерами 1, 2 и 3. Напишите программу, которая оптимальным образом играет в эту игру.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (3 ≤ n ≤ 70) — количество точек. Во второй строке записаны три различных целых числа от 1 до n — номера точек, в которых изначально находятся фишки. Каждая из следующих строк содержит по n символов — это матрица, задающая цвета отрезков. Цвета задаются строчными буквами латинского алфавита. Символ с номером j в i-й строке матрицы обозначает цвет отрезка между точками i и j. Матрица симметрична, то есть j-й символ i-й строки совпадает с i-м символом j-й строки. На главной диагонали матрицы стоят символы '*', потому что не существует отрезка, соединяющего точку саму с собой.

Выходные данные

Если не существует ни одной последовательности ходов, после которых фишки оказываются в точках с номерами 1, 2 и 3, выведите в единственной строке число -1. Если же решение существует, то в первой строке выведите наименьшее возможное количество ходов, а далее сами ходы. Для описания очередного хода в отдельной строке выведите два целых числа через пробел — номер точки, откуда следует взять фишку, и номер точки, куда ее следует передвинуть. Если оптимальных последовательностей ходов несколько, выведите любую из них.

Примечание

В первом примере мы можем передвинуть фишку из точки 4 в точку 1, потому что они соединены отрезком цвета 'a', как и точки 2 и 3, в которых находятся две другие фишки. После этого хода фишки находятся в точках 1, 2 и 3.

B. Лиса и минимальный путь

битмаски графы Конструктив математика реализация *1900

Лисица Сиель хочет сделать задачку программистам на контест. Задача звучит так: «Дан простой неориентированный граф, состоящий из n вершин. Каждое его ребро имеет длину 1. Надо посчитать количество кратчайших путей между вершиной 1 и вершиной 2».

Как и все авторы, она хочет, чтобы некоторые из выходных данных были особенными: например, ее день рождения или количество ее друзей. Можете ли вы помочь ей составить такой тест для задачи, чтобы ответ на него был ровно k?

Входные данные

В первой строке записано единственное целое число k (1 ≤ k ≤ 10⁹).

Выходные данные

Выведите граф G с n вершинами (2 ≤ n ≤ 1000). Между вершинами графа 1 и 2 должно быть ровно k наикратчайших путей.

В первой строке должно быть записано целое число n. Затем надо вывести матрицу смежности графа G, состоящую из n строк и n столбцов. Каждый элемент матрицы должен равняться 'N' или 'Y'. Если G_ij равняется 'Y', то граф G имеет ребро, соединяющее вершину i и вершину j. Считайте, что вершины графа пронумерованы от 1 до n.

Граф должен быть неориентированным и простым: должны выполняться условия G_ii = 'N' и G_ij = G_ji. Также, должен быть хотя бы один путь между вершинами 1 и 2. Гарантируется, что ответ существует. Если есть несколько правильных ответов, можно вывести любой из них.

Примечание

В первом примере есть 2 кратчайших пути: 1-3-2 и 1-4-2.

Во втором примере есть 9 кратчайших путей: 1-3-6-2, 1-3-7-2, 1-3-8-2, 1-4-6-2, 1-4-7-2, 1-4-8-2, 1-5-6-2, 1-5-7-2, 1-5-8-2.

C. О меняющемся дереве

графы Деревья Структуры данных

Дано корневое дерево, состоящее из n вершин, пронумерованных от 1 до n. Корень дерева находится в вершине с номером 1.

Изначально во всех вершинах записано число 0. Далее приходят q запросов, каждый из которых имеет один из следующих двух видов:

Формат запроса: 1 v x k. В ответ на запрос нужно к числу, записанному в вершине v, добавить x; к числам, записанным в потомках вершины v на расстоянии 1, добавить x - k; и так далее, к числам, записанным в потомках на расстоянии i, нужно добавить x - (i·k). Расстоянием между двумя вершинами считается длина кратчайшего по количеству ребер пути между этими вершинами.
Формат запроса: 2 v. В ответ на запрос требуется вывести, какое число сейчас записано в вершине v по модулю 1000000007 (10⁹ + 7).

Выполните заданные во входных данных запросы.

Входные данные

В первой строке задано целое число n (1 ≤ n ≤ 3·10⁵) — количество вершин в дереве. Во второй строке задано n - 1 целое число p₂, p₃, ... p_n (1 ≤ p_i < i), где p_i — это номер вершины, являющейся предком вершины i в дереве.

В третьей строке записано целое число q (1 ≤ q ≤ 3·10⁵) — количество запросов. В следующих q строках заданы запросы, по одному на строке. Первое число в строке type означает тип запроса. Если type = 1, то далее заданы целые числа v, x, k (1 ≤ v ≤ n; 0 ≤ x < 10⁹ + 7; 0 ≤ k < 10⁹ + 7) через пробел. Если type = 2, то далее задано целое число v (1 ≤ v ≤ n) — вершина, в которой нужно узнать значение числа.

Выходные данные

Для каждого запроса второго типа на отдельной строке выведите число, записанное в вершине, обозначенной в запросе, по модулю 1000000007 (10⁹ + 7).

Примечание

О корневом дереве можно прочитать здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_(теория_графов).

D. Дима и бактерии

графы кратчайшие пути снм *2000

Дима стал заниматься биологией бактерий, в результате своих опытов он вывел k видов бактерий. Всего сейчас в его лаборатории содержится n бактерий, причем количество бактерий вида i равно c_i. Для удобства будем считать, что все бактерии пронумерованы от 1 до n. При этом бактерии вида c_i имеют номера от $\text{[math]}$ до $\text{[math]}$ .

С помощью специального оборудования Дима может передавать энергию между некоторыми бактериями. Конечно, пользование таким оборудованием не бесплатно. Дима знает m способов передачи энергии с помощью оборудования. Способ с номером i характеризуется тремя целыми числами v_i, u_i, x_i и позволяет за x_i долларов передавать энергию от бактерии с номером u_i к бактерии с номером v_i или наоборот.

Начальник Димы (Инна) считает, что распределение на виды устроено правильным образом, если существует способ (возможно, использовав оборудование несколько раз) передать энергию от любой бактерии определенного вида другой бактерии этого же вида бесплатно (для любых двух бактерий одного и того же вида).

Поскольку в таком случае стоимость передачи энергии от любой бактерии к любой другой зависит лишь только от видов этих двух бактерий, помогите Инне определить: образуют ли выведенные Димой бактерии устроенное правильным образом распределение на виды? И если образуют, выведите матрицу d размера k × k. Ячейка d[i][j] этой матрицы должна обозначать стоимость передачи энергии от бактерии вида i к бактерии вида j.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа n, m, k (1 ≤ n ≤ 10⁵; 0 ≤ m ≤ 10⁵; 1 ≤ k ≤ 500). В следующей строке записаны k целых чисел c₁, c₂, ..., c_k (1 ≤ c_i ≤ n). В каждой из следующих m строк записано три целых числа u_i, v_i, x_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n; 0 ≤ x_i ≤ 10⁴; u_i ≠ v_i). Гарантируется, что $\text{[math]}$ .

Выходные данные

Если распределение Димы устроено правильным образом, выведите строку «Yes», а затем k строк: в i-й строке выведите целые числа d[i][1], d[i][2], ..., d[i][k] (d[i][i] = 0). Если нельзя передать энергию бактерии типа j от бактерии типа i соответствующее значение d[i][j] должно быть равно -1. Если распределение Димы устроено неправильным образом, выведите «No».

C. Ищем граф

графы Конструктив Перебор *1500

Будем называть неориентированный граф из n вершин p-интересным, если выполнены условия:

граф содержит ровно 2n + p ребер;
граф не содержит петель и кратных ребер;
для любого целого k (1 ≤ k ≤ n) любой подграф, состоящий из k вершин, содержит не более 2k + p ребер.

Подграфом графа будем называть некоторое множество вершин графа и некоторое множество ребер графа. Причем множество ребер должно удовлетворять условию: оба конца каждого ребра из множества должны принадлежать выбранному множеству вершин.

Ваша задача отыскать p-интересный граф, состоящий из n вершин.

Входные данные

В первой строке задано единственное целое число t (1 ≤ t ≤ 5) — количество тестовых данных. В следующих t строках задано по два целых числа: n, p (5 ≤ n ≤ 24; p ≥ 0; $\text{[math]}$ ) — количество вершин в графе и параметр интересности для соответствующего теста.

Гарантируется, что искомый граф существует.

Выходные данные

Для каждого из t тестов выведите 2n + p строк, содержащих описание ребер p-интересного графа: i-я строка должна содержать два целых числа через пробел a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i) — две вершины, соединенные ребром в результирующем графе. Считайте, что вершины графа пронумерованы целыми числами от 1 до n.

Ответы для тестов выводите в том порядке, в котором тесты заданы во входных данных. Если существует несколько решений, разрешается вывести любое из них.

E. Строго положительная матрица

графы математика *2200

У вас есть матрица a размера n × n. Строки матрицы пронумеруем от 1 до n сверху вниз, столбцы матрицы пронумеруем от 1 до n слева направо. Обозначим за a_ij элемент, находящийся пересечении i-й строки и j-го столбца.

Матрица a удовлетворяет следующим двум условиям:

для любых чисел i, j (1 ≤ i, j ≤ n) верно неравенство a_ij ≥ 0;
$\text{[math]}$ .

Матрица b называется строго положительной, если для любых чисел i, j (1 ≤ i, j ≤ n) верно неравенство b_ij > 0. Вам необходимо определить, существует ли такое целое число k ≥ 1, что матрица a^k является строго положительной.

Входные данные

В первой строке задано целое число n (2 ≤ n ≤ 2000) — количество строк и столбцов в матрице a.

В следующих n строках задано описание строк матрицы a. В i-ой строке задано n целых неотрицательных чисел a_i1, a_i2, ..., a_in (0 ≤ a_ij ≤ 50). Гарантируется, что $\text{[math]}$ .

Выходные данные

Если существует целое число k ≥ 1, такое, что матрица a^k является строго положительной, выведите «YES» (без кавычек). Иначе, выведите «NO» (без кавычек).

C. Восстановите граф

графы поиск в глубину и подобное сортировки *1800

У Валеры был неориентированный связный граф без петель и кратных ребер, состоящий из n вершин. Граф обладал интересным свойством: из каждой его вершины исходило не более k ребер. Для удобства будем считать, что вершины графа пронумерованы целыми числами от 1 до n.

Как-то раз Валера посчитал кратчайшие расстояния от одной из вершин графа до всех остальных и выписал их в массив d. Таким образом, элемент d[i] массива обозначает кратчайшее расстояние от выбранной Валерой вершины до вершины с номером i.

Вскоре произошло неисправимое. Валера потерял исходный граф. Однако, у него остался массив d. Помогите ему восстановить утерянный граф.

Входные данные

В первой строке через пробел записаны два целых числа n и k (1 ≤ k < n ≤ 10⁵). Число n обозначает количество вершин в искомом графе. Число k обозначает, что из каждой вершины искомого графа исходит не более k ребер.

Во второй строке через пробел записаны целые числа d[1], d[2], ..., d[n] (0 ≤ d[i] < n). Число d[i] обозначает кратчайшее расстояние от выбранной Валерой вершины до вершины с номером i.

Выходные данные

Если Валера ошибся в записях и требуемого графа не существует, выведите в первой строке число -1. Иначе, в первой строке выведите целое число m (0 ≤ m ≤ 10⁶) — количество ребер в найденном графе.

В каждой из следующих m строк выведите через пробел два целых числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i), обозначающих ребро, соединяющее вершины с номерами a_i и b_i. Граф не должен содержать петель и кратных ребер. Если возможных ответов несколько, выведите любой.

E. Разрез графа

графы поиск в глубину и подобное *2300

Маленький Крис принимает участие в соревновании по нарезке графов. В этом он профессионал. Настал час устроить серьезную проверку его способностям.

Крису дан простой неориентированный связный граф, который состоит из n вершин (пронумерованных от 1 до n) и m ребер. Задача Криса состоит в том, чтобы разрезать заданный граф на пути длины 2. Формально, Крису надо разбить все ребра графа на пары так, чтобы в каждой паре ребра были смежные (инцидентны некоторой общей вершине) и каждое ребро содержалось ровно в одной паре.

Например, ниже приведен рисунок, который показывает, как Крис может разрезать граф. Первый тестовый пример содержит описание этого графа.

$\text{[math]}$

Вам дана возможность посоревноваться с Крисом. Найдите способ разрезать данный граф или же определите, что это невозможно!

Входные данные

В первой строке входных данных даны два целых числа через пробел, n и m (1 ≤ n, m ≤ 10⁵), количество вершин и ребер в графе, соответственно. Следующие m строк содержат описание ребер графа. В i-й строке записаны два целых числа через пробел a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i), номера вершин, соединенных i-м ребром.

Гарантируется, что данный граф простой (не содержит петель и мультиребер) и связный.

Обратите внимание: входные и выходные данные имеют очень большой размер, не стоит использовать медленные методы ввода и вывода данных вашего языка программирования. Например, в языке C++ не стоит использовать потоки ввода и вывода (cin, cout).

Выходные данные

Если данный граф возможно разрезать на пути длины 2, выведите $\text{[math]}$ строк. В i-й строке выведите три целых числа через пробел, x_i, y_i и z_i, описание i-го пути. Граф должен содержать этот путь, то есть в графе должны быть ребра (x_i, y_i) и (y_i, z_i). Каждое ребро должно присутствовать ровно в одном пути длины 2. Если есть несколько вариантов решения, выведите любой из них.

Если данный граф разрезать невозможно, выведите "No solution" (без кавычек).

E. 3-циклы

графы жадные алгоритмы Конструктив *1900

В ходе своих недавних исследований берляндские ученые выяснили, что в Древней Берляндии было n городов, которые были соединены двусторонними дорогами. Любые два города соединены не более, чем одной дорогой. Никакая дорога не соединяет город сам с собой. Согласно известной традиции, сеть дорог строилась таким образом, что невозможно было выбрать такие три города, что из каждого можно проехать в каждый напрямую. То есть не существовало цикла длины ровно 3. К сожалению, карта дорог не дошла до наших времен. Сейчас ученым интересно, насколько развитым государством была Древняя Берляндия. Помогите им: найдите, какое наибольшее число дорог могло быть в государстве. Так же требуется восстановить любую из возможных карт дорог.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (1 ≤ n ≤ 100) — количество городов в Берляндии.

Выходные данные

В первой строке должно быть записано число m — наибольшее возможное число дорог в Берляндии. Далее выведите m строк по два числа в каждой — номера городов, которые соединяет очередная дорога. Города нумеруются целыми числами от 1 до n. Если решений несколько, выведите любое.

E. Маршрут Президента

графы дп кратчайшие пути *2500

В старой доброй Берляндии n городов, m дорог. Каждая из дорог соединяет пару различных городов и является двусторонней. Между парой городов не более одной дороги. Известна длина каждой из дорог.

Известно, что совсем скоро Президент поедет по дорогам Берляндии из города s в город t. Конечно, он выберет один из кратчайших путей из s в t, но какой именно — не известно.

Министр транспорта очень боится, что Президент будет расстроен состоянием дорог страны. По этой причине он планирует организовать ремонт тех дорог, по которым может проходить путь Президента.

Составить бюджет для такого мероприятия — непростая задача. Для всех возможных различных пар s, t (s < t) найдите количество дорог, которые лежат на хотя бы одном кратчайшем пути из s в t.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны целые числа n, m (2 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ m ≤ n·(n - 1) / 2) — количество городов и дорог соответственно. Далее следует m строк с описаниями дорог, по одному описанию в строке. Каждое описание содержит три целых числа x_i, y_i, l_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i, 1 ≤ l_i ≤ 10⁶), где x_i, y_i — номера соединяемых i-й дорогой городов, а l_i — ее длина.

Выходные данные

Выведите последовательность $\text{[math]}$ целых чисел c₁₂, c₁₃, ..., c_1n, c₂₃, c₂₄, ..., c_2n, ..., c_{n - 1, n}, где c_st — искомое количество дорог на пути из s в t. Элементы последовательности c выводите в описанном порядке. Если между парой городов s и t вообще нет пути, то c_st = 0.

C. Футбол

графы Конструктив реализация *1400

В качестве внеконкурсного мероприятия на «Russian Code Cup» было решено поиграть в футбол. Все участники разделились на n команд и провели несколько матчей, при этом две команды не могли сыграть друг против друга более одного раза.

Судьей назначили самого опытного участника — Павла. Но так как он был самым мудрым из всех, ему сразу наскучили игры, и он уснул. Проснувшись, он обнаружил, что турнир закончился, и команды хотят узнать результаты всех матчей.

Чтобы никто не обнаружил, что Павел заснул и не следил за результатами, он решил восстановить исходы всех матчей. Для этого он опросил все команды и узнал, что победила дружба, а именно каждая команда выиграла у других ровно k раз. Помогите Павлу придумать хронологию турнира, удовлетворяющую всем условиям или сообщите, что ее не существует.

Входные данные

В первой строке задано два целых числа — n и k (1 ≤ n, k ≤ 1000).

Выходные данные

В первой строке выведите целое число m — количество сыгранных матчей. В следующих m строках должна содержаться информация обо всех матчах, по матчу в строке. В i-й строке выведите два целых числа a_i b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i). Числа a_i, b_i обозначают, что в i-м матче команда с номером a_i победила команду с номером b_i. Считайте, что команды пронумерованы от 1 до n.

Если не существует турнира, удовлетворяющего условию задачи, выведите -1.

D. Большие проблемы организаторов

графы Деревья Структуры данных *2800

Финал «Russian Code Cup» 2214 года будет проводиться в n гостиницах. При этом в двух гостиницах, назовем их главными, будут проводиться всевозможные мероприятия, а в остальных поселят участников. Сеть дорог устроена таким образом, что гостиницы соединены n - 1 дорогой, при этом из любой гостиницы можно попасть в любую.

Организаторам интересно, за какое минимальное количество времени все участники доберутся до главных гостиниц, если каждый участник едет в ближайшую к нему главную гостиницу, а перемещение между двумя гостиницами, соединенными дорогой, занимает одну единицу времени.

Сейчас организаторы еще окончательно не определились, какие гостиницы должны быть главными, поэтому они рассматривают различные варианты расположения главных гостиниц. Для каждого рассматриваемого расположения помогите организаторам посчитать минимальное время.

Входные данные

В первой строке находится целое число n (2 ≤ n ≤ 100000) — количество гостиниц. В последующих n - 1 строках содержится по два целых числа — номера гостиниц между которыми есть дорога. Считайте, что гостиницы нумеруются от 1 до n.

Следующая строка содержит целое число m (1 ≤ m ≤ 100000) — количество запросов. В следующих m строках содержится по два различных целых числа — номера предполагаемых главных гостиниц.

Выходные данные

На каждый запрос организаторов выведите одно целое число — время, которое понадобится, чтобы все участники добрались до главных гостиниц.

E. Военные и Володя

графы Деревья поиск в глубину и подобное *2700

Володя — мастер искажений. Он обладает уникальной способностью — строить портальчики! Имея два местоположения в пространстве, Володя может построить портальчик, позволяющий перемещаться между ними в любом из двух направлений. К сожалению, такое действие не обходится Володе даром, и при каждом строительстве редеет на несколько волос его и так, скажем откровенно, не очень-то густая шевелюра.

Из-за своих экстраординарных способностей, Володя привлек внимание военных. Ему поручено особо важное задание. Но обо всем по порядку.

Военная база представляет собой несколько подземных объектов, некоторые из которых соединены между собой двусторонними тоннелями, причем так, что между любыми двумя объектами есть путь по тоннелям. Ровно два объекта имеют выходы на поверхность. Для охраны тоннелей действует патрульный, который каждый день спускается в любой из объектов, имеющих выход, обходит все тоннели и выходит на поверхность через любой из объектов, имеющих выход. Он может входить и выходить через один и тот же объект, а может через разные. Руководство военной базы заметило, что патрульный проходит через некоторые тоннели по несколько раз, и решило оптимизировать схему патрулирования. Перед военными встала задача: построить систему портальчиков между объектами так, чтобы патрульный мог совершать свой обход, проходя по каждому тоннелю ровно один раз. При этом через портальчики патрульный может проходить неограниченное число раз.

Здесь-то и вступает в дело Володя: планирование и постройку системы порталов решили поручить именно ему. К несчастью для Володи, из-за строгой секретности ему не сообщили расположения тоннелей, но потребовали, чтобы система порталов выполняла задачу в любом случае. Тем не менее, некоторой информацией Володя располагает: ему известно, между какими парами объектов он может построить порталы и во сколько волос они обойдутся. Более того, завтра Володе обещают сообщить, какие два объекта имеют выходы на поверхность. Конечно же, Володя решил не терять времени и посчитать минимальные стоимости постройки для нескольких вероятных, по его мнению, пар объектов. Помогите ему!

Входные данные

В первой строке входных данных задано натуральное число n (2 ≤ n ≤ 100000) — количество объектов на секретной базе. Во второй строке — число m (1 ≤ m ≤ 200000) — количество портальчиков, которые потенциально могут быть построены Володей. Каждая из последующих m строк содержит описание портальчика — три целых числа a, b, c (1 ≤ a, b ≤ n, 1 ≤ c ≤ 100000) — номера объектов, которые могут быть соединены, и число волос, которыми Володе придется пожертвовать.

Следующая строка содержит одно натуральное число q (1 ≤ q ≤ 100000) — число запросов. Наконец, последние q строк содержат описания запросов — пары различных номеров объектов a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i)

Среди портальчиков, которые может построить Володя, могут быть соединяющие одни и те же пары объектов.

Выходные данные

Выведите q строк, по одной для каждого запроса. В i-ой строке должно содержаться одно число — ответ на i-ый (в порядке перечисления во входных данных) запрос: минимальная стоимость (в волосах) системы порталов, позволяющей совершать обход для любой системы тоннелей, удовлетворяющей условиям, когда a_i-ый и b_i-ый объекты имеют выходы на поверхность, или "-1", если построить такую систему порталов нельзя.

C. Баг в коде

графы реализация Структуры данных *1900

Недавно в коде FOS обнаружили серьезный баг. Глава компании F хочет найти виновника бага и наказать его. Для этих целей было организовано собрание, центральным вопросом которого был: кто сделал баг? На собрании каждый из n программистов сказал: «Я точно знаю, что баг сделал либо x, либо y!»

Глава компании решил выбрать двух подозреваемых и вызвать их в свой кабинет. Конечно, он должен учитывать мнения программистов. Поэтому глава хочет сделать выбор так, чтобы с ним были согласны как минимум p программистов из n. Программист согласен с выбором двух подозреваемых, если хотя бы одного из двух людей, на которых он указывал на собрании, выбрали в качестве подозреваемого. Сколькими способами глава F может выбрать двух подозреваемых?

Обратите внимание, что даже если какого-то программиста выбрали в качестве подозреваемого, он может быть согласен с выбором главы (если он указывал на собрании на другого выбранного подозреваемого).

Входные данные

В первой строке записаны целые числа n и p (3 ≤ n ≤ 3·10⁵; 0 ≤ p ≤ n) — количество программистов компании F и минимальное требуемое число согласных.

В каждой из n следующих строк записаны два целых числа x_i, y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n) — номера программистов из высказывания i-го программиста. Гарантируется, что x_i ≠ i, y_i ≠ i, x_i ≠ y_i.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — количество возможных выборов. Обратите внимание, что порядок подозреваемых не имеет значения, то есть выборы (1, 2) и (2, 1) считаются одинаковыми.

C. КПП

В вашем городе n перекрестков. Между этими перекрестками расположены m односторонних дорог. Вы — мэр города, и вы должны обеспечивать безопасность на всех перекрестках.

Для обеспечения безопасности перекрестков нужно построить пункты КПП. КПП можно построить только на перекрестке. КПП на перекрестке i может обезопасить перекресток j, либо если i = j, либо если полицейская машина может доехать до j от i и затем вернуться в i.

Постройка КПП стоит денег. Так как некоторые районы города дороже других, то на некоторых перекрестках строить КПП дороже, чем на других. Какую минимальную сумму денег необходимо потратить для обеспечения безопасности всех перекрестков? Сколько существует оптимальных способов постройки КПП (в дополнение к минимальной стоимости подстройки, вы должны построить как можно меньше КПП)? Два способа считаются различными, если в одном из них некоторый перекресток имеет КПП, а в другом — нет.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество перекрестков. В следующей строке записано через пробел n целых чисел: i-е число равняется цене постройки КПП на i-м перекрестке (цена неотрицательная и не превышает 10⁹).

В следующей строке записано целое число m (0 ≤ m ≤ 3·10⁵) — количество дорог. В каждой из следующих m строк записано по два целых числа, u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n; u ≠ v). Пара u_i, v_i означает, что в городе есть дорога, ведущая из перекрестка u_i в перекресток v_i. Гарантируется, что во входных данных между двумя перекрестками не может быть более одной дороги в одном направлении.

Считайте, что все перекрестки пронумерованы целыми числами от 1 до n.

Выходные данные

Выведите два целых числа через пробел. Первое число — минимально возможная сумма денег, необходимая для того, чтобы обеспечить безопасность всех перекрестков. Второе число — количество способов обеспечения безопасности. Так как количество способов может быть достаточно большим, выведите его по модулю 1000000007 (10⁹ + 7).

E. Точки и отрезки

графы *3000

Яхуб не очень хорошо умеет решать геометрические задачи, но он слышал, что в этом году на международной олимпиаде по программированию будет много геометрических задач. Яхуб напугался и заперся в подвале, чтобы уединиться с мыслями о новых геометрических задачах. Вот одна из них.

Яхуб хочет нарисовать n различных отрезков [l_i, r_i] на оси OX. Он может нарисовать каждый отрезок красным или синим цветом. Рисунок считается хорошим тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: для каждой точки x оси OX рассмотрим все отрезки, содержащие точку x; предположим, что r_x красных отрезков содержат точку, и b_x синих отрезков содержат точку; каждая точка оси OX x должна удовлетворять неравенству |r_x - b_x| ≤ 1.

Отрезок [l, r] содержит точку x тогда и только тогда, когда l ≤ x ≤ r.

Яхуб дал вам координаты все отрезков. Найдите для него хотя бы один хороший рисунок.

Входные данные

В первой строке содержится целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество отрезков. В i-й из следующих n строк содержится два целых числа, l_i и r_i (0 ≤ l_i ≤ r_i ≤ 10⁹) — границы i-го отрезка.

Гарантируется, что все отрезки различны.

Выходные данные

Если хорошего рисунка для данного теста не существует, выведите единственное целое число -1. В противном случае, выведите n целых чисел, каждое число равно 0 или 1. При этом, i-е число обозначает цвет i-го отрезка (0 — синий, 1 — красный).

Если существует несколько хороших рисунков, выведите любой из них.

C. Dungeons and Candies

графы Деревья жадные алгоритмы снм *1800

Во время запуска игры «Dungeons and Candies» требуется получить по сети от сервера описания k уровней игры. Каждое описание — карта клетчатого прямоугольного поля n × m, в клетках которого расположены конфеты (в каждой клетке находится не более одной конфеты). Пустая клетка обозначается символом «.», если же в клетке находится конфета, то она кодируется буквой латинского алфавита. Уровень может содержать одинаковые конфеты, в таком случае буквы в соответствующих клетках карты будут одинаковы.

$\text{[math]}$

При передачи по сети требуется минимизировать трафик — суммарный размер переданных данных. Уровни можно передавать в любом порядке. Существует два способа передать очередной уровень A:

Можно передать уровень A целиком. Этот способ требует передачи n·m байтов по сети.
Можно передать разницу между уровнем A и каким-то ранее переданным уровнем B, если такой существует; эта операция требует передачи d_A, B·w байтов, где d_A, B обозначает количество клеток поля, которые отличаются в A и B, а w — константа. Обратите внимание, что при вычислении d_A, B сравниваются соответствующие друг другу клетки уровней A и B. При этом карты уровней нельзя преобразовывать, например, поворачивать или смещать относительно друг друга.

Ваша задача — найти способ передать все k уровней, минимизировав трафик.

Входные данные

В первой строке записаны четыре целых числа n, m, k, w (1 ≤ n, m ≤ 10; 1 ≤ k, w ≤ 1000). Далее следует описание k уровней. Каждый уровень описывается n строками, в каждой из которых записано m символов. Каждый символ — это либо буква латинского алфавита, либо точка («.»). Обратите внимание, что регистр букв имеет значение.

Выходные данные

В первой строке выведите искомое минимальное количество переданных байтов.

Далее выведите k пар целых чисел x₁, y₁, x₂, y₂, ..., x_k, y_k, описывающих способ передачи уровней. Пара x_i, y_i обозначает, что уровень x_i нужно передавать способом y_i. Если y_i равно 0, значит, уровень нужно передавать первым способом, иначе y_i должно быть равно номеру ранее переданного уровня, разницу по сравнению с которым нужно передать, т. е. вы передадите уровень x_i, передавая разницу между уровнями x_i и y_i. Пары выводите в порядке передачи уровней. Уровни пронумерованы от 1 до k в порядке их описания во входных данных.

Если существует несколько оптимальных решений, разрешается вывести любое.

C. Ребенок и игрушка

графы жадные алгоритмы сортировки *1400

В день детей ребенок получил в подарок от Delayyy игрушку. Но ребенок такой вредный, что он ждет — не дождется шанса сломать ее.

Игрушка состоит из n деталей, соединенных m веревочками. Каждая веревочка соединяет две детали, при этом каждая пара деталей соединена не более чем одной веревочкой. Чтобы разломать игрушку, ребенок должен оторвать все ее детали. Ребенок может отрывать по одной детали за раз, на каждое отрывание он тратит энергию. Обозначим значение энергии детали i как v_i. Ребенок тратит v_f₁ + v_f₂ + ... + v_{f_k} энергии на отрывание детали i, где f₁, f₂, ..., f_k — еще не оторванные детали, напрямую соединенные веревочками с i-й.

Помогите ребенку посчитать минимальную суммарную энергию, которую он должен потратить на отрывание всех n деталей.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа, n и m (1 ≤ n ≤ 1000; 0 ≤ m ≤ 2000). Во второй строке записано n целых чисел: v₁, v₂, ..., v_n (0 ≤ v_i ≤ 10⁵). Затем следует m строк, в каждой записано по два целых числа, x_i и y_i, обозначающих веревочку, соединяющую детали x_i и y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n; x_i ≠ y_i).

Считайте, что все детали пронумерованы от 1 до n.

Выходные данные

Выведите минимальную суммарную энергию, необходимую для отрывания всех n деталей игрушки.

Примечание

Одна из оптимальных последовательностей действий в первом примере такова:

Сначала оторвите деталь 3, затрата энергии равна 20.
Затем оторвите деталь 2, затрата энергии равна 10.
Потом оторвите деталь 4, затрата энергии равна 10.
Наконец, оторвите деталь 1, затрата энергии равна 0.

Таким образом, всего ребенок затрачивает 20 + 10 + 10 + 0 = 40 единиц энергии, это минимально возможный ответ.

Во втором примере ребенок потратит 400 единиц энергии вне зависимости от порядка отрывания деталей.

F. BerPaint

геометрия графы *2700

Обезьянка Анфиса разочаровалась в текстовых редакторах, потому что они недостаточно хороши, чтобы передать всю полноту переживаемых ею эмоций, поэтому она решила переключиться на графические редакторы. Открыв редактор BerPaint, она увидела белый прямоугольник размера W × H, на котором можно рисовать. Первым делом Анфиса освоила чертежный инструмент, позволяющий рисовать отрезки, и быстро набросала на этом прямоугольнике некоторое число отрезков черного цвета. Получившаяся картина показалась Анфисе недостаточно яркой, поэтому она обратила внимание на инструмент «Заливка», который позволяет указать точку в прямоугольнике для рисования и выбрать цвет, после чего вся область, имеющая тот же цвет, что и выбранная точка, и содержащая ее, полностью окрашивается в выбранный цвет. Применив заливку много раз в разных точках, Анфиса полностью выразила всю свою экспрессию и бросила рисование. От вас же требуется по информации о нарисованных отрезках и проведенных заливках определить для каждого цвета, какова суммарная площадь областей, окрашенных в этот цвет после всех заливок.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа W и H (3 ≤ W, H ≤ 10⁴) — размеры изначально белой прямоугольной области для рисования. Во второй строке записано целое число n — количество черных отрезков (0 ≤ n ≤ 100). В следующих n строках описаны сами отрезки, каждый из которых задается координатами своих концов x₁, y₁, x₂, y₂ (0 < x₁, x₂ < W, 0 < y₁, y₂ < H). Все отрезки имеют ненулевую длину. В следующей строке задано число заливок m (0 ≤ m ≤ 100). Каждая из следующих m строк задает операцию заливки в виде «x y color», где (x, y) это координаты выбранной точки (0 < x < W, 0 < y < H), а color — строка из маленьких латинских букв длиной от 1 до 15 символов, задающая цвет. Изначально прямоугольник имеет цвет «white», а отрезки наносятся цветом «black». Координаты концов всех отрезков и координаты точек заливки целые.

Выходные данные

Для каждого цвета, который присутствует на итоговой картинке, на отдельной строке выведите название этого цвета и суммарную площадь областей, окрашенных в этот цвет, с точностью 10^- 6. Цвета выдавайте в любом порядке.

Примечание

Изначально черные отрезки, которые нарисовала Анфиса, также могут быть окрашены, если какая-то из выбранных точек попадет на отрезок. Отрезки имеют нулевую площадь. Поэтому, если в итоговой картинке в какой-то цвет будут окрашены только лишь части отрезков, то площадь, окрашенная в этот цвет, равна 0.

D. Валера и обмены

графы Конструктив математика реализация снм строковые суфф. структуры *2100

Перестановкой p длины n называется последовательность различных целых чисел p₁, p₂, ..., p_n (1 ≤ p_i ≤ n). Перестановка называется тождественной, если для всех i выполняется равенство p_i = i.

Обмен (i, j) — это операция, в результате которой элементы p_i и p_j меняются местами в перестановке. Пусть f(p) — это минимальное число обменов, которое нужно совершить, чтобы перестановка p стала тождественной.

Валера очень хочет узнать, как за минимальное число обменов из перестановки p получить перестановку q, такую, что f(q) = m. Помогите ему в этом.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (1 ≤ n ≤ 3000) — длина перестановки p. Во второй строке записано n различных целых чисел p₁, p₂, ..., p_n (1 ≤ p_i ≤ n) — изначальная перестановка Валеры. В последней строке записано целое число m (0 ≤ m < n).

Выходные данные

В первой строке выведите целое число k — минимальное число обменов.

Во второй строке выведите 2k целых чисел x₁, x₂, ..., x_2k — описание последовательности обменов. Выведенные числа обозначают, что необходимо последовательно произвести обмены (x₁, x₂), (x₃, x₄), ..., (x_2k - 1, x_2k).

Если существует несколько последовательностей обменов минимальной длины, выведите лексикографически минимальную.

Примечание

Последовательность x₁, x₂, ..., x_s лексикографически меньше последовательности y₁, y₂, ..., y_s, если существует такое целое число r (1 ≤ r ≤ s), что x₁ = y₁, x₂ = y₂, ..., x_r - 1 = y_r - 1 и x_r < y_r.

B. Jzzhu и города

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути *2000

Jzzhu — президент страны A. В его стране есть n городов, пронумерованных от 1 до n. Город 1 — столица A. Также есть m дорог, соединяющих города. По i-й дороге можно дойти из города u_i в город v_i (и наоборот), длина этой дороги равна x_i. Более того, в стране есть k железнодорожных маршрутов. По i-му маршруту можно доехать от столицы страны до города s_i (и наоборот), длина этого маршрута равна y_i.

Jzzhu не хочет зря растрачивать государственный бюджет, поэтому он хочет закрыть некоторые железнодорожные маршруты. Пожалуйста, посчитайте для Jzzhu, какое максимальное количество железнодорожных маршрутов можно закрыть, если требуется выполнить следующее условие: длина кратчайшего пути из каждого города в столицу не должна измениться.

Входные данные

В первой строке записано три целых числа, n, m, k (2 ≤ n ≤ 10⁵; 1 ≤ m ≤ 3·10⁵; 1 ≤ k ≤ 10⁵).

В каждой из следующих m строк записано три целых числа, u_i, v_i, x_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n; u_i ≠ v_i; 1 ≤ x_i ≤ 10⁹).

В каждой из следующих k строк записано два целых числа, s_i и y_i (2 ≤ s_i ≤ n; 1 ≤ y_i ≤ 10⁹).

Гарантируется, что существует по крайней мере один путь из каждого города в столицу. Обратите внимание, что между двумя городами может быть несколько дорог. Также может быть несколько железнодорожных маршрутов, ведущих из одного и того же города в столицу.

Выходные данные

Выведите единственное целое число, обозначающее максимальное количество железнодорожных путей, которые можно закрыть.

H. Дорожная задача

графы *2100

В столице Берляндии (как вы хорошо знаете) n перекрестков, некоторые пары из которых соединены двусторонними дорогами. К сожалению, количество пробок в столице резко возросло, поэтому решено построить несколько новых дорог. Каждая новая дорога также должна соединять два перекрестка.

Городские власти заметили, что в городах всех развитых стран между любыми двумя перекрестками можно проехать как минимум двумя способами так, что способы не имеют общих дорог (но они могут проходить через общие перекрестки). Власти решили добавить наименьшее количество дорог так, чтобы и в столице Берляндии это правило соблюдалось.

В городской сети дорог, как до реформы, так и после, между каждой парой перекрестков должно существовать не более одной дороги.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит пару целых чисел n, m (2 ≤ n ≤ 900, 1 ≤ m ≤ 100000), где n — количество перекрестков, а m — количество дорог. Каждая из следующих m строк содержит описание одной дороги, которая задается номерами соединяемых перекрестков a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i). Перекрестки нумеруются от 1 до n. Из любого перекрестка города можно добраться в любой другой, передвигаясь по дорогам.

Выходные данные

В первую строку выведите t — количество добавленных дорог. Далее в t строках выведите описания добавленных дорог в формате входных данных. Вы можете использовать любой порядок для вывода как самих дорог, так и соединяемых каждой дорогой перекрестков. Если решений несколько, выведите любое.

Если столица не нуждается в реформе, выведите единственное число 0.

Если решения не существует, выведите единственное число -1.

C. Маленькая пони и торжество летнего солнца

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2200

Twilight Sparkle узнала, что злая Nightmare Moon вернется во время предстоящего торжества летнего солнца после тысячелетнего заточения на луне. Она попыталась предупредить свою наставницу, принцессу Celestia, но принцесса проигнорировала ее и отправила в Ponyville, проверить как идет подготовка к торжеству.

$\text{[math]}$

Twilight Sparkle хочет выследить Nightmare Moon. К сожалению, она не знает, каким именно путем пойдет Nightmare Moon. К счастью, для каждого места в Ponyville Twilight Sparkle знает: четное или нечетное количество раз посетит его Nightmare Moon. Можете ли вы помочь Twilight Sparkle найти любой путь, который будет удовлетворять этим данным?

Ponyville может быть представлен как неориентированный граф без петлей и мульти-ребер (вершины — это места в Ponyville, ребра — это дороги, соединяющие места). Разрешается начать и закончить путь в любых местах (также, возможно, путь будет пустой). Одно место можно посетить несколько раз. Путь не должен посетить больше, чем 4n мест Ponyville.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа, n и m (2 ≤ n ≤ 10⁵; 0 ≤ m ≤ 10⁵) — количество мест и дорог в Ponyville. Каждая из следующих m строк содержит два целых числа: u_i, v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n; u_i ≠ v_i), эти числа обозначают дорогу между местами u_i и v_i.

Следующая строка содержит n целых чисел: x₁, x₂, ..., x_n (0 ≤ x_i ≤ 1) — четность количества посещений для каждого места. Если x_i = 0, то i-е место нужно посетить четное число раз, иначе — нечетное число раз.

Выходные данные

Выведите число посещенных мест k в первой строке (0 ≤ k ≤ 4n). Затем выведите k целых чисел — номера мест в порядке посещения их путем. Если x_i = 0, то в данном пути место i должно встретиться четное число раз, иначе i-е место должно встретиться в нем нечетное число раз. Обратите внимание, что система дорог Ponyville не содержит петель, поэтому в выведенном пути любые два соседних места должны быть различны.

Если требуемого пути не существует, выведите -1. Если существует несколько правильных путей, можете вывести любой из них.

F. Задача Эркюля Пуаро

графы снм *2300

Сегодня вам предстоит решить задачу, с которой не может справиться сам Эркюль Пуаро! Именно поэтому данное преступление до сих пор не раскрыто, и эта история так и не вошла в детективы Агаты Кристи.

Вам не сообщается, какое совершено преступление, где и когда обнаружен труп и остальные детали. Известно только то, что преступление совершено в доме, имеющем n комнат и m дверей между парами комнат. Жильцы дома очень подозрительны, поэтому все двери запираются на ключ и все ключи различны. Согласно показаниям свидетелей в ночь с четверга на пятницу все двери в доме были заперты и известно, в каких комнатах находились жильцы и какие ключи у кого были. Аналогичная информация известна и про ночь с пятницы на субботу, в которую все двери также были заперты. В пятницу лил сильный дождь, поэтому из дома никто не выходил и никто в него не входил. В течение дня обитатели дома могли

открывать и закрывать двери в соседние комнаты при помощи имеющихся ключей (каждую дверь можно открывать и закрывать с любой стороны);
свободно перемещаться между комнатами, если соответствующие двери открыты;
передавать друг другу ключи, находясь в одной комнате.

«Серые клеточки» Эркюля Пуаро не способны справиться с таким количеством информации. Определите, могло ли из расположения людей и ключей в первую ночь получиться расположение во вторую ночь, или кто-то из свидетелей точно лжет.

Входные данные

В первой строке заданы три числа n, m и k (1 ≤ n, m, k ≤ 1000) — количество комнат, количество дверей и количество жильцов в доме соответственно. Следующие m строк содержат пары номеров комнат, которые соединяют двери. Комнаты нумеруются целыми числами от 1 до n. Между парой комнат может быть более одной двери. Никакая дверь не соединяет комнату саму с собой. Следующие k строк описывают расположение жильцов в первую ночь. В каждой строке содержится имя жильца (непустая строка из не более 10 латинских букв), через пробел следует номер комнаты, затем через пробел — количество имеющихся у жильца ключей. Далее через пробел перечислены номера дверей, которые открываются имеющимися ключами. Двери нумеруются целыми числами от 1 до m в порядке их описания во входных данных. Все имена жильцов различны, строчные и заглавные буквы различаются. Каждый из m ключей встречается в описании ровно один раз. Несколько людей могут находиться в одной комнате, некоторые комнаты могут быть пусты. Следующие k строк описывают расположение жильцов во вторую ночь точно в таком же формате. Гарантируется, что в описании второй ночи имена жильцов те же самые и каждый из m ключей встречается ровно один раз.

Выходные данные

Выведите «YES» (без кавычек), если из первого расположения можно получить второе, и «NO» в противном случае.

D. Gargari и перестановки

графы дп поиск в глубину и подобное реализация *1900

Gargari надоело играть со слонами на шахматной доске из предыдущей задачи, теперь он собирается сделать домашнюю работу по математике. В его учебнике по математике записаны k перестановок. Каждая перестановка — это последовательность чисел 1, 2, ..., n, записанных в некотором порядке. Gargari должен найти длину наибольшей общей подпоследовательности этих k перестановок. Сможете ли вы ему помочь?

Определение задачи о наибольшей общей подпоследовательности можно найти по ссылке: https://ru.wikipedia.org/wiki/Наибольшая_общая_подпоследовательность

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и k (1 ≤ n ≤ 1000; 2 ≤ k ≤ 5). В каждой из следующих k строк записаны целые числа 1, 2, ..., n в некотором порядке — описание текущей перестановки.

Выходные данные

Выведите длину наибольшей общей подпоследовательности.

Примечание

В первом тестовом примере наибольшая общая подпоследовательность: [1, 2, 3].

E. Классическая задача

графы кратчайшие пути Структуры данных *3000

Дан взвешенный неориентированный граф из n вершин и m ребер. Найдите кратчайший путь из вершины s в вершину t, либо определите, что пути не существует.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа, разделенных пробелом, n и m (1 ≤ n ≤ 10⁵; 0 ≤ m ≤ 10⁵).

В следующих m строках приведено описание ребер графа. В i-й строке записано три целых числа, разделенных пробелами — u_i, v_i, x_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n; 0 ≤ x_i ≤ 10⁵). Это означает, что вершины с номерами u_i и v_i соединены ребром длины 2^x_i (2 в степени x_i).

В последней строке записаны два целых числа, разделенных пробелом — номера вершин s и t.

Вершины пронумерованы от 1 до n. В графе отсутствуют кратные ребра и петли.

Выходные данные

В первой строке выведите остаток от деления длины кратчайшего пути на 1000000007 (10⁹ + 7), если путь существует, и -1, если пути не существует.

В случае, если путь существует, во второй строке выведите целое число k —количество вершин в кратчайшем пути из вершины s в вершину t; в третьей строке выведите k чисел, разделенных пробелами — вершины кратчайшего пути в порядке посещения. Первая вершина должна быть вершиной s, последняя — вершиной t. Если существует несколько кратчайших путей, выведите любой.

Примечание

Путем из вершины s в вершину t называется последовательность вершин v₀, ..., v_k, такая что v₀ = s, v_k = t, и для любого i от 0 до k - 1 вершины v_i и v_i + 1 соединены ребром.

Длиной пути называется сумма длин ребер между v_i и v_i + 1 для всех i от 0 до k - 1.

Кратчайшим путем из s в t называется путь, длина которого минимальна среди всех возможных путей из s в t.

E. Граф информаций

графы Деревья поиск в глубину и подобное снм *2100

В компании «X» работает n сотрудников (для удобства пронумеруем их от 1 до n). Изначально, не было никаких отношений между сотрудниками. В каждый из m следующих дней происходило одно из событий:

либо сотрудник y стал начальником сотрудника x (при этом у сотрудника x не было начальника до этого события);
либо сотруднику x передают пакет документов и он подписывает их; затем передает их своему начальнику, затем начальник подписывает документы и передает их своему начальнику и так далее (последний человек, подписавший документы, отправляет их в архив);
либо приходит запрос вида «определить, подписывался ли сотрудник x на определенных документах».

Ваша задача написать программу, которая по заданным событиям будет отвечать на запросы, описанного вида. При этом гарантируется, что на протяжении всего времени работы компании не было циклических зависимостей.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 10⁵) — количество сотрудников в компании и количество событий.

Каждая из следующих m строк содержит описание одного события (события заданы в хронологическом порядке). Первое число строки обозначает тип события t (1 ≤ t ≤ 3).

Если t = 1, далее следуют два целых числа x и y (1 ≤ x, y ≤ n) — номера сотрудников компании, между которыми появились отношения вида подчиненный-начальник. Гарантируется, что сотрудник x на данный момент не имеет начальника.
Если t = 2, далее следует целое число x (1 ≤ x ≤ n) — номер сотрудника, который получил очередной пакет документов.
Если t = 3, далее следуют два целых числа x и i (1 ≤ x ≤ n; 1 ≤ i ≤ [количество уже переданных пакетов]) — сотрудник и номер пакета документов, про который требуется узнать информацию. Пакеты документов нумеруются, начиная от 1, в хронологическом порядке.

Гарантируется, что во входных данных встречается хотя бы один запрос третьего типа.

Выходные данные

Для каждого запроса третьего типа выведите «YES», если сотрудник подписывал пакет документов, и «NO» в ином случае. Все слова выводите без кавычек.

D. Федя и реферат

графы дп поиск в глубину и подобное Строки хэши *2400

После того, как вы помогли Феде найти друзей в игре «Call of Soldiers 3», он совсем перестал учиться. Сегодня преподаватель английского в качестве домашнего задания попросил Федю подготовить реферат. Федя не хотел готовить реферат, поэтому он попросил Лешу о помощи. Леша написал реферат за Федю, но Феде он совсем не понравился. Теперь Федя собирается немного изменить реферат, используя словарь синонимов английского языка.

Федя не хочет менять смысл реферата, поэтому единственное изменение, которое он будет делать: менять слово на один из его синонимов, используя правило замены из словаря. Эту операцию Федя может выполнять любое количество раз.

В итоге Федя хочет получить реферат, который, во-первых, содержит как можно меньше букв «R» (регистр не важен), а во-вторых, из всех рефератов с минимальным количеством букв «R» имеет минимальную длину (длина реферата — это сумма длин всех слов в нем). Помогите Феде получить требуемый реферат.

Обратите внимание, что в этой задаче регистр букв не имеет значения. Например, если в словаре синонимов записано, что слово cat можно заметить на слово DOG, то разрешается заменить слово Cat на слово doG.

Входные данные

В первой строке содержится целое число m (1 ≤ m ≤ 10⁵) — количество слов в тексте реферата. Во второй строке записаны слова реферата. Слова разделяются в строке одним пробелом. Гарантируется, что суммарная длина слов не превысит 10⁵.

В следующей строке содержится единственное целое число n (0 ≤ n ≤ 10⁵) — количество пар синонимов в словаре синонимов. В последующих n строках содержатся пары синонимов. В i-й строке записаны две непустые строки x_i и y_i, которые обозначают, что слово x_i можно заменить на слово y_i (но не наоборот). Гарантируется, что суммарная длина всех пар синонимов не превысит 5·10⁵.

Все слова во входных данных могут состоять только из строчных и прописных букв английского алфавита.

Выходные данные

Выведите два целых числа — минимальное количество букв «R» в полученном реферате и минимальная длина полученного реферата.

B. Сильно связный город

графы Перебор поиск в глубину и подобное реализация *1400

Рассмотрим город, в котором есть n горизонтальных улиц пересекаются с m вертикальными, формируя сетку размера (n - 1) × (m - 1). Чтобы снизить количество заторов, мэр города решил сделать каждую улицу односторонней. Это значит, что по каждой горизонтальной улице машины будут ехать либо только с запада на восток, либо только с востока на запад. Аналогично, по каждой вертикальной улице машины будут ехать либо только с севера на юг, либо только с юга на север. На любом перекрестке можно свернуть с вертикальной улицы на горизонтальную и наоборот.

$\text{[math]}$

Мэр города получил несколько вариантов направления улиц. Ваша задача — проверить можно ли в данном варианте добраться от любого перекрестка до любого другого перекрестка, двигаясь по дорогам в указанном для них направлении.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа n, m, (2 ≤ n, m ≤ 20), обозначающие соответственно количество горизонтальных и вертикальных улиц.

Во второй строке записана строка длины n из символов '<' и '>' — направления горизонтальных улиц. Если очередной символ этой строки равняется '<', то соответствующая улица направлена с востока на запад, в противном случае улица направлена с запада на восток. Улицы приводятся в порядке с севера на юг.

В третьей строке записана строка длины m из символов '^' и 'v' — направления вертикальных улиц. Если очередной символ равняется '^', то улица направлена с юга на север, в противном случае улица направлена с севера на юг. Улицы приводятся в порядке с запада на восток.

Выходные данные

Если указанная схема удовлетворяет требованиям, выведите в единственной строке "YES", в противном случае выведите в единственной строке "NO".

Примечание

Рисунок в условии соответствует второму примеру.

E. Иванушка-дурачок против Змея Горыныча

графы дп игры *2100

В тридевятом царстве, в тридесятом государстве... Итак, начнем с того момента, как Иванушка-дурачок встретил Змея Горыныча. Достал Иванушка меч-кладенец, и началась у них битва. Сначала у Змея Горыныча было h голов и t хвостов. Каждым ударом меча Иванушка может отрубить либо несколько голов (от 1 до n, но не больше, чем голов у Горыныча в данный момент), либо несколько хвостов (от 1 до m, но не больше, чем хвостов у Горыныча в данный момент). При этом (о, ужас!) у Змея Горыныча могут вырастать новые головы и хвосты. Причем количество вырастающих голов и хвостов однозначно определяется в зависимости от количества голов или хвостов, отрубленных очередным ударом. Когда суммарное количество голов и хвостов станет строго больше R, Змей Горыныч нанесет свой решающий удар и повергнет Иванушку-дурачка. Поэтому Иванушка стремится как можно быстрее отрубить все головы и хвосты Змею и победить. Возможен и третий вариант развития событий: ни один из противников не сможет одолеть другого и они будут сражаться бесконечно.

Скоро сказка сказывается, да нескоро дело делается. Ваша задача — написать программу, определяющую исход битвы. Учтите, что Иванушка-дурачок наносит удары последовательно. После каждого удара у Горыныча вырастают новые головы и хвосты в зависимости от количества отрубленных. Змей Горыныч считается побежденным, если после очередного удара он лишается всех голов и хвостов и у него не вырастает новых. Иванушка сражается оптимально (дурачкам везет!), т.е.

если Иванушка может победить, он побеждает за наименьшее количество ударов;
если победить Горыныча невозможно, но можно бесконечно долго сопротивляться ему, то Иванушка выбирает именно эту стратегию;
если победу в любом случае одержит Змей Горыныч, Иванушка стремится сопротивляться ему как можно дольше.

Входные данные

В первой строке содержатся три целых числа h, t и R (0 ≤ h, t, R ≤ 200, 0 < h + t ≤ R) — изначальные количества голов и хвостов у Змея Горыныча и наибольшее суммарное количество голов и хвостов, при котором Змей Горыныч еще не переходит в наступление. В следующей строке содержится целое число n (1 ≤ n ≤ 200). Следующие n строк содержат пары неотрицательных целых чисел «h_i t_i» — количество голов и количество хвостов соответственно, которые вырастут, если Горынычу отрубить i голов (1 ≤ i ≤ n). В следующей строке содержится целое число m (1 ≤ m ≤ 200) и затем — описание поведения Горыныча при отрубании хвостов в формате, аналогичном описанному выше. Все числа во входном файле не превосходят 200.

Выходные данные

В первой строке выведите «Ivan» (без кавычек), если победит Иванушка, или «Zmey», если победит Змей Горыныч. Во второй строке выведите единственное целое число — количество ударов, нанесенных Иванушкой. Если битва будет продолжаться бесконечно, выведите в первой строке «Draw».

D. Посылки

графы дп *2600

Ярослав — владелец небольшой курьерской службы. Недавно он приобрел и внедрил новую систему обработки посылок. Каждая посылка представляет собой коробку, имеющую свой вес и прочность. Система устроена так, что внутри нее находится изначально пустая платформа, на которую можно ставить коробки по следующим правилам:

Если платформа пуста, коробка ставится непосредственно на платформу, в противном случае — на самую верхнюю коробку, находящуюся на платформе.
Суммарный вес всех коробок, находящихся на платформе, в любой момент времени не должен превышать прочности платформы S.
Прочность любой находящейся на платформе коробки в любой момент времени должна быть не меньше суммарного веса коробок, стоящих выше.

Снимать с платформы можно только самую верхнюю коробку.

На вход системе поступают n посылок, при этом i-я посылка поступает ровно в момент времени in_i, ее вес и прочность равны w_i и s_i соответственно. Каждая посылка имеет свою стоимость v_i бурлей, однако, чтобы получить эту стоимость, системе необходимо выдать посылку ровно в момент времени out_i, в противном случае Ярослав получит за нее 0 бурлей. Таким образом, любую посылку можно пропустить и не ставить на платформу, формально выдав ее в момент времени in_i и не получив за нее ничего.

Любая операция в задаче выполняется мгновенно. Это означает, что в один и тот же момент времени можно совершить сразу несколько операций по приему и выдаче посылок, причем в любом порядке.

Обратите внимание, что посылка, выданная в момент времени out_i, сразу же оказывается вне системы, и следующие действия, происходящие в этот же момент времени, производятся без ее учета.

Поскольку система очень сложна, а поступающих посылок очень много, Ярослав просит Вас сказать, какую максимальную сумму денег он может получить с помощью своей системы.

Входные данные

В первой строке входных данных содержатся два числа, разделенных пробелом n и S (1 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ S ≤ 1000). Далее следует n строк, в i-й из этих строк содержатся пять чисел, разделенных пробелом: in_i, out_i, w_i, s_i и v_i (0 ≤ in_i < out_i < 2n, 0 ≤ w_i, s_i ≤ 1000, 1 ≤ v_i ≤ 10⁶). Гарантируется, что для любых i и j (i ≠ j) либо in_i ≠ in_j, либо out_i ≠ out_j.

Выходные данные

Выведите единственное число — максимальную сумму (в бурлях), которую может получить Ярослав.

Примечание

Пояснение ко второму примеру (T — момент времени):

T = 0: Приходит первая посылка, ставим ее на пустую платформу.
T = 1: Приходят вторая и третья посылки, ставим третью на текущую верхнюю на платформе посылку (т.е. первую), затем вторую на третью. Теперь первая посылка держит вес w₂ + w₃ = 2, третья — w₂ = 1.
T = 2: Выдаем вторую посылку, получая v₂ = 1 бурль. Теперь первая посылка держит вес w₃ = 1, третья — 0.
T = 3: Приходит четвертая посылка. Сначала выдаем третью посылку, получая v₃ = 1 бурль. Теперь первая посылка держит вес 0. Ставим на нее четвертую посылку — первая держит вес w₄ = 2.
T = 4: Приходит пятая посылка. Поставить ее на верхнюю на платформе мы не можем, так как первая посылка, в таком случае, будет держать вес w₄ + w₅ = 3, что выше ее прочности s₁ = 2, что недопустимо. Пропускаем пятую посылку, не получая за нее ничего.
T = 5: Ничего не происходит.
T = 6: Выдаем сначала четвертую, потом первую посылку, получая за них v₁ + v₄ = 3 бурля.

Заметим, что можно было пропустить четвертую посылку и поставить пятую вместо нее, однако в этом случае полученная сумма составила бы 4 бурля.

E. Туристы

графы Деревья поиск в глубину и подобное Структуры данных *3200

В Киберленде n городов, пронумерованных от 1 до n и соединенных m двунаправленных дорогами. j-я дорога соединяет города a_j и b_j.

В каждом городе Киберленда продаются сувениры для туристов. В частности, город i продает сувениры по цене w_i.

Вам надо обработать q запросов. Запросы бывают двух типов:

"C a w": Цена в городе a меняется на w.
"A a b": Турист едет из города a в город b. Для этого он выбирает путь, при этом, турист не хочет посетить никакой город дважды. Он собирается купить сувениры в том городе, где сувениры самые дешевые (возможно, прямо в городе a или b). Вам следует вывести наименьшую возможную цену, по которой он может купить сувениры, путешествуя по некоторому простому пути.

Более формально, можно определить пути следующим образом:

Путь — это последовательность городов [x₁, x₂, ..., x_k], где k — некоторое положительное число.
Для любых 1 ≤ i < j ≤ k, x_i ≠ x_j.
Для любого 1 ≤ i < k есть дорога, соединяющая x_i и x_i + 1.
Наименьшая стоимость на пути равна min(w_x₁, w_x₂, ..., w_{x_k}).
Искомый ответ — это наименьшее значение наименьших стоимостей на всех корректных путях из a в b.

Входные данные

В первой строке входного файла записано три разделённых пробелами целых числа n, m, q (1 ≤ n, m, q ≤ 10⁵).

В следующих n строках записаны целые числа w_i (1 ≤ w_i ≤ 10⁹).

В следующих m строках записано по два разделённых пробелами целых числа, a_j и b_j (1 ≤ a_j, b_j ≤ n, a_j ≠ b_j).

Одна и та же пара городов соединяется не более чем одной дорогой. Между любыми двумя городами всегда есть по крайней мере один корректный путь.

Далее следует q строк, в каждой из которых записано по запросу. Формат строки: "C a w" или "A a b" (1 ≤ a, b ≤ n, 1 ≤ w ≤ 10⁹).

Выходные данные

Для каждого запроса типа "A" выведите соответствующий ответ.

Примечание

Во втором примере оптимальные пути таковы:

Из 2 в 3 — [2, 3].

Из 6 в 4 — [6, 5, 1, 2, 4].

Из 6 в 7 — [6, 5, 7].

Из 3 в 3 — [3].

$\text{[math]}$

D. Невыносимая запутанность бытия

графы Комбинаторика Перебор поиск в глубину и подобное *1700

Томаш постоянно плутает и теряется, гуляя по улицам столицы Берляндии. Еще бы, ведь он привык, что в его родном городе для любой пары перекрестков существует ровно один способ пройти от одного к другому. В столице Берляндии это совсем не так!

Томаш подметил, что даже простые случаи неоднозначности перемещения его путают. Так, четверку различных перекрестков a, b, c и d таких, что существует два пути из a в c — один через b, а другой через d, он называет «чёртов ромб». Обратите внимание, пары перекрёстков (a, b), (b, c), (a, d), (d, c) должны быть непосредственно соединены дорогами. Схематично «чёртов ромб» изображен на рисунке ниже:

$\text{[math]}$

Наличие других дорог между любыми из перекрестков не делают ромб более привлекательным для Томаша, поэтому четверка перекрестков остается для него «чёртовым ромбом».

Принимая во внимание, что в столице Берляндии n перекрестков и m дорог, все из которых являются односторонними и известны наперед, найдите количество «чёртовых ромбов» в городе.

При сравнении ромбов порядок перекрестков b и d значения не имеет.

Входные данные

В первой строке входных данных записана пара целых чисел n, m (1 ≤ n ≤ 3000, 0 ≤ m ≤ 30000) — количество перекрестков и дорог соответственно. Далее в m строках перечислены дороги по одной в строке. Каждая из дорог задана парой целых чисел a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n;a_i ≠ b_i) — номером перекрестка откуда она ведет и номером перекрестка куда она ведет. Между парой перекрестков существует не более одной дороги в каждом из двух направлений.

Не гарантируется, что из любого перекрестка можно добрать до любого другого.

Выходные данные

Выведите искомое количество «чёртовых ромбов».

A. Транспорт на Новый год

графы поиск в глубину и подобное реализация *1000

Новый год приходит в Линейный мир! В этом мире есть n ячеек, пронумерованных целыми числами от 1 до n, уложенных в виде доски размером 1 × n. В ячейках живут люди. Однако, передвигаться между различными ячейками сложно, ведь выйти из ячейки — дело непростое. В то же время, люди хотят знакомиться с людьми, живущими в других ячейках.

И вот, tncks0121 придумал систему транспорта для передвижения между ячейками, чтобы люди могли отпраздновать Новый год. Сперва он задумал n - 1 положительных целых чисел a₁, a₂, ..., a_n - 1. Для каждого целого числа i, где 1 ≤ i ≤ n - 1, выполняется условие 1 ≤ a_i ≤ n - i. Затем он создал n - 1 порталов, пронумерованных целыми числами от 1 до n - 1. Из них i-й (1 ≤ i ≤ n - 1) портал соединяет ячейку номер i и ячейку номер (i + a_i), т. е. с его помощью можно путешествовать из ячейки i в ячейку (i + a_i). К сожалению, портал не работает в обратную сторону, то есть нельзя пройти из ячейки (i + a_i) в ячейку i по i-му порталу. Легко заметить, что из-за условия 1 ≤ a_i ≤ n - i нельзя покинуть Линейный мир, пользуясь порталами.

Я нахожусь в ячейке 1 и хочу пройти в ячейку t. Однако я не знаю, могу ли я там оказаться. Пожалуйста, определите, могу ли я пройти в ячейку t, пользуясь только построенной системой транспорта.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа через пробел, n (3 ≤ n ≤ 3 × 10⁴) и t (2 ≤ t ≤ n) — количество ячеек и номер ячейки, в которую я хочу попасть.

Во второй строке записано n - 1 целых чисел через пробел a₁, a₂, ..., a_n - 1 (1 ≤ a_i ≤ n - i). Гарантируется, что пользуясь данной транспортной системой, покинуть Линейный мир нельзя.

Выходные данные

Если я могу дойти до ячейки t по данной транспортной системе, выведите "YES". В противном случае, выведите "NO".

Примечание

В первом примере можно дойти до t, посетив следующие ячейки: 1, 2, 4.

Во втором примере можно посетить лишь ячейки 1, 2, 4, 6, 7, 8; значит, мы не можем попасть в требуемую ячейку 5.

B. Новогодняя перестановка

графы жадные алгоритмы математика поиск в глубину и подобное снм сортировки *1600

У пользователя ainta есть перестановка p₁, p₂, ..., p_n. Приближается Новый год, и юноша хочет как можно лучше украсить свою перестановку.

Перестановка a₁, a₂, ..., a_n красивее перестановки b₁, b₂, ..., b_n тогда и только тогда, когда существует целое число k (1 ≤ k ≤ n), для которого верно a₁ = b₁, a₂ = b₂, ..., a_k - 1 = b_k - 1 и a_k < b_k.

Как известно, перестановка p — очень чувствительная натура, так что её можно изменять только путем перестановки двух различных элементов. Но переставлять элементы сложнее, чем вы думаете. Вам дана матрица A размера n × n, такая что пользователь ainta может переставить значения p_i и p_j (1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j) тогда и только тогда, когда A_i, j = 1.

Дана перестановка p и матрица A. Пользователь ainta хочет знать, какая из достижимых перестановок самая красивая.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (1 ≤ n ≤ 300) — размер перестановки p.

Во второй строке записано n целых чисел через пробел p₁, p₂, ..., p_n — перестановка p, имеющаяся у пользователя ainta. Каждое целое число от 1 до n встречается ровно один раз в данной перестановке.

Следующие n строк описывают матрицу A. При этом, i-я из них содержит n символов '0' или '1' и описывает i-ю строку A. j-й символ i-ой строки A_i, j — это элемент, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца A. Гарантируется, что для всех целых чисел i, j, для которых 1 ≤ i < j ≤ n, выполняется условие A_i, j = A_j, i. Также, для всех целых чисел i, для которых 1 ≤ i ≤ n, выполняется условие A_i, i = 0.

Выходные данные

В первой и единственной строке выведите n целых чисел через пробел, описывающих самую красивую достижимую перестановку.

Примечание

В первом примере для достижения самой красивой перестановки необходимо переставить элементы (p₁, p₇).

Во втором примере для достижения самой красивой перестановки необходимо переставить (p₁, p₃), (p₄, p₅), (p₃, p₄).

$\text{[math]}$

Перестановка p — это последовательность целых чисел p₁, p₂, ..., p_n, состоящая из n различных положительных целых чисел, каждое из которых не превышает n. i-й элемент перестановки p обозначается как p_i. Размер перестановки p обозначается как n.

D. Новогоднее взаимодействие Санта-Клаусов

графы Деревья Комбинаторика поиск в глубину и подобное *1900

В Древесном мире наступает Новый год! В этом мире, как понятно из названия, есть n городов, соединенных n - 1 дорогой, и между каждыми двумя различными городами всегда существует путь. Города пронумерованы целыми числами от 1 до n. Дороги пронумерованы целыми числами от 1 до n - 1. Определим d(u, v) как суммарную длину дорог на пути между городом u и городом v.

Отдавая дань традиции, народ в Древесном мире ремонтирует ровно по дороге в год. В результате длина этой дороги уменьшается. Известно, что в i-м году длина r_i-й дороги станет w_i, что короче прежней длины этой же дороги. Предположим, что текущий год — это год 1.

Три Санта-Клауса планируют раздавать подарки всем детям Древесного мира ежегодно. Для этого им надо подготовиться, в целях чего они выберут три различных города c₁, c₂, c₃, и создадут в каждом из этих городов по одному складу: k-й (1 ≤ k ≤ 3) Санта-Клаус будет отвечать за склад в городе c_k.

Трем Санта-Клаусам очень скучно сидеть на складах поодиночке. Поэтому они решили построить сеть сообщения, предназначенную только для Сант! Затраты, необходимые для того, чтобы построить подобную сеть, равны d(c₁, c₂) + d(c₂, c₃) + d(c₃, c₁) долларам. Санты слишком заняты, чтобы искать лучшее место, так что они решили выбрать c₁, c₂, c₃ случайно равновероятно среди всех троек различных чисел от 1 до n. Санты хотели бы знать математическое ожидание цены, необходимой для построения сети.

Однако, как мы сказали, каждый год длина ровно одной дороги уменьшается. Таким образом, Санты хотят просчитать математическое ожидание после каждого изменения длины. Помогите им посчитать требуемые значения.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (3 ≤ n ≤ 10⁵) — количество городов в Древесном мире.

В следующих n - 1 строках описаны дороги. В i-ой из этих строк (1 ≤ i ≤ n - 1) записаны три целых числа через пробел a_i, b_i, l_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 1 ≤ l_i ≤ 10³), обозначающих, что i-я дорога соединяет города a_i и b_i, а длина i-й дороги равна l_i.

В следующей строке записано целое число q (1 ≤ q ≤ 10⁵) — количество изменений длин дорог.

Следующие q строк описывают изменения длин. В j-й из них (1 ≤ j ≤ q) записано два целых числа через пробел — r_j, w_j (1 ≤ r_j ≤ n - 1, 1 ≤ w_j ≤ 10³). Это означает, что после j-го ремонта длина r_j-й дороги равняется w_j. Гарантируется, что w_j меньше длины r_j-й дороги на тот год. Одну и ту же дорогу можно ремонтировать несколько раз.

Выходные данные

Выведите q чисел. После каждого из изменений выведите строку с математическим ожиданием цены, необходимой для постройки сети сообщения в Древесном мире. Ответ будет считаться корректным, если его абсолютная или относительная погрешность не превышают 10^- 6.

Примечание

Рассмотрим первый пример. Есть 6 троек: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Так как n = 3, затраты на построение сети всегда равны d(1, 2) + d(2, 3) + d(3, 1) для всех троек. Таким образом, матожидание стоимости равняется d(1, 2) + d(2, 3) + d(3, 1).

B. Цветной граф мистера Китаюта

графы дп поиск в глубину и подобное снм *1400

Мистер Китаюта недавно приобрёл неориентированный граф, состоящий из n вершин и m ребер. Вершины графа пронумерованы от 1 до n. Ребро i окрашено в цвет c_i и соединяет вершины a_i и b_i.

Мистер Китаюта хочет, чтобы вы обработали q запросов следующего вида.

В i-м запросе он дает вам два целых числа — u_i и v_i. Вам требуется найти количество цветов, таких, что ребра этого цвета непосредственно или косвенно соединяют вершины u_i и v_i (т. е. по рёбрам только этого цвета можно добраться от вершины u_i до вершины v_i).

Входные данные

В первой строке следуют два целых числа через пробел — n и m (2 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 100), обозначающие количество вершин и количество ребер, соответственно.

В следующих m строках следуют три целых числа через пробел — a_i, b_i (1 ≤ a_i < b_i ≤ n) и c_i (1 ≤ c_i ≤ m). Обратите внимание, что между двумя вершинами может быть несколько ребер. Однако между двумя вершинами не может быть нескольких ребер одного цвета, таким образом, если i ≠ j, то (a_i, b_i, c_i) ≠ (a_j, b_j, c_j).

В следующей строке записано целое число — q (1 ≤ q ≤ 100), обозначающее количество запросов.

Затем следует q строк по два целых числа через пробел — u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n). Гарантируется, что u_i ≠ v_i.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите ответ в отдельной строке.

Примечание

Рассмотрим первый пример.

$\text{[math]}$ Рисунок выше иллюстрирует первый пример.

Вершина 1 и вершина 2 соединены цветами 1 и 2.
Вершина 3 и вершина 4 соединены цветом 3.
Вершина 1 и вершина 4 не соединены никаким цветом.

D. Цветной граф мистера Китаюта

графы Перебор поиск в глубину и подобное снм *2400

Мистер Китаюта только что приобрёл неориентированный граф, состоящий из n вершин и m ребер. Вершины графа пронумерованы от 1 до n. i-е ребро, соединяющее вершины a_i и b_i, окрашено в цвет c_i.

Мистер Китаюта хочет, чтобы вы обработали следующие q запросов.

i-й запрос состоит из двух целых чисел — u_i и v_i.

Найдите количество цветов, таких, что ребра этого цвета непосредственно или косвенно соединяют вершину u_i и вершину v_i (т. е. по рёбрам только этого цвета можно добраться от вершины u_i до вершины v_i).

Входные данные

В первой строке следуют два целых числа через пробел — n и m (2 ≤ n ≤ 10⁵, 1 ≤ m ≤ 10⁵), обозначающих количество вершин и количество ребер, соответственно.

В следующих m строках следуют три целых числа через пробел — a_i, b_i (1 ≤ a_i < b_i ≤ n) и c_i (1 ≤ c_i ≤ m). Обратите внимание, что между двумя вершинами может быть несколько ребер. Однако между двумя вершинами не может быть нескольких ребер одного цвета, то есть, если i ≠ j, то (a_i, b_i, c_i) ≠ (a_j, b_j, c_j).

В следующей строке записано целое число — q (1 ≤ q ≤ 10⁵), обозначающее количество запросов.

Затем следуют q строк, содержащих по два целых числа через пробел — u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n). Гарантируется, что u_i ≠ v_i.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите ответ на отдельной строке.

Примечание

Рассмотрим первый пример.

$\text{[math]}$ Рисунок выше иллюстрирует первый пример.

Вершина 1 и вершина 2 соединены цветами 1 и 2.
Вершина 3 и вершина 4 соединены цветом 3.
Вершина 1 и вершина 4 не соединены никаким цветом.

E. Во все лёгкие

графы дп кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2100

Во все лёгкие — это новая компьютерная игра, о которой мечтает много геймеров. В этой игре есть один уровень, сложный даже для опытного игрока.

Уолтер Вильям, главный персонаж игры, хочет вступить в банду под названием Los Hermanos (Братья). Эта банда держит под контролем всю страну, состоящую из n городов, соединенных m двусторонними дорогами. Никакая дорога не соединяет город с самим собой, и для любых двух городов их соединяет не более одной дороги. Страна связная, иными словами, по дорогам можно из любого города добраться до любого другого.

Не по всем дорогам можно проехать. Некоторым дорогам для полной функциональности необходим ремонт.

Банда собирается ограбить банк! Банк находится в городе 1. Как обычно, самое сложное — это вернуться в свою штаб-квартиру, где полиция их не достанет. Штаб-квартира банды находится в городе n. Чтобы завоевать доверие банды, Уолтер взял операцию на себя и придумал хитроумный план.

Во-первых, путь, по которому надо возвращаться из города 1 в их штаб-квартиру n, должен быть как можно короче, так как очень важно завершить операцию как можно быстрее.

