Алгоритмы на графах

На полигоне, на котором проводятся военные учения сухопутных войск Флатландии, вырыты n окопов. Каждый окоп вырыт вдоль границы прямоугольника со сторонами, параллельными направлениям север–юг и запад–восток. При этом окопы могут иметь общие точки, но никакие два окопа не имеют общего участка ненулевой длины.

Очередные учения должны продемонстрировать способность солдат быстро и незаметно перемещаться из точки A в точку B.

Во время учений солдаты могут перемещаться либо по окопам, либо по траншеям, которые они могут прокапывать между окопами. При этом по окопам и выкопанным траншеям солдат может бегать настолько быстро, что временем перемещения от одной точки до другой можно пренебречь (будем считать его равным нулю). Траншеи же солдат копает со скоростью 1 метр в час.

Заданы точки A и B. Требуется определить, за какое минимальное время солдат во время учений сможет переместиться из А в B. Шириной траншей и окопов можно пренебречь.

Формат входных данных

Первая строка содержит число n — количество окопов на полигоне (1 ≤ n ≤ 500). Введем систему координат на полигоне таким образом, чтобы ось OX была ориентирована с запада на восток, а ось OY — с юга на север. Следующие n строк описывают окопы, каждый окоп описывается четырьмя целыми числами x₁, y₁, x₂, y₂ — координатами юго-западного и северо-восточного углов, соответственно (–10⁴ ≤ x₁ < x₁ ≤ 10⁴, –10⁴ ≤ y₁ < y₂ ≤ 10⁴).

Последние две строки содержат по два целых числа: x_A, y_A — координаты точки A и x_B, y_B — координаты точки B, соответственно (–10⁴ ≤ x_A, y_A, x_B, y_B ≤ 10⁴). Гарантируется, что точки A и B находятся в окопах. Все координаты заданы в метрах.

Формат выходных данных

Выведите одно вещественное число — количество часов, которое потребуется солдату, чтобы добраться из точки A до точки B. Ответ должен отличаться от правильного не более чем на 10^-6.

Рассмотрим таблицу, состоящую из N строк и M столбцов. Если в каждой ячейке такой таблицы стоит целое число, назовем такую таблицу целочисленной матрицей. Скажем, что эта матрица кратна чиcлу p, если все числа в ее ячейках кратны p.

Рассмотрим теперь суммы элементов матрицы по строкам и столбцам соответственно. Обозначим сумму чисел i-й строки за Hi, а сумму чисел j-го столбца за Vj. Упорядоченный набор чисел (H₁, H₂, …, H_N, V₁, V₂, …, V_M) назовем профилем матрицы. Скажем, что матрица почти кратна p, если все числа, входящие в ее профиль, кратны p. Почти кратная 5 матрица и ее профиль изображены на рисунке 1.


Если две матрицы A и B имеют одинаковый размер, причем элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j
-го столбца в матрице A отличается от соответствующего элемента матрицы B не более чем на p, скажем, что A отличается от B не более чем на p. Скажем, что матрица B похожа на матрицу A относительно числа p, если

1. отличается от не более чем на p
2. профили B и A совпадают.

На рисунке 2 изображены две похожие относительно числа 5 матрицы, первая из них почти кратна 5, а вторая кратна 5. Третья матрица на рисунке 2 тоже кратна 5, но непохожа на первую (хотя похожа на вторую).

Дано число p и почти кратная p матрица A. Ваша задача - найти такую матрицу B, чтобы она была кратна p и похожа на A относительно p.

Входные данные
В первой строке входных данных задаются целые числа p (1 <= p <= 10), N и M (1 <= N, M <= 30). Следующие N строк содержат по M целых неотрицательных чисел, не превышающих 1000, которые являются элементами исходной матрицы A.

Выходные данные
Выведите матрицу B по строкам - сначала M элементов первой строки, затем M элементов второй, и т. д. Разделяйте числа пробелами и/или переводами строк. Заботиться о красивом форматировании таблицы не надо. Если искомой матрицы не существует, выведите единственное число - "-1". Если решений несколько, выведите любое из них.

Андрюше на день рождения подарили хомячка. Пока Андрюша не купил для него клетку, он решил сделать ему клетку из подручных средств. Для изготовления клетки он решил использовать набор кубиков, подаренный ему на прошлый день рождения. Однако, неожиданно выяснилось, что сестра Андрюши склеила кубики суперклеем, и отделить их друг от друга не представляется возможным.

Все кубики оказались склеены в две фигуры. Любые два кубика в каждой из фигур либо не имеют общих точек, либо имеют общую грань, либо имеют общее ребро, но в последнем случае есть кубик, с которым каждый из них имеет общую грань. Каждую фигуру можно положить на стол так, что каждый кубик будет касаться стола одной из своих граней.

Теперь Андрюша хочет положить эти две фигуры на стол так, чтобы получилась клетка для хомячка. Фигуры должны быть положены таким образом, чтобы каждый кубик касался стола гранью. Стороны нижних граней кубиков должны быть параллельны сторонам стола. Любые два кубика, принадлежащие различным фигурам, должны либо не касаться друг друга, либо иметь общую грань, либо иметь общее ребро. Фигуры разрешается поворачивать и переворачивать.


