| Условие задачи | | Прогресс |
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Напишите программу, которая считает количество дорог в городе Новые Васюки. Схема дорог задана как матрица смежности графа. На некоторых дорогах введено одностороннее движение.
Входные данные
В первой строке вводится количество перекрёстков в Новых Васюках N ( 1 ≤ N ≤ 1000 ). В следующих N строках записано по N чисел, разделённых пробелами – элементы матрицы смежности графа, который описывает схему дорог.
Выходные данные
Программа должна вывести одно число – количество дорог в Новых Васюках. Дороги с двусторонним движением нужно считать только один раз.
|
Ввод |
Вывод |
|
5
0 1 1 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 0 1 0
|
7 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Найдите суммарную длину всех дорог в городе Новые Васюки. Схема дорог задана в виде весовой матрицы графа. На некоторых дорогах введено одностороннее движение. Если длины дорог из пункта А в пункт Б разные, это означает, что есть две разные дороги.
Входные данные
В первой строке вводится количество перекрёстков в Новых Васюках N ( 1 ≤ N ≤ 1000 ). В следующих N строках записано по N чисел, разделённых пробелами – длины дорог между каждой парой перекрёстков. Ноль означает, что дороги между этими перекрёстками нет.
Выходные данные
Программа должна вывести одно число – суммарную длину дорог. Дороги с двусторонним движением нужно считать только один раз.
|
Ввод |
Вывод |
|
5
0 2 3 4 0
2 0 5 0 7
3 6 0 8 0
0 0 0 0 0
0 7 0 9 0
|
44 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
В галактике "Milky Way" на планете "Neptune" есть N городов, некоторые из которых соединены дорогами. Император "Maximus" галактики "Milky Way" решил провести инвентаризацию дорог на планете "Neptune". Но, как оказалось, он не силен в математике, поэтому он просит вас сосчитать количество дорог.
Входные данные
В первой строке задается число N (\(0<=N<=100\)). В следующих N строках записано по N чисел, каждое из которых является единичкой или ноликом. Причем, если в позиции (i,j) квадратной матрицы стоит единичка, то i-ый и j-ый города соединены дорогами, а если нолик, то не соединены.
Выходные данные
Вывести одно число - количество дорог на планете "Neptune".
Примечание
Все дороги двусторонние, то есть если есть дорога из города i в город j, то есть и дорога из города j в город i, и это та же самая дорога.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
5
0 1 0 0 0
1 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
|
3 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
В подземелье M тоннелей и N перекрестков, каждый тоннель соединяет какие-то два перекрестка. Мышиный король решил поставить по светофору в каждом тоннеле перед каждым перекрестком. Напишите программу, которая посчитает, сколько светофоров должно быть установлено на каждом из перекрестков. Перекрестки пронумерованы числами от 1 до N.
Входные данные
В первой строке записано два числа N и M (\(0<N<=100\), \(0<=M<=N*(N-1)/2\) ). В следующих M строках записаны по два числа i и j (\(1<=i,j<=N\)), которые означают, что перекрестки i и j соединены тоннелем.
Выходные данные
Вывести N чисел: k-ое число означает количество светофоров на k-ом перекрестке.
Примечание
Можно считать, что любые два перекрестка соединены не более, чем одним тоннелем. Нет тоннелей от перекрестка i до него самого.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
7 10
5 1
3 2
7 1
5 2
7 4
6 5
6 4
7 5
2 1
5 3
|
3 3 2 2 5 2 3 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
В Банановой республике очень много холмов, соединенных мостами. На химическом заводе произошла авария, в результате чего испарилось экспериментальное удобрение "зован". На следующий день выпал цветной дождь, причем он прошел только над холмами, в некоторых местах падали красные капли, в некоторых - синие, а в остальных - зеленые, в результате чего холмы стали соответствующего цвета. Президенту Банановой республики это понравилось, но ему захотелось покрасить мосты между вершинами холмов так, чтобы мосты были покрашены в цвет холмов, которые они соединяют. К сожалению, если холмы разного цвета, то покрасить мост таким образом не удастся.
Посчитать количество таких "плохих" мостов.
Входные данные:
- в первой строке записано N (\(0<N<=100\)) - число холмов;
- далее идет матрица смежности, описывающая наличие мостов между холмами (1-мост есть, 0-нет);
- в последней строке записано N чисел, обозначающих цвет холмов: 1 - красный; 2 - синий; 3 - зеленый.
Выходные данные: вывести количество "плохих" мостов.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
7
0 1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0
1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 3 3
|
4 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
По заданной квадратной матрице n×n из нулей и единиц определите, может ли данная матрица быть матрицей смежности простого неориентированного графа.
Входные данные:
- в первой строке задается число n (\(1<=n<=100\)) – размер матрицы;
- затем задается сама матрица - n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1.
Выходные данные: выведите «YES», если приведенная матрица может быть матрицей смежности простого неориентированного графа, и «NO» в противном случае.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
5
0 0 1 0 0
0 0 1 0 1
1 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
|
YES |
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
По заданной матрице смежности неориентированного графа определите, содержит ли он петли.
Входные данные:
- в первой строке задается число n (\(1<=n<=100\)) – количество вершин графа;
- затем задается матрица смежности - n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1.