Затем, в качестве подготовки к операции банда должна взорвать все остальные дороги в стране, не лежащие на их пути, чтобы полиция не могла послать подкрепления. Если дорога к моменту операции не работает, взрывать её не нужно, так как по ней и так не проехать.

Если на выбранном пути находится несколько неработающих дорог, их надо отремонтировать перед операцией.

Уолтер обнаружил, что может быть несколько возможных путей минимальной длины, так что он решил выбрать среди них такой путь, который минимизирует общее количество дорог, над которыми банде придётся потрудиться (т. е. взорвать или отремонтировать).

Помогите Уолтеру завершить задание и завоевать доверие банды.

Входные данные

В первой строке входа записано два целых числа n, m (2 ≤ n ≤ 10⁵, $\text{[math]}$ ), количество городов и количество дорог, соответственно.

В следующих m строках даны описания дорог. Каждое описание состоит из трех целых чисел x, y, z (1 ≤ x, y ≤ n, $\text{[math]}$ ), обозначающих, что между городами x и y есть дорога, работающая, если z = 1, или неисправная, если z = 0.

Выходные данные

В первой строке выведите единственное целое число k, минимальное возможное количество дорог, над которые банде придётся затронуть.

В следующих k строках выведите по три целых числа, описывающих дорогу, которую придётся затронуть. В каждой строке должно быть записано три целых числа, x, y, z (1 ≤ x, y ≤ n, $\text{[math]}$ ), номера городов, соединенных дорогой, и новое состояние дороги. z = 1 означает, что дорогу между городами x и y надо отремонтировать, а z = 0 означает, что дорогу надо взорвать.

Дороги можно выводить в любом порядке. Каждую затронутую дорогу следует вывести ровно один раз. Города, соединяемые дорогой, разрешается выводить в любом порядке. Если вы выводите дорогу, то её исходное состояние должно отличаться от z.

После исполнения вашего плана в стране должны остаться только рёбра, лежащие на одном кратчайшем пути из 1 в n.

Если есть несколько оптимальных вариантов ответа, выведите любой из них.

Примечание

В первом тесте единственный путь — 1 - 2

Во втором тесте единственный кратчайший путь — 1 - 3 - 4

В третьем тесте есть несколько кратчайших путей, но оптимальный из них — 1 - 4 - 6 - 8

D. Таня и пароль

графы поиск в глубину и подобное *2500

Пока папа был на работе, маленькая девочка Таня решила поиграть с папиным паролем к секретной базе данных. Папин пароль представляет собой строку, состоящую из n + 2 символов. Она выписала все возможные n трёхбуквенных подстрок пароля на бумажки, по одной на каждую бумажку, а сам пароль выкинула. Каждая трёхбуквенная подстрока была выписана на бумажки столько раз, сколько она встречалась в пароле. Таким образом, в итоге у Тани оказалось n бумажек.

Потом Таня поняла, что папа расстроится, если узнает о ее игре, и решила восстановить пароль или, по крайней мере, хотя бы какую-то строку, соответствующую получившемуся набору трёхбуквенных строк. Вам предстоит помочь ей в этой непростой задаче. Известно, что папин пароль состоял из строчных и заглавных букв латинского алфавита, а также из цифр. Строчные и заглавные буквы латинского алфавита считаются различными.

Входные данные

В первой строке следует целое число n (1 ≤ n ≤ 2·10⁵), количество трёхбуквенных подстрок, которые получились у Тани.

Следующие n строк каждая содержат по три буквы, образующие подстроку пароля папы. Каждый символ во вводе — строчная или заглавная буква латинского алфавита или цифра.

Выходные данные

Если во время игры Таня что-то напутала, и строк, соответствующих данному набору подстрок, не существует, то выведите «NO».

Если же возможно восстановить строку, соответствующую данному набору подстрок, то выведите «YES», а затем любой подходящий вариант пароля.

E. Пентагон

графы Комбинаторика матрицы *2400

В соответствии с последним указом Президента Берляндии каждый город страны должен иметь собственное здание Министерства Обороны (свой собственный Пентагон). Мегаполис Бербург не стал исключением. В этом городе n перекрестков, некоторые пары из которых соединены двунаправленными дорогами. Всего в городе m дорог, между каждой парой перекрестков не более одной.

В настоящий момент обсуждается выбор места расположения Пентагона в Бербурге. Решено, что Пентагон должен занимать территорию пяти различных перекрестков, которые соединены в цикл дорогами. В порядке цикла по дорогам будет построена специальная стена (как и положено — с высоким напряжением, колючей проволокой и т.п.). Таким образом, количество возможных способов построить Пентагон в городе равно количеству различных циклов длины 5, составленных из перекрестков и дорог.

Ваша задача вывести количество способов построить Пентагон в Бербурге. Учтите, что в этой задаче пройдет только достаточно оптимизированное решение, так что обязательно протестируйте свой код на максимальном тесте.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 700;0 ≤ m ≤ n·(n - 1) / 2), n — количество перекрестков, а m — количество дорог в городе. Далее в m строках содержатся описания дорог, по одной дороге в строке. Каждая дорога задана парой целых чисел a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n;a_i ≠ b_i), где a_i и b_i — номера соединяемых дорогой перекрестков. Перекрестки занумерованы от 1 до n. Не гарантируется, что из любого перекрестка можно добраться в любой другой, двигаясь по дорогам.

Выходные данные

Выведите единственное число — искомое количество способов. Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для чтения или записи 64-х битовых чисел на С++. Рекомендуется использовать поток cout (также вы можете использовать спецификатор %I64d).

F. Гусеница

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *2800

Неориентированный граф называется гусеницей, если он является связным графом без циклов, и в нем существует такой путь, что любая вершина находится на расстоянии не более 1 от него. Гусеница может содержать петли, но не может содержать кратных ребер.

На рисунке изображен пример гусеницы:

$\text{[math]}$

Вам задан неориентированный граф G с которым можно производить операцию сжатия двух вершин в одну. Для этого выбираются любые две вершины графа a и b (a ≠ b). Из графа удаляются обе эти вершины вместе с их ребрами (инцидентными хотя бы одной из вершин a или b), но добавляется новая вершина w вместе с ребрами вида (x, w) для каждого ребра (a, w) и (b, w). Если в графе существовало ребро (a, b), то оно преобразуется в петлю (w, w). В результате операции слияния могут появляться кратные ребра и петли. Заметим, что эта операция уменьшает количество вершин графа на 1, но оставляет неизменным количество ребер в графе.

Операция сжатия двух вершин может быть неформально описана как объединение двух вершин графа в одну, с естественным преобразованием ребер графа.

С помощью последовательного применения описанной операции можно любой заданный неориентированный граф сделать гусеницей. Напишите программу, которая выведет наименьшее количество операций сжатия, чтобы заданный граф сделать гусеницей.

Входные данные

В первой строке содержится пара целых чисел n, m (1 ≤ n ≤ 2000;0 ≤ m ≤ 10⁵), n — количество вершин в графе, а m — количество ребер в нем. Далее в m строках заданы ребра графа, по одному ребру в строке. Каждая строка содержит пару целых чисел a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n;a_i ≠ b_i), a_i, b_i — номера соединяемых ребром вершин. Вершины пронумерованы от 1 до n. Между каждой парой вершин может быть не более одного ребра. Заданный граф не обязательно является связным.

Выходные данные

Выведите искомое наименьшее число операций.

C. Лиса и имена

графы поиск в глубину и подобное сортировки *1600

Лиса Ciel собирается опубликовать статью по ЛИС (Лисооперируемым Интеллектуальным Системам). Она слышала, что список авторов научной статьи всегда сортируется в лексикографическом порядке.

После изучения примеров оформления, лиса обнаружила, что иногда это утверждение не верно. В некоторых статьях имена авторов не сортируются в лексикографическом порядке в обычном понимании. Но, оказывается, верно то, что после некоторого изменения порядка букв в алфавите, порядок авторов становится лексикографическим!

Лиса хочет знать, существует ли такой порядок букв латинского алфавита, что имена авторов предлагаемой ею статьи следуют в лексикографическом порядке. Если да, то требуется также найти любой такой порядок.

Лексикографический порядок определяется следующим образом. Мы сравниваем s и t, сперва находя крайнюю левую позицию с различающимися символами: s_i ≠ t_i. Если такой позиции нет (то есть, s — это префикс t или наоборот), то более короткая строка меньше. В противном случае мы сравниваем символы s_i и t_i согласно их порядку в алфавите.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (1 ≤ n ≤ 100), количество имен.

В каждой из следующих n строк записано по одному слову name_i (1 ≤ |name_i| ≤ 100), обозначающему i-е имя. Каждое имя содержит только строчные буквы латинского алфавита. Все имена различны.

Выходные данные

Если существует такой порядок букв, при котором имена в данном списке следуют в лексикографическом порядке, выведите любой такой порядок в виде перестановки символов 'a'–'z' (иными словами, выведите сначала первую букву модифицированного алфавита, затем вторую, и так далее).

В противном случае выведите единственное слово «Impossible» (без кавычек).

B. Две кнопки

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути математика поиск в глубину и подобное реализация *1400

Вася нашел странное устройство. На передней панели устройства расположен дисплей, отображающий некоторое целое положительное число, а также красная и синяя кнопки. При нажатии на красную кнопку число на дисплее увеличивается в два раза. При нажатии на синюю кнопку число на дисплее уменьшается на единицу. Если в какой-то момент число перестает быть положительным, устройство ломается. Дисплей может отображать сколь угодно большие числа. Изначально на дисплее отображается число n.

Вася хочет получить на дисплее число m. Какое минимальное количество нажатий ему придется совершить?

Входные данные

Первая и единственная строка ввода содержит два различных целых числа n и m, разделенных пробелом (1 ≤ n, m ≤ 10⁴).

Выходные данные

Выведите одно число — минимальное количество нажатий на кнопки, необходимое, чтобы получить число m из числа n.

Примечание

В первом примере нужно один раз нажать на синюю кнопку, и затем раз один раз на красную кнопку.

Во втором примере удваивать число невыгодно, поэтому надо девять раз нажать на синюю кнопку.

E. Cycling City

графы поиск в глубину и подобное *3100

Вы организуете велосипедную гонку на улицах города. В городе присутствует n перекрестков, некоторые пары из которых соединены дорогами; по каждой из дорог можно перемещаться в любую сторону. Никакие две дороги не соединяют одну и ту же пару перекрестков, и никакая дорога не соединяет перекресток с самим собой.

Вы хотите, чтобы в гонке могли принять участие как профессиональные спортсмены, так и начинающие велосипедисты, и для этого вы проведете гонку в трех номинациях: легкая, средняя и сложная; каждый участник выберет себе сложность по силам. Для каждой номинации необходимо выбрать свой маршрут — цепочку перекрестков, последовательно соединенных дорогами. Маршруты должны удовлетворять следующим условиям:

все три маршрута должны стартовать на одном и том же перекрестке, а также финишировать на одном и том же перекрестке (места старта и финиша не могут совпадать);
во избежание столкновений никакие два маршрута не могут иметь общих перекрестков (за исключением общих старта и финиша), а также не могут проходить по одной и той же дороге (независимо от направления прохождения по этой дороге);
ни один маршрут не должен дважды проходить через один и тот же перекресток либо дважды проходить по одной и той же дороге (независимо от направления прохождения по этой дороге).

Подготовка к соревнованиям скоро начнется, и вам нужно как можно быстрее определиться с маршрутами гонки. Длина маршрутов не играет роли, важно лишь, чтобы все перечисленные требования были удовлетворены.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 2·10⁵) — количество перекрестков и дорог соответственно.

В следующих m строках через пробел записано по два целых числа — номера перекрестков, соединенных очередной дорогой (перекрестки нумеруются, начиная с 1). Гарантируется, что каждая пара перекрестков соединена не более, чем одной дорогой, и никакая дорога не соединяет перекресток сам с собой.

Обратите внимание, что возможность добраться от любого перекрестка до любого другого по дорогам не гарантируется.

Выходные данные

Если проложить маршруты возможно, в первой строке выведите «YES». В следующих трех строках выведите описания каждого из трёх маршрутов в формате «l p₁ ... p_l», гле l — количество перекрёстков в маршруте, а p₁, ..., p_l — их номера в порядке следования. Маршруты должны удовлетворять всем приведенным в условии требованиям.

Если же проложить маршруты в соответствии с указанными требованиями невозможно, выведите NO.

A. Репосты

*особая задача графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *1200

Однажды Поликарп опубликовал в социальной сети смешную картинку с опросом про цвет своего хэндла. Многие из его друзей стали репостить шутку Поликарпа себе в ленту. Некоторые из них репостили репосты и так далее.

Эти события заданы в виде последовательности строк «name1 reposted name2» где name1 — это имя того, кто репостнул, а name2 — имя того, с чей ленты репостнули шутку. Гарантируется, что для каждой строки «name1 reposted name2» пользователь «name1» еще не имел эту шутку в свой ленте, а «name2» уже имел ее в своей ленте к моменту репоста. Поликарп зарегистрирован под именем «Polycarp», и изначально шутка есть только в его ленте.

Поликарп измеряет успешность шутки как длину наибольшей цепочки репостов. Выведите успешность шутки Поликарпа.

Входные данные

В первой строке входных данных записано целое число n (1 ≤ n ≤ 200) — количество репостов. Далее записаны сами репосты в порядке их совершения. Каждый из них записан в отдельной строке и имеет вид «name1 reposted name2». Все имена во входных данных состоят из прописных или строчных латинских букв и/или цифр и имеют длины от 2 до 24 символов включительно.

Известно, что имена пользователей регистронезависимы, то есть два имени, отличающиеся исключительно регистром букв, соответствуют одному и тому же пользователю соцсети.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — максимальную длину цепочки репостов.

D. Артур и стены

графы жадные алгоритмы Конструктив кратчайшие пути Структуры данных *2400

Наконец настал тот день, когда Артур накопил достаточную сумму денег и решил купить квартиру. Ему предложили отличный вариант — квартиру в самом центре города по отличной цене.

План предложенной Артуру квартиры представляет собой прямоугольник размера n × m, разделенный на квадраты размера 1 × 1. В каждом из таких квадратов находится либо стена (такой квадрат обозначен на плане символом "*"), либо свободное от стены место (такой квадрат обозначен на плане символом ".").

Комнаты в квартире представляют собой максимальные по размеру связные области из клеток, свободных от стен. Две клетки считаются соседними, если они имеют общую сторону.

Давней мечтой Артура была квартира, в которой все комнаты представляют собой прямоугольники. Он просит вас посчитать минимальное количество стен, которое нужно удалить для осуществления его мечты. После удаления из клетки стены в ней образуется свободное место. В процессе удаления стен несколько комнат могут объединиться в одну.

Входные данные

В первой строке входных данных следуют два целых числа n, m (1 ≤ n, m ≤ 2000) — размеры плана квартиры Артура.

В следующих n строках задано по m символов — описание плана квартиры.

Если клетка плана обозначена символом "*", значит в ней находится стена.

Если клетка карты обозначена символом ".", значит в этом месте квартиры свободное от стены место, и эта клетка относится к какой-то из комнат.

Выходные данные

Выведите n строк по m символов — как будет выглядеть план квартиры Артура, после удаления минимального количества стен для того, чтобы каждая комната (максимальная по размеру связная область из свободных от стен мест), представляла собой прямоугольник.

Если возможных ответов несколько, разрешается вывести любой из них.

E. Страсти в дата-центре

графы поиск в глубину и подобное *2600

Проектируемый дата-центр одной Большой Софтверной Компании состоит из n компьютеров, соединённых m проводами. Упрощённо каждый компьютер можно считать коробкой, из которой торчит несколько проводов. По каждому проводу в одном из двух направлений может течь Очень Важная Информация. Так как план дата-центра ещё не утверждён, для каждого провода пока не определено, в каком направлении по нему будет идти информация. Провода проложены таким образом, что каждый компьютер был связан с каждым, возможно, через некоторые другие компьютеры.

За порядок в дата-центре будет отвечать уборщица Клавдия Ивановна, которая любит собирать провода в пучки с помощью стяжек. По известным ей одной причинам, она группирует провода, торчащие из компьютера, по два, а если вдруг этого не получается, то она в ярости заливает компьютер водой из ведра.

Следует также отметить, что из-за специфических физических характеристик Очень Важной Информации, категорически запрещается связывать в пучок два провода, по которым информация течёт в разные стороны.

Руководство дата-центра хочет определить, как следует направить информацию по каждому проводу таким образом, чтобы Клавдия Ивановна имела возможность сгруппировать по два все провода, исходящие из каждого компьютера, соблюдая условие выше. Так как это может быть невозможно с имеющимся планом соединений, вам разрешается добавить минимально возможное количество проводов в схему, после чего требуется определить направление потока информации по каждому проводу (да, иногда дата-центры проектируются, исходя из удобства уборщиц...)

Входные данные

В первой строке следуют два числа n и m (1 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ m ≤ 200 000) — количество компьютеров и количество имеющихся проводов соответственно.

В каждой из последующих строк следует по два числа a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n) — номера компьютеров, соединённых i-м проводом. Дата-центры частенько бывают очень сложно устроены, поэтому между парой компьютеров может быть больше одной пары проводов, а некоторые провода могут соединять компьютер с самим собой.

Выходные данные

В первой строке выведите единственное число p (p ≥ m) — минимальное количество проводов в итоговой схеме.

В каждой из последующих p строк выведите по паре чисел c_i, d_i (1 ≤ c_i, d_i ≤ n), описывающей очередной провод. Подобная запись означает, что информация будет течь по очередному проводу в направлении от c_i к d_i.

Среди выведенных вами проводов должны фигурировать все имеющиеся в плане провода в том или ином направлении. Гарантируется, что существует решение, в котором p не превосходит 500 000.

Если возможных ответов с минимальным значением p несколько, выведите любой.

Примечание

Иллюстрация к первому тесту из условия. Объединённые пары проводов изображены исходящими из одной точки.

$\text{[math]}$

Иллюстрация ко второму тесту из условия. Добавленные провода отмечены жирным.

$\text{[math]}$

Альтернативный вариант ответа на второй тест из условия:

$\text{[math]}$

B. Разрушение дорог

графы Конструктив кратчайшие пути *2100

В некоторой стране есть ровно n городов и m двусторонних дорог, соединяющих города. Пронумеруем города некоторым образом целыми числами от 1 до n. Если города a и b соединены дорогой, то за один час вы можете по ней проехать как из города a в город b, так и из города b в город a. Кроме того, сеть дорог такова, что из каждого города можно добраться до любого другого города, двигаясь по дорогам.

Вы хотите разрушить наибольшее количество дорог в стране так, чтобы с помощью оставшихся дорог можно было добраться из города s₁ в город t₁ не более чем за l₁ часов и из города s₂ в город t₂ не более чем за l₂ часов.

Определите, какое максимальное количество дорог можно разрушить так, чтобы удовлетворить условию вашего плана. Если добиться желаемого невозможно, выведите -1.

Входные данные

В первой строке задано два целых числа n, m (1 ≤ n ≤ 3000, $\text{[math]}$ ) — количество городов и дорог в стране соответственно.

Далее в m строках задано описание дорог в виде пар чисел a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i). Гарантируется, что по заданным в описании дорогам из каждого города можно добраться до любого другого города. Гарантируется, что между каждой парой городов существует не более одной дороги.

Последние две строки содержат по три числа s₁, t₁, l₁ и s₂, t₂, l₂, соответственно (1 ≤ s_i, t_i ≤ n, 0 ≤ l_i ≤ n).

Выходные данные

Выведите единственное число — ответ на задачу. Если план выполнить невозможно, выведите -1.

E. Пути и деревья

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути *2000

Маленькая девочка Сьюзи случайно нашла тетрадь своего старшего брата. У неё есть много более важных дел, чем решение задач, но эта показалась ей слишком интересной, так что она всё же захотела узнать её решение и решила спросить у вас. Итак, условие задачи.

Пусть дан связный взвешенный неориентированный граф G = (V, E) (здесь V — множество вершин, E — множество рёбер). Деревом кратчайших путей из вершины u называется граф G₁ = (V, E₁), который является деревом, множество его рёбер E₁ является подмножеством множества рёбер исходного графа E, и длины кратчайших путей от u до любой вершины в G и в G₁ совпадают.

Вам дан связный взвешенный неориентированный граф G и вершина u. Необходимо найти дерево кратчайших путей заданого графа из вершины u, суммарный вес рёбер которого минимален.

Входные данные

В первой строке находятся два числа n и m (1 ≤ n ≤ 3·10⁵, 0 ≤ m ≤ 3·10⁵) — количество вершин и рёбер графа соответственно.

В следующих m строках находятся по три числа, обозначающих очередное ребро — u_i, v_i, w_i — номера вершин, соединённых ребром, и вес ребра (u_i ≠ v_i, 1 ≤ w_i ≤ 10⁹). Гарантируется, что граф связен, и что между каждой парой вершин существует не более одного ребра.

В последней строке ввода находится целое число u (1 ≤ u ≤ n) — номер стартовой вершины.

Выходные данные

Выведите в первой строке минимальный суммарный вес рёбер дерева.

В следующей строке выведите номера рёбер, входящих в дерево, разделяя их пробелом. Рёбра нумеруются с единицы в порядке следования во входных данных. Номера рёбер можно выводить в любом порядке.

Если возможных ответов несколько, выведите любой.

Примечание

В первом тесте из условия возможны два дерева кратчайших путей:

с ребрами 1 – 3 и 2 – 3 (суммарный вес 3);
с ребрами 1 – 2 и 2 – 3 (суммарный вес 2);

А, например, дерево с ребрами 1 – 2 и 1 – 3 не будет деревом кратчайших путей для вершины 3, потому что расстояние от вершины 3 до вершины 2 в этом дереве равно 3, а в исходном графе оно 1.

E. Солдат и путешествия

графы математика Потоки *2100

В стране есть n городов и m двусторонних дорог между ними. У каждого города есть армия. Армия i-го города состоит из a_i солдат. В стране объявлена мобилизация. В результате неё каждый солдат должен либо остаться в своем городе, либо перейти в один из соседних городов, то есть перейти по не более чем одной дороге.

Проверьте, возможно ли, чтобы после перехода в i-м городе было ровно b_i солдат.

Входные данные

Первая строка входа содержит два целых числа, n и m (1 ≤ n ≤ 100, 0 ≤ m ≤ 200).

В следующей строке записано n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (0 ≤ a_i ≤ 100).

В следующей строке записано n целых чисел b₁, b₂, ..., b_n (0 ≤ b_i ≤ 100).

Затем слеует m строк, каждая состоит из двух целых чисел, p и q (1 ≤ p, q ≤ n, p ≠ q) обозначающих, что между городами p и q есть дорога.

Гарантируется, что между каждой парой городов существует не более одной дороги.

Выходные данные

Если требуемое невозможно, выведите единственное слово: "NO".

В противном случае выведите слово "YES", а затем выведите n строк, в каждой строке выведите по n целых чисел. Число в i-й строке и j-м столбце должно обозначать, сколько солдат должно перейти из города i в город j (если i ≠ j), либо сколько солдат должно остаться в городе i (если i = j).

Если возможных ответов несколько, выведите любой из них.

D. Майк и рыба

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2600

Как известно, мишки любят рыбу. Но Майк — медведь необычный; он ненавидит рыбу! При этом как ни странно, у него есть бесконечное количество синей и красной рыбы.

$\text{[math]}$

Майк отметил n различных точек на плоскости. Координаты точки номер i это (x_i, y_i). Он хочет положить ровно одну рыбу на каждую из этих точек так, чтобы разница между количеством красной и синей рыбы на каждой горизонтальной и вертикальной прямой была не более 1.

Майк никак не может справиться с этим! Пожалуйста, помогите ему.

Входные данные

В первой строке ввода записано целое число n (1 ≤ n ≤ 2 × 10⁵).

В следующих n строках записана инфомация о точках, в i-й строке записано два целых числа, x_i и y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ 2 × 10⁵) — координаты i-й точки.

Гарантируется, что существует не менее одного корректного ответа.

Выходные данные

Выведите ответ как строку длины n из символов 'r' (красный) и 'b' (синий), i-й символ которой должен обозначать цвет рыбы в i-й точке.

B. Вечеринка в Looksery

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *2300

В компании Looksery, состоящей из n сотрудников, намечается очередная большая вечеринка. У каждого сотрудника в телефонной книге записан свой номер и номера друзей. Каждый, кто приходит на вечеринку, рассылает сообщения своим контактам о том, как там классно. При этом все стараются как можно больше времени потратить на веселье, поэтому рассылают сообщения всем, без разбора, и даже себе.

Игорь и Макс — разработчики Looksery — затеяли спор, кому сколько придёт сообщений. Игорь указывает n чисел, i-е из которых обозначает, сколько, по его мнению, сообщений придет i-му сотруднику. Если Игорь угадает правильно хотя бы одно из этих чисел, то он выиграет, в противном случае выиграет Макс.

Вы поддерживаете Макса в этом споре, поэтому вам требуется по заданным спискам контактов сотрудников определить, существует ли расклад, при котором Игорь проиграет. Точнее, Вам нужно определить, кто из сотрудников должен прийти на вечеринку, а кто — нет, так чтобы после того, как все пришедшие разошлют сообщения своим контактам, каждый сотрудник получил число сообщений отличное от того, что указал Игорь.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число n (1 ≤ n ≤ 100) — количество сотрудников компании Looksery.

В следующих n строках задано описание списков контактов сотрудников. В i-й из этих строк записана строка длины n, состоящая из нулей и единиц, задающая список контактов i-го сотрудника. Если j-й символ i-й строки равен 1, то j-ый сотрудник находится в списке контактов i-го, в противном случае — не находится. Гарантируется, что i-й символ i-й строки всегда равен 1.

В последней строке задано n целых чисел, разделенных пробелами: a₁, a₂, ..., a_n (0 ≤ a_i ≤ n), где a_i обозначает число сообщений, которое должен получить i-й сотрудник по мнению Игоря.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число m — количество сотрудников, которые должны прийти на вечеринку, чтобы Игорь проиграл спор.

Во второй строке через пробел выведите m целых чисел — номера этих сотрудников в произвольном порядке.

Если же Игорь в любом случае выиграет спор, выведите -1.

Если возможных ответов несколько, выведите любой из них.

Примечание

В первом примере по мнению Игоря первый сотрудник получит 0 сообщений. Т.к. его нет в списке контактов других сотрудников, то он должен прийти на вечеринку, чтобы получить сообщение от самого себя. Если на вечеринку придет только первый сотрудник, то он получит 1 сообщение, второй — 0 сообщений, и третий также 1 сообщение. В итоге Игорь не угадает ни одного числа.

Во втором примере, если единственный сотрудник придет на вечеринку, то он получит 1 сообщение и Игорь победит в споре, следовательно ему не стоит этого делать.

В третьем примере первый сотрудник компании получит 2 сообщения, второй — 3, третий — 2, четвертый — 3.

D. Регулярный мост

графы Конструктив реализация *1900

Неориентированный граф называется k-регулярным, если степени всех его вершин равны k. Ребро связного графа называется мостом, если после его удаления граф распадается на две компоненты связности.

Постройте неориентированный связный k-регулярный граф, содержащий по крайней мере один мост, либо определите, что такого графа не существует.

Входные данные

В единственной строке входных данных содержится целое число k (1 ≤ k ≤ 100) — требуемая степень вершин регулярного графа.

Выходные данные

Выведите "NO" (без кавычек), если искомого графа не существует.

Иначе выведите "YES" в первой строке и описание любого подходящего графа в последующих строках.

Описание построенного графа должно начинаться с чисел n и m — количества вершин и ребер соответственно.

Последующие m строк должны содержать по два целых числа a и b (1 ≤ a, b ≤ n, a ≠ b), означающих, что существует ребро, соединяющее данные вершины. Граф не должен содержать кратных ребер, а также ребер, ведущих из вершины в саму себя. Граф должен быть связным, степени всех вершин графа должны равняться k. Хотя бы одно ребро графа должно быть мостом. Ребра графа можно выводить в любом порядке. Концы каждого ребра можно выводить в любом порядке.

Построенный граф должен содержать не более 10⁶ вершин и не более 10⁶ ребер (гарантируется что, если хотя бы один граф, удовлетворяющий требованиям, существует, то существует и граф с не более, чем 10⁶ вершин и не более, чем 10⁶ рёбер).

Примечание

В примере из условия подходит граф из двух вершин, соединенных единственным ребром.

C. Любовные треугольники

графы поиск в глубину и подобное снм *2200

Во многих аниме фигурируют любовные треугольники: Алиса любит Боба, Чарли тоже любит Боба, но Алиса ненавидит Чарли. Вы задумали аниме с n персонажами. Персонажи обозначены числами от 1 от n. Каждая пара персонажей может либо взаимно любить, либо взаимно ненавидеть друг друга (нейтрального состояния нет).

Вы ненавидите любовные треугольники (А и B любят друг друга и B и C любят друг друга, но А и C ненавидят друг друга), а также вы терпеть не можете, когда никто никого не любит. Итак, рассматривая любых трёх человек, вы будете довольны, если ровно одна пара из них любит друг друга (А и B любят друг друга, а C ненавидит и А, и B), либо если все три пары любят друг друга (А любит B, B любит C, C любит А).

Вам дан список из m известных отношений в аниме. Вы точно знаете, что некоторые пары любят друг друга, а некоторые пары ненавидят друг друга. Вам интересно, сколько есть способов доопределить оставшиеся отношения так, чтобы вы были довольны каждым из треугольников. Два способа считаются различными, если два персонажа любят друг друга в одном способе и ненавидят друг друга в другом способе. Выведите это количество по модулю 1 000 000 007.

Входные данные

В первой строке входа записано два целых числа n, m (3 ≤ n ≤ 100 000, 0 ≤ m ≤ 100 000).

В следующих m строках записано описание известных отношений. В i-й строке записано три целых числа a_i, b_i, c_i. Если c_i равно 1, тогда a_i и b_i любят друг друга, в противном случае, они ненавидят друг друга (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, $\text{[math]}$ ).

Каждая пара людей описана не более, чем один раз.

Выходные данные

Выведите единственное целое число, равное остатку от деления на 1 000 000 007 количества способов заполнения оставшихся пар так, чтобы вы были довольны каждым треугольником.

Примечание

В первом примере четыре способа таковы:

Все любят друг друга;
1 и 2 любят друг друга, а 3 ненавидит 1 и 2 (а также два симметричных способа).

Во втором примере единственный возможный способ — заставить 1 и 3 любить друг друга, а 2 и 4 — ненавидеть друг друга.

D. Нудистский пляж

Бинарный поиск графы жадные алгоритмы *2300

Организация Nudist Beach (NB) планирует военную операцию по атаке организации Life Fibers (LF). Во время операции предполагается атаковать и захватить несколько городов, которые на настоящий момент находятся под контролем LF.

Дано n городов, обозначенных от 1 до n, и m двунаправленных дорог между ними. На данный момент в каждом из n городов установлена власть LF. Также в k из этих городов расположены крепости LF, и эти города нельзя захватить ни при каких обстоятельствах. Таким образом, NB может захватить произвольное непустое подмножество городов, не содержащих крепостей LF.

После операции NB придется защищать захваченные города от контратаки. Если они захватят город, соединенный со многими городами, контролируемыми LF, то их врагам будет легко отбить город обратно. Таким образом, NB хотят захватить множество городов, такое, что для каждого захваченного города отношение количества соседей, контролируемых NB, к количеству всех соседей этого города, было как можно больше.

Более формально, NB хотят захватить непустое множество городов S, не имеющих крепостей LF. Сила города $\text{[math]}$ определяется как (количество соседей x в S) / (общее количество соседей x), где соседними называются два города, соединённых дорогой. Цель NB — максимизировать силу самого слабого города в S.

Вам дано описание графа и городов с крепостями, найдите непустое подмножество, которое максимизирует силу самого слабого города.

Входные данные

В первой строке ввода находятся три целых числа n, m, k (2 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ m ≤ 100 000, 1 ≤ k ≤ n - 1).

Во второй строке ввода находятся k целых чисел, представляющих города с крепостями. Все эти города различны.

В следующих m строках описаны дороги. В i-й из этих строк находятся 2 целых числа a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i). Гарантируется, что от каждого города отходит как минимум одна дорога.

Между каждой парой городов существует не более одной дороги.

Выходные данные

В первой строке выведите целое число r, обозначающее размер оптимального множества (1 ≤ r ≤ n - k).

Во второй строке выведите r целых чисел, обозначающих города из оптимального множества. Города могут следовать в произвольном порядке. Эта строка не должна содержать ни одного города с крепостью.

Если существует несколько возможных ответов, выведите любой из них.

Примечание

В первом примере достигается значение силы 1/2. Ни одно другое подмножество не даёт строго лучшего ответа.

Во втором примере достигается значение силы 1. Обратите внимание, что подмножество не обязательно должно быть связно.

E. Кёя и поезд

бпф графы дп математика Теория вероятностей *3200

Кёя Оотори хочет добраться до школы, воспользовавшись железнодорожным транспортом. Дано n станций и m односторонних железнодорожных маршрутов, соединяющих разные станции. Кёя находится на станции номер 1, а его школа — на станции n. Чтобы воспользоваться маршрутом, требуется заплатить за билет, после чего поезд едет определенное количество времени. Однако поезда несовершенны и доезжают до пункта назначения за некоторое случайное время. Если Кёя прибывает в школу строго более, чем через t единиц времени, ему придётся заплатить штраф в размере x.

Каждый маршрут описывается ценой за билет и распределением вероятностей для времени пути поезда. Более формально, для пути i известна стоимость билета c_i, и распределение вероятностей p_i, k, обозначающее вероятность того, что поезду, едущему по этому маршруту, потребуется k единиц времени для всех 1 ≤ k ≤ t. Времена путешествия всех поездов, используемых Кёей, являются совокупно независимыми случайными величинами (более того, если Кёя путешествует тем же самым поездом более одного раза, возможно, что поезд будет ехать разное время, и эти значения также независимы друг от друга).

Кёя хочет добраться до школы таким образом, чтобы минимизировать математическое ожидание количества потраченных им денег (за цены всех билетов плюс, возможно, штраф за опоздание). Кёя может модифицировать свой план по ходу поездки, основываясь на том, сколько времени у него остаётся. Каково матожидание количества денег, потраченных Кёей на пути в школу, если он будет действовать оптимально?

Входные данные

В первой строке ввода находятся четыре целых числа n, m, t, x (2 ≤ n ≤ 50, 1 ≤ m ≤ 100, 1 ≤ t ≤ 20 000, 0 ≤ x ≤ 10⁶).

Следующие 2m строк содержат описания маршрутов.

В 2i-й строке находятся 3 целых числа a_i, b_i, c_i, обозначающих односторонний маршрут от платформы a_i до платформы b_i, со стоимость билета c_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 0 ≤ c_i ≤ 10⁶). От каждой платформы существует как минимум один путь до школы.

В (2i + 1)-й строке находятся t целых чисел, p_i, 1, p_i, 2, ..., p_i, t, где p_i, k / 100000 — это вероятность того, что этому поезду потребуется k единиц времени на преодоление пути (0 ≤ p_i, k ≤ 100 000 для 1 ≤ k ≤ t, $\text{[math]}$ ).

Гарантируется, что между каждой парой платформ существует не более одного маршрута в каждом из направлений.

Выходные данные

Выведите единственное действительное число, равное математическому ожиданию стоимости дороги в школу. Ответ будет засчитан, если его относительная или абсолютная погрешность относительно авторского ответа не превышает 10^- 6.

Примечание

Оптимальная стратегия в первом тесте из условия такова:

Сперва надо проехать по первому маршруту. С вероятностью 1 / 2 у Кёи это займёт 1 единицу времени. В противном случае, Кёя потратит 3 единиц времени.

Если поезд пройдет маршрут за 1 единицы времени, надо проехать по четвёртому маршруту. Кёя доберется до школы вовремя с вероятностью 1 / 2. В противном случае, если поезд едет за 3 единицы времени, надо проехать по второму маршруту. Кёя доберется до школы вовремя с вероятностью 1 / 10.

Так как стоимость всех путей равняется нулю, достаточно определить вероятность того, что Кёя получит штраф за опоздание. Вероятность того, что Кёя будет должен заплатить штраф, равна 1 / 2 × 1 / 2 + 1 / 2 × 9 / 10 = 7 / 10. Можно показать, что никакая другая стратегия не даёт меньшего математического ожидания штрафа.

Оптимальная стратегия во втором тесте из условия — проехать по маршруту 1 → 2 → 4, что бы ни произошло. Кёя получит штраф с вероятностью 3 / 4, а суммарная стоимость билетов равна 200, следовательно, ожидаемая стоимость всей поездки — 200.75.

E. Дело о компьютерной сети

графы Деревья поиск в глубину и подобное *2800

Андроид Андреид — известный на всю галактику детектив. Сейчас он занимается подготовкой защиты от возможной атаки хакеров на важную компьютерную сеть.

В этой сети n узлов, некоторые пары узлов связаны m двусторонними каналами связи. По этой сети планируется передать q важных сообщений, i-е из которых должно быть отправлено из узла s_i в узел d_i с помощью одного или нескольких каналов связи, возможно через некоторые промежуточные узлы.

Для защиты от нападения был разработан специальный алгоритм. К сожалению его можно применить только к сети, состоящей из односторонних каналов связи. Поэтому, так как новые каналы связи создавать нельзя, было принято решение для каждого из существующих двусторонних каналов оставить возможность передавать данные только в одном из двух существующих направлений.

Перед Вами стоит задача определить, возможно ли так задать направление для каждого канала связи, чтобы каждое из q сообщений можно было успешно передать.

Входные данные

В первой строке заданы три целых числа n, m и q (1 ≤ n, m, q ≤ 2·10⁵) — количество узлов, каналов связи и важных сообщений.

В следующих m строках заданы по два целых числа v_i и u_i (1 ≤ v_i, u_i ≤ n, v_i ≠ u_i), означающих что между узлами v_i и u_i есть канал связи. Между парой узлов может существовать более одного канала связи.

В следующих q строках заданы по два целых числа s_i и d_i (1 ≤ s_i, d_i ≤ n, s_i ≠ d_i) — номера узлов источника и назначения соответствующего сообщения.

Не гарантируется, что исходно возможно передать все сообщения.

Выходные данные

Если решение существует, выведите в единственной строке "Yes" (без кавычек). Иначе выведите "No" (без кавычек).

Примечание

В первом тесте из условия каналам можно задать направление, например, следующим образом: 1 → 2, 1 → 3, 3 → 2, 4 → 3. Тогда для первого сообщения будет путь 1 → 3, а для второго — 4 → 3 → 2.

В третьем тесте из условия каналам можно задать направление, например, следующим образом: 1 → 2, 2 → 1, 2 → 3. Тогда для первого сообщения будет путь 1 → 2 → 3, а для второго — 2 → 1.

D. Виталий и цикл

графы Комбинаторика математика поиск в глубину и подобное *2000

После того, как Виталий был отчислен из университета, он увлекся теорией графов.

Особенно Виталию нравились циклы нечетной длины, в которых каждая вершина встречается не более одного раза.

Виталию стало интересно, как решать следующую задачу. Задан неориентированный граф из n вершин и m ребер, необязательно связный, без кратных ребер и петель. Нужно найти t — минимальное количество ребер, которые нужно добавить в заданный граф таким образом, чтобы образовался простой цикл нечетной длины, состоящий из более чем одной вершины. Кроме того, ему надо найти w — количество способов добавить t ребер так, чтобы образовался цикл нечетной длины (состоящий из более чем одной вершины). Запрещается добавлять петли или кратные рёбра.

Два способа добавить ребра в граф считаются одинаковыми, если в них совпадают множества добавляемых рёбер.

Так как Виталий уже не учится в университете, он обратился к вам за помощью в решении этой задачи.

Входные данные

В первой строке входных данных следуют два целых числа n и m ( $\text{[math]}$ — количество вершин в графе и количество ребер в графе.

Следующие m строк содержат описания ребер графа, по одному ребру в строке. Каждое из ребер задается парой целых чисел a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n) — номерами вершин, которые соединены i-м ребром. Все числа в строках разделены одним пробелом.

Гарантируется, что заданный граф не содержит петель и кратных ребер. Граф не обязательно является связным.

Выходные данные

Выведите в первую строку выходных данных через пробел два целых числа t и w — минимальное количество ребер, которое необходимо добавить в граф, чтобы образовался простой цикл нечетной длины, состоящий из более чем одной вершины, в котором каждая вершина встречается не более одного раза, и количество способов сделать это.

Примечание

Простой цикл это цикл, не проходящий дважды ни по какой вершине.

E. Аня и полупалиндром

графы Деревья дп Строки строковые суфф. структуры Структуры данных *2300

Завтра Ане предстоит сдавать самый сложный экзамен по программированию, на котором ей необходимо получить отличную оценку.

На последнем теоретическом занятии преподаватель ввел понятие полупалиндрома.

Строка t является полупалиндромом, если для всех нечетных позиций i ( $\text{[math]}$ ) выполняется условие t_i = t_{|t| - i + 1}, где |t| — длина строки t, а нумерация позиций начинается с единицы. Например, строки "abaa", "a", "bb", "abbbaa" являются полупалиндромами, а строки "ab", "bba" и "aaabaa" — нет.

Аня узнала, что на экзамене она получит строку s, состоящую только из латинских символов a и b, а также число k. Для получения отличной оценки ей необходимо будет найти k-ю в лексикографическом порядке подстроку данной строки s среди тех подстрок, которые являются полупалиндромами. При этом, каждая подстрока в этом порядке учитывается столько раз, сколько раз она встречается в s.

Преподаватель гарантирует, что данное число k не превышает количества подстрок данной строки, которые являются полупалиндромами.

А вы сможете справиться с такой задачей?

Входные данные

В первой строке входных данных следует строка s (1 ≤ |s| ≤ 5000), состоящая только из символов 'a' и 'b', где |s| — длина строки s.

Во второй строке следует целое положительное число k — лексикографический номер искомой подстроки-полупалиндрома среди всех подстрок-полупалиндромов заданной строки s. Нумерация этих подстрок начинается с единицы.

Гарантируется, что число k не превышает количества подстрок данной строки, которые являются полупалиндромами.

Выходные данные

Выведите подстроку заданной строки, которая является k-й в лексикографическом порядке из тех подстрок заданной строки, которые являются полупалиндромами.

Примечание

По определению, строка a = a₁a₂... a_n лексикографически меньше строки b = b₁b₂... b_m, если либо a является префиксом b и не совпадает с b, либо существует такое i, что a₁ = b₁, a₂ = b₂, ... a_i - 1 = b_i - 1, a_i < b_i.

В первом примере подстроками-полупалиндромами являются следующие строки — a, a, a, a, aa, aba, abaa, abba, abbabaa, b, b, b, b, baab, bab, bb, bbab, bbabaab (список задан в лексикографическом порядке).

C. Amr и химия

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути математика Перебор *1900

Amr любит химию, а особенно эксперименты. Он готовится к новому, интересному эксперименту.

У Amr есть n различных типов реактивов. У каждого реактива i есть изначальный объем a_i литров. Для этого эксперимента Amr надо смешать друг с другом все реактивы, но сперва надо, чтобы у всех реактивов были одинаковые объемы. Итак, его задание — сделать так, чтобы у всех реактивов были одинаковые объемы.

Для этого Amr может производить операции двух различных типов.

Выбрать некий реактив i и удвоить его текущий объем, то есть его новый объем будет равен 2a_i
Выбрать некий реактив i и разделить его объем на 2, округлив вниз до целого числа литров, то есть новый объем будет равен $\text{[math]}$

Предположим, что каждый реактив расположен в контейнере бесконечного объема. Теперь Amr интересно, какое минимальное количество операций необходимо для того, чтобы объемы всех химикатов стали равны?

Входные данные

В первой строке записано одно целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵), количество реактивов.

Во второй строке записано n целых чисел через пробел a_i (1 ≤ a_i ≤ 10⁵), обозначающих изначальный объем i-го реактивов в литрах.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное количество операций, необходимое, чтобы уравнять объемы всех химикатов.

Примечание

В первом тесте оптимальное решение — разделить объем второго реактива на два и умножить объем третьего химиката на два, чтобы все объемы стали равны 4.

Во втором тесте оптимальное решение — разделить объем первого реактива на два и разделить объемы второго и третьего химиката на два дважды, чтобы все объемы стали равны 1.

E. Президент и дороги

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное хэши *2200

В Берляндии n городов, столица находится в городе s, а историческая родина Президента — в городе t (s ≠ t). Города соединены односторонними дорогами, время проезда по каждой из дорог — целое положительное число.

Раз в год Президент посещает свою историческую родину t, для чего его кортеж проезжает по некоторому пути из s в t (обратно он всегда возвращается на личном самолете). Так как Президент — очень занятой человек, то он всегда выбирает путь из s в t, по которому он проедет быстрее всего.

Министерство дорог и путей сообщения хочет узнать для каждой дороги: обязательно ли проедет по ней Президент во время своего путешествия, и если нет, то возможно ли её починить так, чтобы она в любом случае входила в кратчайший путь из столицы в историческую родину Президента. Очевидно, что дорогу невозможно починить так, чтобы время проезда по ней стало меньше единицы. Министерство Берляндии, как и любое другое, заинтересовано в сохранении бюджета, поэтому оно хочет узнать минимальную стоимость починки дороги. Также оно очень любит точность, поэтому ремонтирует дороги так, что время проезда по ним всегда остаётся целым числом.

Входные данные

В первой строке записаны четыре целых числа n, m, s и t (2 ≤ n ≤ 10⁵; 1 ≤ m ≤ 10⁵; 1 ≤ s, t ≤ n) — количество городов и дорог в Берляндии, номера столицы и исторической родины Президента (s ≠ t).

Далее в m строках перечислены дороги. Каждая из дорог задается тройкой целых чисел a_i, b_i, l_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i; 1 ≤ l_i ≤ 10⁶) — городами, которые соединяет i-я дорога, и временем проезда по ней. Дорога направлена от города a_i к городу b_i.

Города пронумерованы от 1 до n. Между парой городов может быть несколько дорог. Гарантируется, что существует путь из s в t по дорогам.

Выходные данные

Выведите m строк. В i-й строке должна содержаться информация об i-й дороге (дороги нумеруются с единицы в порядке следования во входных данных).

Если президент в любом случае проедет по ней во время своего путешествия, строка должна содержать единственное слово «YES» (без кавычек).

Иначе если i-ю дорогу возможно починить так, чтобы время проезда по ней осталось положительным, и президент в любом случае выбрал бы её для своего путешествия, выведите через пробел слово «CAN» (без кавычек) и минимальную стоимость ремонта.

Если же нельзя починить дорогу так, чтобы по ней в обязательном порядке проехал президент, выведите «NO» (без кавычек).

Примечание

Стоимостью починки дороги называется разность между временем проезда по ней до и после починки.

В первом тесте из условия президент исходно может выбрать один из двух маршрутов для своей поездки: 1 → 2 → 4 → 5 → 6 либо 1 → 2 → 3 → 5 → 6.

D. Деревянные запросы

Бинарный поиск битмаски графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное *2200

Роман посадил дерево из n вершин. В каждой вершине записана строчная английская буква. Вершина 1 является корнем дерева, у каждой из n - 1 оставшихся вершин есть предок в дереве, с которым вершина соединена ребром. Предком вершины i является вершина p_i, причём номер предка всегда меньше, чем номер вершины (то есть, p_i < i).

Глубина вершины — это количество вершин на пути по рёбрам от корня до v. В частности, глубина корня равна 1.

Скажем, что вершина u лежит в поддереве вершины v, если мы можем попасть из u в v, переходя из вершины в предка. В частности, вершина v лежит в своём поддереве.

Рома даёт вам m запросов, i-й из которых задаётся двумя числами v_i, h_i. Рассмотрим вершины, лежащие в поддереве v_i, и находящиеся на глубине h_i. Определите, можно ли из букв, записанных в этих вершинах, составить строку, являющуюся палиндромом? Буквы, записанные в вершинах, можно переставить в произвольном порядке для составления палиндрома.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа n, m (1 ≤ n, m ≤ 500 000) — количество вершин в дереве и запросов соответственно.

В следующей строке находятся n - 1 целых чисел p₂, p₃, ..., p_n — предки вершин со второй по n-ю вершин (1 ≤ p_i < i).

В следующей строке находятся n строчных английских букв, i-я из этих букв написана на вершине i.

В последующих m строках описаны запросы, в i-й строке находятся два числа v_i, h_i (1 ≤ v_i, h_i ≤ n) — вершина и глубина, фигурирующие в i-м запросе.

Выходные данные

Выведите m строк. В i-й строке выведите «Yes» (без кавычек), если в i-м запросе возможно составить палиндром из букв, написанных на вершинах, иначе выведите «No» (без кавычек).

Примечание

Строка s является палиндромом, если она одинаково читается слева направо и справа налево. В частности, пустая строка является палиндромом.

Пояснение к тесту из условия.

В первом запросе существует единственная вершина 1, подходящая под все условия, мы можем составить палиндром "z".

Во втором запросе вершины 5 и 6 удовлетворяют условиям, на этих вершинах написаны буквы "с" и "d". Составить палиндром невозможно.

В третьем запросе не существует ни одной вершины на глубине 1 в поддереве вершины 4. Мы можем составить пустой палиндром.

В четвертом запросе не существует вершин в поддереве 6 на глубине 1. Мы можем составить пустой палиндром.

В пятом запросе вершины 2, 3 и 4 удовлетворяют условиям, на этих вершинах написаны буквы a, с и с. Мы можем составить палиндром "cac"

C. КНФ-2

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *2500

«Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов» (взято с https://ru.wikipedia.org/wiki/КНФ).

Иными словами, КНФ — это формула вида $\text{[math]}$ , где & обозначает логическое "И" (конъюнкцию), $\text{[math]}$ обозначает логическое "ИЛИ" (дизъюнкцию), а v_ij — это некоторые логические переменные или их отрицания. Каждое выражение в скобках называется дизъюнктом, а v_ij называются литералами.

Дана КНФ, в которой фигурируют переменные x₁, ..., x_m и их отрицания. Известно, что каждая переменная входит не более, чем в два дизъюнкта (суммарно как с отрицанием, так и без). Требуется определить выполнима ли эта КНФ, то есть, существуют ли такие значения переменных, при которых значение КНФ истинно. Если КНФ выполнима, то также требуется привести значения переменных, при которых КНФ истинна.

Гарантируется, что каждая переменная входит в каждый дизъюнкт не более одного раза.

Входные данные

В первой строчке заданы целые числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 2·10⁵) — количество дизъюнктов и количество переменных соответственно.

Далее в n строках заданы описания каждого из дизъюнктов. В i-й строке находится сначала число k_i (k_i ≥ 1) – количество литералов в i-м дизъюнкте, затем через пробел перечислены литералы v_ij (1 ≤ |v_ij| ≤ m). Литерал, соответствующий v_ij, это x_{|v_ij|} либо с отрицанием, если v_ij отрицательно, либо без отрицания в противном случае.

Выходные данные

Если КНФ не выполнима, выведите единственную строку "NO" (без кавычек), в противном случае выведите две строки: строку "YES" (без кавычек), а затем строку из m нулей или единиц — значения переменных в выполняющем наборе в порядке от x₁ до x_m.

Примечание

В первом тестовом примере задана формула $\text{[math]}$ . Один из возможных ответов — x₁ = ИСТИНА, x₂ = ИСТИНА.

B. Мишка и три мушкетера

графы Перебор поиск в глубину и подобное хэши *1500

Знаете ли вы историю про трех мушкетеров? Сейчас вы узнаете её происхождение.

Ришелимакье — кардинал в городе Берисе. Он устал в одиночку бороться с преступностью, поэтому ему нужны три храбрых воина, чтобы помочь бороться с плохишами.

Дано n воинов. Ришелимакье хочет выбрать троих из них на должность мушкетеров, но это не так-то просто. Самое важное условие заключается в том, что мушкетеры в целях кооперации должны знать друг друга. Но они не должны быть слишком известными, ведь старые друзья могут предать их. Для каждого мушкетера, его узнаваемость — это количество известных ему воинов, не считая двух других мушкетеров.

Помогите Ришелимакье! Узнайте, можно ли выбрать трех мушкетеров, знающих друг друга, и какова может быть минимальная сумма их узнаваемостей.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа через пробел, n и m (3 ≤ n ≤ 4000, 0 ≤ m ≤ 4000) — количество воинов и количество пар воинов, которые знают друг друга.

В i-й из последующих m строк находятся по два целых числа через пробел, a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i), означающих, что воины a_i и b_i знают друг друга. Каждая пара воинов будет указана не более одного раза.

Выходные данные

Если Ришелимакье может выбрать трех мушкетеров, выведите минимальную возможную сумму их узнаваемостей.

В противном случае выведите "-1" (без кавычек).

Примечание

В первом примере Ришелимакье стоит выбрать тройку 1, 2, 3. Первый мушкетер не знает никого, кроме двух других мушкетеров, так что его узнаваемость равняется 0. Узнаваемость второго мушкетера равняется 1, потому что он знает воина номер 4. Узнаваемость третьего мушкетера также равна 1, потому что он знает воина номер 4. Сумма узнаваемостей равна 0 + 1 + 1 = 2.

Другая возможная тройка: 2, 3, 4, но у неё больше сумма узнаваемостей, равная 1 + 1 + 1 = 3.

Во втором примере нет тройки воинов, знающих друг друга.

B. Взятки

графы Деревья поиск в глубину и подобное *2200

В стране Руритании дорожная сеть организована из рук вон плохо, это не радует дальнобойщиков, которым постоянно надо что-то перевозить. Некоторые дороги являются односторонними, некоторые — двусторонними. Оказывается, что иногда невозможно добраться из одного города до другого законно — однако взятка, данная правильному человеку, может помочь добраться куда угодно!

К счастью для нас, полицейские позволят дальнобойщику нарушить правила и проехать в запрещённом направлении при условии, что машине ДПС будет предоставлено соответствующее вознаграждение. На каждой дороге расположено по одной машине ДПС и они просят 1000 рирутанских динаров за проезд в запрещенном направлении. Но патрульные — жадные ребята, и каждый раз, когда они замечают, что один и тот же дальнобойщик нарушает правила, они запрашивают вдвое большую сумму, чем которую они запрашивали в прошлый раз на этой конкретной дороге.

Борна — дальнобойщик, сумевший раскусить всю эту схему. Ему надо сделать K остановок в некоторых городах по всей Руритании, и ему надо совершить эти остановки в некотором порядке. Дано N городов (пронумерованных от 1 до N) в Руритании и известно, что изначально Борна находится в столице, то есть городе 1. Так получилось, что он знает, какие дороги из N - 1 Руританских дорог на данный момент односторонние, но он не может подсчитать минимальное количество денег, которое надо подготовить на взятки ДПС. Помогите Борне, предоставьте ему ответ и вас щедро вознаградят.

Входные данные

В первой строке записано число N, количество городов в Руритании. В следующих N - 1 строках записана информация, обозначающая отдельные дороги между городами. Дорога представлена тройкой целых чисел (a,b,x), разделенных пробелами. Числа a и b представляют города, соединенные этой конкретной дорогой, а x равняется либо 0, либо 1: 0 означает, что дорога двунаправленная, 1 означает, что разрешено только направление a → b. В следующей строке записано K, количество остановок, которые надо сделать Борне. В последней строке записано K целых чисел s₁, …, s_K: города, которые надо посетить Борне.

1 ≤ N ≤ 10⁵
1 ≤ K ≤ 10⁶
1 ≤ a, b ≤ N для всех дорог
$\text{[math]}$ для всех дорог
1 ≤ s_i ≤ N для всех 1 ≤ i ≤ K

Выходные данные

Выведите единственное целое число: наименьшее количество тысяч Руританских динаров, необходимое Борне для взяток, по модулю 10⁹ + 7.

Примечание

Борна сперва идет по пути 1 → 5 и должен оплатить 1000 динаров. Затем он идет по пути 5 → 1 → 2 → 3 → 4 и в этот раз ничего не платит. Однако когда ему придется вернуться через 4 → 3 → 2 → 1 → 5, ему нужно подготовить 3000 (1000+2000) динаров. Затем дорога до 2 через 5 → 1 → 2 ничего не будет ему стоить. Наконец, ему не даже надо выезжать из города 2, чтобы добраться до 2, так что дополнительную взятку готовить не надо. Таким образом, всего он подготовит 4000 динаров.

C. Кефа и парк

графы Деревья поиск в глубину и подобное *1500

Кефа решил отпраздновать свой первый крупный заработок походом в ресторан.

Он живет возле необычного парка. Парк представляет из себя подвешенное дерево из n вершин c корнем в вершине 1. В вершине 1 также находится дом Кефы. К сожалению для нашего героя, в парке также находятся коты. Кефа уже выяснил номера вершин, в которых находятся коты.

В листовых вершинах парка находятся рестораны. Кефа хочет выбрать ресторан, в который он пойдет, но, к сожалению, он очень боится котов, поэтому он ни за что не пойдёт в ресторан, на пути к которому от его дома найдётся более m подряд идущих вершин с котами.

Ваша задача — помочь Кефе посчитать количество ресторанов, в которые он может сходить.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 10⁵, 1 ≤ m ≤ n) — количество вершин дерева и максимальное количество подряд идущих вершин с котами, которое способен перенести Кефа.

Во второй строке содержится n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n, где каждое a_i либо равняется 0 (тогда в вершине i нет кота), либо равняется 1 (тогда в вершине i есть кот).

В следующих n - 1 строках записаны ребра дерева в формате «x_i y_i»(без кавычек) (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i), где x_i и y_i — вершины дерева, соединенные очередным ребром.

Гарантируется, что данный набор рёбер задаёт дерево.

Выходные данные

Одно целое число — количество различных листьев дерева, на пути от дома Кефы до которых не больше m подряд идущих вершин с котами.

Примечание

Напомним, что дерево — это связный граф на n вершинах, состоящий из n - 1 ребра. Подвешенное дерево — это дерево с особой выделенной вершиной, корнем. В подвешенном дереве из любых двух вершин, соединённых ребром, одна называется предком (та из них, что ближе к корню), а оставшаяся — ребёнком. Вершина называется листом, если у неё нет детей.

Пояснение к первому тесту из условия: $\text{[math]}$ Красным цветом отмечены вершины в которых находятся коты. Рестораны находятся в вершинах 2, 3, 4. Кефа не может сходить только в ресторан, находящийся в вершине 2.

Пояснение ко второму тесту из условия: $\text{[math]}$ Рестораны находятся в вершинах 4, 5, 6, 7. Кефа не может попасть в рестораны 6, 7.

B. Филипп и поезда

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1700

В магазине мобильных приложений появилась новая игра «Subway Roller».

Главный герой игры Филипп находится в одном конце туннеля и хочет выйти из другого. Туннель представляет собой клетчатое прямоугольное поле, состоящее из трех строк и n столбцов. В начале игры герой находится в некоторой клетке самого левого столбца. Навстречу герою едет некоторое количество поездов. Каждый поезд представляет собой две или более клетки, находящиеся непосредственно друг за другом в некоторой строке поля.

Все поезда двигаются справа налево со скоростью две клетки в секунду, а герой бежит слева направо со скоростью одна клетка в секунду. Для простоты игра реализована так, что герой и поезда двигаются по очереди. Сначала герой двигается на одну клетку вправо, затем на одну клетку вверх или вниз или остается на месте, затем все поезда дважды одновременно перемещаются на одну клетку влево. Таким образом, за один ход Филипп обязательно делает перемещение вправо и может переместиться вверх или вниз. Если в какой-то момент Филипп оказывается в одной клетке с некоторым поездом, то он проигрывает. Если поезд доезжает до левого столбца, то он продолжает двигаться как и ранее, выезжая из туннеля.

Ваша задача ответить на вопрос, существует ли такая последовательность передвижений Филиппа, что он сможет дойти до самого правого столбца.

$\text{[math]}$

Входные данные

Каждый тест содержит от одного до десяти наборов входных данных. В первой строке теста находится одно целое число t (1 ≤ t ≤ 10 для претестов и тестов, t = 1 для взломов; смотрите в секцию Notes для пояснения) — количество наборов.

Далее следует описание t наборов входных данных.

В первой строке описания каждого набора находятся два целых числа n, k (2 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 26) — количество столбцов на поле и количество поездов. В каждой из следующих трех строк находится последовательность из n символов, представляющих собой строку поля, на котором проходит игра. Начальное положение Филиппа обозначено символом 's' и находится в самом левом столбце. Каждый из k поездов обозначен некоторой последовательностью подряд идущих одинаковых прописных букв английского алфавита, находящихся в одной строке. Различные поезда обозначены различными буквами. Символ '.' обозначает пустую клетку, то есть клетку без Филиппа и поездов.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите в отдельной строке слово YES, если пройти игру возможно и слово NO в противном случае.

Примечание

В первом наборе входных данных первого примера Филиппу нужно сначала пройти вперед и спуститься вниз на третью строку поля, затем пройти вперед, затем пройти вперед и подняться на вторую строку, снова пройти вперед и подняться на первую строку. После этого пути Филиппа не преграждает ни один поезд, поэтому он может идти прямо до конца туннеля.

Обратите внимание, что в этой задаче во взломах разрешается использовать только тесты, содержащий один набор входных данных.

E. Кратчайший путь

графы кратчайшие пути *2000

В Древней Берляндии n городов и m двунаправленных дорог одинаковой длины. Города пронумерованы целыми числами от 1 до n включительно. Согласно древней примете, если путешественник посетит подряд (не заходя ни в какие другие) три города a_i, b_i, c_i, его ждет большая беда. И всего есть k таких троек городов. Каждая тройка является упорядоченной, это означает, что, например, посещать города в порядке a_i, c_i, b_i можно. Вася хочет попасть из города 1 в город n, не нарушая приметы. Выясните, какое наименьшее число дорог ему нужно пройти. Также требуется найти один из его возможных маршрутов.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа n, m, k (2 ≤ n ≤ 3000, 1 ≤ m ≤ 20000, 0 ≤ k ≤ 10⁵) — количество городов, количество дорог и количество запрещенных троек соответственно.

Далее следует m строк по два целых числа x_i, y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n) — описания дорог. Дорога описывается номерами городов, которые она соединяет. Никакая дорога не соединяет город с самим собой, между парой городов может быть не более одной дороги.

Далее следует k строк по три целых числа a_i, b_i, c_i (1 ≤ a_i, b_i, c_i ≤ n) — запрещенные тройки. Каждая упорядоченная тройка перечислена не более одного раза. Все три города в каждой тройке попарно различны.

Город n может быть недостижим из города 1 по дорогам.

Выходные данные

Если пути из 1 в n не существует, выведите -1. Иначе в первой строке выведите количество дорог d в кратчайшем пути из города 1 в город n. Во второй строке выведите d + 1 чисел — любой из возможных кратчайших маршрутов Васи. Маршрут должен начинаться с города 1 и заканчиваться в городе n.

C. Три государства

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2200

Опасаясь приближения мирового экономического кризиса, государства Бермания, Беранция и Берталия заключили союз и разрешили жителям всех входящих в него государств беспрепятственный проход по территории любого из них. Дополнительно было решено построить дороги между государствами так, чтобы из любой точки любого государства можно было добраться до любой точки любого другого государства.

Так как дороги всегда обходятся недёшево, правительства государств новообразованного союза попросили вас помочь им оценить затраты. Для этого вам была выдана карта, которая представляет собой клетчатый прямоугольник из n строк по m клеток в каждой. Любая клетка карты либо принадлежит одному из трёх государств, либо является областью, на которой можно построить дорогу, либо является областью, на которой дорогу построить нельзя. Проходимыми являются все клетки, принадлежащие государствам, а также все клетки, в которых построены дороги. Из любой проходимой клетки можно перемещаться вверх, вниз, вправо и влево, если соответствующая такому перемещению клетка существует и является проходимой.

Требуется построить дороги в минимальном количестве клеток так, чтобы стало возможным добраться из любой клетки любого государства до любой клетки любого другого государства.

Гарантируется, что изначально из любой клетки любого государства можно добраться до любой клетки этого же государства, перемещаясь только по его клеткам. Также гарантируется, что на карте присутствует хотя бы одна клетка каждого государства.

Входные данные

В первой строке ввода записаны размеры карты n и m (1 ≤ n, m ≤ 1000) — количество строк и столбцов соответственно.

Следующие n строк содержат по m символов каждая и описывают строки карты. Цифры от 1 до 3 означают принадлежность соответствующему государству. Символ '.' соответствует клетке, на которой можно построить дорогу, а символ '#' соответствует клетке, на которой дорогу построить нельзя.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное количество клеток, в которых необходимо построить дороги, чтобы соединить все клетки всех государств. Если это сделать невозможно, то выведите -1.

D. Супер М

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *2200

На самом деле Ари — не совсем обычное чудовище. Она представляет собой скрытую личность Супер М, одного из главных супергероев Байтфорсес. Байтфорсес — это страна, состоящая из n городов, соединенных n - 1 дорогами. Каждая дорога соединяет ровно два различных города, и вся дорожная система разработана так, что можно добраться от любого города до любого другого города, используя только данные дороги.

На m городов напали злые люди. И вот, Ари... то есть, Супер М должен немедленно направиться в каждый из атакуемых городов, чтобы прогнать злых людей. Супер М может перемещаться между городами только используя данные дороги. Более того, перемещение по любой из дорог занимает у неё ровно один крон (единица времени, используемая в Байтфорсес).

$\text{[math]}$

Однако, сейчас Супер М не в Байтфорсес — она посещает тренировочный лагерь, расположенный в близлежащей стране Кодфорсес. К счастью, в Кодфорсес есть особый прибор, позволяющий мгновенно телепортировать девушку из Кодфорсес в любой город Байтфорсес. Обратный путь слишком долог, так что в рамках данной задачи телепортация используется ровно один раз.

Вам следует помочь Супер М и вычислить город, в который она должна телепортироваться в начале, чтобы завершить свою работу за минимальное время (измеряемое в кронах). Также сообщите ей это время, чтобы она могла распланировать дорогу обратно в Кодфорсес.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два целых числа n и m (1 ≤ m ≤ n ≤ 123456) — количество городов в Байтфорсес, и количество атакуемых городов, соответственно.

Далее следует n - 1 строка, описывающая систему дорог. Каждая строка состоит из двух номеров городов u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n) — концы очередной дороги.

Последняя строка содержит m различных целых чисел — номера атакуемых городов. Эти числа даны в произвольном порядке.

Выходные данные

Сперва выведите номер города, куда надо телепортироваться Супер М. Если оптимальных ответов несколько, выведите город с наименьшим номером.

Затем выведите наименьшее возможное время, необходимое для того, чтобы распугать всех людей в атакуемых городах, измеренное в кронах.

Обратите внимание, что правильный ответ всегда единственен.

Примечание

В первом примере есть две возможности завершить работу Супер М за 3 крона:

$\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ .

Однако вам следует выбрать первый вариант, так как он начинается в городе с меньшим номером.

D. Деревянный День Рождения

графы Деревья математика поиск в глубину и подобное Структуры данных *2400

У Богдана сегодня День Рождения и мама подарила ему дерево, состоящее из n вершин. На ребре i было написано число x_i. Напомним, что деревом называется связный неориентированный граф без циклов. После этого на вечеринку к Богдану последовательно приходят m гостей. Когда приходит i-й гость, он делает ровно одну из двух операций:

Выбирает некоторое число y_i, а так же две вершины a_i и b_i. После этого двигаясь по рёбрам дерева проходит от вершины a_i до вершины b_i кратчайшим путём (такой путь в дереве, конечно, единственный). Каждый раз проходясь по какому-то ребру j, он заменяет своё текущее число y_i на $\text{[math]}$ , то есть на целую часть деления y_i на x_j.
Выбирает некоторое ребро p_i, и заменяет написанное на нём значение x_{p_i} на целое положительное число c_i < x_{p_i}.

Богдан заботится о своих гостях и решил автоматизировать данный процесс. Напишите программу, которая проделает все применяемые гостями операции, и каждому гостю выбравшему операцию первого типа сообщит результирующее значение y_i.

Входные данные

В первой строке входных данных содержатся два числа n и m (2 ≤ n ≤ 200 000, 1 ≤ m ≤ 200 000) — количество вершин в дереве, подаренном Богдану, и количесвто гостей на вечеринке соответственно. В следующей n - 1 строке содержится описание рёбер, i-я из этих строк содержит три целых числа u_i, v_i, x_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i, 1 ≤ x_i ≤ 10¹⁸), обозначающих ребро между вершинами u_i и v_i, на котором написано число x_i. Далее следуют m строк, которые описывают гостей Богдана. Каждое описание содержит три или четыре целых числа и имеет вид:

1 a_i b_i y_i — соответствует гостям, выбравшим операцию первого типа.
2 p_i c_i — соответствует гостям, выбравшим операцию второго типа.

Гарантируется, что все запросы корректны, а именно 1 ≤ a_i, b_i ≤ n, 1 ≤ p_i ≤ n - 1, 1 ≤ y_i ≤ 10¹⁸ и 1 ≤ c_i < x_{p_i}, где x_{p_i} означает число, записанное на ребре p_i в этот момент времени, что необязательно равно значению x_{p_i} в начале, так как к ребру уже могли применяться операции уменьшения значения. Рёбра нумеруются от 1 до n - 1 в порядке из записи во входных данных.

Выходные данные

Для каждого гостя, выбравшего операцию первого типа, выведите результирующее значение для выбранного им y_i.

Примечание

Изначально дерево выглядит так:

$\text{[math]}$

На первый запрос ответом будет $\text{[math]}$ = 2

После изменения третьего ребра дерево выглядит так:

$\text{[math]}$

На второй запрос ответом будет $\text{[math]}$ = 4

В третьем запросе начальная и конечная вершина совпадает, то есть ответом будет исходное число 20.

После изменения четвертого ребра дерево выглядит так:

$\text{[math]}$

В последнем запросе ответом будет $\text{[math]}$ = 3

E. Вилбур и строки

графы дп поиск в глубину и подобное Строки *2500

Теперь поросёнок Вилбур хочет поиграть со строками. Он нашёл таблицу размера n на m, состоящую только из цифр от 0 до 9. Ряды нумеруются от 1 до n, а столбцы от 1 до m. Вилбур начинает в какой-то клетке (x, y) и делает следующие ходы. Пусть в клетке (x, y) написана цифра d (0 ≤ d ≤ 9), тогда Вилбур должен сделать ход в ячейку (x + a_d, y + b_d), если эта ячейка находится внутри таблицы, и остаться на месте в противном случае. Перед совершением очередного хода Вилбур может, если сочтёт нужным, выписать на доску цифру, написанную в текущей клетке. Все выписанные цифры образую строчку, каждая новая цифра приписывает в конец текущей строки.

У Вилбура есть q интересных ему строк. Для каждой строки s_i, Вилбур хочет узнать, можно ли так выбрать начальную позицию (x, y), что за конечное число ходов Вилбур может в итоге написать на доске строку s_i.

Входные данные

В первой строке входных данных записано три целых числа n, m, и q (1 ≤ n, m, q ≤ 200) — размеры таблицы и количество строк, которые надо обработать, соответственно.

В следующих n строках содержится по m цифр от 0 до 9 — сама таблица.

Затем следуют 10 строк. В i-й из них содержатся значения a_i - 1 и b_i - 1 ( - 200 ≤ a_i, b_i ≤ 200), то есть вектор, на который необходимо сдвинуться, если цифра в текущей ячейке равна i - 1.

Далее следуют q строк. В i-й из них содержится строка s_i, состоящая только из цифр от 0 до 9. Гарантируется, что суммарная длина данных q строк не превысит 1 000 000.

Выходные данные

Для каждой из q строк выведите "YES", если Вилбур может так выбрать начальную позицию (x, y), чтобы через какое-то конечно число ходов выписать на доску строку s_i. Если это невозможно, то выведите "NO".

Примечание

В первом примере дана таблица размера 1 на 1, в которой записана единственная цифра 0. Каждым ходом Вилбур будет оставаться в клетке (1, 1). Первую строку можно написать на доске, записывая друг за другом 0. Вторую строку нельзя записать, так как на в таблице нет 2.

D. Игорь в музее

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1700

Игорь пришёл в музей и хочет посмотреть на как можно большее количество картин.

Музей представляет собой прямоугольное клетчатое поле размером n × m. Каждая клетка либо является пустой и обозначена символом '.', либо является непроходимой и обозначена символом '*'. Любую пару соседних по стороне клеток, одна из которых пустая, а другая непроходимая, разделяет стена, на которой висит картина.

Игорь всегда начинает в некоторой пустой клетке. В любой момент времени Игорь может переместиться в любую из четырёх соседних по стороне клеток, если она является пустой.

Ваша задача для нескольких начальных положений Игоря определить максимальное количество картин, которые он сможет посмотреть. Игорь может посмотреть на картину, если находится в клетке, одной из сторон которой является стена с данной картиной. Можно считать, что Игорю всегда хватит времени, чтобы сколь угодно долго перемещаться по музею и смотреть на картины.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три числа n, m и k (3 ≤ n, m ≤ 1000, 1 ≤ k ≤ min(n·m, 100 000)) — размеры музея и количество начальных положений, для которых нужно определить требуемую величину.

В следующих n строках находится по m символов '.', '*', описывающих музей. Гарантируется, что все граничные клетки непроходимы, то есть Игорь никогда не сможет выйти из музей.

Далее в k строках находится по два целых положительных числа x и y (1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ m) — номер строки и номер столбца для одного из начальных положений Игоря. Строки нумеруются с единицы сверху вниз, а столбцы — слева направо. Гарантируется, что все начальные положения находятся в пустых клетках.

Выходные данные

Выведите k целых чисел — максимальное количество картин, которые сможет посмотреть Игорь, для каждого начального положения.

F. Раскраска ребер двудольного графа

графы *2800

Задан неориентированный двудольный граф без кратных ребер. Требуется покрасить его ребра в минимальное количество цветов так, чтобы никакие два одноцветных ребра не были инцидентны одной вершине.

Инцидентность — понятие, используемое в отношении ребра и вершины. Ребро инцидентно вершине, если вершина является одним из концов этого ребра.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа a, b, m (1 ≤ a, b ≤ 1000, 0 ≤ m ≤ 10⁵), a — размер первой доли, b — размер второй доли, m — количество ребер.