Положив фигуры, Андрюша собирается выпустить хомячка на стол. Чтобы он не упал со стола, у него не должно быть возможности добраться от точки, в которую Андрюша его выпустит, до края стола. Хомячок не может перелезать через кубики, и, в частности, не может пролезть между двумя кубиками, имеющими общее ребро. Стол существенно больше каждой из фигур.

Андрюша хочет, чтобы площадь, по которой может бегать хомячок, была как можно больше. Помогите ему выяснить, какая максимальная площадь может быть у территории, до которой сможет добраться хомячок. Площадь грани кубика будем считать равной единице.

Например, две фигуры, показанные на рисунке выше, можно расположить как показано на следующем рисунке. Если выпустить хомячка в точку, отмеченную стрелкой, то доступная ему территория будет иметь площадь, равную четырем.

Входные данные
В первой строке вводятся два числа: h₁ и w₁ (1 <= h₁, w₁ <= 10). Следующие h₁
строк содержат по w₁ символов и описывают первую фигуру, вид сверху. Каждый из этих символов - либо "*" (звездочка), либо "." (точка), звездочка обозначает кубик, а точка – пустое место.

Далее в отдельной строке вводятся два числа: h₂ и w₂  (1 <= h₂,  w₂ <= 10). Следующие h₂ строк содержат по w₂ символов и описывают вторую фигуру в формате, аналогичном формату первой. Каждая из фигур связна и содержит хотя бы один кубик.

Выходные данные
Выведите одно число – максимальную площадь, которая может быть доступна хомячку. Если сделать клетку для хомячка невозможно, выведите 0.

Государство Флатландия представляет собой прямоугольник размером M × N, состоящий из единичных квадратиков. Флатландия разделена на K провинций (2 <= K <= 100). Каждая провинция представляет собой связное множество квадратиков, т.е. из каждой точки провинции можно дойти до любой другой ее точки, при этом разрешается переходить с квадратика на квадратик, только если они имеют общую сторону (общей вершины недостаточно). Во Флатландии нет точки, которая граничила бы более чем с тремя провинциями (т.е. четыре квадратика, имеющие общую вершину, не могут принадлежать четырем разным провинциям).

Каждая провинция имеет свой символ. Столица Флатландии находится в провинции, которой принадлежит символ A (заглавная латинская буква A). Провинция называется пограничной, если она содержит граничные квадратики. Провинция, в которой находится столица Флатландии, не является пограничной.

Король соседнего с Флатландией королевства Ректилания решил завоевать Флатландию. Для этого он хочет захватить столицу Флатландии. Однако он знает, что сил его армии недостаточно, чтобы сделать это сразу. Поэтому сначала он хочет окружить столичную провинцию, чтобы ослабить силы противника долгой блокадой, а потом захватить столицу.

Чтобы окружить провинцию, требуется захватить все провинции, с которыми она граничит. Две провинции граничат, если существует два квадратика, имеющие общую сторону, один из которых принадлежит первой из них, а другой - второй. Чтобы захватить провинцию, надо чтобы выполнялось одно из двух условий: либо она пограничная, либо граничит с какой-либо уже захваченной провинцией.

Чтобы сберечь силы своей армии, король Ректилании хочет установить блокаду столичной провинции, захватив как можно меньше провинций. Помогите ему выяснить, сколько провинций требуется захватить. Захватывать столичную провинцию нельзя, поскольку для этого сил армии Ректилании пока недостаточно.

Входные данные
В первой строке вводятся числа M и N (3 <= M, N <= 200). Следующие M строк содержат N символов каждая и задают карту Флатландии. Символ, находящийся в i + 1-й строке входных данных на j-м месте, представляет собой символ провинции, которой принадлежит квадратик (i, j). Все символы имеют ASCII-код больше 32 (пробела).

Выходные данные
Выведите единственное число - количество провинций, которые требуется захватить. Если установить блокаду невозможно, выведите "-1".

В точке (0, 0) координатной плоскости расположена лампочка, которая представляет собой точечный источник света. Неподалеку от лампочки находится дом Пети, который представляет собой выпуклый многоугольник с N вершинами. Сам Петя находится в точке с координатами (x, y).

Петя хочет увидеть свет. Для этого ему необходимо оказаться в такое точке, что отрезок, соединяющей ее с началом координат, не пересекается с домом Пети (но может его касаться, в частности, проходить вдоль стороны многоугольника дома).

Петя может перемещаться по плоскости со скоростью v. Разумеется, Петя не может проходить сквозь дом (хотя он может двигаться по его границе).

Выясните, какое минимальное время требуется Пете, чтобы оказаться в освещенной точке.


Входные данные
В первой строке вводятся координаты Пети – два неотрицательных вещественных числа, не превышающих 1000, и его скорость v – вещественное число, 10^-2≤ v≤ 10⁴.