Выходные данные: выведите «YES», если граф содержит петли, и «NO» в противном случае.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
5
1 1 1 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
0 1 1 1 0
|
YES |
| |
![]()
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Простой неориентированный граф задан матрицей смежности, выведите его представление в виде списка ребер.
Входные данные: входные данные включают число n (\( 1<=n<=100\)) – количество вершин в графе, а затем n строк по n чисел, каждое из которых равно 0 или 1, – его матрицу смежности.
Выходные данные: выведите список ребер заданного графа (в любом порядке).
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
5
0 0 1 0 0
0 0 1 0 1
1 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
|
1 3
2 3
2 5 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Простой неориентированный граф задан списком ребер, выведите его представление в виде матрицы смежности.
Входные данные:
- в первой строке задаются числа n (\(1<=n<=100\)) – количество вершин в графе и m (\(1<=m<=n(n - 1)/2\)) – количество ребер;
- далее следует m пар чисел – ребра графа (каждая пара чисел в отдельной строке).
Выходные данные: выведите матрицу смежности заданного графа.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
5 3
1 3
2 3
2 5
|
0 0 1 0 0
0 0 1 0 1
1 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
|
| |
![]()
|
|
Темы:
Динамическое программирование
Алгоритмы на графах
Обход в глубину
Динамическое программирование на графах
В тридесятом государстве есть N деревень. Некоторые пары деревень соединены дорогами. В целях экономии, “лишних” дорог нет, т.е. из любой деревни в любую можно добраться по дорогам единственным образом.
Новейшие исследования показали, что тридесятое государство находится в сейсмически опасной зоне. Поэтому глава государства захотел узнать, какой именно ущерб может принести его державе землетрясение. А именно, он хочет узнать, какое минимальное число дорог должно быть разрушено, чтобы образовалась изолированная от остальных группа ровно из P деревень такая, что из любой деревни из этой группы до любой другой деревни из этой группы по-прежнему можно будет добраться по неразрушенным дорогам (группа изолирована от остальных, если никакая неразрушенная дорога не соединяет деревню из этой группы с деревней не из этой группы).
Вы должны написать программу, помогающую ему в этом.
Формат входных данных
Первая строка входного файла содержит два числа: N и P (1 ≤ P ≤ N ≤ 150). Все остальные строки содержат описания дорог, по одному на строке: описание дороги состоит из двух номеров деревень (от 1 до N), которые эта дорога соединяет. Все числа во входном файле разделены пробелами и/или переводами строки.
Формат выходных данных
В выходной файл выведите единственное число — искомое количество дорог.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснение |
| 1 |
3 2
1 2
3 2 |
1 |
|
| 2 |
11 6
1 2
1 3
1 4
1 5
2 6
2 7
2 8
4 9
4 10
4 11 |
2 |
группа деревень (1, 2, 3, 6, 7, 8) окажется изолированной от остальных, если разрушить дороги 1–4 и 1–5. |
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Есть N городов. Есть также шоссе K и железные дороги L, проходящие между городами. Каждое i-я шоссе двунаправленно соединяет рi и qi города, а каждая i-я железная дорога двунаправленно соединяет ri и si города. Нет двух шоссе, соединяющих одну и ту же пару городов. Точно так же, никакие две железные дороги не соединяют одну и ту же пару городов. Будем считать, что города A и B соединены шоссе, если до города B можно добраться из города A по некоторому количеству шоссе. Здесь любой город считается соединенным с собой шоссе. Аналогичным образом, мы также определим возможность сообщения железными дорогами. Для каждого города найдите количество городов, соединенных с этим городом как шоссе, так и железными дорогами.
Входные данные
Входные данные поступают в следующем формате:
N K L
p1 q1
...
pK qK
r1 s1
...
rl sL
Ограничения:
\(2<=N<=2\cdot10^5 \\ 1<=K,L<=10^5 \\ 1<=p_i,q_i,r_i,s_i<=N\\ p_i <q_i \\ r_i<s_i \\ Когда\ i \neq j, (p_i,q_i)\neq(p_j,q_j) \\ ?Когда\ i \neq j, (r_i,s_i)\neq(r_j,s_j)\)
Выходные данные
Выведите N целых чисел в одной строке, разделяя каждое число одним пробелом. Каждое i число должно обозначать количество городов, соединенных с i-м городом как шоссе, так и железными дорогами.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснения |
| 1 |
4 3 1
1 2
2 3
3 4
2 3 |
1 2 2 1 |
Все четыре города связаны между собой дорогами.
Железной дорогой соединены только второй и третий города. Таким образом, ответы для городов 1,2,2 и 1 соответственно. |
| 2 |
4 2 2
1 2
2 3
1 4
2 3 |
1 2 2 1 |
|
| 3 |
7 4 4
1 2
2 3
2 5
6 7
3 5
4 5
3 4
6 7 |
1 1 2 1 2 2 2 |
|
| |
![]()
|
|
Темы:
Интерактивные задачи
Мосты
Алгоритмы на графах
– Это что за остановка – Бологое иль Поповка? – А с платформы говорят: – Это город Ленинград.