Далее в m строках заданы ребра графа парами номеров соединяемых вершин x, y (1 ≤ x ≤ a, 1 ≤ y ≤ b), где x — номер вершины в первой доле, а y — во второй. Гарантируется, что между каждой парой вершин существует не более одного ребра.

Выходные данные

В первую строку выведите число c — минимальное количество цветов. Вторая строка должна содержать последовательность m целых чисел от 1 до c — цвета ребер (в порядке их появления во входных данных).

Если решений несколько, выведите любое.

A. Два пути

графы кратчайшие пути *1600

В Абсурдистане n городов (пронумерованных от 1 до n) и m двунаправленных железнодорожных перегонов. А ещё там абсурдно простая сеть автотрасс — для любой пары различных городов x и y между ними есть двунаправленная автомобильная дорога тогда и только тогда, когда между ними нет железнодорожного перегона. На перемещение в соседний город по одному железнодорожному перегону или по одной автомобильной дороге уходит ровно один час.

Поезд и автобус одновременно выезжают из города 1. У них обоих один и тот же пункт назначения, город n, и они нигде не останавливаются по пути (кроме итоговой стоянки в городе n). Поезд перемещается только по железнодорожным перегонам, а автобус только по автомобильным дорогам.

Вас попросили составить маршруты для обоих транспортных средств; каждый маршрут может проходить по любой дороге/перегону произвольное количество раз. Одним из наиболее важных пунктов при составлении маршрута является безопасность, поэтому, во избежании несчастных случаев на железнодорожных переездах, поезд и автобус никогда не должны одновременно прибывать в один и тот же город, кроме, возможно, города n.

Через какое наименьшее количество часов оба транспортных могут быть в городе n (максимальное из времён прибытия для автобуса и поезда)? Обратите внимание, что автобус и поезд не обязаны прибыть в город n одновременно, но могут так сделать, если потребуется.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два числа n и m (2 ≤ n ≤ 400, 0 ≤ m ≤ n(n - 1) / 2) — количество городов и количество железнодорожных перегонов соответственно.

В каждой из следующих m строк записано по два целых числа u и v, обозначающих наличие железнодорожного перегона между городами u и v (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v).

Гарантируется, что любые два города соединены не более чем одним железнодорожным перегоном.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — наименьшее возможное время прибытия последнего из транспортных средств в город n. Если хотя бы одно из двух транспортных средств не сможет добраться до города n, то выведите - 1.

Примечание

В первом примере поезд может поехать по маршруту $\text{[math]}$ , а автобус по маршруту $\text{[math]}$ . Обратите внимание, что автобусу и поезду разрешается прибывать в город 4 одновременно.

Во втором примере Абсурдистаном правят железнодорожники. Обычных дорог (не ЖД перегонов) нет, так что автобус никак не может добраться до города 4.

B. Неуспевающий студент

графы Конструктив Структуры данных *1700

Студент Владислав, как обычно, пришёл на экзамен по программированию, совершенно не подготовившись, и ему снова достался билет про какой-то непонятный алгоритм на графе, который абсолютно точно никогда не пригодится ему в жизни. Он попросил у сидящей рядом студентки шпаргалку по этому билету и обнаружил в ней следующее определение:

Минимальным остовным деревом T графа G называется такое дерево, что оно содержит все вершины исходного графа G, а сумма весов его рёбер — минимально возможная среди всех таких деревьев.

Владислав по привычке нарисовал граф с n вершинами и m ребрами, в котором не было петель и кратных ребер. Он нашел одно из его минимальных остовных деревьев, а потом записал для каждого ребра графа его вес, а также входит оно в найденное дерево или нет. К сожалению, бумажка, на которой был нарисован граф, исчезла, а преподаватель очень сердится и требует предоставить ему исходный граф. Помогите Владиславу придумать граф, соответствующий выписанной им информации о минимальном остовном дереве.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m ( $\text{[math]}$ ) — количество вершин и рёбер в графе.

Каждая из следующих m строк описывает ребро графа и состоит из двух чисел a_j и b_j (1 ≤ a_j ≤ 10⁹, b_j = {0, 1}). Первое из этих чисел — это вес ребра, а второе число равно единице, если это ребро входило в минимальное остовное дерево, найденное Владиславом, и нулю, если не входило.

Гарантируется, что ровно n - 1 число из {b_j} равны единице, и ровно m - n + 1 из них равны нулю.

Выходные данные

Если Владислав ошибся, и такого графа не существует, то выведите - 1. В противном случае выведите m строк. В j-й строке выведите пару вершин (u_j, v_j) (1 ≤ u_j, v_j ≤ n, u_j ≠ v_j), которые должны быть соединены j-м ребром. Рёбра нумеруются в том же порядке, что и во входных данных. Граф, заданный этими ребрами, должен быть связным, не содержать петель и кратных ребер, а его ребра с b_j = 1 должны задавать минимальное остовное дерево. Если существует несколько графов, удовлетворяющих условию, разрешается вывести любой.

E. Минимальное остовное дерево по каждому ребру

графы Деревья поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2100

Дан связный неориентированный взвешенный граф без петель и кратных ребер, состоящий из n вершин и m ребер.

Для каждого ребра графа (u, v) найдите вес такого остовного дерева, что это ребро (u, v) входит в него, и при этом вес этого остовного дерева минимален.

Весом остовного дерева называется сумма весов ребер, входящих в остовное дерево.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 2·10⁵, n - 1 ≤ m ≤ 2·10⁵) — количество вершин и ребер в графе.

В каждой из следующих m строк записаны три целых числа u_i, v_i, w_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i, 1 ≤ w_i ≤ 10⁹) — вершины графа, соединенные i-м ребром, и вес этого ребра.

Выходные данные

Выведите m строк: i-я строка должна содержать минимальный вес такого остовного дерева, содержащего i-ое ребро.

Ребра нумеруются от 1 до m в порядке их появления во входных данных.

D. Великая победа

графы Деревья жадные алгоритмы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1800

Шапур победил Валериана. Эта победа была так важна, что Шапур решил вырезать на скале сцену поражения Валериана. Теперь ему нужно было найти наилучшее место и увековечить там свою победу!

Он решил посетить все n городов Персии чтобы найти наиболее подходящую скалу. Но недавняя война утомила его, и он не хотел много путешествовать. Поэтому он хотел посетить каждый из этих n городов хотя бы один раз. При этом пройденное расстояние должно быть как можно меньше. Персидские города соединены двусторонними дорогами. Из каждого города можно дойти до любого другого, причем единственным способом.

Все города пронумерованы от 1 до n. Шапур сейчас в городе 1, и он хочет посетить все остальные города, пройдя как можно меньше. Шапур может закончить свое путешествие в любом городе.

Найдите расстояние, которое Шапур пройдет.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество городов.

Следующие n - 1 строк содержат по 3 целых числа x_i, y_i и w_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, 0 ≤ w_i ≤ 2 × 10⁴). x_i и y_i — номера двух городов, соединенных дорогой, а w_i — длина дороги.

Выходные данные

Выведите одно число — минимальную длину пути Шапура.

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для чтения или записи 64-х битовых чисел на С++. Рекомендуется использовать поток cout (также вы можете использовать спецификатор %I64d).

H. Новый Год и забытое дерево

графы Конструктив Потоки *3200

Деревом называется связный неориентированный граф из n вершин и n - 1 ребра. Вершины пронумерованы от 1 до n.

Лимак — белый медвежонок, и его медвежья семья каждый год собирает новогоднее дерево. Год назад дерево получилось особенно замечательным, поэтому они решили запомнить его и собрать такое же в этом году. Эта миссия была поручена Лимаку.

Запомнить всё дерево и не забыть в течение года было бы слишком сложно, поэтому Лимак решил записать его рёбра в своем блокноте. Он взял ручку и записал n - 1 строку, по два целых числа в каждой — индексы двух вершин, соединённых общим ребром.

И вот новый год уже совсем близко, семья попросила Лимака восстановить прошлогоднее дерево. И тут начались проблемы. Год назад он был ещё очень маленьким медвежонком, и не знал ни цифр, ни алфавита, поэтому он просто заменил все цифры на вопросительные знаки — единственный известный ему символ. Это означает, что для каждого индекса вершины, записанного в его блокноте, он знает только количество цифр в его записи. По крайней мере, он уверен, что все индексы записывались без ведущих нулей.

Лимак очень не хочет всех разочаровать, поэтому он попросил вас построить какое-нибудь дерево, отвечающее его записям в блокноте. Найдите такое дерево и выведите его рёбра в любом порядке. Если Лимак допустил ошибку, и подходящего дерева не существует, то выведите "-1" (без кавычек).

Входные данные

В первой строке записано единственное число n (2 ≤ n ≤ 200 000) — количество вершин в прошлогоднем дереве.

В каждой из следующих n - 1 строк записано по две непустые строки через пробел, обе состоят только из знаков вопроса. Длина каждой из этих строк не превосходит количество цифр в числе n.

Выходные данные

Если подходящего дерева нет, выведите "-1" (без кавычек).

В противном случае, выведите любое дерево, подходящее под записи Лимака. Выведите n - 1 строк, каждая строка должна содержать два целых числа — номера вершин, соединённых ребром. Ребра можно выводить в любом порядке.

E. Корень квадратный из перестановки

графы Комбинаторика Конструктив математика поиск в глубину и подобное *2200

Перестановка длины n — это такой массив длины n, который содержит каждое из чисел от 1 до n ровно по одному разу. Например, q = [4, 5, 1, 2, 3] — это перестановка. Для перестановки q ее квадратом называется такая перестановка p что p[i] = q[q[i]] для всех i = 1... n. Например, квадрат перестановки q = [4, 5, 1, 2, 3] равен p = q² = [2, 3, 4, 5, 1].

Эта задача об обратном понятии — квадратном корне. Вам задана перестановка p ваша задача найти такую перестановку q, что q² = p. Если искомых перестановок q несколько, найдите любую из них.

Входные данные

В первой строке находится целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁶) — количество элементов в перестановке p.

Во второй строке находятся n различных чисел p_i (1 ≤ p_i ≤ n) — элементы перестановки p.

Выходные данные

Если перестановки q такой, что q² = p не существует, выведите число "-1".

Если же ответ существует, то нужно вывести его. Единственная строка должна содержать n различных чисел q_i (1 ≤ q_i ≤ n) — элементы перестановки q. Если существует несколько перестановок q, удовлетворяющих условию q·q = p, то разрешается вывести любую из них.

D. Королевство и его города

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное разделяй и властвуй сортировки *2800

В королевстве К готовились к свадьбе дочери Короля. Однако, чтобы не ударить в грязь лицом перед будущими родственниками, Королю сперва необходимо провести реформу королевства. Так как Королю не терпится выдать свою дочь замуж, этот вопрос ему нужно решить как можно скорее.

Королевство в данный момент состоит из n городов. Города соединены с помощью n - 1 двунаправленной дороги, причём из каждого города можно добраться до любого другого города. Поскольку в былые времена Королю приходилось много экономить, между любыми двумя городами есть ровно один простой путь.

В чём же суть реформы? Выяснилось, что для максимально эффективного управления ключевые функции государственного аппарата необходимо вынести в различные города (назовем такие города важными). Однако из-за того, что существует риск атаки со стороны варваров, это необходимо сделать осторожно. Король составил несколько планов, каждый из которых описывается набором важных городов, и теперь интересуется, какой же план лучше.

Варвары могут захватывать некоторые города, не являющиеся важными (уж те-то, разумеется, будут достаточно укреплены), после этого через захваченный город становится невозможно проехать. В частности, интересной характеристикой плана является минимальное количество городов, которое необходимо захватить варварам, чтобы все важные города оказались попарно изолированы друг от друга, то есть ни из какого важного города нельзя было доехать ни до какого другого важного города.

Помогите Королю посчитать эту характеристику для каждого своего плана.

Входные данные

В первой строке задано целое число n (1 ≤ n ≤ 100 000) — число городов в королевстве.

В следующих n - 1 строках записаны по два различных числа u_i, v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n) — номера городов, соединенных очередной дорогой. Гарантируется, что от каждого города можно добраться до любого другого по существующим дорогам.

В следующей строчке задано целое число q (1 ≤ q ≤ 100 000) — количество планов Короля.

Каждая из следующих q строк выглядит следующем образом: в начале записано число k_i — количество важных городов в очередном плане Короля (1 ≤ k_i ≤ n), затем через пробел записано ровно k_i попарно различных целых чисел от 1 до n — номера важных городов в этом плане.

Сумма всех k_i не превосходит 100 000.

Выходные данные

Для каждого плана выведите единственное число — минимальное количество городов, которое потребуется захватить варварам, или - 1, если все попытки варваров изолировать важные города обречены на провал.

Примечание

В первом тесте в первом и третьем плане варварам достаточно захватить город 3. Во втором и четвёртом плане все попытки будут обречены на провал.

Во втором тесте варварам достаточно захватить города 3 и 5.

B. Длиннохвостый еж

графы дп *1600

Под новый год Дед Мороз подарил Маше волшебную картинку и карандаш. Картинка состоит из n точек, соединённых m отрезками (отрезки могут пересекаться как угодно, это неважно). Никакие два отрезка не соединяют одну и ту же пару точек, никакой отрезок не соединяет точку саму с собой. Маша хочет нарисовать ежа, но чтобы он ожил в новогоднюю ночь, нужно, чтобы у него был раскрашенный хвост, соответствующий нескольким правилам:

Раскрашивать можно только те отрезки, которые уже были на картинке;
Хвост должен быть непрерывным, то есть состоять из последовательности точек, такой что все пары соседних точек соединены раскрашенным отрезком;
Номера точек от начала хвоста к его концу должны строго возрастать.

Назовём длиной хвоста количество точек в нём. Помимо хвоста, Маша собирается нарисовать ежу колючки, для этого она раскрасит все отрезки, одним из концов которых является последняя точка хвоста (точка хвоста с максимальным номером). Красотой ежа Маша называет количество колючек, умноженное на длину хвоста. Маша хочет нарисовать самого красивого ежа. Помогите ей посчитать, на что она может рассчитывать.

Обратите внимание, что, согласно Машиному определению ежа, один и тот же раскрашенный отрезок может быть одновременно и колючкой, и частью хвоста (всё-таки Маша ещё маленькая девочка). Для уточнения посмотрите на картинку к первому примеру.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два числа n и m (2 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ m ≤ 200 000) — количество точек и отрезков на подаренной Маше картинке соответственно.

В следующих m строках содержится по два числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i) — номера точек, которые соединяет данный отрезок. Гарантируется, что никакие два отрезка не соединяют одну и ту же пару точек.

Выходные данные

Выведите максимально возможную красоту ежа.

Примечание

На рисунке изображён первый пример. Красным обозначены отрезки, составляющие ежа. Хвост состоит из последовательности точек 1, 2 и 5. Колючками являются отрезки между парами точек (2, 5), (3, 5) и (4, 5). Таким образом, красота ежа равняется 3·3 = 9. $\text{[math]}$

D. Дом для червя

графы поиск в глубину и подобное *2300

Червь по имени Арни уже в который раз догрыз свой дом-яблоко и решил переехать. Он уже давно для себя определил план расположения комнат и коридоров, их соединяющих; пронумеровал все комнаты от 1 до n. Все коридоры двусторонние.

Арни хочет, чтобы новый дом выглядел абсолютно также как и предыдущий, то есть в нём должно быть ровно n комнат и, если в старом доме существовал коридор из комнаты i в комнату j, то этот коридор обязательно должен быть построен и в новом доме.

Известно, что во время постройки своего дома Арни начинает грызть яблоко из некоторой комнаты и остановится лишь тогда, когда прогрызёт все коридоры и вернётся в начальную комнату. Также известно, Арни грызёт, не прерываясь, то есть пока он не закончит строительство, в каждый момент времени он занят прогрызанием нового коридора, по уже построенным коридорам Арни не ходит.

Однако прогрызать коридоры в одном и том же порядке при каждом переезде — занятие скучное. Поэтому он, зная порядок построения коридоров в предыдущем доме, хочет прогрызть коридоры в другом порядке. Этот порядок представляет собой список комнат в процессе их посещения. Новый список должен быть лексикографически наименьший, но строго больше предыдущего. Помогите червю.

Входные данные

В первой строке дано два целых числа n и m (3 ≤ n ≤ 100, 3 ≤ m ≤ 2000) — количество комнат и коридоров в доме Арни соответственно. В следующей строке записано m + 1 натуральных чисел, не превышающих n: описание старого маршрута Арни в виде списка комнат, которые он посещал во время прогрызания. Гарантируется, что последнее число в этом списке совпадает с первым.

Первая комната, описанная во второй строке входного файла — это главный вход, поэтому Арни всегда должен начинать грызть именно с неё.

Вы можете предполагать, что ни одна комната не соединена сама с собой коридором, и если существует коридор между некоторой парой комнат, то только один. В то же время, могут существовать изолированные комнаты, не соединённые коридорами вообще.

Выходные данные

Выведите m + 1 натуральных чисел, не превышающих n: описание нового маршрута Арни, в соответствии с которым он должен прогрызать свой новый дом. Если такого маршрута не существует, выведите No solution. В вашем ответе первое число должно совпадать с m + 1-ым и являться главным входом.

A. Граф и строка

графы Конструктив *1800

Однажды, сидя на лекции, студент Вася увидел, что на его парте написана строка s₁s₂... s_n, состоящая только из букв «a», «b» и «c». Поскольку лекция была скучной, Вася решил дополнить рисунок, построив граф G, обладающий следующими свойствами:

G имеет ровно n вершин, пронумерованных от 1 до n;
Любая пара вершин i и j, где i ≠ j, соединена ребром тогда и только тогда, когда символы s_i и s_j либо совпадают, либо являются соседними в алфавите. Так, пары букв «a»-«b» и «b»-«c» являются соседними, а пара «a»-«с» — нет.

Вася нарисовал получившийся граф рядом со строкой, а саму строку стёр. На следующий день друг Васи Петя, придя на свою лекцию, обнаружил на своей парте некоторый граф. Он слышал о приключениях Васи и теперь хочет узнать, мог ли это быть тот самый граф G, нарисованный Васей. Для этого Пете требуется знать, существует ли строка s, по которой Вася мог построить такой граф, и если она существует, то хотелось бы получить один из возможных вариантов.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два числа n и m $\text{[math]}$ — количество вершин и рёбер в графе, обнаруженном Петей.

В следующих m строках заданы по два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i), задающие рёбра графа. Гарантируется, что граф не содержит кратных рёбер, то есть любая пара вершин встречается в списке рёбер не более одного раза.

Выходные данные

В первой строке выведите «Yes» (без кавычек), если искомая строка существует, и «No» (без кавычек) в противном случае.

Если искомая строка s существует, то выведите её во второй строке. Длина s должна в точности равняться n, все буквы должны быть «a», «b» или «c», а построенный по этой строке граф должен совпадать с заданным во входных данных. Если существует несколько возможных ответов, то разрешается вывести любой.

Примечание

В первом примере дан граф из двух вершин, между которыми проведено ребро. Значит, эти вершины могут соответствовать как одинаковым буквам, так и соседним. Этому графу удовлетворяет любая из строк «aa», «ab», «ba», «bb», «bc», «cb» и «cc».

Во втором примере первая вершина соединена со всеми остальными тремя вершинами, но эти три вершины не соединены между собой. Это значит, что они должны соответствовать различным буквам, не являющимся соседними, а это невозможно.

D. Тестирование дерева

Бинарный поиск графы Деревья дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2600

На уроке информатики Якоб построил модель дерева из шариков и палочек. Модель соответствует некоторому дереву, состоящему из n вершин. На создание i-го шарика Якоб потратил a_i минут.

Учительница будет оценивать качество модели по количеству усилий, потраченных Якобом на создание шариков. У неё нет времени рассматривать их все, поэтому она посмотрит только на k первых шариков в порядке DFS-обхода дерева. Оценкой Якоба будет минимальное a_i среди k рассмотренных шаров.

У Якоба уже не хватит времени переделать модель, но он может сам выбрать корневую вершину, из которой учительница начнёт обход. Более того, для каждой вершины Якоб может переупорядочить список её соседей как захочет. Помогите Якобу определить, какую максимальную оценку он может получить.

Порядок DFS-обхода — это последовательность номеров вершин, выписанная рекурсивной процедурой DFS. Будучи вызванной от вершины v, процедура делает следующее:

Напечатать v.
Пройтись по списку соседей вершины v и вызвать процедуру DFS от всех из них по очереди. Не вызывать процедуру DFS от вершины u, если мы пришли в вершину v непосредственно из u.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два положительных целых числа n и k (2 ≤ n ≤ 200 000, 1 ≤ k ≤ n) — количество шариков в составленном Якобом дереве и количество шариков, на которые посмотрит учительница, соответственно.

Во второй строке записаны n целых чисел a_i (1 ≤ a_i ≤ 1 000 000), i-е из которых соответствует количеству времени, потраченному Якобом на i-ю вершину.

Далее следует n - 1 строка, описывающая дерево. В каждой из них записаны два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n) — индексы вершин, соединённых i-м ребром.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальную оценку, которую может получить Якоб, если правильно выберет корневую вершину и переупорядочит списки соседей.

Примечание

В первом примере Якоб может назначить корнем вершину 2 и переупорядочить список её соседей следующим образом: 4, 1, 5. В результате этого порядок DFS-обхода станет 2, 4, 1, 3, 5, минимальное значение a_i среди первых трёх вершин равняется 3.

Во втором примере любой порядок обхода будет содержать вершину 1 на первом или втором месте, поэтому Якоб не может получить оценку больше чем 1.

F. Островной пазл

графы Деревья поиск в глубину и подобное снм *3400

В далёком островном государстве насчитывается n островов, соединённых мостами с двухсторонним движением. Текущая система мостов образует дерево. Другими словами, всего мостов n - 1, каждый мост соединяет одну пару различных островов, и от любого острова можно дойти до любого другого, используя только эти мосты.

В центре каждого острова расположен пьедестал. На всех пьедесталах всех островов, кроме одного, находится очень хрупкая статуя, причём все статуи различны. У оставшегося острова пьедестал пуст.

Жители островов договорились переупорядочить статуи определённым образом. Единственная доступная им операция — это выбрать какой-то остров, непосредственно соединённый мостом с островом с пустым пьедесталом, и аккуратно перенести статую с одного пьедестала на свободный пьедестал.

Разумеется, очень часто статуи невозможно переупорядочить требуемым образом, используя только описанную выше операцию переноса. Островитяне хотят построить ещё один дополнительный мост, такой что после этого станет возможным перенести все статуи. При этом они, конечно, хотели бы выполнить как можно меньше переносов. Помогите им определить, какой мост необходимо построить и какое минимальное количество действий выполнить, чтобы добиться желаемого расположения статуй.

Входные данные

В первой строке входных данных записано число n (2 ≤ n ≤ 200 000) — количество островов.

Во второй строке записаны n целых чисел a_i (0 ≤ a_i ≤ n - 1) — номер статуи, расположенной на i-м острове. Если a_i = 0, то пьедестал острова пуст. Гарантируется, что все a_i различны.

В третьей строке записаны n целых чисел b_i (0 ≤ b_i ≤ n - 1) — номер статуи, которую жители хотят поместить на i-й остров. Как и до этого, b_i = 0 означает, что жители острова не хотят иметь у себя на пьедестале никакой статуи. Гарантируется, что все b_i различны.

Выходные данные

Возможные варианты вывода:

Если переупорядочить статуи требуемым образом можно и без постройки дополнительно моста, то выведите 0 t, где t равняется минимальному требуемому количеству действий.

В противном случае выведите u, v и t (1 ≤ u < v ≤ n) — концы нового моста и минимальное количество действий, необходимое, чтобы добиться желаемого расположения статуй.

Если переставить статуи невозможно, даже построив новый мост, выведите - 1.

Примечание

В первом примере островитяне могут соединить мостом острова 1 и 3, после чего выполнить следующую последовательность действий: передвинуть статую 1 с острова 1 на остров 2, передвинуть статую 2 с острова 3 на остров 1, передвинуть статую 1 с острова 2 на остров 3. Желаемое расположение статуй будет достигнуто за 3 действия.

Во втором примере можно просто передвинуть статую 1 с острова 1 на остров 2. Строить новых мостов не требуется.

В третьем примере переставить статуи желаемым образом невозможно, даже построив новый мост.

F. Медведь и справедливое множество

графы Потоки *2500

Лимак — медведь гризли. Он большой и страшный. Прогуливаясь по лесу, вы случайно встретились с ним. Это не лучшее, что могло с вами произойти. Он съест все ваши печеньки, если вы не продемонстрируете ему свои математические навыки. Лимак решил дать вам головоломку, чтобы проверить вас.

Всем известно, что у Лимака, как и любого другого медведя, есть множество чисел. Вам известна некоторая информация об этом множестве:

Элементами этого множества являются различные положительные числа.
Количество элементов в этом множестве равно n. Число n кратно 5.
Все элементы множества находятся в промежутке от 1 до b включительно: медведи не знают чисел больших b.
Для каждого r из {0, 1, 2, 3, 4} множество медведя содержит ровно $\text{[math]}$ элементов, которые дают остаток r при делении на 5. (Таким образом, в множестве $\text{[math]}$ элементов кратных 5, $\text{[math]}$ элементов вида 5k + 1, $\text{[math]}$ элементов вида 5k + 2 и так далее.)

Лимак загадочно улыбнулся вам и дал q подсказок об этом множестве. i-я подсказка выглядит следующим образом: "Количество элементов в множестве со значениями в промежутке от 1 до upTo_i включительно равно quantity_i."

Вот-вот Лимак расскажет вам настоящую головоломку, но что-то явно не так... Эта улыбка была очень странной. Вы заподозрили причину этого. Может Лимак обманул вас? Или он всё-таки честный медведь гризли?

Вам заданы числа n, b, q и подсказки, определите мог ли Лимак быть честным с вами, то есть существует ли хотя бы одно множество с такими ограничениями. Если такое возможно выведите ''fair". В противном случае выведите ''unfair".

Входные данные

В первой строке находятся три целых числа n, b, q (5 ≤ n ≤ b ≤ 10⁴, 1 ≤ q ≤ 10⁴, n кратно 5) — количество элементов в множестве, верхняя граница для чисел множества и количество подсказок.

В следующих q строках находятся описания подсказок. i-я из них содержит пару целых чисел upTo_i и quantity_i (1 ≤ upTo_i ≤ b, 0 ≤ quantity_i ≤ n).

Выходные данные

Выведите ''fair" если существует хотя бы одно множество, удовлетворяющее всем свойствам и подсказкам. В противном случае выведите ''unfair".

Примечание

В первом примере всем условиям удовлетворяет только множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Во втором примере также существует только одно множество, удовлятворяющее всем условиям: {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.

Легко видеть, что третий пример противоречив. Таким образом, Лимак вас обманул :-(

F. Волшебная матрица

графы Деревья матрицы Перебор разделяй и властвуй *2400

Вам задана матрица A размера n × n.

Будем называть матрицу с неотрицательными элементами волшебной, если она симметрична (то есть a_ij = a_ji), a_ii = 0 и a_ij ≤ max(a_ik, a_jk) для всех троек i, j, k. Заметим, что i, j, k не обязательно различны.

Определите является ли матрица волшебной.

Рекомендуется для ввода и вывода данных использовать функции scanf, printf в языке C++, поскольку они работают значительно быстрее чем cin, cout. Аналогично, рекомендуется использовать классы BufferedReader, PrintWriter вместо Scanner, System.out в языке Java.

Входные данные

В первой строке находится целое число n (1 ≤ n ≤ 2500) — размер матрицы A.

В каждой из следующих n строк находится n целых чисел a_ij (0 ≤ a_ij < 10⁹) — элементы матрицы A.

Заметим, что заданная матрица не обязательно является симметричной и может быть произвольной.

Выходные данные

Выведите ''MAGIC" (без кавычек) если матрица A является магической. В противном случае выведите ''NOT MAGIC".

F. Шоколадное веселье

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *2600

У Алисы и Боба есть дерево (неориентированный связный ацикличный граф). В i-й вершине дерева лежит a_i шоколадок. Сперва ребята выбирают себе стартовые вершины (Алиса выбирает первой) и забирают себе все шоколадки, которые там лежат.

Затем Алиса и Боб ходят по очереди, на каждом ходу выбирая одну вершину и забирая все лежащие там шоколадки. Чтобы разнообразить процесс, они договорились, что каждый из них может выбирать только среди вершин, которые являются соседними по отношению к выбранной этим игроком вершиной на предыдущем ходу. Более того, можно выбирать только вершины, не выбранные до этого никем другим.

Если в какой-то момент времени один из игроков не может сделать ход, он просто ожидает, пока другой игрок сделает все свои ходы. Процесс заканчивается, когда ни Алиса, ни Боб не могут больше сделать ни одного хода.

Поскольку Алиса и Боб — большие сладкоежки, они хотят собрать как можно больше шоколадок. Однако они ещё и друзья, поэтому их волнует только суммарное количество шоколадок, которое они соберут вместе. Найдите это значение, если ребята действуют оптимально.

Входные данные

В первой строке входных данных записано число n (2 ≤ n ≤ 100 000) — количество вершин в дереве.

Во второй строке записаны n целых чисел a_i (1 ≤ a_i ≤ 10⁹), i-е из которых определяет количество шоколадок в вершине с номером i.

Выходные данные

Выведите, сколько шоколадок смогут собрать Алиса и Боб, если они будут действовать оптимально.

Примечание

В первом примере Алиса начнёт в вершине 9, а Боб в вершине 8. Затем Алиса сделает ход в вершину 1, и Боб будет вынужден остаться на месте. Алиса сделает ход в вершину 7, и игра закончится.

Во втором примере они сразу выберут две вершины и заберут их них все шоколадки.

C. Ремонт дорог

*особая задача графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *1800

В Берляндии есть n городов и n - 1 дорога с двусторонним движением. Каждая дорога соединяет какую-то пару городов, при этом от любого города можно доехать до любого другого, используя только данные дороги.

В каждом городе есть ровно одна ремонтная бригада. Чтобы отремонтировать какую-то дорогу, необходима одновременная работа в течение одного дня двух бригад, базирующихся в городах, которые эта дорога соединяет. Обе бригады занимаются ремонтом одной дороги весь день и не могут в этот день участвовать в ремонте других дорог, а вот ничего не делать в течение дня ремонтная бригада вполне может.

Определите минимальное количество дней, в течение которых можно отремонтировать все дороги. Бригады не могут менять города, в которых расположены изначально.

Входные данные

В первой строке входных данных содержится целое положительное число n (2 ≤ n ≤ 200 000) — количество городов в Берляндии.

В каждой из следующих n - 1 строк записаны два числа u_i, v_i, означающих что i-я дорога соединяет город u_i с городом v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i).

Выходные данные

Сначала выведите число k — минимальное количество дней, за которое возможно отремонтировать все дороги Берляндии.

В следующих k строках выведите описание дорог, которые должны быть отремонтированы в каждый из k дней. В i-й строке выведите сначала число d_i — количество дорог, которые должны быть отремонтированы в i-й день, а затем через пробел выведите d_i целых чисел — номера дорог, которые должны быть отремонтированы в i-й день. Дороги нумеруются согласно порядку во входных данных, начиная с единицы.

Если вариантов ответа несколько, разрешается вывести любой из них.

Примечание

В первом примере отремонтировать все дороги можно за два дня, например, отремонтировать дороги 1 и 2 в первый день, а дорогу 3 — во второй.

D. Трёхмерный черепаший суперкомпьютер

графы Перебор поиск в глубину и подобное *1800

В Черепашьей Академии Наук построили суперкомпьютер, состоящий из n·m·k процессоров. В качестве архитектуры был выбран параллелепипед размера n × m × k, разбитый на ячейки размером 1 × 1 × 1, в каждой из которых находится ровно один процессор. Таким образом, каждый процессор можно однозначно идентифицировать тройкой из номера слоя от 1 до n, номера строки от 1 до m и номера столбца от 1 до k.

В ходе работы суперкомпьютера процессоры могут отправлять друг другу сообщения по знаменитой черепашьей схеме: процессор (x, y, z) может отправлять сообщения процессорам (x + 1, y, z), (x, y + 1, z) и (x, y, z + 1) (если, конечно, такие существуют), при этом обратная связь отсутствует, то есть процессоры (x + 1, y, z), (x, y + 1, z) и (x, y, z + 1) не могут отправлять сообщения процессору (x, y, z).

Со временем некоторые процессоры вышли из строя и перестали работать. Такие процессоры не могут отправлять сообщения, принимать сообщения или служить промежуточными звеньями в пересылке сообщений. Будем говорить, что процессор (a, b, c) управляет процессором (d, e, f) , если существует цепочка из процессоров (x_i, y_i, z_i), такая что (x₁ = a, y₁ = b, z₁ = c), (x_p = d, y_p = e, z_p = f) (здесь и далее p — длина цепочки), а процессор в цепочке с номером i (i < p) может отправлять сообщения процессору i + 1.

Черепахи очень беспокоятся об отказоустойчивости системы связи между оставшимися процессорами. Для этого они хотят знать количество критических процессоров. Процессор (x, y, z) называется критическим, если его отключение нарушит какое-нибудь управление, то есть если существуют два отличных от (x, y, z) процессора (a, b, c) и (d, e, f), таких что (a, b, c) управлял (d, e, f) до отключения (x, y, z) и перестал управлять им после отключения.

Входные данные

В первой строке содержатся три целых числа n, m и k (1 ≤ n, m, k ≤ 100) — размерности суперкомпьютера.

Далее следуют n блоков, описывающих текущее состояние процессоров. Блоки соответствуют слоям суперкомпьютера в порядке от 1 до n. Каждый блок состоит из m строк по k символов в каждой — описание очередного слоя в формате таблички m × k. Таким образом, состоянию процессора (x, y, z) соответствует z-й символ y-й строки блока номер x. Символ «1» соответствует работающему процессору, а символ «0» —вышедшему из строя. Блоки разделяются ровно одной пустой строкой.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — количество критических процессоров, то есть таких, что отключение только этого процессора нарушит какое-то управление.

Примечание

В первом примере не работает весь первый слой процессоров. Во втором слое при отключении процессора (2, 1, 2) нарушится управление процессора (2, 1, 3) процессором (2, 1, 1), а при отключении процессора (2, 2, 2) нарушится управление процессора (2, 2, 3) процессором (2, 2, 1).

Во втором примере критическими являются все процессоры, кроме угловых.

В третьем примере нет ни одного процессора, управляющего другим процессором, поэтому ответ 0.

B. Медвежонок и забытое дерево 3

графы Деревья Конструктив *1600

Деревом называется связный неориентированный граф состоящий из n вершин и n - 1 ребра. Вершины пронумерованы от 1 до n.

У полярного медвежонка Лимака было дерево, пока его не украл злой Радевуш. Медвежонок очень расстроился, потому что он помнит о дереве только три числа n, d и h:

Дерево состояло ровно из n вершин.
Диаметр дерева был равен d. Другими словами, d это максимальное расстояние между какой-то парой вершин дерева.
Также Лимак помнит, что если сделать корнем дерева вершину 1, то его высота будет равна h. Другими словами, h это максимальное расстояние от 1 до какой-то другой вершины.

Расстоянием между двумя вершинами дерева называется количество рёбер на простом пути между ними.

Помогите Лимаку найти какое-нибудь дерево, удовлетворяющее всем условиям и выведите его рёбра в произвольном порядке. Если подходящего дерева не существует, то выведите «-1».

Входные данные

В первой строке входных данных содержатся три целых числа n, d и h (2 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ h ≤ d ≤ n - 1) — количество вершин, диаметр и высота дерева, если сделать вершину номер 1 корнем.

Выходные данные

Если не существует ни одного дерева подходящего под описание Лимака, то выведите «-1» (без кавычек).

В противном случае выведите дерево, подходящее под описание Лимака. В n - 1 строке выведите пары вершин, соединённых рёбрами. Если подходящих деревьев несколько, разрешается вывести любое из них. Рёбра можно выводить в произвольном порядке.

Примечание

Ниже приведены рисунки для первого и третьего примеров.

$\text{[math]}$

F. Медведь и химия

графы Деревья поиск в глубину и подобное Структуры данных *3300

Умный бурый мишка Лимак обожает химию, особенно ему нравятся химические реакции превращения элементов друг в друга.

В Беарляндии (родине Лимака) есть n химических элементов, пронумерованных от 1 до n. Также там существуют специальные машины, которые превращают элементы друг в друга. Каждая машина описывается парой чисел a_i и b_i (не обязательно различных), означающей что машина может превратить элемент a_i в b_i и наоборот, превратить элемент b_i в a_i. Машины в Беарляндии очень ненадёжные и каждая из них может быть использована не более одного раза. Допустимо, что a_i = b_i или несколько машин преобразуют одну и ту же пару a_i и b_i.

Радевуш — главный соперник Лимака, и он решил проверить его знание химии. Завтра они встретятся, и каждый принесёт с собой все имеющиеся у него машины. У Лимака есть m машин, но о машинах Радевуша он ничего не знает. Оно договорились, что Радевуш выберет два различных элемента x и y. Лимак начинает с элемента x и должен перевести его в элемент y используя имеющиеся машины, а затем перевести элемент обратно в x. Для выполнения задачи Лимак может использовать как свои машины, так и машины Радевуша, но каждую машину можно применить не более одного раза.

Известно, что у Радевуша есть непустое множество любимых элементов, и он обязательно выберет x и y из этого множества. Лимак не знает ни элементов в этом множестве, ни какие машины есть у Радевуша, но до него дошли q слухов, каждый из которых содержит описание машин Радевуша и его любимого множества.

Теперь для каждого слуха Лимак хочет знать, правда ли, что используя свои машины и машины Радевуша (согласно слуху) он сможет успешно выполнить преобразование для любой пары различных элементов x и y из множества любимых элементов Радевуша (опять же, согласно слуху).

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три числа n, m и q (1 ≤ n, q ≤ 300 000, 0 ≤ m ≤ 300 000) — количество элементов, количество машин Лимака и количество слухов соответственно.

В каждой из последующих m строк записаны два числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n), описывающие i-ю машину Лимака.

Затем следует q описаний слухов.

В первой строке каждого описания i-го слуха записаны два числа n_i и m_i (1 ≤ n_i ≤ 300 000, 0 ≤ m_i ≤ 300 000). Во второй строке описания записы n_i различных чисел x_i, 1, x_i, 2, ..., x_{i, n_i} (1 ≤ x_i, j ≤ n) — любимые элементы Радевуша согласно данному слуху. Обратите внимание, что если n_i = 1, то Лимак автоматически выигрывает, поскольку нельзя выбрать ни одной пары различных x и y (и ответ «YES»). В следующих m_i строках записаны по два числа a_i, j, b_i, j (1 ≤ a_i, j, b_i, j), описывающие Машины Радевуша в i-м слухе.

Гарантируется, что сумма всех n_i не превосходит 300 000. Аналогично, сумма всех m_i тоже не превосходит 300 000.

Важно! Поскольку мы хотели бы, чтобы вы обрабатывали слухи один за другим, получить очередной запрос можно только узнав ответ на предыдущий. Для этого необходимо ко всем числам, описывающим множество любимых элементов Радевуша и его машины применить следующую функцию:

int rotate(int element)
{
   element=(element+R)%n;

   if (element==0) {
       element=n;
   }

   return element;
}

Здесь R изначально равняется 0 и увеличивается на порядковый номер запроса каждый раз, когда ответом является «YES». Запросы нумеруются начиная с 1 в порядке, в котором они встречаются во входных данных.

Выходные данные

Выведите q строк, для i-го запроса выведите «YES» (без кавычек), если для i-го слуха Лимак сумеет успешно перевести друг в друга любую пару элементов x и y из множества x_i, 1, x_i, 2, ..., x_{i, n_i}. В противном случае выведите «NO».

Примечание

Рассмотрим первый пример.

В первом слухе любимым множеством Радевуша является {4, 2} и у него нет машин. Лимак может преобразовать элемент 4 в элемент 2, а затем 2 в 3 и 3 в 4. Таким образом, ответ «YES» и R увеличивается на 1.

Во втором слухе задач набор {6, 2} и машина (3, 4), но поскольку R = 1, то реально требуется рассмотреть множество {1, 3} и машину (4, 5). Ответ «NO» и значение R не меняется.

В третьем слухе множество {6, 4, 3} и машины (2, 5) и (4, 6) переводятся в {1, 5, 4}, (3, 6) и (5, 1)

Рассмотрим возможный выбор Радевуша:

Если выбрать элементы 1 и 5, то Лимак может перевести 1 в 5, затем 6 в 3, 3 в 2 и, наконец, 2 в 1.
Если он выберет элементы 5 и 4, то Лимак может перевести 5 в 6, 6 в 3, 3 в 4, а затем 4 в 2, 2 в 1, 1 в 5.
Наконец, если выбрать элементы 1 и 4, то Лимак может превратить 1 в 2, потом 2 в 4, 4 в 3, 3 в 6, 6 в 5 и 5 в 1.

Таким образом Лимак может выполнить задачу для любой пары x и y и ответ «YES», а значение R увеличивается на 3 и становится равно 4.

В последнем слухе {1, 2} и (1, 2) переводятся в {5, 6} и (5, 6). Имеются две машины (5, 6) и Лимак легко справляется с заданием.

B. Медвежонок и два пути

графы Конструктив *1600

В Беарляндии n городов, пронумерованных целыми числами от 1 до n. Города соединены двусторонними дорогами. Никакая дорога не соединяет город с самим собой, и никакая пара городов не соединена больше чем одной дорогой.

Однажды медвежонок Лимак оказался в городе a и захотел пойти в город b. Между ними не было прямой дороги, поэтому он решил прогуляться и посетить каждый город ровно один раз. Формально:

Не существует дороги между городами a и b.
Существует путь, состоящий из n различных городов v₁, v₂, ..., v_n, такой что v₁ = a, v_n = b, а города v_i и v_i + 1 соединены дорогой при $\text{[math]}$ .

На другой день ситуация повторилась. Лимак находился в городе c и хотел отправиться в город d, но дороги между ними не было, поэтому он решил прогуляться по длинному пути из n различных городов u₁, u₂, ..., u_n, такому что u₁ = c, u_n = d, и между u_i и u_i + 1 есть дорога для $\text{[math]}$ .

Лимак полагает, что в Беарляндии не более k дорог, и просит вас проверить, может ли так быть, что он всё помнит правильно. По данным n, k и четырём различным индексам городов a, b, c и d, восстановите два пути (v₁, ..., v_n) и (u₁, ..., u_n), которые удовлетворят всем условиям, или определите, что это невозможно.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два числа n и k (4 ≤ n ≤ 1000, n - 1 ≤ k ≤ 2n - 2) — количество городов и максимально допустимое количество дорог соответственно.

Во второй строке записаны четыре различных числа a, b, c и d (1 ≤ a, b, c, d ≤ n).

Выходные данные

Если выполнить все условия невозможно, то выведите -1 в единственной строке выходных данных. В противном случае выведите две строки с описанием путей.

Первая из них должна содержать n различных индексов городов v₁, v₂, ..., v_n, и при этом должно выполняться v₁ = a и v_n = b. Вторая строка аналогично содержит n различных индексов u₁, u₂, ..., u_n, описывающих второй путь, то есть должно выполняться u₁ = c и u_n = d.

Эти два пути определяют не более чем 2n - 2 дорог: (v₁, v₂), (v₂, v₃), ..., (v_n - 1, v_n), (u₁, u₂), (u₂, u₃), ..., (u_n - 1, u_n). Ваш ответ будет считаться неправильным, если различных дорог будет больше k или будет нарушено какое-то другое условие.

Обратите внимание, что (x, y) и (y, x) обозначают одну и ту же дорогу.

Примечание

В первом примере должно быть 7 городов и не более 11 дорог. В представленном решении содержится 10 дорог, как на картинке. Также показаны простые пути длины n между 2 и 4 и между 7 и 3.

$\text{[math]}$

D. Репортаж Результатов Рэпа Роботов

Бинарный поиск графы дп *1800

Пока Фермер Джон строит новую ферму в незнакомой части Бовинии, Бесси решила попробовать себя в новом деле. Она стала репортёром и отвечает в местной газете за репортажи с различных IT-соревнований. Сейчас она освещает результаты Турнира Роботов-Рэперов 2016. Она быстро заметила, что в результатах матчей нет никакой случайности: робот i всегда победит робота j, если его умение читать рэп выше. Если робот i побеждает робота j, и робот j побеждает робота k, то робот i гарантированно победит робота k. Читать рэп такое тонкое искусство, что уровень этого умения у всех роботов разный.

Вам даны результаты матчей в порядке, в котором эти матчи проходили. Определите минимальное количество первых матчей, после которых Бесси уже однозначно может упорядочить роботов по уровню умения читать рэп.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два числа n и m (2 ≤ n ≤ 100 000, $\text{[math]}$ ) — количество роботов и количество матчей соответственно.

Следующие m строк описывают результаты матчей в порядке, в котором эти матчи проходили. Каждая строка содержит два индекса u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i), означающих, что робот номер u_i победил робота номер v_i в i-м матче. Никакая пара роботов не соревновалась дважды.

Гарантируется, что существует хотя бы один порядок роботов, удовлетворяющий всем m результатам.

Выходные данные

Выведите минимальное k, такое что результатов первых k матчей достаточно, чтобы однозначно упорядочить роботов по умению читать рэп. Если существует больше одного порядка роботов, удовлетворяющего результатам всех m матчей, выведите -1.

Примечание

В первом примере роботы могут быть упорядочены от сильнейшего к слабейшему следующим образом: (4, 2, 1, 3). Бесси может однозначно определить этот порядок, зная результаты первых четырёх матчей.

Во втором примере оба порядка (1, 3, 2) и (3, 1, 2) подойдут под результаты всех матчей.

C. Путь Робота

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *1100

Вам задано прямоугольное клетчатое поле, состоящее из n строк и m столбцов. Поле содержит цикл из символов «*», такой что:

цикл можно обойти, посетив каждую его клетку ровно один раз, перемещаясь каждый раз вверх/вниз/вправо/влево на одну клетку;
цикл не содержит самопересечений и самокасаний, то есть две клетки цикла соседствуют по стороне тогда и только тогда, когда они соседние при перемещении вдоль цикла (самокасание по углу тоже запрещено).

Ниже изображены несколько примеров допустимых циклов:

$\text{[math]}$

Все клетки поля, отличные от цикла, содержат символ «.». Цикл на поле ровно один. Посещать клетки, отличные от цикла, Роботу нельзя.

В одной из клеток цикла находится Робот. Эта клетка помечена символом «S». Найдите последовательность команд для Робота, чтобы обойти цикл. Каждая из четырёх возможных команд кодируется буквой и обозначает перемещение Робота на одну клетку:

«U» — сдвинуться на клетку вверх,
«R» — сдвинуться на клетку вправо,
«D» — сдвинуться на клетку вниз,
«L» — сдвинуться на клетку влево.

Робот должен обойти цикл, побывав в каждой его клетке ровно один раз (кроме стартовой точки — в ней он начинает и заканчивает свой путь).

Найдите искомую последовательность команд, допускается любое направление обхода цикла.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два целых числа n и m (3 ≤ n, m ≤ 100) — количество строк и столбцов прямоугольного клетчатого поля соответственно.

В следующих n строках записаны по m символов, каждый из которых — «.», «*» или «S». Гарантируется, что отличные от «.» символы образуют цикл без самопересечений и самокасаний. Также гарантируется, что на поле ровно одна клетка содержит «S» и что она принадлежит циклу. Робот не может посещать клетки, помеченные символом «.».

Выходные данные

В первую строку выходных данных выведите искомую последовательность команд для Робота. Направление обхода цикла Роботом может быть любым.

Примечание

В первом тестовом примере для обхода по часовой стрелке последовательность посещенных роботом клеток выглядит следующим образом:

клетка (3, 2);
клетка (3, 1);
клетка (2, 1);
клетка (1, 1);
клетка (1, 2);
клетка (1, 3);
клетка (2, 3);
клетка (3, 3);
клетка (3, 2).

E. Собери число

графы кратчайшие пути *2300

Дано целое неотрицательное число k и n неотрицательных целых чисел a₁, a₂, ..., a_n. Записывая некоторые из этих чисел друг за другом в произвольном порядке и, возможно, используя какие-то из них несколько раз (а какие-то вообще не используя), требуется составить кратчайшее (наименьшее по количеству цифр) число, делящееся на k, или определить, что это невозможно.

Входные данные

В первой строке содержится два целых числа n (1 ≤ n ≤ 1 000 000) и k (1 ≤ k ≤ 1000) — количество чисел и требуемый делитель соответственно.

Во второй строке содержится n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (0 ≤ a_i ≤ 10⁹).

Выходные данные

Если ответ существует, в первой строке выведите «YES» (без кавычек), а во второй строке — искомое кратчайшее число без ведущих нулей. В случае если ответа не существует, в единственной строке выходных данных выведите «NO» (без кавычек).

C. Сжатие таблицы

графы дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм *2200

Петя увлёкся алгоритмами сжатия данных. Он уже изучил форматы gz, bz, zip и несколько других. Воодушевившись новыми знаниями, Петя собрался разработать свой формат сжатия и назвать его dis.

Петя решил сжимать таблицы. У него есть таблица, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная целыми положительными числами. Он хочет заменить значения элементов таблицы на целые положительные числа так, чтобы отношение элементов в каждой строке и каждом столбце не изменилось. То есть, если в некоторой строке исходной таблицы a_i, j < a_i, k, то и в сжатой таблице a'_i, j < a'_i, k, и если a_i, j = a_i, k, то a'_i, j = a'_i, k. Аналогично, если в некотором столбце исходной таблицы a_i, j < a_p, j, то и в сжатой таблице a'_i, j < a'_p, j, и если a_i, j = a_p, j, то a'_i, j = a'_p, j.

Поскольку большие значения требуют больше места для хранения, максимальное значение элемента получившейся матрицы должно быть как можно меньше.

В теории Петя мастер, но вот писать код он не любит. Помогите ему реализовать формат сжатия dis.

Входные данные

В первой строке входных данных содержатся два числа n и m ( $\text{[math]}$ — количество строк и столбцов таблицы соответственно.

В следующих n строках содержится по m целых чисел a_i, j (1 ≤ a_i, j ≤ 10⁹) — значения элементов таблицы.

Выходные данные

Выведите сжатую таблицу: n строк, содержащих по m чисел.

Если существует несколько ответов, минимизирующих максимальное число, то разрешается вывести любой из них.

Примечание

В первом примере a_1, 2 ≠ a_2, 1, но, поскольку они не располагаются в одной строке или в одном столбце, при сжатии их можно сделать равными.

E. В погоне за артефактами

графы Деревья поиск в глубину и подобное снм *2300

Павел снова играет в одну известную компьютерную игру. Игроку предоставлена в распоряжение целая страна, где можно свободно путешествовать, выполнять квесты и набирать опыт.

В этой стране n островов и m мостов, расположенных между островами так, что от каждого острова можно добраться до каждого. В середине некоторых мостов лежат древние могущественные артефакты. Павлу сами по себе артефакты не нужны, зато он может неплохо заработать, продав хотя бы один такой артефакт.

В начале игры Павел находится на острове a, а торговец артефактами — на острове b (возможно, на том же самом, что и Павел). Павел хочет найти артефакт, прийти к торговцу и продать его. Проблема осложняется тем, что мосты между островами очень старые и разрушаются сразу после того, как по ним пройти. Так как персонаж Павла не умеет плавать, летать и телепортироваться, задача становится не такой и простой!

Обратите внимание, что Павел не может пройти половину моста, забрать артефакт и вернуться на тот же остров.

Определите, сможет ли Павел найти артефакт и принести его к торговцу.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 3·10⁵, 0 ≤ m ≤ 3·10⁵) — количество островов и мостов в игре.

В каждой из следующих m строк находится описание моста — три целых числа x_i, y_i, z_i, записанные через пробел (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i, 0 ≤ z_i ≤ 1), где x_i и y_i — номера островов, соединенных i-ым мостом, а z_i равно единице, если на этом мосту находится артефакт, и нулю — иначе. Между любыми двумя островами проложено не более одного моста. Гарантируется, что из любого города можно попасть в любой другой двигаясь по мостам.

В последней строке находятся два целых числа a и b (1 ≤ a, b ≤ n) — номера островов, на которых находятся Павел и торговец артефактами соответственно.

Выходные данные

Если Павел сможет добыть артефакт и продать его торговцу, выведите «YES» (без кавычек). Иначе выведите «NO» (без кавычек).

D. Медвежья доставка

Бинарный поиск графы Потоки *2200

Маленький золотой медвежонок Нивел долго жил в лесу. Созерцать деревья ежедневно ему в какой-то момент порядком надоело, и он переехал в большой город.

В городе Нивел устроился управляющим медвежьей доставки. Город, в котором он поселился, можно представить как ориентированный граф из n вершин и m рёбер. У каждого ребра есть пропускная способность, равная максимальному количеству веса, который можно пронести по этому ребру в рамках одного цикла доставки. Доставка заключается в том, что каждый имеющийся у Нивела медвежонок несёт в своих лапках груз из вершины 1 в вершину n. Суммарный вес, пронесённый всеми медвежатами по ребру, не должен превышать пропускной способности этого ребра.

В подчинении у Нивела ровно x медвежат. Чтобы всё было честно, никто из медвежат не должен отдыхать и каждый медвежонок должен доставить из 1 в n груз одинакового веса. Однако медвежата вполне могут пойти разными дорогами.

Нивел хочет определить, какой максимальный суммарный вес может быть доставлен из вершины 1 в вершину n.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три числа n, m и x (2 ≤ n ≤ 50, 1 ≤ m ≤ 500, 1 ≤ x ≤ 100 000) — количество вершин в графе, количество рёбер и количество медвежат соответственно.

В каждой из последующих m строк записаны три целых числа a_i, b_i и c_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 1 ≤ c_i ≤ 1 000 000). Такая тройка означает, что из вершины a_i в вершину b_i идёт ориентированное ребро с пропускной способностью c_i. В графе отсутствуют петли и кратные рёбра из одной вершины в другую. Также гарантируется наличие хотя бы одного пути из вершины 1 в вершину n.

Выходные данные

Выведите единственное вещественное число — максимальный суммарный вес, который можно доставить из вершины 1 в вершину n, используя ровно x медвежат, каждый из которых пронесёт одинаковый вес. Ваш ответ будет считаться правильным, если его абсолютная или относительная ошибка не будет превосходить 10^- 6.

А именно: пусть ваш ответ равен a, а ответ жюри — b. Проверяющая программа будет считать ваш ответ правильным, если $\text{[math]}$ .

Примечание

Доступны три медвежонка. Двое из них могут пойти по пути $\text{[math]}$ , а третий по пути $\text{[math]}$ . Хотя медвежонок, идущий по пути $\text{[math]}$ , мог бы нести одну единицу веса, из-за зашкаливающей честности он не может взять с собой больше 0.5 единиц веса. Таким образом, суммарно будет доставлено 1.5 единиц веса. Обратите внимание, что, используя всего двух медвежат, можно было бы доставить 2 единицы веса, но Нивел обязан использовать всех трёх.

E. Медвежонок и забытое дерево 2

графы Деревья поиск в глубину и подобное снм *2400

Деревом называется связный неориентированный граф, состоящий из n вершин и n - 1 ребра. Вершины пронумерованы целыми числами от 1 до n.

У полярного медвежонка Лимака было дерево, но он его потерял. Однако он всё ещё помнит о нём некоторые факты.

Вам даны m пар вершин (a₁, b₁), (a₂, b₂), ..., (a_m, b_m). Лимак точно помнит, что между вершинами a_i и b_i не было ребра. Помимо этого, он помнит, что в дереве было ровно k рёбер инцидентных вершин 1 (степень вершины 1 равнялась k).

Проверьте, существует ли хотя бы одно дерево, подходящее под описание Лимака.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три числа n, m и k ( $\text{[math]}$ ) — количество вершин в дереве Лимака, количество запрещённых пар вершин и степень вершины 1 соответственно.

В i-й из следующих m строк записаны два различных числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i) — i-я запрещённая пара. Гарантируется, что каждая пара вершин встречается во входных данных не более одного раза.

Выходные данные

Если существует хотя бы одно дерево, подходящее под описание Лимака, то выведите «possible» (без кавычек). В противном случае выведите «impossible» (без кавычек).

Примечание

В первом примере дерево состоит из 5 вершин. Степень вершины 1 должна быть равна 2. Все условия будут выполнены для дерева, состоящего из рёбер 1 - 5, 5 - 2, 1 - 3 и 3 - 4.

Во втором примере Лимак помнит, что не существовало рёбер 1 - 2, 1 - 3, 1 - 4, 1 - 5 и 1 - 6. Таким образом, вершина 1 не могла быть соединена ни с одной другой вершиной, и подходящего дерева не существует.

E. Новая реформа

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *1600

В Берляндии есть n городов, соединённых m двусторонними дорогами. Дороги не могут соединять город с самим собой, и каждая пара городов соединяется не более чем одной дорогой. Не гарантируется, что из любого города можно доехать до любого другого, используя только имеющиеся дороги.

Президент Берляндии решил внести изменения в систему дорожных путей и дал указание министерству транспорта заняться данной реформой. Теперь каждая дорога должна стать односторонней (вести только из одного города в другой).

Чтобы не вызвать большого недовольства у жителей, необходимо провести реформу так, чтобы оставалось как можно меньше обособленных городов. Город считается обособленным, если в него не входит ни одна дорога, при этом выходящие из этого города дороги допустимы.

Помогите министерству транспорта найти минимальное количество обособленных городов после проведения реформы.

Входные данные

В первой строке входных данных следуют два целых положительных числа n и m — количество городов и дорог в Берляндии (2 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ m ≤ 100 000).

В следующих m строках содержатся описания дорог: i-я дорога задаётся двумя различными целыми числами x_i, y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i), где x_i и y_i равны номерам городов, которые соединяет i-я дорога.

Гарантируется, что между каждой парой городов не может быть более одной дороги, но не гарантируется, что из любого города можно доехать до любого другого, используя только дороги.

Выходные данные

Выведите единственное число — минимальное количество обособленных городов после проведения реформы.

Примечание

В первом примере допустима следующая ориентация дорог: $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Во втором примере: $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

В третьем примере: $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

F. Поликарп и сено

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм сортировки *2000

У фермера Поликарпа есть склад с сеном, который можно представить как прямоугольную таблицу n × m, где n — количество строк, а m — количество столбцов в таблице. В каждой клетке таблицы содержится стог сена. Высота в метрах стога, расположенного в i-й строке и j-м столбце, равна целому числу a_i, j и совпадает с количеством кубометров сена в данном стоге, поскольку все клетки имеют размер основания 1 × 1.

Поликарп решил навести на складе порядок, сняв некоторое целое количество кубометров сена с верхушки каждого стога. С разных стогов разрешается снимать различный объем сена. В том числе стог разрешается не трогать совсем или, наоборот, убирать полностью. Если стог убран полностью, то соответствующая клетка становится пустой и стога более не содержит.

Поликарп хочет, чтобы после реорганизации выполнялись следующие требования:

суммарный объём сена на складе должен быть в точности равен k,
высоты всех стогов (то есть клеток, содержащих ненулевое количество сена) должны быть одинаковыми,
высота хотя бы одного стога должна остаться такой же, как была,
для устойчивости оставшейся конструкции все стога должны представлять собой одну связную область.

Два стога считаются соседними, если они имеют общую сторону в таблице. Область называется связной, если от любого стога этой области можно добраться до любого другого стога этой области, двигаясь только по соседним стогам. При этом два соседних стога обязательно принадлежат одной области.

Помогите Поликарпу выполнить это нелёгкое задание или сообщите, что это невозможно.

Входные данные

В первой строке входных данных находятся три целых числа n, m (1 ≤ n, m ≤ 1000) и k (1 ≤ k ≤ 10¹⁸) — количество строк и столбцов прямоугольной таблицы, в которую уложены стога с сеном, и требуемое суммарное количество кубометров сена после реорганизации.

Далее следует n строк по m целых положительных чисел a_i, j (1 ≤ a_i, j ≤ 10⁹), где a_i, j равно количеству кубометров сена, из которых состоит стог, который находится в i-й строке и j-м столбце таблицы.

Выходные данные

В первой строке выведите «YES», если Поликарп сможет совершить реорганизацию, и «NO» в противном случае. Если ответ «YES», то в следующих n строках выведите по m чисел — высоты оставшихся стогов. Все оставшиеся ненулевые значения должны быть равны, представлять собой связанную область, и хотя бы одно из этих значений не должно быть изменено.

Если существует несколько ответов, разрешается вывести любой из них.

Примечание

В первом примере ненулевые значения составляют связную область, значения не превосходят начальных высот стогов. Все ненулевые значения равны 7, а их количество равно 5, значит суммарный объём оставшегося сена равен требуемому значению k = 7·5 = 35. При этом стог, находящийся во второй строке и третьем столбце, остался нетронутым.

B. Покраска графа

графы поиск в глубину и подобное *2200

Дан неориентированный граф из n вершин и m рёбер. Каждое из рёбер графа изначально покрашено либо в красный, либо в синий цвет. За один ход разрешается выбрать произвольную вершину, и изменить цвета всех инцидентных ей рёбер, то есть все красные рёбра, заканчивающиеся в этой вершине, становятся синими, и наоборот, все синие становятся красными.

Найдите кратчайшую последовательность ходов, после выполнения которой все рёбра графа будут покрашены в один цвет.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 100 000) — количество вершин и количество рёбер в графе соответственно.

Следующие m строк задают ребра графа, i-я из них содержит два числа u_i и v_i c_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i) — номера вершин, соединённых i-м ребром, и символ c_i ( $\text{[math]}$ ), определяющий цвет данного ребра. Если c_i равняется 'R', то данное ребро изначально красное, а если 'B', то синее. Гарантируется, что граф не содержит петель и кратных рёбер.

Выходные данные

Если не существует способа сделать цвета всех рёбер одинаковыми, то выведите - 1 в единственной строке выходных данных. В противном случае сначала выведите k — минимальное необходимое число ходов, а затем выведите k чисел a₁, a₂, ..., a_k, где a_i равняется номеру вершины, выбираемой на i-м ходу.

Если подходящих оптимальных последовательностей несколько, то разрешается вывести любую из них.

B. Мировое турне

графы кратчайшие пути *2000

Знаменитый скульптор Кикассо отправляется в мировое турне!

Ну, не такое уж оно на самом деле и мировое. Но ведь возможность своими глазами повидать работы скульптора и не должна быть у всех, правда? Иначе в этом не было бы никакой эксклюзивности. Поэтому своё мировое турне Кикассо проведёт целиком и полностью в своей родной стране — Берляндии.

Кикассо очень предан своей работе и хочет как можно меньше отвлекаться от неё. Поэтому в своём турне он посетит всего четыре города. При этом города обязательно будут различными, чтобы никто не подумал, что у звезды есть «любимчики». Конечно, в целях экономии, перемещаться между этими городами он будет по кратчайшим маршрутам. Но, как вы уже, наверно, догадались, Кикассо — тот ещё чудак, поэтому, хотя он и не любит устраивать выставки, ему нравится ездить по стране и любоваться её пейзажами, поэтому он хочет, чтобы суммарное расстояние, которое он проедет, перемещаясь между городами, было максимально возможным. Сам скульптор, впрочем, плох в планировании, поэтому он обратился к вам за помощью.

В Берляндии есть n городов и m однонаправленных автомобильных дорог. Вам необходимо выбрать четыре различных города, которые посетит Кикассо, а также определить порядок посещения этих городов. При этом вам необходимо, чтобы суммарное расстояние, которое он проедет, если посетит города в указанном вами порядке, начав в первом городе из вашего списка и закончив в последнем, выбирая при этом каждый раз самый короткий маршрут между парой городов, было наибольшим.

Обратите внимание, промежуточные маршруты могут проходить через города, которые назначены для турне, а также проходить через один и тот же город дважды. Например, турне может выглядеть так: $\text{[math]}$ . Надчёркиваниями обозначены четыре города, в порядке их посещения: [1, 5, 2, 4].

Отметим, что Берляндия — высокотехнологичная страна, поэтому с помощью нанотехнологий все дороги были переделаны таким образом, что они имеют одинаковую длину. По этой же причине перемещение на обычных автомобилях в ней не очень популярно и может случиться, что существуют такие пары городов, что из одного из них вообще нельзя добраться на автомобиле до другого. Однако, Кикассо весьма консервативен и использует исключительно автомобильный транспорт в своём турне, поэтому вам нужно выбрать города таким образом, чтобы турне могло состояться, то есть, чтобы скульптор мог провести его, используя только автомобиль. Гарантируется, что это всегда можно сделать.

Входные данные

В первой строке находится пара целых чисел n и m (4 ≤ n ≤ 3000, 3 ≤ m ≤ 5000) — количество городов и однонаправленных дорог в Берляндии.

В следующих m строках находятся пары целых чисел u_i, v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n), обозначающие, что существует односторонняя дорога из города u_i в город v_i. Обратите внимание, что u_i и v_i не обязаны быть различными. Кроме того, может быть несколько односторонних дорог между одной и той же парой городов.

Выходные данные

Выведите четыре целых числа — номера городов, которые посетит Кикассо при оптимальном выборе маршрута. Номера городов нужно выводить в порядке, в котором Кикассо их посетит. Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

Пусть d(x, y) — кратчайшее расстояние между городами x и y. Тогда в примере из условия d(2, 1) = 3, d(1, 8) = 7, d(8, 7) = 3. Суммарное расстояние равно 13.

A. Пристрастный учитель

графы дп жадные алгоритмы реализация *1800

По итогам учебного года учитель решил поощрить своих учеников — раздать им немного ирисок. Он попросил n учеников встать в ряд. Так как учитель очень пристрастен, то он руководствуется следующим правилом при раздаче ирисок.

Он смотрит на первых двух учеников и даёт больше ирисок тому из них, у которого выше оценки. Если у этих двух учеников одинаковые оценки, то они получают одинаковое количество ирисок. Процесс раздачи проходит аналогичным образом для любой пары рядом стоящих учеников, начиная с первого и заканчивая последним.

Известно, что каждый ученик получит как минимум одну ириску. Вам следует найти, сколько ирисок учитель даёт каждому ученику, таким образом, чтобы общее количество розданных ирисок было наименьшим.

Входные данные

В первой строке входного файла записано количество учеников n (2 ≤ n ≤ 1000). Во второй строке содержатся (n - 1) знаков, состоящих из "L", "R" и "=". Для каждой пары рядом стоящих учеников "L" означает, что у ученика слева оценки выше, "R" значает, что выше оценки у ученика справа, а "=" означает, что у обоих оценки одинаковые.

Выходные данные

Содержит n целых чисел, записанных через пробел — сколько ирисок получит каждый ученик в очереди, начиная с первого и заканчивая последним.

D. Тесей и лабиринт

графы кратчайшие пути реализация *2000

Как известно, Тесей отправился на остров Крит, чтобы победить Минотавра. Приплыв на остров, он обнаружил лабиринт, который представляет собой прямоугольное поле размера n × m, состоящее из блоков размера 1 × 1.

В каждом блоке имеется кнопка, разворачивающая все блоки по часовой стрелке на 90 градусов. Каждый блок поворачивается вокруг своего центра, расположение блоков в таблице при этом не меняется. Помимо кнопки, в каждом блоке есть несколько (возможно, 0) дверей. За одну минуту Тесей может либо перейти в соседний по стороне блок, либо нажать кнопку и привести в действие механизм по повороту всех блоков по часовой стрелке на 90 градусов. Из блока A можно перейти в соседний блок B тогда и только тогда, когда у блока A есть дверь, ведущая в блок B, а у блока B есть дверь, ведущая в блок A. Тесей уже обнаружил вход в лабиринт и оказался в блоке (x_T, y_T), то есть в блоке, расположенном в ряду x_T и столбце y_T. Тесей слышал, что Минотавр прячется в блоке (x_M, y_M), и хочет узнать минимальное количество минут, через которое он сможет добраться до чудовища.

Герою не к лицу решать задачи по программированию, поэтому он просит вас помочь ему.

Входные данные

В первой строке входных данных следуют два числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 1000) — количество строк и столбцов в лабиринте соответственно.

В каждой из последующих n строк содержится по m символов, описывающих соответствующий ряд лабиринта. Рассмотрим возможные варианты символов:

«+» означает, что этот блок имеет 4 двери (в каждый из соседних блоков);
«-» означает, что этот блок имеет 2 двери — в соседний слева и соседний справа блок;
«|» означает, что этот блок имеет 2 двери — в соседний сверху и снизу блоки;
«^» означает, что этот блок имеет 1 дверь — в соседний сверху блок;
«>» означает, что этот блок имеет 1 дверь — в соседний справа блок;
«<» означает, что этот блок имеет 1 дверь — в соседний слева блок;
«v» означает, что этот блок имеет 1 дверь — в соседний снизу блок;
«L» означает, что этот блок имеет 3 двери — отсутствует дверь в соседний слева блок;
«R» означает, что этот блок имеет 3 двери — отсутствует дверь в соседний справа блок;
«U» означает, что этот блок имеет 3 двери — отсутствует дверь в соседний сверху блок;
«D» означает, что этот блок имеет 3 двери — отсутствует дверь в соседний снизу блок;
«*» означает, что этот блок является стеной и не имеет дверей.

Лево, право, верх и низ определяются из представления лабиринта в виде таблицы, где строки пронумерованы сверху вниз от 1 до n, а столбцы слева направо от 1 до m.

В предпоследней строке содержатся два целых числа — координаты блока (x_T, y_T) (1 ≤ x_T ≤ n, 1 ≤ y_T ≤ m), где находится Тесей.

В последней строке содержатся два целых числа — координаты блока (x_M, y_M) (1 ≤ x_M ≤ n, 1 ≤ y_M ≤ m), где расположен Минотавр.

Гарантируется, что блок, в котором находится Минотавр (а также блок, в котором находится Тесей), не является блоком-стеной. Блоки, в которых изначально находятся Минотавр и Тесей, могут совпадать.

Выходные данные

Если Тесей не сможет добраться до Минотавра, то выведите -1 в единственной строке выходных данных. В противном случае выведите минимальное количество минут, за которое он сможет это сделать.

Примечание

В момент времени 0 Тесей уже находится в лабиринте в блоке с координатами (x_T, y_T).

D. Ваня и сокровище

графы дп кратчайшие пути Структуры данных *2300

Ваня оказался во дворце, который можно представить как таблицу из комнат размера n × m. В каждой комнате находится ровно один сундук, при этом в комнате в i-м ряду и j-м столбце находится сундук вида a_ij. При этом в каждом сундуке типа x ≤ p - 1 находится ключ, открывающий любой сундук типа x + 1, а все сундуки типа 1 не заперты. Сундук типа p ровно один, и в нём находится сокровище.

Ваня начинает в клетке (1, 1) (верхний левый угол). Какое минимальное расстояние ему нужно пройти, чтобы получить сокровище? Считается, что расстояние между двумя клетками (r₁, c₁) (то есть клетки в строке r₁ и столбце c₁) и (r₂, c₂) равно |r₁ - r₂| + |c₁ - c₂|.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три числа n, m и p (1 ≤ n, m ≤ 300, 1 ≤ p ≤ n·m) — размеры дворца и количество типов сундуков соответственно.

В каждой из последующих n строк находится по m целых чисел a_ij (1 ≤ a_ij ≤ p) — типы сундуков в соответствующих комнатах. Гарантируется, что для любого x от 1 до p найдётся хотя бы один сундук такого типа (то есть существуют r и c, такие что a_rc = x). Также гарантируется, что сундук типа p ровно один.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное расстояние, которое потребуется преодолеть Ване, чтобы забрать сокровище из сундука типа p.

D. Медведь и преследование

графы математика Перебор поиск в глубину и подобное реализация Теория вероятностей *2900

В Беарляндии n городов, пронумерованных целыми числами от 1 до n. Они соединены m двунаправленными дорогами. Дорога номер i соединяет два различных города a_i и b_i, и никакие две дороги не соединяют одну и ту же пару городов. От любого города можно добраться до любого другого, используя только данные дороги.

Расстоянием между городами a и b называется минимальное количество дорог, которыми придётся воспользоваться, чтобы попасть из a в b.

Лимак — медведь гризли. Он преступник, и ваша задача его поймать, или, по крайней мере, попытаться. У вас осталось только два дня (сегодня и завтра), а затем он улизнёт навсегда.

Ваше главное оружие — БВД (Беарляндский Высокоточный Детектор). Когда вы используете БВД, находясь при этом в каком-нибудь городе, он сообщает вам расстояние между городом, где вы находитесь, и городом, где сейчас находится Лимак. К сожалению, БВД может быть использован только один раз в день.

Вам мало что известно о местоположении Лимака, поэтому вы предполагаете, что он находится в одном из n городов страны, выбранном случайно и с равной вероятностью (то есть Лимак изначально находится в каждом городе с вероятностью $\text{[math]}$ ). Вы разработали следующий план:

Выбрать один из городов и применить там БВД.
- Сразу после применения БВД можно попытаться поймать Лимака (но это может быть плохой идеей). В этом случае вы выбираете какой-то город и ищете Лимака там. Если Лимак действительно в этом городе, то вы выигрываете, в противном случае Лимак становится осторожнее, и его уже никогда не поймать (вы проигрываете).
Подождать 24 часа и снова применить БВД. Вы знаете, что за это время Лимак обязательно изменит своё местоположение, а именно, он выберет случайно и равновероятно одну дорогу ведущую из его текущего города и пройдёт по ней в соседний город.
На следующий день вы можете снова выбрать любой город и применить БВД там.
Теперь уже обязательно попробовать поймать Лимака. Для этого вы выбираете какой-то город и ищете в нём Лимака. Если он там, то вы побеждаете, если нет — проигрываете.

Каждый раз, когда вам требуется выбрать город, вы можете выбирать любой из n городов, то есть мгновенное перемещение не является для вас проблемой.

Чему равна вероятность поймать Лимака, если вы будете действовать оптимально?

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два числа n и m (2 ≤ n ≤ 400, $\text{[math]}$ ) — количество городов и количество дорог соответственно.

Затем следуют m строк, описывающих дороги. В i-й из этих строк записаны два числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i) — номера городов, соединённых i-й дорогой.