Вторая строка содержит N – число вершин в многоугольнике, задающем Петин дом ( 3≤N≤100). Далее в N строках вводится по два вещественных числа – координаты вершин многоугольника в порядке их обхода против часовой стрелки. Все координаты неотрицательны и не превышают 1000.

Гарантируется, что входные данные корректны, в частности, многоугольник выпуклый, и никакие три его последовательные вершины не лежат на одной прямой. Также гарантируется, что и Петя, и лампочка находятся снаружи от многоугольника, в частности, не находятся на его границе. Расстояние от точки, где находится Петя, до многоугольника и от начала координат до многоугольника не меньше 10^-2, расстояние от Пети до начала координат не меньше 10^-2.

Выходные данные
Выведите минимальное время, за которое Петя сможет попасть в освещенную точку. Ваш ответ должен отличаться от правильного не более чем на 10^-4.

В столице одной Очень Демократической Страны все жители в 8 часов утра одновременно выходят со станций метро, ближайших к месту своей работы, и дальше добираются до работы на автобусах. Мэр города хочет построить еще одну станцию метро так, чтобы после этого время, к которому все люди доберутся до места своей работы (то есть время, когда последний работник окажется на работе), было наименьшим возможным.

Автобусное сообщение в столице устроено следующим образом. Есть N автобусных остановок, в частности, возле каждой станции метро расположено по остановке. Между N – 1 парой остановок постоянно курсируют автобусы, время движения от одной остановки до другой – 1 минута. Временем ожидания и пересадки можно пренебречь. Автобусное сообщение в столице организовано так, что от любой автобусной остановки до любой другой можно добраться на автобусах (возможно, с пересадками).

Входные данные
В первой строке входных данных содержатся два числа N и M – количество автобусных остановок и станций метро соответственно (2 ≤ N ≤ 50 000, 1 ≤ M ≤ 1 000, M < N).

Во второй строке задаются через пробел M чисел – номера автобусных остановок, рядом с которыми есть станции метро (каждая – не более одного раза).

В следующих N – 1 строках записано по два числа – номера автобусных остановок, между которыми курсирует автобус. (Автобус ходит в обоих направлениях. Каждый маршрут указан один раз.)

Выходные данные
Выведите два числа – сначала наибольшее время за которое кто-то будет и после строительства добираться на работу, а затем номер автобусной остановки, рядом с которой следует построить новую станцию метро. (Строить можно возле тех автобусных остановок, возле которых еще нет станций метро). Если решений несколько, выведите одно из них.
 

В ежегодном чемпионате Флатландии (которая, естественно, является плоским миром) по космическим гонкам "Формула-3" участвуют N космических скутеров, имеющие форму треугольников. До начала гонок скутеры занимают положение в стартовой зоне согласно результатам жеребьевки.


Скутеры стартуют строго по порядку. Каждый скутер,получив команду «старт», уезжает в положительном направлении оси Ox. Следующий скутер стартует лишь тогда, когда предыдущий покинет стартовую зону. Скутеры уезжают строго параллельно оси Ox, скутеры в стартовой зоне не поворачивают и не разворачиваются.

Естественно, что если в момент старта на пути скутера окажется другой скутер, то произойдет авария (даже если скутер заденет лишь угол другого скутера своим углом).

Для уменьшения опасности столкновения скутеров на старте строго соблюдается следующее правило: прямые, параллельные оси Ox и пересекающие какой-то скутер, должны в совокупности пересекать не более 100 других скутеров (прямая, проходящая через одну точку скутера также считается прямой, пересекающей скутер). Например, на приведенном рисунке прямые, параллельные Ox и пересекающие скутер 2, проходят через 2 других скутера (1 и 3), а прямые, проходящие через скутер 1, проходят только через один другой скутер (номер 2).

Главный Судья гонок хочет определить порядок, в котором должны стартовать скутеры, чтобы аварии не произошло. Например, в ситуации, приведенной на рисунке, сначала должен стартовать скутер номер 2 (если попытается стартовать скутер номер 1 или 3, то он столкнется со скутером номер 2). После этого скутеры 1 и 3 могут стартовать в любом порядке (они друг другу не мешают).

Помогите Главному Судье — напишите программу, которая определит какой-нибудь порядок старта скутеров, чтобы аварии не произошло.

Входные данные
В первой строке вводится натуральное число N( 1 ≤ N ≤ 30 000).

В каждой из следующих N строк содержится по 6 чисел: x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃ – координаты трех вершин скутера на старте, целые числа, не превосходящие по модулю 10⁶. В начальный момент скутеры не задевают друг друга.

Выходные данные
Выведите через пробел N чисел – номера скутеров в том порядке, в котором они могут стартовать. Если решений несколько, выведите одно любое из них. Если решений нет, выведите одно число -1.

Примечание
Первый тест соответствует приведенному рисунку. Ответ 2 3 1 в этом тесте также является правильным
 

В Тридесятом государстве есть N фирм, занимающихся разработкой программного обеспечения. Однажды известный олигарх Тридесятого государства Иванушка решил монополизировать эту отрасль. Для этого он хочет купить максимальное число программистских фирм Тридесятого государства.