«Вот какой рассеянный», Самуил Маршак
Пытаясь спастись от мира спортивного программирования, Алина сбежала на вокзал и уехала прочь на ночной электричке. Минуты медленно уплывали в даль, и уставшую девочку клонило в сон. Ей снился город-сказка, где не надо программировать, а можно гулять, мечтать и наслаждаться жизнью. Внезапно дождь из интерактивных задач разрушил эту идиллию.
Проснувшись и открыв окно, Алина задалась вопросом весьма философского свойства: «Где я?». С перрона потерявшейся девочке сообщили, что этот город, не похожий ни на что вокруг, представляет собой неориентированный граф на n вершинах и m ребрах. Сeй невероятный факт, однако, нисколько не удивил Алину. Она давно мечтала побывать в одном таком городе — Петербурге. Его уникальной отличительной особенностью является то, что хотя бы половина его ребер — мосты (определение дано в конце условия). Так как никакие другие города Алине не интересны, она решила ограничиться расспросом находящихся на платформе эрудированных путешественников. Любой из их них может по данной вершине v сообщить любое ещё не названное ребро, исходящее из нее, или же заявить об отсутствии таковых.
Алина неуверена в своих силах, поэтому попросила вас помочь ей определить, попала ли она в Петербург. Так как её поезд скоро продолжит свой путь, задать больше 3n вопросов не получится.
Обратите внимание, что в графе могут присутствовать петли и кратные ребра.
Протокол взаимодействия
В первой строке стандартного потока ввода даны два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 100000 ) — число вершин и ребер в графе соответственно.
Для того, чтобы узнать очередное ребро, исходящее из u-й вершины (1 ≤ u ≤ n), нужно вывести « ? u ». После этого ваша программа на вход получит целое число v (−2 ≤ v ≤ −1 или 1 ≤ v ≤ n) — v=a+b−u, если существует ребро ab, которое инцидентно вершине u и ещё не было названо , −1, если такого ребра не существует и −2, если вы превысили допустимое число запросов. В последнем случае ваша программа должна немедленно завершиться, в ином случае жюри не гарантирует корректность полученного вами вердикта.
Вам разрешается задать не более 3n вопросов.
Чтобы сообщить, что ответ найден, требуется вывести « ! Yes » или « ! No », в зависимости от того, является ли загаданный граф Петербургом. В случае положительного ответа выведите \( {m \over 2}\) строк, по два целых числа ui и vi в каждой (1 ≤ ui, vi ≤ n), обозначающих, что ребро (ui, vi) является мостом. Любое ребро в приведенном списке должно встречаться не более одного раза (кратные ребра считаются различными).
Запрос на вывод ответа не входит в ограничение на 3n запросов.
Примечание
В условии в примере взаимодействия вводимые и выводимые данные расположены для удобства восприятия в хронологическом порядке, при реальном взаимодействии никакие «лишние» переводы строк возникать не должны.
Ввод-вывод в примерах демонстрирует пример взаимодействия вашей программы с проверяющей системой.
В первом примере был загадан граф на трех вершинах с ребрами (1, 2) , (2, 3) и (3, 1) .
Во втором примере была загадан граф на четырех вершинах с ребрами (1, 2) , (2, 3) , (3, 4) и (2, 3) .
Ребро, соединяющее вершины u и v, называется мостом, если после его удаления между вершинами u и v не существует пути.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
3 3
2
2
-1
3
-1
-1 |
? 3
? 1
? 2
? 1
? 1
? 3
! No |
| 2 |
4 4
2
3
2
-1
4
-1
-1
-1 |
? 1
? 2
? 3
? 1
? 3
? 3
? 2
? 4
! Yes
1 2
3 4 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Кратчайшие пути в графе
Дан неориентированный связный взвешенный граф с N вершинами и M ребрами, который не содержит ни петель, ни двойных ребер. I-е (\(1<=i<=M\)) ребро соединяет вершину ai и вершину bi на расстоянии ci. Будем считать, что петля - это ребро, где \(a_i=b_i\) (\(1<=i<=M\)), а двойные ребра - это два ребра, где \((a_i,b_i)=(a_j,b_j) \) или \((a_i,b_i)=(b_j,a_j)\) (\(1<=i<j<=M\)). Связный граф - это граф, в котором есть путь между каждой парой разных вершин. Найдите количество ребер, которые не входят ни в один кратчайший путь между любой парой различных вершин.
Входные данные
В первой строке задаются два целых числа N и M (\(2<=N<=100\), \(N-1<=M<=min(N \cdot (N-1)/2,1000)\)). Далее идет M строк по три целых числа в каждой строке: ai, bi, ci (\(1<=a_i, b_i<=N\), \(1<=c_i<=1000\)). Данный граф не содержит петель и двойных ребер. Данный граф является связанным.
Выходные данные
Выведите количество ребер в графе, которые не входят ни в один кратчайший путь между любой парой различных вершин.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснения |
| 1 |
3 3
1 2 1
1 3 1
2 3 3
|
1
|
В данном графе кратчайшие пути между всеми парами различных вершин следующие:
Кратчайший путь от вершины 1 к вершине 2: вершина 1 → вершина 2, длина пути равна 1.