Гарантируется, что никакая пара городов не соединена более чем одной дорогой и что от любого города можно добраться до любого другого, используя только данные дороги.

Выходные данные

Выведите одно вещественное число — вероятность обнаружить Лимака, если действовать оптимально. Ваш ответ будет считаться правильным, если его абсолютная ошибка не будет превосходить 10^- 6.

А именно: пусть ваш ответ равен a, а ответ жюри — b. Проверяющая программа будет считать ваш ответ правильным, если |a - b| ≤ 10^- 6.

Примечание

В первом примере Беарляндия состоит из трёх городов, и между каждой парой этих городов есть дорога. Рассмотрим один из оптимальных сценариев.

Использовать БВД в городе 1.
- С вероятностью $\text{[math]}$ Лимак окажется в этом городе, и БВД выдаст расстояние 0. В таком случае нужно сразу хватать Лимака — мы точно не ошибёмся.
- С вероятностью $\text{[math]}$ расстояние равно 1, потому что Лимак находится в городе 2 или городе 3. В этом случае оптимально будет дождаться следующего дня.
Вы ждёте, а Лимак переходит в соседний город.
- С вероятностью $\text{[math]}$ Лимак находился в городе 2 и перешёл в город 3.
- $\text{[math]}$ он перешёл из 2 в 1.
- $\text{[math]}$ он перешёл из 3 в 2.
- $\text{[math]}$ он перешёл из 3 в 1.
Снова использовать БВД в городе 1 (хотя разрешено сделать это и в любом другом городе).
- Если расстояние 0, то Лимак находится в городе 1 (вы побеждаете).
- Если расстояние 1, то Лимак либо в городе 2, либо в городе 3. Тогда попробуем поискать его в городе 2 (или 3, не имеет значения).

Пользуясь такой стратегией, вы проиграете, только если Лимак был изначально в городе 2 и перешёл в город 3. Вероятность проигрыша равна $\text{[math]}$ . Ответ равен $\text{[math]}$ .

D. Подарки по списку

графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное *2000

Саша живет в большой дружной семье. В Мужской День мужчины из этой семьи собираются вместе и празднуют его, следуя своей особой традиции. В семье Саши n мужчин, поэтому для простоты будем нумеровать их от 1 до n.

Каждый мужчина имеет не более одного отца, но может иметь произвольное количество сыновей.

Мужчина с номером A является предком мужчины с номером B, если выполняется хотя бы одно из утверждений:

A = B;
мужчина с номером A — отец мужчины с номером B;
существует такой номер C, что мужчина с номером A — предок мужчины с номером C, а мужчина с номером C — отец мужчины с номером B.

Конечно же, если мужчина с номером A является предком мужчины с номером B, причём A ≠ B, то мужчина с номером B не может являться предком мужчины с номером A.

На Мужской День в семье Саши принято дарить подарки. Просто так дарить подарки скучно, поэтому в этой семье процесс дарения каждый год выглядит следующим образом.

Определяется список кандидатов, в котором перечислены некоторые из n мужчин в определённом порядке.
Каждый из n мужчин решает сделать подарок.
Чтобы сделать кому-нибудь подарок, мужчина выбирает из составленного списка первого члена семьи, который является его предком, и делает ему подарок. В частности, он может сделать подарок сам себе.
Если в списке нет ни одного предка какого-нибудь мужчины, то он расстраивается и покидает праздник, так и не подарив никому подарок.

В этом году вы решили помочь с организацией праздника и узнали у каждого из n мужчин, кому из своих предков он хочет сделать подарок. Сможете ли вы построить список кандидатов таким образом, чтобы удовлетворить желание каждого?

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два числа n и m (0 ≤ m < n ≤ 100 000) — число мужчин в семье и число родственных связей.

В следующих m строках описываются родственные связи: в (i + 1)-й строке содержится пара чисел p_i и q_i (1 ≤ p_i, q_i ≤ n, p_i ≠ q_i), означающая, что мужчина с номером p_i является отцом мужчины с номером q_i. Гарантируется, что никакая пара чисел не встречается более одного раза, что для любых двух различных членов семьи хотя бы один из них не является предком другого и что никакой член семьи не имеет более одного отца.

В следующей строке дана последовательность n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ n), i-е число в которой обозначает, что мужчина с номером i хочет сделать подарок мужчине с номером a_i. Гарантируется, что для всех 1 ≤ i ≤ n мужчина с номером a_i является предком мужчины с номером i.

Выходные данные

В первой строке выведите целое число k (1 ≤ k ≤ n) — количество мужчин в списке кандидатов.

Затем выведите k различных неотрицательных целых чисел — номера мужчин в списке кандидатов в порядке, определяющем необходимый выбор каждого из n мужчин, — по одному в строке.

Если подходящих списков несколько, выведите любой из них. Если подходящего списка не существует, выведите - 1 в единственной строке выходных данных.

Примечание

Пояснение к первому примеру:

если в списке не будет 1, то желания первого и третьего мужчины не сбудутся (a₁ = a₃ = 1);
если в списке не будет 2, то желание второго мужчины не сбудется (a₂ = 2);
если разместить в ответе 1 перед 2, то второму мужчине придется дарить подарок первому мужчине, а не себе (a₂ = 2);
если же разместить мужчину с номером 2 перед мужчиной с номером 1, то третьему мужчине придется дарить подарок второму мужчине, а не первому (a₃ = 1).

C. Алёна и дерево

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *1600

Алёна решила сесть на диету и пошла в лес за яблоками. Внезапно она обнаружила волшебное корневое дерево с корнем в вершине 1, на каждом ребре и в каждой вершине которого записаны некоторые числа.

Девочка заметила, что некоторые вершины дерева грустят, поэтому она решила с ними поиграть. Назовем вершину v грустной, если в ее поддереве найдется вершина u, такая что dist(v, u) > a_u, где a_u — число, записанное в вершине u, а dist(v, u) — сумма чисел на ребрах на пути от v до u.

Листьями дерева называются вершины, соединенные ребром ровно с одной вершиной, а корень дерева является листом тогда и только тогда, когда дерево состоит из единственной вершины-корня.

Алёна решила удалять листья дерева до тех пор, пока все вершины не перестанут грустить. Какое минимальное количество листьев нужно удалить Алёне?

Входные данные

В первой строке входных данных записано целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество вершин в дереве.

Во второй строке входных данных заданы n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ 10⁹), где a_i — число, записанное в вершине i.

В следующих n - 1 строках описываются ребра дерева: в i-й из этих строк записана пара чисел p_i и c_i (1 ≤ p_i ≤ n, - 10⁹ ≤ c_i ≤ 10⁹), означающих, что вершины i + 1 и p_i дерева соединены ребром, на котором записано число c_i.

Выходные данные

Выведите минимальное количество листьев, которое требуется удалить Алёне, чтобы не осталось ни одной грустной вершины.

Примечание

Процесс удаления листьев дерева из первого примера может выглядеть так:

$\text{[math]}$

I. Грузчик

*особая задача графы *2500

Грузчик работает на складе, который представляет собой прямоугольное поле размера n × m. Некоторые клетки этого поля свободны, остальные заняты колоннами, на которых держится крыша склада.

В одной из свободных клеток находится груз, а в другой — грузчик. Ни в какой момент времени груз и грузчик не могут находиться в клетках, занятых колоннами, за пределами склада или в одной клетке.

Грузчик может перемещаться в соседнюю клетку (две клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона), а также двигать груз. Для передвижения груза грузчик должен встать в соседнюю с грузом клетку и толкнуть его. При этом груз переместиться в соседнюю клетку в том направлении, в котором грузчик его толкнет, а грузчик переместится в клетку, в которой находился груз.

Перед вами стоит задача определить последовательность толчков и перемещений грузчика, выполнив которые грузчик переместит груз в заданную клетку (гарантируется, что эта клетка свободна). Так как груз достаточно тяжелый, вам нужно минимизировать в первую очередь количество толчков груза, а во вторую очередь количество перемещений грузчика.

Входные данные

В первой строке входных данных следует два целых положительных числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 40, n·m ≥ 3) — количество строк и количество столбцов в прямоугольном поле.

В следующих n строках следует по m символов — описание склада. Если в очередной клетке склада находится символ

«X», это означает, что в текущей клетке находится колонна;
«.», это означает, что текущая клетка свободна;
«Y», это означает, что в текущей клетке находится грузчик;
«B», это означает, что в текущей клетке находится груз;
«T», это означает, что груз нужно переместить в эту клетку.

Гарантируется, что на складе есть ровно один груз, ровно один грузчик и ровно одна клетка, в которую нужно переместить груз.

Выходные данные

Если грузчик не сможет переместить груз в заданную клетку, выведите в первую строку выходных данных «NO» (без кавычек).

В противном случае, выведите в первую строку выходных данных «YES» (без кавычек), а во вторую — последовательность символов, определяющую перемещения и толчки грузчика. Символы w, e, n, s должны обозначать перемещения грузчика на запад, восток, север и юг соответственно. Символы W, E, N, S должны обозначать толчки грузчика в соответствующих направлениях. В первую очередь вам нужно минимизировать количество толчков груза, а во вторую очередь количество перемещений грузчика. Если решений несколько, то разрешается вывести любое из них.

E. Путешествие по царству Снежной королевы

битмаски графы Перебор разделяй и властвуй *2800

Герда пустилась в путь по царству Снежной королевы.

Дорожная сеть, по которой направляется Герда, представляет собой n перекрёстков, соединённых m дорогами. Дороги пронумерованы числами от 1 до m. Снежная королева догадывалась, что Кая могут найти, и наложила на них могучее заклятие. Теперь погодные условия на дороге с номером i таковы, что в какой бы момент времени, не превосходящий i, Герда ни оказалась на ней, она выедет с неё только в момент времени i. Если же она ступит на дорогу позже, чем в момент времени i, она так и не сможет с неё выехать.

Герда выезжает в момент времени l с перекрёстка с номером s и едет во дворец Снежной королевы, расположенный на перекрёстке с номером t. Кроме того, в момент времени r + 1 Снежная королева возвращается в свой дворец и уже не пустит Герду внутрь, поэтому Герда должна добраться до дворца не позже, чем в момент времени r.

Вам требуется по заданной сети для каждого из q запросов l_i, r_i, s_i и t_i ответить, сможет ли Герда добраться до дворца Снежной королевы.

Входные данные

В первой строке входных данных находятся числа n, m и q (2 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ m, q ≤ 200 000) — количество перекрёстков в дорожной сети царства Снежной королевы, дорог в ней, случаев расположения Герды, дворца Снежной королевы и времён выезда Герды и возвращения Снежной королевы соответственно.

В i-й из следующих m строк дано описание дороги с номером i. Описание состоит из целых чисел v_i и u_i (1 ≤ v_i, u_i ≤ n, v_i ≠ u_i) — номеров перекрёстков, соединённых этой дорогой. По дороге можно добраться как из перекрёстка v_i на перекрёсток u_i, так и из перекрёстка u_i в перекрёсток v_i. Каждая пара перекрёстков может встречаться более одного раза, это значит, что между ними есть несколько разных дорог.

Затем следуют описания тестовых случаев. В каждой из следующих q строк содержатся четыре числа l_i, r_i, s_i и t_i (1 ≤ l_i ≤ r_i ≤ m, 1 ≤ s_i, t_i ≤ n, s_i ≠ t_i) — момент времени, когда Герда выезжает, самый поздний момент времени, когда она может приехать во дворец, номер перекрёстка, с которого выезжает Герда, и номер перекрёстка, на котором расположен дворец Снежной Королевы.

Выходные данные

Для каждого тестового случая выведите «Yes» (без кавычек) или «No» (без кавычек) — сможет Герда добраться до дворца Снежной королевы или нет.

A. NP-трудная задача

графы поиск в глубину и подобное *1500

Недавно Пари и Арий узнали про NP-трудные задачи, особенно им понравилась задача о минимальном вершинном покрытии.

Пусть нам дан некоторый граф G. Подмножество A его вершин называется вершинным покрытием, если для любого ребра uv хотя бы один его конец лежит в множестве, то есть выполнено $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ (или оба условия).

Пари и Арий выиграли на командной олимпиаде чудесный неориентированный граф, и теперь каждый хочет забрать себе множество его вершин, являющееся вершинным покрытием.

Они отдали свой граф вам и попросили выбрать два непересекающихся множества вершин A и B, таких что и A и B являются вершинным покрытием, или определить, что сделать это невозможно. Каждая вершина может быть отдана только одному из друзей (а некоторые и вовсе можно не отдавать никому).

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два числа n и m (2 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ n, m ≤ 100 000) — количество вершин и количество рёбер в выигранном друзьями графе.

В каждой из следующих m строк записана пара чисел u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n), означающая ненаправленное ребро между вершинами u_i и v_i. Гарантируется, что в графе отсутствуют петли и кратные рёбра.

Выходные данные

Если невозможно поделить граф между Пари и Арием, как они этого хотят, то выведите «-1» (без кавычек).

Если же существуют два непересекающихся вершинных покрытия, то выведите их описания. Каждое описание состоит из двух строк. Первая строка должна содержать единственное число k — количество вершин в данном вершинном покрытии, а вторая строка должна содержать k чисел — индексы вершин в покрытии. Обратите внимание, что поскольку m ≥ 1, никакое вершинное покрытие не может быть пустым.

Примечание

В первом примере можно отдать Арию вершину номер 2, а Пари вершины с номерами 1 и 3. Вершину 4 можно оставить себе (а можно тоже кому-нибудь отдать).

Во втором примере не существует способа раздать вершины так, чтобы удовлетворить и Пари, и Ария.

D. Разделение королевства II

графы Перебор снм сортировки Структуры данных *2500

Давным-давно существовало великое королевство, которым правили Великий Арий и Пари Великая. У этих двоих были некоторые разногласия по вопросу любимых чисел, поэтому они решили разделить королевство между собой.

Великое королевство состояло из n городов, пронумерованных целыми числами от 1 до n, и m двунаправленных дорог, пронумерованных от 1 до m. Длина i-й из этих дорог равняется w_i. Великий Арий и Пари Великая договорились уничтожить некоторый префикс дорог (все дороги с номером меньше некоторого x) и некоторый суффикс дорог (все дороги с номером больше некоторого x), оставив таким образом дороги с номерами l, l + 1, ..., r - 1 и r.

После этого они разделят королевство на две части (каждый город отойдёт ровно к одной из двух частей), такие что трудность разделения будет минимальна. Трудностью разделения называется максимальная длина дороги, такой что оба её конца принадлежат одной части. В случае если таких дорог вообще нет, трудность разделения полагается равной - 1.

Историки обнаружили карту великого королевства и теперь обсуждают q возможных сценариев выбора параметров l и r великими правителями. По имеющимся данным для каждой гипотезы l_i, r_i определите минимально возможную трудность разделения королевства.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три целых числа n, m и q (1 ≤ n, q ≤ 1000, $\text{[math]}$ ) — количество городов и дорог в великом королевстве и количество гипотез историков соответственно.

В i-й из последующих m строк записаны три целых числа u_i, v_i и w_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, 0 ≤ w_i ≤ 10⁹), обозначающих, что дорога с номером i соединяет города u_i и v_i и имеет длину w_i. Гарантируется, что никакая дорога не соединяет город с самим собой и никакие две дороги не соединяют одну и ту же пару городов.

В каждой из последующих q строк записаны два целых числа l_i и r_i (1 ≤ l_i ≤ r_i ≤ m) — догадка историков об оставшихся в королевстве дорогах.

Выходные данные

Для каждой догадки историков выведите минимально возможную трудность разделения королевства.

E. TOF

графы поиск в глубину и подобное *2900

Сегодня Пари задала Арию интересную графовую задачу. Арий написал неоптимальное решение, потому что верит, что может протолкнуть неоптимальное решение в любой задаче. Но его решение не только не оптимальное, оно ещё и содержит ошибки, а поскольку Арий долго пытался его оптимизировать, то код стал совсем «грязным». Арий продолжал получать вердикт Time Limit Exceeded и совсем уже расстроился, когда ему в голову пришла прекрасная идея!

Вот так выглядит сейчас его код:


dfs(v)
{
     set count[v] = count[v] + 1
     if(count[v] < 1000)
     {
          foreach u in neighbors[v]
          {
               if(visited[u] is equal to false)
               {
                    dfs(u)
               }
               break
          }
     }
     set visited[v] = true
}

main()
{
     input the digraph()
     TOF()
     foreach 1<=i<=n
     {
          set count[i] = 0 , visited[i] = false
     }
     foreach 1 <= v <= n
     {
          if(visited[v] is equal to false)
          {
               dfs(v)
          }
     }
     ... // And do something cool and magical but we can't tell you what!
}

Арий просит вас написать функцию TOF, которая будет уменьшать количество вызовов функции dfs. На вход подаётся ориентированный граф, и функция TOF должна переставить каким-то образом рёбра графа, то есть изменить порядок вершин в списке смежности neighbors каждой вершины. Количество вызовов функции dfs, разумеется, зависит от того, какой порядок для вершин в neighbors выбрать.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 5000) — количество вершин и количество ориентированных рёбер во входном графе.

В каждой из последующих m строк записана пара целых чисел u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n), означающая, что во входном графе существует ориентированное ребро $\text{[math]}$ .

Гарантируется, что в графе нет петель и что каждая неупорядоченная пара вершин соединена не более чем одним ориентированным ребром.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное возможно количество вызовов функции dfs, которого можно достигнуть, переставив правильно рёбра.

B. Майк и переулки

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1600

Только что Майк был очень занят подготовкой к экзаменам и контестам, теперь же, чтобы проветриться, он решил прогуляться мимо городских достопримечательностей.

Город состоит из n перекрестков с номерами от 1 до n. Майк начинает прогулку от своего дома и идет вдоль определенной последовательности перекрестков. Чтобы дойти от перекрестка i до перекрестка j, Майку нужно потратить |i - j| единиц энергии. Суммарное количество энергии, потраченное Майком при прогулке вдоль последовательности перекрестков p₁ = 1, p₂, ..., p_k равно $\text{[math]}$ единицам энергии.

Конечно, прогулки были бы скучными без переулков. Переулком называется специальный путь, позволяющий Майку идти от одного перекрестка к другому, используя лишь 1 единицу энергии. Всего в городе Майка ровно n переулков, i-й из них позволяет пройти от перекрестка с номером i к перекрестку с номером a_i (i ≤ a_i ≤ a_i + 1) (но не в противоположном направлении), то есть для каждого перекрестка существует ровно один исходящий переулок. Формально, если Майк выберет последовательность p₁ = 1, p₂, ..., p_k, то для каждого 1 ≤ i < k удовлетворяющего p_i + 1 = a_{p_i} and a_{p_i} ≠ p_i Майк потратит всего 1 единицу энергии вместо |p_i - p_i + 1| единиц, прогуливаясь от перекрестка p_i к перекрестку p_i + 1. К примеру, если Майк решит выбрать последовательность p₁ = 1, p₂ = a_p₁, p₃ = a_p₂, ..., p_k = a_{p_k - 1}, то потратит суммарно k - 1 единицу энергии на прогулку вдоль перекрестков.

Перед тем как отправиться в путь, Майк просит вас для каждого перекрестка посчитать минимальное количество энергии, необходимое, чтобы дойти до него от дома Майка. Формально, для каждого 1 ≤ i ≤ n Майка интересует минимально возможное суммарное количество энергии некоторой последовательности p₁ = 1, p₂, ..., p_k = i.

Входные данные

В первой строке содержится целое число n (1 ≤ n ≤ 200 000) — количество перекрестков в городе Майка.

Во второй строке содержатся n чисел a₁, a₂, ..., a_n (i ≤ a_i ≤ n , $\text{[math]}$ , описывающие переулки города. i-й из них позволяет Майку дойти от переулка i до переулка a_i за одну единицу энергии. Заметьте, что переулки не позволяют проход в обратном направлении (от a_i к i).

Выходные данные

В единственной строке выведите n чисел m₁, m₂, ..., m_n, где m_i означает наименьшее количество единиц энергии, которое Майку нужно потратить, чтобы добраться от перекрестка 1 до перекрестка i.

Примечание

В первом примере подходящими являются следующие последовательности:

1: 1; m₁ = 0;

2: 1, 2; m₂ = 1;

3: 1, 3; m₃ = |3 - 1| = 2.

Во втором примере последовательность для любого перекрестка 1 < i всегда имеет вид 1, i, а m_i = |1 - i|.

В третьем примере входных данных можно рассматривать следующие последовательности:

1: 1; m₁ = 0;

2: 1, 2; m₂ = |2 - 1| = 1;

3: 1, 4, 3; m₃ = 1 + |4 - 3| = 2;

4: 1, 4; m₄ = 1;

5: 1, 4, 5; m₅ = 1 + |4 - 5| = 2;

6: 1, 4, 6; m₆ = 1 + |4 - 6| = 3;

7: 1, 4, 5, 7; m₇ = 1 + |4 - 5| + 1 = 3.

C2. Мозговая сеть (средняя)

графы Деревья поиск в глубину и подобное *1500

Дальнейшие исследования мыслительных процессов зомби дали интересные результаты. Как мы знаем из предыдущей задачи, нервная система зомби состоит из n мозгов и m мозговых соединений, связывающих их воедино. Было замечено, что интеллектуальные способности зомби сильно зависят от топологии нервной системы. Точнее, определим как расстояние между двумя мозгами u и v (1 ≤ u, v ≤ n) как минимальное количество мозговых соединений, которые потребуется использовать, чтобы передать мысль между этими двумя мозгами. Мозговая задержка зомби определяется как максимальное расстояние между какой-нибудь парой мозгов. Ученые подозревают, что мозговая задержка является ключевым параметром определяющим, насколько умён данный зомби. Помогите им протестировать их гипотезу, написав программу для вычисления мозговой задержки данной нервной системы.

В данной задаче вы можете считать, что данная вам во входных данных мозговая система является правильной, то есть удовлетворяет пунктам (1) и (2) из лёгкой версии данной задачи.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 100000), определяющих количество мозгов (пронумерованных от 1 до n) и количество мозговых связей в нервной системе, соответственно. В следующих m строках содержатся описания мозговых связей. Каждая связь задаётся как пара мозгов a b, которую она соединяет (1 ≤ a, b ≤ n, a ≠ b).

Выходные данные

Выведите одно число — мозговую задержку данной нервной системы.

B. Исправление дерева

графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное снм *1700

Дерево — это неориентированный связный граф без циклов.

Рассмотрим корневое неориентированное дерево, состоящее из n вершин, пронумерованных от 1 до n. Существует несколько способов представлять такие деревья. Одним из наиболее популярных является массив предков, состоящий из n чисел p₁, p₂, ..., p_n, где p_i означает предка вершины i (в рамках данной задачи корень дерева считается предком самого себя).

$\text{[math]}$ Для данного корневого дерева массив p равен [2, 3, 3, 2].

По данной последовательности p₁, p₂, ..., p_n легко восстановить дерево:

Существует ровно один индекс r, такой что p_r = r. Вершина r является корнем дерева.
Для всех остальных n - 1 вершины i существует ребро между вершинами i и p_i.

Последовательность p₁, p₂, ..., p_n является корректной, если описанная выше процедура определяет некоторое (произвольное) корневое дерево. Например, для n = 3 последовательности (1,2,2), (2,3,1) и (2,1,3) не являются корректными.

Вам дана последовательность a₁, a₂, ..., a_n, не обязательно являющаяся корректной. Вам требуется изменить минимальное количество элементов, чтобы последовательность стала корректной. Выведите минимальное необходимое количество изменений и пример любого ответа, который можно получить с их помощью. Если существует несколько корректных последовательностей, достижимых за минимальное количество изменений, то разрешается вывести любую.

Входные данные

В первой строке входных данных записано число n (2 ≤ n ≤ 200 000) — количество вершин в дереве (а значит, и в последовательности).

Во второй строке записаны n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ n).

Выходные данные

В первой строке выведите минимальное количество изменений, которое надо сделать, чтобы получить корректную последовательность.

Во второй строке выведите любую корректную последовательность, которая может быть получена из (a₁, a₂, ..., a_n) за минимальное количество изменений. Если существует несколько таких последовательностей, то выведите любую.

Примечание

В первом примере достаточно изменить один элемент. В приведённом примере вывода последовательность представляет корневое дерево с корнем в вершине 4 (потому что p₄ = 4), которое можно увидеть на левом рисунке. Одним из корректных решений будет являться последовательность 2 3 3 2, определяющая дерево с корнем в вершине 3 (правый рисунок). На обоих рисунках корни выделены красным.

$\text{[math]}$

Во втором примере данная во входных данных последовательность уже является корректной.

B. Соединяя университеты

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *1800

Древляндия — это страна в которой n городов, соединенных n - 1 двусторонней дорогой так, что из любого города можно проехать в любой другой по дорогам.

В Древляндии 2k университетов, расположенных в разных городах.

Недавно Президент подписал указ о соединении университетов высокоскоростной сетью. Министерство образования по своему поняло этот указ, решив что для экономии усилий достаточно каждый университет соединить кабелем с некоторым другим. Формально, указ окажется выполнен!

Для того, чтобы в бюджет заложили максимальную сумму в министерстве решили так разбить университеты на пары, что суммарная длина потраченного кабеля будет максимальна. Иными словами, сумма расстояний между университетами в k парах должна быть как можно больше.

Помогите министерству найти искомую максимальную сумму расстояний. Конечно, каждый университет должен попасть ровно в одну пару. Считайте, что все дороги равны по длине между собой и имеют длины равные 1.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два целых числа n и k (2 ≤ n ≤ 200 000, 1 ≤ k ≤ n / 2) — количество городов в Древляндии и количество пар университетов. Считайте, что города пронумерованы от 1 до n.

Вторая строка содержит 2k различных чисел u₁, u₂, ..., u_2k (1 ≤ u_i ≤ n) — номера городов, в которых содержатся университеты.

Следующая n - 1 строка содержит описания дорог. В каждой из этих строк записана пара целых чисел x_j, y_j (1 ≤ x_j, y_j ≤ n), которая обозначает, что j-я дорога соединяет города x_j и y_j. Все дороги двунаправлены. Из любого города можно проехать до любого другого, двигаясь вдоль дорог.

Выходные данные

Выведите искомую максимальную сумму расстояний при делении университетов на пары.

Примечание

На рисунке ниже представлено одно из возможных оптимальных разбиений на пары для первого тестового примера. Если соединить кабелем университеты номер 1 и 6 (отмечены красным цветом) и университеты номер 2 и 5 (отмечены синим цветом), то суммарное расстояние будет равно 6, что является максимальной суммой для данного примера.

$\text{[math]}$

E. Анализ путей в функциональном графе

графы Структуры данных *2100

Задан функциональный граф — такой ориентированный граф, в котором из каждой вершины выходит ровно одна дуга. Вершины графа пронумерованы от 0 до n - 1.

Граф задан массивом f₀, f₁, ..., f_n - 1, где f_i — номер вершины, куда ведет единственная дуга из вершины i. Кроме того задан массив весов дуг w₀, w₁, ..., w_n - 1, где w_i — вес дуги из i в f_i.

$\text{[math]}$ Граф из первого примера.

По заданному числу k (длине пути) найдите для каждой вершины пару чисел: s_i и m_i, где:

s_i — сумма весов всех дуг на пути длины k, который стартует из вершины i;
m_i — минимальный вес по всем дугам на пути длины k, который стартует из вершины i.

Длиной пути называется количество дуг в этом пути.

Входные данные

В первой строке записана пара целых чисел n, k (1 ≤ n ≤ 10⁵, 1 ≤ k ≤ 10¹⁰). Вторая строка содержит последовательность f₀, f₁, ..., f_n - 1 (0 ≤ f_i < n), а третья — последовательность w₀, w₁, ..., w_n - 1 (0 ≤ w_i ≤ 10⁸).

Выходные данные

Выведите n строк, по два числа s_i, m_i в каждой строке.

B. Человек-муравей

графы дп жадные алгоритмы *2500

Скотт Лэнг враждует с Дареном Кроссом. Они находятся в зале, где расположены n стульев, пронумерованных 1, 2, ..., n слева направо. Известно, что стул номер i расположен в точке с координатами x_i. Скотт изначально сидит на стуле с номером s, а Кросс сидит на стуле с номером e. Скотт может с любого стула прыгнуть на любой другой (не обязательно соседний). Он хочет начать прыгать со стула номер s, посетить каждый стул ровно один раз и закончить на стуле с номером e, где сидит Кросс.

Как мы знаем, Скотт может сжаться или, наоборот, вырасти (вернуться к нормальному размеру), так что в каждый момент времени он будет либо маленьким, либо большим (нормальным). Изменять свой размер он может только сидя на стуле (но не в воздухе в процессе прыжка). Изменение размера происходит мгновенно, в то время как прыжок занимает определённое время. Прыжок со стула номер i на стул номер j занимает |x_i - x_j| секунд. Дополнительно некоторое время тратится на то, чтобы оттолкнуться от стула, и на приземление.

Чтобы прыгнуть на стул, расположенный левее, Скотту необходимо стать маленьким, а чтобы прыгнуть направо, требуется, наоборот, стать большим.

Прыжок с i-го стула занимает:

c_i секунд, если Скотт маленький.
d_i секунд, если Скотт большой.

Приземление на i-й стул занимает:

b_i секунд, если Скотт маленький.
a_i секунд, если Скотт большой.

Другими словами, прыжок со стула i на стул j занимает:

|x_i - x_j| + c_i + b_j секунд, если j < i.
|x_i - x_j| + d_i + a_j секунд, если j > i.

По данным значениям x, a, b, c, d найдите минимальное время, которое понадобится Скотту, чтобы добраться до Кросса, если он хочет посетить все стулья ровно по одному разу.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три целых числа n, s и e (2 ≤ n ≤ 5000, 1 ≤ s, e ≤ n, s ≠ e) — количество стульев, начальная и конечная позиция Скотта.

Во второй строке записаны n целых чисел x₁, x₂, ..., x_n (1 ≤ x₁ < x₂ < ... < x_n ≤ 10⁹).

В третьей строке записаны n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a₁, a₂, ..., a_n ≤ 10⁹).

В четвёртой строке записаны n целых чисел b₁, b₂, ..., b_n (1 ≤ b₁, b₂, ..., b_n ≤ 10⁹).

В пятой строке записаны n целых чисел c₁, c₂, ..., c_n (1 ≤ c₁, c₂, ..., c_n ≤ 10⁹).

В шестой строке записаны n целых чисел d₁, d₂, ..., d_n (1 ≤ d₁, d₂, ..., d_n ≤ 10⁹).

Выходные данные

Выведете минимальное количество секунд, которое придётся потратить Скотту, чтобы допрыгать до Кросса и посетить все стулья ровно по одному разу.

Примечание

В примере из условия возможным оптимальным решением является $\text{[math]}$ . Потраченное время равняется 17 + 24 + 23 + 20 + 33 + 22 = 139.

C. Чёрная вдова

графы дп математика реализация *2900

Наталья Романова собирается протестировать новое оружие, которое ей выдали в S.H.I.E.L.D. Чтобы определить результат эксперимента, ей требуется найти количество решений следующего уравнения:

$\text{[math]}$

Здесь $\text{[math]}$ означает логическое ИЛИ (OR), а $\text{[math]}$ означает логическое исключающее ИЛИ (то есть XOR), а v_i, j — булевы переменные и их отрицания. Наталья называет левую часть уравнения XNF формулой. Каждое условие в скобках называется клаузой, а переменные v_i, j — литералами.

На самом деле в уравнении Натальи левая часть является 2-XNF-2 формулой от переменных x₁, x₂, ..., x_m и их отрицаний. XNF формула называется 2-XNF-2 формулой, если:

k_i ≤ 2 для всех 1 ≤ i ≤ n, то есть размер каждой клаузы не превосходит двух.
Каждая переменная встречается в формуле суммарно (как с отрицанием, так и без него) не более чем дважды. Обратите внимание, что переменная может дважды встретиться с отрицанием и ни разу без него (или наоборот).

У Натальи есть формула от m переменных, состоящая из n клауз. Обязательно посмотрите на примеры, чтобы убедиться, что вы правильно понимаете, как задаётся формула.

Наталья больше любит практику, чем теорию, поэтому просит вас найти количество решений уравнения, чтобы уже начать стрелять. Формально, требуется найти количество способов установить значения булевых переменных x₁, ..., x_m в true или false (всего существует 2^m способов), так что равенство будет выполнено. Поскольку это число может быть очень большим, выведите остаток от его деления на 10⁹ + 7.

Обратите внимание, что какая-то переменная может дважды появиться в одной и той же клаузе, а может не появиться вообще ни разу (однако присвоение ей true или false всё равно даёт разные способы).

Входные данные

В первой строке входных данных записаны два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 100 000) — количество клауз и количество переменных соответственно.

В следующих n строках описывается формула. В i-й из них сначала следует число k_i — количество литералов в i-й клаузе. Далее следуют k_i ненулевых целых чисел a_i, 1, ..., a_{i, k_i}. Если a_i, j > 0, то v_i, j равняется x_{a_i, j}, в противном случае это отрицание x_{- a_i, j} (1 ≤ k_i ≤ 2, - m ≤ a_i, j ≤ m, a_i, j ≠ 0).

Выходные данные

Выведите ответ по модулю 1 000 000 007 (10⁹ + 7).

Примечание

В первом примере уравнение имеет следующий вид:

$\text{[math]}$

Во втором примере уравнение выглядит так:

$\text{[math]}$

В третьем примере уравнение принимает вид:

$\text{[math]}$

B. Пекарня

графы *1300

Маша хочет открыть свою пекарню и печь пирожки в одном из n городов, пронумерованных от 1 до n. Также существует m двунаправленных дорог, каждая из которых соединяет некоторую пару городов. Чтобы печь пирожки, Маше нужно наладить регулярные поставки муки со склада. Всего существует k складов, расположенных в различных городах с номерами a₁, a₂, ..., a_k.

К сожалению, законы страны, в которой живет Маша, не позволяют открывать пекарню в любом из городов, где есть склад. Открыть ее можно только в одном из остальных n - k городах, при этом, само собой, за доставку муки нужно платить — за каждый километр пути от склада до пекарни Маша заплатит 1 рубль.

Формально, Маша заплатит x рублей, если она откроет пекарню в городе b (a_i ≠ b для любого 1 ≤ i ≤ k) и выберет склад в городе s (s = a_j для некоторого 1 ≤ j ≤ k), а между городами b и s существует путь по дорогам суммарной длины x (если путей несколько, Маша вправе выбирать, какой именно путь будет использован).

Маша — крайне бережливый и рациональный человек. Ее интересует тот город, при открытии пекарни в котором (и выборе одного из k складов и пути между городом с пекарней и городом со складом) платить за доставку ей придется меньше всего. Помогите Маше найти сумму, которую она заплатит в этом случае.

Входные данные

В первой строке содержится три целых числа n, m и k (1 ≤ n, m ≤ 10⁵, 0 ≤ k ≤ n) — число городов в стране Маши, число дорог между ними и число складов с мукой соответственно.

Далее следуют m строк. Каждая из них содержит три целых числа u, v и l (1 ≤ u, v ≤ n, 1 ≤ l ≤ 10⁹, u ≠ v), означающих, что между городами с номерами u и v существует двунаправленная дорога длины l километров .

Если k > 0, то в последней строке содержатся k различных целых чисел a₁, a₂, ..., a_k (1 ≤ a_i ≤ n) — номера городов, в которых располагаются склады с мукой. Если k = 0, то описанная строка отсутствует.

Выходные данные

В единственной строке выведите минимальную цену, которую придется заплатить Маше за доставку муки.

Если открыть пекарню, удовлетворив необходимым условиям, ни в одном из n городов невозможно, в единственной строке выведите - 1.

Примечание

$\text{[math]}$

Иллюстрация к первому примеру из условия. Темным цветом выделены города со складами и дорога, длина которой является ответом.

C. Центроиды

графы Деревья дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное Структуры данных *2300

Деревом называется связный неориентированный граф без циклов. Вам дано дерево, состоящее из n вершин, тогда центроидом дерева называется любая вершина, такая что при её удалении размер любой компоненты связности не будет превосходить $\text{[math]}$ .

Вам дано дерево размера n и разрешается выполнить не более одной операции перестановки ребра. Перестановкой ребра называется удаление одного ребра из дерева (без удаления инцидентных вершин) и добавление одного нового ребра (без добавления новых вершин) таким образом, что граф остаётся деревом. Требуется для каждой вершины дерева определить, правда ли, что её можно сделать центроидом, выполнив не более одной перестановки ребра.

Входные данные

В первой строке входных данных записано целое число n (2 ≤ n ≤ 400 000) — количество вершин в дереве. Каждая из последующих n - 1 строк содержит пару номеров вершин u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n), являющихся концами одного из рёбер дерева.

Выходные данные

Выведите n чисел, i-е из которых равно 1, если i-ю вершину можно сделать центроидом, выполнив не более одной перестановки ребра, и 0 в противном случае.

Примечание

В первом тестовом примере любую вершину можно сделать центроидом. Например, чтобы сделать центроидом вершину 1, нужно заменить ребро (2, 3) на ребро (1, 3).

D. Направленные дороги

графы Комбинаторика математика поиск в глубину и подобное *1900

Кодер ZS и Бабуин Крис довольно долго путешествовали по Удайлэнду. Они узнали, что он состоит из n городов, пронумерованных от 1 до n.

В Удайлэнде существует ровно n направленных дорог. i-ая из них выходит из города с номером i и ведет в другой город с номером a_i (a_i ≠ i). Кодер ZS может поменять направление любой из дорог в Удайлэнде, то есть, если дорога вела от города A к городу B до смены направления, она будет вести от города B к городу A после него.

Кодер ZS считает дороги в Удайлэнде запутанными, если существует последовательность различных городов A₁, A₂, ..., A_k (k > 1), таких, что для каждого 1 ≤ i < k существует дорога, ведущая из города A_i в город A_i + 1 и еще одна из города A_k в город A₁. Другими словами, дороги запутанные, если некоторые из них образуют направленный цикл из каких-то городов.

Теперь Кодеру ZS'у интересно, сколько наборов дорог изначальной конфигурации (всего их 2ⁿ) он может выбрать, таких, что после смены направления каждой из дорог в наборе ровно по одному разу, результирующая сеть дорог не будет запутанной.

Заметьте, что после смены направления позволяется существовать городу, из которого выходит несколько дорог, или городу, из которого не выходит ни одной дороги, или нескольким дорогам между одной и той же парой городов.

Входные данные

Первая строка содержит единственное целое число n (2 ≤ n ≤ 2·10⁵) — количество городов в Удайлэнде.

Следующая строка содержит n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ n, a_i ≠ i), a_i означает, что существует дорога, ведущая из города i в город a_i.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — количество способов поменять направление какого-нибудь набора дорог так, что весь набор дорог станет не запутанным. Так как ответ может быть очень большим, выведите остаток от его деления на 10⁹ + 7.

Примечание

Рассмотрим первый пример из условия. Существует 3 города и 3 дороги. Города пронумерованы от 1 до 3, а дороги изначально имеют вид $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Пронумеруем дороги от 1 до 3 в соответствующем порядке.

Наборы дорог, для которых Кодер ZS может сменить направление (чтобы сделать дороги не запутанными), это наборы {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Заметьте, что пустой набор дорог не подходит, поскольку, если не менять направление ни одной дороги, то города 1, 2, 3 образуют направленный цикл, так что дороги будут запутанными. Аналогично, смена направления каждой дороги приводит к запутанной конфигурации. Таким образом, всего существует 6 возможных наборов, для которых Кодер ZS может поменять направление.

Следующий рисунок изображает всевозможные способы ориентации дорог из первого примера так, что сеть дорог не является запутанной:

$\text{[math]}$

B. Дополни граф

Бинарный поиск графы Конструктив кратчайшие пути *2300

Кодер ZS нарисовал неориентированный граф из n вершин пронумерованных от 0 до n - 1 и m ребер между ними. Каждое ребро графа взвешено, а каждый вес — целое положительное число.

На следующий день Кодер ZS обнаружил, что некоторые из весов были стерты! Теперь он хочет восстановить целый положительный вес у каждого ребра, вес которого был стерт, так, что длина кратчайшего пути между вершинами s и t в получившемся графе в точности равна L. Поможете ему?

Входные данные

Первая строка содержит пять целых чисел n, m, L, s, t (2 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ m ≤ 10 000, 1 ≤ L ≤ 10⁹, 0 ≤ s, t ≤ n - 1, s ≠ t) — количество вершин, количество ребер, желаемая длина кратчайшего пути, начальная и конечная вершины соответственно.

Далее следуют m строк, описывающие ребра графа. i-ая из них содержит три целых числа u_i, v_i, w_i (0 ≤ u_i, v_i ≤ n - 1, u_i ≠ v_i, 0 ≤ w_i ≤ 10⁹). u_i и v_i означают концы ребра, а w_i — его вес. Если w_i равно 0, то вес соответствующего ребра был стерт.

Гарантируется, что между каждой парой вершин существует не более одного ребра.

Выходные данные

Выведите «NO» (без кавычек) в единственной строке, если восстановить веса ребрам требуемым образом невозможно.

В противном случае, выведите «YES» в первой строке. Следующие m строк должны содержать описания ребер получившегося графа, с весами, заданными ребрам, вес которых был стерт. i-ая из них должна содержать три целых числа u_i, v_i и w_i, означающих ребро между u_i и v_i веса w_i. Ребра нового графа должны совпадать с ребрами графа из входных данных. Веса, которые не были стерты, должны остаться неизменными, тогда как новые веса могут быть любыми целыми положительными числами, не превышающими 10¹⁸.

Порядок ребер в выходных данных не важен. Длина кратчайшего пути между s и t должна равняться L.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

Примечание

Вот так выглядит граф в первом примере из условия:

$\text{[math]}$

В первом примере из условия вес отсутствует всего у одного ребра. Если задать ему вес, равный 8, то длина кратчайшего пути между 0 и 4 будет равна 13.

Во втором примере из условия всего одно ребро. Очевидно, единственным ответом является задание ему веса 123456789.

В последнем примере из условия ни один вес задавать не нужно, но длина кратчайшего пути не совпадает с нужным значением, так что ответ — «NO».

E. Дополни перестановки

бпф графы Комбинаторика математика *3400

Кодеру ZS'у даны две перестановки p и q множества {1, 2, ..., n}, но некоторые из их элементов заменены 0. Расстояние между двумя перестановками p и q определяется как минимальное количество обменов двух элементов, необходимое, чтобы превратить p в q. ZS может менять местами только любые два элемента перестановки p.

Кодер ZS хочет найти количество способов заменить нули положительными целыми числами из множества {1, 2, ..., n} так, что p и q будут являться перестановками {1, 2, ..., n}, а расстояние между p и q в точности равно k.

Кодер ZS хочет найти ответ для всех 0 ≤ k ≤ n - 1. Поможете ему?

Входные данные

Первая строка входных данных содержит целое число n (1 ≤ n ≤ 250) — количество элементов в перестановках.

Вторая строка содержит n целых чисел, p₁, p₂, ..., p_n (0 ≤ p_i ≤ n) — перестановка p. Гарантируется, что существует хотя бы один способ заменить нули так, что p станет перестановкой {1, 2, ..., n}.

Вторая строка содержит n целых чисел, q₁, q₂, ..., q_n (0 ≤ q_i ≤ n) — перестановка q. Гарантируется, что существует хотя бы один способ заменить нули так, что q станет перестановкой {1, 2, ..., n}.

Выходные данные

Выведите n целых чисел, i-е из них должно соответствовать ответу для k = i - 1. Так как ответ может быть довольно большим, а Кодер ZS любит странные простые числа, выведите ответы по модулю 998244353 = 2²³·7·17 + 1, который является простым.

Примечание

В первом примере из условия существует всего один способ заменить нули так, что потребуется 0 обменов для превращения p в q — это p = (1, 2, 3), q = (1, 2, 3).

Существует два способа заменить нули так, что требуется 1 обмен для превращения p в q. Один из них — p = (1, 2, 3), q = (3, 2, 1), тогда обмен 1 и 3 в p превращает ее в q. Другой способ — p = (1, 3, 2), q = (1, 2, 3). В этом случае работает обмен 2 и 3.

Наконец, существует всего один способ заменить нули так, что потребуется 2 обмена для превращения p в q — p = (1, 3, 2), q = (3, 2, 1). Тогда мы можем превратить p в q вот так: $\text{[math]}$ .

E. День рождения Матвея

битмаски графы *3300

У Матвея сегодня день рождения. Так как он никогда не знает, какие подарки он хочет получить, его друзья, недолго думая, решили подарить ему строку s длины n. Эта строка состоит из первых восьми букв английского алфавита: «a», «b», «c», ..., «h».

Первый вопрос, который может у вас возникнуть: кому может быть нужна какая-то строка? Но Матвей — необычный мальчик, он тут же придумал увлекательное занятие. Первым делом нужно составить неориентированный граф, в котором вершины — это различные позиции в строке, а рёбра существуют между любыми двумя различными позициями a и b (1 ≤ a, b ≤ n), для которых выполняется хотя бы одно из следующих условий:

a и b являются соседними позициями в строке, то есть |a - b| = 1.
В позициях a и b записаны одинаковые символы, то есть s_a = s_b.

Далее, чтобы не было скучно, Матвей решил найти диаметр этого графа, то есть максимальное кратчайшее расстояние среди всех пар вершин, а также количество пар вершин, на которых это расстояние достигается. Матвей — очень опытный программист, поэтому быстро справился с этой задачей. Получится ли у вас?

Входные данные

В первой строке входных данных содержится целое число n (2 ≤ n ≤ 100 000) — длина строки.

Во второй строке записана сама строка s. Гарантируется, что s состоит из первых восьми букв английского алфавита.

Выходные данные

Выведите два целых числа — диаметр графа и количество пар вершин, расстояние между которыми равно диаметру.

Примечание

Рассмотрим второй тестовый пример.

Максимальное расстояние — 2. Оно достигается для четырёх пар вершин : (1, 4), (2, 4), (4, 6) и (4, 7).

C. Путешествие

графы дп *1800

Недавно Ирина поехала отдыхать в один из самых известных городов Берляндии — город Берлятов. В городе находится n достопримечательностей, пронумерованных от 1 до n, некоторые из которых соединены односторонними дорогами. Дороги в Берлятове устроены так, что циклических маршрутов между достопримечательностями не существует.

Изначально Ирина находится у достопримечательности 1, а конечный пункт её путешествия — достопримечательность n. Естественно, Ирина хочет посетить как можно больше достопримечательностей во время своего путешествия. Однако, время пребывания Ирины в Берлятове ограничено, и она может пробыть там не больше T единиц времени.

Помогите Ирине определить, какое наибольшее количество достопримечательностей она сможет посетить на своём пути от достопримечательности 1 до достопримечательности n за время, не превышающее T. Гарантируется, что существует хотя бы один маршрут от достопримечательности 1 до достопримечательности n, на прохождение которого Ирина потратит не более T единиц времени.

Входные данные

В первой строке входных данных находятся три целых числа n, m и T (2 ≤ n ≤ 5000, 1 ≤ m ≤ 5000, 1 ≤ T ≤ 10⁹) — количество достопримечательностей, количество дорог между ними и время пребывания Ирины в Берлятове соответственно.

Следующие m строк описывают дороги в Берлятове. i-я из них содержит 3 целых числа u_i, v_i, t_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i, 1 ≤ t_i ≤ 10⁹), означающая, что существует дорога, ведущая от достопримечательности u_i к достопримечательности v_i, прохождение которой занимает у Ирины t_i единиц времени. Гарантируется, что дороги не образуют циклических маршрутов.

Гарантируется, что между любыми двумя достопримечательностями существует не более одной дороги.

Выходные данные

В первой строке выведите единственное целое число k (2 ≤ k ≤ n) — максимальное количество достопримечательностей, которые Ирина сможет посетить во время своего путешествия от достопримечательности 1 к достопримечательности n за время, не превышающее T.

Во второй строке выведите k различных целых чисел — номера достопримечательностей, которые посетит Ирина на своем пути, в порядке их посещения.

Если ответов несколько, выведите любой.

D. Озёра в Берляндии

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное реализация снм *1600

Карта Берляндии представляет собой прямоугольник размера n × m, состоящий из клеток размера 1 × 1. Каждая из клеток карты является либо сушей, либо водой. Со всех краёв Берляндия омывается океаном.

Озёрами называются такие связные по сторонам максимальные по включению области из клеток с водой, которые не имеют общих границ с океаном. Другими словами, озеро — это область клеток с водой, такая что из любой клетки можно добраться до любой другой, не покидая озера, двигаясь только между соседними по стороне клетками, никакая из клеток не расположена на границе прямоугольника и нельзя добавить ещё одну клетку с водой, так что по-прежнему можно будет добраться от любой клетки до любой другой.

Перед вами стоит задача засыпать землей минимальное количество клеток таким образом, чтобы в Берляндии стало ровно k озёр. Изначально на карте находятся не менее k озер.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три целых положительных числа n, m и k (1 ≤ n, m ≤ 50, 0 ≤ k ≤ 50) — размеры карты и количество озёр, которые должны остаться на карте.

В следующих n строках следует по m символов — описание карты. Каждый из символов — либо «.» (означает, что соответствующая клетка это участок с водой), либо «*» (означает, что соответствующая клетка — это участок суши).

Гарантируется, что на данной карте не менее k озер.

Выходные данные

В первую строку выведите минимальное количество клеток, которые из воды нужно превратить в сушу.

В следующие n строк выведите m символов — карта после внесения в неё изменений. Формат должен строго соответствовать формату карты из входных данных (размеры карты выводить не нужно). Если решений несколько, выведите любое из них.

Гарантируется, что ответ всегда существует.

Примечание

В первом примере всего содержится два озера — первое состоит из клеток (2, 2) и (2, 3), а второе состоит из клетки (4, 3). Выгодно засыпать второе озеро, так как оно наименьшее по размеру. Обратите внимание, что участок воды в нижнем левом углу поля не является озером, так как этот участок граничит с океаном.

E. Односторонняя реформа

графы жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное Потоки *2200

В Берляндии есть n городов и m двунаправленных дорог, которыми соединены некоторые пары городов. Известно, что между каждой парой городов существует не более одной дороги, а также никакая дорога не соединяет город сам с собой. Допустимо, что между некоторыми парами городов не существует пути по дорогам от одного до другого.

Дорожный министр решил провести в Берляндии реформу и заориентировать все дороги в стране, то есть сделать каждую дорогу односторонней. При этом министр хочет максимизировать количество таких городов, чтобы количество дорог, начинающихся в этих городах, было равно количеству дорог, которые в них заканчиваются.

Входные данные

В первой строке следует целое положительное число t (1 ≤ t ≤ 200) — количество наборов входных данных.

Каждый из наборов входных данных задаётся следующим образом. В первой строке следует два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 200, 0 ≤ m ≤ n·(n - 1) / 2) — количество городов и количество дорог в Берляндии.

В следующих m строках следует описание дорог в Берляндии. В каждой строке находятся по два целых числа u и v (1 ≤ u, v ≤ n) — номера городов, которые соединяет очередная дорога. Гарантируется, что никакая дорога не соединяет город с самим самой и между любой парой городов существует не более одной дороги. Допустимо, что между некоторыми парами городов не существует пути по дорогам от одного до другого.

Гарантируется, что суммарное количество городов во всех наборах входных данных не превосходит 200.

Обратите внимание, что для взломов вы можете использовать только тесты, состоящие из одного набора входных данных, то есть t должно быть равно единице.

Выходные данные

Для каждого набора входных данных выведите сначала искомое максимальное количество таких городов, что количество дорог, начинающихся в этих городах, было равно количеству дорог, которые в них заканчиваются.

В следующих m строках выведите заориентированные дороги. Сначала выводите номер города, в котором дорога начинается, а затем номер города, в котором дорога заканчивается. Если ответов несколько, выведите любой из них. Дороги в каждом наборе входных данных разрешается выводить в любом порядке. Каждая дорога должна быть выведена ровно один раз.

F. st-остов

графы жадные алгоритмы реализация снм *2300

Вам задан связный неориентированный граф, состоящий из n вершин и m рёбер. Каждое ребро соединяет две различные вершины, любую пару вершин соединяет не более одного ребра.

Также вам даны две различные вершины s и t, а также две величины d_s и d_t. Перед вами стоит задача построить любой остов заданного графа (обратите внимание, что граф невзвешенный), у которого степень вершины s не превышает d_s, а степень вершины t не превышает d_t, либо сообщить, что это невозможно.

Остов (покрывающее дерево) графа G — такой его подграф, который является деревом и содержит все вершины графа G. Иными словами, это связный граф, содержащий n - 1 ребро и полученный из заданного графа G удалением некоторых рёбер.

Степенью вершины называется число инцидентных этой вершине рёбер.

Входные данные

В первой строке следует два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 200 000, 1 ≤ m ≤ min(400 000, n·(n - 1) / 2)) — количество вершин и количество рёбер соответственно.

В следующих m строках следует описание рёбер графа. В каждой из строк находятся по два целых числа u и v (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v) — номера вершин, соединённых очередным ребром. Гарантируется, что в графе не содержится петель и кратных рёбер, а также то, что граф связный.

В последней строке следуют четыре целых числа s, t, d_s и d_t (1 ≤ s, t ≤ n, s ≠ t, 1 ≤ d_s, d_t ≤ n - 1).

Выходные данные

Если ответа не существует, выведите в первую строку «No» (без кавычек).

В противном случае в первую строку выведите «Yes» (без кавычек). В следующей (n - 1)-й строке выведите по два целых числа — описание рёбер остова. Каждое из рёбер остова должно быть выведено ровно один раз.

Выводить ребра можно в любом порядке. Концы ребер также можно выводить в любом порядке.

Если решений несколько, выведите любое из них.

G. Xor-матическое число графа

битмаски графы Деревья математика теория чисел *2600

Вам дан неориентированный граф, состоящий из n вершин и m ребер. На каждом ребре написано целое неотрицательное число.

Назовем тройку чисел (u, v, s) интересной, если 1 ≤ u < v ≤ n и между вершинами u и v существует путь (необязательно простой, то есть может содержать какие-то вершины и рёбра по несколько раз), такой что xor чисел, написанных на рёбрах этого пути, равен s. При вычислении значения s для какого-нибудь пути, каждое ребро участвует в xor столько раз, сколько раз оно встречает на данном пути. Нетрудно доказать, что таких троек конечное количество.

Посчитайте сумму по модулю 10⁹ + 7 значений числа s по всем интересным тройкам.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два числа n и m (1 ≤ n ≤ 100 000, 0 ≤ m ≤ 200 000) — количество вершин и рёбер в заданном графе.

Следующие m строк содержат по три целых числа u_i, v_i и t_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, 0 ≤ t_i ≤ 10¹⁸, u_i ≠ v_i) — номера вершин, которые соединяет i-е ребро, и число, написанное на этом ребре. Гарантируется, что граф не содержит петель и кратных рёбер.

Выходные данные

Выведите единственное число, равное искомой сумме по модулю 10⁹ + 7.

Примечание

В первом примере существует 6 интересных троек:

(1, 2, 1)
(1, 3, 2)
(1, 4, 3)
(2, 3, 3)
(2, 4, 2)
(3, 4, 1)

Искомая сумма равна 1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = 12.

В втором примере существует 12 интересных троек:

(1, 2, 1)
(2, 3, 2)
(1, 3, 3)
(3, 4, 4)
(2, 4, 6)
(1, 4, 7)
(1, 4, 8)
(2, 4, 9)
(3, 4, 11)
(1, 3, 12)
(2, 3, 13)
(1, 2, 14)

Искомая сумма равна 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90.

E. Подчинённые

графы жадные алгоритмы Конструктив сортировки Структуры данных *1900

В крупной компании работают n сотрудников, каждый из которых имеет уникальный номер от 1 до n. Из них ровно один сотрудник является главным, его номер равен s. Также известно, что все сотрудники, кроме главного, имеют ровно одного непосредственного начальника.

Каждому из сотрудников было поручено подать информацию о том, сколько начальников у него есть (не только непосредственных). Под начальниками сотрудника понимается его непосредственный начальник, а также непосредственный начальник непосредственного начальника данного сотрудника, и так далее. Например, если в компании три сотрудника, первый из которых главный, у второго сотрудника непосредственный начальник — первый сотрудник, а у третьего сотрудника непосредственный начальник второй сотрудник, то у третьего сотрудника всего два начальника — один непосредственный и один не непосредственный. Главный сотрудник является начальником всех сотрудников, кроме самого себя.

Некоторые из сотрудников поторопились, ошиблись в подсчете и подали неверную информацию. Перед вами стоит задача определить минимально возможное число сотрудников, которые могли допустить ошибку при подаче информации.

Входные данные

В первой строке следует два целых положительных числа n и s (1 ≤ n ≤ 2·10⁵, 1 ≤ s ≤ n) — количество сотрудников и номер главного сотрудника.

Во второй строке следует n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (0 ≤ a_i ≤ n - 1), где a_i равно количеству начальников (не обязательно непосредственных) у сотрудника i, о котором он сообщил при подаче информации.

Выходные данные

Выведите минимально возможное число сотрудников, которые могли допустить ошибку при подаче информации.

Примечание

В первом примере мог ошибиться, например, только первый сотрудник, в том случае, если:

у первого сотрудника начальником является второй сотрудник,
у третьего сотрудника начальником является первый сотрудник,
второй сотрудник является главным.

D. FreeDiv

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2200

Вася играет во FreeDiv. В этой игре он управляет огромным государством, в котором имеется n городов и m двусторонних дорог между ними. К сожалению, не из каждого города можно добраться до любого другого по этим дорогам. Поэтому Вася решил разделить государство на провинции так, что в каждой провинции из каждого города можно добраться до всех городов этой провинции, но между провинциями дорог нет.

В отличие от других пошаговых стратегий, во FreeDiv у игрока имеется возможность строить туннели между городами - двусторонние дороги, по которым можно перемещать войска незаметно для противника. Однако, в каждый город может вести не более одного туннеля. Сам Вася хочет построить сеть туннелей так, чтобы между любой парой городов его государства был путь по дорогам или туннелям, но при этом в каждую провинцию шло не более k туннелей (иначе, эту провинцию будет сложно удержать в случае захвата остальных провинций вражескими войсками).

Вася обнаружил, что, возможно, ему не удастся построить такую сеть при текущем состоянии государства. Возможно, ему придется предварительно построить несколько дорог между городами различных провинций для объединения этих провинций. Ваша задача определить, какое наименьшее количество дорог нужно построить Васе, чтобы в полученном государстве можно было построить требуемую сеть туннелей.

Входные данные

В первой строке заданы три целых числа n, m и k (1 ≤ n, k ≤ 10⁶, 0 ≤ m ≤ 10⁶). В каждой из следующих m строк содержатся два целых числа — номера городов, соединенных соответствующей дорогой. Никакая дорога не соединяет город с самим собой, между каждой парой городов есть не более одной дороги.

Выходные данные

Необходимо вывести единственное число — наименьшее количество дополнительных дорог.

Примечание

В первом примере в государстве всего одна провинция, поэтому туннелей и дополнительных дорог не требуется.

Во втором примере в государстве две провинции. Их можно соединить, например, туннелем между городами 1 и 3.

В третьем примере необходимо построить минимум одну дополнительную дорогу. Например, можно построить дорогу между городами 1 и 2, после чего соединить город 1 с городом 3, а город 2 с городом 4 туннелями.

I. Olympiad in Programming and Sport

графы дп жадные алгоритмы Потоки *2000

K. Roads Orientation Problem

графы *3200

Berland consists of n cities and m bidirectional roads connecting pairs of cities. There is no road connecting a city to itself, and between any pair of cities there is no more than one road. It is possible to reach any city from any other moving along roads.

Currently Mr. President is in the city s and his destination is the city t. He plans to move along roads from s to t (s ≠ t).

That's why Ministry of Fools and Roads has difficult days. The minister is afraid that Mr. President could get into a traffic jam or get lost. Who knows what else can happen!

To be sure that everything goes as planned, the minister decided to temporarily make all roads one-way. So each road will be oriented in one of two possible directions. The following conditions must be satisfied:

There should be no cycles along roads after orientation.
The city s should be the only such city that all its roads are oriented out (i.e. there are no ingoing roads to the city s and the city s is the only such city).
The city t should be the only such city that all its roads are oriented in (i.e. there are no outgoing roads from the city t and the city t is the only such city).

Help the minister solve his problem. Write a program to find any such orientation of all roads or report that no solution exists.

Input

Each test in this problem contains one or more test cases to solve. The first line of the input contains positive number T — the number of cases to solve.

Each case starts with a line containing four integers n, m, s and t (2 ≤ n ≤ 4·10⁵, 1 ≤ m ≤ 10⁶, 1 ≤ s, t ≤ n, s ≠ t) — the number of cities, the number of roads and indices of departure and destination cities. The cities are numbered from 1 to n.

The following m lines contain roads, one road per line. Each road is given as two integer numbers x_j, y_j (1 ≤ x_j, y_j ≤ n, x_j ≠ y_j), which means that the j-th road connects cities x_j and y_j. There is at most one road between any pair of cities. It is possible to reach any city from any other moving along roads.

The sum of values n over all cases in a test doesn't exceed 4·10⁵. The sum of values m over all cases in a test doesn't exceed 10⁶.

Output

For each case print "Yes" if the answer exists. In the following m lines print roads in the required directions. You can print roads in arbitrary order. If there are multiple answers, print any of them.

Print the only line "No" if there is no answer for a case.

C. Носки

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм *1600

Арсений уже совсем взрослый и самостоятельный. Мама решила оставить его на m дней в одиночестве и уехать отдыхать в тёплые страны. Перед этим она наготовила ему много еды, оставила достаточное количество карманных денег и постирала всю одежду.

Однако за десять минут до отъезда в тёплые страны ей пришла в голову мысль, что Арсению надо оставить точную инструкцию, какую одежду надевать в какой из дней её отсутствия. Арсений живёт в очень необычной семье, в которой вся одежда пронумерована: например, n носков Арсения имеют различными целые номера от 1 до n. Поэтому всё, что потребовалось его маме, это указать для каждого дня два числа l_i и r_i — номера носков, которые надо надеть в i-й день на левую и правую ногу соответственно (разумеется, l_i не совпадает с r_i). Каждый носок покрашен в один из k цветов.

Уже после отъезда матери Арсений заметил, что в некоторые дни в соответствии с инструкцией ему придётся надеть носки разных цветов, что, конечно, является досадной оплошностью, вызванной спешкой перед отъездом при составлении инструкции. Но Арсений находчивый мальчик, и, по счастливому совпадению, он нашёл у себя дома банки с красками всех k цветов, которые встречаются среди его носков.

Арсений собирается перекрасить некоторые носки таким образом, чтобы, следуя инструкции, оставленной его мамой, на протяжении каждого из m дней носить одноцветные носки. Арсений уже запланировал деловые встречи в каждый день отсутствия мамы, в течение которых у него не будет возможности заниматься перекраской носков, поэтому он должен определиться с цветами и провести всю работу именно сейчас.

Он хочет как можно быстрее расправиться с этой задачей, чтобы отправиться играть в недавно вышедшую суперпопулярную игру Bota-3, поэтому он просит вас помочь определить минимальное количество носков, которое ему придётся перекрасить, чтобы в каждый день надевать два одноцветных носка.

Входные данные

В первой строке находится три целых числа n, m и k (2 ≤ n ≤ 200 000, 0 ≤ m ≤ 200 000, 1 ≤ k ≤ 200 000) — количество носков, количество дней отсутствия мамы и количество доступных цветов соответственно.

Во второй строке находится n разделённых пробелами целых чисел c₁, c₂, ..., c_n (1 ≤ c_i ≤ k) — цвета носков Арсения.

В каждой из последующих m строк находится по два целых числа l_i, r_i (1 ≤ l_i, r_i ≤ n, l_i ≠ r_i) — номера носков, которые Арсений должен надеть в i-й день на левую и правую ногу соответственно.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — минимальное количество носков, которые Арсений должен перекрасить, чтобы не насмешить людей разноцветными носками ни в один из дней отсутствия мамы.

Примечание

В первом примере Арсений может, например, перекрасить первый и третий носки во второй цвет.

Во втором примере ничего перекрашивать не придётся.

F. Туристическая реформа

графы поиск в глубину и подобное *2300

Берляндия — туристическая страна! Во всяком случае, она такой может стать — уверено правительство Берляндии.

Берляндия состоит из n городов, некоторые пары которых соединены двусторонними дорогами. Каждая дорога соединяет два различных города. В Берляндии нет дорог, соединяющих одинаковую пару городов. Из любого города можно добраться до любого другого по заданным двусторонним дорогам.

В соответствии с новой реформой каждая дорога будет превращена в одностороннюю — ориентирована в одну из двух сторон.

Чтобы максимизировать туристическую привлекательность Берляндии для каждого города i после реформы будет подсчитана величина r_i — количество таких городов x, что из города i существует ориентированный путь до города x. Иными словами, r_i равно количеству городов, в которые можно добраться из города i, следуя по дорогам.

Правительство уверено, что внимание туристов будет сконцентрировано на минимальном из r_i.

Помогите правительству Берляндии провести реформу так, чтобы максимизировать минимальное из r_i.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n, m (2 ≤ n ≤ 400 000, 1 ≤ m ≤ 400 000) — количество городов и количество дорог соответственно.

Далее следуют m строк, описывающие дороги в Берляндии: j-я из них содержит два целых числа u_j и v_j (1 ≤ u_j, v_j ≤ n, u_j ≠ v_j), где u_j и v_j — номера городов, которые соединены j-й дорогой.

Считайте, что города пронумерованы от 1 до n. Гарантируется, что из любого города можно добраться до любого другого по заданным двусторонним дорогам. В Берляндии нет дорог, соединяющих одинаковую пару городов.

Выходные данные

Первая строка должна содержать одно целое число — максимальное возможное значение min_{1 ≤ i ≤ n}{r_i} после ориентации всех дорог.

Следующие m строк должны содержать описание дорог после ориентации: j-я из них должна содержать два целых числа u_j, v_j, означающих, что j-я дорога ведет из города u_j в город v_j. Дороги следует выводить в том же порядке, в котором они заданы во входных данных.

F. Недовольство автомобилистов

графы Деревья снм Структуры данных *2200

В одном королевстве имеется n городов и m двусторонних дорог. Каждая дорога соединяет пару городов, причём для каждой дороги известен уровень недовольства ею автомобилистами — величина w_i.

Для каждой дороги известна величина c_i — сколько надо потратить лямзиков, чтобы уменьшить уровень недовольства этой дорогой на единицу. Таким образом, чтобы уменьшить недовольство i-й дорогой на k, надо потратить k·c_i лямзиков. При этом допустимо, чтобы недовольство стало нулевым или даже отрицательным.

В соответствии с приказом короля, необходимо выбрать n - 1 дорогу, сделав их главными дорогами. Должно выполняться важное условие: из любого города должно быть возможно проехать в любой другой по главным дорогам.

У министерства дорог есть бюджет S лямзиков на проведение реформы. Министерство планирует потратить этот бюджет на ремонт некоторых дорог (то есть уменьшить недовольство ими), а уже затем выбрать n - 1 главную дорогу.

Помогите потратить бюджет так, а затем и произвести выбор главных дорог, чтобы суммарное недовольство главными дорогами было как можно меньше. При этом величина недовольства некоторыми дорогами может стать отрицательной. Не обязательно тратить весь бюджет S полностью.

Гарантируется, что из любого города королевства можно добраться по дорогам в любой другой город королевства. Каждая дорога в королевстве — двусторонняя.

Входные данные

В первой строке входных данных находится два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 2·10⁵, n - 1 ≤ m ≤ 2·10⁵) — количество городов и дорог в королевстве соответственно.

Во второй строке входных данных содержатся m целых чисел w₁, w₂, ..., w_m (1 ≤ w_i ≤ 10⁹), где w_i — недовольство автомобилистов i-й дорогой.

В третьей строке входных данных содержатся m целых чисел c₁, c₂, ..., c_m (1 ≤ c_i ≤ 10⁹), где c_i — стоимость в лямзиках уменьшения недовольства i-й дорогой на единицу.

В следующих m строках находятся описания дорог. В i-ой из этих строк находится пара целых чисел a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i) — означающих, что i-я дорога соединяет города a_i и b_i. Так как все дороги двусторонние, то по i-й дороге можно переместиться как из a_i в b_i, так и наоборот. Допустимо, что пара городов соединена более чем одной дорогой.

В последней строке входных данных находится одно число S (0 ≤ S ≤ 10⁹) — количество лямзиков, которые можно потратить на проведение реформы.

Выходные данные

В первой строке выведите K — минимально возможное суммарное недовольство главными дорогами.

В следующих n - 1 строках выведите по два целых числа x, v_x — означающих, что дорога x является главной, и дорога x после реформы имеет уровень недовольства v_x.

Считайте, что дороги пронумерованы от 1 до m в порядке их задания во входных данных. Номера рёбер можно выводить в произвольном порядке. Если решений несколько, выведите любое.

E. Тане - 5 лет!

графы жадные алгоритмы Паросочетания расписания *3300

Тане исполнилось 5 лет и все её друзья собрались на праздновании дня рождения. Всего, включая Таню, на празднике присутствуют n детишек.

Праздник уже подходит к концу, но напоследок запланированы игровые автоматы. В зале, где проходит праздник, есть m игровых автоматов, которые пронумерованы от 1 до m. Каждый из детей уже составил список тех автоматов, в которые он хочет поиграть. Более того, если ребенок хочет поиграть на каком-то автомате, то он знает точно, сколько ему надо времени, чтобы насладиться игрой на нём. На любом автомате единовременно может играть только один ребенок.

Так как праздник уже затянулся, то все взрослые гости уже хотят по домам. Чтобы ускорить процесс вы можете дополнительно заказывать вторые экземпляры автоматов, для того чтобы арендовать второй экземпляр автомата j надо заплатить p_j бурлей. Арендовав автомат, его можно использовать до конца праздника.

Как скоро все дети смогут поиграть в соответствии со своими пожеланиями, если у вас есть бюджет b бурлей на аренду дополнительных автоматов. Для каждого автомата в наличии есть только один запасной, так что арендовать третий экземпляр автомата нельзя.

Дети могут прерываться во время игры произвольным образом. Если i-й ребенок хочет поиграть на j-м автомате, то после аренды еще одного автомата j допустимо, что часть времени он сыграет на основном экземпляре j-го автомата, а часть — на дополнительном (причем любая из этих частей может выродиться в пустую). Переключение между автоматами может происходить мгновенно в целочисленные моменты времени. Конечно, ребенок не может играть на двух автоматах одновременно.

Помните, что цели сэкономить нет (на детях не экономят!), требуется минимизировать время окончания игры последнего из детей.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три целых числа n, m и b (1 ≤ n ≤ 40, 1 ≤ m ≤ 10, 0 ≤ b ≤ 10⁶) — количество детей на празднике, количество автоматов и бюджет на аренду дополнительных автоматов.

Вторая строка содержит m целых чисел p₁, p₂, ..., p_m (1 ≤ p_j ≤ 10⁶), где p_j — цена аренды второго экземпляра j-го автомата.

Далее входные данные содержат n строк, i-я из которых описывает пожелания i-го из детей. Строка начинается с числа k_i (0 ≤ k_i ≤ m) — количества автоматов, на которых хочет поиграть ребенок i. Далее в строке записаны k_i пар целых чисел, y-ая из которых x_iy, t_iy, обозначающих, что i-й ребенок хочет поиграть t_iy (1 ≤ t_iy ≤ 2500) минут на автомате x_iy (1 ≤ x_iy ≤ m). Для каждой из этих n строк среди значений x_iy нет одинаковых.

Выходные данные

В первую строку выведите искомое минимальное время.

Во вторую строку выведите строку из нулей и единиц длины m, j-й символ равен '1', если был арендован дубликат j-го автомата.

В третью строку выведите g (0 ≤ g ≤ 10⁶) — количество промежутков непрерывной игры всех детей. Далее в g строках выведите сами промежутки в виде четверки чисел i, j, s, d, которая обозначает, что ребенок i без перерыва играл в автомат j с момента времени s (s ≥ 0) в течение d (d ≥ 1) минут. Строки можно выводить в любом порядке.

Если ответов несколько, выведите любой из них.

B. Алёна и дерево

Бинарный поиск графы Деревья поиск в глубину и подобное Структуры данных *1900

У Алёны есть дерево из n вершин. Корень дерева — вершина с номером 1. В вершину с номером i Алёна записала положительное целое число a_i. Также, девочка записала на каждом ребре дерева какое-то положительное целое число (возможно, различные числа на различных ребрах).

Определим dist(v, u) как сумму чисел, записанных на ребрах, которые лежат на кратчайшем пути из v в u.

Вершина дерева v контролирует вершину u (v ≠ u), если u лежит в поддереве v и dist(v, u) ≤ a_u.

Девочка хочет поселиться в некоторой вершине дерева. Для этого она хотела бы знать для каждой вершины v, сколько в дереве есть вершин u таких, что вершина v контролирует вершину u.

Входные данные

В первой строке находится одно число n (1 ≤ n ≤ 2·10⁵).

Во второй строке находится n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ 10⁹) — числа, записанные в вершинах.

В следующих (n - 1)-й строке находятся по 2 числа. В i-й из этих строк находятся целые числа p_i и w_i (1 ≤ p_i ≤ n, 1 ≤ w_i ≤ 10⁹) — предок вершины (i + 1) и число, написанное на ребре от p_i к (i + 1).

Гарантируется, что заданный граф — дерево.

Выходные данные

Выведите в одной строке n чисел — i-е из этих чисел должно равняться количеству вершин, которое контролируется вершиной с номером i.

Примечание

В тесте из условия вершина 1 контролирует вершину 3, также вершина 3 контролирует вершину 5 (обратите внимание, отсюда не следует, что вершина 1 контролирует вершину 5).

C. Бильярд на шахматной доске

графы поиск в глубину и подобное снм теория чисел *2100

Ход шахматной фигуры бильярдный шар похож на ход шахматной фигуры слон, с тем лишь различием, что при столкновении с границей доски бильярдный шар может от нее отразиться и продолжить движение.