Он разослал предложения всем N компаниям и через некоторое время получил от каждой их них согласие или отказ. Однако он знает, что в бизнесе очень многое зависит от взаимного доверия партнеров.

В результате небольшого исследования Иванушка установил, между какими компаниями существует взаимное доверие (причем всегда если компания доверяет компании B, то компания B доверяет компании A).

Теперь, при желании, Иванушка может повторно разослать предложения всем компаниям, включив в письма список компаний, давших согласие участвовать в его проекте. При этом каждая компания, независимо от своего первоначального мнения дает согласие, если в списке есть хотя бы одна компания, которой она доверяет, и отказ в противном случае. Таким образом, некоторые компании, которые изначально не согласились участвовать в проекте, могут теперь дать свое согласие, а некоторые из давших согласие — наоборот отказаться. В результате этого у Иванушки формируется новый список, который он опять может разослать фирмам. Он может сколь угодно долго повторять операцию, каждый раз рассылая текущий список. Иванушка может остановить процесс в любой момент и заключить договора с теми, кто после последней рассылки дал согласие.

Напишите программу, которая определит, какое максимальное число компаний может объединить Иванушка под своим началом.

Будем считать, что Иванушка — честный предприниматель и он никогда не подтасовывает рассылаемые им списки.

Входные данные
В первой строке входных данных содержится число N — количество фирм (1≤N≤2000). Далее идут N чисел, описывающих ответ фирмы на первое предложение Иванушки (1 — согласие, 0 — отказ). Далее задается число M (0≤M≤200000) — количество пар компаний, между которыми существует доверие. Далее следуют M пар чисел, задающих номера фирм, между которыми существует взаимное доверие (числа в паре не могут быть одинаковыми). Любая пара компаний упоминается в этом списке не более одного раза.

Выходные данные
Выведите  одно число — максимальное число фирм, которое сможет купить Иванушка.

В одном феодальном государстве средневековой Европы было \(n\) городов и \(m\) дорог, каждая из которых соединяла некоторые два города. Каждая дорога принадлежала правителю одного из городов (не обязательно одного из тех, которые она соединяла). Однажды правитель города S решил объявить войну правителю города T. Перед ним сразу же встала нелегкая задача: как довести армию до города T.

Правитель каждого города требует плату за проход войск через его город. Кроме того, правитель города S может перемещать войска только по дорогам, которые принадлежат ему. При этом он может купить любую дорогу у ее владельца за определенную плату (даже если владелец — правитель города T). К сожалению, все деньги из казны города S были потрачены на предыдущий неудачный военный поход, поэтому сначала правителю придется продать некоторые свои дороги (разумеется, после этого он не сможет провести по ним войска).

Помогите правителю выяснить, какие дороги следует продать, а какие купить, чтобы довести войска от города S до города T и оплатить проход через все промежуточные города. Все операции продажи и покупки дорог надо осуществить до начала похода, пока правители других городов не догадались о воинственных намерениях правителя города S.

Формат входных данных
Первая строка содержит целые числа \(n\) и \(m\) — количество городов и дорог соответственно (\(2 \le n \le 2\,000\), \(1 \le m \le 50\,000\)). Города нумеруются от 1 до \(n\), города S и T имеют номера 1 и \(n\) соответственно.

Следующие \(n\) строк содержат под одному целому числу \(r_i\) — плату за проезд через город \(i\) (\(0 \le r_i \le 10\,000\), \(r_1 = r_n = 0\)).

Следующие \(m\) строк содержат описания дорог. Дорога описывается четырьмя целыми числами: \(a_i\), \(b_i\), \(p_i\) и \(c_i\). Здесь \(a_i\) и \(b_i\) — номера городов, которые соединяет дорога, \(p_i\) — номер города, правителю которого она принадлежит, \(c_i\) — ее стоимость (\(a_i \ne b_i\), \(1 \le c_i \le 10\,000\)). По дороге можно перемещаться в обоих направлениях. Любые два города соединены не более чем одной дорогой.

Формат выходных данных
На первой строке выведите список дорог, которые нужно продать в следующем формате: сначала число дорог, а затем их номера. Дороги нумеруются с единицы в том порядке, в котором они заданы во входных данных. На второй строке выведите список дорог, которые нужно купить, в том же формате. На третьей строке выведите маршрут похода — номера городов в порядке следования войска. Если решений несколько, выведите любое.

Если решения нет, выведите в выходной файл число \(-1\).

Петя любит ездить в школу на велосипеде. Но ездить на велосипеде по тротуарам запрещено, а ездить по дороге опасно. Поэтому Петя ездит только по специальным велосипедным дорожкам. К счастью, и Петин дом, и Петина школа находятся в непосредственной близости от таких дорожек.

В городе, где живет Петя, есть ровно две велосипедных дорожки. Каждая дорожка имеет форму окружности. В точках их пересечения можно переехать с одной дорожки на другую.

Петя знает точку, в которой он заезжает на дорожку, и точку, в которой следует съехать, чтобы попасть в школу. Петю заинтересовал вопрос: какое минимальное расстояние ему следует проехать по дорожкам, чтобы попасть из дома в школу.

