Арифметические алгоритмы (Теория чисел)

Натуральное число \(p\) называется простым, если оно имеет ровно два различных делителя: \(1\) и \(p\). Например, числа \(2\), \(3\), \(5\) являются простыми. Число \(1\) простым не считается.

Целое число \(p\) будем называть квазипростым, если \(p\) или \(-p\) является простым. Например, числа \(-2\), \(2\), \(-3\), \(3\), \(-5\), \(5\) являются квазипростыми.

Хотя любое натуральное число можно единственным образом представить в виде произведения простых, для целых чисел и квазипростых это уже неверно. Например, число \(12\) можно тремя способами представить в виде произведения квазипростых: \(12=2\cdot 2\cdot 3\), \(12=(-2)\cdot 2\cdot (-3)\), \(12=(-2)\cdot (-2)\cdot 3\).

Задано целое число \(n\). Выведите все способы представить \(n\) в виде произведения квазипростых. Произведения, которые отличаются только порядком множителей, считаются одним способом.

Формат входных данных
На первой строке ввода находится число \(n\) (\(-10^9 \le n \le 10^9\), \(n \ne 0\), \(n \ne \pm 1\)).

Формат выходных данных
На первой строке выведите \(k\) — количество способов представить \(n\) в виде произведения квазипростых. В следующих \(k\) строках выведите все способы представить \(n\) в виде произведения квазипростых. Произведения можно выводить в любом порядке, множители в каждом произведении можно выводить в любом порядке.

Целое число \(x\) называется свободным от квадратов, если нет такого целого числа \(y > 1\), что \(x\) делится на \(y^2\), то есть \(x = y^2z\) для некоторого целого \(z\).

Даны числа \(l\) и \(r\). Требуется найти число пар целых чисел \((a, b)\), таких что \(l \le a < b \le r\), и числа \(a\), \(b\), а также их произведение \(ab\) свободны от квадратов.

Формат входных данных
На вход подается две строки, первая содержит целое число \(l\), а вторая "— целое число \(r\) (\(1 \le l < r \le 10^9\), \(r - l \le 1000\)).

Формат выходных данных
Выведите одно целое число — искомое число пар.

Примечание
В примере подходят пары \(a = 3, b = 5\), \(a = 5, b = 6\). Число \(4\) не может входить в пару, так как \(4 = 2^2\cdot 1\), а пара \(a = 3, b = 6\) не подходит, так как \(ab = 3\cdot 6 = 18 = 3^2\cdot 2\).

Для заданного в 10-й с/с дробного числа требуется определить разницу длин целой и дробной части этого числа в 5-й с/с при переводе с точностью до 8 разрядов.
Входные данные
положительное число в 10-й с/с, целая и дробная часть которого не превышают 8 разрядов каждая. Целая и дробная части разделяются точкой. Дробная часть может отсутствовать.
Выходные данные
неотрицательное целое число - разница между количеством разрядов целой и дробной части в пятеричной системе счисления.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Примечание
1	8.4	1	8.410=13.25, количество разрядов целой части на 1 больше, чем дробной
2	1.5	7	1.510=1.(2)5=1.222222225, в 5-й с/с дробь не имеет конечного представления, поэтому ограничиваем длину 8 дробными разрядами

Имеется набор данных, состоящий из пар положительных целых чисел.
Необходимо выбрать из каждой пары ровно одно число так, чтобы сумма всех выбранных чисел  делилась на 4 и при этом была максимально возможной.

Формат входных данных
В первой строке количество пар N (1 ≤ N ≤ 100000). Каждая из следующих N строк содержит два натуральных числа, не превышающих 10 000.
Программа должна напечатать одно число – максимально возможную сумму, соответствующую условиям задачи.

Формат выходных данных
Выведите значение найденной максимальной суммы. Если такой суммы нет, то выведите -1.
  
 

После четвёртого сезона Шерлок и Мориарти осознали бессмысленность баталии, развернувшейся между ними, и решили дальше соревноваться в мирную игру “Банковские карты”.