Более формально — сначала выбирается одно из четырех диагональных направлений и бильярдный шар движется в этом направлении. Попав на клетку, находящуюся на границе доски, бильярдный шар отражается от нее — изменяет направление своего движения на 90 градусов — и продолжает свое движение. В частности, попав в угловую клетку, бильярдный шар делает сразу 2 отражения и начинает двигаться в обратную сторону. В ходе своего движения бильярдный шар может сделать неограниченное число отражений. В любой клетке своей траектории шар может остановиться и на этом ход считается законченным.

$\text{[math]}$

Считается, что один бильярдный шар a бьет другой бильярдный шар b если a может сходить в ту клетку, где находится b.

Вам предлагается найти максимальное количество попарно не бьющих друг друга бильярдных шаров, которые можно разместить на шахматной доске размера n × m.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа — n и m (2 ≤ n, m ≤ 10⁶).

Выходные данные

Выведите одно число — максимальное возможное количество попарно не бьющих друг друга бильярдных шаров.

C. Ночная вечеринка Arpa и бесшумное появление Mehrdad

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2600

Заметьте, что девушки в стране Arpa действительно привлекательные.

Arpa любит ночные вечеринки. В середине одной из них неожинанно пришел Mehrdad. Он увидел n пар друзей сидящих вокруг стола. i-я пара состояла из молодого человека, сидящего на a_i-м стуле, и его девушки, сидящей на b_i-м стуле. Стулья пронумерованы от 1 до 2n по часовой стрелке. На каждом стуле сидел ровно один человек.

$\text{[math]}$

На вечеринке было два вида еды: Kooft и Zahre-mar. Сейчас Mehrdad задумался, можно ли было подать еду для гостей таким образом, что:

Каждый человек получил бы ровно один вид еды,
Ни один молодой человек не получил бы тот же вид еды, что и его девушка,
Среди каждых трех гостей, сидящих на последовательных стульях, нашлись бы два, получившие разный вид еды. Заметим, что стулья 2n и 1 также считаются последовательными.

Найдите ответ на вопрос Mehrdad. Если такое было возможно, то найдите распределение видов еды, удовлетворяющее всем условиям.

Входные данные

Первая строка содержит целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество пар гостей.

Далее следуют n строк. i-я из них содержит два целых числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ 2n) — номер стула, на котором сидел молодой человек в i-й паре и номер стула, на котором сидела его девушка. Гарантируется, что на каждом стуле сидит ровно один человек.

Выходные данные

Если решения не существует, выведите -1.

Иначе выведите n строк, i-я из них должна содержать два целых числа, описывающие виды еды, поданной для i-й пары. Первое число в этой строке это вид еды, поданной молодому человеку, а второе — тип еды, поданной его девушке. Если человеку подали Kooft, выведите 1, иначе выведите 2.

Если существует несколько решений, выведите любое из них.

D. Хлоя и приятные подарки

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *1800

Щедрые спонсоры олимпиады, в которой участвуют Хлоя и Владик, разрешили всем участникам выбрать себе приз самостоятельно. Так как близится Новый год, спонсоры решили нарядить новогоднюю елку своими призами.

Они взяли n подарков для участников и на каждом подарке написали его уникальный номер (целое число от 1 до n). Подарок с номером i характеризуется целым числом a_i — приятностью подарка. Приятность подарка может быть как положительным, так и отрицательным числом, а так же нулем. Подарок с номером 1 отправился на вершину елки. Все остальные подарки привязываются веревкой к одному из других подарков так, что каждый подарок в итоге оказывается подвешенным к первому подарку, возможно цепочкой из веревок и других подарков. Более формально, подарки формируют корневое дерево из n вершин.

Раздача подарков происходит таким образом: очередной участник подходит к елке, выбирает любой подарок из оставшихся и отрезает веревку, которой был привязан этот подарок. Обратите внимание, что все веревки, которыми другие подарки были привязаны к подарку, выбранному участником, не отрезаются. Таким образом, участник забирает выбранный подарок, а так же все множество подарков, подвешенное к нему, возможно цепочкой из веревок и других подарков.

Наши герои, Хлоя и Владик, поделили между собой на олимпиаде первое место и они, вопреки правилам раздачи подарков, будут выходить за подарком вместе! Чтобы не поссориться, они решили выбрать себе два таких различных подарка, что множества подарков, подвешенное к ним цепочкой из веревок и других подарков, не имеют пересечения. Иначе говоря, не должно быть подарка, который был бы подвешен к подарку Хлои и подарку Владика одновременно. Из всех возможных вариантов они выберут такую пару подарков, что сумма приятностей всех подарков, которые достанутся им после того, как они отрежут веревки, максимальна.

Найдите максимальную сумму приятностей, которую могут забрать себе Хлоя и Владик. Если это по каким-то причинам невозможно, выведите Impossible.

Входные данные

В первой строке входного файла записано одно целое число n (1 ≤ n ≤ 2·10⁵) — количество подарков.

В следующей строке записано n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n ( - 10⁹ ≤ a_i ≤ 10⁹) — приятности подарков.

В следующих (n - 1) строке находятся по два числа. В i-й из этих строк находятся целые числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i) — описание ребра дерева. Это означает, что подарки с номерами u_i и v_i привязаны друг к другу веревкой. Эти подарки могут идти в любом порядке: либо u_i привязан к v_i, либо v_i привязан к u_i. Гарантируется, что все подарки подвешены к первому подарку, возможно цепочкой из веревок и других подарков.

Выходные данные

Если Хлоя и Владик смогут выбрать себе подарки, не поссорившись, выведите одно число — максимальную сумму приятностей, которую они смогут забрать в таком случае.

Иначе выведите строку Impossible.

A. Коровоконг объединяет нацию

графы поиск в глубину и подобное *1500

Наконец-то Коровоконг стал правителем мира и теперь может навести в нём порядок. Для начала он хочет, чтобы людям было как можно более удобно путешествовать внутри своих стран.

Представим мир как неориентированный граф из n вершин (городов) и m рёбер (дорог). k из этих вершин являются столицами государств (по одной столице для каждой из k стран).

Любая пара вершин соединена не более чем одним ребром, и никакое ребро не соединяет вершину саму с собой. Более того, для любых двух вершин, являющихся столицами, не существует пути между этими двумя вершинами. Любой граф, удовлетворяющий всем этим условиям, называется стабильным.

Коровоконг хочет добавить в граф как можно больше рёбер, так чтобы он всё ещё оставался стабильным. Выясните, сколько рёбер он может добавить.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три числа n, m и k (1 ≤ n ≤ 1 000, 0 ≤ m ≤ 100 000, 1 ≤ k ≤ n) – количество вершин и рёбер в графе, а также количество вершин, являющихся столицами.

Во второй строке записаны k различных целых чисел c₁, c₂, ..., c_k (1 ≤ c_i ≤ n), означающих номера вершин, являющихся столицами.

В каждой из последующих m строк записаны два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n), означающих рёбра неориентированного графа.

Гарантируется, что описанный во входных данных граф является стабильным.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальное количество рёбер, которое Коровоконг может добавить в имеющийся граф, чтобы он остался стабильным.

Примечание

В первом примере граф выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$ Вершины 1 и 3 являются столицами. Оптимальным решением будет соединить вершину 4 с вершинами 1 и 2. Таким образом, в граф будут добавлены 2 новых ребра. Больше рёбер добавить нельзя, потому что между вершинами 1 и 3 не должно быть пути.

Во втором примере граф выглядит следующим образом:

$\text{[math]}$ В него нельзя добавить новые рёбра. Обратите внимание, что нельзя добавлять петли и кратные рёбра.

G. Новые дороги

графы Деревья Конструктив *2100

В Берляндии есть n городов, каждый из которых имеет свой уникальный номер — целое число от 1 до n, причём столица имеет номер 1. В Берляндии в настоящий момент совсем плохо с дорогами — их нет.

По этой причине было решено построить n - 1 дорогу так, чтобы между каждой парой городов существовал ровно один путь по дорогам.

В плане на постройку дорог было указано t чисел a₁, a₂, ..., a_t, где t равно расстоянию от столицы до самого удаленного города, если добираться до него только по новым дорогам, а a_i равно количеству городов, которые должны находиться на расстоянии i от столицы. Под расстоянием понимается количество дорог, которые нужно преодолеть на пути от одного города до другого.

Также было решено, что среди всех городов, исключая столицу, должно быть ровно k городов, к которым примыкает ровно одна дорога. Такие города являются тупиковыми и не могут быть экономически привлекательными. При подсчете таких городов столица не учитывается независимо от количества примыкающих дорог к ней.

Перед вами стоит задача предложить план постройки дорог, удовлетворяющий всем описанным условиям, либо сообщить, что это невозможно.

Входные данные

В первой строке следуют три целых положительных числа n, t и k (2 ≤ n ≤ 2·10⁵, 1 ≤ t, k < n) — расстояние до максимально удалённого города от столицы и количество городов, которые должны быть тупиковыми (столица в этом количестве не учитывается).

Во второй строке следует последовательность из t целых чисел a₁, a₂, ..., a_t (1 ≤ a_i < n), где i-е число равно количеству городов, которые должны находиться на расстоянии i от столицы. Гарантируется, что сумма всех значений a_i равна n - 1.

Выходные данные

Если построить дороги, удовлетворяющие всем условиям, невозможно, выведите -1.

В противном случае, выведите в первую строку одно целое число n — количество городов в Берляндии. В следующей n - 1 строке выведите по два целых числа — номера городов, которые соединяет очередная дорога. Каждая дорога должна быть выведена ровно один раз. Порядок вывода дорог и соединяемых дорогой городов неважен.

Если решений несколько, выведите любое. Помните, что столица имеет номер 1.

F. Санта-Клаусы и чемпионат по футболу

графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное *2300

В Древляндии n городов, соединенных между собой n - 1 дорогой так, что из каждого города можно по дорогам добраться до любого другого. В следующем году в Древляндии пройдет чемпионат по футболу среди команд, состоящих из Санта-Клаусов. Всего в чемпионате примут участие 2k команд из 2k различных городов.

На первом этапе команды разобьются на k пар, каждая пара сыграет два матча: один в городе первой команды из пары, другой — в городе второй команды из пары. Таким образом, в каждом из 2k городов участников будет проведен ровно один матч. Однако как разбить команды на пары, пока не решено.

Перед организаторами также стоит задача определить, в каких городах расселить участников на время чемпионата. Организаторы хотят поселить команды в как можно меньшее число городов, чтобы Санта-Клаусы побольше общались друг с другом и обменивались опытом.

Никакая из команд не хочет чересчур много передвигаться во время турнира, поэтому если команда будет играть в городах u и v, то жить она хочет в городе, лежащем на кратчайшем пути из u в v (в том числе, возможно, в городе u или городе v). Также команды из одной пары необходимо расселить в одном городе.

Таким образом, организаторы турнира хотят разбить 2k команд на пары и расселить участников по минимально возможному числу m городов так, чтобы команды из одной пары жили в одном городе, и чтобы для каждой команды город, в котором она будет жить во время турнира, лежал на кратчайшем пути между городами, в которых она будет играть.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа n и k (2 ≤ n ≤ 2·10⁵, 2 ≤ 2k ≤ n) — количество городов в Древляндии и количество пар команд в турнире.

Следующие n - 1 строк задают описание дорог в Древляндии, каждая из них содержит два целых числа a, b (1 ≤ a, b ≤ n, a ≠ b), что значит, что города a и b соединены очередной дорогой. Гарантируется, что из любого города можно добраться в любой другой по дорогам.

Следующая строка содержит 2k различных целых чисел c₁, c₂, ..., c_2k (1 ≤ c_i ≤ n), где c_i — город, из которого команда номер i. Все эти числа различны.

Выходные данные

В первой строке выведите целое число m — минимальное количество городов, по которым можно расселить участников.

Во второй строке выведите m различных чисел чисел d₁, d₂, ..., d_m (1 ≤ d_i ≤ n) — номера городов, в которых будут жить участники.

Далее выведите k строк. В j-й из них выведите 3 числа u_j, v_j, x_j, где u_j и v_j — города, в которых будет играть j-я пара, а x_j — номер города, в котором будут жить команды этой пары. Каждое из чисел c₁, c₂, ..., c_2k должно встретиться среди чисел u_j и v_j ровно один раз. Каждое из чисел x_j должно принадлежать множеству {d₁, d₂, ..., d_m}.

Если оптимальных ответов несколько, выведите любой из них.

Примечание

В первом тесте из условия можно расселить всех участников в один город с номером 2. Разбить на пары можно любым образом, при этом все условия всегда будут выполнены, т. к. город 2 лежит на кратчайшем пути между любой парой городов из множества {2, 4, 5, 6}.

H. Новый год и заснеженное клетчатое поле

графы интерактив поиск в глубину и подобное снм *3500

Обратите внимание на информацию о том как сбрасывать буфер вывода (делать операцию 'flush'), указанную в секции «Выходные данные».

Беарляндия представляет из себя клетчатое поле, состоящее из h строк и w столбцов. Строки пронумерованы от 1 до h сверху вниз. Столбцы пронумерованы от 1 до w слева направо. Каждая клетка является либо свободной (обозначается символом «.» во входных данных) либо постоянно заблокированной (обозначается символом «#»).

Беарляндия — холодная страна и снегопады часто затрудняют путешествия. Каждый день некоторое небольшое количество клеток оказываются временно заблокированными из-за снега. Обратите внимание, что такая блокировка клетки работает только внутри одного конкретного дня и на следующий день любые из заблокированных клеток могут оказаться свободными (если только они не будут снова временно заблокированы).

Между двумя клетками можно перемещаться напрямую, если у них есть общая сторона и ни одна из них не является ни постоянно ни временно заблокированной.

Лимак — маленький полярный медвежонок, которой живёт в Беарляндии. Его дом расположен в левой верхней клетке поля, а школа в правой нижней клетке. Каждый день Лимак ходит из дома в школу и затем возвращается обратно домой. Поскольку Лимак очень легко может заскучать, то он не хочет посещать одну и ту же клетку дважды в течение одного дня, за исключением клетки с его домом, где он начинает и заканчивает свой маршрут. Если Лимак может дойти до школы, а потом вернуться домой не посещая никакую клетку второй раз, то он называет такой день интересным.

Вам требуется последовательно обработать q дней. Для каждого из дней вам требуется проверить является ли он интересным или нет, и соответственно вывести «YES» или «NO» на отдельной строке. Описание следующего дня будет доступно только после того как выведите ответ на текущий и выполните операцию 'flush'.

Гарантируется, что если в некоторый день ни одна клетка поля не является временно заблокированной, то такой день является интересным. Также гарантируется, что клетка, в которой расположен дом Лимака, и клетка, в которой расположена школа никогда не будут заблокированы (ни постоянно, ни временно).

Входные данные

В первой строке входных данных записаны три целых числа h, w и q (2 ≤ h, w ≤ 1000, 1 ≤ q ≤ 10 000) — высота и ширина клетчатого поля, а также количество дней, которые вам следует обработать.

В следующих h строках содержится описание клетчатого поля. В i-й из них записана строка длины w, описывающая i-ю строку поля. Каждый символ строки является либо «.» (соответствует пустой клетке), либо «#» (соответствует постоянно заблокированной клетке). Гарантируется, что если в некоторый день ни одна клетка не будет временно заблокирована, то день будет для Лимака интересным.

Далее следуют описания каждого из q дней. Описание i-го дня начинается со строки, содержащий одно целое число k_i (1 ≤ k_i ≤ 10) — количества временно заблокированных в этот день клеток. В каждой из последующих k_i строк записаны два целых числа r_i, j и c_i, j (1 ≤ r_i, j ≤ h, 1 ≤ c_i, j ≤ w), означающих, что временно заблокирована клетка в строке r_i, j и столбце c_i, j. Гарантируется, что все k_i клеток являются различными и ни одна из них не является постоянно заблокированной. Также, ни одна из этих клеток не содержит дом Лимака или школу.

Выходные данные

Для каждого из q дней выведите «YES», если данный день является интересным и «NO» в противном случае. После вывода ответа не забудьте вывести символ перевода строки и сделать операцию 'flush', после чего можно будет считать описание следующего дня. Если вы ничего не выведите или забудете сделать операцию 'flush', то можете получить вердикт Idleness Limit Exceeded.

Для сброса буфера вывода (то есть для операции 'flush') сразу после вывода числа или ответа и перевода строки можно сделать:

fflush(stdout) в языке C++;
System.out.flush() в Java;
stdout.flush() в Python;
flush(output) в Pascal;
смотрите документацию для других языков.

Примечание

Первый пример состоит из 4 дней. На рисунке ниже показаны возможные маршруты Лимака из дома в школу и обратно для второго и третьего дня (на левом и правом рисунках соответственно). Постоянно заблокированные клетки закрашены красным, а временно заблокированные оранжевым. Чёрные и зелёные стрелочки показывают как Лимак будет идти в школу и обратно соответственно.

$\text{[math]}$

Ниже изображено как будет выглядеть поле в каждый из дней второго примера, здесь «#» означает постоянно или временно заблокированную клетку.

$\text{[math]}$

A. Польшар и Гипотеза

графы математика Перебор теория чисел *800

Польшар — юный, умный шар. Он заинтересовался простыми числами. Он придумал следующую гипотезу: «Существует натуральное число n такое, что для любого натурального m число n·m + 1 является простым».

К сожалению, Польшар еще неопытен и не знает, что его гипотеза неверна. Можете опровергнуть ее? Напишите программу, которая найдет контрпример для любого n.

Входные данные

Ввод состоит из одного целого числа из гипотезы Польшара n (1 ≤ n ≤ 1000).

Выходные данные

Выведите такое m, что n·m + 1 не является простым. Ваш ответ будет считаться правильным, если вы выведете любое подходящее m такое, что 1 ≤ m ≤ 10³. Гарантируется, что ответ существует.

Примечание

Натуральное число большее 1 называется простым, если у него нет натуральных делителей кроме 1 и его самого.

В первом примере 3·1 + 1 = 4. Можно вывести 1.

Во втором примере 4·1 + 1 = 5. Вывести 1 нельзя, т. к. 5 — простое. Однако, m = 2 подойдет, т. к. 4·2 + 1 = 9, что не является простым числом.

C. Польшар и Лес

графы Деревья интерактив поиск в глубину и подобное снм *1300

Польшар и его семья живут в лесу. Лес состоит из деревьев. Деревом называется неориентированный ациклический граф с k вершинами и k - 1 ребрами, где k — некоторое целое число. Заметьте, что изолированная вершина является корректным деревом.

В каждой вершине каждого дерева живет ровно один родственник, они пронумерованы от 1 до n. Для каждого шара i нам известен номер самого дальнего от него родственника, живущего на том же дереве. Если существует несколько таких родственников, нам известен лишь наименьший номер среди них.

Сколько же деревьев в лесу?

Входные данные

Первая строка содержит единственное целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁴) — число шаров, живущих в лесу.

Вторая строка содержит последовательность целых чисел p₁, p₂, ..., p_n длины n (1 ≤ p_i ≤ n), где p_i означает номер самого дальнего от шара i родственника, живущего на том же дереве. Если существует несколько самых дальних родственников живущих на том же дереве, то p_i — это номер того среди них, который имеет наименьший номер.

Гарантируется, что последовательность p соответствует некоторому корректному лесу.

Взломы: Чтобы взломать кого-либо, вы должны предоставить в качестве теста корректный лес. По этому лесу будет вычислена последовательность p и подана на ввод взламываемому решению. Используйте следующий формат:

В первой строке выведите целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁴) — число шаров, и целое число m (0 ≤ m < n) — число ребер в лесу. Далее, выведите m строк. Строка i должна содержать два целых числа a_i и b_i, отражающих наличие ребра между вершинами, в которых живут родственники a_i и b_i. Например, первый тест из условия должен быть выведен так:

Выходные данные

Выведите число деревьев в лесу, где живет Польшар.

Протокол взаимодействия

Технически данная задача является интерактивной. Однако, это никак не влияет на вас (кроме взломов), т. к. никакого взаимодействия нет.

Примечание

В первом примере лес выглядит так: 1-2 3-4-5.

Всего здесь 2 дерева.

Во втором примере единственный возможный граф это одна вершина и ни одного ребра. Поэтому здесь всего одно дерево.

E. Польшар и Бело-красный граф

графы Конструктив кратчайшие пути *2400

У Польшара есть неориентированный простой граф из n вершин. К сожалению, в графе нет ребер, и граф очень расстроен этим. Польшар хочет сделать его счастливее, добавив несколько красных ребер. Затем он добавит белые ребра на каждое оставшееся место. В итоге граф будет полным графом из красных и белых ребер.

Красочностью графа называют величину min(d_r, d_w), где d_r — диаметр красного подграфа, а d_w — диаметр белого подграфа. Диаметр графа — это максимальное натуральное число d такое, что длина кратчайшего пути между некоторой парой вершин равна d. Если граф несвязен, мы будем считать его диаметр равным -1.

Польшар хочет, чтобы его граф был как можно более изящен. А именно, он хочет, чтобы красочность графа была равна k. Можете помочь ему и найти любой граф, удовлетворяющий запросам Польшара?

Входные данные

В единственной строке находятся два числа n и k (2 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ k ≤ 1000) — размер графа и искомая красочность.

Выходные данные

Если подходящих графов не существует, выведите -1.

Иначе, выведите любой граф, удовлетворяющий требованиям Польшара. Сначала выведите m — число красных ребер в графе. Затем, выведите m строк, каждая из которых содержит два числа a_i и b_i, (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i) которые означают, что в графе есть красное ребро между вершинами a_i и b_i. Каждое красное ребро должно быть выведено один раз, порядок вывода ребер и вершин в ребре не важен.

Помните, что граф Польшара должен остаться простым, а значит, петли и кратные ребра запрещены.

Примечание

В первом примере не существует подходящего графа.

Во втором примере, красный подграф представляет собой путь между вершинами 1 и 5. Его диаметр равен 4. Однако, диаметр белого подграфа равен 2, т. к. он содержит ребра 1-3, 1-4, 1-5, 2-4, 2-5, 3-5.

F. Команда Р снова на высоте!

графы кратчайшие пути Структуры данных *2800

Сейчас новый год, поэтому Баш хочет подарить подарки своим друзьям. В Гималаях n городов, и m двусторонних дорог между ними. Баш живет в городе s. У Баша ровно один друг в каждом из остальных городов. Так как Баш хочет сделать сюрприз своим друзьям, он решил отправить Пикачу к каждому из своих друзей. Так как не все города достижимы из города, где живет Баш, он посылает Пикачу только тем друзьям, которые живут в достижимых городах. Также, он хочет послать их как можно раньше.

Баш нашел, какое минимальное время необходимо каждому из Пикачу, чтобы добраться до места назначения. Так как он перфекционист, он уведомил всех своих друзей о времени прибытия подарка. Все Пикачу двигаются со скоростью 1 метр в секунду. Друзья Баша будут расстроены, если подарки задержаться. К сожалению, команда Р на свободе и знает о плане Баша. Они хотят максимизировать число друзей Баша, которые расстроятся.

Они планируют разрушить ровно один из n - 1 городов, в которых живут друзья. Друг, которых жил в этом городе, умирает, поэтому он тоже расстраивается.

Заметьте, что если город разрушен, то все дороги, ведущие в этот город, также разрушены, поэтому некоторым Пикачу может потребоваться выбрать другой, более длинный путь.

Также заметьте, что только те друзья, которые ждут подарка, могут считаться расстроенными, даже если они умирают.

Так как Баш — уже легенда, помогите в этот раз команде Р и найдите максимальное возможное число друзей, которые будут расстроены, если разрушен ровно один город.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа n, m и s (2 ≤ n ≤ 2·10⁵, $\text{[math]}$ , 1 ≤ s ≤ n) — число городов, число дорог в Гималаях и город, в котором живет Баш.

Каждая из следующих m строк содержит три целых числа u, v и w (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v, 1 ≤ w ≤ 10⁹), означающих, что существует дорога между городами u и v длины w метров.

Гарантируется, что не существует дороги, которая соединяет один и тот же город, а также, не существует нескольких дорог между одной и той же парой городов.

Выходные данные

Выведите единственное число — ответ на задачу.

Примечание

В первом примере после разрушения города 2 длина кратчайших путей между парами городов (3, 2) и (3, 4) изменится. Поэтому ответ равен 2.

G. Может ли Баш выйти из положения?

графы Деревья разделяй и властвуй Структуры данных *3400

Вау! Вы отлично помогли команде Р поймать всех покемонов, посланных Башем. Мяут, член частью команды Р, уже выучил человеческий язык, и теперь хочет обучиться программированию. Он согласился освободить покемонов, если Баш ответит на его вопросы.

В начале Мяут дает Башу взвешенное дерево из n вершин и последовательность a₁, a₂..., a_n, которая является перестановкой чисел 1, 2, ..., n. Теперь Мяут задает q запросов в одной из следующих форм:

1 l r v значит, что Баш должен посчитать $\text{[math]}$ , где dist(a, b) — длина кратчайшего пути от вершины a до вершины b в данном дереве.
2 x значит, что Баш должен поменять местами a_x и a_x + 1 в заданной последовательности. Новая последовательность будет использоваться для следующих запросов.

Помогите Башу ответит на запросы!

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и q (1 ≤ n ≤ 2·10⁵, 1 ≤ q ≤ 2·10⁵) — количество вершин в дереве и число запросов, соответственно.

Следующая строка содержит n целых чисел — последовательность a₁, a₂, ..., a_n, являющуюся перестановкой чисел 1, 2, ..., n.

Каждая из следующих n - 1 строк содержит три целых числа u, v, и w, означающих, что существует ребро между вершинами u и v длины w, (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v, 1 ≤ w ≤ 10⁶). Гарантируется, что заданный граф является деревом.

Далее следуют запросы. Каждый запрос записан в двух строках. В первой строке находится целое число t, обозначающее тип запроса. Следующая строка содержит описание запроса:

t = 1: Вторая строка содержит три числа a, b и c (1 ≤ a, b, c < 2³⁰), используя которые, l, r и v могут быть получены по следующей формуле:
- $\text{[math]}$ ,
- $\text{[math]}$ ,
- $\text{[math]}$ .
t = 2: Вторая строка содержит целое число a (1 ≤ a < 2³⁰), используя которое, x может быть получено по следующей формуле:
- $\text{[math]}$ .

Число ans_i равно ответу на i-й запрос, можете считать, что ans₀ = 0. Если i-й запрос имеет тип 2, то ans_i = ans_i - 1. Гарантируется, что:

для каждого запроса типа 1: 1 ≤ l ≤ r ≤ n, 1 ≤ v ≤ n,
для каждого запроса типа 2: 1 ≤ x ≤ n - 1.

Операция $\text{[math]}$ означает побитовое исключающее ИЛИ.

Выходные данные

Для каждого запроса типа 1 выведите единственное число в отдельной строке — ответ на запрос.

Примечание

В примере запросы следующие:

1 1 5 4
1 1 3 3
2 3
2 2
1 1 3 3

E. Сломанное дерево

графы Деревья дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2600

Вам дано дерево, состоящее из n вершин, пронумерованных числами от 1 до n, где вершина с номером один — корень дерева. У каждого ребра есть собственные вес w_i и прочность p_i.

Ботаник Иннокентий, единственный член жюри олимпиады по информатике, очень не любит сломанные деревья.

Дерево является сломанным, если существует такое ребро, прочность которого меньше суммы весов рёбер поддерева, в которое оно ведёт.

Разрешается уменьшать вес любого ребра на целую величину, но тогда прочность этого ребра уменьшается на ту же величину. То есть если вес ребра 10, а прочность 12, то при уменьшении веса на 7 его вес станет равным 3, а прочность станет равной 5.

Увеличивать вес ребра нельзя.

Ваша задача: уменьшая веса рёбер заданного дерева, получить дерево, которое не является сломанным, а также все рёбра в нём должны иметь положительный вес, причём суммарный вес всех рёбер должен быть наибольшим.

Очевидно, что прочность рёбер не может быть отрицательной, однако она может равняться нулю, если вес поддерева равен нулю.

Входные данные

В первой строке входных данных содержится целое число n (1 ≤ n ≤ 2·10⁵) — количество вершин в дереве.

В следующих n - 1 строках содержится описание рёбер. Каждая строка содержит четыре целых числа x, y, w, p (1 ≤ x, y ≤ n, 1 ≤ w ≤ 10⁹, 0 ≤ p ≤ 10⁹), где x и y — вершины, которые соединяет ребро (вершина под номером x — предок вершины под номером y), w и p — вес и прочность ребра соответственно. Гарантируется, что рёбра описывают дерево с корнем в вершине 1.

Выходные данные

Если из заданного дерева нельзя получить несломанное, то выведите в единственной строке -1.

Иначе, выходные данные должны содержать n строк:

В первой строке выведите число n — количество вершин в дереве.

В следующих n - 1 строках выведите описание рёбер конечного дерева. Каждая строка должна содержать четыре целых числа x, y, w, p (1 ≤ x, y ≤ n, 1 ≤ w ≤ 10⁹, 0 ≤ p ≤ 10⁹), где x и y — вершины, которые соединяет ребро (вершина под номером x — предок вершины под номером y), w и p — новые вес и прочность ребра соответственно.

Выводите рёбра в том же порядке, в каком они заданы во входных данных, то есть первые два числа каждой строки должны оставаться неизменёнными.

A. Подарок

графы Деревья снм сортировки *2200

В королевстве Олимпия находится N городов и M двусторонних дорог, каждая из которых соединяет ровно два города. Между двумя городами может быть более одной дороги. Дорога может соединять город с самим собой, образуя петлю.

Все дороги постоянно грабятся разбойниками. В последнее время разбойникам надоело тратить силы на грабеж и они обратились к могущественному и справедливому королю Олимпии с коммерческим предложением. Согласно этому предложению король должен отправить разбойникам подарок, состоящий из золотых и серебряных монет. В ответ на любезность короля разбойники прекратят грабить определенные дороги. Для каждой из дорог установлено: g_i — минимальное количество золотых и s_i — минимальное количество серебряных монет в подарке, чтобы ее грабеж закончился. То есть, если в подарке a золотых и b серебряных монет, то прекращается грабеж всех дорог, для которых g_i ≤ a и s_i ≤ b.

В казне короля нет ни одной золотой или серебряной монеты, но есть Олимпийские Тугрики. Цена одной золотой монеты в тугриках — G, а серебряной — S. Король хочет, чтобы после отправки подарка разбойникам между каждой парой городов существовал хотя бы один безопасный путь, который, возможно, проходит через другие города. Ваше задание найти минимальное количество тугриков, которую нужно потратить королю для того, чтобы получить безопасные пути между каждой парой городов в королевстве.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа N и М (2 ≤ N ≤ 200, 1 ≤ M ≤ 50 000) — количество городов и количество дорог в королевстве Олимпия. Вторая строка содержит числа G и S (1 ≤ G, S ≤ 10⁹). Последующие М строк содержат информацию о дорогах и описание предложения разбойников. В і + 2-ой строке входного файла находится четыре натуральных числа x_i, y_i, a_i, b_i, где x_i и y_i — номера городов, которые соединены і-ой дорогой (города нумеруются от 1 до N), а a_i, b_i — минимальное количество золотых и минимальное количество серебряных монет, которое нужно выслать разбойникам в подарке, чтобы і-ую дорогу прекратили грабить (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, 1 ≤ g_i, s_i ≤ 10⁹).

Выходные данные

Единственная строка должна содержать минимальное количество тугриков, которое нужно потратить королю на покупку золотых и серебряных монет, чтобы достичь своей цели. Выведите $\text{[math]}$ , в случае, если никакое количество тугриков не поможет.

E. Даша и головоломка

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *2000

После решения задачи, Даша решила отдохнуть. Она уже была готова приступить к своему любимому занятию — оригами, но вспомнила о головоломке которую не смогла решить.

$\text{[math]}$

Дерево — это неориентированный связный граф без циклов. В частности, в дереве из n вершин всегда n - 1 ребро.

Головоломка заключалась в расположении вершин в точках декартовой плоскости с целочисленными координатами, так чтобы проведенные отрезки между вершинами соединенными ребрами были параллельны осям координат. Также пересечение отрезков допускается только на их концах. Различным вершинам должны соответствовать различные точки.

Помогите Даше найти любой из искомых способов расположения вершин дерева на плоскости.

Гарантируется, что если можно расположить вершины дерева на плоскости не нарушив условия выше, то это можно сделать воспользовавшись точками с целочисленными координатами по модулю не превышающими 10¹⁸.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит одно целое число n (1 ≤ n ≤ 30) — количество вершин в дереве.

Следующие n - 1 строк содержат по два целых числа u_i, v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n), которые означают, что i-е ребро дерева соединяет вершины u_i и v_i.

Гарантируется что описанный граф является деревом.

Выходные данные

Если головоломка не имеет решения, то в единственной строке выходных данных выведите «NO».

Иначе, первая строка выходных данных должна содержать «YES». В следующих n строках должна содержаться пара чисел x_i, y_i (|x_i|, |y_i| ≤ 10¹⁸) — координаты точки соответствующей i-ой вершине дерева.

Если решений несколько, выведите любое.

Примечание

В первом примере одним из возможных размещений дерева будет следующее: $\text{[math]}$

F. Вложение дерева

графы Деревья Комбинаторика *2800

Даны два дерева (связных неориентированных графа без циклов) S и T.

Требуется посчитать количество поддеревьев (связных подграфов) дерева S, изоморфных дереву T. Так как это число может быть достаточно большим, выведите его по модулю 10⁹ + 7.

Два поддерева дерева S считаются различными, если хотя бы одна вершина S входит ровно в одно из этих поддеревьев.

Дерево G называется изоморфным дереву H, если существует биекция f из множества вершин дерева G в множество вершин дерева H, обладающая следующим свойством: если в дереве G есть ребро между вершинами A и B, то в дереве H должно быть ребро между вершинами f(A) и f(B), и наоборот — если в дереве H есть ребро между вершинами A и B, то в дереве G должно быть ребро между вершинами f^- 1(A) и f^- 1(B).

Входные данные

На первой строке записано одно целое число |S|, (1 ≤ |S| ≤ 1000) — количество вершин дерева S.

Далее на |S| - 1 строках записаны по два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ |S|), описывающие рёбра дерева S.

На следующей строке записано одно целое число |T|, (1 ≤ |T| ≤ 12) — количество вершин дерева T.

Далее на |T| - 1 строках записаны по два целых числа x_i и y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ |T|), описывающие рёбра дерева T.

Выходные данные

На единственной строке выведите одно целое число — ответ на задачу по модулю 10⁹ + 7.

A. Тимофей и береза

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное реализация снм *1600

Каждый Новый Год Тимофей и его друзья рубят в лесу дерево из n вершин и приносят его домой. Чтобы получше его украсить, они превращают его в березу. Береза — дерево из n вершин, каждая вершина i которого покрашена в какой-то цвет c_i.

Но вот настал день рождения, и мама Тимофея попросила его вынести березу. Тимофей выносит березу так: хватает за какую-то вершину, остальные вершины опускаются вниз, и дерево становится подвешенным за вершину, за которую он схватил. После этого он идет с ним на улицу и выкидывает.

Попытавшись ухватить березу, Тимофей понял, что его раздражают разноцветные переливы. Поддерево раздражает Тимофея, если в нем есть вершины разных цветов. Он хочет найти, за какую вершину ему нужно взяться, чтобы ни одно поддерево не раздражало его. При этом он не рассматривает все дерево целиком как поддерево, потому что он не видит цвет корневой вершины.

Поддерево некоторой вершины — это подграф, содержащий эту вершину и всех ее потомков.

Определите, есть ли вершина, схватившись за которую, Тимофей не будет раздражен.

Входные данные

Первая строка содержит одно натуральное число n (2 ≤ n ≤ 10⁵) — количество вершин в дереве.

Каждая из следующих n - 1 строк содержит два натуральных числа u и v (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v), означающие, что существует ребро между вершинами u и v. Гарантируется, что данный граф является деревом.

В следующей строке содержатся n натуральных чисел c₁, c₂, ..., c_n (1 ≤ c_i ≤ 10⁵), задающих цвета вершин.

Выходные данные

В первой строке выведите «NO», если Тимофей не может взять березу так, чтобы его ничто не раздражало.

В противном случае выведите «YES», а в следующей строке выведите номер вершины, за которую Тимофею нужно схватить березу. Если существует несколько ответов, выведите любой.

D. Тимофей и плоское дерево

графы Деревья кратчайшие пути Структуры данных хэши *2900

У маленького Тимофея есть большое дерево — неориентированный связный граф из n вершин, не содержащий ни одного простого цикла. Он очень любит по нему гулять. Дерево Тимофея плоское и когда он гуляет по нему, он видит всё дерево целиком. Вполне естественно, что, находясь в вершине, он видит дерево подвешенным за эту вершину.

Тимофей считает, что чем больше в дереве вершин, поддеревья которых попарно неизоморфны, тем лучше выглядит подвешенное дерево. Под поддеревом вершины подвешенного дерева он понимает подграф, состоящий из этой вершины и всех ее потомков. Помогите ему встать в такую вершину, что размер максимального подмножества вершин, поддеревья которых попарно неизоморфны при подвешивании за эту вершину, был максимально возможным.

Поддеревья вершин u и v изоморфны, если число сыновей у u и v совпадают, и можно так упорядочить сыновей, что поддерево первого сына u изоморфно поддереву первого сына v, поддерево второго сына u изоморфно поддереву второго сына v, и так далее. В частности, поддеревья, состоящие из одной вершины, всегда изоморфны друг другу.

Входные данные

В первой строке находится одно целое число n(1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество вершин в дереве.

В следующих n - 1 строках заданы по два числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ 10⁵, u_i ≠ v_i), означающие номера вершин, соединенных i-м ребром.

Гарантируется, что заданный граф является деревом.

Выходные данные

Выведите одно число — номер вершины, в которую надо встать Тимофею. Если ответов несколько, можно вывести любой.

Примечание

В первом примере можно встать в вершину 1 или вершину 3, тогда все поддеревья будут неизоморфны. Если же встать в вершину 2, то поддеревья вершин 1 и 3 будут изоморфны друг другу.

Во втором примере, если встать в вершину 1, то только поддеревья вершин 4 и 5 будут изоморфны.

В третьем примере, если встать в вершину 1, то поддеревья вершин 2, 3, 4, 6, 7 и 8 будут изоморфны друг другу. Если же встать в вершину 2, то изоморфны будут только воддеревья вершин 3, 4, 6, 7 и 8. А если, например, встать в вершину 5, то будут изоморфны поддеревья вершин 2, 3, 4, 6, 7 и 8, а также поддеревья вершин 1 и 9:


  1     9
 /\    /\
7  8  4  2

D. Махмуд и словарь

графы дп поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2000

Махмуд хочет составить новый словарь, содержащий n слов и отношения между ними. Бывает два типа отношений: синонимичность (что значит, что два слова означают одно и тоже) и антонимичность (что значит, что два слова означают противоположные вещи). Время от времени он узнает новые отношения между некоторыми словами.

Махмуд знает, что если между двумя словами есть отношение, то каждое из этих слов имеет отношения со всеми словами, которые имеют отношения к другому слову из пары. Например, если like означает то же, что и love, и love — противоположность hate, то like — тоже противоположность hate. Еще один пример: если love — противоположность hate, и hate — противоположность like, то love — то же, что и like, и так далее.

Иногда Махмуд узнает неверное отношение. Неверное отношение это такое отношение, которое делает два слова одним и тем же и противоположностями одновременно. Например, если он знает, что love — то же, что и like, и like — противоположность hate, и затем узнает, что hate — то же, что и like, то последнее отношение, конечно, неверное, потому что оно делает hate и like антонимами и синонимами одновременно.

После того, как Махмуд узнал много отношений между словами, он обеспокоился тем, что некоторые отношения могут быть неверными. Он решил рассказать о каждом отношении знакомому программисту Ехабу. Махмуд хочет знать для каждого отношения, верное оно или неверное, основываясь на отношениях, которые он узнал раньше. Если отношение неверное, то Махмуд его игнорирует и не использует его для проверки последующих отношений.

После того, как Махмуд расскажет о всех отношениях, он спросит Ехаба об отношениях между некоторыми словами, основываясь на информации, которую дал. Ехаб занят подготовкой раунда Codeforces, поэтому вы должны ему помочь.

Входные данные

В первой строке находятся три целых числа n, m и q (2 ≤ n ≤ 10⁵, 1 ≤ m, q ≤ 10⁵), где n — число слов в словаре, m — число отношений, которые узнал Махмуд, и q — число вопросов, которые Махмуд спросит после того, как расскажет о всех отношениях.

Вторая строка содержит n различных слов a₁, a₂, ..., a_n, состоящих из строчных букв латинского алфавита длиной не более 20 — слова в словаре.

Затем следуют m строк, каждая из них содержит целое число t (1 ≤ t ≤ 2), а за ним два различных слова x_i и y_i, которые встречались в словаре. Если t = 1, то x_i — синоним y_i, иначе x_i — антоним y_i.

Затем следуют q строк, каждая из них содержит два различных слова из словаря. Это те пары слов, для которых Махмуд хочет знать отношение на основе тех отношений, которые он узнал.

Все слова во входных данных состоят только из строчных букв латинского алфавита, их длина не превышает 20 символов.

Выходные данные

В начале выведите m строк, по одной на каждое отношение. Если некоторое отношение неверно (т. е. делает два слова синонимами и антонимами одновременно), выведите «NO» (без кавычек) и игнорируйте его, иначе выведите «YES» (без кавычек).

После этого выведите q строк, по одной на каждый вопрос. Если два слова синонимы, выведите 1. Если они антонимы, выведите 2. Если между ними нет отношения, выведите 3.

Обратите внимание на тесты из условия для лучшего понимания.

C. Гирлянда

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *2000

Однажды под Новый Год Диме приснилось, что ему подарили сказочную гирлянду. Гирлянда — это набор лампочек, некоторые пары которых соединены проводами. Дима запомнил, что она представляла из себя единое целое, то есть любая пара лампочек была связана некоторой последовательностью проводов. Еще он заметил, что проводов было ровно на один меньше, чем лампочек.

Необычность гирлянды состояла в том, что яркость каждой лампочки зависела от температуры этой лампочки, которая могла быть как отрицательной, так и положительной! У Димы есть два друга, и он захотел поделиться с ними сказочным подарком. Для этого он планирует разрезать два разных провода так, чтобы гирлянда распалась на три части. Дима хочет, чтобы все три части светились одинаково, то есть чтобы в каждой из них суммарная температура лампочек совпадала. Конечно же, каждая из частей должна быть непустой, то есть в ней должна быть хотя бы одна лампочка.

$\text{[math]}$

Помогите ему найти способ, как это сделать, либо определите, что такого не существует.

Осматривая гирлянду, Дима поднял ее, взяв за какую-то лампочку. Таким образом, каждая лампочка, кроме той, за которую он взял, оказалась висящей на некотором проводе. Поэтому в качестве ответа вам нужно вывести номера двух различных лампочек, что будет означать, что Диме нужно разрезать провода, за которые они подвешены. Соответственно, в ответ не может входить лампочка, за которую Дима взял гирлянду.

Входные данные

В первой строке находится целое число n (3 ≤ n ≤ 10⁶) — количество лампочек в гирлянде.

Затем следует n строк: в i-й из них находится информация об i-й лампочке, а именно, два целых числа — номер лампочки a_i, к которой она подвешена (если такой нет, то число 0), и температура t_i ( - 100 ≤ t_i ≤ 100). Лампочки пронумерованы от 1 до n.

Выходные данные

Если решения не существует, выведите ровно одно число -1.

В противном случае выведите одну строку из двух различных чисел — номеров искомых лампочек. Если правильных ответов несколько, выведите любой.

Примечание

Схема гирлянды и разрезаний к первому примеру из условия:

$\text{[math]}$

C. Цикл в лабиринте

*особая задача графы жадные алгоритмы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1700

Робот находится в прямоугольном лабиринте размера n × m. Каждая из клеток лабиринта либо пустая, либо занята препятствием. Робот может передвигаться между соседними по стороне клетками влево (символ «L»), вправо (символ «R»), вверх (символ «U») или вниз (символ «D»). Робот может переместиться в клетку, только если она пустая. Изначально робот находится в пустой клетке.

Перед вами стоит задача найти лексикографически минимальный цикл Робота длины ровно k, который начинается и заканчивается в той клетке, в которой Робот находится изначально. Роботу разрешается посещать любую клетку сколько угодно раз (включая стартовую).

Считайте, что путь Робота задаётся строкой, состоящей из символов «L», «R», «U» и «D». Например, если Робот сначала пойдёт вниз, потом влево, затем вправо и вверх, то его путь записывается как «DLRU».

В этой задаче вам не нужно минимизировать длину пути. Найдите минимальную лексикографически (в алфавитном порядке, как в словаре) строку, которая удовлетворяет требованиям выше.

Входные данные

В первой строке следуют три целых числа n, m и k (1 ≤ n, m ≤ 1000, 1 ≤ k ≤ 10⁶) — размеры лабиринта и длина цикла.

В каждой из следующих n строк следуют по m символов — описание лабиринта. Если символ равен «.», то текущая клетка пустая. Если символ равен «*», то текущая клетка занята препятствием. Если символ равен «X», то изначально Робот находится в этой клетке, и она пустая. Гарантируется, что символ «X» встречается в лабиринте ровно один раз.

Выходные данные

Выведите лексикографически минимальный путь Робота длины ровно k, который начинается и заканчивается в той клетке, в которой Робот находится изначально. Если такого пути не существует, выведите «IMPOSSIBLE» (без кавычек).

Примечание

В первом примере для Робота существует всего два циклических пути длины 2 — «UD» и «RL». Второй вариант лексикографически меньше.

Во втором примере Робот должен выполнять перемещения в следующем порядке: вниз, влево, вниз, вниз, влево, влево, влево, вправо, вправо, вправо, вверх, вверх, вправо, вверх.

В третьем примере Робот не может переместиться ни в одну из соседних клеток, так как все они заняты препятствиями.

C. Онлайн-курсы в БГУ

*особая задача графы поиск в глубину и подобное реализация *1500

В Берляндском государственном университете теперь можно учиться онлайн! Для получения диплома среди всего многообразия онлайн-курсов Поликарпу необходимо пройти k главных онлайн-курса его специальности. Всего для прохождения доступны n курсов.

Ситуация осложняется тем, что онлайн-курсы зависят друг от друга и для каждого курса есть список тех, которые необходимо обязательно пройти до начала прохождения этого онлайн-курса (список может быть пустым, что означает отсутствие таких ограничений).

Помогите Поликарпу пройти наименьшее количество курсов суммарно, чтобы получить cпециальность (то есть пройти все главные курсы и необходимые для их прохождения курсы). Напишите программу, которая выводит порядок прохождения курсов.

Поликарп проходит курсы последовательно, то есть он может приступать к прохождению следующего только после окончания предыдущего. Каждый из курсов можно проходить не более одного раза.

Входные данные

В первой строке записаны n и k (1 ≤ k ≤ n ≤ 10⁵) — количество онлайн-курсов и количество главных курсов специальности Поликарпа.

Вторая строка содержит k различных целых чисел от 1 до n — номера главных онлайн-курсов специальности Поликарпа.

Далее следует n строк, каждая из которых описывает очередной курс: i-я из них соответствует курсу i. Каждая строка начинается с целого числа t_i (0 ≤ t_i ≤ n - 1) — количества курсов, от которых зависит i-й. Далее следует последовательность из t_i различных целых чисел от 1 до n — номера курсов в произвольном порядке, от которых зависит i-й. Гарантируется, что никакой курс не может зависеть сам от себя.

Гарантируется, что сумма по всем значениям t_i не превосходит 10⁵.

Выходные данные

Выведите -1, если не существует способа получения специальности.

В противном случае в первую строку выведите целое число m — минимальное количество онлайн-курсов, которое необходимо пройти для получения специальности. Во вторую строку выведите m различных целых чисел — номера курсов, которые надо пройти, в хронологическом порядке их прохождения. Если ответов несколько разрешается вывести любой из них.

Примечание

В первом примере можно сначала пройти курсы номер 1 и 2, после чего можно будет пройти курс номер 4, а затем курс номер 5, который является главным. После этого останется пройти только курс номер 3, который является последним непройденным главным курсом.

A. Мишка и условие дружбы

Мишка Лимак исследует социальную сеть. Основная ее функциональность заключается в том, что два пользователя могут стать друзьями (в таком случае они могут обмениваться сообщениями и смешными картинками).

Сейчас в социальной сети n пользователей, они пронумерованы от 1 до n. Ровно m пар из них являются друзьями. Конечно. никакой пользователь не может быть другом с самим собой.

Пусть запись A-B означает, что пользователи A and B друзья. Лимак считает, что социальная сеть обоснована, если и только если выполняется следующее условие: для любых трех различных пользователей (X, Y, Z) если X-Y и Y-Z, то также X-Z.

Например, если Алан и Боб друзья, и Боб и Цири друзья, то Алан и Цири тоже должны быть друзьями.

Можете помочь Лимаку и проверить, что социальная сеть обоснована? Выведите «YES» или «NO» без кавычек в соответствии с результатом.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (3 ≤ n ≤ 150 000, $\text{[math]}$ ) — число пользователей сети и число пар пользователей, которые являются друзьями.

i-я из следующих m строк содержит два целых различных числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i), означающих, что a_i-й и b_i-й пользователи являются друзьями. Все пары друзей различны.

Выходные данные

Если данная социальная сеть обоснована, выведите в единственную строку «YES» (без кавычек).

Иначе выведите в единственную строку «NO» (без кавычек).

Примечание

Рисунки ниже показывают социальную сеть в первом (слева) и во втором (справа) примерах. Кружки обозначают пользователей, а линии означают, что два пользователя являются друзьями.

Во втором примере ответ «NO», потому что пользователи (2, 3) друзья, пользователи (3, 4) тоже друзья, а пользователи (2, 4) — нет.

$\text{[math]}$

C. Возмутительный Контраст

графы дп Конструктив математика теория чисел *2300

Вам дано целое число m, а также список из n различных целых чисел от 0 до m - 1.

Вы хотите построить последовательность, удовлетворяющую следующим требованиям:

Каждый элемент последовательности — целое число от 0 до m - 1, включительно.
Все префиксные произведения (то есть, произведения положительного числа первых элементов последовательности) различны по модулю m.
Никакое префиксное произведение по модулю m не является элементом заданного списка.
Длина последовательности максимально возможна.

Постройте любую последовательность, удовлетворяющую описанным свойствам.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (0 ≤ n < m ≤ 200 000) — число элементов в заданном списке и модуль, соответственно.

Если n ненулевое, то следующая строка содержит n различных целых чисел от 0 до m - 1 — запрещенные префиксные произведения. Если n равно нулю, то второй строки нет.

Выходные данные

В первой строке выведите число k — длину построенной последовательности.

Во второй строке выведите k целых чисел — вашу последовательность.

Примечание

В первом примере префиксные произведения построенной последовательности по модулю m равны [1, 2, 3, 4, 0].

Во втором примере префиксные произведения построенной последовательности по модулю m равны [3, 7, 4, 6, 8, 0].

D. Тленные дороги

графы дп кратчайшие пути *2700

В стране Невер n городов и очень хорошо развитая дорожная сеть. Между каждой парой городов есть ровно одна двусторонняя дорога, таким образом, всего в Невере целых $\text{[math]}$ дорог! При этом никакая дорога не пересекается ни с какой другой дорогой и не проходит через промежуточные города. Что-что, а туннели и мосты в Невере строить умели.

Независимая комиссия оценила каждую дорогу Невера положительным целым числом, называемым тленностью дороги. Чем ниже тленность, тем приятнее по дороге ехать.

В рамках года транспорта в Невере было решено построить музей транспорта в одном из городов страны, а в каждом другом городе установить ровно один указатель на некоторый город (не обязательно тот, в котором находится музей). Указатели должны удовлетворять следующему важному требованию: если любой неверец, живущий в городе без музея, отправится из своего родного города по указателям, то рано или поздно обязательно приедет в город с музеем.

Неверцы — невероятно положительно настроенные люди. Если неверец отправился по маршруту, состоящему из нескольких дорог, то тленностью маршрута неверец считает минимальную из тленностей дорог в этом маршруте.

Руководство Невера еще не приняло окончательное решение относительно города, в котором следует построить музей, и рассматривает все n возможных вариантов. Принципиальное значение имеет сумма тленностей маршрутов до города с музеем из всех остальных городов страны, если путники будут строго следовать установленным указателям. Руководство Невера заботится о своих жителях, поэтому они хотели бы направить указатели таким образом, чтобы минимизировать эту сумму. Помогите им определить минимальное возможное её значение при всех n вариантах строительства музея.

Входные данные

В первой строке содержится число n (2 ≤ n ≤ 2000) — количество городов в Невере.

Следующие n - 1 строк содержат описание дорожной сети. i-я из этих строк содержит n - i целых чисел. j-е число в i-й строке обозначает тленность дороги между городами i и i + j.

Все тленности дорог находятся в диапазоне от 1 до 10⁹, включительно.

Выходные данные

Для каждого города в порядке от 1 до n выведите минимальную возможную сумму тленностей маршрутов до данного города из всех остальных городов при оптимальной установке указателей.

Примечание

Первый пример пояснен рисунком ниже. Слева направо изображены исходная дорожная сеть и оптимальные расстановки указателей при строительстве музея в городах 1, 2 и 3, соответственно. Синим цветом обозначен город с музеем, зеленым — направление указателя в каждом другом городе.

Например, при строительстве музея в городе 3 следует направить указатель в городе 1 на город 3, а указатель в городе 2 — на город 1. Тогда маршрут из города 1 до города 3 будет иметь тленность 2, а маршрут из города 2 до города 3 — тленность 1. Сумма тленностей данных маршрутов составит 3.

$\text{[math]}$

D. Задача о дверях

2-sat графы поиск в глубину и подобное снм *2000

Мориарти поймал n человек в n различных комнатах гостиницы. Двери в некоторые комнаты заперты, в остальные открыты. Однако, существует условие, что люди могут спастись только когда все двери будут открыты одновременно. Есть m переключателей. Каждый переключатель контролирует двери в некоторые комнаты, однако, каждая дверь контролируется ровно двумя переключателями.

Вам дано изначальное положение каждой двери. При изменении положения любого переключателя, то есть при включении его, когда он выключен, или выключении, когда он включен, меняется положение каждой двери, которые контролирует этот переключатель. Например, мы изменили положение переключателя 1, который подключен к дверям 1, 2, и 3, которые были в состояниях заперто, открыто и открыто. Тогда их состояния изменятся на открыто, закрыто и закрыто, соответственно.

Ваша задача сказать Шерлоку, существует ли способ открыть все двери одновременно.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 10⁵, 2 ≤ m ≤ 10⁵) — число комнат и число переключателей.

Следующая строка содержит n целых чисел r₁, r₂, ..., r_n (0 ≤ r_i ≤ 1) — изначальные состояния дверей. Комната i заперта, если r_i = 0, иначе она открыта.

i-я из следующих m строк содержит целое число x_i (0 ≤ x_i ≤ n), а затем x_i различных целых чисел — количество комнат, контролируемых i-м переключателем, а затем номера этих комнат. Гарантируется, что номера комнат — различные целые числа от 1 до n. Гарантируется, что каждая дверь контролируется ровно двумя переключателями.

Выходные данные

Выведите "YES" без кавычек, если возможно открыть все двери одновременно, иначе выведите "NO" без кавычек.

Примечание

Во втором примере изначальные состояния дверей равны [1, 0, 1] (0 — закрыта, 1 — открыта).

После переключения переключателя 3, мы получаем [0, 0, 0], что значит, что все двери закрыты.

Затем, после переключения переключателя 1, мы получим [1, 1, 1], что значит, что все двери открыты.

Можно показать, что в первом и третьем примере невозможно открыть все двери одновременно.

F. Пари Шерлока и Мориарти

геометрия графы Деревья Конструктив разделяй и властвуй реализация Структуры данных *2800

Шерлок и Мориарти встретились для финальной битвы умов. Шерлок дал Мориарти правильный выпуклый n-угольник. Кроме того, он дал ему некоторые диагонали в этом многоугольнике, которые разделяют его на регионы. Гарантируется, что диагонали не пересекаются во внутренних точках.

Шерлок посчитал для каждого региона его важность. Важность региона, образованного вершинами многоугольника с номерами a₁, a₂, ... , a_x, равна 2^a₁ + 2^a₂ + ... + 2^a_x. Затем Шерлок упорядочил регионы в порядке увеличения важности. После этого он присвоил каждому региону уникальный номер от 1 до k, где k — количество регионов, а номер региона это его позиция в упорядоченном по важности списке.

Шерлок хочет, чтобы Мориарти раскрасил регионы, используя не более чем 20 цветов так, чтобы все простые пути между двумя одноцветными регионами проходили через хотя бы один регион, покрашенный в цвет с номером меньше, чем номер цвета данных регионов. Простой путь между двумя регионами f и h это последовательность регионов r₁, r₂, ... r_t такая, что r₁ = f, r_t = h, для каждого 1 ≤ i < t регионы r_i и r_i + 1 имеют общую сторону, а также r_i = r_j если и только если i = j.

Мориарти не смог ответить и спросил решение у Шерлока. Помогите Шерлоку предоставить ответ Мориарти.

Входные данные

В первой строке содержатся два целых числа n и m (3 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ m ≤ n - 3) — количество вершин в многоугольнике и количество проведенных диагоналей.

Следующие m строк содержат по два целых числа a и b (1 ≤ a, b ≤ n), которые описывают диагональ между вершинами a и b. Гарантируется, что заданы корректные диагонали, то есть a и b не совпадают и не являются соседними вершинами. Гарантируется, что диагонали не пересекаются.

Выходные данные

Пусть число регионов равно k.

Выведите k целых чисел, каждое от 1 до 20 — цвета регионов в порядке увеличения важности.

Если существует несколько решение, выведите любое из них. Можно показать, что существует хотя бы одно решение.

Примечание

Во втором примере регионы будут в таком порядке: (1, 2, 3), (1, 3, 4), (1, 4, 5), (1, 5, 6), т. е. регион (1, 2, 3) будет первым, затем регион (1, 3, 4) и так далее.

Мы можем покрасить регионы 1 и 3 в один цвет, так как регион 2 будет на пути из 1 в 3, и его цвет равен 1, что меньше, чем цвет регионов 1 и 3, который равен 2.

E. Эвакуация

графы кратчайшие пути Потоки *2300

Опять они там что-то напортачили... В одном из ядерных реакторов исследовательской станции идет неуправляемая реакция и скоро произойдет взрыв, который уничтожит всю станцию.

Станция представляет собой квадрат n × n разбитый на блоки 1 × 1. Каждый блок является или реактором или лабораторией. Реакторов может быть несколько и ровно один из них собирается взорваться. Реакторы можно считать непроходимыми блоками, по лабораториям же можно перемещаться. Между любыми двумя лабораториями, которые находятся в соседних блоках, имеется коридор. Блоки считаются соседними, если имеют общее ребро.

В каждой из лабораторий имеется некоторое количество ученых и некоторое количество спасательных капсул. Как только ученый залезает в капсулу, он считается спасенным. В каждую капсулу помещается не более одного ученого.

Реактор, который скоро взорвется, поврежден и из него вытекает токсичная охлаждающая жидкость в соседние блоки. Блок, в котором расположен этот реактор, считается зараженным. Каждую минуту охлаждающая жидкость растекается по лабораториям через коридоры. Если в какую-то минуту один из блоков заражен, то на следующую минуту все соседние лаборатории также оказываются заражены. Как только лаборатория оказывается заражена, все ученые в ней, которые находятся не в спасательных капсулах, погибают. Через блоки с реакторами охлаждающая жидкость не распространяется.

До взрыва осталось ровно t минут. Любой ученый за одну минуту может переместиться по коридору в соседнюю лабораторию, если она не заражена. По любому коридору одновременно могут перемещаться неограниченное количество ученых в обоих направлениях. Считается, что ученые внутри лаборатории перемещается без затрат времени. Кроме того, любой ученый может залезть в спасательную капсулу мгновенно. Также считается, что любой ученый в данную минуту всегда успевает сделать свои действия (переместиться из данной лаборатории в соседнюю или залезть в спасательную капсулу) до того, как лаборатория окажется заражена.

Определите максимальное количество ученых, которым удастся спастись.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа n и t (2 ≤ n ≤ 10, 1 ≤ t ≤ 60). В каждой из последующих n строк находится по n символов — описание расположения ученых. Затем идет ровно одна пустая строка. После этого идет еще n строк по n символов в каждой — описание расположения спасательных капсул.

В описаниях расположения ученых и спасательных капсул символ «Y» означает исправно работающий реактор, «Z» — поврежденный реактор. Расположения реакторов в обоих описаниях совпадают. На станции имеется ровно один поврежденный реактор. Символами «0» - «9» обозначаются лаборатории. В описании расположения ученых эти символы обозначают количество ученых в соответствующих лабораториях. В описании спасательных капсул — количество этих капсул в каждой из лабораторий.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальное количество ученых, которым удастся спастись.

Примечание

Во втором примере события могли происходить следующим образом:

$\text{[math]}$

C. Андрюша и разноцветные шарики

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *1600

Андрюша каждый день с самого детства ходит через городской парк. Дорожки и полянки парка все время казались ему слишком одинаковыми, и однажды он решил украсить их и сделать разнообразными.

Парк состоит из n полянок, которые соединены между собой (n - 1) двусторонними дорожками, причем от каждой полянки можно дойти по дорожкам до любой другой. Андрюша решил на каждой полянке повесить один цветной шарик. Цвета шариков задаются целыми положительными числами, начиная с 1. Чтобы парк стал более разнообразным, Андрюша решил выбирать цвета шариков по-особенному. А именно, он хочет развесить шарики так, чтобы для любых трех попарно различных полянок a, b и c таких, что a и b соединены дорожкой, и b и c соединены дорожкой, цвета шариков на этих полянках были попарно различными.

Чтобы не тратить много денег на покупку шариков, Андрюша хочет использовать как можно меньше различных цветов. Так как Андрюша не очень силен в программировании, он просит вас помочь ему решить эту задачу.

Входные данные

В первой строке находится одно целое число n (3 ≤ n ≤ 2·10⁵) — число полянок в парке.

В каждой из следующих (n - 1) строк находятся два целых числа x и y (1 ≤ x, y ≤ n) — номера двух полянок, соединенных очередной дорожкой.

Гарантируется, что от любой полянки можно добраться до любой другой по дорожкам.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число k — минимальное количество цветов, которое необходимо использовать Андрюше.

Во второй строке выведите n целых чисел, i-е из которых равняется цвету шарика, который нужно повесить на i-й полянке. Каждое из чисел должно быть в пределах от 1 до k.

Примечание

В первом примере из условия парк состоит из трех полянок, которые последовательно соединены: 1 → 3 → 2. Значит, цвета шариков на каждой полянке должны быть попарно различны.

$\text{[math]}$ Иллюстрация к первому примеру.

Во втором примере в парке можно найти следующие тройки полянок, соединенных последовательно:

1 → 3 → 2
1 → 3 → 4
1 → 3 → 5
2 → 3 → 4
2 → 3 → 5
4 → 3 → 5

Отсюда мы видим, что каждая пара полянок лежит в какой-нибудь тройке, а значит цвета шариков на всех полянках должны быть попарно различны. $\text{[math]}$ Иллюстрация ко второму примеру.

В третьем примере есть следующие тройки:

1 → 2 → 3
2 → 3 → 4
3 → 4 → 5

Это значит, что одного или двух цветов недостаточно, а для трех цветов ответ существует и приведен в примере. $\text{[math]}$ Иллюстрация к третьему примеру.

D. Иннокентий и футбольная лига

2-sat графы жадные алгоритмы кратчайшие пути реализация Строки *1900

Иннокентий — президент только что созданной футбольной лиги в Байтландии. Первая задача, которая стоит перед ним — обеспечить трансляцию всех матчей лиги по телевидению. Как вы, возможно, знаете, во время футбольного матча на экране отображаются сокращенные названия команд и текущий счет. Конечно, будет странно, если сокращенные названия клубов соперников совпадут, поэтому Иннокентий должен придумать. как сократить название каждого из клубов лиги до трех букв так, чтобы у всех команд лиги были разные названия.

Название каждого клуба состоит из двух слов: названия команды и города, в котором располагается клуб, например, «DINAMO BYTECITY». Иннокентий не хочет сильно искажать название, поэтому он хочет выбрать сокращенное название для каждого из клубов таким образом, чтобы:

либо сокращенное название клуба совпадало с первыми тремя буквами названия команды, например, для вышеприведенный команды это «DIN»,
либо первые две буквы сокращенного названия клуба совпадали с первыми двумя буквами названия команды, а третья — с первой буквой города команды. Например, для вышеприведенный команды это «DIB».

Кроме этого, если для какой-то команды x выбран второй вариант названия, то не должно быть команды, у которой выбран первый вариант сокращенного названия, совпадающий с первым вариантом названия команды x. Например, если сокращенное название вышеприведенной команды это «DIB», то никакая команда, у которой выбран первый вариант сокращенного названия, не должна иметь сокращенного названия «DIN». При этом возможно, что какая-то команда получит название «DIN», где «DI» — первые две буквы названия команды, а «N» — первая буква города. Конечно, никакие две команды не должны иметь одинакового сокращенного названия.

Помогите Иннокентию выбрать сокращенное название для каждой из команд. Если это невозможно, сообщите об этом. Если возможных ответов несколько, Иннокентия устроит любой из них. Если для некоторой команды совпадают оба варианта сокращенного названия, то Иннокентий все равно будет формально считать, что выбран только один из этих вариантов.

Входные данные

В первой строке находится единственное целое число n (1 ≤ n ≤ 1000) — число футбольных клубов в лиге.

В каждой из следующих n строк находятся два слова — название команды и название города очередного клуба. И название команды, и название города состоят из заглавных букв латинского алфавита и имеют длину не менее 3 и не более 20.

Выходные данные

Если выбрать сокращенные названия, удовлетворив требованиям Иннокентия, невозможно, выведите единственную строку «NO».

Иначе в первую строку выведите «YES». Далее выведите n строк, в каждой строке выведите выведите сокращенное название очередного клуба. Выводите клубы в том же порядке, в каком они заданы во входных данных.

Если возможных ответов несколько, выведите любой.

Примечание

В первом примере можно выбрать первый вариант названия для обеих команд.

Во втором примере невозможно подобрать названия, т. к. по условию нельзя у одной команды выбрать первый вариант названия, а у второй выбрать второй вариант названия, если первые варианты названий у этих команд совпадают.

В третьем примере можно выбрать вторые варианты названий у первых двух команд, и первый вариант — у третьей команды.

В четвертом примере обратите внимание на то, что разрешается, чтобы выбранное название некоторой команды x совпадало с первым вариантом названия y, если первый вариант названия x не совпадает с первым вариантом названия y.

E. Подземная лаборатория

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2100

В огромной подземной лаборатории злая корпорация Зонтик создает клонов для своих страшных экспериментов. Однажды компания клонировала мальчика по имени Андрюша, который был умнее своих сверстников. Андрюша понял, что вокруг творится что-то неладное. Он поднял клонов на борьбу против корпорации, и те начали искать выход из лаборатории. Компании ничего не оставалось, кроме как запустить процесс самоуничтожения подземного комплекса.

Лаборатория представляет собой связный граф из n вершин и m ребер. В некоторых вершинах этого графа k клонов Андрюши начинают поиск выхода из лаборатории. В процессе поиска каждую секунду они переходят по ребру в соседнюю вершину, причем в каждой вершине может одновременно находиться сколько угодно клонов. Каждый клон может в некоторый момент времени остановиться и прекратить поиски, но он обязательно должен их начать, то есть посетить хотя бы одну вершину. Более того, выход может находиться в произвольном месте лаборатории, поэтому клоны должны обойти граф целиком, то есть каждая вершина графа должна быть посещена хотя бы одним клоном хотя бы один раз.

Время клонов ограничено, и каждый из них сможет обойти не более $\text{[math]}$ комнат до того, как лаборатория взорвется.

Ваша задача заключается в том, чтобы расставить клонов по вершинам графа и для каждого клона вывести путь, по которому он должен обходить граф. При этом количество вершин в каждом пути должно быть не больше $\text{[math]}$ .

Входные данные

В первой строке находятся три целых числа n, m и k (1 ≤ n ≤ 2·10⁵, n - 1 ≤ m ≤ 2·10⁵, 1 ≤ k ≤ n) — число вершин в графе, число ребер в графе и количество клонов.

В каждой из следующих m строк находятся два целых числа x_i и y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n) — номера двух вершин, соединенных очередным ребром. В графе могут быть петли и кратные ребра.

Гарантируется, что граф связный.

Выходные данные

Выведите k строк. В начале i-й строки выведите целое число c_i ( $\text{[math]}$ ) — количество вершин, которые посетит i-й клон, а затем выведите c_i целых чисел — номера вершин, которые он посетит, в порядке их посещения. Выводите вершину каждый раз, когда клон ее посещает, даже если он посещал ее до этого.

Гарантируется, что ответ существует.

Примечание

В первом тесте есть всего 1 клон, он посещает вершины в порядке (2, 1, 3), что укладывается в ограничение 6 посещенных вершин.

Во втором тесте есть 2 клона, они посещают вершины в порядке (2, 1, 3) и (4, 1, 5), что укладывается в ограничение 5 посещенных вершин.

F. Аксель и Марстон в Битландии

битмаски графы дп матрицы *2400

Два друга Аксель и Марстон вместе путешествуют по Битландии. В Битландии n городов, некоторые пары из которых соединены однонаправленными дорогами. Дороги в Битландии бывают пешеходные и велосипедные. В Битландии может быть несколько дорог между каждой парой городов, и бывают даже дороги из города в него же. Однако, никакие две дороги в Битландии не могут иметь одинаковые начало, конец и тип одновременно.

Друзья находятся в городе 1 и хотят составить маршрут путешествия. Аксель любит ходить пешком, а Марстон предпочитает велосипед. Чтобы маршрут получился разнообразным и интересным для каждого из друзей, они выбирают порядок чередования типов пройденных дорог следующим образом:

Маршрут начинается с пешеходной дороги.
Пусть известное начало маршрута записано в виде строки s из букв П (пешеходная дорога) и В (велосипедная дорога). Тогда к маршруту s дописывается строка $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ означает строку s, в которой тип каждой дороги заменен на противоположный (все пешеходные дороги на велосипедные, и наоборот).

Первые несколько шагов построения маршрута будут выглядеть так: П, ПВ, ПВВП, ПВВПВППВ, ПВВПВППВВППВПВВП, и так далее.

Далее, друзья начинают движение в городе 1 по дорогам Битландии, каждый раз выбирая тип очередной дороги в соответствии с очередным символом маршрута. Если же подходящую дорогу выбрать не удается, друзья заканчивают свое путешествие и летят домой.

Помогите друзьям определить максимально возможную продолжительность своего путешествия, если они будут следовать построенной последовательности типов дорог. Если друзья могут найти путь, состоящий более, чем из 10¹⁸ дорог, вместо длины выведите -1.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ m ≤ 2n²) — количество городов и дорог в Битландии соответственно.

Следующие m строк описывают дороги. В i-ой из этих строк записано три целых числа v_i, u_i и t_i (1 ≤ v_i, u_i ≤ n, 0 ≤ t_i ≤ 1), где v_i и u_i — номера городов, являющихся началом и концом i-ой дороги, а t_i задает тип i-ой дороги (0 — пешеходная дорога, 1 — велосипедная дорога). Гарантируется, что для каждой пары различных чисел i, j, таких что 1 ≤ i, j ≤ m, либо v_i ≠ v_j, либо u_i ≠ u_j, либо t_i ≠ t_j.

Выходные данные

Если друзья могут найти подходящий путь длины строго большей, чем 10¹⁸, выведите одно число -1. В противном случае выведите максимальную длину подходящего пути, то есть наибольшее количество дорог, которое могут пройти друзья.

Примечание

В первом примере путь длины 3 можно получить, пройдя один раз по дороге 1 из города 1 в город 2, после чего дважды по дороге 2 из города 2 в него же.

Во втором примере мы можем получить путь сколь угодно большой длины, сперва пройдя по дороге 1, а после этого выбирая дорогу 2 или 3 в зависимости от очередного типа дороги.

B. Наследство

графы кратчайшие пути Структуры данных *2300

Рик и его коллеги сделали новую радиактивную формулу, и она понадобилась многим плохим парням. Поэтому Рик хочет оставить свое наследство Морти до того, как плохие парни поймают его.

Всего есть n планет в их вселенной, пронумерованных от 1 до n. Рик находится на планете номер s (планетя Земля) и он не знает, где сейчас Морти. Всё, что мы знаем, что Рику принадлежит портальное оружие. С помощью этой пушки он может открыть односторонний портал с одной планеты на любую другую (включая эту планету). Но у этого оружия есть ограничения, потому что он все еще использует бесплатную версию.

$\text{[math]}$

По умолчанию он не может открыть любой портал этим оружием. Всего есть q планов на сайте, который продает это оружие. Каждый раз, когда происходит покупка плана, его можно использовать только один раз. Но можно покупать один и тот же план произвольное количество раз.

Планы на сайте имеют три типа:

С планом этого типа вы можете открыть портал с планеты v до планеты u.
С планом этого типа вы можете открыть портал с планеты v до любой планеты с номером из диапазона [l, r].
С планом этого типа вы можете открыть портал с любой планеты с номером из диапазона [l, r] до планеты v.

Рик не знает, где находится Морти, но Юнити собирается проинформировать его, и он хочет быть готовым к тому, чтобы начать свое путешествие немедленно. Поэтому для каждой планеты (включая Землю) он хочет знать минимальное количество денег, которое ему необходимо чтобы добраться от Земли до этой планеты.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит три целых числа n, q и s (1 ≤ n, q ≤ 10⁵, 1 ≤ s ≤ n) — количество планет, количество планов и номер планеты Земля соответственно.

Следующие q строк содержат планы. Каждая строка начинается целым числом t — тип плана (1 ≤ t ≤ 3). Если t = 1, тогда далее следуют три числа v, u и w, где w — стоимость плана (1 ≤ v, u ≤ n, 1 ≤ w ≤ 10⁹). Иначе следуют четыре числа v, l, r и w, где w — стоимость плана (1 ≤ v ≤ n, 1 ≤ l ≤ r ≤ n, 1 ≤ w ≤ 10⁹).