Кратчайший путь от вершины 1 к вершине 3: вершина 1 → вершина 3, длина пути равна 1.
Кратчайший путь из вершины 2 в вершину 1: вершина 2 → вершина 1, длина пути равна 1.
Кратчайший путь от вершины 2 к вершине 3: вершина 2 → вершина 1 → вершина 3, длина пути равна 2.
Кратчайший путь от вершины 3 до вершины 1: вершина 3 → вершина 1, длина пути равна 1.
Кратчайший путь от вершины 3 к вершине 2: вершина 3 → вершина 1 → вершина 2, длина пути равна 2.
Таким образом, единственное ребро, которое не содержится ни в одном кратчайшем пути, - это ребро длины 3, соединяющее вершину 2 и вершину 3, поэтому на выходе должно быть 1. |
| 2 |
3 2
1 2 1
2 3 1
|
0
|
Каждое ребро содержится в некотором кратчайшем пути между парой различных вершин. |
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Кратчайшие пути в графе
Обход в ширину
Вам дано дерево с N вершинами. Здесь дерево - это разновидность графа, а точнее, связный неориентированный граф с N−1 ребром, где N - количество его вершин. I-е ребро (\(1<=i<=N-1\)) соединяет вершины ai и bi и имеет длину ci.
Вам также дано Q запросов и целое число K. Для каждого j-го запроса (\(1<=j<=Q\)) найдите длину кратчайшего пути от вершины xj к вершине yj через вершину K.
Входные данные
В первой строке записано целое число N (\(3<=N<=10^5\)). В следующих N строках записаны вершины ai и bi (\(1<=a_i,b_i<=N\), \(1<=i<=N-1\)) и длина между ними ci (\(1<=c_i<=10^9\), \(1<=i<=N-1\))
Далее идут два числа Q и K (\(1<=Q<=10^5\), \(1<=K<=N\)). В последних Q строках записаны целые числа xj, yj (\(x_j \neq y_j\),\(x_j \neq K\), \(y_j \neq K\) \(1<=j<=Q\), ).
Заданный граф является деревом.
Выходные данные
Выведите ответы на запросы в Q строках. В j-й строке выведите ответ на j-й запрос.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснение |
| 1 |
5
1 2 1
1 3 1
2 4 1
3 5 1
3 1
2 4
2 3
4 5 |
3
2
4 |
Кратчайшие пути для трех запросов следующие:
Запрос 1: Вершина 2 → Вершина 1 → Вершина 2 → Вершина 4: Длина 1 + 1 + 1 = 3
Запрос 2: Вершина 2 → Вершина 1 → Вершина 3: Длина 1 + 1 = 2
Запрос 3: Вершина 4 → Вершина 2 → Вершина 1 → Вершина 3 → Вершина 5: Длина 1 + 1 + 1 + 1 = 4 |
| 2 |
7
1 2 1
1 3 3
1 4 5
1 5 7
1 6 9
1 7 11
3 2
1 3
4 5
6 7 |
5
14
22 |
Путь для каждого запроса должен проходить через вершину K = 2. |
| 3 |
10
1 2 1000000000
2 3 1000000000
3 4 1000000000
4 5 1000000000
5 6 1000000000
6 7 1000000000
7 8 1000000000
8 9 1000000000
9 10 1000000000
1 1
9 10 |
17000000000 |
|
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Кратчайшие пути в графе
Давилон - самый крупный город на Луне. На Давилоне есть собственная система метро, состоящая из N станций и M железнодорожных линий. Станции пронумерованы от 1 до N. Каждой линией управляет компания. У каждой компании есть идентификационный номер. I-я (1<=i<=M) линия соединяет станцию pi и qi двунаправленно. Промежуточной станции нет. Этой линией управляет компания ci . Можно делать пересадки на станции, где доступно несколько линий. Система оплаты проезда, используемая в этой системе метро, немного странная. Когда пассажир использует только те линии, которые обслуживаются одной и той же компанией, тариф составляет 1 сантик (валюта Давилона). Каждый раз, когда пассажир переходит на линию, которой управляет компания, отличная от текущей линии, с пассажира взимается дополнительная плата за проезд в размере 1 сантик. В случае, если пассажир, перешедший с линии компании А на линию другой компании, снова переходит на линию компании А, дополнительный тариф взимается снова. Незнайка сейчас на станции 1 и хочет добраться до станции N на метро. Найдите минимально необходимый тариф.
Входные данные
В первой строке задается два целых числа N (2<=N<=105) и M (0<=M<=2*105). В каждой из следующих M строк записаны по 3 числа: pi, qi и ci; 1<=pi<=N (1<=i<=M), 1<=qi<=N, 1<=ci<=106, pi ≠ qi.
Выходные данные
Выведите минимальный требуемый тариф. Если добраться до станции N на метро невозможно, выведите -1.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснение |
| 1 |
3 3
1 2 1
2 3 1
3 1 2 |
1 |
Используйте линии компании 1:
1 → 2 → 3.
Стоимость проезда 1 сантик. |
| 2 |
8 11
1 3 1
1 4 2
2 3 1
2 5 1
3 4 3
3 6 3
3 7 3
4 8 4
5 6 1
6 7 5
7 8 5 |
2 |
Сначала используйте линии компании 1:
1 → 3 → 2 → 5 → 6.