Правила у этой игры предельно просты: каждый игрок приносит свою любимую банковскую карту с \(n\)-значным номером. Далее оба игрока по очереди называют последовательные цифры из банковской карты. Если цифры не совпадают, то участник, цифра которого оказывается меньше, получает щелбан от другого игрока. Например, если \(n=3\) и у Шерлока номер карты \(123\), а у Мориарти \(321\), то сначала Шерлок называет число \(1\), а Мориарти называет число \(3\) и Шерлок получает щелбан. Затем и Шерлок и Мориарти называют число \(2\), и щелбан не получает никто. Наконец на третьем шаге, Шерлок называет \(3\), а Мориарти называет \(1\) и получает щелбан.

Шерлок, конечно, будет играть честно, но Мориарти, как настоящий злодей, подсмотрел номер карты Шерлока и теперь хочет называть цифры своей банковской карты не последовательно, а в некотором другом порядке (однако количество каждой из цифр он не изменяет). Например в случае выше, Мориарти мог бы назвать цифры в последовательности \(3\), \(2\), \(1\) и не получил бы щелбанов вообще, а мог назвать \(2\), \(3\) и \(1\) и выдать Шерлоку целых два щелбана.

Вам поручено вычислить, какое минимальное количество щелбанов Мориарти точно получит и какое максимальное число Мориарти может дать Шерлоку. Обратите внимание, что это две разные цели, и они могут достигаться при использовании разных порядков.

Формат входных данных
В первой строке находится одно целое число \(n\) (\(1 \leqslant n \leqslant 1000\)) — количество цифр в банковских картах Шерлока и Мориарти.

Во второй строке записана последовательность из \(n\) цифр — номер кредитной карточки Шерлока.

В третьей строке записана последовательность из \(n\) цифр — номер кредитной карточки Мориарти.

Формат выходных данных
В первой строке выведите одно число — минимальное число щелбанов, которое обязательно получит Мориарти.

Во второй строке выведите так же одно число — максимальное число щелбанов, которое Мориарти может дать Шерлоку.

В данной задаче 50 тестов, помимо тестов из условия, каждый из них оценивается в 2 балла. Результаты работы ваших решений на первых 30 тестах будут доступны во время соревнования. Результаты работы на остальных 20 будут доступны после окончания соревнования.

Решения, корректно работающие при \(1 \leq n \leq 3\), наберёт не менее \(10\) баллов.

Решения, корректно работающие при \(1 \leq n \leq 8\), наберет не менее \(30\) баллов.

Дан массив \(A = [a_1, a_2, \ldots, a_n]\), содержащий \(n\) натуральных чисел.

Требуется раскрасить элементы массива в два цвета таким образом, чтобы не существовало двух элементов \(x\) и \(y\) одного цвета, таких что \(x\) нацело делился на \(y\) и выполнялось равенство \(\frac{x}{y} = p\), где \(p\) — простое число. Гарантируется, что такая раскраска существует.

Напомним, что целое число \(p > 1\) называется простым, если оно имеет ровно два делителя: \(1\) и \(p\).

Формат входных данных
Первая строка содержит одно целое число \(n\) (\(1 \le n \le 100\,000\)) — количество элементов в массиве.

Вторая строка содержит \(n\) целых чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) (\(1 \le a_i \le 10^6\)) — элементы массива.

Формат выходных данных
Выведите описание разбиения массива на два множества в следующем формате.

Выведите \(n\) целых чисел, \(i\)-е из которых равняется \(1\), если элемент \(a_i\) надо раскрасить в первый цвет и \(2\), если элемент \(a_i\) надо раскрасить во второй цвет.

Если существует несколько подходящих раскрасок, вы можете вывести любую из них.

В первом примере есть два элемента первого цвета: \(2\) и \(3\), и два элемента второго цвета: \(1\) и \(4\). Элементы первого цвета не делятся нацело друг на друга. \(4\) нацело делится на \(1\), но их отношение не является простым числом.

Задан массив натуральных чисел \(A = [a_1, a_2, \ldots, a_n]\). Отрезком массива \(A\) с \(l\) по \(r\) будем называть массив \([a_l, a_{l+1}, \ldots, a_r]\).

Для заданного массива \(A\) и числа \(k\) требуется найти количество пар \((l, r)\), таких что \(l \le r\) и сумма чисел на отрезке массива \(A\) с \(l\) по \(r\) делится на \(k\) без остатка.

На первой строке ввода заданы целые числа \(n\) "— число элементов массива \(A\) и \(k\) (\(1 \le n \le 200\,000\), \(2 \le k \le 10^9\)).