Выходные данные

В первой и единственной строке выведите n целых чисел разделенных пробелами. i-е из них должно быть равно минимальному количеству денег, необходимых, чтобы добраться с планеты Земля до i-й планеты, или - 1, если невозможно добраться до этой планеты.

Примечание

В первом тестовом примере, Рик покупает 4-й план единожды, далее 2-й план, чтобы добраться до планеты номер 2.

E. Альт

графы Деревья Потоки Структуры данных *3200

Альт — планета в галактике «Энкор». Люди управляют этой планетой, но по некоторым причинам здесь нет собак, на их планете. Поэтому люди в депрессии и грустят. Рик и Морти вселенские филантрописты и они хотят сделать людей на планете Альт счастливыми.

Альт имеет n городов пронумерованных от 1 до n и n - 1 двунаправленных дорог, пронумерованных от 1 до n - 1. От любого города до любого можно доехать используя эти дороги.

На Альте есть два типа людей:

Стражи. Страж живет в доме вдоль дороги и охраняет дорогу.
Граждане. Гражданин живет дома, внутри города, и работает в офисе, в другом городе.

Каждый человек на Альте является либо стражем либо гражданином. Вдоль каждой дороги живет один страж.

$\text{[math]}$

Рик и Морти обратились ко всем людям на Альте, и вот что они получили:

m граждан живет на Альте.
Гражданин номер i живет в городе номер x_i и работает в городе номер y_i.
Каждый день гражданин едет по дорогам вдоль кратчайшего пути от его дома на работу.
Гражданин будет счастлив, если и только если он будет иметь щенка, или все стражи вдоль пути на его работу будут иметь щенка (он видит щенков у стражей на каждой дороге и он счастлив).
Страж всегда счастлив.

Вам необходимо сказать Рику и Морти минимальное количество щенков необходимое, чтобы сделать всех на Альте счастливыми, и также предоставить оптимальный путь раздать щенков.

Входные данные

В первой строке входных данных содержатся два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 2 × 10⁴, 1 ≤ m ≤ 10⁴) — количество городов и количество граждан соответственно.

Следующие n - 1 строк содержат дороги, i-я строка содержит концы i-го ребра, v и u (1 ≤ v, u ≤ n, v ≠ u).

Следующие m строк содержат информацию о гражданах. i-я строка содержит два целых числа x_i и y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i).

Выходные данные

В первой строке выведите целое число k — суммарное необходимое количество щенков (1 ≤ k ≤ n).

Во второй строке выведите число q — количество щенков, которых необходимо раздать гражданам, за которым следует q различных чисел a₁, a₂, ..., a_q — номера граждан, которым необходимо раздать щенков (0 ≤ q ≤ min(m, k), 1 ≤ a_i ≤ m).

В третьей строке выведите число e — количество щенков, которых необходимо раздать стражам, за которым следует e различных целых чисел b₁, b₂, ..., b_e — номера дорог, стражам которых необходимо раздать щенков (0 ≤ e ≤ min(n - 1, k), 1 ≤ b_i ≤ n - 1).

Сумма q и e должна быть равна k.

Примечание

Карта Альта для первого тестового примера (числа, написанные на дорогах, это их номера):

$\text{[math]}$

Карта Альта для второго тестового примера (числа, написанные на дорогах, это их номера):

$\text{[math]}$

B. Странное путешествие

графы Комбинаторика Конструктив поиск в глубину и подобное снм *2100

Маленький мальчик Игорь решил стать путешественником. Сначала он решил обойти все города в своей родной стране Ужляндии.

Как известно, в Ужляндии n городов, соединенных m двусторонними дорогами. Также известно, что между любыми двумя городами существует не больше одной дороги, но могут существовать дороги которые начинаются и заканчиваются в одном городе. Игорь решил спланировать свое путешествие заранее. Он называет хорошим путь, который посещает m - 2 дороги дважды, а остальные 2 дороги — по одному разу. Хороший путь начинается и заканчивается в любом городе. Не обязательно заканчивать путь в том же городе, в котором он начался.

Теперь Игорю стало интересно, сколько же путей его устраивают? Он считает два хороших пути различными, если различаются множества дорог, по которым он пройдет один раз. Помогите Игорю — посчитайте количество различных хороших путей.

Входные данные

В первой строке входных данных записано два целых числа n, m (1 ≤ n, m ≤ 10⁶) — количество городов и дорог в Ужляндии соответственно. В каждой из следующих m строк находятся два целых числа u и v (1 ≤ u, v ≤ n), которые означают, что между городами u и v существует двусторонняя дорога.

Гарантируется, что между любыми двумя городами существует не больше одной дороги, в том числе, для каждого города существует не более одной дороги, которая ведет из него в него же самого.

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество различных хороших путей.

Примечание

В первом тестовом примере хорошими являются пути:

2 → 1 → 3 → 1 → 4 → 1 → 5,
2 → 1 → 3 → 1 → 5 → 1 → 4,
2 → 1 → 4 → 1 → 5 → 1 → 3,
3 → 1 → 2 → 1 → 4 → 1 → 5,
3 → 1 → 2 → 1 → 5 → 1 → 4,
4 → 1 → 2 → 1 → 3 → 1 → 5.

Кроме того, существуют хорошие пути, которые совпадают с каким-то из перечисленных выше, потому что совпадают множества дорог, по которым Игорь пройдет один раз:

2 → 1 → 4 → 1 → 3 → 1 → 5,
2 → 1 → 5 → 1 → 3 → 1 → 4,
2 → 1 → 5 → 1 → 4 → 1 → 3,
3 → 1 → 4 → 1 → 2 → 1 → 5,
3 → 1 → 5 → 1 → 2 → 1 → 4,
4 → 1 → 3 → 1 → 2 → 1 → 5,
и все эти пути в обратную сторону.

Таким образом, ответ равен 6.

Во втором примере Игорь не может пройти по всем дорогам.

В третьем примере он пройдет по одному разу по каждой из дорог.

C. Большое смешивание

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2300

Саша и Коля снова решили напиться колы. На этот раз у них есть k видов колы, i-й вид колы характеризуется концентрацией газа $\text{[math]}$ . Сегодня на празднике в честь Сергея Ванкуверского они решили приготовить бокал колы с концентрацией газа ровно $\text{[math]}$ . Чтобы напиток также был вкусным, они хотят, чтобы в бокале было целое число литров колы каждого вида (колы некоторых видов может и вовсе не быть в бокале). Кроме того, они хотят минимизировать общий объем колы в бокале.

Концентрацией газа в коле называется отношение объема газа к общему объему напитка. При смешивании объем газа в напитке равен суммарному объему газа в смешиваемых компонентах; объем напитка также равен сумме объемов напитка в смешиваемых компонентах.

Помогите Саше и Коле. Найдите минимальное натуральное количество литров колы, необходимое для получения бокала с концентрацией газа ровно $\text{[math]}$ . Считайте, что каждого вида колы у друзей бесконечное количество.

Входные данные

В первой строке входных данных содержится два целых числа n и k (0 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ k ≤ 10⁶) — требуемая концентрация газа и количество видов колы соответственно.

Во второй строке находятся k целых чисел a₁, a₂, ..., a_k (0 ≤ a_i ≤ 1000) — концентрация газа в каждом из видов колы. Для некоторых видов колы концентрация газа может совпадать.

Выходные данные

Выведите минимальное натуральное количество литров колы, необходимое для получения бокала с концентрацией газа ровно $\text{[math]}$ , или -1, если это сделать невозможно.

Примечание

В первом примере мы можем получить концентрацию $\text{[math]}$ , используя по одному литру видов с концентрациями $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Во втором примере мы можем получить концентрацию $\text{[math]}$ , используя два литра вида $\text{[math]}$ , и один литр вида $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

B. Игорь и путь на работу

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное реализация *1600

Проснувшись со звонком будильника, аналитик Игорь заспешил на работу. Совершив все необходимые утренние процедуры и позавтракав, Игорь сел в свой автомобиль. Открыв GPS-навигатор, он увидел, что в некоторых районах его родного города Банкополиса ведутся дорожные работы, поэтому они недоступны для проезда. Однако на этом неприятности Игоря не закончились: оказалось, что в его авто сломался руль, и он может совершить не более двух поворотов по пути в свой офис в банке.

Банкополис представляет из себя клетчатое поле из n строк и m столбцов. Помогите аналитику Игорю найти путь из дома в его офис, содержащий не более двух поворотов и не посещающий клетки, в которых проводятся дорожные работы, либо установить, что такого пути не существует, и Игорю придется отчитываться перед начальством за то, что он не явился на работу. Поворотом считается смена направления движения в пути. В силу своей конструкции автомобиль Игоря может двигаться только влево, вправо, вверх и вниз, изначально Игорь может выбрать любое направление движения. Игорь все еще сонный, поэтому он нуждается в вашей помощи.

Входные данные

На первой строке через пробел даны два числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 1000)— количество строк и столбцов поля соответственно.

В каждой из последующих n строк содержится m символов, описывающих соответствующую строку поля. Возможные варианты символов:

«.» — свободная клетка;
«*» — клетка, в которой проводятся дорожные работы;
«S» — клетка, в которой находится дом аналитика Игоря;
«T» — клетка, в которой находится офис банка Игоря.

Гарантируется, что символы «S» и «T» встречаются ровно по одному разу.

Выходные данные

Выведите «YES», если существует путь от дома Игоря до его офиса, делающий не более двух поворотов, и «NO» иначе.

Примечание

Первый пример изображен на следующей картинке:

$\text{[math]}$

Во втором примере добраться из дома Игоря в его офис меньше чем за 4 поворота нельзя, а значит, не существует пути, использующего не больше 2-х поворотов. Путь из 4-х поворотов показан ниже:

$\text{[math]}$

D. Подарки в Банкополисе

графы дп кратчайшие пути *2100

Банкополис — удивительный город, в котором все n перекрестков расположены на одной прямой, пронумерованы вдоль нее от 1 до n, и на углу каждого из них есть офис банка.

Перекрестки соединены m ориентированными велосипедными дорожками (дорожка номер i ведет от перекрестка u_i к перекрестку v_i), для каждой дорожки известна сложность проезда по ней.

Обычный клиент банка Олег на день рождения этого самого банка решил подарить счастье и радость его работникам. Он хочет посетить ровно k отделений банка и в каждом посещенном отделении подарить всем его работникам подарки.

Проблема в том, что Олег не хочет видеть реакцию на свои подарки, поэтому он не будет пользоваться дорожкой, проходящей мимо офиса, в котором он уже раздавал подарки (формально, дорожка номер i проходит мимо офиса на перекрестке x если и только если min(u_i, v_i) < x < max(u_i, v_i))). Конечно, в каждом офисе Олег может раздавать подарки только один раз. Передвигаться Олег будет по дорожкам, причем он хочет использовать ровно k - 1 дорожку на перемещение между офисами. Олег может начать с любого офиса и закончить поздравлять в любом офисе.

Олег хочет выбрать среди всех возможных маршрутов тот, суммарная сложность дорожек в котором минимальна. Помогите ему найти эту наименьшую возможную сложность.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и k, (1 ≤ n, k ≤ 80) — количество перекрестков в Банкополисе и количество офисов, которые хочет посетить Олег.

Вторая строка содержит одно целое число m (0 ≤ m ≤ 2000) — количество велосипедных дорожек в Банкополисе.

Следующие m строк содержат информацию о дорожках.

В i-й из этих строк содержится три целых числа u_i, v_i и c_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, 1 ≤ c_i ≤ 1000), обозначающие перекрестки, которые соединяет i-я дорожка, и ее сложность.

Выходные данные

В единственной строке выведите минимальную суммарную сложность дорожек в маршруте, или -1, если нет подходящих Олегу маршрутов.

Примечание

В первом примере Олег посещает банки по маршруту 1 → 6 → 2 → 4.

Маршрут 1 → 6 → 2 → 7 с меньшей сложностью является некорректным потому что дорожка 2 → 7 проходит мимо офиса 6 в котором Олег уже побывал.

Во втором примере Олег посещает банки по маршруту 4 → 1 → 3.

D. Отметки на городах

графы поиск в глубину и подобное хэши *2400

Олег живет в стране Банкополии. В стране n городов, некоторые пары городов соединены двунаправленными дорогами. Города пронумерованы от 1 до n. Всего в Банкополии m дорог, дорога номер i соединяет города u_i и v_i. Гарантируется. что из любого города можно добраться в любой другой по дорогам.

Олег хочет отметить целым числом каждый город. Предположим. отметка города i равна x_i. Тогда для любой пары городов (u, v) условие |x_u - x_v| ≤ 1 должно выполняться тогда и только тогда, когда есть дорога, соединяющая u и v.

Олег задумался над вопросом, возможно ли так отметить города. Расставьте корректно отметки городам, или найдите, что это невозможно.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 3·10⁵, 1 ≤ m ≤ 3·10⁵) — число городов и число дорог.

Далее следуют m строк. Строка i содержит два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i) — города. соединяемые i-й дорогой. Гарантируется, что между каждой парой городов есть не более чем одна дорога, и что от каждого города можно добраться до любого другого по дорогам.

Выходные данные

Если невозможно отметить города. удовлетворив условию, выведите в единственной строке «NO» (без кавычек).

Иначе выведите «YES» (без кавычек) в первой строке. Во второй строке выведите n целых чисел x₁, x₂, ..., x_n. Должно выполняться 1 ≤ x_i ≤ 10⁹ для всех i, кроме того, для любой пары (u, v) условие |x_u - x_v| ≤ 1 должно выполняться тогда и только тогда, когда есть дорога, соединяющая u и v.

Примечание

В первом примере x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = x₄ = 1 — корректная расстановка отметок. Действительно, (3, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4) — пары городов, разница отметок на которых не превосходит 1, и именно эти пары городов соединяются дорогами Банкополии.

Во втором примере разница отметок между любой парой городов не превосходит 1, все пары городов соединены дорогами.

В последнем примере невозможно расставить отметки так, чтобы удовлетворить условию.

D. Посты полиции

графы Деревья дп Конструктив кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2100

Инзейн наконец-то нашел Зейна, и у них еще много денег! Поэтому они решили создать собственную страну.

Правление страной — непростая задача. Бандиты и террористы постоянно пытаются разрушить покой. Чтобы бороться с этим, Зейн и Инзейн разработали следующее правило: от каждого города должно быть возможно достичь пост полиции, проехав не более d километров по дорогам.

$\text{[math]}$

В стране n городов, пронумерованных от 1 до n, соединенных n - 1 дорогами. Все дороги имею длину 1 километр. Возможно добраться от любого города до любого другого, используя эти дороги. Кроме того, есть k постов полиции, расположенных в некоторых городах. Расположение постов полиции удовлетворяет закону, описанному выше. Заметьте, что некоторые посты могут быть расположены в одном и том же городе.

Однако, Зейн считает, что n - 1 дорога это слишком много. Страна испытывает финансовый кризис, поэтому необходимо закрыть как можно больше дорог.

Помогите Зейну определить максимальное число дорог, которое можно закрыть, не нарушая закон. Кроме того, найдите эти дороги.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа n, k и d (2 ≤ n ≤ 3·10⁵, 1 ≤ k ≤ 3·10⁵, 0 ≤ d ≤ n - 1) — число городов, число постов полиции, ограничение на расстояние в законе, соответственно.

Вторая строка содержит k целых чисел p₁, p₂, ..., p_k (1 ≤ p_i ≤ n) — города, в которых расположены посты полиции.

i-я из следующих n - 1 строк содержит два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i) — города, непосредственно соединенные дорогой i.

Гарантируется, что возможно добраться от любого города до любого другого, используя эти дороги. Кроме того, от любого города можно добраться до поста полиции, проехав не более d километров.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число s, означающее максимальное число дорог, которое можно закрыть.

Во второй строке выведите s различных чисел — номера дорог, для которых это верно.

Если ответов несколько, выведите любой из них.

Примечание

Во втором примере, если закрыть дорогу номер 5, то от всех городов по-прежнему можно будет достичь пост полиции, проехав не более k = 4 километров.

Во втором примере, несмотря на то, что множество дорог, которые можно закрыть, единственно, вы можете вывести 4 5 или 5 4 во второй строке.

E. Майк и код перестановки

графы Конструктив сортировки Структуры данных *3000

Майк открыл новый способ кодирования перестановок. Если у него есть перестановка P = [p₁, p₂, ..., p_n], он закодирует ее следующим образом:

Пусть A = [a₁, a₂, ..., a_n] — последовательность длины n, которая будет представлять код перестановки. Для каждого i от 1 до n последовательно он будет выбирать наименьшее непомеченное j (1 ≤ j ≤ n) такое, что p_i < p_j и присвоит в a_i число j (другими словами выполнит a_i = j) и пометит j. Если такого j не существует, то он присвоит в a_i число - 1 (он выполнит a_i = - 1).

Майк забыл свою изначальную перестановку, но он помнит ее код. Ваша задача проста: найдите любую перестановку такую, что ее код такой же, как и код изначальной перестановки Майка.

Вы можете предположить, что всегда существует хотя бы одна перестановка.

Входные данные

Первая строка содержит единственное целое число n (1 ≤ n ≤ 500 000) — длина перестановки.

Вторая строка содержит n целых чисел, разделенных пробелами, a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ n или a_i = - 1) — код перестановки Майка.

Вы можете предположить, что все положительные числа из A различны.

Выходные данные

В первой и единственной строке выведите n чисел p₁, p₂, ..., p_n (1 ≤ p_i ≤ n) — перестановка P, которая имеет такой же код, что и данный. Заметьте, что числа в перестановке различны.

Примечание

Для перестановки из первого примера:

i = 1, наименьшее j равно 2, потому что p₂ = 6 > p₁ = 2.

i = 2, нет такого j, потому что p₂ = 6 наибольший элемент в перестановке.

i = 3, наименьшее j равно 1 потому что p₁ = 2 > p₃ = 1.

i = 4, наименьшее j равно 5 (2 уже помечено), потому что p₅ = 5 > p₄ = 4.

i = 5, нет такого j, потому что 2 уже помечено.

i = 6, наименьшее j равно 4, потому что p₄ = 4 > p₆ = 3.

B. Роботомания

графы Конструктив реализация *1400

Весь мир охватила роботомания и, чтобы не отставать от прогресса, великий берляндский программист Дравдэ решил создать собственного робота. Дравдэ долго и упорно трудился над роботом. Он научил его ходить кратчайшим путем из одной точки в другую, научил записывать все свои передвижения, но, как и во многих программах Дравдэ, нашелся баг — робот не всегда ходил кратчайшими путями. Благо, что собственные передвижения робот записывал правильно. Теперь Дравдэ хочет узнать, когда его робот неправильно работает. Эх, если бы Дравдэ помнил карту местности, на которой происходило тестирование робота, он бы легко сказал правильно прошел робот или нет. Но карта местности безвозвратно потерялась, и поэтому он поручает вам проверить: существует ли хотя бы одна такая карта, на которой путь записанный роботом является кратчайшим.

Карта представляет собой бесконечное клетчатое поле, где каждая клетка либо пустая, либо содержит препятствие. Также известно, что робот никогда не пытается врезаться в препятствие. По записи робота о его передвижении определите, существует ли хотя бы одна такая карта, что на ней можно выбрать стартовую клетку для робота (стартовая клетка должна быть пустой), при движении из которой запись корректна (робот ни во что не врезается, двигаясь только по пустым клеткам), и путь из стартовой точки в конечную является кратчайшим.

За один ход робот может передвинуться на любую соседнюю по стороне клетку, если она не является препятствием.

Входные данные

В первой строке входного файла содержится запись ходов робота. Запись ходов — это непустая строка, состоящая из прописных латинских букв L, R, U и D, обозначающих соответственно передвижение влево, вправо, вверх и вниз. Длина строки не превосходит 100.

Выходные данные

Выходной файл должен содержать в первой строке единственное слово OK (если существует описанная карта) или BUG (если не существует такой карты).

E. Бусы

графы дп *2600

Один марсианский мальчик по имени Цорг хочет подарить своей подруге с Земли Маше бусы. Он знает, что Маша любит два цвета: синий и красный, — и как раз в магазине, куда он зашел, есть все возможные украшения с бусинами двух цветов. На каждых бусах есть маленькая застежка, если ее расстегнуть, то можно заметить, что все бусы в магазине одинаковой длины. Из-за особенностей марсианского зрения если Цорг видит одни сине-красные бусы, а потом другие, в которых на месте синих стоят красные бусины, а на месте красных — синие, он считает эти две нитки бус одинаковыми. Иными словами, для Цорга одинаковыми считаются не только те бусы, что получаются друг из друга переворотом нитки, но и те, что получаются друг из друга сменой цветов и/или переворотом ниток.

Как известно все марсиане очень аккуратны, и если марсианин видит некоторое множество предметов, то он старается упорядочить их. Красную бусину Цорг считает меньше синей. Обозначим красную бусину — 0, а синюю — 1. Из двух ниток марсианин раньше положит ту, у которой на i-ом месте нанизана красная бусина, при том, что во второй нитке на i-ом месте — синяя, а первые i - 1 бусины у них совпадают.

Сначала Цорг расстегивает все бусы и раскладывает на кучки так, что, по его мнению, в каждой из них лежат одинаковые нитки. Потом он упорядочивает каждую кучку и выбирает по одним бусам, являющимся наименьшими в данной кучке. Все остальные бусы он отдает продавцу и просит их убрать. Затем Цорг упорядочивает все оставшиеся бусы и покупает k-ые по номеру.

Все эти операции займут очень много времени у Цорга, поэтому он просит вас помочь найти бусы для Маши.

Входные данные

Во входном файле записано два целых числа n и k (2 ≤ n ≤ 50;1 ≤ k ≤ 10¹⁶) — длина бус и номер выбранной Цоргом нитки бус.

Выходные данные

В выходной файл выведите k-ые бусы, обозначая красную бусину — 0, а синюю — 1. Если искомую нитку бус выбрать невозможно, то выведите единственное число -1.

Примечание

Рассмотрим все бусы длины 4 — 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110. Цорг разобьет их на кучки: {0001, 0111, 1000, 1110}, {0010, 0100, 1011, 1101}, {0011, 1100}, {0101, 1010}, {0110, 1001}. Потом он оставляет по меньшей нитке бус из каждой кучки: 0001, 0010, 0011, 0101, 0110. Четвертая нитка — 0101.

C. Хайди и Библиотека (сложная)

графы Потоки *2600

Хорошие времена в библиотеке Хайди закончились. Читатели подключились к интернету и совсем перестали посещать библиотеку. Кроме этого в книжном магазине стали брать дополнительную плату за некоторые книги. А именно, если в предыдущих версиях каждая книга могла быть куплена за 1 CHF, теперь цена книги i составляет c_i CHF.

Входные данные

В первой строке следуют два числа n и k ( $\text{[math]}$ ).

Во второй строке следуют n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ n) — где a_i равно номеру книги, которую хочет прочитать посетитель в i-й день.

В третьей строке следуют n целых чисел c₁, c₂, ..., c_n (0 ≤ c_i ≤ 10⁶) – стоимости книг.

Выходные данные

В единственной строке выведите минимальную стоимость покупки книг в книжном магазине, которые необходимы для удовлетворения запросов всех посетителей.

Примечание

Первые три примера повторяются, но четвертый является новым.

В четвертом примере, покупая книгу 3, Хайди должна избавиться от книги 1 или от книги 2. Хотя книга 2 будет запрошена позже, чем книга 1, Хайди сохранит ее, потому что очень дорого покупать снова книгу 2.

J. Отправьте Дурака Дальше! (простая)

графы Деревья поиск в глубину и подобное *1400

Друг Хайди Дженни просит ее доставить важное письмо их общему другу. Поскольку Дженни ирландка, Хайди считает, что это может быть шутка. Точнее, она подозревает, что сообщение, которое она попросила доставить, гласит: «Отправьте дурака дальше!», и, читая его, получатель попросит Хайди передать то же сообщение другому другу (общему для получателя и Хайди), и так далее.

Хайди считает, что ее друзья хотят избежать неловких ситуаций, поэтому она не сможет дважды посетить одного и того же человека (включая Дженни). Она также знает, какова стоимость путешествий между любыми двумя друзьями, которые знают друг друга. Она хочет знать: какова максимальная сумма денег, которую она потратит на путешествие, если это действительно шутка?

У Хайди есть n друзей, пронумерованных от 0 до n - 1, и их дружеские связи образуют дерево. Другими словами, каждые двое из ее друзей a и b знают друг друга, возможно, косвенно (то есть существует последовательность друзей, начинающаяся с a и заканчивающаяся b такая, что каждые два последовательных друга в этой последовательности знают друг друга напрямую). Есть ровно n - 1 пара друзей, которые знают друг друга напрямую.

Дженни имеет номер 0.

Входные данные

В первой строке следует целое число n (3 ≤ n ≤ 100) — количество друзей.

Каждая из следующих n - 1 строк содержит по три разделенных пробелом целых числа u, v и c (0 ≤ u, v ≤ n - 1, 1 ≤ c ≤ 10⁴), что означает, что u и v являются друзьями (знают друг друга напрямую) и стоимость путешествия между u и v равна c.

Гарантируется, что дружеские связи из входных данных формируют дерево.

Выходные данные

Выведите единственное число — максимальная сумма денег, которую Хайди может потратить на путешествия между друзьями.

Примечание

Во втором примере наихудший сценарий выглядит следующим образом: Дженни отправляет Хайди к другу, помеченному номером 2 (Хайди расходует на это 100). Потом друг 2 отправляет Хайди к другу 1 (Хайди тратит на это 3). Затем 1 направляет ее к другу 4 (Хайди расходует на это 2).

N. Первоапрельская задача (средняя)

Бинарный поиск графы Потоки *2400

Сурки должны подготовить k задач для HC² за n дней. Каждую задачу нужно распечатать после того, как она будет подготовлена.

Подготовить задачу в день номер i (не более одной задачи в день) стоит a_i CHF, а распечатать задачу в день i (тоже не более одной задачи в день) стоит b_i CHF. Конечно, нельзя распечатать задачу до того, как она была подготовлена (но распечатать в тот же день, что и подготовить, позволительно).

Какова минимальная стоимость подготовки и распечатки всех задач?

Входные данные

В первой строке следуют два целых числа n и k (1 ≤ k ≤ n ≤ 2200).

Во второй строке следуют n целых чисел a₁, ..., a_n ( $\text{[math]}$ ) – стоимость подготовки задач.

В третьей строке следуют n целых чисел b₁, ..., b_n ( $\text{[math]}$ ) – стоимость печати задач.

Выходные данные

Выведите минимальную суммарную стоимость подготовки и печати k задач, которая равна минимально возможной сумме a_i₁ + a_i₂ + ... + a_{i_k} + b_j₁ + b_j₂ + ... + b_{j_k}, где 1 ≤ i₁ < i₂ < ... < i_k ≤ n, 1 ≤ j₁ < j₂ < ... < j_k ≤ n и i₁ ≤ j₁, i₂ ≤ j₂, ..., i_k ≤ j_k.

Примечание

В примере одно из возможных решений — подготовить первую задачу в день 1 и распечатать ее в день 1, подготовить вторую задачу в день 2 и распечатать в день 4, подготовить третью задачу в день 3 и распечатать в день 5, подготовить четвертую задачу в день 6 и распечатать в день 8.

E. Рома и покер

графы дп *2000

По вечерам Рома любит играть в онлайн-покер на одном из популярных сайтов. Игры на этом сайте проходят в странном формате: играют всегда ровно два игрока, ставок нет, а победитель забирает у проигравшего 1 виртуальный бурль.

Прошлым вечером Рома зашёл на сайт и начал играть. Он решил, что потратит за вечер не более k виртуальных бурлей — он прекратит игру, как только количество проигрышей превысит количество выигрышей на k. Также Рома выходит из игры, если он выиграет достаточно за вечер — а именно, если количество выигрышей превысит количество проигрышей на k.

На следующее утро Рома нашёл лист, на котором была записана последовательность результатов игр. Рома точно не помнит порядок игр, и часть результатов записана слишком неразборчиво, поэтому он не может вспомнить, выиграл он или проиграл k бурлей.

Последовательность, записанная Ромой — это строка s, состоящая из символов W (Рома выиграл соответствующую игру), L (Рома проиграл), D (Рома сыграл вничью) и ? (результат игры неизвестен). Рома хочет восстановить по ней любую правильную последовательность результатов игр, заменив все символы ? на W, L или D. Последовательность результатов игр называется правильной, если выполняются следующие условия:

В конце игры количество выигрышей и проигрышей Ромы различаются ровно на k;
Нет таких партий, перед которыми количество выигрышей и проигрышей Ромы различались ровно на k.

Помогите Роме, восстановив любую последовательность, удовлетворяющую этим условиям.

Входные данные

В первой строке заданы два числа n (длина последовательности, записанной Ромой) и k (1 ≤ n, k ≤ 1000).

Во второй строке задана последовательность s из символов W, L, D и ?. В последовательности ровно n символов.

Выходные данные

Если правильной последовательности, которая может быть получена из s заменой всех символов ? на символы W, L или D, не существует, выведите NO.

Иначе выведите эту последовательность. Если таких последовательностей несколько, выведите любую из них.

F. Фальшивые слитки

графы дп Комбинаторика поиск в глубину и подобное теория чисел *3400

В Исарте люди живут вечно. Среди них есть n банд злоумышленников. В i-й банде состоят s_i человек, пронумерованных от 0 до s_i - 1. Некоторые из них однажды приняли участие в большом ограблении шахты и украли каждый по одному золотому слитку (эти люди заданы во входных данных). Это произошло 10¹⁰⁰ лет назад и с тех пор все банды уехали далеко от городов.

Все эти годы бандиты копировали некоторые золотые слитки в соответствии с определенным планом, чтобы не быть пойманными. Они построили ориентированный граф-турнир (то есть граф, в котором между каждой парой вершин есть одно направленное ребро), вершины в котором — банды (граф задан во входных данных). В этом графе ребро из вершины u в вершину v означало, что в i-й час человек номер $\text{[math]}$ из банды u может послать фальшивый слиток человеку номер $\text{[math]}$ из банды v. Он посылает слиток, только если у него есть какой-то слиток (настоящий или фальшивый), а у получателя нет слитков. Таким образом, в каждый момент времени каждый бандит имел один или ноль слитков. Некоторые из бандитов имели настоящие слитки, некоторые — фальшивые.

В начале этого года полиции удалось найти банды, но, как всегда, поймать их она пока не может. Полиция решила открыть ювелирный магазин, чтобы бандиты попытались продать слитки. Теперь каждый бандит, у которого есть слиток (подлинный или фальшивый), попробует его продать. Если слиток подлинный, то он его без проблем продаст, а если фальшивый, то может случиться одна из двух ситуаций:

Бандит успешно продаст слиток.
Бандит будет арестован полицией.

Сила банды равна числу бандитов, которые успешно продали свой слиток. После того, как все продажи завершены, полиция арестует b банд из самых сильных. Банда с силой p состоит в самых сильных бандах, если и только если не более чем a - 1 банда имеет силу строго больше p. Рассмотрим всевозможные результаты продажи фальшивых слитков и всевозможные способы выбрать b банд из самых сильных банд. Подсчитайте, сколько различных множеств могут образовать эти b банд по модулю 10⁹ + 7. Два множества X и Y считаются различными, если некоторая банда есть в X, но ее нет в Y.

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа n, a и b (1 ≤ b ≤ a ≤ n ≤ 5·10³) — количество банд и числа a и b из условия.

Далее следуют n строк, каждая из них содержит строку длины n из нулей и единиц. Если j-й символ i-й строки равен 1, то из вершины i в вершину j есть ребро. Гарантируется, что a_ii = 0, и a_ij + a_ji = 1 при i ≠ j.

Далее следуют n строк, каждая начинается с числа s_i (1 ≤ s_i ≤ 2·10⁶) — количеству бандитов в i-й банде, и затем содержит строку из нулей и единиц длины s_i. j-й символ равен 0, если j-й человек i-й банды имел настоящий слиток изначально, иначе символ равен 1. Гарантируется, что сумма s_i не превосходит 2·10⁶.

Выходные данные

Выведите одно число: количество различных множеств из b банд, которые полиция может арестовать по модулю 10⁹ + 7.

F. Карточная игра

Бинарный поиск графы Потоки *2400

Компьютерные коллекционные карточные игры недавно стали очень популярны. Вот и Вова решил попробовать сыграть в одну такую.

В коллекции Вовы n карт, каждая из которых характеризуется своей силой p_i, магическим числом c_i и уровнем l_i. Вова хочет собрать колоду с суммарной силой не менее k, однако магические числа, записанные на картах, могут не позволить ему это сделать — нельзя взять в колоду две карты, если сумма магических чисел, записанных на них, является простым числом. Также Вова не может брать в колоду карты, уровень которых выше уровня его персонажа.

Сейчас у персонажа Вовы 1-й уровень. Помогите Вове определить, до какого уровня ему необходимо развиться, чтобы собрать колоду необходимой силы.

Входные данные

В первой строке входного файла записаны два числа n и k (1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 100000).

Далее следуют n строк, каждая из которых содержит три числа — параметры соответствующей карты: p_i, c_i и l_i (1 ≤ p_i ≤ 1000, 1 ≤ c_i ≤ 100000, 1 ≤ l_i ≤ n).

Выходные данные

Если Вова не сможет собрать колоду необходимой силы, выведите - 1. Иначе выведите минимальный уровень, при котором это возможно.

E. По парам

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное реализация снм *2700

В классе у Поликарпа учится n человек (включая его самого). Недавно все ученики класса писали сочинение «Мой лучший друг». Сочинение каждого ученика было посвящено одному из учеников класса — лучшему другу. Заметим, что вовсе не обязательно у ученика b лучшим другом является ученик a, если у a лучший друг — b.

А сейчас учительница ведет весь класс в музей истории спортивного программирования. Учеников ждут захватывающие истории о легендарных героях: tourist, Petr, tomek, SnapDragon — вот о ком пойдет речь!

Учительница решила разбить учеников на пары так, чтобы каждая пара состояла из ученика и его лучшего друга. Возможно, ей не удастся разбить всех учеников на пары, не беда — она хочет выделить наибольшее количество таких пар. Если существует более одного варианта сделать это, она хочет выделить пары так, чтобы пар мальчик-девочка было как можно больше. Конечно, каждый ученик должен входить не более чем в одну пару.

Входные данные

Первая строка содержит целое число n (2 ≤ n ≤ 10⁵), n — количество учеников в классе. Далее в n строках содержится информация об учениках, по одному в строке. Каждая строка содержит два целых числа f_i, s_i (1 ≤ f_i ≤ n, f_i ≠ i, 1 ≤ s_i ≤ 2), где f_i обозначает номер лучшего друга i-го ученика, а s_i обозначает пол i-го ученика (если мальчик, то s_i = 1, а если девочка, то s_i = 2).

Выходные данные

В первую строку выведите два числа t, e, где t — максимальное количество образованных пар, а e — максимальное количество среди них пар вида мальчик-девочка. Далее выведите t строк, каждая из строк должна содержать пару a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n) — номера учеников в i-ой паре. Пары выводите в любом порядке. Числа в парах выводите в любом порядке. Если существует несколько решений, выведите любое.

Примечание

Рисунок ниже соответствует первому примеру. На нем ромбы обозначают мальчиков, а квадраты — девочек. Стрелки ведут от ученика к его лучшему другу, жирные (не пунктирные) обозначают пары из ответа.

$\text{[math]}$

D. Владик и любимая игра

графы интерактив Конструктив поиск в глубину и подобное *2100

Это интерактивная задача.

У Владика есть любимая игра, в которую он играет практически все свободное время.

Игровое поле представляет из себя матрицу n × m, клетки которого бывают трех типов:

«.» — обычная, игрок может свободно в ней находиться.
«F» — конечная, клетка до которой должен добраться игрок. Такая клетка будет ровно одна.
«*» — смертельная, оказавшись в ней игрок проиграет.

Изначально игрок находится в левой верхней клетке с координатами (1, 1).

Игроку доступны 4 кнопки «U», «D», «L», «R», каждая из которых перемещает его в направлениях вверх, вниз, влево, вправо соответственно.

Но не все так просто! Друзья иногда играют в игру и меняют управление, поменять между собой можно кнопки «L» и «R», а также «U» и «D». То есть кнопка «L» может выполнять операцию кнопки «R», в таком случае кнопка «R» будет выполнять операцию кнопки «L». Операции, за которые отвечают «U» и «D», обмениваются таким же образом. Обратите внимание, что направления могут поменяться только в начале игры.

Помогите Владику пройти игру!

Входные данные

На первой строке через пробел задано два числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 100) — количество строк и столбцов поля соответственно.

В каждой из последующих n строк содержится m символов, описывающих соответствующую строку поля. Возможные варианты символов описаны в условии задачи.

Гарантируется, что клетка с координатами (1, 1) будет обычной, а также существует путь из начальной клетки до конечной не содержащий смертельных клеток.

Протокол взаимодействия

Вы можете сделать не более 2·n·m нажатий на кнопку.

Для нажатия на кнопку вы должны в отдельной строке вывести «U», «D», «L», «R». Обязательно требуется вывести перевод строки и сделать операцию flush. После сброса буфера необходимо считать ответ на запрос из входных данных. Ответом будет являться пара целых чисел x, y, записанных через пробел, — новая позиция игрока. В случае, когда не существует клетки по направлению, за которое отвечает нажатая кнопка, позиция игрока не поменяется. Если после очередного хода игрок проиграет, то есть перейдет в смертельную клетку, x и y будут равны - 1.

Если в результате очередного хода игрок окажется в конечной клетке либо проиграет, вы должны будете завершить работу программы.

Для сброса буфера вывода (то есть для операции flush) сразу после вывода направления и перевода строки можно сделать:

fflush(stdout) в языке C++
System.out.flush() в Java
stdout.flush() в Python
flush(output) в Pascal
смотрите документацию для других языков

Взломы

Чтобы совершить взлом, вам потребуется использовать следующий формат:


n m swapLR swapUD  
a_1  
a_2  
...  
a_n

Где n, m – количество строк и столбцов у игрового поля. swapLR равно 1, в случае, когда направления «L» и «R» поменялись местами и 0 в обратном случае. swapUD равно 1, в случае, когда направления «U» и «D» поменялись местами и 0 в обратном случае. a₁, a₂, ..., a_n — описание соответствующих строк игрового поля.

Примечание

В первом тестовом примере все четыре направления обменялись местами со своими обратными. Протокол взаимодействия в более удобном формате:

$\text{[math]}$

Этот тест можно было бы представить во время взлома следующим образом:


4 3 1 1
...
**.
F*.
...

E. Владик и занимательные флаги

графы снм Структуры данных *2600

В свободное время Владик оценивает красоту флагов.

Флаг можно представить как матрицу n × m из целых положительных чисел.

Определим красоту матрицы, как количество пятен в ней. Пятном назовем некоторое множество клеток с одинаковыми числами таких, что между любой парой клеток множества существует путь по смежным по стороне клеткам. Пример разделения матрицы на пятна:

$\text{[math]}$

Но в этот раз он решил что-то поменять и начать оценивать не весь флаг целиком, а только некоторый его отрезок. Отрезок флага можно описать как подматрицу матрицы флага с противоложными углами в (1, l) и (n, r), где 1 ≤ l ≤ r ≤ m.

Помогите Владику посчитать красоту для некоторых отрезков флага!

Входные данные

В первой строке заданы три целых числа n, m, q (1 ≤ n ≤ 10, 1 ≤ m, q ≤ 10⁵) — размеры флага и количество отрезков соответственно.

В каждой из следующих n строк записано по m целых чисел — описание флага. Все элементы матрицы являются целыми натуральными числами не превышающими 10⁶.

Следующие q строк будут содержать по два целых числа l, r (1 ≤ l ≤ r ≤ m) — границы отрезка для которого Владик хочет посчитать красоту.

Выходные данные

Для каждого отрезка в отдельной строке выведите количество пятен на нем.

Примечание

Разделение на пятна для каждого отрезка:

$\text{[math]}$

D. Сахир и детский сад

графы Деревья поиск в глубину и подобное реализация *2700

Сахир работает в детском саду. Всего в саду n детей и m различных игрушек. Чтобы поиграть с игрушками, дети должны следовать определенному протоколу:

У каждого ребенка есть набор любимых игрушек. Он запрашивает эти игрушки по одной в различные моменты времени. Ребенок начинает играть, только когда у него окажутся все игрушки из любимого набора.
Если ребенок начал играть, то рано или поздно он отдаст все игрушки обратно. Никто не будет держать игрушки вечно.
Дети запрашивают игрушки в различные моменты времени, никакие два ребенка не запрашивают игрушки одновременно.
Если ребенку дали запрашиваемую игрушку, то он не отдаст ее, пока не закончит играть со своим любимым набором.
Если ребенку не дали запрашиваемую игрушку, то он будет ждать, пока ее ему дадут. Он не может запросить другую игрушку, пока ждет. То есть, каждый ребенок в каждый момент времени ждет не более одной игрушки.
Если два ребенка ждут одну и ту же игрушку, то сначала ее получит тот, кто запросил ее раньше.

Дети не любят играть друг с другом, поэтому они никогда не делятся игрушками. Когда ребенок запрашивает игрушку, то решение дать ему ее или нет зависит от того, свободна игрушка, или нет. Если игрушка свободна, Сахир даст ее ребенку. Иначе ребенок будет ждать ее и не сможет запрашивать другие игрушки, пока ждет.

Дети умные и замечают, если случилось так, что им придется ждать запрошенных игрушек бесконечно долго. В таких случаях они начинают плакать. Другими словами, группа плачущих детей это такая группа детей, в которой каждый ребенок ждет игрушку, которая находится у кого-то другого из этой группы.

У вас есть сценарий, в котором все дети запрашивают все игрушки из их любимых наборов, кроме одного ребенка x, который запросит еще одну игрушку. Сценарий таков, что после выполнения запросов из сценария некоторые дети начнут играть, а некоторые будут ждать последнюю игрушку, но никто не будет плакать. Если ребенок x будет ждать какую-то игрушку, то он сделает свой оставшийся запрос после ее получения. Иначе, он сразу же запросит ее. Когда ребенок x это сделает, сколько детей начнут плакать?

Вам дан сценарий и q независимых запросов. Каждый запрос будет иметь форму x y, что означает, что оставшийся запрос ребенка x — это игрушка y. Ваша задача — помочь Сахиру определить размер максимальной плачущей группы детей после того, как ребенок x сделает свой последний запрос.

Входные данные

Первая строка содержит четыре целых числа n, m, k, q (1 ≤ n, m, k, q ≤ 10⁵) — количество детей, игрушек, запросов детей в сценарии и вариантов последнего запроса.

Каждая из следующих k строк содержит по два целых числа a, b (1 ≤ a ≤ n, 1 ≤ b ≤ m), означающих, что в сценарии ребенок a запрашивает игрушку b. Запросы даны в порядке их появления.

Каждая из следующих q строк содержит по два целых числа x и y (1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ m) — варианты последнего запроса (ребенок x запросит игрушку y как только сможет).

Гарантируется, что все запросы в сценарии удовлетворяют протоколу, и никто не плачет после выполнения запросов из сценария. Все запросы в сценарии различны, и никакой вариант последнего запроса не совпадает с запросами в сценарии.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите на отдельной строке число детей, которые начнут плакать после того, как ребенок x сделает свой последний запрос (игрушку y). Заметьте, что все варианты последнего запроса независимы.

Примечание

В первом примере ребенок 1 ждет игрушку 2, которая находится у ребенка 2, а ребенок 2 ждет игрушку 3, которая находится у ребенка 3. Когда ребенок 3 сделает свой последний запрос (он может сделать это сразу), то игрушка, которую он запросит, будет у ребенка 1. Каждый из трех детей будет ждать игрушку, которая находится у другого ребенка, и никто не будет играть, поэтому все трое начнут плакать.

Во втором примере после исполнения сценария у ребенка номер i будет находиться игрушка i для 1 ≤ i ≤ 4. Дети 1 и 3 уже собрали свой любимый набор. После того, как они закончат играть, игрушка 3 освободится, а игрушку 1 отдадут ребенку 2, и он соберет любимый набор. После того, как он закончит играть, игрушки 1 и 2 освободятся, и ребенок 5 возьмет игрушку 1. Итак:

В первом варианте ребенок 5 возьмет игрушку 3, и когда он закончит играть, сможет играть ребенок 4.
Во втором варианте ребенок 5 запросит игрушку 4, которая находится у ребенка 4. В то же время ребенок 4 ждет игрушку 1, которая сейчас находится у ребенка 5. Никто из них не сможет начать играть, и они оба заплачут.

C. Догонялки

(https://ru.wikipedia.org/wiki/Кратные_рёбра)

Алисе надоели обычные правила игры в догонялки, и она предложила Бобу немного их изменить. Теперь игра происходит на неориентированном корневом дереве из n вершин. Вершина 1 является корнем дерева.

Алиса начинает в вершине 1, а Боб — в вершине x (x ≠ 1). Ходы совершаются по очереди, Боб начинает. За один ход игрок может либо остаться в текущей вершине, либо перейти в соседнюю.

Игра завершается, когда Алиса приходит в вершину, в которой находится Боб. Алиса хочет минимизировать общее количество ходов, Боб хочет максимизировать.

Напишите программу, которая определит, сколько ходов продлится игра.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа n и x (2 ≤ n ≤ 2·10⁵, 2 ≤ x ≤ n).

В каждой из следующих n - 1 строк записано по два целых числа a и b (1 ≤ a, b ≤ n) — ребра дерева. Гарантируется, что ребра составляют корректное дерево.

Выходные данные

Выведите общее количество ходов, которые будут совершены Алисой и Бобом.

Примечание

В первом примере дерево выглядит так:

$\text{[math]}$

Красная вершина — начальная позиция Алисы, синяя — Боба. Боб обеспечит самую долгую игру, если будет оставаться в вершине 3.

B: стоит в вершине 3

A: идет в вершину 2

B: стоит в вершине 3

A: идет в вершину 3

Во втором примере дерево выглядит так:

$\text{[math]}$

Ходы в оптимальной стратегии:

B: идет в вершину 3

A: идет в вершину 2

B: идет в вершину 4

A: идет в вершину 3

B: стоит в вершине 4

A: идет в вершину 4

F. Проверка на двудольность

графы снм Структуры данных *2500

Дан неориентированный граф, состоящий из n вершин. Изначально в графе нет рёбер. Также даны q запросов; каждый запрос либо добавляет ребро в граф, либо удаляет ранее добавленное. После каждого запроса необходимо проверить, что граф двудольный (т. е. можно покрасить все вершины в два цвета так, чтобы ни одно ребро не соединяло две вершины одного цвета).

Входные данные

В первой строке записаны два числа n и q (2 ≤ n, q ≤ 100000).

Затем следуют q строк. В i-й строке записаны два числа x_i и y_i (1 ≤ x_i < y_i ≤ n). Эти числа описывают i-й запрос: если существует ребро между вершинами x_i и y_i, то удалить его, иначе добавить его.

Выходные данные

Выведите q строк. В i-й строке должно быть записано YES, если граф является двудольным после i-го запроса, и NO в противном случае.

E. Неизбежный объезд

графы дп Комбинаторика кратчайшие пути *2600

Те, кто не хотят возвращаться домой из дальнего путешествия, будут поражены болезнью улитки и потеряются. Майои, переносчик болезни, не хочет, чтобы такое случалось, но не может ничем помочь до того, как найдется лекарство. Сейчас она лишь хочет узнать, насколько сложно придется потерявшемуся.

В регионе находятся n городов, пронумерованных от 1 до n, город номер 1 является столицей. Сеть дорог образована двусторонними дорогами равной длины, каждая из которых соединяет два города. Никакие две дороги не соединяют одинаковые пары городов, и никакая дорога не соединяет город сам с собой. Потерявшиеся не могут узнать, как устроена сеть, но жители могут предоставить следующую информацию:

Из любого города существует ровно один кратчайший (по числу дорог) путь до столицы;
Пусть расстояние от города i до столицы равно l_i. Тогда l_i ≥ l_i - 1 выполняется для всех 2 ≤ i ≤ n;
К городу i подходит ровно d_i дорог, и это число равно либо 2, либо 3.

Подсчитайте, сколько различных сетей дорог существует с заданными ограничениями и выведите ответ по модулю 10⁹ + 7. Две сети считаются различными, если есть пара (u, v) (1 ≤ u, v ≤ n) такая, что в одной сети есть дорога между городами u и v, а в другой такой дороги нет.

Входные данные

В первой строке находится целое число n (3 ≤ n ≤ 50) — количество городов.

Во второй строке находятся n целых чисел d₁, d₂, ..., d_n (2 ≤ d_i ≤ 3) — количество дорог, подходящих к городам 1, 2, ..., n, соответственно. Гарантируется, что сумма d_i по всем i четна.

Выходные данные

Выведите одно число — число различных графов по модулю 10⁹ + 7.

Примечание

В первом примере следующая сеть — единственная, удовлетворяющая ограничениям. Все расстояния из столицы до городов 2, 3, 4 равны 1.

$\text{[math]}$

Во втором примере следующие две сети удовлетворяют условию:

$\text{[math]}$

G. Четыре мелодии

графы Потоки *2600

От автора: возможно, некоторые из вас помнят задачу «Две мелодии» с Educational Codeforces Round 22. Пришло время сделать её немного сложнее!

Алиса — начинающий композитор, и недавно она записала два трека, ставшие очень популярными. Теперь у неё целая толпа фанатов, и все они ждут, когда Алиса запишет что-то ещё.

На этот раз для записи треков Алисе потребуются четыре мелодии.

У Алисы есть лист с n нотами на нем. Она хочет выбрать четыре такие непустые непересекающиеся подпоследовательности, что все они образуют мелодии и сумма их длин максимальна.

Подпоследовательность — это последовательность, которую можно получить из другой последовательности путем удаления некоторых элементов, не меняя порядок оставшихся элементов.

Подпоследовательность образует мелодию, когда два соседних элемента либо отличаются на 1, либо сравнимы по модулю 7.

Напишите программу, которая найдет максимальную сумму длин четырёх таких непустых непересекающихся подпоследовательностей, что все они образуют мелодии.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число n (4 ≤ n ≤ 3000).

Во второй строке записано n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ 10⁵) — ноты на листе.

Выходные данные

Выведите максимальную сумму длин четырёх таких непустых непересекающихся подпоследовательностей, что все они образуют мелодии.

Примечание

В первом примере можно составить 4 мелодии, взяв любые 4 ноты (по одной ноте в каждой мелодии).

Во втором примере есть одна мелодия длины 2 — {1, 2}. Остальные ноты используются в оставшихся трёх мелодиях (по одной ноте в мелодии).

E. Мистер Б и полет на Луну

графы Конструктив *2800

Мистеру Б, чтобы долететь до Луны, достаточно решить следующую задачу.

Есть полный неориентированный граф из n вершин, нужно покрыть его несколькими простыми циклами длины 3 и 4 так, чтобы каждое ребро встречалось ровно в 2 циклах.

А вы сможете отправиться на Луну?

Входные данные

Единственное число n (3 ≤ n ≤ 300).

Выходные данные

Если решения не существует, выведите -1.

Иначе в первой строке выведите одно число k (1 ≤ k ≤ n²) — количество циклов в вашем решении.

В каждой из следующих k строк выведите описание одного цикла в следующем формате: сначала выведите число m (3 ≤ m ≤ 4) — длину цикла, а затем m целых чисел v₁, v₂, ..., v_m (1 ≤ v_i ≤ n) — вершины в цикле в порядке обхода. Каждое ребро должно входить ровно в два цикла.

D. Окабэ и город

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *2200

Окабэ любит гулять по городу в освещенных лампами местах. Так ему удается избежать нападения школьников.

Город Окабэ представлен как таблица, строки пронумерованы от 1 до n сверху вниз, столбцы пронумерованы от 1 до m слева направо. Ровно k клеток города освещены лампами. Гарантируется, что левая верхняя клетка освещена.

Окабэ начинает свой путь из верхней левой клетки и хочет попасть в правую нижнюю. Конечно, Окабэ будет ходить только по освещенным клеткам, и может перемещаться из клетки только в соседнюю сверху, снизу, слева или справа. Однако, Окабэ может временно подсветить все клетки в одном столбце или строке, если он заплатит 1 монету, что позволит ему проходить по некоторым клеткам, не подсвеченным изначально.

Заметьте, что Окабэ может подсветить только один столбец или одну строку одновременно, и должен заплатить монету каждый раз, когда подсвечивает новый столбец или строку. Чтобы изменить строку или столбец, подсвеченный временно, он должен стоять в клетке, которая подсвечена изначально. Кроме того, как только он убирает временную подсветку со строки или столбца, все клетки этой строки/столбца, не подсвеченные изначально, перестают быть освещены.

Помогите Окабэ найти минимальное число монет, которое он должен заплатить, чтобы достичь своей цели!

Входные данные

Первая строка содержит три целых числа n, m и k (2 ≤ n, m, k ≤ 10⁴).

Каждая из следующих k строк содержит два целых числа r_i и c_i (1 ≤ r_i ≤ n, 1 ≤ c_i ≤ m) — строку и столбец, в которых находится i-я подсвеченная клетка.

Гарантируются, что все k подсвеченных клеток различны. Гарантируется, что верхняя левая клетка подсвечена.

Выходные данные

Выведите минимальное число монет, которое должен заплатить Окабэ, чтобы достичь правой нижней клетки, или -1, если это невозможно.

Примечание

В первом примере Окабэ может пройти по пути $\text{[math]}$ , заплатив только перед перемещениями в (2, 3) и (4, 4).

В четвертом примере Окабэ может пройти по пути $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ , заплатив перед переходами в (1, 2), (3, 4) и (5, 4).

E. Минимальные метки

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное Структуры данных *2300

Задан ориентированный ацикличный граф из n вершин и m ребер. В нем нет петель и кратных ребер. Граф может быть несвязным.

Необходимо так расставить метки на вершинах, чтобы:

Метки образовывали корректную перестановку длины n. Это последовательность целых чисел, такая, что каждое число от 1 до n встречается в ней ровно один раз.
Если существует ребро от вершины v к вершине u, то label_v должно быть меньше label_u.
Перестановка должна быть лексикографически наименьшей среди всех подходящих.

Найдите последовательность, подходящую под все условия.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n, m (2 ≤ n ≤ 10⁵, 1 ≤ m ≤ 10⁵).

В следующих m строках записаны по два целых числа v и u (1 ≤ v, u ≤ n, v ≠ u) — ребра в графе. Ребра ориентированы, граф не содержит циклов и кратных ребер.

Выходные данные

Выведите n чисел — лексикографически наименьшую корректную перестановку меток вершин.

G. Запросы на дереве

графы Деревья поиск в глубину и подобное *2500

Дано дерево из n вершин (пронумерованных от 1 до n). Изначально все вершины белого цвета. Необходимо обработать q запросов двух типов:

1 x — покрасить вершину x в чёрный цвет. Гарантируется, что первый запрос будет такого типа.
2 x — для вершины x найти минимальный индекс y, такой, что вершина с индексом y принадлежит простому пути от x до некоторой чёрной вершины (простой путь — такой путь, который проходит через каждую вершину не более одного раза).

Выведите ответ на каждый запрос типа 2.

Обратите внимание, что запросы задаются в модифицированном виде.

Входные данные

В первой строке записаны два числа n и q (3 ≤ n, q ≤ 10⁶).

Затем следуют n - 1 строк, в каждой строке записаны два числа x_i и y_i (1 ≤ x_i < y_i ≤ n), обозначающие ребро между x_i и y_i.

Гарантируется, что эти рёбра образуют дерево.

Затем следуют q строк. Каждая строка содержит два целых числа t_i и z_i, где t_i — тип i-го запроса, а z_i используется для восстановления x_i для этого запроса следующим образом: нужно хранить ответ на последний запрос типа 2 (назовём этот ответ last, изначально last = 0); тогда x_i = (z_i + last) mod n + 1.

Гарантируется, что первый запрос типа 1, и существует хотя бы один запрос типа 2.

Выходные данные

Выведите ответ на каждый запрос типа 2.

D. Лучший вес для ребра

графы Деревья поиск в глубину и подобное Структуры данных *2700

Дан связный неориентированный взвешенный граф с n вершинами и m ребрами. Граф не содержит петель и мультиребер. Рассмотрим некоторое ребро с номером i. Для него определим наибольший возможный вес, который можно присвоить этому ребру, чтобы оно содержалось во всех минимальный покрывающих деревьях данного графа.

Требуется для каждого ребра посчитать максимальный вес по описанным правилам. При этом для каждого ребра ответ должен считаться независимо, то есть в графе может существовать максимум одно ребро с измененным весом.

Входные данные

В первой строке даны через пробел два целых положительных числа n и m (2 ≤ n ≤ 2·10⁵, n - 1 ≤ m ≤ 2·10⁵), где n и m — количество вершин и ребер графа соответственно.

В следующих m строках даны по три числа u, v и c (1 ≤ v, u ≤ n, v ≠ u, 1 ≤ c ≤ 10⁹), означающие, что между вершинами u и v есть ребро с весом c.

Выходные данные

В единственной строке выведите через пробел искомые веса ребер в том порядке, в котором они заданы во входных данных. Если ребро при любом весе будет содержаться во всех покрывающих деревьях, выведите для него -1.

C. Трасса

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути *2400

Вы уже точно знаете, что любимый спорт Валерия — биатлон. Благодаря Вашей помощи, он уже научился стрелять без промаха, и на огневом рубеже ему нет равных. Но теперь остается дело за малым — научиться быстрее всех преодолевать маршрут.

Карта трассы представляет собой прямоугольник размером n × m разбитый на клетки. Каждая клетка помечена маленькой латинской буквой (которая означает тип участка), исключение составляют клетка-старт (она помечена заглавной латинской буквой S) и клетка-финиш (она помечена заглавной латинской буквой T). Время перехода от одной клетки к другой равно 1 минуте, временем пути внутри клетки можно пренебречь. Из клетки можно перейти только в соседние по стороне, но запрещается выходить за пределы карты. Также на маршрут накладывается ограничение — запрещается посещать более k различных типов клеток (клетки одного типа можно посещать бесконечное количество раз). Клетки, помеченные символами S и T, не имеют типа, поэтому они не считаются. Но клетка S должна быть посещена ровно один раз — в самом начале, и клетка T должна быть посещена ровно один раз — в самом конце.

Ваша задача найти кратчайший по времени маршрут из клетки S в клетку T, а из всех кратчайших маршрутов нужно выбрать лексикографически минимальный. При сравнении маршрутов лексикографически следует их представлять как последовательность символов — типов участков.

Входные данные

В первой строке входного файла заданы три целых числа n, m и k (1 ≤ n, m ≤ 50, n·m ≥ 2, 1 ≤ k ≤ 4). Далее в n строках задана карта. Каждая строка имеет длину ровно m символов и состоит из строчных латинских букв и символов S и T. Гарантируется, что карта содержит ровно один символ S и ровно один символ T.

Претест 12 является одним из максимальных тестов в этой задаче.

Выходные данные

Если существует путь, удовлетворяющий условию, выведите его как последовательность символов — типов участков, символ S в начале и символ T в конце выводить не следует. Иначе выведите «-1» (без кавычек).

Обратите внимание, что эта последовательность может быть пустой. Этот случай присутствует в претестах. Вы можете ничего не выводить или выводить один символ конца строки. Оба варианта будут засчитаны за правильный ответ.

D. Миша, Гриша и метро

графы Деревья поиск в глубину и подобное *1900

Миша и Гриша — веселые ребята, поэтому они любят кататься на новом метро. В метро есть n станций, соединенных n - 1 перегонами так, что каждый перегон соединяет две станции, и от каждой станции до любой другой можно добраться по перегонам.

Ребята решили повеселиться и затеяли кое-что. А именно, в какой-нибудь день утром Миша проезжает кратчайшим путем от станции s до станции f, и на каждой из станций, мимо которых он проехал (включая s и f), он рисует баллончиком корявую надпись «Здесь был Миша». После чего вечером того же дня, Гриша едет со станции t до станции f кратчайшим путем и считает количество станций, на которых обнаружит надпись Миши. После этого ночью этого же дня работники метро смывают все эти надписи, потому что метро должно быть чистым.

Ребята уже выбрали на несколько дней вперед по три станции a, b и c, одна из которых должна стать станцией s, другая — станцией f, а третья — станцией t в каждый из дней. Им стало интересно, как нужно выбрать из этих трех станций s, f, t так, чтобы число, которое насчитает Гриша, было максимально возможным. Они просят вас помочь им.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и q (2 ≤ n ≤ 10⁵, 1 ≤ q ≤ 10⁵) — количество станций и на сколько дней вперед ребята выбрали станции.

Вторая строка содержит n - 1 целое число p₂, p₃, ..., p_n (1 ≤ p_i ≤ n). Число p_i означает, что есть перегон между станциями p_i и i. Гарантируется, что от каждой станции можно добраться до любой другой.

В следующих q строках находятся по три целых числа a, b и c (1 ≤ a, b, c ≤ n) — номера станций, которые выбрали ребята на очередной день. Обратите внимание, номера этих станций могут совпадать друг с другом.

Выходные данные

Выведите q строк. В i-й строке выведите максимальное число, которое может насчитать Гриша при оптимальном выборе s, t и f из трех станций в i-й день.

Примечание

В первом примере в первый день при s = 1, f = 2, t = 3, Миша поедет по маршруту 1 $\text{[math]}$ 2, а Гриша по маршруту 3 $\text{[math]}$ 1 $\text{[math]}$ 2. Он увидит надпись на станциях 1 и 2. Во второй день при s = 3, f = 2, t = 3, оба мальчика едут по маршруту 3 $\text{[math]}$ 1 $\text{[math]}$ 2. Гриша видит надпись на 3 станциях.

Во втором примере при s = 1, f = 3, t = 2, Миша поедет по маршруту 1 $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 3, а Гриша по маршруту 2 $\text{[math]}$ 3 и увидит надпись на обеих станциях.

F. Дороги в королевстве

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *2500

В королестве К. есть n городов, занумерованных целыми числами от 1 до n. Города соединены n двусторонними дорогами, занумерованными целыми числами от 1 до n. i-я дорога соединяет города u_i и v_i и имеет длину l_i. Между двумя городами не бывает более одной дороги. Также не бывает дорог, которые соединяют город с самим собой.

Назовём неудобством дорог максимальное из кратчайших расстояний между всеми парами городов.

В связи с нехваткой денег было решено отказаться от одной из дорог, при этом после её удаления все города должны быть достижимы друг из друга. Вам необходимо узнать, какое минимальное неудобство дорог можно получить после отказа от одной из дорог.

Входные данные

Первая строка содержит целое число n (3 ≤ n ≤ 2·10⁵) — количество городов и дорог.

Следующие n строк содержат описания дорог. i-я из этих строк содержит три целых числа u_i, v_i, l_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, 1 ≤ l_i ≤ 10⁹) — номера городов, которые соединяет i-я дорога, и длина i-й дороги. Никакая дорога не соединяет город сам с собой, никакие две дороги не соединяют одну и ту же пару городов.

Гарантируется, что всегда можно отказаться от одной из дорог так, чтобы все города были достижимы друг из друга.

Выходные данные

Выведите одно целое число — минимально возможное неудобство дорог после отказа от одной из дорог.

C. Путешествие

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное Теория вероятностей *1500

В Семи Королевствах n городов и n - 1 дорога, каждая дорога соединяет два города, и возможно достичь каждый город из каждого, передвигаясь по дорогам.

Теон и Яра Грейджой начинают путешествовать на лошади по дорогам из первого города. Из-за тумана они не видят, куда лошадь их везет. Когда лошадь входит в город (в том числе в первый), она направляется в один из городов, соединенных с ним. Но это странная лошадь, поэтому она пойдет только в город, в котором до этого не была. Она идет равновероятно в каждый из таких городов и останавливается, если таких городов нет.

Пусть длина каждой дороги 1. Путешествие начинается в городе 1. Чему равно математическое ожидание длины их путешествия? Формально, математическое ожидание — это ожидаемое (то есть среднее) значение. Подробнее можно прочесть по ссылке https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическое_ожидание.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число n (1 ≤ n ≤ 100000) — количество городов.

Далее следует n - 1 строк. i-я из них содержит два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i) — номера городов, соединенных i-й дорогой.

Гарантируется, что возможно достичь каждый город из каждого, передвигаясь по дорогам.

Выходные данные

Выведите одно число — математическое ожидание длины путешествия. Путешествие начинается в городе 1.

Ваш ответ будет считаться правильным, если его абсолютная или относительная точность не превосходит 10^- 6.

А именно, если ваш ответ равен a, а ответ жюри равен b, то ваш ответ будет зачтен, если $\text{[math]}$ .

Примечание

В первом примере путешествие может закончиться в городах 3 или 4 с равной вероятностью. Расстояние до городов 3 и 4 равно 1 и 2, соответственно, поэтому матожидание длины равно 1.5.

Во втором примере путешествие может закончиться в городах 4 или 5. Расстояние до обоих городов 2, поэтому матожидание равно 2.

E. Мать драконов

meet-in-the-middle графы математика Перебор *2700

В Королевстве Ланнистеров n замков и несколько стен, соединяющих два замка, никакие два замка не соединены более, чем одной стеной, ни одна стена не соединяет замок с собой.

Сир Джейме Ланнистер узнал, что Дейенерис Таргариен собирается атаковать его королевство. Он хочет защитить свои владения. У него есть k литров странной жидости. Он хочет распределить эту жидкость между замками так, чтобы каждый замок содержал некоторое количество жидкости (возможно, нулевое или нецелое количество литров). После этого стабильность стены, соединяющей замки a и b, содержащие x и y литров жидкости, соответственно, равна x·y.

Ваша задача — найти максимальную возможную сумму стабильностей стен, которую Сир Джейме Ланнистер сможет достичь

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и k (1 ≤ n ≤ 40, 1 ≤ k ≤ 1000).

Далее следует n строк. В i-й из них содержится n целых чисел a_i, 1, a_i, 2, ..., a_i, n ( $\text{[math]}$ ). Если замки i и j соединены стеной, a_i, j = 1. В противном случае оно равно 0.

Гарантируется, что a_i, j = a_j, i и a_i, i = 0 для всех 1 ≤ i, j ≤ n.

Выходные данные

Выведите одно число — максимальную возможную сумму стабильностей стен, которую Сир Джейме Ланнистер сможет достичь.

Ваш ответ будет считаться правильным, если его абсолютная или относительная точность не превосходит 10^- 6.

А именно, если ваш ответ равен a, а ответ жюри равен b, то ваш ответ будет зачтен, если $\text{[math]}$ .

Примечание

В первом примере, если замки 1, 2, 3 содержат 0.5, 0.5, 0 литров жидкости, соответственно, ответ равен 0.25.

Во втором примере, если замки 1, 2, 3, 4 содержат 1.0, 1.0, 1.0, 1.0 литров жидкости, ответ равен 4.0.

B. Леха и другая игра про графы

графы дп Конструктив поиск в глубину и подобное Структуры данных *2100

Лехе надоело играть с полным графом, который ему подарили в прошлый раз. Теперь он проходит компьютерную игру, где на каждом уровне ему сначала выдается связный неориентированный граф из n вершин и m ребер. Граф может содержать кратные ребра, но не содержит петель. Далее для каждой вершины задается число d_i, которое может равняться 0, 1 или - 1. Чтобы пройти уровень, нужно найти любое «хорошее» подмножество ребер графа или сообщить, что его не существует. Подмножество называется «хорошим», если оставив в исходном графе только ребра из него, то для каждой вершины i будет верно, что d_i = - 1 или ее степень по модулю 2 равна d_i. Леха хотел бы поскорее пройти игру до конца и похвастаться своим друзьям, поэтому он просит Вашей помощи.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n, m (1 ≤ n ≤ 3·10⁵, n - 1 ≤ m ≤ 3·10⁵) — число вершин и ребер соответственно.

Вторая строка содержит n целых чисел d₁, d₂, ..., d_n ( - 1 ≤ d_i ≤ 1) — значения на вершинах.

Каждая из следующих m строк содержит два целых числа u и v (1 ≤ u, v ≤ n) — описание ребер. Гарантируется, что граф во входных данных является связным.

Выходные данные

Выведите - 1 в единственной строке, если решения не существует. Иначе в первой строке выведите целое число k — количество рёбер в ответе. В следующих k строках номера ребер в подмножестве. Ребра нумеруются в порядке ввода, начиная с 1.

Примечание

В первом примере у нас есть одна вершина без рёбер. Её степень 0 и получить 1 не получится.

C. Илья и дерево

графы Деревья математика поиск в глубину и подобное теория чисел *2000

Илья очень любит графы, особенно деревья. Во время последнего похода в лес Илья нашел очень интересное дерево с корнем в вершине 1, в каждой вершине i которого записано одно целое число a_i.

Красотой вершины x Илья называет наибольший общий делитель всех чисел в вершинах на пути от корня до x включительно. При этом Илья может изменить число в одной произвольной вершине на 0, либо оставить все вершины неизменными. Теперь Илью интересует, какая максимальная красота может быть у каждой вершины.

Для каждой вершины ответ нужно считать независимо.

Красота корня равна числу, записанному на нем.

Входные данные

Первая строка содержит целое число n — количество вершин в дереве (1 ≤ n ≤ 2·10⁵).

Следующая строка содержит n целых чисел a_i (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ a_i ≤ 2·10⁵).

Каждая из следующий n - 1 строк содержит два целых числа x и y (1 ≤ x, y ≤ n, x ≠ y), означающие, что в дереве есть ребро (x, y).

Выходные данные

В единственной строке через пробел выведите n чисел, где i-е по порядку числу — максимальная красота вершины i.

E. Никита и игра

Бинарный поиск графы Деревья поиск в глубину и подобное разделяй и властвуй *2800

Никита играет в новую компьютерную игру. Всего в игре m уровней. На каждом уровне появляется новый класс, который наследуется от класса y_i (и y_i является родителем нового класса). Таким образом, классы образуют дерево. Изначально существует только один класс с номером 1.

Поменять класс на его соседа в дереве стоит 1 монету, причем обратно класс поменять нельзя. Стоимость смены класса a на класс b равна суммарной стоимости изменений классов на пути от a до b в дереве классов.

Пусть на i-м уровне максимальная стоимость смены одного класса на другой равна x. Выведите для каждого уровня количество классов, для которых существует такой класс y, что смена с этого класса на y стоит x.

Входные данные

Первая строке содержит целое число m — количество запросов(1 ≤ m ≤ 3·10⁵).

Следующие m строк содержат описание уровней. Строка с номером i (1 ≤ i ≤ m) описывает i -ый уровень и содержит одно целое число y_i — номер класса, от которого наследуется класс с номером i + 1 (1 ≤ y_i ≤ i) .

Выходные данные

Пусть на i -ом уровне максимальная стоимость смены одного класса на другой равна x. Выведите для каждого уровня количество классов, для которых существует такой класс y, что смена с этого класса на y стоит x.

C. Переподвешивание дерева

графы Деревья Конструктив математика поиск в глубину и подобное *2600

Вам дано дерево размера n и разрешается выполнить не более 2n операций над ним. Операция заключается в выборе трех вершин x, y, y', удалении ребра (x, y) и добавлении ребра (x, y'). Операцию x, y, y' можно выполнить в случае, если выполнены все условия:

Ребро (x, y) присутствует в дереве.
После операции граф останется деревом.
При удалении ребра (x, y) дерево распадается на две компоненты связности. Обозначим множество вершин в одной компоненте с вершиной x множеством V_x, а в одной компоненте с вершиной y — множеством V_y. Тогда должно выполняться условие |V_x| > |V_y|, т.е. размер компоненты с x должен быть строго больше размера компоненты с y.

Вам требуется минимизировать сумму квадратов расстояний между всеми парами вершин в итоговом дереве, полученном после не более чем 2n операций, а также предоставить последовательность операций, с помощью которых можно получить итоговое дерево из исходного.

Обратите внимание, что минимизировать количество операций не нужно. Нужно минимизировать исключительно сумму квадратов расстояний.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит целое число n (1 ≤ n ≤ 2·10⁵) — количество вершин в дереве.

Следующие n - 1 строки входных данных содержат пары целых чисел a и b (1 ≤ a, b ≤ n, a ≠ b) — описания рёбер. Гарантируется, что данные ребра образуют дерево.

Выходные данные

В первой строке выведите число k (0 ≤ k ≤ 2n) — количество операций, которые нужно провести, чтобы минимизировать сумму квадратов расстояний между различными парами вершин.

В следующих k строках выведите по три целых числа x, y, y' — номера вершин, участвующих в очередной операции.

Операции, в которых y = y', разрешены (хоть ничего и не меняют), если выполнены условия операции.

Если возможных ответов несколько, выведите любой из них.

Примечание

Иллюстрация изменений графа во втором примере из условия. Темным обозначены ребра после операции, пунктиром — до.

$\text{[math]}$

D. Динамический кратчайший путь

графы кратчайшие пути *3400

Дан взвешенный ориентированный граф, состоящий из n вершин и m ребер. Требуется ответить на q запросов двух типов:

1 v — найти длину кратчайшего пути из вершины 1 в вершину v.
2 c l₁ l₂ ... l_c — прибавить 1 к весам ребер с номерами l₁, l₂, ..., l_c.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит целые числа n, m, q (1 ≤ n, m ≤ 10⁵, 1 ≤ q ≤ 2000) — число вершин и ребер в графе и число запросов, соответственно.

Следующие m строк входных данных содержат описания ребер: в i-й из них находится описание ребра с номером i — три целых числа a_i, b_i, c_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, 0 ≤ c_i ≤ 10⁹) — начало ребра, конец ребра и его изначальный вес, соответственно.

Следующие q строк входных данных содержат описания запросов в вышеописанном формате (1 ≤ v ≤ n, 1 ≤ l_j ≤ m). Гарантируется, что внутри одного запроса все l_j различны, а также что суммарное число ребер в запросах второго типа не превосходит 10⁶.

Выходные данные

Для каждого запроса первого типа выведите строку с одним числом — длиной кратчайшего пути от 1 до v, либо -1, если такого путь не существует.