Затем используйте линии компании 5:
6 → 7 → 8.
Стоимость проезда 2 сантика. |
| 3 |
2 0 |
-1 |
|
| |
![]()
|
|
Темы:
Минимальный каркас
Алгоритмы на графах
С целью подготовки к проведению олимпиады по информатике мэр решил обеспечить надежным электроснабжением все школы города. Для этого необходимо провести линию электропередач от альтернативного источника электроэнергии “Майбуття” к одной из школ города (к какой неважно), а также соединить линиями электропередач некоторые школы между собой.
Считается, что школа имеет надежное электроснабжение, если она напрямую связана с источником “Майбуття”, либо с одной из тех школ, которые имеют надежное электроснабжение.
Известна стоимость соединения между некоторыми парами школ. Мэр города решил выбрать одну из двух наиболее экономичных схем электроснабжения (стоимость схемы равняется сумме стоимостей соединений пар школ).
Напишите программу, которая вычисляет стоимость двух наиболее экономных схем альтернативного электроснабжения школ.
Входные данные
В первой строке входного файла находятся два натуральных числа, разделенных пробелом: N (3 <= N <= 100), количество школ в городе, и M – количество возможных соединений между ними. В каждой из последующих M строк находятся по три числа: Ai, Bi, Ci, разделенных пробелами, где Ci - стоимость прокладки линии электроснабжения (1 <= Ci <= 300) от школы Ai до школы Bi (i=1,2,…,N).
Выходные данные
В единственной строке выходного файла должны содержаться два натуральных числа S1 и S2, разделенных пробелом – две наименьшие стоимости схем (S1 <= S2). S1=S2 тогда и только тогда, когда существует несколько схем надежного электроснабжения наименьшей стоимости.
Гарантируется, что для входных данных существует две различные схемы надёжного электроснабжения.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
5 8
1 3 75
3 4 51
2 4 19
3 2 95
2 5 42
5 4 31
1 2 9
3 5 66
|
110 121 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Динамическое программирование на таблицах
Элементарная геометрия
Алгоритмы на графах
Дед Мороз за ночь должен посетить N городов. У него есть двумерный план расположения всех городов. План нарисован в декартовой системе координат, в которой точкой (0, 0) обозначено место старта Деда Мороза. Каждый город на плане отмечен точкой с координатой (Xi, Yi). Также на карте обозначены M точек с координатами (Pi, Qi), в которых расположены ускорители. Чтобы успеть разнести все подарки, Дед Мороз может воспользоваться ускорителем, который увеличивает его скорость в два раза (а может им и не пользоваться).
Дед Мороз в Новогоднюю ночь начинает с места старта, посещает все N городов и возвращается обратно.
Начальная скорость Деда Мороза равна 1. Найдите наименьшее время, необходимое Деду Морозу, чтобы посетить все города и вернуться обратно. Временем, при котором он раскладывает все подарки будем пренебрегать!
Входные данные
Первая строка входных данных содержит два целых числа N и M (1 <= N <= 12, 0 <= M <=5). Следующие N строк содержат координаты городов (Xi, Yi). Далее идут M строк с координатами ускорителей (Pi, Qi). Все координаты различны и среди них нет координаты (0, 0).
Выходные данные
Выведите ответ на задачу, с точностью не менее 6 знаков после запятой.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Примечание |
| 1 |
2 1
1 1
0 1
1 0 |
2 1
1 1
0 1
1 0 |
Вот один из оптимальных способов разнести все подарки
- Пройти расстояние 1 от начала координат до ускорителя 1 со скоростью 1, затратив время 1.
- Пройти расстояние 1 от ускорителя 1 до города 1 со скоростью 2, затратив время 0,5.
- Пройти расстояние 1 от города 1 до города 2 со скоростью 2, затратив время 0,5.
- Пройти расстояние 1 от города 2 до начала координат со скоростью 2, затратив время 0,5.
|
| 2 |
2 1
1 1
0 1
100 0 |
3.4142135624 |
Вот один из оптимальных способов разнести все подарки
- Пройти расстояние 1.41... от начала координат до города 1 со скоростью 1, затратив время 1.41....
- Пройти расстояние 1 от города 1 до города 2 со скоростью 1, затратив время 1.
- Пройти расстояние 1 от города 2 до начала координат со скоростью 1, затратив время 1.
|
| 3 |
1 2
4 4
1 0
0 1 |
4.3713203436 |
Вот один из оптимальных способов разнести все подарки
- Пройти расстояние 1 от начала координат до ускорителя 1 со скоростью 1, затратив время 1.
- Пройти расстояние 1,41... от ускорителя 1 до ускорителя 2 со скоростью 2, затратив время 0,707....
- Пройти расстояние 5 от ускорителя 2 до города 1 со скоростью 4, затратив время 1,25.
- Пройти расстояние 5,65... от города 1 до начала координат со скоростью 4, затратив время 1,41....
|
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Задача на реализацию
Циклы
В некотором королевстве есть n городов, соединенных магическими порталами. Каждая пара различных городов соединена ровно одним магическим порталом, позволяющим мгновенно перемещаться из одного города в другой.