На второй строке заданы целые числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) — элементы массива \(A\) (\(1 \le a_i \le 10^9\)).

Выведите одно число: количество пар \((l, r)\), таких что \(l \le r\), и сумма чисел на отрезке массива \(A\) с \(l\) по \(r\) делится на \(k\) без остатка.

В примере подходят следующие отрезки:

• \(l = 1\), \(r = 3\), отрезок \([1, 2, 3]\)

• \(l = 1\), \(r = 4\), отрезок \([1, 2, 3, 4]\)

• \(l = 2\), \(r = 2\), отрезок \([2]\)

• \(l = 2\), \(r = 5\), отрезок \([2, 3, 4, 5]\)

• \(l = 3\), \(r = 5\), отрезок \([3, 4, 5]\)

• \(l = 4\), \(r = 4\), отрезок \([4]\)

Олимпиады бывают не только личные, но и командные. В командной олимпиаде по программированию обычно принимают участие команды из трёх человек, которым предоставляется один компьютер и один комплект условий задач, причём задач обычно существенно больше, чем в личных олимпиадах.

Условие каждой из задач помещается на одной, двух или трёх страницах. При этом условие может быть напечатано на двух сторонах одного листа, но для удобства команд на одном листе может располагаться условие только одной из задач. Для экономии бумаги, если условие задачи занимает две страницы, оно должно быть напечатано на двух сторонах одного листа, а если из трёх страниц - на двух сторонах одного листа и на одной стороне другого листа, вторая сторона которого останется чистой. При этом можно напечатать первую страницу такой задачи отдельно на чистом листе, а оставшиеся две страницы - на одном листе или, наоборот, первые две страницы распечатать на одном листе, а третью - на чистом листе. Задачи и все их страницы печатаются последовательно.

Условия всех задач распечатываются на принтере в виде нескольких последовательных заданий. Для каждого задания необходимо задать диапазон печати: номера первой и последней страниц, которые будут напечатаны в этом задании (будут напечатаны все страницы в этом диапазоне), а также тип печати - односторонняя или двусторонняя. 

Вам необходимо минимизировать количество заданий для печати условий.

Формат входных данных
Первая строка входных данных содержит целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁶) - количество задач в олимпиаде.
Вторая строка входных данных содержит целое число n (1 ≤ x_i ≤ 3) - количество страниц в i-й задаче.
Формат выходных данных
Выведите единственное число - минимальное количество последовательных диапазонов, каждый из которых можно напечатать одной командой односторонней или двусторонней печати так, что условия всех задач будут напечатаны в удобном для командной олимпиады виде.

Замечание
В первом примере на олимпиаду предложены 4 задачи, условия которых состоят из 1, 3, 2 и 1 страниц соответственно. Всего необходимо распечатать 7 страниц. Их можно распечатать за два задания: cтраницы 1-2 - односторонней печатью (это единственная страница первой задачи и первая из трёх страниц второй задачи), оставшиеся страницы 3-7 - двусторонней.

Во втором примере на олимпиаду предложены 2 задачи, условия которых состоят из 3 страниц каждая. Всего необходимо распечатать 6 страниц. Их можно распечатать за два задания: cтраницы 1-1- односторонней печатью (это первая из трёх страниц первой задачи), оставшиеся страницы 2-6 - двусторонней. При этом в первой задаче первая страница будет напечатана на одной стороне,  потому что она напечатана односторонней печатью, а во второй задаче последняя страница будет напечатана на одной стороне, потому что в этом задании нечётное число страниц печатается на двух сторонах, поэтому вторая сторона этого листа будет пустой.

Был обычный будний вечер в Магнитогорске. Фил и Космос возвращались на машине домой после тяжёлой рабочей смены. Тут Космос вспомнил, что Белый дал ему задание, которое он благополучно забыл выполнить. Чтобы уберечь Космоса от гнева Саши Белого, помогите ему выполнить задание.
Даны n целых чисел a₁,a₂,...,a_n. Требуется сделать наибольший общий делитель (НОД) всех чисел массива равным 1. За одну операцию можно сделать следующее:
•    Выбрать произвольный индекс в массиве 1 <= i <= n;
•    Сделать a_i = gcd(a_i,i). Стоимость такой операции равна n − i + 1.
Требуется найти минимальную суммарную стоимость операций, которые нужно будет сделать, чтобы НОД чисел массива стал равен 1.
Входные данные
Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит целое число t (1 <= t <= 5000) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.
Первая строка каждого набора входных данных содержит единственное целое число n (1 <= n <= 20) — длину массива.
Вторая строка каждого набора входных данных содержит n целых чисел a₁,a₂,...,a_n (1 <= a_i <= 10⁹) — элементы массива.
Выходные данные
Для каждого набора входных данных выведите единственное целое число — минимальную суммарную стоимость операций, которые нужно будет сделать, чтобы НОД чисел массива стал равен 1.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	7 1 1 1 2 2 2 4 3 3 6 9 4 5 10 15 20 5 120 60 80 40 80 6 150 90 180 120 60 30	0 1 2 2 1 3 3