Примечание

Иллюстрация изменений графа в первом примере из условия:

$\text{[math]}$

Иллюстрация изменений графа во втором примере из условия:

$\text{[math]}$

E. Максимальный поток

графы Потоки *3000

Дан ориентированный граф, состоящий из n вершин и m ребер, с выделенными вершинами s и t. При этом, в вершину s не входит ни одного ребра, а из вершины t не выходит ни одного ребра.

Изначально у каждого ребра была целая пропускная способность c_i > 0. В сети с истоком s и стоком t был построен некоторый максимальный поток, и на ребре номер i записали f_i — сколько единиц потока течет по этому ребру. Затем все пропускные способности c_i и величины f_i потока стерли, оставив лишь направление ребра и индикаторы g_i: течет ли по ребру поток, т.е. 1, если f_i > 0, и 0 иначе.

По графу и индикаторам g_i определите, каково минимально возможное число насыщенных ребер в этой сети (ребро i является насыщенным, если f_i = c_i), и постройте соответствующую сеть c максимальным потоком в ней.

Поток в ориентированном графе задается величинами потока f_i на каждом ребре такими, что выполняются условия:

для каждой вершины, кроме истока и стока, сумма потока на входящих и выходящих из нее ребрах одинакова
для каждого ребра 0 ≤ f_i ≤ c_i

Максимальный поток — такой поток, в котором разность между суммой величин потоков на ребрах, выходящих из истока, и суммой величин потоков на ребрах, входящих в исток (таких в этой задаче нет), максимальна.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит целые числа n, m, s, t (2 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 1000, 1 ≤ s, t ≤ n, s ≠ t) — количество вершин, количество ребер, номер истока и номер стока соответственно.

Каждая из следующих m строк входных данных содержит целые числа u_i, v_i, g_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, $\text{[math]}$ ) — начало ребра номер i, конец ребра номер i, и индикатор, равный 1, если по i-му ребру текла хотя бы одна единица потока, и 0 иначе.

Гарантируется, что никакое ребро не соединяет вершину саму с собой; что между каждой упорядоченной парой вершин не больше одного ребра; что существует хотя бы одна сеть и максимальный поток в ней, удовлетворяющие входным данным.

Выходные данные

В первой строке выведите целое число k — минимальное число ребер, которые должны быть насыщены в максимальном потоке.

В каждой из следующих m строк выведите два целых числа f_i, c_i (1 ≤ c_i ≤ 10⁹, 0 ≤ f_i ≤ c_i) — поток по ребру номер i и пропускную способность ребра номер i. Эти данные должны задавать корректный максимальный поток в сети с такими пропускными способностями, ровно для k ребер должно выполняться f_i = c_i, а также f_i > 0 должно выполняться тогда и только тогда, когда во входных данных для g_i = 1.

Если возможных ответов несколько, выведите любой из них.

Примечание

Иллюстрация к примеру из условия. Темным обозначены насыщенные ребра, пунктиром — ребро, по которому не идет поток (g_i = 0). Число на ребре — номер данного ребра в списке. $\text{[math]}$

G. Кратчайший путь?

графы математика поиск в глубину и подобное *2300

Дан неориентированный граф со взвешенными рёбрами. Длина некоторого пути между двумя вершинами равна побитовому исключающему или весов всех рёбер, по которым проходит путь (если некоторое ребро используется в пути несколько раз, то столько же раз оно учитывается в длине пути). Вам необходимо найти минимально возможную длину пути между вершиной 1 и вершиной n.

Обратите внимание, что граф может содержать кратные рёбра и/или петли. Гарантируется, что граф связный.

Входные данные

В первой строке заданы два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 100000, n - 1 ≤ m ≤ 100000) — количество вершин и рёбер в графе.

Затем следуют m строк. В каждой строке заданы три целых числа x, y и w (1 ≤ x, y ≤ n, 0 ≤ w ≤ 10⁸). Эти числа задают ребро между вершинами x и y с весом w.

Выходные данные

Выведите одно число — минимально возможную длину пути между вершинами 1 и n.

J. Посвящение в студенты

Бинарный поиск графы Потоки *2400

Скоро в Берляндском университете состоится посвящение первокурсников в студенты. Организаторы посвящения придумывают программу этого праздника. По их мнению, было бы хорошо, если бы новоиспечённые студенты подарили друг другу небольшие сувениры. Когда они озвучили эту идею первокурсникам, то выяснили следующее:

некоторые пары первокурсников уже знакомы друг с другом;
каждый первокурсник согласен дарить сувениры только тем, с кем он уже знаком;
каждый первокурсник не хотел бы дарить много сувениров.

Организаторы записали все пары знакомых между собой первокурсников и теперь хотят определить для каждого первокурсника, кому он должен подарить сувениры. По мнению организаторов, в каждой паре знакомых между собой первокурсников ровно один должен подарить сувенир другому.

Первокурсники уже решили назвать самым невезучим того, кому придётся дарить наибольшее количество сувениров. Организаторы в ответ пообещали, что самый невезучий будет минимально невезучим: конечно, ему придётся дарить наибольшее количество сувениров по сравнению с остальными, но это количество будет минимально возможным.

Организаторам очень некогда, и они обратились к вам с просьбой определить для каждой пары знакомых первокурсников, кто кому должен подарить сувенир.

Входные данные

В первой строке содержатся два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 5000, 0 ≤ m ≤ min(5000, n·(n - 1) / 2)) — количество первокурсников и количество пар первокурсников, знакомых между собой. Студенты пронумерованы от 1 до n.

В каждой из следующих m строк содержится по два целых числа x_i, y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i) — номера первокурсников, знакомых между собой.

Гарантируется, что любая пара содержится в списке единожды. Также гарантируется, что если в списке содержится пара (x_i, y_i), в нём не содержится пара (y_i, x_i).

Выходные данные

В первой строке выведите единственное целое число — минимальное количество сувениров, которые подарит самый невезучий первокурсник.

В каждой из следующих m строк выведите по одной паре номеров знакомых между собой первокурсников. Первым в паре выводите номер того первокурсника, который будет дарить сувенир.

Пары можно выводить в любом порядке. Если существует несколько решений, выведите любое из них.

L. Компьютерная сеть Берляндского ГУ

графы Деревья Конструктив поиск в глубину и подобное хэши *2400

В компьютерной сети Берляндского государственного университета имеется n маршрутизаторов, пронумерованных от 1 до n. Некоторые пары маршрутизаторов соединены коммутационными шнурами (патч-кордами). Информация по патч-корду может передаваться в любом из двух направлений. Сеть устроена таким образом, что между любыми двумя маршрутизаторами возможна передача информации (непосредственно или через другие маршрутизаторы). В сети отсутствуют циклы, поэтому между каждой парой маршрутизаторов существует единственный путь по патч-кордам.

К сожалению, точная топология сети была утеряна администраторами. С целью её восстановления была собрана следующая вспомогательная информация.

Для каждого патч-корда p, непосредственно присоединённого к маршрутизатору i, известны все маршрутизаторы, находящиеся за патч-кордом p относительно i. Иными словами, известны все маршрутизаторы, путь от которых до маршрутизатора i включает в себя патч-корд p. Таким образом, для каждого маршрутизатора i составлены k_i списков, где k_i — количество патч-кордов, подключенных к i.

Например, пусть сеть состоит из трех маршрутизаторов, соединённых в цепочку 1 - 2 - 3. Тогда:

маршрутизатор 1: для единственного патч-корда, присоединённого к первому маршрутизатору, составлен единственный список, который содержит два маршрутизатора: 2 и 3;
маршрутизатор 2: для каждого из патч-кордов, присоединённых ко второму маршрутизатору, составлено по списку: один из них содержит маршрутизатор 1, а другой — маршрутизатор 3;
маршрутизатор 3: для единственного патч-корда, присоединённого к третьему маршрутизатору, составлен один список, который содержит два маршрутизатора: 1 и 2.

Помогите администраторам компьютерной сети БГУ восстановить топологию сети, то есть определить все пары маршрутизаторов, непосредственно соединенные патч-кордами.

Входные данные

В первой строке содержится целое число n (2 ≤ n ≤ 1000) — количество маршрутизаторов в сети БГУ.

В каждой из следующих n строк содержатся описания списков для очередного маршрутизатора. Так, i-я строка содержит списки для i-го маршрутизатора.

Описание каждого списка начинается с количества маршрутизаторов в нём. Затем следует символ ':', а после него через запятую перечисляются номера всех маршрутизаторов из списка. Описания списков для каждого патч-корда разделяются символом '-'.

Гарантируется, что для каждого маршрутизатора суммарное количество маршрутизаторов во всех списках равно n - 1, причём все числа в списках каждого маршрутизатора различны. Списки каждого маршрутизатора не содержат номер этого маршрутизатора.

Выходные данные

Если решения не существует, выведите -1.

В противном случае в первую строку выведите число n - 1 — количество патч-кордов в сети. В каждой из следующих n - 1 строк выведите по два целых числа — описания патч-кордов в виде номеров соединяемых ими маршрутизаторов. Информация о каждом патч-корде должна быть выведена ровно один раз.

Примечание

Первый пример разобран в условии.

Ответ для второго примера изображён на рисунке.

$\text{[math]}$

На нём мы можем видеть, что у первого маршрутизатора один список, в котором встречаются все остальные маршрутизаторы. У второго маршрутизатора три списка: в первом — маршрутизатор 4, во втором — маршрутизатор 1, а в третьем — маршрутизаторы 3 и 5. У третьего маршрутизатора один список, в котором встречаются все остальные маршрутизаторы. У четвёртого маршрутизатора тоже один список, в котором встречаются все остальные маршрутизаторы. У пятого маршрутизатора два списка: в первом — маршрутизатор 3, а во втором — маршрутизаторы 1, 2 и 4.

D. Shake It!

графы дп Комбинаторика Потоки *2900

Открывая тайную дверь, раскрой нескончаемый переменчивый сказочный мир.

Назовем миром неориентированный граф G, во множестве вершин которого V(G) есть две особые вершины s(G) и t(G). Начальный мир имеет множество вершин {s(G), t(G)} и ребро между ними.

С начальным миром произошло n изменений. В каждом изменении была добавлена новая вершина w во множество V(G), выбрано существующее ребро (u, v), и добавлены два новых ребра (u, w) и (v, w) во множество ребер E(G). Обратите внимание, некоторые ребра могут быть выбраны в более, чем одном изменении.

Известно, что в итоговом графе минимальный s-t разрез равен m, то есть, нужно удалить хотя бы m ребер, чтобы s(G) и t(G) оказались в разных компонентах связности.

Найдите число непохожих миров, которые могли получиться, по модулю 10⁹ + 7. Два мира называются похожими, если они изоморфны и есть изоморфизм, который не переобозначает вершины s и t. Формально, два мира G и H считаются похожими, если между их множествами вершин существует биекция $\text{[math]}$ такая, что:

f(s(G)) = s(H);
f(t(G)) = t(H);
Две вершины u и v в графе G соседние в G, если и только если f(u) и f(v) соседние в H.

Входные данные

Единственная строка содержит два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 50) — количество выполненных операций и минимальный разрез, соответственно.

Выходные данные

Выведите одно число — число непохожих миров, которые могли получиться, по модулю 10⁹ + 7.

Примечание

В первом примере следующие 6 миров попарно непохожи и удовлетворяют всем ограничениям, s(G) обозначена зеленым, t(G) обозначена синим, один из минимальных разрезов обозначен голубым.

$\text{[math]}$

Во втором примере следующие 3 мира удовлетворяют ограничениям.

$\text{[math]}$

E. Сторожевые башни

Бинарный поиск геометрия графы снм сортировки *2600

В одном далеком-предалеком королевстве живет жадный-прежадный король. Для защиты своих владений он построил n сторожевых башен. Помимо башен, в королевстве есть две армии, во главе каждой из которых стоит властный и самодовольный генерал. Генералы терпеть не могут друг друга, в частности, они никогда не допустят, чтобы в одной из башен находились солдаты обеих армий.

Во время оборонительных действий для управления сторожевой башней генералу необходимо направить часть своей армии в эту башню. Каждый генерал требует у короля гонорар за управление башнями. Поскольку они живут в действительно очень далеком королевстве, каждый генерал оценивает свой гонорар следующим странным образом: он находит две самые удаленные башни, в которых находятся солдаты его армии и требует гонорар, равный этому расстоянию. Каждую башню можно считать точкой на плоскости с координатами (x, y), а расстояние между двумя точками с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) определяется в этом королевстве как |x₁ - x₂| + |y₁ - y₂|.

Жадного короля не совсем устроило такое требование генералов, поэтому он лишь согласился выплатить один гонорар на двоих генералов, равный максимальному из запрашиваемых двух гонораров. Однако, жадность все еще не дает покоя королю, поэтому из всех таких распределений башен между армиями, он хочет отыскать наиболее дешевое. Каждая башня должна быть занята солдатами ровно одной армии.

Для этих целей он нанял Вас. Вам необходимо найти минимальное количество денег, которое хватит для оплаты гонорара. А так как король еще крайне щепетилен, вы должны посчитать количество распределений, которые стоят такой же суммы денег. Поскольку их число может быть крайне велико, королю достаточно знать его значение в виде остатка от деления на 10⁹ + 7.

Два распределения называются различными, если различаются множества башен, занятых солдатами первого генерала.

Входные данные

В первой строке задано целое число n (2 ≤ n ≤ 5000), n — количество сторожевых башен. Далее следует n строк, в каждой из которой содержится два целых числа x, y — координаты i-й башни (0 ≤ x, y ≤ 5000). Никакие две башни не находятся в одной точке.

Претест 6 является одним из максимальных тестов в этой задаче.

Выходные данные

В первую строку выведите минимальное количество денег, которого хватит для выплаты гонорара генералам.

Во вторую строку выведите количество распределений, которые можно реализовать, используя минимальный гонорар. Это число необходимо вычислить по модулю 1000000007 (10⁹ + 7).

Примечание

В первом примере всего две башни, растояние между которыми равно 2. Если мы отдадим одному генералу все две башни, то генералам необходимо будет заплатить 2 условные единицы. В случае когда каждый генерал получит в командование по башне, величина гонорара будет равно 0. Это и есть минимальный гонорар, как не трудно заметить, его мы можем получить двумя способами.

D. Построение турнира

графы дп жадные алгоритмы Конструктив математика *2800

Иван читает книгу про турниры. Ваня уже знает, что турнир это ориентированный граф с ровно одним ребром между каждой парой вершин. Так же он знает, что очки вершины это число ребер, исходящих из нее.

Кроме определений, Иван узнал про критерий Ландау: существует турнир с последовательностью очков d₁ ≤ d₂ ≤ ... ≤ d_n тогда и только тогда, когда $\text{[math]}$ для всех 1 ≤ k < n и $\text{[math]}$ .

Теперь Ваня хочет решить следующую задачу: пусть есть множество чисел S = {a₁, a₂, ..., a_m}, существует ли турнир с данным множеством очков? Иными словами, существует ли турнир с последовательностью очков d₁, d₂, ..., d_n, такой, что если убрать повторяющиеся числа, то получим множество {a₁, a₂, ..., a_m}?

Если ответ существует, найдите турним с минимальным числом вершин.

Входные данные

Первая строка содержит число m (1 ≤ m ≤ 31).

Следующая строка содержит m различных чисел a₁, a₂, ..., a_m (0 ≤ a_i ≤ 30) — элементы множества S. Гарантируется, что элементы множества различны.

Выходные данные

Если ответа не существует, выведите одну строку «=(» (без кавычек).

Иначе, выведите число n — число вершин в ответе.

После этого выведите n строк из n символов каждая — матрицу смежности турнира. j-й элемент i-й строки должен быть равен 1, если в турнире ребро между вершинами i и j направлено в сторону вершины j, и 0 иначе. Главная диагональ должна содержать только нули.

I. Брачное агенство

графы Деревья Перебор поиск в глубину и подобное *2300

Эта история происходит в городе BubbleLand. В этом городе есть n домов. В каждом из этих n домов живет мальчик или девочка. В этом городе люди действительно любят числа, и у каждого есть свое любимое число f. Это означает, что мальчик или девочка, живущие в городе в i-м доме, имеют свое любимое число, равное f_i.

Дома пронумерованы числами от 1 до n.

Дома соединены n - 1 двунаправленными дорогами, от любого дома возможно добраться до любого другого. Между каждой парой домов есть ровно один путь.

Новое брачное агенство открыло свои офисы в этом странном городе, и жители были восхищены. Они сразу же отправили q запросов в агенство, каждый запрос был в следующем формате:

a b — спрашивает, сколько есть способов выбрать пару (мальчик и девочка) такую, что они имеют одинаковое любимое число и живут в домах, находящимся на уникальном пути от дома a до дома b.

Помогите брачному агенству ответить на запросы и расширить их бизнес.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — число домов в городе.

Вторая строка содержит n целых чисел, i-е из этих чисел равно 1, если в i-м доме живет мальчик, и 0, если в i-м доме живет девочка.

Третья строка содержит n целых чисел, где i-е число равно любимому числу f_i (1 ≤ f_i ≤ 10⁹) девочки или мальчика, живущих в i-м доме.

Следующие n - 1 строк содержат информацию о дорогах, i-я из них содержит два целых числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n), которые означают, что есть дорога между этими двумя домами. Гарантируется, что от любого дома можно добраться до любого другого по дорогам.

Следующая строка содержит одно целое число q (1 ≤ q ≤ 10⁵) — число запросов.

Каждая из следующих q строк описывает запрос и содержит два целых числа a и b (1 ≤ a, b ≤ n).

Выходные данные

Для каждого из q запросов выведите единственное число — ответ на этот запрос.

Примечание

В первом вопросе на пути от дома 1 до дома 3 потенциальными парами являются (1, 3) и (6, 3).

Во втором вопросе на пути от дома 7 до дома 5 потенциальными парами являются (7, 6), (4, 2) и (4, 5).

G. Гарри против Волан-де-Морта

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное *3300

После того, как Гарри уничтожил все крестражи Волан-де-Морта, началась их решающая битва. Они кидают друг в друга заклинания, исходящие из волшебных палочек, и заклинания сталкиваются.

Битва происходит в Хогвартсе, который можно представить в виде дерева. В Хогвартсе есть n локаций, соединённых n - 1 двунаправленной дорогой.

Рону, наблюдающему за битвой между Гарри и Волан-де-Мортом, стало интересно, сколько существует троек локаций (u, v, w), таких что если Гарри находится в локации u, а Волан-де-Морт в локации v, их заклинания могут столкнуться в локации w. Это возможно только если u, v и w попарно различны и существуют путь из u в w и путь из v в w, не проходящие по одной и той же дороге.

В хаосе битвы в Хогвартсе стали появляться новые дороги. Вам необходимо вычислять величину, интересующую Рона, после каждого добавления дороги.

Формально, задано дерево из n вершин и n - 1 ребер. q новых рёбер добавляются между вершинами дерева. После каждого добавления необходимо вычислять число троек вершин (u, v, w), таких что u, v и w попарно различны и существуют два пути, один из которых между вершинами u и w, а другой — между v и w, такие, что у них нет общих рёбер.

Входные данные

В первой строке содержится целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество локаций в Хогвартсе.

В каждой из следующих n - 1 строках содержатся два целых числа u и v (1 ≤ u, v ≤ n), показывающие наличие дороги между локациями u и v. Гарантируется, что данный граф является деревом.

В следующей строке задано целое число q (1 ≤ q ≤ 10⁵) — количество новых дорог, добавляемых в граф.

В каждой из следующих q строк содержатся два целых числа u и v, обозначающие новую добавленную дорогу (1 ≤ u, v ≤ n).

Обратите внимание, некоторые новые дороги могут соединять те же локации, что и ранее существующие дороги, или соединять локацию саму с собой.

Выходные данные

В первой строке выведите число троек до всех добавлений.

После этого выведите q строк, в каждой из которых выведите число ans_i, показывающее число троек после i-го запроса о добавлении дороги.

Примечание

В первом примере для изначального дерева только (1, 3, 2) и (3, 1, 2) являются возможными тройками локаций (u, v, w).

После добавления ребра из 2 в 3, возможны тройки локаций (1, 3, 2), (3, 1, 2), (1, 2, 3) и (2, 1, 3).

F. Турне волшебника

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2300

Все жители Берляндии ждут беспрецедентного турне волшебника в голубом вертолете по городам Берляндии!

Известно, что в Берляндии n городов, некоторые пары которых соединены двусторонними дорогами. Каждая пара городов соединена не более чем одной дорогой. Не гарантируется, что дорожная сеть связна, то есть возможно, что из какого-то города невозможно добраться до других, двигаясь по дорогам.

Турне волшебника будет состоять из туров. Во время каждого тура:

волшебник высадится в некотором городе x с вертолета;
даст представление и бесплатно покажет кино в городе x;
проедет по дороге в соседний город y;
даст представление и бесплатно покажет кино в городе y;
проедет по дороге в соседний с y город z;
даст представление и бесплатно покажет кино в городе z;
улетит на вертолете из города z.

Известно, что волшебник не любит путешествовать по дорогам: по каждой дороге он может проехать лишь единожды (независимо от направления). Иными словами для дороги между a и b он может либо проехать один раз из a в b, либо проехать один раз из b в a, либо вообще не проезжать по этой дороге.

Волшебник хочет организовать максимальное количество туров, не нарушив правила изложенные выше. Помогите волшебнику!

Обратите внимание, что волшебник может посещать один город многократно, ограничение на посещения касается исключительно дорог.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n, m (1 ≤ n ≤ 2·10⁵, 0 ≤ m ≤ 2·10⁵) — количество городов и количество дорог в Берляндии соответственно.

Далее следуют описания дорог, по одному описанию в строке. Каждое описание — это пара целых чисел a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i), где a_i и b_i — номера городов, которые соединены i-й дорогой. Гарантируется, что нет двух дорог, соединяющих одну и ту же пару городов. Все дороги — двусторонние. Города пронумерованы от 1 до n.

Возможно, что сеть дорог в Берляндии не является связной.

Выходные данные

В первую строку выведите w — максимальное количество туров волшебника. В следующих w строках выведите сами туры в формате x, y, z — три числа через пробел, номера посещенных за тур городов в порядке посещения.

E. Беспорядок на рабочих местах

графы Деревья Комбинаторика поиск в глубину и подобное снм *2100

Привезли новые рабочие столы, и нужно с ними поскорее разобраться, так как в офисе стало очень тесно! Вам нужно составить новую рассадку инженеров в офисе. Столы пронумерованы, и вы провели опрос среди инженеров, выяснив, за каким столом они работают сейчас, и за каким столом они хотели бы работать (может совпадать с тем столом, за которым они сейчас работают). Каждый инженер должен либо остаться на своем месте, либо переместиться на то место, которое он обозначил как желаемое. Никакие два инженера не работают сейчас за одним столом, и после пересадки никакие два инженера также не должны работать за одним столом.

Сколько существует способов рассадить инженеров так, чтобы удовлетворить описанным ограничениям? Ответ может быть большим, поэтому выведите его по модулю 1000000007 = 10⁹ + 7.

Входные данные

В первой строке находится одно целое число N (1 ≤ N ≤ 100000) — количество инженеров.

Далее следуют N строк, в каждой из них находятся ровно два целых числа. Строка i содержит номер стола, за которым сейчас работает i-й инженер, и затем номер стола, за который i-й инженер хотел бы переехать. Столы пронумерованы от 1 до 2·N. Гарантируется, что никакие два инженера не работают сейчас за одним столом.

Выходные данные

Выведите число способов рассадить всех инженеров по модулю 1000000007 = 10⁹ + 7.

Примечание

Следующие рассадки возможны в первом примере:

1 5 3 7
1 2 3 7
5 2 3 7
1 5 7 3
1 2 7 3
5 2 7 3

B. Махмуд, Ехаб и двудольность

графы Деревья поиск в глубину и подобное *1300

Махмуд и Ехаб продолжают свои приключения! Каждый житель Злой Страны знает, что Доктор Зло любит двудольные графы, особенно деревья.

Дерево — это связный граф без циклов. Двудольный граф — это граф, вершины которого можно разбить на 2 множества таким образом, что для любого ребра (u, v) графа вершины u и v лежат в разных множествах. Более формальное определение дерева и двудольного графа дано ниже.

Доктор Зло дал Махмуду и Ехабу дерево, состоящее из n вершин и сказал добавлять рёбра таким образом, чтобы граф оставался двудольным, а также в нём не было петель и кратных рёбер. Какое максимальное число рёбер они могут добавить?

Входные данные

В первой строке дано целое число n — число вершин в дереве (1 ≤ n ≤ 10⁵).

В следующих n - 1 строках содержатся пары целых чисел u и v (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v) — описание рёбер дерева.

Гарантируется, что заданный граф является деревом.

Выходные данные

Выведите одно число — максимальное число рёбер, которые Махмуд и Ехаб могут добавить в граф.

Примечание

Определение дерева: https://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_(теория_графов)

Определение двудольного графа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Двудольный_граф

В первом тестовом примере единственное ребро, которое можно добавить в граф, чтобы избежать появления петель и кратных рёбер — это (2, 3), но его добавление сделает граф не двудольным.

Во втором тестовом примере Махмуд и Ехаб могут добавить рёбра (1, 4) и (2, 5).

C. 1-2-3

графы реализация *1800

Илья работает в компании по производству роботов. Илья пишет программы для игровых моделей, его текущий проект «Боб» — игровой робот нового поколения. Начальник Ильи интересуется его продвижениями в работе. В частности он хочет узнать, насколько Боб лучше предыдущей модели, «Алисы».

Теперь Илья хочет сравнить навыки своих роботов в простой игре «1-2-3». Эта игра похожа на «Камень-ножницы-бумага»: роботы втайне друг от друга выбирают число из набора {1, 2, 3} и одновременно произносят свое число. Если роботы сказали одно и то же число, тогда объявляется ничья и никто не получает очки. Но если числа различны, то один из роботов зарабатывает очко: робот, назвавший 3, побеждает робота, назвавшего 2, 2 побеждает 1 и 1 побеждает 3.

Программы роботов выбирают числа таким образом, что их выбор в (i + 1)-й игре зависит только от их выбора в i-й игре.

Илья знает, что роботы сыграют ровно k игр, Алиса выберет число a в первой игре, а Боб выберет число b в первой игре. Также он знает программы обоих роботов и может сказать, какое число выберет робот на основе выбора в предыдущей игре. Илья не хочет ждать, пока все k игр будут сыграны, и он просит вас подсчитать количество очков, которое наберет каждый из роботов после финальной игры.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа k, a, b (1 ≤ k ≤ 10¹⁸, 1 ≤ a, b ≤ 3).

После идет 3 строки, в i-й из них записаны 3 числа A_i, 1, A_i, 2, A_i, 3, где A_i, j описывает выборы чисел Алисы, если Алиса выбрала i в прошлой игре, а Боб выбрал j (1 ≤ A_i, j ≤ 3).

После идет 3 строки, в i-й из них записаны 3 числа B_i, 1, B_i, 2, B_i, 3, где B_i, j описывает выборы чисел Боба, если Алиса выбрала i в прошлой игре, а Боб выбрал j (1 ≤ B_i, j ≤ 3).

Выходные данные

Выведите два числа. Первое — количество очков, набранное Алисой, второе — количество очков, набранное Бобом, после k игр.

Примечание

Во втором примере игра идет следующим образом:

$\text{[math]}$

В четвертой и седьмой игре побеждает Боб, в первой игре ничья, а во всех остальных побеждает Алиса.

F. Экскурсии по городам

графы Деревья поиск в глубину и подобное *2700

В Берляндии есть n городов. Некоторые пары городов соединены m односторонними дорогами. Из одного города в другой можно добраться только по этим дорогам. При этом нет дорог, соединяющих город с самим собой. Для любой пары городов (x, y) может быть не более одной дороги из x в y.

Путь из города s в город t представляет собой последовательность городов p₁, p₂, ... , p_k, где p₁ = s, p_k = t, где из города p_i идет дорога в город p_i + 1 для все i от 1 до k - 1. Через любой из городов, кроме последнего города t пути, путь может проходить многократно. Через город t многократно путь проходить не может.

Путь p из s в t называется идеальным, если он является лексикографически минимальным таким путем. Иными словами, p — идеальный путь из s в t, если для любого другого пути q из s в t p_i < q_i, где i — наименьший индекс такой, что p_i ≠ q_i.

В стране работает туристическое агенство, которое предоставляет q необычных экскурсий: j-я экскурсия начинается в городе s_j и заканчивается в городе t_j.

Помогите туристическому агентству для каждой пары s_j, t_j проанализировать идеальный путь из s_j в t_j. Заметим, что идеальный путь из s_j в t_j может не существовать. Такое возможно по двум причинам:

из города s_j невозможно добраться по дорогам в город t_j;
из города s_j возможно добраться по дорогам в город t_j, но для любого такого пути p найдется другой путь q из s_j в t_j, что p_i > q_i, где i — первый индекс, что p_i ≠ q_i.

Анализ идеального пути из s_j в t_j состоит в нахождении города, который является k_j-м в этом пути (при следовании из s_j в t_j).

Напишите программу, которая для каждой тройки s_j, t_j, k_j (1 ≤ j ≤ q) определит, существует ли идеальный путь из s_j в t_j и выведет k_j-й город пути, если таковой есть.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит три целых числа n, m и q (2 ≤ n ≤ 3000,0 ≤ m ≤ 3000, 1 ≤ q ≤ 4·10⁵) — количество городов, количество дорог и количество экскурсий.

Следующие m строк содержат по два целых числа x_i и y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i), обозначающие, что i-я дорога ведет из города x_i в город y_i. Все дороги — односторонние. Между парой городов может быть не более одной дороги в каждом из двух направлений.

Каждая из следующих q строк содержит три целых числа s_j, t_j и k_j (1 ≤ s_j, t_j ≤ n, s_j ≠ t_j, 1 ≤ k_j ≤ 3000).

Выходные данные

В j-ю строку выходных данных выведите город, который расположен k_j-м в идеальном пути из s_j в t_j. Если идеального пути из s_j в t_j не существует или число k_j больше длины этого пути, выведите в j-ю строку '-1' без кавычек.

E. Шестнадцатеричная дислексия

битмаски графы дп Перебор *3300

Копирование больших шестнадцатеричных строк (то есть чисел в системе счисления по основанию 16) вручную может вызывать много ошибок, но это не останавливает людей. Вы обнаружили ошибку в программе, которая, скорее всего, была вызвана ошибкой при копировании такой строки. Вы думаете, что тот, кто копировал строку, не изменил ни одной цифры, и не изменил длину, но, возможно, перепутал порядок цифр. Например, если исходная строка была 0abc, то, возможно, она была изменена в a0cb или 0bca, но не в abc или 0abb.

К сожалению, у вас нет доступа ни к изначальной строке, ни к скопированной, но вы знаете длину этих строк и модуль их разницы (как чисел). Вам будет дана эта разница как шестнадцатеричная строка S, которая дополнена ведущими нулями до длины изначальной (и скопированной) строки. Определите наименьшее возможное численное значение исходной строки.

Входные данные

В единственной строке содержится шестнадцатеричная строка S, записанная только цифрами от 0 до 9 и строчными латинскими буквами от a до f, длиной не более 14. Как минимум одна из цифр не равна нулю.

Выходные данные

Если описанное невозможно, выведите «NO» (без кавычек).

Иначе выведите минимальную шестнадцатеричную строку, соответствующую минимально возможному исходному числу, включая все ведущие нули, дополняющие его до нужной длины. Выводите число в том же формате, что и во входных данных.

Примечание

Численное значение шестнадцатеричной строки вычисляется как сумма произведений каждой из цифр на последовательные степени числа 16, начиная с самой правой цифры, которая умножается на 16⁰. Шестнадцатеричные цифры, большие 9, обозначаются строчными буквами: a = 10, b = 11, c = 12, d = 13, e = 14, f = 15.

Например, численное значение 0f1e равно 0·16³ + 15·16² + 1·16¹ + 14·16⁰ = 3870, численное значение 00f1 равно 0·16³ + 0·16² + 15·16¹ + 1·16⁰ = 241, численное значение 100f равно 1·16³ + 0·16² + 0·16¹ + 15·16⁰ = 4111. Так как 3870 + 241 = 4111 и 00f1 — перестановка 100f, то 00f1 — корректный ответ на второй пример.

E. Полицейский и дерево

графы Деревья дп *2700

Дано дерево (связный неориентированный граф без циклов), его вершины пронумерованы от 1 до n, длина i-го ребра w_i. В вершине s стоит полицейский, также в вершинах x₁, x₂, ..., x_m (x_j ≠ s) расположены m преступников.

Полицейский ходит по ребрам со скоростью 1, преступники могут перемещаться со сколь угодно большой скоростью. Если преступник в какой-то момент находится в одной точке с полицейским, его мгновенно ловят. Определите время, за которое можно поймать всех преступников, если преступники и полицейский действуют оптимально (т.е. преступники максимизируют это время, а полицейский — минимизирует). В любой момент времени все знают текущие положения всех остальных людей.

Входные данные

В первой строке содержится целое число n (1 ≤ n ≤ 50) — количество вершин в дереве. Следующие n - 1 строк содержат по три целых числа u_i, v_i, w_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, 1 ≤ w_i ≤ 50), описывающие ребра и их длины. Гарантируется, что заданный граф — дерево.

Следующая строка содержит целое число s (1 ≤ s ≤ n) — номер вершины, где изначально находится полицейский.

Следующая строка содержит целое число m (1 ≤ m ≤ 50) — количество преступников. В следующей строке записано m целых чисел x₁, x₂, ..., x_m (1 ≤ x_j ≤ n, x_j ≠ s) — номера вершин, где изначально расположены преступники. x_j не обязательно различны.

Выходные данные

Если полицейский не сможет поймать всех преступников, выведите в единственную строку «Terrorists win» (без кавычек).

Иначе выведите одно число — время, за которое полицейский поймает всех преступников.

Примечание

В первом примере один из оптимальных сценариев такой. Преступник 2 перемещается в вершину 3, а преступник 4 — в вершину 4. Полицейский идет в вершину 4 и ловит двух преступников. После этого преступник 1 перемещается в вершину 2. Полицейский идет в вершину 3 и ловит преступника 2, потом идет в вершину 2 и ловит оставшегося преступника.

D. Постоянная вездесущесть

графы Перебор поиск в глубину и подобное *2800

Основная предпосылка справедливости не должна быть правильной, но должна быть сильной. Вот почему справедливость всегда побеждает.

Пчела Циндерсворм. Коёми с ним знаком.

Пчёлы, как известно, живут на дереве. Точнее в полном двоичном дереве с n вершинами, пронумерованными от 1 до n. Вершина с номером 1 является корнем, а предок i-й (2 ≤ i ≤ n) вершины имеет номер $\text{[math]}$ . Учтите, что все рёбра в дереве неориентированные.

Коёми добавил m дополнительных неориентированных рёбер, делая дом пчёл сложнее. А вам нужно посчитать количество простых путей в полученном графе, по модулю 10⁹ + 7. Простой путь это последовательность из вершин, в которой каждые две соседние вершины соединены ребром, а также рёбер, их соединяющих. Кроме того, простой путь не содержит никакую вершину более одного раза. Учтите, что путь из одной вершины также является простым путём. Обратитесь к примерам для лучшего понимания условия.

Входные данные

В первой строке содержатся два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 10⁹, 0 ≤ m ≤ 4) — число вершин в дереве и число добавленных рёбер, соответственно.

В следующих m строках содержатся пары целых чисел u и v (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v), которые описывают ребро, добавленное между вершинами u и v.

Учтите, что в итоговом графе могут быть кратные рёбра.

Выходные данные

Выведите единственное число — количество простых путей в итоговом графе по модулю 10⁹ + 7.

Примечание

В первом тестовом примере простыми путями являются: (1); (2); (3); (1, 2); (2, 1); (1, 3); (3, 1); (2, 1, 3); (3, 1, 2). (Для простоты тут не указаны рёбра в пути, так как в графе нет кратных рёбер)

Во втором тестовом примере простыми путями являются: (1); (1, 2); (1, 2, 3); (1, 3); (1, 3, 2) и аналогичные пути с началами в 2 и 3. (5 × 3 = 15 в итоге.)

В третьем тестовом примере простыми путями являются: (1); (2); и любой путь из одного ребра, пройденного в каком-то направлении. (2 + 5 × 2 = 12 путей в сумме.)

D. Красивая дорога

графы Деревья дп поиск в глубину и подобное реализация снм сортировки *2300

Давным давно где-то в Азии в одной стране шли междоусобные войны.

Каждый из n городов хотел захватить власть, поэтому иногда один город собирал армию и отправлял ее в поход против другого города.

Прокладывание дорог было делом трудным, поэтому их в стране было мало, а именно n - 1. Также из любого города до любого другого можно было добраться по этим дорогам.

Даже во время войны жители Востока остаются людьми духовно богатыми и ценящими красоту природы. И, дабы оставить на века память о своем великом походе, на дороге, на которой в пути армия провела больше всего времени, сажали одно красивое дерево. Жители Востока любят природу, поэтому если таких дорог было несколько, то по одному дереву сажалось на каждой.

Недавно, когда были обнаружены летописи той войны, выяснилось, что каждый город напал на каждый ровно по одному разу. Всего было ровно n(n - 1) походов. Всем стало интересно, какая дорога после тех войн стала самой красивой, то есть на какой дороге посадили больше всего красивых деревьев.

Входные данные

В первой строке записано целое число n (2 ≤ n ≤ 10⁵) — количество городов. Следующие n - 1 строк содержат по три целых числа: номера городов a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n), соединяемых i-ой дорогой и количество дней d_i, затрачиваемое армией на переход по ней (1 ≤ d_i ≤ 10⁹). Длины некоторых дорог могут совпадать.

Выходные данные

В первой строке выведите два числа — количество красивых деревьев на самой красивой дороге и количество самых красивых дорог. Во второй строке выведите список самых красивых дорог, в порядке возрастания номеров. Дороги пронумерованы от 1 до n - 1 в том порядке, в котором они даны во входных данных.

Пожалуйста, не используйте спецификатор %lld для записи 64-х битовых чисел на С++. Рекомендуется использовать поток cout (также вы можете использовать спецификатор %I64d).

E. Точки, прямые и неоригинальные названия

графы Деревья поиск в глубину и подобное снм *2300

На плоскости дано n различных точек с целыми координатами. Для каждой точки можно выполнить одно из трех действий: провести через нее вертикальную прямую, провести через нее горизонтальную прямую или ничего не делать.

Если рассматривать несколько совпадающих прямых как одну, то сколько различных картинок может получиться? Ответ вывести по модулю 10⁹ + 7.

Входные данные

В первой строке дано целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество точек.

Далее идет n строк. В (i + 1)-й строке даны два целых числа x_i, y_i ( - 10⁹ ≤ x_i, y_i ≤ 10⁹) — координаты i-й точки.

Гарантируется, что все точки различны.

Выходные данные

Вывести количество различных картинок по модулю 10⁹ + 7.

Примечание

В первом примере через точки проходят две вертикальные и две горизонтальные прямые. Существуют способы получить картинку из любого набора этих прямых. В частности, получить картинку на которой нарисованы все четыре прямые можно двумя способами (каждый отрезок обозначает прямую, которой отрезок принадлежит).

Первый способ: $\text{[math]}$ Второй способ: $\text{[math]}$

Во втором примере для каждой точки можно независимо выполнить одно из трех действий. Количество картинок равно 3² = 9.

E. Восстановление дерева

графы Деревья жадные алгоритмы *2900

У Пети было дерево, состоящее из n вершин, пронумерованных целыми числами от 1 до n. Но по стечению обстоятельств он своё дерево потерял.

Петя помнит о k вершинах из своего дерева информацию о расстоянии от каждой из них до всех n вершин дерева.

Перед вами стоит задача восстановить любое дерево, удовлетворяющее информации, которую помнит Петя, либо сообщить, что это невозможно.

Входные данные

В первой строке следуют два целых числа n и k (2 ≤ n ≤ 30 000, 1 ≤ k ≤ min(200, n)) — количество вершин в дереве и количество вершин, о которых помнит Петя.

В следующих k строках содержится информация о вершинах, которую помнит Петя. В i-й строке содержится n целых чисел d_i, 1, d_i, 2, ..., d_i, n (0 ≤ d_i, j ≤ n - 1), где d_i, j — расстояние до j-й вершины от i вершины, которую помнит Петя.

Выходные данные

Если не существует подходящего дерева, выведите -1.

В противном случае, выведите в n - 1-й строке по два целых числа — концы очередного ребра. Вы можете выводить ребра и концы ребер в любом порядке. Вершины дерева пронумерованы от 1 до n.

Если ответов несколько, разрешается вывести любой из них.

Примечание

Иллюстрация к первому примеру:

$\text{[math]}$

C. Национальное достояние

2-sat графы поиск в глубину и подобное реализация *2100

Как вы все знаете, в стране Книгерии находится самая большая в мире библиотека. В ней есть десятки тысяч книг, написанных в самые разные периоды человеческой истории.

Здесь была длинная и неинтересная история...

Книгерийский алфавит настолько большой, что его буквы обозначаются целыми положительными числами. Каждая буква алфавита бывает строчной и прописной, прописная версия буквы, соответствующей числу x, обозначается как x'. Кодировка BSCII, используемая повсеместно в Книгерии, устроена таким образом, что прописные буквы упорядочиваются в порядке увеличения числа, обозначающего букву, аналогично упорядочиваются строчные буквы, но при этом все прописные буквы алфавита следуют до всех строчных букв алфавита. Например, верны следующие утверждения: 2 < 3, 2' < 3', 3' < 2.

Слово x₁, x₂, ..., x_a не превосходит слова y₁, y₂, ..., y_b в лексикографическом порядке если верно одно из двух условий:

либо a ≤ b и x₁ = y₁, ..., x_a = y_a, то есть первое слово является префиксом второго;
либо есть такая позиция 1 ≤ j ≤ min(a, b), что x₁ = y₁, ..., x_j - 1 = y_j - 1 и x_j < y_j, то есть, в первой позиции, в которой слова отличаются, в первом слове стоит меньшая буква.

Как следствие, слово «3' 7 5» следует в лексикографическом порядке до слова «2 4' 6». Говорят, что слова в последовательности следуют в лексикографическом порядке, если каждое слово последовательности лексикографически не превосходит следующего слова в последовательности.

У Дениса есть последовательность слов, записанных строчными буквами. Денис хочет поменять некоторые буквы на прописные (такой процесс называется капитализацией) таким образом, чтобы слова стали следовать в лексикографическом порядке. Однако по некоторым причинам он столкнулся с проблемой: он не может капитализировать одну букву в конкретном слове. Единственная операция, которую он может проделать с буквой, это капитализировать все вхождения данной буквы во всех словах. Такую операцию можно проделать любое количество раз с произвольными буквами книгерийского алфавита.

Помогите Денису выбрать, какие буквы надо капитализировать, чтобы слова в заданной последовательности стали идти в лексикографическом порядке, либо определите, что это невозможно.

Обратите внимание, некоторые слова могут совпадать.

Входные данные

В первой строке даются числа n и m (2 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ m ≤ 100 000) — количество слов и количество букв в книгерийском алфавите соответственно. Буквы книгерийского алфавита обозначаются целыми числами от 1 до m.

Каждая из последующих n строк содержит описание слова в формате l_i, s_i, 1, s_i, 2, ..., s_{i, l_i} (1 ≤ l_i ≤ 100 000, 1 ≤ s_i, j ≤ m), где l_i обозначает длину слова, а s_i, j задаёт последовательность букв в слове. Слова даны в порядке, в котором они идут в последовательности.

Гарантируется, что суммарная длина всех слов не превышает 100 000.

Выходные данные

В первой строке выведите «Yes» (без кавычек), если возможно капитализировать некоторое подмножество букв таким образом, чтобы последовательность слов стала отсортированной лексикографически. Иначе выведите «No» (без кавычек).

Если требуемое возможно, во второй строке выведите k — количество букв, которые надо капитализировать, а в третьей строке выведите k различных чисел — номера этих букв. Обратите внимание, минимизировать значение k не требуется.

Номера букв можно выводить в любом порядке. Если существует несколько возможных ответов, выведите любой из них.

Примечание

В первом примере слова после капитализации букв 2 и 3 выглядят следующим образом:

2'
1
1 3' 2'
1 1

Верно соотношение 2' < 1, поэтому первое слово лексикографически не превосходит второго. Второе слово является префиксом третьего, следовательно они идут в лексикографическом порядке. Так как у третьего и четвертого слов первая буква совпадает, а 3' < 1, то третье слово не превосходит четвертого лескикографически.

Во втором примере слова уже расположены в лексикографическом порядке, а значит можно не капитализировать буквы.

В третьем примере не существует набора букв, путём капитализации которых можно добиться, чтобы слова были расположены в лексикографическом порядке.

F. Королевские вопросы

графы жадные алгоритмы снм *2500

В одном средневековом королевстве бушует экономический кризис. Надои молока падают, экономические показатели каждый день пробивают новое дно, деньги из казны пропадают в неизвестном направлении. Чтобы исправить положение, король Карл Солнцеликий принял решение женить своих n сыновей-принцев на невестах с, по возможности, как можно б'{о}льшим приданым.

В поисках кандидаток король отправил гонцов в соседние королевства, в результате чего ко двору прибыли делегации с m незамужними принцессами. Принимая гостей, Карл узнал, что приданое i-й принцессы составляет w_i золотых монет.

Хотя дело и происходит в средневековье, в обществе уже широко распространены прогрессивные представления, в соответствии с которыми никто не может заставить принцессу выйти замуж за принца, который ей не по нраву. Поэтому каждой принцессе была предоставлена возможность выбрать двух принцев, за каждого из которых она готова выйти замуж. Принцам повезло меньше, они в вопросе выбора невесты будут повиноваться воле своего отца.

Зная размер приданого и предпочтения каждой принцессы, Карл хочет сыграть свадьбы таким образом, чтобы суммарное приданое невест всех его сыновей было как можно больше. При этом женить всех принцев или выдавать всех принцесс замуж не обязательно. Каждый принц может жениться не более чем на одной принцессе, и наоборот каждая принцесса может быть выдана не более чем за одного принца.

Помогите королю организовать женитьбу своих сыновей наиболее выгодным для казны способом.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа n, m (2 ≤ n ≤ 200 000, 1 ≤ m ≤ 200 000) — количество принцев и количество принцесс соответственно.

В каждой из последующих m строк находится по три целых числа a_i, b_i, w_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i, 1 ≤ w_i ≤ 10 000) — номера принцев, за которых готова выйти замуж i-я принцесса и размер её приданого.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — максимальное количество золотых монет, которое может получить король, сыграв нужные свадьбы.

D. Оля и энергетики

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное Структуры данных *2100

Оля очень любит энергетики. Настолько сильно, что её комната завалена банками от энергетиков.

Более формально, её комнату можно представить в виде прямоугольного клетчатого поля размером n × m, каждая клетка которого либо завалена банками, либо свободна.

Оля выпила много энергетика и теперь может пробегать k метров за секунду. Каждую секунду она выбирает одно из четырех направлений (вверх, вниз, влево или вправо) и пробегает в нем от 1 до k метров. Конечно, она может бежать только через свободные клетки.

Сейчас Оле нужно попасть из клетки (x₁, y₁) в клетку (x₂, y₂). Сколько секунд ей потребуется, если она будет действовать оптимально?

Гарантируется, что клетки (x₁, y₁) и (x₂, y₂) свободны. Эти клетки могут совпадать.

Входные данные

В первой строке находится три целых числа n, m и k (1 ≤ n, m, k ≤ 1000) — размеры комнаты и скорость Оли.

Далее следует n строк, каждая длиной m символов, i-я из которых содержит на j-й позиции «#», если клетка (i, j) завалена банками и «.» в противном случае.

Последняя строка содержит четыре целых числа x₁, y₁, x₂, y₂ (1 ≤ x₁, x₂ ≤ n, 1 ≤ y₁, y₂ ≤ m).

Выходные данные

Выведите одно число — минимальное время, которое понадобится Оле, чтобы попасть из (x₁, y₁) в (x₂, y₂).

Если Оля не сможет добраться из (x₁, y₁) в (x₂, y₂), выведите -1.

Примечание

В первом примере Оля должна пробежать 3 метра вправо в первую секунду, 2 метра вниз во вторую и 3 метра влево в третью.

Во втором примере Оля должна 3 секунды бежать вправо, 2 секунды вниз и 3 секунды влево.

Оля не рекомендует пить энергетики и вообще считает, что это плохо.

C. Турнир

графы Структуры данных *2700

Недавно в Берляндии начал проводится спортивный турнир по k видам спорта. А Вася хочет подзаработать на ставках.

Схема турнира весьма загадочна и полностью не раскрывается. Состязания проходят последовательно, в каждом их них участвуют два спортсмена, которые ещё не вылетели из турнира. Каждое состязание может проходить в любом из k видов спорта. Проигравший спортсмен вылетает из турнира. Последний оставшийся спортсмен становится победителем турнира. В остальном схема может быть произвольной, заранее она не разглашается.

Васе известны способности спортсменов к разным видам спорта. Он считает, что более способный спортсмен всегда победит менее способного.

Турнир проводится каждый год, и каждый раз к нему присоединяется один новый спортсмен. В первом турнире участвовал лишь один спортсмен, во втором – два, и так далее. Вася следит за турниром в течение n лет. Помогите ему для каждого из n турниров узнать, сколько существует претендентов на победу в турнире.

Входные данные

В первой строке содержатся числа n и k (1 ≤ n ≤ 5·10⁴, 1 ≤ k ≤ 10) — количество турниров и видов спорта, соответственно.

Следующие n строк содержат по k целых чисел s_i1, s_i2, ..., s_ik (1 ≤ s_ij ≤ 10⁹), где s_ij — способность спортсмена i к виду спорта j. Спортсмен с большей способностью всегда выигрывает. Гарантируется, что для каждого вида спорта способности всех спортсменов различны.

Выходные данные

Для каждого из n турниров выведите количество возможных победителей.

Примечание

В первом примере:

В первом турнире участвует один спортсмен, он и является победителем.

Во втором турнире два спортсмена, каждый из которых может обыграть другого, в зависимости от вида спорта.

В третьем турнире третий игрок побеждает любого в любом виде спорта, и он победит при любой схеме.

B. Berland Army

графы жадные алгоритмы Конструктив *2600

There are n military men in the Berland army. Some of them have given orders to other military men by now. Given m pairs (x_i, y_i), meaning that the military man x_i gave the i-th order to another military man y_i.

It is time for reform! The Berland Ministry of Defence plans to introduce ranks in the Berland army. Each military man should be assigned a rank — integer number between 1 and k, inclusive. Some of them have been already assigned a rank, but the rest of them should get a rank soon.

Help the ministry to assign ranks to the rest of the army so that:

for each of m orders it is true that the rank of a person giving the order (military man x_i) is strictly greater than the rank of a person receiving the order (military man y_i);
for each rank from 1 to k there is at least one military man with this rank.

Input

The first line contains three integers n, m and k (1 ≤ n ≤ 2·10⁵, 0 ≤ m ≤ 2·10⁵, 1 ≤ k ≤ 2·10⁵) — number of military men in the Berland army, number of orders and number of ranks.

The second line contains n integers r₁, r₂, ..., r_n, where r_i > 0 (in this case 1 ≤ r_i ≤ k) means that the i-th military man has been already assigned the rank r_i; r_i = 0 means the i-th military man doesn't have a rank yet.

The following m lines contain orders one per line. Each order is described with a line containing two integers x_i, y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i). This line means that the i-th order was given by the military man x_i to the military man y_i. For each pair (x, y) of military men there could be several orders from x to y.

Output

Print n integers, where the i-th number is the rank of the i-th military man. If there are many solutions, print any of them.

If there is no solution, print the only number -1.

G. Orientation of Edges

графы поиск в глубину и подобное *1900

Vasya has a graph containing both directed (oriented) and undirected (non-oriented) edges. There can be multiple edges between a pair of vertices.

Vasya has picked a vertex s from the graph. Now Vasya wants to create two separate plans:

to orient each undirected edge in one of two possible directions to maximize number of vertices reachable from vertex s;
to orient each undirected edge in one of two possible directions to minimize number of vertices reachable from vertex s.

In each of two plans each undirected edge must become directed. For an edge chosen directions can differ in two plans.

Help Vasya find the plans.

Input

The first line contains three integers n, m and s (2 ≤ n ≤ 3·10⁵, 1 ≤ m ≤ 3·10⁵, 1 ≤ s ≤ n) — number of vertices and edges in the graph, and the vertex Vasya has picked.

The following m lines contain information about the graph edges. Each line contains three integers t_i, u_i and v_i (1 ≤ t_i ≤ 2, 1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i) — edge type and vertices connected by the edge. If t_i = 1 then the edge is directed and goes from the vertex u_i to the vertex v_i. If t_i = 2 then the edge is undirected and it connects the vertices u_i and v_i.

It is guaranteed that there is at least one undirected edge in the graph.

Output

The first two lines should describe the plan which maximizes the number of reachable vertices. The lines three and four should describe the plan which minimizes the number of reachable vertices.

A description of each plan should start with a line containing the number of reachable vertices. The second line of a plan should consist of f symbols '+' and '-', where f is the number of undirected edges in the initial graph. Print '+' as the j-th symbol of the string if the j-th undirected edge (u, v) from the input should be oriented from u to v. Print '-' to signify the opposite direction (from v to u). Consider undirected edges to be numbered in the same order they are given in the input.

If there are multiple solutions, print any of them.

F. Распалиндруй!

графы жадные алгоритмы Потоки *2500

Строка a длины m называется антипалиндромной тогда и только тогда, когда m четное, и для каждого i (1 ≤ i ≤ m) a_i ≠ a_{m - i + 1}.

У Ивана есть строка s из n строчных латинских букв; n четно. Он хочет построить некоторую строку t, которая будет антипалидромной перестановкой букв строки s. Также Иван определяет красоту индекса i как b_i, а красоту строки t как сумму b_i по всем таким индексам i, что s_i = t_i.

Помогите Ивану определить максимальную красоту строки t, которую он может получить.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число n (2 ≤ n ≤ 100, n четно) — количество букв в s.

Вторая строка содержит саму строку s. В ней присутствуют только строчные латинские буквы. Гарантируется, что можно переставить в ней буквы так, чтобы получить антипалиндромную строку.

Третья строка содержит n целых чисел b₁, b₂, ..., b_n (1 ≤ b_i ≤ 100), где b_i — красота индекса i.

Выходные данные

Выведите одно число — максимальную возможную красоту строки t.

D. Восстановление строки

графы Конструктив реализация *2000

Назовем подстроку некоторой строки самой частой, если количество ее вхождений не меньше количества вхождений любой другой подстроки.

Дано множество строк. Назовем какую-то строку хорошей, если все элементы множества являются ее самыми частыми подстроками. Восстановите непустую минимальную по длине хорошую строку, а из таких — лексикографически минимальную. Если же таких строк не существует, то выведите «NO» (без кавычек).

Подстрокой называется непрерывная подпоследовательность букв строки. Например, «ab», «c», «abc» являются подстроками строки «abc», а «ac» — нет.

Количество вхождений подстроки в строку равно количеству таких позиций в данной строке, в которых встречается данная подстрока. Вхождения подстроки могут перекрываться.

Строка a лексикографически меньше строки b, если a является префиксом b, или в a стоит меньшая буква на первой позиции, где a и b отличаются.

Входные данные

В первой строке дано целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — количество строк в данном множестве.

Далее следуют n строк, каждая из которых содержит непустую строку из строчных латинских букв. Гарантируется, что все строки различны.

Суммарная длина всех данных строк не превышает 10⁵.

Выходные данные

Выведите непустую минимальную по длине хорошую строку, а из таких минимальную лексикографически, либо «NO» (без кавычек), если таких строк не существует.

Примечание

Можно показать, что в первом тесте есть два варианта хорошей строки минимальной длины: «cfmailru» и «mailrucf». Первый вариант является минимальным лексикографически.

F. Соедини вершины

графы дп *2500

На плоскости отмечены n точек. Точки расположены таким образом, чтобы они образуют правильный многоугольник (отмеченные точки — его вершины, и они пронумерованы по обходу против часовой стрелки). Вам необходимо провести n - 1 отрезков, каждый должен соединять две отмеченные точки, так, чтобы любая точка была достижима из любой другой по некоторому пути из отрезков.

Однако есть некоторые ограничения. Во-первых, некоторые пары точек не могут быть соединены отрезком напрямую. Во-вторых, проведенные отрезки могут касаться только в какой-либо из отмеченных точек (то есть, если на рисунке отрезки пересекаются, и их пересечение не является одной из отмеченных точек, то рисунок некорректный).

Сколько существует способов соединить все вершины, используя n - 1 отрезок? Два способа считаются различными, когда есть такая пара вершин, между которыми есть отрезок в первом способе, но нет во втором. Так как ответ может быть велик, выведите его по модулю 10⁹ + 7.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число n (3 ≤ n ≤ 500) — количество отмеченных точек.

Затем идут n строк, в каждой по n элементов. a_i, j (j-й элемент строки i) равен 1, если точки i и j можно соединить отрезком напрямую (иначе a_i, j = 0). Гарантируется, что для любой пары точек a_i, j = a_j, i, и для любой точки a_i, i = 0.

Выходные данные

Выведите количество способов соединить точки по модулю 10⁹ + 7.

B. Библиотека виджетов

графы дп Разбор выражений реализация *2300

Вася пишет свою собственную библиотеку для построения графического пользовательского интерфейса. Свое детище Вася назвал VTK (VasyaToolKit). Одним из интересных аспектов данной библиотеки является упаковка виджетов друг в друга.

Виджетом называется некоторый элемент графического интерфейса. Каждый виджет имеет ширину и высоту, и занимает некоторый прямоугольник на экране. В Васиной библиотеке любой виджет имеет тип Widget. Далее для простоты мы будем отождествлять виджет и его тип.

Типы HBox и VBox — производные от типа Widget, поэтому тоже являются типами Widget. Виджеты HBox и VBox — особенные. Они могут хранить в себе другие виджеты. Оба эти виджета с помощью метода pack() могут вложить непосредственно в себя какой либо другой виджет. Виджеты типов HBox и VBox могут хранить в себе несколько других виджетов, в том числе несколько одинаковых — они просто будут отображены несколько раз. В результате выполнения метода pack() сохраняется только ссылка на вложенный виджет, то есть при изменении вложенного виджета, его изображение в виджете, в который он вложен, тоже изменится.

Будем считать, что виджет a вложен в виджет b если существует цепочка виджетов a = c₁, c₂, ..., c_k = b, k ≥ 2, для которых c_i вложен непосредственно в c_i + 1 для любого 1 ≤ i < k. В Васиной библиотеке не допускается ситуация, что виджет a вложен в виджет a (то есть в себя) — при попытке вложить виджеты друг в друга таким образом сразу же выдается ошибка.

Также виджеты HBox и VBox имеют параметры border и spacing, которые задаются методами set_border() и set_spacing() соответственно. По умолчанию оба этих параметра равны 0.

$\text{[math]}$

На картинке выше видно каким образом виджеты упаковываются в HBox и VBox. При этом HBox и VBox автоматически меняют свой размер в зависимости от размеров вложенных виджетов. Сами HBox и VBox отличаются только тем, что в HBox виджеты упаковываются по горизонтали, а в VBox — по вертикали. При этом параметр spacing задает расстояние между соседними виджетами, а border — рамку вокруг всех вложенных виджетов нужной ширины. Вложенные виджеты располагаются ровно в том порядке, в котором для них был вызван метод pack(). Если внутри HBox или VBox нет ни одного вложенного виджета, то их размеры равны 0 × 0 вне зависимости от параметров border и spacing.

Построение всех виджетов идет с помощью скриптового языка VasyaScript. Описание этого языка вы найдете в описании входных данных.

Для контрольной проверки верности своего кода Вася просит написать вас программу, вычисляющую размеры всех виджетов по исходному коду на языке VasyaScript.

Входные данные

В первой строке находится целое число n — количество инструкций (1 ≤ n ≤ 100). В последующих n строках располагаются инструкции на языке VasyaScript по одной инструкции на строку. Ниже приведен список возможных инструкций.

«Widget [name]([x],[y])» — создание нового виджета [name] типа Widget шириной [x] единиц и высотой [y] единиц.
«HBox [name]» — создать новый виджет [name] типа HBox.
«VBox [name]» — создать новый виджет [name] типа VBox.
«[name1].pack([name2])» — упаковать виджет [name2] в виджет [name1]. При этом виджет [name1] должен иметь тип HBox или VBox.
«[name].set_border([x])» — установить виджету [name] параметр border в [x] единиц. Виджет [name] должен иметь тип HBox или VBox.
«[name].set_spacing([x])» — установить виджету [name] параметр spacing в [x] единиц. Виджет [name] должен иметь тип HBox или VBox.

Все инструкции записаны без пробелов в начале и в конце строки, слова внутри инструкции разделены ровно одним пробелом. Непосредственно перед числами и непосредственно после них пробелов нет.

Регистр букв имеет значение, то есть, например «wiDget x» — некорректная инструкция. Во входных данных регистр букв соблюден.

Все названия виджетов состоят из малых латинских букв и имеют длину от 1 до 10 символов включительно. Названия всех виджетов попарно различны. Все числа в скрипте целые от 0 до 100 включительно.

Гарантируется, что приведенный скрипт корректен, то есть все действия с виджетами происходят после их создания и никакой виджет не вложен сам в себя. Гарантируется, что в скрипте создается хотя бы один виджет.

Выходные данные

Для каждого виджета в отдельной строке выведите через пробел его название, ширину и высоту. Строки должны быть упорядочены лексикографически по названию виджета.

Примечание

В первом примере виджеты располагаются следующим образом:

$\text{[math]}$

C. Зависть

графы снм Структуры данных *2300

Для заданного связного неориентированного взвешенного графа G минимальным остовным деревом называется подграф G, содержащий все вершины G, являющийся деревом, а также имеющий минимально возможную сумму весов ребер.

Вам дан граф G. Если вы запустите алгоритм по поиску минимального остовного дерева, вы найдете лишь одно минимальное остовное дерево, а другие ребра будут завидовать. Вам дано несколько запросов, каждый запрос содержит подмножество ребер графа G, определите, существует ли минимальное остовное дерево этого графа, содержащее все эти ребра, или нет.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n, m (2 ≤ n, m ≤ 5·10⁵, n - 1 ≤ m) — количество вершин и ребер в графе, соответственно.

i-я из следующих m строк содержит три целых числа u_i, v_i, w_i (u_i ≠ v_i, 1 ≤ w_i ≤ 5·10⁵) — концы и вес i-го ребра. Возможно, что существует более одного ребра между некоторыми парами вершин. Гарантируется, что данный граф связен.

Следующая строка содержит одно целое число q (1 ≤ q ≤ 5·10⁵) — количество запросов.

Далее следуют q строк, i-я из них содержит описание i-го запроса. Она начинается с целого числа k_i (1 ≤ k_i ≤ n - 1) — размера подмножества ребер, а затем следуют k_i различных целых чисел от 1 до m — индексы ребер в подмножестве. Гарантируется, что сумма значений k_i для всех 1 ≤ i ≤ q не превосходит 5·10⁵.

Выходные данные

Для каждого запроса выведите «YES» (без кавычек), если существует минимальное остовное дерево со всеми данными ребрами, и «NO» (конечно же, без кавычек) иначе.

Примечание

На рисунке граф из первого примера:

$\text{[math]}$

Вес минимального остовного дерева равен 6.

Минимальное остовное дерево из ребер (1, 3, 4, 6) содержит все ребра из первого запроса, поэтому ответ на первый запрос «YES».

Ребра из второго запроса образуют цикл длины 3, поэтому не существует остовного дерева, включающего в себя эти три ребра. Поэтому ответ «NO».

C. Слух

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *1300

Вова пообещал себе больше никогда не играть в игры... Но недавно компания Firestorm выпустила очень популярную игру — World of Farcraft, и Вова, конечно же, начал в неё играть.

Он впал в ступор при выполнении очередного квеста — необходимо было прийти в поселение Надгород и распространить там слух.

Вова знает, что в Надгороде живут n персонажей. Некоторые персонажи дружат между собой и готовы делиться информацией друг с другом. Также он знает, что i-й персонаж готов начать распространять слух за c_i золота. Как только персонаж узнаёт слух, он рассказывает его всем своим друзьям, которые, в свою очередь, тоже начинают распространять этот слух (но уже бесплатно).

Вова хочет, чтобы слух узнали все n персонажей Надгорода. За какое минимальное количество золота он сможет это сделать?

Посмотрите примечание для лучшего понимания задачи.

Входные данные

В первой строке входных данных задано два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 10⁵, 0 ≤ m ≤ 10⁵) — количество людей в Надгороде и количество дружеских связей между ними.

В следующей строке входных данных заданы n целых чисел c_i (0 ≤ c_i ≤ 10⁹) — количество золота, за которое i-й персонаж готов начать распространять слух.

В следующих m строках заданы пары (x_i, y_i), обозначающие, что персонажи x_i и y_i дружат (1 ≤ x_i, y_i ≤ n, x_i ≠ y_i). Гарантируется, что никакая пара дружащих персонажей не повторяется.

Выходные данные

Выведите единственное число — минимальное количество золота, за которое Вова сможет выполнить квест.

Примечание

В первом тестовом примере Вове выгоднее всего заплатить первому персонажу (он узнает слух и расскажет его четвёртому персонажу, который в свою очередь расскажет его пятому персонажу). Также ему будет необходимо заплатить второму и третьему персонажам, чтобы они тоже узнали слух.

Во втором тестовом примере необходимо заплатить всем персонажам.

В третьем тестовом примере необходимо заплатить первому, третьему, пятому, седьмому и девятому персонажам, которые расскажут слух своим друзьям.

E. Ральф и грибы

графы дп *2100

Ральф идет в Грибной лес собирать грибы.

В Грибном лесу m ориентированных дорожек, соединяющих n деревьев. На каждой дорожке растут грибы. Когда Ральф проходит по дорожке, он собирает все грибы на этой дорожке. Однако, в Грибном лесу такая плодородная почва, что грибы растут с фантастической скоростью. Новые грибы вырастают, как только Ральф заканчивает собирать грибы на дорожке. А именно, после того, как Ральф проходит по дорожке в i-й раз, вырастает на i грибов меньше, чем было до этого прохода. Таким образом, если на дорожке изначально было x грибов, то Ральф соберет x грибов в первый проход, x - 1 гриб во второй, x - 1 - 2 гриба в третий и так далее. Однако, количество грибов не может стать меньше 0.

Например, пусть изначально на дорожке росло 9 грибов. Тогда количество грибов, которое соберет Ральф, равно 9, 8, 6 и 3 для проходов с первого по четвертый. Начиная с пятого прохода и далее Ральф ничего не сможет собрать с этой дорожки (но все еще может по ней ходить).

Ральф решил начать от дерева s. Какое максимальное количество грибов он может собрать, передвигаясь только по описанным дорожкам?

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 10⁶, 0 ≤ m ≤ 10⁶) — количество деревьев и количество ориентированных дорожек в Грибном лесу, соответственно.

Каждая из следующих m строк содержит три целых числа x, y и w (1 ≤ x, y ≤ n, 0 ≤ w ≤ 10⁸), описывающих дорожку, которая ведет от дерева x к дереву y с w грибами изначально. Возможны дорожки, которые ведут от дерева к нему же, а также несколько дорожек, соединяющих одну и ту же пару деревьев.

Последняя строка содержит одно целое число s (1 ≤ s ≤ n) — начальную позицию Ральфа.

Выходные данные

Выведите одно целое число — максимальное число грибов, которое может собрать Ральф на своем пути.

Примечание

В первом примере Ральф может три раза пройти по кругу и собрать 4 + 4 + 3 + 3 + 1 + 1 = 16 грибов. После этого не будет грибов, которые Ральф может собрать.

Во втором примере Ральф может пойти к дереву 3 и собрать 8 грибов на дорожке от дерева 1 до дерева 3.

C. Разбиение чисел

графы Конструктив математика *1300

У Пети есть n целых чисел: 1, 2, 3, ..., n. Он хочет разбить все свои числа на две непустые группы таким образом, чтобы модуль разности сумм чисел в каждой группе был минимально возможным.

Помогите Пети осуществить разбиение чисел. Каждое из n чисел должно быть ровно в одной группе.

Входные данные

В первой строке следует целое число n (2 ≤ n ≤ 60 000) — количество чисел Пети.

Выходные данные

Выведите в первую строку минимальный модуль разности сумм чисел в каждой группе после разбиения.

Во вторую строку выведите размер первой части разбиения, а затем числа, которые должны быть в первой группе. Числа можно выводить в произвольном порядке. Если ответов несколько разрешается вывести любой из них.

Примечание

В первом примере нужно взять в первую группу числа 1 и 4, а во вторую 2 и 3. Тогда сумма в каждой группе будет равна 5, а абсолютная разность равна 0.

Во втором примере всего два числа, а так как обе группы должны быть непустыми, то одно из чисел нужно взять в первую группу, а другое — во вторую. Тогда модуль разности между суммами чисел в каждой группе будет равен 1.

E. Интересный граф и яблоки

графы поиск в глубину и подобное снм *2300

Хексадесимал очень любит рисовать. Её перу принадлежит большая коллекция графов, как ориентированных, так и не очень. Недавно она начала работу над натюрмортом «интересный граф и яблоки». Интересным считается такой неориентированный граф, у которого каждая вершина принадлежит только одному циклу: забавному кольцу, и, причём, не принадлежит никакому другому циклу. Забавное кольцо — это такой цикл, который проходит через все вершины графа ровно один раз. Также, к забавным циклам относятся петли.

Яблоки она уже нарисовала и некоторые рёбра в графе тоже. Но теперь стало непонятно, как же соединить оставшиеся вершины, чтобы получился в результате интересный граф? Ответ должен содержать наименьшее количество добавляемых рёбер. И, помимо всего прочего, ответ должен быть лексикографически наименьшим. Набор ребер (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n), где x_i ≤ y_i, лексикографически меньше набора (u₁, v₁), (u₂, v₂), ..., (u_n, v_n), где u_i ≤ v_i, в том случае, если последовательность целых чисел x₁, y₁, x₂, y₂, ..., x_n, y_n лексикографически меньше последовательности u₁, v₁, u₂, v₂, ..., u_n, v_n. Если Вы не справитесь, Хексадесимал Вас съест. Живьём.

Входные данные

В первой строке входных данных записана пара целых чисел n и m (1 ≤ n ≤ 50, 0 ≤ m ≤ 2500) — количество вершин и количество рёбер соответственно. В следующих строках записаны пары чисел x_i и y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ n) — вершины, между которыми уже проведены рёбра. Исходный граф может содержать кратные ребра и петли.

Выходные данные

В первой строке выведите слово «YES» или «NO»: можно или нет построить интересный граф. Если ответ «YES», то во второй строке выведите k — количество рёбер, которые нужно добавить к исходному графу. И, наконец, выведите k строк: пары вершин x_j и y_j, между которыми нужно провести рёбра. Результат может содержать кратные рёбра и петли. k может быть равно нулю.

C. Двудольные отрезки

Бинарный поиск графы поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2300

Дан неориентированный граф на n вершинах, в котором нет реберно-простых циклов четной длины (циклов четной длины, которые не проходят по одному ребру два раза). Будем считать, что вершины графа пронумерованы целыми числами от 1 до n.

Требуется ответить на q запросов. Каждый запрос задается отрезком вершин [l; r], требуется посчитать количество его подотрезков [x; y] (l ≤ x ≤ y ≤ r) таких, что граф, в котором оставили только вершины из отрезка [x; y] (включая и x, и y) и ребра между этими вершинами, является двудольным.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 3·10⁵, 1 ≤ m ≤ 3·10⁵) — количество вершин и ребер графа.

Следующие m строк содержат информацию о ребрах графа. В i-й из этих строк содержится два целых числа a_i, b_i, (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i), обозначающие ребро между вершинами a_i и b_i. Гарантируется, что в данном графе нет реберно-простых циклов четной длины.

Следующая строка содержит одно целое число q (1 ≤ q ≤ 3·10⁵) — количество запросов.

Следующие q строк содержат запросы. В i-й из этих строк содержится два целых числа l_i, r_i (1 ≤ l_i ≤ r_i ≤ n) — параметры запроса.

Выходные данные

Выведите q чисел, каждое в новой строке: i-е из них равно количеству таких подотрезков [x; y] (l_i ≤ x ≤ y ≤ r_i), что граф, в котором оставили только вершины из отрезка [x; y] и ребра между этими вершинами, является двудольным.

Примечание

Первый пример расположен на следующей картинке:

$\text{[math]}$

На первый запрос подходят все подотрезки отрезка [1; 3], кроме него самого.

На второй запрос подходят все подотрезки отрезка [4; 6], кроме него самого.

На третий запрос подходят все подотрезки отрезка [1; 6], кроме [1; 3], [1; 4], [1; 5], [1; 6], [2; 6], [3; 6], [4; 6].

Второй пример расположен на следующей картинке:

$\text{[math]}$

D. Взвешивание графа

графы Конструктив поиск в глубину и подобное *2700

Задан cвязный неориентированный граф, состоящий из n вершин и m ребер. Будем считать, что вершины графа пронумерованы целыми числами от 1 до n.

Вам даны n целых чисел c₁, c₂, ..., c_n, каждое из них находится в пределах от - n до n, включительно. Также гарантируется, что четность c_v совпадает с четностью степени вершины v. Степенью вершины называется число входящих в нее ребер.

В задаче вам требуется поставить каждому ребру вес — целое число от - 2·n² до 2·n² (включительно) так, чтобы для каждой вершины v сумма весов входящих в нее ребер была равна c_v, или сообщить, что это невозможно.

Входные данные

В первой строке находится два целых числа n, m (2 ≤ n ≤ 10⁵, n - 1 ≤ m ≤ 10⁵) — число вершин и ребер графа.

В следующей строке следуют n целых чисел c₁, c₂, ..., c_n ( - n ≤ c_i ≤ n), где c_i обозначает желаемую сумму весов ребер, инцидентных вершине i. Гарантируется, что четность c_i совпадает с четностью степени вершины i.

Следующие m строк содержат информацию о ребрах графа. В i-й из этих строк содержится два целых числа a_i, b_i, (1 ≤ a_i, b_i ≤ n; a_i ≠ b_i), обозначающие, что i-е ребро соединяет вершины a_i и b_i.