Из-за свойств магии, определяющей работу порталов, каждый портал можно использовать только в одну сторону. Для каждой пары городов A и B известно, можно ли воспользоваться порталом для перемещения напрямую из A в B или из B в A.
Из-за особенностей магических порталов иногда при перемещении жителей королевства из одного города в другой приходится использовать несколько порталов. Также могут существовать такие пары городов, что из одного города в другой нельзя добраться, используя только магические порталы.
Жители королевства называют город совершенным, если из него можно добраться до любого другого города в королевстве, используя только магические порталы. Пусть изначально количество совершенных городов в королевстве равно k.
Недавно король принял решение выбрать пару городов и изменить разрешенное направление перемещения по порталу, соединяющему их, на противоположное. Для выбора лучшего варианта король хочет понять, какое количество совершенных городов может оказаться в королевстве после перенастройки ровно одного портала.
Для получения этой информации король планирует запросить в министерстве транспорта соответствующий отчет. Король может запросить либо частичный, либо полный отчет. Содержимое отчета зависит от параметра L, для частичного отчета L = k + 1, для полного отчета L = 1.
Отчет содержит для каждого целого числа m, такого что m ≥ L, число таких пар городов A и B, для которых выполняются следующие условия:
- исходно магический портал позволяет перемещаться напрямую из города A в город B;
- если изменить направление перемещения этого магического портала на противоположное, чтобы он позволял напрямую перемещаться из города B в город A, то количество совершенных городов в королевстве станет равным m.
Таким образом, частичный отчет содержит информацию только о тех способах перенастройки одного портала, которые строго увеличивают количество совершенных городов в королевстве. Полный отчет содержит информацию обо всех способах перенастройки одного портала.
Требуется написать программу, которая по информации о разрешенных направлениях перемещения с использованием магических порталов, и информации о том, требуется предоставить частичный или полный отчет, формирует соответствующий отчет и выводит его в описанном ниже формате.
Формат входного файла
Первая строка входного файла содержит два целых числа: n — количество городов в королевстве (2 ≤ n ≤ 2000) и p, равное либо 0, если требуется вывести частичный отчет, либо 1, если требуется вывести полный отчет. Последующие n строк содержат по n символов, каждый из которых может быть «+», «–» или «.», и i-я из этих строк описывает магические порталы, соединяющие i-й город с другими городами.
В i-й строке j-й символ равен «+», если магический портал позволяет напрямую перемещаться из i-го города в j-й, равен «–», если магический портал позволяет напрямую перемещаться из j-го города в i-й, и равен «.», если i = j.
Формат выходного файла
Первая строка выходного файла должна содержать одно целое число k — количество совершенных городов в королевстве.
Если требуется частичный отчет (p = 0), то вторая строка выходного файла должна содержать (n – k) целых неотрицательных чисел, разделенных пробелами, где i-е из этих чисел должно быть равно количеству пар городов, изменение направления портала между которыми на противоположное приводит к тому, что количество совершенных городов в королевстве станет равным (k + i). Если при этом k = n, то вторая строка может отсутствовать, либо быть пустой.
Если требуется полный отчет (p = 1), то вторая строка должна содержать n целых неотрицательных чисел, разделенных пробелами, где i-е из этих чисел должно быть равно количеству пар городов, изменение направления портала между которыми на противоположное приводит к тому, что количество совершенных городов в королевстве станет равным i.
Пример:
| Ввод |
Вывод |
5 0
.-+++
+.+++
--.+-
---.+
--+-. |
1
0 0 0 3 |
5 1
.-+++
+.+++
--.+-
---.+
--+-. |
1
7 0 0 0 3 |
Пояснение к примерам
В приведенных примерах изначально совершенным является только город 2.
Изменив направление порталов, соединяющих пары городов (2, 3), (2, 4) или (2, 5), можно сделать все города совершенными. Изменение направление любого другого портала делает совершенным один город.
| |
![]()
|
|
Темы:
Обход в ширину
Структуры данных
Алгоритмы на графах
В научно-исследовательском институте чародейства и волшебства пожар! Во время опыта Кор- неева В. П. по превращению всей морской и океанской воды планеты в живую воду произошло короткое замыкание, и теперь его кабинет объят пламенем. Задача первостепенной важности — спасти из огня ценные лабораторные приборы, в особенности единственный в своём роде диван- транслятор µ-поля. Ваша задача — перенести диван-транслятор из кабинета Корнеева в запасную лабораторию изучения µ-поля.
НИИЧАВО состоит из N кабинетов, соединённых M коридорами. Кабинеты пронумерованы це- лыми числами от 1 до N, при этом кабинет Корнеева имеет номер A, а лаборатория изучения µ-поля расположена в кабинете номер B. Благодаря специальному искажению пространства внутри инсти- тута, все коридоры имеют одинаковую длину, которую можно пройти за 1 минуту, если двигаться быстрым шагом.