Входные данные
Будем считать, что в городе введена прямоугольная декартова система координат.

Первые две строки входных данных описывают велосипедные дорожки. Каждая из них содержит по три целых числа – координаты центра окружности, которую представляет собой соответствующая дорожка, и ее радиус. Координаты и радиус не превышают 200 по абсолютной величине, радиус – положительное число. Гарантируется, что дорожки не совпадают.

Следующие две строки содержат по два вещественных числа – координаты точки, где Петя заезжает на дорожку, и точки, в которой Петя съезжает с дорожки. Гарантируется, что каждая из точек с высокой точностью лежит на одной из дорожек (расстояние от точки до центра одной из окружностей отличается от ее радиуса не более, чем на 10^-8). Точки могут лежать как на одной дорожке, так и на разных.

Выходные данные
Выведите  минимальное расстояние, которое следует проехать Пете по велосипедным дорожкам, чтобы попасть из дома в школу. Ответ должен отличаться от правильного не более, чем на 10^-4.

Если доехать из дома до школы по велосипедным дорожкам невозможно, выведите  число -1.

Во Флатландии \(n\) городов, расположенных в различных точках плоскости. Известно, что никакие три города не лежат на одной прямой.

Правительство решило построить в стране сеть сверхскоростных шоссе. Сеть шоссе должна быть такой, чтобы из любого города можно было проехать в любой другой по построенным шоссе. А в целях экономии средств было решено, что путь, соединяющий любые два города, должен быть единственным. Каждое шоссе представляет собой отрезок, соединяющий некоторую пару городов.

Завод, выполняющий этот госзаказ, подготовил проект сети шоссе. Проект представляет собой описание \(n - 1\) шоссе. Каждое шоссе задается городами, которые оно соединяет. В целях секретности вместо названий городов в проекте были использованы коды — числа от 1 до \(n\).

Однако когда дело дошло до реализации проекта, выяснилось, что документ, в котором было указано соответствие номеров городам, утерян. Поскольку проект приурочен к пятисотлетию культурной столицы Флатландии, переделывать проект полностью оказалось невозможно. Поэтому было решено установить некоторое новое соответствие номеров городам.

При попытке это сделать разработчики проекта столкнулись со следующей проблемой. В соответствии с техническими нормами строительства, недопустимо, чтобы шоссе пересекались вне городов. Поэтому не любое сопоставление номеров городам допустимо. После пары бессонных ночей главный инженер завода решил поручить спасение проекта вам.

Ваша задача — таким образом сопоставить числам от 1 до \(n\) города, чтобы после реализации проекта шоссе не пересекались вне городов, которые они соединяют.

Формат входных данных
В первой строке содержится целое число \(n\) — количество городов во Флатландии (\(2 \le n \le 1500\)).

Далее следует \(n\) описаний городов. Описание каждого города состоит из двух строк. Первая строка содержит название города — строку, состоящую из символов с ASCII-кодами от 33 до 127. Названия различных городов не совпадают. Длина названия города не превышает 60 символов. Вторая строка описания города содержит два целых числа \(x\) и \(y\) — координаты города. Координаты не превышают \(10^4\) по абсолютной величине.

Далее следуют \(n - 1\) строк, которые описывают проект строительства сети шоссе в его текущем состоянии. Каждая строка содержит по два целых числа — номера городов, соединенных шоссе в проекте. Никакое шоссе в проекте не соединяет город сам с собой, никакие два города не соединены более чем одним шоссе.

Формат выходных данных
Выведите \(n\) строк, \(i\)-я из этих строк должна содержать название города, который следует сопоставить числу \(i\) в проекте. Если решений несколько, выведите любое.

Если решения не существует, выведите <<No solution>>.

Иллюстрация к примеру

Женя получил письмо от Леши со словесным описанием схемы метро в его городе. Метро содержит одну кольцевую линию. Каждая из остальных линий пересекается с кольцевой не более чем в двух местах, причем в точках пересечения организованы пересадочные станции. В одном месте кольцевую линию могут пересекать сразу несколько линий, имеющих общую пересадочную станцию.

Кроме этих пересадочных станций каждая из линий имеет не более одной пересадочной станции для перехода на другие, отличные от кольцевой, линии. На такой станции также может быть организована пересадка сразу на несколько линий.

Для каждой пересадочной станции Леша описал, какие линии на ней пересекаются, и указал порядок расположения пересадочных станций на кольцевой линии. Он утверждает, что все линии расположены на одной глубине и других пересечений, помимо пересадочных узлов, не имеют. Чтобы проверить это утверждение, Женя стал по словесному описанию рисовать схему метро, но у него не получилось.

Помогите Жене написать программу, которая будет проверять, действительно ли может существовать схема метро, соответствующая полученному описанию.

На рисунке приведена возможная схема метро, соответствующая второму примеру.