Гарантируется, что граф связен и не содержит петель и кратных ребер.

Выходные данные

Если решения нет, то выведите «NO».

Иначе, выведите «YES» и m строк, в i-й из этих строк должно содержаться одно целое число w_i ( - 2·n² ≤ w_i ≤ 2·n²) – вес i-го ребра.

G. Очередная задача про максимальный поток

графы Потоки Структуры данных *2700

В этой задаче вам придётся иметь дело с очень специфичной ориентированной сетью (взвешенным ориентированным графом).

Сеть состоит из двух частей: части A и части B. Каждая часть состоит из n вершин; i-ю вершину части A будем обозначать как A_i, а i-ю вершину части B — как B_i.

Для каждого i (1 ≤ i < n) существует ориентированное ребро из A_i в A_i + 1, а также из B_i в B_i + 1. Пропускные способности этих рёбер заданы во входных данных. Также может быть несколько рёбер, ведущих из A в B (но нет таких рёбер, которые ведут из B в A).

Вам необходимо посчитать величину максимального потока из A₁ в B_n в данной сети. Пропускные способности рёбер, ведущих из A_i в A_i + 1, также могут иногда меняться, и вам нужно пересчитывать величину потока после этих изменений. Вся остальная часть сети фиксирована (не происходит никаких изменений в части B, никаких изменений рёбер, ведущих из A в B, никакие рёбра не добавляются и не удаляются).

Посмотрите на пример и пояснение к нему, чтобы лучше понять структуру сети.

Входные данные

В первой строке записаны три числа n, m и q (2 ≤ n, m ≤ 2·10⁵, 0 ≤ q ≤ 2·10⁵) — количество вершин в каждой части, количество рёбер, ведущих из A в B, и количество изменений соответственно.

Далее следуют n - 1 строк. В i-й строке записаны два числа x_i и y_i, обозначающих, что ребро из A_i в A_i + 1 имеет пропускную способность x_i, а ребро из B_i в B_i + 1 имеет пропускную способность y_i (1 ≤ x_i, y_i ≤ 10⁹).

В следующих m строках указываются рёбра из A в B. Каждая строка содержит три целых числа x, y и z, обозначающих ребро из A_x в B_y с пропускной способностью z (1 ≤ x, y ≤ n, 1 ≤ z ≤ 10⁹). Может быть несколько рёбер, ведущих из A_x в B_y.

В последних q строках обозначаются изменения, вносимые в сеть. В i-й из этих строк записаны два числа v_i и w_i, обозначающих, что пропускная способность ребра из A_{v_i} в A_{v_i + 1} становится равной w_i (1 ≤ v_i < n, 1 ≤ w_i ≤ 10⁹).

Выходные данные

Сначала выведите величину максимального потока в исходной сети. Затем выведите q чисел, i-е из которых должно быть равно величине максимального потока после i-го изменения.

Примечание

В примере до всех изменений сеть выглядит так:

$\text{[math]}$

F. Новый год и радужные развилки

графы жадные алгоритмы реализация *2400

У Роя и Бива есть множество из n точек на бесконечной числовой прямой.

Каждая точка имеет один из трех цветов: красный, зеленый или синий.

Рой и Бив хотят соединить все точки несколькими линиями. Линии могут быть проведены между любой парой данных точек. Стоимость линии равна расстоянию между точками, которые она соединяет.

Рой и Бив хотят провести линии так, чтобы они оба видели, что все точки соединены (напрямую или через несколько линий).

Однако, не все так просто: Рой не видит красный цвет, а Бив — синий.

Поэтому они хотят выбрать линии так, что если убрать все красные точки, то оставшиеся синие и зеленые точки будут соединены, и, аналогично, если убрать все синие точки, то оставшиеся красные и зеленые точки будут соединены.

Вычислите минимальную суммарную стоимость набора линий, который удовлетворяет вышеприведенным ограничениям.

Входные данные

Первая строка содержит целое число n (1 ≤ n ≤ 300 000) — количество точек.

Следующие n строк содержат по два объекта p_i и c_i (p_i — целое число, 1 ≤ p_i ≤ 10⁹, c_i — заглавная буква латинского алфавита «R», «G» или «B») — позиция i-й точки и цвет i-й точки. «R» обозначает красный цвет, «G» — зеленый, а «B» — синий. Позиции даны в строго возрастающем порядке.

Выходные данные

Выведите одно целое число: минимальную стоимость подходящего набора линий.

Примечание

В первом тесте из условия оптимально нарисовать линии между точками (1,2), (1,4), (3,4). Их стоимости равны 4, 14, 5, соответственно.

E. Сопроцессор

графы дп жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное *1900

Вам дана программа, состоящая из набора задач. Задачи организованы в ориентированный ациклический граф зависимостей: каждая задача может зависеть от результатов выполнения одной или нескольких других задач, и в графе нет ориентированных циклических зависимостей между задачами. Задача может быть выполнена только после завершения всех задач, от которых она зависит.

Некоторые задачи в графе должны выполняться на сопроцессоре, остальные — только на главном процессоре. За один вызов сопроцессора вы можете передать ему список задач, которые должны выполниться на нем. Для каждой задачи из списка все задачи, от которых она зависит, должны быть либо уже выполнены на момент вызова сопроцессора, либо находиться в этом же списке. Главный процессор начинает выполнение программы и автоматически получает результаты выполнения задач от сопроцессора.

Найдите минимальное количество вызовов сопроцессора, необходимых для выполнения программы.

Входные данные

Первая строка входных данных содержит два целых числа, разделенных пробелом: N (1 ≤ N ≤ 10⁵) — общее количество задач и M (0 ≤ M ≤ 10⁵) — общее количество зависимостей между задачами.

Вторая строка содержит N целых чисел $\text{[math]}$ , разделенных пробелами. Если E_i = 0, задача i должна выполняться на главном процессоре, иначе — на сопроцессоре.

Следующие M строк описывают зависимости между задачами. Каждая строка содержит два целых числа, разделенных пробелами, T₁ и T₂ и означает, что задача T₁ зависит от задачи T₂ (T₁ ≠ T₂). Задачи пронумерованы от 0 до N - 1. Все M пар (T₁, T₂) различны. Гарантируется, что циклических зависимостей между задачами нет.

Выходные данные

Выведите одно число — минимальное количество вызовов сопроцессора, необходимых для выполнения программы.

Примечание

В первом примере задачи 1 и 3 должны выполняться на сопроцессоре. Граф зависимостей линейный, и задачи должны выполняться в порядке 3 -> 2 -> 1 -> 0. Необходимо два вызова сопроцессора: за первый вызов выполняется задача 3, затем выполняется задача 2 на главном процессоре, за второй вызов выполняется задача 1 и наконец выполняется задача 0 на главном процессоре.

Во втором примере задачи 0, 1 и 2 должны выполняться на сопроцессоре. У задач 1 и 2 нет зависимостей, а задача 0 зависит только от задач 1 и 2, поэтому все три задачи 0, 1 и 2 можно выполнить за один вызов сопроцессора. После этого задача 3 выполняется на главном процессоре.

C. Лыжная база

графы Комбинаторика снм *2300

В Моржландии собираются построить лыжную базу. Пока проект находится на стадии строительства. Под строительство базы был выбран большой участок земли, на котором находится n лыжных перекрестков. Изначально эти перекрестки никак не соединены.

В процессе строительства будет проложено m двусторонних лыжных дорог. Дороги строятся по очереди: вначале будет построена дорога с номером 1, потом дорога с номером 2, и так далее. Дорога с номером i соединяет перекрестки с номерами a_i и b_i.

Трасса — это маршрут, обладающий следующими свойствами:

Маршрут замкнут, то есть он начинается и заканчивается в одном и том же перекрестке.
Маршрут содержит хотя бы одну дорогу.
Маршрут не проходит по одной дороге более одного раза, но при этом может проходить через любой перекресток сколько угодно раз.

Будем называть лыжной базой непустое множество дорог, которое можно разбить на одну или более трасс так, чтобы по каждой дороге этого множества проходила ровно одна трасса, при этом каждая трасса может состоять только из дорог выбранного множества. Лыжная база может быть несвязной.

Две лыжные базы считаются различными, если они состоят из разных множеств дорог.

После постройки каждой новой дороги правительство Моржландии хочет знать количество вариантов выбрать лыжную базу на основе некоторого подмножества из уже построенных дорог. Правительство просит вашей помощи в решении данной задачи.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 10⁵, 1 ≤ m ≤ 10⁵) — количество перекрестков и количество дорог соответственно. Далее в m строках следует описание дорог в порядке их постройки. Каждая дорога описывается парой целых чисел a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i) — номерами соединяемых перекрестков. Между парой перекрестков может быть более одной дороги.

Выходные данные

Выведите m строк: i-ая строка должна обозначать количество способов построить лыжную базу после окончания строительства дороги с номером i. Числа следует выводить по модулю 1000000009 (10⁹ + 9).

Примечание

Пусть у нас 3 перекрестка и уже построены 4 дороги между перекрестками (как после построки всех дорог в примере): 1 и 3, 2 и 3, 2 дороги между перекрестками 1 и 2. Участок под постройку будет выглядеть следующим образом:

$\text{[math]}$

Можно выбрать подмножество дорог 3мя способами:

$\text{[math]}$

В первом и втором способах можно выбрать один маршрут, например, 1 - 2 - 3 - 1. В третьем случае можно выбрать один маршрут 1 - 2 - 1.

D. Задача бакалейщика

графы жадные алгоритмы Конструктив *2600

Вчера в бакалее супермаркета была ярмарка. На ярмарке было выставлено в ряд n баночек с приправами, баночки были пронумерованы числами от 1 до n слева направо. После мероприятия баночки перемешались и бакалейщику требуется упорядочить их в порядке возрастания номеров.

Бакалейщик имеет в распоряжении аппарат, который может взять 5 (или меньше) баночек, и переставить их между собой так, как захочет бакалейщик. При этом баночки не обязательно должны стоять подряд. Например из порядка баночек 2, 6, 5, 4, 3, 1 можно получить порядок 1, 2, 3, 4, 5, 6, если выбрать баночки на позициях 1, 2, 3, 5 и 6.

Какое наименьшее количество таких операций потребуется, чтобы упорядочить все баночки в порядке возрастания номеров?

Входные данные

В первой строке записано целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵). Во второй строке через пробел записано n целых чисел a_i (1 ≤ a_i ≤ n) — i-ое число задает номер баночки, стоящей на i-ой позиции. Гарантируется, что все номера различны.

Выходные данные

В первой строке выведите наименьшее количество операций для того, чтобы упорядочить все баночки в порядке возрастания номеров. Далее выведите описание всех действий в следующем формате.

В первой строке описания одного действия укажите сколько баночек нужно взять (k), во второй строке — баночки на каких позициях выбрать (b₁, b₂, ..., b_k), в третьей — новый порядок баночек (c₁, c₂, ..., c_k). После выполнения операции баночка с позиции b_i будет стоять на позиции c_i. Набор (c₁, c₂, ..., c_k) должен являться перестановкой набора (b₁, b₂, ..., b_k).

Если решений несколько, выведите любое.

Примечание

Рассмотрим первый пример. Баночки можно упорядочить за две операции.

Во время перво операции мы возьмем баночки на позициях 1, 3, 6 и 4 и поставим их таким образом, что баночка, которая была на позиции 1 будет после завершения операции находиться на позиции 3, баночка с позиции 3 окажется на позиции 6, баночка с позиции 6 будет находиться на позиции 4, а баночка с позиции 4 переместится на позицию 1.

После первой операции порядок будет выглядеть так: 1, 5, 3, 4, 2, 6.

Во время второй операции баночки на позициях 2 и 5 поменяются местами.

F. Разрушение дерева

графы Деревья жадные алгоритмы Конструктив поиск в глубину и подобное *2400

Задано невзвешенное дерево с n вершинами. С ним производят n - 1 операцию. Каждая из операций состоит в следующем:

выбирается два листа в дереве;
к ответу добавляется длина простого пути между этими листами;
выбирается один из этих двух листов и удаляется из дерева.

До проведения операций ответ равен 0. Очевидно, что после n - 1 проведённой операции в дереве останется одна вершина.

Вам необходимо посчитать, какого максимального ответа можно добиться, если действовать оптимально, и вывести, каким образом необходимо действовать.

Входные данные

В первой строке задано одно целое число n (2 ≤ n ≤ 2·10⁵) — количество вершин в дереве.

В следующих n - 1 строках заданы рёбра дерева в формате a_i, b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, a_i ≠ b_i). Гарантируется, что заданный граф является деревом.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число — максимальный ответ, которого можно достигнуть.

В следующих n - 1 строках выведите действия в порядке их совершения в формате a_i, b_i, c_i, где a_i, b_i — пара листов, выбранных на текущем шаге (1 ≤ a_i, b_i ≤ n), c_i (1 ≤ c_i ≤ n, c_i = a_i или c_i = b_i) — выбранный лист, который удаляется на текущем шаге.

Посмотрите в примеры для лучшего понимания.

D. Рыбки

графы жадные алгоритмы кратчайшие пути Структуры данных Теория вероятностей *2100

Пока Гриша встречает Новый Год в компании Деда Мороза, Миша дарит Саше небольшой прямоугольный прудик размера n × m, поделенный на клеточки размера 1 × 1, в которых обитают маленькие злобные рыбки (не более одной рыбки на клеточку, иначе они подерутся!).

Вместе с прудиком в комплекте идет квадратный сачок размера r × r, предназначенный для рыбной ловли. Так, если поместить левый нижний угол сачка клеточку с координатами (x, y), будут пойманы все рыбки в квадрате (x, y)...(x + r - 1, y + r - 1). Отметим, что в процессе сачок должен полностью находиться внутри прудика.

К сожалению, Саша совсем не искушена в благородном искусстве рыбной ловли, поэтому закидывает сачок случайным образом. Чтобы та не расстраивалась из-за плохих результатов, Миша решил выпустить в различные клеточки изначально пустого прудика k рыбок так, чтобы математическое ожидание количества пойманных сачком рыбок было бы максимально. Помогите ему этого достигнуть и обрадовать Сашу! А именно, расположите k рыбок в различных клетках так, чтобы при забрасывании сачка в случайное из (n - r + 1)·(m - r + 1) положений среднее количество рыбок в сачке было максимально возможным.

Входные данные

В единственной строчке заданы четыре целых числа — n, m, r, k (1 ≤ n, m ≤ 10⁵, 1 ≤ r ≤ min(n, m), 1 ≤ k ≤ min(n·m, 10⁵)).

Выходные данные

Выведите одно число — максимально возможное математическое ожидание числа пойманных рыбок.

Ваш ответ будет зачтен, если его относительная или абсолютная ошибка не превосходит 10^- 9. А именно, пусть ваш ответ равен a, а ответ жюри — b. Ваш ответ будет зачтен, если $\text{[math]}$ .

Примечание

В первом примере можно выпустить рыбок в клетки (2, 1), (2, 2), (2, 3). В таком случае для любой из четырех возможных конфигураций сачка (выделены салатовым) количество рыбок внутри будет равняться двум, как и математическое ожидание.

$\text{[math]}$

F. Сильносвязный турнир

графы дп математика Теория вероятностей *2800

В городе Нормгород проходит шахматный турнир. n игроков были приглашены для участия в нём. Турнир проходит по следующим правилам:

Каждый игрок играет с каждым другим одну партию, ничьих не бывает;
После этого организаторы строят полный ориентированный граф, вершинами которого являются игроки. Для каждой пары игроков в графе есть одно ребро, начало которое идет от победителя игры между ними к проигравшему;
После этого граф конденсируется. Так как исходный граф полный, то его конденсация — ацикличный полный ориентированный граф, в котором есть единственный гамильтонов путь из компонент сильной связности исходного графа A₁ → A₂ → ... → A_k;
Игроки из первой компоненты сильной связности A₁ занимают первые $\text{[math]}$ мест, игроки из компоненты A₂ занимают следующие $\text{[math]}$ мест, и так далее;
Для того, чтобы определить, кто какое место занял внутри каждой компоненты сильной связности, все шаги с 1 по 5 повторяются рекурсивно для каждой компоненты, то есть, для всех i = 1, 2, ..., k все игроки из компоненты A_i снова играют друг с другом партию, и так далее.
Если компонента сильной связности состоит из одного человека, то ему больше не с кем играть, его место уже однозначно определено, и процесс останавливается.

Игроки пронумерованы числами от 1 до n. Нумерация была выполнена по результатам прошлого турнира. Известно, что игрок с номером i побеждает игрока с номером j с вероятностью p при i < j.

Вам поручено помочь с организацией турнира. Найдите математическое ожидание суммарного количества партий, сыгранных всеми игроками.

Можно показать, что ответ может быть выражен как $\text{[math]}$ , где P и Q — взаимно простые целые числа, а $\text{[math]}$ . Выведите значение P·Q^- 1 по модулю 998244353.

Если вы не знакомы с понятиями теории графов, используемыми выше, вы можете ознакомиться с ними по ссылке.

Входные данные

В первой строке содержится целое число n (2 ≤ n ≤ 2000) — количество игроков.

Во второй строке даны два целых числа a и b (1 ≤ a < b ≤ 100) — числитель и знаменатель дроби $\text{[math]}$ .

Выходные данные

В единственной строке выведите математическое ожидание суммарного количества партий в игре в формате, приведенном выше.

Примечание

В первом примере математическое ожидание равно 4.

Во втором примере математическое ожидание равно $\text{[math]}$ .

В третьем примере математическое ожидание равно $\text{[math]}$ .

D. Почти ацикличный граф

графы поиск в глубину и подобное *2200

Задан ориентированный граф, состоящий из n вершин и m ребер (рёбра являются направленными, т. е. по каждому ребру можно проходить только в одном направлении). Разрешается удалить не более одного ребра из него.

Можно ли сделать этот граф ацикличным, совершив такую операцию? Граф называется ацикличным, если в нём не существует циклов (цикл — непустой путь, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же вершине).

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 500, 1 ≤ m ≤ min(n(n - 1), 100000)) — количество вершин и ребер, соответственно.

Затем идут m строк. В каждой записаны по два целых числа u и v, задающие ориентированное ребро из вершины u в вершину v (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v). Каждая упорядоченная пара (u, v) встречается не более одного раза (существует не более одного ориентированного ребра из u в v).

Выходные данные

Если возможно сделать граф ацикличным, удалив не более одного ребра, то выведите YES. В противном случае выведите NO.

Примечание

В первом примере можно удалить ребро $\text{[math]}$ , и граф станет ацикличным.

Во втором примере необходимо удалить не менее двух ребер (например, $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ ), чтобы сделать граф ацикличным.

F. Несбалансированность дерева

графы Деревья снм Структуры данных *2400

Задано дерево T, состоящее из n вершин. На каждой вершине записано число; на i-й — a_i. Определим функцию I(x, y) — разница между максимальным и минимальным значением a_i на простом пути между вершинами x и y.

Ваша задача — вычислить $\text{[math]}$ .

Входные данные

В первой строке записано одно целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁶) — количество вершин в дереве.

Во второй строке записаны n целых чисел a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ 10⁶) — числа, записанные на вершинах.

Затем задана n - 1 строка. В каждой записано по два целых числа x и y, задающие ребро между вершинами x и y (1 ≤ x, y ≤ n, x ≠ y). Гарантируется, что данные ребра формируют дерево.

Выходные данные

Выведите одно число — $\text{[math]}$ .

C. Джейми и интересный граф

графы Конструктив кратчайшие пути *1600

Джейми называет неориентированный взвешенный граф интересным если он обладает следующими свойствами:

Граф связен и содержит ровно n вершин и m рёбер.
Все веса рёбер — целые числа и принадлежат отрезку [1, 10⁹].
Вес кратчайшего пути из вершины 1 в n является простым числом.
Сумма весов рёбер в минимальном остовном дереве графа является простым числом.
Граф не содержит петель и кратных рёбер.

В разделе «Примечание» содержатся описания терминов выше.

Помогите Джейми найти какой-нибудь интересный граф.

Входные данные

В первой строке содержатся два целых числа n и m $\text{[math]}$ — требуемое количество вершин и рёбер.

Выходные данные

В первой строке выведите два целых числа sp, mstw (1 ≤ sp, mstw ≤ 10¹⁴) — вес кратчайшего пути и сумма весов рёбер в минимальном остовном дереве найденного графа.

В следующих m строках выведите рёбра графа. В каждой строке выведите три целых числа u, v, w (1 ≤ u, v ≤ n, 1 ≤ w ≤ 10⁹) обозначающие ребро между вершинами u и v и имеющее вес w.

Примечание

Граф из первого тестового примера: $\text{[math]}$ Последовательность вершин в кратчайшем пути: {1, 2, 3, 4}. Рёбра минимального остовного дерева обозначены звёздочкой (*).

Определения терминов из условия:

Кратчайший путь в неориентированном графе — это последовательность вершин (v₁, v₂, ... , v_k) такая, что существует ребро между v_i и v_i + 1 1 ≤ i < k и сумма весов $\text{[math]}$ минимальна, где w(i, j) — это вес ребра между вершинами i и j. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_кратчайшем_пути)

Простое число — это целое число, большее 1, такое, что у него нет положительных делителей отличных от 1 и этого числа. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число)

Минимальное остовное дерево графа — это подмножество рёбер связного, неориентированного, взвешенного графа, соединяющее все вершины, не имеющее циклов и имеющее минимальную возможную сумму весов рёбер, в него входящих. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Минимальное_остовное_дерево)

B. Безумная Макс

графы дп игры поиск в глубину и подобное *1700

Как мы все знаем, Макс лучше всех играет в компьютерные игры. Ее друзья настолько ей завидуют, что придумали игру в реальном мире, чтобы показать, что она не во всех играх лучшая. Игра проходит на ориентированном ациклическом графе с n вершинами и m ребрами. На каждом ребре написан символ — строчная латинская буква.

$\text{[math]}$

Играют Макс и Лукас. Первой ходит Макс, потом ходит Лукас, затем снова Макс и так далее. У каждого игрока есть камешек, изначально расположенный в некоторой вершине. Каждый игрок в свой ход должен передвинуть свой камешек вдоль одного ребра (игрок может передвинуть камешек из вершины v в вершину u, если есть ребро из вершины v в u). Если игрок передвигает камешек из вершины v в вершину u, то «символом» этого раунда называется символ, написанный на ребре из v в u. Есть одно дополнительное правило: ASCII код символа раунда i должен быть не меньше, чем ASCII код символа раунда i - 1 (для i > 1). Раунды нумеруются для всех игроков вместе, иными словами, Макс ходит в нечетных раундах, в Лукас — в четных. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Камешки могут находиться в одной вершине в одно и то же время.

Поскольку игра занимает некоторое время, а Лукас и Макс должны найти Дарта, у них нет времени для игр. Они спрашивают у вас, кто выиграет, если оба будут играть оптимально?

Вам необходимо определить победителя в игре для всех возможных начальных позиций камешков.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 100, $\text{[math]}$ ).

Следующие m строк содержат ребра. Каждая строка содержит два целых числа v, u и строчную латинскую букву c (1 ≤ v, u ≤ n, v ≠ u), которые означают, что есть ребро из вершины v в u, и на нем написана буква c. Между каждой парой вершин есть не более одного ребра. Гарантируется, что в графе нет циклов.

Выходные данные

Выведите n строк, в каждой по n символов. j-й символ в i-й строке должен быть «A», если Макс побеждает в игре, где ее камешек изначально в вершине i, а камешек Лукаса — в вершине j, и «B» иначе.

Примечание

Граф из первого примера показан на рисунке ниже:

$\text{[math]}$

Граф из второго примера показан на рисунке ниже:

$\text{[math]}$

D. Подстрока

графы дп поиск в глубину и подобное *1700

Дан граф из $n$ вершин и $m$ ориентированных ребер. В каждой вершине записана некоторая строчная латинская буква. Определим величину пути как наибольшее количество раз, которое какая-то буква встречалась на этом пути. Например, если буквы на пути образуют строку «abaca», то величина этого пути равна $3$. Ваша задача — найти путь с наибольшей величиной.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n, m$ ($1 \leq n, m \leq 300\,000$), означающих, что в графе $n$ вершин и $m$ ориентированных ребер.

Вторая строка содержит строку $s$, состоящую только из строчных латинских букв. Символ номер $i$ — это буква, записанная в вершине номер $i$.

Далее следуют $m$ строк. Каждая из этих строк содержит два целых числа $x, y$ ($1 \leq x, y \leq n$), описывающих ориентированное ребро из $x$ в $y$. Обратите внимание, $x$ может быть равно $y$, и могут быть несколько ребер между $x$ и $y$. Кроме того, граф может быть несвязным.

Выходные данные

Выведите одно число — максимальную величину пути. Если существуют пути со сколь угодно большой величиной, выведите -1.

Примечание

В первом примере путь с максимальной величиной — это $1 \to 3 \to 4 \to 5$. Величина этих путей равна $3$, т. к. буква «a» встречается $3$ раза.

F. Игра с числами

графы игры кратчайшие пути *2600

Представим, что Алиса играет в карточную игру со своим другом Бобом. У каждого из них есть ровно $8$ карт, и на каждой карте есть целое число от $0$ до $4$. На каждом ходу Алиса или Боб по очереди выбирают две карты, по одной у каждого, пусть это будут карты $a$ и $b$, где $a$ — число на карте игрока, совершающего ход, а $b$ — число на карте соперника. Необходимо, чтобы $a \cdot b \ne 0$. Затем игрок вычислает $c = (a + b) \bmod 5$ и заменяет число $a$ на $c$. Игрок, который первым получит $0$ на всех своих $8$ картах, побеждает.

Теперь Алиса хочет узнать, кто выигрывает при каких начальных условиях. Она даст вам числа на ее картах, числа на картах Боба, и кто будет ходить первым. Ваша задача — узнать, кто выигрывает, если оба играют оптимально.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $T$ ($1 \leq T \leq 100\,000$), обозначающее число ситуаций, которые вам надо рассмотреть.

Далее описываются эти $T$ ситуаций. Для каждой ситуации:

Первая строка содержит неотрицательное число $f$ ($0 \leq f \leq 1$), где $f = 0$ означает, что Алиса ходит первой, а $f = 1$ означает, что первым ходит Боб.
Вторая строка содержит $8$ неотрицательных целых чисел $a_1, a_2, \ldots, a_8$ ($0 \leq a_i \leq 4$), описывающих карты Алисы.
Третья строка содержит $8$ неотрицательных целых чисел $b_1, b_2, \ldots, b_8$ ($0 \leq b_i \leq 4$), описывающих карты Боба.

Гарантируется, что, если $f=0$, то $\sum_{i=1}^{8}a_i \ne 0$. Если $f=1$, то $\sum_{i=1}^{8}b_i \ne 0$.

Выходные данные

Выведите $T$ строк. Для каждой ситуации определите, кто выигрывает. Выведите

«Alice» (без кавычек), если выигрывает Алиса.
«Bob» (без кавычек), если выигрывает Боб.
«Deal» (без кавычек), если никто не сможет выиграть.

Примечание

В первой ситуации у Алисы на всех картах нули $0$. Она мгновенно выигрывает.

Во второй ситуации Боб выбирает числа $4$ и $1$. Так как $(4 + 1) \bmod 5 = 0$, Боб выигрывает после этого хода.

В третьей ситуации, Алиса выбирает числа $1$ и $4$. Она выигрывает после этого хода.

В четвертой ситуации можно доказать, что игра зайдет в цикл.

E. Связные компоненты?

графы поиск в глубину и подобное снм Структуры данных *2100

Дан неориентированный граф, состоящий из n вершин и $\text{[math]}$ ребер. Вместо того, чтобы задавать ребра, которые присутствуют в графе, мы даем m неупорядоченных пар (x, y) таких, что между вершинами x и y не существует ребра, и если пара вершин не встречается во входных данных, то в графе есть ребро между ними.

Необходимо найти количество связных компонент в графе и размер каждой компоненты. Связная компонента — это такой набор вершин X, что для любой пары вершин в компоненте существует хотя бы один путь, соединяющий их, и добавление любой новой вершины в X нарушает это правило.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 200000, $\text{[math]}$ ).

Затем идут m строк, каждая содержит пару целых чисел x и y (1 ≤ x, y ≤ n, x ≠ y), означающую, что не существует ребра между x и y. Каждая пара присутствует во входных данных не более одного раза; (x, y) и (y, x) считаются одинаковыми (они так же никогда не встретятся одновременно в одном тесте). Если какая-то пара вершин не упомянута, то между этими вершинами есть ребро.

Выходные данные

Сначала выведите k — количество связных компонент в графе.

Затем выведите k чисел — размеры компонент. Эти числа должны идти в неубывающем порядке.

F. Общественный транспорт

графы Деревья Конструктив *3200

В стране Боба N городов, соединенных дорогами. Между некоторыми парами городов можно проехать на общественном транспорте. Есть две конкурирующие компании: Бобавто возит пассажиров на автобусах, а Бобжд управляет пассажирскими поездами. Чтобы проехать из города A в город B, пассажир сначала должен выбрать вид транспорта, который он будет использовать (автобус или поезд), и затем отправиться в путь. Для каждой пары городов существует ровно два способа добраться из одного города в другой, не посещая ни один город дважды: один способ использует автобусы, другой — поезда. Кроме того, никакая пара городов не соединена одновременно автобусной линией и железной дорогой напрямую.

У вас есть схемы обеих сетей. К сожалению, каждая компания использует различные названия для одних и тех же городов. А именно, автобусная компания нумерует города от 1 до N, а железнодорожная — от N + 1 до 2N. Найдите какое-либо возможное соответствие между этими нумерациями такое, что никакая пара городов не соединена одновременно автобусным и железнодорожным маршрутом напрямую. Обратите внимание на то, что различным городам на одной схеме должны соответствовать различные города другой схемы.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число N (2 ≤ N ≤ 10000) — количество городов.

Следующие N - 1 строк описывают маршрутную сеть Бобавто. Каждая строка содержит два целых числа u и v (1 ≤ u, v ≤ N), означающие, что есть прямой автобусный маршрут между городами u и v.

Следующие N - 1 строк описывают железнодорожную сеть Бобжд. Каждая строка содержит два целых числа u и v (N + 1 ≤ u, v ≤ 2N), означающие, что есть прямой железнодорожный маршрут между городами u и v.

Выходные данные

Если решения нет, выведите единственную строку, содержащую слово «No».

Если решение существует, выведите две строки. В первой строке выведите слово «Yes». Во второй строке выведите N целых чисел P₁, P₂, ..., P_N (N + 1 ≤ P_i ≤ 2N) — соответствие между двумя схемами. А именно, для i ≠ j должно выполняться P_i ≠ P_j, и для всех автобусных маршрутов (i, j) не должно быть прямого железнодорожного маршрута (P_i, P_j).

Если существует несколько решений, выведите любое.

Примечание

Первый пример показан на рисунке (автобусные линии красные, железнодорожные — синие):

$\text{[math]}$

C. Управление зависимостями

*особая задача графы реализация *1900

Поликарп разрабатывает проект на языке Vaja и использует популярную систему управления зависимостями Vamen. С точки зрения Vamen и проекты, и библиотеки на Vaja называются просто проектами.

В Vamen каждый проект имеет уникальное название из строчных латинских букв длины от 1 до 10 и версию — положительное целое число от 1 до 10⁶. Каждый проект (помните, что в этот термин включается не только название, но и конкретная версия) может зависеть от других проектов. Конечно, все зависимости ациклические.

Вам задан набор описаний проектов. Первый из заданных проектов — это тот, который в настоящий момент разрабатывается Поликарпом. Помогите Поликарпу определить все проекты, от которых прямо или по цепочке зависит проект Поликарпа.

Возможно, что проект Поликарпа зависит от одного и того же проекта разных версий (то есть имя проекта одинаково, а версии разные). В этом случае происходит разрешение коллизий, которое для разрабатываемого проекта выбирает такую версию зависимости, длина цепочки зависимостей до которой минимальна. Если таких версий несколько, выбирается максимальная версия из них.

Таким образом, если проект Поликарпа зависит (прямо или по цепочке) от нескольких проектов с одинаковыми названиями, но разными версиями, то необходимо выбрать такую версию, длина цепочки зависимостей до которой от проекта Поликарпа минимальна (если таких версий несколько — максимальную из них). Именно эта версия для заданного названия проекта используется как действительная зависимость, остальные версии и их зависимости игнорируются.

Формально, необходимо выбрать такой набор проектов минимального размера, чтобы выполнялись следующие условия:

выбран проект Поликарпа;
проект Поликарпа прямо или косвенно зависит от каждого из выбранных проектов;
нет двух выбранных проектов с одинаковыми названиями;
для каждого проекта x, от которого напрямую зависит некоторый выбранный проект или проект Поликарпа, верно, что либо этот проект x тоже выбран, либо выбран проект y с таким же названием, но другой версией, причем либо цепочка зависимостей от проекта Поликарпа до проекта y короче, чем до проекта x, либо цепочки имеют равную длину, и версия проекта y больше, чем версия проекта x.

Выведите все зависимости (прямые или по цепочке) проекта Поликарпа. Сам проект Поликарпа выводить не нужно. Выводите зависимости в порядке лексикографического порядка увеличения названий.

Входные данные

В первой строке следует целое число n (1 ≤ n ≤ 1 000) — количество проектов языка Vaja.

Далее следует описание всех n проектов. Каждый проект задается строкой, состоящей из имени (непустая строка, состоящая из строчных букв латинского алфавита; длина не превосходит 10) и версии (целое число от 1 до 10⁶), которые записаны через одиночный пробел. Затем следует строка с количеством непосредственных зависимостей (целое число от 0 до n - 1), затем сами зависимости по одной в строке в произвольном порядке. Каждая зависимость задается как название и версия (записаны через одиночный пробел). Проекты заданы в произвольном порядке, но первый из них — проект Поликарпа. Описание проектов разделяется пустой строкой.

Гарантируется, что циклических зависимостей нет. Проекты разделены одиночными пустыми строками. Считайте, что проект может зависеть от проекта, имеющего такое же название, но отличную версию.

Ознакомьтесь с примерами для лучшего понимания условия.

Выходные данные

Выведите все зависимости (прямые или по цепочке) проекта Поликарпа. Выводите зависимости в порядке лексикографического порядка увеличения названий.

Примечание

Первый пример изображён на рисунке ниже. Стрелка из проекта A в проект B означает, что проект B напрямую зависит от проекта A. Закрашены проекты, от которых зависит проект Поликарпа «a» с версией 3.

$\text{[math]}$

Второй пример изображён на рисунке ниже. Стрелка из проекта A в проект B означает, что проект B напрямую зависит от проекта A. Закрашены проекты, от которых зависит проект Поликарпа «codehorces» с версией 5. Обратите внимание, взят проект «extra 1», а не «extra 3», так как проект «mashadb 1» и все его зависимости отброшены из-за проекта «mashadb 2».

$\text{[math]}$

A. Необычная яблоня

графы Деревья поиск в глубину и подобное *1500

У Аркадия в саду есть одна необычная яблоня, с которой иногда необходимо собирать яблоки. Так как яблоня необычная, на ней есть n соцветий, они пронумерованы от 1 до n. Соцветие номер 1 находится около корня дерева, любое другое соцветие с номером i (i > 1) расположено на верхнем конце ветки, нижний конец которой расположен в соцветии p_i, при этом p_i < i.

Когда яблоки созревают, одновременно появляется ровно по одному яблоку в каждом соцветии. В тот же момент все яблоки начинают скатываться вниз по веткам к корню дерева. Каждую секунду все яблоки, кроме находящегося в первом соцветии, одновременно скатываются на одну ветку ближе к корню, то есть, например, из соцветия a яблоко попадет в соцветие p_a. Яблоки, находившиеся в первом соцветии, забирает Аркадий. Яблоня необычная, поэтому, если в какой-то момент в одном соцветии оказываются два яблока, они аннигилируют. Так происходит с каждой парой, например, если в соцветие попадет одновременно 5 яблок, то останется только одно яблоко, а если в соцветие попадет одновременно 8 яблок, то не останется ни одного яблока. Таким образом, в каждом соцветии в любой момент времени находится не более одного яблока.

Помогите Аркадию, подсчитайте, сколько яблок он сможет забрать из первого соцветия за один урожай.

Входные данные

В первой строке следует целое число n (2 ≤ n ≤ 100 000) — количество соцветий.

Во второй строке следует последовательность целых чисел p₂, p₃, ..., p_n (1 ≤ p_i < i), состоящая из n - 1 числа, где p_i равно номеру соцветия, в которое скатывается яблоко из соцветия i.

Выходные данные

Выведите количество яблок, которые Аркадий сможет забрать из первого соцветия за один урожай.

Примечание

В первом примере Аркадий соберет всего одно яблоко, которое изначально находилось в соцветии номер 1. Через секунду в это соцветие попадёт еще два яблока из соцветий 2 и 3, но они аннигилируют между собой и Аркадий не сможет собрать ни одно из них.

Во втором примере Аркадий соберет три яблока. Первым он соберет то яблоко, которое изначально находится в соцветии один. Через секунду в соцветие 1 попадет яблоко из соцветия 2 (которое Аркадий тоже соберет), а в соцветия 2 попадут три яблока из соцветий 3, 4 и 5, два из которых аннигилируют между собой, и в соцветии 2 останется всего одно яблоко, которое еще через секунду попадёт в соцветие 1, и Аркадий его соберёт.

C. Цветное зрелище

геометрия графы *2700

Хлопушки отпугивают монстра Ниана, но они уж о-очень шумные! Возможно, фейерверк — приятное дополнение к хлопушкам.

Маленький Томми наблюдает за фейерверком. На небе появляется множество кругов, и ночью на Китайский Новый год на небе можно наблюдать захватывающее зрелище.

Внезапно Томми задумался. На сколько регионов эти круги разделили небо? Мы будем считать, что небо можно представить как плоскость. Регион — это часть плоскости с положительной площадью, граница которой составлена из границ кругов и является кривой или несколькими кривыми без самопересечений, не содержащая границ кругов строго внутри себя. Обратите внимание, ровно один регион обладает бесконечной площадью.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число n (1 ≤ n ≤ 3) — число кругов.

Каждая из n следующих строк содержит три целых числа x, y и r ( - 10 ≤ x, y ≤ 10, 1 ≤ r ≤ 10), описывающие круг, центр которого находится в точке (x, y), а его радиус равен r. Никакие два круга не имеют совпадающие x, y и r одновременно.

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество частей на плоскости.

Примечание

Первый пример:

$\text{[math]}$

Второй пример:

$\text{[math]}$

Третий пример:

$\text{[math]}$

D. Сонная игра

графы игры поиск в глубину и подобное *2100

Петя и Вася договорились сыграть в свою любимую игру. Игра проходит по следующим правилам. У игроков есть ориентированный граф с n вершинами и m рёбрами, в одной из вершин которого стоит фишка. Изначально она находится в вершине s. Игроки по очереди перемещают фишку, за каждый ход передвигая её вдоль ребра графа. Первым ходит Петя. Игрок, который не может совершить ход, проигрывает. Если игра продолжается 10⁶ ходов, объявляется ничья.

В ночь перед игрой Васе нужно было выполнить большую лабораторную работу по предмету «Орфография и части речи», поэтому, как только началась игра, он уснул. Петя решил воспользоваться ситуацией и делать ходы как за себя, так и за Васю.

Помогите Пете понять, может ли он выиграть, или хотя бы сыграть вничью.

Входные данные

В первой строке входных данных содержатся два целых числа n и m — число вершин и число рёбер в графе соответственно (2 ≤ n ≤ 10⁵, 0 ≤ m ≤ 2·10⁵).

В следующих n строках содержится информация о рёбрах графа. В i-й строке (1 ≤ i ≤ n) записано целое неотрицательное число c_i — количество вершин, в которые есть рёбра из вершины i, а затем c_i различных целых чисел a_i, j — номера этих вершин (1 ≤ a_i, j ≤ n, a_i, j ≠ i).

Гарантируется, что сумма всех c_i равна m.

В следующей строке содержится номер вершины s — изначальной позиции фишки (1 ≤ s ≤ n).

Выходные данные

Если Петя может выиграть, в первой строке выведите «Win». В следующей строке выведите числа v₁, v₂, ..., v_k (1 ≤ k ≤ 10⁶) — последовательность вершин, которые должен посетить Петя для победы. Вершина v₁ должна совпадать с s. Для i = 1... k - 1 в графе должно быть ребро из вершины v_i в вершину v_i + 1. Последовательность должна быть такова, что из вершины v_k нет хода, и при такой игре проигрывает именно Вася, а не Петя.

Если Петя не может выиграть, но может сыграть вничью, в единственной строке выведите «Draw». Иначе выведите «Lose».

Примечание

В первом примере игра происходит на следующем графе:

$\text{[math]}$

Изначально фишка находится в вершине 1. Первым ходом Петя передвигает фишку в вершину 2, затем он ходит за Васю в вершину 4. После чего опять за себя в вершину 5. Теперь ход Васи, но ему некуда ходить, поэтому Петя выиграл.

Во втором примере игра происходит на следующем графе:

$\text{[math]}$

Изначально фишка находится в вершине 2. Петя может сходить только в вершину 1. После этого он вынужден сходить за Васю в вершину 3. Теперь ход Пети, но ему некуда ходить, поэтому Петя проиграл.

В третьем примере игра происходит на следующем графе:

$\text{[math]}$

Петя не может выиграть, но может совершать ходы по циклу, поэтому партия закончится вничью.

D. Покупка билетов

графы кратчайшие пути Структуры данных *2000

Участники популярной музыкальной группы «Flayer» объявили о своем прощальном мировом турне. Разумеется, посетят они и Берляндию.

В Берляндии n городов. Между городами можно перемещаться, используя двусторонние железнодорожные маршруты; есть ровно m маршрутов, i-й используется для поездки из города v_i в город u_i (и из u_i в v_i) и стоит w_i монет.

«Flayer» посетят все города, в i-м городе цена билета на концерт составит a_i монет.

У вас есть друзья в каждом городе Берляндии, и все знают о ваших программистских способностях! Они просят вас посчитать, за какое минимальное количество монет им удастся посетить концерт. Для каждого города i необходимо посчитать минимальное количество монет, которое придется потратить жителю города i, чтобы доехать до какого-либо города j (или остаться в городе i), посетить там концерт, и вернуться в город i (если j ≠ i).

Формально, для каждого $\text{[math]}$ требуется посчитать $\text{[math]}$ , где d(i, j) — минимальное количество монет, нужных для поездки из города i в город j. Если невозможно приехать в город j из города i, то d(i, j) считается бесконечно большим.

Входные данные

В первой строке записано два целых числа n и m (2 ≤ n ≤ 2·10⁵, 1 ≤ m ≤ 2·10⁵).

Затем идет m строк, в i-й записаны три целых числа v_i, u_i и w_i (1 ≤ v_i, u_i ≤ n, v_i ≠ u_i, 1 ≤ w_i ≤ 10¹²), определяющие i-й железнодорожный маршрут. Между каждой парой городов существует не больше одного железнодорожного маршрута, то есть, для каждой пары (v, u) во входных данных нет ни (u, v), ни дополнительных вхождений (v, u).

В следующей строке записаны n целых чисел a₁, a₂, ... a_k (1 ≤ a_i ≤ 10¹²) — цена билета на концерт в городе i.

Выходные данные

Выведите n целых чисел. i-е из них должно быть равно минимальному количеству монет, которое придется потратить жителю города i для того, чтобы доехать до какого-либо города j (или остаться в городе i), посетить там концерт, и вернуться в город i (если j ≠ i).

G. Кратчайшие пути

битмаски графы снм Структуры данных *2900

Задан неориентированный граф со взвешенными ребрами. Длина пути между двумя вершинами — побитовое исключающее ИЛИ весов его ребер (если некоторое ребро посещается несколько раз, то в результат включается то же количество раз).

Есть три вида запросов, которые необходимо обрабатывать:

1 x y d — добавить ребро, соединяющее вершины x и y с весом d. Гарантируется, что до запроса не было ребра, соединяющего x и y;
2 x y — удалить ребро, соединяющее вершины x и y. Гарантируется, что в графе есть такое ребро и что граф останется связным после запроса;
3 x y — найти длину кратчайшего пути (не обязательно простого) от вершины x в вершину y.

Выведите ответы на все запросы типа 3.

Входные данные

В первой строке записаны два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 200000) — количество вершин и количество ребер в графе соответственно.

Затем следуют m строк, описывающие ребра графа. В каждой строке записаны три целых числа x, y и d (1 ≤ x < y ≤ n, 0 ≤ d ≤ 2³⁰ - 1). Каждая пара (x, y) встречается не более одного раза. Изначально граф связный.

В следующей строке записано одно целое число q (1 ≤ q ≤ 200000) — количество запросов.

Затем следуют q строк, описывающие запросы следующим образом:

1 x y d (1 ≤ x < y ≤ n, 0 ≤ d ≤ 2³⁰ - 1) — добавить ребро, соединяющее вершины x и y с весом d. Гарантируется, что до запроса не было ребра, соединяющего x и y;
2 x y (1 ≤ x < y ≤ n) — удалить ребро, соединяющее вершины x и y. Гарантируется, что в графе есть такое ребро и что граф останется связным после запроса;
3 x y (1 ≤ x < y ≤ n) — найти длину кратчайшего пути (не обязательно простого) от вершины x в вершину y.

Гарантируется, что существует хотя бы один запрос типа 3.

Выходные данные

Выведите ответы на все запросы типа 3 в том порядке, в котором они были заданы.

A. Любовный треугольник

графы *800

Как известно, нет самолетов-мужчин и самолетов-женщин. Однако, каждому самолету на Земле нравится какой-то один другой самолет. Всего на Земле n самолетов, пронумерованных от 1 до n, при этом самолету номер i нравится самолет f_i, где 1 ≤ f_i ≤ n, а также f_i ≠ i.

Назовем любовным треугольником ситуацию, когда самолету A нравится самолет B, самолету B нравится самолет C, а самолету C нравится самолет A. Проверьте, есть ли на Земле хотя бы один любовный треугольник.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число n (2 ≤ n ≤ 5000) — число самолетов.

Вторая строка содержит n целых чисел f₁, f₂, ..., f_n (1 ≤ f_i ≤ n, f_i ≠ i), что означает, что i-му самолету нравится f_i-й.

Выходные данные

Выведите «YES», если на Земле есть любовный треугольник из самолетов. Иначе выведите «NO».

Каждую букву можно выводить в любом регистре: строчную или заглавную.

Примечание

В первом примере самолету 2 нравится самолет 4, самолету 4 нравится самолет 1, а самолету 1 нравится самолет 2, поэтому это любовный треугольник.

Во втором примере любовных треугольников нет.

D. Спасение любви

графы жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное снм Строки *1600

Валя и Толя — идеальная пара, но даже у них бывают ссоры. Недавно Валя обиделась на своего кавалера, так как он пришел к ней в футболке, надпись на которой отличается от надписи на ее свитере. Теперь она не хочет с ним видеться, а Толя сидит целыми днями в своей комнате и плачет над ее фотографиями.

Эта история так и осталась бы такой печальной, если бы в нее не вмешалась добрая швея-волшебница (бабушка Толи). Ее сердце разрывается, когда она видит молодых людей в ссоре, и поэтому она срочно хочет все исправить. Бабушка уже тайно забрала Валин свитер и Толину футболку, осталось только сделать надписи на них одинаковыми. Для этого она может за одну единицу маны купить заклинание, которое позволяет менять некоторые буквы на одежде. Ваша задача — рассчитать, какое минимальное количество маны придется потратить бабушке Толи для спасения любви молодых людей.

Более формально, надписи на Валином свитере и Толиной футболке — это две строчки одинаковой длины n, состоящие только из строчных букв латинского алфавита. За одну единицу маны бабушка может купить заклинание вида (c₁, c₂) (где c₁ и c₂ — произвольные строчные буквы латинского алфавита), с помощью которого она может сколько угодно раз менять букву c₁ на c₂ (и наоборот) как на Валином свитере, так и на Толиной футболке. Вам требуется найти минимальное количество маны, позволяющее приобрести набор заклинаний, с помощью которого можно сделать надписи одинаковыми. Также вам необходимо вывести соответствующий набор заклинаний.

Входные данные

В первой строке дано единственное число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — длина надписей.

Во второй строке дана строка длины n, состоящая только из маленьких букв латинского алфавита — надпись на Валином свитере.

В третьей строке в таком же формате задана надпись на Толиной футболке.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число — минимальное количество маны t для спасения любви молодых.

В следующих t строках выведите по две строчные буквы латинского алфавита через пробел — заклинания, которые нужно приобрести бабушке Толи. Заклинания и буквы в заклинаниях можно выводить в любом порядке.

Если оптимальных ответов несколько, выведите любой.

Примечание

В первом примере достаточно купить два заклинания: («a»,«d») и («b»,«a»). Тогда первые буквы совпадут, когда мы поменяем букву «a» на «d». Вторые совпадут, когда поменяем «b» на «a». Третьи совпадут, когда поменяем сначала «b» на «a», потом «a» на «d».

B. Друзья

графы математика реализация *1300

Однажды Игорь К. бросил программирование и стал заниматься математикой. Как-то раз поздним осенним вечером он сидел за своим столом, читал книгу и о чем-то думал.

Его внимание привлекло следующее утверждение: "Среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых".

Игорь К. никак не мог понять, почему же необходимый минимум — 6 человек. "Ну ведь для пятерых то же самое!" — вертелось в его голове. — "Возьмем, например, Макса, Илью, Вову — ну вот же, они все друг друга знают! А теперь к Вове добавим Диму и Олега — и ни один из них не знаком друг с другом! Бред, да и только эта ваша математика!"

Игорь К. взял пятерых своих знакомых и записал, кто из них с кем дружит. Теперь он хочет проверить, верно ли для этих пятерых человек, что среди них есть или трое попарно знакомых, или трое попарно незнакомых.

Входные данные

В первой строке записано целое число m (0 ≤ m ≤ 10) — количество отношений знакомств между пятью друзьями Игоря К.

В каждой из следующих m строк записано два различных целых числа a_i и b_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ 5) — номера пары людей, которые знакомы друг с другом. Гарантируется, что каждая пара знакомых людей записана ровно один раз. Отношение знакомства симметрично, то есть если x знаком с y, то и y знаком с x.

Выходные данные

Выведите "FAIL", если среди этих пяти человек нет ни троих попарно знакомых, ни троих попарно незнакомых. Иначе выведите "WIN".

A. Защитить овец

графы Перебор поиск в глубину и подобное реализация *900

Боб — пастух. Он пасет своих овец на большом пастбище. Недавно волки утащили нескольких из его овец. Поэтому он решил обзавестись несколькими собаками-пастухами, которые будут защищать всех его овец.

Пастбище можно представить как прямоугольник из R × C клеток. Каждая клетка либо пустая, либо содержит овцу, волка или собаку. Овцы и собаки не могут двигаться, однако волки могут перемещаться по пастбищу свободно, каждый раз перемещаясь влево, вправо, вверх или вниз в соседнюю клетку. Если волк доберется до клетки с овцой, он съест ее. Однако волк не может зайти в клетку, где находится собака.

Изначально собак нет. Расположите собак на пастбище так, чтобы никакой волк не мог бы добраться до никакой овцы, или определите, что это невозможно. Обратите внимание на то, что у вас достаточно собак, поэтому вам не нужно минимизировать их количество.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа R (1 ≤ R ≤ 500) и C (1 ≤ C ≤ 500) — число строк и число столбцов на пастбище, соответственно.

Каждая из следующих R строк содержит строку, состоящую из ровно C символов и описывающую одну строку пастбища. Здесь «S» означает клетку с овцой, «W» означает клетку с волком, а «.» означает пустую клетку.

Выходные данные

Если невозможно защитить всех овец, выведите одну строчку со словом «No».

Иначе выведите одну строку со словом «Yes». Затем выведите R строк, описывающих пастбище после того, как вы расставили собак. Как и во входных файлах, «S» означает клетку с овцой, «W» означает клетку с волком, «D» — собаку, а «.» — пустую клетку. Вы не можете перемещать, добавлять или удалять волков или овец.

Если существует несколько решений, выведите любое из них. Вам не обязательно минимизировать число собак.

Примечание

В первом примере можно разбить пастбище собаками на две половины, в одной из которых находятся овцы, а в другой — волки. Обратите внимание на то, что овца в клетке (2,1) находится в безопасности, так как волки не могут двигаться по диагонали.

Во втором примере нет мест, куда можно было бы добавить собаку для защиты единственной овцы.

В третьем примере нет волков, поэтому задача очень проста. Мы посадили одну собаку в центр, чтобы она олицетворяла собой безопасность, однако решение без нее тоже верно.

C. Обновление дата-центров

графы поиск в глубину и подобное *1900

У компании BigData Inc. есть n дата-центров, пронумерованных от 1 до n, расположенных по всему миру. В этих дата-центрах хранятся данные клиентов компании (как можно догадаться из названия — большие данные!)

Основой предлагаемых компанией BigData Inc. услуг является гарантия возможности работы с пользовательскими данными даже при условии выхода какого-либо из дата-центров компании из доступности. Подобная гарантия достигается путём использования двойной репликации данных. Двойная репликация — это подход, при котором любые данные хранятся в двух идентичных копиях в двух различных дата-центрах.

Про каждого из m клиентов компании известны номера двух различных дата-центров c_i, 1 и c_i, 2, в которых хранятся его данные.

Для поддержания работоспособности дата-центра и безопасности данных программное обеспечение каждого дата-центра требует регулярного обновления. Релизный цикл в компании BigData Inc. составляет один день, то есть новая версия программного обеспечения выкладывается на каждый компьютер дата-центра каждый день.

Обновление дата-центра, состоящего из множества компьютеров, является сложной и длительной задачей, поэтому для каждого дата-центра выделен временной интервал длиной в час, в течение которого компьютеры дата-центра обновляются и, как следствие, могут быть недоступны. Будем считать, что в сутках h часов. Таким образом, для каждого дата-центра зафиксировано целое число u_j (0 ≤ u_j ≤ h - 1), обозначающее номер часа в сутках, в течение которого j-й дата-центр недоступен в связи с плановым обновлением.

Из всего вышесказанного следует, что для любого клиента должны выполняться условия u_{c_i, 1} ≠ u_{c_i, 2}, так как иначе во время одновременного обновления обоих дата-центров, компания будет не в состоянии обеспечить клиенту доступ к его данным.

В связи с переводом часов в разных странах и городах мира, время обновления в некоторых дата-центрах может сдвинуться на один час вперёд. Для подготовки к непредвиденным ситуациям руководство компании хочет провести учения, в ходе которых будет выбрано некоторое непустое подмножество дата-центров, и время обновления каждого из них будет сдвинуто на один час позже внутри суток (то есть, если u_j = h - 1, то новым часом обновления будет 0, иначе новым часом обновления станет u_j + 1). При этом учения не должны нарушать гарантии доступности, то есть, после смены графика обновления должно по-прежнему выполняться условие, что данные любого клиента доступны хотя бы в одном экземпляре в любой час.

Учения — полезное мероприятие, но трудоёмкое и затратное, поэтому руководство компании обратилось к вам за помощью в определении минимального по размеру непустого подходящего подмножества дата-центров, чтобы провести учения только на этом подмножестве.

Входные данные

В первой строке находятся три целых числа n, m и h (2 ≤ n ≤ 100 000, 1 ≤ m ≤ 100 000, 2 ≤ h ≤ 100 000) — число дата-центров компании, число клиентов компании и количество часов в сутках.

Во второй строке вам даны n чисел u₁, u₂, ..., u_n (0 ≤ u_j < h), j-е из которых задаёт номер часа, в который происходит плановое обновление программного обеспечения на компьютерах дата-центра j.

Далее в m строках находятся пары чисел c_i, 1 и c_i, 2 (1 ≤ c_i, 1, c_i, 2 ≤ n, c_i, 1 ≠ c_i, 2), задающие номера дата-центров, на которых находятся данные клиента i.

Гарантируется, что при заданном расписании обновлений в дата-центрах любому клиенту в любой момент доступна хотя бы одна копия его данных.

Выходные данные

В первой строке выведите минимальное количество дата-центров k (1 ≤ k ≤ n), которые должны затронуть учения, чтобы не потерять гарантию доступности. Во второй строке выведите k различных целых чисел — номера кластеров x₁, x₂, ..., x_k (1 ≤ x_i ≤ n), на которых в рамках учений обновления станут проводиться на час позже. Номера кластеров можно выводить в любом порядке.

Если возможных ответов несколько, разрешается вывести любой из них. Гарантируется, что хотя бы один ответ, удовлетворяющий условиям задачи, существует.

Примечание

Рассмотрим первый тест из условия. Приведённый ответ является единственным способом провести учения, затронув только один дата-центр. В таком сценарии третий сервер начинает обновляться в первый час дня, и никакие два сервера, хранящие данные одного и того же пользователя, не обновляются в один и тот же час.

С другой стороны, например, сдвинуть только время обновления первого сервера на один час вперёд нельзя — в таком случае данные пользователей 1 и 3 будут недоступны в течение нулевого часа.

E. Счастливая страна

графы дп снм *2500

Петя любит счастливые числа. Всем известно, что счастливыми являются натуральные числа, в десятичной записи которых содержатся только счастливые цифры 4 и 7. Например, числа 47, 744, 4 являются счастливыми, а 5, 17, 467 — не являются.

Однажды Петя заснул. Ему приснилось, что он оказался президентом какой-то островной страны. Эта страна представляет собой острова, соединенные двусторонними дорогами. Между некоторыми островами не существует пути по дорогам, даже через промежуточные острова, поэтому страна разделена на несколько областей. Более формально: каждый остров находится ровно в одной области, между любыми двумя островами из одной области существует путь, между любыми двумя островами из разных областей не существует пути. Область называется счастливой, если количество островов в ней является счастливым числом.

Как настоящий президент, первым делом Петя решил построить себе президентский дворец. Будучи фанатом счастливых чисел, Петя хочет разместить свой дворец в одной из счастливых областей. Однако, таких областей в стране изначально может не быть. В этом случае Петя может строить дополнительные дороги между различными областями, тем самым объединяя эти области. Найдите, какое минимальное количество дорог нужно построить, чтобы появилась счастливая область.

Входные данные

В первой строке задано два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 10⁵) — количество островов и количество дорог соответственно. В следующих m строках описываются дороги. Каждая дорога задана номерами островов, которые она соединяет: двумя целыми числами u и v (1 ≤ u, v ≤ n). Некоторые дороги могут соединять остров сам с собой, между парой островов может быть больше одной дороги. Числа в строках разделены ровно одним пробелом.

Выходные данные

Если решения не существует, выведите одно число «-1» (без кавычек). Иначе в первой строке выведите минимальное количество дорог r, которое нужно построить, чтобы получилась счастливая область.

D. Борьба с пробками

графы кратчайшие пути поиск в глубину и подобное *1600

Город Nск состоит из n перекрёстков, соединённых m двунаправленными дорогами. Каждая дорога соединяет какие-то два различных перекрёстка, причём никакие две дороги не соединяют одну и ту же пару перекрёстков. Гарантируется, что от любого перекрёстка можно добраться до любого другого, используя только данные дороги. Расстоянием между двумя перекрёстками называется минимальное количество дорог на пути между ними.

В целях улучшения транспортной ситуации, городская дума требует от мэра города построить одну новую дорогу. Проблема заключается в том, что мэр только недавно купил себе новый автомобиль, поэтому ему настолько нравится ездить из дома, расположенного у перекрёстка s в здание мэрии, расположенное у перекрёстка t, что он хочет построить такую новую дорогу, что кратчайший путь между этими двумя перекрёстками не уменьшится.

Вам поручено посчитать количество пар перекрёстков, не соединённых дорогой, таких что если добавить в дорожную сеть города двунаправленную дорогу между этими перекрёстками, то расстояние между перекрёстками s и t не уменьшится.

Входные данные

В первой строке входных данных записаны числа n, m, s и t (2 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ m ≤ 1000, 1 ≤ s, t ≤ n, s ≠ t) — количество перекрёстков и количество дорог в городе Nске, а также номера перекрёстков рядом с которыми расположены дом и мэрия соответственно. В i-й из последующих m строк записаны два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i), означающих, что перекрёстки u_i и v_i соединены дорогой напрямую. Гарантируется, что между любой парой перекрёстков существует не более одной прямой дороги, и что, используя данные дороги, можно добраться от любого перекрёстка до любого другого.

Выходные данные

Выведите одно целое число — количество пар перекрёстков, не соединённых дорогой, таких что добавление между ними дороги не уменьшит расстояние между перекрёстками s и t.

B2. Maximum Control (medium)

графы Деревья жадные алгоритмы поиск в глубину и подобное Структуры данных *2200

The Resistance is trying to take control over as many planets of a particular solar system as possible. Princess Heidi is in charge of the fleet, and she must send ships to some planets in order to maximize the number of controlled planets.

The Galaxy contains N planets, connected by bidirectional hyperspace tunnels in such a way that there is a unique path between every pair of the planets.

A planet is controlled by the Resistance if there is a Resistance ship in its orbit, or if the planet lies on the shortest path between some two planets that have Resistance ships in their orbits.

Heidi has not yet made up her mind as to how many ships to use. Therefore, she is asking you to compute, for every K = 1, 2, 3, ..., N, the maximum number of planets that can be controlled with a fleet consisting of K ships.

Input

The first line of the input contains an integer N (1 ≤ N ≤ 10⁵) – the number of planets in the galaxy.

The next N - 1 lines describe the hyperspace tunnels between the planets. Each of the N - 1 lines contains two space-separated integers u and v (1 ≤ u, v ≤ N) indicating that there is a bidirectional hyperspace tunnel between the planets u and v. It is guaranteed that every two planets are connected by a path of tunnels, and that each tunnel connects a different pair of planets.

Output

On a single line, print N space-separated integers. The K-th number should correspond to the maximum number of planets that can be controlled by the Resistance using a fleet of K ships.

Note

Consider the first example. If K = 1, then Heidi can only send one ship to some planet and control it. However, for K ≥ 2, sending ships to planets 1 and 3 will allow the Resistance to control all planets.

E. Махмуд, Эхаб, исключащее ИЛИ и минимальное остовное дерево

битмаски графы дп математика реализация *1900

Эхаб интересуется побитовым исключающим ИЛИ и особыми графами, поэтому Махмуд предложил ему задачу про оба его интереса сразу. У Махмуда есть полный граф, состоящий из n вершин, пронумерованных с 0 до n - 1. Для любых 0 ≤ u < v < n, вес ненаправленного ребра между вершинами u и v равен $\text{[math]}$ (где $\text{[math]}$ — операция побитового исключающего ИЛИ). Можете ли вы найти вес минимального остовного дерева данного графа?

Прочитать про полные графы можно в https://ru.wikipedia.org/wiki/Полный_граф.

Прочитать про минимальное остовное дерево можно в https://ru.wikipedia.org/wiki/Минимальное_остовное_дерево.

Вес минимального остовного дерева равен весу всех рёбер, включённых в него.

Входные данные

В единственной строке содержится одно целое число n (2 ≤ n ≤ 10¹²) — число вершин в графе.

Выходные данные

В единственной строке содержится одно целое число x — вес минимального остовного дерева данного графа.

Примечание

В первом примере: $\text{[math]}$ Вес минимального остовного дерева равен 1+2+1=4.

F. Прогулка

графы дп Структуры данных *2100

Вам дан ориентированный граф с n вершинами и m рёбер, каждое из которых имеет определённый вес.

В нём могут быть кратные рёбра и петли, кроме того, граф может быть несвязным.

Вам нужно выбрать путь (возможно, проходящий по одному и тому же ребру или вершине несколько раз) такой, что веса рёбер в пути находятся в строго возрастающем порядке, а кроме того, все ребра пути идут в том же порядке, в котором они находились во входных данных. Найдите максимально возможное количество ребер в таком пути.

Обратите внимание, ребра пути не обязательно должны идти последовательно во входных данных.

Входные данные

В первой строке содержатся два целых числа n и m (1 ≤ n ≤ 100000,1 ≤ m ≤ 100000) — число вершин и рёбер в графе соответственно.

После этого следует m строк, в i-й из которых содержится три целых числа, разделённых пробелами — a_i, b_i и w_i (1 ≤ a_i, b_i ≤ n, 0 ≤ w_i ≤ 100000), обозначающих, что есть ребро от вершины a_i до вершины b_i с весом w_i.

Выходные данные

Выведите одно целое число в одной строке — максимальное количество рёбер в пути.

Примечание

Ответ на первый пример — 2: $\text{[math]}$ .

Заметим, что нельзя выбрать путь $\text{[math]}$ , потому что ребро $\text{[math]}$ появляется в вводе раньше, чем два других ребра, и поэтому его нельзя выбрать после того, как было выбрано какое-то из двух других рёбер.

Во втором примере оптимально выбрать 1-е, 3-е и 5-е ребра, чтобы получить оптимальный ответ: $\text{[math]}$ .

F. Рёбра на простых циклах

графы Деревья поиск в глубину и подобное *2400

Задан неориентированный граф, состоящий из $n$ вершин и $m$ рёбер. Граф не обязательно связный. Гарантируется, что в графе нет кратных рёбер и петель.

Цикл в графе называется простым, если он содержит каждую свою вершину ровно один раз (под своими вершинами цикла понимаются все вершины, которые входят в этот цикл).

Определите рёбра, которые лежат ровно на одном простом цикле.

Входные данные

В первой строке следуют два целых числа $n$ и $m$ $(1 \le n \le 100\,000$, $0 \le m \le \min(n \cdot (n - 1) / 2, 100\,000))$ — количество вершин и количество рёбер.

В следующих $m$ строках следует по два целых числа $u$ и $v$ ($1 \le u, v \le n$, $u \neq v$) — описание рёбер графа.

Выходные данные

В первую строку выведите количество рёбер, которые лежат ровно на одном простом цикле.

Во вторую строку выведите номера рёбер, лежащих ровно на одном простом цикле, в порядке возрастания. Рёбра нумеруются начиная с единицы в том же порядке, в котором заданы во входных данных.

C. Выигрышная cтратегия

Бинарный поиск графы кратчайшие пути математика *2400

В одном университете совсем недавно узнали о существовании соревнования по спортивному программированию под названием ACM ICPC v2.0. Данное соревнование мало чем отличается от всем известного ACM ICPC, например, в финале соревнования участникам запрещается участвовать более двух раз. Однако, есть одно существенное отличие: команды в этом состязании должны состоять ровно из n участников.

Поучаствовав в нескольких финалах ACM ICPC v2.0 и не добившись ни одной медали, студенты и руководство университета поняли, что настало время изменить что-то в процессе подготовки. В частности, в качестве первой инновации было решено изменить процесс формирования команд. Потратив немалое количество времени на изучение статистики выступлений других университетов, удалось получить некоторую интересную информацию: вероятность получения медали в зависимости от количества членов команды, побывавших на финале ранее. Более формально, известно n + 1 действительных чисел p₀ ≤ p₁ ≤ ... ≤ p_n, где p_i — вероятность получения медали на финале, если в команде присутствуют i участников прошлых финалов, а остальные n - i участников приехали на финал впервые.

Несмотря на такие полезные данные, руководство университета не в состоянии определить такую тактику формирования команд, которая обеспечит максимальную вероятность получения медали на финале ACM ICPC v2.0 в среднем (подразумевается, что мы хотим обеспечить такой результат на далекое будущее и обладаем бесконечным ресурсом студентов). А сможете ли вы предложить такую оптимальную тактику? На первом этапе руководству университета достаточно знать лишь значение максимальной средней вероятности.

Более формально: пусть в k-ый год участия университет послал на финал команду, в которой было a_k участников финалов прошлых лет (0 ≤ a_k ≤ n). Так как один человек может участвовать в финале не более двух раз, должно выполняться условие: $\text{[math]}$ . Ваша задача — выбрать последовательность $\text{[math]}$ таким образом, что предел Ψ существует и его значение максимально:

$\text{[math]}$

Так как $\text{[math]}$ — бесконечная последовательность, вывести требуется только максимальное значение предела Ψ.

Входные данные

В первой строке задано целое число n (3 ≤ n ≤ 100), n — количество участников команды. Во второй строке заданы n + 1 действительных чисел, с не более чем 6-ю знаками после десятичной точки, p_i (0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ p_i ≤ 1) — вероятность того, что команда сможет выиграть медаль, если в ее состав входят i участников, побывавших на финале ранее. Также выполняется условие, что p_i ≤ p_i + 1 для всех 0 ≤ i ≤ n - 1.

Выходные данные

Выведите одно единственное действительное число — ожидаемое среднее количество выигранных медалей в год, при использовании оптимальной стратегии. Для ответа допустима абсолютная или относительная погрешность 10^- 6.

Примечание

Во втором тесте, из каких бы участников не состояла команда, она обречена на успех.

E. Лидеры

графы Деревья поиск в глубину и подобное снм *2200

После революции в Берляндии новый диктатор столкнулся с неожиданной проблемой — страной надо как-то управлять. Диктатор является очень эффективным менеджером, однако не может раздавать приказы всему населению лично, поэтому он решил выбрать некоторое множество подконтрольных ему лидеров, которые и будут управлять людьми непосредственно. Однако оказалось, что лидерская эффективность может очень сильно варьироваться от человека к человеку, поэтому диктатор обратился за помощью к всемирно известным берляндским ученым. Ученые предложили инновационную идею — лидеры должны работать парами.

Граф взаимоотношений — некоторый неориентированный граф с вершинами, соответствующими людям. Путь называется простым, если вершины в нем не повторяются. В результате многодневных и очень дорогих исследований было выяснено, что пара людей обладает наиболее высокими лидерскими качествами, если между ними в графе взаимоотношений есть простой путь с нечетным количеством ребер. Ученые решили называть такие пары различных людей лидерскими. Спецслужбы выдали ученым граф взаимоотношений, так что дело осталось за малым — надо научиться отвечать диктатору, являются ли лидерскими заданные пары людей. Помогите ученым справиться с этой задачей.

Входные данные

Во первой строке записаны целые числа n и m (1 ≤ n ≤ 10⁵, 0 ≤ m ≤ 10⁵) — соответственно количество вершин и ребер в графе взаимоотношений. В следующих m строках записаны пары целых чисел a и b, означающие, что между вершинами с номерами a и b есть ребро (вершины пронумерованы начиная с 1, 1 ≤ a, b ≤ n). Гарантируется, что в графе нет петель и кратных ребер.

В следующей строке записано число q (1 ≤ q ≤ 10⁵) — количество пар, интересующих ученых. В следующих q строках записаны эти пары (в том же формате, что и ребра; запросы могут повторяться, запрос может содержать пару одинаковых вершин).

Выходные данные

Для каждого запроса ученых в отдельной строке выведите «Yes», если между парой людей существует простой нечетный путь, иначе выведите «No».

Примечание

Пояснение к примеру:

1) Между вершинами 1 и 2 есть всего 2 различных простых пути: 1-3-2 и 1-4-2. Оба состоят из четного количества ребер.

2) Вершины 1 и 3 соединены ребром, поэтому простой нечетный путь для них: 1-3.

5) Вершины 1 и 5 находятся в разных компонентах связности, между ними нет ни одного пути.

D. Множество степеней

графы Конструктив реализация *2500

Задана последовательность из n целых чисел d₁, d₂, ..., d_n (d₁ < d₂ < ... < d_n). Требуется построить такой неориентированный граф, что:

в нем ровно d_n + 1 вершин;
в нем нет петель;
в нем нет кратных ребер;
в нем не более 10⁶ ребер;
его множество степеней равно d.

Вершины должны быть пронумерованы от 1 до (d_n + 1).

Последовательностью степеней называется массив a длины, равной количеству вершин графа, такой, что a_i — это количество вершин, смежных с i-й.

Множеством степеней называется отсортированная по возрастанию последовательность из всех различных значений из последовательности степеней.

Гарантируется, что существует такой граф, что все условия выполняются, и он содержит не более 10⁶ ребер.

Выведите полученный граф.

Входные данные

В первой строке записано одно целое число n (1 ≤ n ≤ 300) — размер множества степеней.

Во второй строке записаны n целых чисел d₁, d₂, ..., d_n (1 ≤ d_i ≤ 1000, d₁ < d₂ < ... < d_n) — множество степеней.

Выходные данные

В первой строке выведите одно целое число m (1 ≤ m ≤ 10⁶) — количество ребер в полученном графе. Гарантируется, что существует такой граф, что все условия выполняются, и он содержит не более 10⁶ ребер.

В каждой из следующих m строк должны быть записаны два целых числа v_i и u_i (1 ≤ v_i, u_i ≤ d_n + 1) — описание i-го ребра.

F. Минимальное k-покрытие

графы Потоки *2500

Задан двудольный неориентированный граф G = (U, V, E), U — множество вершин в первой доле, V — множество вершин во второй доле, E — множество ребер. Могут встречаться кратные ребра.

Назовем некоторое подмножество его ребер $\text{[math]}$ k-покрытием тогда и только тогда, когда в графе $\text{[math]}$ каждой вершине инциндентно не менее k ребер. Минимальным k-покрытием называется такое k-покрытие, что размер множества $\text{[math]}$ минимален.

Ваша задача — найти минимальное k-покрытие для каждого $\text{[math]}$ , где minDegree — это минимальная степень какой-либо вершины в графе G.

Входные данные

В первой строке записаны три целых числа n₁, n₂ и m (1 ≤ n₁, n₂ ≤ 2000, 0 ≤ m ≤ 2000) — количество вершин в первой доле, количество вершин во второй доле и количество ребер, соответственно.

В i-й из следующих m строк записаны два целых числа u_i и v_i (1 ≤ u_i ≤ n₁, 1 ≤ v_i ≤ n₂) — описание i-го ребра, u_i — номер вершины в первой доле и v_i — номер вершины во второй доле.

Выходные данные

Для каждого $\text{[math]}$ выведите подмножество ребер (минимальное k-покрытие) в отдельной строке.

Первое число cnt_k в k-й строке — это количество ребер в минимальном k-покрытии графа. Затем идут cnt_k целых чисел — оригинальные номера ребер, которые принадлежат минимальному k-покрытию, эти номера должны быть попарно различны. Ребра пронумерованы от 1 до m в таком же порядке, в котором встречаются во входных данных.

E. Компоненты-циклы