Ситуация усугубляется тем, что диван-транслятор — прибор, очень чувствительный к резким пе- репадам температуры. Внутри каждого коридора НИИЧАВО поддерживается свой температурный режим. Если абсолютная величина разности температур в двух последовательных коридорах на пути из кабинета Корнеева в лабораторию окажется больше D градусов, то диван-транслятор пе- рейдёт в нестабильное состояние, что может привести к катастрофическим последствиям. Обратите внимание, что на своём пути вы не заходите в сами кабинеты, а только переходите из коридора в коридор, поэтому климат внутри кабинетов не влияет на диван-транслятор. В силу причин магиче- ского характера, войдя в коридор, вы обязаны дойти до его конца, иными словами, останавливаться или разворачиваться посреди коридора запрещено. По каждому коридору можно перемещаться в обоих направлениях.
Определите, за какое минимальное время можно добраться из кабинета Корнеева до запасной лаборатории, не допуская резкого перепада температур. В рамках данной задачи вам предлагается ответить на поставленный вопрос для нескольких пар значений A и B.
Формат входных данных
В первой строке входных данных следуют три целых числа N, M и D (2 <= N <= 100 000, 1 <= M <= 200 000, 0 <= D <= 2 · 108 ), обозначающие количество кабинетов, количество коридоров в НИИЧАВО и максимальный допустимый перепад температур для дивана-транслятора в граду- сах. В последующих M строках находятся описания коридоров. Каждая строка содержит по три целых числа ui , vi , ti — номера двух кабинетов, соединённых i-м коридором, и значение температуры в этом коридоре, выраженное в градусах (1 <= ui , vi <= N, −109 <= ti <= 109 ). Как вы уже могли понять, НИИЧАВО — весьма необычное заведение, поэтому между двумя кабинетами может пролегать несколько коридоров, возможно с разными температурами, а некоторые коридоры могут соединять кабинет с самим собой. Гарантируется, что коридоры перечислены во входном файле в порядке неубывания ti . В следующей строке находится целое число Q (1 <= Q <= 50) — количество пар A и B, которые вам требуется обработать. В каждой из последующих Q строк находятся по два целых числа Ai , Bi , обозначающих номер кабинета Корнеева и номер кабинета, в котором расположена лаборатория (1 <= Ai , Bi <= N, Ai != Bi).
Формат выходных данных
Для каждого набора данных выведите в отдельной строке минимальное количество минут, ко- торое требуется потратить, чтобы добраться из кабинета Корнеева до лаборатории, либо выведите −1, если сделать это, используя допустимый для дивана-транслятора маршрут, невозможно.
Примеры
| Ввод |
Вывод |
6 9 5
6 6 -42
1 2 4
2 3 6
3 2 7
2 5 11
6 1 12
1 3 15
3 4 16
5 6 18
2
1 5
4 2 |
4
-1 |
6 9 7
6 6 -42
1 2 4
2 3 6
3 2 7
2 5 11
6 1 12
1 3 15
3 4 16
5 6 18
1
4 2 |
5 |
Замечание
Пояснение к тестам из условия. В обоих тестах план НИИЧАВО выглядит следующим образом:
Рассмотрим первый тест, в нём D = 5. В первом наборе A = 1, B = 5. В качестве воз- можного маршрута может выступить следующая последовательность переходов по коридорам:
 Третьим шагом можно вернуться в кабинет 2 и по тому же коридору с t = 6 .
Во втором наборе A = 4, B = 2. Способа добраться из кабинета 4 в кабинет 2, ни разу не допустив перепад температуры больше, чем в 5 градусов, не существует.
Во втором тесте D = 7. В единственном наборе A = 4, B = 2 cтартовый и конечный кабинет те же, что и во втором наборе первого теста из условия, но допустимый перепад температур больше, благодаря чему подходит следующий маршрут: 
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Простые числа и разложение на множители
Динамическое программирование
Динамическое программирование: один параметр
Скоро в Соединенных Штатах Берляндии пройдут выборы президента. На эту ответственную должность претендуют два кандидата: Дядя Сэм и Дядя Фродо. Вы работаете аналитиком в пред- выборном штабе Дяди Сэма, и вам поручено помочь ему победить конкурента. Раздуть газетный скандал из одержимости оппонента бросанием колец в жерла вулканов не получилось, так что при- дётся воспользоваться математикой.
Казалось бы, чтобы выиграть, необходимо убедить проголосовать за нашего кандидата более половины пришедших на выборы. Оказывается, что иногда нужно гораздо меньше! Для того чтобы понять, как это возможно, рассмотрим подробнее процедуру голосования.
Как вы знаете, Соединенные Штаты Берляндии разделены на несколько административных ре- гионов первого уровня — штатов. Сначала в каждом из штатов проходят местные выборы, по итогам которых каждый штат отдаёт свой голос за одного из кандидатов. Если не менее половины штатов выбрало Дядю Сэма, то выигрывает он (в случае равенства голосов Дядя Сэм имеет преимущество как действующий президент), иначе побеждает Дядя Фродо. Все штаты, в свою очередь, состоят из административных регионов второго уровня, каждый из которых представлен выборщиком из административных регионов третьего уровня и так далее. Последний уровень состоит из отдельных жителей Берляндии. Всего в Берляндии N жителей и K уровней административных единиц. Одним из ключевых принципов этой страны является равенство, так что любой регион i-го уровня делится на одинаковое число регионов следущего уровня (в том числе содержит одинаковое число граждан).
Так получилось, что делением на регионы поручили заняться именно вам, то есть в ваших руках назначить, на сколько именно административных единиц i-го уровня делится (i−1)-ая администра- тивная единица.
Также у вас есть сильный инструмент влияния на выбор людей — нефтяные бурли. Чтобы заста- вить одного избирателя отдать свой голос за Дядю Сэма, достаточно дать ему скромный подарок в размере одного нефтяного бурля.
К несчастью, изначально все N жителей Соединённых Штатов Берляндии собираются отдать свой голос за Дядю Фродо. Требуется определить минимальное количество нефтяных бурлей, ко- торое достаточно потратить для победы на выборах.
Формат входных данных
В единственной строке ввода находятся два целых числа N и K (1 <= N <= 1015 , 1 <= K <= 10).
Формат выходных данных
Требуется вывести единственное число — минимальное количество нефтяных бурлей, которое придётся потратить на предвыборные подарки при наилучшем разбиении на регионы.
Примеры
Замечание
Берляндские законы не запрещают, чтобы страна состояла из одного штата, а город — одного жителя. Аналогично с остальными типами регионов.
На рисунке 1 черным цветом отмечены те регионы, в которых победил Дядя Сэм. На нижнем уровне черными изображены вершины, соответствущие подкупленным конкретным жителям.
| |
![]()
|
|
Темы:
Алгоритмы на графах
Конструктив
Комбинаторика
Boolean satisfiability problem (SAT) is known to be a very hard problem in computer science. In this problem you are given a Boolean formula, and you need to find out if the variables of a given formula can be consistently replaced by the values true or false in such a way that the formula evaluates to true. SAT is known to be NP-complete problem. Moreover, it is NP-complete even in case of 3-CNF formula (3-SAT). However, for example, SAT problem for 2-CNF formulae (2-SAT) is in P.
#SAT is the extension of SAT problem. In this problem you need to check if it is possible, and count the number of ways to assign values to variables. This problem is known to be #P-complete even for 2-CNF formulae. We ask you to solve #1-DNF-SAT, which is #SAT problem for 1-DNF formulae.
You are given a Boolean formula in 1-DNF form. It means that it is a disjunction (logical or) of one or more clauses, each clause is exactly one literal, each literal is either variable or its negation (logical not). Formally:
 Your task is to find the number of ways to replace all variables with values true and false (all occurrences of the same variable should be replaced with same value), such that the formula evaluates to true.
Input
The only line of the input file contains a logical formula in 1-DNF form (not longer than 1000 symbols). Logical operations are represented by ‘|’ (disjunction) and ‘~’ (negation). The variables are ‘A’ . . . ‘Z’ and ‘a’ . . . ‘z’ (uppercase and lowercase letters are different variables). The formula contains neither spaces nor other characters not mentioned in the grammar.
Output
Output a single integer — the answer for #SAT problem for the given formula
| Input |
Output |
| a |
1 |
| B|~B |
2 |
| c|~C |
3 |
| i|c|p|c |
7 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Минимальный каркас
Структуры данных
Дерево отрезков, RSQ, RMQ
Обход в глубину
Алгоритмы на графах
Фермер Джон обнаружил, что разные типы коров любят разные типы травы. Однако он должен правильно их высаживать, чтобы не навредить.
Ферма Джона состоит из NN (1≤N≤200,000), полей, и MM пар полей соединены двунаправленными дорожками (1≤M≤200,000). Используя эти дорожки, можно пройти от любого поля к любому другому полю. Каждая дорожка имеет целочисленную длину в интервале 1…1,000,000. Любая пара полей соединена не более чем одной прямой дорожкой.
В каждом поле ФД изначально посадил один из KK типов травы (1≤K≤N). Через некоторое время, однако, он может решить изменить тип травы на некоторых из полей. Он называет это операцией "обновления".
После каждого обновления, ФД хочет знать длину кратчайшего пути между двумя полями, имеющими различные типы травы. То есть, среди всех пар полей, имеющих различные типы травы, он хочет узнать, какие два поля ближайшие друг к другу. Гарантируется, что всегда имеется как минимум одна пара полей с различными типами травы.
В 30 процентах тестов каждое поле непосредственно соединено не более чем с 10 дорожками.
ФОРМАТ ВВОДА:
Первая строка ввода содержит четыре целых числа N, M, K, Q, где Q - количество операций обновления (1≤Q≤200,000). Следующие M строк описывают дорожки. Каждая строка содержит три целых числа A, B, L, указывающих, что есть дорожка между полями A, B и её длина L. (A, B - целые числа в интервале 1…N). Следующая строка указывает начальный тип травы для каждого поля (N целых чисел в интервале 1…K). Затем идут Q строк, каждая из которых описывает одну операцию обновления двумя целыми числами A и B, означающими, что на поле A типе травы изменён на B.
ФОРМАТ ВЫВОДА:
Для каждой операции обновления выведите длину кратчайшего пути между двумя полями с различными типами травы, после применения этой операции обновления.
| Ввод |
Вывод |
|
3 2 3 4
1 2 3
2 3 1
1 1 2
3 3
2 3
1 2
2 2
|
1
3
3
1
|
| |
![]()
|