Формат входных данных
В первой строке содержится число \(k\) — количество линий метро в городе (\(1 \le k \le 10\)). Все линии пронумерованы от 0 до \(k - 1\), кольцевая линия имеет номер 0. Во второй строке записано число \(n\) — количество пересадочных станций. Каждая из следующих \(n\) строк описывает линии, пересекающиеся на соответствующей пересадочной станции, причем сначала следуют описания пересадочных станций, расположенных на кольцевой линии, в порядке их расположения на ней. Описание каждого узла начинается с количества пересекающихся в нем линий, затем следуют номера линий.

Формат выходных данных
Выведите слово YES, если по описанию можно построить схему метро, и NO в противном случае.

Секретный бункер уходит на N этажей вниз. Под нижним этажом бункера находится сверхсекретная лаборатория. Злобный диверсант хочет вывести лабораторию из строя, залив её водой (даже очень небольшого количества воды хватит, чтобы запоганить сверхточные приборы). Для этого он использует лужицы воды, остающиеся от жизнедеятельности обитателей бункера. В лужицах i-го этажа находится Ei воды. Диверсанту известно, что если на нём скопится больше Сi воды, то перегородка не выдержит и вся вода сольется на этаж ниже. Он может проделать отверстия в некоторых перегородках, по которым вода также стечет вниз. Проделать отверстие в полу i-го этажа стоит Pi у.е. Помогите диверсанту уничтожить лабораторию с минимальными материальными затратами.

Входные данные
Первая строка содержит натуральное число N (1 <= N <= 50000) - количество этажей в бункере, в следующих N строках находятся тройки целых чисел C_i, E_i, P_i (0 < E_i <= Ci < 1000000; E₁+E₂+...+E_N < 2000000000; P_i > 0; P₁+P₂+...+P_N < 2000000000). Этажи нумеруются сверху вниз.

Выходные данные
В первой строке выдать количество денег, которое придется потратить злобному диверсанту, в следующих строках выведите номера этажей, в полу которых следует проделать отверстия.

Остров народа Флатопии представляет собой часть плоскости. К сожалению, во Флатопии очень плохая система дорог. Правительство беспокоится об этой проблеме и уже построило несколько дорог, соединяющих наиболее важные города. Как всегда, остались города, до которых невозможно добраться по дорогам. Требуется построить новые дороги так, чтобы можно было проехать по дорогам от любого города до любого другого.

Города во Флатопии пронумерованы от 1 до N и город с номером i имеет декартовы координаты (x_i, y_i). Каждая дорога соединяет ровно два города. Все дороги (уже построенные и те, которые собираются построить) лежат на прямых линиях и их длина равна декартовому расстоянию между городами. Все дороги имеют двухстороннее движение. Дороги могут пересекаться, но водитель может переезжать с дороги на дорогу только в городах.

Правительство Флатопии хочет минимизировать стоимость постройки новых дорог. При этом, они хотят, чтобы все города были достижимы по дорогам. Так как Флатопия является плоской, то стоимость постройки дороги пропорциональна её длине. Поэтому, в целях экономии, требуется минимизировать суммарную длину построенных дорог.

Входные данные
Входной файл состоит из двух частей. Первая часть содержит информацию о городах Флатопии, а вторая о дорогах, которые уже построены.

Первая строка входного файла содержит единственное целое число N (1 <= N <= 750), обозначающее число городов. Следующие N строк содержат по два целых числа, x_i и y_i, разделённых пробелом. Эти числа являются координатами соответствующих городов (для i от 1 до N). Координаты по модулю не превосходят 10000. Никакие два города не совпадают.

Следующая строка содержит одно число M (0 <= M <= 1000), представляющее количество уже построенных дорог. Следующие M строк содержат по два целых числа, разделённых пробелом. Эти два числа обозначают пару городов, которые уже соединены дорогами. Каждая пара соединена не более чем одной дорогой.

Выходные данные
В выходной файл выведите дороги, имеющие минимальную возможную суммарную длину, которые требуется построить для соединения всех городов. Каждая дорога должна быть записана на отдельной строке в виде номеров соединённых городов, записанных через пробел. Если дорог строить не нужно, то выходной файл должен быть создан, но при этом остаться пустым.

В ЛКШ построили аттракцион "Лабиринт знаний". Лабиринт представляет собой N комнат, занумерованных от 1 до N, между некоторыми из которых есть двери. Когда человек проходит через дверь, показатель его знаний изменяется на определенную величину, фиксированную для данной двери. Вход в лабиринт находится в комнате 1, выход - в комнате N. Каждый ЛКШонок проходит лабиринт ровно один раз и попадает в группу в зависимости от набранных знаний (при входе в лабиринт этот показатель равен нулю). Ваша задача показать наилучший результат.

Входные данные
Первая строка входного файла содержит целые числа N (1 <= N <= 2000) - количество комнат и M (1 <= M <= 10000) - количество дверей. В каждой из следующих M строк содержится описание двери - номера комнат, из которой она ведет и в которую она ведет, а также целое число, которое прибавляется к количеству знаний при прохождении через дверь (это число по модулю не превышает 10000). Двери могут вести из комнаты в нее саму, между двумя комнатами может быть более одной двери.