Замечание
В первом наборе входных данных НОД всего массива уже равен 1, поэтому операции применять не нужно.
Во втором наборе входных данных выберем i = 1. После этой операции a1 = gcd(2,1) = 1. Стоимость этой операции была равна 1.
В третьем наборе входных данных нужно будет выбрать i = 1, после этого массив a будет равен [1,4]. НОД этого массива равен 1, а суммарная стоимость равна 2.
В четвертом наборе входных данных нужно выбрать i = 2, после этого массив a будет равен [3,2,9]. НОД этого массива равен 1, а суммарная стоимость равна 2.
В шестом наборе входных данных можно выбрать i = 3, после этого массив a будет равен [120,60,1,40,80]. НОД этого массива равен 1, а суммарная стоимость равна 3.
 

Для заданного натурального N найдите последнюю ненулевую цифру числа N!.

Входные данные
Программа получает на вход целое число N (0 <= N <= 10⁶).

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	8	2
2	10	8

Дана последовательность из N натуральных чисел. Рассматриваются все её непрерывные подпоследовательности, такие что сумма элементов каждой из них кратна K. Найдите среди них подпоследовательность с максимальной суммой, определите её длину. Если таких подпоследовательностей найдено несколько, в ответе укажите количество элементов самой короткой из них.

Входные данные
В первой строке записаны натуральные числа N (1 <= N <= 10⁸) и K (1 <= K <= 100 ). Каждая из следующих N строк содержит одно натуральное число, не превышающих 10000.

Выходные данные
Выведите на экран одно число - количество элементов самой короткой подпоследовательности с максимальной суммой элементов кратной К.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	7 43 21 13 9 19 17 26 95	2

В этом наборе можно выбрать последовательности 21+13+9 (сумма 43) и 17+26 (сумма 43). Самая короткая из них, 17 + 26, имеет длину 2. Для указанных программа должна вывести число 2.

Среди чисел от 1 до N определите сколько чисел с максимальным количеством четных цифр в системе счисления с основанием r. Четными цифрами в любой системе счисления будем считать цифры 0, 2, 4, 6, 8.

Входные данные
Программа получает на вход 2 числа: N (1< N <= 10⁵) и r (2 <= r <= 9).

Выходные данные
Выведите на экран ответ на задачу.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 4	2

Наибольшим общим делителем непустого набора натуральных чисел A называется максимальное натуральное число d, такое что оно является одновременно делителем всех чисел множества A.
Задан массив натуральных чисел [a₁, a₂, . . . , a_n] и число k. Требуется выбрать в нем подмассив из k подряд идущих элементов [a_l, a_l+1, . . . , a_l+k−1], чтобы их наибольший общий делитель был как можно больше, и вывести этот наибольший общий делитель.

Входные данные
Первая строка ввода содержит два целых числа n и k (2 ≤ n ≤ 500 000, 2 ≤ k ≤ n).
Вторая строка содержит n натуральных чисел a₁, a₂, . . . , a_n (1 ≤ a_i ≤ 10¹⁸).

Выходные данные
Выведите одно натуральное число — максимальное возможное значение наибольшего общего делителя элементов подмассива длины k заданного массива.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	10 4 2 3 4 8 12 6 12 18 4 3	6

У Анны Николаевны есть N ящиков с конфетами. В i-м ящике лежит Ai количество конфет.  Анна Николаевна достает конфеты из нескольких последовательных коробок и равномерно раздает их M детям. Найдите количество пар (l, r), удовлетворяющих следующим условиям:
- l и r целые числа и удовлетворяют условию 1<=l<=r<=N;
- Al + Al+1 + ... + Ar делится на M.

Входные данные
Программа получает на вход две строки. Первая строка содержит два целых числа N (1<=N<=10⁵) и M (2<=M<=10⁹). Вторая строка содержит N чисел Ai (1<=A_i<=10⁹, 1<=i<=N).

Выходные данные
Выведите количество пар (l, r), удовлетворяющих условиям. Обратите внимание, что число может не соответствовать 32-битному целочисленному типу.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 2 4 1 5	3
2	13 17 29 7 5 7 9 51 7 13 8 55 42 9 81	6

Пусть a₁ = 2, a₂ = 3, a_n = a_1·a₂·...·a_n-1 – 1 при n ≥ 3. Назовем числа ai псевдопростыми. Для заданного натурального числа X нужно ответить на вопрос: можно ли X однозначно представить в виде произведения псевдопростых чисел (представления, отличающиеся только порядком множителей, считаются одинаковыми), и, если можно — выдать разложение.<

Входные данные
Вводится одно натуральное число X, 1 < X ≤ 10⁹.

Выходные данные
Выведите псевдопростые числа, произведение которых равно X, в произвольном порядке. Если разложения не существует или оно не единственно, выдать 0.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6	2 3
2	5	5
3	7	0

Дано число. В этом числе необходимо изменить одну цифру таким образом, чтобы новое число делилось на 3 и было бы максимально возможным. В исходном числе нужно
обязательно изменить одну цифру, даже если исходное число уже делилось на 3. Программа получает на вход одно длинное натуральное число. Длина числа может
достигать 100 цифр.
Программа должна вывести другое натуральное число, удовлетворяющее условиям:
1. Новое число должно отличаться от данного ровно одной цифрой.
2. Новое число должно делиться на 3.
3. Новое число должно быть максимально возможным из всех таких чисел.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	123	723

Дана возрастающая последовательность целых чисел 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, ... Она сформирована следующим образом: берется одно нечетное число, затем два четных, затем три нечетных и так далее. Выведите N-й элемент этой последовательности.

Входные данные
Одно целое число N (1 ≤ N ≤ 10¹⁰⁰).

Выходные данные
Выведите одно целое число - N-й элемент последовательности.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	1	1
2	4	5

Для того чтобы проверить, как ее ученики умеют считать, Мария Ивановна каждый год задает им на дом одну и ту же задачу — для заданного натурального A найти минимальное натуральное N такое, что N в степени N (N, умноженное на себя N раз) делится на A. От года к году и от ученика к ученику меняется только число A.
Вы решили помочь будущим поколениям. Для этого вам необходимо написать программу, решающую эту задачу.
Формат входных данных
Во входном файле содержится единственное число A (1 ≤ A ≤ 1000000000 — на всякий случай; вдруг Мария Ивановна задаст большое число, чтобы кого-нибудь “завалить”).
Формат выходных данных
В выходной файл выведите единственное число N.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	8	4
2	13	13

Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).

Формат входных данных
    В первой строке содержится N (3 ≤N ≤1000) – число вершин многоугольника. В последующих N строках идут координаты (X_i, Y_i) вершин многоугольника в порядке обхода по часовой стрелке. X_i и Y_i - целые числа, по модулю не превосходящие 1000000.

Формат выходных данных
Вывести одно число – искомое число точек.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1	1
2	3 0 0 0 2 2 0	0

У калькулятора есть две ячейки памяти: содержимое первой из них всегда отображается на табло, вторая является буфером. В начальный момент времени на табло калькулятора отображается целое число X, а в буфере записано число 0. У калькулятора работают только две клавиши: «+» и «=». При нажатии на «+» число, которое в данный момент отображено на табло, копируется в буфер. При нажатии на «=» число из буфера прибавляется к числу, отображенному на табло и результат отображается на табло, число в буфере при этом не меняется.

Требуется за наименьшее число нажатий клавиш на калькуляторе добиться того, чтобы на табло было отображено число Y.

Входные данные
Входной файл содержит два целых числа X и Y. Каждое из этих чисел по модулю не превышает 10⁹.

Выходные данные
В первую строку выходного файла выведите одно число — количество нажатий клавиш, которое потребуется для получения числа Y. Если из числа X получить число Y с помощью указанных операций невозможно, в выходной файл выведите одно число –1.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	-1 -8	6
2	2 16	6
3	0 0	0