Выходные данные
В выходной файл выведите ":)" - если можно получить неограниченно большой запас знаний, ":(" - если лабиринт пройти нельзя, и максимальное количество набранных знаний в противном случае.

Пусть нам известны степени (количество ребер, инцидентных данной вершине) всех вершин неориентированного графа. Требуется построить неориентированный граф без петель и кратных ребер с заданными степенями вершин или сказать, что это невозможно.

Формат входных данных

Первая строка входного файла содержит натуральное число N (1 <= N <= 500), а во второй строке N чисел - степени вершин.

Формат выходных данных

В первой строке выходного файла выдать слово 'Yes', если граф построить можно, или 'No', если нет. Если построить возможно, то выдать в следующей строке количество ребер, далее список ребер, заданных парой вершин.

Дано бесконечное бинарное дерево. У дерева есть корень и бесконечное число вершин, у каждой вершины есть левый и правый сын, у всех вершин кроме корня есть отец.

Каждая вершина может быть покрашена в один из \(c\) цветов или быть бесцветной. Изначально все вершины бесцветные.

Вам необходимо обрабатывать два типа запросов:

1. color(\(u\), \(x\)) Дана вершина \(u\), покрасить вершину \(u\) в цвет \(x\), а затем вызвать color(\(L\), \((x + 1) \bmod c\)) для ее левого сына \(L\) и color(\(R\), \((x - 1 + c) \bmod c\)) для её правого сына \(R\). Заметим, что эта операция перекрашивает все (бесконечное) множество вершин в поддереве вершины \(u\). Здесь \(\bmod\) — операция взятия числа по модулю. Если вершина уже была покрашена, то её цвет меняется на новый.

2. Дана вершина, вывести её текущий цвет.

Формат входных данных
В первой строке вводятся два числа \(q\), \(c\) — количество запросов и цветов, соответственно (\(1 \leq q \leq 5 \cdot 10^5\), \(1 \leq c \leq 10^9\)). Затем следует \(q\) запросов, каждый из которых начинается с целого числа \(t_i\) — типа \(i\)-го запроса.

Если \(t_i\) = 1, то далее в строке даётся целое число \(x\) (\(0 \leq x \leq c - 1\)) цвет, в который надо покрасить вершину запроса \(u\). В следующей строке описан путь до вершины \(u\) в виде непустой строки \(s_i\), состоящей из символов <<L>> и <<R>>. Данная строка задаёт путь от корня дерева до вершины \(u\), где <<L>> обозначает переход к левому сыну, а <<R>> "— к правому.

Если \(t_i\) = 2, то в следующей строке задаётся путь до вершины, цвет которой необходимо вывести, заданный аналогично предыдущему запросу.

Гарантируется, что сумма длин путей до всех вершин запросов не превосходит \(5 \cdot 10^5\).

Формат входных данных
Для каждого запроса второго типа в новой строке необходимо вывести ответ на него. Если вершина бесцветная, необходимо вывести число \(-1\).

Однажды Юрик оказался в лесу у костра, где собрались \(n\) человек. Оказалось, что некоторые из них знакомы друг с другом. Для удобства пронумеруем людей целыми числами от \(1\) до \(n\). Обозначим как \(d_i\) количество людей, сидящих у костра, с которыми знаком \(i\)-й человек. Неожиданно оказалось, что два человека с номерами \(i\) и \(j\) (\(i \ne j\)) знакомы друг с другом тогда и только тогда, когда \(d_i = d_j\).

Вернувшись домой, Юрик задумался, какое минимальное количество пар людей могли быть знакомы, чтобы выполнялось это условие?

Формат входных данных
Единственная строка содержит одно целое число \(n\) (\(1 \le n \le 5\,000\)) — количество людей.

Формат выходных данных
Выведите одно целое число — минимальное количество пар знакомых людей.

Замечание
Рассмотрим первый пример из условия. Возможны следующие варианты:

1. Любые два человека знакомы друг с другом. В этом случае количество пар знакомых людей равно \(\frac{4 \cdot 3}{2} = 6\).

2. Некоторые три человека попарно знакомы друг с другом, четвертый человек не знаком ни с кем. В этом случае количество пар знакомых людей равно \(3\).

Планируется строительство новой магистрали <<Урал>>. Долговечность автомагистрали зависит от пластов пород, залегающих под ней. Пластом называется геологическое тело, состоящее из одной горной породы.

Под будущей магистралью залегают \(n\) горизонтальных пластов. Геологическое исследование позволило определить точки магистрали, под которыми начинается и заканчивается каждый из них. При этом порядок залегания пластов по глубине определить не удалось.

В заданных местах вдоль планируемой магистрали пробурены вертикальные скважины. Каждая из них пересекает несколько верхних пластов, находящихся под точкой бурения. Для каждой скважины известно, в каком порядке располагаются пробуренные пласты сверху вниз, начиная от поверхности. Если скважина не пересекает какой-то из пластов, находящихся под точкой бурения, значит он проходит ниже дна скважины.

Требуется написать программу, которая определяет возможный порядок залегания пластов по глубине, не противоречащий полученным данным.

Формат входных данных
Первая строка входного файла содержит целое число \(n\) "— количество пластов. Пласты пронумерованы целыми числами от \(1\) до \(n\) в произвольном порядке.

В \(i\)-й из следующих \(n\) строк содержатся целые числа \(l_i\) и \(r_i\) (\(0 \leqslant l_i < r_i\leqslant 10^9\)) "— расстояния от начала магистрали до точек, под которыми начинается и заканчивается \(i\)-й пласт.

В следующей строке записано целое число \(m\) "— количество скважин, в которых проводилось бурение. Следующие \(m\) строк описывают результаты бурения: в каждой строке сначала указаны два целых числа \(x\) (\(0 \leqslant x \leqslant 10^9\)) и \(k\) (\(0 \leqslant k \leqslant n\)) "— расстояние от начала магистрали до скважины и количество обнаруженных в данной скважине пластов, затем "— целые числа \(s_1, s_2, \ldots, s_k\) "— номера пробуренных пластов, перечисленные в порядке залегания сверху вниз. Скважины перечислены в порядке возрастания расстояния \(x\).

Гарантируется, что решение существует.

Формат выходных данных
Первая строка выходного файла должна содержать \(n\) целых чисел \(p_1, p_2, \ldots , p_n\), описывающих возможный порядок залегания пластов сверху вниз. Среди чисел \(p_1, p_2, \ldots , p_n\) каждый номер пласта должен встретиться ровно один раз. При этом пласт с номером \(p_j\) не должен нигде проходить выше пластов с номерами \(p_1, \ldots ,p_{j-1}\) или ниже пластов с номерами \(p_{j+1}, \ldots , p_n\).

Если возможных расположений пластов несколько, выведите любое из них.

Примечание
Рисунок в условии соответствует примеру. Для приведенного примера правильным также является ответ 2 3 1 4. Обратите внимание, что тест из примера не соответствует подзадаче 1. Для того, чтобы решение было принято на проверку, оно должно проходить тест из примера, даже если решена только эта подзадача.

В развлекательном центре Е-города был установлен игровой автомат нового поколения. В автомат можно бросить монету и следить за её продвижением сверху вниз по разветвляющемуся лабиринту из трубок. В лабиринте есть \(n\) узлов, которые пронумерованы числами от 1 до \(n\). При бросании монета попадает в первый узел. Каждый узел лабиринта, кроме первого, имеет одну входящую сверху трубку, по которой монета может в него попасть. Из каждого узла выходит не более двух трубок, идущих вниз, одна из которых ведет налево, а другая "— направо. Каждая трубка имеет некоторую ширину. Монета проваливается в более широкую трубку, а в случае равенства ширины трубок "— в левую.

После прохождения монеты по трубке ширина этой трубки уменьшается на 1. Монета не может пройти по трубке ширины 0. Если монета достигла узла, из которого она не может дальше двигаться вниз, автомат останавливается и ждёт, когда в него бросят следующую монету.

Изначально в каждом узле лабиринта находится по игрушке. Когда монета попадает в узел первый раз, игрушка, находящаяся в этом узле, достаётся игроку, бросившему эту монету.

Панкрату понравилась игрушка, которая находится в узле с номером \(v\).

Требуется написать программу, которая определяет, сколько монет должен бросить в автомат Панкрат, чтобы получить игрушку из узла \(v\).

Формат входных данных
В первой строке задано число \(n\) — количество узлов в лабиринте. В последующих \(n\) строках заданы описания всех узлов, в \(k\)-й из этих строк описан узел с номером \(k\).

Описание \(k\)-го узла состоит из четырех целых чисел: \(a_k\), \(u_k\), \(b_k\), \(w_k\). Если из \(k\)-го узла выходит левая трубка, то \(a_k\) — номер узла, в который она ведет (\(k < a_k \leqslant n\)), а \(u_k\) — её ширина. Если левой трубки нет, то \(a_k = u_k = 0\). Если из \(k\)-го узла выходит правая трубка, то \(b_k\) — номер узла, в который она ведет (\(k < b_k \leqslant n\)), а \(w_k\) — её ширина. Если правой трубки нет, то \(b_k = w_k = 0\).

В последней строке задано целое число \(v\) (\(1 \leqslant v \leqslant n\)) — номер узла, в котором находится игрушка, понравившаяся Панкрату.

Гарантируется, что во все узлы, кроме первого, входит ровно одна трубка.

Формат выходных данных
Выходные данные должны содержать одно число — количество монет, которое необходимо бросить в автомат Панкрату, чтобы получить игрушку, которая находится в узле \(v\). Если получить выбранную игрушку невозможно, выведите число \(-1\).

 

В первом примере первая монета пройдет лабиринт по следующему пути, и игрок получит игрушки из вершин 1, 3 и 4:

Вторая монета пройдет лабиринт по следующему пути, и игрок получит игрушки из вершин 2 и 6:

Третья монета пройдет лабиринт по следующему пути, и игрок получит игрушки из вершин 5 и 7: